Sedimentazione libera.pdf - Ingegneria Sanitaria Ambientale

CORSO DI INGEGNERIA SANITARIA – AMBIENTALE – Prof. Piero Sirini (A.A. 2010-11)
Sedimentazione libera
SEDIMENTAZIONE LIBERA
La sedimentazione rappresenta la più importante operazione unitaria utilizzata nel
settore dell’Ingegneria Sanitaria – Ambientale. La maggior parte dei processi di
trattamento dei fluidi include infatti quasi sempre tale tecnica di separazione, ed anche
da un punto di vista storico la sedimentazione può ritenersi il primo trattamento
utilizzato per la rimozione dei solidi contenuti nelle acque. Va osservato però come si
possano riconoscere in natura meccanismi diversi di sedimentazione in relazione alla
natura delle particelle solide e della loro concentrazione all’interno di un fluido. Si ha in
tal modo, in relazione al diverso comportamento delle sospensioni da trattare, la
necessità di sviluppare teorie diverse che consentano il successivo dimensionamento
delle unità preposte alla rimozione dei solidi. Nel presente paragrafo, verranno dunque
considerate le basi teoriche per la comprensione del meccanismo di sedimentazione di
particelle isolate, utile al fine del dimensionamento del comparto di dissabbiatura.
La sedimentazione di particelle isolate, detta anche sedimentazione libera o di tipo I,
riguarda particelle in grado di sedimentare all’interno di un mezzo fluido sotto l’azione
della forza peso, senza che vi sia alcuna interazione tra le singole particelle. In pratica
ogni particella sedimenta all’interno del fluido come se fosse da sola e senza interferire
in alcun modo sul moto delle particelle limitrofe. Tale schematizzazione risulta nella
pratica ingegneristica applicabile ad alcune unità di separazione come i dissabbiatori
degli impianti di trattamento delle acque, ai separatori utilizzati negli impianti per la
rimozione del particolato solido contenuto negli effluenti gassosi, ecc.
La trattazione analitica del problema può essere impostata considerando una particella
immersa in un mezzo continuo densità ρ f in quiete; in tal caso le forze agenti sulla
particella in moto risultano, oltre al peso proprio P, anche la spinta di Archimede S
(detta anche spinta di galleggiamento) e la forza di resistenza F D , come mostrato in
Figura 4.4-3.
1
S = ρ
f ⋅ g
⋅
V
A
P = ρ
s ⋅
g
⋅
V
2
v
F
= C
D
( Re
)
⋅
A
⋅
ρ
f
⋅
2
FIGURA 4.4-3
Forze agenti su una particella immersa in un fluido in quiete.
Assumendo un asse z positivo diretto verso il basso, il secondo principio della dinamica
porge:
d v
P − S − FD = m
d t
(4.4-5)
L’espressione della forza di resistenza F D può essere posta proporzionale, attraverso un
coefficiente di resistenza C D , funzione a sua volta del numero di Reynolds Re, all’area A
della sezione trasversale che si oppone al moto, alla densità ρ f del fluido ed al quadrato
della velocità relativa v fluido - particella, secondo l’espressione:
F
D
2
v
= CD(Re)
⋅ ρ f ⋅ A
(4.4-6)
2
dove il coefficiente C D , assumendo per la particella la forma sferica, risulta a sua volta,
per valori del numero di Reynolds inferiori a 10 4 , dall’espressione:

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24 3
C D (Re) = + + 0.34
(4.4-7)
Re Re
Annullando il secondo membro della Relazione (4.4-5) e sostituendo a P ed S le relative
espressioni, si ha:
ρ gV − ρ gV = C
s
f
D
2
v
2
( Re) ρ A
da cui risulta possibile determinare il valore della velocità limite di sedimentazione che
risulta:
v =
( ρ − ρ )
2gV s f
CDρ
f A
che nel caso di particelle sferiche, essendo il rapporto V A= 2D 3 , risulta (formula di
Newton):
( ρ − ρ )
f
4 g s f D
v = (4.4-8)
3 CDρ
f
La Relazione (4.4-6) non consente di ricavare direttamente il valore della velocità limite
di sedimentazione poiché il coefficiente C D dipende a sua volta, a mezzo del numero di
Reynolds (adimensionale) da v, in quanto:
φ
ρ
φ ⋅ v ⋅ D ⋅ v ⋅ D ⋅ f
Re = =
(4.4-9)
ν f µ f
con:
µ f , viscosità cinematica, [N·s/m 2 ]
D, dimensione caratteristica (ovvero il diametro nel caso di particella sferica), [m]
ρ f , densità del fluido, [kg/m 3 ]
ρ f , viscosità dinamica del fluido, [kg/m 3 ]
φ, fattore di forma, che tiene conto delle irregolarità della particella, [adim]
In Appendice E sono riportati le proprietà fisiche dell’acqua al variare della
temperatura.
Il valore della velocità limite di sedimentazione può essere dunque ricavato per
iterazioni successive, così come mostrato nell’Esercizio 4.4-2.
Per valori del numero di Reynolds minori di 0.3 (regime laminare), gli ultimi due
addendi della Relazione (4.4-7) incidono percentualmente sul valore di C D per meno del
7%, sicché si può porre in queste condizioni:
24
C D (Re) ≈
Re
che sostituita nella Relazione (4.4-8) consente di ottenere direttamente il valore della
velocità limite di sedimentazione, ovvero (formula di Stokes):
2
1 ( ρs
− ρ f ) ⋅ D
v = g
(4.4-10)
18 µ f
con ovvio significato dei simboli.
2

