полнотекстовый ресурс

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ
ЗАДАНИЯ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов
технических специальностей высших учебных заведений
В четырех частях
Часть 3
Ряды.
Кратные и криволинейные интегралы.
Элементы теории поля
Под общей редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора А.П. Рябушко
5-е издание, исправленное
Минск
«Вышэйшая школа»
2009

УДК 517(076.1)(075.8)
ББК 22Ля73
И60
Авторы: А. П. Рябушка, В Д. Бархатов, В. В. Державец, И.Е. Юруть
Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Белорусского национального
технического университета; заведующий отделом теории чисел Института
математики Национальной академии наук Беларуси доктор физикоматематических
наук, профессор В. И. Берник
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой
ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.
И60
Индивидуальные задан ия по высш ей м атем ати ке :
учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 3. Ряды. Кратные и криволинейные
интегралы. Элементы теории поля / А. П. Рябушко
(и д р .]; под общ. ред. А. П. Рябушко. —5-е изд.,
испр. —М инск : Выш. ш к., 2009. —367 с . : ил.
ISBN 978-985-06-1677-7.
Это третья книга комплекса учебных пособий по курсу высшей
математики, направленных на развитие и активизацию самостоятельной
работы студентов технических вузов. Содержатся теоретические
сведения и наборы задач для аудиторных и индивидуальных заданий.
Предыдущее издание вышло в 2007 г.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов. Будет
полезно студентам экономических специальностей, а также преподавателям
вузов, колледжей и техникумов.
УДК 517(076.1X075.8)
ББК 22.1473
ISBN 978-985-06-1677-7 (ч. 3)
ISBN 978-985-06-1678-4 © Издательство «Вышэйшая школа», 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга продолжает комплекс
учебных пособий под общим названием «Индивидуальные
задания по высшей математике». Он написан в соответствии
с действующими программами курса высшей математики
в объеме 380—450 часов для инженерно-технических специальностей
вузов. Этот комплекс может быть использован
также в вузах других профилей, в которых количество часов,
отведенное на изучение высшей математики, значительно
меньше. (В последнем случае из предлагаемого материала рекомендуется
сделать необходимую выборку.) Кроме того, он
вполне доступен для студентов вечерних и заочных отделений
вузов.
Данный комплекс пособий адресован преподавателям и
студентам и предназначен для проведения практических аудиторных
занятий, самостоятельных (миниконтрольных) работ
и выдачи индивидуальных домашних заданий по всем разделам
курса высшей математики.
В третьей книге комплекса «Индивидуальные задания по
высшей математике» содержится материал по рядам, кратным
и криволинейным интегралам и элементам теории поля. Ее
структура аналогична структуре первых двух книг, а нумерация
глав, параграфов и рисунков продолжает соответствующую
нумерацию. В Приложениях приведены двухчасовые
контрольные работы для блочных экзаменов.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам —
коллективу кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального
технического университета, возглавляемому доктором
технических наук, профессором НА. Микуликом, и заведующему
отделом теории чисел Института математики Национальной
академии наук Беларуси доктору физико-математических
наук, профессору В.И. Бернику —за ценные замечания и
советы, способствовавшие улучшению книги.
Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу:
издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11,
220048, Минск.
Авторы
3

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Охарактеризуем структуру пособия, методику его использования,
организацию проверки и оценки знаний, навыков и
умений студентов.
Весь практический материал по курсу высшей математики
разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые
теоретические сведения (основные определения, формулировки
теорем, формулы), используемые при решении задач и
выполнении упражнений. Изложение этих сведений иллюстрируется
решенными примерами. (Начало решения примеров
обозначается символом ►, а конец —4.) Затем даются подборки
задач с ответами для всех практических аудиторных занятий
(АЗ) и для самостоятельных (миниконтрольных) работ на
10—15 минут во время этих занятий. И, наконец, приводятся
недельные индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое
из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решением
типового варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами.
В конце каждой главы предлагаются дополнительные задачи
повышенной трудности и прикладного характера.
В приложении приведены двухчасовые контрольные работы
(каждая —по 30 вариантов) по важнейшим темам курса.
Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел: первое из
них указывает на главу, а второе —на порядковый номер АЗ в
этой главе. Например, шифр АЗ-12.1 означает, что АЗ относится
к двенадцатой главе и является первым по счету. В третьей
части пособия содержится 21 АЗ и 10 ИДЗ.
Для ИДЗ также принята нумерация по главам. Например,
шифр ИДЗ-12.2 означает, что ИДЗ относится к двенадцатой
главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следующая
нумерация: первое число означает номер задачи в данном
задании, a j орое —номер варианта. Таким образом,
шифр ИДЗ-12.2 : 6 означает, что студент должен выполнять
16-й вариант и з!' 3-12.2, который содержит задачи 1.16,2.16,
3.16 ит.д.
4

При выдаче ИДЗ студентам номерб выполняемых вариантов
можно менять от задания к заданию по какой-либо системе или
случайным образом. Более того, можно при выдаче ИДЗ любому
студенту составить его вариант, комбинируя однотипные задачи
из разных вариантов. Например, шифр ИДЗ-12.2:1.2; 2.4;
3.6; 4.1; 5.15 означает, что студенту следует решать в ИДЗ-12.2
первую задачу из варианта 2, вторую —из варианта 4, третью —
из варианта 6, четвертую —из варианта 1 и пятую —из варианта
15. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из
30 вариантов получить большое количество новых вариантов.
Внедрение ИДЗ в учебный процесс показало, что целесообразнее
выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых, как
правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее
основной материал двух АЗ данной недели.
Дадим некоторые общие рекомендации по организации
работы студентов в соответствии с настоящим пособием.
1. В вузе студенческие группы по 25 человек, проводятся два
АЗ в неделю, планируются еженедельные не обязательные для
посещения студентами консультации, выдаются недельные
ИДЗ. При этих условиях для систематического контроля с выставлением
оценок, указанием ошибок и путей их исправления
могут быть использованы выдаваемые каждому преподавателю
матрицы ответов и банк листов решений, которые кафедра заготавливает
для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы
ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы решений
разрабатываются только для тех задач и вариантов, где важно
проверить правильность выбора метода, последовательности
действий, навыков и умений при вычислениях. Кафедра
определяет, для каких ИДЗ нужны листы решений. Листы решений
(один вариант располагается на одном листе) используются
при самоконтроле правильности выполнения заданий
студентами, при взаимном студенческом контроле, а чаще всего
при комбинированном контроле: преподаватель проверяет
лишь правильность выбора метода, а студент по листу решений —
свои вычисления. Это позволяет проверить ИДЗ 25 студентов
за 15—20 минут с выставлением оценок в журнал.
2. В вузе студенческие группы по 15 человек, проводятся
два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы включены
обязательные два часа в неделю самоподготовки под контролем
преподавателя. При этих условиях организация шпиви-
5

дуальной, самостоятельной, творческой работы студентов,
оперативного контроля за качеством этой работы значительно
улучшается. Рекомендованные выше методы пригодны и в
данном случае, однако появляются новые возможности. На
АЗ быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время обязательной
самоподготовки можно проконтролировать проработку
теории и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов,
принять задолженности по ИДЗ у отстающих.
Накапливание большого количества оценок за ИДЗ, самостоятельные
и контрольные работы в аудитории позволяет
контролировать учебный процесс, управлять им, оценивать
качество усвоения изучаемого материала.
Все это дает возможность отказаться от традиционного
итогового семестрового (годового) экзамена по материалу
всего семестра (учебного года) и ввести так называемую рейтинг-блок-модульную
систему (РБМС) оценки знаний и
навыков студентов, состоящую в следующем. Материал семестра
(учебного года) разбивается на блоки (модули), по
каждому из которых выполняются АЗ, ИДЗ и в конце каждого
цикла —двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная
работа, в которую входят 2—3 теоретических вопроса и 5—
6 задач. Учет оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной
позволяет вывести объективную общую оценку за каждый
блок (модуль) и итоговую оценку по всем блокам (модулям)
семестра (учебного года). Положение о РБМС см. в ч. 1
данного комплекса учебных пособий (прил. 5).
В заключение отметим, что усвоение содержащегося в пособии
материала гарантирует хорошие знания студента по
соответствующим разделам курса высшей математики. Для
отлично успевающих студентов можно разработать специальные
задания на весь семестр, включающие задачи настоящего
пособия, а также дополнительные более сложные задачи
и теоретические упражнения (для этой цели, в частности,
предназначены дополнительные задачи в конце каждой главы).
Преподаватель может выдать эти задания в начале семестра,
установить график их выполнения под своим контролем,
разрешить свободное посещение лекционных или
практических занятий по высшей математике и в случае
успешной работы выставить отличную оценку до экзаменационной
сессии.
6

12. РЯДЫ
12.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Выражение вида
и, + + ... + и +... i; = - 2 ......... (12.1)
Я Р 1
где u € R , называется числовым рядом. Числа , м2, ... называются чле-
мами ряда, число ыл —общим членом ряда.
Суммы
J , - I»,, $ = U, + U2 ...... = И, + И2 + ... + Ня
называются частичными суммами, а —л-й частичной суммой ряда (12.1).
Если lim существует и равен числу .У, т.е. S = lim 5L , то ряд (12.1) назы-
П—>00 /I —>00
вается сходящимся, a .S'—его суммой. Если lim £ не существует (в частное -
Я —>00
ти, бесконечен), то ряд (12.1) называется расходящимся. Ряд
I I “л+1 + “л + 2 + - + “л + * + ~
называется л-м остатком ряда (12.1).
Если ряд (12.1) сходится, то
lim rm - lim ( S - Sm) = 0 .
Л —> 00 П ->00 "
00
Пример 1. Дан ряд У ■
п (п + 1)
я т 1
* ■ . Установить сходимость этого ряда и най-
ти его сумму.
►Запишем л-ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:
Поскольку
Ц = J L + J L + ...+ 1
1-2 2-3 л(л+1)
Ч 2/ V2 У Уп Л+1/ л+1
S = lim J = lim Г1---- —'l = 1 ,
Я —>00 п Я —¥оо Л+1'
то данный ряд сходится и его сумма S —1. 4

Ряд вида
а + aq+ aq" + ... + aqn +... ( 12.2)
представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем
q. Известно, что при \q |< I ряд (12.2) сходится и его сумма S = а/( 1—q).
Если | £ 1, то ряд (12.2) расходится.
Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд (12.1)
сходится, то lim и —0.
л —►ао п
Обратное утверждение неверно. Например, в гармоническом ряде
1+ 1 + ... + I + ... = у I
2 П La П
п * 1
общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.
Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim и = а # 0,
Л - > с о л
то ряд (12.1) расходится.
Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в нем
отбросить любое конечное число членов. Но его сумма, если она существует,
при этом изменяется.
00
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд V —- — .
м З н 4 1
л - |
►Запишем общий член данного ряда:
Тогда
и —2— .
п Зл+1
lim иш = lim ■ * т * 0 ,
Л—>00 Л —>00 Зл+1 3
т.е. ряд расходится/<
Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости числовых рядов
с положительными членами.
Теорема 3 (признаки сравнения). Если даны два ряда
их+ и2 +... + ип +..., (12.3)
Vj+v2 + ... + vn + ... (12.4)
и для всех n t n Q выполняются неравенства 0 < ип £ vn , то:
1) из сходимости ряда (12.4) следует сходимость ряда (12.3);
2) из расходимости ряда (12.3) следует расходимость ряда (12.4).

В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать ряд, представля-
ческий (расходящийся) ряд.
Пример 3. Доказать сходимость ряда
00
ющий сумму членов геометрической прогрессии ^ aqn , а также гармонип
** О
у
п ■3 1 3 2 •3 л-3"
■(«
Я “ 1
►Для установления сходимости ряда (1) воспользуемся неравенством
и . = — (и 2: 2)
П /1*3 Ш' 3 ■
и сравним данный ряд со сходящимся рядом V 1 — , q = - < 1. Согласно
Z j 3Л 3
п ** 1
признаку сравнения (см. теорему 3, п. 1) ряд (1) сходится.<
°° 1
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд V ' —------.
щш
v ►Так как > I для любого л £ 2 , то члены данного ряда больше со-
П ~ п
ЦП - 1
ответствующих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, исходный
ряд расходится. 4
Теорема 4 (признак Д ’Аламбера). Пусть для ряда (12.1) и >0 (начиная с некоторого
п = Лл ) и существует предел
lim ■— - = q .
и_>оо ий
Тогда:
1) при q < 1 данный ряд сходится;
2) при q> 1 ряд расходится.
При q —1 признак Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или
расходимости ряда: он может и сходиться, и расходиться. В этом случае сходимость
ряда исследуют с помощью других признаков.
со 2
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд V —— .
^ _/!—1
п-12
9

2 f n 2
►Поскольку li_ = ------ , и_ . , * ^я J , то
n 2Л“ 2я
И Ш Й lirn : 1 | to ( i + j f ■ 1

2х
►Положим, что Дх) = ---------- . Эта функция удовлетворяет всем требо-
(х2 + 1)2
ваниям интегрального признака Коши. Тогда несобственный интеграл
В
R
— — dx = lim f — —— dx = - lim 1
1
2 ’
,(x 2 + l ) 2 B ~* ,(*2 + l) 2 B ~*c°(xi + l ) l
т.е. сходится, а значит, данный ряд также сходится.4
Числовой ряд (12.1), члены ип которого после любого номера N (n>N)
имеют разные знаки, называется знакопеременным.
Если ряд
H I + |иг|+ - + N + - (12.5)
сходится, то ряд (12.1) также сходится (это легко доказывается) и называется
абсолютно сходящимся. Если ряд (12.5) расходится, а ряд (12.1) сходится, то
ряд (12.1) называется условно (неабсолютно) сходящимся.
При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются признаки
сходимости рядов с положительными членами.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд ^ — — (a s R ).
п
п ш 1
►Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного
ряда, т.е, ряд V* ’sm^a ' (a е R ). Так как |sin/ia| < 1 , то члены исходного
& п2
П= 1
ряда не больше членов ряда Дирихле V — (а = 2) , который, как известно,
^ п
/1=1
сходится. Следовательно, на основании признака сравнения (см. теорему 3,
п. 1) данный ряд сходится абсолютно, i
Ряд вида
их - и2 + м3-... + ( - 1)я “ 1 ип +..., (12.6)
где ип > 0 , называется знакочередующимся рядом.
Теорема 7 (признак Лейбница). Если для знакочередующегося ряда (12.6)
Mj > м2 > —> ип > ••• и lim и = 0 , то ряд (12.6) сходится и его сумма S ydoe-
Л —>оо
летворяет условию 0 < S< и, .
Следствие. Остаток гп ряда (12.6) всегда удовлетворяет условию'

Например, ряд
2 3 4 v ' п
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Он сходится
условно, так как ряд 1 + i + - + ... + - +... расходится.
2 3 л
Абсолютно сходящиеся ряды (в отличие от условно сходящихся) обладают
свойствами сумм конечного числа слагаемых (например, от перемены мест
слагаемых сумма не меняется).
Верна следующая
Теорема 8. Если числовой ряд сходится условно, то, задав любое число а,
можно так переставить члены ряда, что его сумма окаж ет ся равной а. Более
того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный
после перестановки, будет расходящимся.
Проиллюстрируем теорему 8 на примере. Рассмотрим условно сходящийся
ряд
2 3 4 5 6 П
Переставим его члены так, чтобы после каждого положительного члена стояли
два отрицательных. Получим:
1 1 1 - ш Щ ! Ш ! - Ш I ^ ______!___
2 4 3 6 8 5 10 12 2 k - 1 4Аг—1 4 к
Сложим теперь каждый положительный член с последующим отрицательным:
_Bps I
2 4 б 8 10 12 4*-2 4*
= 1Г,_1 + 1 _ Ы _ 1 + ... + _ ! ___ В Н Н Н
2| 2 3 4 5 6 2 к - 1 2к | 2
Очевидно, что сумма исходного ряда уменьшилась вдвое!
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
2 л I
Ц - ' Г ' ъл(я S7T5- + 1)*
(,)
л = 1
► Т ак как члены данного знакочередующегося ряда монотонно убывают и
lim = 0 , то, согласно признаку Лейбница, ряд (1) сходится.
Я-4 оо Л(Л+ 1)
Рассмотрим теперь ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда
( 1), т.е. ряд
V 2 * 1 -L (2)
2 ^ л ( л + 1 ) ’ {
п = 1
12

общий член которого задается функцией fix) = --------- 2.x+ 1 при х = л. Имеем:
х(х+ 1)
[ г х * \ dx = lim Г(1 + _ !_ ),& =
Jx(x+1) Я -> 00J \х Х + V
1 1
= lim (ln|x| + ln|x + l|)|f = lim (In5(5+ 1) - 1л2) = оо.
В -* оо 11 В —> со
Следовательно, ряд (2) расходится, и поэтому ряд (1) сходится условно. <
Пример 10. Вычислить сумму ряда
с точностью 6 = 0,001.
► Всякая л-я частичная сумма сходящегося ряда является приближение
к его сумме с точностью, не превосходящей абсолютной величины остатка
этого ряда. Выясним, при каком количестве членов л-й частичной суммы выполняется
неравенство IrJ £ 5.
Для данного ряда
л+1 1 л + 2
+ ... .
Так как (л + 1)! < (2л + 2)! < (2л + 3)!

выполняется, значит, если отбросить в данном ряде все члены, начиная с шестого,
то требуемая точность будет обеспечена. Следовательно,
j e j = I - J . +J-----L + - L = 0,449.4
5 2 16 72 256 800
При сравнении рядов часто целесообразнее использовать не теорему 3, а
так называемую теорему сравнения в предельной форме, которая является
следствием теоремы 3.
Теорема 9. Если ряды (12.3) и (12.4) с положительными кленами таковы, что
существует предел
и
lim — = а>0 , о * » ,
п — Уд
то оба ряда или сходятся, или расходятся.
Пример 12. Исследовать на сходимость ряды
® 1
-----------, а,Э e const > 0 .
" ла ±01пл
л » 1
оо ° ° ]
►Сравним данные ряды с радом Дирихле V нд = У — .Тогда пол
л *=1 л * 1
лучим:
Lim ЙЙ lim Sfiff I 1±р lim И j 1* 0 .
Л —►оо я - > 0О п а л - > 0 Р я “
Следовательно, данные ряды ведут себя как ряд Дирихле: при а > 1 сходятся,
при 0 < а < 1 расходятся. <
АЗ-12.1
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
00 „п . ~п
5 + 2
а) 2 (Зл —2)(3л + 1 )’ ^
л = 1 /1=1 1 10
(Ответ: а) 1/3; б) 5/4.)
2. Исследовать на сходимость следующие ряды:
00 2 00 1
а> У —т— ; б) У п
14

" 3n °° 1 fn + 7 \n2 + 2n
■> ^ « s >
л - 1 ' ' п ” 1
д> 1 * ф > e> i - «
I 2 , п
л = 1 я = 1
3. Доказать, что:
П
1
И м *
a) lim ^т
«I
= 0 ; б) lim ' П'~ = 0 при а > 1 .
п - > 0 0 и . Л —» 00 Л .
4. С помощью интегрального признака Коши исследовать
на сходимость следующие ряды:
W
W
а) £ ; б) S ..2
л + 2л + 5 л + 1
я = 1 я = 1
„ 1
в) Е ~ г г -
win л
л - 2
Самостоятельная работа
” 3Я + 5П
1.1. Доказать сходимость ряда V ---------и найти его сум-
~ 15"
Я 5= 1
му. (Ответ: 3/4.)
ао 2
Л *}■1
2. Исследовать на сходимость ряд V ------ -.
я - 1 п
00
2.1. Доказать сходимость ряда У ----------^----------инай-
^ (2л - 1)(2л+ 1)
л = 1
ти его сумму. (Ответ: 1/2.)
15

2. Исследовать на сходимость ряд V ---- —— - .
„=д (* 4 4 )
“ 1
3. 1. Доказать сходимость ряда у —-----—т:—— - инай-
/-( (Зл-1)(Зл + 2)
п = 1
ти его сумму. (Ответ: 1/6.)
«.* в лп
2. Исследовать на сходимость ряд у . -----.
П 3"л!
л = 1
АЗ-12.2
1. Исследовать на условную и абсолютную сходимости сле
дующие ряды:
а) £ ( - 1)й-Ч ; б) £ ( - 1)л_1л-2- я;
Л = 1 Л = I L .
л = 4 л = 4
л +1
1пл
л = 1 л = 1
2. Составить разность двух расходящихся рядов
00 00
—-— и V — и исследовать на сходимость получен-
2л - 1
л = 1 л = 1
ныи ряд.
^ 2л
00
3. Найти сумму ряда V — с точностью 5 = 0,01.
A—d -П 2
Л = 1 2 "
(Ответ: 0,58.)
4. Сколько первых членов ряда достаточно взять, чтобы
их сумма отличалась от суммы ряда на величину, меньшую,
чем 10-6:
16

а) £ ( - 1)л_1\ ; б ) ^ ( - 1)п_1Ь
п = 1 П л'= 1
(Ответ: а) п = 103; б) л = 106.)
Самостоятельная работа
1. 1. Исследовать на условную и абсолютную сходимости
ряд У (~ 1)л- -~ - .
^ л In л
л ^'2
2. Найти приближенное значение суммы ряда
У (— >ограничившись тремя его членами. Оценить
Ш л2 +1
Л =71
абсолютную погрешность вычислений. (Ответ: S = 0,250,
8 = 0,008.)
2.1. Исследовать на условную и абсолютную сходимости
Z
00 i_
(- 1) — •
Л “ 1
2. Найти приближенное значение суммы рада
(—1)" ” 1 (в? ) ограничившись тремя его первыми членами.
(/1—1)!
пя 1
Оценить абсолютную погрешность вычислений. (Ответ: S= 0,38,
8 = 0,04.)
3.1. Исследовать на условную и абсолютную сходимости
р я д £ ( - 1)Л£ ‘
л = 1
2. Сколько первых членов нужно взять в ряде
00
л —1 1
V (—1)
------, чтобы их сумма отличалась от суммы ря-
^ л -2"
Л = 1
да на величину, не превосходящею 0,001?
dl

12.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Пусть функции и/(х) (/= 1 , 2 , п, ...) определены в области Dr Тогда выражение
вида
00
I/, (х) + иг (х) +... + ии(х) + ...= £ И„(х) (12.7)
Я * I
называется функциональным рядом. Он называется сходящимся в точке х = х0 ,
00
если сходится числовой ряд ^ uh(xq) • Множество значений х, при которых
я “ 1
ряд (12.7) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Обозначим ее D§ . Как правило, область не совпадает с областью Dx , а
является ее частью: ЛуС Dx .
2
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда lnx + In х +
00
+ ...+ 1пях + ... = 1пях.
л = 1
►Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем
q = lnx. Такой ряд сходится, если |ф| = |1пх|00
П—* со
Полезно также другое определение суммы функционального ряда. Функция
5(х) называется суммой ряда (12.7) в некоторой области Д если для любого
е > 0 существует такой номер ДГ0 = NQ(x ), что при всех л>ЛГ0 справедливо
неравенство
|гл(х)|). (12.8)
18

В общем случае Nq зависит от х, т.е. при заданном е > Онатуральные числа
Nq различны для разных значений х е D . Если же существует один номер NQ,
такой, что при п> Nq неравенство ( 12.8) справедливо для всех х е D , то ряд
(12.7) называется равномерно сходящимся в D. В случае равномерной сходимости
функционального ряда его п-я частичная сумма является приближением
суммы ряда с одной и той же точностью для всех х е D .
Функциональный ряд (12.7) называется мажорируемым в некоторой области
D, если существует сходящийся числовой ряд
£ а я (а„>0), (12.9)
п ш 1
такой, что для всех х е D справедливы неравенства:
\ик(х)\£ак (&= 1, 2,...).
Рад (12.9) называется мажорантным (.мажорирующим) рядом.
Например, функциональный ряд
cosx . cos2x + cos3x + + sin/tx +
I 22 | ' и2
мажорируется рядом 1 + ~ + — +... + — +..., так как |cos«x| < 1. Данный
2 3 п
функциональный ряд равномерно сходится на всей оси Ох, поскольку он мажорируется
при любом х.
Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свойствами:
1) еслй члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на некотором
отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке;
2) если члены ряда (12.7) непрерывны на отрезке [д; Ь] и ряд равномерно
сходится на этом отрезке, то в случае, когда [а ; р] с [а ; Ъ],
р
а
» р
п * 1а
где £(х) - сумма ряда (12.7);
3) если ряд (12.7), составленный из функций, имеющих непрерывные
производные на отрезке [а; 6], сходится на этом отрезке к сумме S(x) и ряд
и\ (х) + и'2 (х) +... + и'п (х) +... равномерно сходится на том же отрезке, то
u'j (х) + и2 (х) +... + и'я (х) +... = У(х).
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
19

£ % & ~Х9>Н’
п —О
где Oq, alf а2, а п, ... —постоянные числа, называемые коэффициентами ряда,
Хо —фиксированное число. При jq>= 0 получаем степенной ряд вида
(1210)
я —О
Теорема 1 (Абеля). 1. Если степенной ряд (12.10) сходится при некотором
значении х —х^ ф О, то он абсолютно сходится при всяком значении х, удовлетворяющем
условию |х| < |Xj| .
2. Если степенной ряд (12.10) расходится при некотором значении x= xi, то
он расходится при любых х, для которых |х) > |х2|-
Неотрицательное число Я, такое, что при всех |х| < R степенной ряд
(12.10) сходится, а при всех |х| > R —расходится, называется радиусом сходимости
ряда. Интервал (—А; К) называется интервалом сходимости ряда (12.10).
Радиус сходимости степенного ряда (12.10) определяется формулой
R = lim
я ->00
или R = lim —-— , (12.11)
г - а д
если, начиная с некоторого п £ л0 , все ап 0 . (Предполагается, что указанные
пределы существуют или бесконечны.) Формулу (12.11) легко получить,
воспользовавшись соответственно признаком Д'Аламбера или радикальным
признаком Коши.
то
*> -Я л
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда у 1
2 х
3nJ n
я *» 1
►Так как
2я _ _ 2Я + 1
,в/| + 1 .л+1
ъп " Л Г Г \
* = ,irn = 3 ш Г Л = 3
Л —» оо 2 Л + . 3 Л а/ л ^ л - 4 aW л 2
Значит, степенной ряд сходится в интервале (—3/2; 3/2). На концах этого
интервала ряд может сходиться или расходиться. В нашем примере при х = —3/2
данный ряд принимает вид V* (—1)”- t-ч * 1—. Он сходится по признаку Лейбни-
" J n
я =» 1
20

00
ца. При х —3/2 получаем ряд V — , члены которого больше соответствую-
Ш Ж
п Щ1
щих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, при х —3/2 степенной
ряд расходится. Следовательно, областью сходимости исходного степенного
ряда является полуинтервал [—3/2; 3/2). 4
00
Если дан ряд вида V ап{х - xQ) , то его радиус сходимости R определя-
л в 0
ется также по формуле ( 12.11), а интервалом сходимости будет интервал с центром
в точке х —Xq: (xq —R; Xq +R).
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
■ 1Щ
►Найдем радиус сходимости данного ряда:
lim 2Ц ! ^ ± 2 = 2Шп Щ =
Л -> 00 2 я J n + 1 /I —> ооУ /1 + 1
оо
т.е. ряд сходится в интервале (0; 4). При х = 0 получаем ряд V* ■- —, кото-
" Jn+ 1
Пи I
рый расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармониче-
00
/I 1 1
ского ряда, а при х —4 —ряд V (—1) — , где lim — - = 0 , с ходял/л
+ 1 л -> co jn + i
л = 0
щийся по признаку Лейбница. Область сходимости данного ряда (0; 4].<
® л
Пример 4. Найти область сходимости ряда — .
►Находим радиус сходимости ряда:
л - О
R = lim ( ~ :*—гттт) = (п + 1) = 00
п —>00^/1* (/*■^1)*' Л—>00
Следовательно, данный ряд сходится на всей числовой прямой. Отсюда, в частности,
с учетом необходимого признака сходимости ряда (см. § 12.1, теорему 1)
л
получаем, что lim = 0 для любого конечного х.4
л -> о о л!
На всяком отрезке [а ; р ], лежащем внутри интервала сходимости, степенной
ряд сходится равномерно, поэтому его сумма в интервале сходимости
является непрерывной функцией. Степенные ряды можно почленно интегри-
21

ровать и дифференцировать в их интервалах сходимости. Радиус сходимости
при этом не изменяется.
Пример 5. Найти сумму ряда
►
3 5 2*-1
X X X
х+ — + — + .~ + -------- + ... .
3 5 2 л - 1
При |х| < 1 данный ряд сходится (так как R = 1), значит, его можно по
членно дифференцировать в интервале сходимости. Обозначив сумму ряда
через S(x), имеем:
5"(х) = 1+ х2 + х4 + ...+ х 2 п ~2 + ....
Так как |х|< 1, полученный ряд есть сумма членов убывающей геометри-
ческой прогрессии со знаменателем q = х2 и его сумма У (х) = ------- . Проинтегрировав
ряд из производных, найдем сумму данного ряда:
1 - х 2
х
а д 1 J" ~ 2^х 8 Ш Я т (1х1

л+1
S ,(x ) =■— У (_1)" + l cos “ — S2(x ),
2 COSX Z-i n +1 cosx r
Л* 1
00
p* / ч
*y~(x) = smx Т-» > /(—cosx) \я _ = —sinxcosx —---------- ,
z Z-j 1 + cos*
(1*1
s ,(x ) I f 008^ 00-^ - cosx-InO + cos*),
J 1+ cosx
*У(х) = ln(l + cosx)---- — (cosx-ln(l + cosx)) =
- 4 7 cosx. cosx
ln(l + cosx) —1 .
Итак, сумма данного ряда
S(x) = - - сЪ8^1п(1 + cosx) —1, \х\ < +оо.
cosx
Заметим, что функция S (х) найдена при условиях cosx * —1 и cosx ф 0 .
Однако она дает правильный результат и при cosx = —1, cosx = 0 .Действительно,
lim ((1 + cosx)ln(l + cosx)) = 0 ,
cosx-» —I
lim ln(l + cosx) / cosx * 1.
cosx -* 0
Следовательно, lim .У(х) = —1, lim S(x) = 0 , что подтверждав
cosx-> —1 cosx-» 0
стся непосредственным суммированием числовых рядов
.л + 2
_ (-1) у.
®
, ^л+1—0----
лл
2-1 л(л+1) } л(л + 1)
п т 1 л ш 1
получаемых из данного ряда при cosx - —1 и cosx = 0 . Точки
х = (2&+ 1)тг и х = - + тп, к,т е Z , являются устранимыми точками разрыва
функции S (х). 4
Пример 7. Найти область сходимости и сумму ряда
® 2 л + 2-
X
(2л + 2)(2л + 3)
л ==О
► О бластью сходимости данного степенного ряда является отрезок [—1
что следует из признака Д’Аламбера и сходимости ряда при х = ±1. Далее находим,
что
® 2л+ 2 °о 2л+ 2 . ® 2л+ 3
S(x) = £ (2л + 2)(2л+ 3) ~ 2 2л + 2 ” х X 2л + 3 ” SX ^ ~ S2 ^ '
л = 0 л = 0 л = О
Степенные ряды в интервале их сходимости можно почленно дифференцировать
и интегрировать:
23

л = 0
л = О
так как последний ряд состоит из членов геометрической прогрессии, знаменатель
которой q —х - < 1. Интегрируя его почленно, находим:
1 - х
00 2/1+3
X
Аналогично исследуем ряд «ЗДх) = - — :
я * о
У2 (Х)= £
л = О
2 л+ 2
Окончательно имеем:
; %*) = \ * 2dx
1-JC 1-х
*5U(x) * —1 - ~ LIn
i J x - 1
2* jc+l
In X- 1
х +1
S(x) = -iln (l-x 2) + i l n x- 1
x +1
+ i, M < l.
In х —1
x - > 0 x х +1
нимой точкой разрыва. 4
= —2, to lim S(x) =* 0, т.е. x = Оявляется устраx->
О
Пусть, начиная с некоторого n £ nQ, а * 0 и показатели степени х «идут»
сутствуют только нечетные степени х), или
оо
л =»1
00
с регулярными пропусками. Например, ряд имеет вид апх ~ (прил
* 1
anx п (присутствуют только
четные степених), или, более общо, у* апх и у* апх , где к —целое
л * 1 л - 1
число, к > 2 , т.е. показатели степени х образуют арифметическую прогрессию.
Тогда формулы (12.11) следует заменить соответственно на
I I kJ n^ J an /ая+1| 1 / ■ (12-П*
Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
оо

00 / 1\л/ . 1\2я
v b lli£ ± ii_ .
Гз ,я
л - 1 Ш ‘ 5
►Используем первую из формул (12.11*) при к = 2. Тогда
Я Цш
А1л оо /3 я
Я р -5
т.с. интервал сходимости данного ряда (—75—1; V5—1 ). На концах интервала
X, = —а/5 —I и х , = л/5-1 получаем один и тот же числовой сходящийся по
признаку Лейбница (см. теорему 7) ряд
Й= 1 ^
» -l j - . Следовательно, областью
сходимости данного ^лда является отрезок [—л/5—1; 75—1]. <
Пример 9. Найти область сходимости степенного ряда
1
х__
Зя
v Г— I я
L V л i ап ’
л в 1
►Используем вторую из формул (12.11*) при к= 3. Так как
Щ = + £)" , то R = 1 / lim 1 + - 1" = — .
" 8i?- ^ л/ зуг
2
На концах интервала сходимости х = ±— , и мы получим расходящиеся
§ §
числовые ряды, так как их л-е члены не стремятся к нулю при л —>оо. Следовательно,
областью сходимости данного ряда является интервал
(-2 / \Ге; 2 /V * )
A3-12.3
1. Найти область сходимости каждого из следующих рядов:
р Ш | ^ й
л с 0 1 л =1
во . я л 00 4Л я
\ v" ^ 2 х ч » п 4 х
в) £ т г;: г) £ т т = г
„ = 0 л = 0 3

“ (х+ 2)п * 2(л -1)
д) у (х + 2) е) У 2 : ? _
^ (2/1 —1)-4 ^ ОТТ
л “ 1 7 л = 2 V Л —1
(Ответ: а) —2 5х

00 2п(х —3)п
2. 1. Найти интервал сходимости ряда V — ; =....и
„ =1 5я7 л 3 -0,5
исследовать сходимость на концах этого интервала. ( Ответ:
(1/2; 11/2), ряд сходится прих = 1/2 и х= 11/2.)
00 -л2*2
2. Найти область сходимости рада ^
3. 1. Найти интервал сходимости ряда V \0пхп и исл
= 1
следовать сходимость на концах этого интервала. (Ответ:
(-1/10; 1/10), ряд расходится при х = ±1/10.)
°° |
2. Найти область сходимости ряда V — и его сумму.
хп
л = 0
12.3. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Если функция у =f(x) имеет производные в окрестности точки х = xQдо
(л + 1)-го порядка включительно, то существует точка с = х0 +
+ G(jc-Xq) (0

При *0 = 0 приходим к частному случаю формулы (12.12):
Л*)«Л)+“ *
2 !
+... л .(х)
/«+1)^ч я
где RAx) = * * >с ш (0 < 0 < 1).
я (й+1)!
Формула (12.13) называется формулой Маклорена функции у =/(х).
(12.13)
Пример 1. Разложить по степеням разности х —1 функцию у = X4 —Зх2 +
+ 2х + 2.
►Для того чтобы воспользоваться формулой Тейлора при Xg = 1, найдем:
X I) = 2 ,у-(1) = (4ос3- 6JC2 2)|,. , I 0 ,
/ ’(1) = (12х2- 12х)|х = j | 0,/"(1) = (24х-12)|х= , | 12,
/*0) = 24, / (х ) = 0,....
Следовательно.
х4-Зх2 + 2х+2 = 2 + 2(х-1)3 + (х-1)4 + ....4
Пример 2. Записать многочлен Тейлора функции у - - в точке Xq = 1.
►Находим производные данной функции и их значения в точке xq = 1:
_/к,,ч 1 • 2 • 3 • 4
J' (1) =-----7----
Следовательно,
У(х)|x e l - I , / ( ! ) . - - ± - Ш .
Xе 1
1-2-3
—2 , У "(1)
= - 6 ,
х- 1
X= 1
.("), Я ft!
124......Я = ( - 1 Г - Е -
1 п+1
Х = 1
X
х = 1
= (—1) я !.
W - i - i£frj + | ( * - i )2- ^ - * ) 3 + -.+(-i)" §

то
/ Л+1)(*О + 0(*-*о)>,-- -чИ + 1
lim ---------7Т-ГТП----- (п+1)! — ( * - * 0> = °> (12.14)
/ '( * о) / п\ х 0) п Щ I
Дх) = Лх0) + —J7 - (х-х„) + ... + — — (зс-х0) (12.15)
В частности, при Xq = О
Ц - +^ * “*•• | J6>
Ряд (12.15) называется рядом Тейлора, а ряд (12.16) —рядом Маклорена.
Условие (12.14) является необходимым и достаточным для того, чтобы
ряд, построенный по схеме (12.15) или (12.16), сходился к функции/(х) в некоторой
окрестности точки х = xQ. В каждом конкретном случае необходимо
находить область сходимости ряда к данной функции.
Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию Дх) = chx и найти область,
в которой ряд сходится к данной функции.
►Находим производные функции /(х) = chx / '(*) = sh х , / "(х) = ch х ,
/ '"(х ) = shx, ... . Таким образом, / п\х) = chx, если п — четное, и
/ п\х) = s h x , если п — нечетное. Полагая хь = 0, получаем: ДО) = 1,
/ '( 0) = 0 , / м(°) = 1 I = 0,..., / (л)(0) = 1 при п четном и
/ (0) = 0 при п нечетном. Подставим найденные производные в ряд
(12.16). Имеем:
ch* “ ,+ s +* +---+f i + "- (1)
Воспользовавшись условием (12.14), определим интервал, в котором ряд
( 1) сходится к данной функции.
Если п —нечетное, то
если же п —четное, то
Щ |I (fri)ich0*-
Ш
1 ^TT)!shex*
Так как 0 < 0 < 1, то |ch 0х| = (еб* + е ^*)/2 < е и |sh 0х| < е . Значит,
29

J»+ 1
Но, как было установлено в примере 4 из § 12.2, lim ------—- = 0 при любом х
п _ > о о ( л + 1)!
Следовательно, при любом х lim ЯЛх) = 0 и ряд (1) сходится к функции
Я —> со
chx. 4
Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих других
функций:
2 л
е* = 1 + £ + £- + ...+ £- +... (-оо

2 4 „ , 2л-2
x 3! 5! 1 4 (2л-1)!
Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию Дх) = (1-х)(1 + 2х)
►Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:
Поскольку
(1 - х )(1 +2х) 1 - х 1 +2х
£ / ( w < i ) , а)
п ш О
то
- L - = У ( - l ) W ( | 2x|

АЗ-12.4
5 4
1. Разложить по степеням х + 1 многочлен Дх) = х - 4х
+2х + 2х + 1.
2. Разложить в ряд по степеням х функцию у = х+ 1
, непосредственно
используя ряд Маклорена.
3. Разложить в ряд по степеням х указанную функцию
найти область сходимости полученного рада:
ч ч Зх+5 . 2
г) arcsrnx; д) —----------; е) cos х .
х - Зх + 2
4. Разложить в рад по степеням х + 2 функцию
Лх) = -=—*------
х + 4х+7
5. Записать разложение функции у = 1п(2 + х) в рад по
степеням 1 + х.
6. Найти первые три члена разложения в степенной ряд
функции, заданной уравнением ху + ех = у , если известно,
5 2
что у = 1 при х = 0. (Ответ: 1 +2х + -х +....)
Самостоятельная работа
1. 1. Найти первые три члена разложения функции
Дх) = л/х в рад по степеням х —4.
2. Разложить в степенной рад функцию Дх
= 1п(1 - Зх) и найти область сходимости этого рада. (Ответ:
-1/3 £х< 1/3.)
2. 1. Найти разложение в степенной рад функции Дх) =
= xsin2x. . . . . . .. >1* ft S т. г
32

2. Разложить в степенной ряд функцию Дх) =
3
(1+х)(1-2х)
(Ответ: |х| < 1/2.)
и найти область сходимости этого ряда.
3. 1. Разложить по степеням суммы х + 1 многочлен
Д х ) = х + Зх3 - бх2 + з;
2. Разложить в степенной ряд функцию Дх) =
= 1п(1 +2х) и найти область сходимости этого ряда. (От-
1 Ь J х
вет: —- < х£ - .)•
2 2 7
12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Вычисление значений функции. Пусть дан степенной рад функции
у = Дх). Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании
суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным
числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую
можно устанавливать путем оценивания остатка числового рада либо остаточного
члена R Jx ) формулы Тейлора или Маклорена.
Пример 1. Вычислить In 2 с точностью 5 = 0,0001.
►Известно, что степенной ряд
1п(1+х) = JC-|- + | - . . . + (-l)"_,^ + ... (1)
при х= 1 сходится условно (см. § 12.1, пример 8). Для того чтобы вычислить
In 2 с помощью ряда ( 1) с точностью 8 = 0,0001, необходимо взять не менее
10 000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом, который получается в результате
вычитания степенных радов функций 1п(1 + х) и ln( 1 - х ) :
, , , 3 5 2л- 1
ln i- i* - 2fx + *- + Z- + ... + x
1 -х V 3 5 2л
При |х| < 1 ряд (2) сходится абсолютно, так как его радиус сходимости
R = 1, что легко устанавливается с помощью признака Д’Аламбера.
1 -|г X
Поскольку -—- = 2 при х —1/3, то, подставив это значение х в рад, получим:
1п2 I + —1— + —1— +... +-------- --------- +...
3 З-З3 5 -3 5 (2л-1)32л_1
2 Зак. 2976 33

