Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Capitolo - 11
CODICI SISTEMATICI
11.1 - Codici Sistematici
Quanto detto nei precedenti paragrafi ci fa comprendere che le prestazioni di un
codice lineare sono da attribuirsi sostanzialmente al sottospazio di generato dalle
righe della matrice che supporremo linearmente indipendenti e che quindi
costituiranno una base per il sottospazio da esse generato. In sostanza quindi codici generati
da matrici distinte, delle stesse dimensioni, che generano però lo stesso
sottospazio di sono del tutto equivalenti.
Lo spazio generato dalle righe di non cambia se si permutano le sue righe, o se
si somma ad una qualunque riga di una combinazione lineare delle restanti.
Dato un codice lineare a blocchi, consideriamo la sua matrice e selezioniamone
una sua colonna non identicamente nulla. Supponiamo sia la -esima. Consideriamo
quindi una riga di che abbia un nella -esima colonna, supponiamo sia la -esima,
sommiamo tale riga a tutte le altre righe di che si trovano nelle stesse condizioni.
(
Otterremo così una matrice, sia ) , equivalente a la cui -esima colonna ha un solo
( )
valore in posizione -esima. Operiamo adesso sulla matrice come avevamo
operato sulla con la sola accortezza di scegliere una colonna che abbia un in una
( )
riga diversa dalla -esima, otterremo così una con due colonne che presentano un
solo valore su righe diverse. All’ -esimo passo sceglieremo una colonna che abbia un
in una riga diversa da quelle selezionate ai passi precedenti.
Tale procedura potrà essere ripetuta al più volte, a meno che non sia più
possibile selezionare una colonna, ma ciò accade solo nel caso in cui tutte le righe non
ancora selezionate sono identicamente nulle, in questo caso le righe della matrice da
cui eravamo partiti non erano linearmente indipendenti, quindi non erano in grado di
generare un sottospazio di dimensione , o, che è lo stesso, il codificatore non era un
monomorfismo di in cioè avevamo preso in considerazione un codice ambiguo.
( )
Al termine della procedura sopra descritta avremo quindi una matrice che ha
almeno colonne in cui compare un solo , tra le colonne con un solo ne esisterà
almeno una che lo ha in corrispondenza alla prima riga, una in corrispondenza alla
seconda e cosi via fino alla -esima.
A questo punto è opportuno osservare che se s’intende utilizzare il codice su un
canale simmetrico binario, ovvero mappando coppie di bit della parola d’uscita in punti