Trasformata di Fourier a finestra

Trasformata di Fourier a finestra
Come si è visto, la trasformata di Fourier viene interpretata in teoria dei segnali come uno
strumento per analizzare il contenuto in frequenza di una funzione definita nel dominio temporale,
che viene espressa come sovrapposizione lineare di funzioni ad andamento sinusoidale. Poiché le
frequenze possono assumere qualsiasi valore reale, la sovrapposizione assume la forma di un
integrale. Essenziale in questa operazione è la dualità analisi-sintesi, che garantisce la possibilità da
un lato di calcolare, a partire dalla forma del segnale, i coefficienti che definiscono i contributi delle
diverse frequenze, dall’altro di ricostruire il segnale a partire da questi contributi. Si è visto che, nel
caso della trasformata di Fourier l’analisi e la sintesi sono espresse da formule sostanzialmente
simili, e si genera quindi una simmetria fra il dominio temporale e quello delle frequenze.
Si è vista anche l’impossibilità di avere localizzazione sia nel dominio temporale sia in quello delle
frequenze: per ottenere un segnale con una durata temporale piccola (quindi identicamente nullo al
di fuori di un intervallo), sono necessari contributi significativi di frequenze arbitrariamente grandi
e, viceversa, utilizzando solo frequenze appartenenti ad un piccolo intervallo, si ottiene un segnale
di ampiezza non trascurabile in un intervallo di tempo molto lungo.
Una possibile via per aggirare questo problema è l’uso della trasformata di Fourier a finestra, in
i πtν
cui, invece delle funzioni di base monocromatiche e − 2 , si utilizzano funzioni della forma
i2πνu
ϕ ( u)
= e ϕ(
u − ) , dove ϕ (u è la funzione caratteristica di un intervallo limitato. Queste
ν , t
t
)
funzioni dipendono da 2 indici, dei quali ν definisce la localizzazione nel dominio delle frequenze
e t la localizzazione nel dominio temporale; esse non sono monocromatiche, e ν rappresenta la
frequenza centrale, quella che dà il contributo più importante.
Senza entrare nel dettaglio di tutte le proprietà matematiche, ci si limita qui a descrivere
sommariamente il meccanismo di analisi-sintesi. Dato un segnale f (u) , l’operazione di analisi è
definita da
~ ∞
∞
−i
u
f ( , t)
∫ t
( u)
f ( u)
du = ∫ e
2 πν
ν ϕν
,
ϕ(
u − t)
f ( u)
−∞
−∞
= du
~
f ( ν , t)
è quindi la trasformata di Fourier di ϕ ( u − t)
f ( u)
, e di conseguenza
∞
∫
~ i
f ( , t)
e
2 πνu
ν
−∞
dν
= ϕ(
u − t)
f ( u)
.
Moltiplicando per ϕ ( u − t)
e integrando si ottiene
∞
∫
−∞
2
dt ϕ(
u − t)
f ( u)
= ∫dt
∫dνe
∞
−∞
∞
−∞
i2πνu
~ f ( ν , t)
ϕ(
u − t)
,
da cui si ricava la formula di sintesi:
∞ ∞
1
i2πνu
~
f u)
= dt dνe
ϕ(
u t)
f ( ν , t)
2 ∫ ∫ − =
ϕ
∞ ∞
1
(
2 ∫dt
∫dνϕν
, t
2
ϕ 2
L ( R)
−∞ −∞
L ( R)
−∞ −∞
Wavelets
( u)
~ f ( ν , t)
Un possibile modo di scegliere una famiglia di funzioni per attivare una procedura di analisi-sintesi
consiste nel partire da una funzione ψ (u)
(che in linea di principio può appartenere ad una classe
piuttosto ampia, ma che viene scelta in modo opportuno in base alle sue caratteristiche di
localizzazione e di oscillazione), e nel costruire una famiglia

− p ⎛ u − t ⎞
ψ
s,
t
( u)
= | s | ψ ⎜ ⎟
⎝ s ⎠
ottenuta dalla funzione originaria con traslazioni e cambiamenti di scala. I parametri s e t in
generale variano nel continuo; p è fisso nell’ambito della famiglia, ed è in linea di massima
arbitrario. Ad esempio, la scelta p=1/2 garantisce la costanza della norma di ψ in L 2 ( R)
.
L’operazione di analisi è definita da
~
f ( s , t ) = du ψ ( u ) f ( ) .
∫
−
s , t
u
Senza entrare nei dettagli, si enuncia il seguente risultato:
l’operazione di sintesi può essere definita se ψ verifica la condizione di ammissibilità
∞
dξ
2
∫ ψˆ ( ξ ) ≡ C < +∞
| ξ |
−∞
∞
∞
1 2 p−3
f ( u)
∫ds
s ∫dt
s,
t
C
−∞
−∞
= ψ ( u)
~ f ( s,
t)
.