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PROBLEMA 4.4 – 2
3
Si calcoli la velocità limite di sedimentazione di una particella avente le seguenti
caratteristiche:
diametro:
D = 420 [µm]
densità del solido: ρ s (@20°C) = 2600 [kg/m 3 ]
fattore di forma:
φ = 0.85 [adim]
e che sedimenti in acqua alla temperatura T = 20°C, a cui corrispondono i seguenti
valori per il peso specifico e la viscosità dinamica e cinematica (cfr. Appendice F):
peso specifico dell’acqua: ρ w (@20°C) = 998.2 [kg/m 3 ]
viscosità dinamica dell’acqua: µ w (@20°C) = 1.002×10 -3 [N·s/m 2 ]
viscosità cinematica dell’acqua: ν w (@20°C) = 1.003×10 -6 [m 2 /s]
SOLUZIONE
Applicando la Relazione (4.4-10) per calcolare la velocità limite di sedimentazione
secondo Stokes, si ha:
v =
1
18
g
2
−6
( ρs − ρw) ⋅ D 1 ( 2600 − 998.2) ⋅ ( 420 × 10 )
= 9.81
= 0.154[ m / s ]
µ 18
−3
w
1.002 × 10
È necessario tuttavia verificare se le ipotesi poste a base della stessa relazione risultino
verificate, ovvero se il regime di moto risulta laminare. Nel caso esaminato, dalla
Relazione (4.4-9) si ha:
2
−6
vD 0.154 ⋅ 420 × 10
Re = φ = 0.85
ν
−6
w 1.003 × 10
= 54.814
( > 0.3 )
da cui risulta evidente come l’ipotesi di regime laminare non sia verificata.
Per il calcolo della velocità limite di sedimentazione è necessario allora applicare
iterativamente la Relazione (4.4-8) fino a convergenza del risultato. Quale valore di
primo tentativo v (1) si può ad esempio assumere il valore di velocità precedentemente
ricavato, da cui, attraverso il numero di Reynolds ad esso associato Re (1) , è possibile
determinare il valore di primo tentativo del coefficiente di resistenza C D mediante la
Relazione (4.4-7):
C 1)
24 3
24 3
= + + 0.34 = + + 0.34 1.183 ,
Re Re 54.814 54.814
( D =
noto il quale si può determinare un valore di secondo tentativo v (2) della velocità di
sedimentazione utilizzando l’espressione di Newton:
v
( 2 )
=
4
3
g
( ρ − ρ ) D 4 9.81⋅
( 2600 − 998.2)
s
C
ρ
w
=
3
⋅ 420 × 10
1.183 ⋅ 998.2
−6
= 0.086[ m / s ]
D w
Dalla relazione precedente discende che i valori di secondo tentativo del numero di
Reynolds e del coefficiente di resistenza risultano:
Re (2) = 30.610
C D (2) = 1.666
Noto C D (2) , è possibile poi calcolare un nuovo valore v (3) della velocità, procedendo
iterativamente come indicato, fino al raggiungimento della condizione:
|v (j+1) - v (j) | < ε,
essendo ε un valore piccolo a piacere assegnato.
In definitiva, si ottiene che il valore della velocità di sedimentazione per la quale il
procedimento indicato giunge a convergenza si ottiene dopo nove iterazioni, così come
riportato nella successiva Tabella 4.4-1:

