полнотекстовый ресурс

г
И С Ч И С Л Е Н И Е
m
£
с г
IE
m
г ■>
с з
ï *
ф
%
ПЗ
О
t x )
~ 1
с О
CT'i
V___ /

в. к. ГУРНОВ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
(учебное пособие для студентов-заочникон)
Допущ ено Министерством высшего
и среднего специального
образования УССР в качестве
учебного пособия для студентов
технических вузов y L L r .
б и б л и о т е к а
лвдарский индуинститут
V
* ПАВЛОДАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГНИВЕРСИТГГ ИМ.С.ТОРАЙГЫРОВА *
И ЗДАТЕЛЬСТВО КИЕВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1%1

Г 95
517.2
«Интегральное исчисление» написано в соответстшш с
программой для втузов по этому разделу.
После каждого теоретического раздела приведены подробные
решения задач и примеров, расположенных в долж ­
ной методической последовательности.
Помещенные в книге упражнения с приведенными ответами
к задачам даю т возможность изучающему приобрести
необходимые вычислительные навыки.
Пособие рассчитано на студентов втузов и является
одной из составных частей учебного пособия по всему курсу
высшей математики.
*

ОТ АВТОРА
Заочное обучение в нашей стране получило очень широкое
распространение. Важнейшей задачей заочного обучения является
необходимость улучшить самостоятельную работу студентов
в период между сессиями и повысить требования к качеству
их знаний.
Особенно большое внимание заочному обучению уделяется
сейчас, так как «в развитии нашей высшей школы надо идти
прежде всего по линии вечернего и заочного образования. О бучение
в системе вечернего и заочного высшего образования необходимо
всемерно расширять и поднять на новый качественный
уровень» ’. «Надо улучшить обеспечение студентов-заочников
учебниками, учебными пособиями, печатными лекциями и другой
литературой, создав для этих целей полиграфическую и
издательскую базу». Назрела необходимость в ближайшее
время создать учебники и учебные пособия для студентовзаочников.
Студенты-заочники обучаются по программам и учебникам
стационарных вузов, для которых написано много хороших
учебников и учебных пособий по математике. Всем известен,
например, «Курс высшей математики» в нескольких томах академика
Смирнова В.; «Курс дифференциального и интегрального
исчисления» профессора Фихтенгольца Г. М.; «Курс дифференциального
и интегрального исчисления» академика Л узина
H. Н. и ряд других учебников и учебных пособий, которые
снискали себе заслуженную славу среди нашего студенчества.
Однако учебно-педагогический процесс на заочном отделении
существенно отличается от учебно-педагогического процесса
в стационарном вузе. При одинаковых программах для преподавания
на заочном отделении отводится незначительное число
лекций и упражнений, вследствие чего студенты-заочники по-
1 Тезисы ЦК КПСС и Совета Министров СССР «Об укреплении связи
школы с жизнью».

ставлены в более трудные условия для работы, чем студенты
стационарных вузов. Студенты-заочники должны много работать
самостоятельно. Вот почему самостоятельная работа студентов-заочников
над курсом в период между сессиями приобретает
особую важность. Студентам-заочникам необходимо
оказать существенную помощь, дав в руки им такое учебное пособие,
пользуясь которым можно было бы с успехом овладеть
теорией изучаемого предмета и применить теорию к решению
практических задач.
Издаваемая книга «Интегральное исчисление» является одной
из трех частей учебного пособия по курсу высшей математики,
предназначенного для студентов-заочников втузов.
Порядок изложения учебного материала в книге следующий.
Сначала излагается теоретический материал, затем приводится
целый ряд подробно решенных примеров, потом формулируются
контрольные вопросы для повторения теории и, наконец,
даются упражнения, содержащие достаточное количество примеров
и задач, снабженных ответами для закрепления пройденного
теоретического материала и приобретения твердых практических
навыков.
Для облегчения решения задач и примеров дается список
наиболее употребительных формул из аналитической геометрии
и дифференциального исчисления.

ГЛАВА /
ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕН И 51
§ 1. Основные задачи интегрального исчисления
и неопределенный интеграл
Основная задача дифференциального исчисления заключается
в нахождении производной F'(x) = f(x) или дифференциала
dF(x) = f(x)dx данной функции F(x).
Рассмотрим теперь обратную задачу — задачу нахождения
функции по заданной ее производной или дифференциалу.
Пусть дана функция f(x) и нужно найти такую функцию
F(x), чтобы ее производная равнялась заданной функции f(x),
то есть, чтобы Ғ' (x) = f(x).
Функция F(х) называется первообразной функцией для
f(x) в данном промежутке, если во всем этом промежутке функция
f(x) является производной для F(х) или î(x)dx служит
дифференциалом для F(x) :F'(x) = f(x) или dF(x) —f(x)dx.
Если, например, f(x) = 2.v, то первообразная F (x) = x2.
Действительно,
F' (x) = (x2)' = 2x = f(x).
Рассмотрим еще один пример. Пусть дана производная
fix) = j — -2. Очевидно, что первообразной для данной функции
будет F(x) = arc tg x , потому что/7' (х )= (arcigх )'= 1 -j-
Задача отыскания первообразной функции F(x) по заданной
ее производной f(x) и является основной задачей интегрального
исчисления. Очевидно, что задача интегрального исчисления является
обратной задаче дифференциального исчисления.
В дальнейшем рассмотрим общие методы нахождения первообразной
функции. Интересно отметить, что задача нахождения
первообразной функции имеет не единственное решение, а бесчисленное
множество решений.

В самом деле, пусть задана функция f(x) = cos х. Очевидно,
что первообразными функциями для нее будут функции:
F\(x) = sin.v, F2(x) = sinx + 17, Ғз(х) = sin x — 0,7
и т. д., и вообще функцией вида sin х + С (где С — произвольная
постоянная), так как производные от всех этих функций
равны cos х, то есть равны f(x).
Из этого примера видно, что зная одну какую-либо первообразную
функцию F (х) для данной функции f(x), можно найти
и целый класс первообразных функций вида F(x) + С, так как
не только
F'(x) =f(x),
но и
[Ғ(л:) +C]' = F'(x) =f(x).
(С — произвольная постоянная).
Этим классом исчерпываются все первообразные функции.
Чтобы убедиться в этом, докажем теорему.
Теорема. Разность между любыми двумя первообразными
функциями, заданными в промежутке для одной и той же непрерывной
функции f(x), равна С (С — произвольная постоянная).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дана функция f(x) и две ее
первообразные F\(х) и F2(x), то есть
F/(x) =f(x)
и F2'(x) =f(x).
Вычитая второе равенство из первого, получаем:
или
Убедимся, что разность
F/(x) — F2'(x) = f(x) — f(x) = 0,
[F^x)-F2(x)Y = 0.
Ғ ,(х) — Ғ2(х)
равна постоянной величине. Действительно, рассмотрим функцию
ср(х) = Ft(x) — F2(x).
Выше было показано, что q/(.v:) =о> тогда по формуле конечных
приращений Лагранжа, известной из дифференциального исчисления,
получим при любых х из данного промежутка
Следовательно,
ср(х) — ф(а) = (х — а) ф'(£) = (х — а) • 0 = 0.
ср(х) = ф (а) = С,
что и требовалось доказать, то есть
Ғ ,(х) — Ғ2(х) = С, или Ғ ,(х) = Ғ2(х) + С.

Из доказанной теоремы следует, что если найдена одна первообразная
функция F (х) для данной функции f(x), то все
остальные первообразные получаются из этой первообразной
по формуле:
F(x) + С,
где С — произвольная постоянная.
Самое общее выражение для первообразной функции имеет
вид F(x) f С и называется неопределенным интегралом от данной
функции f(x) или от данного дифференциала f(x)dx и
обозначается символом
Jf(x)dx.
Функция f(x) называется подинтегральной функцией, а
f(x)dx — подынтегральным выражением; \ — знак интеграла.
В силу доказанного, зная какую-либо первообразную функцию
для функции f(x), можно написать:
\f{x)dx = F(x) + С,
(I)
где С — произвольная постоянная, например,
Гcos xdx = sin x + С.
Здесь cos x — подинтегральная функция, cos xdx — подинтегральное
выражение.
Операция нахождения первообразной функции для данной
функции называется интегрированием этой функции. Дифференцирование
и интегрирование функций суть две взаимнообратные
операции.
Существует теорема, которая утверждает, что всякая непрерывная
на отрезке [a, b] функция f(x) имеет первообразную
функцию. Это значит, что всякая непрерывная на отрезке [a, b]
функция f(x) может рассматриваться как производная от некоторой
другой непрерывной функции F(x).
Доказательство этой теоремы приведем в конце этой главы.
Сформулированная теорема не утверждает, что первообразная
для данной функции может быть найдена с помощью конечного
числа арифметических действий и выражена в элементарных
функциях. Известно, например, что интегралы
Г sin x , f cos x , ? dx
\ , * ■ \ — dx- J T Ï Ï T " ''P -
не могут быть выражены с помощью конечного числа названных
выше операций над элементарными функциями. Но это уже
совсем другой вопрос: как отыскать для заданной непрерывной
функции f(x) ее первообразную F(х).
7

Математический анализ, доказывая существование первообразной
функции F(х) для всякой непрерывной функции f (х) ,
вовсе не утверждает, что ее можно просто отыскать; важно то,
что принципиально такая функция существует.
Дадим геометрическое истолкование задачи нахождения
первообразной функции. Пусть дана функция f(x) = 2х. Первообразной
для нее будет функция F(х) = х2. Зная одну первообразную
функцию, можно найти и все остальные, прибавив к
ней произвольную постоянную С. Таким образом, самое общее
выражение для первообразной напишется в виде
у = \ 2xdx = х2 + С.
Если постоянной С дадим ряд произвольных значений, например,
6, 4, 1, 0, — 2 , . . . , то получим соответственно у = х2 + б,
у = х2 + 4, у = x2 + 1, у = х2, у — х2 — 2 , . . . Кривые, соответствующие
этим функциям,— параболы, их оси симметрии совпадают
с осью OY. Построив графики этих функций, получим бесчисленное
множество парабол, сдвинутых относительно параболы
у — х2 на произвольный отрезок С по оси OY (рис. 1). Из
этого бесчисленного множества парабол можно выделить вполне
определенную кривую, если будет задана еще какая-либо
точка М(х0,Уо)- Такое задание равносильно заданию начального
значения г/о искомой функции у = F (х) при заданном значении
Хо. Это условие называется начальным условием. Начальное
условие позволяет определить произвольную постоянную С
в уравнении у — F(х) + С. Действительно, подставляя начальные
значения Хо, у о, получим:
Уо = Ғ(х0)+ С \
С = уц — F (х0).
Отсюда первообразная функция, удовлетворяющая
начальному условию, примет
вид:
У = F(x) 4- [г/о — F(Xo)].
Начальное условие для данной задачи
.. можно сформулировать так: найти ту параболу,
которая проходит через данную
точку М (1,3). Из начального условия при
Хо = 1. г/о = 3 из уравнения у — х2 + С
Рис. 1. находим С.
3 = 1 2 + С; С = 2.
Уравнение искомой параболы (кривой) примет вид:
у = х2 + 2
(на рисунке эта парабола вычерчена жирным шрифтом).
8

Интересно отметить, что для всех кривых F (х) = хг + С угловой
коэффициент k — y' = 2x~f(x) касательной будет один и
тот ж е для одного и того же значения х. Отсюда задачу отыскания
первообразной F(х) для заданной функции f(x) геометрически
можно истолковать так: требуется найти кривую y — F(x),
для которой имел бы место заданный закон изменения углового
коэффициента касательной
t g a = k = у' — f (x).
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие
основные свойства:
1. Производная неопределенного интеграла равна под интегральной
функции, а дифференциал неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению.
В самом деле, согласно определения
и
[\f{x)dx)' = f(x)
d(^f(x)dx) = (Ç f(x)dx)'dx = f(x)dx.
Из последнего равенства видно, что знаки d и I , когда первый
предшествует второму, взаимно уничтожаются.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен этой последней функции плюс произвольная
постоянная.
[dF(x) = F(x) + С,
где С — произвольная постоянная.
Действительно, функция F(х) есть первообразная функция
для F'(х), поэтому
или
^ F'(x)dx = F (х) + С,
\ dF(x) = F(x) + С.
Отсюда видно, что знаки d и ^ взаимно уничтожаются и тогда,
когда d стоит после
^, но только к функции, стоящей под знаком
d , нужно прибавить произвольную постоянную.
3. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.
Если k — постоянное {k ф 0), то
\ kf(x)dx = k\f(x)dx. (1)
9

Для доказательства достаточно продифференцировать правую
часть и убедиться в том, что производная правой части равенства
( 1) равна kf(x), а это очевидно, так как при дифференцировании
постоянный множитель можно вынести за знак
производной.
4. Интеграл от алгебраической суммы (разности) функций
равен алгебраической сумме (разности) интегралов от каждой
из этих функций.
J [Л (Х )± Л W ± . . . ± / . ( * ) № =
( Л (X) dx + / 2 (x)dx±...± ( /„ (x) dx. (2)
Чтобы доказать справедливость этого равенства, достаточно
показать, что производная от правой части равенства (2) равна
fi(x) ± f2(x) ± .. . ± fn{x), но это очевидно, так как производная
от алгебраической суммы равна алгебраической сумме
производных.
§ 3. Таблица основных интегралов
Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию,
поэтому в некоторых случаях можно найти первообразную
функцию непосредственно на основании формул производных
или дифференциалов от элементарных функций.
Каждая формула дифференциального исчисления непосредственно
приводит к формуле интегрального исчисления.
\f(x)dx = F(x) + С.
Например, так как
d (х2 + С) — 2 xdx,
d (sin x + С) = cos xdx,
то
f 2 xdx = x2 + C,
cos xdx = sin x + C,
10

Вспоминая формулы, по которым вычислялись производные
или дифференциалы элементарных функций, мы можем составить
таблицу основных интегралов.
I. 1' 0. dx = С.
II. ^ 1. dx = Гdx = х + С.
н и
III. \ x“dx — rç- j - j -f- С , (п Ф 1 ).
w f 1 , f dx 1 X
V. \ —5—p—гг dx = \ T — — a r c tg----- f- C.
J a- J û 4 « b a 1
... f 1 , f dx x
VI. \ —г-----= dx = \ . ■. = arcsin — +•
J Va~ — x2 J V a2 — x2 «
VII. f cfdx = — f- C.
1 ІГ1Д
VIII.
Л/др = .« •+ &
IX. ^sinA:i/.v = — c o s x - f C .
X. ^cos x dx — sin x -f C.
XI • [ — 1 -----dx = f — = - ctg x 4 C.
J Sin-JC J sm 2.ï
XII. f -----L — dx - f = tg .v + C.
J COS“.V J co s-.r b
Xul- f I T - f S ^ dx = ÏÏ74 = = , - 1" U + K F W I + c.
J J y . ï “ + a -
XIV. C 1 , J x = Г = 4 - ln I I + C.
j x- — a- J r - Æ - 2a | х + a j
Интегралы, помещенные в этой таблице, будем называть
табличными.
Для проверки этих формул достаточно показать, что дифференциалы
правых частей равенств равны подинтегральным
выражениям. Приведем несколько примеров проверки этих
формул.

1. Проверить справедливость формулы III.
Действительно
т. е. дифференциал правой части формулы III равен подинтегральному
выражению. Формула III верна при всяком п,
кроме п — — 1. При п = — 1 получили бы
Исторически понятие первообразной функции было тесно
связано с задачей об определении площади. Покажем, что первообразную
функцию можно истолковать как площадь криволинейной
трапеции, причем мы не будем входить в тонкости понятия
площади, а воспользуемся интуитивным представлением о
площади плоской фигуры.
Пусть дана на отрезке [a, b] непрерывная функция y — f(x).
Для простоты рассуждений предположим, что данная функция
принимает лишь неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру
ABCD (рис. 2), ограниченную кривой y~f(x), двумя ординатами
x — а, x = b и отрезком (a, b) оси ОХ. Фигуру, подобную
фигуре АВСД, называют криволинейной трапецией.
Обозначим площадь этой фигуры через Р(а,ь)-Прежде чем
перейти к вычислению этой площади, рассмотрим площадь фичто
не имеет никакого смысла.
2. Проверим формулу V.
arctg — -I- С
а а dx =
Формула V верна.
1 • d x dx
(а2 + x 2)
а - ------- ,—
а2 - f x 2
Примечание.
держащем нуль:
Формула IV применима в любом промежутке, не со
при х~> 0 [ln je]1—
при х < 0 Jin (— х)]
х
Аналогично проверяется справедливость и остальных формул.
§ 4. Неопределенный интеграл и задача
об определении площади
12

гуры ABMN, заключенной между ординатой х — а и ординатой
ММ, абсциссу которой обозначим через х.
При изменении х положение ординаты NM будет меняться,
что повлечет за собой и изменение площади ABMN, причем
каждому значению х будет соответствовать вполне определенное
значение площади, так что площадь криволинейной трапеции
ABMN является некоторой функцией от х; обозначим эту
переменную площадь через /%,*>• Найдем производную от функции
Р(п,х) по независимой переменной х. Для этого применим
обычное правило нахождения производной. Дадим независимой
переменной х приращение Ах. Тогда площадь Р(а,х) получит приращение
ДР(а,х)- Чтобы оценить это приращение, построим на основании
Дл: два прямоугольника: один с высотой у = NM, равной
наименьшей ординате на промежутке (х, х + Дх), второй с
высотой у "= L/C, равной наибольшей ординате на том же промежутке.
Очевидно, что площадь первого прямоугольника меньше
площади АР(а.х), а площадь второго прямоугольника больше
àP(a.x), так что
ч
I/Ах < АР, а, *) < у Ах,
или
Д Р(а, х)
У < — , У-
~Ах
Устремим теперь Ах к нулю, тогда
у и у будут стремиться к f(x)
вследствие непрерывности функции
y = f(x).
пред
Д.г ->0
ÀP(g. *) _ рг
Дх ~
: / (Х ). (2)
Таким образом, производная от переменной площади / \ а. Х),
ограниченной кривой, осью абсцисс, неподвиокной ординатой и
переменной ординатой, по конечной абсциссе х равна конечной
ординате у = /(х ). Другими словами, переменная площадьР(а,х)
представляет собой одну из первообразных функций для данной
функции у~1(х).
Полезно заметить, что если начальную ординату АВ, от которой
отсчитывается площадь, передвинуть, например в положение
А\Ви то все значения функции Р

Таким образом, неопределенный интеграл I f(x)dx геометрически
представляет собой площадь, ограниченную графиком
функции у = f(x), двумя некоторыми ординатами и отрезком
оси О Х . Неопределенность интеграла объясняется здесь тем,
что за начальную ординату АВ, от которой отсчитывается
площадь, может быть принята любая ордината кривой.
Если ж е положение начальной ординаты АВ фиксировано,
то есть, если уже выбрано начальное значение а, то Р(а. Х) будет
выражать вполне определенную первообразную функцию для
данной функции/(х). Эта первообразная выделяется среди прочих
значений неопределенного интеграла \f(x)dx тем, что при
х = а она обращается в нуль. Другие первообразные, которые
отличаются от Р(0, х, на постоянную, не могут иметь нулевого
значения при х = а. Благодаря этому свойству легко найти
именно эту первообразную функцию, если вообще известна
какая-либо первообразная F (х) для данной функции f(x).
Тогда первообразные Р(0, Х) и F(x), имеющие одну и ту же
производную f{x), должны отличаться одна от другой, как это
было доказано раньше, на произвольную постоянную С, т. е.
Р(а,ж) = F(X) + С. (3)
Для полного определения функции Р

образную для данной функции в виде переменной площади,
ограниченной графиком данной функции, отрезком оси ОХ, ординатой
х = а и некоторой подвижной ординатой, отвечающей
произвольно выбранному значению х на отрезке [а, Ь].
§ 5. Определенный интеграл как предел суммы
Понятие определенного интеграла является основным понятием
интегрального исчисления.
Рассмотрим еще раз вопрос о вычислении площади криволинейной
трапеции и изложим другой подход к решению этой
задачи.
Пусть дана непрерывная на отрезке [a, b] функция 'у — f (х) ,
где а < Ь. Для простоты будем предполагать, что график функции
у = f(x) расположен над осью ОХ. Другими словами, будем
считать, что все ординаты кривой положительны. Рассмотрим
площадь ABCD, которую обозначим через Р ограниченную
графиком функции у = f(x), двумя ординатами x — а, x = b и
отрезком оси ОХ. Вычислим площадь этой фигуры, представляющей
криволинейную трапецию. Для этого разобьем данный
отрезок [а, />] на п произвольных частей (рис. 3) с точками д е­
ления
а = л:0 < х 1 < х2 < . . . < Xk-i < хк < . . . < < х„ -- b .
Из точек деления проведем линии,
параллельные оси О У до
пересечения их с графиком
ФУНКЦИИ У— f (х) . ПЛ0ЩаДьЯ(а, 6)
разобьется на п вертикальных
полос. Основаниями первой,
второй,... к-ой,... n-ой полосок
будут соответственно:
.г, -- х0 , х, - хг , , . . хк — хл_, — хп- \ .
Обозначим через тк и М к соответственно наименьшее и наибольшее
значение функции f(x) в промежутке (хк, хк^г\ т. е.
наименьшую и наибольшую ординаты графика в этом промежутке.
Площадь k-ой полоски (криволинейной трапеции) за ­
ключена между площадями двух прямоугольников с общим основанием
хк — хк 1 и с высотами тк и М к.
или
пл хһ~[МЕхк < пл Xfi-iMNxj. < пл xk~iFNxk
/га,, (хк — Xh-i) < пл xh-\M N xk < Мк (хк — .
Прямоугольники Хи-\МЕхк и Xk-\FNxk являются входящими и
выходящими прямоугольниками для &-ой полоски. Вследствие
15

этого и вся рассматриваемая площадь Р(П,Ь) будет заключена
между суммами площадей входящих и выходящих прямоугольников,
которые обозначим соответственно через sn и S„, т. е.
^ Р(а, Ь) Sn .
Составим эти суммы. Очевидно, что
a) Sn = M i (Xi — а) + М 2 [х2 — х1)+ ... + Mt (xk хк^ {) + . . . +
4"Af/j-i (хл_і — хп—2) + м п (хп — дГп-і),
б) S„ = т , {хх — а) -(- т2 (х2 — Xi) + . . . + тк (хк — хЛ_,)
-f" ffln-l (Хп—1 Хп—2} ' тп ! Xn-l) .
Эти суммы называются интегральными суммами.
Составим разность
- s n = (М, — /и,) (хх — а) + (/И, - /»,) (x, — .v,) + . . . +
- |- (/И,. — /?/*) (А'* — JCh_|) -(-••• + (Мп- 1— ТПп—\) (хп- 1 — -v„_2) +
+ (Мп - от„) (х„ — х„_0 . (в)
Будем теперь неограниченно увеличивать число п делений отрезка
[a, b] и притом так, чтобы каждая из разностей (хк— хк-\)
стремилась к нулю. Тогда, согласно теоремы о равномерной
непрерывности функции, разность Мк— тк между наибольшим
и наименьшим ее значением в промежутке (х*-ь хк) будет стремиться
к нулю при неограниченном уменьшении длины этого
промежутка независимо от его положения в основном отрезке.
Обозначим наибольшую из разностей (Мк—• тк) через в„.
При предельном переходе, когда п будет неограниченно возрастать,
величина ғ„ будет стремиться к нулю. Заменяя все разности
(Мк— тк) наибольшей е„ и помня, что все разности
(хк—хк—]) положительные, из формулы (b) получим:
З п £» (Х\ ' û) -f Ея (х2 Xj) -|—. . . -(- Вп (Х п AT/j_i) -}“ ...- { -
или
+ s„ (Хп- l — X n -i) + Sn (Xn - X n -l) ,
Sn — sn ^ sn fxx — a -\- x2 — xk + . . . -|- xk — Хһ—i —(-
-f xn—i — x„_2 - f b - x„ - 1] = e„ (b — a ).
Отсюда можно написать
О < 5 „ — sn < en (b — a) ,
т. e.
пред (S„ — sn) = 0 .
П •*> oo
16

Б и б л и о т е к а !
Если предел S„ и sn существует, то
откуда
пред (Sn — s„) = п р ед 5 „ — пред
П-* ou П-+ оо II -> (х>
Вспоминая, что при всяком п
пред Sn — пред sn.
п -*00 п —>00
sn ^ Р(а, b) ^ Sn ,
и принимая во внимание равенство (г), делаем заключение:
искомая площадь Pоа
Эта сумма £' является более общей по сравнению с суммами
s n и 5 П, так как £* можно выбирать произвольно из промежутка
(дг*—i, хк), и, в частности, можно выбрать так, чтобы /(£*)
было равно тк, наименьшей ординате, или наибольшей Мк.
При таком выборе Һ сумма превращается в суммы s„ и S„.
2—880 17

Сумма S', тоже называется интегральной суммой и записывается
в виде
П
— xh-i). (7)
һ= i
Геометрически интегральная сумма (7) представляет собой
сумму площадей средних прямоугольников, образующих ступенчатую
фигуру. Аналогично, интегральная сумма
П
S „ = V mk(xk—xk_{)
/і = і
.геометрически представляет сумму площадей входящих прямоугольников,
а интегральная сумма
п
S„ = У Мк (хк Хк-1) —
к -1
сумму площадей выходящих прямоугольников, также образующих
ступенчатые фигуры (рис. 3).
Учитывая равенство (7), перепишем равенство (ж) в виде
П
пред V / ( У (хк — Xft-i) = Р(п, ь).
Повторим кратко ход наших рассуждений и дадим определение
определенного интеграла.
О п р е д е л е н и е . Пусть дана произвольная непрерывная на
отрезке [a, b] функция f(x). Разобьем этот отрезок на n произвольных
равных или неравных частичных интервалов с точка-»
ми деления а=х0

Предел этой суммы не зависит от выбора точек деления и промежуточных
значений |ь | 2, | з , . . . , \ п в частичных интервалах.
Этот предел называется определенным интегралом от функции
f(x), взятым по переменной х от нижнего предела х — а до верхнего
предела х—Ь и обозначается символом:
ь
\f{x)dx
а
(читается так: интеграл от а до b от функции эф от икс дэ икс).
Итак, по определению
пред /(? ,) Ьхк = j / (.v)

очевидно, что при этих условиях мы не смогли бы получить конечного
предела для интегральной суммы а. Вот почему интегрируемая
функция должна быть необходимо ограничена. Поэтому
во всех дальнейших исследованиях будем наперед предполагать
рассматриваемую функцию f(x) ограниченной, т. е.
m*Cf(x) < М для всех х, удовлетворяющих условию а-^х

Символика для обозначения определенного интеграла была
введена Лейбницем (XVII век). Знак интеграла получился при
этом от стилизации знака суммы, имевшего форму латинского
S; подинтегральное выражение f(x)dx напоминает отдельное
слагаемое
интегральной суммы (10).
/ ( ; * ) (** — Jfk-i) = Aхк
В заключение обратим внимание на одно важное обстоятельство
по поводу буквы х — переменной интегрирования. Величина
определенного интеграла, являющаяся определенным числом,
не зависит, конечно, от обозначения переменной интегрирования
х. Это позволяет нам переменную интегрирования в определенном
интеграле обозначать любой буквой. Величина определенного
интеграла зависит лишь от вида подинтегральной функции
f(x) и пределов интегрирования а и Ь. В силу приведенных за ­
мечаний, обозначение переменной интегрирования в определенном
интеграле никакой роли не играет, поэтому можем написать
J / (лс) dx =4 \ f (t) dt = J / (z) dz и т. д.
a a a
§ 6. Связь определенного интеграла с неопределенным
Непосредственное вычисление определенного интеграла представляет
собой довольно сложную задачу. Во-первых, надо составить
интегральную сумму (9); во-вторых, найти предел этой
суммы. При предельном переходе число слагаемых будет неограниченно
расти, а каждое из них
будет стремиться к нулю.
Например, рассмотрим функцию
f(x) = х2 и вычислим определенный интеграл
от этой функции в пределах от 0
до Ь, т. е. вычислим
ь
Çx-dx
а
Геометрически надо вычислить площадь,
ограниченную отрезком параболы,
отрезком оси абсцисс и двумя ординатами
дс=0, х = Ь (рис. 6).
Рис- f
Разобьем отрезок 0 < * < 6 на п равных частей длины h = ,
тогда искомая площадь будет являться пределом следующего
21

выражения (сумма площадей выходящих прямоугольников)
:
з = h (/г-’ + Т К -+ Ш - + . . . + iiW ) = /г3 (1- + 22 f З2 + • • • + » 2) =
= ~ (ГМ- 2* + 32+... + /12).
Из алгебры известно, что сумма квадратов и первых чисел натурального
ряда равна
отсюда
Р + 2 Ч - З Ч - .■. + »* = — +1,
b3 /г (л + 1) (2« -j- 1)
6
или
№
6
/г aj -f- 1 2 /1 + 1
n n n
При неограниченном возрастании п получим:
Таким образом
a = пред
дг-*- *c
b'J I. , 1 \ ( n , 1 \ 6 :i
T l ' + î 2 + ï = î
ih
r , ,
x2dx —
b:
n
На первый взгляд может показаться, что вычисление определен
ного интеграла не имеет никакой связи с задачей о нахождении
первообразной функции для заданной функции f(x). Тем не
менее и задача вычисления определенного интеграла, и задача
отыскания первообразной для данной функции f(x) тесно связаны
между собой.
Покажем, что если известна какая-либо первообразная функция
для функции f(x), то вычисление определенного интеграла
ь
[f(x) dx
производится сравнительно просто. Воспользуемся для этого
результатами § 4. Мы видели, что величина площади Р

переменному значению х, равна разности значений первообразной
функции для функции f(x), т. е.
Из всех первообразных функций
Р(а. Л)= F(x)~ F (а). (5)
Р(и, x) = \f{x)clx
первообразная (б) удовлетво­
для функции f(x), только одна
ряет начальному условию:
Р(а, х) == 0 при х = а .
Такую первообразную функцию, в отличие от всех других
первообразных, обозначают символом
Л '
I (x) dx
а
и называют определенным интегралом функции f(x) с переменным
верхним пределом (а — нижний предел, х — верхний предел).
Согласно этому определению можем написать
л:
P (a, x) == j" / (x) dx.
а
В этой формуле буква х является и переменной интегрирования,
и переменным верхним пределом. Во избежание путаницы переменную
интегрирования можно заменить любой другой буквой,
так как величина определенного интеграла, как это было отмечено
выше, не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Обозначим переменную интегрирования буквой t и перепишем
формулу в таком виде:
P(a.x)=\f(t)dt. (13)
а
Полученный результат можно сформулировать следующим об-
X
разом: определенный интеграл \ f(t)dt с переменным верхним
il
пределом есть функция этого верхнего предела, производная от
которого по верхнему пределу равна подинтегральной функции
f(x) при верхнем пределе:
( f f(t)dt)'= f(x).
а
Другими словами, определенный интеграл с переменным верхним
пределом (13) есть первообразная функция для подинтегральной
функции.
24

В этом и заключается связь между определенным и неопределенным
интегралами. Установив эту связь, покажем теперь,
как можно вычислить величину определенного интеграла
j / W dx,
U
если известна какая-либо первообразная функция F(х) для
функции f(x). Так как определенный интеграл с переменным
верхним пределом тоже является первообразной функцией для
f(x), то мы можем написать
jf(f)dt = F(x) + С * ,
а
где С — некоторая постоянная.
Определим эту постоянную из условия, чтоP(!,, Л)= 0 при х=а.
Величина площади Р

Рассмотрим разность значений первообразной функции
F(b) — F (а).
Очевидно, что величина этой разности не зависит от выбора
первообразной функции, так как все первообразные отличаются
одна от другой на постоянную величину.
Напишем сначала следующее тождество:
F (b)—/ 7( а ) = [ /:'(х1)—F (а)] + [/г (x2)—F (*i)]-|- [F (x0) — F (x,)] + • • • +
+ [ /7 (* l-)— ^ ( * * - 1)] + • • .+1/7 ^(x»-^]+[/=■(*.)—Ждсп_0], (1)
где a = x 0< x \< x 2< . .. < x ,!_ ,< x i. < . . .< x „ _ \< x n-=b.Теперь применим
формулу конечных приращений Лагранжа к каждой из
разностей, стоящих в квадратных скобках:
Ғ(хг) - F (a) = 'Ғ ' (У {хх — а),
где а < ^ < .v,
Ғ(х.,) — Ғ(х1) ^ \Ғ '^ г)(х2 — х1), где хг < < х.,.
..................................................................................................................! (2
F (хь) — FiXk-i) = F' (£*)(хк — хи- \ ) , где xft_! < ' к< хъ.
F(xn) — F (х„_,) = F' (;„) {b — xn- О , где xn_i

(j’ f(x)dx, а левая — [F(b) — P (o)], так как она не зависит от п,
(I
поэтому
b
F(b) — F (а) = \ f(x)dx,
что и требовалось доказать.
Обычно для разности F (b)— F (а) вводят обозначение:
или, в другой форме:
F(b)-F(a) =[F(x)t
F(b) — F (a) =F(X)\
а
(читается: подстановка от а до b в функцию Ғ(х)).
Формула Лейбница — Ньютона перепишется теперь так:
а
ь
ь
ij f (x)dx = F (х)\ = F (b) — F (a). (15)
a
Эта формула позволяет вычислить определенный интеграл
через разность значений первообразной функции, не прибегая к
правилу вычисления определенного интеграла, как предела
суммы.
Например:
п/2 п/2
I) \ cos x dx — sin x
о
3 3
2) Ç2xdx = x*\ ^ 3“ - l.;
1 1
1 1
:J) 5 т т ? = a r c , g '
a
= s in ^ -----sin 0 = 1 .
arclg 1 — arctg0 = - | - .
Приведенные примеры показывают, что если известна первообразная
для данной функции, то определенный интеграл от нее
легко вычислить.
Если же первообразную функцию для данной функции не
удается найти, то тогда вычисляют определенный интеграл
приближенно. Для этой цели иногда используют интегральную
сумму.
Замечание. Формулу Лейбница—Ньютона можно применять
в том случае, если подинтегральная функция f(x) непрерывна

на отрезке [а, Ь). Если же этого не принимать во внимание, то
можно сделать ошибку, например, если мы применим формулу
Лейбница — Ньютона к вычислению определенного интеграла
dx
получим:
dx
х2
IIf 1 I г 1
1
3
о
Это неправильный ответ, так как подинтегральная функция положительна,
а из самого определения определенного интеграла
следует, что интеграл от положительной функции не может быть
отрицательным. Ошибка здесь получилась потому, что мы применили
формулу Лейбница—Ньютона к функции f(x) — -^,г, которая
разрывна при л: = 0. Формула (15) выведена в предположении,
что функция f(x) должна быть непрерывна на данном
отрезке интегрирования.
Покажем применение формулы Лейбница — Ньютона для
вычисления определенных интегралов.
Пример 1. Вычислить
i x-’d x .
Применим формулу Лейбница — Ньютона
1/2
[f(x)dx — F (b) — F (а) , (15)
где F (x) — первообразная функция для функции f(x)
Р е ш е н и е .
i
i
x'dx — xti
b
Г/2 1/2
Пример 2. Вычислить
21
128 ‘
1 cos xdx.
о
Решение. Применяя формулу (15), получим:
TZ г.
[ cos xdx = sin л: | = sin тс — sin 0 = 0 .
о
о
27

Пример 3. Вычислить
dx
Л'2 —
—з
Решение. По формуле (15)
—2
Г
\
—з
dx
1 |П х — 1
л; + 1
~2 1 «
— -7Г ІП
•2— 1
- 2 + 1
1 , ; — 3 -1 1 _
2 — 3 + 1 !
Пример 4. Вычислить
Р е ш е н и е .
тс|6 п/ 6
г./ 6
\ tg xdx.
b
d (cos x)
= — ln Ico s*
COS X
тч/6
In |C O S + i—Jn Icos 0|
6 i
П p и m e p 5. Вычислить
r./2
, 1 /3 I I
In—£----- In 1 - t in К З - In 2].
I 2sin * cos xdx.
Решени e.
r.l2
it/2
^ 2sin*cos xdx = ^ 2slaxd (sin x) —
2sin*
i t / 2
= [2»m«/* - 2sln01 = 0,33.
ln 2 l n 2
Указание. Для нахождения первообразной применена формула
VII из таблицы основных интегралов.
Пример 6. Вычислить
1/2
dx
J K l - x -
28

Р е ш е н и е .
1/2 1/2
Г ^Х .
\ — ■ — arcsin x
J V l - x 2
arcsin -g— arcsin 0 = -g -.
§ 8. Основные методы интегрирования
Мы ознакомились с вычислением простейших определенных
интегралов с помощью формулы Лейбница— Ньютона. Достаточно
было найти какую-либо первообразную функцию F (х) для
ь
данной функции f(x), чтобы определенный интеграл ^ f(x)dx
а
было легко вычислить. Таким образом нахождение первообразных
для заданных функций приобретает исключительно важное
значение.
Рассматривая интегрирование как действие, обратное дифференцированию,
мы составили таблицу основных интегралов,
пользуясь которой можно найти первообразные для некоторых
функций. Однако многие задачи геометрии, механики и ряда
других дисциплин приводят к необходимости находить первообразные
и для более сложных функций. В таких случаях интегралы
от сложных функций стараются привести к виду табличных
интегралов. Для этой цели служат различные способы
или методы интегрирования. Познакомимся с этими методами.
Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования заключается в том,
что данный интеграл сравнивают с табличным интегралом. Если
окажется, что данный интеграл является табличным, или что
его легко привести к табличному интегралу, то при вычислении
такого интеграла и пользуются непосредственно таблицей основных
интегралов. Поясним это примерами.
Пример 1. Найти
Решение. Вспомнив, что интеграл от алгебраической суммы
функций равен такой же алгебраической сумме интегралов,
пзягых от каждой функции, пишем:
ах — b dx, = \ axdx — ^ bdx-\- j dx +
- f dx = a Ц xdx — b j* dx - f p + k j* ~ .
29

Первый, второй и четвертый интегралы напоминают табличные
интегралы (формулы II и III), а третий интеграл берется
по формуле IV. Пользуясь этими формулами, непосредственно
получаем:
j* (^ах — b + ~ + ^ ) dx = ^ ------ bx + p \n\x\ - kx -j- C.
Замечание. Мы брали здесь четыре неопределенных интеграла,
а произвольную постоянную обозначили лишь только одной
буквой С. Произвольную постоянную можно было бы прибавлять
в виде отдельного слагаемого после каждого интегрирования,
но поскольку сумма произвольных постоянных является
тоже произвольной постоянной, то для краткости записи эту
сумму обозначают одной буквой С, что и сделано в данном
примере.
Пример 2. Найти i (х:: - f 1) x2dx.
Решение.
получим:
Выполняя умножение под знаком интеграла,
f (x3 -f- I) x2dx — ^x'dx -f- ^ x2d x .
Полученные интегралы напоминают формулу III табличных интегралов,
поэтому
(г 1+ 1) x2dx — ( x&dx + Г x-dx — -I- хг' + х" + С. ( 1)
J J
Данный интеграл можно найти и другим способом. Заметив, что
1
d(x3 + ]) = 3x2dx, откуда x2d x = l} d(x* + I),
представим данный интеграл в виде
(.х -f I ) x2dx Г i r ; -j- I ) d (х' - f I ) ,
Полученный интеграл возьмем по формуле
и"du — + С, где и = х': + I .
^ (х3 + I) хЧ х = 1 f (х3 + \ ) d (x3 + I) = + С -
= l * n+ y x'+ îr + c- (2)
Сравнивая два полученных результата (1) и (2), найденные
двумя различными способами, видим, что они отличаются один

1
от другого на постоянную величину — — . Однако, это обстоятельство
существенного значения не имеет, так как разные
первообразные для данной функции могут отличаться на постоянные
слагаемые. Результаты (1) и (2) оба верные.
Пример 3. Найти
Решение. В таблице основных интегралов подходящей
формулы нет. Однако, легко подметить, что если числитель подинтегральной
дроби равен производной от ее знаменателя, то
интеграл от этой дроби равен натуральному логарифму знаменателя,
точнее
Действительно, так как f'(x)dx = df(x), то
В данном примере (Xs — 2х2 + 15)' = 3л:2 — 4х,
поэтому
= — In I c o s х I- f С .
Интегралы, приводящиеся к формулам
31

Пример 1. Найти f sin(0,2x + 5)dx.
Решение. Замечая, что
d (0,2х + 5) = 0,2dx и dx = d(0,2x -f fj) ,
получим: 1
Г 1 Г
^ sin(0,2x + 5)^х = -0 2 ^ sin (0,2x + 5 )d (0,2x + 5) -•=
Пример 2. [ соz'-xdx.
P e ш e н и e. Заменяя
будем иметь:
= — 5cos(0,2x + 5) + C.
cos2 x = 0,5 ( 1 + cos 2x),
I cos2x dx — 0,5 j ( 1 -|- cos 2x) dx — 0,5 | x -f- j + C.
Пример 3. ^sin2x cos2xdx.
Решение, sin2 x соь2х — (sin x cos x ) 2 = (2sin x cos x )1
= -p sin2 2x; sin2 2x = 0 ,5 (1 — cos4x).
sin2 x cos2 xdx = 1 1(1 — cos 4x) dx =
}.. q
Пример 4.
^tg2 xdx.
Решение. tg2x = sec2 x — 1 = — 5-------i .
s c o s2 *
I tg* xdx = j ( - 1 ) dx = tg I - x- + С .
Пример 5.
dx
Решени e. Преобразуем подинтегральную функцию
1 _ sin2x - j - cos2x _ 1____ 1
cos2x sln*x ’
32
П W + —W ) d x = * “ cts x + c -
1 sin2 x cos" X ] Vcoszx 1 sin2 л:
tJ

Л P и м e p 6.
dx
SiniX
P e ш e h и '
X
няя sin х на 2 sin — cos
Преобразуем подинтегральную функцию, заме-
X
то есть
1 1
sin X Г, . X X
2 sin ү cos T;-
Умножив и разделив знаменатель дроби на cos
,у, получим:
Перепишем эту дробь в виде:
г. . * Q Х
2 tg - - cos 7j
отсюда
1
г. i Х Ч Х
2tgyC O s2y
П 9 'Ү
2 c o s 2 -2-
. x
* T
( tgy
* *
t e -2
tg o
sin X
tg-
Поэтому по формуле (IV) получаем:
П ример 7.
Решение.
Г
dx
COS x
dx
tin x
dx
. COS .V
sin
dx
+ x
t g y
+ x
dx = ln tg -s- + C.
(XV)
= l n | t g ( ^ + ^ ) | + C. (XVI)
Последний интеграл взят по формуле XV.
Пример 8.
dx
1 + cos x
3— S80 33

Решение. Умножим числитель и знаменатель подинтегральной
функции на ( 1— соь х ).
d x ___ p ( 1 — cos x)dx f 1 — cos x ^х_
1 + co sx J (1 -h cos л:) (1 — cos x) j l — c o s2 x
1 —- cos x , P d x f cos xdx
-----—i------dx = \ ——5--------\ — — —— = — ctg x + cscx 4- C.
sin2x J sin -x J sin2x
Пример 9«
Решение.
5 c o s 3x — 3 c o s 2x4~ 9 ,
-----------^ „ — d x .
0,3 cos2 x
С 5 cos3 x — 3 cos2 x 4- 9 , 5 p , 3 f .
J --------Қ 5 Ж -------- dx “ W .1tos 1 03 ) ,lx +
, 9 r dx СО , ' 1л i i
+ 0 j J _ cosi T “ T 10 .Г -I- Э0 tg je -I- С .
Пример 10. \ A sin(co£ + cp)drp.
Решение. Замечая, что d (mt + ф) = o)dt и d t —
d(üit + ф ),
О)
получим:
л г*
\ A sin (a>t -f- 'f) d ’f — — I sin (wt -f
^sin/их cos/гх dx;
j cos/rax cos/гх dx;
Л sinmx'sinnxdx.
Решение. Преобразуем иодинтегральные функции по известным
формулам тригонометрии:
34
sin тх cos пх =
cos тх cos пх =
0,5 [sin (т + п)х + sin(m — п)х}\
0,5 [cos(m + п)х + cos(m — п)х]\
sin тх sin пх = —0,5 [cos(m + п)х — соь ( т — п)х].

Следовательно,
fsin тх cos пх dx — 0,5 Ц sin (m + n)xdx + ^sin(m — n)xdx\
откуда
^sin mx cos nx d x = —0,5
cos {m 4- n) x .
m -J- n
cos (m — n)x
fn — n
4- С .
Подобно этому найдем
f cos mx cos пх dx = 0,5
sin (m-\~n)x ! sin (m— n)x
m -j- n ' m — a
+• С ,
sin mx sin nx dx — — 0,5
sin (m 4- il) x
m 4 - n
sin (rn— n)x
m — n
4 -С .
Пример 12. I sin 2x cos 5xdx.
Решение, sin 2x cos 5.t = 0.5 [sin (2 4- 5)x 4- sin (2 — 5).v] =
= 0,5(sin 7x — sin 3x).
ij sin 2x cos 5xdx=0,b ^(sin 7x — sin 3x) dx —
= ~ ( 7 cos 3x—3 cos 7x) + C.
Пример 13.
cos 3.Vcos 7xdx.
Решение, cos 3x cos 7x = 0,5 (cos lO.v + cos 4,v) ;
f cos 3.V cos 7xdx = 0,5 [ Çcos 10xdx + i cos 4xdx] =
= 0,05 sin lOx 4- 0,125 sin 4x 4- C.
Пример 14. ^sin 2x sin 8xdx.
Решение, sin 2x sin 8x — —0,5 [cos (2 4- 8)x — cos (2 — 8 ).v] =
= —0,5 [cos lOx — cos 6x].
^ sin 2x sin 8xdx — — 0,5 ^ (cos 10 x — cos 6x) dx =
Л - /sin lO x s in 6 x \ 1 .
== — 0,5 — jQ--------------g-— I 4- С — — 0,05 sin 10 x + j 2sin + C-
Интегралы, приводящиеся к формулам
1
Vil \ axdx = ln a
(ax) 4 - C.
VIII \ e vdx = ex + C .
35

Пример i.
e%xdx ;
j e~axdx.
Решение.
Аналогично находим:
П p и m e p 2.
(* I f * 1
i eaxdx = — l e*xd (ал:) = — e*x - f C.
J J ®
(e-axd x = — - * r “A+ C.
.! a
\ 3a3xd x .
Решение. Так как d(2x) -= 2dx, откуда dx — d (2x ) ,
T o j 3 « , - | - 5 a ‘* r f ( 2 , ) = ^ - + C.
Пример 3.
^ £-i * + 4.ï + 3 ^ _j_ 2) і/л ’ .
Решение. Замечаем, что
d(x2 + 4х + 3) = (2х + 4 )dx ~ 2(х + 2 )dx,
откуда
(х + 2 )dx = 0,5d(x2 + 4х + 3);
f ех1+’х+3 (х + 2) dx = 0,5 f ex'+*x+3d (х- 4- 4 * + 3) = 0,5 е*+*х+3+ С .
Пример 4.
^^2cus.ir Sin x d x .
Решение.
d (co sx ) = —sin xdx, sin xdx — —d (co sx ) = — 0,5d(2 cos x) ;
Çe2cosx sin x dx = — 0,5 e2cosxd (2 cos x)== — 0 ,5 e 2cos* + С .
."b

Интегралы, приводящиеся к формулам
VI. Г___ —' — — arcsin — 4 С = — arccos — -(-С
J У а2 — х2 а
v- f - & г - !т « « * 7 + с — orcclg -«■ + с -
Г dx 1 i I * “ а I i г
X lV -t = 2 Н ІП | 1 Г Й Г І + С-
П ример 1.
dx
J 1 / 3 - . v 2
Решение. По формуле VI получаем:
С dx х . „ х _
\ -----—— -- - - - = — aicoiji arcsin - т г С o — — arccos - + L.
J у з - x2 К з V3
Пример 2.
Решение.
f* dx
) \ T - 9 x 3 '
dx Г dx
J ] / 4 - 9*s J V 4-(3x)* '
Очевидно, что d(3x) = Зг/лг, откуда dx=~d(3x), поэтому
О
с dx I r rf (Зх) 1 За' , „
\ ------- = ^r- \ - - = arcsin -ң - -Ь C =
1/ 4 - 9.r2 3 J 1/4 (3^)2 3 2
1 3x
— — -g-arccos — -[ G.
П p и m e p 3.
C dz
J 3 + г2 ‘
Решение. По формуле V находим
І — = —)= arctg -7 =+ С = —— a rcctg -^ = 4 -C .
•’ 3 + г3 К З 1/3 1/3 1 /3
Пример 4.
r du
J 4 + 9ка •
м

Р с ш е н и e.
du
] 4 + 9u2 )' 4 + (3u)2 ’ d (ЗИ^ " ’ du ~~ 3 d (3“ ^
Г du 1 3 u n J 3u . n
J T + 9 ^ - = T a r c ts T - + 6 a r c c tg T - + C -
Пример 5.
Решение.
ГЛ
x -f- 2
J y 3 -+ 2x> - d x .
(• x -\-z 2 j (• c xax xdx , 0 г dx 1 (• 4a'.dx ,
J З4 - 2x2 = J з Т 2х' "r ) Y T 2 x 'r “ T J 3 + 2*'- +
+213+tWЧ^ +^ +Ут3^ - y h C-
П ример 6.
(■ dx
\ Ц П Г а 2
Решение. Подинтегральную функцию - я—- 8 можно пред
ставить в виде:
Действительно,
-1 ( 1 1 \
2 а \ х — а х 4 а )
1
W _ i ____
5 х 4- cl — х 4- а
2 а ^ х — а х 4 “ а 2а (х — а) (х 4 - а)
Значит,
2а 1
2а (х2 — а'1) х2 — а2
С dx
dx 1 t1 dx
- 1 f
J х2 — а- ' 2 a J х — а 2a J х 4 а
= [In Iх — а [ — In I* 4 - я | ] + С = тг—1п| ?— а
2а 1 1 1 1 1 11 2а j х -}- а
4- С.
Убедились в справедливости формулы XIV.
Пример 7.
r* dz
1z2 —
38

P с ш e и и e. По формуле XIV пишем:
dz
П ример 8.
С dy
\ о,б4 — ф* '
P е ш с и и е.
r
’ ^ - 1 ln
J 0,04 — Ÿ2 «s2 — 0,04 2-0,2 “ Ÿ + 0,2
-в
1 OVo
или
dt
J 0 ,0 4 —V
- 2,5 In
? — 0,2

Вычислить интегралы:
УПРАЖНЕНИЯ
\. — -y = ^ jd x . Отв. -g-х5/3 — 2 V U -f- С .
2. Г (А ± 1Г_ dx. Отв. ^ ■** + Здг + ЗІп х - — + С.
J x* 2 ' х
3 - J ^ + 2fa -i- с dx■ 0 т ”' У 1“ ’ + ^ + f 1+ С'
4. С(a2/'3 - x 2/1)3 dx. Отв. а2х + ~ а 2/3х7/3 - а4/3*5/3 - ^ - f С.
«J i О о
Указание. Сначала нужно возвести в куб, потом раскрыть
скобки и, наконец, интегрировать.
5 \ - {02 + % / 2" - 0 Т В - у ^ + ^ ' / Ч С-
dx
. С -...-- - - - . Отв. - 2 1 / 5 - Л Г + С .
J | / 5 — л:
7. ^ sin* x cos xd x. Отв. -~ s ln 3x-4-C.
8 ' J* 3 ^ 1 4 ■ 0 т в - ^ 1 п |х г + 14 + С .
i* xsdx 1
9. \ ~ у 5 • Отв. у х3 — 2,5 х2 + 25х — 125 ln | x - f 5 1+ С.
Указание. Предварительно надо разделить числитель на
знаменатель.
10. \ у , Sin -р_. (x7In 5 -f- 1) с/х.
/
Отв. у 1 — sin + •* j + С-
Указание.
_ Sin —1= — постоянный множитель, который
можно вынести за знак интеграла.
i:
\ 1 * • 0 т в - — у з -----^ 7 + с -
X3 X2 V X 2
'10

12 ^ V хУхУх dx. Отв. y ^ x V x V х'! х -\-С.
13 . ((ln*)3-rff . Отв. (ln x)* + С .
Указание. Замечаем, что ү =
{.In л:).
'«■ î ï $ r ê = ï - 0m - т ' " і * + 3 “ ” і + с-
'5- f s T W P r - °' Ғ'"І8 + 0,2ГІ + С.
16.
Г 6ù . i du. Отв. 2 In е“ + I ;— а + С .
J

Указание. Умножить числитель и знаменатель на (1—sincp).
sin 11л: sin л: . _
26. ^ sin 5х ьіп 6xdx. Отв. — ^
+ — 5 г С.
2
sin 3/
‘27. \ cos \t cos It dt. Отв. - i c
J 22 6
C.
il ^ g
28 \ cos -r-z sin— dz. Отв. cos 0,52 — 0,5 cos z + C .
J 4 4
29. Сsin (2*4-1) cos (2.v— 1 )dx. Отв. — 4 -c o s4 x —
1 cos 2x + C.
30. ^cos(3x 4- 7) cos (2x — 5)dx. Отв. 0,1 sin (5x + 2) 4-
4- 0,5 sin (x 4" 12) + C.
42
Указание. Воспользоваться тригонометрическими формулами:
sin a cos (3 = 0,5 [sin (а 4- (3) + sin (а — P)],
cos а cos p = 0,5 [cos (а 4- P) 4- co s(a — P)].
Вычислить интегралы:
31.
32.
33.
34. j'
7 dx
Отв. arcsin
.v V 5
J V 3 -~ 5 x ^ 1 /5
V s
+ C .
3 dx
10 x
. O t b , 1 0 arctg
ь 4-0,09
3
dx
3* — 2
. О гв .-------- ln
4 —9x2 12 dx -f- 2
C.
+ c .
7 x2d x
. Отв. —U n L ï L _ J 2 ,
5 — x6 61^5 i x* 4 _ y 5
dx 1
35. ( —-------- . Отв. — arctg
.) 9 x2 r 4 9 3 1 /2
36.
cV 2
x”~l dx _ 1 xn . „
. Отв. — arctg — |- C.
x2n 4 - a2 an a
x" - 1 dx
r2 П
” ■ lé
38.
1 X"
. Отв. - a r c s in -----)- C.
a
+ c .
4 C.
f» H y i
\ (arc tg x)2 — -------. Отв. - (arctg x)3 4- C.
.) 1 4- x2 3

1 dx
39. \
J (arcsin x)3 Y 1— x2
40.
dx
1Зх2 — 2
1
. Отв. —
2 (arcsin x)2
. Отв. - U - i n ХУ З - У 2 ! + c ,
2 К б х К З + 1 /2
r» х'ах x'dx ^ 1 . 1
41. I ------------. Отв. — х3 4-х + — In
.! x~ х ! —- 1 T
3 2
1
А -+ 1
+ С.
Указание. Сначала разделить числитель на знаменатель
дроби.
42. Ç
43
44. 1‘
tJ
45. f
J
46. j
47. f
cos xdx
1 -|- s i n 2 x
. Отв. arctg (sin x) 4 C.
dz
2 . _ 2z + l
l -----—-------. Отв. -^ .a r clg
J Z - + z 4* + 1\ l/ з К З
d z
1
- . Отв. - ln 4 C.
z 1 — 7z 4- 10 3 x — 2
dx „ 1 л: -f 1
•— ----------- . О т в .- 7= arctg - K .
x2+ 2 x 4 2 1/2 K 2
dx 1 2* 4 -1 i „
--------------------. Отв. a r c tg -------1------\~ C.
4x2 + 4x + 5 4 6 2
dx
Y 5 — 2x-x
C.
n X ^ ! Г
. Отв. arcsin — = - + C.
V e
Указание. Преобразовать подкоренное выражение
5 - 2 х - х г = 5-(х2 4 - 2 х ) = - 5 - [(jc + 1)а - 1] «6-(jc4 I)2.
48. ^
r dx с d(x 4- 1)
.3 1/5 -2л :
d х
К 2 4 4х — 4х2
J j /e — (,*4-i)2
. Отв. 0,5 arcsin' — -j- C.
1 /3
dx
49. f
— . Отв. 0,2 arctg 4 C.
J x2 -f- 4x -j- 29 5
81 • h
d x
X2 — X — 6
2+ 6dx 4 1 3
Отв. 0,2 ln x — 3
x 4 - 2
4 C.
Отв. 0,5 arctg -----1- c.
С .

