1 - Ordine degli Ingegneri della provincia di Roma

1. GENERALITÀ
Cause determinanti la vibrazione di una struttura sono:
- SISMA
- VENTO
- URTO
- CARICO APPLICATO O TOLTO NON STATICAMENTE
- SCOSCENDIMENTO SUBITANEO DELLA FONDAZIONE
- FUNZIONAMENTO DI UNA MACCHINA NON EQUILIBRATA
- CARICO VIAGGIANTE
- ECC.
Lo spettro di risposta elastico
2
(T ) l / t (formula 3.2.4 NTC pag 31 GU) dipende
S e [ ]
dal periodo fondamentale della vibrazione armonica che si indica con T.
Non sono necessari apici o pedici, esso è il periodo più grande dei modi principali di
vibrazione di una struttura a più gradi di libertà ( in numero finito).
Per la valutazione dell’azione sismica, si ritiene utile applicare tutte le formule
approssimate di T esistenti in letteratura e nelle norme tecniche superate, in aggiunta
a quella fornita dalle NTC vigenti ( formula 7.3.5. pag. 248 GU).
Usando tali formula approssimate, si potrà procedere ad esempio come segue:
- considerare la media aritmetica dei valori di T;
- scartare il minimo e il massimo valore trovato e considerare la media
aritmetica dei restanti valori di T
- considerare una media pesata secondo l’affidabilità che, soggettivamente, si
attribuisce alle varie formule, anche in vista delle particolari caratteristiche
della struttura.
Quanto sopra, a giudizio dello scrivente, costituisce un calcolo più dettagliato di T
( NTC p.to 7.3.3.2 pag 248 GU).
In sismi con scosse di durata 20 ÷ 40 s, si sono riscontrati periodi 0 ,05 ÷ 5s
( scosse ondulatorie)-[4]. Una struttura si considera molto deformabile se T > 2s ;
secondo le NTC la risposta normalizzata può essere utilizzata per periodi T ≤ 4s .
Negli atri casi occorre procedere con analisi diversa da quella statica lineare. ( p.to
3.2.3.2 pag 31 GU).
1

Si riportano i classici teoremi di Lord Rayleigh ( 1842 – 1919) sulle vibrazioni
armoniche:
a. aumentando la massa ( inerzia), aumenta T;
b. aumentando i vincoli, NON può aumentare T ( in genere diminuisce);
c. aumentando l’energia somministrata, il periodo diminuisce ( o almeno non
aumenta);
Infine a seguito di plasticizzazioni, il periodo T aumenta NTC p.to 3.2.3.5 pag 34
GU).
Le armoniche sono le prima a smorzarsi perché dissipano maggiore energia. Resta la
fondamentale che si smorza per ultima. [1].
Per un elemento strutturale sottoposto anche a sforzo normale, si ha:
T diminuisce per N di trazione
T aumenta per N di compressione [1]
Una stessa costruzione ha periodi diversi con fondazioni su terreno (dirette) rispetto a
fondazioni su pali ( indirette). Per le fondazioni su pali il periodo è maggiore.
2. TELAIO A PORTALE SEMPLICE MONOPIANO ( VIBRATORE
ELEMENTARE)
- Traverso infinitamente rigido ( rispetto ai montanti ) ≡ SHEAR – TIPE
- Assenza di smorzamento interno dei montanti ( caso teorico, ma significativo;
- Assenza di forzanti esterne.
- Sistema a 1 GL ( l’impiego del modello a 1 GL è giustificabile se i periodi delle
armoniche successive sono < 1s
) [3].
per F = W si ha:
δst
T = 2 π
1
g
π
ω =
2 pulsazione[rad/s]
T
1 ω
= =
T 2π
periodo proprio
di vibrazione
armonica di Eq
••
x+
ω
f frequenza [vibraz/s] -Hertz
2
x = 0
1 È una delle formule più “strabilianti” che si incontra nella SdC.. lo spostamento (in campo elastico) della
struttura è legato al periodo T di vibrazione armonica, in assenza di smorzamento e forza.
2