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TABELLA4.4-1
Riepilogo dei calcoli eseguiti per la determinazione della velocità limite di sedimentazione.
Dati
Diametro della particella, D 420.00 [µm]
Densità del fluido, ρ w(@20°C) 998.20 [kg/m 3 ]
Viscosità dinamica del fluido, µ w(@20°C) 1.002E-03 [Ns/m 2 ]
Fattore di forma della particella, φ 0.85 [adim.]
Densità del solido, ρ s(@20°C) 2600.00 [kg/m 3 ]
Limite prefissato, ε 0.00001 [m/s]
Risultati
Volume della particella 3.879E-11 [m 3 ]
Peso della particella 1.009E-07 [kg]
v L (Stokes) di primo tentativo 0.154 [m/s]
v L (Stokes) di primo tentativo 9.22 [m/min]
Iterazione v (j) Re C D(Re) v (j+1) ε
[m/s] [adim.] [adim] [m/s] [m/s]
1 0.154 54.658 1.185 0.086 0.067431
2 0.086 30.676 1.664 0.073 0.013470
3 0.073 25.886 1.857 0.069 0.003882
4 0.069 24.505 1.925 0.068 0.001239
5 0.068 24.065 1.949 0.067 0.000408
6 0.067 23.919 1.957 0.067 0.000136
7 0.067 23.871 1.959 0.067 0.000046
8 0.067 23.855 1.960 0.067 0.000015
9 0.067 23.849 1.961 0.067 < 0.00001
ed infine:
v = v (9) = 0.067 [m/s] = 4.023 [m/min]
COMMENTO. Si osservi come il valore reale della velocità limite di sedimentazione
calcolato per iterazione, risulti di circa 2.3 volte inferiore a quello determinato per
applicazione diretta della formula di Stokes. L’applicazione non corretta delle relazioni
esposte potrebbe comportare errori nel dimensionamento delle unità di dissabbiatura
estremamente rilevati.
Le precedenti considerazioni consentono di sviluppare interessanti criteri dimensionali
delle unità di rimozione dei solidi, utilizzate negli impianti di Ingegneria Sanitaria –
Ambientale. I risultati ottenuti sono infatti applicabili direttamente al dimensionamento
delle unità di dissabbiatura degli impianti di trattamento delle acque, ovvero ai più
semplici comparti di rimozione del particolato solido contenuto negli effluenti gassosi.
Peraltro, l’estensione dei risultati ottenuti è altresì applicabile anche ad unità di
separazione apparentemente più complesse, quali ad esempio i separatori centrifughi.
Consideriamo dunque dapprima il caso dei separatori a flusso longitudinale continuo,
ovvero di unità di forma prismatica attraversate da una portata volumetrica costante Q.
Le ipotesi poste alla base delle successive considerazioni sono le seguenti:
(a) la velocità longitudinale, ovvero in direzione y, del fluido all’interno del comparto
risulta essere costante lungo tutte le sezioni di area σ = BH = cost trasversali al
moto, e pari al rapporto tra la portata volumetrica costante Q e l’area σ; il moto del
fluido all’interno del dispositivo è dunque uniforme e con profilo rettangolare delle
velocità lungo l’altezza;
(b) la componente orizzontale della velocità delle particelle da rimuovere è sempre
uguale alla velocità media sopra definita;
(c) la componente verticale della velocità delle particelle da rimuovere è pari alla
velocità limite di sedimentazione, determinabile con una delle relazioni ricavate in
precedenza;
(d) non si ha risospensione da parte del fluido delle particelle rimosse;
(e) le particelle in ingresso risultano essere uniformemente distribuite sull’intera
sezione traversale σ e dunque lungo l’altezza H del dispositivo.

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σ* = L ⋅ B
z
Q
D 1
v s1
v f
D 0
D 2
v f
Q
H
v s0
v f
v s2
B
y
x
L(
D 1 )
L( D 0 )
FIGURA 4.4-4
Separatore a flusso longitudinale.
Si supponga dunque che una particella di diametro D 0 immersa nel fluido si trovi alla
quota H nella sezione di ingresso al dispositivo, di cui non risulti ancora definito lo
sviluppo longitudinale L (vedasi Figura 4.4-4). Se Q è la portata volumetrica influente,
allora la componente orizzontale della velocità del fluido, e dunque per ipotesi della
particella, risulta:
v f
Q Q
= =
(4.4-11)
A B ⋅ H
La componente verticale della velocità risulterà definita in relazione alle caratteristiche
della particella (densità, diametro) e del fluido (temperatura, e dunque viscosità
dinamica e densità), e seguirà una delle leggi ricavate per la velocità limite di
sedimentazione in relazione al valore assunto dal numero di Reynolds. Senza togliere
generalità al problema, si può dire che per fissate caratteristiche del fluido e della
particella, la velocità limite di sedimentazione si può considerare una funzione del solo
diametro, sicché potremo scrivere:
v
s
α
= v ( D )
s
Ad esempio nel caso in cui la particella ricadesse nel campo di applicabilità della legge
di Stokes, si avrebbe:
v
2
g ⋅(
ρs
− ρ f ) ⋅ D0
s =
=
18µ
f
v ( D
La traiettoria percorsa dalla particella di diametro D 0 risulterà dunque dalla
composizione di due vettori velocità, costanti, e sarà dunque rettilinea, staccando alla
quota z = 0 un segmento di lunghezza L(D 0 ) che dipende appunto dal diametro della
particella. Assunto tale valore come dimensione longitudinale del dispositivo, si osserva
come particelle che entrano alla stessa quota H, ma di diametro D 1 > D 0 , ricadranno
all’interno del dispositivo entro una lunghezza L(D 1 )

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la quota parte di particelle di diametro D 2 che verranno rimosse dalle altre. Tale altezza
h(D 2 ) è ovviamente una funzione del diametro e, dall’ipotesi di uniforme distribuzione
delle particelle lungo l’altezza, è possibile definire il corrispondente rapporto di
rimozione, dato da:
h( D )
r r( D )
2
2 = 2 =
H
che rappresenta, per ogni fissato diametro D j