§ 9. Метод подстановки (замена переменной)
Многие интегралы не приводятся к табличным интегралам
так легко и быстро, как это было в предыдущих примерах. В таких
случаях стараются привести данный интеграл к табличному
интегралу методом подстановки.
Этот метод состоит в том, что | f(x)dx иногда можно
упростить, путем введения вместо х какой-либо новой переменной.
При помощи надлежащего выбора новой переменной
удается привести некоторые интегралы к более простому виду,
после чего их и вычисляют.
Выбор новой переменной существенно зависит от опыта и
искусства вычислителя; заранее невозможно указать общее
правило, применяющееся во всех случаях.
Иногда интеграл ^f(x)dx можно упростить путем введения
вместо х новой переменной t с помощью подстановки
тогда
л: = ф(/);
dx = ф '(t)dt.
В этом случае имеет место формула
^f(x)dx = j' f[y(t)]q>'(t)dt. (16)
Доказательство. Для доказательства этой формулы
достаточно установить равенство между дифференциалами от
левой и правой частей формулы (16).
Произведем дифференцирование:
d( f f(x)dx) = f(x)dx = f[q>(t)]

П р и м е р 1. j У а2 — x2 dx.
Решение. Данного интеграла в таблице основных интегралов
нет. Преобразуем подинтегральное выражение, введя новую
переменную t, полагая
х = a sin t (1 )
При замене переменной х через переменную t необходимо
сразу же произвести и замену их дифференциалов.
Из формулы (1) получаем:
dx — a cos tdt. (2)
Преобразуем теперь данный интеграл к новой переменной. Для
этого выразим подинтегральное выражение j й2 — х2 dx через
t, пользуясь формулами ( 1) и (2):
V а- — x2 dx = (/ а- — a- sin21 • a cos tdt =~
Отсюда
= а-\ 1 — sin2 / cos tdt — a2 cos2 tdt.
j У a2 — x2 dx — a- ^ cos2 tdt = — ^ ( 1 -f- cos 2 t) dt.
Последний интеграл легко берется с помощью основной
таблицы интегралов. В этом и заключается ценность способа
подстановки (способа замены переменной). Итак,
^ У а2 — x2dx = —■^ (1 -|- cos 2t)dt~^^ t + — j + С,
данный интеграл взят. Теперь нужно перейти к прежней переменной.
Из равенства (1) следует, что
а
откуда
■
t = arcsin
А'
—.
а
Выразим и sin 21 через х:
sin 2/ = 2 sin / cos t = 2 sin tV T ^ l rft = 2 • - I / 1 — X[ =
a y a2
2xV a2 — x2
o? ’
45

Подставляя вместо t и sin 21
или
а-
x2 dx — 2
их выражения через дг. получим:
* , 2x1 а2 — х2
arcsin - - 4 - - — ô— 5------
а 1 2 • а2
+ С,
(%).
Пример 2. Найти j (5л: + 7)9 dx.
Решение. Применим указанную подстановку t — i|)(x).
Пусть / = 5х + 7,
тогда
dt = 5dx,
Подставив в интеграл, находим:
dx —-г dt.
о
^(5х + 7)Ых= - \th lt = — - / 10 + С = 0,02(5л: + 7)10-[-С.
Пример 3. Найти^(ах + b) m

Решение. Обозначим а — х = г,
тогда —dx = dz, dx = dz.
Г = - f — = - ln Iг I + С = - ln Ia — X ! + C.
J a — x J z
Существуют различные подстановки и заранее сказать, какая
из них быстрее приведет к цели, часто не удается. Удачный
выбор подстановки зависит от практики.
Познакомимся с некоторыми подстановками.
_ ,, „ f dx
Пример 5. Наитн \ i7 = = p = = - •
J у х + а
Решение. В основной таблице интегралов такого вида
интеграла нет.
Для нахождения данного интеграла применим подстановку
Эйлера. Новую переменную вводят по формуле:
t = х + У х2 + а2
(а)
(подстановка Эйлера).
Для определения х и dx проделаем следующие преобразования.
Из (a) t — x = X х2 + а2. (б)
Обе части этого равенства возведем в квадрат:
t2 — 2tx + x2 = хг ± а2;
± а2 = t2 — 2ix.
Решая последнее равенство относительно х, находим
г + а-
2/
(в)
Выразим теперь | х2 ± а2 через t:
t1 4- а Р -г- а-
Vx2 + a* = t - x = t - ~ n )
- 2t 2t
Дифференцируя (в), получим

Подставляя в данный интеграл выражение
(г) и (д), получим:
Vх2 ± а2 и dx из
= 1п|гМ + С.
t 1 1
, .------------ — In I/ 1+ С.
V x2 + n2
Подставляя выражение для t из (а), получим окончательно:
f l ? = Й = Т = 1п1* + ^ ± ^ | V C . (XVIII,
J t x -f n2
Рассмотрим интегралы более общего типа и применим к ним
способ подстановки.
Пример 6» \ —ах b 1dx ^17^
J x2+ px-^ q j
Решение. Этот интеграл приводится к табличному интегралу
с помощью преобразования знаменателя дроби в сумму
или разность квадратов двух количеств.
Проделаем эти преобразования.
-Р\*
Pi
пли
Применяя подстановку
& + px + q = \x + Ù + ( р — ~
получим
x = t — I , dx = dt.
Выразим и числитель дроби через новую переменную t:
ах + b = a ft — + b = at — ү + b,
или, полагая а — A, b —
= В, получим:
ах + b = At + В\ (ах + b)dx — (At + B)dt.
Для простоты записи обозначим
48

q — !~ = ± a ?,
где знак ( + ) или (— ) нужно ставить в зависимости от знака
левой части равенства, считая а > 0. Данный интеграл перепишем
в виде:
axjj- b
d x =
J _ JF+px-b л*+рх Я
Легко вычисляется первый интеграл:
At-]-В tdt
dt
dt
J t2 ± о.*
/2 4 а* + в t2 4 а2
tdt А г 2tdt
4; а1 2 J /2 ± (X2
Вычислим второй интеграл:
В
dt В t D>Г dt
-------— = — arctg В
t2 4- а2 а а J t2 — а*
ln|*24 a5 4 С.
2а In
Суммируя полученные результаты, получим искомое выражение
для данного интеграла.
3 x 4 -2
Пример 7.
dx.
J х2 -f 4х 4-7.
Решение. х2 + 4х-Ь 7 = (х4-2) 2 — 4 4- 7 = (х 4-2)2 + 3.
Применим подстановку
■ р ' t = x+ ?2 .
' В данном примере t = х 4- 2, откуда x = t — 2,
Зх 4- 2 = 3(t — 2 ) 4 2 = 3^ — 4,
3/ - 4 2 tdt
f ~ ~ Х -+ 2 dX=[ - -- - - 4- «= - (
J Х Ч 4 x 4 -7 J / ч+ з 3 2 J Іъ -1-3
dx — dt.
î
dt
t2 4 3
или
ь
3 * 4 - 2
x* 4 4х -j--7
= - ln ! t2 4- 3 I
2
dx
- I n Iх2 4 - 4х-}-7
2
arctg - 4 = + С,
/ 3 Уз
4 . х 4 - 2 . «
- 7= arctg — 4 - С.
К З ] / Т
ах 4 b
П р и м е р 8 . j
dx.
(IB)
К x2 4 рх 4 q
Решение. Воспользуемся преобразованиями примера (6)
и перепишем данный интеграл в виде:
f й х -J- b
У х2 4 рх 4 q dx A t + B
t d t
dt
) V l ^ T ^ “ M V t* ± a2
4 —880 49

Вычислим первый интеграл правой части равенства подстановкой
t2 ± а2 = г2.
Тогда
2tdt — 2zdz, или tdt — zdz.
Откуда
А С tdt CZ_dz_A r d z_ Az = A У 1 Г £ ? .
J V f* ± Й2 J г J x
Второй интеграл берется по формуле XVIII:
ГІ p и m e p 9.
В f - = В 111 11 + K t 1 + a2 i .
J К + a2 ' ~ 1
f ...7 ..a x ^~.b~_- . . dx.
J Vq+px — *
Решение. Поступаем аналогично предыдущему.
q + рх — х2 = q —(x* — рх) = q — [(x — | ) 2 — £]=■-■
Обозначая
? + = «2;x —I = f, дс = t + ^ , dx = dt\
ax + b = û (f + | ) -f 6 = a? + ^ 4 6;
a = /4, />4 ^ = # или их + b — At + В.
Вводя эти обозначения, перепишем данный интеграл в виде:
г* ах + о b , с р At 4 t В ,,, . Ç р tdt
1 -dx = i dt = A\ ...... .......
J V Я ~b P x — x 2 • K a2 — t 2 J Y о? —/ 2
/■/ f _____ У
-f В l - ■_ . - = — Л ]/" a2 — t2 -f fi arcsin — [- C.
J K a2 — t 2
a
p arcsin 3x ,
Пример 10. \ ----- __ — dx.
3 y 1 — 9.Ï2
Решен» e. Применим подстановку
+

t = arcsin Зх.
Тогда
откуда
3 dx
dt =
Y 1 _ 9a2 ’
d x = 1 - d t
У 1 — 9л:2 3
и
i‘ arcsin 3xdx _ 1_^ ^ _ 1_ P r _ (arcsin 3x)- r
J Y 1 — 9л:2 “ 3 ) ~ 3 2 ~ 6
Пример 11.
p
dx
.) V - j - a 2)2 ’
Решение. Применим подстановку
x — a tg ф
dx = = a sec2

Пример 12. Найти I ------------------
J 2COS2 • x Г —-f sin ci n x v cos n r \ c x+ \'_L sin2*
Решение. Разделим предварительно числитель и знаменатель
дроби на cos2 *, затем применим подстановку
2 = tg дг,
d х
dz = —
cos*.*
dx
dx
cos2*
2 cos2 x + sin x cos * -f- sin2 x J 2 + tg x -f- tg2 x
dz
2 +z-j-z2'
В знаменателе подинтегральной функции выделим полный
квадрат:
2. + г + 2 = ( г + -і)г- - 5 + 2 - ( г + ! ) , + { .
dz Г dz ? d {z+ ÿ
J z 2 + z + 2 J {z + ^ )2 + 7 j ( z + ’-)2 + ^
1
^ 2 2 2z 4- 1
— — arctg z -[— 7-------1- C = —r= arctg " ------- \- C —
Y 7 V 7 V 7 Y 7
d x
Пример 13. j
J 3 cos2* + 4 sin2,*
Решение.
Применяя подстановку t — tg * ,
находим
52
d x
dx f Cos2x
3cos2*-j-4 sin2* - iJ 3+4tg2x

Решение. Аналогично предыдущему, применяя подстановку
z —tg х, будем иметь:
Г d x .........- 1 COS2 X ______ I d z
J 3 c o s2;t—5 sin 2.v i 3 — 5 tg - x \ 5z2 - 3 ’
dx
d z 1 V5
r - V 3
5 2 ] / 3 —ln - + V 3
5
C =
1 . jz 1 /5 — 1 /3 j ,
—=r— ІП
==H 4 - C
2 1 /1 5 2 1 / 5 + 1 /3
1 [У 5 tg x V 3
ln ' ----- - +
2 1/15 ! l/5 tg JC-f-|/ 3
-f C =
1 ; i] / 5 sin л: — l / 3 c o s x
ln
2 V 15 V5 sin x -f-l^ S co sA :
+ C .
§ 10. Общие указания о методе подстановки
Метод подстановки является одним из самых важных методов
интегрирования. Сущность этого метода, как мы видели,
заключается в том, что если нужно найти интеграл
J f(x)dx,
то стараются подобрать функцию ср(/) = х так, чтобы после
подстановки получить интеграл
Г /[Ф(t)W(t)dt,

который или находится по таблице интегралов, или вычисляется
без особого затруднения.
Наряду с подстановкой
■г = Ф (* ).
применяют обратную подстановку
t =
что мы и делали при вычислении некоторых интегралов.
Как найти в каждом случае удачную подстановку, может
подсказать только личный опыт.
Приведем некоторые общие указания относительно выбора
подстановок, которые нам еще не встречались. Если в подинтегральном
выражении встречается л: с различными дробными
показателями, например л;1/3, хъ^, хъ>7, то новую переменную /
нужно вводить с таким показателем, чтобы дробные степени с
основанием х обратились в целые степени относительно t. В данном
случае можно применить подстановку
Тогда
х = Iм.
^ (/84\8/7 _ /60
*1/3 = (/84 j l /З = /28 . *3/4 _ (/8) )3/4 ^ /63 . *7 1 ;
новая переменная i имеет уж е целые показатели.
Рассмотрим попутно вычисление интегралов типа
J /? ( x”) dx, (19)
t_
где R — рациональная функция от хп . Посредством подстановки
х = t \
где п — наименьший общий знаменатель дробных показателей.
Пусть, например, нужно найти \ —^=г----- — .
J ]/х (1 -$-\Ух)
В подинтегральное выражение входит х с дробными показателями:
* ,/2, * 1/3. Общий наименьший знаменатель этих дробей равен
6, поэтому для вычисления данного интеграла применим подстановку
х = t6.
Тогда
dx = б t5 dt,
откуда
* 1 / 2 = (/«)1/2 = /з. *1/3 _ (/6)1/3 _ /2
54

. — dx--- _ = б Г tbd± = g Г = g Г ( i .+ fl } j t „
) y j ( 1 + 'Ух) J /3(1+г2) J 1 4 ^ J 14~*2
= б f dt — 6 f ___1 L _ = 6(/~arctgt) + C =
J J 1 + /*
6 _ 6
= 6 ( V x — arctg V x) + C.
Рассмотрим интегралы, содержащие дробные степени выражения
а + Ьх, то есть интегралы типа
{ R [х, {а Ь **)■/»] dx, (20)
где R — гоже рациональная функция. Подинтегральное выражение
этого вида можно преобразовать в рациональную форму
посредством подстановки:
а + bx = tn , (21)
где п — наименьший общий знаменатель дробных показателей
выражения (а + Ьх).
Например, пусть требуется найти
С ___
dx______
) (7+ л-)3/24 V T + x '
Применим подстановку (21), полагая
тогда
и
\ + х =• Р,
dx = 2 tdt
(1 4 - х )3 / 2 = ( ^ ) 3 / 2 = /3. (1 + д -)1/2= = (/*)1/2= = /.
f ------------- ----= 2 f = 2 f = 2 arctgt 4 С =
J (1 4 *)3/2 4 (1 + *)' п J t3+ t J 1-Иа
=2 arctg]/1 -+-* -f C.
Если в подинтегральном выражении находится корень какойлибо
степени из линейного многочлена, бывает полезным принять
этот корень за новую переменную.
п p X" —(—3 ,
Приме р. \ -■——■4 -■— dx.
J V ( 2х — 5 )»
Решение. Применим подстановку ]/ 2х — 5 — t,
тогда
55

2х — 5 = /2; x = ■ dx — tdt,
2
откуда

4. \ x, Y l —х'Ых. Отв. — 1(1 — х3)*'2-\-С.
П о д с та н о в к а . гг= 1 — хя.
С . _______ л 20л:2+ 6х - 36 ---- ------ ------
5. ^ x Ÿ 2 x + 3dx. Отв. ------ — ----- \/2х + 3 + С.
Подстановка: 2х + 3 — г.
С d x _ х + 3 . ~
6. \ , у ——^ —= s - Отв. arcsin— ----Ь С.
V 7—бх — х* 4
cos 2л: + sin 2л: — sin^
2 dx.
(cos x — sin Jî)(sin x— 2 cos x4-1)
Отв. In j s i n x — 2 cos x + 1 -f C.
Указание. Преобразовать числитель
cos2a- -f- j-sin 2л' - sin2л: к виду: (cos x — sin л:) (cos x + 2 sin x).
І'
dx
Отв. ln [2л: -f 1-f 2 іЛ + х + хЦ +C,
V 1 X ~\~ X~ i r « j : 2
подстановка y 1 x x2= z — x.
9. ' \ x y T + i d x . O t b . 7 vs/ ( 1 + ^ ) 7 - 4 ^ ( 1 + ^ ) 4 + C,
подстановка 1-)- x — t\
10. f \/x-{- a dx. Отв. I (л: + a) \/x + a -f- C,
подстановка л:+ a = t.
1
11- j У 0,04—z-dz- Отв. - | z ] / 0 , 0 4 — z2+ 0 , 0 4 arcsin5z
+ C.
12- i > . v n ^ + ^ s , ^ + c .
І3' i У Ш Т Ш - ° T‘-3 i"№ + 2 + VWTWx) +c.
14. f Отв. - In lx'-l 4* i- 7 - 4 - arrl.gX t - -i-C.
J x2+4x+7 2 V 3 V 3
15. J Отв. 2 ү і Ц Г і + з i„ |,+ V ^ Ç i i+ c.
J* + 4 U « m i |n|4l, _ 5 |+ 1 ,nj_2î==K l
16 + c .
■) 4.V2 — 5 8 ^ Ү Ь \2x+ Vb
57

17.
f (bx — 2)dx 5 -------- 2 , _____, , _
J ~ V W = b ' ^ - 3 ^ 3 ^ - 9 - y ~ l n l ^ + ^ - 3 l + C .
1Q r cos xdx . /sin л:\ . _
18. \ —t= = . Отв. arcsin —=■ 4-C.
J 1/2—sin2* \ K * /
f slnxcosxdx
__________
19. \ i/

H O
d(uv) = udv + vdu.
Проинтегрируем это равенство:
поэтому
откуда
\ d(uv) = \udv + \ vdu,
\d(uv) = uv + C,
uv + С = i udv +\vdu,
\ udv = uv — \vdu + C. (22)
Это и есть формула интегрирования по частям.
Формула (22) приводит вычисление интеграла \ udv вычислению
интеграла \vdu, который может оказаться более прос-
тым, нежели \udv.
Покажем применение формулы (22).
Пример 1. Вычислить x sin x dx.
Решение. Подинтегральное выражение представляем в
виде произведения udv.
Что же следует принять за и и что за dv? Пусть
Применим формулу (22) и получим:
jx sin x dx = —х cos д: + j cos x dx = —x cos x + sin x + C.
Интегрирование по частям дало возможность заменить подинтегральную
функцию x sin х более простой функцией cos х.
Для получения функции v пришлось интегрировать выражение
sin xdx, отсюда и название: интегрирование по частям.
Пример 2. Вычислить
тогда
Решение. Пусть'
\ j/x2 ± a? dx.
и — Y x1 ± a2 , dv = dx ,
Г x2dx
Y x 2+ a2 dx = x V x 2 ± a2 — \ лГ . ~
r - J y x2± a2
Вычислим второй интеграл.
(a)
59

с л:2dx Г (х2+ а2) + а2 , (* х2±а2 , _
\ v F T w - ) - i 9 ^ — dx=\ v W T T dx +
+ а ~ ^ у ^ Г + ^ = ^ У х * ± а3 ^ + я 21п * + К х 2 ± а 2 I- (б )
Подставляя в равенство (а) выражение для найденного интеграла
(б), получим:
\ V х 2± я2 rf.v — .v-J/V ± а2 — j Vx2+ a2 dx ±
± a2In I x -f У х 2± а 2 .
Перенесем интеграл из правой части в левую:
2 [ |/х2 + а2 dx — x V x2 ± а2 + a2ln jx + V x2+ a2 |,
или окончательно
\V x 2 ± a2 dx — 0 ,b [x y x2 ± a2 ±a2In x + V x 2 ± a2 ']-f-C.
(XIX)
Эту формулу следует включить в таблицу основных интегралов.
Пример 3.
f\Vx2~+2dx.
Решение. По формуле X IX получаем:
J У х 24- 2dx = 0,5 [х У х 2+ 2 + 2\п\х + У х 2 4-2 ] + С.
Пример 4. Вычислить
\

для найденного инте­
Подставляя в формулу (а) выражение
грала (б), будем иметь:
п 1 з в* г
I еах cos (Зх dx — — елх cos fix + e*x sin px — 1 eax cos(3x dx
или
откуда
1 + £ ) f e» c0! p* dx - J » c° sfe+ g.f.ln. M f -«,
/
C n . (a cos Sx + 3 sin Bx) e,x , „ ......
^ cos dx = —---' - aâ + p - ---- ^ ( *
1
Пример 5. Вычислить lx ln fl + J L )dx.
J
x
Решение. Преобразуем сначала подинтегральную функцию
In f 1+ -bj — ln — In (x -f 1) — ln x .
^x ln j 1 4 — \dx — ^x ln (x 4 1) dx — ^x In x dx.
Вычислим первый интеграл, стоящий в правой части равенства,
полагая
тогда
и — In (1 4- x), dv = xdx\ du — . -, v — — x2 ;
4 1 ’ 1 -f- x 2
С* 1 1 r\ y lf j r
\ x ln (1 4 -x) dx = y x2 ln |1 + x\ — y ^y x ~ “ •
Разделив числитель дроби x2 на знаменатель x 4 1, получим:
о ткуд а
x2 i , l
1 + х “ * 1 + х '
^ - S(* - ' + -4*'- * +'" ! * +11-
Следовательно,
J -ягІп (дс 4 -\)dx = у x2ln I x -|- 1 I — x _ A-In Ix-f t| =
= Y (* 2— 1) ln I* -f 1! 4 y X — ~ x2 .
61

К интегралу ^ x In xdx опять
ния по частям, полагая
применим формулу интегрироваdv
= xdx,
откуда
Итак,
J
çx d.
x
— -jr- x2In Ixl 4~ -r- x24- С =
2 i i 1 4 i — (лг2— 1) 1n x 4" 1 ( - ү Х 21п|х|4-|-4-С.
Способ интегрирования по частям применяется в разнообразных
случаях. Особенно важное значение этот метод имеет
для интегрирования:
1) дифференциалов, содержащих произведения, в частности,
произведения тригонометрических и показательных функций;
2) дифференциалов, содержащих логарифмы;
3) дифференциалов, содержащих обратные тригонометрические
функции.
В заключение рассмотрим вычисление интегралов типа
i) Рп W е'* d x ,
где Р п (х) — целый многочлен степени п.
Вычислим, например,
(23)
Г

(Зхз _ 17) eix = 2

3. ^arctgxdx. Отв. .varctgx — ү In jl + дг2; + С.
4- \x*lnxdx. Отв. _ p r ^ln W _ _ : T j + C .
5. ^sin x ln (cos x) dx. Отв. cosx(l — In :COS лс) ) -f- C.
6. ^x arctg (xl )dx. Отв. arctg (x2) — -— In 1+х4 +C.
7. Ç x3e2x dx. Отв. j- f4*3 - 6*2+ 6x — 3] e2* -f C.
8. x3(ln д-)2dx. Отв. 2 (ln x f — ln x + J -f C.
9. ^ Ух s>nY J dx. Отв. 2 (2 — дг) cos y j -f 4 y j si n y j + C .
10. ^x3arctgxtf*. Отв. — jy *3+ arctg * + C.
11. ^дгsin *cos xdx. Отв. ~ sin 2x---x cos 2x -f- C.
12. [ . dx. Отв. — ^—r~ ln \x — ln jx + 1 + С.
J (X -f 1) x + \ 1
13. ^sec*xln \\gx\dx. Отв. tgлг[In tgjcI — П -f-C.
14. f *> (5 — x!)'l* dx. Отв. — i ** (5 — **)*/* — j f -(5—t f f ’+C.
15. f «“ sin bx dx. Отв. + с.
16. \ e~x sin 2x dx. Отв. — 0,2 (sin 2x -f- 2 cos 2x) e~x + C.
17. ^ (x — l)*sin2xdx. Отв. -----1 -f- —■cos 2x + С.
С x arcsin x
______
18. ^ ■y j — ==- dx. Отв. x — j/ j _ * * arcsin дс-f- L.
64

§ 12. Основные свойства определенного интеграла
Определенный интеграл
b
\ f(x )d x
а
мы определили как предел суммы вида:
5 j / ( S i ) Д х.к’ (Хh -1 îjt X k) ;
I
причем мы считали, что а < b и в соответствии с этим х^^Кх^.
Для дальнейшей теории это ограничение неудобно, поэтому
полагаем в случае, когда
1) а = b
ь
а
('f(x)dx = ^f(x)dx = 0\
2) a > b
а
a
b
a
a
f(x)dx = — ^ f(x)dx.
Действительно, применяя формулу Лейбница— Ньютона, мы получили
бы:
b
J f(x)dx = F (a) — F (а) = 0;
а
[F'(x ) = f(x)).
u
\f(x)dx = F ( b ) — F (a ) = —[F (a) — F (b )] = — \f(x)dx.
Перечислим основные свойства определенного интеграла.
I. При перестановке между собой верхнего и нижнего пределов
интегрирования определенный интеграл лишь меняет свой
знак, сохраняя при этом абсолютное значение.
b
a
^ f(x)dx = — i f(x)dx.
II. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования.
b
j' f(x)dx = F { b ) — F (a ),
а
J f(t)d t = F ( b ) - F ( a ),
a
5 — S 8 0 65
а
b
b

следовательно,
ь
ь
j' f(x)dx = \f(t)dt.
a
a
III. Пусть a < c < b, тогда всякая функция f(x), интегрируемая
на каждом из отрезков [о, с] и [с, Ь], интегрируема и на
отрезке [а, Ь] и
b с b
I f{x)d x= j* f(x)d x+ j f(x)dx.
a a c
Д оказательство. Пусть F(x) есть первообразная
функция для f{x).
Тогда
a
j f(x)dx = F(b ) — F(a)\
j f(x)dx = F ( c ) — F (a)-,
a
j f(x)dx = F (b) — F (c).
Û
Складывая эти два последних равенства, получим:
t. e.
a
с
b
\ f(x)dx + ij’ f(x)dx = F (с) — F (a) + F(b ) — F (c) =
что и требовалось доказать.
c
b
= F(b) — F ( a ) — f f(x)dx,
b c b
f f(x)dx = j f{x)dx + j f(x)dx,
a a c
Аналогично можно было бы доказать, что если а < Ci <
< с2< . .. < с„ < b и функция f (х) интегрируема на каждом из
отрезков [a, cj, [сь с2],..., [с„, Ь], то она интегрируема и на отрезке
[а, Ь] и
a
66
Ь с, г,
^ f(x)dx = [ f(x)dx + і' j(x)dx + ... + j f(x)dx.
a ci ct cn

IV. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и k —
лю бое постоянное число, то функция kf(x) также интегрируема
на отрезке [a, b] и
b
ь
kf(x)dx = k Г f(x)dx,
т. е. постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла.
В самом деле, так как для любого разбиения отрезка [a, b]
п любого выбора точек имеет место равенство
£ k fih ) Axi = k І ]/(?,) A X i,
/-i
то, переходя к пределу, получим
i=i
ь
ь
I kf(x)dx = k Г f(x)dx.
а
Это же условие сохраняется и при условии а > Ь.
V. Если функции f\(x) и f2(x) интегрируемы на отрезке
[а, Ь], то и функция fi(x) ± /2(*) интегрируема на этом отрезке.
а
\ [fi{x) ± h(x)]dx = \fi(x)dx ± j f2(x)dx.
à a a
Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] произвольным
образом на отдельные отрезки, на каждом таком отрезке
выберем произвольно точку и составим интегральные суммы
для всех трех интегралов, причем точки будут одни и те же
для всех трех сумм:
П
£ [/і ( Ы i fifth) ] (Xk-xh~\) = £ / i (Çd) {Xh — Xk-i) +
ft=l 1
n
П
± £ / 2 ( U ) 1 ) - (a:
1
По условию каждая сумма справа имеет конечный предел, следовательно,
существует конечный предел и для суммы слева, а
это значит, что функция fi{x) ± f2(x) интегрируема на отрезке
[а, Ь].
Переходя в предыдущем равенстве (а) к пределу, окончательно
получим:
ь ь Һ
j [/,(*) ± f2(x)]dx — ^ fl (x)dx ± f f2(x)dx.
а а а
67

Последнему соотношению можно дать и другую словесную
формулировку: определенный интеграл от алгебраической суммы
равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов
от каждого слагаемого.
Покажем, что это свойство имеет силу и при а > Ь.
Действительно, по формуле I можем написать:
a
J I M * ) ± h(x)]dx = — \[fi{x) ± h{x)]dx.
В интеграле справа нижний предел, по условию, меньше верхнего,
поэтому к нему можно применить только что доказанное
свойство V, т. е.
j l/l (x) ± f i(x )]d x = — j [/, (*-) ± f o (x )]d x = — [ j A (JC) dx +
a b b
b
± \/, (x) dx] = [— ( x)dx ] + [ — \f i (x) dx] = j' / х(л:) dx +
b b b a
± ( /2 (x) dx.
§ 13. Теорема о среднем
Теорема о среднем значении является одним из важнейших
свойств определенного интеграла. Прежде чем сформулировать
эту теорему, докажем две вспомогательные теоремы.
Теорема 1. Если f(x) «С ф(х) на отрезке [a, b] и функции
f(x) и ф ( л : ) интегрируемы на этом отрезке [a, b ] , то
b. ь
\f(x)dx <
а
другими словами, неравенство можно интегрировать. В самом
деле, при любом разбиении отрезка [а, Ь] и любом выборе точки
^согласно условий теоремы можем написать:
п
£ / ( S f t ) ( * * ’— *fc-i) < S ? и * * — .v*_i),
k--=1
h=l
отсюда, переходя к пределу, мы получим:
68
а
? ь
/ (д:)dx < Г ср(дг)dx.
п
м
а

Сказанное можно пояснить и геометрически. Для простоты
рассуждений предположим, что обе кривые, заданные уравнениями
у = /(х) и у = ф(.Ү>,
лежат над осью ОХ. Из рисунка видно (рис. 7), что фигура, ограниченная
кривой у = f(x), отрезком оси ОХ и ординатами х = а,
х = Ь, лежит полностью внутри фигуры, ограниченной кривой
у = ф(х) и теми же отрезками, в силу чего площадь первой фигуры
не превосходит площади второй
фигуры, т. е.
b
b
^ f(x)dx < f ф(x)dx.
Дополнительно докажем еще одну теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) — С постоянна на отрезке
[a, bI то
ь
ь
I = \ f(x)dx = ^ Cdx = C(b — a ).
a
a
Доказательство этой теоремы не вызывает затруднений, так как
при любом разбиении отрезка [a, b] и при любом выборе
точек gi будем иметь:
откуда
ïl/ (^ )(^ — xh- i)= С Yi(xh — xh^ ) = C ( b — à),
k=l *=|
/ = пред É/(ïfc )(** — xh-\) — C(b — а).
ДХҺ ® Һ—1
Из теорем 1 и 2 непосредственно вытекают следующие два следствия.
Следствие 1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке
[a, b] и если в любой точке х этого отрезка
m < / (* ) < М,
где m и М постоянные числа, то
ь
m \b — а) < Çf(x) dx < M (b — a).
69

Действительно, на основании теоремы 1 неравенство
можно интегрировать, поэтому
или на основании теоремы 2
/п < / ( * ) < М
ь ь ь
^mdx < ^/ (x) dx 0; [ф(х) < 0].

Тогда
ü
f(x) (f(x)dx = /( 1) j ф(х)с(х, (24)
где I некоторое среднее число между а и Ь.
Доказательство. Положим для определенности, что
i < 0 и ф(х) > 0 для всех .v на отрезке [a, b].
Обозначим наименьшее и наибольшее значения функции
f(x) на отрезке [а, Ь] соответственно через т и М, так что
тогда
a
m < f(x) < M (1)
m ? (х) < / (■*) ? (■*) < м ? (х)'
b b b
m ^tp(x) dx < j / (x) cp(x) dx < УИ ^«p(x) dx. (2)
a a a
В силу предположения ф(х)>0 напишем
ь
\Ф (x) с/х > 0.
a
b
Если этот интеграл равен нулю, то \ /(х)ф (x)dx = 0 и
U
справедливость формулы (24) очевидна. Разделив
ь
неравенства (2) на ^ф(х)с/х>0,
получим:
а
b
j f (x) 9 (x) dx
все члены
Отношение
m < — ь----------- < M -
\ T (x) dx
a
b
\f{x)

значе­
жуточное значение, т. е. должно существовать такое
ние х = I (где а < I < Ь), что
ь
\f(x)

является ординатой f (l) кривой у = f(x) в некоторой средней
точке отрезка [a, b).
Другими словами, рассматриваемую площадь, ограниченную
кривой, отрезком оси ОХ и двумя ординатами x = а, х — Ь,
можно представить равновеликим ей прямоугольником с тем же
основанием (Ь—а) и с высотой, равной одной из ординат кривой
отрезка [а, Ь].
ь
S(a,b)= \ f(x ) dx = (b — a) f (с),
где І — некоторое среднее число между а и Ь.
Пример 1. Определить среднюю величину электродвижущей-
силы за один период, т. е. за время от t — 0 до
t = Т, если электродвижущая сила вычисляется по формуле:
Е = Е а sin 2 г4
где Ео — постоянная,
Т — период тока (постоянная),
t — время, переменная.
К решению данной задачи применим
теорему о среднем значении. Вспоминая, что среднее значение
функции на отрезке [а, Ь] равно частному от деления определенного
интеграла от данной функции на длину самого отрезка
можем написать:
откуда
Е 0 J . 2 nt .
~ \ sin - y d t ,
— COS 2 u t
= - § i ( c o s T r ~ cos ° ) = - l r ( 1 ~ 1 , “ 0 -
Итак, среднее значение электродвижущей силы в течение
одного периода равно нулю.
73

Пример 2. Найти среднее значение 1т силы переменного
тока за промежуток от 0 до ж/ш.
где со =
2 7Г
/ = /о sin (ùt,
; /о — максимальная сила тока. Применяя формулу
(26), получим:
1 тс/ш /
/м
1
= —г-
ТГ/Cl) J
f /оsin 10* dt — — —
тгсо
7 о
COS со/
' о
тс
CÜÎT ,, 1 2/0
C O S ------- - CO S 0 = — .
(1) J It
Итак,
1т — /о = 0,63/0.
TZ
Замечание. Приборы, измеряющие силу, напряжение и мощность
тока не могут давать показаний, соответствующих их
быстрому изменению (в технике сильных токов до 50 циклов в
секунду, а в телефонии до 5000). Отклонения подвижной части
прибора соответствуют поэтому только средним значениям измеряемых
величин.
В некоторых случаях (например, в электротехнике) рассматривают
среднее значение квадрата функции
~bzr^l[f ^ dXr (27>
а
Корень квадратный из этого среднего называется средним квадратическим
значением функции на данном промежутке.
Среднее квадратическое напряжение определяется по
формуле:
i / 2 - i j m . (28)
Средняя квадратическая сила переменного тока вычисляется по
аналогичной формуле:
b
где V е — действующее напряжение,
I е — действующая сила тока.
/2е = ү $ l 2dt, (29)
о
Пример 3. Рассматривается синусоидальный переменный
ток.
74

а) Найти действующую силу тока 1е за период Т, если
/ = /оsin сot.
б) Определить действующее напряжение V„ за период Т,
если
V — Vo sin сot.
Решение. Действующую силу тока определяем по формуле:
pe = l j p d t ,
О
р0sin2со/ dt = 1— cos 2Ы) dt =
2Т
/2
2 Т
t
sin 2сat' 7g/T sin 2а>7Л
2со о 2Т\ 2Т
со= ~ ,
sin 2соТ = sin 4тс = 0 'j.
Итак, действующая сила тока
/е= У ^ = ^ = , или /,гз 0,707 /0.
Поступая аналогично, мы определили бы и действующее напряжение
=* 0,707 1/0.
Замечание. Показания теплового амперметра и теплового
вольтметра характеризуют лишь некоторые средние этих
величин. Например, если тепловой амперметр показывает
I е= 10 а, то фактическая максимальная сила тока
/о = J t Ÿ 2 о, или /0= 14,1 а.
Точно так же, при V e= 110 6, максимальное напряжение
V0= Vey 2 b = 110-1,41 = 155, le.
Пример 4. Найти среднюю ординату синусоиды у = sin х
1) для 0 < л: < 2те,
2) для 0
75

Р е ш е н и е .
1)г/:
2n
1 2г 1
^ sin x dx = — [cos x]0 = 0.
1 1 r' 2
2) ym— — ^sinxdx~ — — [cosx] = — ss 0,637.
о 0
Полученный результат можно иллюстрировать геометрически.
Площадь, ограниченная синусоидой и отрезком ОП оси
ОХ, может быть представлена равновеликой ей площадью пря-
2
моугольника с основанием ОП и высотой цт — .
П р и м e р 5. Найти среднее
значение давления р,п при изменении
объема его р от 2 до
10, если давление р и объем V
связаны:
1) pv — 80,
Рис. 9.
Р е ш е н и е .
1 ‘2 80 dv
а) Рт 10 — 2 J v
2) pt/*-37 = 160.
10
10 ln v 10 (In 10 — ln 2) =
lOln 5^ 10-1,609= 16,09.
1 I?
б) g- J 160 гг-1.37 dv ;
2
160.zr_1,37+1 [°
8 (-1,37 + 1) Г
20
_ _ ^ ( 1 П —0 ,3 7 ____0 - 0 ,3 7 -1 _
0,371 1
20 1 1
0,37 120-37 10°-i7
18,8.
§ 14. Существование первообразной функции
Мы ознакомились с интегралом
ъ
I = \ f(x)dx.
а
Не изменяя смысла этого символа, мы можем заменить переменную
интегрирования х на t, получим:
ь
ь
1 = j f(x)dx = j f(t)dt.
76

Теперь будем рассматривать верхний предел как величину
переменную, которую обозначим через х.
При каждом данном значении х, для которого функция f(x)
непрерывна, интеграл I имеет определенное значение, поэтому
/ будет функцией от х; обозначим эту функцию через F(x ):
F (x ) = j f(t)dt.
a
При x = a, F (a) = 0. Докажем, что F(x) = f(x). Заменяя теперь
х на x + h, где h— произвольное число, находим:
£(дс + А) = | f [ t ) d t = ^ f ( t ) d t + ^ f \t)dt ^ F (x) + j' f(t)d t,
a a x x
И Л И
x+ h
F(x +h) — F(x ) = j f(t)dt = h f(x+V h), (1)
X
где 0 < Ө < 1.
Отсюда следует, между прочим, что пред [F(x + h) — F (х)] = 0,
(при /г-> 0), т. е. функция F (х) непрерывная функция для всех
значений х, для которых f(x) непрерывна.
Из выражения (1) следует:
Когда h стремится к нулю, любое значение х+ Ь h стремится
к х, значение же f(x +0Л), в силу непрерывности функции f(x),
стремится к f(x), так что
пред — — Пред f ( X -\-hb) или Ғ' [x] —f(x ).
һ-у о Һ һ~>0
Этот результат доказывает следующую теорему.
Теорема. Какова бы ни была данная функция f (x) непрерывная
на отрезке [а, Ь], всегда существует другая функция F (х),
непрерывная на том же отрезке, и имеет производную, равную
f(x).
Эта функция есть определенный интеграл
Мы доказали, таким образом, существование первообразной
функции от всякой непрерывной функции.
77

Из наших рассуждений вытекает также, что всякая непрерывная
функция f(x) имеет первообразную функцию или неопределенный
интеграл.
X
Функция F i x ) — \ f (t )d t
есть та первообразная функция
а
для f(x), которая обращается в нуль при х — а.
В заключение отметим, что если F j(x) есть какая-нибудь из
первообразных функций для f(x), то всякая другая первообразная
функция для f(x ) равна
где С — постоянная.
Отсюда
Положив х = а, получим
(так как F (а) = 0).
Значит,
F \(х) + С,
F ( x ) = F\(x) + С.
- 0 = Ғ,(а)+С
С = — F, (а).
Ғ(х) = Ғ\(х) — F,(а),
Полагая x = 6, будем иметь:
Ғ(х) = j f(t)dt = F,(x ) — F, (a).
a
ь
І' f{x)dx = Fi(b ) — F i(a ).
a
Мы снова пришли к основной формуле, которая позволяет
вычислить определенный интеграл с помощью первообразной
функции.
§ 15. Замена переменной под знаком определенного
интеграла
Рассматривая связь определенного интеграла с неопределенным,
мы получили формулу Лейбница—Ньютона:
ь
Ç f(x)dx = F ( b ) — F (a ). (10)
а
. -г. - - . . у
Из этой формулы видно, что определенный интеграл, рассматриваемый
на заданном отрезке [а, Ь], на котором f(x) есть
непрерывная функция, равен разности значений неопределен­
78

ного интеграла, вычисленного при верхнем пределе b и нижнем
пределе а. Вычисление определенного интеграла, таким образом,
сводится к вычислению неопределенного. При вычислении
неопределенного интеграла мы часто пользовались методом замены
переменной (подстановкой). Этим же методом можно
пользоваться и при вычислении определенного интеграла.
Правило замены переменной под знаком определенного интеграла
установим с помощью основной формулы (10). В применении
способа замены переменной при вычислении неопределенного
и определенного интеграла имеется существенная
разница.
Выразим в определенном интеграле
ь
t f(x)dx
а
переменную х через новую переменную t, применив подстановку
x — q>(t).
Правило замены переменной в определенном интеграле выражается
формулой:
(а)
ь
з
^ f(x )d x = ^ f [v f (t )]^ '(t )d t . (30)
а
а
Пределы интегрирования а и b выражаются через пределы
интегрирования а и (3 новой переменной t по формулам
ф(а) = а и ф((3) = Ь.
(б)
Формула (30) замены переменной под знаком определенного
интеграла верна лишь при известных условиях. Сформулируем
эти условия.
1. Функция f(x) должна быть непрерывна на некотором
основном отрезке [А, В], содержащем отрезок [а, Ь].
2. Функция ф(t), во-первых, определена и непрерывна на
некотором отрезке [а, (У и не выходит за пределы отрезка
[А, В], когда t изменяется на отрезке [а, (3]; во-вторых,
ф(а) = а, ф(|3) = Ь\
в-третьих, на отрезке [а, р] существует непрерывная производная
ф'(t).
При соблюдении этих условий сложная функция /[ф(0J
есть непрерывная на отрезке [а, р], функция t и формула (30)
замены переменной под знаком определенного интеграла будет
верна.
79

Действительно, рассмотрим сначала определенный интеграл
левой части равенства (30);
ь
^ f(x)dx = F (b) — F (а).
a
Пусть теперь верхний предел 6 = ф (Р )— величина переменная,
зависящая от аргумента (3, а — постоянное, тогда
Ь

где С — [постоянная, не зависящая от р. Отсюда следует, что
если аргументу р давать любые значения, то величина постоянной
С при этом не изменится. Этим обстоятельством воспользуемся
для вычисления постоянной С.
Пусть р = а, тогда ф(а)=

Выполняя подстановку, будем иметь
1 * г./б / 6 г./ 6
\ V 4 — x* dx = Г ]/4 — 4 sin21 . 2 cos tdt — 4 ij cos2tdt
tc/6
2- 1 ( 1 + cos2 t)dt — 2 t +
sin 21 :/a
= 2
2
7Г
6
sin
J L I 1 3
3
3,91325.
Пример 2. Вычислить j (a2— x2) 2dx.
Решение. Для вычисления этого интеграла применим
аналогичную подстановку:
х — a sin t,
тогда
dx = a cos f Л.
Находим пределы интегрирования для новой переменной:
при х = 0, 0 = a sin г1, откуда t — О,
при х — а, а = a sin t, sin / = 1,
u
откуда t
2 ’
Выполняя подстановку, получаем:
I (а* — x2)1 d х = \ [а1— a2sin2/]2acos td t =
ô
'о
n/2
2 1
5j (1 — 2 sin21+ sin4/) d sin t — a5[ sin t — g-sin3/ + gSin5/]0=
-2 + i
3 5 15
Замечание. Применяя способ подстановки к вычислению неопределенных
интегралов, мы всякий раз после интегрирования
возвращались к прежней переменной. При вычислении определенных
интегралов способом подстановки, как видно из приведенных
примеров, можно этого не делать, так как после замены
переменной и нахождения пределов интегрирования для новой
переменной оказывается возможным получить окончательный
числовой ответ.
82

Можно, конечно, и при вычислении определенных интегралов
поступать так, как при вычислении неопределенных интегралов:
сначала путем подстановки найти первообразную функцию,
затем перейти к прежней переменной и, подставляя верхний
и нижний пределы интегрирования, получить числовой
ответ. Однако, в большинстве случаев этот второй способ оказывается
гораздо сложнее первого. Поэтому рекомендуется при
вычислении определенных интегралов способом замены переменной
пользоваться правилом, примененным к решению примеров
(1) и (2).
Решение. Применим подстановку
тогда
х —
3
cos t
cos21
Определим пределы для новой переменной t:
при л: = 3, cos t = 1, откуда t = 0;
при х = 6, cos t = —, откуда г =
Выполняя подстановку, будем иметь:
з
о
о о о
Пример 4. Вычислить
о
Решение. Применяя подстановку
1 _ *2 = t2,

находим dx и пределы интегрирования новой переменной:
х2 = 1— t2, 2 xdx = — 2 tdt, xdx = — tdt,
при x = 0, t = 1; при x = 1, / = 0.
Следовательно,
J
f* _ г
КV
( t2— 1) t d t
dt
t3— t
2
3
Замечание. Переставив пределы интегрирования, изменили
знак у определенного интеграла на обратный.
Пример 5. Вычислить
Р е ш е н и е .
i
С
dx
J х2+2х-\-5
о
dx
- Î
i
dx
Применяя подстановку
находим
x + 1 = г,
dx = dz.
Пределы интегрирования для новой переменной z:
Имеем:
при х = 0, 2 = 1;
при JC = 1, 2 = 2.
■ ь с/г 1 arctg -
2
arctg 1— arctg
Пример 6. Вычислить
= 0,5 — arctg 0,5
i
arctg z d z
Г
1 + z 2
84

тогда
Решение. Полагаем
x = arc tg z,
, dz
dx — ---- .
1+ z2
Пределы интегрирования:
при z = 0, x — 0;
i
при z = 1,
я
х =-^.
Отсюда
г. /4 r.jA
i
arc tgz d z
7U
( x d x = 1 X 2
T + z 2 J 2 _ 32 =
О О О
При решении задач иногда бывает полезным установить, является
ли подинтегральная функция четной или нечетной.
Определение. Функция f(x) называется четной функцией
х, если при любом х
и нечетной, если
f ( - x ) = f (x), (31)
ï ( - x ) = - f ( x ) . (32)
Например, функция cos х есть функция четная, так как
cos(—х) — cos х\
функция f(x) = х2 есть тоже функция четная, так как
/(__*) = (
х )2 = х2 — f(x).
Функция sin л: — нечетная функция.
Действительно,
sin(—х) = — sin х.
Функция f(x) = х3— тоже нечетная функция х, так как
Интересно отметить, что
1) j1 f(x)dx = 2 J* f(x)dx,
f (—x) = (—x )s = —x3 = —f(x).
если f(x) — четная и
4-а
2) ^ f(x)dx = 0,
—а
если f(x) — нечетная.
85

Убедимся в справедливости написанных равенств.
Разобьем интеграл
+ а
на два интеграла:
\ î(x)dx
—а
+ а 0 +а
I f(x)dx = ^ f(x)dx + \ f(x)dx.
—а —а О
В первом интеграле в правой части равенства произведем
замену переменной
х — — t,
тогда
dx = dt\
при х = —a, t — а\ при х — 0, t = 0.
Отсюда
Ç f(x)d x= — ^ f ( — t ) d t = [ / ( — t )d t = ^ /(— x)dx.
—Cl à 0 î)
Здесь мы воспользовались двумя свойствами определенного
интеграла: во-первых, переставив пределы интегрирования, переменили
знак интеграла на обратный и, во-вторых, переменную
интегрирования обозначили опять буквой х.
о
Подставляя полученное выражение интеграла \ f(x)dx в
предыдущую формулу, получим:
—а
j f (x) dx — j f ( — x)d x + J f (x )d x — Ç [/ (— x) 4 f(x)]dx.
—a 0 0 0
Легко теперь сделать следующий вывод: если функция f(x) четная,
то сумма f (—x) + f(x) = 2f(x) и тогда
+ а а
I f(x)dx — 2 I f(x )d x . (33)
-а 0
Если же f(x) нечетная функция, то сумма
и
86
f (—x) + fix) = 0.
\ f(x ) dx = 0. (34)
—а

Применим полученные формулы к решению примеров.
Пример 7. Вычислить
+ п'2
^ (cos2x -f хг sin x) dx.
- п / 2
Решение. Разобьем данный интеграл на два интеграла:
+ г./2 +"/2 +г./2
f (cos2x + л2sin x) dx = f cos3xdx-f- f x2sin xdx.
- n / 2 - n / 2 - n / 2
+ n/2 -12
f cos2xdx = 2 f cos2xdx, гак как cos2x — четная функция.
—п/2
О
Функция x2sіпх — нечетная, так как
поэтому
/(—х) = (—x )2sin(—x) = —x2sin х = —f(x),
+ п|2
[
х2sin xdx = 0.
—n/2
тІ2
Вычислим первый интеграл 2 ^ cos2xdx.
0
n|2 9 , Т-І2
2 j" cos2xdx = - ^ ( 1 -f cos 2,v) rfx = (1 + cos 2x)c/x.
о 2 b ù
Положив 2лг = t, находим
2 dx = rf/; rfx = 0,5c//.
7C
При д: = 0, t = 0; при x = ^ , t = л.
тс/2 1 1
^(l+cos2x)

тогда
dx — 1/2 dz
cos* z
Для отыскания пределов интегрирования новой переменной
подставим поочередно в уравнение (1) вместо х сначала нижний
предел х — 0, потом верхний предел х = \/2 :
Теперь
при х = О, 0 = { 2 tg г, z — 0;
при х = 1/2, V 2 — У 2 tg 2, г = г •
4
К Г ^ ж/4
Î (2 + 4- я2) хг) V 2 + х2
dz
(2 + 2tg2г)3/2 . cos2z
dz
тс/4
— кі
= V 2_ f
dz
2 1 V/ 2 J j| ((1+tgV)3/2 2;J cos'*г •sec3г
- і Ь
тс/4
coszd z--
sin г
*/4
1 j / 2
2 2
S3 0,3535.
Замечание. При вычислении определенных интегралов, содержащих
под знаком интеграла выражения вида V а2—х2,
]/а2+х2, ]/ х2—а2 в некоторых случаях бывают очень удобны
тригонометрические подстановки:
Если содержится
то удобна подстановка
/ а 2— х2 х — a sin t
'Іх2-+- а 2
x = atgi
/ х г — а 2 x — a sec t.
П ример 9. Вычислить
ш
^ [/g*__\ dx.
Решение. Применим теперь подстановку
t = яр(х) ,
88

в нашем случае
тогда
t =1ех — \,
е* — 1 = t2\ e* dx = 2tdt\
н подинтегральное выражение примет вид
______ 2 t d t 2 t*dt
У e*- 1 dx = t • ge — •
Находим пределы интегрирования:
а так как е,п‘ = 2, поэтому
при х = 0, t — У е°— 1=0,
при х — In 2, еІП* — 1 — t2,
t = У е,а‘ — 1 = у Т ^ Т = 1 .
(Полезно запомнить тождество:
Итак,
elnjr = х).
Г , _____ г 2 С Л „ г (i! + l ) — I
0 0 0
d / '
1 I
2 j* dt — 2 Ц — 2 [t — arctg / ] = 2 (1 — arc tg1) =
o
o
= 2(1 - s 0,4292.
Пример 10. Доказать, что
a
ci
j f(x)dx = \ f(a—x)dx.
o
o
Д оказательство. Для вычисления интеграла
применим подстановку
тогда
( f(x)dx
о
x = а — t,
dx = — dt
89

\ f(x)dx = — \ f(a— t)dt = \ f(a—t)dt.
Ь (т о
Так ка« величина определенного интеграла не зависит от обозначения
переменной, поэтому в полученном интеграле можно
вместо t написать х и тогда получим:
а
а
^ f{x )d x — j f(a —x)dx, (35)
о
о
что и требовалось доказать.
Пользуясь этим равенством можно показать, например, что
я/2 те/2
j cosmxdx. (36)
о
В самом деле, в силу равенства (35) имеем:
о
так как
1C К ГС
2 2 2~
Ç b\nmxdx— j [sin(^— x)]mdx — ^ cosт xdx,
Пример 11. Вычислить
sin ( - — х) — cos х.
2
я/4 ,
dx
) a1cos2x -f- b2sin2х '
Решение. Разделив сначала числитель и знаменатель на
cos2x, получим:
dx
п/4 п/-1
dx (* cos2*
о
о
2-f 62tg2.v
Подинтегральная функция непрерывна, однозначна, на отрезке
( 0, •Применим подстановку
tg X = Z.
Эта функция и ее производная (tgx)' = — непрерывны тольcos2x
ко в промежутке (—
90
^ )•

Данные пределы интегрирования полностью лежат в этом
промежутке, следовательно, указанная подстановка применима.
Из уравнения г — tg х определяем пределы интегрирования новой
переменной z:
при х = О, 2 = tg 0 = О (нижний предел);
ти
тс
при х —- , z — tg - — 1 (верхний предел).
4 4
Выполняя подстановку, получим:
*l4 dx 1
о
a2-f 62tg2x
Интересно отметить, что при b — а — 1 получим:
dz
1 ! [+*» [ a i c t î Z = !,rct* 1
6.
Так и должно быть, потому что при а = 1 и b = 1.
П/4
f dx ç dx г
f
,) аг cos2x -\-b 2sin2.v ,j cos2x-f sin2JC ~ J
Пример 12. Вычислить j -7г
COS2ср-f b2, sin2cp
л:
Решение. Подиитегральиая функция по-прежнему непрерывна
и однозначна на данном отрезке [0, я], но подстановку
интеграла
г = tgcp
теперь уже применить нельзя, потому что функция 2 = tg ф не
является непрерывной на данном отрезке: при ф =
d ср
~ она претерпевает
разрыв непрерывности. Если бы мы применили указанную
подстановку к данному интегралу, то получили бы неправильный
ответ.