Для вычисления In 2 с заданной точностью необходимо найти такое число
л членов частичной суммы Sn, при котором сумма остатка |гя|< 5 . В нашем
случае
1 , 1
(3)
, 1Ч ,2л+1 -2я + 3
(2л + 1) • 3 (2л+ 3}- 3
Поскольку числа 2л + 3,2л + 5,... больше, чем 2л + 1, то, заменив их на 2л + 1,
мы увеличим каждую дробь в формуле (3). Поэтому
2 1— I —I— + ...] 1
Г" 2л+ Н .2в.. 1 + 1 «2л , + 3 J .
— f i + i + i + J .
2 л +1 v 9 81 /
(2л + 1)Э
( 2 л + 1 ) - 3 2 " + 1 1 | р 4(2л+1)-32" -1
Путем подбора значений л находим, что для л = 3 гп < 0,00015, при этом
In 2 = 0,6931.4
Пример 2. Вычислить J e с точностью 5 = 0,001.
►Воспользуемся разложением в степенной ряд функции е (см. формулу
(12.17)), в котором примем х —1/2. Тогда получим:
Остаток этого ряда
Je'= l + + 1 ■
2 2 !■22 л! • 2я
СО
г = у ------- ------- г

►Подставим в формулу (12.19) значение х —1/2. Тогда
* 4 - I — 1_ + _ ± _ _ ... + (_1)и-1---------L - — . +
2 2 3! • 2 5! ■2 (2л-1)! • 2
Так как остаток знакочередующегося ряда |гя|

, - б 1° 4л- 2
sin(x ) ш з?+ ~ +(“" 1) (БГГТГ " '
Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду
почленно интегрировать. Следовательно,
О
- J (,2- f i +i r -... +(-l)"-1^|— + -
о
, 3 7 И . 4 л- 1 v
т (х___ X_ X i f 11 ________+ I
V3 7-3! 11-5!“ “ 1 ' (4л —1)(2л-1)! "V
= I — !_ + _ ! ___------------------------- !-------- ; + ...-
3 7-3! 11-51 (4 я - 1 )(2 л -1)!
- 0,3333-0,0381 = 0,295,
поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше
5 = 10“3. <
Пример б. Найти интеграл
в виде степенного ряда и указать область
его сходимости.
►Воспользовавшись формулой (12.19), получим ряд для подынтегральной
функции:
. 2 4 , 2 л -2
Он сходится на всей числовой прямой, следовательно, его можно почленно
интегрировать:
3 5 Ш
(2л - 1)(2л - 1)!
Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости
не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой. 4
Приближенное реш ение дифференциальных уравнении. В случае, когда точно
проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных
функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например
ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
используется ряд Тейлора
У' = Лх. У) . у(х0) - у 0 , (12.22)
00 \
К * )“ £ — ^ ( Х - Х ц ) " , (12.23)
л « 0
36

где у(х0) = у 0, у'(х0) = Л*0, у0) , а остальные производные y (xQ) (л = 2,
3, ...) находятся путем последовательного дифференцирования уравнения
( 12.22) и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.
Пример 7. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд реше-
2 2
ния дифференциального уравнения у' = х + у , если у (1) —1.
►Из данного уравнения находим, что у'О ) ■* 1 + 1 = 2 . Дифференцируем
исходное уравнение:
у = 2х+ 2ууг , / 41) = 6 ,
У " = 2 + 2/ 2 + 2уУ', /''(1) = 22,
у Г = 4у'у"'+ 2 у'у" + 2 у у " ', y ,Y( 1) = 116.
Подставляя найденные значения производных в ряд (12.23), получаем:
у(х) = 1 + 2( х - 1) + Ц* + j ( x - 1)3 + f f i x - 1)4 +... -
2 11 з 29 4
- 1 + 2( х - 1) + 3(х- 1) + ~ ( х - 1) + ~ ( х - 1) +.... <
3 6
Пример 8. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения у " - (1 +х )у = 0, удовлетворяющего
начальным условиям у(0) = —2 , у '(0) = 2 .
►Подставив в уравнение начальные условия, получим:
ЯШ Й1 •(—2) т - 2 .
Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:
у" ' = 2ху + (1 +х2)У , у " '(0) - 2 ,
у 1У = 2у+ 2ху' + 2ху' + ( 1+х2)у", / К(0) = -б ,
у У ■=6у' + бху" + (1 +х2)У ", у К(0) = 14.
Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем:
у(х) = - 2 + 2 х -х + ix 3 - ix 4 + ]?х5 +... .4
3 4 60
Решение задачи Коши у =

Пример 9. Использовав ряд (12.24), записать четыре первых ненулевых
2
члена разложения решения задачи Коши у' = х+ у - 1 , у( 1) = 2.
► В ряде (12.24) *0= 1. Поэтому, положив х = 1, с учетом начального усл
вия находим, что Од 35 2. Продифференцируем ряд (12.24) и подставим полученную
производную у ', а также у в виде ряда (12.24) в данное дифференциальное
уравнение. Тогда
У т л1+2а2(дс-х0) + Зв3(х -х 0) +... =
2 2
■д :- 1+(а0 + в1(х-х0) + в2(х -х 0) +...) .
2 2
а х - а0 , 2а2 « 1 + 2e0flj, 3а3 т а у + 2j 0

3. Найти неопределенный интеграл в виде степенного ряда
и указать область сходимости этого ряда:
a) P f 6 ) jf f c .' /
4. Записать пять первых ненулевых членов разложения в
степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего
заданным начальным условиям:
а) у = еу + х у, у(0) = 0 ; ..
б) у' = 1 +х+х2- 2 у 2 , у (1) = 1;
в) у" = ху-у' , у(0) = 1 , / ( 0) ~ 0;
г) у" = х+ у1 , j»(0) = 0 , / ( 0) = 1.
Самостоятельная работа
1. 1. С помощью степенного ряда вычислить sinl с точностью
5 = 0,001. (Ответ: 0,841.)
2. Найти три первых ненулевых члена разложения в с
пенной ряд решения дифференциального уравнения
2 3
у' = х - у , если у(\) - 1.
2.1. С помощью степенного ряда вычислить У70 с точностью
5 = 0,001. (Ответ: 4,121.)
2. Найти четыре первых ненулевых члена разложени
степенной ряд решения дифференциального уравнения
у" = х2 - у 2 ,еслиу(0) = 1, / ( 0) = 1.
0 , 5
„ , _ г sin2x ,
3. 1. С помощью степенного ряда вычислить J —- —ах с
о
точностью 5 = 0,001. (Ответ: 0,946.)
2. Найти три первых ненулевых члена разложения в
пенной ряд решения дифференциального уравнения
2 3 _
У = х у + у , если у(0) = 1.
39

12.5. РЯДЫ ФУРЬЕ
Функциональный ряд вида
(12.25)
где коэффициенты ап, Ьп (п = 0, 1, 2,...) определяются по формулам:
я
о п - Х- \ Л *)совяхЛ ,
(12.26)
я
называется рядом Фурье функции/(х). Отметим, что всегда ^ = 0.
Функция /(х) называется кусочно-монотонной на отрезке [а; 6], если этот
отрезок можно разбить на конечное число к интервалов (а; Х|), (xg Хг),...>
(jk*.i; Ъ) таким образом, чтобы в каждом из них функция была монотонна.
Теорема 1. Если функция/(х) периодическая (период ю = 2 тс), кусочно-монотонная
и ограниченная на отрезке [ —я; п ], то ее ряд Фурье сходится в любой
точке х е R и его сумма
S(x) - Л *-0)+ А х+ 0)
2
Из теоремы следует, что S(x) = fix') в точках непрерывности функции
Дх) и сумма S(x) равна среднему арифметическому пределов слева и справа
функции Дх) в точках разрыва первого рода.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию (с периодом
2я )
Го при —я

1C
—sin/fjcl*—f i sin nxdx
n «0 J Л
i f f 1 g я , j n | »
= - -jCO*«X|0 ------ -((-1) -1),
n
nn
b - -[xsinnxdx - —-coswx|” + 4гвшлх|!П =
n n) n\ n Ю 2 toy
cos nn L u ll Я — 1 (ле N).
nn
n
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (12.25), получаем:
я - 1
я (2 л -1)
smnx
Этот ряд сходится к заданной периодической функции с периодом 2 п при
всех х * (2 л - 1)я. В точках х = (2л-1)я сумма ряда равна (п + 0)/2 = п/2
(рис. 12.1).4
Если функция Дх) имеет период 2/, то ее ряд Фурье записывается в
виде
где
Лх) т Ч+ X (в*С08(тх)+4"*Чт*)) * (12-27)
я ■ 1
т 7 J^x)cos(yx)dc,
-/
/
(12.28)
-/
41

Теорема 2. Если периодическая функция с периодам 21 кусочно-монотонная и
ограниченная на отрезке [—I; /], то ее ряд Фурье (12.28) сходится для любого
х е R к сумме
(ср. с теоремой 1).
S(x) - (Лх-0)+Лх + 0))/2
Пример 2. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом
4:
(рис. 12.2).
Л*) =
-I п р и - 2 < х < 0,
2 при 0 £ х £ 2
У1\
г
-6 -4
•*!-------—
- 2 о 2 Л 6 X
Р и с . 12.2
> Находим коэффициенты ряда:
2 /О 2 \
“о " 2 J A*)** = 2 J (-1)Л +J2dlc
-2 ''-2 О J
- К -х1- 2+2*Й = 5

Подставив найденные коэффициенты в ряд (12.28), получим:
-и i
Я * 1
Если периодическая функция/(х) четная, то она разлагается в ряд Фурье
только по косинусам, при этом
I
О
если же периодическая функция/(х) нечетная, то она разлагается в ряд Фурье
только по синусам и
/
Ь„ ш
о
Так как для всякой периодической функции /(х) периода 21 и любого
X е R справедливо равенство
| Х + /
J
-/ Х-/
то коэффициенты ряда Фурье можно вычислять по формулам:
21 21
ап = ^|Лх)соз(ух)

разлагается только по синусам. Сумма S(x) ряда Фурье такой функции равна/(*)
внутри отрезка [в; А], а 5(a) -Д а )/2, S(b) =ДЬ)/2 согласно теореме 2
(рис. 12.3).
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию Дх) = \х\(—2 £ 2).
►Так как данная функция четная, то она разлагается в ряд Фурье только по
косинусам, т.е. Ъп = 0. Далее находим:
°о “ i\ xdx = Т Щ 2.
* ^J^)C0s(yJc)df * JxCOs(y*)
* — sin -т-х] + - cosl -т-х)
nn V2 ) 2 2 \2 )
0 я и
я п
2 2S
Отсюда следует, что ап = 0 при п четном, ал - —8/(п п ) при п нечетном.
Искомый ряд Фурье данной функции
Лх) = 1 - - 2 £
!С — (2Я —- 1У
Я ■ 1
•
44

Его сумма равна заданной функции на отрезке [—2; 2], а на всей числовой прямой
эта сумма определяет периодическую функцию с периодом со = 4
(рис. 12.4). 4
Пример 4. Разложить в ряд по синусам функцию /(х) = 2 —х на отрезке [0; 2].
► Продолжим данную функцию на отрезок [—2; 0] нечетным образом
(рис. 12.5), т.е. положим
Л*)
—2 - х при —2

----------
4
г—г
4
sinl
. мвл
—х)
\
ял 2 2 V2 /
Я Л
I
_4_
ял *
Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье, получаем:
“ iS I ; “ (¥*) ■4
п * 1
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен на
рис. 12.6 в виде сплошной линии.
►Продолжим данную функцию на отрезок [—2; 0] четным образом и разложим
функцию Дх) = х,хб [0; 2], по косинусам, т.е.
>We 7 + £ • ■ " • (Т * )'
“о “ \\xdx - 7 - 2 ,
2 f fan 2х . fan Л
а« - = «п It J
о
= *Т"2еО,0 г Ж)
я л
Рис. 12.6
Искомый ряд Фурье имеет вид
(2я - 1) V 2 '
Я" 1
На отрезке [0; 2] он представляет собой заданную функцию, а на всей числовой
оси —периодическую функцию с периодом со = 4 (см. рис. 12.6, штриховая
и сплошная линии). 4
46

Поскольку ряд Фурье сходится к значению соответствующей функции в
точках, где функция непрерывна, то ряды Фурье часто используются для суммирования
числовых рядов. Так, например, если в ряде Фурье функции,
определенной в примере 5, положить х = 2, то получим:
W
я — (2 л - 1)-
п - 1
cos я ,
я_
I —1 2 8
(2 л -1)
л = 1
Пример 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию
2
у —х на отрезке [0; 71] и с помощью полученного ряда вычислить суммы
числовых рядов
00 00
Х \ * 1 Н ) И ^
Iя I п
п ш 1 Й*1
► Разложим данную функцию в ряд по косинусам, продолжив ее на интервал
(—тс; 0) четным образом и на всю числовую прямую периодически, с периодом
2 я . Тогда
2 Г 2 , 2х
aQ = -\х ах =
0 itJ я 3
2я
3
2,х
—12х-&шпхах)
1 . _ . ч
-------------cosnxL
4 х ,п
+
,
I
гcosnx
— dx
J п пп п ю J п
Получили ряд Фурье
4 ,n 4(—1)
— C ° S I t n | 0 =
п
п
я = 1
Так как продолженная функция непрерывна, то ее ряд Фурье сходится к
заданной функции при любом значении х. Поэтому для х —0 имеем:
т +4 1 ( - 1) Ч .
я = 1
47

Т.С.
При*= я
Z (_!)"-Ч = 5_.
г и
Я“ 1
, 2 00 , ® . 2
я2 - £- + 4 V —, y i . L <
з L, i L, 2 6
,л
Я “ 1 я ж 1
АЗ-12.6
1. Разложить в ряд Фурье функцию
имеющую период 2я.
Гх при—я

2
4. Найти разложение в ряд Фурье функции у = х на отрезке
[—я; л]. Построить графики функции и суммы рада.
2
/ л 71 | j т н / < \ Л COS ИХ v
(Ответ: — + 4 V (-1) — — .)
3 " и2
я =1
Самостоятельная работа
1. Найти разложение в рад Фурье функции Дх) = - х на
отрезке [—2; 2]. Построить графики данной функции и суммы
* (_пи
t—l П
рада. (Ответ: 2 у *— ‘-sin их.)
И - 1
2. Найти разложение в рад Фурье функции
f—2 при —я < х й О,
Ах) = 4 [ 1 при 0 < х £ л .
Построить графики данной функции и суммы рада. (Ответ:
00
—1 + - V ------- sin(2n - 1 )х.)
л i-а 2л —1 v ' '
л= 1
3. Разложить в рад Фурье функцию
—х пур и —n < x S 0.
{
О при 0 < х 5 я .
Построить графики данной функции и суммы рада. (Ответ:
ял
2 + £ ^ HX+^^-sinHxl)
АЗ-12.7
2
1. Разложить в рад Фурье по синусам функцию Дх) = х в интервале
(0; л). Построить графики данной функции и суммы ряда.
49

2. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функ-
О
г А | tua
цию у = sinx на отрезке [0; я]. (Ответ: - + У' cos^nx^ .)
’ * „ - i ~ ( 2">‘
3. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
Дх) = 1 -х/2 на отрезке [0; 2]. (Ответ: - У -sin ^ ^ .)
л и л 2
я = 1
4. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию
СО
Дх) = 1 - 2х на отрезке [0; 1]. (Ответ: — V" С05тг(2я - 1)х ^
5. Пользуясь разложением в ряд Фурье по синусам кратных
дуг функции Дх) = 1 на отрезке [0; я], найти сумму ряда
+ i + + ( — 1 )” ~ 1 -■ — + .... (Ответ:я / 4 .)
3 5 7 2л-1 '
Самостоятельная работа
1. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функ-
00
8 1
цию Дх) = 1 - х на отрезке [0; 2]. (Ответ: — V --------- - х
Я Л=1
х cos1—
(2и - 1)я
* х.)
ч
2. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функ-
О
цию Дх) = я - х на отрезке [0; я]. (Ответ: 2 V s*nwx.)
п
я=1
3. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию
Дх) = - - - на отрезке [0; я). (Ответ: 2 V cos((2я ~ |)*).)
4 2 "„7, (2Я-1)

12.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
К ГЛ. 12
ИДЗ-12.1
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.
1.1. у .Л.... , . (Ответ: S = - .)
п(п + 2) 4
п ■ 1
1.2. у L ± i.. (Ответ: S=$.)
. 12й 6
1.3. у _ ------ JL------ -. (Ответ: S = — .)
^ (2n + 5)(2/i + 7) v 10 ’
п т 0
°° 9** 4* в
1.4. У 4 1 ? . .(Ответ: S - 7 .)
“ ю" 4
Я" 1
1.5. У -----JL---- . (Ответ: 5 = 1 )
(л + 5)(л + 6) ч5 *
пт 0
1.6. у ^---2-П. (Ответ: S = - .)
10" 4
Л в 1
1.7. у --------i ------—. (Ответ: S = — .)
(2л + 7)(2и + 9) v 14
л-0
1.8.
1.9. У ------- -------- . (Ответ: S = - .)
(л + 6)(л + 7)
7
fi “ I
51

00 + 1
1.10. У . (Ответ: S Ц *.)
~ 15я 4
Я*1
W t У 7 ^ • (Ответ: S - -L .)
(л + 9)(л+10) 10
Л * I
1.12. У S" ~ 3" - (Ответ: S - i .)
“ 15* 4
Л » I. , С:,,-
оо
* •,« д-\ J
1.13. У ----- ZZ7---- ^ • (Ответ: S т J .)
(л + 7)(л + 8) v 8 7
л = 1
1.14. у 2 * t f . (Ответ: S = ?.)
14- б
Л * 1
1.15. У -----JL-------. (Ответ: S = )
Z-* (л + 2)(л + 3)
2 '
л - 0
°° 7 Л 9 Я <
1.16. У -— =-. (Ответ: S - ^ .)
“ 14й 6
л = 1
оо н ц •
1.17. у ----- - I -------. (Ответ: S = J . )
(и + 3)(л + 4) 3
л - 0
1.1 8. у 4" +.5

00
1.21. У --------- ---------- . (Ответ: S = - .)
^ (2 л + 1)(2л + 3) 2
л = О
00 7Л4- Iя о
1.22. V /- * ■*■■. (Ответ: S = - .)
~
И" 1
21я 3
00
1.23. У --------- ---------- . (Ответ: S =-.)
(2л + 3)(2л + 5) v 6 '
л « О
1.24. У 1 • ~ 3. . (Ответ: S = 1.)
, 21я 3
Я i 1
оо
1.25. У --------- \ ---------. (Ответ: S = - .)
^ ( З л - 1)(Зл + 2)
6 '
л “ 1
1.26. у . (Ответ: S = .)
2 -
П т 1
24" 14
00
1.27. У --------------------. (Ответ: S = — .)
^ (З л + 1)(Зл + 4) 12
л 1 1
1.28. У . (Ответ: S = — .)
2 -
л - 1
24я 14
00
1.29. У ---------1--------- . (Ответ: S = — .)
(3л + 2)(3и + 5) v 15 7
л - 1
00 0 я _ 9 я 7
1.30. у 2— £ .. (Ответ: S = - .)
, 18я 8
Я® 1
Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными
членами.
53

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
11—1
Ii=i
La з -
I1= 1
i
^
) —s—-—*-.
Зл(л + 2)!
( Ответ: расходится.)
ч
i-l
i1 = 1
iг= 1
ii = 1
n
У — ------- . (Ответ: сходится.)
“ 5"(л+1)!
2 ( I ) ( л ) *(Ответ: сходится.)
00
У (2л + l)tg—. (Ответ: сходится.)
® п/2
У ^— . (Ответ: расходится.)
I ** 1
00
, 3"
У 4 ; S • 6—(л + 3)
1а 5 • 7 • 9—(2л + 3)
2
(Ответ: сходится.)
00
Г 9 Лп 7
У Д — J л . ( Ответ: сходится.)
00
У ' 13 - .^ п- - ^ . (Ответ:расходится.)
£а 2 • 3-4- (л+1)
00
V
+ 1) . Ответ: сходится.)
PI 5"
00
2.10. У (п
/1=1 п
. ( Ответ: сходится.)
2.11. У л sin — . (Ответ: сходится.)
Я = . 1 3"
54

00 / к + п " / 2
2.12. у — U— . (Ответ: сходится.)
л!
Л “ 1
j
2.13. У ------ :-----. (О твет: сходится.)
„ = 1 5 " (й + 3)!
2.14. У 1 ‘ 6 ' Ч •••(5л 4}

2.23. У ~ П ---. {Ответ: сходится.)
оо
2.24. £ ) ‘ (° твет: расходится.)
**1
“ 5 я
2.25. V . (Ответ: сходится.)
*-> 4л!
*« 1
2.26. £ 2 *('° твет: СХ0^ КЯ-У
Я» 1
® я
2.27. У , и . (Ответ: расходится.X
^ ( л + 1)! "
и= 1
00 3
2.28. У
(2л)!
. (Ответ: сходится.)
я = 1
" 2*
2.29. У ------------ . (Ответ: сходится.)
# 1
2.30. У . (Ответ: сходится.)
3
00 ю"
3.1. У — — . (Ответ:расходится.)
^ /"я + IV
оо 2
3.2. ^ \ 5* V • (Ответ»: сходится.)
я “ 1
" / 1 \ч. ..........,
3.3. varct®2ir+T/ ' ^■^твет: акаа1Пся^
я - 1
56

3.4. . (Ответ: сходится.)
„ _ 1 (1п(и + 2))
00 .
( j \3л
3.5. у [arcsin—J .(От вет :сходится.)
л - 1
00
3.6. £
л - 1
( 2 ЧЛ
п +5/1 + 8
. (О твет: сходится.)
V 3/1-2 /
3.7. V (arctg— ) . (Ответ: сходится.)
л ■ 1
л
3.8. V (/|/(/|+ .))... (Ответ: сходится.)
3.9.
л = . 1 2"
л - 1
1
(1п(/1+ 1))
2л
. (Ответ: сходится.)
” ( я \3л
3.10. У I tg-jjj . (Ответ: сходится.)
л - 1
00
3.11. £
00
3.12. 2
(ln(/i + 3))
л - 1
Л = 1
1
+4/1 + 5
v6/i -3/1-1/
(Ответ: сходится.)
. (Ответ; сходится.)
оо 2
3.13. у [ r l y l l j . (Ответ:сходится.)
Л " 1
f \ 2л
3.14. . (Ответ: сходится.)
л ■ 1
57

fn+ Г\3"
3.15. ^ (."ZJ- ] • (Ответ:сходится.)
Л = 1
3.16. ;. (Ответ: расходится.)
, - 1

3.26. X (^2л + т) ’ (Ответ: сходится.)
1
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
И" I
V ( sin—2—1 . (Ответ: сходится.)
£ а V 5 и + 1 /
л ш 1
00 ( 1 "N2"
£ ^arctg——-J . (Ответ: сходится.)
п т 1
00 «ЛЛ
10
V -. (Ответ: сходится.)
~ (1п(л + 5))
Пт1
00 / #1 + 3
^ (arcsin^ -— J .(Ответ:сходится.)
4
4.1;
4.3.
4.5.
4.7.
4.9.
4.11.
I
i1» 1
£
П " 1
00
I
Пш1
£
( г и + Л 2 "
U « 2 + i /
a v ir * —
‘ ' 2 а (Зл + 2)1п(Зл + 2)
Я “ 1
1
А Л У 1 1
(2л + 1)1п3(2л+ 1) 1/(4» + 5)3
1 Л С V *
(Зл + 4)1п2(Зл + 4) n. i V ( 7 n - 5 ) 5
( 7 + л Л 2 4 Я V *
2 а
ч 49 + л V
(Зл-1)1п(Зл-1)
1
л = 1
00 1
- L i n —
4 10 V
2 а
J n « - 1 '
(5л-2)1п(5л-2)
2
л - 1
б + Л Л 1? V ______ ___ .___-.1
3 6 + п V ( 3 + 7 » ) “
59

*“ . ? , В Й Р i U Zin+2mп*гу
4.15. V ----------------------- • 4.16. У -
2-л (Юл( Ю л + 5)1п( 5 п (1Юл 0 л + 55)
) ' Ж * 6J ( 2 n + 3 )
#1» 1
4 .1 7 .
5 + и
* 2 5 + л 2
4 .1 8 .
£ (Л+
л 3 )1 п (л + 3 )1 п (1 п (л + 3 ) )
1
4 .1 9 . V ----------------- Ц --------------- . 4 .2 0 . У 1 ■-■== •
л7 , ( 3 + 2 я )1 п (3 + 2 л ) в~ « /( 4 + 9 л )
4 .2 1 . У -----------------k -------------- ------- 4 .2 2 . £ ? +-■?— ■
^ ( 9 л - 4 )1 п ( 9 л - 4 ) , 9 + л - 2 л

5.2.
л
— ■ . (Ответ: сходится.)
\ Jrt3 + 2
ОО ^
У —р г . (Ответ: сходится.)
I
Л/Л
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
У ^ +
|= 1
. (Ответ: расходится.)
00
У . . (Ответ: сходится.)
, _ j л/л3 + Зя
00
У
, т j *Jn +п
. -■ ■. (Ответ: расходится.)
оо
Z - -----— . (Ответ: расходится.)
1п(и + 2)
i= 1
1
У — . (Ответ: расходится.)
- 1 ^ *
оо
1
: ----- -. (Ответ: расходится.)
Z i n —1
I -1
00
У tg— . (Ответ: сходится.)
г- 1
5.10.
00
Z
- ----- —. (Ответ: расходится.)
г, и(и+ 1)
п- 1
. и + 3
61

5.11. V —-. (Ответ: расходится.)
^ и +1
я- I
5.12. V ---- -— -. (Ответ: расходится.)
1п(я + 3)
я=1
5.13. У 2я~- . (Ответ:расходится.)
j f e Зя + 5
5.14. У —---------. (Ответ: сходится.)
^ Зя - я + 1
Л - 1
5.15. У sin я . (Ответ: сходится.)
5.16. у п t .£ . . (Ответ: расходится.)
*-> я(я + 4)
**■'»
5.17. У sin— . (Ответ: сходится.)
. 3я
И” 1
5.18. У ------- ------—. (Ответ: сходится.)
^ (я+ 1)(я + 3)
я Щ1
5.19. У —Ц—. (Ответ: сходится.)
л- l П'Ъ
5.20. У ------ ------- . (Ответ: сходится.)
Д (2л + 1 )•3я
5.21. У ■(Ответ: расходится.)
вш1 пЧ*
62

5.22. У sin—- — . (Ответ: расходится.)
2л - 1
я - 1 I !
оо 2
5.23. V —-----. (Ответ: расходится.)
^ л + 2
п ш 1
00
5.24. V sin— . (Ответ: расходится.)
4я
л = I
5.25. У —-----. (Ответ: сходится.)
1 " +1
л " 1
1
5.26. У — ------. (Ответ: сходится.)
^ 2л + 5
/1*1
00 1
5.27. V -г-----. (Ответ: сходится.)
^ л + 4
п " 1
°° Лм ^ 1
5.28. У —-----. (Ответ: расходится.)
^ п + 4
л - 1
00
5.29. У — г-----. (Ответ: сходится.)
Щ 5л +3
п ш 1
00
5.30. У -------- --------- . (О твет:сходится.)
^ (л + 1)(л + 6)
л - 1
(л + 1) , 7 л(л - 1)
Л ■* 1 Л “ 1
63

6.3.
2 л - 1
6.4. £ 5 l 2 ± ! i .
6.5.
1 + 2 2я ’ « ■ S - V - L nln л
6.7. V -О -— .
*-> (л +1)!
6.8. У - A w
п
"
* 1
л +3
00
6.10. ^
(5 л - 1)(6л + 3)
л ■ I
6.11.
J3n+ 1
6.15. У — .
11“ 1, 3"
6.14. 2 Щ .
*-1 Л '
" 5»
«.к. 2
л = 1 1
6.17.
njn+ l
6.18. у ^ L l l
п\
6.19.
я + 1
2л+ 5
6.20.
7л(л + зУ
6.21. V -^Ь-
6.22. (я+ 1)1
~ У + 1
(2л)!
Л в I
00
«.23. £
Я- 1 (З л -2 )(7 л - 1)J
64

6.25. У ■ 1 - . 6.26. у " i l l H .
^ JTn+ l ^ 9я
я - О я = 1
00 оо
6.27. У ---- ^ -----.
Ъ Зя + 5 л - 2
6.28. У ----------------------.
(4 л -1 )(4 л + 5)
л = 1 п = 1
00 / \П2 00 с"
6.29. У ( - 2- 1 . 6.30. У — ---- .
2«Ля + 7/ 2-1 ( п - 1)!
я - 1 я.= 1
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды.
7
00
/1+1 1
7.1. У (—1) --------------. (Ответ: абсолютно сходится.)
А (л+1>-зй
J30 п
/ __1у*
7.2. у Л- .../ . (Ответ: условно сходится.)
^ J2n + 1
Я ■ 1
0 r-n" +1
7.3. у 1—-I-----. (Ответ: условно сходится.)
In л
л = 2
00
7.4. у (—1)я+1- . (Ответ: расходится.)
6л + 5
л 1 1
00
л 1
7.5. У (—1) ——;. (Ответ: абсолютно сходится.)
Л = 1 Ж
00
чЛ+1 1
7.6. у (_ 1 )л + 1-1-. (Ответ: условно сходится.)
а] /I
Л « 1
7-7. У ( - 1)" 1X . (Ответ: абсолютно сходится.)
я= 1 ”
3 Зак. 2976 65

7.8. У (—1)л+1 —— . (Ответ: абсолютно сходится.)
i—t (2л + 1)п
л- 1
7.9. V (—I) = . (Ответ: условно сходится.)
" Jn+X
я- 1
7.10. У — . (Ответ: абсолютно сходится.)
;5 да
7.11. У (—1)"+ 1 ^л+ I. . (Ответ:условно сходится.)
л(л+1)
я-1
7.12. (—1)" ^ ~ - л (Ответ: абсолютно сходится.)
7.13. У (-'1)"+ (Ответ:расходится.)
ЛтЛ ЪП—1
7.14. ^ ^—Ц|-. (Ответ: условно сходится.)
7.15. V — .Uj— . (Ответ: абсолютно сходится.)
(2л - 1)3"
7.16. У ^ — . (Ответ: условно сходится.)
La 2л
л- 1
7.17. У (—1)я+1^^-.(О т вет :расходится.)
l—i л
л = 1
7.18. У С. . . (Ответ: абсолютно сходится.)
^ Зл +1
Я*1
66

00 \П
7.19. У ■. (Ответ: абсолютно сходится.)
л./л
л - 1
ОО /I—1
7.20. V LuLL— . (Ответ: абсолютно сходится.)
,л
/1=11 и 5
0° /1—1
7.21. У —
п\
. (Ответ: абсолютно сходится.)
п - 1
°° п 3
7.22. У ( - 1) г - ----- — . (Ответ:условно сходится.)
i-t 1п(л + 1)
л - 1
7.23. У (—1)я+ 1 + * ■ . (Ответ:условно сходится.)
л-i 5 л (л + 1)
л = 1
7.24. ^ ^— +Т~' № твет: Условно сходится.)
л - 1
00
f_IV
✓ 4 ч Л + 1
. Я- /I
7.25. У »—^ ------- — . (Ответ: абсолютно сходится.)
^ (2л + 1)"
л = 1
00 г , ч л —1
7.26. У ^ . (Ответ: условно сходится.)
Jn + 5
Пт 1
ОО
7.27. У ( - l)"“ j“ • (Ответ: абсолютно сходится.)
/1=1
7.28. ^ (—1)и+ ^ ) . (Ответ: абсолютно сходится.)
/1° 1
00 г \/1“ 1
7.29. V — . (Ответ: абсолютно сходится.)
2L, (Зл-2)! v
/ I е 1
67

7.30. ^ (—1)"л1п^1 + . (Ответ: условно сходится.)
л-1 ' *|
» . пя+1 » г-1пя+1
8.1. У (Г..1-!,— . 8.2. УV tz lL
( 2 и - 1) Г2я (2л + 1)!
Л “ 1
* I lV+I 00 Г_п""1
8.3. у Lzli-— . 8.4. у -----.
2- 2 L, 1п(я+1)
л = 1 я = 1
8.5. У 8.6.
л-1 Я' 2" »^1 Л
8.7. + 8.8. £ (-1)"
л —1 3 л=1
8.9. у U Z . 8.10. У
^ и3 + 1 “ (1п(л + 1»
я » 1
я в I
8.И. У 8.12. £ ( _ i ) < - i - ) " .
^ л(1пл)2 ~ Л 2 л + ^
я “ 2
ч Я + 1
,Л Э 1 ^ Г -
л - 2 я - 1
8.15. У ( - 1 )" -^ - 8.16. У (~ l)" +l "-3-Л .
л-1 12 л- l
8.17. £ ( - 1 ) Л9 ^ П - 8 . 1 8 . £ ( - 1 Г ‘; ^ .
л = 1 * ” 1
68

“ ( 1 \ п 00 t
8.19. У U— . 8.20. У ( - 1 ) л — .
^ (5л + 1)" ^ 7я
л 1 ' п —1
8.21. У (—1)я 1± 1 . 8.22. У ( - 1)я+1-^
л
п ■
я = 1 я = 1
8.23. £ ( - 1 ) * “ , I n i . 8.24.
Я = 1 Я = 1
00 Г_ПЯ+1 “ „ п„
8.25. У ,1 ------ . 8.26. У (—1) sin
2-i (л+1)(л + 4) Z j ' 6/1
Я = 1 Я “ 1
4я-1 2л + 1 „ у ( «'пИ —3
8-27- z < - » " д а т !)- >ж
я - 4
8.29. у -*=*£ = . 8.30. у Г - т ^ Г .
^ пГ, ГТГз " ^ 5л+1/
*Ы (л+1)
Решение типового варианта
1. Доказать сходимость ряда У —— * - — и найти его
2 . , . . 2
я - 1Я

п = О
п - -1
3
п
п
* - 1.
D * - 1 ,
О = Л + С,
2 = Л + 2 Д,
• =>л = о, с = о,
ПОЭТОМУ 00 Л -> 00v (л+1)
т.е. ряд сходится и его сумма 5 = 1.4
Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными
членами.
00
л=1Л
►Воспользуемся признаком Д’Аламбера. Имеем:
л! л
ап п * п +1
п
- 0 « + 0 1
( л + 1 ) я+1 ’
lim 2 s ± i . t o Л ! ± Ц ^ _ . (и + 1)я
lim
а. л+1
"-к®(л+1) л! (л + 1) (л+1)
л
1
= lim
п -> оДл + У л-+с0 (1 + 1 /л ) ” g
т.е. данный рад сходится. <
со
Ё *
п -П
т 1 п • 3
л - 3
70
« - < 1 .

►Согласно радикальному признаку Коши имеем:
2
1 ь . ”Л - Ita „ p i i L -
п ~п Л—*00 л —»00 д| /I и
л. • 3 л • 3
= li m (!L ± ll" = I limr i + i r = ! < i >
И —►оо Яя 1 3 ц —►оо'- п / 3
л -3
т.е. исходный ряд сходится. <
4.
I т .
л - 1
►Воспользуемся интегральным признаком Копта. Для этого
исследуем несобственный интеграл:
00 Р Г Р ^
й® lim fx
- I f 2“ * ^ ( - x 2)
j X Р -> 00^
Р —» 00 2J
1 2
1
' 1 '
f —x \
12
= lim
Р 00 '2 1п2
1 сч
II
= lim
Р —» 00
.§
1
- + - L
21п2 • 2
,Р 41пЯ
1
41п2
Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и исследуемый
ряд.<
5.
2 Я
►Исследуем данный ряд с помощью предельного признака
сравнения (см. § 12.1, теорема 9), который состоит в следующем.
а
Если lim — = к , к е К, к & 0 , то ряды с такими общими чле-
Л—>00
нами или оба сходятся, или оба расходятся. Имеем:
а„ = tg2— . В качестве ряда, с которым будем сравнивать
4 л/л
71

исходный ряд, возьмем гармонический расходящийся рад с
общим членом Ьп = 1 /л. Тогда
. 2 Я
tg —— 2
1- lim — п = «• lim — г—2— = Я— = л * 0 .
Л—>00 V- Л—>оо / \ 1£ 16
Щ - зя
(Здесь мы использовали первый замечательный предел.)
Итак, исследуемый ряд расходится. <
6■ £ ( * - “ ;;)•
п = 1
►Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов
( lim ап = 0) не выполняется. Действительно,
Л—>00
lim ап = lim (1 - s in - ) = 1*0,
Л—>00 л —* 00^ л '
т.е. исходный ряд расходится. <
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды.
чл+1
7. lz I I
“—■ л
л
7
= 1
►Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:
а = —-— , lim —-— = 0,
л • I я п-*’° п 1 я
т.е. данный рад сходится.
Исследуем рад, составленный из абсолютных величин членов
исходного ряда:
Применим признак Д’Аламбера:
00 1
z - Ь - (1)
п = 1. п 1
72

lim л + 1 = lim ----- 5 -^ ------- «= }■ lim n t = I < 1 >
Л —►оо 0 Л П~ *°°(п + 1) • 7*1 7я->оой + 1 /
т.е. ряд (1) сходится. Следовательно, исходный рад абсолютно
сходится. 4
00 л 00
А у ( - 1)" ?—i ~ ! ) - = 2 У У - .
^ /I п п
/1=1 /1=1 /1=1
00 ЧЛ
►Для рада У * выполняется признак Лейбница. Рад
п
п = 1
0 0 00 и
1 f_п "
— 1гармонический (расходящийся). Тогда ряд > *— *—
п
п
я = 1 я = 1
сходится условно. Сумма сходящегося и расходящегося радов
представляет собой расходящийся рад. Значит, исследуемый
рад расходится. 4
ИДЗ-12.2
Найти область сходимости рада.
" 2У
/1*1
л2 + 1
00 я - 1
1-2. У — - . (Ответ: ( - 6; 6).)
L* 2"->.з"
и = 1
00 Зя
1.3. У - — . (Ответ: (—2; 2).)
L-U Q/l
/1=1
00 / |
1.4. У —- — . (Ответ: [—2; 2).)
^ л - 2"
я = 1
1
73

я
1.5. У — . (Ответ: [—1; 1).)
*-> п
П“ I
® 2л+1
1.6. Г J------- (Ответ: (—1; I).)
^ 2п +1
я ж1
, т - 1 2т гт '
Л ■ 1
оо
1.8. £ (Injc)" •(Ответ.

1.16. ^ . {Ответ: [-1; 1].)
n
JI- l
00 tn iV* 2n
V ■. {Ответ: ( - VlO; J lO ).)
1.17.
*-> п
I1= I
1.18.
00 •
Y j Os*)" • (.Ответ: lOj .)
n = l
00 /I
1.19. У — . {Ответ: (—5; 5).)
^ 5"
П“ 1
1.20.
„m 1 ( 2 n + 1 ) V 3
00 n
1.21. У — . {Ответ: [—1; 1).)
Jn
n= l
00 .« n
1.22.
E B ’I)-»
I- 1
00 t \"+1
1.23. У i—22-----. {Ответ: [—1; 1].)
л- l
® ,n n
1.24.
я-l
00 Л
1.25. V ------- .{Ответ: f—2; 2).)
“ 2nJbrT-\
1.26.
И- 1
\2. л
1.27. У + ^ x" . {Ответ: (-2; 2).)
г*'
75

1.28. V (Ответ: Г - |; |).)
^ 6n*fn 1 5 5
и- 1
1.29. £ x"tg±. (Ответ: [-1; 1).)
П= 1
00 / _ ч#1 "
1.30. У [—— J — . (Ответ: (—5r, 5e).)
vn + 1/ e"
^ л/Йх"
2.1.
2 j п\ '
I
^ 1п"х
2.3.
J1s ,= 1"" ’
2.5.
2- л!
» = 1
2.7. ^ / 1\В+1
я —1
2.8.
2.10.
2.12.
2.14.
2л- I
X
« л/2 п
2.2. У п х
Ъ (л+1)!
ЛSB1
2.4. £ (л х )" .
Uш1
• /

2.18.
2.20.
2.24.
2.26.
2.28.
2.30.
I г Ь - I -V
. - • Г 6 4 » » - > "
У ?i-n

3.4. ^ . (Ответ: 0

3.15. ^ ^ . (Ответ: 1 < х й 2 .)
. л - l n л
п - 1
3.16. У (Зя-2 )(дс-3 ) (Ответ: 1 5 х < 5.)
i—t 7 П+1
п = о ( л + 1 ) • 2
00 п
3.17. У ^ ~ 2) . (Ответ: 1 < х й З .)
. п П= 1
00 Л
3.18. у —^ ^ — . (Ответ: 0 й х < 4.)
Д (т - \у г *
3.19. V ( - 1 ) " ^ ± 1 ( х - 2 ) " . (Ответ: 1 < х £ 3 .)
и + 1
л - О
00 , , « 2 л - 1
3.20. у ^ ---- *------. (Ответ: —7 < х < —3 .)
п-Х Ш
3.21. у & - ' ) У + ') П. ( 0 т вет :-2< х«> .)
i-J ~П-1 я
я = . 1 2 л
00 и
3.22. ^ + . (Ответ: —4 < х S —2.)
Л = 1 п
00 ( \п*
3.23. У *£-- —) ■. (Ответ: —3 й х й —1.)
t и" я " 1
3.24. (— — . (Ответ: 1 й х й 3 .)
я - 1
оо
2 л
3.25. У — . (Ответ: 2 < х < 4.)
• J л Я
Я » 1. п ' 9
79

3 “ - £ (- |)**'(иЧ -Ц й Ь tv (QMML~
nmi
3.27. £ ^x ~ 3) " . (Ответ: - 2 5 * < 8.)
5 4 я ‘5
3.28. V ( - i ^ ^ K2” - 1) (х ~ 0 .(Ответ: ~ 2< x < y - )
**
II * 1
( i n - 2 Г* 4 4
“ t ' 1\2"
3.29. V — \x rJ J ------ -. (Ответ: 2 < x < 4 .)
Z - (п+1)1п(л + 1) v
,1
и *■l
« , ..я
3.30. У (—1)*~ s£z22_. (Ответ: 2 < x £ 8.) ;
и-
^
l
л-З"
4
Разложить в ряд Маклорена функцию/(х). Указать область
сходимости полученного ряда к этой функции.
00 /_| . г2я 2я
4.1. Дх) » cosSx. (Ответ: »— (2л)!----- ’
и ” О
• * „Я-1Л0+2
4.2. Дх) = x3arctgx. (Ответ: ^ '* 2л 1 — " ! ^ 5 *
я= 1 .
00 / .хЛ-1
4.3.Дх) = sinx .(Ответ: ^ (2л 1)!— *И

4.6. Дх) = ------- -. (Ответ: 2 V Злх " , |дс| < — .)
1 - Зх п
п = О
® , л я
4.7. Дх) = е х . (Ответ: ^ , |х| < оо.)
п = О
00
4.8. Дх) = —— . (Ответ: V (—1)"х", W < 1.)
1 + х
/1 = 0
00
4.9. Дх) = ch(2x ). (Ответ: £ = - j - . W < 00 •)
/1 = 0
1 00 Г—IV1*1
4Л0. Дх) = — . (Ответ: V *— '— , |х| < да.)
-Ve Г* и = о 2пп1
w (6Л- X■
4.11. Дх) = shx. (Ответ: ^ (2я'1~1)! , W < 00 •)
/1= 1
_ 4 ® ( - \\пх4п
4.12. Дх) = е х . (Ответ: ^ ^-----, М < да.)
л = о
4.13. Дх) = 2~х . (Ответ: £ i z l l ^ J : x2n з |х!

