Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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94 Capitolo - 11 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici La decodifica a massima verosimiglianza può quindi essere effettuata associando preliminarmente ad ogni sindrome il coset leader nel laterale ad essa associato, da sommare alla parola ricevuta per effettuare la decodifica. Tale tecnica comporta la presenza di un banco di memoria in grado di contenere parole di bit. In effetti essendo interessati solo ai bit informativi è sufficiente memorizzare soltanto i primi bit del coset leader, questo accorgimento riduce un po’ il fabbisogno di memoria. La decodifica basata sulla sindrome è più efficiente di quella basata sui coset leader, anche se, al crescere delle dimensioni della parola di codice, diventa ben presto difficilmente praticabile, a causa della quantità di memoria di cui necessita.
12.1 - Codici di Hamming Capitolo - 12 Codici di Hamming e loro duali Abbiamo visto come si calcola la sindrome di un codice ed abbiamo osservato che più pattern d’errore possono condividere la stessa sindrome. Immaginiamo adesso di voler costruire un codice che abbia la capacità di correggere tutti i pattern d’errore di peso . Affinché ciò sia possibile ciascun pattern d’errore di peso coset leader. deve essere un Abbiamo visto che un codice ( ) consta di parole di bit. Esistono quindi distinti pattern d’errore di peso , ciascuno dei quali, moltiplicato per rispettiva sindrome. Detta sindrome coincide con la colonna della matrice corrisponde alla posizione dell’unico bit fornisce la che nel pattern d’errore. Quindi, se vogliamo che il codice sia in grado di correggere tutti i pattern d’errore di peso , è necessario che le colonne della matrice della matrice in questione ha siano tutte non nulle e diverse tra loro. Poiché ogni colonna elementi, deve necessariamente essere: (12.1.1) La precedente scritta come uguaglianza definisce implicitamente una famiglia di codici, i codici di Hamming, che sono in grado di correggere tutti gli errori di peso e di rivelare quelli di peso non superiore a due in quanto si può mostrare che la loro vale . Alcune soluzioni della (12.1.1) sono riportate nella in Tabella 12.1. Il primo codice della tabella è in effetti un codice a ripetizione, in sostanza ogni bit informativo viene inviato consecutivamente tre volte, vi sono due sole parole di codice, la distanza di Hamming tra esse, quindi anche la del codice, è , il codice è in grado di correggere errori singoli, la regola di decisione a massima verosimiglianza per questo codice consiste nello scegliere il bit che compare almeno due volte nella parola ricevuta. Se il canale introduce un errore doppio il codice rileva l’errore, ma non è in grado di correggerlo, nel senso che restituisce una parola di codice diversa da quella inviata nel caso di decodifica MV. Vi sono tre laterali del codice a ciascuno di essi appartiene un pattern d’errore singolo e il suo negato. n k 3 1 7 4 15 11 31 26 63 57 127 120 Tabella 12.1 Alcuni valori di n e k per i codici di Hamming
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