В самом деле, при z = tg ф пределами интегрирования новой
переменной z будут:
Значение интеграла
при ф = 0, 2 = tg 0 = 0;
при ф = я, z = tg я = 0.
о
d

n
t
1=12
x sin X
1-f- cos2x dx- (rc - t) sin (it — t) л i Г (TC— t)sintdl
1 + [cos (л — t) ]a d‘ - + j 1+ c o . V -
«|2
«12
«12 « j 2
u s in /
1 -f- cos2/ dt г tsin td t ___ г sin tdt
J 1-f- cos-1 " J 1+ cos2/
«12 . ,
ç xsmxdx
J 1-f- cos2x '
В последнем интеграле заменили переменную интегрирования
t через х.
к т:|2 т
f xsinxdx _ Г xsinx dx Г
J 1-f cos2x J 1+ 1 + cos21 C O S2 ! K J
si ntd t
1-|- cos21
«|2
’ xslnxdx
1 -f- cosa x
I
«|2
sin tdt
1 - f COS2 t
n 2
d (cos/)
1 -+ cos2/
= — u arctg (cos /) = — тг [ 0 — arctg 1 ] = — .
у п р а ж н е н и я
Замена переменной под знаком определенного интеграла
Вычислить интегралы:
+ 1
!• j* j jq —ү ’ подстановка x = tgс?. Отв.
— 1
5 _____
2. j* Y * î dx\ подстановка: х — 1= z 2. Отв. 2(2—arclg2).
i
4/з
3. 1 — ;------ : подстановка z — — . Отв. In 3 — In 2.
.1 z V z 2 -L 1 x
3/4
93

. f* cos® dv „
4. \ ~---=—t---r — 2 ’ подстановка: sincp = /. Отв. ln 4/3.
6 — 5 sin cp+sin2cp T 7
o
Г x^dx 0 1
5- j a? + x2' подстановка x2+ a 2= z2. Отв. — a 2(l —ln2).
0
o
1 -4- cos 2x ,
- fl.V.
2
n/2
cosA'dx+l (—*cosx)dx. Отв. 2.
ü n/2
Указание. Интеграл разбить на 2 интеграла:
4
7. \--- , подстановка V x — /. Отв. 4 — 2 In 3.
J1 +
о
п/2
8. С sin x cos2xdx, подстановка cosa-=/. Отв. — •
тс/4
„ Г* (sin ср—) COS ср)с?ср 1
9. \ -— — -— ;—ô , подстановка: sin а>—cos

§ 16. Метод интегрирования по частям
(определенный интеграл)
Метод интегрирования по частям применялся при нахождении
неопределенных интегралов. Этот метод можно использовать
и при вычислении определенных интегралов.
Пусть даны и — f(x) и и — ср(х) непрерывные вместе со
своими производными на отрезке [a, b] функции. Из формулы
дифференциального исчисления
dx
U (x )Ф « ] = f(x )ср'(х) + ф(х)Г(х)
путем интегрирования в пределах от а до b получаем:
ИЛИ
Так как
ъ ь ?
\f(x) ф ( X ) ) = j /(дг) ф ' (x) dx -t \ ф (x )f'(дг) dx,
а а а
ь
j f(x)y'(x)dx = [f(x)(f{x)] - j cp(x)f'(x)dx.
a a a
(ç'(x)dx = dv и f'(x)dx = du,
b
последнюю формулу можно записать в более простом виде,
удобном для запоминания:
ь ъ ь
^udv — [uv] — §vdu. (37)
а а а
Это и есть формула интегрирования по частям определенного
интеграла. Из формулы (37) видно, что вычисление одного инь
теграла f udv сводится к вычислению другого интеграла
Ъ
а
j1 vdu, который при удачной разбивке подинтегрального выраа
жения на произведение и и dv может оказаться более простым.
Перейдем к вычислению определенных интегралов с помощью
метода интегрирования по частям.
е
Пример 1. Вычислить 1 In xdx.
i
Решение. Подинтегральное выражение In xdx разобьем
на два множителя, полагая
и = ln x,
dv = dx\
95

тогда
. dx
du — — , v = x.
x
Применяя формулу (37), получим:
i
e с i
p е л Ха X е
J In xdx — [xln x] — \ --- = [xln x — x] — [eln e — e] —
i 1 i x 1
— [1 ln l — \] = e •1— e — l- 0 + l = l.
я/2
Пример 2. Вычислить [ x2sinxrfx.
i
Решение. Разобьем подинтегральное выражение на два
множителя, полагая
и = x2, dv = sinx dx\
тогда
du — 2xdx, v — —cos x.
Применим формулу (37):
я/2 я/2 я/2
Г я/2 (>
3 x2sinx dx = — [x2cos x] + 2 ] xcosxdx=2j xcos xdx.
о 0 о о
Первое слагаемое обратилось в нуль после подстановки пределов
интегрирования. Для вычисления последнего интеграла
применим еще раз формулу интегрирования по частям, принимая
и = х, cosx dx = dv,
тогда
du = dx, v — sin x
и
* / 2 n / 2 тс/ 2 / ^ я/2
2 ( xcosxdx = 2{[xsin x] — j sinxi/x } = 2 ( - + cos x
6 0 о \2
Итак,
96
Пример 3. Вычислить
= « - 2 ss 1,14159.
я/2
f x2sinxûfx=n — 2 ^ 1,14159.
ô
i
arcsinxdx.
J

тогда
Решение. Полагаем:
и = arcsin x,
dv = dx,
dx
du = , v = x;
У \-x >
1 !
f* ^ P x dx
\ arcsin* dx = [x arcsin x] — \~ = = [1 arcsin 1— 0]
J 0 J K l - X 1
O
+ []/I^-T2] '= ^ - - 1=0,5708.
o 2
УПРАЖНЕНИЯ
ч/2
^ x sin xdx.
о
Интегрирование по частям
Отв
7Т
2. \xsin3xdx. Отв. ÿ.
iK
3. \ arccosxdx. Отв. I.
Ü
1
4. \/2sin/d/. Отв. — 2 + (cos 14- 2 sin I
о
я/2
5. f cos10xdA-.
û
г./а
6. \ si n ex dx.
y
0
r./2
7. \ cos*xdx.
J
0
«/2
8 . [ .чіп7а і/ дг.
°
r./î
9. Ç sin4xcos2x dx. 0 TB-^2
7—880 97

к/2
10. J cosmjc cos [m -J- 2)xdx. Отв. 0.
o
f72
i
11.) cos^xsin (m2)xdx. Отв. •
o
m r.
n/2 C O S ----
Л
O
12 \ sinwxcos (m -f 2)xdx. Отв. — _ _ _ r _ .
oJ « + 1
т к
n/2
cos —
2
13 f slnmxsin (/rc + 2)xdx. Отв. — ---—
o
m — любое положительное число.
r./2 n/2
§ 17. Вычисление интегралов j*sinmædx;j* cos”‘.rc/.r
0 0
В приложениях встречаются интегралы таких типов, где т —
целое положительное число.
Вычислим эти интегралы.
п/2
Л
I
о
s1
sin mxdx = 1т .
Решение. Для вычисления /.„.применим метод интегрирования
по частям, полагая
тогда
Получим:
и = sin*""1Л',
du = (m— l)s in CT_2x cos* dx,
dy = sinx dx;
y = —cosx.
Л/2 г-/2 /о
p A n/2
/,„= l sinmx dx = I sinm_1j f . sinxdx= [—cosxsin"*-1*] -fo
b 0
n/2
+ ( m — 1)1 sinm~ 8xcos2x dx.
98
Первое слагаемое равно нулю, потому что при
х — 2 ' cos 2 = 0, а при х = 0, sin 0 = 0.

Следовательно,
Заменяя
получим:
г./2
I m = [m — 1)1 sin’'1-2* cos2xdx.
cos2.* = 1— sin2*,
(m — 1) j sin”*-2 x dx— [m — 1) sinmx dx.
0 0
Второй интеграл в правой части равенства есть интеграл 1т ,
а первый интеграл того же вида, что и второй, но только с показателем
степени при sin х на две единицы меньше. Обозначим
этот интеграл через I т -2-Приняв такое обозначение, перепишем
последнее равенство в виде:
откуда
или
1т = (т — 1) /т _ 2 — ( т — 1) 1т ,
1т + ( ^ 1 ! Ли == І ) I т —г
Полученная формула носит название формулы, приведения, так
как она приводит вычисление определенного интеграла 1т к вычислению
интеграла того же типа /от_2 с показателем степени
при sin х на две единицы меньше.
Заменяя в формуле (а ) т на т —2, мы вычислим интеграл
(б)
Интеграл 1т -\ опять вычисляем по формуле (а), заменяя /л
на т ■— 4:
(т — 4)
т — 4
и т. д.
1 т — 4 — В)
99

Подставляя в формулу (а) полученные выражения для интегралов
будем иметь:
1 т — 1, 1 m—4> 1щ —6> • ,
, т — 1 т — 3 т — 5 т — 7 , ,
= ■ ------ П --------- : -------- - ' т -8 . ( Г )
т т — 2 т — 4 т —6
Очевидно, что при m = 2k (четном) данный интеграл при
ведется к интегралу
п/2 к/2
/0= j Sln°*d.V= j dx S» -,
о o 2
т. e. в случае четного показателя при sin х в равенстве (г)
последний множитель будет равен /0 =
Итак,
О
п/2
. , (2k— \ ) ( 2 k ~ ‘à ) . . .5.3-1 « _
sin л:оде = —---- :— —------------------ • - • (оо)
2k {2k — 2) . . . 6-4-2 2
Если же показатель степени у sin х будет нечетным
(rn — 2k -|- 1), то интеграл \т приведется к виду:
п/2 п/2
/, = J sin* dx — — [cos x] = 1,
o
o
т. e. при нечетном m = 26+1 в равенстве (г) последний множитель
будет равен 1.
Значит,
о
sin2*+' xdx— ^ ^ ^ ^ ■ •••6-4-2
л « а , ( 2 Л + і) ( 2 А — 1 )(2 А — 3 ) . . .5-3-1 1.39)
2. Рассмотрим
к/2
На основании формулы (36)
1 C O S m X d A ’.
ô
iOU
п/2 к/2
\ sinwxdx = f cosmxdx.
ü
Û

Поэтому полученные результаты можно написать в виде
следующих формул:
п/2 . я/2
/2t=^ sin-* x dx = Г cos гкх dx=
О - О
(26— 1) (2k — 3) . . . 5-3-1 -
2k (2k — 2) . . . 4-2 2 '
n/2 n/2
/2>+! = Г sln2*+ Kx dx = ^ COSîi+ 'лг f/jf —
о 0
2/e [2k — 2) (2k — A) . . . 6-4 2
= (2 Л + 1) (2 Л -1)(2 Л —3) . 5-3-Г
Существуют символы и для более короткой записи найденных
выражений для I и и /2*+|.Для этого используют символ
т]\, который означает произведение натуральных чисел, не превосходящих
т и одной с ним четности.
Формулы (38) и (39) примут вид:
п/2 П/2
j* sinmx dx = j* cosmxdx —
I m - 1 )!! it .
' 2 -ПрИ W ч е т н о м >-
(ni — 1)!!
-— ' ■ (при /и нечетном).
П/2
Пример 1. Вычислить )
о
sinr A'dx
Решение. По формуле (39) пишем:
п/2
„ „ w , ----- =
7-5-3-1 35
П р и м e р 2. Вычислить) cos8а: dx
О
Р е ш е н и е .
П/2 п/2
j cos®x dx = I* sin8,vd.v = - g.Q.4.2 ■ (no формуле 38).

тогда
а
Г(а2— x2)ndx.
fj
о
Решение. Произведем замену переменной, полагая
х — a sin t,
dx — a cos tdt.
Определим пределы интегрирования для новой переменной
t, подставляя в формулу х — a sin t сначала х = 0, потом
х = а. Имеем:
при х = 0, / = 0; при х — a, t — ~ .
Выполняя подстановку, получим (по формуле 39):
а тс/2 п/2
I (а2 — x2)nd x ~ \ а2п+] cos^+'tdt — а2п-а \ cos?n¥4 d t—
o n о
да-u. 2/t (2/t- 2 ) (2/t — 4).. .6-4.2
(2/t+l) (2л— 1) (2л—3 ).. .5-3.1 •
В заключение познакомимся с формулой Валлиса (Wallis),
которую легко получить из формул (38) и (39).
Для значений
можем написать неравенства
0 < * <
sln2ft+1х < sin2Aдс< sin2A~1X .
Проинтегрируем эти неравенства в пределах от х — 0 до х —
или
Пример 3. Вычислить
т./г ч/2 я/2
f sin2A+]xdx < I)’ s\r\2hxdx < [ sin2ft_'д:dx,
7С
следовательно
По формуле
, fft- 1 ,

напишем
откуда
поэтому
или
, 2k -f- 1 1 r
'» + » = 2 Л + І / a “ 1’
' 2Һ-1 2k + 1
І2Һ+1
2Л
! 2^ + 1
12к “ Ь 1
Переходя к пределу, получим:
пред
/г
1гк
/2!г+1
Из формул (38) и (39) находим
“ Æ
/и [1-3.5... (2А -1)]*(2А + 1) 7Г
/»+. [24.6...2Й]2 2
(2-4-6 . .. 2k)2 /2 2ife
2 [3-5-7...(ай -l)]*'(2é + 1)/»+,
При переходе к пределу при неограниченном возрастании k
Поэтому
1 .
пред --- - - — 1.
/2Й+1
■к
2-2.4-4 ... 2k-2k
~2 = пред k-*- оо у-373-575 / "(o k - \)(2k — \)j2k + '\) ' ^
Это и есть знаменитая формула Валлиса, позволяющая вычислить
число я в виде бесконечного произведения. Теперь существуют
и другие методы для приближенного вычисления числа
я, гораздо более быстро ведущие к цели. Формула Валлиса
имеет, однако, историческое значение, как первое представление
числа л в виде предела бесконечного произведения.
К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы Д Л Я П О В Т О Р Е Н И Я
1. Какая функция F (х) называется первообразной для данной
функции /(*)?
2. В чем заключается первая основная задача интегрального
исчисления?
3. Чему равна разность между любыми двумя первообразными
функциями для одной и той же непрерывной функции?

4. Что называется неопределенным интегралом от данной
функции /(*)?
5. В чем заключается взаимосвязь между дифференциальным
и интегральным исчислениями?
6. Всякая ли непрерывная на отрезке [о, Ь] функция f(x)
имеет первообразную?
7. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
8. Напишите таблицу основных интегралов и покажите
справедливость полученных формул.
9. Как можно истолковать геометрически первообразную
функцию?
10. Что означает геометрически постоянная интегрирования
С?
11. С помощью какой формулы выражается площадь, огра
ниченная кривой у — f(x), двумя ординатами х = а, х — Ь
и осью абсцисс ОХ?
12. Какой вид имеет интегральная сумма?
13. Что называется определенным интегралом функции f(x),
взятым по переменной х между нижним пределом (а) и верхним
пределом (6)?
14. Когда функция f(x) называется интегрируемой на от
резке [а, Ь]?
15. Зависит ли величина определенного интеграла от обозначения
переменной интегрирования?
16. Что называется определенным интегралом функции f(x)
с переменным верхним пределом?
17. В чем заключается связь определенного интеграла с не
определенным?
18. Можно ли выразить величину определенного интеграла
через значения первообразной функции?
19. Для чего служит формула Лейбница— Ньютона?
20. В чем заключается необходимое условие интегрируемости
функций на отрезке [а, 6]?

ГЛАВА II
О Б О Б Щ Е Н И Е ПОНЯТИЯ
ОБ О П Р Е Д Е Л Е Н Н О М ИНТЕГРАЛЕ
(несобственные интегралы)
§ 18. Определение интеграла с бесконечными пределами
В главе I было изучено понятие об определенном интеграле.
Там же мы познакомились с основной формулой интегрального
исчисления — с формулой Лейбница—Ньютона:
ь
ъ
Ç f (x )d x = F (x )\ = F (b ) — F (a ). (15)
а
а
При выводе формулы (15) предполагалось, что пределы ңнтегри
рования а и b конечны, а подинтегральная функция f(x) ограничена
на данном отрезке [а, Ь]. При несоблюдении одного из
указанных условий формула Лейбница— Ньютона может оказаться
непригодной. Однако существуют случаи, когда формула
(15) остается верной и при нарушении одного из поставленных
условий. Пусть заданная функция f(x) определена в промежутке
[о. +оо),т. е. для т>-а, и интегрируема в любой конеч
в
ной его части [й, В], так что интеграл \f{x)dx имеет смысл
при любом В > а.
Если при В стремящемся к плюс бесконечности для этого
интеграла существует определенный конечный предел, то его
называют интегралом функции f(x) в промежутке от а до +
и обозначают символом
+ О0 В
[ f (x) dx = пред [ f [x )d x . (41)
J в . о. J
а
105

В этом случае говорят, что интеграл (41) существует или сходится,
а функцию f(x) называют интегрируемой в бесконечном
в
промежутке [я, + оо). Если пред i f(x)dx равен бесконечности
а~=с а
или совсем не существует, то говорят, интеграл (41) не существует
или расходится.
Рассмотрим интеграл, распространенный на бесконечный
промежуток, когда один из пределов, например а есть конечное
число, a b стремится к + °о. Для большей наглядности решим
геометрическую задачу.
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
у =
1 —j~
отрезком оси ОХ и ординатами х = а = 0, x — b
(рис. 10). Для вычисления площади воспользуемся формулой
(15).
J / (*) dx = J у — -j- = arctg* j = arctgt (ед2).
Будем теперь передвигать ординату x = b вправо, устремив
Ь к плюс бесконечности. Очевидно, что площадь в этом случае
тоже будет возрастать, однако она не будет стремиться к бесконечности,
как это может показаться на первый взгляд. В самом
деле, при b -> -f оо ,
arctg b ->~ и рассматриваемая
площадь фигуры, ограниченной
сверху кривой у —
слева
осью О Y и снизу осью ОХ.
простирающейся вправо до
бесконечности, оказывается конечной
и равной g = 1,57 (ед 2).
Вычисляя площадь фигуры, простирающейся в бесконечность,
мы исходим из рассмотрения площади конечной фигуры OCDb}
переходя затем к пределу при Ь->-\-сх>. Аналогично этому для
вычисления интеграла ^ ^
: -а- с бесконечным верхним предео
лом, мы рассмотрим сначала интеграл
1
dx
= arctg b,
где b — конечное число, а затем перейдем к пределу при Ь-
106

Таким образом,
ï°° dx ç dx r.
J П Г ? = Г / f T + ? - ?f*“ ,rctg* - 2 •
0 n
Аналогичным образом определяются и интегралы вида:
ь + »
j f(x)dx, ^ f(x)dx.
Полагают
ь
ь
^ f(x) dx = пред ^/ (jc) dx,
— ос д
-f-o°
b
Çf{x ) dx = пред j / (x) dx,
flH
b-b + 00 &
-42)
(43)
если эти пределы существуют и являются числами конечными.
Интегралы (41), (42), (43) называются несобственными интегралами
или обобщенными. Если же пределы (42) и (43) не существуют
или равны бесконечности, то говорят, что интегралы
(42) и (43) расходятся. Приведем пример расходящегося интеграла.
Задача 2. Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у =
, отрезком оси ОХ и двумя ординатами
x — а, x = b (рис, 11).
Решение. Площадь определяется
по формуле
ь
S = f f(x)dx.
В нашем случае
! dx
S — f — = ln х\ — ln b — ln a.
Будем передвигать теперь ординату вправо, увеличивая b
до + ос. Очевидно, что при 6-> + œ, ln b-*- 4- 00 и величина площади
5 будет неограниченно возрастать, т. е.

Следовательно, по определению, интеграл
расходится, так как
i - d x
X.
пред Г — d* = 4-оо. i
», +. J х
а
Ранее рассмотренный интеграл
сходится, так как
> dx
j 1 -f x2
о
dx и
п р ед f , , , - о
Ь -*■ +СО I i X ьи
О
В приведенных примерах интегралы по конечному промежутку
мы вычисляли с помощью первообразной функции, а затем уже
осуществляли переход к пределу. Оба эти момента можно объединить
в одной формуле. Пусть, например, функция f(x) определена
в промежутке [а, + оо] и интегрируема в каждой конечной
его части [а, В]. Если для функции /(х) существует при этом
первообразная функция F ( у) во всем промежутке [а.-Ьоо]. то
но формуле (15)
в
в
\ f(x)dx = F(x) \ = F (В ) — F (а).
а
Отсюда видно, что несобственный интеграл
а
+ со
^ f i x ) dx
Q
существует лишь только в том случае, если существует конеч
ный предел:
пред F \В) ,
В-+ Ч-oo
который условно обозначим через F ( + ос)
и тогда
108
4" оо 4" о
f f[x )d x = F {x ) I = F H - c o ) - F {a). (41 )'
a
a

Аналогично
b
Ç f (x ) dx = F (x ) I = F (b ) — Ғ ( — oo), (42) ю
—00 — 00
+ 00 +00
Ç / (дс) dx = F (x)< = F [ + so ) — F i — cc). (43)'
Формулы (41)', (42)' и (43)' являются обобщением форму
лы (15) Лейбница— Ньютона на случай бесконечного промежутка
интегрирования. Итак, мы распространили понятие об
определенном интеграле, установленное сначала для непрерывной
функции и конечного промежутка, на случай непрерывной
функции и бесконечного промежутка интегрирования. Характерным
при этом было то, что мы вычисляли определенный интеграл
сначала по конечному промежутку [а, Ь], а затем уже
переходили к пределу. Приведем еще несколько примеров.
00
Пример 1. Вычислить ) sin xdx.
О
Решение.
» ь
Сsin xdx = пред f sin x dx = — пред [cos b — cosO],
0 b~ x 8 b" K
Очевидно, что предел (cos b — cos Ü) не существует, так как
при 6-»оо cos b не стремится ни к какому пределу. Вывод: данный
интеграл расходится, или, как говорят иначе, не суще-'
ствует.
Пример 2. Вычислить
00
о
i’ е~ах sin p x dx (а > 0).
Решение. Дважды интегрируя по частям, принимая за
и = sin (Зх, dv = e~*%dx, находим первообразную функцию
#?/и - _ « s in M + PcosM
а 2 + ^
Находим значение первообразной при верхнем пределе, т. е.
при х = + оо :
F ( + со ) = 0 .
Значение первообразной функции при х — 0 будет:
?

Поэтому
со
оо
a 2 _j_ ра
П р и м е р 3.
Р е ш е н и е .
1 тс тс
— CQS-----cos
C Q S ------ COS ~£г- = COS 0 — COS —
ос 2 2
В заключение решим еще две задачи.
Задача 3, В электрической цепи с самоиндукцией L и сопротивлением
R в момент t — 0 разомкнули ток силы /0. В этом
случае в цепи возникает экстраток размыкания, подчиняющийся
закону
Вычислить полное количество джоулева тепла Q, выделяемое
этим током.
Решение. Дифференциал количества тепла за промежуток
времени [/, t + Д/j dQ = I 2Rdt. Суммируя за весь бесконечный
промежуток времени, получим:
СО
p
m \ L
l* R d t ~ R l* \e L d t ^ - ~
2R t *
Замечание. Практически электрический ток через конечный
промежуток времени становится неощутимым, однако для определения
полного количества энергии тока, которая переходит
в тепло, необходимо интегрировать по бесконечному промежутку.
no

Задача 4. Гипербола у = — вращается вокруг оси ОХ. Вы-
X
числить объем и боковую поверхность полученного тела вращения
при х > \ (рис. 12).
Конечная часть полученного тела вращения от х = 1 до
x — b > 1 имеет объем
V'
ç dx
z ) l â
i
и боковую поверхность
S . - 2 . ( ± у 1 + Л . Л .
]
Очевидно за объем V и боковую поверхность
5 всего тела вращения, простирающегося
в бесконечность, нужно
принять пределы этих величин, т. е.
положить
+оС
-f оо
г dx
Рис. 12.
l= 'l tV x+ h d*-
Вычислим первый интеграл.
.. ï? d x }d x i
V — тг \ —тс пред \ —s- = -- тспред - ТС ' І - Г
J X Ь -* -f oo J X 5o \ X/ со
= я (ед.3).
Интеграл сходится, он имеет конечный предел, равный я.
Вычислим второй интеграл. Оказывается, он расходится,
так как
2 . In b
и при b сю, 2тс ln b со, а значит, и S-*-4--«.3to значит, что
боковая поверхность не является величиной конечной, а стремится
к + оо .
§ 19. Условие существования (сходимости) несобственных
интегралов
Для определенности рассмотрим интеграл вида:
Г f(x)dx.

Дело в том, что все, что будет установлено для этого интеграла,
без существенных изменений можно перенести и на интегра *ч
ь
^ f(x)dx и \ f(x)dx.
Вспоминая признаки существования предела переменной величины,
можно сформулировать необходимый и достаточный
признак сходимости несобственного (обобщенного) интеграла.
Напомним необходимое и достаточное условие существова
ния предела для функции f(x): для того, чтобы функция f(x)
имела предел при х-> а, необходимо и достаточно выполнение
следующего условия: при любом е > 0 существует другое число
ô>0 такое, что при \xt — а |< ô, |х2— а | < ô (х\ Ф а, х2 Ф а)
всегда |/(xi) — f(x 2) | < е. Эту мысль можно выразить и короче:
значения функции f(x ) в двух любых точках, достаточно
близких к (а), должны как угодно мало отличаться одно от другого.
По аналогии сформулируем необходимый и достаточный
признак сходимости несобственного интеграла.
Теорема 1, Для сходимости несобственного интеграла
\ f(x)dx
а
необходимо и достаточно, чтобы, как бы мало ни было е > О
для всех достаточно больших т { и т 2, имело бы место неравенство
или, так как
f / (x) dx — у f{x )d x j < s
! а а
ТП 2
J f(x )d x — f f (x )d x = j f(x )d x
a
a
чтооы имело место неравенство
(2)
Последнее неравенство можно выразить словами примерно так:
для сходимости несобственного интеграла необходимо и доста
точно, чтобы любой достаточно удаленный «кусок» его был как
угодно мал. Сформулированный критерий позволяет установить
также и следующее предложение: если сходится интеграл,
-L. ОС
! 12
)'
a
I / (* ) I dx,

то и подавно сходится интеграл \f(x)dx. В самом деле, если
+ оь
интеграл j |/(*) I dx сходится, то в силу теоремы 1 каково бы
ни было е°> 0 для всех достаточно больших т х и т 2
но
т а
Ç|/ (x) I dx < s,
т ,
\ f(x )d x < \ \ f{x )d x
m, т х
и, следовательно, для тех же т\ и т 2 выполняется неравенство
I
I
!]/(*) dx < s,
! m i
откуда, в силу теоремы 1, имеет место сходимость интеграла
а
Если сходится интеграл
f/ (- v ) dx.
а
j' f(x )d x
и интеграл
\ \f(x)\dx тоже сходится,
то интеграл
J / (x)dx
называется абсолютно сходящимся, а функция f(x) — абсолютно
интегрируемой в промежутке [а, + 00 ). Необходимо попутно
отметить, что из сходимости интеграла
^ f{x )d x ,
вообще говоря, нельзя утверждать, что и интеграл Г ]/ (x) | dx
сходится.
•
8-880 113

дует сходимость ( существование) интеграла
+ СО
\ f (x)dx (fl0> а)
и наоборот
«о
О
2) из сходимости интеграла \ / (я-) dx вытекает сходимость ино
w -j-w
теграла ^kf(x)dx (k — const), причем j” kf(x)dx = k | (x)dx
a a a
3) если сходятся интегралы
то и интеграл
-{-00 -foo
^f(x )d x и ф (x)dx,
a
J [/(*) ± 4>{x)]dx
a
тоже сходится.
Эти же следствия вытекают и непосредственно из определения
несобственного (обобщенного) интеграла.
a
Пользуясь теоремой 1, можно было бы убедиться в справедливости
и следующих следствий:
+ *>
1) из сходимости (существования) интеграла ^ f(x )d x елеа
§ 20. Признаки сходимости несобственных интегралов,
основанные на сравнении их
+ оо
димость интеграла \ f (x) dx, или, что то же,
-I-00
а
\f(x)dx следует расходимость интеграла
Будем предполагать, что на любом конечном отрезке [а, В]
функции, рассматриваемые в бесконечном промежутке [a, -foc],
интегрируемы. Изучим вопрос о сходимости интеграла в бесконечном
промежутке [а, +оо], предполагая функции положительными.
Докажем теорему.
Теорема. Если при + оо 0 < / (* ) ср(х) и, если
функции f(x) и ф(х) интегрируемы на любом отрезке [а, В]
+ »
(a

Действительно, пусть сходится интеграл | cp(x)dx.
Получим:
В В +00
/ (x) dx < tp(х) dx < j ср(дг) dx.
а
Функция \ f(x)dx с увеличением В монотонно возрастает, но
а
а
в то же время
4-со
остается и ограниченной конечным числом
j Ф (x)dx (по условию этот интеграл сходится). Следовательв
НО, , при -f оо интеграл ^ f(x )d x имеет конечный предел, а
Э Т О
+ Оо
значит, что ^ f(x )d x сходится.
Из доказанной теоремы вытекает следствие: если существует
предел
пред Щ - = С (О < С < +),
*- + «>(x)dx при С < + оо вытекает
4-00
U
сходимость интеграла ^ f(x)dx, а из расходимости первого ина
теграла при С > О вытекает расходимость второго. Отсюда видно,
что если 0 < С < + ос, то оба интеграла или сходятся, или
расходятся одновременно.
Это позволяет нам выбрать для сравнения конкретную
функцию и получить частные признаки сходимости или расхо-
+ 00
димости несобственного интеграла f f(x)dx. Обычно для
сравнения выбирают функцию —-, которая интегрируема от а
до + оо при а > 1 и не интегрируема при а < 1.
В самом деле, пусть а -/= 1, тогда при а > О
а
С°° dx p dx 1 ,,, . .
— =пред — = -=---—пред (61-“ — й‘-а).
J Л оо J Л 1 --- U, ^ -* + оо
а
а
115

Пусть теперь а < 1, в этом случае предел полученного выражения
-►+ оо. При а > 1 будем
если же а = 1, то
Г i л i
I — — \nb — In а,
.) х
а
иметь конечное число— ^-уа1-(Х
л i ,
при b ->■+ ou в пределе получим оо. Таким образом, интеграл
У dx , 1
^ — сходится при а > 1 и равен а • а ПР И а < 1
а
расходится.
Отсюда вытекают следующие признаки сходимости (признаки
Коши).
Если при достаточно больших х функция f(x) имеет вид
то
/ М - ^ (а > 0).
+ »
1) если и > 1 и (x) > С > 0, то этот интеграл расходится.
Если при х -*■+ оо функция f(x) является бесконечно малой
порядка а > 0 j по сравнению с —
, то интеграл j f(x)dx схо-
' ' а
дится при а>1 и расходится при ctCl| функция сравнения — ^2j.
Существует и более тонкий признак сходимости несобственных
интегралов, но мы на нем останавливаться не будем
_ t 00 х3/2 ,
Пример 1. Определить сходимость \ ү т ^ Г 1 •
Решение. Подинтегральное выражение при х-> +

Решение. Подинтегральное выражение при*-»- f * является
бесконечно малой второго порядка, а = 2 ]> 1, интеграл
сходится.
§ 21. Определение интеграла от неограниченной функции
Во всех предыдущих рассуждениях, определяя понятие интеграла,
мы всегда предполагали подиитегральную функцию
ограниченной на отрезке интегрирования. Рассмотрим теперь
функцию f(x), заданную на конечном отрезке [a, b], но неограниченную
на этом отрезке. Сначала рассмотрим случай, когда
подинтегральная функция ограничена и интегрируема при всех
значениях х, лежащих между пределами а и Ь, кроме значения
х = а, где функция не ограничена, претерпевает разрыв непрерывности.
Другими словами, пусть данная функция f(x)
ограничена и интегрируема на любом отрезке [а + е, Ь)
О< e < b — а, но оказывается неограниченной на каждом
отрезке [а, а + е] справа от точки а. Точка а носит название
особой точки. В этом случае несобственный (обобщенный)
интеграл функции f (х) от а до b определяется равенством
ь
ь
(44)
если только этот предел существует и является конечным. При
выполнении этого условия говорят, что интеграл (44) существует
или сходится, а функция f(x) называется интегрируемой
на отрезке [я, 6]. Если же это условие нарушено, говорят, что
интеграл не существует или расходится.
Пример 1. Пусть дана функция ограниченная и ину
х
тегрируемая на любом отрезке [а + e, Ь\ (0 < e < 1) и
1 —I1 __
Ç дс1/2 dx — 2 Vx-\ = 2 (1 — Ve )•
0 + е £
В точке х = 0 функция f(x) обращается в бесконечность. Под
этим понимают лишь только то, что при функция-.— стре-
V X
мится к бесконечности. Очевидно, что на любом отрезке [0, 0 + е]
функция неограниченна, т. е. точка х = 0 является особой. Так
как вычисленный интеграл при е-*- 0 стремится к конечному
117

пределу, равному 2, то, по определению, несобственный интеграл
dx
пред( w
>0 0 + е
пред 2(1
е -*■О
Y г )
существует, или, как говорят иначе, сходится.
Полученный результат можно использовать графически.
Так как функция — при х-» 0 неограниченно возрастает, то
V х
эта функция не ограничена на отрезке [0, 1]. Ее график изображен
на (рис. 14).
Очевидно, какое бы ни было е > 0, функцию f(x) = ——
У х
можно интегрировать на отрезке [e, 1]:
1. 1
\f(.x)dx = j - ^ = 2 j/7 | = 2 (l - Ү Г ) .
E в V X g
Интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции,
заштрихованной на рис. 13. Когда е уменьшается, то эта площадь
все время увеличивается и
когда е -*■ 0, то заштрихованная
площадь неограниченно простирается
кверху. Однако, величина этой
площади возрастает не безгранично,
а стремится к конечному пределу,
равному 2, что непосредственно и
следует из формулы (а).
Естественно, конечно, этот предел
принять за величину площади
всей области, заключенной между
графиком кривой у = - 7= , двумя ор-
У л;
динатами х = 0, x = 1 и отрезком
оси ОХ.
Опять мы встретились с таким случаем, когда приписываем
конечную величину площади фигуры неограниченно возрастающей.
Величину площади такой фигуры нельзя было вычислить
с помощью определенного интеграла, так как подинтегральная
функция при х = 0 претерпевает разрыв непрерывности
или, как говорят иначе, подинтегральная функция не
ограничена на данном отрезке [0, 1]. Мы же приняли эту площадь
равной
(a)
пред Г/(* ) dx,
•~о J
о+«
(б)
118

и интеграл в этом случае имеет смысл, так как подинтегральная
функция непрерывна на отрезке интегрирования, т. е. на
отрезке [е, 1].
Предел (б) называют несобственным (обобщенным) интегралом
функции f(x) на отрезке [0, 1] и обозначают через
Следовательно,
{ / (x) dx.
о
r! dx f1 dx
77= = пред —
J y T e~*o l_Vx
Получили аналогичный результат, что и в начале этого пара-
(’ dx
графа: интеграл 1
о V*
'■dx
П р и м e р 2. Найти 1—
о
существует или сходится,
Решение. Функция — при х = 0 обращается в бесконечность,
следовательно, по формуле (44)
г dx Idx {. 1
| і г = пРеод | т = пРеод 11пт
В этом случае никакого предела не существует, а следовательно
не существует и интеграла, или, как говорят иначе, интеграл
j — расходится.
Рассмотрим теперь тот случай, когда
о
функция f(x) задана на конечном отрезке, но она не ограничена
на этом отрезке: при x = b она претерпевает разрыв непрерывности.
Очевидно, что и в этом случае функция f(x) ограничена
и интегрируема на любом отрезке [a, b—е] (0

руемоіі на отрезке [а, Ь]. Если же это условие нарушается, то
говорят, что интеграл не существует или расходится.
Пример. Дана функция у = —!— ү ограниченная и
у 1 — X
интегрируемая на любом отрезке [0, 1—е] (0 < е < 1):
lp ! dx
^ л/--------а- »= arcsin х j = arcsin (1 — e).
к/
V \ — x*
U
В точке x — b — 1 функция претерпевает разрыв непрерывности
и обращается в бесконечность. Очевидно также, что на
любом отрезке [1 — e, 1] функция не ограничена, т. е. точка
x — b = 1 является особой точкой.
Вычисленный интеграл при е ->0 стремится к пределу
arcsin 1 =
, следовательно, существует несобственный интеграл
значит
TZ
\ dx !> ' dx tu
S V i z r j i - "PqM Y TZT x* ~ 2
o
(! dx
i ÿ T — x 2
o r
сходится.
Рассуждения аналогичные первому случаю, когда особой
точкой являлась точка х — а. Само собой понятно, что данное
нами определение несобственного интеграла распространяется
и на случай любого положения особой точки на отрезке интегрирования.
Рассмотрим случай, когда особая точка не совпадает ни с
началом, ни с концом отрезка интегрирования, а находится на
данном отрезке. Для этого решим сначала задачу.
Задача 1. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кривой
у = -ÿ_ - , отрезком оси ОХ и двумя ординатами х = — 1,
V х2
х = + 1 (рис. 14).
Очевидно, что при х->0 функция
1
у = — - > о о ,
Y^x2
т. е. при х — 0 функция претерпевает разрыв непрерывности и
неограниченно растет. Указанная площадь S при этом простирается
вверх до бесконечности. Очевидно, что величину этой
120

площади нельзя вычислить с помощью определенного интеграла,
так как на данном отрезке [— 1, 1] подинтегральная функция
не ограничена. Если же мы возьмем любые достаточно малые
два положительные числа ei и г2 и проведем внутри рассматриваемой
фигуры две ординаты xt = —еь х2 = + ег, то величины
площадей заштрихованных фигур ABCD и FEMN уже
можно вычислить с помощью определенных интегралов
— +1
Ç .V'-2/3 dx и j x~2l'i dx,
—i .
так как на данных отрезках
[ —1,—ei], [сг, + 1] функция 1)=х~^13
ограничена и пределы интегрирования
конечны.
Вычислим величины площадей
фигур ABCD и FEMN, которые
мы обозначим соответственно
через Si и S2.
Рис. 14.
St = || x - 2'3 dx = 3 [дс,/3]_1= o i — y -t- v 1 j,
— 1
S2 = fx~Wdx = 3[\y Т-\Уц}-
'г
Будем теперь передвигать ординату х = —г\ вправо, а ординату
х — ег влево, устремляя ei и е2 к нулю. Тогда
5 1 = 3 [ — ү ^ + Ү ^ + Г Ь З
52 = 3 [v rr-^ ]-> 3 ,
значит, величина искомой площади будет равна сумме величин
пределов площадей Si и S2, т. е.
S = пред + пред = 3’+ 3 — 6 (ед3).
•х-*-0 е2->0
Таким образом, площадь фигуры, неограниченно простирающейся
вверх, оказалась конечной. В этом случае величину площади
S тоже можно выразить с помощью определенного интеграла,
обобщив понятие интеграла и на тот случай, когда особая
точка лежит внутри отрезка интегрирования.
Вычисляя площадь S данной фигуры, простирающейся в
бесконечность, мы исходим при решении задачи из рассмотрения
площадей S! и S2 конечных фигур, а затем уже переходим
121

к пределам, устремляя ei и ^ к нулю. Аналогично этому для
определения интеграла
+1
—i
у которого подинтегральная функция — при х = 0 не огра-
V х1
ничена на отрезке [— 1, + 1], мы рассмотрим сначала интегралы
О—-Ci 1
І х~у ъdx и ^ х~2/3 dx,
—i O+ ij
где ei и ег положительные как угодно малые числа, а затем перейдем
к пределам:
тогда
u -£l 1
. I x~2/3dx, пред 1’ х~2/3 dx,
J ,
— 1
е2-*0 J
0+J,
4-1 0 —11 4-1
Г дг~2/3 dx — пред [ х~2/3 dx -]- пред f x~2/i dx — 6 (ед2).
. i i 5‘ - ° i i * ^ ° oJ+!,
Вообще, если на данном отрезке [a, b] имеется особая точка
х — с а < с < Ь, в которой функция не ограничена, но пределы
интегралов
С — 6 i
^f(x)dx,
a
Ь
[ f (x) dx
c f e2
существуют и являются конечными при ei -> 0 и е2^ 0, то говорят,
что эти интегралы существуют или сходятся и обозначают
Г/ (x) dx = пред ( f{x) dx,
•i
Cj-»0 J
[f ix) 0 V
c
c+e2
В этом случае существует несобственный интеграл от функции
/(.v) на отрезке [«, Ь] и пишут

функция f{x) называется интегрируемой на отрезке fa, Ь\ Если
же условия* не выполняются, то говорят, что интеграл
f /(*) dx
не существует или расходится.
Наконец, если подинтегральная функция обращается в бесконечность
на обоих концах отрезка [а, Ь], то необходимым и
b
достаточным условием для сходимости интеграла !| f(x)dx является
существование предела
Ь—*2
пред f /(д дс) dx.
«,-»0 a+t‘
Если этот предел является конечным, то говорят, что интеграл
существует или сходится, и пишут
Ь
Ь—сг
j / (x) dx = пред j f(x) dx.
са- 0 a + *
Если же указанный предел не является конечным, то говорят,
что данный интеграл не существует на отрезке [a, b] или расходится.
Приведем пример расходящегося интеграла.
Задача 2. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой
у — — —та", отрезком оси ОХ и ординатами х = 0, х — 4
(рис. 15).
Решение. Прежде всего замечаем,
что подинтегральная функция не огра -
ничена на данном отрезке, так как при
х = 2
У =
_ 1 ____
(х - 2)2
+
т. е. функция претерпевает разрыв непрерывности и обращается
в бесконечность при х—2. Возьмем два достаточно малые положительные
числа ei и ег и проведем на рисунке две ординаты
х = 2 — ej и х = 2 + е2. Тогда площадь S, левой части заштри-
123

хованной фигуры и площадь S2 правой части можно вычислить
соответственно с помощью определенных интегралов.
2 - s , 2-«i
dx ' 1
(x 2)2 x — 2 0
1
+ 1
2 — г, — 2 2
1 - 1 ’
\ 2 ’
s,=
2 + е 2
k
dx ‘ 1 " 4
I
to
іо
1
x — 2
2-И2
.2 2 + е,
_ L _ 1
е* 2'
Чтобы найти площадь S данной фигуры будем передвигать ординату
х — 2 — ei вправо, уменьшая е, до нуля, а ординату
х = 2 + е2 влево, тоже уменьшая е2 до нуля. Тогда при ei-*- 0 и
So-»- 0 получим:
Г1 1
Sj = пред
1Ь1 2
е2 -*0
Sa = пред
1 1
еа ->0
или 5 = Si + S2-»- + oo,t. е. в данном случае величина площади
фигуры, простирающейся в бесконечность, уже не является конечной,
как это имело место в задаче 1.
Отсюда
Г* dx
— пред
2—».
dx — + пред f
(x — 2)2 .Г-о .) (х — 2)2 ч-о J {х—2)!
О 2±е2
Значит, несобственный интеграл не существует или расходится.
dx
+
§ 22. Применение формулы Лейбница—Ньютона
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и интегрируемая
(в собственном смысле) на каждом отрезке [а + е, Ь],
точка а является особой точкой. Если для функции f(x) в промежутке
(а, Ь], т. е. для а *Сх < b существует первообразная
функция F(x), то
124
ь
Һ
^ f(x)dx = F(b)— F [a + e) =F[x)
о+е 0+*

В этом случае существование несобственного интеграла
ь
ь
j/(jc)dx = пред j f(x)dx
а
а+г
равносильно существованию конечного предела
пред F (а + г).
Если этот предел существует, то его принимают за значение
F (а) первообразной функции при х — а. Этим достигается непрерывность
первообразной функции F(х) на всем отрезке
[а, Ь]. Тогда для вычисления несобственного интеграла мы
будем иметь обычную формулу
/(х)0 a+s a
Эта же формула остается справедливой и в том случае, если
особая точка лежит на отрезке или при наличии нескольких
особых точек, но обязательно должны быть соблюдены следующие
условия:
1) чтобы первообразная функция F(x) имела своей производной
функцию f(x) на всем отрезке, исключая особые точки и
2) чтобы первообразная функция F(x) была непрерывна во
всех точках отрезка, включая и особые точки.
Таким образом, при вычислении несобственных интегралов,
когда подинтегральная функция f(x) ограничена на бесконечном
промежутке, т. е., когда мы имели интегралы с бесконечными
пределами, можно было применять формулу Лейбница—
Ньютона при условии, что первообразная функция F(х) имеет
конечный предел, когда х-косили л->— ос.При вычислении несобственных
интегралов от неограниченных функций можно
применять формулу Лейбница—Ньютона лишь только в том
случае, когда ее первообразная функция F(x) будет непрерывна
во всех точках отрезка [a, b], включая и особые точки.
Например, если бы мы сразу применили формулу Лейбница—Ньютона
к вычислению интеграла от неограниченной (в
точке х = 2) функции в задаче 2, то получили бы
dx
2Г-
1
= _
x - 2 2 2
- 1
между тем, как этот интеграл расходится (см. зад. 2 § 24).
125

Результат получился явно неверный, так как подинтегральная
функция f(x) = -— -^положительна, и поэтому мы должны
иметь
(х
о
> 0. /-ч О '
Формула Лейбница—Ньютона оказалась в данном случае неприменимой.
Это получилось от того, что первообразная функция
, • т -
т = - — ,
х — 2
не является непрерывной на отрезке [0, 4], она претерпевает
разрыв непрерывности в точке х = 2. Поэтому к данному интегралу
от неограниченной функции формулу Лейбница—Ньютона
применять нельзя. При вычислении этого интеграла надо поступать
так, как это показано в задаче 2.
При вычислении интеграла
х~2/3 dx
можно было поступать гораздо проще, чем это делали мы в задаче
1 § 24. В самом деле, здесь мы имеем тоже интеграл от
неограниченной на отрезке [— 1, +1] функции. Она претерпевает
разрыв непрерывности в точке х — 0. Однако первообразная
функция F (х) = 3 Vх является непрерывной функцией во
всех точках отрезка [— 1, + 1], включая и особую точку х — 0.
Поэтому при вычислении данного интеграла надо применить
формулу Лейбница—Ньютона, и результат получится правильный.
Действительно,
x~2/3dx — 2>\Ух
+ і
что вполне согласуется с ответом задачи 1.
В заключение остановимся вкратце еще на одном вопросе:
условия и признаки существования интегралов от неограниченных
функций. При определении интеграла с бесконечными пределами
и определении интеграла от неограниченной функции
мы пользовались геометрическими иллюстрациями. Интересно
отметить, что в случае положительной подинтегральной функции
геометрическая иллюстрация задачи интегрирования не-
126

ограниченной функции напоминает соответствующую геометрическую
иллюстрацию задачи об интеграле с бесконечными пределами.
Покажем, что эти две задачи имеют между собой тесную
аналитическую связь. Рассмотрим для простоты тот случай,
когда функция f(x) не ограничена в точке х = а, так что по
определению
Ь
\f(x)dx = пред j / [x] dx.
О
а а + ‘
Преобразуем этот интеграл к новой переменной путем подстановки
тогда
х = а + - ,
U
t
d y
о
У
dx = ----- - .
Определим пределы интегрирования для новой переменной у:
где
при х = л + г, £/ = - ,
£
при X = b,
Выполняя подстановку, получим
i
b—а
у
1
b — а
J / ( * ) < / * - - j' / ( « + y ) ÿ г = J »“».
« L —L_
e
b—a
Принимая во внимание *, будем иметь:
i_
ь Г + 00
I / (x)dx = пред’, j œ tp (у) dy.
1 1
b—a
b—я
Таким образом, интеграл от неограниченной функции простыми
преобразованиями переменной интегрирования всегда
127