Разложить функцию Дх) в ряд Тейлора в окрестности указанной
точки х0 . Найти область сходимости полученного ряда
к этой функции.
4.17.Дх) = - ,х 0 = -Z (Ответ:-}■ £ i* ± 2 )!,-4 < x < Q .)
. 2 *в0
4.18. Дх) = х0 = -2 . (Ответ: £ (-1 )"(х + 2 )",
я«* О
- 3 < х < —1.)
в хЛ
4.19. Дх) = е*, хв = 1, (Ответ: е £ » W < « .)
я * О
« > М 4 - £ ( - u 'f f J V j ) * ,
я ** О
5 17 ч
-2

оо п
4.24.Дх) = In—— -------, x0 = 1.(Ответ: V (x -1 )2” ,
x‘ vz_-7v - 2x +2 4-9
П
0£ x £ 2.)
4.25. Дх) = —L = ,X 0= -3 .
V4+x
(Ответ: 1 + V ( ~ 1А 2 я ~ ^ (х+3)я , - 4 < x S - 2 .)
^ 2 л!
л = 1 Ш
4.26. Дх) = cosx.Xq = 2 .
оо cosf^ + w -f)
(Ответ: £ ----- ^ ------ f e l l ’W
• If * 1
4.27. Дх) = -= = = ■х0 = 2.
•Jx- 1
(Ответ: 1 + V ^~ 1^ 2я ~ ^ - ( х - 2)я , 1 < х 5 3 .)
^ 2 л!
Я в 1
4.28. Дх) ¥ - 1 - , Xq = -2 .
х -4 х + 3
(Ответ: V ( ---------1— } (х+ 2)", - 5 < х < 1.)
-3я 10 • 5nJ
4.29. Дх) = sinx, Xg = о. (Ответ: £ ------— — (х-а)
W

5. Вычислить указанную величину приближенно с заданной
степенью точности а, воспользовавшись разложением в степенной
ряд соответствующим образом подобранной функции.
5.1. е ,а = 0,0001. (Ответ: 2,7183.)
5.2. У Б 0 , а = 0,01. (Ответ: 3,017.)
5.3. sin 1, а = 0,00001. (Ответ: 0,84147.)
5.4. л/П3, о = 0,001. (Ответ: 1,140.)
5.5. arctg^ , а = 0,001. (Ответ: 0,304.)
5.6. In 3, а = 0,0001. (Ответ: 1,0986.)
5.7. ch 2, а = 0,0001. (Ответ: 3,7622.)
5.8. lg е, а = 0,0001. (Ответ: 0,4343.)
5.9. я, а = 0,00001. (Ответ: 3,14159.)
5.10. е , а = 0,001. (Ответ: 7,389.)
5.11. cos2°, а = 0,001. (Ответ: 0,999.)
5.12. У 8 0 ,а = 0,001. (Ответ:4,309.)
5.13. In 5, а = 0,001. (Ответ: 1,609.)
5.14. arctgi, а = 0,001. (Ответ: 0,464.)
5.15. ,/738, а = 0,001. (Ответ: 3,006.)
5.16. lfe ,a = 0,00001. (Ответ: 1,3956.)
5.17. sin 1 ° , а = 0,0001. (Ответ: 0,0175.)
5.18. У М 6 , а = 0,001. (Ответ: 2,030.)
5.19. In 10, о = 0,0001. (Ответ: 2,3026.)
5.20. arcsin|, а = 0,001. (Ответ: 0,340.)
5.21. lg 7, а = 0,001. (Ответ: 0,8451.)
5.22. J e , а = 0,0001. (Ответ: 1,6487.)
5.23. cos 10°, а 33 0,0001. (Ответ: 0,9848.)
84

5.24 . , а = 0,001. (Ответ: 0,302.)
т
5.25. 10УГ080, а = 0,001. (Ответ: 2,031.)
5.26. - , а = 0,0001. (Ответ: 0,3679.)
е
5.27. sin— , а = 0,0001. (Ответ: 0,0314.)
100
5.28. 1/90, а = 0,001. (Ответ: 3,079.)
5.29. * , а = 0,001. (Ответ: 0,496.)
VT36
¥е
6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной
ряд, вычислить указанный определенный интеграл с
точностью до 0,001.
0 ,2 5
6.1. f ln(l + Jx)d x. (Ответ: 0,070.)
о
о
0,2
6.3. | Jxe *dx. (Ответ: 0,054.)
0
0 ,5
6.4. f (Ответ: 0,487.)
J х
о
0,2
6.5. f Jxcosxdx. (Ответ: 0,059.)
о
85

0,5
6.6. J ln(l +x3)dx. (Ответ: 0,015.)
0
1
6.7. Jx2sinxdx. (Ответ: 0,223.)
0
1
6.8. je x ^ d x . (Ответ: 0,855.)
0
0,5
6.9. J J \ + x2dx. (Ответ: 0,480.)
0
0,5
6.10. f —~ ~ z ■(Ответ: 0,484.)
o l+x
■- * , - i
6.11. J Vl + x I A, dx. (Ответ: 1,026.)
0
°>5 . 2
6.12. J ^5-5-dx. (Ответ: 0,493.)
о
0 .1
X |
6.13. J g ^ lit, (Ответ:0,103.)
0
0,5
6.14. J x2cos3jcdr. (Omeem: 0,018.)
0
0.5
6.15. J ln(l +x2)dx. (Ответ: 0,385.)
0
86

0,4
6.16. f Jxe dx. (Ответ: 0,159.)
0
0 ,5
6.17. f ^— ^ — d x. (Ответ: 2 ,568.)
0 , 3 X
0,5
6.18. f — ^ - d x . (Ответ: 0,498.)
1 x
0
0,8
6.19. J * ~ (Ответ:0,156.)
0
1
6.20. jsinx2(fa. (Ответ: 0,310.)
0
0,1
6.21. f ln^ . (Ответ: 0,098.)
J x
0
1
6.22. [cos3«/x*fcc. (Ответ: 0,718.)
0
1
6.23. J Jxsinxdx. (Ответ: 0,364.)
о
6.25. fcos—dx. (Ответ:0,994.)
1 4
о
87

I
I т^шжгтн В Н
6.26. Jarctg (y ) dx. (Ответ: 0,318.)
0
O.S
6.27. J 2 ^& И (Ь с . (Ответ:0,039.)
о X
0,4
6.28. J J l - x 'd x A Ответ:0 3 7 .)
о
0,5
6.29. J e~x dx. (Ответ: 0,461.)
о
0.5
6.30. J л/l + x d x . (Ответ: 0,508.)
о
7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х реше
ния дифференциального уравнения (записать три первых, отличных
от нуля, члена этого разложения).
7.1. у' = ху+ f ,у(0) = 0. (Ответ: у = jc+|х 2 + ~х3 +....)
7.2. у’ = х2у2 + 1 ,у(0 ) = I. (Ответ: у = 1 - х + |х 3+ ....)
7.3. У = х2- у 2,у ( 0) = | . (Ответ: у = + ••••)
7.4. у' = х3 + Д у(0) = | . (Ответ: у = | + |х + |х 2 +....)
7.5. / * х+ у2, МО) = —1. (Ответ: у = —1+ х - |х 2 +....)
7.6 . у 1 = х + х 2+у2,>

7.7 .у ' = 2 cosx - ху2 , з» (0) = 1. (Ответ: у = 1 + 2 х -~ х 2 + ....)
7.8. У = ех - у 2 , у ( 0) = 0. (Ответ: у = х + ^х2 - -х 3 + ....)
7.9. У = х + у + у2 , у (0) = 1. (Ответ: у = 1 + 2х + ^х2 + ....)
7.10. у *= х2 + у2 , J»(0) = 1. (Ответ: у = 1 + х + х + ....)
7.11. У = Х2у2 + ysinx, у(0) = (Ответ: у = ^ + 4*2 +
3
+ 2- + ....)
12
7.12. У = 2у2 +уех , у(0) = (Ответ: у = | +

7.19. у' * ху~у2, уф) ^ 0,2 (Ответ: у —Q,2-0,04x+
+ 0 ,108х2 + ....)
7.20. у' - lx+ y2 + ex , j

7 1 4
7.28. у' = 2 sinх + х у , у(0) = 0. (Ответ: у = х + -х +
6
ь 11 б л. н------X + ... .)
360 1
7.29. у' = х2 + еу , у(0) = 0. (Ответ: у = х + ^х2 +
л.2 3 , \
+ - х + ....)
2 х2
7.30. у' = х + у , у(0) = !• (Ответ: у = 1 + х + — + ....)
£ Методом последовательного дифференцирования
найти первые к членов разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения при указанных начальных
условиях.
8.1. у' = arcsiny + x , у(0) “ 5 * к = А. (Ответ: у = i +
. - f l + - 2- ) х 2 + 2
б 2V 3^ 6 ^ /3 9 27лД
8.2. у' = ху+1п(у + х ), у(1) = 0 , к = 5. (Ответ: у =
_ ( х - 1)2 + ( х - 1)3 + ( х - 1)4 +
2 6 6
v
8.3. у' = х+у2, у(0) = 1, к = 3. (Ответ: у = 1 + х +
, 3 2 V
+ 2* + Т )
8.4. у’ = х + —, у(0) = 1, к = 5 . (Ответ: у = 1 + х +
у

8.5. y V = xy+y'x2, y(0) = y'(0) = y"(0) = 1. У'"(0) = 1,
2 3 4 5 a 6
к = 7. (Ответ: у = 1 + x+ — + — + — + — + z£- +....)
2! 3! 4! 5! 6!
8.6. у' = 2 x -0 ,ly 2, y(0) = 1, к = Ъ. (Ответ: у = 1 -
- 0,lx+l,01x2+ ....)
8.7. / " = /'+>>'2+у3+ х , у(0) - 1, /( 0 ) = 2 , у”(0) =
= 0,5, к = 6. (Олволу = 1 + 2х+ — + т^х3 + ^ х 4 + т |х 5 +....)
7 4 12 48 48 '
8.8. У = х - х у у у(0) = 0,1, к - 3. (Ответ: у = 0,1 —
- 0,05х2 + 0,ЗЗЗх3 + ....)
8.9. у " = 2уу’, у(0) * 0 , / ( 0 ) = 1, к - 3. (Ответ:
' вж+тМ?;--°
8.10. у' = 2х+ cosy, у(0) = 0, к = 5. (Ответ: у - х -
3 4
6 4 ■
8.11. / " = уех- х / , >(0) - 1 , у'(0) = у"(0) - 1 ,
2 3 4
к = 6 . (Ответ: у = 1+х+ —+ — + — + 0*х + ....)
2! 3! 4!
8.12. / = З х -Д у(0) = 2, к = 3. (Ответ: у = 2-
-4 х -^ х 2 -....)
92

8.13. у" - хуу' , у(0) = / ( 0 ) = 1, к = 6 .(Ответ:у = 1 +
х 2 х 3 х
+ Х + — + — + — + ....)
3! 4! 5! Г
8.14. у' = х - 2 у , у(0) = 1, к = 3. (Ответ: у = 1 -
—2х + 2х2 + ....)
8.15. у" = »(1) = 1, у'(1) = 0 , к = 4 . (Ответ:
у х
(* -1 )2 ( х - I)4 , 4 (х - I)5 + )
2! 4! 5! '
8.16. у' = х2 + 0,2у2 , у(О) = 0,1, к = 3. (Ответу = 0,1 +
+ 0,002х+ 0,00004х2 +....)
8.17. у" = у'2 + ху, у(0) = 4 , у’(0) = —2, Л = 5. (Ответ:
2 3 19 4
у = 4 - 2х + 2х - 2х + ~~х + ....)
6
8.18. у' = ху + у2 , у(0) = 0,1, к = 3. (Ответ: у = 0,1 +
+ 0,01х + 0,051х2 +....)
8.19. у" = е*"siny', у(л) = 1, у'(я) = к = 3. (Ответ:
У = 1+ |( х - я ) + |( х - я ) 2+ ....)
8.20. у’ = 0,2х + у2 , у(0) = 1, к = 3. (Ответ:
у = 1+ х + 1,1х2 + ....)
8.21. у" = х2 + у2, у ( - 1) = 2, / ( - 1 ) = 0,5, к = 4 . (Ответ:
у = 2 + |(х + 1 ) + |(х + 1 )2 + Л (х + 1 )4 + ....)
93

8.22. У = х2 + х у + е х , у ( 0) = 0 , к = 3. (Ответ: у = х -
1
8.23. У = — — + 1, у(0) = Г, к = 5. (Ответ: у = 1 +
+ 2 х -х 2 + |х 3- ^ х 4 + ....)
8.24. У '+ у = 0 , у(0) = 0 , у'(0) = 1, к - 3. (Ответ:
8.25. У ' = ycosy’+ x, у(0) = 1, у'(0) = | , к = 3. (Ответ:
у = 1 + jx + ^ x 2 +... ?)
8.26. у' = cosx+x2 , у(0) = 0 , к - 3. (Ответ: у = х+
8.27. у' -4 у + 2 ху 2 = е3*, у(0) = 2 , к = 4. (Ответ: у -
= 2+ 9х+^х2- ^ х 3+ ....)
2 о
8.28. (1 - х ) У +у - 0 , у(0) = У(0) = \ , к - Ъ. (Ответ:
2
У - 1 + х - | . + ....)
8.29. 4xZy " + y = О, Х О = 1» / О ) «■ j . * = 3- (Ответ:
у = 1 + 1 ( * - 1 ) - |( х - 1 ) 2 + ....)
94

8.30. у = 2х2 +у3 , у(1) = 1, к = 3. (Ответ: у = 1 +
+ 3(х-1) + ^ (д с -1 )2 + ....)
9. Построив мажорирующий ряд, доказать правильную
(равномерную) сходимость данного ряда в указанном промежутке.
9.1. V -------------- ,0£дс.
^ 2ЛУГ+Зях
я - 0
’ •2- £i
3
S f
/1*0
9.3. у
л!
- 0 0< х < + 0 0 .
/I в 1
9.4. У -—-—, —оо < х < +оо.
• п я - 1
\
9.5. У ------------ , 1 £ х < + о о .
.. . Зч"
я - 0

9.9. у -оо

00 2 . г
9.20. V , о £ х < +оо.
* | 3 4
, 1 + п X
/Iе 1
9.21.
00
------, 0 £ х < + 00.
I -Л х ’
2 л
л « 1
00
9.22. У arctg— , - -00 < Х < +00 .
л
л - 1
00 2
9.23. V п
х+ п'
л = 1
-00 < Х < + 00.
9.24.
9.25.
00
Z
л ■ 1
п
я3 + v 4 -
2
X
j
1 i < х » Л < J 2
00
Е 1 f4x + 1 V 2
2 лЧ2х - 5
л ■ 1
WIK)
00 з
9.26. V — ------ , 1 < х < +оо.
L a 3 Л
л = 0 (1+х )
00 ( 1 \ЯИ2
9.27. У I— '---- , —о о < х < + о о .
La 2 , 4
, X + л
я = 1

Решение типового варианта
Найти область сходимости ряда.
л= 1 л2 + 1
►Воспользуемся признаком Д’Аламбера:
л+ 1
л J 2 ’ ИЯ+1
\ Л +1
/ , '
У(п+ 1) + 1
/ п+1 1 2 ,
lim ill 1 = lim >Jx >Jn + 1
Л —> 00 ип
Л -» 00
J(n+ 1)2 + \ J x n
= Jx lim — = Jx.
п~>Чп: +2п + 2
Интервал сходимости определяется неравенством Jx< 1 ,
откуда 0 < х < 1. Исследуем граничные точки этого интервала.
При х = 0 получим числовой ряд, членами которого являются
нули. Этот ряд сходится, точка х = 0 входит в его область схо­
1
димости. При х = 1 получим числовой ряд
. Вос-
La Г~2
п = 1 V" + 1
пользовавшись предельным признаком сравнения ряцов с положительными
членами, сравним этот ряд с гармоническим
расходящимся радом, общий член которого vn = 1 / л :

lim — = lim n = 1 = к * 0
»-> V я -» oo I 2 . ,
л/я + 1
Следовательно, числовой ряд V
расходится и
„_1 л/л2 +1
точка х = 1 не входит в область сходимости.
Таким образом, область сходимости исследуемого ряда
0 5 х < 1 .<
я + II х -З х + 2
+ Зх+ V
л = 1
►По признаку Д ’Аламбера имеем:
я2 + 2 л + 2 х2 - Зх + 2 Л+1
lim ‘л+1 lim
л2 + я
2л + 1 х2 + Зх+ 2
л-»оо „ * + [ х2 - Зх + 2 л
п
2
х +Зх + 2
х2 - Зх + 2 lim и2(п2 + 2л +2) _ х2 - Зх + 2
х2 + Зх + 2 л->со(л2 + 1)(л2 + 2л + 1) х2 + Зх + 2
, х -З х + 2 ,
- \ < - 1----------- < 1.
х +Зх + 2
Решаем полученные неравенства:
< 1.
. ^ х2 - Зх + 2 х2 - Зх + 2 + j > q 2х2 + 4
> 0 .
х2 + Зх + 2 ’ х2 + Зх+2 ’ х2 + Зх+2
Отсюда
х + Зх + 2>0, хе (—оо; —2)u (—1; + » ).
Далее,
99

?L—Зх+2 < i , *——_.? _ i < о, -----й*— °
х + Зх+ 2
Следовательно, х е (—2; —1) и (0; +°о). П рих= 0 получим
числовой ряд
оо 2
#| + 1
— — , для которого
11—1 п
»2 +1
lim и_ Л = lim ------- •) = 1 * 0 ,*
Я-»оо л -* ОО
т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Следовательно,
этот числовой ряд расходится. Область сходимости
исследуемого ряда: 0 < х < +оо. i
00
—^ 2 *
3. £ О - * 1 ■
Л = 1
►Воспользуемся радикальным признаком Коши. Находим:
ип = (3-х2) , lim " А - х2| = 13 —х2| < 1 ,
Л—►00
—1 < 3-х2 < 1 .
Решаем полученные неравенства:
3-х2> —1, х2-4< 0, Хб (—2; 2);
3-х2 0,хе (—оо; —л/2) и (л/2; +оо).
Пересечение найденных решений дает интервалы сходимости
исследуемого ряда: х е (—2; —л/2) и (л/2; 2).
Исследуем сходимость ряда на концах этих интервалов.
00
При х = ±2 получим числовой ряд ^ (—1) . Этот знакочел
= 1
редующийся числовой ряд расходится, так как не выполняет-
100

ся необходимый признак сходимости числового ряда
( lim ип = 0 ). При х = ± J l получаем числовой ряд V 1 ,
П—> 00
СО
^
Л = 1
который расходится, поскольку необходимый признак сходимости
также не выполняется. Значит, область сходимости исследуемого
рада (—2; - Л ) и (72; 2) .<
2
4. Разложить функцию у = cos х в рад Тейлора в окрестности
точки х0 = п /3 . Найти область сходимости полученного
рада к этой функции.
►Преобразуем данную функцию:
2 1 ' 1 -
у = cos х = - + -cos2x.
2 2
Разложим полученную функцию в рад Тейлора. Для этого
найдем значения данной функции и ее производных до л-го
порядка включительно в точке х0 = п /3 :
/( * ) = | + ^cos2x ,
f t \ г ( 1 . 1 2я _ 1 1 . 1 ,
* № о ) = 4 з ) = 2 + 2 И Т П ' 4 '
>
/'( * ) = —sin2x , / ' ( 5 ) = - s i n y = - у ;
/"(X ) = —2cos2x , / " ( 5 ) = —2 c o s y = 1 ;
/'" ( х ) = 4sin2x, / ' " ( 5 ) = 4 s in ^ =
/ (и)(х) = - 2" 1sin^2x + ( n - ,
/(Л>(з ) = - 2Л_18т ( ^ + ( л - 1) |)
101

Полученные числовые значения производных подставляем
в ряд Тейлора при х0 = и/3:
- М 4 т И И Н ) 2 + М * - 1 ) 3 + - +
+si(-2"' ' s“ ( ¥ + со
п —¥00 Я + 2
(л + 2)! ■2 ( х - п /3 )
Полученный ряд сходится при любом х. Значит, область
его сходимости к функции Дх) = cos2x такова: —оо

е-1 /2 = 1 - 1 + — ______U + - J _______— + .
2 4 -2! 8-3! 16 • 4! 32-5!
Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того чтобы
вычислить значения функции с точностью а = 0,0001, необходимо,
чтобы первый отбрасываемый член был меньше
0,0001 (по следствию из признака Лейбница). Имеем:
а = _ 1 _ = — I— - = —1— < 0 ,0001.
7 64-6! 64 - 720 46080
С заданной степенью точности
2 8 48 384 3840’
Ш
1 -0,5 + 0,125 - 0,02083 + 0,00260 - 0,00026 «0,6065 .<
6. Используя разложение подынтегральной функции в сте-
0
dx
пенной ряд, вычислить определенный интеграл
3
X
с точностью до 0,001.
►Воспользуемся биномиальным рядом (см. формулу
(12.21)). Тогда
1
3 1ЩШ-1 /3
Получили бином вида (l+z)m, где т = —1/3, а г = —(х/2)3.
Имеем:
д/8 -■X
г
3 + 4 U хЛ 6 28
9 2!ч 2 / 27 3!
= i ( l + l + A + J i L + ..)
2 \ 24 288 18176 Г
103

О . г л 9
f - J = = - \ ( (1 + — + — + -12— + ...lobe =
j з/Г ~ з 2JV 24 288 18176 J
_2 V ® X
1/ 4 7 . 10 X
= jfx + - £ _ + _ * _ + - i s : — + j
2V 4 • 24 7 • 288 10 ■18176 J
= I ( Y - U _ i _ l _ Z _ + . . l
2V 96 2016 181760
>
1
2016
< 0 ,001.
С точностью до 0,001
о
dx 1 1
J w = 4 " 2 ' Ш “ 0-5 ' 0,0052 " 0,495
j j c
7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х —1 решения
дифференциального уравнения у' = 2х + у3 , у (1) = 1
(записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения.)
►Точка х = 1 не является особой для данного уравнения,
поэтому его решение у можно искать в виде ряда:
, |р П Б | | 3 | | | j j j | | | 11 ♦... j
Имеем: /(1) 1 1 , / '0 ) = 2+13 = 3 ,/"(* ) | 2 + Зу2у',
/ ”(1) = 2 + 3-1 • 3 = 11. Подставляя найденные значения
производных в искомый ряд, получаем решение данного уравнения:
у = l + i ( x - l ) + i i ( x - I )2 + ....<
8. Методом последовательного дифференцирования найти
первые пять членов разложения в степенной ряд решения
дифференциального уравнения 4 х2у " + у S 0 при следующих
условиях: у( 1) =* 1 , у'( 1) = 1 /2 .
104
- l

►Ищем решение данного уравнения в виде ряда:
у = /О) 1) +Я Р (*~ I)2 +‘t l P (jc_ I)3 +
Л1) - 1. /41) =
/ " ( * ) ------- ^ /" ( О "
4х
г .{х) = _ j S ^ z 3 a t / »41) = _ (.i / .?.). \ i .- .2 .:,i = | .
/ \ х ) = ~ ((у " х 2 + 2ху' - 2 у - 2 х у ') х 4 - 4х3(у'х2 - 2ху))/(4х8) ;
- 4 1 -
Подставляя найденные значения производных в ряд, получаем
искомое решение дифференциального уравнения:
15 ( x - i ) V ; .,
16-4!
( х - 1 ) 2 + ( х - 1 ) 3 S ( x - 1 ) 4 +
2 8 16 128
9. Исследовать на равномерную (правильную) сходимость
ряд
°° 2 .
■с-1 х sin (л/х /л )
i + A 3
►Ряд определен только для х > 0 . При х = 0 сумма ряда равна
нулю, т.е. ряд сходится. При х > 0 верны оценки
2 .
х sin (J x /ti)
1 + п х

Тогда в силу сходимости ряда
и теоремы сравнения
и - Iя
рядов (см. теорему 3) данный ряд сходится при всех х £ 0 .
Докажем, что для 0 й х < +

ИДЗ-12.3
1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодо
ю = 2 я ) функцию Дх), заданную на отрезке [—я; я].
1.1. Дх) = | ° ’ (Ответ: Дх) =
х-1, 0£х£я. 4
a Ito
Z
cos((2fc- 1)х) + я - 2 ^ sin((2& - 1)х)_ ^ sin(2fcx)^
n ir i \2 « 2 - 2 * - 1 L 2к 4
к - 1 1 ' * -1 * -1
1.2. Дх) = | 2Х 1 ’ * * ° ’ (Ответ: Дх) = +
10, 0

{Ответ:fix) = S + i - 2 у cog«2fc-l)x)_
4 ( 2 k - 1)2
Д+ l ^ sin((2fc- l)x) i ^ sin(2*x) 4
я Z j 2 k -1 L , 2k
1
*= 1
1.5. Дх) =
О, - я £ х < 0 ,
x/2 + 1, 0

+

1.11. Л *>-10, ■"s '

■5тс-2 v-, sin((2fc-l)x) - у , sin(2^x) ч
я la 2 k - 1 r 2i, 2k }
к - 1 k = 1
1.15. Дх) “ j
О, —я < х < ’0;
l- 4 x „ 0 < х < я .
(Ответ:Дх) -
+ 5 V
2 ( 2 4 - 1)
• 2 4я i sin((2fc- l)x) .- . 8ш(2^х) ч
я la 2 k - 1 la 2k '
k= 1
1.16. Дх) =
jB x+2, - я 5 х < 0 ,
[0, 0 < х 5 я .
(Ответ: Дх) = ^ ^ V cos((2fe- l)x) +
4 (2Л -1)
.З я - 4 sin((2fc- l)x) _ v - , sin(2fce) ч
я la 2 k - \ la 2k }
Щ i
*= i
Го, —я5х< 0,
1.17. Дх) = -I ’
14 -2 x , 0 < x < n .
(О т в е т а х ) = i ^ + 4 V +
2 (2А -1)
. 2 ( 4 - я ) sin ((2 fc-l)x ) . 0 sin(2fcc) ч
я 1а 2 к - 1 1а 2 к ’
Щ 1 ■*= 1
111

1.1».л*) - l X+l/2‘ -«4*S0.
\o, 0

1.22. Дх) = 6 х - 2 , —п £ х й О ,
О, 0

(0»»«т. Л*) - “ у Я».«2* - 0 ») +
1 (2t —1)
+2 (5я-3) у sin((2t- 1)х) _ jq у sin(2for) ч
я 2- 2*-1 2* 2Л *
*=1 к -1
1.26. Лх) -
l - x /4 , —я * х £ 0 ,
О, 0 < х * я .
(Ответ:Дх) =
1 V с

j_2(rc -н 11) ^ sin((2A:-l)x) ,, ^ sin(2ifcx) Y
я l a 2 k - I la 2k '
к - 1
k - l
1.29./ ( * ) - ( “• - " S*

2 ? J* " / 1ЛЯ+1
2.2. Дх) = х . (Ответ.: х2 = 2. + 4 у ( - 1) cos их
3 /-i 2 *
и “ 1
00 2 ,.2
е2 = | у « ~ 4(2* - 1 ) sin((2^- 1 )х )-2 я V
(2Л - 1) Z ,
л - 1 ' * - 1
2к '
2.3. Д х) = 2х . (Ответ: 2х = ------- +
я!п2
, 21п2 £ 2" ( - 1)"-1
+ ----- > —%— ‘—1— совлх,
л ~ л + In 2
л = 1
о ® / i\n+1 . I
2 = - V ^ ^ -------------лзшлх.)
71 ~ л + In 2
I» = 1
2.4. Дх) = ch x . (Ответ: chx = я
( ^
1+2 V (-1 )" ^ 5 ^
_ 2 ^ 1-С—l)"chn .
chx = - > — *— г—— nsm nx.)
1 + л2
П= 1
2.5. Д х) = е х . (Ответ: е~х = -~ -е— +
v л = , 1 + "2.
00
2 1- ( —1)"е “ -* 2 l - f - l ) V n .
- > — 1— ,— совлх, е = - у —»—

я2- 2 я + 2 V 4
Л 2Лв1 (2Л -1)
sin((2&—1)х) +
+ 2 ( 2 - я ) у 5 в . )
2 А:
it- 1
2.7. Дх) = 3 */ 2 . {Ответ: 3 */2 = 2^- 3------ ^ +
пшЭ
о 00 1 / -*\Я я/2
-х/2 8 х-, 1 —(—1) *3 . ч
= " у -----;— ПSin/IX.)
71 " i 4л +(1пЗ)
2.8. Дх) = sh2x. (Ответ: sh2x = с - - —+
2 я
4 ^ сЬ2я • (—1)л- 1
- > ---------1 ?------cos/ix,
4 + и
Л = 1
2 ( - 1 ) л+1 sh2n .
sh2x = - У *— --------------nsmnx.)
п ^ л + 4
Л - 1
•у о 211 —1
2.9. Дх) = е *. (Ответ: е х = - — ■+
2я
. * , п я 2« -
4 _ ( —1)е -1
+ - У *— *------— cos/IX,
4 + и
л - 1
Л , 1Чл 271
2х 2 1 —(—1) в v
» = - У ---- *— *-2----nsmnx.)
4 + л
л - 1
117

2
2.10. Дх) = (х -2 )2. (Ответ: (х -2 )2 = + 12 +
+ 4(4-гс) cos(2А:- 1)х ! ^ cos2fcc
Л * 1
2.11. Дх) = 4л/ ^ . (Ответ: 4' . i t 4* '1 -
Я
sin их.)
li +
.6 1 п 4 ^ (-1 )".4 п/3-1
+ — у 2----

. О 00 1 / 1ЛЛ-4я
4х 2 « ч е . v
в = - ) — — 1-------- Л S in /I X .) •
Л + 16
я - 1
2
2.14. Дх) = (х+ I)2 . (Ответ: (х+ I)2 = 71 +3л + 3
4(я + 2) cos((2А: - 1)х) + ^ у cos(2fcx)
я /п I *\2 /л I \2
*_1 | Л- | {Г? (2*)
; , , ч2 2 ^ (2 - л 2) + (—1)и( ( я - 1)2л2 - 2 ) .
(х+ 1) = - у -------- L— -—
Я м з
п
п “ 1
------ L----------sin/ix.)
2.15. Дх) = 5 х . (Ответ: 5 х - — ------+
яШ5
. 21п5 ^ 1 -5 (-1 )
+ ----- > —~ 1— f-cos/ix,
я ^ /I + (1п5)
п =» 1
оо , . 4ЧИ - —11
2 ^ 1—с—1У - 5 . ч
5 = - У — %— 1---- — /isin/ix.)
п + (1п5)
л - 1 4 г
2.16. Дх) = sh3x. (Ответ: sh3x = с^ к *
Зя
6 ^ (—1)ЛсЬ Зя- 1
- у *— Ч.----------cos п х ,
/1+9
л = 1
2sh3 (—1)л+1 .
sh3x = ----- У 1—тг------/isin/ix.)
я ^ я + 9
я я 1
___я / 4
2.17. Дх) = е-х /4 . (Ответ: е~х/Л = ------i +
Я
119

, 8 £ l - ( - n V " /4
+ - > — 1----X-------- cos nx
16л2 +1
л ■* 1
“Jt/4
..
32
M
r
*
i 1“
,
I
/
—1)
п я
с
-л/4
v
■ = — > — »— %---------nsmnx.)
n ^ 16л2 + 1
л = 1
2.18. Д х) = ( 2 x - l ) 2 . (Ответ: (2 x - I)2 = 1 5 -Z
6я + 3 +
, 8 £ (—l)" (2 n - l) 2 + 1
+ й I ^ ЛЛ 2 ' ------- со8Л Х ’
n = 1 П
( 2 x - 1)2 = ? V - ^ .innx.)
Я м з
л
Л = 1
2.19. Д х) = 6*/ 4 . (Ответ: 6х/4 = 4 (6”/ 4 ~ 1) +
Я1Пб
, 8 i n 6 ^ (—l ) V / 4 - l
+ ------- у 1------%-------------cos/ix,
71 , 16л +(1п6)
Л = 1
,х / 4 3 2 ^ W - 1 ) V / 4 .
6 = — ) — \ —L-------nsm nx.)
я “ 16л2 + (1п6)2
2.20. Д х) = ch4x. ( Ответ: ch4x = Ё115 +
4я
8sh4rc V-, (—1)
-------- > — t—cosnx,
п ^ п + 16
л —1
2 J —(— 1 )лсЬ4тс ч
ch4x = - \ — --------nsmnx.)
п *-d 2 ,
л +16
л = 1
120

2.21. Дх) = е 3*. (Ответ: е Зх = -— -— +
Зя
* 00 1 / 1\ л —Зл
• ^ чтч I—( ^ l ) е
+ - > — H r* ------- cosnx,
и + 9
Л “ 1
„ о 00 1 / 1 чя —Зя
- З х _ 2 * 1) ^ • \
*. = - > — г-^-------nsm nx.)
* ^ л + 9
я» 1
2
2.22. Дх) = х2 + 1 .(Ответ: х2 + 1 = +
Л » 1
2 . , 2 ( л 2 - 2 ) + ( 2 - и ) 2 (712 + 1 К - 1 ) л .
х +1 = - > 1-------1—1
я ^
л - 1
з
^— t-sinnx.)
2.23. Дх) = Т х/1. (Ответ: Т хП = +
я1п7
. 141п7 Д 1—(—1)" • 7 п /7
+ ---------- > ---------------------------— C 0S7IX ,
к ^ 49 п + (1п7)
п = 1 4 '
„—х/1 98 Д 1—с—1)Л7 "/7 .
7 = — у — ------ —/isin/ix.)
п ^ 49 л + (1п7)
п = 1 4 '
2.24. Дх) = shp. (Ответ: shp =
и-о
5 ' 5 я
121

Л = 1
25„ 2 + 1
50sh^ оо я+1
sh- = ---- у *— i--- nsmnx.)
5 71 25л +1
л = 1
4 vv ч : —2jc/3 / л —2jc/3 3 (1 - в “ 2я/3)
2.25. Дх) = е . (О твет: е = i +
2я
п 00 1 / 1 \« — 2я/3
12 к-, 1—( —1) е
> --- *--- %---------С О ЗЛ Х ,
я ^ 9л +4
Л 351
_ 1 о 00 / 1 чл л —2я/3
—"2 х / 3 18 «п 1 (■” 1) I с е v
е = — \ — 1— %------- nsm nx.)
я *-л 2 , „
9л“ + 4
л = 1
- 9 2
2.26. Дх) = (х - я ) . (О т в е т : ( х - я ) = — +
оо оо 2 2 л
, „ со вл х _\2 2 ^ (л Я + 2 )( —1 ) - 1 . ч
+ 4 — — , ( Х - Я ) = - D i--------- ---------- 5 Ш Л Х .)
л = 1 п Л = 1 п
2.27. /Гх) = 10~*. (О тве т: 10_х = 1-10 +
я In 10
21nl0 £ 1—( —1)я10 *
----- У --%---4 i----COS/IX,
■ л + In 10
л = 1
оо
■ - „ 2 „ * ( — 1 )"- 10 " , _ J _ 4
10 = - У — \ L ------ л sm лх.)
я £
л + In 10
л = 1
2.28. Дх) =ch - . (О тве т: ch- = shl +
я
я
122

у J = U L
L l+ n n 2'
n - 1
ch- = 2n V -—^ ^
я ^ 1+ n V
n =* 1
я sin их.)
-i -io л \ 4x/3 4x/3 3(е4я/3- 1 )^
2.29. д х ) = e . (О тв е т: e = -i------- * +
4я
. . ® / . vл 4n/3 ,
. 24 ^ (- 1 ) e -1
+ — > 1— ‘-7------ cosnx,
n ^ 9л + 16
n m 1
чл 4я/3
4x/3 . ы Ю 18 r-i °° 11—( /—1) 1\Я
) e g
v
e = — ) — * ■-v-----/ism/uc.)
Я ^ ft 9л" »• -L-
+16 1£
Л " 1
2
2.30. Д х) = (x - 5)2. (О тв е т: (x - 5)2 = п ~ 15п + 75 +
oo 2 ^
, 4 (я - 5 ) (- 1 ) +5
+ - У 1---- ‘-i r—‘--- « « л х ,
Я и 2
Л
Л - 1
, , ч2 2 £ (25и2-2 ) + (- 1 )л(2 - л 2(5 - п )2) .
(х - 5 ) = - У *------ ‘— i— V*---- »----^ в ш л х .)
Я
л
„3
л- 1
3. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале периоди
ческую функцию Д х) с периодом а> = 21.
3.1. Д х) = |х |,—1

3.2. Дх) = 2x, —l

__4 у . cos((2 h - 1)ях) , 8 у , (- l)"s in ((2 n + 1)ях/2)
(2 л-1)2 (2л+1)
3.8. Дх) = 10-х, 5 isin(nTCx/5) ^
Л л—' /I
3.9. Дх) =
1, -1£х

3.13. Дх) =* j *’ / = I. (О т в е т :Л х ) =
1—1, 1

(2л+1)2 5
I—X, —4

3.23. Дх) =
3, —3 < х < 0 ,
3 /2, х = 0, 1=3. {О твет:Дх)
—х, 0 < х < 3 |
6 х~> cos({2 л —1)ях/3) 9 у , sin((2n- 1)ях/3) ,
_2L ,,2 я А - *
* л~ (2л- 1) 2 л - 1
3 ж-i gin(2fctx/3)
+ ЛЛш1 -У 2к
к= 1
3.24. Дх) = 1 -|х |,—3 < х < 3 ,/= 3 . (О твет: 1-|л|
= - \ + Щ у ----- L - c o s C 2- ^ ^ . )
2 п ^ (2л-1)2 3
3.25. Дх) =
-2, —4

_£ у cos((2rt- 1)ях/2) _ JL у cos(2(2Аг—l)nx/2) .
я2«-1 в~ц " 2*- i взб
_ „ „ ч 1—1/2, —6 < х < О, - |
3.28. Дх) = < / = 6. (О твет: Дх) =
I I , 0

4.2.
1 1 N l •
-6 -5 -^ N v- 5
i
i
*
I^ T S
v/ 0 ^ / *
* ” J S ■ 6 X
I T
у
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 1 4 5 6 7 *
4.4.
У |
■75. -45

4.7.
4.8.
Z z
0 1
/ * 4 ! У - ' * w _
4.9.
4.10.
y-
/
-5 -4 -J -2 - / О 1 2 j 4 J
131

4.11.
К К
-5 -4 -5 - 2 - 1 О 1 2 3 4 5 X
4.12.
\ . . \
'6 - J -4 -

4.16.
У\
1/2
-dl -5 ■2 \1 У S 'I '
0 1 2 j |X 4 J 6 x
ч/г
4.17.
1 -6 -5 -3 -2 -f 0 1 2 3 4 5 6 >
4.18.
4.19.
4.20.