, dove ψˆ è la trasformata di Fourier di ψ . In tal caso si ha
NOTA: la condizione di ammissibilità implica limψˆ ( ξ ) = 0 . Quindi, se ψˆ è continua (cosa
0
∞
∫
−∞
certamente vera se |ψ ( u ) | du < +∞ ), deve essere ψˆ
(0) ≡ ∫ψ
( u)
du = 0 .
NOTA: Come si è visto, le trasformate finora esaminate (trasformata di Fourier, trasformata di
Fourier a finestra, trasformata wavelet) realizzano operazioni di analisi-sintesi che da un lato
consentono di calcolare determinati coefficienti con operazioni lineari sulla funzione data, dall’altro
ricostruiscono la funzione utilizzando i coefficienti calcolati per costruire una sovrapposizione
lineare di una data famiglia di funzioni. E’ proprio questa seconda operazione che giustifica
l’interpretazione dei coefficienti calcolati come contributi corrispondenti a determinate
caratteristiche qualitative (nei casi esaminati, il contenuto in frequenza o la localizzazione).
D’altronde, si è visto che in tutti i casi trattati gli ingredienti utilizzati per costruire l’operazione di
−iνt
analisi ( e ( u)
, ψ ( ) ) si ritrovano anche nella sintesi, e viene da chiedersi se questo sia un
, ϕ ν , t s, t
u
fatto generale.
Nella teoria della serie di Fourier si è visto che la possibilità di usare gli stessi ingredienti per analisi
e sintesi: f a ( f , ϕ ) a f ( f , ϕ ) ϕ è legata alla scelta di una base ortonormale.
n
∑
=
n n
Nel seguito vengono esaminate due situazioni in dimensione finita che illustrano come sia possibile
costruire operazioni di analisi sintesi usando famiglie di vettori non ortonormali e addirittura
ridondanti (ossia non linearmente indipendenti).
T
⎛u
⎞
1
⎜ ⎟
1: sia { u
i
| i = 1, L,
n} una base in R
n . Allora la matrice U = ⎜ M ⎟ è non singolare e ha inversa
⎜ T ⎟
⎝u
n ⎠
n
T T
V . Siano vi le colonne di V . Allora, per ogni z ∈ R , z = VUz = U V z , ossia
z = ∑ ( u
i
, z)
v
i
= ∑(
v
i
, z ) u
i
. Quindi in questo caso l’analisi e la sintesi sono realizzate con
ingredienti diversi. Si dice che { u } e sono basi biortogonali.
{ }
i
v i
u
i
, in R k , k

T
−1
T ~ T
abbia rango massimo. Allora G = U U è invertibile. Siano wi le colonne di G U ≡ U .
−1
T
Evidentemente z = ( G U ) Uz = ∑(
u
i
, z)
w
i
.
~ T ~ −1
T −1
−1
~ T ~ T ~
D’altra parte, U U = G U UG = G , e quindi z = GU Uz = U Uz = ∑(
w
i
, z)
u
i
.
Si vede quindi che, anche partendo da una famiglia ridondante di vettori, è possibile costruire una
procedura di analisi-sintesi, e che inoltre i vettori usati per l’analisi sono diversi da quelli usati per
la sintesi.
Inoltre, esistono 2 costanti positive A e B tali che
∑
2
2
A z ≤ ∑ ( z,
u
i
) ≤ B z .
( z,
u
i
) ⎛ ⎞
Per provarlo, si consideri il rapporto
,
2 ∑ ⎜
z
= ⎟
u
i
che, al variare di z , è una
z ⎝ z ⎠
n
funzione continua sulla sfera unitaria in R , e quindi è dotata di massimo e minimo assoluto.
Inoltre, se la matrice U ha rango n , i prodotti scalari z / z , u ) non possono essere tutti nulli per
(
i
nessuna z e di conseguenza il minimo della funzione deve essere strettamente positivo.
Quest’ultima osservazione è importante, perché garantisce che il vettore z è univocamente
determinato dai prodotti scalari {( z , u
i
)}. Infatti ( z
1,
u
i
) = ( z
2
, u
i
) ∀i
implica
2
∑ ( z
2
− z1,
u
i
) = 0 , e di conseguenza z
2
− z1
= 0 , da cui z
1
= z
2
.
In uno spazio di Hilbert H in dimensione infinita può al contrario accadere che, se si sceglie in
modo arbitrario una sequenza { u completa (ossia tale che ( f , ui ) = 0 ∀i
⇒ f = 0 ), il rapporto
∑
2
2
i
}
( f , ui ) / f abbia estremo inferiore nullo o estremo superiore infinito.
Ha quindi interesse prendere in considerazione quelle particolari sequenze { tali che
A
f
2
∑
2
2
≤ ( f , u ) ≤ B f per opportune costanti A,B. Una sequenza che verifica questa
proprietà è detta frame.
i
}
2
Le sequenze { a tali che ∑ a < ∞ costituiscono uno spazio lineare, detto l , che ha struttura
i
i
2
{ a }{ , } ∑ . Se { }
hilbertiana con prodotto scalare
i
bi
= aibi
u i
è un frame, l’operatore lineare
2
−1
U : H → l definito da Uf = ( f , u )} è limitato e iniettivo con inversa continua. U , tuttavia, non
{
i
2
2
è in generale definito su tutto l . Infatti, se gli u
i
sono linearmente dipendenti, ∃{ c n
} ∈ l tale che
∑ c u n
= 0 e quindi c ( f u ) f H
2
n ∑ n
,
n
= 0 ∀ ∈ , ossia { c n
} è ortogonale all’immagine di U in l .