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dalla CDD associando ad ogni diametro, per condizioni al contorno fissate (temperatura,
densità del fluido e delle particelle), il corrispondente valore della velocità limite di
sedimentazione calcolata con le espressioni ricavate in precedenza. In tal modo la CVS
consente di ricavare, per ogni assegnato valore della velocità di sedimentazione, e
dunque per il corrispondente diametro, la percentuale di particelle che presentano una
velocità di sedimentazione uguale o inferiore al valore considerato.
P
1
7
P 0
D 0
D
(a)
P
1
P 0
dP
P
∫ 0
vsj
0
dP
v sj
v 0
v
(b)
FIGURA 4.4-6
Curve di Distribuzione Dimensionale di Velocità di Sedimentazione delle particelle.
Detto ciò può essere ricavata, per data CVS e per assegnate dimensioni del dispositivo,
nota che sia la portata volumetrica influente, l’efficienza globale E di rimozione.
Determinato infatti il valore della velocità di overflow v 0 , attraverso la CVS è possibile
individuare la percentuale P 0 di particelle con velocità di sedimentazione inferiore o
uguale a v 0 ; in tal modo la quantità (1 – P 0 ) risulterà pari alla frazione di particelle
completamente rimosse dal dispositivo. Per la restante frazione, atteso che per ogni
diametro D j è nota dalla CDD la percentuale ∆P j di particelle aventi diametro
nell’intorno di D j , e che per tale percentuale la rimozione risulta nel rapporto r j =
h(D j )/H, dovrà essere considerata la sommatoria dei termini r j ∆P j nell’intervallo [0, P 0 ),
per cui in definitiva l’efficienza globale di rimozione risulta:
E
N
( 1 − P0 ) + rj
⋅ ∆Pj
=
∑= j 1
dove N è pari al numero degli intervalli in cui è stato suddiviso l’intervallo [0,P 0 ).
Osservando che:

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ϑ
h( D j ) H ⋅ vs(
D j ) vsj
r j = =
=
H ϑH
⋅ vs(
D0
) v0
8
ed essendo la velocità di overflow costante, risulta:
E
1
= (1 − P 0 ) + vsj
⋅ ∆ P j
v0∑=
j 1
N
(4.4-12)
Ovvero per distribuzioni dimensionali continue:
P 0
1
E = (1 − P0 ) + vsjdP
(4.4-13)
v0
∫0
il cui significato fisico è mostrato in Figura 4.4-6 (b).
Nel successivo Problema 4.4-3 viene illustrato come valutare l’efficienza conseguibile
con un bacino di sedimentazione, una volta che siano assegnate la velocità di overflow e
la Curva di Distribuzione Dimensionale delle particelle.
PROBLEMA 4.4 – 3
La distribuzione dimensionale dei solidi contenuti in un’acqua reflua è stata ricavata da
analisi di laboratorio ed è riportata nella successiva Tabella 4.4-2. Il materiale granulare
risulta caratterizzato da un valore costante della densità dei solidi pari a 2600 [kg/m 3 ].
Se la temperatura dell’acqua è di 20°C, si determini, dopo aver tracciato la curva di
distribuzione delle velocità di sedimentazione (P% = f(v s )), la frazione in peso rimossa
da un bacino di sedimentazione a flusso longitudinale dimensionato per una velocità di
overflow di 4500 [m 3 /m 2. d]. Si assuma per il fattore di forma φ il valore 0.85. Le
proprietà fisiche dell’acqua alla temperatura di 20°C risultano (cfr. Appendice F):
viscosità dinamica, µ w (@20°C) = 1.002 . 10 -3 [N . s/m 2 ], densità del fluido, ρ w (@20°C) =
998.2 [kg/m 3 ].
TABELLA 4.4-2
Distribuzione dimensionale dei solidi influenti nel sedimentatore a flusso longitudinale.
Diametro, D
[µm]
Trattenuto, T
[%]
Diametro, D
[µm]
Trattenuto, T
[%]
420 45 135 14
300 9 115 10
190 11 95 8
SOLUZIONE
A partire dai dati della precedente tabella si calcola il valore della percentuale in peso
cumulata P di particelle di dimensioni inferiori al corrispondente diametro e la relativa
velocità di sedimentazione, così come riportato nella successiva Tabella 4.4-3:
TABELLA 4.4-3
Passante percentuale cumulato e velocità di sedimentazione.
Apertura setaccio, D
Passante cumulato, P
[µm]
[%]
Velocità di sedimentazione, v s
[m/min]
420 55 4.02
300 46 2.55
190 35 1.25
135 21 0.69
115 11 0.52
95 3 0.37
Risulta dunque possibile tracciare la Curva di Velocità di Sedimentazione, così come
mostrato in Figura 4.4-7.

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60
Passante cumulato [%]
50
40
30
20
10
P 0
0
0
0 1 2 3 4 5
Velocità di sedimentazione [m/min]
v 0
FIGURA 4.4-7
Curva di velocità di sedimentazione.
Si calcoli ora la frazione di particelle caratterizzate da una velocità di sedimentazione
inferiore alla velocità di overflow v 0 , ovvero il valore del passante cumulato percentuale
P 0 corrispondente a tale velocità. Nel caso in esame, si ha:
m
v 0 = 4500 = 3.125
d
Interpolando linearmente i dati di Tabella 4.4-3 (così come graficamente illustrato in
Figura 4.4-7), si ottiene:
m
min
( 55 − 46 )( 3.125 − 2.55 )
P 0 =
+ 46 = 49.5
4.02 − 2.55
Per calcolare l’efficienza globale di rimozione dei solidi conseguibile, si può applicare
la Relazione (4.4-12), nella quale i termini della sommatoria rappresentano le aree dei
rettangoli indicati in Figura 4.4-8. Tali aree possono essere calcolate facendo
riferimento allo schema di Tabella 4.4-4.
60
Passante cumulato [%]
P 0
50
40
30
20
10
0 1 2 3 4 5
Velocità di sedimentazione [m/min]
FIGURA 4.4-8
Determinazione grafica dei termini della Relazione (4.4-12)
L’efficienza globale di rimozione vale pertanto:
54.63
E = ( 100 − 49.5 ) + = 67.96%
3.125
v 0