4.21.
Уь
J -----
/ \ / \ / \
/
______ 1______
------1-----
-6 -5 -4 -J -2 -1 0 1 2 J 4 5 6 "x
4.22.
yj
-7 -6 -5 -4 3 ~2 -/ О 1 2 J 4 J 6 x
4.25.
у 4/
У
у
1
____ i____
1 1 и
-5 -4 -5 -Г -/ 0 1 2 J 4 5 6 ж
134

У
-/
4.27.
х>
Y
\ / ч / \ / у
/1
V V
"Ь "5 т4 -3 -2 "1 О 1 2 3 4 5 6 . 7 х
4.28.
4.29.
4.30.
. и
~7 -6 -5 -4 -5 -2 -Г
/
1
1 ' А . . . . . . ./i
0
-1
- 2
135
.
1 2 3 Ь 5 X

5. Воспользовавшись разложением функции Дх) в ря
Фурье в указанном интервале, найти сумму данного числового
ряда.
5.1. Дх) = М , (- я ; я), £ --- -— ; . (О т в е т : .)
(2л- 1)*
л= 1
00
5.2. Д х) = |sinx|, (—я; я), V — ^— . (О т в е т : ■[ .)
Xw А 2 , 2
4 /1 - 1
л = 1
5.3. Дх) = х , [- я; я], У (- 1 )л+ . (О т в е т : j - .)
л
л =1
5.4. Дх) = х, [0; л], по косинусам, V --- -— \ - (Om­
(2л - 1)
я \ ве/я: — .)
-х, —л

5.8. Дх)- cosx, [о; 5 ], (0 твет:
k= 1
2^П)
4 '
5.9. Д х) - х, (0; я ), V ----— -. ( О твет: )
2
5.10. Дх) = х2, (- я ; я), ~ . (О твет: ~ .)
л*1
00 • -/t—1
5.11. Дх) = х (я - х ), (0; я ), по синусам, V —
з
(О твет: ^ .)
■ (2й- 1)
0 Jf
5.12. Дх) = |sinx|, (—я; я ), V ' , ' . ( О твет: )
□ 4л - 1
п= 1
4
5.13. Дх) 1 1 °’

-1, —1£х

5.25. Дх) = п2- х , (- я ; я ), £ С "1) . (О тв е т: 2L .)
. п
П=1
00 п
5.26. А х ) = xsinx, [- я ; я ], V \ ' . (О тв е т: \ .)
J t * j /1*2
1 I -т! 4
5.27.Д х) = |^ ’ y b ^ . ( t a .. ;.)
[1, О ^ х ^ я , ^ 2 л - 1 4
л = 1
„ . Г—о, —я^ х < 0 , “ (,_ п " +1 , „ я
5.28. Д х) - < У i— *---. (О твет: - .)
[в , 0 < х ^ я , "2и+ 1 4
л ш О
0 Г 1\л+1 - О
5.29. Дх) = |cosx|, [—я; я], V *— ^---. (О тв е т: —— .)
, 4л - I 4
я = 1
5.30. Д х) = Icos , [—я; я ], У —^-т. (О тв е т: ——'- .)
I 2| ^ j —4/| 4
я — 1
Реш ение типового вар и ан та
1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
со = 2 я ) функцию
А „ Гя + х. —я

и = п + х, du = dx,
1 .
dv = cosnxdx, v = -sinnx
n
( ^ ■* sinnx) - i J sin nxdx
1 ,0 1 ,, , , ,л,
2 ; COSWX | jt = ---“ 2V. ( I — v ( — 1 ) ,)
ли nn n (2 n - 1)
b = - f (n + x) sin nxdx =
7t J
и = n + x,
du = dx,
rfv = sin nxdx, v = — cosnx
n
/
0 0 ^
( п + х \
1---------cosnx) +1 Г cos nxdx
V И / п j
V —я
—п ^
I f я 1 . .0 ^ 1
= -I — + — smnx I = — .
rev n 2 I—v n
Ряд Фурье для данной функции запишется в виде
д х) = 5 +1 у co s ((2 n - l)x ) _ у sin(nx) ^
4 n Z " (2 n - 1)2 ^ л
л —1 п » 1
г,*/2
2. Разложить в ряд Фурье функцию Д х) = 8 , заданную
интервале (0; п), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным
образом. Построить графики для каждого продолжения.
►Продолжим данную функцию четным образом (рис. 12.7).
Тогда

a _ = Slg*''2 - f
n nJ
^
Рис. 12.7
Найдем неопределенный интеграл |8х/ cos nxdx, выполнив
дважды интегрирование по частям:
и — 8*/2,

8л (\ „х/2 . . 1п8 „х/2 ^
--- ------ —I - •8 sinnx+---8 cos лх I
я(4л + (1п8) ) 2л2 '
ш 41п8(8я/2(—1)” - 1)
я(4л2 + (1п8)2)
Следовательно, разложение данной функции по косинусам
имеет вид
,х/2 2(8я/2-1) . 41п8 ^ 8*/2 (-1)"-1
j = ± ± 2 ------ L I + ---- у ----- — i— i— — c o s n x .
я1п8 я Lu
4л
• !
+(1п8)
. ✓._оч2
я = 1
Р и с. 12.8
Теперь продолжим данную функцию нечетным образом
(рис. 12.8). Тогда
А = - [$ x/2sm nxdx,
" я;
О
18х sin nxdx =
и = 8Х/2, du = | •8x/2ln8dx,
dv = sin nxdx, v = — cos nx
ft
= —i 8x/2 cos nx + ^ f 8z/2 cos nxdx =
2/1J
142

и = 8Х/2, du = |8x/2ln8dx,
dv = cosnxdx9v = -sin/ix
n
B „х/2 . 1X1 » Cax/2 . ,
cos их + — - •8 sm/jx--- - 8 sinnxdx,
2/1 4/i
2
8n
bn ■
я(4л2 + (1п8)2) (г \ Ь
,х/2 1п8 0х/2 . }
cos пх + — - •8 sin их
п
~ 2 )
2 п
= 8и( 8,1/2( - 1)я + 1 + 1)
я(4л2 + (1п8)2)
Следовательно, разложение данной функции по синусам
имеет вид
„х/2 _ 8 £ 8я/2(- 1 )л+1 .
о = - > --- £—

= — sin(/injc) I® 4 rx siM « ra c ) |inn
1 nn '0
i I Щ I .
-j~iCoa(nnx) |J =-Д-((-1)я_1),
- 2
n \ ln - \ )2
о ш I
bn = J sin(/mx)

►Запишем аналитическое выражение данной функции:
А х ) =
[0,5х+ 1, — 2

£.00*52*1 = ~ L +
nn nn 2 L fin
+J L sin«2Ef| _ 2.
A * 2 1—2 ЛП' Л71
= i w i H ) " , a ( l+ 2 ( - l) " +1)
nn nn nn
Следовательно, искомый ряд Фурье
Дх) = 5 + 1 у cos ((2 я - 1)ях/2) +
4 (2и —I ) 1
+ i - a ± i t i ^ sin2H .,
п £-* п 2
п =1
5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
' \х, 0 £ х £ 1,
” [2 —х, 1< «2,
0
на отрезке [0; 2] (рис. 12.10) и найти сумму ряда V
1
(2 л +1)
.- Т х Л ч Й Ч Л '- -
-4 -3 -2 -f О 1 2 3 4 ж
Рис. 12.10
►Продолжим функцию четным образом и вычислим коэффициенты
Фурье:
1 ) 2» 2. 2
а0 = \xdx+ ](2-x)dx = у + [2x-Z-)
0 1 0
■1 +И - 2 )- (2- 1 )- 1 ,
146

вя = \ x ^ d x + \ { 2 - x ) COs V Z d x =
и = х, du = dx,
» лях » .. 2 . /1ЯХ1
a v = cos--- ax, v = — sin---
2 nn 2
и = 2 - x , dw = — dx,
. лях . „ _ 2 . лях
av = cos---ax, v = — sin— —
2 nn 2
2x . лях
— sin——
л я 2
2 r . лях . ,
--- sin---- dx +
nnl 2
, 2 (2 - x ) . лях
+ ^sin———
ля 2
. 2 f ■ л я х »
+ — sin— —ox =
л я J 2
A sin^ + . 4 0S« H
nn 2 „ V 2
2 . ля
--- sin---
nn 2
Следовательно,
n n
4 _лях
2 2C° S 2
1 n2( l n + l ) 2
Полагая x = 0, получаем:
” »-o
_ n_
2 8
2
Таким образом, с помощью ряда Фурье мы нашли сумму
числового ряда.«
147

12.7. Д О П О ЛН И ТЕЛЬН Ы Е ЗАДАЧИ К ГЛ. 12
1. Найти сумму ряда
00
£ (л + 1)(л + 2)(2л + 1)(2л + 5)
л — 1
(О твет: 1/90.)
2. Исследовать на сходимость ряд
“ Г7п-\\п/2
(О твет: расходится.)
л = О
00
3. Показать, что если ряд ^ ап абсолютно сходится, то
Л = 1
оо
РЯД V --- а„ также абсолютно сходится.
I л л
Л “ 1
4. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость
“ / _ п л +1. зл
ряд > i— I----- . (О твет: абсолютно сходится.)
л - 1 ( 2 й + 1 ) "
5. Показать, что ряд, который получен при перемно-
00
же ни и двух расходящихся рядов 1- ( \ ) и
Л = 1
1+ ( I ) (2Л+ 2-*" +'^ ), абсолютно сходится.
Л = 1
00 + J
6. Сколько членов ряда У ( —1) --- нужно взять,
^
п ■2я
Л * 1
чтобы абсолютная погрешность при замене суммы S этого ря­
148

да его п-й частичной суммой Sn не превышала а = 10
чтобы 1*5—SA = |гл| < а ? (О тв е т: п > 1 .)
, т.е.
00 . .
_ _ к-л , -чл +1 2/1 - 1
7. Сколько членов ряда > ( —1) — — нужно взять, что-
Щ
и2
/1=1
бы вычислить его сумму с точностью до 0,01? (О твет: п = 200.)
8. С помощью почленного дифференцирования и интегрирования
найти сумму ряда
1- Зх2 + 5х4 + ... + ( —1 )" 1х
1_ 2
х (2и - 1)х " + .... (О тв е т: S(x ) = --- , |х| < 1.)
(1 + Х )
оо 2 2
А тт 't-л cosnx _ Зх -6 ях + 2 я п ^ ^ _
9. Доказать,что N — — = ----- —----- , O sx sit.
1 п л = 1
10. Подобрать два таких ряда, чтобы их сумма была сходящимся
рядом, а разность —расходящимся.
11. Доказать равномерную сходимость функционального
ОО
п
ряда V ( —1)я-1^тг на отрезке [0; 1].
/1=1
12. Исследовать на сходимость ряд с общим членом
1/л
Г d 2
ип = Г . (О тв е т: сходится, ип < — — .)
о х + 1 3 «
а> 2л Y
13. Показать, что функция у = > --- является реше-
«Я .
Л 2 п -
л = 0
нием дифференциального уравнения у' -х у = 0.
149

13. К Р А Т Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы
13.1. Д ВО Й Н Ы Е И Н Т ЕГРА Л Ы И ИХ ВЫ Ч И С Л ЕН И Е
На плоскости Оху рассмотрим некоторую замкнутую область D, ограниченную
замкнутой линией L. Пусть в D задана функция z = А х , У) •Произвольными
линиями разобьем D на п элементарных областей 5}, плошали которых
ДS* (/= 1, п) (рис. 13.1). В каждой области St выберем произвольную
точку Р,(х ^, у-). Диаметром d( области 5/ называется длина наибольшей из
хорд, соединяющих граничные точки 5/.
Выражение вида
/« 1
называется п-й интегральной суммой для функции z = Л * , у ) в области D.
Вследствие произвольного разбиения области D на элементарные области
и случайного выбора в них точек Р,- можно составить бесчисленное множество
указанных сумм. Однако согласно теореме существования и единственности,
если функция z - fix , у) , например, непрерывна в D и линия L —кусочногладкая,
то предел всех этих сумм, найденных при условии
0 , всегда существует
и единствен.
л
(13.1)
z
z*f{x,y)>Q
Рис. 13.1 Рис. 13.2
150

Двойным интегралом функции z = Д х, у) по области D называется предел
lim /_ , обозначаемый Г | Д х, у) d S . Таким образом, по определению
О .
J J
2)
л
J J Д*» У)ЛУ = £ Л*/» У/)А*У/ • (13.2)
^ / = 1
Здесь и далее будем предполагать, что функция г = Д х, у ) непрерывна в области
D и линия L — кусочно-гладкая, поэтому указанный в формуле (13.2)
предел всегда существует.
Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометрический и физический
смысл.
1. = S jy , где Sj) —площадь области интегрирования D.
D
2. Если подынтегральная функция z = Д х, у ) = ц(х, у ) —поверхностная
плотность материальной пластины, занимающей область Д то масса этой
пластины определяется по формуле
т = J J ц(х, y)d S . (13.3)
D
В этом заключается физический смысл двойного интеграла.
3. Если Д х, у) £ 0 в области Д то двойной интеграл (13.2) численно равен
объему v цилиндрического тела, находящегося над плоскостью Оху%нижним
основанием которого является область Д верхним — часть поверхности
Z = Дх, у ) , проецируемая в Д а боковая поверхность — цилиндрическая,
причем ее прямолинейные образующие параллельны оси Oz и проходят через
границу L области D (рис. 13.2). Если Дх, у)^0 в области Д то двойной интеграл
численно равен объему цилиндрического тела, находящегося под плоскостью
Оху (рис. 13.3), взятому со знаком «—* (—v). Если же функция Дх, у)
в области D меняет знак, то двойной интеграл численно равен разности объемов
цилиндрических тел, находящихся над плоскостью Оху и под ней, т.е.
x ,y )d S - v, —v* (13.4)
Я *
D
(рис. 13.4). Это свойство выражает геометрический смысл двойного интеграла.
4. Если функции z = / (х , у ) (/ = 1, к) непрерывны в области Д то верна
формула
Г * I *
Я X#*■y ) d S ~ Zl№ * 'y)dS■
D p 1 ' /= 1&
5. Постоянный множитель С подынтегрального выражения можно выносить
за знак двойного интеграла:
J J СДх, y)d S - C j|Д х , y)d S.
D
151
D

Рис. 13.3 Рис. 13.4
6. Если область D разбить на конечное число областей 1\, Jfy, ..., не
имеющих общих внутренних точек, то интеграл по области Z) равен сумме интегралов
по областям D£
J y)d5 =J J Дх, у )dS +J J Дх, y)dS +... + J J Дх, y)d S.
D Dl Dj Dk
7 (теорема о среднем). Для непрерывной функции z = Дх, у ) в области
Д площадь которой всегда найдется хотя бы одна точка
Р(£, ц) € D , такая, что
= Ж .л)$х>
D
Число Д£, г|) называется средним значением функции z - Дх, у) в области
D.
8. Если в области 2) для непрерывных функций Дх, у) , /j(x , у ), /2(х, у)
выполнены неравенства /j (х, у) £ Дх, у) £/2(х, у ), то
J J /i(* . У>^< J J Д *. y )d S < jf /2(х,
D D D
9. Если функция z * Дх, у) const и непрерывна в области D,
А/ = max Дх, у) , #и * min Дх, у ), то
(х, у) е D
(X, у) е D
mSD y)dS

ласти S{ (теорема существования и единственности), то в декартовой системе
координат область D удобно разбивать на элементарные областипрям ы м и,
параллельными осям координат. Полученные при таком разбиении элементарные
области 5/, принадлежащие области Д являются прямоугольниками.
Следовательно, dS = dxdy и
J J Л** y)dS = J J Д х, y)dxdy.
D
D
Область интегрирования D называется правильной в направлении оси Ох
(оси Оу), если любая прямая, параллельная оси Ох (оси Оу)упересекает границу
L области D не более двух раз (рис. 13.5, а). Область D считается также правильной,
если часть ее границы или вся граница L состоит из отрезков прямых,
параллельных осям координат (рис. 13.5, б).
Рассмотрим методы вычисления двойного интеграла по областям, правильным
в направлении координатных осей; так как практически любую область
можно представить в виде объединения правильных областей (рис. 13.5, в), то,
согласно свойству 6 двойных интегралов, эти методы пригодны для их вычисления
по любым областям.
х 0 х о
Р и с . 13.5
Для вычисления двойного интеграла нужно проинтегрировать подынтегральную
функцию z = А х, У) по одной из переменных (в пределах ее измене-
1гия в правильной области D) при любом постоянном значении другой переменной
и полученный результат проинтегрировать по второй переменной в
максимальном диапазоне ее изменения в D. Тогда все произведения
Дх, у) dxdy в двойном интеграле (предел суммы (13.2)) будут учтены при суммировании
точно по одному разу, и мы избавимся от лишних, не принадлежащих
области Д произведений.
Если область Д правильная в направлении оси Оу, проецируется на ось Ох
в отрезок [о; А], то ее граница L разбивается на две линии: А т В, .задаваемую
уравнением у =

Если область Д правильная в направлении оси Ох, проецируется на ось Оу
в отрезок [с; d], то ее граница L разбивается на две линии: CpD*, задаваемую
уравнением х = VjOO, и CqD*, задаваемую уравнением х - y 2Cv) (рис. 13.7).
В этом случае область D определяется системой неравенств
Л c

С другой стороны, область интегрирования D расположена между прямыми
у ш 0 и у = 6, а переменная х изменяется в данной области при каждом
фиксированном значении у от точек параболы х = у" /9 до точек параболы
х - Л у / Ъ , т.е. согласно формуле (13.7) имеем:
б ЛуТъ б 0
M S I
О у*/9 О
= 8.<
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1 2-х
Jd x J A x ,y )d y .
►Область интегрирования D ограничена линиями х = О, х —1, у = х и
>» = 2 - х (рис. 13.9). Так как правый участок границы области D задан двумя
линиями, то прямая у = 1разбивает ее на области Д ; 0 £ у £ 1, 0 й х < 4 у и D2:
1^ .у £ 2 , 0 £ х £ 2
. В результате получаем:
1 2-х 1 Jy 2 2-у
J dx J /(х, y)dy = ^dy y)dx +^dy J Дх, y)dx Л
О J 0 0 1 0
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
Г J(x+ y + 3)>+3)dxdy = J dx J (x + y+3)dy = J
D 0 0 0
155
у-2-х
dx =
y = 0

Пример 4. Найти среднее значение функции г = х + бу в треугольнике,
ограниченном прямыми у = х ,у = Зх, х = 2.
►Средним значением функции z - Д х, у) в области Z) является число
(см. свойство 7 двойных интегралов)
7 = -^-f f A x,y)d xd y.
°D
Вычислим сначала площадь области А
2 Зх 2 2
■Уд= jjd x d y - J)

2. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле
для двойного интеграла J j Дх, у ) dxdy, если извест-
D
но, что область интегрирования D:
а) ограничена прямыми х — 1, х = 4, Зх —2у + 4 = 0, Зх —
—2у —1=0;
2 2
б) ограничена линией х + у - 4х = 0;
в) является треугольной областью с вершинами в точках
0(0, 0), А(1, 3), В(1, 5);
г) ограничена линиями у = х3+ 1 ,х = 0 , х + у = 3.
3. Изменить порядок интегрирования в данных повторных
интегралах:
2 J a - x 2 1 5 jc
a) J die J Дх, y)dy; 6) jdbe |Д х , y)flfy;
-2 0 0 2х
1 1-у
в) J dy J f(x,y)dx.
4. Вычислить f J (х2 + y)dxdy, если область D ограничена
D
2 2 Л
линиями у = х и у = х. (О тв е т: 33/140.)
5. Вычислить [ [ х3у2dxdy, если область D ограничена ли-
нией х2 + у ' = 9. (О т в е т :0.)
D
6. Вычислить J Jxcos(x + ,y)dxrfy, если область D ограни-
D
чена линиями у = 0 ,х = п , у = х. (О тв е т: —З я / 2 .)
157

7. Вычислить jjyd x d y, если область D ограничена пер-
D
вой аркой циклоиды х = a (t- sint), у = а( 1- cost) и осью
Ох. (О твет: -па3.)
Самостоятельная работа
1.1. Представить двойной интеграл [ [ Дх, y)dxdy в виде
D
повторного интеграла при разных порядках интегрирования
по х и по у, если известно, что область D ограничена линиями
у = 2х, х = 0, у + х = 3.
2. Вычислить Г J xdxdy, если область D ограничена ли-
ниями у = х , у = 2х. (О твет: 4/3.)
D
2.1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
4 2х-3
Jd * J fix ,y )d y .
0 х2/2-3
2. Вычислить J Г xdxdy, если область D ограничена ли-
D
ниями х = 0 ,у = 0 ,у = лД-х2. (О твет: 8/3.)
3.1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
8 Jly+12
f dy j Дх, y)dx.
-4 (у + 4)/2
158

2. Вычислить f Jx dxdy, если область D ограничена
D
линиями у = х, у = 1/х, х = 2. (О т в е т :2,25.)
13.2. З А М Е Н А П Е Р Е М Е Н Н Ы Х В Д В О Й Н О М И Н Т Е Г Р А Л Е .
Д В О Й Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы
В П О Л Я Р Н Ы Х К О О Р Д И Н А Т А Х
Пусть переменные х, у связаны с переменными и, v соотношениями
х = ф(и, v), у = у(м, v) , где ф(и, v), \|/(и, v) —непрерывные и дифференцируемые
функции, взаимно однозначно отображающие область D плоскости
Оху на область D' плоскости O 'u v; при этом якобиан
дх дх\
ди dv
J = J(u , v) =
ди dv
сохраняет постоянный знак в D. Тогда верна формула замены переменных в
двойном интеграле
J J Дх, y)dxdy = J J Д ф ( м, V ), м/(и, v))\J\dudv. (13.8)
D
Dl
Пределы в новом интеграле расставляются по рассмотренному ранее правилу
с учетом вида области D '.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
II\x + y)dxdy
D
по области D плоскости Оху, ограниченной линиями у = х - 1, у = х+ 2 ,
у —х - 2 , у = —х+ 3.
►Положим
и = у-х,1
V = у + х. J
Тогда прямые у = х- \ и у = х + 2 перейдут соответственно в прямые
и = —1 , и = 2 плоскости O'uv, а прямые у = —х-2 , у = —х+3 —в прямые
v = —2 и v = 3 этой же плоскости. При этом область D отобразится в
прямоугольник D' плоскости O 'u v, для которого —1< м

Следовательно
дх дх 1 I
ди ди _ 2 2
дх 1 1
dv dv 2 2
а |/1 - 1/2. Поэтому согласно формуле (13.8)
2 3
^ (х + y)dxdy = J J v- ^dudv - - J du j vdv = ~ .4
D : * -1 - i
Известно, что прямоугольные декартовы (х, у) и полярные (р, 0,0

к
Р и с. 13.11
Ри с. 13.14
Аналогичные формулы имеют место и для случая обобщенных полярных
координат.
Пример 2. Вычислить I Ы< х" + у2) dxdy, если область D —круг радиусом
JM
R с центром в начале координат.
►Если область D —круг или его часть, то многие интегралы проще вычислять
в полярных координатах. Согласно формулам (13.9) и (13.12) (случай 2) имеем:
J J >!(.х +уг) dxdy J /л/С '(Р 2 sin 2 ф + р 2 cos 2 ф) ' 3pdpdy =
D
2 к R
J J р4ф*Лр = J* *йр J р4ф = 2л— .4
D 0 0
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
2 2
= 1.
2 .2
а о
6 Зак. 2976 161

►В интеграле J J dxdy, выражающем площад ь эллипса в декартовой систе-
D
ме координат, перейдем к обобщенным полярным координатам с помощью равенств
(13.10). Уравнение эллипса в обобщенных полярных координатах имеет
вид р = 1 . Следовательно, согласно формуле (13.11) получаем:
2л 1
jjd x d y = J J abpdpd

—оо
Г Г -х 2 - у 2
пользовав значение интеграла I е dxdy, взятого по
Г - X
6. Вы числить несобственный интеграл \ е dx, исобласти
D, ограниченной окружностью х + у = Л2 . ( О т ­
в е т : л/гё.)
Самостоятельная работа
1. Вы числить (12 - х - y)d x d y, если область D ограни-
2 2
чена окружностью х + у = 9 . (О т в е т : 108я.)
2. Вы числить J Г(6 —2jc—Ъ у)dxdy, если область Дограни-
D
2 2 . _
чена окружностью х + у = 4 . (О т в е т : 24 тс.)
3. Вы числить | J (4 - х - y)dxdy, если область D ограниче-
2 2 Л
на окружностью х + у = 2х. (О т в е т : Зтс.)
13.3. П Р И Л О Ж Е Н И Я Д В О Й Н Ы Х И Н Т ЕГРА Л О В
Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у ^ х - 2 х , у = х .
►По уравнениям границы области D строим данную фигуру (рис. 13.15).
Т ак как линии, ограничивающие ее, пересекаются в точках 0 (0 ,0 ) и Л/0(3, 3),
то в D справедливы неравенства: 0£х£3, х2 —2 х < у й х . Следовательно, на
основании свойства 1двойных интегралов искомая площадь
163

Р и с. 13.16
3 x 3 - .3
S = JJdxdy = Jdx J dy = J(x - x 2 + 2x)dx - ( | * 2- j ) “
* 0 х * - 2 * ® °
2 2 ^
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (х + у ) =
2Г 2 2\ Л
= о (х - у ) , а>0.
►Перейдем к полярной системе координат, в которой уравнение данной
кривой примет вид:
4 2 2. 2 . 2 ч
р = а р (cos ф —sin ф ),
р = д соз2ф , р = Дл/cos 2 ф .
Последнее уравнение задает кривую, которая называется лемнискатой Бернулли
(рис. 13.16).
Как видно из полученного уравнения и рис. 13.16, кривая симметрична
относительно координатных осей, и площадь S фигуры, ограниченной этой
кривой, выражается двойным интегралом: 5= 4
. Здесь D - фигура
(область), лежащая в первом квадранте, для которого 0 й ф £ я/4
О£ р £ а а/c o s 2 ф . Следовательно,
л/4 о У cos 2 ф
п/4 j ° ‘'/сов2ф
5 = 4 J «Ар J р ф = 4 |

Вычисление объемов тел. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
2 2 .
Z - х + у , х+ у = I , х = 0 , у = 0 , z = 0.
►Данное тело ограничено координатными плоскостями, плоскостью
2 2
х + у - 1 , параллельной оси Oz, и параболоидом вращения z = х +у
(рис. 13.17). На основании геометрического смысла двойного интеграла
(см. § 13.1, свойство 3) искомый объем v можно вычислить по формуле
v ■ J J ( * 2 + y2)dxdy,
D
где область D ограничена треугольником, лежащим в плоскости Оху, для
которого 0 £ х £ 1, 0
1-х. Следовательно,
Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
. , 2 , 2 |
у « 1+х +Z , У = 5.
► Рассматриваемое тело ограничено параболоидом вращения с осью Оу и плоскостью
у = 5, перпендикулярной к оси Оу (рис. 13.18). Его проекция на плоскость
Qxz—круг, определяемый уравнениями у = 0 , х2 + z" £ 4 . Искомый объем
у = f Г(5 —1-x2- z ’)dxdz = JJ( 4 - х -z)dxdz.
D
165
D

Перейдем в полученном интеграле к полярным координатам с помощью
равенств х = pcos

- Js[ f dxdz = I* = PCOS(P* dxdz mpdpdqt,
J J |x “ p simp, p = 4sin(p
тс 4sin

Пример 7. Найти координаты центра масс пластинки D, лежащей в плоскости
Оху и ограниченной линиями у ~ х , у = 2х, х =* 2 (рис. 13.21), если
ее плотность ц(х, у ) = х у .
►Вначале определим массу пластинки D:
2 2х 2 2r2*
т = J J xydxdy = Jxdfc J ydy = Jx ^ dx =
0 x
| | - § Д I 6-
0 0
Согласно формулам (13.16) координаты центра масс:
2 2х
ХС т i l i x2ydxdy 1 l i =
Л О х
О
2 2х
I il\zy2dxdyщ\ixdxlу2+т
О х
О
2 j 2х 2
7 Г 4
О
Вычисление моментав инерции материальной пластинки. Моменты инерции
относительно начала координат и осей координат Or, Оу материальной
пластинки D непрерывно распределенной поверхностной плотностью
|д(х, у) , которая лежит в плоскости Оху, вычисляются соответственно по
формулам:
О
168

70 “ l j ( x 2 +y2)n (x ,y )tb d y ,
D
(13.18)
I x = \ \ y 2\i(x, y)dxdy, I y - l f x 2rtx ,y)d x d y.
D
Пример 8. Вычислить моменты инерции относительно точки границы однородного
круга и его диаметра, если радиус круга Д а вес Р.
► Поместим начало координат в точке, лежащей
на границе крута, а центр круга —в точке
С(Л; 0) (рис. 13.22). Тогда задача сведется к нахождению
моментов инерции круга относительно
начала координат и оси Ох.
Так как круг однороден, то его плотность |i
•у
постоянна и ц » P/(gn R ) . Уравнение окружности
в декартовой системе координат имеет
вид (х-Л) + у = R2 , а в полярной - Ри с. 13.22
р = 2/?coscp . Для данного круга выполняются
соотношения —я/2 й ц>

ж/2 */2
= цД4 J sin^2

3. Вычислить площадь части плоскости 6х+ З у + 2z = 12,
которая расположена в первом октанте. (О тв е т: 14.)
/ 2 2
4. Вы числить площадь части конуса z = >Jx + у , распо-
2 2 г~
ложенной внутри цилиндра х + у = Ах. (О т в е т : A j2 n .)
5. Вы числить площадь части поверхности параболоида
2 2 2 2 л
2 z = х + у , лежащей внутри цилиндра х + у = 1. (О т ­
вет: 1).)
6. Вычислить массу квадратной пластины со стороной а, если
ее плотность в любой точке М пропорциональна квадрату
расстояния от этой точки до точки пересечения диагоналей, а в
угловых точках квадрата равна единице. (О тв е т: а /3 .)
Самостоятельная работа
1. Вы числить площадь фигуры, ограниченной линиями
2 '
у = 2 —х , у = 4х + 4 . (О тв е т: 64/3.)
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
2 2 '
х + у = l , z = 0 , х + у + z = 4 . (О т в е т : А п .)
3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром
2
Z = У / 2 и плоскостями 2x+3j> = 12, х = 0 , у = 0 , z = 0.
(О тв е т: 16.)
A3-13.4
1. Вычислить координаты центра масс однородной плоской
фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной лини-
2 2 . _
ями у = 4х + 4 , у = —2х+4. (О тв е т: хс = 2/5, у с = 0 .)
2. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограничен-
2 2
ной линиями у = х , з» = х , если плотность фигуры
И(х, У) = (О тв е т: хс = у с - 9/14.)
171

3. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры,
ограниченной кардиоидой р = а(\ + coscp). (О твет:
ХС = 1а >Ус “ °->
4. Вычислить момент инерции относительно начала коор-
2 2
динат фигуры, ограниченной линией х + у - 2х = 0, если ее
плотность ц(х, у) = 3,5. (О тв е т: 21 я/4 .)
5. Вычислить моменты инерции относительно начала координат
и осей координат пластины плотностью
2 л
|i(x, у) = х у , лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями
у = х , у = 1. (О тв е т: /0 = 1/5, 1Х = 1/9,
1у = 4/45.)
6. Вычислить момент инерции относительно полюса пластины,
ограниченной кардиоидой р = а(1 - coscp), если ее
4
плотность (д = 1,6. (О тве т: 7яа / 2 .)
7. Вычислить момент инерции относительно центра
(ц(х, у ) = 1) эллиптической пластины с полуосями а и Ь.
(О тв е т: nab(a2 + Ь2)/4.)
Самостоятельная работа
1. Вычислить момент инерции относительно начала координат
фигуры плотностью ц(х, у ) = 1. Фигура ограничена
линиями х + у = 2 , х = 2 , у = 2. (О т в е т :4.)
2. Вычислить координаты центра масс однородной фигуры,
лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями
2
у = —х + 2х, у = 0. (О твет: хс = 1, у с = 2 /5 .)
3. Вычислить момент инерции относительно точки пересечения
диагоналей прямоугольной пластинки со сторонами 4 и
6, если ее плотность ц(х, у ) = 2. (О т в е т :208.)
172

13.4. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ
Пусть функция и = Д х, у , z) непрерывна в замкнутой области V e R ,
ограниченной некоторой замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S. С помощью
произвольных гладких поверхностей разобьем область Кна л элементарных
областей V, (i = 1, л), объемы которых обозначим через A v-. В каждой
элементарной области К выберем произвольно точку А/Дху, у{, zj) и
построим сумму
п
I „ ~ 'Y jK X j.y ,, z,)Avr (13.19)
t m1
Через dt обозначим максимальный диаметр элементарной области У, .
Сумма (13.19) называется п-й интегральной суммой функции Дх, у , z) в области
V
Предел сумм (13.19), найденный при условии, что d,-> 0 , называется
тройным интегралом функции Дх, у , z)
по области V и обозначается
f f f Дх, у , z)

Считаем область V правильной (т.е. такой, что прямые, параллельные
осям координат, пересекают границу области V не более чем в двух точках).
Для правильной области К справедливы неравенства (рис. 13.23) а < х < Ь ,
Ф j (х) < у £ ф2(х ), у j (х, у) < z £ у 2(х, Й и бедующая формула для вычисления
тройного интеграла:
Ь Фг(*) V2&* У)
J I J fix , у, z)dxdydz = Jdx J dy J flx ,y ,z )d z . (13.23)
У a 9t(x) Vj(x,y)
Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае простейшей
правильной области Vвначале интегрируют функцию Дх, у, z) по одной из
переменных (например, z) при условии, что оставшиеся две переменные принимают
любые постоянные значения в области интегрирования, затем результат
интегрируют по второй переменной (например, у) при любом постоянном
значении третьей переменной в У и, наконец, выполняют интегрирование
по третьей переменной (например, х) в максимальном диапазоне ее изменения
в V
Более сложные области интегрирования разбиваются на конечное число
правильных областей, и результаты вычисления по этим областям суммируются.
В частности, если область интегрирования —прямоугольный параллелепипед,
задаваемый неравенствами V = {a

Рис. 13.24
►По заданным поверхностям строим область интегрирования (рис. 13.24).
2 2
В области V справедливы неравенства 0£х£1, 0

и сохраняет знак в области V изменения переменных и, v, w. Функции (13.25)
взаимно однозначно отображают область Ив область V . Тогда верна формула
f j J /(*, У, z)dxdydz- J J |Лф(“ »v. w), у(и, v, w), х(*. v, w)) 1J|4u4vJw .
V
V
В цилиндрических координатах р, ф, z (рис. 13.25) имеем:
X = рСОВф, у - рЗШф, z — Z ,
О ^ Ф < 2 я, 0 < р < 00, — ао

2 п 2 2 + р
/ ■ Г Г [ ppdpdydz т | «/ф|р2ф | dz “
Р 0 0 1
2л 2 2 j с ,2
J

2. Вычислить Г f f -- dxdydz— ^если область V ограниче-
У (1 +x+y+z)
на плоскостями х = 0, у = 0, z - 0, х + у + z = 1■(О твет:
3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
j' = x2,j' + Z = 4,£ = 0. (О т в е т :256/15.)
4. Вычислить j j j х2у2 dxdydz, если область ^ограничена по-
V
2 2 2 2 /Л
верхи остями х + у =: l,z=0,Z = x+y. (О твет: я/32.)
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
х2+у2 = Юх, х+у" - 13.x, z = Jx 2 + у2, z- 0,
(О твет: 266.)
6. Вычислить
I, Vo ft с '
2 2 2
если область К —внутренность эллипсоида — + + — = 1.
2 . 2 2
а о с
4
(О твет: -nabc.)
2 2 2
7. Вычислить объем части шара х + у + z = 1, располо-
2 2 2 4 ( Л \
женной внутри конуса z = х +у . (О твет: -л^1 - — J .)
Самостоятельная работа
1. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
J J J Дх, у, z)dxdydz, если область V ограничена плоскостями
V
х = о,у“ 0,г = 0,2х+Зу + 4г= 12.
178

2. Вычислить | | f а/х2 + у2dxdydz, если область V огра-
2 2 . Л
иичена поверхностями z - х + у , z = 1. (О тв е т: 4тс/15.)
2. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
| | | /(х, у, z)dxdydz, если область F ограничена поверхностя-
V
ми у = х , у = 2х , z = 0 , x+ z = 2.
2. Вычислить ||| 7 х 2 + г2 dxdydz , если область К огра-
v
2 2 Л
ничена поверхностями у = х + z , г = 1. (О тв е т: 4я/15 .)
3. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле
H I Д х, у, z)dxdydz, если область V ограничена поверхностя-
V
2
МИ у = X , z = 0 , y + z = 4 .
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно
ми х2 + у = 9 , z = 1, x + y + z = 11 •(О тв е т: 90тг.)
13.5. П РИ Л О Ж ЕН И Я Т РО Й Н Ы Х И Н ТЕГРА Л О В
Вычисление объемов тел. Объем v области V(объем тела) обычно вычисляют
по формуле (13.21), в которой в тройном интеграле можно переходить (если это
удобно) к различным координатам (цилиндрическим, сферическим и др.).
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями г = 1 ,
. 2 2
1 1 5 - х - у .
►По заданным уравнениям поверхностей в декартовых координатах строим
область V (рис. 13.28). Тогда в цилиндрической системе координат искомый
объем
v = H I pdpdydz.
где И’ :{02ф^2ге, 0£р£2, 1£
5 - р } . Следовательно,
179

2 я 2 5-р
v * J rfcpjprfp J
О 0 1
2 м 2
2я|р(5-р2-1 )ф в 2я^2р2- ^ в 8я.4
Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
2 2 2
£ . + £. + £. = 1.
2 , 2 2
а Ъ с
►В обобщенных сферических координатах верны формулы (13.28), и поэтому
искомый объем
v = H I abc2sinQdrdipdQ ,
V
где V* —область, в которую отображается внутренность эллипсоида при переходе
к обобщенным сферическим координатам. Уравнение поверхности, ограничивающей
область V , в обобщенных сферических координатах получается
путем подстановки в уравнение эллипсоида значений х, у, z из формул (13.28):
2 .2 2 2 .2 2 2 2
г sin 0cos ф +г sin Osin ф +r cos 0 — 1,
т.е. r= 1. Следовательно,
2 я
v * abc j dq>jsin2edejr2dr « -nabcA
0 0 0
Вычисление массы тела. Масса m тела вычисляется по формуле (13.22).
Пример 3. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью конуса
(г-2)2 = х + у и плоскостью z т 0, если плотность тела 6(х, у, z) - Z-
►Вершина конуса находится в точке 0^0,0, 2), и в сечении конуса плоскостью
z = 0 получается окружность х +у = 4, г = 0 (рис. 13.29). На поверхности
рассматриваемого тела z
2 - Jx 2 +у2. Тогда масса
180

lit 2 2-p
m = [f [z&dy

= 8^Чр(Ю Ф = |}р (1 6 - р 4)*Р = !(8 р 2- $ | - | .
о р2 о
Аналогично определяются Ус и Zc> но так как тело —однородное и симметричное
относительно оси Ох, то можно сразу записать, чтоу^ = 0 и zc —ОА
Вычисление моментов инерции тел. Момент инерции относительно начала
координат тела V е R плотностью 8(х, у, z) определяется по формуле
/0 = +у2 + z)b(x, у, z)dxdydz;
V
моменты инерции относительно координатный осей Ox, Оу, Oz
соответственно:
2 . 2,
l x = J J J O + Z )5(х , у, z)dxdydz,
Iy ж
l z *
V
V
+ Z2)6(x, у, z)dxdydz,
+y2)6(x, y , z)dxdydz;
К
моменты инерции относительно координатных плоскостей Qxy, Oyz, Oxz
соответственно:
Й
/XJ, = J J J z 5(Х,У, z)dxdydz,
V
Iyz - J J J A ( * Bу, z)dxdydz,
К
/xz = J J J y 26(x,y,
Пример 5. Вычислить моменты инерции однородного шара радиусом R и
весом Р относительно его центра и диаметра.
4 3
►Так как объем шара v = - я R , то его постоянная плотность
5 = 3 P / (4 g n K ). Поместим центр шара в начало координат, тогда его поверх-
2 2 2 _2
ность будет определяться уравнением х + у + z = / Г . Момент инерции относительно
центра шара удобно вычислять в сферических координатах:
/0 = s [JJ(x 2 + у2 + z)dxdydz ■ J Ияпв^гчАрЛ *
К
2 It It R е
* 5 |

Так как вследствие однородности и симметрии шара его моменты инерции
относительно любого диаметра равны, вычислим момент инерции относительно
диаметра, лежащего, например, на оси Ос
1( т б[f + y')dxdydz = sjf f r2sin 2 0 r2 sinO drdyd®-
V
V
In я R j n
= S |

7. Вычислить момент инерции относительно оси одно
родного круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и ра-
3 Р „2
диусом основания Л. (Ответ: - - R .)
10 g
Самостоятельная работа
1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Z = х , Зх + 2у = 12, у = 0 , z = 0 . (Ответ: 32.)
2. Вычислить момент инерции относительно плоскости Oyz
тела, ограниченного плоскостями x + 2 y - z —2 , х —0 , у = 0 ,
Z = 0 , если его плотность 5(х, у, z) = х. (Ответ: 4/15.)
3. Вычислить координаты центра масс однородного тела,
2
ограниченного поверхностями 2z = 4 - х - у , z = 0. (Ответ:
(0,0,2/3).)
13.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
К ГЛ. 13
ИДЗ-13.1
1. Представить двойной интеграл [ J J(x,y)dxdy в виде
D
повторного интеграла с внешним интегрированием по х и
внешним интегрированием по у, если область D задана указанными
линиями.
1.1. Л у = i j t - x 2 , у = Jb x , х 2 0.
1.2. Л х = 2у , 5 х - 2 у - 6 * 0.
1.3. Л х = J s ~ y 2 , y Z 0 , y = х.
1.4. I>. x t Q , yZQ , у£ \ , у = lnx.
1.5. Л х - 2-у, х + у - 0.
1.6.1>. у - h - x , у - х2 .
1.7. Л у = хг-2 ,у = х .
184