k = cos tan te elastica del montan te
2
( di massa trascurabile )
ω 2
=
k
M
M
=
W
g
= massa
del trasverso( o impalcato )
quando la massa M è spostata dalla posizione di riposo
l’applicazione di una forza
•
••
⎛
⎞
⎜ x = 0;
x = 0 ⇒ x = 0⎟
⎝
⎠
F = W (peso del traverso) in modo quasi statico,
restando, per lo spostamento δ st , in campo elastico con montanti di costante
ha il moto armonico libero o naturale di periodo T.
Tutto ciò cessa per le immancabili resistenze passive nei montanti.
Nel caso di sisma, si assume
per
k , si
2
F = ĉW
con ĉ=coefficiente sismico “grezzo” ( vedi
NTC 2008) ⇒ Analisi Statica Lineare o METODO DELLE FORZE LATERALI
PER LA COMPONENTE ORIZZONTALE DEL SISMA.
2.1 Applicazione numerica – Determinazione del periodo T
DATI:
5 2
- Telaio in c.a. normale E = 3⋅10
kg / cm
- Pilastri 30x30 I = 67.
500cm
h = 3.
0m
ĉ = 0, 1
2
- W = 1000kg
/ m ⋅ 6.
0m
⋅5.
0m
= 30.
000kg
⇒ F = ĉW = 3t
- Piede incastrato e Piede incernierato
4
ψ
Fh
m = (vedi metodo MAR - Telai
4
a trasversi " rigidi")
2 m 2 Fh ⋅ h
= h =
3 4EI
3 4 ⋅ 4EI
δ
st
=ψh
=
1
24
Fh
EI
3
3

nel caso di cerniera al piede, si ha
δ
st
1 Fh
=ψh
=
6 EI
3
0,08 s
0,16 s
Essendo T
Si ricava T
Con
3
Fh ĉMh
= 2π
= 2π
F = ĉMg
24gEI
24EI
= 2 π
ĉM
k
EI
2
EA g
k = 24 ( costante elastica dei montanti con incastro al piede) = 24
h
3
2
h h
EI
2
EA g
k = 6 ( costante elastica dei montanti con cerniera al piede)= 6
h
3
2
In questo caso particolare T dipende da
zona 1 perché aumenta ĉ.
3
3
h
2
. Inoltre T aumenta passando da zona 4 a
La presenza dello sforzo normale di compressione nei montanti produce anche un
aumento di T.
Il coefficiente c ˆ imposto dalla NTC, essendo
ĉ
S
(T )
g
T < 2T c T < T o )
Sd
(T )
F = W , vale:
g
d
= ( ) ( ( costruzione regolare in elevazione)
h
h
4

L’espressione di
S d
q
(T )
è una delle 3.2.4 ( NTC p.to 3.2.3.2.1 pg 31 GU) nelle quali
si sostituisce η con
1 ( q fattore di struttura ). La formula da scegliere dipende da T.
Eseguendo i calcoli si possono confrontare le due formule:
( incastro al piede )
3
S (T )Wh
3
d
4
T = 2π
e T = 0,075h
= 0, 17s
24EI
A differenza dell’applicazione numerica riportata, l’espressione di
S d (T )
dipende
da:
- a g = accelerazione orizzontale max su sito rigido orizzontale;
- S = coefficiente di sottosuolo e topografico
- F o = fattore di amplificazione
- T ;T ;T ;T periodi (NTC 3.2.3.2.1 pag 31 GU)
g c d =
3. FORMULE APPROSSIMATE DEL PERIODO T DI STRUTTURE
EDILIZIE ( IN ORDINE CRONOLOGICO)
a. FORMULA DI LORD RAYLEIGH ( 1842 – 1919)
T
=
π
g
∑i
∑
2
2
Fi
d
2 4 i
2
i
i
F d
i
i
F =
F = forza statica orizzontale al piano i
W i = peso al piano i
i
S
d
(T )
W
g
( norme sismiche superate indicano W i = Gi
+ sQi
con
i
2 Ai fini della determinazione di T, si ritiene NON debba applicarsi il coefficiente di piano γ i . La formula di Lord
Rayleigh non contiene lo smorzamento.
5