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TABELLA 4.4-4
Calcolo dei termini della Relazione (4.4-12).
P v s ∆P
v s
vs
⋅ ∆P
[%] [m/min] [%] [m/min] [% m/min]
49.5 3.125
3.5 2.84 9.99
46 2.55
11 1.90 20.90
35 1.25
14 0.97 13.58
21 0.69
10 0.61 6.05
11 0.52
8 0.45 3.56
3 0.37
3 0.19 0.56
0 0
Σ = 54.63
COMMENTO.
Nel caso in cui tutte le particelle siano dello stesso diametro D inferiore a quello
corrispondente alla velocità di overflow, l’espressione dell’efficienza globale di
rimozione assume una forma particolarmente semplice, spesso utile nella pratica
applicativa. In tal caso infatti nell’espressione dell’efficienza di rimozione la quantità
(1-P 0 ) risulta nulla e la sommatoria di riduce ad un solo termine, per cui risulta:
v ( D ) v ( D ) v ( D ) L
E s s L B s ⋅
= = ⋅ ⋅ =
(4.4-14)
v0
Q
v f ⋅ H
In particolare, nel caso in cui possa essere applicata l’espressione di Stokes per la
velocità limite di sedimentazione, si ha:
v ( )gD
s ( D ) ⋅ L ρ s − ρ f
E = =
v ⋅ H 18µ
v H
f
Il modello utilizzato per ricavare la Relazione (4.4-12) si basa sull’assunzione che il
flusso idraulico e dunque le particelle in esso contenute, non subiscano rimescolamento
alcuno; in tal caso dunque le particelle di diametro assegnato danno luogo all’interno
del dispositivo ad una superficie di separazione (la cui traccia a-a sul piano y-z ha
pendenza v s /v f (cfr. Figura 4.4-9), al disopra della quale non vi sono particelle mentre al
disotto la concentrazione di queste rimane costante sezione per sezione (modello Block -
Flow, BFM).
Una diversa modellazione del problema può essere ottenuta considerando che si abbia
rimescolamento all’interno di ogni volume incrementale del sedimentatore a flusso
longitudinale (Mixed-Flow Model, MFM). Con riferimento alla successiva Figura 4.4-9,
si consideri dunque un volume infinitesimo di spessore misurato in senso longitudinale
pari a dy e sia N y il numero di particelle (per ora di stesso diametro D) uniformemente
distribuite lungo l’altezza ed in ingresso a detto volume incrementale. Considerando
valido il BFM, si può dunque determinare la percentuale di particelle rimosse in
corrispondenza di detto volume incrementale che, con riferimento alla Relazione (4.4-
14), risulta:
N y+
dy − N y v ( D ) dy
E
s ⋅
y =
= −
N y v f ⋅ H
dove il segno meno è necessario poiché N y+dy < N y .
La precedente può essere scritta in forma sintetica come segue:
dN ⎛ v ( D ) ⎞
= −⎜
s ⎟dy
N ⎜ v f H ⎟
⎝
⋅
⎠
e poiché il termine tra parentesi tonde al secondo membro è costante, l’integrazione
f
f
2
L

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porge:
N
L
∫ dN
⎟ ⎟ ⎞
⎜
⎜ ⎛ v
= −
s(
D )
N
⎝
v f ⋅ H
⎠∫
N0
0
Gli estremi di integrazione sono il numero di particelle in corrispondenza della sezione
di ingresso y = 0, N 0 , ed il numero di particelle in corrispondenza della sezione di uscita
a distanza y = L, N L , per cui si ha:
e dunque:
L
dy
⎛ N v ( D )
ln L ⎞ ⎛ ⎞
⎜ s ⎟
⎜
L
N
⎟ = −
⎝
⎜
0 ⎠ v f H ⎟
⎝
⋅
⎠
⎛ ⎞
⎜
vs
⋅L
− ⎟
⎝
v f ⋅H
⎠
N L = N0
⋅ e
In definitiva dunque l’efficienza globale di rimozione risulta in tal caso:
z
⎛ ⎞
⎜
vs
⋅L
− ⎟
N −
⎝
v ⋅H
= 0 N L
f
E = 1 − e ⎠
(4.4-15)
N0
11
D 2
v f
Q
v s2
a
Q
H
x
dh
dy
L
(a)
a
B
y
z
D 2
v f
v s2
C y
C y + dy
Q
Q
H
x
dh
dy
L
(b)
FIGURA 4.4-9
Modelli concettuali: (a) Block-Flow; (b) Mixed-Flow
B
y
Confrontando le Relazioni (4.4-14) e (4.4-15), si può osservare come per diametri
sufficientemente piccoli i due modelli diano luogo agli stessi valori di efficienza, mentre
al crescere delle dimensioni delle particelle il MFM fornisca efficienze globali di
rimozioni inferiori; l’applicazione dei due modelli rende conto altresì di un diverso
accumulo delle particelle rimosse in senso longitudinale sul fondo del dispositivo.