1.8. D: xi>0,y2:l,y^3,y = x.
1.9. D-. у2 = 2x, x = 2у, x< 1.
1.10. D : x^ 0, y>x, у = л/9 - x2.
1.11. Л y = 2-х, у = х.
1.12. Л х = л/2-у2 , х = у , у£0.
1.13. 2): у>0, х + 2 у - 12 = 0, у = lgx.
1.14. Лх£0,у£1,у£3,у = - х .
1.15. Л у = 0, у>х, у = -V2-X2.
1.16. D: у к 0, х = */у, у = л/в -х2.
1.17. Л у = —х , у2 = х+3.
1.18. Л у = л/4-х2 , х£0, х = 1, у = 0.
1.19.1>. х - —1, х = - 2 , у£0, у = х2 .
1.20.2): у S 0 , х2 = - у , х = л/1 - у2.
1.21. Л у£0, у£ 1, у = х, х = -J ^ -y .
1.22. D: хйО, у = 1, У = 4 , у = - х .
1.23. Л у = 3-х2, у = - х .
1.24. Л х = 0, х = —2,у£0,у = х2 + 4.
1.25. Л х = 0 , у = 0 , у = 1, (х -3 )2 + у2 = 1.
1.26. Л х = ^ 9- у 2 , у = х , у£0.
1.27. Л х + 2 у -6 = 0 ,у = х , у£0.
1.28. ГУ. у = —х, Зх+у = 3, у = 3.
1.29. Л х£0, у = 1, у = —1, у = log,/2x.
1.30. Л xS:0, у^О, у = 1,х = л/4-у2.
185

2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной
указанными линиями.
2.1. JJ(* 2 + y)dxdy, Л у = х2, х * у2.
D
2.2. J J x y 2dxdy, Л у = х2, у = 2х.
D
2.3. ff(x+y)dxdy, D-. у = х,у f х.
/>
2.4. JJx 2y

2.14. Jfx ydx efy, J>. у = x , у = 0, х й 2 .
D
2.15. jf(x + y)d x d y,D : у = x3,y = 8 ,y = 0,x = 3 .
D
2.16. ^x(2x+ y)dxdy,l> . у = l-x 2,y£0.
D
2.17. ^ y(\ -x )d x d y,I > .y = x, у = x.
D
2.18. \\xy dxdy, I>. y 2 - l-x,x£0.
it
2.19. JJx(y + 5)«My, J>. у = x+5, x + y +5 =* 0, x£0.
D
2.20. Jf(x-y)abc

2.28. \\y(l + x2)dxdy, D". у = x , у = Ъх.
D
2.29. [ Jy 2( 1 + 2x)dxdy, D:x = 2 - y 2 ,x = 0.
D
2.30. j j e ydxdy, D: у = lnx, у = 0, x = 2.
D
3. Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.
3.1. Jdx J
1 I - х 2 —у 2
2 2
1 +Х +у dy.
3.2.
О Л -х
J* J
- Л
R J kT
dy
0 7 l +х2 + у2
1 VI-х
3.4. | ln( 1 + х + у .
о
о
2

3.7. J dx [ c o sJx2 + y2dy.
-R о
R Ы -х
3.8. J dx J tg(x2 + y2)dy.
-R 0
r V/F-j?
3.9. jdx f cos(x2 + y2)dy.
0
R J lf- x 1
3.10. j dx J sin Jx2 + y2dy.
Л h - x
3.11. J dx | J 1 + x +y2dy.
- Л 0
Л J z - x 2
3.12. | dx f (1 +x2 + y2)dy.
-Л

3.16.
R
jdx J
______ dy
I 2 . 2 2 I 2 . 2
о 4 x~ + y~c У COS o s ^ x~+ У~
3.17.
л 0
f* J
dy_
Г2~ 2 . 2 г г : 2

3.25. Jdx f ln(l + x2 + y 2)d y .
о
о
Л W~Z
3.26. I dx J e ~ ^ * yl)d y.
- J i - J
1 ^X~x ]n (l + Jx 2 + y2)
Ш°У-
2 . 2
X + y
3.28. jd x J cos Jx 2 + y 2 d y.
о
о
R Ы - х
3.29. [dx | sin(x2 + y 2) d y .
0 -ЛГ?
R Jt f - x 1
3.30. f dx
J
f
J
tg/* +y dy.
/2,2
° B S J t y
4. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной
заданными линиями.
4.1. Dr. у" = 4х, х + у = 3 , у к О . (Ответ: 10/3.)
4.2. D: у = 6х2 , х + у ■=2 , х>0. (Ответ: 5/8.)
4.3. Л у 2 = х + 2 , х = 2 . (Ответ: 32/3.)
4.4. Л х = —2у2 , х = 1 —Зу2 , х0. (Ответ: 16/3.)
4.5.-Л у = 8/(х2 + 4), х2 = 4 у. (Ответ: 2 я -4 / 3 .)
191

4.6. f t у * х2 + 1, х + у - 3 . (Ответ: 9/2,)
4.7 .f t у2 = 4х, х = 4у. (Ответ: 16/3.)
4.8. ГУ. у = cosдг, уй х + 1, у£0. (Ответ: 3/2.)
4.9. ft х =

4.25. D. x = у2 , x = J l - y 2 . (Ответ: n/2 + 1/3 .)
2 2 ,
4.26. + =» 1, у £ - x , у £ 0. ( Ответ: n/4.)
4 1 2
4.27. Д y2 = 4-x,y = x + 2,y = 2,у = —2. (Ответ: 56/3.)
4.28. Л у = х , у = -х 2 + 1. (Ответ: 8/3.)
4.29. й х = / , / = 4-х. (Ответ: 16^2/3.)
j
4.30. 2): ху = 1, х = у , у = 2 , х = 0 . (Ответ:
2/3 + 1п2.)
5. С помощью двойных интегралов вычислить в поляр
ных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной
указанными линиями.
5.1. (х2 + у2)2 = а2(4х2 + у2) .
5.2. ( х + у 1) - аху.
5.3. (х2 + у) = fl2x2(4x2 + Зу2) .
I 2 2 2 2 2 2.
5.4. ( х + у ) - ez(3xz + 2yz).
5.5. х4- у 4 = (х2 + у2) . 5.6. р = osin22

5.13. (х + у 2) = 4 х У . 5Л4' 2>3 “ « У -
5.15. (х2 + у2) - e V . 5Л6- Р = flCos2(P ■
5.17. р2 = *2(1 + зш2Ф) . 5Л8* ^ + ^2)3 = «2* ■
5.19. (х2 +у2)2 = 4(3х2 + V ) •
5.20. (х2 + у2)3 = а2х2у2 ■
5.21. (х2 + у2)3 = а2(хА+ у4)-
5.22. (х2 + у2)3 = 2ау3.
5.23. (х2 + у2)3 = Ла2ху(х2-У*) •
5.24. р = asin2

6.6. z = X, у = 4 , х = */25- у 2 , х£0, у&О, z^O. (Ответ:
118/3.)
6.7. у = Jx , у - х, x+ y + z = 2, ztO. (Ответ: 11/60.)
6.8. у = 1 - х 2 , х + у+г = 3, у 2:0, z t 0. (Ответ: 104/30.)
6.9. z = 2х + у" ,х + у - 4,х£0,у£0, z^0 .(Ответ:(А.)
6.10. z - 4-х2,х2 + у2 = 4 ,x2.Qt у tO ,z % 0 .(Ответ:Зп.)
6.11. 2х + З у-12 = 0 , 2г = у2 , x tO , y t O , z t 0. (Ответ:
16.)
6.12. z = 10 + х2 + 2у2 , у - х, х = 1, ySO, z*0. (Ответ:
65/12.)
6.13. z = х2 , х+ у = 6 , у = 2x, x£0, y£0, z£0. (Ответ
: 4.)
6.14. z = 3x2 + 2y2 +1,3' = x2- 1, у = 1, z^O. (Ответ:
264^ / 3 5.)
6.15. 3у = «/ic, y£x, x+y + z = 10, у - 1, z = 0. (Ответ:
303/20.)
6.16. у 2 = 1 - x , x+y+z = 1, x = 0, z = 0. (Ответ: 49/60.)
6.17. у = x2 , x = у2 , z = Зх+2у+ 6, Z = 0. (Ответ: 11/4.)
6.18. х2 = l'V у , x+ y + z = 3, у£0, z^O. (Ответ;52/15.)
6.19. х = у2', х = 1, x+ y+ z = 4, z = 0. (Ответ:68/15.)
6.20.Z = 2х2 + у2 ,х + у = 1, х2; 0 , у й 0, z^.O. (Ответ: 1/4.)
6.21. у = х2, у = 4 , z ** 2Х+ 5у+10, z ^ 0. (Ответ: 704/3.)
6.22. у = 2х, x+y+z = 2, хйО, z t 0. (Ответ:4/9.)
195

6.23. у —1 - z ,У —х ,у = —х , у £ 0, z £ 0. (Ответ: 8/15.)
6.24. х2 +у2 = 4у, z —4 - у , z^O. (Ответ:256/15.)
6.25. х+ у" = 1, z = 2 —х2 - у", z t 0. (Ответ: |я.)
6.26. у = х2 , z = 0 , у+ г = 2. (Ответ: •)
6.27. г2 = 4-х, х2 + у2 = 4х, г>0. (Ответ: 256/15.)
6.28. г = х2 + 2у2 = х , х > 0, у = 1,г^0. (Ответ:!/12.)
6.29. г = у2, х + у = 1, х>0, г£0. (Ответ: 1/12.)
6.30. у2 = х, х = 3 , г = х , г£0. (Ответ: 36,/3/5.)
Решение типового варианта
1. Представить двойной интеграл Г f (х, y)dxdy в виде по-
D
вторного интеграла с внешним интегрированием по х и внешним
интегрированием по у, если область D ограничена линиями
х = J y , х = */2 +у , х = 0, х = 2.
►Область D изображена на рис. 13.31 и ограничена дугами
2 2
парабол х = у + 2, х = у и прямыми х = 0, х = 2. Следовательно,
2 х* о Jy+2
\\Ax,y)dxdy = J Дх, y)-2 - 2 0
2 Jy+ 2 4 2
+ J4V J Л*> У)*& + |4у|Д*» y)dx.4
0 Jy 2 Jy
196

2. Вычислить двойной интеграл j J (x-2y)d xdy по области
D, ограниченной линиями х = 0 , у = 7 - х , у = -х+1.
►
D
Область D изображена на рис. 13.32. Если выбрать
внутреннее интегрирование по у, а внешнее —по х, то двойной
интеграл по этой области выразится одним повторным
интегралом:
Рис. 13.31 Рис. 13.32
4 7 - х
[f(x-2y)dxdy = jd x f (х —2y)dy =
D 0 1 4-i
2
4 _ 4
£ I 1 = I W - y 2) dx = f(7x-x2-49+ 1 4 x -x 2 - ^ x 2 +
; ±x+l J 2
0 2 о
4
+ ijc2 + 1 )dx = J |x2 + 21x-48^dx =
4
f 3 3^21 2 ^
I l~AX + T X " 48XJ
= —72.4
0
3. Вычислить двойной интеграл
197

-R 0 л/дс"+; У
используя полярные координаты. Найти его числовое значение
при R = 1.
► Область интегрирования D представляет собой четверть
круга, расположенного во втором квадранте (рис. 13.33).
Перейдем к полярным координатам х = pcostp, у = psincp,
х2 + у2 = р2 , где 0 £ р < R; я/2 й ф й я . Тогда
I = J + Р^рф *
к/2 О
и = 1X1(1 +р), du = dp(l + р),
dv = dp, v = р,
f R \
= ф| я /2
pln(l+p) |о -
= |(Л 1п(1+Л )-р|^ + 1п(1+р) £ ) =
При R = 1 получаем:
= ^(Л1п(1 + Л)-Л + 1п(1 + Л)).
/= |(21n2-l).<
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
2
у = х -З х и Зх +у = 4 .

►Данная плоская фигура снизу ограничена параболой
2 *
у = х -Зх, сверху —прямой 3х + у = 4 (рис. 13.34). Следовательно,
2 4-3* 2
^=|| dxdy = |

tt
2jsin6

1 Q ' ' О
при у = 1 1 = 2j(l - ? ) t ( - 2 t d t ) = - 4 [(/*-/*)0,г^0,г = х2 + 5>»2 .
1.10. V х = 2 , у = 4 х , г>0, у = 2«/г.
1.11. И х = 3 , у = | х, у£0, г>0, г = |(х2 + у2).
1.12. V. х - А, у = х/4, г2:0, z = 4у2.
1.13. И х£0, у = Зх, у = 3, г>0, z = 2(х2 + у2) .
201

1.14. V: х £ 0, у = Ах, у = 8 , г > 0 , г = Зх2 + у2.
1.15. V. х £ 0 , у = 5х, у = 10, z 2 0 , z = х + у 1 .
1.16. И у = х , у = —х , у = 2 , г>0, z = 3(х2 + у2).
1.17. И х = 1, у = 2х, у = Зх, z> 0, z = 1 х + у .
1.18. V. у = х, у = —2х, у = 1, г 2:0 , г ж х ’ + Ау2 .
1.19. V: х£0, у£0, г£0, х + у - 1, z = Зх +2у .
1.20. V. х> 0, y t 0 , 0 , Зх + 2у = 6 , z = х2 + у2.
1.21. V х > 0 , у £ 0 , z^O, х + у = 2 , z = А -х 2 - у 2 .
1.22. V: х> 0 , у£0, *2: 0, х + у = 3, z = 9 - х 2- у 2 .
1.23. V: х£0, у>0, г>0, Зх + 4у = 12, z = 6 -х-у.
1.24. К х£0, г£0, у = х, у = 3, г = 18-х2-у2.
1.25. И х = 2,у£0,г£0,у = Зх, z - 4(х2 + у2) .
1.26. И х>0, у = 2 х , у = 4, г£0, г = 10-х2-у2.
1.27. Их=3,уЭ:0,г£0,у = 2х, г = 4,/у.
1.28. V. х£0, у£0, z* 0, 2х + Зу = 6, г = 3 + х2 + у2.
1.29. Plx£0,y£0,zS0,x + y = 4,z = 16-х2-у2.
1.30. К:х£0,у£0,г2:0,5х + у = 5, z = х2 +у2 .
2. Вычислить данные тройные интегралы.
2.1. jjj( 2 x 2 + 3y + z)dxdydz, V: 2£х£3, —1£у£2,
V
0£z:S4.
202

2.2. J J I x2yzdxdydz, VI - 1 5x^2, 05y53, 25z53.
К
2.3. JjjC x + y + 4z2)dxtfydz, V. -15 x 5 1, 05y52,
К
-15*51.
2.4. +y2 + z2) dxdy dz, V\ 05x53, —15y52,
V
05^52.
2.5. ||| x y 2 zdxdy dz, V. -15x53, 05^52, -25*55.
V
2.6. jjj( x + y + z)dxdydz, V. 05x51, -1 5y50, 15*52.
V
2.7. j j j ( 2 x - y 2-z)dxdydz, V. 15x55, 05y52,
V
-15*50.
2.8. |||2xy2zdxdydz, V. 05x53, -25y50, 1 5*52.
V
2.9. f J J Sxyz dxdydz, V. -15x50, 25y53, 15*52.
V
2.10. JJJ(x2 + 2y2- z)dxdydz, V. 05x51, 05j>53,
V
—15*52.
2.11. \\Ux+2yz)dxdydz, V: -25x50, 05y5l,
05*52.
V
2.12. H I(x + yz2)dxdydz, V. 05x5 1, 05у52, -1 S*53.
V
2.13. |||(xy+3*)

2.14. j j j ( x y - z 2)dxdydz, И 0£x£2, OSyS 1, —1

2.26. Г[ [ (х+у z)dxdydz, V: О йх й 1, —1

3.5. jjjxdxdydz, К x +y' + z = 8 , x — + Z , x£ 0.
V
(Ответ: 8n.)
3.6. jjjydxdydz, V. .4 5 x 2 +y2 + *2:£16, y s j3 x , y t 0,
V
z> 0 . (Ответ: 15л/2.)
3.7. fjjydxtfydz, V. z = 7в -х 2-yZ, z = Jx2 + y2, y £ 0.
К
(Ответ: 8 (я / 2 -1).)
3.8. fff Г **# *-, V. хЪО, г * 0 , ybjix, 4 Sx2 +y2 +
K x +y +z
+ *2 5 36. ( Ответ; Ц (2я + 3 «/!).)
3-9- И y * 0 , y S ^ x , t = 3(x2 +y2),
к J(x2+y2)
z =■3. (Ответ: 3(4n-3,/3)/20.)
m . fff « * * * & - . К x2 +y2 + *2 = 16, z * 0 . (Omк
7(х2+у2 + г2)
eem: 16n/3.)
З . И . к r-J(xW > , уго, r s - U
j, ^ + j,2 73
t «■ 18. (Ответ: 81.)
3.12, fff И I - ^ V t « 0 . ,S x , i - 4.
•••I J 2 *
r 4(x+y)
(Ответ: 4/3.)
206

3.13. j j j S p m ; V. *2 +/ - 4y, y + z - 4 , « 0 . (О ,-
V«Jx2 + )?
вет: 1472/45.)
3.14. , Их2 + у2 - 2x,x+z- Z.yZO.zlO.
0 V
(Ответ: 4/5.)
3.15. , и x2* / - i s , , y + , - 16. хго,
Z t 0. (Ответ: 2048/5.)
3.16. JJj j x 2+y2dxdydz, Vx +y2 = 2x, x+z * 2, z£0.
V
(Ответ: 128/45.)
3.17. j^ x ydx dydz, V: 2 0 , y< x . (Ответ: \ 0 jl .)
207

3.21. у: + . у * о,
JJJ у 2 2', 1 %? ■*,” —-Г, Ч!
V »]х + У +z
у й
л/3
0 • (0/яветя: 13я/8.)
3.22. JJ/Vx2 +у2dxdydz, V. x2-2 x + j»Z « О, >гёО, z%О,
У
x+z = 2. (Ответ: 64/45.)
3.23. JJJx2

3.29. fff xdxdy dz . V: \

4.13. у 2 0, z t 0 , * = 3 , у = lx , z = у 2 ■(Ответ: 54.)
4.14. z £ 0 , у" = 2-х, z = Зх. (Ответ: 32^2/5.)
4.15. ztO, у = J I?-*2 , г = 2у. (Ответ: 36.)
4.16.x20,y£0,z*0,x+y - 2 ,г = х^+у2 . (Ответ:8/3.)
4.17. г^О, х2 +у2 ■ 9, г “ 5-х-у. (Ответ: 45л.)
4.18. z^O, z = х, х = «/4- у 2 . (Ответ: 16/3.)
4.19. у£0, ziO, х+у = 2, z = х2. (Ответ; 4/3.)
4.20. уйО, z&0, у = 4, z - х, х = л/25 -у2. (Ответ:
118/3.)
4.21. г^О, х2+у2 = 9 , z “ у2 . (Ответ: (81/8)к.) .
4.22. х^О, z^O, у>х, г = 1 - х 2- у 2 . (Ответ:я/16.)
4.23. ziO, х2 + у2 = 4,г = х1 +у2 . (Ответ: 8я.)
4.24. z20, у = 2, у = х, г = х2. (О твет;4/3.)
4.25. z^O, y+Z = 2, х2 + у2 = 4. (Ответ; 8я.)
4.26. у2:0, *2 0 ,х-у = 0, 2х+у = 2, 4z = у2 . (Ответ:
1/162.)
4.27. х20, y i 0, *2 О, 2х+у * 2, z = у ' ■(Ответ:2/3.)
4.28. z20, х = у2, х = 2у2 + 1, z *» 1 -у2.(Ответ: 8/5.)
4.29. x iO ,у20, Z20, у = 3-х, z - 9 -х2. (Ответ:
135/4.)
4.30.Х 20, ztO,x+y ■ 4 , z ш *Jy. (Ответ: 512/15.)
210

Решение типового варианта
1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
JJ j Дх, у, z)dxdydz., если область Кограничена поверхнос-
V
2 L
тями х = l , y = x , z —0 ,z-y ■Начертить область интегрирования.
►Согласно формуле (13.23) имеем:
.
1 х у
г
H I Лх, У, z)dxdydz = jd x jd y j Дх, у, z)dz.
V
О О О
Область интегрирования изображена на рис. 13.37.4
г
3 _____
Рис. 13.37 Рис. 13.38
2. Вычислить jjj( 3 x + 2 y - z 3)dxdydz, если V: 0

1 2 4 i 1 2
= f*&f [3xz + 2 y z - ^ j dy = J

л / 2
------ f costprfcp f р2ф =
2 л J J
о о
*2 £ 3
A ,re/2 p
з
-Д лй?.<
6
Рис. 13.39
4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела,
ограниченного указанными поверхностями: х = 0 , у = 0 ,
Z - 0 , х + у = 2 , 2 z = х" + у2.
2 2 -
►Уравнение 2z — х +у определяет параболоид вращения,
остальные поверхности —плоскости. Искомое тело изображено
на рис. 13.40. Его объем v вычисляем в соответствии
с формулами (13.21) и (13.23):
2 2-х (х*+у2)/2
v = jjjd x d y d z = jd x j dy J dz -
У o o o
= \dx J z I*,* * y )/2dy = ^jdx I (x2 +y2)dy =
0 0 0 0
= dx = \ \ ^ \ 2 - x ) +
0 0 0
+ |(2 - x ? ) d x = (2x2- x 3 + i ( 2 - x ) 3)d x =
- K P - f
3
213

1. Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной
заданными линиями, если поверхностная плотность в
каждой ее точке ц = ц(х, у) .
1.1. D: у2 = х, х - 3 , ц = х. (Ответ: 36./3/5.)
1.2. Л х = 0 , у = 0 , х + у = 1, ц = х2. (Ответ: 1/12.)
1.3 .Л х = 0 , у = 0 , 2х+3 у = 6,ii = у /2. (Ответ: 1.)
1.4. Л х2+у2 = 4х, ц = 4-х. (Ответ: 8я.)
1.5. Л х = 0, у = 1, у = х , ц = х2 + 2у ". (Ответ:7/12.)
1.6. Д х г + у2 = 1,(1 = 2 -х -у .(Ответ: 2 п.)
1.7. й х 2 + / = 4у, ц = j 4 —y . (Ответ: 256/15.)
1.8. D: у = х, у = -х , у = I , ц = J\-y. (Ответ: 8/15.)
1.9.2%х = 0 , у = 2х,х+у = 2 , ц т 2-х-у.(О т вет :4/9.)
1.10. D: х = 1 , х = у 2, ц = 4 -х-у. (Ответ:68/15.)
1.11. 2): у = 0, х2 = 1 - у , |i * 3 -х-у. (Ответ: 14/5.)
1.12. Зх+2у + 6. (Ответ: 11/4.)
1.13. D: у = х2, у = 4 , ц = 2х+ 5у+ 10. (Ответ:752/3.)
1.14. А х - 0 , у = 0,х+у = 1 , ц = 2х2+ у2. (Ответ: 1/4.)
1.15. Л х * 0 , у 2 = 1 - х , ц = 2-х-у. (Ответ: 32/15.)
1.16.2): у = у = х, ц = 2-х-у. (Ответ: 51/60.)
1.17. 1>. у = х - 1, у = 1, ц = Зх2 + 2у2 + 1. (Ответ:
264Л / 3 5 .)
ИДЗ-13.3
1.18. D: х = 1 , у = 0 , у = х , ц = х2 + 2у^ +10. (Ответ;
65/12.)
1.19. Л у = 0 , у = 2х, х + у = 6 , Ц * х2 . (Ответ: 104.)
1.20.2£х20,у20,х2 + у2 = 4, ц = 4 - х 2 .(О твет:3я.)
214

1.2 1.Д .у = х2,у = 2,ц = 2-у. (Ответ: 32,/2/15 .)
1.22. Z>. х = 0 , у = О, х + у = 1, ц = х + у ’ . (Ответ: 1/6.)
1.23. Д у - х2 + 1 , х + у = 3 , ц = 4х+5у+2. (Ответ:
351/6.)
1.24.Д. у = х2-1 ,х + у= 1, ц = 2х+ 5у + 8. (Ответ: 45.)
1.25. Д х = 0 , у = 0 , у = 4 , х = «/25- у 2 , ц = х. (О т­
вет: 118/3.)
1.26. Д х = 2 ,у = х ,у = 3х,ц = 2х2 + у2. (Ответ: 152/3.)
1.27. Д у = х , у = х2,ц = 2х + 3у. (Ответ: 11/30.)
1.28. Д .х = 0 , х + 2у + 2 = 0 , х + у = 1, ц = х . (Ответ:
32/3.)
1.29. Д. х = 0 , у = 0 , х+2у = 1, ц = 2 - ( х 2 +у2). (О т­
вет: 43/96.)
1.30. Д. х = 0, у = 0 , х+ у = 2, ц = х2 + у2 . (Ответ: 8/3'.)
2. Вычислить статический момент однородной пластины
Д ограниченной данными линиями, относительно указанной
оси, использовав полярные координаты.
2.1. Д х + у2-2ау = 0, х-у 0, х2 +у2 + 2ау

2.10. D. х + у2 + ta x < 0 , х + у2 + la y £ 0 , у < 0 , Оу.
2 .1 1 .D. х2 + у" - 2ау S 0 , х + у2 + 2 ах > 0 , х < 0 , Ох.
2.12 . D. х2 + у2 - 2ау > 0 , х2 + у2 - 2ах < 0 , у > 0 , Оу.
2.13. D1. х2 + у2 + 2ау = 0 , х2 + у2 + ау = 0 , х*0, Ох.
2.14. D. х2 + у2 - 2 а х = 0 , х2 + у2 - а х = 0 , у ^ 0 , Оу.
2.15. D. х2 + у2 + 2ау = 0 , х + у2 + ау = 0 , х > 0 , Ох.
2.16. D: х2 + у2 - 2 ау = 0 , х + у2 - ау = 0 , х £ 0 , Ох.
2.17. D. х + у2 - 2 а у = 0 , х2 + у2 - а у = 0 , х < 0 , Ох.
2.18. Л х + у2 + 2 ах = 0 , х + у " + ах = 0 , у> 0 , Оу.
2.19. Dr. х + у2 - 2 а х = 0 , х2 + у2 - а х = 0 , у < 0 , Ох.
2.20. D. х + у2 + 2ах = 0 , х + у2 + ах = 0 , у < 0 , Оу.
2.21. Dr. х + у" + 2ау = 0 , х + у й О , х £ О, Ох.
2.22. D. х2 + у2 - 2 а у = 0 , у-х£0, х£0, Ох.
2.23. Л х2 + у2 + 2ах = 0 , у т х % 0, у й 0 , Оу.
2.24. Dr. х2 + у2 - 2 а у = 0 , х + ySO, хй О , Ох.
2.25. й х 2 + / + 2йх = 0 , х + у*0,у>0, Оу.
2.26. D: х2 + у2 - 2 а х = 0 , у - х < 0 , у ^ О , Ох.
2.27. D. х2 + у2 - 2 а х = 0 , у - х < 0 , х + у к О , Оу.
2.28. D. х2 + у2 - 2 а у = 0 , y - x t 0 , х+у>0, Ох.
2.29. Л х2 + у2 + 2ах = 0 , х + у й 0 , у - x Z 0 , Оу.
2.30. D. х2 + у2 + 2ау = 0 , у - х й 0 , х + у й 0 , Ох.
3. Вычислить координаты центра масс однородного тела,
занимающего область V, ограниченную указанными поверхностями.
3.1. V: х = 6(у2 + z2) , у2 + Z = 3 , х = 0 . (О твет: (6,0,0).)
216

3.2. V: у ± Ъ'№ +z ‘х2'+ z = 36, у 0. (О твет; (0,
27/4,0).) ,
3.3. V\x = 7 (у21 z ) , х = 28. (Ответ: (56/3,0,0).)
3.4. К: z = 2л/х2 + У2 , г = 8. (Ответ: (0,0,6).)
3.5. V: z - 5(х2 + у ), х + у2 = 2, z = 0. (Ответ: (О, О,
ю/3).‘ Щ ЖЩ&т
3.6. V: х = 6*Jy2 + z , У2 +,^ = 9 , х = 0. (Ответ: (21/А,
О, 0).)
3.7. К: г = 8(х2 +у2) , z - 32. (Ответ: (0,0,64/3).). .
3.8. V: у = з7х2 + ? , у ’= 9. (Ответ: (0,27/4,0).)
3.9. И 9у = х2 + г2 , х2 + г2 = 4 , у = 0. (Ответ: (0,4/27,0).)
3.10. К: Зг = 7х2 + у2 , х2 + у2 = 4 ,^ = 0. (Ответ: (О, О,
1/4).)
3.11. К: х2 + г2 = 6у, у = 8. (Ответ: (0, 16/3,0).)
3.12. V. 8х = «/у2 + z , х = 1/2. (Ответ: (3/8,0 ,0).)
3.13. К: 2х = у2 + г2 , у2 + г2 ==4 , х = 0. (Ответ: (2/3,
0,0).)
3.14. К: 4у = •Ix+Z, x2 + z2 = 16, у = 0. (Ответ: (О,
3/8, 0).)
3.15. V. у + z * 8х, х ** 2. (Ответ: (4/3,0, 0).)
3.16. V. z = 9л/х2 + у , г = 36. (Ответ: (0,0,27).)
3.17. Иг = 3(х2 +у2) ,х г + уа = 9 , г = 0 . (Ответ:(0,0,9).)
3.18. F: х = ijy+ z , У2 + г2 = 4 , х = 0. (Ответ: (3/2,
О, 0).)
3.19. И X2 + г2 = 4у, у 'щ 9. (Ответ: (0,6,0).)
217

____ 2 ^ в 20. (Ответ: (15,0,0).)
ЪЖ V: х = 5Л 2 + * ’ г в ю , у = 0 . (Ответ:(0,10/3,0).)
421 И» = г + Л * + ^ + г = 16 , у = 0. (Ответ: (О,
«Те* 9■ (Ответ:(6,0 ,0).)
IX,*
4 . (Ответ: (0,3,0).)
-t I 1+ г2 * 9 ,х *=0. (Ответ:(3,0,0).)
3.25. V. х = у + Z • У 0 x+y+z “ 3. (Ответ: (3/4,
3.26. И х = 0 , у - г
3/4,3/4).) ___
Г2~~1 х +У * 9 , г = 0 . (Ответ: (О, О,
3.27. V.i = Ux+y 'Х У
9/4).) 1 . й Ш
3.28. И -»*,«-•»•(0шт (° '° 'й )
3.29. И Z = , г = 4 - (Ответ:(0 ,0 ,3).)
З Ж Г .1 = х2+у2, х* +У* '* 4 , « = 0 - (Ответ:(0,0,4/3).)
* Вычислил, м о м е н т инершш относительно указанной оси
координат однородного тела, занимающего область У, ограниповерхностями.
Плотность тела 5 принять
ченную данными по**-*’
равной 1.
=4 , Оу. (Ответ: 512я/5 .)
4.1. V. у = х2 + z ' У
2 , Ох. (Ответ: 4я/3 .)
4.2. V. х ■* 1 2 ’ *
_
4.3. V.y
4.4. V.x ^ у2 + г »* *
2 + *2 , *
4.5. V .J * Г - ’
J + Л г
4.6. V. у = ДР 2
4.7. V.x1
4.8. V. х
4.9. V. у
2, Ок. (Ответ: 16я/5.)
2, Оу. (Ответ: 4я/ 3.)
3, Ох. (Ответ: 243п/10.)
3 , Ох. (Ответ: 9п/2.)
= 2, Ок- (Ответ: п/5 .)
218

4.10. V: у = х + z ,У —3 , Оу. (Ответ: 9я / 2 .)
4.11. V: х2 = y 2 + z , у 2 + z = 1 , х = 0 , Ох. (Ответ:
2 я / 5 .)
4.12. V: х = у 2 + z , у" + z = 1, х = 0 , Ох. (Ответ: я/3 .)
4.13. V: z “ х + у 2 , z = 3 , Oz. (Ответ: 243я/10.)
4.14. V: z - х + у 2 , Z = 3 , Oz. (Ответ: 9 я / 2 .)
4.15. V\ y'-x+z, x + Z = 4 , у = 0 , Оу. (Ответ:
64я/ 5.)
4.16. V: 2у = х + z , У —2 , Оу. (Ответ: 16я/3.)
4.17. V: х = у 2 + z , х = 2 , Ох. (Ответ: 16я/5 .)
4.18. V: 2z = х + у 2 , z = 2 , Oz. (Ответ: 16я/3 .)
4.19. V: х = у 2 + Z2, у 2 + Z2 = 4 , х = 0 , Ох. (Ответ:
64я/ 5.)
4.20. V: 2z = х2+у2, х2 + у 2 = 4 , z = 0 , Oz- (Ответ:
32я/ 3.)
4.21. V: z e 2(х2 +у2), z = 2, О*. (Ответ: я/3 .)
4.22. И.х= 1 - у2 - z . х = 0, Ох. (Ответ: я / 6 .)
4.23. V: у = 4 —х2 —z2 з У = 0 . Оу. (Ответ: 32я/3 .)
4.24. И х = 3(у2 + z ) , х = 3 , Ок. (Ответ: я / 2 .)
4.25. И г = 9 - х 2 - у2 , z —0 , Oz. (Ответ: 243я / 2 .)
4.26. V\ z = 4 Jx 2 + у 2 , z - 2 , Oz. (Ответ: я/80.)
4.27. V: z —3(х2 + у2), z = 3 , Oz. (Ответ: я / 2 .)
4.28. К: х = 2л/у2 + ? , х = 2 , Ох. (Ответ: я / 5 .)
4.29. И у = 3(х2 + г2) , у = 3 , Оу. (Ответ: я / 2 .)
4.30. И г = 3 - х 2 -у2, z —0 , Oz. (Ответ: 9я / 2.)
219

Решение типового варианта
1. Вычислить массу т неоднородной пластины D, ограни-
2
ченной линиями у = 2 х - х , у —х , если поверхностная
2
плотность в каждой ее точке ц = х + 2 х у.
►Для вычисления массы т плоской пластины заданной поверхностной
плотностью ц воспользуемся физическим смыслом
двойного интеграла (см. § 13.1, свойство 2) и формулой
т ~ f | (*2 + 2xy)dxdy (область интегрирования D изображе-
D
на на рис. 13.41). Это позволит легко представить записанный
двойной интеграл в виде повторного:
1 2 х -х г 1 2хх1
m = fd x f (x2 + 2xy)dy = \(x2y + xy2)\x dx =
O x О
1
= \(2хг - х * - х + 4х -Л х * + xS- x l )dx =
о
= J ( jcS - 5х4 + 4х3)dx = — х5 +
1 .4
6
2. Вычислить статический момент относительно оси Оу одно-
2 2
родной пластины D, ограниченной линиями х + у - 2 ах = 0 ,
2 2
х + у - а х = 0 , у - х = 0 , у + х = 0 (рис. 13.42), использовав
полярные координаты. Поверхностная плотность пластины
И = 2 .
220

►Статический момент относительно оси Оу данной пластины
определяется по формуле (13.17). В полярной системе
координат область D преобразуется в область D' :
acoscp й р < 2acos(p , -я / 4 <

Переходим к цилиндрическим координатам по формулам,
аналогичным формулам (13.26): х = pcostp, z = psintp,
у = у. Тогда
2п 4 2
JJ [ydxdydz = J JJ у р ф А р ф = J < Ы р ф J ydy =
Г ^ о о р/2
= i W p(4- K ) rfp4 f ( 2p2-is)
о о
- 1 .1 6 * 6 ” - Нм.,
2 л 4
JJJdx

(Область Vизображена на рис. 13.44.)
Переходим к цилиндрическим координатам по формулам
х = pcosq>, z = р sinф , у = у . Тогда
zn 2л i 2 53~Г
- р
2
/.. = 8 jjjp 2pdpd(pdy = 8 [

3. Построить область, площадь которой выражается интегралом
л/2 а(1 + со9ф)
J J р dp.
—я/2 а
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
, 2 \ 2 2 2
f£_ + q = ^ - У - ЛОтвет:в.)
V4 l ) 4 9
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
(х + у2 - ах) = а2(х2 + у2) и х2 +у2 = ayjb . (Ответ:
За2 J3/2.)
2 2 2 2
6. В каком отношении гиперболоид х +у - z = а делит
объем шара х2 + у2 + z * За2? (Ответ: 3«/З-2/2.)
7. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностями
_ 2 2
г = О и г = с у , равен л .
8. Вычислить координаты центра масс однородной пластины,
ограниченной кардиоидой р - д( 1 + собф) . (Ответ:
( ! “• °) ->
9. Вычислить момент инерции относительно оси Ох одно-
„ _ „ 4 4 2 л 2
родной пластины, ограниченной кривой х + у = х +у .
(Ответ: 3n / (2j2 ).)
10. Вычислить
2 J l x - j ? а '______
Jdx J dyjzJx2 + у2 dz,
О О О
преобразовав его предварительно к цилиндрическим коорди-
2
натам. (Ответ: 8а /9.)
11. Вычислить
R Ы -х 1 Ы -х г-у
j dx j dy j (x2+y2)dz,
~R 0
преобразовав его предварительно к сферическим координатам.
(Ответ: 4яЛ5/15.)
224

12. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круговым
цилиндром радиусом R и высотой Н, если его плотность в любой
точке численно равна квадрату расстояния от этой точки до
2
TlJ\ Н 2 9
центра основания цилиндра. (О твет: —-— (3 к + 2 а ).)
б
13. Вычислить координаты центра масс однородного тела,
ограниченного поверхностями у = J x , у - 2 j x , z = 0 и
х + z — 6 . (О твет: (14/15, 26/15, 8/3).)
14. Вычислить координаты центра масс однородного тела,
2 2
ограниченного поверхностями х + у = z и х + у + z - 0 .
(О твет: (-1/2, -1/2, 5/6.).
15. Найти момент инерции относительно начала коорди-
2 2 2
нат однородного тела, ограниченного конусом z = х - у и
сферой х + у" + z — Л2 • (О твет: 2к(2 - j2 ) R S/ 5 .)
16. Найти момент инерции относительно диаметра основания
кругового конуса, высота которого Н, радиус основания R
и плотность 5 = const. (О твет: n8HR2(2Н2 + ЗЛ?)/60.)
17. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны
однородного шара на внешнюю материальную точку, не
изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре.
18. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентрическими
сферами. Доказать, что сила протяжения данным
сферическим слоем точки, находящейся во внутренней полости
тела, равна нулю.
19. Вычислить массу полушара радиусом R, если плотность
распределения массы в каждой его точке пропорциональна (к —
коэффициент пропорциональности) расстоянию от нее до некоторой
точки О на границе основания полушара. (О твет:
AknR*/5.)
20. Вычислить объем общей части шара радиусом R и кругового
цилиндра радиусом R/2 при условии, что центр шара
лежит на поверхности цилиндра. (О твет: .)
21. Вычислить площадь части сферической поверхности
радиусом R, которая высекается круговой цилиндрической
поверхностью радиусом R/2 при условии, что центр сферы лежит
на цилиндрической поверхности. (О твет: 2JJ2(п - 2 ) .)
8 )ак. 2476 225

14. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Криволинейные интегралы первого рода
(по длине дуги). Пусть в пространстве R3 задана
гладкая дуга L.g кривой L, во всех
точках которой определена непрерывная
функция и = Дх, у, z) . Дугу Lab произвольным
образом разобьем на л частей /■
длиной А/, (/ = 1, л ). В каждой элементарной
части L выберем произвольную точку
Mfap y{i zfi (рис. 14.1) и составим интегральную сумму:
п
l n= Y*RXi' *«« г')Л/'
/« 1
Тогда предел lim 1т всегда существует. Он называется криволинейным
Д /,- > 0 п
интегралом первого рода или криволинейным интегралом по длине дуги Ьдд от
функции Дх, у, z) и обозначается Г Дх, у, z)dl.
Таким образом, по определению
л
f Л*. У, Z)dl lim У Дх,, у,, *,)Д/,.
J шахД/,->0 ' 1 1 1
Если кривая X лежит в плоскости Оху и вдоль этой кривой задана непрерывная
функция Дх, у ) , то
Л
f Дх» y)

нотонно на отрезке [а ; р] (а < р) при перемещении по кривой L из точки А
в точку В, верна формула для вычисления криволинейного интеграла
р
_____'____________
\ Л х, У, Z)dl - I fix(t), y ( f), Z(0) v (x '(0 ) + (/(О )2 + (z'(t))Zd t. (14.2)
*!4I
a
В случае плоской кривой формула (14.2) упрощается:
g
j--------------------------
J Лх, y)dl = J л*(0. КО) Ш т 2+(у'Ш dt. (14.3)
a
Если уравнение плоской кривой р = р(ф) задано в полярных координатах
р, (р , функция р(ф) и ее производная р' = dp/d-Щнепрерывны, то имеет
место частный случай формулы (14.3), где в качестве параметра / взят полярный
угол ф:
(ф^ и
Ф# . _______
j j ( x t y ) d l- Г/(р(ф)со8ф , р(ф)8тфНр + р'

Пример 2. Вычислить / = J — ~ - - , где L —отрезок прямой у = 2.x-2 ,
L
заключенный между точками >4(0, —2), В{ 1,0).
►Находим:
Следовательно,

„ « J (х2 + у 2 + г2)5Л , /х = I ( у 2 + z)bdl,
Iy - \ (х +z2)6dl, 1г - J (x2 +y2)bdl, (14.8)
Ixy - I Ж = | Д л , = \ x h d l.
Моменты инерции связаны следующими соотношениями:
Щ “ ^х+ *у+
А) " Асу + *xz + *уг*
Если дуга
лежит в плоскости бЬсу, то рассматриваются только моменты
/0, /х, / (при условии, что z = 0 ).
5. Пусть функция г - Д х, у) имеет размерность длины и Д х, у) > 0 во
всех точках плоской дуги £ ^ ■, лежащей в плоскости Оху. Тогда
J Д*» y)dl = S ,
Lab
где S —площадь части цилиндрической поверхности с образующими, параллельными
оси Oz и проходящими через точки дуги L a» , ограниченной снизу
дугой Ь дд, сверху —линией пересечения цилиндрической поверхности с
z
Рис. 14.2 Рис. 14.3
поверхностью z = Д х, у ) , а с боков —прямыми, проходящими через точки
А и В параллельно оси Oz. На рис. 14.2 изображена описанная часть цилиндрической
поверхности А В В'А' . Если Д х, у) < О во всех точках плоской дуги
Lab , то
J Л *. y)dl = - S
^ав
229

(рис. 14.3). И, наконец, в некоторых точках плоской дуги L a■ функция
Л*» У) меняет знак. Тогда интеграл J Д х, y)d l выражает разность площа-
*АШ
дей частей описанной цилиндрической поверхности, находящихся над
плоскостью Оху и под ней (рис. 14.4):
J Дх, V)dl~ J j - J 2 + 53.
La»
Пример 3. Вычислить массу т и координаты центра масс х с , у с плоской
2 3/2
материальной дуги у *= - х
S(jc, у ) - y j l + x .
, 0

Пример 4. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности
2 2
х + у = 4 , заключенной между плоскостью Оху и поверхностью
I ■ 2 + х2/2 (рис. 14.5).
^Искомая площадь S' цилиндрической поверхности выражается интегралом
5 - [(2 + х2/2)

п
‘ 5 3 A * f5 ?/. г ,)Д * , + | | g | j-,. >i’ Ъ Щ Й *
I- 1
Л
= ^ а ^ ^ г р д / ,- . (14.9)
/ - 1
Предел суммы (14.9), найденный при условии, что все Л/J -» 0 , называется
криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по
координатам от вектор-функции а(дг, у, г) по кривой и обозначается
J а(х,>, г) dl= J />(*, у, г)«6с+ Q(x,y, z)dy + R(xt у, z)dz =
Lab
Lm
n _.
= Jim £ a(X|, y/#^ ) • A/7. (14.10)
ie I
Если функции Р(х, у, z) , Q(x, з>, z ), R(xt y, z) непрерывны в точках
гладкой кривой LAB, то предел суммы (14.9) существует, т.е. существует
криволинейный интеграл второго рода (14.10).
Криволинейные интегралы второго рода обладают основными свойствами
определенных интегралов (линейность, аддитивность). Непосредственно
из определения криволинейного интеграла второго рода следует, например,
что он зависит от направления интегрирования вдоль кривой, т.е. меняет знак
при изменении ориентации кривой:
| » dl = - J a dl.
Lab Lgj
Если кривая интегрирования L замкнута, то криволинейные интегралы
второго рода обозначают £а • d l. В этом случае через кривую L проводится
L
ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по L
принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная
кривой L, находится слева, если двигаться вдоль L по выбранной стороне
указанной поверхности (т.е. обход контура L совершается против хода
часовой стрелки).
Если плоскую область D, ограниченную кривой L, разбить на части, не
имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми L{
и Iq, то
£a-tfl = £а • dl+ £a dl,
L Lx 1*2
где направления обхода по контурам L, L\ и Lq —всюду либо положительные,
либо отрицательные.
232

Если гладкая кривая Ь ап задана параметрическими уравнениями
х = x(f) , у = у(0 , z = z(0 , где x (t), у (0 , z(О ~ непрерывно дифференцируемые
функции, А (х (а ), у(а), z(а)) и Д(х(р), у(Р), *(Р)) —соответственно
начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула
для вычисления криволинейного интеграла второго рода:
J Р(х, у , z)dx+ Q(x, у, z)dy+ R(x, у , z)dz =
=J(-P(x(0. У«. г(0)*'(0+С(*(0» w )’. г(0)У(0 +
а
Если кривая
+ Л(х(/), у(г), z(t))z\t))dt. (14.11)
лежит в плоскости Оху, а = Р(х, у) i + Q(x, у)1, то
R(xt у, z) = 0 , z(f) * 0 и формула (14.11) упрощается:
Р
J Л*.