⎧abitazioni
= 0,
33
⎪
s = ⎨uffici,ecc
= 0,
5
⎪
⎩depositi
= 1
in occasione del sisma NON sempre tutti gli impalcati sono a pieno carico)
d i = spostamento del piano i ( totale )
( formula riportata anche su CNR 10012-85 – Azioni sulle costruzioni pg 81)
b. FORMULA USCGS ( United States Coast and Geodetic Survey -1949)
T 0, 11
H
B
= H, B (m) T (s)
Questa formula è riportata anche nel DM LLPP 24.1.1986 (P.TO C.6.1.1.) per edifici
con struttura intelaiata. Il coefficiente vale 0,1
SISMA
6

c. Nomogramma ASCE ( American society of Civil Engineers )
T = f ( H ,B ) H, B (m) T(s)
il nomogramma fornisce anche il valore del coefficiente sismico c.
limitazioni:
H ≤ 150m
Esempio
B ≤ 60m
B = 20m, H = 30m; T=0,75s, c = 0,02
0 , 01 ≤ c ≤ 0,
0885
( linea tratteggiata)
7

d. FORMULA DI M. TAKEUCHI ( 1960)
1
T = [ 4 + H ( 1−
4γ)
] ( s )
m
H = altezza (m)
lunghezza di tutti i muri ai var i piani (m)
γ = densità murale =
2
Σaree di tutti i piani (m )
m = numero variabile tra 50 e 80
e. FORMULA DI ARIAS – MUSID ( 1962)
0,
71 1
0 14
T = 0,
024H
⋅ ( s )
,
γ
Struttura in c.a. H = altezza (m)
γ = densità murale
f. FORMULA DI G.W. HOUSNER ( 1962)
T = 0,1N
( s)
N = numero dei piani dell’edificio
- ossatura in acciaio
- muratura in laterizio
- solai in c.a.
g. CIRCOLARE LL.PP. 24.5.1982 n. 22631 ( Istruzioni Carichi e
sovraccarichi…..) p.to 3.4.4.3.
- Edifici in muratura
T
= 0 , 06
H
B
2H
2B
+ H
- Edifici con Controventi
formati da pareti in c.a.
T
= 0 , 08
H
B
H
B + H
- Edifici intelaiati in c.a.
T = 0,
09
H
B
H
- Edifici intelaiati in acciaio T = 0,
08
B
(Stesse unità di misura e significato dei materiali )
8

h. FORMULA DI FONTE IMPRECISATA
T = 0 , 2 ÷ 0,
25
H
B
i. NUOVO COLOMBO ( Manuale dell’Ingegnere) ( 1997) pag E257.
Strutture con massa distribuita uniformemente lungo l’altezza ( Prismi e cilindri a
sezione costante ⇒ torri, ciminiere, ecc.)
T
= 1,97
H
2
p
gEI
p = peso per unità di altezza (t/m)
E = modulo del materiale ( t /m 2 )
I = momento di inerzia della sez ione ( m 4 )
H = altezza
(m)
2
g = 10m
/ s
j. ORDINANZA PCM del 20.3.2003 (pa g 162 GU) e NTC 2008 ( pg 248 GU)
- costruzioni civili e industriali H ≤ 40m;
- massa approx distribuita lungo l’altezza;
- regolare in altezza ( NTC2008 pto 7.2.2. pg 239 GU)
- T ≤ 2,
5 ; T < T ; Analisi lineare Statica;
T c
d
3
4
l. Formula di Goel e altri ( 1997) [5]
0,9
T = 0,53H
a g
< 0, 15g
T = C 1 H
H(m); T(s)
9