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Sedimentazione libera
PROBLEMA 4.4 – 1
12
Si valuti l’efficienza globale di separazione di un sedimentatore a flusso longitudinale
che presenta le seguenti dimensioni: (a) altezza, H = 2 [m]; (b) larghezza, B = 3 [m]; (c)
lunghezza, L = 10 [m], che tratta una portata volumetrica, Q = 1 [m 3 /s]. Si assuma che la
distribuzione dimensionale dei solidi presenti nell’influente sia di tipo normale con
media µ D = 100 [µm] e deviazione standard, σ D = 30 [µm].
Si assumano altresì i seguenti dati:
- Densità del fluido, ρ w (@20°C) = 998.2 [kg/m 3 ];
- Viscosità dinamica del fluido, µ w (@20°C) = 1.002×10 -3 [N . s/m 2 ];
- Fattore di forma, φ = 1.0 [adim.];
- Densità del solido, ρ s (@20°C) = 2600 [kg/m 3 ];
Si analizzi il problema applicando i modelli: (a) Block-Flow; (a) Mixed-Flow.
SOLUZIONE
La distribuzione dimensionale dei solidi presenti nell’influente può essere diagrammata
a mezzo delle seguenti funzioni di Excel ® : (a) DISTRIB.NORM(D;µ D ;σ D ;FALSO) per la
funzione probabilità di massa e (b) DISTRIB.NORM(D;µ D ;σ D ;VERO) per la distribuzione
cumulativa.
Assumendo dunque un valore incrementale ∆D = 10 [µm] per i diametri, si possono
calcolare i valori dei passanti percentuali cumulati corrispondenti ai diversi diametri
mediante la funzione di cui al precedente punto (b). Per ogni intervallo di diametri è
altresì possibile calcolare il valore del diametro medio, D m , e della frazione in peso
corrispondente, F. Ad ogni valore del diametro medio è dunque possibile associare il
corrispondente valore della velocità di sedimentazione limite, calcolato secondo le
espressioni di Stockes ovvero Newton, (vedi Problema 4.4-2) in relazione al valore
assunto dal numero di Reynolds. Nel foglio allegato vengono riportati i calcoli svolti
PROBLEMA 4.4 – 2
Si valuti l’efficienza globale di separazione del sedimentatore a flusso longitudinale di
cui al Problema 4.4-1, assumendo che i solidi in ingresso abbiano una distribuzione
dimensionale monogranulare di diametro D = 200 [µm]. Si analizzi il problema

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Sedimentazione libera
applicando i modelli: (a) Block-Flow; (b) Mixed-Flow. Si determini altresì la
distribuzione analitica della curva di accumulo dei materiali nei due casi.
SOLUZIONE
Si analizzano di seguito le due ipotesi separatamente.
IPOTESI 1) MATERIALE MONOGRANULARE, D = 200 [µm], MODELLO BLOCK-FLOW
i. Determinazione della velocità limite di sedimentazione v L (D)
Applicando la legge di Stokes, si ha:
2
−6
2
( ρ
s
− ρ
w
) D 1 9.
81( 2600 − 998.
2)( 200 × 10 )
=
0 0348
1 g
v ( D)
= =
−3
18 µ
w
18 1.
002 × 10
ovvero:
v L
( D)
= 0.
0348 × 60 = 2.
09 [m/min]
L
.
[m/s]
Applicando la legge di Newton, e considerando quale valore di primo tentativo la
velocità limite di sedimentazione ricavata in precedenza, v L1 = 0.034 [m/s], ottenuta per
applicazione della legge di Stokes, si ha:
I ITERAZIONE
−6
vL1D
vL1D
0.
0348( 200 × 10 )
Re
1
= ϕ = ϕ = 1.
0
= 6.
94
−3
ν µ ρ 1.
002 × 10 998.
2
C
v
w
24
Re
w
3
w
24
6.
94
( Re ) = + + 0.
34 = + + 0.
34 = 4 93
D 1 1
.
1 Re1
6.
94
4 g
3 C
( ρ
s
− ρ
w
)
( Re)
ρ
D
4 9.
81
3
3
−6
( 2600 − 998.
2)( 200 × 10 )
= 0 0292
L 2
=
=
.
D1 w
4.
93 × 998.
2
II ITERAZIONE
−6
vL2D
vL2D
0.
0292 200 × 10
Re = ϕ = ϕ = 1.
0
= 5
−3
ν µ ρ 1.
002 × 10 998.
2
C
v
( )
81
2
.
w
w w
24
Re
3
24
5.
81
( Re ) = + + 0.
34 = + + 0.
34 = 5 71
D 2 2
.
2 Re
2
5.
81
4 g
3 C
( ρ
s
− ρ
w
)
( Re)
ρ
D
4 9.
81
3
3
−6
( 2600 − 998.
2)( 200 × 10 )
= 0 0271
L 3
=
=
.
D2 w
5.
71×
998.
2
[m/s]
[m/s]
Si eseguono dunque ulteriori iterazioni, sino a che la differenza tra due successivi valori
di velocità di sedimentazione non risulti inferiore ad un limite prefissato, ε, piccolo a
piacere, ovvero:
v
Lj
− v L ( j− 1)
Fissando il valori di ε = 0.00001, nella Tabella x.x-x seguente si riepilogano le
calcolazioni eseguite:
TABELLA x.x-x
Riepilogo dei calcoli eseguiti per la determinazione della velocità limite di sedimentazione.
Dati
Diametro della particella, D 200.00 [µm]
Densità del fluido, ρ w(@20°C) 998.20 [kg/m 3 ]
Viscosità dinamica del fluido, µ w(@20°C) 1.002E-03 [Ns/m 2 ]
Fattore di forma della particella, φ 1.0 [adim.]
Densità del solido, ρ s(@20°C) 2600.00 [kg/m 3 ]
Limite prefissato, ε 0.00001 [m/s]
Risultati
Volume della particella 4.189E-12 [m 3 ]
Peso della particella 1.089E-08 [kg]
v L (Stokes) di primo tentativo 0.035 [m/s]
v L (Stokes) di primo tentativo 2.09 [m/min]
Iterazione v (j) Re C D(Re) v (j+1) ε
[m/s] [adim.] [adim] [m/s] [m/s]
1 0.0348 6.943 4.935 0.0292 0.005684
2 0.0292 5.811 5.715 0.0271 0.002062
3 0.0271 5.400 6.075 0.0263 0.000817
4 0.0263 5.237 6.233 0.0260 0.000335
≤ ε
13