Пример 6. Вычислить I * ^ y d x -x ’dy+^x+y'^dz, если L —криваяпере-
L
сечения цилиндра х + у = 4 с плоскостью x + y - z - 0 , «пробегаемая» в
положительном направлении относительно выбранной Верхней стороны данной
плоскости.
►Найдем параметрические уравнения кривой L. Так как проекция кривой
L на плоскость Оху есть окружность х2 + у2 = 4 , z —0 , то можно записать,
что х = 2 cos/, у - 2 sin/. Тогда из уравнения плоскости находим, что
Z = 2(cos/ + sin/). Таким образом,
x * 2cos/,
у = 2 sin/,
Z * 2(cos/+ sin/), / € [0; 2rc]
dx = —2 sin /

3. Вычислить \ J ly d l, если L — первая арка циклоиды
L
х = a ( t - sin ?), у = а( 1 - cos/) (а > 0 ). (О твет: A n a ja .)
L
ками >4(1,0, 1) и В(2, 2, 3). (О твет: 12.)
5. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра
2 2 « 2 2 2 п2
х + у = R x , заключенной внутри сферы х + у + z = л .
(О твет: 4Л 2.)
J 2 2
(jc - 2xj/)flbc + (2х у+ у )dy, где
4. Вычислить [ xyzdl, если L —отрезок прямой между точ-
—ду-
*•АВ
2
га параболы у = х от точки А(1, 1) до точки 5(2, 4). (О твет:
40^.)
30 7
7. Вычислить j xdx+ydy + (х + у - 1)

Самостоятельная работа
1. Вычислить:
а) j xdl, если L —отрезок прямой, соединяющий точки ДО, 0)
L
и 5(1,2);
б) j (х+ y)dx + ( x -y )d y , если LAB — дуга параболы
At»
2
у = х , лежащая между точками А(—1, 1) и .8(1, 1). (Ответ:
а) л/5/2; б) 2.)
2. Вычислить:
С 2 2 2
а) I jc ydl, если!, —часть окружности х +у = 9 , лежащая
L
в первом квадранте;
б) Г (x-y)d x + (x+ y)dy, если LAB —отрезок прямой, со-
^ЛВ
единяющий точки А(2, 3) и 8(3, 3). (О твет; а) 27; б) 23/2.)
3. Вычислить:
а) f ——, если £ —отрезок прямой у = х + 2 , соединяю-
J х+ у
щий точки А(2 ,4) и 8(1, 3);
б) J (У+* )

14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С помощью криволинейных интегралов первого рода можно вычислять
длину дуги кривой, массу материальной дуги, ее центр масс, площади цилиндрических
поверхностей и другие величины.
Пример 1. Вычислить массу т дуги кривой L, заданной уравнениями
X - h i , у - I, г - Шм 0S/S2, если плотность в каждой ее точке
5 « л/1 + 4х2 + У*.
►Согласно формуле (14.6) искомая масса т выражается интегралом
т
2
jVl+4 x + y 2dl = jV lТ ? + 7 7 ? + 1 + 7 л
Щ
2
О
= f (l + ? + tA)dt = 116/15 .4
Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной дуги окруж-
2 2 - 2
пости х + у = /Г , расположенной в первом квадранте, и моменты инерции
О* х » у *
►Так как прямая у = х является осью симметрии дуги окружности, то
Хг = Ус • Для нахождения х с используем первую из формул (14.7):
хс - jxbdl/^bdl = jx d J/ jd l,
L L L L
поскольку 5 = const. Интеграл
j

0 = Ux2 + y2)bdl - 5 J * Л * = B?Sn/2,
L
О
л/2 ч я/2
Ix = jy 2bd! = 6 J Л2sm’tRdt = J (1-сов20

4. Во всех точках области D справедливо равенство
д £ т дР
(14.15)
дх д у '
Из формулы Грина следует, что площадь S области D можно вычислить
также с помощью криволинейного интеграла второго рода:
SD = -fy -y d x + x d y ,
где интегрирование по контуру L производится в положительном направлении.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой
х3 + х2 - у" = 0 (рис. 14.7).
►Из уравнения кривой получим, что у = ±xjx+ 1 , т.е. кривая симметрична
относительно оси Ох и пересекает ее в точках х = 0 и х = -1; обе
функции у = ± xjx+ 1 определены при х £-1 , а у —» ±оо при х —►оо. Перейдем
к параметрическим уравнениям данной кривой, положив у ш x t . Под-
__ . 3 ^ 2 2 Л 3 . 2 2 2
ставив у т xt в уравнение х + х - у ** 0, получим: х + х = х Г ,
х в г - 1 , у в г где для петли -1 £ 1.
Следовательно, искомая площадь
1
s - 1 1 Ш с - 0 •2Г+ (/* - 1КЗ/2- 1))А -
-1
Пример 5. Вычислить
1
- |(/4 -2/2 + 1)Л= £ .«
О
/= £ K i-*V *+ (i+ yW y,
L
2 2
где контур L —окружность х + у = 4 , «пробегаемая» в положительном направлении
обхода.
239

►Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина (14.14):
/= JJ(l+y2-l +x2)dxdy = J J ( * 2 +у2) dxdy,
D
где D —круг, определяемый неравенством х2 + у

где С —произвольная постоянная. 4
- (arctgx - In W )|* + *ln|y| + С =
= arctgx - ln|x| + xln|>| + С ,
АЗ-14.2
1. Вычислить массу дуги кривой у = 1пх плотностью
с 2
8 = х , если концы дуги определяются следующими значениями
х: Xj = л/з , х2 = л/8 ■(О твет: 19/3.)
2. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает
из кругового цилиндра радиусом R такой же цилиндр, если
оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом. (О т­
вет: i R 2.)
3. С помощью криволинейного интеграла второго рода
вычислить площадь фигуры, ограниченной:
а) астроидой х = a cos 1, у = я sin /;
б) первой аркой циклоиды х = a ( t- sin0, у = а( 1 - cosY)
и осью Ох.
(Ответ: а) Зла2/8; б) Зло2.)
4. Найти функции и(х, у) по их полным дифференциалам:
а) du = 4 (х2 - y 2)(x d x -у dy) ;
2 2 .
б) du = (2xcosу - у siax)dx + (2 yco sx -x siny)dy;
в) du = ((3y-x )d x + (y-3x)d y)/ (x + y)i .
5. Вычислить работу силы F = (х2 + у + 1 )i + 2xyj вдоль
дуги параболы у = х3 , заключенной между точками ДО, 0)
и В(1, 1). (О твет: 7/3.)
6. Применив формулу Грина, вычислить
^у2 dx + (х +у)2 dy,
L
241

где L — контур треугольника ABC с вершинами в точках
>4(3,0), В(3, 3) и С(0, 3). {Ответ: 18.)
7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(4х у*- y 2)dx + (Ъх у" -2xyi)dy = 0 . (Ответ: х уЪ- ху2 = С.)
Самостоятельная работа
1. 1. С помощью криволинейного интеграла второго рода
вычислить площадь области D, ограниченной линиями
у = х2 и у = J x . (Ответ: 1/3.)
2. Найти функцию и(х, у ) , если
du(x, у) = (2ху + х - 5)*/х + (х2 - у 3 + 5)dy.
2. 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями
2 2 2 2
координат и дугой эллипса х /а +у /Ь = ^расположенной
в первом квадранте. (Ответ: nab/A.)
2. Найти функцию и(х, у ) , если
du(x, у) = (х + 2 х у -у )dx+(x - 2 xy+ y2)dy.
2
3. 1. Вычислить работу силы F(x, у) = 2xyi + x j , совершаемую
на пути, соединяющем точки >4(0, 0) и В(2, 1). (О т­
вет: 4.)
2. Найти функцию и(х, у) , если
du = —+ 1 dy.
(1 +х2) Ч+х2 -
14.3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
К ГЛ. 14
ИДЗ-14.1
Вычислить данные криволинейные интегралы.
1
1.1. [ (х -2xy)dx + (y2 -2x y)d y, где Ьлв —дуга парабо-
Ьд.В
2
лы у = х от точки А(—\, 1) до точки 5(1, 1). (О твет:-6 .)
242

x d y - у dx , ~ з
1.2. —7=—,Н = '. где I - дуга астроиды х = 2cos Г,
I ер
У = 2 sin3/ отточки А(2,0) до точки В(0,2). (Ответ: зУ2л/8 .)
1 2 2 ^ w
(х + у )dx + 2xydy, где L0A—дуга кубической па-
^ол
раболы у = х от точки 0(0 ,0) до точки Л(1, 1). (Ответ: 4/3.)
1.4. £(х + 2y)dx + (x-y)dy, где L —окружность х = 2 cos/,
L
у = 2sin/, при положительном направлении обхода. (Ответ:
-А п .)
1.5. fy(x2y -x )d x + (y x -2 y )d y , где L - дуга эллипса
L
х = 3cos/, у = 2 sin/, при положительном направлении обхода.
(Ответ: -7,5л.)
1.6. | (ху - l)dx + x yrfy, где LAB -дугаэллипсах = cos/,
Lab
у = 2 sin/ от точки 4(1,0) до точки В(0,2). (Ответ: 5/6.)
1.7. | 2x yd x -x 2d y, где £ОЛ1 - ломаная ОД/4; 0(0, 0);
^овл
В(2, 0); Д 2 ,1). (Ответ: —4.)
J(х w
- у ч
)dx+xydy, где —отрезок прямой AS;
^лв
Л(1, 1); В(3,4). (Ответ: l l | .)
О
243

1.9. f cosydx- smxdy, где LAB — отрезок прямой AB\
LAt
A(2n, - In ); B(-2n, 2n). (Ответ: 0.)
1.10. J + , где Lab —отрезок прямой AB\ A( 1, 2);
La, X + y
B (3, 6). (Ответ: |ln 3 .)
1.11. J xydx + (y-x)dy, где LAB —дуга кубической napa-
^l»
болы у = x от точки /4(0, 0) до точки 5(1, 1). (Ответ: 1/4.)
Г 2 2 2
1.12. I (х + у )dx+(x +у )dy, где ЬАВС—ломаная ABC;
Labc
А( 1, 2); 5(3, 2); 0(3, 5). (Ответ: 64^.)
Г 2 2 2
1.13. I ху dx + yz dy-x zdz, где L OB —отрезок прямой
^ов
OB, 0(0, 0, 0); B(- 2, 4, 5). (Ответ: 91.)
1.14. J ydx + xdy, где £ 0/1 —дуга окружности х = Лcos/,
Loa
у = /{sin/; 0(Л, 0);Л(0, К). (Ответ: 0.)
1.15. J xydx + (y-x)dy, где L OA —дуга параболы у1 - х
Loa
отточки 0(0, 0) до точки А( 1, 1). (Ответ: 17/30.)
1.16. J xdx + ydy + (x-y+ 1)dz, где LAB — отрезок пря-
Lab
мой Ав; А( 1, 1, 1); 5(2, 3, 4). (Ответ: 7.)
244

1.17. f (xy- \)dx + x yd y9 где L AB — дуга параболы
Lab
у2 = 4 - 4х от точки >4(1, 0) до точки В(0, 2). (О тв е т: 17/15.)
1.18. [ xydx + (у - х)

1.25. hydx-xdy, где L — дуга эллипса х = 3cos/,
L
у = 2sin/, «пробегаемая» в положительном направлении обхода.
(Ответ: -12я.)
J
2 2
2xydx-x dy, где L OA —дуга параболы у = х /4
L ол
от точки 0(0, 0) до точки А(2, 1). ( Ответ: 0.)
Г 2 2 2 2
1.27. I (х +у )dx+(x - у )dy, где Ьлв —ломанаялиния
^лв
у - |х| от точки Д -1, 1) до точки В(2, 2). (Ответ: 6.)
f 2
1.28. I 2xydx-x dy + zdz, где Z,0^ — отрезок прямой, со-
L oa
единяющий точки 0(0, 0, 0) и А(2, 1,-1). (Ответ: 11/6.)
1.29. ух dy - ydx, где L —контур треугольника с вершинами
L
А(—1, 0), В( 1, 0), С(0, 1), при положительном направлении обхода.
(Ответ: 2.)
С 2 2
1.30. I (х + y)dx + (х + у )dy, где ЬАСВ - ломаная ACR,
Lлев
А(2, 0); С(5, 0); В(5, 3). (Ответ: 63.)
2
2.1. J J i - z2(2z- л/х2 + у2) Л , где £ — дуга кривой
L
2 2
х = /cosГ, у = /sin/, г = /, 0 < /£ 2 я. (Ответ: 4п (1 + я ).)
г 2 2 2 2
2.2. 4(х +>» )dl, где L —окружность х +> = 4. (Ответ:
16л.)
L
246

2.3. Г — , где L n п —отрезок прямой, соединяю-
■> /о 2 2
л/8-х - у
щий точки 0 (0 ,0 ) и 5(2, 2). (О твет: п /2 .)
2.4. f (4 \ fx - 'ijy )d l , где —отрезок прямой АВ\ А(—\,
ЩA t
0); 5 (0,1). (О твет: - 5 j2 .)
2.5. f — — -— , где L ab — отрезок прямой, заюпочен-
/ >Г5(х-у)
l a b
ный между точками ДО, 4) и В (4, 0). (О твет: 0.)
2.6. f d l, где L —дуга кардиоиды р = 2 (l + cos

2.11. J J l y d l , гае L —первая арка циклоиды х = 2(/~ sin/),
L
у = 2(1 —cos/). (О твет: 8я«/2 .)
2.12. | —=======, где L q a ~ отрезок прямой, соединяло,
V *2+А 4
ющий точки 0(0, 0) иЛ (1, 2). (О твет: ln ((js + 3 )/ 2 ).)
.2 2.
2.13. J ^ Х ) X* d l, где £ — дуга кривой р = 9sin2

f 1 2 2 2 2
2.19. фл/х + y dl, где L —окружность х + у = 2y. (Om-
eem: 8.)
L
2.20. | xydl, где Lqabc ~ контУР прямоугольника с вер-
L o a bc
шинами 0(0, 0), А(5, 0), В (5, 3), С(0, 3). (О тве т:—15.)
f 2 2 2 2
2.21. в(х + у )dl, где L —окружность х + у = 4х. ( О т-
L
вет: 32л.)
2.22. f (4\Tx-33f i) d l , где L a b —дуга астроиды х = cos3/,
Ала
у = sin / между точками А(\, 0) и .3(0, 1). (Ответ: 1,)
2.23. f xydl, где L —контур квадрата со сторонами х = ±1,
I
у = ±1 . (О твет:0.)
2.24. |у 2оГ/, где L — первая арка циклоиды х = /-sin/,
L
у - 1- cos/. (Ответ: 17— .)
2.25. | xydl, где LABCD —контур прямоугольника с вер-
LABCD
шинами А(2, 0), В(4, 0), С(4, 3), D(2, 3). (Ответ: 45.)
2.26. J ydl, где L - дуга параболы у1 - 2х, отсеченная па-
L
раболой х2 - 2у. (Ответ: (5^5 - 1)/3 .)
249

2.21. J - ^ .г д е Lab — отрезок прямой, заключенный
ЬАЛ L Х ~ У
между точками Д 4, 0) и 5(6, 1). (Ответ: «/51п(5/4).)
2.28. j(x 2+ y2) dl, где L — первая четверть окружности
L
р = 2. (Ответ: 16я.)
2.29. | — , где L a s —отрезок прямой, соеди-
LM Jx 2+ у2+ z2
няющий точки A (l, 1, 1) и 5(2, 2, 2). (Ответ: 1п2.)
2.30. ^(x-y)dl, где L —окружность х+у4= 2х. (Ответ:
2п.)
L
3.1. ^*j2y + z dl, где L — окружность х2 + у2+ z2 = а2,
L
х = у. (Ответ: 2яа2.)
3.2. jxyzdl , где L —четверть окружности х2 + у2 + z = Л2,
L
х2 + у2 = Л2/4 , лежащая в первом октанте. (Ответ:
Л4 «У3/32.)
3.3. farctg^J/, где L — часть дуги спирали Архимеда
L
р = 2ф, заключенная внутри круга радиусом R с центром в
_2 3/2
полюсе. (Ответ: ((/С + 4) - 8)/12 .)
С 2 2 2
3.4. J (х +у +z )dl, где L —дуга кривой х = a cost, у =
L
=asinf
—bt, 0 < Г £ 2 я . (Ответ: 2 n ja2+ Ь2(3а2 + Лп2Ь2)/3.)
250

3.5. J (2z-*JxZ + y2)dl , где L —первый виток конической
L
винтовой линии х = /cos/, у = /sin/, z = 1. (Ответ:
г 2 3/2
2*/2((1 + 2я ) - 1 )/ 3 .)
3.6. f(x+z)dl, где £ - дуга кривой х = t, у = (3/л/2)г ,
L
Z = Z3, 0 £ / £ 1. (О твет: (56«/7- 1)/54.)
f
L
l 2 2 2 2 ^ 2 2 2Ч
х'*/х - у dl, где £ - кривая (х + у ) = а (х - у ) ,
х £ 0 . (О твет: 2а J l /2 .)
3.8. [(х + у )Л , где L — первый виток лемнискаты
L
р = o' cos 2ф. (Ответ: a J2 .)
3.9. [ xydl, где L — первая четверть эллипса х /а +
L
+ у2/Ь2 = 1. (О твет: ab(a2+ ab +Ь2)/(3 (а + Ь )).)
3.10. f(x + y )d l, где L —четверть окружности х2+ у2 + z —
L
= F? , у = х, лежащая в первом октанте. (Ответ: ВТ J 2 .)
3.11. | —— , где La b —отрезок прямой z - х/-2, у = 0,
соединяющий точки ДО, 0, —2) и 5(4,0, 0). (Ответ: J5\n2.)
251

3.12. J Jly d l , где L —первая арка циклоиды х = a(t- sin/),
L
у = а(1 - cos/). (Ответ: 4n a ja .)
f 2 2 Л
3.13. 4 (x-y)d/, где L —окружность x +y — ax. (Ответ:
na2 / 2.)
3.14. | —-- -— -, где L —первый виток винтовой линии
Lx +У + *
х = а cos/, у = asm/, z - bt.
«.-
(Ответ:
/л_
---
Ja 2 +
г—
b2
arctg--
t 2яЬ
.)
ч
ab а
2dl
3.15. J — -, где L — первый виток винтовой линии
I * +У
х = acos/, у = asm/, z - а/. (Ответ: 8ал3*/2/3 .)
3.16. [ Jx 2 + у1 dl , где L — развертка окружности х =
L
= a(cos/+ /sin/), у = a(sin/- /cos/), 0

3.19. j yzdl, где L oabc - контур прямоугольника с
Lолвс
вершинами в точках 0(0, 0, 0), А(0, 4, 0), 5(0, 4, 2), С(0, 0, 2).
(О т в е т : 24.)
Г 2
3.20. J х dl, где L —дуга верхней половины окружности
L
2 2 2 / Л 3
х + у = а . (Ответ: яа /2 .)
Г 2 2 2
3.21. (х + у + z )d l, где L —первый виток винтовой ли-
L
2
нии х = 4cos/, у = 4sin/, z = 3/. (Ответ: 10я(48 + 36я )/3 .)
3.22. | ydl, где L —дуга параболы у = 6х, отсеченная па-
L
раболой х = 6у. (Ответ: 3 (5 */5 -l).)
3.23. f xdl, где - дуга параболы у = х от точки
^ав
А(2, 4) до точки 5(1, 1). (Ответ: (17л/Т7- 5 Jb )/\2 .)
3.24. J(x + y)

3.27. f Jx 2 + у2dl, где L — развертка окружности x =
L
= 6(cos/+/sin/), У — 6(sin/- tcost), 0

4.4. \yzdx + z Jf i? - у2dy + xydz, где Z, — дуга кривой
L
x = Rcost, у = jRsin/, z = at/(2n), «пробегаемая* от точки
пересечения ее с плоскостью z = 0 до точки пересечения ее с
плоскостью z = а. (О тв е т:0.)
f 2 2
4.5. I 2xz»)dy, где Z-^д - дуга параболы у = х от
Алл
точки Д 1 , 1) до точки Д(2, 4). (О твет: 14/3 - 1п4.)
4.7. J coszdx-sinxrfz, где LAB - отрезок прямой, соедини»
няющий точки А(2, 0, —2) и В(—2, 0, 2). (О твет: —2sin2.)
4.8. Jydx-xd y, где L — четверть дуги окружности
L
х = Rcost, у = flsin/, лежащая в первом квадранте и «пробегаемая»
против хода часовой стрелки. (О твет: 0.)
J
*•ол
2
X
(xy-x)dx+ — dy, где — дуга параболы
у = 2 jx от точки 0(0, 0) до точки U (t, 2). (О твет: 1/2.)
4.10. ©.yrfx- xdy, где L — дуга эллипса х = acost,
L
у = 6 sin Г, «пробегаемая» против хода часовой стрелки. (О т ­
вет: -2п ab.)
255

4.11. j>xdy , где L — контур треугольника, образованного
L
прямыми у = х , х = 2, у = 0, при положительном направлении
обхода контура. (О твет: 2.)
4.12. jxdy, где L — дуга синусоиды у = sinx от точки
L
(п, 0) до точки (0, 0). (О твет: 2.)
Г 2 , 2
4.13. I у ах + х dy, где L — верхняя половина эллипса
L
х = acosl, у - boat, «пробегаемая» по ходу часовой стрелки.
(О твет: ЛаЬ2/ 3 .)
4.14. J (х у- у )dx + xdy, где L 0B — дуга параболы
Lot
у = 27х от точки 0(0, 0) до точки 5(1, 2). (О твет: -8/15.)
4.15. \xdx + xydy, где L —дуга верхней половины окруж-
L
ности х + у1 = 2х, при положительном направлении обхода
контура. (О твет: —4/3.)
4.16. j(x - y)d x + dy, где L — дуга верхней половины
L
окружности х +у = К , «пробегаемая» в положительном
направлении обхода контура. (О твет: пК*/2.)
4.17. f(x 2 - y)dx, где £ —контур прямоугольника, образо-
L
ванного прямыми x = 0 ,y = 0 ,x = I , у = 2 , при положительном
направлении обхода контура. (О твет: 2.)
256

Г 2 2
4.18. J 4xsin ydx+ycos 2xdy, где L 0B - отрезок пря-
Ь'ов
мой, соединяющ ий точки 0 (0 ,0 ) и J ( 3 , 6). (О тве т: 18.)
4.19. jyd x - xdy, где I- д у г а эллипса я; - 6 cost,y = 4sint,
L
при положительном направлении обхода контура. (О твет:
- 48я.)
f
j 2 * • 1: ■/ ) i f 2
Ixydx- х dy, где L 0A - дугапараболыx - 2у от
1 ОА
точки 0 (0 ,0 ) до точки А (2 ,1). (О твет: 2,4.)
Г х X
4.21. I хye dx+(x- l)e dy, где LAB - любая линия, со-
Щ,АВ
единяющая точки Л(0,2) и В(1,2). (О твет: 2.)
Г 2 2 2 2
4.22. ф(х +у )dx+(x -у )dy, где L - контур треугольни-
L
, ка с вершинами А(0, 0), В( 1, 0), С(0, I), при положительном
направлении обхода контура. (Ответ: -1/3.)
2
4.23. J (xy-x)dx+ —dy, где LAB0 - ломаная ABO
hABO
(0(0,0); A( 1, 2); B(l/2, 3)), при положительном направлении
обхода контура. (Ответ: -1/2.)
4.24. J (ху-у )dx+xdy, где L 0A - отрезок прямой от
L ОА
точки 0(0,0) до точки А(1, 2). (Ответ: 1/3.)
4.25. J xdy-ydx, где L 0A - дуга кубической параболы
L ОА
у = х от точки 0(0, 0) до точки А(2,8). (Ответ: 8.)
9 Зак. 2976 257

4.26. [ lysmlxdx- cos2xdy, где LAB —любая линия от
Ait в
точки А(п/4, 2) до точки В(п/6, 1). {Ответ: —1/2.)
2
(xy-x)dx + —dy, где
— дуга параболы
Lob
2
у = 4дс от точки 0(0, 0) до точки 5(1,4). (Ответ: 3/2.)
4.28. J (х +y)dx + (х-y)dy, где Ьлв — дуга параболы
^лв
у = х от точки Д —1,1) до точки 5(1, I). (Ответ: 2.)
4.29. J xdy, где — дуга правой полуокружности
^лв
2 2 2 2
х +>» = а от точки А(0, —а) до точки В( 0, а). (Ответ: па /2.)
Г 2 2
4.30. I у dx + x dy угде L —дуга верхней половины эллипса
L
х = 5 cos/, у = 2sin/, «пробегаемая» по ходу часовой стрелки.
(Ответ: 80/3.)
Решение типового варианта
Вычислить данные криволинейные интегралы.
Г 2 2 я 2 2 2
1. Ь(х +у ) dl, где L —окружность х = а .
L
►Запишем уравнение окружности х2 +у2 = о2 в параметрическом
виде: х = a cos/, у = asinf, 0

Следовательно,
2 я
С/ 2= 2Ч" ,, 2л+ 1 Г , - 2л+ 1 I
1,(х + у ) dl = a I at = 2ля .<
2. J xrf/, где L 0B — отрезок прямой от точки 0(0, 0) до
Lob
точки 5(1, 2).
►Находим уравнение прямой ОВ по двум точкам: у=2х. Далее
имеем:
dl = ^1 + (ух) dx, dl - 2x(jr - 1)cfx + x dy, где L —контур фигуры, ограни-
2
ченной параболой у = х и прямой у = 9, при положительном
направлении обхода.
►В соответствии со свойствами криволинейных интегралов
второго рода имеем:
/ = f 2х(у- 1)dx + x2dy+ j 2х(у- l)dx + x2dy,
2
где L. —дуга параболы у = х ; Ь2 —отрезок прямой у = 9.
Так как парабола и прямая пересекаются в точках (—3,9) и (3,9),
то
3 -3
3
/= f (4х - 2 х )Л + 16 Jxcbc = 0 .<
-3 3
4.1 = | ( У х +y)dx - (У у + x)dy, где L —верхняя дуга астро-
L
иды х = 8cos t, у = 8sin t от точки (8, 0) до точки (—8, 0).
►Находим:
259

Тогда
dx = 24cos2/(—sint)dt, dy = 24sin tcostdt, 0

( О твет: ln( 1+ х2у2) - Зх - 5у+ С.)
1.3. —Qcos2y+ ysin2x)*/x + (xsin2y + cos2x+ 1)dy. ( О т-
2 X
вет: у cos x - - cos 2y+y+ C .)
1.4. (y2exy + i\dx + [2xyexy - \\dy. (О твет: 3x+ exy -
- y + C .)
1.5. ( —— + cosxcosу - 3x ) dx + [ -----sinxsiny + 4y) dy.
\x + у I Vx + у J
з 2 „ 4
(О твет: ln(x + y) + sinxcosy-x +2у + С .)
1.6. (y/x +lny+2x)rfx+(lnx + x/y + 1)

1.12. (ysin(x+ y) + xycos(x+y)-9x2)

1.23. Х'П*^ - У dx + У^пх + -dy. (О твет: ylnx+ x\ny+ C.)
x
У
1.24. ex~y( l +x + y)dx+ ex~y(l- x - y )d y . (О твет:
ex~y(x + y )+ C .)
1.25. (3x2 - 2xy + y)dx + (x - x - 3y2 - 4y)d y. (О твет: x -
-x 2y - y 3+ xy-2y2 + C.)
1.26. (lx ex ~v - sinx)dx + (sin y - 2yex y )d y . (Ответ:
2 1
ex y + cosx—cosy + C.)
1.27. ( y / J 1- x y ’ + x2)dx + (x / J 1- x y " + y)dy . (Ответ:
x /Ъ + arc sin (ху) +y2/2 + C.)
1.28. ^-r^dx+ -— тг-dy. (Ответ: + - + C.)
X2y ху2 ХУ x
1.29. P - --- 2— - 2) dx + Г-Ц ---- + 2 y)d y. (Omy
~ l (x - 1 ) 1 (y - 1 )
eem: ¥-■+ —— -2x + y2+ C .)
x-1 y-1
1.30. (3x2 -2xy + y2)rfx+ (2xy-x2-3y2)rfy. (Ответ: x -
- x2y + xy2 + у3+ C .)
2. Решить следующие задачи (если линейная плотность
5 линии не указана, то принять 5 = 1).
2.1. Вычислить массу дуги цепной линии у = (ех + е )/ 2 ,
х е [0; 1]. (Ответ: (в2 - 1 )/(2 е).)
263

2.2. Вычислить моменты инерции относительно осей координат
отрезка однородной прямой 2 х + у = 1, лежащего между
этими осями. (О твет: I = ,/5/6, /„ = JS / 2 4 .)
* У
2.3. Найти координаты центра масс четверти однородной
окружности х2 + у2 = а2, лежащей в первом квадранте. (О т ­
вет: 2а/п, 2 а/я.)
2.4. Вычислить массу дуги кривой у = 1лх, заключенной
между точками с абсциссами х = «Уз и х = У § , если плотность
дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы этой точки.
(О твет: 19/3.)
2.5. Вычислить момент инерции относительно оси Оу дуги полу-
2 3 ___ '
кубической параболы у = х , заключенной между точками с абсциссамих=Оих=
4/3. (Ответ: 1у = 107 •210/ ( 105 ■Зб) « 1,13.)
2.6. Вычислить момент инерции относительно начала координат
контура квадрата со сторонами х - ±а, у = ±а.
Плотность квадрата считать постоянной. (О твет: /0 = 32/3 .)
4 6
2.7. Вычислить массу дуги кривой х = 2- i /4, у = t /6,
ограниченной точками пересечения ее с осями координат.
(О твет: 13/3.)
2.8. Вычислить координаты центра масс однородной полу-
2 2
окружности х + у = 4, симметричной относительно оси Ох.
(О твет: (4 / к , 0).)
2.9. Вычислил» координаты центра масс однородной дуги одной
арки циклоиды х = t~ s in t,y = 1- cos t . ( Ответ: ( я , 4/3).)
2.10. Вычислить момент инерции относительно начала координат
отрезка прямой, заключенного между точками Л(2,0)
и В(0, 1), если линейная плотность в каждой его точке равна 1.
(О твет: I Q = S jS /Ъ.)
264

2.11. Вычислить координаты центра масс однородного
2 2 2
контура сферического треугольника х +у + z = 1, х >0,
у^. О, г £ 0 . (О твет: (4/Зл , 4 / З л , 4 / З я ).)
2.12. Вычислить статические моменты относительно коорз
з
динатных осей дуги астроиды х = 2 cos t ,y = 2 sin /.расположенной
в первом квадранте. (О твет: М г = 2,4, M v = 2,4.)
2.13. Вычислить массу отрезка прямой у = 2 - х , заключенного
между координатными осями, если линейная плотность
в каждой его точке пропорциональна квадрату абсциссы
в этой точке, а в точке (2, 0) равна 4. (О твет: R j l /Ъ .)
2.14. Найти статический момент относительно оси Оу
однородной дуги первого витка лемнискаты Бернулли
р2 = aZcos2cp. (О твет: Му — a2 J l .)
2.15. Найти работу силы F = xi + (x + y )j при перемеще-
* нии точечной массы т по эллипсу х / 16 + у2/9 = I . (О твет:
12я т .)
2.16. Вычислить момент инерции относительно оси Oz однородной
дуги первого витка винтовой линии х = 2cos/,
у = 2sin/, z—t. (О твет: I = 8,/5я.)
2.17. Вычислить массу дуги кривой р = 3sincp,
Ф е [0 ; л / 4 ], если плотность в каждой ее точке пропорциональна
расстоянию до полюса и при ф = л/4 равна 3. (О т ­
вет: 9(2 - «Д )/2 .)
2.18. Вычислить координаты центра масс однородной дуги
первого витка винтовой линии х = cos/, у = sin/, z - 2/.
(О твет: (0,0, 2л ).)
265

2.19. Вычислить моменты инерции относительно координатных
осей дуги четверти окружности х = 2cos/, у = 2sin/,
лежащей в первом квадранте. (Ответ: 1Х = 2 я , 1у = 2 я .)
2.20. Вычислить координаты центра масс дуги первого витка
винтовой линии х - 2cos/, у = 2sin/, z = /, если линейная
плотность в каждой ее точке пропорциональна аппликате
этой точки и в точке / = я равна 1. (Ответ: (0, —2 / я , 4 я/3).)
2 2
2.21. Вычислить массу дуги четверти эллипсах /4 + у = 1,
лежащей в первом квадранте, если линейная плотность в каждой
ее точке равна произведению координат этой точки. (О т­
вет: 14/9.)
2.22. Вычислить работу силы F = xyi + (х + y )j при перемещении
материальной точки по прямой у —х от точки (0,0)
до точки (1, 1). (Ответ: 4/3.)
2.23. Вычислить статический момент относительно оси Ох
однородной дуги цепной линии у = (ех + е~х)/ 2 ,
х е [0; 1/2]. (Ответ: (е- 1/е + 2)/8 .)
2.24. Вычислить работу силы F = (x-jO i + xj при перемещении
материальной точки вдоль контура квадрата, образованного
прямыми х = ±1, у = ±1. (Ответ: 8.)
2.25. Вычислить статический момент относительно оси Ох од-
2
нородной дуги кардиоиды р = а(1 + cosip). (Ответ: 32а /5 .)
2.26. Вычислить массу дуги одной арки циклоиды
х = 3(/- sin/), у = 3(1 - cos/). (Ответ: 24.)
2.27. Вычислить работу силы F = (x + y )i- Jtj при перемещении
материальной точки вдоль окружности х = 2cos/,
у = 2 sin / по ходу часовой стрелки. (Ответ: 8 я.)
266

2.28. Вычислить работу силы F = y i + (х + y )j при перемещении
материальной точки из начала координат в точку (1,1)
2
по параболе у = х . (О твет: 5/3.)
2.29. Вычислить работу силы F = (x - y )i + 2yj при перемещении
материальной точки из начала координат в точку (1, —3)
2 Л
по параболе у = -Зх . (О твет: 10,5.)
2.30. Вычислить моменты инерции относительно осей координат
однородного отрезка прямой у = 2х, заключенного
между точками (1,2) и (2,4). Линейную плотность отрезка
считать равной 1. (О твет: /г = 28./5/3, I = 1 J s /Ъ.)
X
У
Решение типового варианта
1. Показать, что выражение
( r f V H M r f r i - 10) *
1+х у 1 + х у
является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти
функцию и(х, у).
►Проверим, выполняется ли условие полного дифферент
а ?
циала I — \ду
Р(х, у ) ---- V i - 1 , Q(x, у ) ---- V i " 10*
1+ х у 1+х у
дР ш д ( у Л ш 1 + х У - у -2х2у = 1-х2у2
ду 3yVr ' 2 2 ) 2 2.2 , , 2 2.2’
* ' 1 + х у (1 + х у ) (1 + х у )
й я ж A f * _ io ) = 1+х2у2-у-2ху2 ш l -х2у2
дх Эхч. 2 2 ) 2 2.2 ,, 2 2. 2'
1 + х у (1 +х у ) (1 + х у )
Данное выражение является полным дифференциалом
функции и(х, у). Положив х0 = 0, у0 = 0, по формуле (14.16)
найдем и(х, у):
для функции и(х, у). Имеем:
дх )
267

U(x,y) = J(—1)dx+\ (
о
X
-10j

1. Найти длину дуги конической винтовой линии
х = ае cost, у = ае sin/, z = ае от точки 0(0, 0, 0) до точки
А(а, 0, а). (О твет: a j 3 .)
2. Найти массу участка цепной линии у = ach(x /a) между
точками с абсциссами х, = 0 и х , = а , если плотность линии
в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки,
причем плотность в точке (0, а) равна у . (О твет: у а .)
2 2
3. Определить массу эллипса х /9 + у /4 = 1, если линейная
плотность в каждой его точке равна \у\. (О твет:
. 1 18л/5 I J5 ч
4 + — arc sin * - .)
4. Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой
линии х = a cos/, у = а sin/, z - bt, считая плотность
в каждой ее точке постоянной. (О твет: (0, 2а/п, Ьп/2).)
5. Вычислить моменты инерции относительно координатных
осей и начала координат четверти однородной окружности
у = 2cos/, z - 2sin/, лежащей в первом квадранте плоскости
Oyz■(О твет: 1Х = 1у = 2 л , /0 = 4 л .)
6. Найти момент инерции относительно оси Ох первого
витка винтовой линии х = a cost, у = asin/, z = ht/(2n).
(О твет: (а /2 + Л2/3)«/4л2д2 + А2.)
7. Проверить выполнимость формулы Грина для интеграла
j>(x+у)