−1
⊥
U può essere esteso in modo arbitrario al sottospazio ortogonale all’immagine di U, Im(
U ) ; in
~ −
particolare si definisce pseudo-inverso, U 1 2
−1
: l → H quell’estensione di U che è nulla su
⊥
Im(
U ) .
~ −1
Per trovare un’espressione esplicita di U in termini di U , si introduce ora l’operatore aggiunto
∗ 2
∗
U : l → H : f , U x = Uf , x ∀f
∈ . Esso è ben definito: infatti f a Uf , x è un funzionale
continuo:
( ) H
2 2
( ( f , ui
) ) 1/
x ≤ B f x
Uf , x = ∑(
f , ui
) xi
≤ ∑
,
e quindi, per il teorema di Riesz, ∃ y ∈ H : Uf , x = ( f , y)
. Inoltre y dipende linearmente da x e,
per di più,
y
= sup ( f , y)
= sup
f = 1
f = 1
Uf , x
≤
B
x
L’operatore U ∗ ∗
∗
U è invertibile, dato che U Uf = 0 ⇒ 0 = ( U Uf , f ) = Uf ≥ A f ⇒ f = 0 .
.
2
2
2
2
2
u i
}

~
∗ −
Si ha
− 1
= 1
U ( U U ) U
U
∗
x = 0 ⇒ ( U
U )
∗
−1
U
∗
∗
∗ −1
∗ ∗ −1
∗
⊥
: infatti, se x = Uf , ( U U ) U x = ( U U ) U Uf = f ; se x ∈ Im(
U ) ,
x = 0 .
u ~ ∗ 1
n
( U U )
−
∗
∗
= un
. Allora f , U x)
= Uf , x = ∑(
f , un
) xn
∀f
∈ H ⇒ U x = ∑
Si pone ora
( xnun
, e
∗ − ∗
∗ −
f = ( U U )
1
U Uf = ( U U )
1
∑ ( f , un
) un
=∑ ( f , un
) u~
n
. D’altra parte, poiché
( g , f ) = ~
∑(
f , un
)( g,
un
) , segue che g = ∑( g , u ~ ) u n n
. { u ~ n
} è detto frame duale.
2
2
1
2
Si può provare che è verificata la relazione
1 ( , ~ )
B
f ≤ ∑ f ui
≤
A
f .
Infine, se gli un
sono linearmente indipendenti, da u
k
= ∑ ( u
n k
, u~
n
) un
si ricava ( uk , u~
n
) = δ
kn
.
In conclusione, si sono trovate due espressioni che generalizzano, per i frame negli spazi di Hilbert,
gli sviluppi rispetto a basi biortogonali in dimensione finita. Naturalmente, dal punto di vista del
−1
calcolo, è necessario individuare una procedura per la determinazione esplicita di ( U ∗ U ) .
Questi risultati possono essere applicati nel contesto delle trasformate di Fourier a finestre o delle
wavelets in L 2 ( R)
. Si è visto che queste trasformate sono espresse in forma integrale, utilizzando
funzioni “di base” dipendenti da parametri che variano nel continuo: F
α
= ( f , uα
) . Si noti che il
termine “base” non è qui usato nello stesso senso in cui è stato introdotto per gli spazi di Hilbert, sta
semplicemente a indicare gli ingredienti fondamentali usati per la costruzione. Nella sintesi f viene
ricostruita a partire dai “coefficienti” F utilizzando ancora un’espressione integrale: f = F α
, v ) .
α
α
}
Se però è possibile estrarre da { un frame
∑
u { u }
i
(
α
, allora l’operazione di sintesi può essere
discretizzata: f F w i
, dove F = f , u ) . Gli elementi u non costituiscono necessariamente
=
i
i
( i
una base dello spazio di Hilbert, possono anche essere linearmente dipendenti, ma si ha
2
corrispondenza biunivoca e continua fra f e la sequenza { F
i
} ∈ l . In effetti, sia nel caso delle
trasformate di Fourier a finestre sia in quello delle wavelets sono stati trovati, con procedure
piuttosto laboriose, risultati riguardo all’estrazione di frame.
Nel caso delle wavelets è stata elaborata una procedura di discretizzazione seguendo una strada del
tutto diversa, che sarà illustrata nel seguito.
Multirisoluzione
La teoria generale delle wavelets è molto complessa e articolata; numerose soluzioni sono state
elaborate per affrontare problemi applicativi di diverso tipo, e sono contenute in diversi pacchetti
software.
