Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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48 Capitolo - 5 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici Appare chiaro che la densità di probabilità marginale di al denominatore della precedente non ha alcuna influenza sull’argomento che lo rende massimo, pertanto possiamo ulteriormente scrivere: ˜ argma ( ) ( ) (5.5.4) 5.6 - Funzioni di Verosimiglianza. Un’ulteriore semplificazione della (5.5.3), si ottiene infine se i messaggi sono tutti equiprobabili. In questo caso, semplificando ulteriormente la notazione, ponendo cioè ( ) ( ), la regola di decisione ottima diventa: decidi per ˜ se: ˜ argma ( ) (5.6.1) La densità di probabilità ( ) prende il nome di funzione di verosimiglianza. Essa, come si può notare, dipende sostanzialmente dal canale, che in questo caso pensiamo costituito dalla cascata del modulatore, del canale AWGN e del demodulatore. Un ricevitore che adotta la regola di decisione (5.6.1) applica il criterio della Massima Verosimiglianza MV, o ML (Maximum Likelihood), se si preferisce l’acronimo inglese. È opportuno precisare che il criterio MV viene di regola adottato, anche quando la statistica della sorgente non è nota, in questo caso il criterio non è ottimo, non conduce cioè alla minima probabilità d’errore media, ma spesso non si può fare altrimenti non conoscendo la statistica della sorgente, in ogni caso, in genere, la perdita in termini di prestazioni adottando il criterio MV anziché il MAP è in genere accettabile. 5.7 - Le Regioni di Decisione. Ricordiamo che ad ogni messaggio corrisponde tramite la (5.2.1) uno ed un sol punto nello spazio S K . Osserviamo quindi che, se è stato trasmesso , allora all’uscita del demodulatore sarà presente il vettore , dove è la realizzazione di un vettore di variabili aleatorie Gaussiane a media nulla e matrice di covarianza cioè di variabili tra loro mutuamente statisticamente indipendenti, ne consegue che , per fissato , è anch’esso un vettore di variabili aleatorie mutuamente indipendenti con matrice di covarianza e media m . Si ha pertanto:
Cenni di Trasmissione Numerica 49 ( ) ∏ √ ( ) ( ) ∏ ( ) (5.7.1) ad ogni ( ) ∑ ( ) ( ) si può quindi associare l’insieme dei punti di S K ( ) ( ) (5.7.2) che è denominato regione di decisione di . Se abbiamo cura di assegnare a caso all’una o all’altra regione i punti di S K che si trovano al confine tra due o più regioni di decisione, ci si convince facilmente che ∪ (5.7.3) Per il canale AWGN possiamo ancora scrivere: { ( ) ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ } (5.7.4) { } dalla precedente s’intuisce facilmente che le frontiere delle regioni di decisione sono iperpiani di S K , e che la probabilità che cada sulla frontiera di una regione di decisione è in questo caso nulla, essendo nulla la misura di tali frontiere. Il concetto di regione di decisione è applicabile anche in un contesto più generale, basandosi direttamente sulla (5.5.3) nel caso di messaggi non equiprobabili. Anche nel caso in cui lo spazio d’osservazione S K è discreto si possono definire le regioni di decisione, tenendo però presente che tutte le densità di probabilità che compaiono nelle (5.5.3) e (5.6.1) vanno intese come distribuzioni di massa di probabilità e che in questo caso l’eventualità che il vettore cada su un punto di S K appartenente alla frontiera di una regione di decisione può essere diversa da zero. Indichiamo con la probabilità che il ricevitore stimi in modo errato il messaggio sotto la condizione che sia stato trasmesso il messaggio , detto il complementare di R rispetto allo spazio di osservazione S K , ( ) si potrà esprimere come segue: ( ) ( ( ) ) (5.7.5) La probabilità d’errore media del sistema sarà espressa dalla media statistica delle ( ). Avremo quindi: ∑ ( ) ( ) (5.7.6)
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