0,9
T = 0,047H
a g
> 0, 15g
m. Eurocodice 8 – UNI ENV 1998 -1-2 (1997) ( pag 24)
per strutture con pareti a taglio il valore del coefficiente ( vedi NTC 2008) può
essere calcolato con
C
1 =
0,075
2
⎡ ⎛ l ⎞ ⎤
A = ∑ ⎢0,2
+ ⎜ wi ⎟ ⎥
C
Ai
⎢
⎥
⎣ ⎝ H ⎠ ⎦
A = area delle pareti a taglio al 1° piano ( m 2 )
C
A C
A
i
= area della sezione della parete a taglio al 1° piano ( m 2 )
l
wi = lunghezza della i-esima parete a taglio al 1° piano nella direzione della forza sismica ( m)
l
( limitazione: w
≤ 0, 9 )
H
n. EUROCODICE 8 – UNI ENV 1998 -1-2 ( 1997) ( pag 24)
T
= 2π
d
g
d = spostamento laterale dell’impalcato più alto dovuto ai pesi proprio applicati
orizzontalmente
C 1
o. CROWLEY e altri (2006)
T = 0,038H campo elastico⎫
⎬edifici
T = 0,
055H " plastico ⎭
tamponati
p. RICCI ed altri
0,
86
T = 0,
026H
⎫
⎬edifici in c.a.
T = 0,
055N
⎭
tamponati
la determinazione di T dovrebbe essere spinta a 2 decimali ( = centesimo al secondo)
∗
T c
come è fornito ( ALL B. NTC pag 440).
4. TELEAI A IMPALCATI ( TRASVERSI) “RIGIDI” (applicazione della f di
LORD RAYLEIGH)
GL = N = numero di piani
10

(N=2 in figura) - Wi = cost = W ⇒ Fi
= F
- h i = cost = h altezza di piano
in figura: 2 pilastri uguali
Dal MAR per telai si ha: 3
m
i
=
N
∑
i
2n
F h
i
pil
i
Se i pilastri sono diversi
m
i
=
ΣF h
i
2
i
R
j
ΣR
j
3 Metodo degli angoli di rotazione- Telai a traversi “rigidi”- Pilastri uguali o diversi
11

R
j
⎛ EI ⎞
⎜ ⎟
⎝ h ⎠
= del pilastro di piano j ( l’elemento più “rigido” ha un momento maggiore).
Vale la
m
j
3
= ψ
i
(metodo MAR)
2
i
K i
Spostamento di piano di
d1 = ψ1h
d2 = ψ1h
+ ψ 2 h
d3 = ψ1h
+ ψ2h+
ψ 3
h
K
i
⎛ EI ⎞
= ⎜
4 ⎟
⎝ h ⎠
m
m
m
1
2
3
i
3Fh
= 2 ⋅
n pil
2Fh
= 2 ⋅
n pil
Fh
= 2 ⋅
n pil
Calcolo
ψ
ψ
ψ
1
2
3
=
=
=
2
3
2
3
2
3
ψi
h 3Fh
=
4EI
2n
4
4
h
EI
h
EI
d i
calcolo di :
p
2Fh
2n
p
Fh
2n
p
2
Fh
4EIn
p
2
Fh
=
6EIn
p
2
Fh
=
12EIIu
= 3Z
= 2Z
p
= Z
d1 =ψ
1h
= 3Zh
d
2
= ψ
1h
+ ψ
2h
= 3Zh
+ 2Zh
= 5Zh
d = ψ h + ψ h + ψ h = 3Zh
+ 2Zh
+ Zh 6Zh
3 1 2 3
=
∑ i
∑
T
i
d
d
2
i
i
=
2 2 2
( 3 + 5 + 6 )
( 3 + 5 + 6)
2
Z h
Zh
2
=
70
Zh = 5Zh
14
avendo posto:
2 2 2
4π
FΣd
i 4
= = 5Zh
( formula di Lord Rayleigh ) ⇒ T
g FΣd
g
2 π
i
2
Fh
Z =
12EIn
numero puro
p
5. APPLICAZIONE NUMERICA – Telaio a 3 impalcati in c.a ( struttura in
campo elastico da verificare):
12