Nel seguito viene esaminato un particolare tipo di percorso, che porta alla costruzione di una
famiglia di wavelets ortonormali, corrispondenti a traslazioni e a cambiamenti di scala discretizzati.
Wavelets di Haar
ϕ la funzione caratteristica dell’intervallo [ ,1[
Sia ( )
0
t
(dette funzioni di scala). Per j fissato, { }
i
j
⎛ − ⎞
0 e = − j / 2 t 2 k
ϕ
j , k
( t)
2 ϕ
0
⎜
⎟ , j,
k ∈ Z
j
⎝ 2 ⎠
ϕ k ∈ Z costituisce una famiglia ortonormale in
j , k
|
L ( ) , che genera un sottospazio vettoriale V j
⊂ L 2 ( R)
. Si verifica che
2 R
2
{} 0 , V L ( )
V
j + 1
⊂ V
j
, I V
j
= U
j
= R (ossia, l’unione dei V j è densa in L 2 ( R)
).
E’ interessante esaminare il complemento ortogonale (spazio delle wavelets a livello di
risoluzione j+1) di V in :
j+1
V
j j
= V
j+ 1
⊕W
j+
1
V .
A tale scopo, si consideri la decomposizione
W j+1

1
( ϕ ( t)
+ ϕ ( t)
) + ( ϕ ( t)
( ))
1
1
ϕ
j , 2k
( t)
=
j,2k
j,2k
+ 1
j,2k
− ϕ
j,2k
+ 1
t . Il primo addendo è ϕ
j + 1,
k
, mentre il
2
secondo si può scrivere come
2
1
ψ
2 j + 1,
k
, dove
j +1,
k
ortogonali fra loro e anche ortogonali a tutte le
Di conseguenza, ogni funzione di
funzione di
V
j+1
V j
e di una combinazione lineare delle
ψ sono funzioni normalizzate in L 2 ( R)
,
1
1
ϕ
j +1,h
. Analogamente,
j , 2k
+ 1
= ϕ
2 j+
1, k
− ψ
2 j+
1,
k
2
ϕ .
si può scrivere in modo univoco come somma di una
ψ
j +1,
k
. Quindi le
j +1,
k
ψ generano , e
pertanto costituiscono una base di wavelets a livello di risoluzione j+1.
j
In sostanza, le funzioni di , che sono costanti a tratti in intervalli di ampiezza 2 , ossia hanno
V j
j
“risoluzione” , si scrivono come somma di funzioni di , che hanno “risoluzione” 2 j+1
,
2 V j+ 1
quindi più grossolana, con funzioni di
W j+1
W j+1
, che rappresentano i “dettagli” necessari per raffinare
la risoluzione.
Data f ∈ L 2 ( R)
, la funzione ( , ϕ ϕ è la proiezione ortogonale di f in V ; facendo
∑
k
f
j, k
)
j,
k
tendere j a − ∞ si proietta in spazi sempre più grandi, aggiungendo dettagli che raffinano sempre
più la risoluzione.
L’analisi di f ∈ L 2 ( R)
basata su una struttura di spazi così organizzati è detta analisi
multirisoluzione.
NOTA: è importante osservare, in vista di quel che segue, che
∞
∫
−∞
ϕ ˆ (0) 1 , ( ) ˆ
0 ,
( t)
dt ≡ ϕ
0,
= ψ
,
t dt ≡ψ
,
(0) = 0
k
Generalizzazioni
k
∞
∫
−∞
j k
j k
Le wavelets di Haar (introdotte all’inizio del ‘900) consentono di analizzare una funzione
localmente (dato che sono a supporto compatto) in termini della risoluzione: è possibile
differenziale localmente la scelta della risoluzione, adottando una risoluzione più raffinata dove le
variazioni della funzione sono più rapide. Esse realizzano quindi qualcosa di simile a quanto
ottenuto con le funzioni
s, t
.
ψ precedentemente introdotte, con la differenza che, mentre i parametri
s , t variano nel continuo, i parametri j , k delle wavelets di Haar sono discreti, e le funzioni
costituiscono nel loro complesso una base ortonormale in L 2 ( R)
.
Si tratta ora di vedere se e come sia possibile generalizzare questo risultato ad altre famiglie di
funzioni con proprietà di regolarità più forti. Come si vedrà, si tratta di un obiettivo tutt’altro che
semplice.