приводится к интегралу с бесконечным пределом. Поэтому любому
из свойств интегралов с бесконечными пределами соответствует
аналогичное свойство интеграла от неограниченной
функции.
Полная аналогия с несобственными интегралами, распространенными
на бесконечный промежуток, позволяет нам лишь
только перечислить следующие условия и признаки существования
несобственных интегралов от неограниченных функций.
b
Для сходимости несобственного интеграла j f(x)dx, где b—
а
особая точка, необходимо и достаточно, чтобы, каждому числу
е > 0 отвечало такое число Ô > О, чтобы при 0 < ei < ô и
О < ег < ô выполнялось неравенство
b—Êj
J f[x)dx j < E.
b—s 1
Из этого общего условия сходимости вытекает следующее следствие:
если интеграл
ь
J \f(x) \dx
сходится, то интеграл
U
I
ь
J f(x)dx
а
и подавно сходится.
Замечание. Предполагается, что функция f(x) интегрируема
(в собственном смысле) на всяком отрезке [a, b — е].
Обратного заключения сделать нельзя.
Если сходится интеграл
I
J /(*) dx
а
и, кроме того, сходится интеграл
С
J f(x) !dx,
а
то говорят, что первый интеграл сходится абсолютно, а функцию
f(x) называют абсолютно интегрируемой на отрезке [а, Ь].
Сформулируем теперь частные признаки сходимости несобственных
интегралов от неограниченных функций (признаки
Коши).
128

Если функция /( х) имеет вид:
Д х) =
J 1 ’ (b -x Y
(а>0)
для значений х, достаточно близких к Ь, тогда,
1) если а < 1 и ф(л) < С < + оо, то интеграл ] f(x)dx
а
сходится;
2) если же а > 1 и ф(х) > С > О, то этот интеграл расходится.
На практике особенно удобен следующий частный признак
сходимости: если функция f(x) является бесконечно большой
порядка а > 0 по сравнению с — -—
b — х
при *-► Ь, то интеграл:
ъ
f(x)dx сходится при а < 1 и расходится при а .> 1.
а
Приведем решения нескольких примеров.
Пример 1. Вычислить
О
/2
s in 2* COS2* ,
тЗ у г г \сЗ у* \ 2
(sin3* + COS3*)
Решение. Иногда бывает выгодно свести определенный
интеграл к несобственному, который может оказаться проще
вычисляемого. Для вычисления данного интеграла упростим
подинтегральное выражение
. 2 d*
Sin^AT ---------
sin2xcos2*d* sin *cos *d* COS2*
(sin3* -j- COS3* j 2 cos8*(tg8*-f~ 1 )8 COS2* (tg3* + 1j2
tga *
Теперь применим подстановку
тогда
tg * = z,
dx
COS-.V
■ (tg3* + 1)8
dx .
------- = dz,
cos2*
Г sin2* cos ~xdx Г z idz 1 1 1
J
0
(sin3* + COS3* ) 2 J
0
(1+Z3)2 3 H~zl
0
3
9— 880 129

Пределы интегрирования для новой переменной определены по
известному правилу из уравнения tg х = г:
при х = 0 г = tgx = tg0 = 0,
при х = -J ,
z = tg — = + оо.
П р и м е р. Вычислить
J
dx
14 + А-ул-’
Решение. Применяя подстановку
получим:
dx
x = 2tg z,
2 dz
dx=
2 ’
COS іг
2 dz
(4 + x2)3/2- cos2z • 43/2 • (sec2;:)3'2 4
Пределы интегрирования для новой переменной:
соszdz.
— оо =■:- 2 tg.?, г- — -- (нижний предел),
-j- оо = 2 t g z , z = + (верхний предел).
Следовательно,
+ °о +Г./2 +Г./2
(4 -f- x*)3/2 dx = - Г cos zd z ==- sin i
4 J
—-/2
4 .
—ÎI/2
J
4
sin ■sin —
Г1 p и m e p. Вычислить интеграл
4
dx
V4x — x2
Решение. Данный интеграл — интеграл от неограниченной
на отрезке [0, 4] функции; подинтегральная функция претерпевает
разрыв непрерывности на концах отрезка интегрирования,
т. е. при х = 0 и х = 4. Мы ознакомились с условиями применения
формулы Лейбница-Ньютона. Выполняя эти условия,
находим сначала первообразную функцию F(x), а потом нужно
будет проверить непрерывность этой функции во всех точках
отрезка [0, 4], включая и особые точки х = 0, х = 4.
130
1
9 ■

тогда
Для этого преобразуем подинтегральное выражение
dx d x d x
I І л Г — T 2 = V -(x 2~— Tx) V 4 — [x— 2)* ’
. f dx л: — 2
Я л-) — \ — -—= = arcsin —-— .
J ] 4 — (.v—2)2 2
Очевидно, что первообразная функция F(х) непрерывна во всех
точках данного отрезка, включая и особые точки х — 0, х = 4.
хотя подинтегральная функция и не ограничена в этих точках.
4
dx
Итак, к вычислению несобственного интеграла
VA х
о
м ож но применить формулу Лейбница—Ньютона.
Применяя эту формулу, будем иметь:
4 А -1
dx С d х
. х - 9
arcsin — —
J у Ах — х2 .) У А—(х—2)2
2
о
о
arcsin 1 — arcsin (— !)=■= -г.
Пример. Вычислить интеграл
i
ц / Li_f?dx.
о
P е ш е н и е. Это тоже несобственный интеграл, так как данная
функция неограниченна на заданном отрезке, при x = 1 она
обращается в бесконечность. Преобразуем подинтегральную
функцию и найдем ее первообразную. Выполняя преобразования,
будем иметь последовательно
/ w - y [ ± i _ y 1 | ± |
1+х) х 1
;i+ x ) i / i —x3 у i - х 2 K i - x 2
Выражение для первообразной функции имеет вид
F(x) = arcsin х —У 1— х2.
Эта функция непрерывна и в особой точке x = 1, где подинтегральная
функция /(х) обращается в бесконечность. Поэтому,
применяя формулу Лейбница—Ньютона к данному несобственному
интегралу, получим:
i
\ l l ± * dx =
У1— x
о
arcsin x — I 1— v21 =
i
о
г 4- 2
= (arcsin 1 — 0) — (arcsin 0 — \ 1) == — (- 1
2 2
131

Пример. Вычислить
t
Г
dx
\V x
Решение. При х = 0 подинтегральная функция является
неограниченной на отрезке [— 1, 4]. Проверим можно ли применить
к вычислению данного несобственного интеграла формулу
Лейбница—Ньютона.
Находим первообразную функцию
Fix) — ( х г ],3dx — x2 '3 .
Первообразная функция F(х) непрерывна и при х —0.
Поэтому
4
х-Ш х = I [ .v2/3] = 3 [v^4“ - V^TTT*] = 3 [ V 2 - \
ГІ р и м е р. Вычислить
(arctg *i2d.v
1 +х'
Решение.
1 (arclgjcj2!:lx , , .
•---= \ (arctg xJ4i(arctg x) = - (arctgx)3.
1 + X2 J ° ° 3
Г (arctg*)2 d a- 1 r , ,
.1 — i b — “ ï [ (arc,S4
+ C
= i{[arctgi-fooj]'i —
3 (
- [lrc ( — )P }
= - ( - + - V = — «8.
3\8 8 i 12
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. Что следует понимать под определенным интегралом, у
которого пределы конечные и подинтегральная функция непрерывна
на отрезке интегрирования? По какой формуле такой интеграл
вычисляется?
2. Что следует понимать под определенным интегралом, у
которого:
а) верхний предел b равен бесконечности, нижний предел
а равен конечному числу;
б) верхний предел b равен конечному числу, нижний предел
а равен бесконечности;
132

в) оба предела бесконечны, а подннтегральная функция
непрерывна для всех значений — со < x < + .-v ?
3. Какими равенствами определяются эти интегралы и в каком
случае они могут быть выражены конечными числами?
J
b
4. Каким равенством определяется интеграл | f(x)dx, если
О
подинтегральная функция f (х) терпит разрыв непрерывности
(обращается в бесконечность) в точках .v = а, х = 6?
5. Каким равенством определяется интеграл \ f(x)dx, когда
а
функция /(х) обращается в бесконечность внутри промежутка
интегрирования при X — с, а < с < /;?
6. Можно ли применить формулу Лейбница—Ньютона к вычислению
интеграла с бесконечными пределами?
7. При соблюдении какого условия определенный интеграл
может быть вычислен с помощью формулы Лейбница—Ньютона,
если подинтегральная функция обращается в бесконечность
в какой-либо точке х = с, где а < с < Ь?
+ со
8. Почему интеграл cos axdx (а — любое конечное число)
не имеет смысла?
о
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы
Г | Ц - . От» " .
.1 4 + х2 4
О
4 -со
2. I 4 f _ . ОТ». 4 .
1
dx
3. Г — Отд. Расходится,
i
4- оо
4. i sinxdx. Отв. Интеграл не имеет смысла.

Г
r
6. \ е~^х cos 4 x dx. Отв. ■; г-г — тг •
J о2 + 4- 41
о
+3 ^
_ с &х
7. ^ . Отв. Интеграл расходится.
о
3
dx ГІ Г
о — —. Отв. Интеграл расходится.
О ---- X
О
Т./2
9. f ctgxtf*. Отв. Интеграл расходится,
о
з
10. Г - £ 0 1 . . . . . Отв. Ү \'Ж .
J 2\у х2- 4
2
11 f Р+%+2- ■■■ 0тв'"'
3
!0 • зdz 3
12. \ . . . . . Отв. -ô- it.
1 i/o V9 _ 2
о
13.
+ Оо
dx _ ( 2гп
J (1 + Х*Г ШПодстановка Jc=tgz. Отв. ,2т
о
3)!! тг
2)!! 2 ‘

ГЛАВА HI
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 23. Вычисление площадей
Рассмотрим ряд задач, принадлежащих к разным областям
знания, и познакомимся более подробно с математическим аппаратом,
необходимым для их решения. На первый взгляд
может показаться, что этот математический аппарат не имеет
прямого отношения ни к операции дифференцирования, ни к
операции интегрирования. Исторически этот аппарат развивался
самостоятельно в течение многих столетий совершенно независимо
от указанных двух операций. Однако в конце XVII
века стало уже совершенно очевидным, что лучшими способами
решения задач являются те, которые непосредственно связаны
с определенными задачами интегрального исчисления.
Рассмотрим более подробно вопрос о вычислении площадей, с
которым мы уже встречались в элементарной геометрии. Элементарная
геометрия дает правила для вычисления площадей
таких плоских фигур, которые ограничены прямолинейными
отрезками и дугами окружностей. Задача о вычислении площади
плоской фигуры, ограниченной кривой произвольного вида, в
элементарной геометрии не рассматривалась. Эта задача может
быть решена только методами математического анализа, методами
интегрального исчисления.
Ознакомимся предварительно с основными понятиями, связанными
с вычислением площадей, и дадим определение площади
плоской фигуры. Многоугольником мы будем называть
произвольную конечную плоскую фигуру, ограниченную одной
или несколькими замкнутыми ломаными. Понятие площади для
такой фигуры подробно рассматривалось в курсе геометрии для
средней школы.
Теперь рассмотрим произвольную фигуру на плоскости, ко­
135

торая представляет собой ограниченную замкнутую область
(рис. 16) '. Контур L этой области мы всегда будем представлять
себе в виде замкнутой кривой (одной или нескольких таких кривых
линий). Будем рассматривать всевозможные многоугольники
(А), содержащиеся в Р, и многоугольники (В), содержащие
в себе Р. Теми же буквами А и В будем обозначать
соответственно и величины площадей указанных многоугольников.
Очевидно, что в этом случае всегда А-:'В. Таким образом,
множество чисел \А], ограниченное сверху любым числом В,
имеет точную верхнюю границу Р* В. Аналогично и множество
чисел \В\, ограниченное снизу числом Р*,имеет точную нижнюю
границу
Назовем эти границы соответственно внутренней
и внешней площадью фигуры (Р). Если эти обе границы
совпадают, то общее их значение Р называется площадью фигуры
Р, т. е., если Р, = sup (Л) и Р* = inf (в) совпадают, то
площадью фигуры Р называется их общее значение (Р). Фигуру
Р в этом случае называют квадрируемой. Отсюда же можно
Рис. 16. Рис. 17.
сделать и такое заключение: для существования площади необходимо
и достаточно, чтобы при любом г > 0 нашлись такие два
многоугольника (А) и (В), чтобы
В — А < е.
Условие квадрируемости можно сформулировать еще и
иначе.
1. Для квадрируемости фигуры (Р) необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая последовательность {(/!„))> содержащаяся
в Р, и такая последовательность {(5Я)}, содержащая
Р, площади которых имели бы общий предел
пред А п = пред Вп = Р.
Очевидно, что этот предел и будет площадью фигуры (Р).
В главе первой мы уже познакомились с вычислением пло-
1 Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. II, Физматиздат, 1959.

щадей при помощи определенного интеграла, поэтому на этом
вопросе останавливаться не будем. Напомним лишь формулу
ь
S — \ f \х) dx = F\b) — F \ а i, ( 10]
а
с помощью которой вычисляли площадь фигуры, ограниченной
кривой у = f(x), отрезком оси ОХ и двумя ординатами х = а,
х = Ь. Эта формула была выведена в предположении, что график
функции расположен над осью ОХ. Если же график функции
f(x) расположен как угодно относительно оси ОХ (рис. 18),
то вычисленная по формуле площадь не даст нам сумму площадей,
расположенных над осью ОХ и под осью ОХ, а даст лишь
алгебраическую сумму площадей. Так, сумма заштрихованных
на рисунке площадей равна
Г « Һ Һ
— С/ (л-) dx -f \ f\x) dx — \ f [x) dx -\- \ f [x)dx.
a c d k
Для того же, чтобы получить сумму площадей в обычном смысһ
ле, нужно вычислить интеграл ^ f(x) I dx.
а
Пример. Вычислить величину площади фигуры, ограниченной
одной волной синусоиды у = sin х и отрезком оси ОХ,
заключенном между точками х = 0 и х — 2л (рис. 18).
Решение. Кривая г/ = sin х расположена в промежутке
от х = 0 до х = л над осью ОХ и в промежутке от х — я до
х = 2л под осью ОХ. Поэтому искомую площадь надо вычислять
по формуле:
; * к 2"
\ sin xdx — \ sin xdx — — [cos .v] -f- [ cos' x ] =
0 І O n
= — cos тг -f- cos 0 4- cos 2ir — cos к = 1 -j- 1 -}- 1 + 1 = 4 1ед2),
2г.
а не по формуле ( sin xdx.
о
137

4
Если же мы эту площадь 5 будем вычислять по формуле (10),
то получим:
2г. 25
S — ^ sin xdx = [—cos x] — — cos -f cos 0 = — I + 1 = 0 ,
Ô 0
2*
чего и следовало ожидать, так как интеграл j sin xdx выражает
'о
алгебраическую величину суммы площадей, равных по абсолютной
величине и противоположных по знаку.
I. Схема вычисления площадей
с помощью определенного интеграла
Пусть нужно вычислить величину площади фигуры, ограниченной
кривой у = f{x), снизу отрезком оси ОХ и с боков двумя
ординатами, проведенными в точках x = а, x — b (рис. 19).
Сначала выделим полоску ABCD, которую будем рассматривать
как элементарную площадку — элемент площади. Площадь
этой полоски принимаем приближенно равной площади
прямоугольника с основанием AD и высотой, равной ординате
произвольной точки на отрезке [х, х + Дх]. Затем просуммируем
составленные таким образом величины для п элементарных
площадок и, наконец, вычислим предел этой суммы при Ах-у 0.
Возьмем, например, за высоту элементарной площади прямоугольника
ABCD ординату АВ = у. Обозначив величину площади
элементарной площадки через AS, получим приближенно
AS ~ у Ах.
Чем меньше будет Ах, тем точнее будет это равенство. Пренебрегая
бесконечно малой величиной порядка высшего, чем
Ах, можем написать dS = ydx, так как Ах = dx. Выражение
dS = ydx (47)
называется дифференциалом площади в прямоугольной системе
координат. Интегрируя выражение (47) в пределах от а до Ь,
получим:
ь
S = Г ydx или S = ^/(xjdx, (48)
а
причем у = f(x) берется из уравнения данной кривой. Итак,
при вычислении площади плоской фигуры в декартовых координатах
с помощью определенного интеграла, можно пользоваться
следующей схемой:
1) на заданном отрезке интегрирования выделяем элементарную
площадку;
138
а
ь

2) составляем выражение для площади элементарной площадки—
элементарного прямоугольника с основанием dx и высотой
у, иначе говоря, находим дифференциал площади;
3) берем интеграл от полученного дифференциала.
Применим эту схему к решению задач.
Пример 1. Вычислить величину площади фигуры, ограниченной
кривой у = - , осыо абсцисс и двумя ординатами
х = 1, х = 3 (рис. 20).
Решение. Разобьем данную фигуру на элементарные
площадки, параллельные оси OŸ, и составим выражение для
площади этой элементарной площадки, т. е. выражение для площади
прямоугольника:
dS = ydx
(нашли дифференциал площади).
Проинтегрируем полученное равенство в пределах от х = 1 до
.v = 3, получаем:
Рис. 20.
Подставим выражение для у из уравнения кривой, тогда
S . j « £ _ 4
ІП X = 4 (In 3 — In 1 ) = 4 ln 3 (ед2) .
1
Пример 2. Вычислить площадь, заключенную между
кривой у = j —^ и осыо абсцисс (рис. 21).
Решение. Искомую площадь разбиваем на элементарные
площадки (полоски), параллельные оси OY и находим выражение
для дифференциала площади. Очевидно, что

откуда
dx
J 1+ я г
2
+ 00
Г* dx
\ — —- — 2 [arctgx] = 2 arctg i + oo
J 1+A'2
o
— 2 ■- — r. іед4).
2
Иногда бывает выгодно разбить искомую площадь на элементарные
площадки, параллельные оси ОХ, а не на площадки, параллельные
оси ОҮ, как это мы делали в предыдущих примерах.
Пусть, например, нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой х — ф(у), двумя прямыми у — с, у = d(c < d) и
отрезком оси О Y (рис. 22). Для вычисления этой площади по­
1 /
/
Ш /
\du~z
\
0
Рис. 23.
ступаем аналогичным образом. Искомую площадь разбиваем
на элементарные площадки, параллельные оси ОХ и составляем
выражение для определения площади элементарного прямоугольника,—
другими словами, находим дифференциал площади
dS.
В данном случае
dS = xdy или dS = 0), двумя прямыми у — 1,
ком оси OY (рис. 23).
ограниченной
у = 4 и отрез-
140

Решение. Данную фигуру разбиваем на полоски, параллельные
оси ОХ. Составим дифференциал площади:
dS — xdy = щ V~ydy,
выражение для функции х получено из уравнения кривой.
Определяем величину плошади по формуле (48'):
J
i f - i
= 7 1 J l у
2 . 7 = И /3 _ ( е д 2 ,.
3 / 3 9
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой у2 — у + х — 2 = 0 {х > 0) и отрезком оси О Y
(рис. 24).
Решение.
dS — xdy;
dS — ( 2 + у —у2) dy;
S = j(2 + y — y2) dy =
y- y'
2y + 2 - - 3
— I
= (4+2 —H -
-2 + ^ + І| = 4,5(ед2).
Рис. 24.
Замечание. Для нахождения пределов интегрирования по
переменной у нужно найти ординаты точек пересечения параболы
с осью ОҮ. Для этого нужно решить систему уравнений
Получаем:
Отсюда
j .v = 2 + у — у2 j
1 х = О J
2 + у — у2 — 0 или у2 — у
У\ = — 1, У2 = +2.
2 = 0
2. Вычисление площади фигуры,
ограниченной кривыми j/j—

когда f2(x) > fi(x) на данном отрезке [а, Ь]. Предположим
сначала, что обе кривые расположены над осыо ОХ (рис. 25).
Будем поступать аналогично предыдущему, т. е. разобьем сначала
искомую площадь на элементарные площадки, параллельные
оси OY, потом составим выражение для вычисления величины
площади элементарного прямоугольника и, наконец, проинтегрируем
это выражение.
За основание элементарного прямоугольника возьмем dx, а
высота равна разности ординат у2—У\ или f2{x)— Ы А')> чтп
непосредственно видно из приведенного рисунка.
Отсюда
dS = dSo — dS i,
где dS2 — дифференциал площади, ограниченной кривой
У2 = Î2 (х).
dS\ — дифференциал площади, ограниченной кривой
Так как
то
i/i = М*)-
dSo — f2(x)dx и dS ! = f i (.v) dx,
dS = dS2 — dSi = [f2{x) — f i (x)]dx.
В этом случае
Рис. 25. рис 26.
ь
5 = \ Ui(x) — fi{x)]dx,
а
что и требовалось показать.
Замечание. Выведенная формула остается справедливой для
любого расположения кривых Уі — fi(x) и у2 = Ы *) относительно
оси ОХ. Действительно, всегда можно перенести ось ОХ
параллельно самой себе на расстояние С таким образом, чтобы
вся искомая площадь оказалась над нею. Этот перенос оси ОХ
изменит величину всех ординат кривых на одно и то же постоян­
142

ное число С, но не изменит их разности. Дифференциал dS искомой
площади остается прежним.
dS = {[/*(*) + с) — [/i(* )+ c]}dx = [/,(*) -f c—f x[x)— c\dx =
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
окружностью х2 + у2 = 16 и параболой х2 = бу (рис. 26).
Решение. Разбивая данную фигуру на элементарные полоски,
параллельные оси OY, составим выражение дифференциала
искомой площади по формуле dS = [f2(x)— fx(x)]dx,
_______
v2
где U{x) = V 16—x2 (из уравнения окружности) и fi(x)= ~
(из уравнения параболы), т. е.
= f/îM —fi(x))dx.
Для вычисления площади с помощью определенного интеграла
необходимо еще найти пределы интегрирования Х\ и х% так как
в условии задачи они не даны. Найдем абсциссы точек пересечения
данных кривых, решив два уравнения совместно:
I x2 + у2 = 16
} x2 = 6 у
Из второго уравнения х2 — 6у, тогда
6 ÿ + ÿ2 = 16, или у2 + 6у — 16 = 0; у i = 2, у2 = — 8.
х2 = = 12 и x = ± I 12 = ± 2 I'
Значение г/2 = —8 отбрасываем, так как по условию у > 0.
Таким образом, абсциссы точек пересечения окружности с
параболой найдены, отсюда

Вычислим каждый интеграл в отдельности:
2 У Г
2 f К Т б ^ г х \ 16 — х2 + 16 arcsin
2 V i
Вычисляем второй интеграл:
Итак,
2V 3
г. 16т
= 2/3-2 + 1б^ = 4 | / 3 + —
2's/â
= 9 • 3 • 3 ^ 3 = 8 ]/3
5 = 4 )/3 + ^ - У £ 1 = 4 (l/3 + 4i:]feAa).
Рис. 27. Рис. 28.
Пример 6. Вычислить площадь эллипса (рис. 27).
»2 2
Х- + ^ \ = I.
а 2 Ь2
Решение. Воспользуемся симметрией эллипса относительно
осей координат. Поэтому вычислим сначала площадь
эллипса, расположенную в первом координатном углу, а потом
увеличим ее в четыре раза.

Замечание. При а — b эта формула дает площадь круга
f
S = ла2(ед2).
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, заключенной
между параболой у2 — 6х и нормалью к ней, наклонной к оси
абсцисс под углом в 135° (рис. 28).
Решение. Обозначим точки пересечения нормали с параболой
через С и D. Разобьем полученную фигуру на полоски,
параллельные оси ОХ и составим выражение dS дифференциала
искомой площади. Высотой полученного прямоугольника будет
dy, а основанием х2 — где х2 нужно выразить как функцию
из уравнения нормали, a х\ — из уравнения параболы. Составим
сначала уравнение нормали. Уравнение нормали будем искать
в виде уравнения прямой, проходящей через точку (хь у\), с
угловым коэффициентом (К), равным tg 135° = — 1, получим
У — У\ = — (* — * 0 -
Теперь определим координаты точки (С).
Известно, что отрезок поднормали для параболы есть величина
постоянная, равная параметру р параболы. В данном случае
2р — 6, откуда р = 3 = АВ. С другой стороны, длина поднормали
равна ординате АС = у{ точки С, умноженной на угловой
коэффициент касательной, проведенной к кривой в этой же
точке, т. е.
du*
du л
АВ = АС • или 3 = 1/, ~ г
СІХ-ү
иХ±
dyi
( , ~— тангенс угла касательной к кривой в точке С).
ÜXi
По условию угловой коэффициент нормали равен — 1, значит,
угловой коэффициент касательной к кривой в этой же точ-
, dyt
ке равен + 1. = 1.
Отсюда у\ = 3 (ордината точки С). Подставив в уравнение
параболы значение у\ = 3, найдем абсциссу Х\ точки С. Действительно
З2 = 6х, откуда Х\ = ^ ,
Уравнение нормали примет вид:
3 9
у _ з = — (х — - ) , или у = — х +
Составим выражение для дифференциала dS\ находим х из
уравнения нормали
9
* = 2 - У ,
а из уравнения параболы
10 880
х = ^
6 ’

!
Поэтому dS = ( 4,5 — у —
J dy.
Теперь остается только определить пределы интегрирования.
Для этого надо найти координаты точек пересечения нормали с
параболой. Решая совместно уравнения параболы и нормали,
будем иметь последовательно:
1
:у\
Тогда
у* = -2 -у ,
У1
if + 6 у — 27 = 0;
Уг = - 9.
5
1
4,5 у
1 2 1 „з
"2 ~~ 18
= ( 1 3 ,5 - 4 ,5 — 1,5) ■ 40,5-40,5 + 40,5) = .48(ед2).
2\
Пример 8. Найти площадь, заключенную между параболой
у = х2 — 2х + 2, касательной к ней в точке М (3,5) и осью
ординат (рис. 29).
Решение. Составим уравнение касательной к параболе
в точке М (3,5).
причем
dy
У —■5 •
dy
dx ( * - 3),
надо найти для значения х = 3. Находим производную
у' = 2х — 2, откуда у' = 2 -3 — 2 = 4.
Уравнение касательной принимает вид:
у — 5 = 4(х — 3) или у = 4х — 7.
Найдем дифференциал dS по формуле:
или
Тогда
dS = If2(x) — fi(x)]dx-,
dS = [{x2 — 2x + 2) — (4x — 7)] dx,
dS = (x2 — 6x + 9) dx.
3 3
S — \ [x2 — 6x + 9) dx
1
- r 3— 6 x 3 9x
—9
146
= 9 ~ 27 + 27 = 9(еда

Пример 9. Определить площадь фигуры, ограниченной
пяоаболой у — —х2 + 4х — 3 и касательными к ней в точках
Af^O, - 3 ) и М 2(3, 0) (рис. 30).
Решение. Прежде всего составим уравнения касательных
к параболе в данных точках, у + 3 = у'(х — 0) — уравнение
касательной в точке Л1](0, —3), у — 0 = у'(х — 3) — уравнение
касательной в точке М2(3, 0). Находим производную.
у' - —2х + 4.
Определяем угловые коэффициенты касательных в данных
точках
* - 0 у' = 4
Уравнения касательных примут вид:
у + 3 = 4х, или у = 4х — 3,
у = —2(х — 3), или у = —2х + 6.
Разобьем искомую площадь на две части (рис. 30): Si — площадь
фигуры, ограниченной касательной M\N и дугой параболы
MiQ; S2 — площадь фигуры, ограниченной касательной M2N и
Дугой параболы QM2. Тогда искомая площадь S = Si + S2. Для
нахождения пределов интегрирования находим абсциссу точки
пересечения касательных. Решив систему уравнений
147

( у = 4х — 3
находим, что х =
I у — —2х + 6
4х ~ 3 = —2х + 6 , 6.v==9,
3
2 '
Дифференциал
dS\ = 1(4х— 3) — (—х2 -f- 4х — 3 )]dx = x2dx.
Дифференциал
dS2 = [(—2х + 6) — (—х2 + 4x — 3)]dx = (x2— 6х + 9 )dx.
Отсюда
3/2 3
5=1* x2dx -f- 6x + 9)dx= ^ [x3j +
3/2
+
6x2 + 9x
= + 9 - 27 + 27 -
3/2
9 _ 27 , 27
8 4 ^ 2
= 2 ? (ед2)
3. Вычисление величины площади фигуры,
ограниченной кривой, уравнение которой задано
в параметрической форме
В этом случае при вычислении площадей фигур используется
формула
b
b
a
f (x) dx = j ydx.
Разберем этот случай на примерах.
Пример 10. Определить площадь первой арки циклоиды,
заданной уравнениями:
х — а (ср — sin ф),
у = а( \ — cos ф).
Решение. Находим выражение для дифференциала dS'
искомой площади. Так как dS = ydx и dx = a(l — собф)й?ф,
то dS = а ( 1 — cos ф) а (1 — cos ф) d(p = а2 ( 1 — cos ф ) 2 dçp.
148
a

Зная что первая арка циклоиды пересекается с осью ОХ в
точкзх —
фі — 0, ф2 = 2л,
остается проинтегрировать полученное выражение для dS в
указанных пределах. Тогда
5 = \ а2 (1 — cos®)2dt?= а2\ (1 — 2coscp -f cos2 ср) dy =
. = а 2sln ф 4- - ср-f- -sin 2ср
2 4
а2 (2тс 4- тс) = Зтса2(ед2).
Получился интересный вывод: площадь одной арки циклоиды
равна утроенной площади катящегося круга радиуса а.
Полученная формула позволяет вычислять площадь циклоиды
и без применения интеграла. Например, площадь одной арки
циклоиды
х = 3(ф — sin ф),
у = 3(1 — cos ф)
равна, очевидно,
5 = З.л.З2 = 27л (ед.2) ,
так как а = 3.
Пример 11. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной
астроидой, которая задана уравнениями в параметрической
форме:
x = R cos3 1,
у — R sin3t.
Решение. Астроида симметрична относительно осей координат
(рис. 31). Поэтому вычислим площадь, расположенную
в первом квадранте, и увеличим ее потом в 4 раза. Находим
Дифференциал искомой площади:
dS = ydx, где у = R sin31, dx = —3 R sin t cos2 tdt.
149

Замечая, что при х = 0, t = ~ и при x = R, t = О, получаем:
О к/2
S = — 4-3-/?* j sin1/ cos2td t = 12/?* j* sin4/ (1 — sin2/) dt —
Применяя формулу
n/2
n/2 Ô
n/2 n/2
= 12/?2^ j sin4/d/— j* sin6/d/
s\nu td t =
V
вычислим интегралы
o
n/2
n/2
0 0
2k — 1 ) (2k — 3)... 3-1
2 k (2 k -2 )...A -2
. , , , , 3 • 1 _Я 3u
sin — 4 2 * g — І6
sin6/ dt =
5-3-1---- rc 5
--------- • —= —тг.
6-4-2 2 32
\16 32 / 32 8
12. Вычислить площадь круга, заданного'урав­
x = R cos t,
у = R sin t.
dS — ydx = R sin t( — R sin t) dt = —R2 sin2 tdt\
Пример
нениями:
Решение.
в n/2
S — — AR2 j* sin2/d/ = 4R2 ^ s\n2tdt = r.R2 (еда).
n/2 0
4. Вычисление величины площади фигуры,
ограниченной кривой, заданной уравнением
в полярной системе координат
Пусть дано уравнение кривой в полярных координатах
р = / ( ф ) ,
где /( ср) — есть функция непрерывная.
1,71

Вычислим площадь сектора, ограниченного дугой АВ данной
кривой и двумя радиусами-векторами (рис. 32).
Ф = а, ф = р.
Разобьем искомую площадь радиусами-векторами на п малых
частей. Рассмотрим один из таких секторов OCD, отвечающий
изменению угла от ф до ф + Аф. Назовем этот сектор элементом
площади в полярной системе координат. Площадь сектора
OCD приближенно равна площади кругового сектора ОСК радиуса
р. Обозначим площадь этого кругового сектора через dS.
Тогда
dS = — р • ^ С К = — р • р
2 2
Итак, дифференциал площади в
полярной системе координат
выражается формулой
dS = — p2 d(f. (50)
d

Пример 13. Вычислить площадь круга (рис. 33).
Р = a cos ф.
Решение. dS —
р2 d(f = —a2 cos2 фЛр.
Пределы интегрирования: ф! = 0, ф2 — .
5 = 2
"/2
p=acos

Как обычно, находим сначала дифференциал площади
1 „
a'S = — a1 cos2 2срdcç .
Пределами интегрирования будут:

Подставляя в уравнение кривой вместо х и у их выражения,
будем иметь:
или
(p2cos2 ср+ p2sln2cpj2 = а2 p2 cos2

Решение. Составим уравнение кривой в полярной системе
координат, полагая
' х = р cos ф
получим
откуда
у = р ЫП ф,
p» cos3 ср-j- р3 sin3 ср= Зара sin «pcos cp,
P =
За sin y cos у
Sin3

П р и м e p 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
полярной осью, вторым и третьим витком спирали Архимеда
(рис. 39).
Решение. Искомая площадь представляет собой разность
площадей, описанных радиусом-вектором при третьем и
втором оборотах спирали. Выражение дифференциала площади
для обеих площадей, описанных радиусом-вектором, имеет один
и тот же вид
dS = -~а2ф2 dq>,
но пределы для обоих интегралов будут
разными. При первом обороте радиусавектора
угол ф меняется от 0 до 2я,
при втором — от 2я до 4я и при третьем
от 4я до 6я, поэтому
s - Ç j W ?
= ^ (152 т:3 — 56 л3) = 16 тс3 а2 (ед2) .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
кривой у = х3 — Зх2 + Зх и прямой х = 3. Отв. 6,75 (ед?).
2. Найти площадь, заключенную между кривой у2(х2 + 4) =
= 100 и прямой у — 4. Отв. (20 In 2 — 12) (ед.2).
3. Вычислить площадь фигуры, заключенной между парабо-
10
лами у2 = 4ах и х2 = 4ау. Отв. - у а2 (ед 2).
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
у — и У = — *2- Отв. ( —-----(ед2).
1 -4-х 2 \ 2 3 )
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой р = 2с!§ф
и прямой ф = . Отв. (4 — я) (ед2).
X 3
6. Вычислить площадь, ограниченную циссоидой у2 = —:------
2а — х
и ее асимптотой х = 2а.
7. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой
Р = а ( 1 — cos ф). Отв. 1,5яа2 (ед 2) .
8. Вычислить площадь лемнискаты (х2 + у2)2 = а2(х2 — у2).
Отв. а2 (ед 2). Указание. Перейти к полярным координатам.
9. Вычислить площадь, ограниченную кривой р = a sin Зф.
Отв. 0,25яа2 (ед 2) .
156

10. Вычислить площадь улитки Паскаля р = 2а (2 + cos ф).
Отв. 18яа2 (ед 2).
11. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой
Отв. бяа2 (ед 2) .
х = а (2 соь t — cos 21),
ij — a(2 sin t — sin 21).
12. Вычислить площадь, ограниченную замкнутой частью декартова
листа, заданного уравнениями в параметрической
форме
У =
1 -Н 3 1 + ^ 3
Замечание. Параметр t является здесь тангенсом угла ра-
- тс
диуса-вектора, поэтому при изменении угла от 0 до у переменная
t будет изменяться от 0 до + со. Отв. 1,5а2 (ед2).
13. Вычислить площадь сектора гиперболы р = --------------,
1 -f- e cos

Назовем V* внутренним объемом тела и V*— внешним объемом.
Предположим, что обе границы
V* = sup {Л},
V* = inf {5}
совпадают. В этом случае их общее значение V и называют
объемом тела (V). И в данном случае легко видеть, что для
существования объема необходимо и достаточно, чтобы для
любого е > 0 нашлись такие многогранники (А) и (В), для которых
А — В < е.
Если тело (V) разложено на два тела (Vi) и (Уг), то из существования
объема для двух из этих трех тел вытекает существование
объема для третьего.
При этом
V = V, + V2.
Это свойство объема называется свойством аддитивности. Покажем,
что объем можно выразить с помощью определенного
интеграла.
Если имеется прямой цилиндр высоты Я, основанием которого
служит квадрируемая плоская фигура Р, то такой цилиндр
имеет объем, равный произведению площади основания на высоту:
У = PH.
Рассмотрим многоугольники Р п и Р„, соответственно содержащиеся
в (Р) и содержащие в себе (Р), такие, чтобы их площади
Р'п и Р„ стремились к Р.
Если на этих многоугольниках построить прямые призмы
(Ап) и (Вп) высотой Н, то их объемы
Л „= Р'пН и Вп—РпН
будут стремиться к общему пределу
V = PH.
Этот объем и будет объемом данного тела. Предположим, что
нам дано тело (V), заключенное между двумя плоскостями
х = а, х — Ь.
Будем рассекать это тело плоскостями, перпендикулярными к
оси ОХ (рис. 40). При этом предполагается, что все эти сечения
квадрируемы. Обозначим площадь сечения через Р (х) , отвечающее
значению абсциссы х. Будем предполагать также,
что функция Р (х) непрерывна на всем отрезке. Рассмотрим тот
частный случай, когда проекции двух различных сечений на
158

плоскость, перпендикулярную оси ОХ, оказываются всегда содержащиеся
одна в другой.
Покажем, что при данном предположении объем тела V выражается
с помощью определенного интеграла
ъ
У = | P (x) dx. (52)
а
Действительно, разобьем отрезок [а, Ь] на оси ОХ точками
а = х0 < хг < х2 < . . . < Хі < xi+, < ... < х„_, < хп = в.
В точках деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси
ОХ. Тогда все тело разобьется этими параллельными плоскостями
на слои. Рассмотрим один из таких элементарных слоев,
который обозначим через ДУг, заключенный между перпендикулярными
к оси сечениями, проведенными через точки х,- и
xi+\. На отрезке [x,-, xi+ i ] функция Р (х) имеет наибольшее значение
Mi и наименьшее значение т г. Если различные сечения
в этом отрезке поместить на одну плоскость, то все они, по нашему
предположению, будут содержаться в наибольшем сечении,
имеющем площадь Mi, и содержать в себе наименьшее,
площадь которого равна тх.
Построим на наибольшем и наименьшем сечениях прямые
Цилиндры с высотой Ах,- = xi+1—Xi, больший из них будет содержать
в себе слой АУ ] ЯІІ Дх,-.
159

Переходя к пределу при наибольшем A.v'j->0, эти оба тела
будут иметь один и тот же объем, равный
ь
\Р (x) dx = V.
а
Отсюда можно сделать следующее заключение:
если для данного тела известны все его поперечные сечения
плоскостями, перпендикулярными заданному направлению,
принятому за ось ОХ, то объем тела выражается формулой
(52), где Р(х) есть площадь поперечного сечения с абсциссой х,
г а и b — абсциссы крайних сечений тела.
Операция вычисления объема тела аналогична операции
вычисления площади фигуры. Если площади всех поперечных
сечений известны как функции абсциссы х, можно рекомендовать
следующий порядок операций:
1) выделить элементарный слой A Vj ;
2) составить выражение для объема цилиндра с площадью
поперечного сечения Р(х), проведенного через точку х отрезка
[x, x + dx], и высотой dx, т. е. получить выражение для dV —
дифференциала объема:
dV = P(x)dx-, (53)
3) применить формулу (52) для вычисления объема V.
Пример 1. Вычислить объем цилиндрического отрезка
(рис. 41), отсекаемого от прямого кругового цилиндра плоскостью,
проходящей через диаметр и составляющей с основанием
цилиндра угол а.
Решение. За ось ОХ примем диаметр АВ и середину
диаметра — точку О за начало координат. Составим уравнение
окружности круга, лежащего в основании цилиндра в виде
х2 + у2 = г2,
полагая АО = О В — г. Поперечное сечение, перпендикулярное
к оси ОХ и пересекающее ее в точке D. имеет вид прямоугольного
треугольника DMN с катетами DN и NM. Составим по формуле
(52) выражение для дифференциала объема. Для этого
нужно прежде всего найти площадь поперечного сечения. Так
как DN = у и NM = DN tg а = у tg а, то площадь поперечного
сечения — площадь прямоугольного треугольника DMN равна
Из уравнения окружности
-DN-NM = - г/2 tga.
2 2
160

поэтому площадь поперечного сечения выразится формулой:
Р(х) = - tg a (г2— х2).
Дифференциал объема
dV = - tg a (r2— x2)dx,
отсюда
у = 0,5tga \
(r2 — x2)d x = - • 2 • tga \ [г2 — Л2) dx
Г2Л' —- — x 3
= - tg a г3(ед9).
ü
Пример 2. Оси двух равных цилиндров радиуса а пересекаются
под прямым углом. Найти объем тела, составляющего
общую часть этих двух цилиндров.
Решение. На рис. 42 оси цилиндра приняты за оси ОХ и
OZ. Объем ОАВСК равен - части искомого объема. Пересечем
8
это тело плоскостями, перпендикулярными к оси OY. В сечении
будет квадрат со стороной MN = МР = \ а2 — у2. Площадь
поперечного сечения Р(у) = MN • МР = (а2— y2)dy.
Дифференциал объема dV = P(y)dy, а искомый объем
равен:

П р и м e p 3. Вычислить объем эллипсоида
t. + ?!
a2 b2 c2
Решение. Сечение, перпендикулярное к оси ОХ и проведенное
на расстоянии х от центра, представляет собой эллипс
(рис. 43). Действительно,
1
Разделив все члены
1 — — )
а3,1’
эллипса
получим
уравнения на
уравнение
= 1
с полуосями
а‘
MQ = b V i _ î l и M/V = с V i __5L.
T а2 Т а2
Площадь эллипса с полуосями (а) и (b), как известно, равна
nab, следовательно, площадь полученного эллипса, т. е. площадь
поперечного сечения, равна
я • M Q • 7Ш ,
откуда, подставляя выражения для MQ и AIjV, получим площадь
поперечного сечения
P U) = V 1
Дифференциал объема
а‘ V Г а-
а искомый объем
dV = nbc I 1
dx.

Замечание. При а — b = с — г получим объем шара
Объем тела вращения
Особенно важным применением выведенной формулы (52)
является вычисление объема тела вращения.
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f(x),
двумя ординатами x = а, x = b и отрезком оси ОХ (рис. 44),
вращается вокруг оси ОХ, то полученное при этом тело называется
телом вращения с осью ОХ и образующей у = f(x).
Выведем формулу для вычисления объема тела вращения
вокруг оси ОХ. В этом случае сечением, перпендикулярным к
оси вращения, будет круг, а радиус сечения совпадает с величиной
y = f(x). Следовательно, площадь поперечного сечения
ИЛИ
Р(х) = я у2 = я [f(x)f,
dV — ny2dx = я [f(x)]2 dx,
ь
V = я \[f(x)]2dx,
a
h
V — n j y2 dx. ( 54 )
a
y берем из уравнения данной кривой.
Если нужно будет вычислить объем тела вращения вокруг
оси OY, то из уравнения кривой выражают х через у.
х = Ф (у).
Площадь поперечного сечения при этом будет равна
Р(у) = лх2 = я [ф (г /)]2.
dV = nx2dy = я [ ф (у)]2 dy,
объем тела вращения вокруг оси OY выразится формулой:
V = я J [Ф(y))2dy,
С
163

или
d
V = Я \ X2 dy. (55)
с
c u d — пределы интегрирования переменной у.
Замечание. Круглые тела, рассматриваемые в геометрии:
цилиндр, конус, усеченный конус и шар, можно рассматривать
как тела вращения.
Действительно, цилиндр получается от вращения прямоугольника
ОАВС (рис. 45а) вокруг оси ОХ; конус — от вращения
треугольника ОАВ вокруг оси ОХ (рис. 456); усеченный конус—
от вращения трапеции ОАВС вокруг оси ОХ (рис. 45в);
а 8 в г
шар — от вращения полукруга ОтА вокруг оси ОХ (рис. 45г).
Эти четыре фигуры рассматриваются как частные случаи криволинейной
трапеции.
Пример 1. Вычислить объем конуса, радиус основания
которого равен R и высота h (рис. 46).
Решение. Для вычисления объема конуса нужно составить
сначала уравнение линии ОА. Будем искать уравнение
прямой ОА в виде у = kx. Из рисунка
видно, что
следовательно,
Рис. 46.
R
У = —х.
h
Пределы интегрирования будут а = 0 и b — h. Искомый объем
вычисляется по формуле (54):
V = -гс
Һ
- R2
һ2' хЧх
Һ
kR 2 X3
h 2 3
= i r.R2h (ед3).
О
Пример 2. Вычислить объем шара радиуса R, с центром
в начале координат.
164

Решение. Шар получается от вращения полукруга вокруг
оси ОХ. Уравнение окружности в данном случае будет
откуда
х2 + у 2 = R2,
значит искомый объем
у = \ R2 — А'2 ,
+ R
v.- j 1
- R
(R2- x 2)dx=2it {R*-x*)dx=2K R2x- - X s
— Ztc R3 — -R 3
3
= -тс/?3(е д 3).
Пример 3. Вычислить объем тела — эллипсоида вращения
(рис. 44). Эллипсоидом вращения называется тело, образованное
вращением эллип-са вокруг оси ОХ:
— + L = i '
а 2 Ь2
Решение. Такой эллипсоид называется удлиненным
эллипсоидом вращения (рис. 43 при с — Ь). Крайними значениями
оси абсцисс будут (—а) и (+ я ). По формуле (54) получим:
у ЛЛ
■+■11
— тс Г y2dx — тс
Т - :
dx—itb2l х
За2
= —r,ab2 (ед3).
3
Аналогично можем вычислить и объем сжатого эллипсоида
вращения вокруг малой оси, т. е. вокруг оси OY. Применяя
формулу (55), получим:
Усж = тс Г а 2 ( 1 — y- ^ \d y = ^ ка2Ь[ед3) .
Пример 4. Вычислить объем параболоида вращения
вокруг оси ОХ, радиус основания которого R, высота Н (рис. 47).
Решение. Возьмем простейшее уравнение параболы
у 2 = 2рх.
165

Применяя формулу (54), получим:
я
н
о
о
Выразим р через Н и R. Так как у = R и х = Н, то из уравнения
параболы следует
откуда
R2 = 2 pH,
Подставляя в формулу объема вместо р его выражение, будем
иметь
J
Уі
У2-2рх
С
Л
х
Рис. 47. Рис. 48.
Словами: объем параболоида вращения равен половине произведения
площади его основания на высоту. Интересно отметить,
что объем цилиндра с таким же основанием и высотой в точности
равен сумме двух таких объемов параболоидов вращения.
Пример 5. Вычислить объем тела, полученного от вращения
части OD параболы у2 — 4х вокруг оси OY, если известно,
что точка D задана координатами (4,4) (рис. 48).
Решение. Решив уравнение параболы относительно х,
получим:
166
2
4

Для вычисления объема применим формулу (55), тогда
4 4
64
и° = ^ т с (е д 3).
80 5
о
Пример 6. Гипербола
16
(рис. 49) вращается вокруг оси ОХ. Вычислить объем, ограниченный
получившимся гиперболоидом и двумя плоскостями,
перпендикулярными к вещественной оси гиперболы, отстоящими
от начала координат на расстоянии Х\ — 5 и х2 = 9.
Рис. 50.
Решение. Решим уравнение гиперболы относительно у 2-
16)9
16
отсюда объем
9 7г9
(x*— I6)dx— —
16 16
- - 16*
3
9тг
16
(243 — 144)
- [ f -80 = ^ 1 323 - 185 j ) = 9тс ' 412 = 77,25тс(ед3).
16 V з! 16.3
Пример 7. Вычислить объем усеченного конуса, радиусы
оснований которого равны г и R, а высота Я (рис. 50).
Решение. Составим уравнение прямой АВ, как уравнение
прямой, проходящей через данные точки А (0, г) и В (Я, R) :
У— г
R—r
Н - 0
■0
167

или
Ну — rH — x(R— г) ; Ну — гН 4- x(R— г) ,
i R~r
У = г ~\--------- л:.
Н
Теперь определяем объем V но формуле (54):
ъ н н
R—r Л2 Г/_, , 2г (/?—/■)
Я л: I dx = тг I [ г2 Н
I ( Я - Г ) 2 , , ,
r‘x
, 2r (R — r)^ + (R—r)
2 Я ЗЯ2
гзЯ + гҢІ (* -П + 'К -У Ің*
Н
3 Я 2
R2- 2 R r + r i
= it Я
= тсЯ /?г - г2 +
тгЯ
' з
fi2 + /?г + г 2 (ед3).
Такой ответ, выражающий
объем усеченного конуса, известен
нам из элементарной
геометрии.
ис. 51. Рис. 52.
Приведем пример на вычисление объема тела вращения
когда кривая задана уравнениями в параметрической форме.
Пример 8. Вычислить объем тела, образованного враще
нием первой арки циклоиды (рис. 51)
вокруг оси ОХ.
168
х = a(t — sin t),
у = а( \ — cos t)

P е ш е и и е. Объем тела вращения вычисляем по формуле:
Получаем:
ь
V = л ^ y2dx.
а
2г. 2к
у = гс ^ а2 (1 — cos t)2-a (1 — cos t) dt = rca3 ^ (1 — cos tfdt =
b
à
2k
= rca3 Г(1 — 3 cos t 4- 3 cos21 — cos31) dt = ua3 \t — 3 sin t -frca3-~.2rc
= 5 tc2ü3 (ед3).
+ - 2 ^ 4 --------2 — J— sin t + y sin3/j • 2
Указание.
j cos Hdt — \j(l — sin2 /)cos tdt = ^ (i — sin2 t)d sin t = sin/ —
1 • 3.
— g" Sin3 t.
Пример 9.
циссоиды
Найти объем тела, образованного вращением
"’“агЬ

*
у' из уравнения кривой. Дифференцируя (1), как неявную
функцию, получим:
^УУ —
(2а — х)-3хг + л:3 __ бах2 — Зх3 -f- х* _ 2(3ах2—х3)
(2 а — х)2 (2 а — х)2 (2 а — х)2 ’
j , = 2 (3ахг — x3) 2х2 (За — *) ]/2а — х
У ~ (2а -X)22у = 2 (2 a -x )2x y j - =
Отсюда
Поэтому
= (3fl — *) V 2 а - х У Г _
(2а — х)2
(Зя - « ) у - 2 ^ Г ^ . 1 / Г rf,
(2а — х)2 (2а — х)2
„ О 2г ( 2 а - х ) г — х ) v ^ a x - W J 0 2ra 0 , ______________ . ^
У = 2тс ----------(2â^xV 2--------------- = JЗа V2ax — xtd x —
О
о
2 а
— 2* J*]/2a.v — *a rf*.
О
Вычислим каждый интеграл в отдельности:
2 а 2а
ÇК2а* - *2 dx = f V"а2 — (л: — а)3 ^ = =
о
о
°2 г . 1 • / ni ^
= у [arcsin 1 — arcsin ( — 1) ] = - ү ;
2а
2а
J х ]/2алс - де* d x = j х Уаа- ( х —

Поэтому
2 а
+ г./2
[ х ]/2ах — dxz=z\ а (' + sin Ф)а cos ?'acos ? d4 '■
- п/2
+п/2
= ая^ (cosa (f + sin срcosa tp) dcp = a3
-4 /2
cp 1 1
у + ^ sin 2c? — у C O S3Cp
+ *12
-4/2
= а з [ - + -] = а з ^ ( е Дз).
Итак,
V = 2 тс а3 (ед3).
Пример 10. Вычислить объем кольца, образованного вращением
круга, диаметр которого d — 10 см, вокруг оси, лежащей
в его плоскости и отстоящей от центра круга на расстоянии
10 см (рис. 54).
Решение. Расположив оси координат так, как указано на
рисунке, получим уравнение окружности в виде:
x2 + (у— 10)2 = 25.
Искомый объем мы можем рассматривать
как объем тела, полученного вращением
фигуры, ограниченной двумя кривыми:
верхней дугой ABC окружности, уравнение
которой
у2 = 10 + У 25 — X2,
и нижней дугой ADC, где
Уі = 10— У 25 -x* •
Элементарный слой Рис. 53.
dV = тс[г/2 — y]]dx= к [(10+ У25^х*~)* — (Ю ~ У 2 5 ^ х 2)й] dx,
т. е.
Отсюда
dV = 40я V 25 — x2 dx.
+ 5 5
v = 40 U | у 25 — Xй dx = 80 тг ^ у 25 — x2 dx = 500 ~2 (см3).
- 5 0
171

Интеграл
взят по формуле XVII.
Ç1 25 — x2 dx
УПРАЖНЕНИЯ
2
1. Фигура, ограниченная линиями и = -■=---------- , и = О,
e + £_jr
вращается вокруг оси ОХ. Найти объем полученного тела.
Отв. V = 2я (ед 3).
2. Найти объем тела, образованного вращением кривой
СIX3 — X^
У2 = -~ 2 -----(батавская слезка) вокруг оси ОХ.
Отв. V = (е д 3).
3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной кривыми ху = 2; ху = 4; у= 1 ; у = 2, вокруг оси
OY. Отв. V = 6я (е д 3).
4. Параболический сегмент высотой h вращается вокруг
своего основания а. Определить объем тела вращения («лимон»
Кавальери) при а = 5 см и h = 3 см. Отв. V — 24я (ед3).
5. Фигура, образованная дугами парабол у = х2, у = Ух,
вращается вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.
Отв. V = 0,3я (ед 3).
6. Дуга синусоиды у = sin х, заключенная между началом
координат и ближайшей вершиной синусоиды, вращает-,
ся вокруг оси OY. Определить объем тела вращения.
Отв. V = я( — 2) (ед 3).
7. Вычислить объем, получающийся от вращения вокруг оси
абсцисс фигуры, ограниченной осью абсцисс и параболой
у — 2х — х2. Отв.
16
V = л (ед .3) .
15
8. Вычислить объем, образуемый вращением одной ветви
_ _ 2
синусоиды у = sin* вокруг оси ОХ. Отв. V = (ед3).
9. Вычислить объем тела, которое получается от вращения
кардиоиды р = а( 1 + cos ф) вокруг полярной оси.
Отв. V = ^ ла3 (ед 3).
10. Вычислить объем, который получается от вращения
кривой
х — a cos3 1,
у = a sin3 1.
32
вокруг оси OY. Отв.; V — я а 3 (е д 3).
172