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Sedimentazione libera
5 0.0260 5.170 6.301 0.0258 0.000140
6 0.0258 5.143 6.330 0.0258 0.000059
7 0.0258 5.131 6.342 0.0257 0.000025
8 0.0257 5.126 6.347 0.0257 0.000010
9 0.0257 5.124 6.349 0.0257 < 0.00001
Si osserva dunque come risultino necessarie nove iterazioni per ottenere il valore della
velocità di sedimentazione limite con l’accuratezza richiesta; peraltro, il reale valore
della velocità limite di sedimentazione, ovvero v L = 0.0257 [m/s] = 1.543 [m/min],
risulta circa il 26% inferiore a quello stimato per applicazione della legge di Stokes,
valida per Re < 0.3.
La velocità di avanzamento longitudinale del fluido risulta:
Q 1
v f = = = 0.1667 [m/s]
BH 3⋅
2
L’efficienza globale di rimozione si ricava dunque applicando la Relazione (4.4-14),
ovvero:
v ( D ) L 0.0257 10
E s ⋅ ⋅
= = = 0.77
v f ⋅ H 0.1667 ⋅ 2
IPOTESI 2) DISTRIBUZIONE NORMALE, CON MEDIA µ D = 200 [µm] E DEVIAZIONE
STANDARD, σ D = 50 [µm], MODELLO BLOCK-FLOW
La costruzione della curva cumulata della distribuzione dimensionale (cdf), partendo
dalla curva di densità (pdf), può essere eseguita a mezzo di un foglio elettronico di
calcolo (Excell ® ) per valori discreti. Si può scegliere come passo un valore costante e
pari al 10% dell’area sottesa dalla pdf. Il valore del diametro corrispondente alle aree
0.1, 0.2, …, ecc. si ottiene a mezzo della funzione: (Continuare….)
IPOTESI 3) DISTRIBUZIONE NORMALE, CON MEDIA µ D = 100 [µm] E DEVIAZIONE
STANDARD, σ D = 10 [µm], DISTRIBUZIONE NORMALE DEI TEMPI DI RESIDENZA CON MEDIA
µ θ = 3.60 [min] E DEVIAZIONE STANDARD σ θ = 1.20 [min].
In tal caso ogni particella di diametro D i in ingresso nell’unità di sedimentazione sarà
caratterizzata da un proprio tempo di residenza θ Hi . Si possono selezionare dunque
diverse coppie di valori dalle corrispondenti distribuzioni a mezzo delle seguenti
funzioni:
D i = INV.NORM(CASUALE();µ D ;σ D ) = INV.NORM(CASUALE();100;10)
θ Hi .= INV.NORM(CASUALE();µ θ ;σ θ ) = INV.NORM(CASUALE();3.60;1.20)
Ogni particella potrà inoltre entrare ad un’altezza h i , misurata rispetto al fondo del
comparto, che può essere selezionata in base alla funzione:
h i = H*CASUALE()
Si assuma ora che il tempo di residenza della particella considerata abbia influenza solo
sulla componente orizzontale della velocità di avanzamento mentre che la velocità di
sedimentazione si mantenga diversamente costante e pari al valore limite, v si . La
particella di diametro D i caratterizzata dalla velocità limite di sedimentazione v si
percorrerà, durante il tempo di residenza θ Hi , uno spazio s i dato da:
si = v si × θHi
Se dunque risulterà che:
si ≥ h i la particella verrà rimossa dal comparto,
mentre se:
s i < h i la particella non verrà rimossa ed uscirà dal comparto con la corrente fluida
effluente.
Utilizzando il Metodo Montecarlo, si può dunque determinare l’efficienza di rimozione,
così come riportato di seguito; nel caso particolare sono stati utilizzati 1000 tentativi.
Detta efficienza potrà essere determinata sia in numero che in peso.
Si può osservare come l’efficienza di rimozione delle particelle risulti:
E% = 79.90% (in numero)
E% = 79.53 (in peso)
Detti valori oscilleranno (le oscillazioni si possono ottenere a mezzo del tasto F9)
piuttosto abbondantemente, dato il piccolo numero di tentativi. Si verifichi il numero di
tentativi che consentono di ottenere una maggiore robustezza del dato.
14