In concreto, si vuole introdurre una funzione di scala madre
2
ϕ
0
( t)
∈ L ( R)
j
ψ
j, k
tale che, definite le
j
⎛ − ⎞
= − j / 2 t 2 k
ϕ
j , k
( t)
2 ϕ
0
⎜
⎟ , j,
k ∈ Z e gli spazi V
j
j
da esse generati, risulti, come per le wavelets
⎝ 2 ⎠
di Haar,
V
2
{} 0 , V L ( )
1
⊂ V
j
, I V
j
=
j
R . Inoltre si richiede che le ϕ
j, k
per j fissato siano
j +
U =
mutuamente ortogonali e normalizzate in L 2 ( R)
; si vuole poi introdurre una base ortonormale
ψ nel complemento ortogonale W di in . Si tratta di vedere quali condizioni
{ } j,k
debbano essere soddisfatte affinché si possa realizzare tale situazione.
j
V
j
V j− 1

In primo luogo
V
j+
1
⊂ V
j
⇒ ϕ
j+
1, h
( t)
= ∑ hkϕ
j,
k
( t)
(1a)
k
W
j+
1
⊂ V
j
⇒ ψ
j+
1, h
( t)
= ∑ g
kϕ
j,
k
( t)
(1b)
La (1a) implica in particolare
0
(
0,0 ∑ ∞ 0
k
−∞
ϕ t)
≡ ϕ ( t)
= 2 hkϕ
(2t
− ) .
Passando alla trasformata di Fourier si ottiene
ν
k
= 1
∑ − i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ˆ(
)
2 πk
ν ν
2
ϕ ν h ˆ⎜
⎟ ≡ ⎜ ⎟ ˆ⎜
ν
k
e ϕ H ϕ ⎟
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
(2)
k
⎠
1
Si noti che ≡ ∑ − i2πkν
H ( ν ) h k
e è periodica di periodo 1.
2
k
Dalla (2) segue immediatamente che, se ˆ ϕ (0) ≠ 0 , allora H ( 0) = 1.
Si introduce ora la condizione di ortonormalità. In particolare ( ϕ
0 ,0, ϕ
0,k
) = δ
0k
. Passando alle
trasformate di Fourier ed applicando l’identità di Parseval si ottiene
∞
∫
−∞
1
2 i2
k
i k
e π
∞
ν
2 2 ν
dν
= ∑∫|
ˆ( ϕ ν + ) | e
π dν
=
0k
l=−∞0
| ˆ( ϕ ν ) |
l δ ,
∑ ∞
l=
−∞
2
da cui segue | ˆ( ϕ ν + l)
| = 1. (3)
2
2
∞
2 ⎛ν
l ⎞ ⎛ν
l ⎞
| ˆ( l)
|
ˆ ⎟
⎠
∑
∑
D’altra parte ϕ ν + = H ⎜ + ⎟ ϕ⎜
+ . Separando nella sommatoria gli indici
l=−∞
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2
pari da quelli dispari e tenendo conto della periodicità di H si ottiene:
2
∞
2 ⎛ν
⎞ ⎛ν
⎞ ⎛ν
1 ⎞ ⎛ν
1 ⎞
∑|
ˆ( ϕ ν + l ) | = H⎜
⎟ ∑ ˆ ϕ⎜
+ j⎟
+ H⎜
+ ⎟ ∑ ˆ ϕ⎜
+ + j⎟ ,
l= −∞
⎝ 2 ⎠ j ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ j ⎝ 2 2 ⎠
da cui, tenendo conto della (3), si ricava
2
2
1
H ( ν ) + H ( ν + ) = 1
(4)
2
In particolare, essendo, come già visto, ( 0) = 1
2
2
H , ne segue ( ) 0
Ora, sia l un intero non nullo. Si può scrivere in sequenza
⎛ l ⎞ ⎛ l ⎞ ⎛ l ⎞ ⎛ l ⎞ ⎛ l ⎞
ˆ ϕ(
l ) = H ⎜ ⎟ ˆ ϕ⎜
⎟ = H⎜
⎟H⎜
⎟ ˆ ϕ⎜
⎟ = L ,
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
1
2
=
2
H .

e, dopo un numero finito di passaggi, si ottiene un argomento di H semi-intero. Di conseguenza,
ˆ ϕ ( l)
= 0 , l ≠ 0 intero , e, per la (3), ˆ ϕ (0) = 1 .
Ricapitolando, se si impone V
j+1 ⊂ V j
, ( ϕ
0 ,0, ϕ
0,k
) = δ
0k
e ˆ ϕ (0) ≠ 0 , ne consegue che devono
essere necessariamente verificate ˆ ϕ ( l)
= 0 , l ≠ 0 intero , ˆ ϕ (0) = 1 e le condizioni su H
conseguenti alla (4).
Per introdurre una base di wavelets, si definisce
ν
ν
i2π
+
ˆ ( ) ( +
1
i2π
( k 1)
2 ν ν 1
k 2 ν
ν H
2 2) ˆ( ϕ
2)
= ( −1)
h ˆ( ϕ
2
ke
2
ψ
∑
= e )
(5)
da cui, passando all’antitrasformata,
k
k + 1
ψ t)
2 ( −1)
h ϕ(2t
+ k + 1) = 2 ( −1)
h ϕ (2t
− ) (6).
∑
0
( =
k
−k
−1
0
k
0
( t)
ψ
0, 0
( t
∑
Da ψ ≡ ) vengono poi generate per traslazioni e cambiamenti di scala le ψ ( ) .