§ 25. Длина дуги плоской кривой
Задача вычисления площадей плоских фигур и объемов тел
является одной из важнейших геометрических задач, решаемых
с помощью определенного интеграла. Не менее важное значение
имеет и задача о вычислении длины дуги данной кривой,
решаемая методами интегрального исчисления.
При рассмотрении общего метода о вычислении длины дуги
данной кривой воспользуемся теми способами, с помощью которых
элементарная геометрия определяет и вычисляет длины
окружностей и их дуг.
Пусть кривая линия задана уравнением х = /(*).
и ее график изображен на рис. 54. Найдем длину дуги АВ этой
кривой между точками
А[а, f(a)] и В [b, f(b)}.
Дальше будем поступать так, как мы поступали и во всех предыдущих
задачах. Разобьем произвольным образом отрезок
[a, b] посредством точек деления
CL= Xq 'Л*2 Хк.—1' Хк ‘Хп—1^ Ь,
Из каждой точки деления восставим перпендикуляр к оси
ОХ, продолжая его до встречи с кривой у = f(x). Дуга АВ этой
кривой разобьется на п участков. Каждые соседние две точки
соединим прямолинейным отрезком—хордой. Совокупность
этих хорд образует ломаную линию, вписанную в дугу АВ.
Если бы мы производили разбиения отрезка [а, Ь] на все
более и более мелкие части, то, очевидно, вписанная ломаная
все ближе и ближе примыкала бы к дуге АВ. Вспоминая аналогичный
случай при определении длины окружности, дадим
173

определение длины данлой дуги АВ кривой у = f(x): длиной
дуги кривой между двумя ее точками А и В называется предел,
к которому стремится периметр вписанной в нее между этими
двумя точками ломаной линии, когда число сторон ее безгранично
возрастает, причем каждая сторона стремится к нулю.
На основании такого определения можно вывести формулу
для вычисления длины дуги кривой. Обозначим длину дуги АВ
через L. Пользуясь формулой для определения расстояния между
двумя точками, выразим длину хорды, соединяющей две соседние
точки Mi f (x,) j и УИ,+і[*»'+ь /(*і+і)], получим:
\MiMi+l\ = V(Xi+1— XiŸ + [f(xi+t)—f(xi) ]2.
Предположим теперь, что функция f(x) имеет непрерывную
производную на отрезке [а, Ь]. Тогда по формуле Лагранжа
(теорема о конечном приращении функции) можем написать
где
/(*1+1 — /(*

всегда имеет предел (при условии, что наибольшее из Ах( -+- 0),
независимо от способа разбиения и положения точек с/, можем
написать
«—i
V
L
max
=
ідг,-
пред
~0fiis0
1 K l + [ / ' (Ü

Интегрируя, получим:
х 8
Z. = y J ( e 8 + e *)dx = 4 [(е » -е 8 ) ]q= 4 —
— 4(1 — 1) = 4(е — е-' ).
Пример 2. Найти длину полукубической параболы
У2 = *3,
заключенной между точками (0,0) и (4,8) (рис. 56).
Решение. Найдем у':
2 уу' = Зх2,
, Зх2 З*2 Зх2 3
!l 2У 2и ~ 2 ‘2 |/*з 1/Тз — 2 '
dL = Vr+jP'dx = l/l
dx-
Рис. 56.
Находим обычным путем длину дуги:
1 = \ V 1 + 4 x dx.
О
Применим подстановку
4
тогда
9 dx = dz.
Пределы интегрирования для новой переменной определяем как
обычно:
при х = 0, 2 = 1;
176
при х = 4, 2=1;

Тогда
4 Л Ю А О 10
L = { V 1 + ! * d* = -9 І y y l ^ 2] =
о ' i 1
= 2у [ Ю3/2 — 13/2] = (Ю1 'І0 — 1).
Прим e р 3. Вычислить длину параболы
У2 = Ьх,
заключенную между точками (0,0) и (2, 2 УЗ).
Решение. В этой задаче удобнее за независимую переменную
принять у. Теперь выразим х, как функцию от у:
x = -j1-г/2 = Ф (У).
Тогда дифференциал дуги
пли
dL = V 1 -f- 'f'*(y)dy,
(59)
Длина дуги вычисляется по формуле:
или
с
L = ÎV 1 + (jy-)2 dy- (60)
По формуле (59) находим дифференциал дуги, принимая во
внимание, что
dx _ 2 у _ 1
d ÿ ~ 6" “ 3 'У'
dL = V1 + ( | ) 2^ = V 1 + у***? = y V ' S + j ^ ;
2 v 3~
1 Г1
-s- Q л - i f i И . . ----------L I о л. ,, г л q ir, ! . . i і Л п і
+ i / 2 dy = y |ÿ ]/9 -f- г/2 + 9 ln (г/+ 1^9 +
Г Х м 2 ' 3
г/2)]?/3 =
à 0
2 ^ 3 l/2 l+ 9 1 n (2 > /'3-l-l/'2T)—9 ІпЗ = Ц Г1 + 3 ln- ^ ' ^ ï .
v 3
12— 880 177

'
Пример 4. Найти длину дуги кривой
У = In
заключенную между двумя точками с абсциссами (рис. 57)
*1 = 1 и *2 = 2.
Решение. Находим дифференциал dL:
х2 + 1
1
dL
х
Тогда
L ? V * _ + ± dX'
Пределы интегрирования:
при x = 1, z = у~ 2 ;
Применяя подстановку
х2 + 1 = z2,
получим: 2xdx = 2züfz,
xdx = zdz.
при
х = 2, z — y 5"_
Р |/х 2 + 1
L = 1
2 + y l n
V5 2J V5 2 1 V5 Л
dx = C _g!fe = I' .? І' - ^ L
J 2 2 _ 1 J _ 2 2 — 1 + j _ Z 2 —
V 2 W V 2
Z + I
= (1/5 - V T ) + T
V 2~
Z
. 1 / 2 - 1
— ln —
Ÿ 2 + 1
Пример 5. Найти длину дуги кривой
у = ln cos x,
ln У 5 - 1
1/5 + 1
заключенную между двумя точками, абсциссы которых соот-
А 71
ветственно равны Х \ = 0, х2 =
178

решение. Находим дифференциал дуги кривой:
sin х
У
(— sinx) =
cos x
COS x
Отсюда
n/4
L =
dx
cos x
dL--
V 1 +
sin2 X
dx
COS2 X
= ln ln
ln tg ln 1 = ln tg Зтг
dx
cosx
i. 1 11 I u
tg'4 + 8
lntg
Длина дуги кривой, заданной уравнениями
в параметрической форме
В предыдущих примерах мы вычисляли длину дуги кривой,
заданной уравнением вида
У — f(x)- (О
Геометрически это означает, что прямая, параллельная оси ОУ,
пересекает дугу АВ данной кривой в одной точке. На практике
часто встречаются замкнутые кривые, которые пересекаются
с прямой, параллельной оси Оу, уже не меньше, чем в двух точках.
В таких случаях очень удобно кривую задавать уравнениями
в параметрической форме:
х = ф (* ),
y = (2)
где t — параметр, заданный на каком-либо отрезке [a, p], a
функции х = ф (t),.y = ty(t) и их первые производные — непрерывные
функции. Когда параметр t пробегает отрезок [а, р],
точка Р(х, у) опишет данный участок кривой. Поясним это
примером. Возьмем параметрические уравнения окружности:
х = r cos t,
у = r sin t,
где параметр t изменяется на отрезке [0, 2я]. Когда параметр t
пробегает этот отрезок, точка Р(х, у) описывает полную окружность
радиуса г:
х2 + у2 = г2.
179

Вычислим длину дуги кривой, заданной уравнениями в параметрической
форме (2). Для этого разобьем отрезок [а, р]
произвольным образом точками деления
на части длиной
* = 4 < 4 < 4 < - . . < 4 < 4 + 1

Отсюда длина всей ломаной, вписанной в дугу А В, выразится
но формуле:
п—1
р = 2 ДЛ- (5)
і-0
(p — периметр ломаной). Если бы под знаком функций ф'2 и ф'2
стояло одно и то же значение параметра t, например, т ,, то выражение
(5) приняло бы вид:
и—1
V ?'2Ы + f гК ) а/,. (6)
Выражение (6) представляет собой интегральную сумму,
предел которой выражается интегралом:
П-1 Р
"рад У д z. = ( j/-'» (< ) + dt,
П-* 00 i = 0
а
и, следовательно, длина дуги L кривой выражается по формуле:
P
L = \ У [ ? ' ( * ) i2 - f [ f (01* Л = И * / ) 2 + W dt
Р
Но на самом деле средние значения т,- и г', могут и не совпадать,
что создает некоторые трудности для предельного перехода.
Однако п в этом случае предел суммы (5) будет равен
интегралу
V (xty + (yt')2dt.
Покажем, как это сделать. Составим разность Р — Ô и покажем,
что эта разность стремится к нулю, при -*•(). Произведем
оценку этой разности.
р — о| < У Л U. (7)
Чтобы легче было произвести оценку этой разности, приведем
одно элементарное неравенство
V a 2+b* - У д а + Ң\ < I b - bt\. (8)

Не трудно убедиться в справедливости этого неравенства, в самом
деле, при а = 0 это неравенство очевидно; при а Ф 0 оно
вытекает из следующего тождества:
V ^ + ь ' -
V a 2 + b2 + V a 2 + b2
b2—b\
b + bt
Y a2 - f b2 + V a2 + b2 V a 2 + b2 + V a 2 + b\
(b — bx),
HO
b-\- b1
V a 2+ b 2 + V a 2-\- b2 < 1.
поэтому
I V a 2 + b2 — V a 2 -t- b2 I < I b - bl |.
Применяя неравенство (8) к каждому слагаемому суммы (7) в
отдельности, получим:
\ р - ° \ — ф ы \ д ' 0 найдется такое 0 > 0 , что
как только
!Ф (0 — Ф ( * ) |< е.
Поэтому, если взять все At ( < 6, тогда при
Ы — I < 8
ІФ (V ) — ф (х«)| < е-
Разность I Р — а ! удовлетворяет следующему неравенству:
IР — о I < e
Д ti.
Последняя сумма есть сумма длин всех частей отрезка [а, р],
следовательно, она равна длине отрезка (р—а), поэтому
182
\Р — ст| < е(р — а),

Значит, и в том случае, когда т < и т /н е совпадают, пределом
Р ________________
(5) будет интеграл jVr[«p'(0]a+ [ф'(0]а^ - Итак, если кривая
а
линия задана уравнениями в параметрической форме
х = Ф (0,
у = iK O .
причем функции cp(t) и ip(t) и их производные cp'(t) и ф'(г') непрерывные,
то длина дуги L кривой выражается формулой
где а < t < р.
р
L — ]У [? й П ¥ И ? М Г 2 dt, (61 )
а
Подинтегральное выражение называется дифференциалом
дуги кривой и обозначается через dL\
dL — У [?'(/) l' + l W ) ] 2 d t = V {x t'Y + [yt’ fd t. (62)
Если кривая задана явным уравнением
у = f(x), а < * < Ь,
то, принимая х за параметр, получим:
и
dL— Y I +y'*9dx = У \ + у'9 dx,
ь
[ v w i ï ' d x , .
а
Получили прежний результат.
Длина дуги в полярных координатах
Иногда кривая бывает задана в полярных координатах
уравнением
Р = /(ф).
Прямоугольные координаты х н у связаны с полярными координатами
р и ф соотношениями
х = р cos ф,
у = р sin ф.
Эти уравнения можно рассматривать, как параметрические
уравнения кривой с параметром ф.
Перепишем дифференциал дуги кривой в виде:
dL - У ‘й Л 2Т 0 7 Р dt = у = y i d x f + [ d y f .
183

Находим
dx = cos ф dp — p sin ф d(f,
dy = sin ф dp + p cos ф dif.
(dx)2- f (dy)2 = cos2cp (dp)2— 2p sin cp cos cpdpdcp + p2 sin 2? (dy)2 +
-j- sin2 cp (dp)24 - 2p sin cp coscp dpdy - f p2 c o s2 cp (dy)2,
или
(dx)* + (dy)2 = (dp)2 + p 2 (dy)2,
откуда
dL = V( dp)2 + p2(dy)2 = \ p2 + (p^)2 dy.
Выражение
d L = } [ p2 ± ^ J d < p (63)
называется дифференциалом дуги в полярных координатах.
Отсюда длина дуги в полярных координатах выражается с
помощью интеграла:
Р
L
№ + ( % ) ' « ’ ,

Тогда 2л
t t і (\ 2т'
L = ] 2rtsin2 d t—2a • 2 c o s -J = 4a(— cos n -f- cos 0) = 8a.
Мы получили интересный результат: длина дуги одной арки
циклоиды равна длине учетверенного диаметра катящегося
круга.
Пример 2. Вычислить длину всей астроиды, которая задана
параметрическими уравнениями (рис. 31):
отсюда
x = R cos3 1,
у — R sin3 1.
Решение. Находим dL по формуле (62) :
х \ = —3R cos21 sin t,
\ y \ — 3R sin21 cos t,
(x' t)2 = 9R2 cos41 sin2 1,
(y't)2 = 9R2 sin41 cos2 1.
dL = V 9R 2 cos4 sin2/ + 9Л?2 sin4/ cos2 1 dt —
= Ÿ 9 R 3 sin2/ cos2/ (cos2/+ s in 2/) dt *= 3/?sln / cos td t,
2 г. 0 2 г.
L— ^ 3/?sin / cos / dt = ^ sin 2tdt.
0 ^ 0
Если бы мы взяли интеграл в указанных пределах, то длина
всей астроиды оказалась бы равной нулю, действительно:
3 2* 3 2* 3
~R \ s'n 2tdt — — ~ R [ cos 2 / 1 == — —R (cos 4я — cos 0) —
* ô ^ о 4
- /г (i - 1) = о.
4
Это, конечно, неправильный ответ. Дело в том, что если промежуток
интегрирования разбить на частные промежутки
то подинтегральная функция sin 21 положительна в первом и
третьем промежутках и отрицательна во втором и четвертом
промежутках, поэтому соответствующие интегралы тоже будут
185

положительными и отрицательными. Значит, их алгебраическая
сумма равна нулю. Вот чем объясняется неверно полученный
результат. Чтобы получить правильный ответ, нужно перед интегралами,
взятыми в пределах ( ' / г , я) и (3/2я, 2л), у которых
подинтегральная функция отрицательна, поставить знак минус.
Тогда
2 п
f sin 2tdt
3/2*
- тс/2 тс 3/2тс
j sin 2 tdt— \ sin 2t d t ^ sin 2 td t—
L 0 it/2 it
3
— [(— cos it -f cos 0) + (cos 2 я — cos it) -f
+ (— COS 3rc + COS 2u ) -j- (cos 4т: — COS 3it ) ] =
= —/? (2 -f 2 + 2 + 2) = 6R.
4
Замечание. Пользуясь симметричным расположением астроиды
относительно осей координат, эту задачу можно решить гораздо
проще и быстрее. Достаточно вычислить длину дуги при
изменении параметра t от 0 до 7 а И полученный результат увеличить
в четыре раза:
о it/2 а п */?
L — — R- 4 Г sin 2tdt =* — [ co s21\ =»—3/?(costç— cos0)=6/?,
O J 9
^ о й о
Пример 3, Найти длину кривой (рис. 60),
&ГЧГ
(эволюта эллипса).
Уравнение эволюты эллипса можно написать в параметрической
форме:
— = co s3/,
а
b
= sin 3/.
Действительно, возведя обе части этих уравнений в степень,
равную 2/3, и складывая, получим
[Х \ 2/3 /„ N 2 /3
1 - 1 + = (cOS3/ ) 2/3+ (sin3/ ) 2/3= COS2/ + Sin2/ = 1 .
Вычислим длину дуги эволюты эллипса, пользуясь её параметрическими
уравнениями.
186

И г
Сначала находим дифференциал дуги
Так как
TO
d L = V [ x t'Ÿ + {yty d t .
(x't )2 = (—За cos2 / sin t)2 = 9а2 cos41 sin2 /,
(y‘t )2 — (%b sin2 1 cos t)2 = 9b2 sin41 cos2 1,
и длина дуги
Применяя подстановку
получим
или
dL — 3 ^ a 2cos2/ t 62sin2/ • sin /cos/û f/
- t / 2 _____________
L — 4 • 3 • j s in /c o s /]/a 2cos2/ + 62sin2/d /.
a2 cos2t + b2 sin21 = г2,
(—2a2 cos / sin / +
-|-262sin /cos t)dt = 2zcfc,
гс?г = (62 — a2) sin / cos tdt,
Тогда при дс = О, г = a;
при # = -£ -> г — b
«/а
____________________ Г1 2 Ü?2
sin/ cos/ V ^ co s2/ + bh[n%t d t = 12 \ _ 'flï ~
12 1 r „ • 4 ( а Ч а Ч і г )
_ ------------ • - f z3 = —-----------------------.
b2 — a2 3 l „ b -\- a
Пример 4. Найти длину кривой (рис. 59).
; - У Ч Т -
(эволюта эллипса).
Мы решили эту задачу (3), пользуясь параметрическими
уравнениями эволюты эллипса. Длину дуги этой кривой можно
вычислить иначе.
187

Дифференциал дуги находим по формуле
dL = \ 1 -г '; /2 dx.
Для этого определим сначала у'.
отсюда
? A W +
3 \ а
а 3 \Ь
х \-V 3 j
а I а
У — — 1 / у \ —i/з i
3 W?
,2 ЬЪ
у \2/3
ь
a* I x j 2/3
£
b \ъ
' у’— О,
1/3
« ( i/з
Подставляя в эту формулу вместо
/X \ 2'3
получим:
а
b2
У’2 = ~ 2
а 2
1
ХТ2/3-
( Î )
b2 / дг-2/3
1 = 62 _
а \
I
2/3
— 1
X
Л _ / 1 + £ ( w > - 1 ) * - г / у - 1 + ^ “ ) W
Обозначая для простоты выкладок через т постоянную величину
будем иметь
- - 1
b8
dL
- + I Î
2/1 dx.
Пользуясь симметричностью кривой относительно осей координат,
определяем длину дуги
1 = 4 т + ( ^ у 3 dx.
188

Применяя подстановку
(“ Г -
получим:
dz _ - - 1 ( І у * ( - ± V x - Ц I î г м «и.
3 \ x I \ я2 / З У *
3 х2а5/3 , За2/3 . 3 / а \~ ‘/3 . 3 1/2 .
с х . — . --------dz = ---------dz = - а - I dz = —az'^dz.
2a xW 2лг~|/3 2 \ x ) 2
Пределами интегрирования для новой переменной будут
Zi = 0, при х = 0;
Z2 = I, гіри х — а.
Тогда
i
i
, 46 За Г Л i г г------------
L — — • — j | / m - f - z 1/2tf z — 6b \ Y mz + I dz —
2 fi h ' 4 b
= - — \[zm + l) 3/2] = — [ (/» + 1 )^ — 1].
3 m о т
a2— è2
Подставляя вместо m его выражение ----------, получим
12
L—
b2
I f - \3 /2
4-1 - 1
4 (a3 — &3) __4 (a2 -f ah -f- b2)
a 2 _ j*
a-\-b
4Й3 (a3 — l 1 Ï
Результат получился такой же, как и в задаче (3), где мы пользовались
параметрическими уравнениями данной кривой. Этот
пример убеждает нас в целесообразности применения параметрического
задания кривой линии.
Теперь перейдем к вычислению длины дуги в полярной системе
координат.
Пример 5. Найти длину кардиоиды, заданной уравнением
в полярной системе координат (рис. 60)
р = a(l + cos ф).
189

Находим дифференциал дуги кривой по фор­
Решение.
муле (63) :
d L ~
v
d р
— — а s*11 ?>' d L ~ у q} [ ] _(. cos çp j2 Ц- a2 sin2 у dy—
Отсюда
L— 2a I cos f- d tosy)
p=a sin3*f
Рис. 61.
Промежуток интегрирования разбиваем на два промежутка, так
ф (9
как cos — > 0 в промежутке (0, я) и cos — < 0 в промежутке
2 2
(я, 2я).
L = 2а ■2 |sin ^ — sin 0) — ( slrnt — sin — = 8а.
Длину кардиоиды можно было вычислить и иначе, пользуясь
симметричностью этой кривой относительно полярной оси.
L = 2а ■2 I cos ~ d

Решение. Построим сначала график этой функции, составив
таблицу значений (рис. 61):
ср = 0, р = О,
ср = 90°, р = a sin3 30° а,
ср = 135°, р = я sin3 45° = ф . „ о ,3 5 а,
4
ср==]80°, p = asin 360°
3 / 3
8
Ф = 225°, р = а sin* 75° = 0,88 а,
ср = 270°, р = а sin3 90° = а.
Дифференциал дуги кривой находим по формуле (62):
dp
rfcp
За sin2 - cos Ф . I
ср

1
ми производными ср'(/), ф '(0 . і ' (i) на отрезке [а, р], то дифференциал
дуги кривой выражается по формуле
dL = К К ) 2 + Ю 2+ [z\)*dt, (65)
а длина дуги определяется по формуле
р
L = \ V W ( /)]•+[fU)lr+ [*'(01*d < ■
(66)
Пример 1. Вычислить длину винтовой линии, заданной
параметрическими уравнениями:
х = a cos t,
у = и sin t,
z = et,
от точки Л(^ = 0) до точки В (t — лю бое).
Решение. По формуле (65) находим дифференциал дуги
пространственной кривой
dL = У ( Х;]2 + (у\)2 + «)*< // = V (— a s in /) * + (acos/)* + с2 dt.-
dL = V a 2 + c2dt ,
отсюда длина дуги АВ винтовой линии равна
t
L = f V а2 + с2 dt = Va2 + с2 • t .
Если вспомнить, что при развертывании цилиндрической поверхности
винтовая линия на ней превращается в наклонную прямую,
то полученный результат очевидный.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти длину дуги кривой у2 = х3, между точками (0,0) и
(4,8). Отв. L = ^ (10J/ÏÜ - 1).
2. Найти длину дуги логарифмической спирали между точками
(фі, pi) (ф2, рг), если уравнение кривой имеет вид: р = ае**.
° ТВ- L== а *
3. Найти длину гиперболической спирали рср = а, заключенной
между точками (ср1( pt ) и (ср2, р2).
'і „ (т + у - П ң і - J H S 1"
Отв. L = a
192
«Pi

4. При каких значениях k можно выразить длину дуги
кривой
р* = ак cos ky
1
в элементарных функциях. Отв. При k — ~ , где JV — целое
число.
5. Определить длину дуги параболы
у2 -
х изменяется от х = 0 до x = Ь.
2рх.
] /2 ~рЪ■У2рЪ + Ь2 . Р , 1/2~рЬ + У~2рЪ + Ьг
0 т в . L== --------------Тр------------- ,+ 2 In — -----------------------------.
Замечание. Сначала получится ответ:
1
L = - V W +2рЬ + -
6. Найти длину дуги кривой
Переменная х принимает
Отв. L — In 3 — 2.
7. Найти длину дуги кривой
у = In ( 1 — X2).
значения от х = 0 до х = ^ ■
, ! V а2 - х 2 + а \ лГ—й------- г
у = a In —------------------!— — у а2 -- х2 •
а
х изменяется от x = b до х = а. Отв. L = a In ^ •
8. Найти длину дуги циссоиды
2 *3
У = ------------
2а — х
от точки (0,0) до точки (jco, I/o).
Отв. L = 2a [zx—2) + 2a V 3 ln Z l~ + a \ r~3 ln ( 2 + 1 / 3 ).
2, + У 3
где =
8a —3 x0
] / 2a — x 0
9. Уравнение кардиоиды имеет вид:
P = 2a ( 1 + cos cp).
Доказать, что длина ее равна 16а.
1 3 -8 8 0 193

10. Циклоида задана уравнениями
х — 2>(t — sin t),
у = 3(1 — cos t).
Доказать, что длина дуги одной арки этой циклоиды равна 24.
11. Астроида задана уравнениями в параметрической форме:
у = 5 sin3 1, x = 5 cos3 1.
Показать, что длина всей астроиды равна 30.
§ 26 Площадь поверхности вращения
Рассмотрим вопрос о вычислении площади поверхности вращения.
Не останавливаясь на определении понятия площади
кривой поверхности, покажем, как эта площадь вычисляется,
считая ее существующей.
Пусть в плоскости хоу имеется некоторая кривая АВ, заданная
уравнениями в параметрической форме:
х = ср(0, )
У - Ч>(

f
и y + dy и образующей ds. Элемент площади обозначим
через dQ x.
dQa = 2 ъ у ± -(jLt f fy) rfs, (3)
как площадь боковой поверхности усеченного конуса. Переписав
формулу (3) в виде:
dQ х = 2nyds + я dyds,
вторым слагаемым можно пренебречь, как величиной бесконечно
малой более высокого порядка (dy-ds), и окончательно
получим:
dQ x — 2л yds. (67)
Получили дифференциал площади поверхности вращения,
откуда
s
где у = xF(s).
Тогда
Q.x =* 2« ^ t/ûfs, (68)
о
Перепишем формулу (67), произведя замену переменной:
х = ф ( 0 .
у = ip(0.
и
или
rfs == Vx;2+ y'2 dt
T
Q* = 2* J y K < 2- K 2 dt,
to
T
Qx = 2u { W(t) V W (t)Y + [ f (/)]* dt. (69)
В заключение получим еще одну формулу для вычисления
площади поверхности вращения, если кривая АВ задана уравнением:
у = f(x) {а < х с 6).
Тогда
6 ь
Q, = 2тс j у V T + T * dx = 2 * j / (*) V f + Г/' (дс)1* dx (70)
а
а
(вместо s параметром служит х).
193

Аналогично напишем формулу для вычисления площади поверхности
вращения вокруг оси OY:
d
х = Ч>(У) (с < d).
d
Q „ = 2« J x У l -+ x' 2 dy = 2 TCj tp ( у ) ^ Г + [?'(ÿj]2rfÿ . (71)
C
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислить площадь поверхности, образованной
вращением астроиды вокруг оси ОХ (рис. 63).
Уравнение астроиды имеет вид:
C
*2/3 02/3 = а 2/3 .
Решение. Сначала определяем
у :
у Г 1/3 У = О
У = —
1/3
X1/3 •
Находим дифференциал дуги
Л - у . -у 1 +
-V: а 2/3
х 2/3 dx а 1/3
х1/3 dx .
Составляем выражение дифференциала площади поверхности
вращения вокруг оси ОХ:
3 д1/3
dPx = 2тг[а2/3 — xl!z\ï ^ 3- dx .
Интегрируя найденное выражение, получим искомую величину
площади поверхности вращения:
+ д а
Рх = 2u Г (а 2/3 —г 2/3)3/2 aW xrW dx = 4 u f(a 2/3 — л:2/3 )3/2Æi/3х - і/з dx _
Д ля вычисления этого интеграла применим подстановку
тогда
а 2/3 — л:2/з = г ,
— -к- x~v3dx = dz .
196

Пределы интегрирования для новой переменной
следовательно,
z\ = а 2/‘ при х = 0;
z2 = 0, при х = а\
а ° Я
= 4 ^ 2 / 8 — Х2/3 j 3/2 a } l * x - \ l * d x = 4ГСДІ/3 i * _ _ _ 2 3/2 ( / 2 =
О
ûJ/'
? 2 а2/3
= бтс а 1/3\z ü,*dz — 6п а '/ з [ г 5/'2 ]0 =
12т: а 1/3
= “ [ag/3]5/2=2,4ir а 3 (ед2) .
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной
вращением первой арки циклоиды, заданной параметрическими
уравнениями
вокруг оси OX.
Решение. Находим dL:
х = a(t — sin i),
у — a (I — cos t),
dL = V ^ T X y ^ d t .
dL = у a? (1 — co s/)2- f a2sin2/ d / .
t_
dL — a V 2 (1 — cos t) dt = 2a sin
2
d t .
2 k
Px = 2ic ^ a ( 1 — cos /) 2/ sin ~ dt — 4^ a 2 ^ sin3y dt =
2ч
t
=8a2it^ ( 1 —cos2 jj-) ( — 2)d c o s ~ = — 16а2л
о
ô
2ч
cos
9 64
= — 16* a2 (—2 + д = - д - іг а 2(ед.2) .
t_
t — cos3 2
2ч
Пример 3. Вычислить площадь поверхности вращения
первой арки циклоиды вокруг оси ОҮ (рис. 51).
197

Решение. Р у будем вычислять по формуле (70):
d 2к
Ру = 2 T^xdL = 2irf a (t — sin t) 2 a sin -^dt =
= 4aa к
2*
2 k
4 ° ^ / s i n dt —
— ( sin t sin у dt
Первый из этих интегралов возьмем по способу интегрирования
по частям, полагая
Тогда
и = t,
sin -g dt = dv.
du = dz и v = —2 cos y .
2п
t sin ү dt =
2тс
2 k
2/COS-2* + 2\ cos y dt — 2/COS-2--}-
+ 4 sin
2 k
— 4 « .
Второй интеграл
2к t \
j" sin t sin — dt =
2
2rc
cos
i
rf (cosi
П '
cos ^ t \ d t
0 . t 2 . 3 /
2sm-2-------g -s in ^ -r
2т:
= 0
Итак,
P y = 4а2л • 4я = 16а2я 2 (ед 2).
Пример 4. Найти площадь поверхности шарового пояса,
т. е. поверхности, полученной вращением вокруг оси OY дуги
полукруга
х2 + у2 = г2,
концы которой имеют ординаты у\ и г/г, причем г/г > г/ь
198

Решение. Находим Pv:
Тогда
{ г = У х * + у %) .
Ру = 2«г ^ dy = 2ur (г/а — гд) = 2т,rh ,
где Л — высота шарового пояса. Полученный результат можно
сформулировать словами: площадь поверхности шарового пояса
равна длине окружности большого круга, умноженной на
высоту пояса.
Гм
в -Х
Рис. 64.
Пример 5. Определить площадь поверхности вращения
эллипса
вокруг оси ОХ (площадь поверхности удлиненного эллипсоида
вращения).
Решение. Находим dPx

Тогда
+ а
Р, =. 2 . j у I / 1 + M d , = 4 . j ÿ у* + * * d , :
= 4я f l Ь2 - ^ Л /* = 4тг - Г ] / аа — а2 , fr* x2 d x .
J к a 2 a 4 a j |/ а 2
Введем эксцентриситет эллипса:
а а ич а? — Ь2 с2
с = а2 — Ь2; — л ----- = х г = е
о
а
В этом случае
а
Применив подстановку
Р х = А т . ~ \ у а2 — г2х2 dx .
а
о
получим
а • ,
х = — sin г,
е
Пределы новой переменной /:
dx = — cos tdt.
s
при jci = 0, /і = 0;
при Хг = a, t2 — arcsin e.
arcsin e
4ийй Г 4тта& 1 , ______________
Px = — ~— j COS2 t dt = - 2” [ arcsin e -j- г К 1 — e2 ] =
arcsin s ,_________
= 2ttJ [ û i + V a2 — a2 e2 (ед2) .
Заменяя
a2 — e2a2 = a2 — c2 = b2,
окончательно получим:
„ о г / arcsine \
Рх — 2кЪ \ a --------------ҮЪ\.
200

Примечание. Если^-^О, то b -*■ а и эллипс превращается в круг, а
эллипсоид вращения — в шар. Площадь поверхности шара будет:
так как
Рх = 2т.а {а + а) = 4да2 (ед)2 ,
arcsin г
пред. ----------- = 1 .
е - 0 е
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислить площадь поверхности тела вращения, образованного
вращением астроиды х2>ъ + г/2/3 = а 2/3 вокруг оси О У.
12
Отв. я а 2 (ед2).
5
2. Вычислить площадь поверхности шара при вращении дуги
полукруга х2 + у2 = R2 вокруг оси О У. Отв. AnR2 (е д 2).
3. Найти площадь поверхности, образованной вращением
лемнискаты р2 = 2a2 cos 2ср вокруг полярной оси.
Отв. 8тса2^
„ 7 ,3 6 1 й 2(ед2).
4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
дуги АВ циклоиды х = (/ — sin /); У = — cos/) вокруг
прямой х = я, если положение точки Л определяется значением
параметра / = я, а положение точки В, / = 2я.
Отв. а2 8я^ я — -5-j (е д 2).
5. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением
одной ветви синусоиды у = sin х вокруг оси ОХ.
Огв. 2тс • [ 2 / " 2 + In
1 1 (ед2)~
L 1/2 - 1 J
6. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды
х = а (2 cos / — cos 2/),
у = а (2 sin / — sin 2/)
128
вокруг оси ОХ Отв. —f —.яа2 (ед.2).
О
7. Найти площадь поверхности, образуемой вращением
вокруг оси дуги каждой из следующих кривых:
а) у = е~х, от х = 0 до х = оо.
Отв. « [ У Т + In ( 1 + 1 / У ) ] (ед2).
б) Петли кривой 9ау2 — х(3а — х )2. Отв. Зла2 (е д 2).
8. Найти площадь поверхности, образуемой вращением
кривой
x — e sin /,
и = e'cos /
201

вокруг оси ОХ и оси OY от t = 0 до t = ~ •
Отв. (е* _ 2) (ед2). и - ^ ^ —(2^ + 1)(ед2).
9. Дуга окружности х2 + у2 — а2, заключенная между точками
(а, 0) и (0, а), вращается вокруг прямой х + у = а. Вычислить
площадь полученной поверхности.
Отв. w
2 /2~(2 — | ) (ед2).
10. Дуга параболы у2 — Ах, заключенная между прямыми
х = 0, x = 1, вращается вокруг прямой у + 2 = 0. Вычислить
площадь поверхности вращения.
Отв. Ат: 1 m f2- '
(/2+1 У 2 — 1 V2"+ 1
= 8« [|/2~ + 1п(|/У + 1)] (ед2)-
§ 27. Определение центров тяжести дуг, площадей и объемов
Общие сведения
В механике подробно рассматривается вопрос об определении
центров тяжести дуг, площадей и объемов. Напомним эти
определения.
Центром тяжести линии (дуги) называется центр тяжести
однородной весьма тонкой проволоки постоянной толщины, ось
которой совпадает с данной линией.
Центром тяжести площади плоской фигуры называется центр
тяжести однородной пластинки постоянной толщины, имеющей
очертание плоской фигуры.
Центром тяжести объема называется центр тяжести однородного
тела, заполняющего данный объем.
Координаты х с , ус центра тяжести системы п материальных
точек
с массами
Mi(xи уг), М2(х2, г/г), , М п (хп, уп)
тп\, т2, т3, .. ., т „
определяются, как известно, по формулам:
202
= mi*i + т2х2 + ... +'т„хп
0 тх + тг + . . . + тп

или
_ т 1уі -f- тчУч + • • ■+ т-пУп
т1 + т2 4- .. . + тп
Перепишем эти формулы в другом виде:
хс(тi - f тг 4-... + т„) = т1х1 + т2х2 + ... + тпхп,
Усіщ + т., + ... + тп) = т-іУі + тгуг + ... + тпуп,
п 11
V V
х с ПІІ = m i *•>
i=l 1-1
« n
*/c ^ /7 ? i = f f î j //< .
1=1 /=1
В правой части полученных равенств мы имеем сумму произведений
массы каждой точки системы на расстояние этой
(точки до оси О У (в первом равенстве) или до оси ОХ (во вто ­
ром равенстве). Произведение массы т,- на расстояние х і
этой точки до оси О Y называется моментом точки относительно
оси OY; аналогично, т

В дальнейшем будем рассматривать не системы точек, а те
случаи, когда масса заполняет сплошь некоторую линию или
плоскую фигуру, или некоторый объем.
Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением однородных
тел, плотность которых постоянна и равна единице.
В этих случаях масса такой фигуры будет измеряться тем же
числом, что и длина, если это будет линия, что и площадь, если
это будет плоская фигура, что и объем, если это будет какоелибо
тело.
Вычисление координат центра тяжести дуги
Пусть нужно определить центр тяжести дуги АВ некоторой
кривой линии (рис. 65).
При сделанном предположении — линейная плотность постоянна
и равна единице. Масса дуги АВ будет измеряться тем
же числом, что и длина дуги.
Разобьем дугу АВ произвольным образом на п маленьких
элементов AL. Масса одного такого элемента по нашему предположению
приближенно равна dL. Элемент AL можно заменить
одной материальной точкой, находящейся на расстоянии
у от оси ОХ, а его момент относительно оси принять за момент
этой материальной точки, тогда
dMx = ydL. (72)
Суммируя элементарные моменты,
будем иметь:
X
Мх =
(В)
\ ydL,
(И)
(73)
Рис.65.
или, подставляя вместо Мх его
выражение из формулы (3), получим:
(В)
yeL = j) ydL, (74)
(А)
где L длина дуги АВ и по нашему предположению выражает
массу всей дуги.
Аналогично этому
dMy = xdL (75)
для момента выделенного элемента дуги относительно оси О У.
Отсюда
204
Mv =
(В)
{ xdL,
(.А)
(76)

или
Из формулы (73) и (76) и определяются
тяжести дуги (линии) :
(В)
xeL = J xdL. (77)
(-4)
(В)
[ xdL
координаты центра
X e = — L ~ ",
(7g)
L — длина дуги Л б, она равна
(В)
(В)
f ydL
V. = (79)
( В ) ________________
£ = f dL= f V[dxf + (dy)2.
( a ) Ca )
Символы (Л) и (В) показывают, что нужно интегрировать
между теми пределами для независимой переменной, которые
соответствуют данным точкам А и В кривой линии.
Пример 1. Найти центр тяжести дуги полуокружности
радиуса а.
Решение. Дуга полуокружности х2 + у2 = а2 симметрична
относительно оси OY, следовательно, центр тяжести дуги
лежит на оси OY, т. е.
х с = 0.
Ординату уе центра тяжести дуги находим по формуле (79):
dL = /( с ? х ) 2 + {dyf =
2х + 2уу' = 0, =
1+ î/'2 dx.
У
1 + ^ _ , + 4 _ 2 і + і і = 4 .
1 у 2 уг У2
d L = | / —t^-dx = - - d x.
У* У
(В ) + а а а.
j ydL = j ydL = 2 ^ у dx — 2ах | = 2 d 2
(-4)
205

Длина дуги полуокружности L — л а, отсюда
Ус =
(S)
Î
(Л)
_ 2 а 2 __ 2а
L ir а и
Итак, центр тяжести данной полуокружности находится в точке
С I о, 2а
( * т ) .
Пример 2. Показать, что центр тяжести дуги АВ, круга
О 8/г
радиуса г — 8 см, лежит на ее оси симметрии на расстоянии j -
от центра О круга, где h — длина хорды, стягивающей дугу АВ,
a L — длина этой дуги (рис. 66).
Решение. Согласно рисунку (66) ось ОХ является осыо
симметрии дуги АВ.
Отсюда следует, что центр тяжести дуги лежит на оси ОХ,
т. е.
Ус = 0.
Определим хс по формуле (77).
Уравнение окружности
х2 + г/2 = 64.
З а независимую переменную примем у,
тогда
2* 4 * + 2у = 0,
dy
dx
dy
У_
x
dL —
dx -
d y ) d y ' ~ V X J r ~x}dy
b 2lh / 2 , 8 .
-------d y = — di/
x
x
dMy = xdL = x — dy = 8 dy.
Следовательно,
- 4
M u = xcL = 8 i dy = 8h,
откуда
206
X^
- L

Итак, искомый центр тяжести лежит в точке
8 h
0) на рас-
8 А
стоянии, равном j -
от центра круга.
В частном случае, если бы дуга L была равна полуокружности,
то h = 2г = 16 и L = лг — 8л; центр тяжести был бы в
точке
(результат получился аналогичный примеру 1).
Пример 3. Найти центр тяжести дуги циклоиды
х — a(t — sin 2*),
у — а( 1 — cos t),
заключенной между первыми двумя точками циклоиды, лежащими
на оси ОХ.
Решение. Координаты центра тяжести дуги циклоиды
определим по формуле (78) и (79). Заметим прежде всего, что
длина дуги первой арки циклоиды нам уже известна: L — 8а.
Остается лишь вычислить интегралы, стоящие в числителе формул
(78) и (79).
Тогда
dL — У (x'tÿ + ( г/')2 dt — 2a sin dt.
откуда
d М х = ydL = 2«’ (1 — cos t) sin — dt — 4a2 sin3
2 2
dt,
Итак,
г" t 32
Л1Х — ycL = 4a2 \ sin3 — dt = -----a2.
ô 2 3
2тс
( ydL
{ 32 a2 4 л
Уе~ L ~ 3 - 8 a ~ 3 a ’
Следовательно, центр тяжести дуги первой арки циклоиды на-
4
ходится в точке С (па, — а).
Замечание. Первая арка циклоиды расположена симметрично
относительно прямой я а, поэтому центр тяжести дуги циклоиды
лежит на этой прямой и искать хс = я а не нужно.
247

Первая теорема
Рульдина (G ouldin)
Из формул (73) и (76) вытекает очень важное геометриче
ское следствие. Умножив обе части равенства (73) на 2л,
будем иметь:
(В)
2 ityeL = 2ic j ydL.
іа)
Правая часть этого равенства выражает площадь Рх поверхности
вращения дуги АВ вокруг оси ОХ, а левая представляет
собой произведение длины дуги АВ на длину окружности,
описываемой вокруг оси ОХ центром тяжести дуги АВ. Это
позволяет сформулировать следующую теорему.
Теорема Гульдина 1. Поверхность тела, полученного при
вращении дуги плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей
в той же плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению
длины вращающейся дуги на длину пути, описанного
при этом вращении центром тяжести дуги.
Пользуясь этой теоремой, можно довольно просто находить
координаты центра тяжести кривой, если известна длина дуги
кривой и площадь поверхности вращения, образованной этой
кривой. Например, легко найти центр тяжести дуги полуокружности
(пример 1,2°), если вспомнить, что длина ее равна л а, а
площадь поверхности вращения этой дуги вокруг оси ОХ
равна Ала2.
Действительно, по теореме Гульдина
откуда
2 nycL — Ала2,
Ат.а2 4~й2 2 а
2itL 2т: • таг тг
Такой результат мы имели в примере 1,2°. Аналогичным образом
можно легко найти и центр тяжести дуги первой арки циклоиды,
если принять во внимние, что площадь ее поверхности
вращения вокруг оси ОХ равна
и длина дуги
В таком случае
о 64 „
Рх = -----па-
3
L = 8а.
2 * у / = ~ к а 2,
208

откуда
64 fi а 2 4
и, = --------------- - = “ ^а.
3 • 2* • 8 а 3
Если заранее известно положение центра тяжести и длина дуги,
то по теореме Гульдина легко определить площадь ее поверхности
вращения. Поясним это примером.
Пример. Найти площадь поверхности вращения фигуры,
ограниченной первой аркой циклоиды и осыо ОХ, вокруг касательной
к вершине циклоиды
(рис. 67).
Решение. Ордината центра
тяжести циклоиды равна
Ус = а.
Значит, центр тяжести отстоит
от касательной к вершине на
расстоянии, равном 2 а — у с.
Тогда по первой теореме Гульдина
Рх— ‘2т-Ус * L 2г. ■ —а
3
8а
64
3
■ла2 (ед2).
Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой у — f(x), двумя
ординатами х — а, x — b и осью ОХ. Определим координаты
центра тяжести этой плоской фигуры. Предположим для простоты
рассуждений, что масса распределена по всей фигуре равномерно,
так, что поверхностная плотность ц = 1 (т. е. масса, приходящаяся
на единицу площади постоянна и равна единице).
В таком случае масса любой части фигуры будет измеряться
тем же числом, что и площадь части этой фигуры.
Разобьем данную фигуру на п вертикальных полос, параллельных
оси OY (рис. 68). Одну полоску, элемент данной фигуры,
примем приближенно за прямоугольник с основанием dx и
высотой у и будем считать, что масса выделенного элемента
приближенно выражается тем же числом, что и площадь прямоугольника,
т. е. равна ydx. Предположим, что масса всей
полоски сосредоточена в центре тяжести этого прямоугольника,
имеющем координаты:
14—880 209

Тогда момент одной полоски
dM x = ydx I - = ^-dx, (80)
dMy = ydx I x
dx
■xy dx +
dx.
Вторым слагаемым можно пренебречь, так как произведение
2 1У^Х на dx есть бесконечно малая более высокого порядка,
чем dx, поэтому
dM y — xydx. (81)
Взяв интегралы от выражений элементарных
моментов (80) и (81)
будем иметь:
M , = * ^ y * d x , (82)
а
b
M v = i x ydx. (83)
Если обозначить площадь всей фигуры, а значит (при нашем
предположении) и ее массу, через F, то по теореме о моменте
системы материальных точек будем иметь
ъ
M x = Fyc = 1 J r dx = \ J [ / (x) J2 dx,
[а]
и
и
М. У = Гхс = ^ ху dx = \ x f (x) dx.
(b)
Из формул (a) и (b) определяем координаты центра тяжести
плоской фигуры:
х л =
J ху dx
(84)
Ус
т Sу2 dx
F
(85)
Пример 1. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной
кривой
у — cos х
ТС
и осью ОХ при изменении х от — 0 до + (рис. 69).
210

Решение. Находим
dM , = cos л: dx
dM„— cos xdxx.
cos x
2 ’
В этом случае:
+ r/2 т / 2 j
Л'/ж= Fyc = Y f cos2 .v fiüc = j — ( 1 + cos 2x) dx =
- i t / 2 0
X +
sin 2x
7Г
T ;
■+■тс/2
4-^/2
УИу= Fxc= J x cos л: rfx = [x sin x + cosxj^/2=
-r/2
2 -1
= 0.
- X
Рис. 69.
Вычислив площадь:
окончательно получим
n/2 тс/2
Ғ = 2 cos x dx = 2 sin x j = 2,
x„ = 0 : 2 = 0.
Итак, искомый центр тяжести лежит в точке С ^0, ~g~j.
Примечание. В силу симметричности данной фигуры относительно
оси ОХ центр тяжести этой фигуры должен лежать на оси OY, откуда сразу
видно, что х с = 0.
Пример 2. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной
осью ОХ и параболой у = 2х — х2 (рис. 70).
211

Решение. По формулам (80) и (81) составляем выражения
для
dM х — (2х— x2)dx--^(2х — х2) = ~ ( 2 х — х2)г dx
и
Находим:
dMy = {2х — x2) dx ■x = x (2х — x2) dx.
1 ? 1 ? 8
Fye— у j (2x — xl)t dx = ү f [4x* — 4x3 + x*) dx = ^ ,
o
ù
2 4
Mv = Fxc — ^ (2x—-хг) x d x — .
o
Площадь данной фигуры
2
F = f (2x — x2)dx.
0
Окончательно получим
_ 4 ± _ _ A ± =
'Vc ~ 3 : 3 - : Уг~ 15 : 3 — 5 •
2
Таким образом, центр тяжести лежит в точке С(1,тг).
О
Пример 3. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной
осью и первой аркой циклоиды:
х = a(t — sin t),
г/ = a (l — cos t).
Решение. Д анная фигура симметрична относительно
прямой х — па, следовательно, центр тяжести данной фигуры
лежит на этой прямой:
х е— г.а.
Найдем у,. :

Вспоминая, что площадь, ограниченная первой аркой циклоиды
и отрезком оси ОХ, равна F — Зла2, получаем:
5-а3 5
У° ~ 2-Зпа2 6 а'
5
Центр тяжести лежит в точке С (а л, g а).
При вычислении центра тяжести плоской фигуры иногда
бывает удобнее разбить фигуру на элементарные полоски прямыми,
параллельными оси ОХ (рис. 71). Рассуждая аналогично
предыдущему, будем иметь:
dMx = xdy.y (86)
dMv = xdy~-. (87)
Суммируя элементарные моменты, получим:
d
Мя*= Fyc = \ху dy, (88)
С
1 г
Mv «= Fxc = у j x2 dy. (89)
Из формул (87) и (88) находим координаты центра тяжести:
-v, =
У,
С
d
I' ху dy
с , (90)
F
d
__ Г \x2d;/ V2 п
F
Пример 4. Найти центр тяжести полукруга (рис. 72).
хг + у2 = а2, у > 0.
(91
213

Решение. В силу симметрии данной фигуры видно, что
центр тяжести лежит на оси О У, т. е.
= 0.
Разбивая фигуру на полоски прямыми, параллельными оси ОХ,
находим:
= y а2 — у2 dy-y;
а __________ 0 а о
Alz — Fyc — 2 j у У а} — у2 dy — — 2 J z 2 dz = 2 z2 dz = -g- a 3 •.
0 a 0
При вычислении данного интеграла применена подстановка
а2 — у2 = z 2.
Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной
параболой
у- = 4х,
осью OY и прямой у — 4 (рис. 73).
Решение. Разобьем данную фигуру на полоски прямыми,
параллельными оси ОХ, и находим:
dM u = x d y - j = ^ d y - ^ ^ - =
dy,
dM x = дс dy-y = М -4у .у = У- dy,
тогда

О п р е д е л и м площадь данной фигуры
? г У2 1 г ч!4 16
\xdÿ=
” 12 I» )0 “ X
Ô
о
Находим координаты центра тяжести:
32 16
5" : 3 5
1 6 ^ = 3.
Искомый центр тяжести лежит в точке С ( , 3
Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
(') и у г = /; ( • * ) и двумя ординатами
Пусть требуется найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной
двумя кривыми у\ = /і(я) 11 № = f2(-^) и двумя ординатами
в точках x = а, x = b (рис. 74) Следуя общему правилу,
разобьем данную фигуру прямыми, параллельными оси
OY, на п элементарных полосок. Примем эту полоску приближенно
за прямоугольник с высотой у2 — У\ и основанием dx.
Сосредоточив массу этой
полоски (выражаемую
тем же числом, что и
площадь при сделанном
нами предположении) в
центре тяжести прямоугольника,
т. е. в точке
x -f- dx
Уг + Ух
получим:
dMx = [уг — уі) dx. Уг + Уі =
dM u = (y2 — Уі ) dx. x = x {y2
dMx= 0,5 (г/22— У\2) dx,
dM v= x(y2 — yi)dx.
(уі — y]) dx,
■t/i) dx,
(92)
(93)
Примечание. В выражении для
dMy = (г/г — yù dx [ x + = (2/a'— 2/,) * dx + (j/s - Уі) d x .^

второе слагаемое мы отбросили, так как произведение
(г/а — У\У,Х ■~
есть величина бесконечно малая высшего порядка, чем dx.
В результате суммирования элементарных моментов получим:
откуда находим:
МЖ= ҒУо =
w a
b
ь
{y'i — y'i) dx,
Mv = Fxe = J х(уг — yx)dx,
a
1 r
2- ] ( y \ ~ y \ ) d x (g4)
Ус =
xr =
7 Г
b
i X (t/a — Уг) dx
________________
(95)
Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми и
двумя прямыми, параллельными оси ОХ
Пусть дана фигура, ограниченная кривыми
*1 = Фі(У)<
х2 =

Суммируя элементарные моменты, будем иметь:
d
М х = F Ус = ) У (*2 — A’i) dy, (98)
С
(99)
Вторая теорема Гульдина
Из полученной формулы
ь
Л1Х = F уе = ~ \ уЧх
можно вывести очень важное геометрическое следствие. В самом
деле, умножив обе части последнего равенства на 2л, будем
иметь:
i>
F • 2лyc — л ^ y2dx.
Правая часть этого равенства выражает величину объема тела,
полученного от вращения фигуры, ограниченной кривой y —f(x),
двумя ординатами в точках x = а, x = b и отрезком оси ОХ,
вокруг оси ОХ, а левая часть равенства представляет собой
произведение площади этой фигуры на длину окружности, описываемой
вокруг оси ОХ ее центром тяжести. Полученные выводы
можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема Гульдина 2. Объем тела, полученного при вращении
плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в той же плоскости
и не пересекающей ее, равен произведению площади вращающейся
фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжести
при вращении.
Вторая теорема Гульдина справедлива очевидно и для фигуры,
ограниченной двумя кривыми и двумя прямыми, параллельными
оси OY (или оси ОХ). Действительно в этом случае
из формул
1 Ь 1 d
F у „ = — j (ÿ\ — */?) dx и F xc = Л {x\ - V ) dy
£ a c
получим:
F2nye = л f (f/22 — yi2)dx,
a
F 2nxe — л j (x22 A'i2)dy,
C
b
d
217