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15
PROBLEMA 4.4 – 3
Si valuti l’efficienza globale di separazione del sedimentatore a flusso longitudinale di
cui al Problema 4.4-1, considerando altresì che le particelle siano caratterizzate da una
distribuzione normale dei tempi di residenza con media µ θ = 3.60 [min] e deviazione
standard σ θ = 1.20 [min] il cui effetto influenzi la sola componente longitudinale della
velocità di avanzamento e non la velocità di sedimentazione.
PROBLEMA 4.4 – 4
La distribuzione dimensionale dei solidi contenuti in un’acqua reflua è stata ricavata da
analisi di laboratorio ed è riportata nella successiva Tabella X.X-X. Si determini la
distribuzione dimensionale teorica che meglio adatta i dati sperimentali e la frazione in
peso rimossa da un bacino di sedimentazione a flusso longitudinale dimensionato per
una velocità di overflow di 4500 [m 3 /m 2. d]. Allo scopo si assumano i seguenti dati:
- Densità del fluido, ρ w (@20°C) = 998.2 [kg/m 3 ];
- Viscosità dinamica del fluido, µ w (@20°C) = 1.002×10 -3 [N . s/m 2 ];
- Fattore di forma, φ = 0.85 [adim.];
- Densità del solido, ρ s (@20°C) = 2600 [kg/m 3 ].
TABELLA X.X-X
Distribuzione dimensionale dei solidi influenti nel sedimentatore a flusso longitudinale.
Diametro, D
[µm]
Trattenuto, T
[%]
Diametro, D
[µm]
Trattenuto, T
[%]
420 45 135 14
300 9 115 10
190 11 95 8
PROBLEMA 4.4 – 5
Si valuti l’efficienza globale di separazione del sedimentatore a flusso longitudinale di
cui al Problema 4.4-1, assumendo che i solidi in ingresso abbiano una distribuzione
dimensionale monogranulare di diametro D = 200 [µm] e che la distribuzione verticale
delle velocità possa essere espressa dalla seguente relazione:
g ⋅ J ⎛ 1 2 ⎞
v( z ) = ⎜ z ⋅ zm
− z ⎟
ν w ⎝ 2 ⎠
in cui:
g = accelerazione di gravità, 9.81 [m/s 2 ];
J = pendenza piezometrica, [m/m];
v w (@20°C) = viscosità cinematica del fluido, = 1.003×10 -6 [m 2 /s];
z = altezza d’acqua misurata a partire dal fondo della unità di separazione, [m];
z m = altezza d’acqua media nell’unità di separazione, [m].
PROBLEMA 4.4 – 6
Un sedimentatore a flusso longitudinale presenta un’altezza, H = 2 [m], una lunghezza,

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L = 10 [m] ed una larghezza, B = 3 [m] e tratta una portata volumetrica, Q = 0.15 [m 3 /s].
ed una velocità media di avanzamento del fluido v w = 0.17 [m/s]. Si consideri ora una
particella di diametro assegnato, D, appartenente ad una distribuzione dimensionale dei
solidi di tipo normale con media µ D = 80 [µm] e deviazione standard, σ D = 8 [µm], che
entra nella sezione di ingresso ad un’altezza h

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17
APPENDICE F
PROPRIETÀ FISICHE DELL’ACQUA

TRATTAMENTO DELLE ACQUE REFLUE 18
TABELLA F-1
Proprietà fisiche dell’acqua
Temperatura Peso specifico Densità Modulo di
Elasticità *
Viscosità
Dinamica
Viscosità
Cinematica
Tensione
Superficiale **
Pressione di
Vapore
T
[°C]
γ
[kN/m 3 ]
ρ
[kg/m 3 ]
E/10 6
[kN/m 2 ]
µ×10 3
[N . s/m 2 ]
ν×10 6
[m 2 /s]
σ
[N/m]
p v
[kN/m 2 ]
0 9.805 999.8 1.98 1.781 1.785 0.0765 0.61
5 9.807 1000.0 2.05 1.518 1.519 0.0749 0.87
10 9.804 999.7 2.10 1.307 1.306 0.0742 1.23
15 9.798 999.1 2.15 1.139 1.139 0.0735 1.70
20 9.789 998.2 2.17 1.002 1.003 0.0728 2.34
25 9.777 997.0 2.22 0.890 0.893 0.0720 3.17
30 9.764 995.7 2.25 0.798 0.800 0.0712 4.24
40 9.730 992.2 2.28 0.653 0.658 0.0696 7.38
50 9.698 988.0 2.29 0.547 0.553 0.0679 12.33
60 9.642 983.2 2.28 0.466 0.474 0.0662 19.92
70 9.589 977.8 2.25 0.404 0.413 0.0644 31.16
80 9.530 971.8 2.20 0.354 0.364 0.0626 47.34
90 9.466 965.3 2.14 0.315 0.326 0.0608 70.10
100 9.399 958.4 2.07 0.282 0.294 0.0589 101.33
* Alla pressione atmosferica. ** In contatto con aria
G. Tchobanoglous. E.D. Schroeder: Water Quality