Naturalmente bisogna provare che le funzioni così costruite hanno le proprietà richieste, ossia che le
ψ per j fissato sono una base ortonormale per lo spazio tale che W ⊕V
= V .
j,k
,
= ,
,
Essenzialmente, bisogna verificare che (
j k j,
l
) (
j,
k j l
)
kl
j, k
t
W
j
j j j−1
ψ , ϕ 0 , ψ ψ = δ , cosa che può essere fatta
semplicemente con calcoli analoghi a quelli che hanno portato alla (3) e alla (4).
ESEMPIO: per la funzione di scala di Haar, essendo ϕ
0
( t)
= ϕ
0
(2t)
+ ϕ
0
(2t
−1)
, si ricava, usando
la (1a),
1
1 −i2πkν
1 −i2πν
h0 = h1
= , hi = 0 per i ≠ 0,1 , da cui H ( ν ) ≡ h
2
(1 )
2 ∑ ke
= + e .
2
2πν
1−
e −i
Inoltre, ˆ( ϕ ν ) = .
i2πν
I = U L 2 R .
Esaminiamo ora le implicazioni delle 2 condizioni V { 0} , V ( )
j j
=
La prima è certamente soddisfatta se
sup | f ( t)
| ≤ c f 2 ∀f
∈V
(7).
L R
(
)
0
j
Infatti, in tal caso, se g ∈ , posto f ( t)
g(2
t)
, si ha che f ∈V , e
V j
=
0
− j / 2
sup | g | = sup | f | ≤ c f = c ⋅ 2 g . Quindi, se g ∈ V
j
∀j
, allora necessariamente sup | g | = 0 .
La condizione (7) è certamente verificata se ∑ ϕ ( t − k < c
k
2
0
)
2
, il che è certamente vero se la
funzione ϕ
0
è limitata e a supporto compatto, dato che, in tal caso, il numero di addendi non nulli
non supera un certo numero finito indipendentemente da t .
Infatti
⎛ 2 ⎞ ⎛
2 ⎞
f ( t)
≤ ∑ f
k
ϕ
0
( t − k)
≤ ⎜∑
f
k
⎟ ⎜∑
ϕ
0
( t − k)
⎟ < c f .
k
⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠
1/ 2
Quanto alla seconda condizione, U V L 2 j
= ( R)
(completezza), poiché gli spazi diventano
sempre più grandi per
l’operatore di proiezione su V :
1/ 2
j → −∞ , essa è equivalente ad affermare che lim f = f , dove P è
j
=
∑
P
j
f ( f ,
j, k
) ϕ
j,
k
k
ϕ .
P j
j→−∞
V j
j

Si consideri il caso che ϕ
0
sia a supporto limitato, per esempio contenuto in [ 0 , M ], e si esamini,
come esempio particolare, la funzione caratteristica dell’intervallo 0,1
: f = χ . Evidentemente
[ [ [ 0,1[
l’esame di questo caso potrà dare luogo alla determinazione di condizioni necessarie.
Con questa scelta di f si ottiene:
− j
1
1
j
2 −k
= − j / 2
⎛ t − 2 k ⎞
− j / 2 j
j k ∫ϕ
j k
t dt = ∫ϕ
⎜ dt =
j
⎟ ∫
,
)
,
( ) 2
0
2 2 ϕ
0
( τ )
0
0
2
−k
( f , ϕ
dτ
≡ ck
(8).
⎝ ⎠
Posto ora
∞
∫
−∞
∞
0
( ∫ ϕ
0
( t)
dt = C
−∞
ϕ t)
dt = q ,
vuole studiare il limite per
, si esamina più dettagliatamente la (8); dato che si
j → −∞ , ci si può limitare a considerare valori di j negativi e grandi in
− j
valore assoluto, tali che 2 > M .
− j
Per k = 0,
L,2
− M l’intervallo di integrazione contiene il supporto di ϕ
0
, e di conseguenza
j / 2
2 − j
j 2
j
2
c = 2 q . Quindi, per questi valori di k , | ck | = (2 − M + 1)2 q = ( 1−
2 ( M −1)
) q , che,
k
per
2
j → −∞ , tende a q .
∑
− j
− j
Per k = −M
+1,
L,
−1
e per k = 2 − M + 1, L,2
−1
l’intervallo di integrazione contiene
parzialmente il supporto di
questi indici
∑
| c
k
ϕ
0
, e si può scrivere
2 j 2
| ≤ 2 C ⋅ 2( M −1)
, che tende a 0 per
− j
2
j / 2
∫
| c | ≤ 2 | ϕ ( t)
| dt = 2
k
0
j → −∞ .
0
j / 2
C
; quindi per
Per tutti gli altri indici k il supporto di ϕ
0
è disgiunto dall’intervallo di integrazione, e quindi
= 0 . Di conseguenza, sommando su tutti gli indici k , si ottiene
ck
2
2 2
lim Pj
f = lim ∑ | ck
| = q .
j→−∞
j→−∞
k
D’altra parte, poiché f = 1 , se si vuole che lim f = f , deve essere | q | = 1 , in accordo con
P j
j→−∞
quanto già ottenuto a seguito della (4), che però richiedeva di assumere q ≠ 0 , mentre qui non è
necessario fare questa ipotesi.