где
я f (ij2s — yi2)dx и л j* {x22 — xl2)dy
а
соответствующие объемы тел вращения.
Пример 6. Найти координаты центра тяжести плоской
фигуры, ограниченной параболой у2 = 6х и прямой х = 5.
Решение. Заданная фигура симметрична относительно
оси ОХ, следовательно, ее центр тяжести имеет ординату ус = 0.
Определим х е. Находим
Тогда
dMy — х[у2 — ух) dx = .v[(/6x — (— Z§x )\d x — 2x Гбх dx.
Mv = F xc = 2 j xTbx d x — 2 Гб" — [x5/2] =
5 о
о
4 V ~
Теперь вычислим площадь F фигуры:
5
F = 2 J l 6.ï dx =
5
с
• 25 . У 5 = 20
2^6*2 r 4^6'5/5 2 0 / 30~
3 t - 3/2 ] „ = ----------3---------- = ~
отсюда
0 / 3 0 • 3
20 У Ж 3.
Рис 76.
Центр тяжести данной фигуры лежит
в точке С (3,0).
Пример 7. Найти центр тяжести
фигуры, ограниченной двумя
параболами (рис. 76).
и
у2 — 4х
х2 = 4 у.
Решение. Параболы пересекаются в точках 0 (0 ,0 ) и
А (4, 4). Для определения координат центра тяжести данной фигуры
составляем выражения для dMx и dMv по формулам (96)
и (97):
d Мх = ^ (у2 — у2) d х = у ( 4х —
) dx,
dMv — x I у 4х — — jdx.
218

Тогда
' 4*2 д:5 '
Г ( 4х - — )dx = —
J \ 16/ 2 2 80 .
3 2 -
64
5
- ü
5
M v = Fxc =
V~4x
л;2
' 4
dx =
.*6/2. f i
16
128
Площадь F данной фигуры
80
5
48
5
ғ = [ ( n ғ - т W
2---------------хз
О . ---- v * 3 /2 ±
3 12
4
3
64
12:
16
3
Отсюда
^ 8 16
48 16
5 3 5 ’ [Jc
Ъ ' 3
Точка С
( А А ) является центром тяжести данной фигуры.
( 5 5 J
Пример 8. Найти объем V тора (кольца), полученного
при вращении круга радиуса г — 3 см вокруг оси О У, лежащей
в его плоскости на расстоянии 5 см от центра (рис. 77).
Решение. Для решения этой задачи применим вторую
теорему Гульдина. Центр тяжести вращающегося круга находится
в его центре, следовательно, длина дуги, описываемой
центром тяжести при вращении равна 2л • 5 = Юл см. Площадь
вращающейся фигуры, т. е. площадь круга, равна л-32= 9л сл і2.
Применяя вторую теорему Гульдина, получим:
V = 9л • Юл = 90л2 см3.
219

Пример 9. Определить положение центра тяжести плоской
фигуры, ограниченной полуокружностью BOD радиуса г и
двумя прямыми ВМ и DM, зная, что ОМ = 3г (рис. 78).
Решение. Д ля определения центра тяжести данной фигуры
найдем сначала центр тяжести:
1) полукруга BOD;
2) равнобедренного треугольника DBM.
1. Площадь полукруга BOD:
^1 =
Объем, полученный от вращения полукруга BOD вокруг
оси BD:
тс г
V, = — кг*
3
(объем шара).
Применяя вторую теорему Гульдина, получим:
2 it
ТСГ“
■кг6
откуда находим
d i =
4 тсг3
Зтс2г 2
4г
Зтс
(расстояние центра тяжести полукруга
от прямой BD).
2. Площадь треугольника.
Ғ„= -2г • 2г = 2г2.
Вычислим объем тела, полученного от вращения равнобедренного
треугольника DBM вокруг оси DB. Этот объем V2 равен,
очевидно, сумме объемов двух равных конусов, т. е.
V2 = 2 - ~ л ( 2 г)2 г
Обозначая расстояние центра тяжести равнобедренного треугольника
от прямой DB через d2, по второй теореме Гульдина
получим:
2nd2 2г2 = -g- я г 3,
8
откуда
d> =
8кг3 _ 2
Зтс • 4 г2 ~~ ¥ Г'

Пользуясь значениями величин dx и d2, определим абсциссы
центров тяжести Х\ полукруга и х2 равнобедренного треугольника.
_
4 г _ 3 тсг — 4 г
х‘ “ г ~ 3Ï5 ’
, 2 5
х2 = г -}------г = — г.
3 3
Данная фигура симметрична относительно оси ОХ, следовательно,
ордината центра тяжести ее у с = 0. Абсциссу х с найдем
по формуле:
т1х1+ т2хг
тх + т 2
Массы полукруга и треугольника, сосредоточенные в их центрах
тяжести, выражаются (при сделанных нами предположениях)
теми же числами, что и их площади, поэтому
Откуда
1СГ о 2
тх — —— , т2 ~
кг2 /Зтгг — \г \ 2г2 • 5 • г
-г
2 l 3lt I 3 16 + 3тг г _ j 1Qr
2
, 2г2 12 + Зи
Итак, центр тяжести данной пластинки лежит, примерно, в точке
(1,19г; 0).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти центр тяжести первого квадранта эллипса,
г* , if ,
Отв. C / i ^ ± b \ .
[ Зтг ’ Зи )
2. Найти центр тяжести площади, ограниченной осью ОХ и
одной веткой синусоиды у — sin .v. Отв. С (~гр -g-
3. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной верхней по-
/ 5 16а '
ловинои кардиоиды p = а( 1 + cos

4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной одним витком
лемнискаты р2 = а2 cos 2ф.
Отв. С (Л
5. Найти центр тяжести дуги кривой
1 , 1 ,
X = — и2------ln у,
4 2
содержащейся между точками, для которых г/ = 1 и г/ = 2. Отв.
С (0,399; 1,520).
6. Пользуясь соответствующей теоремой Гульдина,
а) найти объем и поверхность тела, полученного вращением
вокруг оси О Y первой арки циклоиды
х = a(t — sin t),
у = а( 1 — cos t)\
б) показать, что центр тяжести фигуры, ограниченной астроидой
х — a cos3 1, у — a sin3 1 (в первой четверти) и осями коор-
'1^/256а 256а
динат, лежит в точке С
.315* 315«
в), найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной
первой аркой циклоиды и осью ОХ вокруг касательной
к вершине.
7. Найти центр тяжести площади, ограниченной эллипсом
£.2
--------\- —— = 1, окружностью х2 + у2 = а2 и осыо OY.
а2 Ь2
От в. С Х /4" * (а+ Ь Һ
Зти Зтг
8. Найти центр тяжести площади, ограниченной полукубической
параболой ау2 = х3 и двойной произвольной ординатой.
Отв. С f — ү A; oj, где х = А — уравнение ординаты.
§28. Вычисление моментов инерции
Общие понятия
В механике часто рассматривают вращательное движение.
Во всех же вращательных движениях большую роль играют
моменты инерции.
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой
оси (точки или плоскости) называется произведение массы
m материальной точки на квадрат расстояния d точки от оси
(точки или плоскости).
В случае системы п материальных точек моментом инерции
называется выражение
П
222
2 Щ d2.
1= 1

Чтобы вычислить момент инерции сплошной массы непрерывно
распределенной с плотностью р, например, по объему V (по
поверхности а или по линии L), нужно эту массу разбить на
очень малые части Ат,- . Если R, есть расстояние какой-либо
точки части А т» от оси (точки или плоскости), то за элементарный
момент инерции данной части Ат,- принимаем
А /(-=/??Дт{
Тогда момент инерции всей массы приближенно будет равен
П
t + 1
Здесь суммирование распространяется на все малые части, на
которые разбита рассматриваемая масса. Эта формула тем точнее
дает истинное значение /, чем меньше будут отдельные части
&т{. Переходя к пределу, получим значение момента инерции
/ = пред У R2. т{ = \ R2dm. (1)
Д т г - 0 “ “
J
Если масса распределена по линии, то dm = pdL, где dL — диф ­
ференциал дуги L, а р — погонная плотность; если масса распределена
непрерывно по поверхности 0 с поверхностной плотностью
fi, то dm следует заменить на fido и, наконец, если масса
распределена по объему v с объемной плотностью ү, то очевидно
dm = ydy, где do — элемент объема.
Момент инерции плоской фигуры относительно оси,
лежащей в одной плоскости с нею
Будем рассматривать однородную плоскую фигуру с постоянной
поверхностной плотностью, равной единице. В таком
случае масса фигуры будет выражаться тем же числом, что и
площадь. Предположим, что нам нужно вычислить момент
инерции относительно оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми
*1 —

Тогда
К = i (х2—xi)y*dy. (ЮГ
Для фигуры, ограниченной кривыми Уі = fi(x), у2 = f2{х)
и двумя прямыми х=а, х — Ь, получим аналогичные формулы:
dIу = ( Уі — У\)х2 dx,
(102)
Iy = \
ъ
(у2—у\)х4х.
(103)
Пример 1. Вычислить момент инерции круга радиуса а
относительно одного из его диаметров (рис. 79, плотность or = 1).
Решение. Вычислим момент
инерции круга относительно диаметра
совпадающего с осью ОХ.
Разобьем площадь круга на полоски
прямыми, параллельными оси
абсцисс. Составим выражение для
* дифференциала момента инерции
d lx = [ х — (x)]y2dy = 2ху2 dy.
Рие. 7У.
Так как
* = V a 2- у 2 ,
та
/* = 2 j V а1 - if y-dy= 4\ | сг — у2 y-dy .
—a О
Д ля вычисления интеграла применим подстановку
тогда
у = a sin t,
dy = a cos tdt.
Найдем пределы интегрирования для новой переменной:

Тогда
п/2 и/2
/ = 4 Ç a 4 s in 2/ c o s 2/dt = 4а 4 \ (1 — c o s 2/ ) c o s 2 / dt —
б
ô
п/2 n/2
= 4a4 ^ cos2 /с?/— 4a4 ^ cos* tdt —
4a4 ■1 тс 1 .3 тс 4 а 4тг / ±
J 2 4 2 У 2 \ 2 8 1
тса4
Пример 2. Вычислить момент инерции прямоугольника
относительно одной из его сторон.
Решение. Обозначим сторону прямоугольника через а
и высоту через А. Оси координат расположим, как указано на
рис. 80а и 806. По формулам (100) и (102) составляем выражения:
dlx = ауЧу\
dl у = hx2dx.
У
а
ау
Гу
л
О —
О Q X О
Рис. 80.
Тогда
4 = a Ç у" d у =
О «Э
а /г3,
Г 1
/„ = A J хч/.г = - /га3.
О à
Пример 3. Найти момент инерции треугольника относительно
его основания.
Решение. Обозначим основание треугольника через а, а
высоту через А. Расположим оси координат, как показано на
рис. 81. Очевидно, что
откуда
А В __А — у
а
А
п{к — у)
15—880 225
h

В таком случае
d L
{h — у) уЧу.
п
h = { һ - у ) у Ч у = = — а һ \
12
Замечание. Иногда вычисление моментов инерции фигур
можно значительно упростить, если помнить, что:
1) величины моментов инерции
d
1Х= j (х2 — хл) у hi у и 1У«= \ (у2 — Ух) хЧх.
ь
не изменяются при перемещении масс параллельно оси, относительно
которой вычисляется момент инерции (в этом случае
не изменятся ни массы, ни их расстояния от осей);
2) момент инерции сложной фигуры равен сумме или разности
моментов инерции фигур, на которые она может быть
разбита.
Пример 4. Вычислим момент инерции параллелограмма с
основанием b и высотой h относительно средней линии (рис. 82).
P е ш е н и е. На основании замечания (2) искомый момент
инерции равен сумме моментов инерции параллелограммов, расположенных
по одну и по другую сторону средней линии (оси
ОХ).
На основании замечания (1) момент инерции параллелограмма
равен моменту инерции прямоугольника, так как этот
параллелограмм можно получить из прямоугольника, начерченного
пунктирными линиями, с помощью перемещения параллельно
оси ОХ элемента, отмеченного на чертеже штриховкой.
Площади элементов и их расстояния от оси ОХ остаются не-
22G

йзменными при таком перемещении, а потому и момент инерции
]х будет тот же, что и для прямоугольника, т. е.
Аналогично
4 = 2- — ( ~ \ 3= — bh3
3 \ 2 / 12
4 = — b ’h.
12
Пример 5. Вычислим момент инерции фигуры, показанной
на рис. 83, относительно оси ОХ.
Решение. Момент инерции данной фигуры равен разности
моментов инерции двух прямоугольников с основаниями а,
а — 2Һ и высотами соответственно а и а — 2Һ.
— дг
Рис. 83.
Принимая во внимание формулу для 1Х
для аналогичного случая, будем иметь:
полученную в примере
4 = — а а3 —
12
- (а — 2//) (а — 2Л)3 = —
12 12
(а 2ҺУ
Пример 6. Вычислить момент инерции фигуры, показанной
на рис. 84, относительно оси ОХ.
P е ш е н и е. Момент инерции 1Х заштрихованной фигуры,
очевидно, равен моменту инерции прямоугольника с основанием
В и высотой Я, минус сумма моментов инерции двух прямоугольников
с основанием
^ и высотой h (или минус момент
инерции одного прямоугольника с основанием b и высотой Л),
т. е.
12
4 = — в н *
12
— i А:* =
12
1
12
- 6 Л3).
227

Полярный момент инерции плоской фигуры
Мы только что познакомились с моментом инерции плоской
фигуры относительно оси, лежащ ей в ее плоскости. Иногда бывает
нужно вычислить момент инерции плоской фигуры относительно
оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежит фигура
и пересекающей в точке О. Момент инерции плоской фигуры
относительно оси, перпендикулярной к плоскости фигуры,
называется полярным моментом инерции относительно точки
пересечения этой оси с плоскостью фигуры (рис. 85) и вы ражается
интегралом
4 = 'Ç ГЧҒ, (104)
Рис. 85. Рис. 86.
где каж дая элементарная площадка clF умножается на квадрат
ее расстояния г от оси (перпендикулярной к плоскости чертежа)
и интегрирование распространяется на всю площадь фигуры.
Из рисунка видно, что г2 = х2 + у2, вследствие чего
Iv = j
J (л2 + y2)d F = j x 2dF + J y2dF •
т. e. полярный момент инерции относительно точки О равен
сумме моментов инерции относительно двух взаимоперпендикулярных
осей OY и ОХ, проходящих через ту же точку О, лежащ
ую в плоскости фигуры.
Пример 7. Определить полярный момент инерции круга
диаметра d относительно оси, проходящей через его центр
(рис. 86).
Решение. Разобьем площадь круга на узкие элементарные
кольца с общим центром в центре круга. Элемент массы,
выражаемой тем же числом, что и площадь элементарного кольца,
будет равен
dF = тс (p + dp)- -- ттр2 = г.'р2 + 2тсрй?р + тт(й?р)2 = 2тсрс£р ^ -т с^ р )2.
£28

Второе слагаемое л (dp)2 отбрасываем, как бесконечно малую
более высокого порядка, чем dp, поэтому
Составим выражение
Тогда
dF = 2npdp.
dlp — r d F = р22тсрф — 2i:p3dp.
d
2 2tz I d \*
/р = 2?t ^ pWp = —д—(-g- у
nd 4
22
пг*
2
ô
Из условий симметрии следует, что 4 = 1У. Поэтому, зная полярный
момент инерции круга относительно его центра, легко
найдем моменты инерции круга относительно осей ОХ и OY:
1 т: d* тс гі
I = / = — / = — —- =: -- —
v 2 Р 64 4
Полученный результат совпадает с решением примера 1.
%
һі
1
Рнг. 87.
Рнс.
П р и м e р 8. Вычислить полярный момент инерции прямоугольника
относительно его центра тяжести (рис. 87).
Решение. Полярный момент инерции равен
Л так как
IP = I x+fv
/ „ = 1 м з и /j,= — b3h
12 12
(см. решение примера 4),
то
bh
/„ =
12
Пример 9. Определить полярный момент инерции однородного
кольца относительно осп, проходящей через его центр
(рис. 88).
229

P е ш е и и e.
d F = 2npdp.
отсюда
dlv=2-pdp • p2 =2np3dp,
R 1
Ip = 2k j [fldp =
Замечание. Положив r = 0, мы получим полярный момент
для круга I р— — я/?4.
УПРАЖНЕНИИ
1. Вычислить момент инерции относительно оси OY фигуры,
g
ограниченной параболой у2 = 4ах и прямой х — а. Отв. /= ^ а ‘.
2. Найти момент инерции квадрата со стороной а относительно
диагонали.
Отв. / = — .
12
3. Найти момент инерции эллипса — + — = 1 относительно
а2 Ь2
осей ОХ, О Y и полярный момент инерции.
гл г а Ь3
Отв. /* = — — ;
, ъа'Ъ
/ =
т: а Ь , „
_ _ а * + *«).
4 4 4
4. Вычислить момент инерции трапеции с основаниями
a, b и высотою /г относительно ее большего основания.
Отв. / = — /і3(а.+ 36).
5. Вычислить момент инерции правильной шестиугольной
пластинки относительно ее оси симметрии, проходящей через
противоположные вершины. Сторона шестиугольника а.
Отв. I =■- 3 а4.'
1о
6. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной параболой
у2 = 2рх и прямой x = относительно оси OY.
Отв. / у= — р4-
14
7. Вычислить момент инерции прямого круглого конуса постоянной
плотности р относительно оси этого конуса. Радиус
тир fiCl^
основания конуса а, высота Һ. Отв. / = = 0 ,3 та .
230

8. Вычислить момент инерции шара вокруг одного из его
д и а м етр о в . Радиус ш ара R, постоянная плотность р.
Отв. I = ^ R > = j m R * .
9. Вычислить момент инерции полусферы относительно оси,
проходящей через центр полусферы перпендикулярно к ограни-
4 2
чивающей ее плоскости. Отв. / = — рте/?4 = — mR2.
о
Q
§ 29. Механическая работа
Из механики известно, что при прямолинейном движении
точки работа А силы F, постоянной по величине и совпадающей
с направлением движения, равняется произведению силы на величину
пути S —S о, пройденного точкой:
А = F (S-So).
Если же сила F, приложенная к движущейся точке М, сохраняет
постоянную величину и постоянный угол с направлением
перемещения точки, то работа А этой силы на перемещении
S —S0 выразится произведением
F (S—S 0) cos а
(а — угол между направлениями
силы и перемещения
точки, рис. 90).
Т
Г
Рис. 89.
Часто бывает, что величина силы F и угол а все время изменяются.
В этом случае, при непрерывном изменении хотя бы
одной из указанных величин, для выражения величины работы
нужно прибегнуть к определенному интегралу. Пусть путь S,
проходимый точкой, будет независимой переменной. Предположим,
что некоторая точка, находящаяся под действием силы F,
перемещается из положения М0, отстоящего на расстоянии S 0
(рис. 90) от начала, в полож ением, отстоящее на расстоянии S
от начала отсчета расстояний. Каждому положению точки М в
промежутке (S0, S) соответствуют определенные значения величины
F и cos а. Тогда, разбив перемещение S —S 0 точками М,,
231

М2, . . . , Мп-1, находящимися на расстояниях 5 Ь S 2......... S„_i от
начала расстояний, на элементарные перемещения
Д5„. А51, . . . Д 5 „ _ 1
и, обозначая силу i7 в точке Му через / / , величину угла а через
а элементарные работы на этих перемещениях через ЛД-,
получим:
Д Ai = Fi cos а,- Д
Вся работа А приближенно равна
п—1
А =£ 2 Fi cos 0Lt \ Si.
i=o
Переходя к пределу, будем иметь:
П—1
Л = пред. 2 Z7*cos ос* AS*.
/-о
П-> со
В пределе направление элементарной хорды AS,- совпадает с
направлением касательной к траектории в точке М, а следовательно,
и с направлением скорости V движущейся точки в этом
положении.
Переходя к обычным обозначениям, мы получим следующее
выражение для работы А на перемещении S —S 0 по кривой:
s
А — \ Fcos (F, V)dS. (105)
5'й
Выражение F cos (F, V)ds называется дифференциалом работы
силы F на перемещении ds и обозначается через dA.
dA = F cos (F, V)dS. (106)
Из формулы (105) видно, что если угол между направле-
ТС
нием силы F и направлением скорости V равен -х , то работа А
К „
равна нулю, так как cos = 0, а значит и подинтегральная
функция при этом тоже равна нулю. Отсюда делаем заключение:
сила, перпендикулярная к направлению перемещения, механической
работы не производит.
Если действующую на точку силу F разложить по правилу
параллелограмма на две составляющие, по касательной к пути
и по нормали к нему, то работу будет производить лишь касательная
составляющая
отсюда работа
232
Fv = F cos {F, V),
s
А — )F JS .
s»

Предположим, что сила F есть равнодействующая всех сил,
приложенных к точке, тогда по закону движения (закон Ньютона)
касательная составляющая F r равна произведению массы
т точки на ее ускорение w, и выражение для работы А примет
вид:
s
Так как
А — \ mwclS.
So
dv d S
w = — -, v — -----
dt dt
то
A
S
w =
l m v— d S = \ m v d v
) dS )
So v»
V
dv d S dv
-----= v ------,
dt d S
m v
u
JL m V 2 — — mVZ,
2 !2 °
где Vo — скорость в начальной точке So, V — скорость в конечной
точке пути S.
Выражение— tnV2 носит название живой силы, или кинети-
2
ческой энергии точки. Таким образом, мы пришли к очень важ ­
ному уравнению:
mV_
2
tnV I ,
— n = \ F cos (F,v) d S, 107)
которое называется уравнением живых сил. Уравнение (106)
выражает следующее: работа равнодействующей для всех сил,
приложенных к некоторой материальной точке, на протяжении
некоторого пути последней, равняется разности живых сил в конечной
и начальной точках этого пути, или механическая работа
А, произведенная силой, под действием которой происходило
движение точки, равна приращению кинетической энергии точки.
Пример 1. Сжатие винтовой пружины пропорционально
приложенной силе. Вычислить работу, производимую при сж а­
тии пружины на 4 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила
1 кг (рис. 91).
Решение. Пусть сжатие пружины, выраженное в метрах,
равно S, тогда
So
F = KS,
233

где К — некоторая постоянная, которая легко определяется из
условия задачи. Действительно, при S = 1 слі = 0,01 м и F = 1 кг
Подставляя значение К, получаем:
F = 100 5,
dA = FdS.
Теперь определяем работу А, произведенную при сжатии пружины
на 4 см = 0,04 м.
Рис. 91. Рис. 92.
Пример 2. Газ (пар) заключен в цилиндр с подвижным
поршнем. Вычислить работу, производимую давлением газа при
выталкивании поршня (рис. 92).
Решение. Обозначим начальное и конечное расстояние
поршня от дна цилиндра через Si и S2, давление на единицу
площади поршня через р, а площадь поршня через Q; тогда вся
сила, действующая на поршень, будет равна pQ и работа
Обозначая объем рассматриваемой массы газа через V, будем
иметь V = QS, где S — расстояние, на которое передвигается
поршень: дифференциал объема
234
dV = QdS.

Переходя от переменной S к переменной V, получим:
А :
V,- v,
Q { Р = I WV'.Î
v, Q v,
где Vi и V2 выражают начальное и конечное значения объема V.
Рассмотрим сначала тот случай, когда при расширении газа
температура его остается постоянной — процесс изотермический.
По закону Бойля-Мариотта
откуда
PV = С = const,
Для работы получим значение
vt V,
f CdV
А = \ —ÿ - =C ln V — С In
V
v, v,
А
Их
Работу расширения, связанного с переходом от давления Р к
давлению Р2 < Р\, можно представить в другом виде:
А = С In
Действительно, обозначая через Р х и Р2 давление в начале и
конце процесса, получим:
І
PiVl = P2V2 и 1г= А .
Vx Р2
Теперь рассмотрим и другой случай, когда во время расширения
не происходит теплового обмена между газом и окружающей
средой и на производство работы затрачивается энергия
самого газа, температура которого при этом понижается. Такой
процесс называется адиабатическим. Зависимость между
давлением Р и объемом V рассматриваемой массы газа, как
известно, имеет вид:
PVk — с = const,
где К — постоянная большая единицы, характерная для каждого
газа. Выражая из этой формулы давление
P = cV -* ,
235

получим:
Полагая
v, У2
v,
будем иметь
c v ~ kdv—
.үі-Ьl
— k
vt
с / i 1 \
(— !—Г )•
I — л и / f - 1 К"
CV~U= P !, CV2 h = P2,
Л =
1
P iV x-P J/г
k - 1
V '- h - ) =
П р и м e р 3. Электрический заряд Е, сосредоточенный в
начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку
(b, 0). Определить работу А силы отталкивания F, если известно,
что
Не
F = —Г-(дин),
X1
где х (см) — расстояние между зарядами Е и е.
Решение. Составим выражение для элементарной работы
силы F на перемещении dx:
U А - Fdx - — dx,
отсюда
А=ЕЛ
■Ее
= Ее
(эргов).
Интересно отметить, что при b
Ее
А = Ее Г
J .v2 а
(эргов).
Работа, которую производит заряд Е (эл. ед.), отталкивая
Ее
в бесконечность заряд е, отстоящий от него на а (см), равна — а
(эргов). Эта наибольшая работа заряда Е называется потенциалом
данной системы Е не.
236

Пример 4. Когда электрический ток проходит по однородному
проводнику с поперечным сечением Q и длиной L, то
сопротивление равно
kL
Q '
где k — постоянная, зависящ ая от материала проводника. Вычислить
сопротивление, оказываемое током, когда он проходит с
внутренней поверхности полого цилиндра на внешнюю, если
радиусы этих поверхностей равны соответственно а и Ь.
Решение. Полый цилиндр разбиваем соосными цилиндрическими
поверхностями на полые цилиндры очень малой толщины
Аг. Ток идет по радиусам от оси, поэтому поперечными
сечениями будут цилиндрические поверхности. Д ля очень тонкого
полого цилиндра, внутренний радиус которого равен г, поперечное
сечение
Q = 2 кгһ,
где h — высота цилиндра; длина L равна
А/-; сопротивление равно
кЛ г
2~ r h ‘ Рис- 93-
Суммируя сопротивления отдельных полых цилиндров и переходя
к пределу, находим, что искомое сопротивление равно
k г dr __ /с ^ b
2 г. h } r 2%h я
a
Пример 5. Когда электрический ток 1 проходит вдоль
маленького элемента АВ (рис. 93), он возбуждает в точке О
магнитную силу, перпендикулярную к плоскости радиуса, равную
Id ср
где г — расстояние между элементами АВ и точкой О. Вычислить
магнитную силу в центре окружности, по которой течет
ток I.
Отв. Г .
J г
о
237

ГЛАВА IV
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
§ 30. Постановка задачи
Во И главе мы рассмотрели целый ряд конкретных задач,
имеющих большое практическое значение, решение которых сводилось
обычно к вычислению определенного интеграла.
В общем случае задачу вычисления определенного интеграла
мы можем понимать только как задачу приближенного вычисления
его с той или иной степенью точности. Действительно,
когда числовое значение интеграла оказывалось равным, на-
2 , , те
пример,— , tg 1, — и т. д., то эти числа мы можем записать при-
3 3
ближенно в виде десятичных дробей с тем или иным числом верных
знаков. Это и позволяет нам представить определенный интеграл
приближенно в виде десятичной дроби с любым числом
верных знаков.
Исчерпывающий метод для приближенного вычисления интеграла
дается нам уже самим определением определенного интеграла.
Действительно, первоначально мы определяли интеграл
как предел некоторой суммы (интегральной суммы), составленной
по известному правилу. Сначала разбивали
основной отрезок на маленькие части, потом для этого разбиения
составляли интегральные суммы; эти суммы и принимают
за приближенное значение определенного интеграла с любой,
какой угодно наперед заданной степенью точности.
Однако мы будем искать другие методы для приближенного
вычисления интегралов, потому что для практических целей указаный
выше прямой метод в большинстве случаев оказывается
неприменимым из-за технической сложности и трудоемкости.
Наиболее мощным методом является метод Лейбница-Ныотона,
связывающий понятие определенного интеграла с поня-
238

тием Первообразной функции. С помощью этого метода, как мы
уже имели достаточное количество примеров убедиться в этом,
легко решались задачи интегрального исчисления. В самом деле,
если на отрезке [а, Ь] нам удастся найти для функции f(x) первообразную
F (х), то по формуле Лейбница— Ньютона
ь
j f(x)dx = F(b) — F(а)
a
вычисление интеграла сводится к вычислению разности двух
значений известной нам функции F(x). Мы видели, что этот
метод вычисления определенных интегралов оказывается простым
и очень удобным для применения.
С принципиальной точки зрения формула Лейбница-Ньютона
применима к вычислению интеграла любой непрерывной функции,
так как имеется теорема о существовании первообразной
функции для любой непрерывной функции на заданном отрезке.
Однако, одного существования первообразной функции F (х)
еще недостаточно для применения формулы Лейбница— Ньютона:
надо, чтобы эта первообразная функция F(x) была нам известна,
т. е., чтобы мы могли находить ее приближенные значения
с любой степенью точности и, кроме того, чтобы метод нахождения
ее приближенных значений был бы достаточно простым
и удобным. Если первообразная Ғ(х) является «элементарной»
функцией, то для всех таких функций способы приближенного
вычисления их значений хорошо разработаны.
Однако существуют и такие интегралы, когда первообразные
функции, хотя они и существуют, не являются «элементарными».
О таких интегралах говорят, что они «не берутся в конечном
виде», они не могут быть выражены через функции алгебраические,
показательные, логарифмические и тригонометрические,
прямые и обратные.
Например, не берутся в конечном виде интегралы:
_________ dx__________ . (‘ sin x
e-x'-dx; \ - ,_ UA.............- ; [ sJ ^ L d x .
. V] / I ( 1 I — х 2) ( 1 — k2x2) ’
Первый из этих интегралов играет большую роль в теории вероятностей,
второй (эллиптический интеграл первого рода)
встречается во многих вопросах механики, третий (интеграл
Френеля)— в теории интерференции. К этим интегралам мы
уже не можем применить формулу Лейбница— Ньютона для их
вычисления. Кроме того, иногда зависимость между переменными
задается графически или с помощью таблицы; в этом
случае тоже нельзя применить формулу Лейбница— Ньютона,
так как не дается аналитическое выражение функциональной
зависимости. Наконец, может оказаться, что найденная перво­
239

образная функция имеет очень сложный вид и нахождение значений
этой первообразной является трудоемким процессом. Вп
всех этих случаях мы будем искать другие, практически удоо
ные, методы для приближенного вычисления определенных
интегралов. Мы рассмотрим методы для приближенного вычисления
интегралов, которые основываются на истолковании определенного
интеграла как предела суммы и как площади. П ознакомимся
с этими методами — методами приближенного вычисления
определенных интегралов, которые имеют большое практическое
значение.
Определенный интеграл
§31. Формулы прямоугольников
b
j f(x) dx = \ у dx
а
а
есть предел суммы бесконечно большого числа слагаемых вида
Ук^Хк
Һ
\y d x = пред. V УіА х ъ
« я - 00 ).'«1
п
поэтому сумма У] укАхк дает приближенное значение опредеk"
ленного интеграла (1).
Если же определенный интеграл рассматривать как площадь,
И
ТО У ук А х к есть сумма площадей изображенных на рис. 94
h=\
прямоугольников. Д ля практических вычислений удобно брать
все Ахк одинаковыми.
В дальнейшем изложении условимся отрезок [а, Ь] делить на
п равных частей и длину каждой части обозначать через Һ,
полагая
ь
П
(Il
Значения подинтегральной функции у — f(x) при х — хк
(k — 0, 1, 2,..., п) обозначим через
Uk = f Ы =f[a + kh).
Величины у k считаются известными, так как их можно получить
непосредственным вычислением, если функция f(x) задана ана­
240

литически, или взять прямо из чертежа, если функция изображена
графически.
Вводя принятые нами обозначения, получим две приближенные
формулы:
ь
. _
( f ( x ) d x ~ ------- [у„ + Уі + ÿ2- f ...+уп- 1 ], (108)
а
Ь
П
j f ( x ) d [ x ^ -------[У 1 + У2 + . . . + */„]. (109)
n
Геометрически формула (108) выражает величину площади
фигуры, ограниченной кривой y=f(x), двумя ординатами х = а,
Рис. 94.
х~Ь и отрезком оси ОХ, приближенно через сумму величин
площадей входящих прямоугольников.
Аналогично геометрически формула (109) выражает величину
площади той же фигуры приближенно через сумму величин
площадей выходящих прямоугольников. Поэтому формулы (108)
и (109) называются формулами прямоугольников.
Очевидно, что чем больше число п, т. е., чем меньше
Һ—------- , тем точнее эти формулы и при Л-*0 дадут вып
ражение для величины определенного интеграла. Значит,
погрешности формулы (108) и (109) стремятся к нулю при неограниченном
возрастании п.
Когда число ординат задано и функция у = f(x) монотонна
на отрезке [a, b], то погрешность каждой из формул (108) и
(109) легко может быть вычислена, она не превышает величины
площади прямоугольника (рис. 94)
b — а
с основанием h = --------
и высотой у „ — у о, т. е. величины
b — а , ,
--------- (Уп - У о )•

Формулы прямоугольников дают приближенное значение площади
криволинейной трапеции через площадь, ограниченную
ступенчатой ломаной. Вычисление определенных интегралов по
формулам прямоугольников представляет то неудобство, что
для получения достаточной точности нужно брать п довольно
большим. В этом легко убедиться на следующем примере.
П р и м е р 1. По формулам прямоугольников вычислить
приближенно
приняв п = 10.
к / 2
(* sin xdx,
о
ТГ
7Г
Р е ш е н и е . Разбивая отрезок Ь — а — -------0 = — на п = 10
2 2
частей, получим:
10 2 -1 0 20
Теперь будем вычислять значения ординат у0, Уи Уь • • •, Ую
по формуле
ук = а + k h — 0 + к ■— — ^ - ( к = 0 , 1,2......... 10)
20 20
с помощью логарифмической линейки, располагая вычисления
в виде следующей таблицы:
*0 0° Уо sin 0° 0 У i 0,156
Xt 9° Ух sin 9° 0,156 Уг 0,309
х\ 18° Уг sin 18° 0,309 Уз 0,454
Хй 27° Уз sin 27° 0,454 Ух 0,588
xt 36° У 4. sin 36° 0,588 Уг, 0,707
4 45° Уь sin 45° 0,707 У в 0,809
Х6 54° Ув sin 54° 0,809 У 7 0,891
Х1 63° У i sin 63° 0.891 Уг 0,951
Xq 72° У 8 sin 72° 0,951 Уо 0,988
CCq 81° Уэ sin 81° 0,988 У10 1,000
-^ю 90° ft-9 ft = 10
5,853 6,853
2 >л
һ=0 ft=i
Таким образом, по формуле прямоугольников (108) по недостатку
242
ч/2
^ sin xdx = 0,157 • 5,853 s 0,919
о

„ по формуле (109) по избытку
п /2
j sin xdx = 0,157 • 6,853 s 1,076.
о
Истинное значение интеграла
н/2 и/2
f sin xdx = — [c o s * ] = 1 .
b
о
Значит, пользуясь приближенными формулами прямоугольников,
мы допустили значительную погрешность. Относительная
погрешность составляет около 8%.
Познакомимся и с другими приближенными формулами для
вычисления определенного интеграла.
§ 32. Формула трапеций (способ трапеций)
При выводе формулы трапеций для приближенного вычисления
определенного интеграла
f f(x)dx
а
также удобно исходить из представления этого интеграла как
величины площади криволинейной трапеции (рис. 95), ограни-
Рис. 95.
ченной кривой у — f(x), двумя ординатами x = а, x = b и отрезком
оси ОХ.
Разобьем отрезок [а, 6] на п равных частей (на рис. 96 л = 5).
Из точек деления проведем ординаты у0, Уи у 2, Уз- Уь Уь- Соединив
точки пересечения ординат с кривой прямыми, мы получим
вписанную ломаную М0, М ь М2, ■■■, AU. Площадь фигуры, ограниченной
этой ломаной, двумя ординатами x = а, x = b и тем
Же отрезком оси ОХ, будет представлять приближенно значение
величины площади рассматриваемой криволинейной трапеции.
243

Другими словами, рассматриваемую площадь криволинейной
трапеции заменяем суммой площадей прямолинейных вписанных
трапеций. Результат будет тем точнее, чем больше п, т. е.
чем меньше
b —а
h = ------- .
п
Величина площади всех трапеций даст приближенное значение
определенного интеграла. Выбрав п достаточно большим,
можно получить любую степень точности. Вычислим площадь
вписанного многоугольника, как сумму площадей прямоугольных
трапеций по известной из элементарной математики формуле;
тогда
b — а / у0 + У\ \
площадь первой трапеции равна ------- ( — L| ;
п \ 2 /
площадь второй трапеции равна
b — а / у { + уъ
Ь — а ; у2 + Уз
площадь третьей трапеции р авн а------- I-----------
п \ 2
п
площадь n-ой трапеции равна
Ь - а ! у п-i + уп '
Складывая полученные величины, получим площадь многоугольника
5 = b — а
п
b — а
п
Ь— а
п
Уо + Уп
2
п—1
— 1= 1
Это и есть величина, принимаемая нами в качестве приближенного
значения данного интеграла.
Итак, мы получили формулу
П—1
ç b — а Уо + Уп
(п о )
244
Ы 1

для приближенного вычисления определенного интеграла. Формула
(ПО) носит название формулы трапеций.
Теперь рассмотрим вопрос об оценке погрешности, получаемой
при использовании формулы (ПО). Покажем, как это можно
сделать.
На отрезке [a, b] (b — а > 0) кривую у = f(x) заменим прямолинейной
хордой у = у(х), соединяющей ее концы, поэтому
Ф( а ) = / ( а ) , (1)
Ф(6) = /(* )•
Геометрически площадь криволинейной фигуры заменяется
площадью прямолинейной трапеции (рис. 96).
Площадь криволинейной трапеции, как известно, выражается
интегралом
f f(x)dx,
а площадь прямоугольной
трапеции интегралом
f « x)d x =
а *
(как площадь трапеции).
Приближенно полагаем
(b - а) = _ f{a)+f(b)
2
(b—a)
С / (x) d х
(Ь ■
f(a)+f[b)
Оценим разность
J / (x) d x — {b — a)
а 2
Для этого положим для любого х в промежутке (а, Ь)
или
f{x) = (р(х) + k(x — а) (х — Ь),
_ fix) — у(х)
(х—а)(х — Ь)
Рассмотрим функцию от переменной z на отрезке [о, Ь\
®(z) - f(z) — ф(z) — k(z—a) (z—b),
где x, a следовательно, и k предполагается постоянным
(а < х < Ь). Очевидно, что ш(а) = (o(fi) = 0 и со(х) = 0 в силу
(2)
(3)
(4)
245

определения k. Функция ü)(z) обращается в нуль в точках а, Ь
и х, где а < x < Ъ. Допустим теперь, что функция f(x) на отрезке
[а, Ь] имеет непрерывные производные первых двух порядков.
Очевидно, что и функция to(z) обладает этим же свойством.
Применяя к функции со (г) теорему Ролля на отрезках [а, х]
и [x, Ь], убеждаемся в том, что а (г) обращается в нуль в двух
точках на отрезке [а, 6], а тогда, по той же теореме Ролля, между
ними найдется точка z = g, в которой обращается в нуль
co"(z), где g содержится между а и b и зависит от х. Но так как
поэтому
, 1
и, следовательно, k = — f"
со "(z) = f " ( z ) - 2k,
co"U) = П 1 ) - 2 * = 0
Отсюда следует, что /" (|) есть непрерывная функция от х.
Подставляя полученное выражение для k в формулу (3),
будем иметь:
f(x) — ф(х) = у /'" ( 1 ) (х—а) (х—Ь).
Интегрируя это равенство от а до Ь, найдем:
ь
ь
Î [/(•*)-?(•*)]

среднем значении правую часть равенства (5) можно написать
в виде
1- f f"(z){x — a) (.x — b ) d x = у /"(?) ( ( x - a ) ( x — b)dxt= —
* 'а '°
{b~ a)3f" (l),
12
где £ — некоторое значение л на отрезке [a, b] ( а < I < 6).
Равенство (5) перепишется:
Г /(я ) + /■(&) (Ь — а)3 .
\ f(x)dx— [b — а ) — ' ^ ’ )• (И)
а
Если мы отрезок [а, Ь] разделим на п равных частей, то для
отрезка [хк-\ ,хк] мы получим:
хһ-\
Суммируем это равенство по k :
к )■
к^Т ~ k=T (6)
Пусть М и m означают соответственно наибольшее и наименьшее
значение функции f"(x) на отрезке [а, Ь], тогда
или
m < /"(б*) « М,
/ ш « £ / " ( Ь ) < М „.
h=V
п
m < ~ Y / " ( «* ) < М.
'I штвй
h= 1
Следовательно, между а и b найдется такое значение х =
которого
П
для
ft—i
247

откуда
n
/ " (b) = Л Л «
S k= 1
Подставляя в формулу (6) найденное значение для У 'я * * ,
й-1
получим выражение для погрешности формулы трапеции:
f(x) d x S = - ü — Ç / " ( 5 ) ,
12 /г
где 5 — сумма n площадей трапеций:
12)
S = b — а Уо + Уп + У Уь
Из формулы (112) видно, что с возрастанием п погрешность
убывает, примерно, как —
я 2 '
f dx
Пример 1. Вычислить значение интеграла \ ----- по фор-
Г я
муле трапеции при я = 10.
Р е ш е н и е . Вычисления будем производить с помощью логарифмической
линейки. Подинтегральная функция
Пх) = - ,
х
а = 1, Ь — 2, h
— (Ь — а) = — (2 — 1) = 0 ,1 .
п 10
п—1
х0 = 1,0
XI = 1,1
*2 = 1,2
*з = 1,3
х4 = 1,4
*5 = 1,5
*6 = 1,6
* 7 = 1,7
х8 = 1,8
Хд — 1,9
*io = 2,0
у о = 1,000.
Ух = 1 : 1,1 = 0,909.
у2 = 1 ; 1,2 = 0,833.
Уз = 1 : 1,3 = 0,769.
у4 = 1 : 1,4 = 0,714.
г/5 = 1 : 1,5 = 0,667.
Уб = 1 ; 1,6 = 0,625.
У7 = 1 : 1,7 = 0,588.
i/e = 1 : 1,8 = 0,556.
г/9 = 1 : 1,9 = 0,526.
у m = 1 : 2,0 = 0,500.
S У*=*/1+У2 + ••• + г/э = 6 ,1 8 7 ,
Һ-і
248

~(Уо + 1/10) = 0,750;
Итак,
6,187+0,750 = 6,937.
С другой стороны
Г dx = 0,1 -6,937 = 0,6937.
1 *
2 , 2
\ — = In JCI = 1п 2 ^ 0,6931.
i * i
Ошибка получилась около 0,2%.
Для оценки погрешности здесь не нужно пользоваться формулой
(112), так как нам известна величина заданного интеграла.
Если величина заданного интеграла неизвестна, то поступают
следующим образом (по формуле 112):
о
f — = {b~ a)3f" [t)i S = 0,6937; b — 2 , a = l , n— 10.
\ x 12n2
Для g можно взять любое значение, принимая во внимание
3 1
неравенство 1 < I < 2. Пусть | = 1,5 = - , тогда / ' (я) = -----—
2 х г
2
и f"(x) = — , откуда
л 3
поэтому
/ 3 2 16
2 ~Ж Г ^ 27 ’
2
-6-----/" ( - ) = — Н ■16 - = 0,0005
12и2 2 12 -10*-27
rdx = 0,6937 — 0,0005 = 0,6932 .
i
Пример 2 . Вычислить значение интеграла
Ç dx
о 1
по формуле трапеций при п = 10.
249

Решение. Подинтегральная функция
! / = / № = т
а — О, ô=l, h = — (ft — а) = 0,1 .
п
-*о = 0,0 ; Уо = у = 1,000.
■*» = 0 ,1 ; «/i = ï - fL ^ -a = 0 ,9 9 0 .
х 2 = 0,2 ; г/а = { ^ Q - ÿ = 0,982.
, Уз 1 j О З2 0,917 .
* 4 = 0,4 ; г/4 = 1 q i--Q-^ 2 = 0,862 .
xt = 0,5 ; уь = t 1[Q -^ = 0,800 .
■*й= 0,6 ; ув = = 0,735 .
•* 7 = 0,7 ; уч = 0,671 .
я 8 = 0,8 ;
О’0 !0 •
■*о = О,9 ; Уа = ! Д -g i = 0 ,5 5 2 .
-*ю = 1)0 ;
Ум —-]“Т Т а_ = 0,500 •
9
£ Л = Уі + У> + ■■• + У» = 7,099
/i= i
■?г(#о “Ь Ую) = 0,750
^
7^849

Вычисления производились с помощью логарифмической линейки.
Итак,
С другой стороны
1 i
Г р Ц = 0,1 .7,849 = 0,7849 .
! 1+ х2
dx ‘
) îT V > = a r c , g ''
= arctgl = -j- ^ 0,7854
Ошибка получилась незначительная.
§ 33. Формула Симпсона (способ парабол)
При выводе формулы трапеций для приближенного вычисления
определенных интегралов мы поступали так: на небольших
участках ( х һ - \ , Х һ ) кривую у = f(x) заменяли (или, как говорят
иначе, интерполировали) прямолинейной хордой (линейной
функцией). Попытаемся теперь получить большую точность,
заменяя на небольших участках (хһ- ь хһ) кривую у = f(x) параболой
(многочленом второй степени и, прежде всего, трехчленами
второй степени у — ах2 + Ьх + с). Прежде чем ознакомиться
со способом парабол, служащим для приближенного
вычисления определенных интегралов, докажем, что площадь,
ограниченная параболой второй степени
у — ах2 4- Ьх + с,
отрезком оси ОХ и двумя ординатами, расстояние между которыми
равно Һ, равна
S = ~ ( Уо + 4У\ + і Д - (ИЗ)
где уо и у2 — крайние ординаты кривой, а у { — ордината равноотстоящая
от крайних. Формула (113) называется элементарной
формулой Симпсона. Предполагается при этом, что кривая
лежит над осью ОХ.
При выводе формулы (113) можно принять, что крайняя ордината
слева уо направлена по оси ОҮ (рис. 97), так как передвижение
всего рисунка параллельно оси ОХ не изменит ни величины
рассматриваемой площади, ни взаимного расположения
крайних и средней ординаты. С помощью определенного интеграла
(при сделанных предположениях) вычислим площадь S,
ограниченную параболой
у = ах2 + Ьх + с,
251

двумя ординатами х = а — 0, x ~ h и отрезком оси ОХ. По известной
нам формуле получим:
U
IL
S — j"/ (x) dx = (ax2 + bx + c)dx a ----- + — x 2 + cx
3 2
= ~-h3 + — h2 + ch = — [2ah2 + 3 bh + 6c],
3 2 6
Теперь постараемся выразить величину 2ah2 + 3bh + 6c через
ординаты y о, Уі и у2.
Из уравнения параболы следует, что
отсюда
у0 = ах2 + Ьх + с I*=o = с;
Уі — ах2 + Ьх + с
h2 bh ,
Һ= а —— + -----4- с;
г - 4 2
у2 = ахг + bx + с\%=һ — аһ2 + bh + с,
Уо + 4Уі + Уі = с + 4а — - + 4 —— + 4с + ah2 + bh + с
4 2
поэтому
= 2ah2 + 3 bh + 6c,
S = — (2ah2 + 3 bh + 6 c ) = — [y0 + 4yl + y2\,
6 6
что и требовалось доказать.
Пример. Вычислить площадь, ограниченную параболой
у = х2 — 2х + 2, двумя ординатами х = 0, х = 3 и отрезком
оси ОХ.
252

Решение. Вычислим площадь S по формуле (113)
(рис. 97). Для этого определим сначала две крайние и среднюю
ординаты:
у о = я 2 — 2х + 2 U=o = 2;
Й = 2 * + 2 | , . , , = ( ! ) ’ - 2 - | + 2 = | ;
у2 = 2х + 2 |ж_8 = 3 2 — 2 - 3 + 2 = 5.
Расстояние между крайними координатами h = 3, следовательно,
по формуле (113) получим:
6 2 + 4* — + 5
4
:6 (ед2).
Такой же результат мы получили бы и с помощью определенного
интеграла
-и х2 — 2х + 2 )dx = 2х2 -f 2х = 9 - 9 + 6 = 6 ( е д 2).
Отсюда вывод: формула Симпсона дает точное значение определенного
интеграла, если под знаком интеграла находится
многочлен второй степени. Если же под знаком интеграла находится
какая-либо другая функция, то ее обычно можно приближенно
представить в виде многочлена второй степени. В этом
случае формула Симпсона (способ парабол) дает приближенное
значение определенного интеграла
или
fix )d я = Ь—
^[Уо + 4 у1 + у2],
114)
J f(x) dx = j [ах2 + bx + c)dx.
(114'
Чтобы получить более точное значение интеграла с помощью
формулы Симпсона (парабол), разбивают отрезок [а, Ь] на четное
число 2п равных частей, так что
2 п
( 1 < Л < 2 я ) .
Рассмотрим какой-либо отрезок, например, отрезок [лг2й—2.^2ft] -
и абсциссу средней точки этого отрезка обозначим через хы—ь
На данном отрезке заменим кривую у = f(x) параболой
У = акх2 + Ькх + ск ,
(а)
253

п р о х о д я щ е й ч ер ез точки
yVfoj:—2 ( я 2і —2 , У21с —2) ; Мгк-1 [х 2к—1 I Угк—і) ! (х2к , У-ц)
данной кривой. Напомним еще раз, что способ парабол состоит
в том, что на каждом отрезке [■*•«,•- а , у2к-о\ [k = 1, 2, 3, . ... п\
интеграл функции f(x) заменяется приближенно интегралом от
У2Һ-2 соответствующей параболы (а), т. е.
x2k
Х2Һ
j1 / (x)dxm C (a*x2 + Ькх + ск) dx . (6)
* 2Һ—2 x2 h -2
Принимая во внимание формулы (114) и (113), это приближенное
равенство (б) можно переписать так:
х2 h
g _
J / (x) d x ~ —— - [y + 4ÿsl_i + уа ] ( 1 < k < n ).
x 2Һ—2
Суммируя по всем отрезкам, получим:
b
n
f (x)dx = Ь~~а- V lyth-2+ 4ÿ2ft-l +У2һ) =
6 tl ^—1
h=\
____ n -1
Һ— a
Уо + Уіп + 4 V У'2Һ—\ 4- 2 У У2Һ . (115
6 n
һ= 1 й-1
Формула (115) называется общей формулой Симпсона. Формулу
Симпсона (115) можно назвать также и формулой парабол.
Формула Симпсона дает обычно большую точность, чем
формула трапеций, при одном и том же числе п промежутков.
На практике для точности результата существенное-значение
имеет плавный ход кривой. Поэтому перед вычислением полезно
иметь хотя бы приближенное представление о ходе кривой.
Там, где кривая довольно резко меняет свой вид, нужно вводить
более мелкие деления отрезка.
Оценка погрешности при замене интеграла его приближенным
значением производится точно таким же образом, как это
делалось для способа трапеций, поэтому мы приведем лишь
окончательный результат исследования !.
ь
f ix ) dx — S = — f v [t) (116)
180-(2ra)4
(a < l< b ).
1 Подробное изложение этого вопроса можно прочесть: Фихтенгольц Г. М.,
Курс дифференциального и интегрального исчисления, том. II, ОГИЗ 1948 г.
стр. 186— 188.
254

Пример 1. Вычислить^ sin xdx с помощью формулы
Симпсона при п = 2.
При п — 2 для формулы Симпсона получим:
х0 = О, Уо = sin 0 = 0,0000,
х, = 22°30', Ух = sin 22°30' = 0,3827,
х2 = 45°, у2 = sin 45° = 0,7071,
*з = 67°30', y3 = sin 67о30' = 9239,
х4 = 90°, у4 = sin 90° = 1,000.
Уо+ Учп = Уо + '/4= 1.0000 ; 4 V І/2Һ-1 = 4 [ У ! + У з ) = 5,2264 ;
71
1 iH iL = 2 ^ “ l i a !0 '1309 ; 2.й = 1,4142.
Таким образом, по формуле Симіпсона
п/2
Jsin *

Итак, по формуле Симпсона
5 = ^-9 ,4 2 4 7 2 ^ 0 ,7 8 5 3 9 ,
ИЛИ
1
f-Г ^ Ц - ~ 0,78539.
J 1+х2
о
С другой стороны,
1
= arCtgr 1 = T s 0,78539 ,
о
все пять десятичных знаков верны.