DATI:
2
q = 1.
000kg
/ m
2
A = 6.
0x5.
0 = 30m
W = qA = 30.
000kg
F = ĉW = 0 , 1⋅
30.
000 = 3.
000kg
=
pilastri(40x40) = n
pil
2 ;
5 kg
E = 3⋅10
2
cm
4
40
4 4
I = = 21,3 ⋅10
cm
12
2
3 4
Fh 3⋅10
⋅ 9 ⋅10
Z = =
5
12EIn
pil 12 ⋅3⋅10
⋅ 21,3 ⋅10
4
= 17,6 ⋅10
⋅ 2
−5
⋅
4π
4π
⋅5⋅17,6
⋅10
g
10
Confronto con altre formule:
⋅300
2
2
−5
2
T = 5zh
=
=
3
0,01s
2
⇒
T = 0, 10
s
FORMULA USCGS
Nomogramma ASCE
(fuori scala )
HOUSNER
CIRCOLARE
LL.PP./1982
Fonte imprecisata
NTC
GOEL
CROWELL
RICCI
9
T = 0 ,11 = 0, 40s
6
T ≈ 0, 4s
T = 0 ,1 ⋅ 3 = 0, 3s
9
T = 0 ,09 = 0, 33s
6
9
T = 0 ,225 = 0, 34s
6
4
T = 0,075
⋅ 9 = 0, 39s
0,9
T = 0,050⋅9
= 0, 36s
T = 0 ,038H
= 0, 34s
0,86
T = 0,026⋅
H = 0, 17s
3
13

6. OSSERVAZIONE FINALE
La formula di Lord Rayleigh e quella del “vibratore elementare” considerano il
periodo della vibrazione libera o naturale della struttura, cioè senza l’immancabile
smorzamento in seno al materiale, che fortunatamente c’è sempre.
Le formule approssimate proposte, esclusa quella del “NUOVO COLOMBO” per le
torri, ciminiere, ecc. sono di natura pratica e quindi, presumibilmente, tengono conto
nel loro empirismo anche dello smorzamento strutturale, non disgiunto dalle altre
circostanze che influiscono sul periodo T.
14

BIBLIOGRAFIA
[1] O. BELLUZZI – Scienza delle Costruzioni – Ed. Zanichelli (BO)
Cap.XXXIV – Le vibrazioni.
[2] E.PERRI – Ingegneria Antisismica – Ed. UTET (TO) 2 a ed.
Cap. XVII – La libera vibrazione di una struttura.
[3] A.CASTIGLIONI – Iintroduzione alla Dinamica delle Strutture – Ed. Tamburini (MI)
[4] E.GIANGRECO – Ingegneria delle Strutture – Ed. UTET (TO)
vol. II – Cap VIII – La dinamica Strutturale di G.FAELLA e. R. RAMASCO
[5] P. RICCI, G.M. VERDERAME, G. MANFREDI - Il periodo elastico degli edifici in c.a.
tamponati – Università di Napoli ( 2009)
-----------------
NTC – MINISTERO DELLE INFRASTRUTTURE – DECRETO 14.1.2008
Approvazione delle nuove norme tecniche per le Costruzioni.
CIRCOLARE 2.2.2009 n. 617 CSLLPP – Istruzioni… NTC 2008
Pubblicazione : ⇒ NTC 2008 ⇒ S.O. ALLA G.U. N.29 DEL 4.2.2008 (N..30)
CIRCOLARE
⇒
S.O. alla G.U. n: 47 del 26.2.2009 ( N.27)
----------------
15