Sulla completezza ci si limita qui a queste considerazioni, ma è possibile provare che la condizione
q=1 è anche sufficiente per la completezza.
Costruzione di basi per una struttura multirisoluzione
1 −i2πν
Si è già visto che, per la funzione di scala di Haar ϕ
0
, si ha H ( ν ) = (1 + e ) ,
2πν
1−
e −i
ˆ( ϕ ν ) = .
i2πν
Per convoluzioni successive si costruisce ora la sequenza
ϕ
ϕ
(1)
( n)
( t)
=
( t)
=
( ϕ * ϕ )
( n−1)
( n)
n+
1
( ϕ * ϕ )(
t)
ˆ ϕ ( ν ) = ˆ( ϕ ν )
0
0
0
( t)
ˆ ϕ
(1)
( ν ) = ˆ( ϕ ν )
L ⇒ L
(9)
2
2

( n)
⎛ ⎛ν
⎞⎞
( n)
⎛ν
⎞
Dalla (2) si ottiene immediatamente, usando la (9), ˆ ϕ ( ν ) = ⎜ H ⎜ ⎟⎟
ˆ ϕ ⎜ ⎟ , ossia la (2) è
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠
⎝ 2 ⎠
( )
verificata anche per ˆ n
( n)
n+
1
i πν n 1 n
1 − 2 + 1 ⎛ + 1⎞
−i2πkν
ϕ , con H ( ν ) = H ( ν ) = [ e ]
2
(1 + ) = ∑ ⎜ ⎟e
.
n+
1
k 2 ⎝ k ⎠
Quest’ultima espressione fornisce direttamente i coefficienti della formula (1a).
(n)
Di conseguenza, se si utilizza ϕ come funzione di scala madre per la costruzione di spazi V
j
,
(n)
la condizione V
j+1 ⊂ V j
è verificata. La condizione I V j
= { 0}
segue dal fatto che ϕ è
(n)
h k
limitata a supporto compatto. Inoltre è ovviamente verificata la condizione
che è condizione sufficiente di completezza:
U V L 2 j
= ( R)
.
( )
2
Non è invece in generale verificata la condizione di ortonormalità | ˆ ϕ n ( ν + l)
| = 1.
( n)
2
E’ però facile verificare che 0 < A ≤ ∑|
ˆ ϕ ( ν + l)
| = ∑
∞
l=−∞
∑ ∞
l=
−∞
1−
e
i2π
( ν + l)
n+
1
−i2π
( ν + l)
(
ˆ ϕ
n)
2( n+
1)
∞
∫
−∞
( n)
(0) ≡ ϕ ( t)
dt = 1
≤ B . Infatti, da un
lato, ciascun addendo può essere maggiorato, uniformemente rispetto a ν , da un numero che, per
−2
1
| l |→ ∞ , tende a 0 come , dall’altro, si vede che, per − 1 ≤ν ≤ , la funzione ˆ ϕ ( ν ) si
l
2 2
mantiene più grande di una costante strettamente positiva, e, d’altra parte,
periodica di periodo 1, e quindi è sufficiente studiarla in un intervallo di ampiezza 1.
∑ ∞
l=
−∞
| ˆ( ϕ ν +
l)
|
2
è
~ )
( n
Si considerano ora le funzioni ϕ ( t)
definite da
∑ ∞
l=
−∞
verificano ˆ~ ( )
2
| ϕ n ( ν + l)
| = 1 .
ˆ~ ϕ
( n)
( ν ) =
ˆ ϕ
( n)
( ν )
( n)
2
( | ˆ ϕ ( ν l)
| ) 1/ 2
∑ +
, che certamente
( n)
Il punto cruciale è che gli spazi V generati dalle ( ) coincidono con quelli generati dalle
~ )
j, k
t
j
~ )
ϕ j , k
t
( n
( n
ϕ ( ) ottenute dalla funzione madre ϕ ( t)
antitrasformata di Fourier di ˆ~ ( )
ϕ n ( ν ) . Per
verificarlo, si osservi che, posto
−1/
2
2
n)
2
−i2πkν
( n)
2
( ∑|
ˆ ϕ ( ν + l ) | ) = ∑ a , ( ∑|
ˆ ϕ ( ν + ) | ) 1/
ke
l = ∑
b e
( −i2πkν
k
(entrambe le funzioni sono continue, limitate e periodiche di periodo 1, quindi sviluppabili in serie
di Fourier), si ottiene
ˆ~ (
ϕ
(
ˆ ϕ
n)
n)
( ν ) =
( ν ) =
∑
∑
a
k
e
b e
k
−i2πkν
−i2πkν
(
ˆ ϕ
ˆ~ (
ϕ
n)
n)
( ν )
( ν )
⇒ ~ (
ϕ
(
⇒ ϕ
n)
n)
( t)
=
( t)
=
∑
∑
(
akϕ
~ (
b ϕ
k
n)
n)
( t − k)
( t − k)
.