ГЛАВА V
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩ ИХ РАДИКАЛЫ
§ 34. Предварительные сведения
Мы убедились в том, что наиболее простым методом вычисления
интегралов служит нахождение первообразных функций.
Особенно большое значение имеет класс функций, первообразные
которых являются элементарными функциями. К такому
классу функций относятся многочлены, так как первообразными
для многочленов всегда будут тоже многочлены — элементарные
функции. Расширяя класс многочленов, мы придем к классу
рациональных функций. Напомним, что функция называется
рациональной, если ее значение получается при помощи рациональных
операций — сложения, вычитания, умножения и деления
над значением независимой переменной и постоянных чисел,
повторенных любое число раз и в любой последовательности.
Отсюда видно, что к действиям, дающим многочлены, добавляется
только одно действие деление.
Особенно важным окажется тот факт, что первообразные
всех рациональных функций будут являться тоже элементарными
функциями, хотя они уже и не будут рациональными.
Например, первообразная для рациональной функции - является
трансцендентной функцией у = In х, но она, как известно,
относится к элементарным функциям.
Прежде чем перейти к интегрированию рациональных функций,
вспомним основные понятия и свойства целой рациональной
функции (многочлена-полинома). Целая рациональная
функция (многочлен-полином) п-ой степени имеет вид:
/ (z) = aazn + ауг п-' + а2гп~2+ . . . + ап. , z + а„ , (117)
где п — положительное число; а0, a i , . . . , ап — вещественные
коэффициенты, не зависящие от z, причем некоторые из них
17—880 257

могут быть равны нулю, но только а0 Ф О (иначе полином будет
низшей степени). Те значения переменной z, которые обращают
функцию (полином) f(z) в нуль, называются корнями функции
f(z). Например, для функции f(z) = z2 — 5z + 6 корни будут
z, = 2 и z2 = 3, так как
И f(Zi) = /(2) = 0, и f(z2) = /(3) = 0 .
Попутно уместно поставить вопрос: а всякое ли уравнение
имеет корни? В связи с этим рассмотрим уравнение неалгебраическое
ег — 0,
г = x + yi.
Очевидно, что данное уравнение совсем не имеет корней, так
как модуль ех левой части уравнения не обращается в нуль ни
при одном значении х.
Если же взять алгебраическое уравнение
ci^z -f- axzn ^ -f- ^ 4- et-п—i z + ип — 0 , (1)
то основная теорема алгебры утверждает: всякое алгебраическое
уравнение (1) имеет, по крайней мере, один корень вещественный
или комплексный.
Доказательство этой теоремы приводится в курсе высшей
алгебры. Вспомним основные свойства целой рациональной
функции, которые нам понадобятся при изложении вопроса об
интегрировании рациональной функции.
Теорема I (Безу). Остаток от деления целой рациональной
функции f(z) на двучлен вида z — b равен результату подстановки
в данную функцию вместо z числа Ь.
Доказательство. Пусть дана целая рациональная
функция /(z); разделим ее на двучлен z — Ь\ полученное частное
обозначим через cp(z), а остаток — через R (R — не зависит
от г). Тогда по определению
В равенстве (2) положим z = b:
/(г) = (z — b) cp(z) + R. (2)
f(b) = (b -b ) cp (b) + R,
R = î(b).
Пример 1. Найти остаток от деления
на двучлен (z + 2).
25S
f(z) = z4 — 3z3 + 2z — 7
Решение. В данном примере b = —2, поэтому
R = f(b) = /(—2) = (—2)4 — 3(—2)3 + 2(—2) — 7 = 29.
(3)
Теорема II. Для того, чтобы целая рациональная функция
i(z) делилась без остатка на z — b, необходимо и достаточно,
чтобы f(b) = 0.
Доказательство. Если функция f(z) делится на z—b
без остатка, то это значит, R — 0, но R — f(b), следовательно,
j(b )= 0, теорема доказана. Обратно, если f(b) = 0, то R = f (b) =0,
т. е. деление f(z) на z—b совершается без остатка.
Пользуясь изложенными теоремами, можно вывести признаки
делимости суммы или разности одинаковых степеней двух
количеств на сумму или разность первых степеней тех же количеств.
Пример 1. Определить, делится ли х" — а" на разность
х — а без остатка.
Решение. По формуле (3) находим:
R = f(a) = а ’1— а" 0.
Итак, разность одинаковых степеней двух количеств делится на
разность первых степеней тех же количеств без остатка.
Пример 2. Делится ли х" — а" на сумму х + а без
остатка?
Решение. /? = /(—а) = (—о )"— а". Очевидно, что при
n = 2k, т. е. при четном n, R = 0, a при n — 2k — 1 (при п нечетном)
.
R = —2а" Ф 0.
Итак, разность одинаковых четных степеней двух количеств делится
без остатка на сумму первых степеней тех же количеств.
Пример 3. Делится ли х" .+ й" на х — а и на х + а без
остатка?
Решение. При делении х 1 + а” на х — а.
R = f(a) = а" ,+ а " = 2а''Ф 0,
т. е. сумма одинаковых степеней двух количеств не делится без
остатка на разность первых степеней тех же количеств.
При делении x" f а" на х + а
R = f(—a) = (—а) ” + а".
Очевидно, что при п четном .R = а" + ап= 2а” Ф 0 , и при п нечетном
А* = —йп ~ап — 0. Итак, сумма одинаковых нечетных
степеней двух количеств делится без остатка на сумму первых
степеней тех же количеств, а сумма одинаковых четных степеней
двух количеств не делится без остатка на сумму первых степеней
тех же количеств.
Теорема III. Целая рациональная функция f(z) п-ой степени
может быть разложена на множители следующим образом:
f(z) = a 0(z — zi) (z — z2)
где a0 коэффициент при z ", a z l} г2,
функции.
(z Z n)y
z n — корни
данной
259

Доказательство.
Функция
/ (z) = ао (*" + ахг"-' + агг "-2 + ... + ап- хz + а„
имеет, по крайней мере, хоть один вещественный или комплексный
корень (основная теорема алгебры). Пусть таким корнем
будет, например, Z\. Тогда f(Z\) = 0, а это значит, что полином
делится на (z — Z\) без остатка (по теореме II). Обозначая полученное
частное через tpn-i (2), будем иметь:
/ ( » = [z — ZX) Ÿ„_| (г) = [z — z 1)(a0zn~l +...),
где

откуда очевидно, что f{z) не может обратиться в нуль ни при
каком значении z, отличном от z i, z2,..., z„. Поэтому, если
имеется выражение вида
А0гп +
+ A2z n~2 + ... + Ап—j z + A n
и известно, что оно обращается в нуль для т различных значений
г, где т > п, то Л0 = О, А, = О, Л2 = 0,........А„ = О,
т. е., что рассматриваемое выражение равно нулю тождественно.
Теорема IV. Если целая рациональная функция f(z) с вещественными
коэффициентами имеет комплексный корень вида
Z\ = а + pi, то она также имеет сопряженный с первым корень
z2 = а —рг. Другими словами, если f(z) делится на [z— (а+рг],
то она разделится и на [z— (а—pt)].
Доказательство. Прежде всего заметим, что
[z — (а + pi)][z — (а— рг)] ={{г — л)—Щ[[г— а)+ pi]= (z—aj2+ p2
и докажем, что если функция f(z) делится на [z— (а + pt)], то
эта функция разделится и на [(г — а)2 + р2].
Предположим, что при делении f(z) на [(г—а )2 + р2] частное
есть f\(z), а остаток R. Этот остаток будет двучлен первой
степени вида az + Ь, где а и Ъвещественны, когда коэффициенты
/(г) вещественны.
Выполняя деление, получим:
f(z) = [(z—а )2 + P2]/i(2) + az + b.
Подставляя в это выражение z = а + pt, видим, что и f(z), и
[(г — а )2 + Р2] обращаются при этом в нуль, так как по условию
z = а 4- Р'' есть корень данной функции. Получим:
О = 0 • fi(z) 4- а (а + р/) 4" b,
аа -Ь b 4* afii — 0.
Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его
действительная часть аа + b = 0 и коэффициент при мнимой
части ор = 0. Так как р Ф 0 по условию, то а = 0, но
откуда
а, значит, и
аа, 4-6 = 0,
Ь = 0,
f(z) = [(z —а)2 + p2]/i(z),
где fi(z) — целая рациональная функция.
Итак, мы доказали, что функция f(z) делится без остатка на
[(z — а )2 + p2], a это значит, что она делится без остатка и на
[z— (а — pt')]. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что число комплексных корней
уравнения f(z) = 0 с вещественными коэффициентами всег­
261

да четное, и что каждой паре комплексных сопряженных корней
соответствует один квадратный делитель вида [z — а )2 + р2]
Этот делитель можно представить в виде квадратного трехчлена
с вещественными коэффициентами. В самом деле
(г — а)2 + p2 = z2 — 2а z + а2 + р2.
Полагая —2« = р и а2 + p2 = q , будем иметь
(z-u)2 + p2 = z2 + pz + q. (119).
В заключение отметим, что если функция f(z) делится на
(z—z0) h без остатка, где k — целое положительное число, т. е.,
если
f(z) = (z — z0)uf\(z),
где fi(z)— целая рациональная функция, не делящаяся на
z — z0, то говорят, что z0 есть кратный корень функции f(z)
кратности k.
Необходимые и достаточные условия для того, чтобы z0 было
корнем кратности k функции f(z) состоят в том, что
/(Zo) = О, /'( г 0) = 0, /" (г 0) = 0,..., р - ‘>(г0) = 0.
Эти условия можно сформулировать еще и так: функция f(x) и
ее последовательные производные до k— 1 порядка обращаются
в нуль при z = z0, но p>(z0) Ф 0. Этими соображениями часто
пользуются для определения кратности какого-либо корня.
Например, пусть дана функция
f(x) = х3 — 6х2 + 12л: — 8.
Замечаем, что при х = 2, /(2) = 0, т. e. х = 2 является корнем
функции f(x). Пусть теперь требуется определить кратность
этого корня. Применим сформулированные нами необходимые
и достаточные условия для существования корня кратности /г.
Находим производные:
/'(*) = Зх2 — 12х + 12,
f"(x) = 6х 12,
/"'(х) = 6
и определим значения этих производных при х = 2:
/'(2) = 12 — 24 + 1 2 = 0,
/"(2) = 12 — 12 = 0,
/"'(2) = 6 Ф 0.
Значит, корень х = 2 является трехкратным корнем данной функции
/(х): Х\ = х2 = х3 = 2. Это можно было бы обнаружить и
другим способом, если бы мы догадались, что
262
/(х) = х3 — 6х2 + 12х — 8 = (х — 2)3.

Приведем еще одно замечание. Было показано, что если
Zu Z2,.. •, zn являются корнями функции
/ ( г ) = a ()zn + а,г" -1 + а2г"-2 + . . . + «n-i z + ап,
то эту функцию можно разложить на множители и представить
ее в виде произведения этих множителей
f(z) = a0(z — z\) (z — z2) (z — z3) . . .
(z — z„).
Среди корней этой функции могут быть и равные (кратные).
Пусть, например, z\ есть корень кратности 2, a z2 — корень
кратности 3, тогда
f[z) = а 0 (z — zl)2iz — z2)t (z — z0)... (z — zn) .
Вообще, если имеется m -кратный корень, то его принимают за
т равных корней. Это позволяет сделать заключение: число
корней всякой целой рациональной функции равно ее степени.
Например, функция
fix) = 5 ix— I)2 (л- + 1) (х — 2)4.
имеет 2 -f- 1 + 4 = 7 корней, среди них х = 1 является двукратным
корнем, х2 = — 1 — однократным корнем и х3 = 2 — четырехкратным
корнем функции f(x).
Если одно или несколько чисел zh z2, ... , z n будут комплексными
вида а + р/, то в ряду этих чисел найдется столько же
равных а — и функция /(г) будет иметь делитель
[z — (а + рі)] I2 — (а— РО] = (г—а )2 + = z2 + pz + q
в некоторой степени т. Поэтому можно утверждать, что всякая
целая рациональная функция с вещественными коэффициентами
может быть представлена в виде произведения линейных и квадратных
множителей:
f[z) — atiz—z1)m(z—zi)n. . .{t2 + pz + q)k' (z2 + ptz + qг)һк .., (120)
где m,
kx, k2,... '— целые положительные числа и сумма
in + n + . . . + 2k\ + 2k2 + . . .
равна показателю степени функции f(z). В дальнейшем вместо
буквы z будем писать х.
Разложение рациональных дробей на простейшие
Общий вид рациональной функции от х есть
Fix)
> гДе F(х)
и Цх)— целые рациональные функции (целые многочлены).
Fix) „ „
Функция называется дробной рациональной функцией,
или, для краткости, рациональной функцией от х. Например,
дробь вида
263

2.ү« — 4хг + 5
х:1— 4х
'
числитель и знаменатель которой являются целыми многочленами
переменной х, называется рациональной функцией (дробной).
При дальнейшем изложении мы будем предполагать, что
функции F(х) и f(x) не имеют общих корней и что степень функции
F (х) меньше степени f(x), иначе говоря, будем считать
, Fix)
Дробь у правильной дробью, так как в противном случае
делением числителя на знаменатель можно выделить целую
часть из данной дроби.
Рассмотрим сначала виды разложения рациональной функ-
Fix) „ ,
ции - j j на простейшие или элементарные дроби. В алгебре
рассматривается теорема, которая очень большое значение
имеет в теории интегрирования рациональных дробей.
Fix)
Теорема. Каждая правильная д р о б ь м о ж е т быть представлена
в виде суммы конечного числа простых дробей.
Это разложение правильной дроби на простые дроби связано
с разложением знаменателя f(x) на простые множители. Выше
было показано, что целая рациональная функция с вещественными
коэффициентами разлагается (единственным образом) на
вещественные множители вида х—х0 и x2 + px + q-, при этом множители
вида x2 + px + q уже не имеют вещественных корней, а,
следовательно, их нельзя разложить на вещественные линейные
множители. Разложение целой рациональной функции /(v) на
множители можно кратко записать в виде
fix) — (x — Xi)*. .. (л-2 + рх -i- q Г .. . ,
где k,.. ., m суть натуральные числа.
Прежде чем приступить к доказательству сформулированной
выше теоремы, рассмотрим два вспомогательные предложения.
Множители, знаменателя линейные
Пусть линейный множитель х—Х\ входит в разложение знаменателя
f(x), показатель степени которого fe>-l. Так как х\
является корнем кратности k функции f(x), то f(x) должна разделиться
на х—Х\ без остатка. Обозначим частное от деления
функции f(x) на (x—X\Ÿ через f\{x), тогда
f(x) = (х—х:)к f{{x),
где fi(x) — полином, который уже не делится на х—Х\. В этом
случае разлагаемая дробь примет вид.
264
F(x)
Fix)
f(x) ( x - x ^ f i i x )

Докажем теперь, что данную правильную дробь
можно
представить в виде суммы правильных дробей:
A
F Ах)
+
(х - х,Г т (Х-Х,)"-' М х) ’
из которых первая дробь называется простой, а знаменатель
второй дроби содержит множитель х—х, в более низкой степени,
чем раньше, т. е. докажем, что
F(X] - А + ,----- Л И ..— , (121)
(х — х 1)һ/,(х) [х — (x— f xix) '
где А постоянное число и F,(x)— неизвестный полином, степень
которого меньше степени полинома Ғ(х). Для доказательства
справедливости формулы (121) проделаем предварительно
некоторые преобразования. Перенесем сначала первое слагаемое
в левую часть равенства, а затем приведем дроби к одному
знаменателю и, сократив обе части равенства на (x—x,)’1 fi(x),
получим последовательно:
F(x) __А _ F х(х)
(x — XxYf^x) (x — x,)h~ [x-xx)h~l /,( * ) '
F[x) —A ifi(x) _____Ft(x)_____ _
]x — x,)hf x(x) [x—x^b-'fxix)’
F { x )-W x )
X — Xx
F(x) — Af\(x) = (jc-x,) F,(x).
Для доказательства сформулированного предложения нужно
подобрать А так, чтобы левая часть делилась на х—х,. Это будет
очевидно тогда, когда при х — х, (по теореме Безу) левая
часть равенства обратится в нуль:
откуда
Итак, мы доказали, что
F(x,) - А Ш ) = О,
, Fix,) ,, \ , п
А = ; fixx) Ф 0.
fi* i)
Fix) А , Ft(x)
-Ь
(je — х,)*/і(л:) (х — Л|)* (х — x1)k- l/ 1(x)
ҒІХх)
где Л определяется из равенства: А = - - ■ - , a F^ix) — из
/ 1( )
_
265

равенства
ғ,u ) - —
L z
Л'—Xj
Множители знаменателя имеют вид rr-\-px + q, причем рг — Ац• 1. Так как полином f(x) делится на x2 + px + q без остатка,
то, обозначив частное от деления полинома на (x2 + рх + q)2
через fi(x), будем иметь
f{x) = (x2 + px + qY fi{x),
где fi(x) уже не делится на x2 + px + q. Данная дробь примет
вид:
F [x)
fix)
F(x)
(x2 + рх + q\kf,(x)
Докажем теперь, что данную правильную дробь можно представить
в виде суммы правильных дробей
Мх + N
Ғг(х)
(x2 + рх + q)k ( x2 + рх + q іі_1 / , (x)
из которых первая дробь простая, а вторая содержит в знаменателе
трехчлен (x2 + px+q) в низшей степени, чем раньше:
Fix) _ Мх + N + ________Ft[x)_______ (122)
(х2 + рх + q)kfi(x) {x2+px+q)k (ха рх -\-q)4~l / х(х)
где М и N — постоянные числа, a F\(x) — целая рациональная
функция степени ниже (x2 + px + q)k-''t f,(x) и взаимно простая
с /і(х). Поступая аналогично предыдущему, покажем, что и в
этом случае можно подобрать M, N и F\ (х) так, чтобы сделанное
утверждение оказалось справедливым. Перенося первое
слагаемое в левую часть равенства и приводя дроби к одному
знаменателю, будем иметь:
F(x) — (Mx + N)f,(x)
fifjc) _________
(x2 + px + q)kf\[x) ( x2 + px + q)k~lfi(x)
Сокращая обе части равенства на (x2+ p x + ^)i'-1/i(x), получим:
или
2P6
F (x) — ІМх + N) Л (x) _ P
— - ■ _ r x\X) ,
x + px + q
F(x) —• (Mx + N) M x) = (x2 + px+q) Ғ,(х).
(a)

Для доказательства равенства (121) достаточно подобрать числа
M, N и функцию (полином) F[(x) так, чтобы равенство (а)
было тождеством. Определим М и N таким образом, чтобы левая
часть делилась на x2 + px + q без остатка. По нашему предположению
F\ (х) есть целая рациональная функция, значит,
F(x) — (Mx+N) f\(x) должно разделиться на x2 + px + q, а это
возможно лишь в том случае, когда корни x2 + px + q будут корнями
F(x) — (Мх -f N) fi(x), т. е., чтобы имело место уравнение
F(х) — (Мх + N) /, (х) = 0 при x = а ± bi. Тогда
откуда
F (а + bi) — [М(а + bi) + N]f, (а + bi) = О,
.. F(a + bi I
Al i a + bt) + Л = --------------- .
fxia + bi)
Правая часть равенства, как частное двух комплексных чисел,
является числом комплексным, обозначая это комплексное число
через А + ВІ, будем иметь:
M (а + bi) + N — А + Bi.
Неизвестные коэффициенты А1 и N определим из условия равенства
этих двух комплексных чисел; так как
то
откуда
Ma + N + Mbi = А + Bi,
Ma + N = А и Mb = В,
b
{б)
или
N = A - Ala = А — — ,
b
.. Ab — Ва
» ■ '■■>
Зная М и N, полином Fx(x) определим из формулы (а), как
частное. Итак, мы доказали, что
Fix) А1х + /V Ft (x)
------------------------------------------------- +
ix2 + px + q)kf xix) ix2 + px + q\k px+ q)k-' /,(* )
Разложение дробной функции на простые дроби
Теперь уже нетрудно доказать сформулированную вначале
F { \
теорему: каждая правильная дробь - -— может быть представлена
в виде суммы конечного числа простых дробей.
267

Доказательство сводится к повторному применению формул
(121) и (122). Эти формулы дают возможность последовательно
выделить простые дроби из данной правильной дроби, вплоть до
ее исчерпания. Если множитель х—х, входит в полином f(x) в
первой степеней, то, в силу (121) (при k—\), выделим простую
А
дробь вида--------- , Если же показатель степени будет k > 1, то
Л' — хх
на основании (121) выделим простую дробь ^ *
К оставшейся дроби
снова применим формулу (121):
Fi(x)
[х — ДГ,)*-1f x(x)
_____ (х)__________ А %—i Г^(х)
(*— fi[x) (.V — Jfj)*-1 (* — *i)*~2/i(* )
и выделим простую дробь
л к—\
ix—-Vj)*-1
и т. д., пока множитель х—х, исчезнет из разложения знаменателя.
В данном случае множителю (х— Х\)ь будет соответствовать
группа из k простых дробей:
— 4 — + -----_di------+ ---------â l ----- + . . . + ------ - *------. 1123)
Я — X1 (а* — .Vjl2 (x— Xj)3 (x — х ^
Если знаменатель дроби, т. е. если функция f(x) будет иметь
другие линейные множители, то и по отношению к ним нужно
применить такие же рассуждения. Аналогично этому, пользуясь
формулой (122), квадратичному множителю x2+px + q будет соответствовать
лишь одна простая дробь вида
Мх + N
х2 4- рх + q
Если же множитель x2 + px + q входит в степени т, то разложение
будет состоять из т простых дробей
уИ j х + Л12х ^ ІУ; Мтх + ]Ут | j o/j )
л'2 + рх + q (x2 + рх + qf [x2 + рх + q)m
Из доказанной теоремы следует, что если
268
fix) — ІХ — х{)к (х — Х г )т . . . . [х — Х п )*,

то будем иметь следующее разложение данной дроби на простейшие:
Ңх) __ Ак Л*_і + + A j +
f(x) ix— xj)* ix-Xi) * 1 X - Хх
I. + — — +. . . + — + .. . +
( A' — х2)п (х — Х2)т-' X — х2
D, Dt—i Dl ..„г.
+ -------- ------ + ---------------------+ . . . + ------------- , (125)
ix — xnY (x — xny~l x — хг
где Л,, Л2, . .. , Л*; £ ь В2,-----Вт ; Du D2, . . . , Ds— постоянные.
Если /(х) не имеет кратных корней, то из формулы (125), следует,
что
-1 ^ 1 = — - — + _ J + . . . + — — . (126)
/ и ) X — Ях А'— А'2 x — х„
§35. Определение коэффициентов. Интегрирование дробей
Имея разложение знаменателя дроби f(x) на множители,
мы тем самым знаем знаменатели простых дробей, на которые
разлагается данная дробь —— . Рассмотрим вопрос об опреfix)
делении коэффициентов Л, Mvi N. Для этого обычно пользуются
методом неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем.
Зная форму разложения дроби , сначала пишут
fix)
это разложение с буквенными коэффициентами в числителях.
Общим знаменателем всех простых дробей будет f(x). После
приведения всех простых дробей к общему знаменателю и освобождаясь
от него, получим равенство двух полиномов, которое
будет являться тождеством относительно х. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях буквы л:, стоящие в левой
и правой части равенства, получим систему линейных уравнений,
из которых и определяются буквенные коэффициенты.
Полученная система всегда оказывается определенной, что следует
из единственности разложения правильной дроби на простые
дроби.
При разложении знаменателя f(x) на первоначальные множители
могут встретиться следующие четыре случая.
I случай. Корни уравнения f(x) =0 все действительные
и ни один из них не повторяется, следовательно, знаменатель
подинтегральной функции может быть разложен на действительные,
неповторяющиеся множители первой степени. Мы
269

видели (формула 126), что всякому неповторяющемуся множителю
первой степени х—а соответствует простая дробь вида
А
х—а '
Интегрирование такой простой дроби не представляет затруднений
Ç ^ L ^ A l n \ x - a \ + С. (127)
J х — а
Пример 1. Найти интеграл
f 2х4 — ix2 + 5 ,
\ ------------------ — dx .
J x3 - 4x
Решение. Степень числителя дроби больше степени знаменателя,
поэтому выделим сначала целую часть путем деления
числителя на знаменатель. Получаем
2л'4 — 4л'2 + 5 п 4л2 + 5
----------------------- — 2х + ------------- .
х3 — 4х
л3 — 4х
Разложим теперь правильную дробь на простые дроби; для этого
нужно разложить знаменатель дроби на простые множители.
Определив корни уравнения
х3 — 4х = 0, х(х2 — 4) = 0, х, — 0, х2 = +2, х3 = —2,
разложим знаменатель на простые множители. По известной
формуле пишем:
х3 — 4х = х (х — 2) (х + 2).
Множители знаменателя все первой степени и не повторяются.
В этом случае разложение правильной дроби на простейшие будет
иметь вид:
___ 4х2 + 5 А В С
х(х — 2)(х + 2) x + х — 2 х + 2
Определим коэффициенты А, В, и С методом неопределенных
коэффициентов. Приведем дроби к общему знаменателю и, освободившись
от знаменателя, получим:
4,ï2 f 5 = А (х — 2) (я + 2) + Bxix + 2) + Сх (х — 2) =
—Ах2 - 4 А + Вх2 + 2Вх + Сх2 — 2Сх =
= ( А + В + С ix2 + 2і В — С\х — 4А.
Полученное равенство есть тождество, поэтому, следуя методу
неопределенных коэффициентов, приравниваем коэффициенты
270

при одинаковых степенях буквы x, стоящие в левой и в правой
частях равенства:
при х2 4 = А + В + С,
при x I 0 = 2(В — С),
при х° j 5 = —4А.
Для определения трех неизвестных коэффициентов А, В и С получили
систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Решая эту систему уравнения, найдем:
откуда
тогда
Л - - - 5 .
4 ’
Я - 21 •
в = т - ’
С 21
4л:2 4 5 5 21 21
+ ------ — +
2(jc — 2) (x + 2) 4х 8(х — 2) 8 (л: 4 2)
Г _ Г /2, _ А + _ ? 1 _ + ._) і х -
J х‘ — 4х Jl, 4х 8U — 2) 8 (дг + 2 ]/
— х- — — ln х + ln I x — 2 j 4- ln x 4- 2 I -f- С,
4 8 8
Постоянные Л, В и С в данном случае можно определить и
путем подстановки вместо х частных значений. Действительно,
равенство
4л:2 4- 5 = Л (х—2) [х4-2) 4- Вх(х4-2) 4- Сх(х—2)
является тождеством, поэтому оно удовлетворяется при всех
значениях х, в частности, если х = 0, то оно принимает вид:
откуда
5 = —4Л,
Л = .
4
Полагая таким же образом х = 2 и х — —2, получим последовательно:
21 = 8В; 21 = 8С;

f* j I f(j
Пример 2. Найти интеграл I :— —-----—
J x3 -)- A'2 — 2x
dx.
Решение. Разделив числитель на знаменатель, получим:
х* + 2х + 6 , , Зх2 + 6 , , Зл2 + 6
—----------------= X — 1-1-------------- ---------= х 1 -----------------------------.
.v3 -Ь x2 — 2х .v3 + х2 — 2х х(х — 1 )(х + 2)
Теперь полагаем
____ За2 -f 6 А В С
х(х — 1 ) (лс 4 2) x х — 1 + а 4 -2
Это равенство представляет собой тождество. Поэтому, если
освободимся от знаменателя, то обе части полученного равенства
также будут равны тождественно.
3.V2 + 6 = А (х— 1)(х + 2) 4- S.v(.v4-2) 4- Сх(х— 1) =
= (А + В + С)х2+ (А+2В—С)х — 2А.
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях
буквы х в левой и правой частях равенства, получим:
при .v2 ; 3 = А 4- В + С,
при л- 0 = А 4- 2В — С,
при х° I 6 = —2А.
Решая эту систему, будем иметь;
А = —3; В = 3; С = 3.
Откуда
Зх2 4- 6 ____ ___ 3 3 _ 3 _
х3 -\-х2 — 2х x, + х — 1 х4-2
Тогда

Замечание. Произвольную постоянную мы обозначили
здесь через 3 In С лишь для удобства получения более простого
по виду ответа. Можно было бы написать ответ и в виде
А х~ — X — 3 ln х + 3 ln | х — 1 I+ 31П;Х + 2| + С =
= — х2 — х + 3 In
2 X
+ С.
II случай. Корни уравнения f(x) все действительные, но
некоторые из них повторяются. Знаменатель дроби, следовательно,
может быть разложен на действительные множители
первой степени, причем некоторые из них повторяются.
Всякому множителю первой степени х—а кратности п, как
было показано раньше, соответствует п простых дробей
A B C D
: + : v t + \ «_о + • • • + . .
(х — a i" -1
Последняя дробь интегрируется так, как и в случае I. Все
остальные простые дроби интегрируются по формуле интегрирования
степени. Например,
С — = Л \ \x — a)~nd x = * ----------—-----— - + С. (128)
J (х — а)п J (1 —п)(х—а)п- 1
Пример 3. Найти
f
(8х3 + 7) dx
J (x + 1)(2х + I)8
Решение. Множители знаменателя первой степени, причем
множитель 2.V + 1 повторяется три раза. Поэтому полагаем,
что
8х3 4- 7 Л В C D
H----+ VT І Г Т +
(x + 1)(2х + 1)3 х + 1 (2 х + 1 )3 (2х + 1 )2 2х+1
Приведем дроби к общему знаменателю и освободимся от знаменателя.
8x3 + 7 = Л|2х + 1 )л + В(х + 1) + С(х + 1 ) (2х + 1 ) +
+ D(x + 1) (2 х + 1)а = Л(8х3+ 12х2 + 6х + 1) + Вх + В + 2Сх2+
+ 2Сх + Сх + С + 4 Dx3 + 8 Dx- + 5 Dx + D = (8Л + 4D jx3 +
+ ( 12Л + 2C + 8 D)x~ + (6A + В + 3C + 5 D)x + Л + В + С + 0.
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях
буквы х в левой и правой части равенства, получим систему че­
18— 880 273

тырех уравнений первой степени с четырьмя неизвестными А,
В, С и D. Действительно,
при X3
при X2
при л:
при х°
8 = 8Л + 4 D, (1)
О = 12/4 + 2С + 8 D, - (2)
О = 6/4 + В + ЗС + 5D, (3)
7 = Л + В + С + £>. (4)
Решим эту систему уравнений. Вычитая из уравнения (3) уравнение
(4), получим:
5Л + 2С + 4D = —7. (5)
Вычитая из уравнения (2) уравнение (5), будем иметь:
7Л + 4D = 7.
Решая это уравнение совместно с уравнением (1)
получим Л = 1, D — 0.
8Л -{- 4-0 = 8 j
7Л + 4D = 7 J'
Из уравнения (5) определяем С:
Из уравнения (4) находим В:
Значит,
Тогда
5-1 + 2С + 0 = —7, С = —6.
В = 7—A—C—D = 7— 1+G = 12.
8л:3 -f- 7 ____ 1_ 12___________ 6
(х+1)(2х+I)3 _ х + 1 + (2.V +1)3 (2х + 1)2
(* (Sx” + 7) dx С dx i . „ г dx r f dx_____
= 12 Г
J [x+ l)(2x + l ) 3 Jx-f-1 J x 4-1
J (2x + 1)3 J (2x + 1 )2
= ln k + 1 I+ i . ' .6 № .+ J ) ^ i + c -
2 - 3 + 1 2 - 2 + 1
= In I x + 1 !------------------ + — --------+ C.
(2x + l)2 2x 4- 1
Пример 4. Найти
С 9 л:4 — 30 л:3 -f- 55 л2 — 44 х
(Зх — 2)2
dx.
274

Решение. Делением числителя на знаменатель выделяем
целую часть. Напомним, как это делается.
9а'1— 30а3 + 55а2 — 44а
Гр 9а1 + 12а" + 4а2
Итак,
— 18 а» + 51а2- 4 4 *
± 18а" + 24а2 ± 8а
27а2 — 36а
+ 27а2 ± 36а + 12
- 12
9 х4 — 30 а3 4- 55 а 2 — 44 а
(За — 2)2
9а2— 12а + 4
а2 — 2а 4- 3
= а2 - 2л: 4" 3
Множители знаменателя правильной дроби первой степени равные,
поэтому разложение этой дроби на простые дроби примет
вид:
12 А В
(За — 2)а (За — 2)8 + За -
12
9а2 - 12а 4-4
Освобождаясь от знаменателя и приравнивая коэффициенты,
стоящие при одинаковых степенях буквы а в левой и правой
частях равенства, будем иметь:
откуда
т. е.
12 = А + В( За —2),
з в = о, В = 0, А = 12;
12
(За — 2)2
12 _
(За - 2)2
Этот пример показывает, что данную правильную дробь не нужно
было разлагать на простейшие, так как эта дробь является
простой дробью и интеграл от этой простой дроби берется сразу
по формуле (128). Итак,
9 а4 — 30 а3 4 -5 5 а2— 44 а
(За — 2)2
dx= f
2а
(За — 2)2
Пример 5. Найти
dx = ——а3 — а2 4- За 4------- —
3 За—
(5а — 3) dx
J (а— 2)2(За2 4 - 2а — 1) '
4- С.
275

Решение. Разложим знаменатель на множители. 0д:;н
множитель равен х — 2 во второй степени. Чтобы разложить
на множители трехчлен, найдем корни уравнения
Зх2 + 2х — 1 = 0.
— 2 ± У Т Т Т 2 - 2 + 4 . 1 - 2 - 4
ЛГ- --------------л г , - - _ т , * ,----------- I,
откуда
Зх2 + 2 х — 1 = 3 (х — - М ( х + 1) = (Зх— 1) (х + 1 ).
3 #
Разложение в данном случае примет вид:
5х—3 _ А В С D
(х — 2)2(3х — 1 ) (х + 1 ) (х — 2)2 + х — 2 + Зх — 1 + х + 1
Освобождаясь от знаменателя, получим:
5х — 3 = Л |3х— 1 ) (х + 1) + В (х — 2j (Зх— 1)(х + Г) +
+ С(х — 2 )2 ( х + 1) +D (x— 2)а(3х— 1).
Неизвестные коэффициенты А, В, С и D определим из условия,
что данное равенство есть тождество и, следовательно, ему
удовлетворяют любые значения х. В частности, при х = 2 будем
иметь:
откуда
при х = 1 получим
7 = /1(3-2 — 1) (2 + 1) = 15 Л,
Л = — ;
15
2 = (1 — 2)2 (3-1 — 1) = 2D,
D = 1;
при x = g подстановка в обе части равенства даст:
откуда
4 = C/ i - 2 Ï Ï I + l U i “ c,
3 13 М 3 I 27
С — 1 .
25
Для определения В положим х = 0, тогда
276
_ 3 = _ Л + 2В + 4С — 4D.

Подставляя в это равенство вместо A, D и С их числовые значения,
получим:
Значит,
Тогда
В =
5х — 3
3 + А - 4 С + 4D 109
75
109
(x — 2j2 (Зх— 1)(х+1) 15(х— 2)2 ^ 75(х— 2)
9 1
25(3.v — 1 )
ï* (5х — 2)dx 7 i
х + 1 '
*
O CjD
1 dx
J (x — 2)®(3x2 + 2 x — 1) “ 15.1(x — 2j2 75 J\x — 2
dx
15 (х— 2 )
3 ; In I Зх— I I+ In !х + 1!+ С.
109
75 In х — 2 ! —
УПРАЖНЕНИИ
Вычислить интегралы:
r xdx
J (х + 1 )(х -j~ 2) (х— 3)
Отв. — In I х + 1 I — ln !х + 2 1+
4 5
-f | б 1 п |х - 3 | + С.
2.
dx
x1— 13x2 + 36
x5 + x 1— 8
з. f - ü i
.1 г' 4x
x'dx
J (x2 — 1)(x —f- 2)
О тв.— ln
30
dx. Отв. I x:i -1- g x2 + 4x +
-f ln
O t b
x2(x — 2)•'
(x + 2 Y
16,
-1------1n Ix + 2 I+ с.
з 1 1
x — 3 j
——ln x + 2
x + 3 j 20 x — 2|
+ C.
о , 1 . 1 л: —1
■2хҢ-----In ------------
6 I(х+1) з +
+ C.
277

5.
.2z 2 — 5) d z
Огв.
J г4 - 5z2 + 6~~
1
In — V 2
21/2 \Z + V2\
z — 1/3
InX
+ C.
2 j/3 г -f- V 2
+
6. + 1 / , 1 1
, ----------- — dx. О тв.— l n * ------------ -----------------4-
J x[x — l)3 (x— 2)2 x — 1
• k
h
x2dx
x + 2)a(x -f 4)2
-A/'f

Покажем, как нужно вычислить
p , M x ± N _ dx.
J х2 + рх + q
Из знаменателя x- + рх + q выделим полный квадрат:
х2 + рх + q = I x + \ ^ + q = ( х + -Р- \ + ( q — 2-
2 1 \ 4 )
Так как квадратный трехчлен x- + рх + q не имеет действительных
корней и имеет только корни комплексные, то
о2
р2
J— — q < 0 или q -----— > 0.
В силу этого обозначим q — ~ — а2, полагая a — 'jy' q—
Теперь применим подстановку
x + — = z\ x = z — — ; dx — dz.
2 2
Mx + N = M z + [ N — 'Һ I ; X х + px + q — f x + —\
2
Тогда
r
+ I q — — \ = z 2 + a2 .
4
г м , + . ы _ і х „ M r + ! ц _ Щ Г
x2 + +

Решение. Знаменатель не имеет действительных корней
и представляет собой множитель второй степени, который не
повторяется.
В знаменателе выделим полный квадрат
хг — 2х + 3 = (x— I)2— 1 + 3 = (je— 1)2 + 2.
Применим подстановку
[х — 1 ) = г; x — z + 1, dx — dz\ 2 — x — 2 — (z + 1 ) «= 1— z.
Тогда
(2 —x)dx f 1 - 2 , 1 , Z l .i a . n i .o
1 - i . dz = -7;=- arctg —==.-------In | z2+21+C,
J x2 — 2x + 3 J 2 a + 2 У2 /2 2
или, возвращаясь к переменной х, получим:
f (2 — x) dx 1 x — 1 l , , a o , o , o
arctg—-p=---------In Ix2 — 2je + 3 1 + C.
x2 — 2x + 3 V2 \2 2
П p и m e p 2. Найти интеграл
r Зх2 + 5je + 12
3(x2 + 3)(JC*+ 1)
Решение. Знаменатель не имеет действительных корней.
Множители знаменателя второй степени и не повторяются, поэтому
разложение данной правильной дроби на простые можно
представить в виде
3je2 + 5х + \2 Ах + В Сх + D
+ „ . •
(je* + 3)fje2 + 1) х2 + 3
Освобождаясь от знаменателя, получим:
Зх2 + 5jc + 12 = (Ах + В)(х2 + 1) + (Сх + D)(x2 + 3) =
«= (А + С) je3 + (В + D) х2 + (А + 3C)je + (В + 3D).
Полученное равенство является тождеством. Поэтому, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях буквы х в левой
и правой частях равенства, будем иметь:
при X3
при je2
при je
при х°
О = А + С,
3 — В + D,
5 = А + ЗС,
12 = В + 3D.
Решая эту систсму уравнений, определяем:
5 л _ 5 „ 9 „

откуда
Зх2 + 5х + 12 1 5х + 3 5х + 9
+
ix2 + 3)(х2 + 1) 2 .

как данная дробь уже является простой. Нужно лишь уметь
вычислить интеграл от простой дроби. Покажем, как это можно
сделать.
Выделим полный квадрат из выражения, стоящего в скобках,
х2 — 2х + 3 = (х — 1)2 + 2 и применим подстановку х — .1 = г.
х = z + 1,
dx = dz-,
x2 — 2x + 3 = z2 + 2\ З.ү — 2 = Зг + 1.
Данный интеграл преобразуется к виду:
(* (Зх — 2) dx _ з p Г 2dz zdz f ç dz
J (x2 — 2x + 3)2 J (z2 (г2 + 2)2 2j2 + J (za+2)2'
Первый из этих интегралов берется в свою очередь подстановкой
г 2 + 2 = I,
2 zdz — dt,
zdz 3 с d t 3 1 3
(z2+2)a 2 J i2 2 t 2 (z2 + 2)
n C dz
Для вычисления второго интеграла \ ----------- применим подста-
J (г2+2)2
новку
_ \/0
z = V2 tg t; dz =
cos *t
dt,
так что
z2 + 2 = 2 tg*/ + 2 = 2 (1 + \g2t) 2
cos2/
Г dz r V2 cos4/ j . 1
Г _V2cos*/_ dt — _L_ Г cosa t dt —
(.z2 + 2) J 4 -cos2/ 2]2 J
1 1 / sln2A 1 . . .
ш ' 1 1 ~ ) = - m { m cos 1 “
- U , +
4 У2 \ 1 + tg2/
Итак,
(Зле — 2) dx _ r* (Зг + 1 ) ^ _ 3
Тх2 — 2x + 3)2 ~ J (г2 + 2j2 * _ ~~ 2(га + 2) +
+ T T f ( arctgW + + C’
282

или,- возвращаясь к переменной х, получим окончательно:
(Зх — 2 )dx
х2 — 2х + 3 ” 2(х2 — 2х + 3)
4*
3
1
х2 - 2х + 3
Пример 4. Вычислить интеграл
I;
(7х — 4) dx
(Зх2*+ 2х + 5 )г'
+
+ С.
\_
4 /2
arctg:
Решение. Выделим полный квадрат из выражения, стоящего
в знаменателе:
[ \2 i 5
Зх2 + 2х + 5 = 3 х +
Применим подстановку
тогда
3
9
[(Зх + Г 14] =
14
t =
Зх + 1
~ w r ;
14
Зх2 + 2х + 5 = — + 1).
3
Представим числитель дроби в виде
dt
(Зх + 1)а
3 dx
14
Т т Р
7 19
7х — 4 — — (6х + 2) - — ,
• 6 3
+ i
19
—(6х + 2)—-
С_ ( 7х — 4) dx _ j 6 3
J (Зх2 + 2х 4- 5)2 J (Зх2 + 2х + 5)2 dx =
(бх + 2 )dx
d x
- tб îJ (Зх2 + 2х + 5)2 3 J (Зх2 + 2х + 5)2
Первый интеграл берется сразу, как интеграл от степени.
Действительно,
— f —(-6х + 2)dx— = — f (Зх2 + 2х + 5)—2 d (Зх2 + 2х + 5) =
6 J (Зх2 + 2х + 5)2 б J
/2
б(3х2 + 2х + 5)
2ai

Для вычисления второго интеграла, применяя указанную выиі^
подстановку, получим:
19> d х
3 ' (Зх2 + 2х + 5)2
Применим еще подстановку
t = tg z, dt =
dt
(1 ~ P Ÿ
dz
COS“
cos4;:
cos2
dz
19
19 < З2 УІ4 ■ dt
3 ' 3 • 142 J (t2 + l)2
dt
14 У14 J (1 + t2f
1 + t'1 = 1 + tg2,
1
COS“
t
i cos2 zdz = — arctg / + —
J 2 2 (1 + t2)
Итак,
19 dt
19 . 3x + 1
;=- arctg
14J/ 14 J (1 + Z2)2 281/14 1/14
J 9 __ (3x 4- 1)1/14 19
\Ц П Л (9xa + Gx + 15) 281/14
_j_9._ Зх + 1
14 9x2 + 6x + 15
arctg
,> (7x — 4 )dx _ 57x + 68
' (3x2 + 2x 4- 5)2 42(3x3 -f 2x + 5)
19 Зх + 1
arctg , ^
_
+ C.
28 V' 14 I 14
3x -f- 1
I 14
Вычислить интегралы:
1.
284
h
УПРАЖНЕНИЯ
xdx „ 1 . I x2 + 4
Отв. — ln t
(x + 1)(x2 + 4) ' 10 I (x-f 1)
„ c (2x2 —13x — 3 )dx ^ .
2. \ 5--------------------------- . Отв. ln
j (x — l)(x2 — 2x + 5)
. 1 . x — 1 . _
+ 2 ë ~ 2 ~
dz
1
3. Г
Отв.
(z2 + l ) z 2 + 2)’ ' 4 (z + 1 ) V +
2 i x , n
+ — arctg — + C.
b
(x2 — 2x + 5 yt2
+
— arctg x+C.

x :i — 6 , л . x* + 4 3 л:
\ -л , z' о , о dx . Отв. 1п - + — arctg —
3 x4 + 6ха + 8 |'ха+ 2 2 2
3 х „
------------arctg — + С.
У 2 У 2
С хя + 1 , ,, , 1 X
5 \ --------------- ах. Отв. 1п ...
J х(х2 + I)2 j / х 2+1
-- arctgх
1
2(х2 + 1)
+ с .
6-
dx
х3 + 1
Отв. — In
3
х + 1
l'x2 — X + 1
+
1
+ Vf
arctg
2 х — 1
У Г - + С'
(5х2 - 1 )dx
(x2 + 3)(x2 — 2x + 5)
Отв. ln
x2 - 2x + 5
x2 + 3
5 . x — 1 2 . л x . n
+ ? arc,g “ i — Т Г Т Г
8.
r x4 + 24x2 — 8x , 2 2x + 8
î ' (* 3 _ 8 )2 X‘ lD' 3(x-2)+ 3(x2 + 2x + 4)
9 e 4dx
J
+i ln
X4 + 1 '
x — 2
Ix2 + 2x + 4
Отв. —j= ln
/2
i/ q x
+ -g - arctg -
o
x2 + x 12 i/r + 1
x2 — x V2 + 1
^3
+
1
+ C.
+|/2 arctg * Ü L + C.
1—x 2
10.
f --------- ^ ---------- . Отв. - - ln
J (x2 - l)(x3 + 1) 4 X + 1
1
6(x + 1)
2 2x — l r
з Т Ғ
I j ,■ xidx
' ■> i-4 —
Отв. x + — In i —------
4 !x + 1
-------arctg x + C.
2
1 2 .
2x'! 1
x3(xa + l)2 dx. Отв. ______ 1_________
2x2 (x2 + 1)
+ C.
285

§ 36. Интегралы от выражений, содержащих радикалы
Интегралы вида
Интегралы вида )’ R{x, \;ах2 + bx + с) dx
\ R(x, \/ах2 + bx + с) dx, (130)
где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к
интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок
Эйлера.
Рассмотрим несколько случаев.
I случай а > 0. В этом случае можно воспользоваться
первой подстановкой Эйлера:
1 ах2 + Ьх + с = z — x Y а , (131)
или / ах2 + Ьх + с — z + x Va, которая ? позволит привести
данный интеграл к интегралу от рациональной функции. В самом
деле, возвышая обе части равенства (131) в квадрат и решая
его относительна х, получим:
ах2 + Ьх + с — z 2 — 2zx 11 а + ах2; Ьх + 2zx la = z 2 — с;
Ь + 2 Уа:
dx = _
2 ( \!а • z 2 + bz + с \а )
{Ь + 2 ! а • z)2
Остроумие подстановки Эйлера заключается в том, что для определения
х получается уравнение первой степени, так что x, dx
и радикал Ÿax2 + Ьх + с выражаются рационально через z.
Если полученные выражения подставить в (130), то вопрос
сведется к интегрированию рациональной функции от г. Для получения
окончательного ответа нужно положить
П р и м с p
г = \ ах2 + Ьх + с + х ча . (132)
1. Вычислить интеграл
d х
\ х2 — х + 2
Решение, а — 1 0. Применим первую подстановку
Эйлера.
х2 — х + 2 — z — xi х2 — х + 2 — z 2 — 2 zx + х2;
z2 — 2 , 2(z2 — z + 2) ,
х = -----------, dx = -i— -------- ——- dz;
2z - \ (2z — 1) 2
\x2 — x + 2 = z — x — .
г 2 — 2 z2 — z + 2
2z — 1 22 — 1
286

Тогда
d x
Vx2 — х + 2
(z 2 — z + 2) dz
2 z2 — z + 2
. (2г — I)2
2 г — 1 2z — 1
dx
\ -— ------= — - 1п
j г2 — 2 2 /2
г — 1'2~ '
2 + W I
1
/2~ In V2
г + И2
Для получения окончательного ответа нужно положить
+ С.
г = Vax2 + £х + с + x = 1х2— х + 2 + х.
Тогда
d x 1 ,_ | ! x2 — х + 2 + х — |/2“
= -7= ІП
X ІХ х + 2 /2 /х 2- + 2 + х + /2
+ С.
II случай, с > 0. Здесь применима вторая подстановка
Эйлера:
пли
\*ах2 + Ьх + с = zx + !с , (133)
Vax2 + bx + с = zx — le ,
которая тоже позволит привести интеграл (130) к интегралу от
рациональной функции. Действительно, возвышая обе части равенства
(133) в квадрат и решая его относительно х, получим
ах2 + Ьх + с — z 2x2 + 2zx 1с + с;
х \а — z2) = ( 2 V с z — b)x,
откуда
и
2 / 7 -z — b. _ 9 I с -г2 — bz + a Ус dz
А== a - z 2 ' \ a - W ~ '
\ с • z 2 — bz + а / с
\ах2 + Ьх + с
Если полученные выражения подставить в (130), то вопрос интегрирования
сведется к интегрированию рациональной функции
от z. Для получения окончательного результата нужно
будет положить
/ах 2 + Ьх 4 с — ]/ с
(134)
Пример 2. Вычислить
f
/ 2 -
dx
287

Решение, с > 0. Применим вторую подстановку Эйлера:
\'2 — х — х2 = гх + V2 ; 2 — x — x2 = z2x2 + 2 І 2 zx + 2;
(2/2 г + 1)л: = — л:2(1 + z2); х = —
2 ]/Т • г + 1 .
1 + Z2
У г У + г - К Г dz;
(1 + Z2)2
12 — х — х2 = zx + У2 =
/2 • z2 + z— [;2 .
+ 22
Г dx = _ 2 Г ( >'2~. 22 + z — У2 ) dz
J У2_х-х* J (✓2~.г» + г-/2~) ~
1 ; 1+2*
= — 2 І —— — = — 2 arctg z + С.
J 1 + г2
Теперь перейдем к прежней переменной х, полагая
2 = \ 2 - x - x 2 ~ /2 _
х
Окончательно получим:
J
\ Vô—
\2 ~
^
x —
- 2
x2
= “ 2 arctg
х
+ С.
Пример 3. Вычислить
;•
dx _____
х + 1х2 — х + 1
P e in е н и е. И в этом случае с > 0. Применим вторую подстановку
Эйлера:
\'х2 — х + 1 = zx — 1; x2 — x + I = z2x2 — 2zx + 1;
(2 2 - 1)х = (22 - 1) х2/
22— 1 , 022 — 2 + 1 ,
х = -----------; dx — — 2 ------------— ^2;
2а — 1 (z2 — 1)2
откуда
X + 1'х2 — X - f 1 —
2 — 1 ’
dx с — 2z l + 22 — 2
i/2 .
+ / х а — X + 1 ’ І 2 ( 2 — 1)(2 + I ) 2
288

Получили интеграл от рациональной дроби. Правильную дробь,
стоящую под знаком интеграла, разложим на простые дроби:
— 2z2 + 2z
2 = A
z ( z - l ) ( z + l)2
В С _ D
z — 1 z + 1
(z V l ) 2 '
Определяя коэффициенты А, В, С и D по методу неопределенных
коэффициентов, будем иметь:
Следовательно,
+ \х2
dx
= 2 In г
2, В =
T - Î
1
2
1
ln I Z — 1 I
С -
Подставим в полученное выражение
1
D = —3.
2 ( z - l ) 2 (z -f 1) ( z + 1 ) 2
— ln j z + 1 j + —------f- C.
2 2 + 1
}'x* — x + T 1
3
dz =
после элементарных упрощений будем иметь:
dx 3 * f21n
X + Vx2 — х + 1 Ух2 — Х + 1 + X + 1
1
In /х 2 — X + 1 -х + 1
/х 2 — .
1 +1
3 In Vx2 — х + 1 +Х + 1 + с.
Примечание. Вторая подстановка Эйлера применяется
при с 0, независимо от того, будет ли а < 0 (пример 2) или
а > 0 (пример 3).
III с л у ч ай. Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет
различные вещественные корни хх и х2. Тогда этот трехчлен, как
известно, можно представить в виде произведения
ах2 + Ьх + с = а (х—Х)) (х—х2).
В этом случае пригодна третья подстановка Эйлера:
l ax2 + Ьх + с = г (х - хх)
или (135)
|/ах2 + Ьх + с = z (х — х2).
19—880 289

Возводя в квадрат и сокращая на (X—х,), получим уравнение
первой степени относительно х. Действительно,
откуда
а(х—x,) (x—х2) = z2(x—j^)2,
а(х—х2) = z2(x—*i);
— ах., + xtz2 2а(х, — *,) z ,
х — —------------ — ; dx=----------------— az\
z — a (z2— a)2
\ ax“ -j- bx 4 c
a Ut — x2) z
z2 — a
Подставляя найденные выражения в (130), получим интеграл от
рациональной функции. После интегрирования нужно будет выразить
г через х, полагая
2 = ^ах2 + Ьх с
х —х,
С dx
Пример 4. Вычислить интеграл \ ~ 2>х -^ 4 ~ ’
Решение. Квадратный трехчлен х2 + Зх — 4 имеет различные
вещественные корни, поэтому здесь уместно применить
третью подстановку Эйлера.
В самом деле, .г2 + Зх — 4 = (дг + 4) (л:— 1). Поэтому, полагая
будем иметь:
V х2 + Зх — 4 = У (х + 4) (х — 1 ) = Z(x + 4)
(x + 4)(х — 1) = z2(x -I- 4)2, х - 1 = z2(x + 4);
4z2 + 1 , 10zdz , . 5
x — - -------—; dx — ----------- ; x + 4
1 - 2 2 ’ (1 — Z2)2 ' ' 1 - 2 * ’
x + 4) \ x2 + Злг — 4 =
5 5 2
1 — 22 1 — 22 (1
ç _________ dx____________ 102(1— z2)2dz _ 2 ^ + r
^ (x + 4) \/x2-\-3x— 4 ' (1 — z2)2dz-25z 5
/ x2 -b 3 y 4- 4
Подставляя 2 = _ ____ _____ Z_, окончательно получим:
x + 4
Г_________ d x__________ Vл:2 -Ь Здс — 4 i ^ ___
J (x + 4) y**_|_ 3X _ 4 5 7 + 4 ^
290
__ 2 f x — 1 4 C.
* 4 4

Примечание. Можно было бы показать, что I и III подстановки
Эйлера достаточны для того, чтобы осуществить рационализацию
подинтегрального выражения (130) во всех возможных
случаях.
Существует теорема: можно интегрировать всякую рациональную
функцию от х и квадратного корня полинома не выше
второй степени и выразить результат через элементарные функции
(если только в каждом случае знаменатель рациональной
функции мы сумеем разложить на действительные множители
первой и второй степени).
§ 37. Другие приемы вычисления интегралов, содержащих
радикалы
Подстановки Эйлера позволяют во всех случаях решать
вопрос о вычислении интегралов типа (130). Однако примеры Î,
2, 3 и 4 показывают, что подстановки Эйлера приводят к довольно
сложным выкладкам. Вот почему мы считаем необходимым
познакомиться с вычислением интегралов (130) другими
более простыми способами.
Рассмотрим интегралы
Г ( ч- m Г
3 \'a x * T b x V c ' J У 7 + І Г ;
d x с Pn(x)dx
Г ___________ _______________; Г .-_______________
•' (х — а)” \:ах2 + Ьх + с •' г ах2 -f bx -f с
С первыми двумя интегралами мы уже встречались, поэтому напомним
лишь формулы для их вычисления.
d х 1 . 1 . 6 , / „ b с
= ---- 1П I X + ------ + I . / х2 + — - X + ~—
lax2 + bx + с a j 2 а у ' а а
+ С. (136)
где
с d x r dx
\' с + bx — x2 J -, / / , b2\ I ' b ' 2
с + —
4 Г 2
m
л:
m
arcsinb
2
ft2
4
С, (137
Формулу (136) мы получили бы, применяя первую подстановку
Эйлера.
29 i

Iретий интеграл подстановкой х — а —
приводится к интегралу
Г
Я"(^ d Х_
•' Уах2 + Ьх + с
где Р„ (х) — целый полином степени п.
П с Pn[x)d х
Для вычисления интеграла —------- —--------- удобно пользо-
•' \'ах2 + Ьх + с
ваться формулой:
С Рп(х) d х ,,-----------------_
) Уах^+Ьх + с = Q"-'U) 1а*2 + Ьх + С +
+ k ^ у— ..... —, (138)
J Vax + bx + с
где Q„_i(x) — полином степени на единицу, ниже чем Р„(х), с
неопределенными коэффициентами;
К — постоянная.
На доказательстве формулы (138) останавливаться не будем,
а покажем лишь ее применение. Дифференцируя соотношение
(138) и освобождаясь от знаменателя, мы получим тождественное
равенство двух полиномов. Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях буквы х в левой и правой частях равенства,
определим коэффициенты полинома Qrt_i(x) и постоянную
k. Таким образом этот способ позволяет привести интеграл
(138) к интегралу вида (136) или (137).
Пример 5. Вычислить интеграл
р х3 — х — 1 ,
-р г------- : - ---- dx.
j У х* + 2х + 2
Решение. В числителе полином Рп (х) третьей степени.
Следовательно, за полином Q,;-i (х) нужно взять полином второй
степени с неопределенными коэффициентами:
Ах2 + Вх + С.
Применяя формулу (138), получим:
292
С х3 — х — 1 ,_____________
\ i,- , ~ п dx = (Ах2 + Вх + С) 1 х2 + 2х + 2 +
J 1' х2 + 2х + 2
, г _______dx_____
+ J У х2 + 2х + 2 ’

Дифференцируя полученное соотношение и освобождаясь от
знаменателя, будем иметь:
W T 2T T 2 = (2 /Ь + В] УТ* + 2х + 2 +
+ (Ах2 + Вх + С) - — x + - l-= _— + k
а 2 + 2х + 2 V X 2 + 2х + 2
х3 — х— 1 = (2 Ах + В)[х2 + 2х + 2) + (Ах~ + Вх + Ci(a+1)+Æ.
Для определения А, В, С и k приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях буквы х слева и справа:
при x1 1 = 2А + Л, А = — ;
при а2 0 = В + 4А + В + А, В —-------;
6
при а —1=2В + 4А + С + В, С— -- ;
G
при a0 i — 1 = 2В + С + k, k — ~ .
Тогда
С хя — а — 1 , / 1 . 5 1 \ ----------^---------
\ — — — - . г (ІХ = ----А2 ---------X + ----- yS _|_ О + 9 +
J V' Аа + 2х + 2 \ 3 6 б) х *х
1 /• d х
+ Т \
V а 2 + 2а + 2
d а
+ 1 + Vа 2 + 2а + 2 1,
поэтому
а2 + 2а + 2 6
1
1
+ — In А + 1
— 5а + 1) У а 2 + 2а + 2 +
' А2 + 2а + 2 1 + С.
Пример 6. Вычислить \
(За2 - - 5а ] dx
т з — 2а -- А 2
293

Решение. Применяя формулу (138) и выполняя простей
шие преобразования, получим:
И
[Зх2— ox) dx
3 — 2х — х2
Зх2 — 5х
V 3 - 2х — х2
X
+ * )
х + 1
= (Ах + В ) V 3 - 2лГ^“х2 +
d х
У 3 - 2х - х2 ;
А Г з —lx “^ x v _ (/1д, + Д) X
V 3 — 2х — х* / 3 - 2 * — х2 ’
Зх2 — ох = Л (3 — 2х — x2 ) — (Аx + fil (x + 1 ) + k\
3 = — 2 А, А = — —;
2
2Л - А —В, В
19
Тогда
поэтому
0 = 3 А - В + k, k = 14.
г (Зх2— bx)dx , „ . 19 ------------------- .
\ —= -------х + — У з _ 2х — х2 +
J У 3 — 2х - x2 \ 2 2
.•
(Зх2 — 5х) dx
• УЗ - 2х - x2"”
14Î
d x
\' 3 - 2х - x®
d х
x + 1
— ~ —= - = a r c s in --------;
3 —2х—x2 2
(Зх— 19) / 3 — 2х — х2
, . . х + 1 ,
+ 14 a rc s in ------- + С.
Чтобы вычислить интеграл
294
I
d х
(х — а)” Уах2 + Ьх + с ’
(139)

воспользуемся подстановкой
* - а = 1 . (140)
z
Упрощенный интеграл вычисляем по формуле (138).
’ dx
Пример 7. Вычислить интеграл у '[х_ _ \ у ү хъ_ 2 х ^ Т
Решение. Применим подстановку
x - 1 - i .
z
Тогда
d? 1 1 — 2 z2
dx = - — -, x1 — \ = (х — 1)2 —2 = ------- 2 = - —
z2 z г2
,____________ __ V 1 __ 2а
У х2 - 2х - 1 = — ---- — •
z
Подставляя выражения для л;— 1, dx и корня квадратного в данный
интеграл, получим:
Г dx _ ;> d^z__________Ç z2dz
(x — l)3 Ÿ x* — 2x — T f l~ J „ У 1 — 2г2 J V T — 2 ? -
z'z
Таким образом, данный интеграл подстановкой х— 1 = — упрощается
и берется по формуле (138).
Z2^Z , . , _ ,__________ —
9?3 4- К
гг „ с
\
e ûf
-ж ............
d Z
2z*
) іг а ғ -=(Лг + в,м' 2'-! + Л)7г=п
Возьмем производные от полученного соотношения:
— z2 ________ 2 z /С
Уі - 2z2 = А 1 “ 2г* ~ ( Л г + В) ' I l — 2г2 + Т Г — 2г2
и освободимся от знаменателя:
—г2 = А(\ — 2z2) — (Az + B) 2z + К.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы г
слева и справа этого тождества, будем иметь:
при Z2
при Z
— 1 = — 2А — 2А, А
1
4
0 = 2 В, В = 0;
при 2°
0 = А + К , /( = — — .
4
295

Тогда
p zïdz 1 ------------- 1 c dz
J У 1 - 2 г2 4 г !—2г2— 4 J 1 I _ 2г2
r dz 1 ,/—
sv = w= arcsin г K2 ,
J У1 — 2г2 f 2
поэтому
с г2й?г _ 1 ________1 _
J f\ - 9г2 _ T 1 - 2г2 — T v f arCSh1 г + C -
Подставляя вместо г его выражение через х, будем иметь окончательно
1 (х - 1)3Т ? - 2х - Г ~ 4 (.t--l)T 1 ** 2а" 1 “
1 . У2~
arcsin____ + с.
4У2 х — 1
Вычисление интегралов
| Vax2 + bx + с dx.
Интегралы этого вида тоже можно привести к виду (138).
Умножив и разделив подинтегральное выражение на
]/ ах2 + Ьх + с, получим:
с „---------------------- с ах2 + Ьх + с , -
Уа*2 + bx + с dx = - dx.
J J . 1/алг2 + bx + с
Пример 8. Вычислить интеграл
\ Ул:2 — 2х + 2 dx.
Решен и_е. Умножив и разделив подинтегральное выражение
на У х2 — 2х + 2, получим:
С ------------------- , л л:2 — 2л: + 2
3 — 2.V + 2 ) — 2^ + 2 -
Поэтому полагаем
5 У > ^ + 2 = ^ + 5) |;^2- 2 F + 2 +
+ /< г
J Iх X2 — 2л: + 2

Беря производную и освобождаясь от знаменателя, будем иметь:
у2__9 v 4- 2
^
V Л'2 — 2л: + 2
=Л / т « - 2 х + Т + (Л* + В) X
откуда
X
л: --
К
+
/ .v®— 2х + 2 V х2 — 2л- + 2
.v2 — 2л- + 2 = Л (л-2 — 2л: + 2) + (Лл: + В) (х — 1 ) + К.
Определим коэффициенты Л, В и К.
= А + А,
А - Г '
-2 = —2 А — А + В, В =
+ 2 = 2 Л — В + Л,
Тогда
р л:2 — 2л: + 2 , /1 1 , ,--------------------
j , , ^ d x = (— x - - ) | / jk»_2a: + 2 +
Іл х2 — 2л: + 2
d л:
+ 2 1 1; л:2 — 2х + 2
1
(л — 1 ) / х* — 2х + 2 +
+ In 1X 1 + V л:2 — 2л: + 2 + С.
П р и м е ч а н и е: Данный интеграл можно было бы взять и по
формуле XIX.
Действительно,
£ Уж2 — 2ж + 2 eta = J У(я: — I)2 + 1 dx =
(х — 1 ) Ух? — 1х -(- 2 + In
я — 1 + ^ аг* — 2* + 2 + С.
Пример 9. Вычислить интеграл ( У i — 4* — x'2 d.v.
297

Решение. Решение аналогичное примеру 8.
Г /------------------- i' 1 — 4х — х2 ,
1 i' -ds ~
откуда
» (Л* + Я) V I - 4 * - * « " + /( j |Tj-_ 4 ^ ^ T ~;
1— 4x — л2 _____________
Kt^4x-x»~ = Л^ ,- 4jc- ^ -(Ae + B)X
v
■'
_____
v-.
2 ±
:--------«
£ _____ + *
1 — 4x — x2 I' 1— 4x — x2
1 — 4x — x2 = A ( 1 — 4x — x2) — (Ax + B) (2 + x) + Д'.
— 1 = — Л —Л, A==J '
— 4 — — 4A — 2A — B, 5=1;
Тогда
1== Л — 2B + K, K = — .
2
1 — 4x — x2
5 j- dx _ 1
г ___________
(x + 2) / T — 4x - x*' +
2 J / 5 - (x + 2)2 ~ ~2
x + 2
+ 5 arcsin:
+ C.
Данный интеграл можно было бы взять
так как
и по формуле XVIII,
\ Г Г — 4х — ха dx = С / 5 — (x + 2)2 dx.
Результат получится тот же самый.
§ 38. Интеграл от биномиального дифференциала
хт(а + Ьх"У dx
Дифференциал вида
xm(a + bxn)v dx (141)
298

называется биномиальным дифференциалом, где а и b — какие
угодно постоянные, а показатели m, п и р — числа рациональные.
Интеграл от биномиального дифференциала, как показал
великий русский математик П. J1. Чебышев (1821 — 1894), не
всегда выражается в элементарных функциях. Существует теорема
П. Л. Чебышева, утверждающая, что только в трех случаях
интеграл от биномиального дифференциала
выражается через элементарные функции.
\хт{х + bxnfdx (142)
I случай. Показатель р есть целое число.
И с л у ч а й. т -~-— есть целое число или нуль. Интеграл
п
берется подстановкой
а + Ьхп — г. (143)
... „ т + \ .
111 случаи. ----------- + р есть целое число или нуль.
п
Интеграл берется подстановкой
а х -п + b = г. (144)
В этом случае, прежде чем производить подстановку, удобно
представить подинтегральное выражение в таком виде:
Г хт(а + bxn)p d x = f xn+nv{ax-n + b f dx. (145)
Il p и m e p 1. Вычислить интеграл I -— + .... •* dx.
Решение. Приведем данный интеграл к виду (142).
где
Г 1 + \У х dx = Г JK-2/3 (1 + jci/a )Wdx,
J V * J
2 1 1
« » - т , » = Т и ^ - .
Составляя выражение
2
т. 4-1 __ 3 + __^
— т - ’
3
299

видим, что это второй случаи, поэтому применим подстановку
(143)
1 + je'/» = z.
Тогда
Следовательно,
где
— x~2/3dx = dz.
3
j л~2/3( 1 + л-|/3 )Т dx = 3 J г,/2 dz=- 3 — z3/2 + С =
= 2(1 + je1/J )3/2 + С.
dx
ГІ р и м e р 2. Вычислить интеграл \ —
• х* I7 1 + х2
Решение.
d х
p - - j * - 4(l + x2) 2 dx,
Составляем выражение
m — — 4, n — 2, p = —
z
tn_ + 1 _ — 4 + 1 _ _ 3
n ~ 2 2~'
Очевидно, что II случай здесь не имеет места, так как составrn
+ 1
ленное выражение—---------не является целым числом. Посмотп
т + 1
рим, не будет ли зд есь ------------4 р целым числом?
п
-4 + 1
9
— = -2.
2
Да, составленное выражение оказалось целым числом, поэтому
интеграл от данного биномиального дифференциала будем
брать по формуле (145), применяя подстановку (144).
J je-4 (1 + х2)-УЧх = [ je-5(x~2 + \)~^dx;
je-2 + 1 = z; — 2je~3 dx = dz; x~- — z — 1.
I х-Ң х-2 + l )-'/2 - w d x = (Z - l)2->/2* :
I
— Z3/2 - 2z1/2
3
+ C.
3U0

Возвращаясь к переменной х, получим:
1 2 (1 + л-2)3/2 _ 2 (1 + x 2)'!2 1 ( 1 + х 2)?/*
1 =
3 (г8)3'2 (*2)|/2
3x2vl + x2)'/2 _ м j. „2и/2 Зх2 — 1 — х2 _ (2л:2— 1) V 1 + х2
+ —
= (1 + х2)1/2
Зх’
Зх3
Зх:1
Итак,
dx_____ __ (2л2— 1) V 1 + х 2
хх 1 + х 2 З х 4
, г
Пример 3. Вычислить интеграл (*— = = = .
Решение.
dx
і Ғ Г т 7 = К (1 + x * f 4 dx.
m = 0, n — 4, /? = ------- .
4
Составим выражение
m + 1 0 + 1
n 4 4
Имеет место III случай.
0 + 1
m + L + - ■ ■ _ j _ = 0
n P " ' 4 4
\ х° (I + х4) 1t/i — \ х~г(х~4 + 1) 4 dx.
Применим подстановку
__\_ к-1 . jç-4 _
X-4 + 1=2,^ JC—1(x-t + 1 ) 4 dx = J ■ (Х-4 + 1) 4 x d x =
d z
Применим новую подстановку
тогда
V z — i; z = t*; dz — Afidt,
1 . dz _ j- t~dt
.1 77~L n \4/ ; .'
4 • (z — 1 ) V z t 4 — 1
301

Разложим правильную дробь на простейшие:
t2
А
В
/4- 1 t + 1 / — 1
+
Ct + D
Определяя А, В, С и D по методу неопределенных коэффициентов,
получим:
.4 = - —, В ~ — , С = О, D — —.
4 4 2
— Г ---------= t%dt — 1 Ini
•W4— 1 4
^ - -![-----— arctg/ + С.
t - Il 2
Возвращаясь к переменной х, будем иметь:
t = V z , z = а ~ 4 + 1, t — \y х~* + 1
■ dx 1 i V_ 1 + х 4 + д: !
\ ,/ — = — ‘11
V/ 1 + х * 4 i \У \ + х* -~ х !
\У\ + X*.
X
\ У \ + X 4
— arctg
2 х
-I- С.
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы:
dx
1.
Подстановка \/ i н- x -f-x2 — z — x
J ( 1 + x) I71 + а + х 2
Отв. ln
ч,
х + VÏ + х + х2
2 + x + Kl + х + х^
d х
( 1 + x) V 1 + х — .
+ С.
Подстановка У
„ 0 1 + X + І 1 + А — А2
Отв. — 2arctg----------------------------+ С.
х — л = az
3.
Г d х _____________
J {х — 2) Подстановка у _ 3 + 4х - *2=
Отв. In X
м
Z X — 1 — / з — A I
+ С.
! x + 1 + / 3 — А 1
= 2 (3 — х).
(а + 1) dx
—
(2а + а 2) У 2а + А2
' Подстановка У2х + х2 = 2а.
1

— V \ + X + x*
5. f _ L r
J X V \ + x + x2
dx. Подстановка V1 + x + л2 == xz + 1
Отв. ln X 1 2 + х~ 2 1 1 + х± ? - \ + С.
dx
І a
6.
+ bx2
+ Ç-
x2 \'a + bx2
ax
Юл1/* — 16
7 ■ \ V x (2 + \Уx2)'!• dx. Отв.
2 + \У x2 + С.
15
8
8- j \ / ( l + x'/‘f dx. Отв. ^ (7/л -4 ) (1 + Va: )'/. + C.
У. Г x- ( 1 + x2)‘/‘dx. Отв. |jl( + x*/l/. — -§*(! + x2)V‘ +
+ ^ ( 1 + x2)‘f• + C.
10. \ л-2 (a + xa)--,f»dx. Отв.
!!■ \ ІЗх2 — Зл + 1 dx.
Отв.
Зл3 + 2x
2 a2x(a + x3)'/
1
+ C.
+ 8 УЗ
ln
УЗ (2л— 1) + І Зл2 — x + 13 + С.
(Зл— 1 )dx ---------------------
а' , ,5' , тГ- Отв. 3 /л 2 + 2л + 2 —
л2 + 2л + 2
13.
Л2 + X + 1
УТ\г2Т У Т ~ 4
- 4 In [ л + I + /л 2 + 2х + 2] + С.
с(л.
Отв.
1 7
— Л — -Г
2 4
/ —л2 + л + 4
14.
^л3 + 2л2 + х — 1
/ л* + 2л
31 . 2л — 1 п
+ — arcsin — г==— + С.
/17
dx.
Отв. []-х2 + — x + -M X / л2 + 2л — 1—
\ 3 6 о /
— 2 ln Iл + 1 + V' л2 + 2л — 1 + С.
303

§ 3 9 . Интегралы вида \ Л(&1йж, cos x) dx
Интегралы вида
^ ^ (sin x , cos x)dx, (146)
где R — рациональная функция, можно привести к интегралу
от рациональной функции путем введения новой переменной
Найдем dx и выразим sin х и cos х через z.
Из тригонометрии известно, что
z = tg y . (147)
= arctg г, dx = 2d-Z- --. (148)
2 1 + г2
о • х х
sin X = 2 sin — cos —,
2 2
X
X
COS x = cos2x ---------sin2 -.
2 2
„ . X X , X
Выразим теперь sin — и cos — через tg — .
2 2 —
отсюда
, л; 1 1
s in — =
2 ~SCJ Y 1 + ctg2 'V
x
tg -Ô-
X 1
/
V + t g 2
COS
l / l + t g 2^- 2 sec у l / 1 + 1g2 y

или, принимая tg — = г, получим окончательно:
2 г
sin х = ----------г , (149)
1 + z 2
cos х ■
1 - z2
1 + z2
Пример 1. Вычислить интеграл
(1 + sin x)cl х
J sin х( 1 + cos х)
(150)
Решение. Применяя подстановку (147) и выполняя необходимые
преобразования, получим
('* (1 + sin л-) dx
] sin х(\ -f cos 4)
{ î ( 7 + 2 + 2) ^ ,
= — ln
2
tg x
2 z
1 + z 2
1
2z
1 +
2 dz
J + J ____Wl 4- »2
1 + z2
~2
In [z I + — + 2z
2
)(1 + z')
+ С
d x
Пример 2. Вычислить интеграл 1 -------—-—~ —— -
J jC S 1П X -г- 6 COS X —j—4;
Решение. Применим подстановку ( 147) :
dx ? 2 dz
f
- f
J 2 sin x -j- 3 cos x~\~4
2z
1 + Z2 1 + z2
= 2
d z
4z + 7
- 2 .(
d z
2
4 )0 + *V-
+ 2
(г + 2)2 + 3 y j 3rCtg / З +C
t g T + 2
arctg
У з ' " " ° 1 3
+ C.
d x
Пример 3. Вычислить интеграл j 4 —~x f 3 sin x .
20 -880 303

Реш ение.
\
ci x f 2 dz
5 — 4 cos x + 3 sin x \ ( j 22s /5 _ 4 . * — z2 1 6z
Г* dz 2 (1 d 2
\ 9z2 + 6г + 1 “ 9 1 \ г2 + — г + -1-
) 3 9
' 1 ’ ’ 1 + 22 1 + 22
■ 2 (
dz
9 \
K - i ï
9|г+{)
-|- C — --------------—-------—— 1- C —
9(,gi T
3[l+3tg^
c .
Указанная подстановка, как правило, ведет к длинным вычислениям,
а поэтому прибегать к ней следует только в крайних
случаях. Рассмотрим некоторые частные случаи, когда выкладки
могут быть упрощены.
1. Предположим, что Æ(sinx, cos х) не меняется при замене
sin х на —sin х и cos х на —cos х. Так как
sin х = cos x • tg x,
то i?(sinx, cos х) оказывается рациональной функцией от cos х
и tg x и не меняется при замене cos х на —cos х, т. е. содержит
только четные степени cos х. Для приведения интеграла
j R (sin x, cos x)dx к интегралу от рациональной дроби нужно
применить подстановку
Тогда
и
tg x = 2. (151)
x = arctg 2
dx = — —— . (152)
1 + г 2
cos,Jx = --------= 1 1
sec2x 1 -f tg2x
cos2x = ----- '----- . (153)
1 + г 2 v '
Итак, если R(sinx, cos x) не меняется при замене sin х на
—•sin x и cos x на —cos x, то интеграл (146) приводится к инте-
306

гралу от рациональной дроби при помощи подстановки z*=tgx.
Рассмотрим несколько примеров, позволяющих применить указанную
подстановку.
, г"> d х
Пример 4. Вычислить интеграл \ ------„----------------•
•' a c o sx + b sin -x
1
Решение. В данном примере /?\Sin x, cosx' = acos2x+bsin2x
не изменится при замене sin х на —sin х и cos х на —cos х.
Поэтому для вычисления данного интеграла применим подстановку
Z — tg X.
d x
i* _____d x______ ç rns2x i’ dz
->a cos2* cos2x + b sin2x sin2* •'a -\-b tg2x • a + bz2
= arctg Х ^ У ^ -tgxj + C .
I ab
dx
Пример 5. Вычислить интеграл ^ 5~-|_cos2x
Решение. Применим подстановку z = tg x.
Тогда
.
dx =
dz
------------,
„ 1
cos\v = = -----------;
1 + г 2 1 + z 2.
r dx r dz ? dz
■ 5 4 -cos2 x • (, + г і ) / 5 _|-------- !----- \
\ 1 + г* /
5za + б
arctg \ / — z-\- C = - arctg ( V — tg x ] 4 - C-
V30 УG ]/3Ô \ V6 1
Примечание. Этот же интеграл можно вычислить иначе.
dx
Г dx _ Г dx _ dx _ Г cos2#
J 5 -fco s2x J 5(cos2a- -f- sin2a;) + cos2a- J 6cos2a;-j-5sin2æ J 6 + 5 tg V
= i b w = k arctg V I z+ c= щ arctg ( / 1 H +c ■
где e = tg x.
307

Предположим, что 7?(sinx, cosx) меняет лишь знак при замене
sin х на —sin х. В этом случае функция
/?(sinx, cosx)
|sin X
не будет меняться при указанной замене, так как при замене
sin х на —sin х числитель и знаменатель будут оба одинакового
знака (отрицательны), т. е. функция будет содержать только
четные степени sin х. Для приведения интеграла
\ R(b\nx, cos x)dx к интегралу от рациональной дроби достаточно
будет применить подстановку z = cos x. (154)
Итак, если R(sinx, cos х) при замене sin х на —sin х меняет
только знак, то интеграл (145) приводится к интегралу от рациональной
дроби при помощи подстановки z = cos х. Аналогично
можно было бы показать, что если R(sinx, cos х) при замене
cos х на —cos х меняет только знак, то интеграл (146)
приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи
подстановки z = sin x.
Пример 6. Вычислить интеграл
cos x
Решение. Функция /?(sinx, cosx) = --------------------при
sin x — cos2x
замене cos х на —cos* изменяет только знак. Действительно,
— cos* cosx
slnx—(—cos x)2
s in x — cos2x
поэтому для вычисления данного интеграла применим подстановку
z = sin х.
Тогда
dz = cos xdx, cos2 x = 1 — sin2 x = 1 — z2.
Выполняя подстановку, получим:
cos xdx
sin x — cos2 x
dz
- [ - 7 - 1
In I ^ + » - ^ 5 + r = — j— In j 2 s m * + l — V'jj I 4- С
V 5 ! 2z+ 1-f K5 v 5 I 2 sin x + 1 + V 5 I

Пример 7. Вычислить интеграл
Решение. В данном примере R (sin x, cos х) =
= —R(—sinx, cosx). Применяя подстановку z = cos х и выполняя
соответствующие преобразования, будем иметь:
dz = —sin xdx, sin2 x = 1 — cos2 x = 1 — z2.
sin xdx
2 cos x -f cos2 x + 3 sin2 x
- Î
d z _ 1 r*
2га — 2z — 3 ~~ 2 J
2
1/7
2
1 , K 7
1
+ c “ 2 V T ln
d z
J 2 z-j-z2 + 3 — Зг2
d z
. - 1 . -
2 ,
2 cos x
_7
4
1/7 — !
2 cos x + V l — 1
+C.
2 2
Пример 8. Вычислить интеграл
cos2x ,
------- d x.
J sinGx
Решение. При замене sinx на ■—sinx и cosx на —cosx
выражение У?(sinx, cosx) не изменяется. Применим подстановку
г - tg x, dx = ——— , cos2x ■
6 1 + z 2
\ ^ d x = f
J sinGx J
OZ-'
1
+ C =
Зг3
Вычислить интегралы:
dx
' h cos2x—b sin2x
dx
3 cos2x -f 4 sin2x
(1 -f z2)3 dz
(1 + z 2)(l + z 2)z';
1
УПРАЖНЕНИЯ
Отв.
Отв.
1
+ г : 2 ’ s m ^ x —
i±
(* (1 + z2) dz
1
5 tg5x 3 tg:i x
J __ i !Y a cos x -(- Y b sin x j
+C.
2 Vab ! y a cos x — } b sin X
C.
1 2 tor лг
r arctg — + C.
2 У З “ УЗ
3 . f d*. Отв. — 1-=^ ln 1УУЗ З cos x + sin x | + c
J 3 — 4sin 2x 2 У 3 У 3 cosx — sinx
1
309

2 t g £ +
d x
Отв. arctg
— + C .
1 J f - І5 Г+ Г sin x + 3 cos x
1 15
V 15
x
2 2 [g , f 1
d x
---------—• Отв. —= arctg------= :---- +C.
M ; 1 cos^ x -f sinx cos jc-{-sin2jc v 7 У 7
6.
r* sin xdx
J 1 + sin л:
Отв.
1 + tg
2 arctg ( tg — ] + C .
cos xdx
. Отв. 2 arctg ( tg — J — ln
I- cos x \ 2
+ C.
8.
i -----------— — — . Отв. —^=- arctg
J 2 sinx + 3 cos x + 4 * ]/3
2 + tg
1/3
+ C.
9.
î
1 + t g x 1
- dx. Отв. — tg A'
sin 2лг 2
2
ln i tg x j C.
10
cos xdx
•iJ sin’x — cos°x
Отв. ln
|/3 .
..— arctg x
ly tgx
У tg 3 x + t g * + 1
2 tg X + 1 + C.
11 l - . О т в .-----J = ln |c o sx У2 -f- \ 2x I + C.
.) rcos2x V2
3 cos x -f- 4 sin л: 23
12 f
dx. Отв. — x
J 5 cos x + 2 sin x 29
13 j
J
H
. f
sin2x cos ‘•xdx
(sin3x + cos3x)2
(cos x + sin x)dx
sin 2x
( ТВ.
\4
In I5 cos x+2sin x |+ C.
29
3 (tg3 x + 1 )
. Отв. arccos У2 sm si
+ C.
Указание. Числитель представить в виде У2 cos ( —-----x ).
C.
а знаменатель У sin 2х —
/ cos 2х
310

§ 40. М етод приведения
Формулы приведения выводятся методом интегрирования по
частям. Посредством полученных формул приведения данный
интеграл представляется в виде суммы двух членов, из которых
один не содержит знака интеграла, а другой есть интеграл того
же вида, что и первоначальный, но только проще его. Сущность
этого метода поясним на примерах вычисления некоторых интегралов.
, „ с dz
Пример 1. Вычислить интеграл j (z2~~4~~k2^ '
Р е ш е н и е .
dz k2dz 1
J

Вынесем в правой части равенства интеграл
скобки и получим окончательно
Г ___ dz 1
J (г2 ± k2)n ~ ± k2
2 л — 3
2/г — 2 (22 + ft2)n- ‘
d z
2« — 2 J (г2 + ft2)"-1
dz
---------------за
J (г2 ± ft2)"-'
+
+ С. (155)
Полученная формула называется формулой приведения.
В правой части равенства находится интеграл того же типа,
что и данный, но с показателем на единицу меньше. Повторно
применяя эту формулу, мы приведем вычисление интеграла
f dz f dz
\ к интегралу \ ----------- .
J (г2 ± k2)"
J г2 ± k2
dz 1 г . (* dz
---------- = — a r c tg ------f- С; \ —------
z2 + k2 k h k ) z2 -
Пример 2. Вычислить интеграл
Реш ение.
(x -f- 1) dx
J (л-2 + * 4 - l )2
Г ( д : 4 - 1 )dx (x 4 - I ) dx
1Ta v
ln
z — k
2k I z + k 4 - C .
+ 7
Применяя подстановку x-\-----= z, x = z --------, *4-1=24------
2 2 2
3
dx — dz и полагая для простоты выкладок — = к1, получим:
Г (x+ \ ) d x
}(х 2 + х + l )2
г +
ï ] d z
{■Z2 + k y
zdz
+ 1 Г dz
Первый интеграл легко вычисляется:
г = i e (z2 + k2r 2 d (г2 4- k2) = -
J (z2 + k2,2 2 )
1
2 (дг2 4- * 4- 1 )
1
2 (г 2 + *п
зі:

Второй интеграл найдем по формуле (155):
Г dz 1 Г 1 * , 4- 3 ( dz 1
J (z2 4-k 2,2 ~ k2 4 — 2 z2 + k2 1 4 — 2 J z2 + k2
1 2х + 1
3 | 2 2
1 . 1 2 t 2х + 1
^ + Т + Т + У ’ 7 f g ~ 7 г Г ~
^ (х + 1)dx
1
4 . J _ 2Л + 1 .. +
Л*2 + л: + I)2 2(л:2 + л: + 1) Ь х2 + х + 1
+ с .
2 КЗ x 2х + 1
4 - - - arctg — г+ —
+ 9 ІЗ
С =
х — 1
+
3 ( * ’ + * + 1)
2 іҢ
+ — arctg 2 x + l + с.
9 “ V3.
Пример 3. В ы ч и с л и т ь интеграл ^ s'mnxdx, где п—целое
положительное число.
Решение. Принимая и = sin'1-1* и dv = s'mxdx, интегрируем
по частям.
j" sin" xdx = — sin”-1 x cos x + (л — 1) ^ sin”-2 x cos2xdx =
— — sin"-1 x cos x 4- (л — 1) f sin"-2 x (1 — sin2 x) d x =
= — sin”-1 x cos x 4- (n — 1) j sin"-2 xdx — (л — 1) ^ sinnxdx.
Перенесем последний интеграл в левую часть равенства и разделим
на п:
„ , sin,i_ ' X • COS X , л — 1 Г , „ О ,
s\nu xdx = ---------------------------1------------ \ sin”-2 xdx. (156)
Эта формула приводит интегрирование дифференциала sin” x:d*
к интегрированию дифференциала того же типа, но с показателем
степени на две единицы меньше. Повторно применяя эту
формулу, мы приведем разыскание интеграла
\ sin “xdx к одному
из двух интегралов: \ dx или [ sin xdx в зависимости
от того, является ли п четным или нечетным числом.
313

Вычислим интеграл ^ sin6 xdx при помощи только что установленной
формулы.
^ sin0 xdx = —
sin" x cos x
6 ~
-\-----\ sin* xdx =
sin° X COS X sin3 x cos X
“Г sin2 xdx
4 4
sin" XCOS X
6
5 . ,, . 5
— Sin3 X cos X-------sin X COS x H------ X
24 16 16
Пример 4. Вычислить интеграл \ ----------- dx.
J cos x
Реш ение.
Полагая
a — sin"-1 x;
sin"x
cos”*x dx
f sin'1” 1x d (cos x)
cos'" x
du = (n — 1) sinn_2 x cos xdx\
dv = d (CQS x) = cos- ”*x d (cos x); v—
r s sin x dx = —
J Ci
j* sin” x
.) cos”1*
C o s~ m + lx
— m 4- 1
sin " - I
n — 1 с sin п-2
(— m-f- 1) cos'"-1 m-f-1 J cosm-2x -dx
1 sin n—1
m — 1 cos" m 1 COSm-2X
dx (157)
при m ф 1. Эта формула приводит интегрирование дифференs
i n w x
циала ------------dx к интегрированию дифференциала того же
COSm X
типа, но с показателем степени на две единицы меньше. Приведем
без вывода еще несколько формул приведения:
fcos"xdx=
s i n
X
dx
sin” x cos x
sinx cos га—1
n
n — 1 г
+
n J
cos"-2 xdx,
n — 1 f cos'1-2 X
dx, ( 159)
( m — 1 ) sinm-1 x m — 1 J sinm 2x
f
^ tgn x d v =
dx
sinn~- xcos"1x
+
t g " - 1 x
----- Y-----l| tg"-2 xdx.
d x
sin xcos m—2
(158)
, (160)
(161)
314

УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы:
COS4 X
1.
-dx. Отв. —
sin2 X
cos3x 3x 3sin2x
sin x 4
C.
2.
sin4 xdx
cos3 x
Отв.
sin3x
2 cos2x 2
3 sinx
cosr,x
sin'x
dx. О т в .-------^-------2 sin x + — sin3 x + C.
sinx 3
4.
sinr>X
-dx.
cos3 x
Отв. 2 ln Icos x j -f-
2 cos2x
cos2x + C.
5.
dx
sin2xcos3x
sin X
------------1----- 1 I 3 In
2 cos2x sinx 2
G.
7.
dx
О тв.------ clg2x + 3 ln !tg x I +
)sin3xcos5x 2 ' 2
+ 1 tg4x + C.
4
dx. Отв. — tg7 x + C.
cos8x 7
tg2x
8 .
sin4X
sin3 x , 3 sin 2x
dx. Отв.-----n x ,
+ C.
cos2 x 2 cos x
9. \ tg5xefx. О т в .-------ig2x -|------tg4x — ln |c o sx | + C.
J 2 4
10. tg3 xdx. Отв. — -i- ctg3 x + ctg x + x + C.
dx ~ 1 cosx , 3 ,
-. Отв. ------- — ------------- h — ln
cosx 2 sin x 2
tg + C.
1 2 .
dx
sin-1x
Отв.
cosx . I ,
------------- 1----- ln
2 sin2 x 2
tg -j- c.
3 1 5

§ 41. Формулы для справок
Аналитическая геометрия
1. Расстояние d между двумя точками
d = М (х2 — Xjj2 + ( у2 — у х)2 ,
(Х|, ух), (лг2, Уг) — координаты точек.
2. Координаты точки (х, у), делящей данный отрезок в дан
ном отношении X:
*1 + **2. _ У\ + Ці
j 7 У
1+Х 1 + \
где (Х\, ух) и (х2, Уі) — координаты концов данного отрезка.
3. Площадь треугольника, вершины которого лежат в точ
ках (xt, ух), (х2, у2), (х3, уз).
S = ± у [ ^ і ( г / 2 — Уз) + хг(Уз — Ух) + ха (Ух— Уі)}.
4. Формулы перехода от полярных координат (р, ф) к пря
моугольным декартовым координатам (х, у):
X = р COS ф,
у = р s in ф.
5. Формулы перехода от прямоугольных декартовых коор
динат точки к полярным:
Р = / x* + у2,
* У
Ф = arctg — ,
л:
6. Расстояние d между двумя точками (рА) «Рх ) и f Р2>Фг) :
d = ^Рі + pi — 2pjp2 cos (% — срх) .
7. Различные виды уравнений прямой:
1) Ах + By + С = 0 — общее уравнение прямой;
2) x cos а + у sin а — р — 0 — нормальное уравнение прямой
3) у = kx + b — уравнение с угловым коэффициентом;
А Х , У 4)— ; — = 1 — уравнение прямой в отрезках;
а Ь
5) У — У\ — k(x — Хх) — уравнение пучка прямых;

6)^— = —— *1----- уравнение прямой, проходящей че-
Уъ Уі Х2 *1
рез две точки.
fo __
Ю. tg ъ = —------— , q — угол между двумя прямыми.
1 V s
11. = Қ2 — условие параллельности двух прямых.
12. Ки Kl = — 1— условие перпендикулярности двух прямых.
13. Расстояние d точки (х\, у {) до прямой Ах + By + С =■=0:
_ I "4-^1-1~ ВУі 4~ С
~ I " (/Л2 + В2
14. Уравнение окружности радиуса с центром в точке
(а, Ь)\
(х — а)2 4- (у — b)2 — R2.
15. Уравнение касательной к окружности в точке (*,, у i):
(.х—а) (xt—a) + (y—b) (уі—Ь) = R2.
16. Уравнение окружности в полярной системе координат:
Р2 + а2 — 2ар cos (ср — а) = У?2,
(а, а) — координаты центра окружности радиуса R.
17. Параметрические уравнения окружности радиуса г с
центром в начале координат:
18. Уравнение эллипса
х = r cos t,
у — r sin t.
19. Касательная к эллипсу в точке (*ь у i):
20. Эксцентриситет эллипса
x x i i УУi _ !
а2 Г b2
2 с с i/а*— b2

21. Уравнения директрис эллипса:
а
х = ± — .
е
22. Параметрические уравнения эллипса:
23. Уравнение гиперболы:
х = a cos t,
у = b sin t.
— — У- = 1
а2 Ь2
24. Уравнение равнобочной гиперболы:
х2 — у2 = а2.
25. Уравнение касательной к гиперболе в точке (х\, у
XX1
А2
, f/t/l = J
Ь2
26. Эксцентриситет гиперболы
2с с ^ +
е = — = — = ------ 1— _ > 1.
2а а а
27. Уравнения директрис гиперболы:
х — ± - - .
е
28. Параметрические уравнения гиперболы:
.v = a ch t,
у — b sh t.
29. Уравнения асимптот гиперболы:
, b
у = ± — x.
а
30. Уравнение параболы, отнесенное к вершине:
У2 = 2 рх.
31. Уравнение параболы со смещенной вершиной:
или
ІУ—Ь)2 - 2р(х—а),
(х—а)2 = 2 р(у—Ь).
318

32. Уравнение директрисы параболы
33. Эксцентриситет параболы
е = 1.
34. Уравнение касательной к параболе уг — 2рх в точке
(*ь У i): УУ\ = P(-v + *0-
35. Преобразование координат:
1) параллельный перенос осей координат
х = а + х',
у = b + у',
где а и b координаты нового начала;
2) поворот осей координат
x — x' cos а — у' sin а,
у — x' sin а + у' cos а,
а — угол поворота новой системы координат относительно
старой.
36. Общее полярное уравнение кривых второго порядка:
р = j— - — •
1— e cos ср
а) при е < 1 будет эллипс;
б) при е > 1 будет гипербола;
в) при е — 1 будет парабола.
37. Уравнение спирали Архимеда:
г = flop (а — положительное число).
38. Уравнение гиперболической спирали:
гф = а (а — постоянное).
39. Уравнение логарифмической спирали:
г = aeh? ,
а и k суть положительные постоянные.
40. Уравнение кардиоиды
г = 2а ( 1± cos ф ) .
41. Уравнения циклоиды в параметрической форме:
х — a(t — sin t),
у = о ( 1— cos t).

1. Замечательные пределы:
Дифференциальное исчисление
sin х .
а) пред------- = 1;
х - > О X
.. arcsin * ,
б) п р ед ----------- = 1;
Һ- 0 х
в) пред ( 1+ —Y*= е as 2,71828182...
п
1
г) пред [ \ + х ) * = е .
х - О
2. Формулы перехода от натуральной системы логарифмов
к десятичной системе и обратно:
lg N = 0,43429 ln N;
ln N = 2,30258 lg N.
3. Производная функции y = f(x):
Д y f [x + Д x) — fix) dy ,
пред — = пред -------— - 1-— ' = - f - = y ;
a.ï -►о ^^ д .v -+■o Ax dx
y' — угловой коэффициент касательной.
4. Формулы дифференцирования:
1) (С)' = 0 (С — постоянное).
2) ( * ) ' = 1.
3) (и + v — w)' = и' + v' — w’.
4) {uv)' — uv' + u'v.
ail —
V
и Y
vu' — uv’
6) (û“ )' = a" ln a • u'.
7) (e “)' = e “• u'.
8) (ln u )' = — - u'.
9) (uHY = nun~1
320
~ 2 ^ ü

11 ) (sin и)' — cos и • и'.
12) (cos «)' = — sin и • и’.
13) (tgM) ' = — l— -и'.
cos
14) (ctg ч ) '= ------ — • «'•
Sin^H
15) (arcsin иу = у -— == • и'.
16) (arccos и)' = — y - . L - -g • и'.
2
или
17) (arctgtt)' - - 1 — • и'.
1 + иг
18) (arcctgw)' = - • и'.
1+ и1
5. Дифференциал функции у = f(x):
dy = f'(x)dx,
dy — y'dx.
6. Некоторые формулы дифференциалов:
1) de = 0.
2) d(x) = dx.
3) d(u + v — w) = du + dv — dw.
4) d(uv) = udv + vdu.
_ . u \ vdu — udv
5) d — = -------- -------.
v ) v-
6) d(xn ) = nx '~] dx.
7) d{ax) = ax \nadx.
8) d(sinx) = cos xdx.
dx.
9) d (arctg x) = I 1 — x2
10) /(arcsin x) = ~j" -—^ dx

7. Дифференциал дуги кривой у = f(x) :
1) ds = 1(dxf + (dy/2 = y i + y ' 2dx:
2) d s = y P2 + (^ г ) СҺ — 0 полярной системе координат
( p = / ( ? ) ) ;
3) ds = /(x’)2 + [y'tfdt. Кривая задана параметрическими
уравнениями:
* = î(t)
у = ф(0-
8. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
y = f(t)\
х = ср (t).
, dy f (t) dt f'(t) y
Ух
dx cp' (t) dt cp' (t)
или
У xx ■
Ух:
x't Уи - y't x"tt
(КУ
dxd2y — dyd2x
(dx)3
9. Уравнение касательной к кривой у = f(x) в точке (х, у):
10. Уравнение нормали:
Y - y = ^L(X-x).
dx
Y— у = - — {Х — х).
dy
11. Кривизна кривой у — f(x).
k -
lf ;i + ^2)3/2 ■
Радиус кривизны
n 1 (1 + У ' 2)312
R k ~ y"
12. Производные высших порядков для функции y — f(x):
f'(x); f'(x); /

или
dy. d2y _ d y
dx ' dx2 ’ ' ' ' ’ dxn '
13. Формула Лейбница для функции у — uv:
n .

ЛИТЕРАТУРА
Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. [, М.—Л., ГТТИ, 1952
Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления,
М.— Л., ГТТИ, 1951.
Лузин H. Н., Интегральное исчисление, М., «Высшая школа», 1960.
Хинчин А. Я., Курс математического анализа, М., Гостехиздат, 1957.
Толстов Г. П., Курс математического анализа, т. I, М., Гостехиздат,
1957.
Поссе К., Курс дифференциального и интегрального исчисления,
Лейпциг, 1923.
Немыцкий, Слудская, Чернов, Курс математического анализа,
М., Гостехиздат, 1957.
Гнеденко Б. В., Очерки по истории математики в России, М.— Л.,
Гостехиздат, 1946.
Г у р н о в В. К-, Курс высшей математики, ч. II, под редакцией проф.
Волкова Д . М., Л., ВҚАС, 1955.
Феликс Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии
и др., М.—Л ., ОНТИ НКТП СССР, 1937.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора ........................................................................................................................5
Стр.
Глава
I. Понятие об интеграле и его приложения
§ !. Основные задачи интегрального исчисления и неопределенный интеграл....................................
....... ....................................................................................... 5
§ 2. Основные свойства неопределенного и н т е г р а л а ........................................ 9
§ 3 Таблица основных интегралов................................................................................10
§ 4. Неопределенный интеграл и задача об определении площади. 12
§ 5. Определенный интеграл, как предел суммы................................................15
§ 6. Связь определенного интеграла с неопределенным . . . . 21
§ 7. Формула Лейбница— Н ь ю т о н а ................................................................................24
§ 8. Основные методы и н т е г р и р о в а н и я .................................................................. 29
М етод непосредственного и н т е г р и р о в а н и я ........................................29
Интегралы, приводящиеся к ф о р м у л а м ................................................31
Интегралы, приводящиеся к ф о р м у л а м ................................................35
Интегралы, приводящиеся к ф о р м у л а м ................................................37
Упражнения . ................................................................................................40
§ 9. М етод подстановки (замена п е р е м е н н о й ) ................................................44
§ 10. Общие указания о методе п о д с т а н о в к и .................................................. 53
Упражнения . ................................................................................................56
§ 11. М етод интегрирования по ч а с т я м ........................................................58
Упражнения .................................................................................................. 63
§ 12. Основные свойства определенного и н тегр а л а ..............................................65
§ 13. Теорема о с р е д н е м ........................................................................................ 68
§ 14. Существование первообразной ф у н к ц и и ................................................76
§ 15. Замена переменной под знаком определенного интеграла . . . 78
Упражнения . ................................................................................................ 93
§ 16. М етод интегрирования по частям (определенный интеграл) . • 95
У п р а ж н е н и я ............................................................................................................... 97
~2 2
§ 17. Вычисление интегралов ^sinmx fix', \co smx dx....
о
о
Контрольные вопросы для п о в т о р е н и я ................................................ ЮЗ
Глава II. Обобщение понятия об определенном интеграле
§ 18. Определение интеграла с бесконечными пределами . . . . 105
325

§ 19. Условие существования (сходимости) несобственных интегралов 11]
§ 20. Признаки сходимости несобственных интегралов, основанные на
сравнении и х ................................................................................................ 114
§ 21. Определение интеграла от неограниченной ф у н к ц и и ............................. 117
§ 22. Применение формулы Лейбница—Н ь ю т о н а ............................................ 124
Контрольные вопросы для повторения ............................................ 132
Упражнения . .........................................................................................133
Глава III. Приложения интегрального исчисления к геометрии,
механике и физике
§ 23. Вычисление п л о щ а д е й ................................................................................. 135
Схема вычисления площадей с помощью определенного интеграла 138
Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми ï/ i = / i (x),
У2 — Һ(х) и двумя ординатами х = а, х = Ь ..............................141
Вычисление величины площади фигуры, ограниченной кривой,
уравнение которой задано в параметрической форме . . . 148
Вычисление величины площади фигуры, ограниченной кривой, заданной
уравнением в полярной системе координат . . . .150
Упражнения . ........................................................................................................ 156
§ 24. Вычисление объемов т е л .......................................................................... 157
Объем тела в р а щ е н и я ..........................................................................163
Упражнения . .........................................................................................172
§ 25. Длина дуги плоской к р и в о й .................................................... . 173
Длина дуги кривой, заданной уравнениями в параметрической
ф о р м е ..................................................................................................................179
Длина дуги в полярных к о о р д и н а т а х ....................................................183
Длина дуги пространственной к р и в о й ............................................ 191
Упражнения ....................................................................................................192
§ 26. Площадь поверхности в р а щ е н и я ................................................................ 194
Упражнения ....................................................................................................201
§ 27. Определение центров тяжести дуг, площадей и объемов . . . 202
Общие с в е д е н и я ................................................................................................ 202
Вычисление координат центра тяжести д у г и .....................................204
Первая теорема Гульдина (G ouldin)............................................................208
Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры . . . . 209
Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
Уі=І\(х) и ÿ2 = / 2(X) и двумя о р д и н а т а м и ............................. .215
Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми и
двумя прямыми, параллельными оси О Х ............................................ 216
Вторая теорема Гульдина .......................................................................... 217
Упражнения ..................................................................................................221
§ 28. Вычисление моментов и н е р ц и и ........................................................... 222
Общие понятия . ........................................................................................222
Момент инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в
одной плоскости с нею.......................................................................................223
Полярный момент инерции плоской ф и г у р ы .....................................228
У п р а ж н ен и я.........................................................................................................230
§ 29. Механическая р а б о т а ...................................................................................... 231
Глава IV. Приближенное вычисление определенных интегралов
§ 30. Постановка з а д а ч и .........................................................................................238

§ 3 1 . Формулы п р я м о у г о л ь н и к о в ..........................................................................240
§ 32. Формула трапеций (способ трапеций)..............................................................243
§ 33. Формула Симпсона (способ парабол)................................................................251
Глава V. Интегрирование рациональных функций. Интегралы
от выражений, содержащ их радикалы
§ 34. Предварительные сведения . ........................................ ....... . . . 257
§ 35. Определение коэффициентов. Интегрирование дробей . . . . 269
Упражнения ..........................................................................................................277
Упразднения ..........................................................................................................284
§ 36. Интегралы от выражений, содерж ащ их радикалы. Интегралы вида
j Л (*, ! (ax2+ 6 x + c ) d x ..................................................................................286
§ 37. Другие приемы вычисления интегралов, содержащ их радикалы. . 291
§ 38. Интегпял от биномиального д и ф ф ер ен ц и а л а .................................................298
Упражнения . . . ................................................................................ 302
§ 39. Интегралы вида 1 /?(sin лг, cos x ) d x ........................................................... 304
Упражнения .
§ 40. М етод приведения
Упражнения
§ 41. Формулы для справок .
Литература . . . .

Василий Кузьмич
Г у р н о в
Интегральное исчисление
Редактор Дзюба Jl. Н.
Художник Гончаров Г. Н.
Технический редактор Хохановская Т. И.
Корректор Сокирко JI. П.
БФ 15896. Зак. № 880. Тираж 10000. Формат
бумаги 60X 927ig- Физ. печ. лист. 20,5. Услов.
печ. лист. 20,5, Учетно-издат. лист. 18,3. Бум.
лист. 10,25. Подписано к печати 10/V 1961 г.
Цена 65 коп.
Типография Издательства КГУ, Киев.
Б. Шевченко, 14.