Quindi deve essere verificata una relazione del tipo
ˆ~ ϕ
1/ 2
( n)
2
~ ( n)
( ) ( ν
) ˆ~ ( n)
~
( )
( )
( ) ∑|
ˆ ϕ ( ν + l)
|
n
n
ν = H
2
ϕ (
2)
(con H ( ν ) = H ( ν )
) (10) ;
( n)
2
| ˆ ϕ (2ν
+ l)
|
1/
( n)
ν
( ) 2
∑

( n)
inoltre, essendo ˆ ϕ (0) ≠ 0 , deve essere anche ˆ~ ( n)
ϕ (0) ≠ 0 . Di conseguenza, si può utilizzare lo
stesso percorso seguito in precedenza per arrivare a concludere che deve essere ˆ~ ( n)
ϕ (0) = 1 ,
condizione di completezza.
Quindi, partendo dalla funzione di scala di Haar, si è generata per convoluzione, e con le
manipolazioni sopra illustrate, una sequenza di funzioni di scala, che poi vengono utilizzate per
costruire spazi di wavelets multirisoluzione generati da basi ortonormali definite da formule
analoghe alla (5) e alla (6).
( )
Per esaminare più in dettaglio il comportamento delle wavelets ψ
j,
k
, si osservi che, per la (5),
ˆ~ ( n)
~ ( n)
1
(0) ( ) ˆ~ ( n)
~ ( )
ψ = H
2
ϕ (0) , e che, per la (10), H n è infinitesima dello stesso ordine di
( n)
n+
1
H ≡ H , ossia di ordine n+1 , per → 1
( )
ν
2
. Di conseguenza, ˆ~ n
ψ è nullo per ν = 0 con le
sue derivate fino all’ordine n , e quindi
wavelet ψ che gode di questa proprietà, e tale che inoltre
∫ ∞ −∞
~ n)
k (
t ψ
~ n
( t)
dt = 0 per k = 0, L,
n . Si dice che una
∫ ∞ −∞
+ 1
t n
ψ ( t)
dt ≠ 0
, è di ordine n+1.
L’importanza dell’ordine di una wavelet nasce dal fatto che ad esso è legata la rapidità di
decadimento dei coefficienti
~ f ( j,
k)
= f ( t)
ψ ( t dt quando j → −∞ (ossia quando la
∫ ∞ −∞
j . k
)
risoluzione diventa sempre più fine, il che è l’analogo del caso in cui la frequenza tende ad infinito
per la trasformata di Fourier).
Più precisamente, vale il seguente risultato: se la wavelet è di ordine N ed ha supporto limitato, e la
funzione f è continua con le sue derivate fino all’ordine r , rr , la sommatoria è nulla, e l’ordine di infinitesimo di A dipende
dall’ordine di infinitesimo del resto di Taylor e dal fatto che l’ampiezza dell’intervallo di
j
integrazione dipende dal supporto di ψ
j, 0
, la cui ampiezza è di ordine 2 .
ESEMPIO: Usando la wavelet di Haar, che è di ordine 1 , si verifica che l’ordine di infinitesimo dei
coefficienti della funzione
⎧t
per 0 ≤ t < 1/ 3
f ( t)
= ⎨
⎩t
−1
per 1/ 3 ≤ t ≤ 1
è diverso a seconda che t=1/3 appartenga
o no al supporto di ψ
j,k
.
( )
In questo caso = − j / 2
ψ
j, k
2 χ j j
] 2 ,2 ( 1/ 2) ] − χ j
j
l l+
] 2 ( l+
1/ 2),2 ( l + 1) ] .
j j
2 l,2
( l + 1) , f (t) è continua nell’intervallo, e si può scrivere
Se 1/3 non appartiene a ] ]

∫ f ( t)
ψ
j , k
( t)
dt = ∫(
f ( t)
− f ( t0
)) ψ
j,
k
( t)
dt + f ( t0
) ∫ψ
j,
k
( t)
dt = ∫ ( t − t0
) ψ
j,
k
( t)
dt
j
(dove t0 = 2 ( l + 1/ 2) ), dato che ∫ ψ
j, k
( t)
dt = 0 . E’ facile verificare con il calcolo diretto che
− j / 2 2 j (3 / 2)
j
l’integrale ha ordine di infinitesimo 2 ⋅ 2 = 2 .
Se invece il supporto di ψ contiene il punto di discontinuità 1/3, l’integrale ha ordine di
j, k
− j / 2 j j / 2
infinitesimo 2 ⋅ 2 = 2 .
NOTA: Il procedimento che porta a costruire per successive convoluzioni, partendo dalla wavelet di
Haar, wavelets di ordine sempre più elevato dà luogo a funzioni di cui non è nota l’espressione
analitica esplicita (wavelets di Daubechies); la possibilità di usarle in pratica è quindi legata
soprattutto alla costruzione di un software per l’analisi e la sintesi con metodi numerici appropriati.