по контуру треугольника ЛВС с вершинами А{2, 0), В(2, 2) и
С(0, 2). (Ответ: 16/3.)
9. Доказать, что
[ (ух3+ ey)dx + (ху3+ хеу - 2y)dy * 0,
L
если L —замкнутая линия, симметричная относительно начала
координат.
10. Доказать, что числовое значение интеграла
L
где L —замкнутый контур, равно площади области, ограниченной
этим контуром.
11. Доказать, что интеграл
где L —любой замкнутый контур, «пробегаемый» в положительном
направлении и охватывающий начало координат, равен
2л.
12. Найти функцию по данному полному дифференциалу
du = ey/zdx+(Z±±ey/z + zey/t)dy +
+ iye>t+e-'_L*±l}Zey/z)dz.
z
( Ответ: ey/\x + 1) + - e z.)
270

15. Э Л Е М Е Н Т Ы Т ЕО РИ И ПО ЛЯ
15.1. В Е К Т О Р Н А Я Ф У Н К Ц И Я С КА Л ЯРН О ГО
А РГУ М ЕН Т А . П РО И ЗВО Д Н А Я П О Н А П РА ВЛ ЕН И Ю
И ГРА Д И ЕН Т
Отображение, которое каждому числу t е Т е R ставит в соответствие по
некоторому правилу единственный вектор г, называется векторной функцией
или вектор-функцией скалярного аргумента /. Ее принято обозначать
г п г(/). Множество Т называется областью определения функции г(/). В качестве
Т обычно берут некоторый отрезок [а\ Ь\ или интервал (а; Ь) числовой
оси. Число / называют также параметром.
Как и любой постоянный вектор, вектор-функцию скалярного аргумента
г(/) при любом фиксированном значении / можно однозначно разложить по
базису I, j, к:
г - г(/) - *0)1 + у(0j + *0)к. (15.1)
Очевидно, что координаты х, у, z вектор-функции г = г(/) в этом базисе являются
функциями x(t), y (i)t z(t), область определения которых совпадает с Т.
Поэтому имеют место три скалярных равенства:
* =-*(0. J '= J ’W .z = ?(/)■
(15.2)
Если вектор г откладывать из одной
точки О при различных значениях / е 7\
то его конец М(1) опишет в пространстве,
вообще говоря, линию, которая называется
годографом вектор-функции г = г(/).
Точка О называется полюсом годографа.
Равенство (15.1) называют в этом случае
векторно-параметрическим уравнением годографа,
а равенства (15.2) —его параметрическими
уравнениями {рис. 15.1).
Приведем несколько примеров.
1. Годографом, задаваемым векторнопараметрическим
уравнением вида
г = г(/) = Го + s/, где Го - радиус-вектор
точки Afota* Уо* *o)f s —некоторый заданный
вектор, является прямая в пространстве,
проходящая через точку A/q, с направляющим
вектором s.
2. Годограф, задаваемый параметрическими уравнениями х = о cos/,
у - a sin/, z — bt (/ е (-оо; оо), а, b —постоянные), является винтовой линией,
расположенной на круговом цилиндре радиусом а с осью ОД.
271

В случае, когда / —время, a x(l), y(/)t *(/) имеют размерность длины, равенства
(15.1) и (15.2) называются соответственно векторно-параметрическим
и параметрическими уравнениями движения точки, а соответствующий им годограф
—траекторией ее движения.
Если ' * Г Ш ' .
lim x(f) =xQ, lim y(0 =У0. lim z(0 = Zq ,
tg
то вектор rg —xqI + yoj + £q!l называется пределом вектор-функции г(0 * точке
/ = /о-В этом случае пишут: lim r(f) * гп .
- ? Й
Если lim г(1) % г(/п) , то векторная функция г(0 называется непрерывt->t0
ной в точке t = .
Если А/* О — произвольное приращение параметра, то Аг(0 ■
- г(/+ Af) - г(0 называется приращением вектор-функции t(ff.
Если существует предел
lim ^ = lim
Д/-+0 А/ АЛ->0 Af
то он называется производной вектор-функции г(/) «гточке t и обозначается
г '(0 , или г(/ ), или dr(t)/dt.
Вектор г'(О всегда направлен по касательной к годографу функции г(/) в
сторону возрастания параметра L С механической точки зрения г'(/) есть вектор
мгновенной скорости движения материальной точки по траектории, являющейся
годографом функции г ==г(t) , в момент времени t в точке M(f) (см. рис. 15.1).
Если существуют производные х '(0 . у'(0 и z*(0»то существует г'(0 и
г'(0 * x\f)i+ y'{t)i+ z%№ . (15.3)
Так как вектор г'(*0) направлен по касательной к кривой в точке Мо(%),
определяемой уравнениями (15.2), то уравнения касательной к этой кривой в
точке М0 запишутся следующим образом:
*-*(

Пример 1. Найти производную вектор-функции г(/) = (co s/- 1)1 +
п 4 + tg/k в точке = я / 4 .
►Из формулы (15.3) следует, что
Поэтому r 'f 7 1 = - -^ri+j + 2k. 4
V4/ nA
г '(0 = - sin/i + 2 sin/cos Jj + —-~-k.
cos /
Пример 2. Составить канонические уравнения касательной и уравнение
нормальной плоскости к кривой, заданной параметрическими уравнениями
* - ? + t- \ , у - 2/* + 3/+2, z = Z2 + 1 , в точке Л/о» определяемой значением
параметра и т 1.
►Находим вектор г'(/0) = (х '( 1 )), / ( 1 ) , z '( 1)) ■ (4 ,7 ,2 ). Параметру
го Щ ||Й
гласно формулам (15.4), (15.5) уравнения касательной имеют вид
х- 1 ш ^ 7 ш г-2
4 7 2 ’
а уравнение нормальной плоскости
4(х - 1) + 1{у - 7) + 2(г-2) - 0.4
Переходя к понятию производной функции по направлению, отметим,
что направление в пространстве можно задавать единичным вектором
s° - (сова, cosp, cosy), где а , р , у - углы, образованные вектором s° и
осями Ох, Оу%Oz соответственно.
Если дана функция и - Л *. У» г ) . определенная в некоторой окрестности
точки А/оОчъ Уо» 3))» радиус-вектор которой Го * (хо. Уо* ^о)«то
.. Лг0 +*°0-Л г0)
lim —--------- ,
г-» 0 щ
если он существует, называется производной функции и = / (х, у, г) в точке
О „ _ Эи(М0)
Mq(xq, уд, ?о) по направлению вектора s и обозначается — —— , т.е. по определению
ди(М0) / (ro + s °0 - / (ro)
— ■ - l i m --------------— .
ds t-¥ 0 t
Справедлива следующая формула:
0и(ЛГп) ви(«0) ди(М0) „ . ди(М0)
---- SL - — — ^-cosa + — ----cosp + — ----cosy. (15.6)
ds dx by v dz
В случае функции двух переменных г = А х* У) формула (15.6) упрощается:
273

dz(-M ) S « M 0) Э Ж
О
гае s ■=(cosa, cosP); p - л/2 -a.
~ s e 7 ~ C08a+- a j r CO*p, (15.7)
Ч астны е производные функции и = fix , у, z) являются производными
этой ф ункции по направлениям координатных осей. С физической точки зрения
ди/дз можно тр а к то ва ть как скорость изменения функции и в данной точке
в заданном направлении.
Производной вдоль кривой L называют производную по направлению ориентированной
касательной к кривой L , вычисленную в точке касания.
В сяко й дифференцируемой функции и = Дх, у, z) соответствует вектор
с координатами д и (М )/д х , д и (М )/д у, ди(М )/дг, который называется
диентом функции и в точке М я обозначайся grad „. Таким образом, по определению
(ди ди ЗиЛ
grad и = ду’ dz) Эх д / dz
(15'8)
Е ы я . . . ( с « , ш , .
д и (М ) = grad И » ° = nPfo * * * “ (*>■
ds
„ т я о и градиентом функпии
„ МежДУ производной по направлению
И з этой связи - у \ ) следует, что. «сального возрасштшв
—
РИС .152

2) если единичный вектор s перпендикулярен к grad и (или grad г), то
ди/дз ш 0 (или dz/ds = 0) (см. рис. 15.2);
3) вектор grad и (М ) (или grad z(M ) ) имеет направление нормали в точке
М поверхности (или линии) уровня функции и (или z) (рис. 15.3, д, б).
Перечислим свойства градиента любой дифференцируемой функции:
1) grad(iij + и2) = grad и, + grad и2 ;
2) grad Си = Cgrad и , С e const;
3) grad(MjW2) = U2 grad u{ + и, grad «2 •
Пример 3. Найти производную функции и = / 2 Х 2 ^ 2
7х +у + Z
3,6) по направлению к точке M i(- 1,1,4).
►Частные производные функции и в точке М\
ди(М у) X 2
т 7 ж 2 , 2 +Z 2 V
лг,
ди(М } )
ду
У
« з
7 *
1х2 + У2 + г Л/,
ди(М { ) _
Z ш 6
dz 1 2 2 2 7 ’
/X +>» +Z А/,
Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором М j Л/2 ■
Тогда по формуле (15.6) получаем:
0 МХМ2 (\
Г1 Л
2 2>
V3’ 3’ ЗА
А#! Л/2|
* n (Jf| ) _ 2 I 3 ( 2 ) M6 f 2Л = 20 <
ds 7 3 ? Г у 7V У 21'
Пример 4. Вычислить производную функции г = arctg(xy) в точке О Д 1,
1), принадлежащей параболе у я х2 , по направлению этой кривой (в направлении
возрастания абсциссы).
►За направление s ° параболы у * х2 в точке Mq{ 1,1) берем направление
касательной к параболе в этой точке, задаваемой углом а , который касательная
составляет с осью Ох. Тогда имеем:
f {x ) =2х, tga =/(1) - 2,
1 1 tga _ 2
275

Находим частные производные функции z в точке М0:
Sz(M р) =
у
дх . 2 2
1+ху
= 1 dz(M0) _
V . 2 * - V
Подставляя полученные значения в формулу (1S.7), имеем:
W p ) = 1 _1 _ + 1 _2 _ я _ 3 _ 4
3s 2 Js 2Js 2 S '
| 1
2'
АЗ-15.1
1. Найти значение производной вектор-функции г =
= 4(/* + /)i + arctg(j + ln (l + /*)k при / = 1. (О твет: г'(1 ) =
= 12i + ±j + k .)
2. Дано векторно-параметрическое уравнение движения
точки М: г = г(Г) = (2г + 3 )i- 3 / j + (4 Г - 5 )к . Вычислить
скорость Н и ускорение |w| движения точки в момент времени
/= 0,5. (О твет: |v| = J l 9 , |w| = 2 j2 9 .)
3. Дано уравнение движения материальной точки: г =
= 2cos/i + 2sinij + 3/k. Определить траекторию движения,
вычислить скорость |v| и ускорение |w| движения этой точки
в любой момент времени/. (О твет:х = 2cos/, у = 2sin/,
z = 3/ (винтовая линия); М = У Г з , |w| = 2 .)
4. Записать канонические уравнения касательной прямой и
нормальной плоскости к кривой г = /i + r j + Л в точке /= 3.
(О твет: ,x+6y+27z = 786.)
1 6 27
5. Записать канонические уравнения касательной прямой
и нормальной плоскости к кривой, заданной уравнениями
Z = х2 + у2,у - х, вточке Л/0(1 ,1,2). (О твет: ш - т
= x + y + Az = Ю .)
4
276

6. Доказать, что вектор г перпендикулярен к вектору г ', если
|г| = const.
2 2
7. Вычислить производную функции и = 1п(3 -х )+ху z
в точке М\( 1, 3,2) по направлению к точке Л^О, 5,0). {Ответ:
-11/3.)
Г 2 2
8. Вычислить производную функции z - *1х + у в точке
Л/о(3,4) по направлению: а) вектора а = ( 1, 1); б) радиуса-вектора
точки Mq\в) вектора s = (4, 3). {Ответ: а) 772/2; б) 1; в) 0.)
9. Вычислить производную функции z —arctg {у/х) в точ-
2 2 «
ке М0(2, —2) окружности х +у = 4х вдоль дуги этой окружности.
{Ответ: ±1/4.)
10. Вычислить производную функции и = ln(xy + xz + yz)
в точке Af0(0, 1, i) по направлению окружности х = cos/,
у = sin/, z = I ■{Ответ: ±2.)
11. Вычислить координаты единичного вектора, направ-
/ 2 2Ч 5 _
ленного по нормали к поверхности (г -х )xyz-y = 5 в точке
М0(1 ,1, 2). {Ответ: ±(—7=, —7=, -Ц= ) •)
Ч 7 й з Т Р з Т й '
2 2 2
12. Найти grad мв точке A/q(1, 1,1),если и = х yz-xy z + xyz ■
{Ответ: grad и —21 - 2j + 2k.)
3 2
13. Найти угол ф между градиентами функций и = -х +
+ Зу2 —2z и v = х'yz в точке Mq{2, 1/3, 7 з/2 ). {Ответ:
«р = п/2.)
14. Найти наибольшую крутизну подъема

Самостоятельная работа
2 2
1. 1. Вычислить производную функции и = х+ 1п(у + z )
в точке Mq(2, 1, 1) в направлении вектора s = —2i + j —к. (О т ­
вет: -7 б / 3 .)
2. Вычислить координаты единичного вектора, перпендикулярного
к поверхности xy + xz + yz - 3 в точке Mq( 1, 1,
1). (О твет: ± (\/Jb , \ / Jb , 1/ Jb ).)
2
2. 1. Вычислить производную функции z - arctg(x у) в
2
точке M q(1, 4) параболы у = х в направлении этой кривой.
(О твет: ± 2 jS / \ l.)
2. Найти наибольшую крутизну ф подъема поверхности
2 2
Z = 5х - 2ху + у в точке A fo(l, 1, 4). (О твет: tg9 = 8,
Ф я 8 3 °.)
3.1. Записать канонические уравнения касательной прямой и
нормальной плоскости к линии, заданной векторно-параметри-
2 2
ческим уравнением г = cos ri + sin fj + tgfk в точке t = п /4 .
(О твет: = Ы . , x - y -2 Z + 2 = 0 .)
2. Найти наибольшую крутизну ф подъема поверхности
Z = х3у + ху2 в точке A/q(1, 3, 12). (О твет: tgф = J3 7 2 ,
Ф « 8 7 °.)
15.2. С К А Л Я Р Н Ы Е И В Е К Т О Р Н Ы Е П О Л Я
Если в каждой точке Щ х, у, г) пространства R 3(или его части У) определена
скалярная величина и ■ / ( » , у, г ) , то говорят, что в R5(и л и У) задано силярное
поле и = и(Л/). Это значит, что всякая числовая функция «(V ) —f(x . у, г),
заданная в некоторой области К пространства RJ, определяет в этой области
скалярное поле. Функция двух переменных z —fix , у) задает в некоторой области
D плоскости Оху скалярное поле, называемое плоским.
Графически скалярное поле можно изображать с помощью поверхностей
уровня f(x , у, z) —С или линий уровня/(х, у) т С (см. рис. 15.3).
278

Для всякой функции и = /(х, у, z), дифференцируемой в точке Mq(xq,
У0>Zo). число du(MQ)/ds определяет скорость изменения скалярного поля в
направлении s ° = (cosa, coep, cosy) (см. формулу (15.6)).
Если в каждой точке Mix, у, z) пространства R3 (или его части V) определен
вектор а = ( ? , Q, К ) , где Р = Р{х, у, г), Q = 0(х, у, z), Л - Л(х, у, г) - скалярные
функции, то говорят, что в этом пространстве (или в V) задано векторное
поле а = а(М ). Если функции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны,
то поле вектора а называется непрерывным.
Примерами векторных полей являются поле скоростей текущей жидкости,
"р.
поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг
данной оси, поле электрической или магнитной напряженности и др.
Линия, в каждой точке М которой вектор а(М) векторного поля а = а( М)
направлен по касательной к линии, называется векторной (силовой) линией
этого поля.
Примерами векторных линий могут служить линии тока жидкости, силовые
линии магнитного поля, траектории точек вращающегося тела.
Область пространства, целиком состоящая из векторных линий, называется
векторной трубкой. В каждой точке М поверхности векторной трубки
вектор а лежит в плоскости, касательной к этой трубке в точке М.
Векторное (или скалярное) поле, координаты которого не зависят от времени,
называется установившимся или стационарным.
Если г(0 —радиус-вектор векторной линии векторного поля а = а(М ) ,
то уравнения векторных линий определяются из системы дифференциальных
уравнений
4* - & miS. " (15.9)
P Q R
Пример 1. Найти векторную линию векторного поля e(Af) = -у\ +xj +bk ,
проходящую через точку A/q(1, 0, 0).
► На основании формулы (15.9) получаем систему дифференциальны
уравнений
dx т d£ т dz
-у х Ь
Решаем ее:
^ - & txdx + yd y- 0 ,х 2+у2 • С ?,
-у х 1
или в параметрическом виде х = Cj cos/, у = Cj sin/;
Am At At CtCOStdt
l ’ l m , dz шbdt.t - bl+c2.
x b b Cj cos/ *
Так как векторная линия должна проходить через точку A/q(1, 0,0), то легко
находим, что постоянные интегрирования С| = 1, C j —0. Уравнения векторной
линии векторного поля а = а(А/) имеют следующий вид: х = cos/,
у ш sin/, zmbt(винтовая линия).4
Векторное поле, порожденное градиентом скалярного поля и(М) =/(х, у, z)
(или z(M) = f(x , у)), называется полем градиента. Согласно свойству 3 гради­
279

ента векторные линии поля grad и(М) (или grad z(A/)) —это кривые, вдоль которых
функция и = /(х, у, г) (или z = /(х, у )) максимально возрастает (убывает).
Эти линии всегда ортогональны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного
поля и(М) (или ziM)).
Дифференциальные уравнения для определения векторных линий
grad и(М) имеют вид
и'х “ у “ <
(15.10)
2 2 2
Пример 2. Найти векторные линии поля grad и, если и = (х + у + z )/2 .
►Согласно определению (15.8) grad и = л + >j + zk, а из формул (15.10)
следует, что векторные линии этого поля удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений
dx _ dy _ dz
х у z '
Находим решения этой системы:
— = * ,1 п Ы = 1п|л| + 1пС, , у = С .х,
X у 1 1
£ - Щ 1 InW + ta C , , г I С ,х .
z х
Полученные решения >» = С ,х , z ш С2х можно представить в виде
г = ^ = » т-е*векторные линии заданного поля grad и(Л0 представляют
1 С 1 2
собой совокупность прямых, проходящих через начало координат и ортого­
2 2 2
нальных множеству поверхностей уровня х + у + z * 2 С (сферы) данной
функции. 4
АЗ-15.2
1. Записать уравнения и построить поверхности уровня
скалярных полей, определяемых следующими функциями:
а) и = arc cos---1— ; 6) и = 1п(х2 + у 2 + z ) \
в) и - г / (л '+ л .
2. Построить линии уровня плоского скалярного поля
Z = х у.
3. Найти градиент скалярного поля и = с •г , где с —постоянный
вектор; г — радиус-вектор точки Щ х %у , z). Записать
уравнение поверхностей уровня этого поля и выяснить
их расположение относительно вектора с.
280

2 2
4. Найти производную скалярного поля и = х + у -
П 2 Д
- ых + z в точке М (—3, 0, 4) в направлении нормали к по-
2 2 2
верхности 2х + 12х + 5у + г -Зг-58 = 0, образующей острый
угол с осью Oz. (О твет: —4/5.)
5. Найти векторные линии векторного поля а(М ) =
2 2 jn
= ooyi + coxj, где (о 6 R , ш * 0. (Ответ: х - у = С, , z = С2.)
6. Найти векторные линии векторного поля, если:
а) л(М ) = 5x1 + lO yj; б) а(М ) = 4$-9ук.
(О твет: а) х2 = С^у, z = С2; б) 9у2 + 4z2 = с \ , х = С2.)
2 2
7. Найти векторные линии поля grad и, если и = х -2у+ z ■
(О твет: х = С^е , z = С2е .)
Самостоятельная работа
1. 1. Найти векторные линии векторного поля а (Л/) =
2 2
= (x + y )i- x j- x k . (О твет: х +у +z = C ^ ,^ - z = C j.)
2. Вычислить координаты единичного вектора, перпен-
2 2
дикулярного к поверхности z = х +у в точке щ (—1, 1, 2) и
образующего с осью Оу острый угол. (Ответ: (—2/3,2/3, —1/3).)
2
2.1. Найти векторные линии поля grad и, если и = х + у .
(О твет: х = -lny + C j, z = С2.)
2. Вычислить координаты единичного вектора п°, пе
пендикулярного к поверхностям уровня скалярного поля
и = 2x-3y + 6z-5 и образующего с осью Oz тупой угол.
(Ответ: п° = (—2/3, 3/7, —6/7).)
3. 1. Найти векторные линии векторного поля л(М ) =
4
- 2xi + 8zk. (Ответ: z = Сtx , у = С2.)
281

2. Записать единичный вектор п°, ортогональный к
_ 2 2 , 2 .
поверхностям уровня скалярного поля и = х + у + z + 4.
(Omeem:vP = (x / Jx 2 + у 2 + z , y / Jx 2 + у 2 + z , z / Jx 2 + у2 + z ).)
15.3. П О ВЕРХ Н О С Т Н Ы Е И Н Т ЕГРА Л Ы
Пусть/(х, у, г) —непрерывная функция в точках некоторой гладкой поверхности
5 е R 3 . С помощью кусочно-гладких линий разобьем поверхность .Уна п
элементарных площадок Sh площади которых обозначим через АS , (/ = 1, л ), а
диаметры — через 0 5 ,. На каждой площадке 5) выберем произвольную точку
Л/Хх*, уь zj), вычислим /(д* yhzdn составим интегральную сумму:
п
7/ ,=
/-1
Тогда существует предел этой интегральной суммы при 05^-» 0 , который
называется поверхностным интегралом первого рода от функции /(х, у, z) по
поверхности S и обозначается
п
JJ Л *» У* z)dS = lim гД А ^ . (15.11)
5
Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами линейности,
аддитивности, для них справедлива теорема о среднем, их величина не зависит
от выбора стороны поверхности.
Очевидно, что интеграл J J равен площади поверхности, а
5
J J 6(X, y .z )d S , где б(х, у, z) —поверхностная плотность поверхности 5, —
S
массе поверхности S.
Если проекция D поверхности S на плоскость Оху однозначна, т.е. всякая
прямая, параллельная оси Oz, пересекает поверхность S лишь в одной точке,
то поверхность можно задать уравнением z я F(x, у) и справедливо равенство,
с помощью которого вычисление поверхностного интеграла первого рода
сводится к вычислению двойного интеграла:
\\Лх. у, z)dS - JJ f (x , у. F[x. у )) Jl+QF',)2
S
D
dxm(15.12)
282

Пример 1. Вычислить J J *Jx+y2 dS, где S —часть конической поверхнос-
_ 2 2
ти х +у Z , расположенная между плоскостями z = 0 и z = 2.
►Из уравнения данной поверхности находим, что для рассматриваемой ее
части z
Так как
Jx2 + у2 и проекцией ее на плоскость Оху является круг х2 +у2 £ 4 .
/ / 2 2
х / а/х + у
F'y-у/№+уг
то из формулы (15.12) получим:
jjV x 2+у2
- J|7 x 2 + y
2.
W ^ JL d x d y
X +у
т Л \ \ Л ^ у 2dxdy -
рсовф
р !1Пф
V 5 JJр2Ф^ф •
2п
- «Д J

Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали о при
возвращении в исходную точку приводит к «антинормали», т.е. к вектору —в.
Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса
(рис. 15.5).
Поверхность S с выбранной стороной называется ориентированной.
Если поверхность S задана уравнением z = Д х, у) , то нормальный вектор
п, образующий с осью Oz острый угол у , определяется следующим образом:
п = (- / ’х , - / ', 1) , а координаты единичного вектора нормали п ° равны
его направляющим косинусам, т.е.
О ( f'x f y 1 ^
и I г TST1■■Р ] w I |Щ ' °°sp’ со,т)'
м - J r + / !+ / * .
Если поверхность S задана уравнением F(x, у , z) ш 0, / * * 0 , то
п ° - ±grad/r/|grad/r |,
где знак «+* берется в случае, когда угол у —острый, а знак «-* —в случае,
когда у —тупой.
Пусть в области V е R 3 определена векторная функция а = Р\ +Qj + Rk ,
где Р * Р(х, у, z ). Q = 0 (х, у, z), R = R(x, у, г) - функции, непрерывные
в области V Далее, пусть S —некоторая гладкая поверхность, лежащая в области
V\ с выбранной положительной стороной, т.е. выбранным направлением
вектора п°. Разобьем поверхность S принадлежащими ей кусочно-гладкими
линиями на элементарные площ адкиплощ ади которых ЛS. (/ = 1, п ),
и выберем в каждой из них произвольную точку Л/Дх^, у,, zt) . Тогда существует
предел
я
lim
0Д
V а(х., у/9z,) •n (х ,, у{%z{)b S v
I * * i i i
(15.13.)
/ « l
который называется поверхностным интегралом второго рода от функции а по
поверхности S и обозначается J J a •пР d S . Таким образом, по определению
|
J J a •nQdS = JJ(Pc o s a + Qcosp + Rco&y)dS. (15.14)
S
S
Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами линейности
и аддитивности. При изменении стороны поверхности на противоположную,
т.е. при замене п ° на —п ° , интеграл (15.14) изменяет знак.
Так как cosadS = dydz, со>р

j* j" а •n QdS - J J Pdydz + Qdxdz + Rdxdy. (15.15)
S
S
Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла
(15.14) к вычислению двойного интеграла:
5 Dt
а(х, у, г) •П(х, у, Z)dxdy, (15.16)
где область D
является проекцией поверхности S на плоскость Оху,
п ■=±grad (г- / 3(х, у) ) ; поверхность 5 задается функцией z = /$(х,у).
В двойном интеграле переменную z следует заменить на /3(х, у ) . Приведем
еще две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного
интеграла второго рода:
я - 0" - и а(х, у, z) •п(х, у, z)dydz,
s щ
J J a п0^ - J Ja(x , у, z) •п(х, у, z)dzdx,
s Щ
(15.17)
где области D и D — проекции поверхности Л* на плоскости ф у и Qxz
* /
соответственно; поверхность S задается функциями х = / |(у , z) и у = /2(х, z) •
В двойном интеграле по области D следует в подынтегральном выражении заменить
х функцией/|(у, z) и принять n = ±grad (x - / j(y , z )), авдвойном интеграле
по D - заменить у функцией /2(х, z) и взять о - ±grad Су-/2(х , z)) •
Отметим, что в выражениях для о знак «+» или «—* ставится в зависимости от выбранной
ориентации (стороны) поверхности S.
Интегралы в правых частях формул (15.14) и (15.15) рассматривают как
сумму трех интегралов, для вычисления каждого из которых можно применить
одну из формул (15.16) или (15.17).
Пример 2. Вычислить
/ ■ ^zdydz-4ydzdx+ 8х dxdy,
S
где S —часть поверхности z т х +у + 1 , отсеченная плоскостью z = 2 , если
нормаль п к поверхности 5* составляет с осью Oz тупой угол у .
►С помощью градиента находим вектор нормали к выбранной стороне
данной поверхности: п = ( 2х, 2у, - 1) , так как cosy < 0.
По условию а ■ (z, -4у, 8х2) , поэтому, согласно формулам (15.15),
(15.16), имеем (рис. 15.6):

■* J J* •ndxdy = J J(2xz-8y2-8x)dxdy =
*>z
A
- J f(2x(x2+y2 + 1)-8(x2+y2))dxdy -
x —pсонф, 0

| = J j j l - у2-Z2 dydz, /2 “ J J dxdz, / 3 « J 2- y2) dxdy.
Dx D, Dt
Области D , D и /)
являются четвертями кругов единичного радиуса,
расположенными в соответствующих координатных плоскостях, поэтому интеграл
/2 - Sd “ я/4 (площадь четверти круга). Для вычисления интегралов
и /3 перейдем к полярным координатам, положив у - рсоs

Пример 4. Вычислить
/= j j ( x + y)dydz + (y+z)dxdz + (z+ x)dxdy,
S
если S — внешняя сторона поверхности тела, ограниченного плоскостями
х = 0 , у = 0 , z = 0 ,x + 2y + 3z - 6.
►Из формулы (15.18) следует, что
I - JJ"J(1 + 1+ \)dxdydz = 3^jjdxdydz = 18 ,
V
так как последний тройной интеграл равен объему тетраэдра (рис. 15.7). 4
У
АЗ-15.3
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
Гг— г 2 2 г
[[•Jx + у dS, если S —часть поверхности конуса ~z + ^— - тг >
16 16 9
S
расположенная между плоскостями z = 0 и z = 3. (Ответ:
160я/3.)
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
jlxyzds, где S —часть плоскости х+у+ z ш 1, лежащая в пер-
S
вом октанте. (Ответ: Уз/120.)
3. Вычислить массу полусферы z = х у . (Ответ:
128п/15.)
288

I 2 2 2
4. Вычислить массу полусферы г = *Ja -х - у , если в
2 2
каждой ее точке поверхностная плотность 8 = х + у . (Ответ:
4яа4/3 .)
5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
Jjxdydz + у dxdz + zdxdy,
S
если S —верхняя часть поверхности х + 2у + z-б = 0, расположенная
в первом октанте. (О твет: S4.)
6. Вычислить
| \(х + y)dydz + (у- x)dxdz + (z - 2) dxdy,
S
2 2 2
если S —часть поверхности конуса х + у - z = 0 , отсекаемая
плоскостями z = 0 и z - 1, нормаль к которой образует
тупой угол с осью Oz (О твет: 8л/3 .)
7. Вычислить
f J xdydz + z dxdy,
S
2 2 2
если S — внешняя сторона сферы х +у + z = 1. (О твет:
32я/15.)
8. Вычислить
| [ xdydz + у dxdz + zdxdy,
S
2 2 м2
если S —внешняя сторона цилиндра х + у = R с основаниями
z - 0 и z = Н . (О твет: 3я л Н .)
9. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью S,
v = -jjxdydz + ydxdz+zdxdy,
где S —внешняя сторона поверхности S.
S

10. Вычислить
jjyzdxdy + xzdydz +xydxdz,
S
если S —внешняя сторона поверхности, расположенной в первом
октанте и состоящей из цилиндра х + у = Я2 и плоскостей
x = 0,y=0,z = 0,z = Н. (Ответ: Л2
•)
11. Вычислить
jjyzdxdy +xzdydz +xydxdz.
S
если S —внешняя сторона пирамиды, гранями которой являются
плоскости x = 0 ,y = 0 ,z = 0, х + у +z = 1. (Ответ:
1/8 )
Самостоятельная работа
1. Вычислить jj(y +2z)dxdy, если S —верхняя часть плос-
S
кости 6x +3y + 2z = 6, расположенная в первом октанте.
(Ответ: 8/3.)
2. Вычислить jjxyzdS, если S —часть поверхности парабо-
S
лоида z = х + у , отсекаемая плоскостью z ш 1. ( Ответ: 0.)
3. Вычислить
j j zdydz +(Зу- х ) dxdz - zdxdy,
S
если S —внешняя часть поверхности тела, ограниченного по-
2 2 2 2 *
верхи остями г = 0, х + у = 1,гжх +у +2. (Ответ: 5 я.)
290

15.4. П О Т О К В Е К Т О Р Н О Г О П О Л Я Ч Е Р Е З П О В Е Р Х Н О С Т Ь .
Д И В Е Р Г Е Н Ц И Я В Е К Т О Р Н О Г О П О Л Я
Потоком векторного поля а(Л/), М(х, у, z) е S, через поверхность S в сторону
единичного вектора нормали n ° - (cosa, cosp, cosy) поверхности S называется
поверхностный интеграл второго рода (15.14).
Если вектор а = (Р , Q, R) определяет векторное поле скоростей текущей
несжимаемой жидкости, то интеграл (15.14) равен объему П жидкости,
протекающей через поверхность S b направлении нормали п ° за единицу времени
(в этом заключается физический смысл интеграла (15.14)), т.е.
S
(15.20)
Из формулы (15.20) ясно, что Я - скаляр, и если угол у = (а , п ) < п/2 ,
то П> О, если у > п/2 , то П< 0 , если у - п/2 , то П ш 0 .
При изменении ориентации поверхности знак Я меняется на противоположный
(вследствие свойств поверхностных интегралов второго рода).
Пусть S — замкнутая кусочно-гладкая поверхность, единичный вектор
внешней нормали к которой п°. Тогда поток Я вектора а = (Р , Q, К ) через
поверхность S можно вычислить с помощью формулы Остроградского—Гаусса
(15.18):
S
V
Пусть а(АО —поле скоростей несжимаемой жидкости. Если П> 0 , то из
формулы (15.21) следует, что из области Vвытекает больше жидкости, чем втекает.
Это означает, что внутри области ^имеются источники, т.е. точки, из которых
жидкость вытекает. Если П< 0 , то из области V вытекает меньше жидкости,
чем втекает. В этом случае говорят, что внутри области Уимеются стоки,
т.е. точки, в которые жидкость втекает. При Я ® 0 в область V втекает
столько же жидкости, сколько вытекает.
Пусть в области Кзадано векторное поле а (АО = (Р, Q, Л ), где функции
Р(х, у%z) ,
Q(x, у, z ), Л(х, у , z) имеют частные производные в точке
М(х, y t z) € V по х, у, z соответственно. Тогда дивергенцией или расходимостью
векторного поля i(A /) в точке М, обозначаемой div а (А /), называется величина,
равная сумме указанных частных производных, вычисленных в точке
Л/, т.е. по определению
С физической точки зрения div а (А/) характеризует плотность источников
или стоков векторного поля а (А/) в точке М. Если div а( М) > 0 , то точка
А/ является источником, если div а (АО

1) d iv (a + b) = div a + div b;
2) div с = 0, если с — постоянный вектор;
3) div (/ а ) = / div а + а •grad / , где/= /(*, у%г) —скалярная функция.
И з формул (15.21) и (15.22) следует, что
я - J J . n*dS = J J Jdiv *{M)dxdydz, (15.23)
л е с т и К , ограниченной поверхностью S.
^
п г с н т п т векторного поля «(А /) = (* +У)* +
Пример 1. Вы числить дивергенцию
+ ^ 2 + Z )J + (r2 + х )к в т о ч к е М ) 0 . " 2. 3 ).
► С о п и сн о ф орм уле 0 , т.е. точка Мо являет
ш£ div a(A f) e 4 * w■
в точке Мо им
+ ^ чсрсз вер*-
П О Л Я . 4 векто р н о го первомокгаяге.
х + 2у * З Х - 6 ' °* 1ж. . Н о р и н ы м в«по
н ю ю ч а с т ь о с к о с ти находим ; z “ 3 3 ^ является 11 = (1/3,
►Из уравнения
^лгти составляй* .^ч слсДУ^*
^глй плоскости, 152 0 )я(1ЭЛ ; _
j p f f
5 1 f ( ( б ' б у ) ^ *
. J f |(* r
? J | 0 - Л * 1
J 0
0 0 A , * *4
Ш Щ Ш Ш
ч е р с
_ _-ep 3- p ^ / + У , aBtX & P tfOQ0
a v t t ^ < * * *
вй 0O»C*' - я
J !, f * 4 C P «9 C3 Я ° " Р Щ

П т J J a •п°*/5 = 111div a(Af) dxdydz = [[[(* ^ + х 2 + y*)dxdydz-
S V V
Для вычисления полученного тройного интеграла перейдем к сферическим
координатам по формулам:
х = р sin0 cosф , у ~ р sin0 sinф , z “ pcosG;
Тогда
dxdydz - р ainOdpdq>dO , 0£ р £ а , 0 £ ф ^ 2л , 0 £ 0 < я .
а п 2п .
П ш JJJp^sin0*/pcftpd0 = Jp 4Jp | sin0f/G | dip =
I О О О
Пример 4. Найти поток П электростатического поля точечного заряда q,
2 2 2 -2
помещенного в центр сферы х + у + z m R
►Известно, что поле точечного заряда задается вектором напряженности
Б ■

- ||л л у + JJffrfS+ JJorf5= Л- 2n R H + H n l? - ЗиЛ2# ,
s, s2 s,
Вычисления можно значительно сократить,
воспользовавшись формулой Остроградского—Гаусса
(15.18). Так как объем цилиндра
Рис. 1S.8
имеем:
v “ J J J dxdydz т пЛ2В ,
V
П - J f J(1 + 1+
V
АЗ-15.4
= Ък1?НА
1. Вычислить дивергенцию векторного поля а (М ) =
= (xy + z*)i + (yz + x2)j + (zx + y2)k в точке М( 1, 3, —5). (Qm-
« O L '- l.)
2. Вычислить поток векторного поля л(М) щ (x - 3 z)i +
+ (х + 2у + z)i + (4х +у)к через верхнюю часть плоскости
х + у + z = 2, лежащую в первом октанте. ( Ответ: 26/3.)
3. Вычислить поток векторного поля л(М ) = 2xi + у\ + 3zk
2 2 2
через часть поверхности эллипсоида -+ £ - + — = 1 , лежа-
4 9 16
щую в первом октанте, в направлении внешней нормали. ( О т­
вет: 24я.)
4. Вычислить поток векторного паля я(М ) = (x->»)i +
2
+ (х+ y)j +z к через поверхность цилиндрического тела, ограниченного
поверхностями х2 + у * 1, г =* 0 и г 1 2, в направлении
внешней нормали. (Ответ: -4л .)
5. Доказать, что поток П радиуса-вектора г ==xi + j j + zk через
внешнюю сторону поверхности, ограничивающей тело V
объемом v, равен 3v.
6. Вычислить дивергенцию вектора напряженности магнитного
поля Н = (2I/r)(-yi + x j), создаваемого током /,
294

проходящим по бесконечно длинному проводу. (Ответ:
div Н = 0 .)
з з з
7. Найти поток Я векторного поля а (Л/) = х i + y j + z k
2 2 2 »2
через поверхность шара х +у + z = /Г в направлении внешней
нормали. (О твет: 12л /Г/5 .)
8. Вычислить поток Явекторного поля а(М ) = 8xi + 1ly j +
+ 17zk через часть плоскости x + 2y + 3z = 1, расположенную
в первом октанте. Нормаль составляет острый угол с осью Oz-
(Ответ: 1.)
9. Найти поток Я вектора а = xi - 2yj - zk через замкнутую
„ „ , 2 . 2
поверхность S, ограниченную поверхностями 1- z = х + у ,
Z = 0, в направлении внешней нормали. (Ответ: - я .)
2 2.
10. Найти поток Явекгора а = х i + z J через часть поверх-
2
ности z = 4 - х - у , лежащую в первом октанте, и части координатных
плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, в на-
53
правлении внешней нормали. (О твет: 19у^г.)
Самостоятельная работа
1.1. Найти дивергенцию поля grad и, если и = 1п(х2 + у2 + г2) •
2. Вычислить поток Я векторного поля а( AT) = x
+ 3yj + 2zk через верхнюю часть плоскости х + у + z - 1, расположенную
в первом октанте. (Ответ: 1.)
2. 1. Найти дивергенцию векторного поля а(М ) = ху2i +
+ х у] + z к в точке A f(l, —1, 3).
2. Вычислить поток векторного поля а( М) = 3xi - yj - zk
2 2
через поверхности 9 - г = х + у ,х = 0,у = 0,г = 0, ограничивающие
некоторое тело, в направлении внешней нормали.
(Ответ: 81л/8.)
295

3. 1. Н ай ти d iv (grad Jx + y 2 + z ) .
2. Найти поток векторного поля a(AQ = 2xi + *k в
правлении внешней нормали к поверхности тела, ограниченного
поверхностями z = Зх + 2у2, х2 + у2 = 4 , г = 0. (О т ­
вет: 20.)
15.5. Ц И РК У Л Я Ц И Я ВЕК Т О РН О ГО П О Л Я.
РО ТО Р В ЕК Т О РН О ГО П О Л Я
Пусть Г —замкнутая кусочно-гладкая кривая в пространстве R? и S —
гладкая поверхность, краем которой служит кривая Г. За положительное направление
обхода кривой Г принимается такое направление, при котором область,
ограниченная этой кривой, будет оставаться слева на положительной стороне
поверхности S, т.е. на стороне, из точек которой проведен единичный вектор
нормали в ° • (cosa, cosp, cosy) поверхности S. Пусть, далее, в окрестности
поверхности S задан вектор а в ( ? , Q, А ), координаты которого Pt Q, R являются
непрерывными функциями от х, у, г вместе со своими первыми частными
производными. Тогда имеет место формула Стокса, связывающая криволинейный
и поверхностный интегралы (рис. 15.9):
^Pdx + Qdy +Rdt ■
Г
- д о ® - ® —
5
где направление обхода по замкнутой кривой Г выбирается положительным.
296

Формула Грина (14.14) является частным случаем формулы Стокса, когда
кривая Г и поверхность S лежат в плоскости Оху.
Отметим, что формула Стокса (1S.24) справедлива для любой поверхности
S, если ее можно разбить на части, уравнения которых имеют вид z —/(х, у).
Пример I. Вычислить
I = j>(z2 - x)dx + (х2 - y2)dy + (у2 - z)dz
Г
2 2 2 2 2 2 -
по контуру х +у + z = 8 , х + у в z ,Z>0, «пробегаемому» по ходу часовой
стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося в начале координат О.
►Контур интегрирования Г — лежащая в плоскости z = 2 окружность
2 , 2 . „ . . 2^ 2^ 2 0 ш
х+у ■ 4 , полученная в результате пересечения сферы х + у + z “ 8 с
2 2 2 _
конусом х + у ■' Z (рис. 15.10). В качестве поверхности S возьмем круге
2 , 2 ^ л - „ в 2 2 Л 2 2 в 2
краем Г: х +у £ 4 , z = 2 . Далее, Р = z -х , Q т х -у , R ш у -z ,
а л _ а о = 2 dP_d_R т 2 _ 2х .
ду dz 9 dz Эх 9 dx dy
Тогда в соответствии с формулой Стокса и условием задачи возьмем
п = (0, 0, 1) (этим обеспечивается положительное направление движения
по Г (рис. 1S.10)). Имеем:
D
х = рсовф,
dxdy ■ pdpdy,
у = psintp, 0£ф £2л, 0^р

Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(А/) * xi - 2г\ + ук
2 2
вдоль линии Г пересечения цилиндра х /16 +у /9=1 с плоскостью
Z ш х + 2у+2 в положительном направлении обхода относительно нормального
вектора плоскости п = (—1, —2, 1).
►
2 2
Параметрические уравнения цилиндра х /16 + у /9 ш 1 имеют ви
х = 4cos/, у = 3sin/. Тогда параметрическими уравнениями кривой Г (эллипса
в плоскости сечения) будут х = 4 cos/, у = 3 sin/, г = 4 cos/ + 6 sin /+2.
Поэтому циркуляция векторного поля вдоль эллипса в положительном направлении
обхода вычисляется по формуле
2к
С = ^xdx-2z dy+ydz = J (4cos/(—4sin/)-
- 2 (4 cos/ + 6sin/ + 2) 3cos/+ 3 sin/(-4sin/ +6cos/))dt
2 n
= J (-16 cos /sin / - 96 cos /- 216 sin /cosf-24cos/-
2 2 . 2
-288cos /sin/-96cos /—144cos/sm/- 12sin t+
2л
. 2
+ 18cos/sin/)J/ = - f (96cos f + 12sin t)dt =
0
2я
2л
= - J 48(1 + cos2t)dt- 6 J (1- cos2/) - —48 •2n -6 •2я - -108я .<
О
О
Ротором или вихрем векторного поля ш (М ) ■ (Р , Q, Я ) называется вектор
Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса (15.24) можно
записать в векторной форме:
—♦
С * £а •x^dl ш JJrot а •в**dS, (15.27)
Г
т.е. циркуляция векторного поля а (Л/) вдоль замкнутого контура Г равна потоку
ротора этого паля через любую гладкую поверхность S, краем которой является Г.
S
298

Направление обхода по Г и сторона поверхности S одновременно или положительные,
или отрицательные.
Число
C(Af) = пр Orot a (Af)
п
называется плотностью циркуляции векторного поля я (Af) в точке Af в направлении
вектора п °. Плотность достигает максимума в направлении
rot a(Af) и равна max C(Af) = (rot a(Af)l •
Отметим некоторые свойства ротора векторного поля:
1) rot (а + Ь) * rot а + rot b;
2) rot с ш 0, если с —постоянный вектор;
ш(АГ).
3) rot (фа) « ф rot а + grad ф •а , где ф(х, у, z) - скалярная функция.
Если rot а * 0 , то это свидетельствует о вращении векторного поля
Пример 3. Найти ротор вектора линейной скорости v = со •г
(г = (х, )\ * ), со « (х, 2со , 2ю?) ■ 2со А
Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л/) = yi + x2j - zk
2 2 *
по окружности Г: х + у ■ 4 , г ■ 3 в положительном направлении обхода
относительно единичного вектора к двумя способами: 1) исходя из определения
циркуляции (15.25); 2) с помощью поверхностного интеграла, использовав
формулу Стокса (15.27).
►
1. Так как при возрастании параметра t от 0 до 2л движение по окружности
происходит против хода часовой стрелки относительно единичного
вектора к ==(0, 0, 1), то параметрические уравнения ориентированной кривой
Г имеют вид х ■ 2 со s f, у = 2 sin Г, z - 3 (f е [0; 2 тс]) .Тогда
С ■ £y

= J 2 sin/ (—2 sin I dl) + 4 cos l-2cosldl—3-0 =
0
2л 2n 2n
= 8 J cos*fA-4 J sin2f

3. Найти циркуляцию векторного поля а (М ) = yi - 2zj + xk
вдоль эллипса, образованного сечением однополостного ги-
2 2 2 2
перболоида 2х - у +z = Л плоскостью у = х. Результат
проверить с помощью формулы Стокса. (О твет: ±3яЛ2 .)
4. Вычислить циркуляцию векторного поля а( М) = zi + xj +
2 2
+ yk вдоль контура Г: х + у = 4, z = 0 в положительном направлении
обхода относительно орта n°= к непосредственно и
с помощью формулы Стокса. (О твет: 4 я .)
2 2,
5. Найти циркуляцию векторного поля а(Л/) = z i + х j +
2 , 2 2 2 rv2
+ у к по сечению сферы х + у + z - R плоскостью
х + у + z - R в положительном направлении обхода относительно
вектора n = (1, 1, 1). (О твет: 4я/Г/ЗУ5 .)
2
6. Найти циркуляцию векторного поля а(М ) = у i + xyj +
2 2
+ (х + у )к по контуру, вырезаемому в первом октанте из па-
2 2 п
раболоида х + у = Rz плоскостями х = 0, >= (), г = -й, в
положительном направлении обхода относительно внешней
нормали поверхности параболоида. (О твет: к /3 .)
2
7. Вычислить циркуляцию векторного поля а(А/) = zy i +
2 2. - 2 2
+ xz j + ух k по контуру пересечения параболоида х = у + z
с плоскостью х = 9 в положительном направлении обхода относительно
орта о = i. (Ответ: 729л.)
8. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л/) = -yi +
2 2 2 л
+ 2j + к по линии Г пересечения конуса х +у -z = 0 с плоскостью
z = 1 в положительном направлении обхода относительно
орта п = к. (Ответ: п .)
301

Самостоятельная работа
1. Вычислить циркуляцию векторного поля a(A f) = y i-
2 2 2
— + zk вдаль линии Г пересечения сферы х + у + z = 4 с
Г 2 2
конусом */х + у = z в положительном направлении обхода
_ ____ о _ ,
относительно орта п —к.
2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л/) = yzi +
• 2,
+ 2xzj + у к по линии Г пересечения полусферы
fZl 2 2 __________ 2 , 2
z = V25-X а/25-х —J - у с -----------
цилиндром х + у = 16 в положительном
направлении обхода относительно орта п° = к.
3. Вычислить циркуляцию векторного поля а (Л/) = (x - y )i +
2 2
+ xj - zk вдоль линии Г пересечения цилиндра х + у = 1 с
плоскостью z - 2, если в0 = к.
15.6. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е ОП ЕРА Ц И И ВТО РО ГО
ПО РЯД КА. КЛ А С С И Ф И КА Ц И Я В ЕК Т О РН Ы Х ПО Л ЕЙ
Дифференциальные операции. Введенные выше основные понятия векторного
анализа (градиент, дивергенция, ротор) удобно описывать с помощью дифференциального
оператора, который обозначается символом V (читается «набла»):
v 'F x i+T ^ k
и называется оператором Гамильтона.
Выразим основные дифференциальные операции с помощью оператора V :
VU(AO = g i + | i + g k = gn,dt t W ,
V -a(AQ - |£ + |2+ М - div «(АО,
ох ду d l
I J ;k
Vxa(Af) L Ш L rot a( M ) .
dx dy dl
P
Q R
Операции нахождения градиент*, дивергенции, ротора называются дифференциальными
операциями первого порядка.
Перечислим основные свойства дифференциальных операций второго
порядка:
302

«2 Л 2
div grad u(M) = —“ + —
dx dy dz
= Au(M),
d2 j a2 2
где A “ — н— - + — • V •V = V называется оператором Лапласа;
d i? dy dz
rot grad u (M ) ~ (V •V)i Вектор b(AS) называется вектором-потенциалом
данного поля a(A S).
Потенциальное векторное пале. Векторное поле а (Л/) ■ (Р , Q, R ) называется
потенциальным или безвихревым в односвязной области пространства V,
если в каждой точке этой области
rot а (А/) ■ 0 .
Согласно определению ротора необходимыми и достаточными условиями
потенциальности поля а (А/) ■ (Р , Q, R ) являются равенства:
BR т 8Q д£ ш OR dQ т дР (15.28)
ду dz dz dx* дх д у '
Так как rot grad и(М) = 0 , то поле градиента любого скалярного поля
и = и(х, у, z) — потенциальное. Для того чтобы поле а (А/) было потении*
альным в области К, необходимо и достаточно, чтобы существовала дважды
непрерывно дифференцируемая скалярная функция и = и(х, у, z ), такая,
что а ■ grad и (А/) , которая называется потенциальной функцией (потенциалом)
поля а (А /).
Так как при выполнении условий (15.28) криволинейный интеграл второго
рода не зависит от линии, соединяющей точки M q и А/|, то для потенциального
поля а( А/) = /Ч + Qj +Rk справедлива формула для нахождения потенциальной
функции:
н(х, у, z) = J А4с+ (?

где Af0(* 0>Уо>*о) “ некоторая фиксированная точка области К; М(х, у, z) —
любая точка области V\ С —произвольная постоянная.
Из формулы (1S.29) следует формула для вычисления криволинейного
интеграла второго рода, не зависящего от пути интегрирования:
J Pdx+ Qdy+ Rdz = и(В) - и (А ), (15.30)
А»
где и(А) и « (£ ) —значения потенциала и в начальной Л и конечной 2?точках
пути.
Гармоническое векторное поле. Векторное поле а (Л/) , удовлетворяющее
двум условиям: div a(A f) - 0 и rot а (А/) - 0 , называется гармоническим.
Потенциал и гармонического поля является решением уравнения Лапласа
Л Л Л
ш = Ё_“ + £ “ + о
л 2 а 2 а 2
дх ду dz
(15.31)
Функция II ■ ы(х, у , z) | удовлетворяющая уравнению Лапласа (15.31),
называется гармонической.
Пример 1. Показать, что поле i(A / ) х (2ху + t ) i + (х - 2 y)j + хк является
потенциальным, но не соленоидальным. Найти потенциал «данного поля.
►Имеем: Р
rot a(A f)
2
2ху + г , Q = x -2 y, R x . Тогда
i J k
L JL d_
дх dy dz
(0 - 0)1 + ( I -1 )j + (2x~2x)k - 0,
2ху + г x -2 у x
т.е. поле а (A/) —потенциальное.
Далее имеем:
div в - | £ + | 2 + | ? - 2у -2 + 0* 0,
дх ду dz
поэтому поле а (А/) не является соленоидальным.
Согласно формуле (15.29)
и(х, у, г) * J (2ху+г)Л+(х -2y)dy+xdz+С.
МоМ
Так как функции Р(х, у , г ) , Q(xt у , г ) , А (х, у, г) непрерывны и имеют
непрерывные частные производные во всех точках пространства R 3, то в качестве
точки ASq(Xq, Zq) можно взять начало координат 0(0,0, 0), а в качестве
Af(x, у , г) —произвольную точку пространства. Как отмечалось ранее,
криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования,
поэтому его можно вычислить по ломаной О АВМ (рис. 15.12):
и(Х, Y, Z ) - Jt- C - J+ J+ 1 + C -
ои ОА АВ ВЫ
304

O A :y mO, z = 0, dy = 0, dz = О, 0£х£ЛГ,
ЛВ: х- X, z - О, dxmО, dz = О, О

Так как в потенциальном поле криволинейный интеграл второго рода не
зависит от пути интегрирования, соединяющего точки Ли В, то согласно формуле
(15.30) имеем:
(yz-xy)dx + (xz-x2/2 + yz')dy + (xy+y2z)dz = u(B)-u(A) = 9.4
АВ
I 2 2 2
Пример 3. Доказать, что функция и = 1/г, где г = *Jx + у + z , является
гармонической и векторное поле ш(М) = grad и(М ) — гармоническое.
►Прежде всего следует проверить, справедливо ли для данной функции
2
уравнение Лапласа (15.31). Вычисляем д и/дх , о и/ду , б u/dz и Ап :
ди _ _х_ & и _ _ _1_+ Ъх". ди ш _jk ^ и я _ J_ + Ъу1 .
ах 3 * 2 3 5 9 ду 3 * 2 3 5 ’
г дх г г 7 г ду г г
ди ж _z_ и в 1 ,3 ?2 .
а ? з* 2 ’ 3 5 *
* г oz г г
г г г г
Следовательно, уравнение Лапласа Ли * 0 удовлетворяется и данная
функция и = 1/ г —гармоническая.
Далее находим:
•(А/) = grad u(Af) - -г (x i+ jj + tk ).
К ак известно, rot a(A f) = rot grad u(M) « 0 для любой функции к, т.е.
одно из условий в определении гармонического поля a(A f) выполнено. Другое
условие (div ш(М) = 0) также выполняется, поскольку
div а ■» div grad и(М) = Аи(М) - 0 .<
АЗ-15.6
1. Доказать с помощью формулы Стокса, что
iyzdz + xzdy + xydz = 0,
Г
где Г —любой замкнутый контур. Результат проверить путем
вычисления интеграла по контуру треугольника ЛВС с вершинами
Ж 0, 0,0 ), В (\ ,1,0), С( 1, 1,1).
2. Найти grad div а(Л /),если а(А/) в х i + y j + z k
3. Среда вращается как твердое тело вокруг оси Oz с угло-
вой скоростью ш ■ сок. Найти ротор поля линейных скоро-
306

стей v = а х г , где г —радиус-вектор движущейся точки М(х,
у, г). (.Ответ: 2сок.)
4. Найти циркуляцию поля скоростей v, описанного в предыдущем
задании, по окружности х + у =* я , г = 0 в положительном
направлении обхода относительно орта к. (О твет:
2л Л2.)
5. Доказать, что div rot а(М ) = 0 для любого поля а(М ).
6. Установить потенциальность поля я(М ) и найти его потенциал
и, если:
а) &(М) = 2xyl + (х2 - 2yz)l - у2к ;
б) а(А0 = (Зх2у - y3)i + (х3- 3xy2) j ;
в) я(М ) = (y + z)i + (x + z)j + (y + x )k.
2 2 j 3
(О твет: а) и = х у - у z+ С ;б ) и = х у - х у + С; в) и = ху +
+ yz + xz + С .)
7. Проверить, является ли гармонической функция и = ln r,
Г г — г
если г = л/х + у .
8. Установить потенциальность поля а(Л/) и найти его
потенциал и:
а)М ) - ey/zi + + zeyz) i + +
+ у / Ч / * ) к ;
б) а(А/) = yzcos(xy)i + xzcos(xy)j + sin(xy)k.
(О твет:а) и = еу/?(х+ 1) + е>**-е~*+ С ;б ) и = zsin(xy) + С .)
9. Доказать, что векторное поле а( А/) = г, где г = xi +
|г|
+ yj + ?k , которое описывает гравитационное поле, создаваемое
точечной массой т , помещенной в начало координат

(у —ньютоновская постоянная тяготения), является гармоническим
(потенциальным и безвихревым), найти его потенциал
и и убедиться, что он удовлетворяет уравнению
Лапласа. ( Ответ: и = ут/\г\.)
10. Доказать, что rot grad и(М) = 0.
11. Найти потенциал и поля а( М) = (yz + 1 )i + дед + хук и
вычислить
(2 ,3 ,2 )
(М . 1)
(Ответ: и = x + xyz+ С ; 12.)
[ (yz + 1)dx + xzdy + xydz ■
Самостоятельная работа
Проверить потенциальность векторного поля а(М ) , найти
его потенциал и вычислить значение соответствующего
криволинейного интеграла второго рода по дуге линии, соединяющей
точки А и В (А —начало дуги, В —ее конец).
1. а(М ) = 2xyzi + х2zj +х2ук, A (l, —1,2), В(—2,4, 2). (О т­
вет: 34.)
2. а(М ) = (х - 2yz)i + (у2 - 2xz)i + (z - 2ху)к, А( 1, -1, 1),
В (- 2, 2, 3). (Ответ: 92/3.)
3. а(А0 = (2xy + z2)i + (2xy + x2)i + (2xz + y2)k ,A (0 ,l,- 2 ),
В (2, 3, 1). (Ответ: 25.)
15.7. И Н Д ИВИД УАЛЬНЫ Е Д О М АШ НИЕ ЗАДАНИЯ
К ГЛ. 1S
ИДЗ-15.1
1. Даны функция u(Af) = u(x, у, z) и точки М\, М2. Вы ­
числить: 1) производную этой функции в точке Му по на-
--- »
правлению вектора Щ М 2; 2) grad и(Л /,).
308

1.1. и(М) = x y +y2z + z x , Щ1, -1 , 2), М2(3, 4, -1 ).
1.2. и(Л/) = 5 х Д 2 , Щ 2 , 1, - 1 ), М 2(4, -3 , 0).
1.3. и(Л/) = \п(х2 + у2 + z2) , Щ - 1 ,2 , 1), М2(3, 1,-1).
1.4. и(А#) = ze* + y 2 + , Л/,(0, 0, 0), Л/2(3, -4, 2).
1.5. и(Л/) = ln(x>' + yz + xz), М\(—2, 3, —1), А^2(2, 1 ,- 3 ).
1.6. и(Л/) = л/l +х2 + / + г2, A fi(l, 1, 1), Л/2(3, 2, 1).
1.7. и(Л0 = x'y+ xz - 2 , A fj(l, 1, - 1 ), А/2(2, -1, 3).
1.8. K(Af) = x(? + yex-z , АГ,(3, 0, 2), Л/2(4, 1, 3).
1.9. и(Л/) = Зху2 + z -xyz, 1, 2), Л/2(3, —1, 4).
1.10. и(Л/) = 5х2у г - ху2z+yz , Л/[(1, 1, 1), Л/2( 9, —3, 9).
1.11. и(Л/) = х /(х 2 + у2 + z ) , A /j(l, 2, 2), Л/2( —3, 2 ,- 1 ).
1.12. u(Af) = j'2z-2 xj'z + г2 , Л/|(3, 1, — 1), Л/2( —2, 1,4).
1.13. и(М) = х2 + >»2 + z - 2xyz, Л/\( 1, —1, 2), Л/2(5, —1, 4).
1.14. м(Л0 = 1п(1 + х + / + г2) , Л/,(1, 1, 1), М 2( 3, -5, 1).
1.15. и(Л/) = х2 + 2у2 - 4г2 - 5 , А/,(1, 2, 1), Л/2( - 3 ,-2, 6).
1.16. и(М) = 1п(х3 + у3+ z + 1 ), М\(\, 3, 0), М2( —4, 1, 3).
1.17. и(Л/) = x - 2 y + e z, A/j(-4, —5, 0), Af2(2, 3, 4).
1.18. и(М) = xv -3xj»z, Л/,(2. 2, - 4 ), Л/2(1, 0, -3 ).
1.19. и(М) - Зх2к 3. Щ -2, -3 , 1), М 2(5, -2, 0).
1.20. и(М) = exy+z , A/j(—5, 0, 2), М2(2, 4, -3).
1.21. и(Л/) = хуг, А/|(3, 1, 4), Л/2(1, -1, -1 ).
1.22. и(М) = (х 2 + у 2 + г2) 3 , Л/|(1, 2 ,- 1 ), М 2( 0 , - 1 , 3).
1.23. и(М) = (х -у )1, Л/[(1, 5, 0), ЛГ2(3, 7, -2 ).
1.24. и(М) = x y + y'z-'Sz, A/i(0, —2, —1), Af2(12, —5, 0).
309

1.25. и(М) = 10/(х2 + у2 + z + 1), Af,(—1,2, -2), Л/2(2 ,0 ,1).
1.26. и(М) = ln (l +x2- y2 + z2), 1, 1). Af2(5, -4 , 8).
1.27. и(Л/) = * + * - * , Л/,(-1, 1, 1), Л/2(2, 3, 4).
У Z X
1.28. и(М) = х3 +xy2-6xyz, 1, 3, - 5 ), Л/2(4, 2, - 2 ).
1.29. i/(Af) = A f,(2, 2, 2), Л/2( —3, 4, 1).
У Z Z
1.30. и(М) - ех~уг, Мх( 1, 0, 3), М2(2, -4 , 5).
2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода п
поверхности S, где S —часть плоскости (р), отсеченная координатными
плоскостями.
2.1. J Г(2х+ Зу + 2z)dS, (р): x+ 3 y + z = 3. (Ответ:
S
15VTT/2.)
2.2. jj(2 + y-7x+9z)dS,(p): 2x-y-2z = -2 . (Ответ: 12.)
S
2.3. f \(6х +у +Az)dS, (р): Зх + Зу +г ^ З . (Ответ:
S
19-/19/6.)
2.4. | J( x + 2у+ 3z)dS, (р): х + у + z ~ 2. (Ответ: 8 Jb .)
S
2.5. | f(3 x - 2у + 6z)dS, (р): 2x +y + 2z = 2. (Ответ: 5/2.)
S
1.6. JJ(2x+ 5y-z)dS, (р): x + 2y + z = 2. (О твет:
n j i /ъ.)
S
2.7. Jf(5 x - 8 y - z)dS, (p): 2x-3y + z - 6 . (Ответ: 2Sj\A .)
S
310

2.8. f f(3y - x - z )d S , (p): x-y+ z = 2. {Ответ: -20-Уэ/З .)
S
2.9. [j(3y-2x-2z)dS, (p): 2x-y-2z = -2.(О тве т:3.)
S
2.10. [ f(2x-3>» + z)diS, (p): x + 2>» + z = 2. (Ответ: J 6 .)
S
2.11. [f(5 x + y- z)dS, (p): x+2y + 2z = 2. (Ответ: 5.)
S
2.12. f \(3x + 2y + 2z)dS, (p): 3x+2y+2z = 6. (Ответ:
9jT i.)
S
2.13. [f(2 x + 3y- z )d S, (p): 2x + y + z — 2. (Ответ: 2«/б.)
S
2.14. f J(9 x + 2y + (P): 2x + y + z = 4. (Ответ: 40«/б.)
S
2.15. ff(3x+ 8y + 8z)

2.19. JJ( 4 x-y+z)dS,(j>): x-y+ z = 2 . (Ответ: 8-/I.)
S
2.20. JJ(6 * - y + 8 г )^ , (p): x+ y+ 2z “ 2 . (Ответ: 6 j6 .
S
2.21. JJ(4 x-4 .y-*)< iS, (p): x+2y+2z = 4 . (О т в е т :44.)
S
2.22. JJ(2 x + 5 y + * )iS ,(p ): x+j>+2* = 2 . (Ответ: S j6 .)
S
2.23. JJ(4x-y+4z)< tS, (p): 2x+2y+z “ 4. (Ответ: 44.)
S
2.24. jj(5 x + 2y+2z)dS, (p): x + 2y + z = 2. (Ответ:
5
16„/3/6 •)
2.25. JJ(2 x + 5y+ l0z)dS, (p): 2x+y+5z m 6. (Ответ:
S
5 5 Л 4 .)
2.26. JJ(2 x + 15y + *)ЛУ, (p): x + 2y+ 2z = 2 . (Ответ: 10.)
S
2.27. fJ(3x+-10y-«)rtS, (p): x + 3 y + 2 * - 6 . (Ответ:
S
35 «/14.)
2.28. JJ(2 x + 3 y + *)d S, (p): 2x+2y+z = 2 .(Ответ: 1/6.)
S
2.29. jj(S x - у + Sz)dS, (p): 3x+2y + < = 6. (Ответ:
S
37714.)
312

2.30. [\(x + 3y + 2z)dS,(p):2x + y + 2z - 2 . (О твет:9/2.)
S
3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода.
3.1. f \(у2 + z)dydz, где S —часть поверхности параболои-
S
2 2
да х = 9 - у -z (нормальный вектор п которой образует острый
угол с ортом i), отсеченная плоскостью х = 0. (Ответ:
81я/2.)
3.2. Jf z dxdy, где S —внешняя сторона поверхности эл-
S
2 2 2
липсоида х +у +2z = 2. (О твет: 0.)
3.3. j jzdxdy + ydxdz + xdydz, где 5 —внешняя сторона по-
S
верхности куба, ограниченного плоскостями х = 0, у - 0,
Z “ 0, х • 1 ,у = 1, z = 1. (О твет: 3.)
3.4. JJ(z + l)dbc

3.7. J J xdydz + ydxdz + zdxdy, где S —внеш няя сторона сфе-
S
2 2 2 л
ры х + у + z “ 1 ■(Ответ: 4 я .)
3.8. J ^xzdxdy + xydydz + yzdxdz, где S — верхняя часть
S
плоскости x + y + z = 1, отсеченная координатными плоскостями.
(Ответ: 1/8.)
3.9. jjyzdxdy + xzdydz + xydxdz, где S — наружная поверх-
S
2 , 2 , Л
ность цилиндра х +у = 1, отсеченная плоскостями z = 0 и
Z - 5. (Ответ: 25я.)
3.10. j j y zdxdy + xzdydz + х2ydxdz, где S —часть поверхнос-
S
2 2
ти параболоида z = х + у (нормальный вектор п которой образует
тупой угол с ортом к), вырезаемая цилиндром
х2 + у" - 1. (Ответ: я / 8 .)
3.11. Jf (x 2 + y2)zdxdy, где S —внеш няя сторона нижней по-
jr
2 2 2
ловины сферы х + у + z = 9 . (Ответ: 324гс/5 .)
3.12. j\x 2dydz + z dxdy, где S —часть поверхности конуса
S
2 2 2
z - х +у
(нормальный вектор п которой образует тупой
угол с ортом к ), лежащая между плоскостями z ==0 и | = 1.
(Ответ: - я/2 .)
3.13. J J ( 2 у2 - z)dxdy, где S —часть поверхности параболои-
S
2 2
да z = х +у (нормальный вектор п которой образует тупой
угол с ортом к), отсекаемая плоскостью z - 2. (Ответ: 0.)
314

3.14. f f - ~ -2-— , где S —часть поверхности гиперболо-
1 /2.2 ’
s Що +.y -1
2 2 2 -
ида x + у = z + 1 (нормальный вектор п которой образует
тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостями z - 0 и
Z - J 3 . {О твет: - ljb n .)
3.15. jjxydydz + yzdxdz + xzdxdy, где S —внешняя сторона
S
2 2 2
сферы х +у +z = 1, лежащая в первом октанте. (Ответ:
Зя/16.)
3.16. jjx 2dydz + zdxdy, где 5 —часть поверхности параболо-
S
2 2 -
ида z - х + у (нормальный вектор п которой образует тупой
угол с ортом к), отсекаемая плоскостью z = 4. (Ответ: 8 я .)
Я 2 2 г*
х dydz + у dxdz - zdxdy, где S —часть поверхности
S
2 2 2
конуса z = х + у (нормальный вектор п которой образует
острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостями z - 0 и
• Z = 3 . (Ответ: -18я.)
3.18. [ [х2dydz - Z dxdz + zdxdy, где S - часть поверхности
5
2 2 -
параболоида z = 3 -х - у (нормальный вектор п которой
образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью
Z = 0. (Ответ: 9п/2.)
3.19. jjyzdydz - х2dxdz-у2dxdy, где S —часть поверхнос-
S
2 2 2
ти конуса х + z —у (нормальный вектор п которой образует
тупой угол с ортом j), отсекаемая плоскостями у = 0 и
у = 1. (Ответ: п/4.)
315

3.20. fjx 2dydz + 2yZdxdz-zdxdy, где S - часть поверхности
S
параболоида z = x + у2 (нормальный вектор d которой образует
острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью г = 1-
(Ответ: -п/2.)
3.21. jj2xdydz + (l- z )d x d y , где S — внутренняя сторона
5
цилиндра х2+у2 = 4, отсекаемая плоскостями z - 0 и
Z = 1. (Ответ: -8я.)
3.22. Jj2xtfydz - ydxdz+zdxdy, где S —внешняя сторона
S
замкнутой поверхности, образованной параболоидом
Зг = х +у2 и полусферой z = ы4-х - j ? . (Ответ: 19я/3.)
3.23. JJ4 xdydz+ 2ydxdz-zdxdy, где S —внешняя сторона
S
сферы х2 +у2 + z = 4. (Ответ: 160я/3.)
3.24. Jj(x+ z)dydz+(z+y)dxdy, где S - внешняя сторона
S
цилиндра х2+у2 1, отсекаемая плоскостями z - 0 и
Z = 2. (Ответ: 2 я.)
3.25. 11ixdydz -ydxdz - zdxdy, где 5 —часть поверхности
S
параболоида 9-z “ х2 + у2 (нормальный вектор а которой
образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью
Z = 0. (Ответ: 243я/2.)
316

3.26. J J (y-x)dydz + (z-y)dxdz + (x-z)dxdy, где S —внут-
S
ренняя сторона замкнутой поверхности, образованной кону-
2 2 2 . _
сом х - у + z и плоскостью х = 1. (О твет: п .)
3.27. jf3 x2dydz -у2dxdz- zdxdy, где S —часть поверхности
S
2 2
параболоида 1- z = х + у , нормальный вектор п которой
образует острый угол с ортом к. (О твет: -п/2.)
ЭЛ». J J ( I + lx 2)dydz + у2dxdz + zdxdy, где 5 —часть поверх-
S
2 2 2
ности конуса х + у = z (нормальный вектор п которой образует
тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостями z = 0 и
Z = 4. (О твет: 128я/3 .)
Я 2 2 • «
х dydz + Z dxdz + ydxdy, где S —часть поверхности
S
2 2
параболоида х +у = 4 - г (нормальный вектор п которой
образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью
Z = 0. (Ответ: 0.)
г с 7 2 2 2
3.30. I (у + z )dydz - У dxdz + lyz dxdy, где S —часть по-
S
2 2 2
верхности конуса х + z - У (нормальный вектор п которой
образует тупой угол с ортом j), отсекаемая плоскостями у = 0
и у = 1. (Ответ: п/2.)
4. Вычислить поток векторного поля а(Л/) через внешнюю
поверхность пирамиды, образуемой плоскостью (р) и координатными
плоскостями, двумя способами: 1) использовав
определение потока; 2) с помощью формулы Остроградского—
Гаусса.
4.1. я(М ) = Зх1 + (у+ г)] + (дг-г)к, (р): х + 3 у+ г= 3 .
(Ответ: 9/2.)

4.2. я(М) = (3 x - l)i + (y-x+ z)j + 4zk,(p): 2x-y-2z = 2.
(Ответ: 8/3.)
4.3. »(Л/) = xi + (x+r)| + Cy+z)k, 0»): 3x+3j»+z = 3.
(Ответ: 1.)
4.4. а(М) т (х+z)i + (г- x)j + (х + 2у + г )к, (р): х+у+
+ z - 2. (Ответ: 8/3.)
4.5. ж(М) - (^ + 2z)i + (x+ 2z)j + (JC-2j-)k, (р): 2х+ * +
+ 2г = 2. (Ответ: 0.)
4.6. а(Д/) = (x+z)i + 2*| + (x + y- z )k, (р): x+2y + z = 2.
(Ответ: 4/3.)
4.7. а(ЛО - (3x-y)i + (2y+z)j + (2z-x)k, (р): 2х-Ъу+
+ Z - 6. (Ответ: 42.)
4.8. а (Л#) = (2> + z)i + (x->)j - 2zk, (р)‘ x-j» + z - 2.
(Ответ: —4.)
4.9. а(М) * (х + у)1 + 3л + 0>-г)к, (р): 2x-y-2z = -2.
(Ответ: —1.)
4.10. а(ЛО - (x+ y-z)i-2> j + (x+2z)k, (р): x+2y + z= 2.
(Ответ: 2/3.)
4.11. а(АО * 0 '-z)i + (2x +.y)j +^ . (р): 2x + y +z = 2. (О т ­
вет: 4/3.)
4.12. а(Л/) = xi + (y-2z)j + (2x->' + 2z)kJ (р): х + 2у+
+ 2z ** 2. (Ответ: 4/3.)
4.13. a(Af) = (x+2z)l + 0'-3z)j + zk, (р): 3x + 2y + 2z*=6.
(Ответ: 9.)
4.14. а(ЛГ) = 4xl + (x - y - z )j + (3y+2z)kJ (р): 2х+у+
+ Z = 4. (Ответ: 80/3.)
4.15. я(М) = (2z-x)i + (x+2y)j + 3zk, (р): х + 4у +“2z = 8.
(Ответ: 128/3.)
4.16. а(М) - 4d + (x -y-z)J + (3y + z)k, (р): х-2у +
+ 2z ” 2. (Ответ: 0.)
4.17. а(М ) т (х+jp)i + (y+z)j + 2(* + х )к, (р): Зх-2> +
+ 2z = 6 . (Ответ: 12.)
318

4.18. a(Afj = (x + y + z)i + 2^J + (y- 7 z )k, (p): 2x+3y +
+ z — 6. (Ответ: —36.)
4.19. a (M ) = (2 x -z)i + (y- x )j + (x+ 2z)k, (p): x-y +
+ z = 2. (Ответ: 20/3.)
4.20. a(A/) = (2y - z)i + (x + y)j + xk, (p): x + 2y+2z = 4.
(Ответ: 8/3.)
4.21. a(A/) = (2z-x)l + (x-,y)J + (3x + z)k, (p): x+y+
+ 2z = 2. (Ответ: —2/3.)
4.22. a (M ) = (x+ z)i + (x+ 3y)J + yk, (p): х+,у+2*“ 2.
(Ответ: 8/3.)
4.23. a(Af) = (x + z)I + ^J + (2x->')k, (p): 2x+2y+z = 4.
(Ответ: 8/3.)
4.24. a(Af) = (3x+,y)i + (x +z)j + y k , (p): x+2j» + z = 2.
(Ответ: 2.)
4.25. a(Af) = (y + z)i + (2x- z)j + O' + 3z)k, (p): 2x+y +
+ 3z = 6. (Ответ: 18.)
4.26. я (М ) = (у +z)i + (x+ 6y)j + y k , (p): x + 2 y+ 2 **2 .
(Ответ: 2.)
4.27. a(M) = (2y- z)i + (x + 2y)i+yk, (p): x+3y + 2z=6.
(Ответ: 12.)
4.28. Л(М) = (3>+ z)i + xj + Cv-2z)k, (p): 2x+2y+z = 2.
(Ответ: —2/3.)
4.29. л(М) = (x+z)i + zj + (2x -y)k, (p): 3x+2y + z-6.
(Ответ: 6.)
4.30. a(AO = zi + (x+jOJ + yk, (p): 2x+j» + 2z = 2. (О т­
вет: 1/3.)
319

Решение типового варианта
1. Даны функция и( М) = Jx/z-Jy/x+ 2xyz иточкиЛ/^1,
1, —1), Л/2(—2, —1, 1). Вычислить: 1) производную этой функции
в точке Mi по направлению вектора Л/( М2; 2) grad и( А/,).
►1. Вычислим производную функции и(М) = и(х, у, z) в
точке Мхпо направлению вектора ЛГ, М2 —(—3, —2,2):
ди(Мх) _ ац(АГ)
Зх
Af,
cos а +—з—L
V du(Af)
cos В +
V ,
+ du(Af)
dz
cosy,
Л/,
dx
= 1 . J y
2zJx
+ 2 yz. du(Af)
dx M,
3
"2’
du(Af) = 1 + 2x„ du(M)
dy 2xjy ' дУ M,
5
2 ’
du(Af) _ jx + 1 dt/(AQ
z2 ’ dz
= 1
3----------------- ft - 2 2
cos а = --- , cos {3 = --- , cosy = --- ,
j n J v i J v i
du(Mx)
i = - i ( = 23
dMlM1 * i i J v r 2S jy j ) J v , 2Л 7
2. Согласно определению

2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
[ Г(Зх —у + z)dS по поверхности S, где S —часть плоскости
S
(р): х +z-2y = 2 , отсеченная координатными плоскостями.
►Из уравнения плоскости находим:
г = 2 - Х + 2у , z'x = - 1 , г'у - 2,
dS = J l + z'l + z'ydxdy = Jldxdy.
Сводим вычисление поверхностного интеграла к вычислению
двойного интеграла по области D, где D —треугольник
АОВ, являющийся проекцией поверхности S на плоскость Оху
(рис. 15.13). Тогда
[[(3 x-y+z)dS = J J(3jc—jk + 2-х + 2y)j6dxdy =
S
D
О 2 + 2 у
= ||(2 х + у + 2)7б

- | J (—л/4- у - г2) dydz = J |(4 - у - г 2),
+ 2 J f (- Jt - y - x 2) dxdy = 0 .
Итак,
4
[ J(x 2 + z)dxdz + x dydz - 2z dxdy = 8 л . <
Вычислить поток векторного поля а(АГ) = (x +z)i +
+ (2у- x)J + zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую
плоскостью (/>): x-2y+2z = 4 и координатными
плоскостями, двумя способами: 1) использовав определение
потока; 2) с помощью формулы Остроградского—Гаусса.
►1. Вычисляем поток векторного поля с помощью поверхностного
интеграла
Я = J ja •n°dS,
S
где S — внешняя сторона поверхности пирамиды АВСО
(рис. 1S.15).
323

Вначале вычислим поток через каждую из четырех граней
пирамиды. Грань ЛОС лежит в плоскости у = О, нормаль к
этой грани щ = j , dS = dxdz. Тогда поток векторного поля
а (М ) через гранью ОС
4 2 -х/2
Я , =— J jx d S = - j Jxdxdz - -jxdx j dz =
&AOC
ЛАОС
4
I - - T
о 0
Грань ЛОВ лежит в плоскости z = 0 , нормаль к этой грани
П2 = - k , dS = dxdy,
/72 = J j 0 dxdy = 0 .
ЛАОС
Грань ВОС лежит в плоскости х = 0 , нормаль к данной
грани из = - I, dS =
2 о
Я 3 = - J jzdydz - -jzdz j dy =
дгос 0 i-2
324

И , наконец, грань ЛВС лежит в плоскости
x-2y + 2z-4 = 0 , нормаль к этой грани
„О = l- 2 J + 2k = 8-2J + 2k
л/1+4 + 4 3
dS = J l + z'l + z'2

о
~ \ \ + 4.У + 4) + 12>» + 24 - 2у2 - 4у) ’ dz dz
Так как интеграл fjfdxdydz равен объему прямоугольной
v
пирамиды АВСО, то
П “ J J J O + 2 + 1)dxdydz = 4^jjdxdydz = — <
К
И
ИДЗ-15.2
1. Вычислить циркуляцию векторного поля ш(М) по кон
туру треугольника, полученного в результате пересечения
плоскости {р): Ax+ By+Cz = D с координатными плоскостями,
при положительном направлении обхода относительно
нормального вектора п =» (А, В, С) этой плоскости двумя
способами: 1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью
формулы Стокса (15.27).
326

1.1. а (А/) = d + (x + y)j + yk , (р): 2x+y + 2z = 2. (Ответ:
5/2.)
1.2. a(AQ = (x + z)i + Jd + (2jc-y)k , (р): Зх+2y + z = 6.
(Ответ: —24.)
1.3. a(Af) = (у + z)i + xj + (j'- 2 z )k , (p): 2x + 2y + z = 2.
(Ответ: 2.)
1.4. a(AQ = (2 y- z)i + (x + 2y)j + j>k, (p): x + 3y + 2z = 6.
(Ответ: —12.)
1.5. а(Л/) = (y+z)l + (x + 6y)l + yk, (p): x+2y + 2z = 2.
(Ответ: 3/2.)
1.6. а(Л/) = O' + z)i + (2x- z)j + O' + 3z)k , (p): 2x + y +
+ 3z “ 6. (Ответ: 24.)
1.7. a(A0 = (3x + y )l + (x+ z)j + yk , (p): x+ 2y+ z = 2.
(Ответ: 0.)
1.8. a(A/) = (x + z)i + zj + (2 x - y)k , (p): 2x + 2y+z = 4.
(Ответ: —12.)
1.9. &(M) = (x +z)i + (x + 3 y)j+y k , (p): x + y + 2z = 2.
(Ответ: 4.)
1.10. a(M ) = (2 y- z )i + (x + y)j + xk, (p): x+2y+2z = 4.
(Ответ: —12.)
1.11. »(Af) = (2z-x)t + (x - y )j + (3x + z)k, (p): x + y +
+ 2z = 2. (Ответ: 1.)
1.12. a(AQ = (2x- z)i + (y - x)j + (x +2z)k, (p): x -y +
+ z —2. (Ответ: 2.)
1.13. &(M) = (x + y + z)l + 2g + (y- 7 z )k , (p): 2x+3y +
+ z = 6. (Ответ: 0.)
1.14. a(Af) = (x + y )i + (y + z)j + 2(x + z)k, (p): 3x-2y +
+ 2z m 6. (Ответ: —3/2.)
327

1.1*. . ( * ) . (2 ,- ,)l +(l+ 2, )i+3dl
(О твет: 40.) С -
1*17. »(Л#) = 4xi + ( x - jj- z)j + (3 y + 2z) t f й + > +
+ * = ^ . (О твет: 36.)
1.1». . ( * ) - (x + 2 i)i + Q f-3 t y + 2 kj(pj. 3I + 2j. + 2 t - <
(О твет: 39/2.)
l.l* . »+г)1 + ( х - ^ - 2 г к , (р): x - y + t - 2 .
(О твет: —4.)
1.24. а(А/) - (3 x - y )i + (2y + *)J + (2 *- x )k , (р): 2х-3у+
+ Z ш 6. (О твет: 12.)
1.25. а(М ) = (х+г)1 + 2>4 + (ж + у- г)к, (р): х+ 2y+z = 2.
(О твет: 1.)
1.26. а(АО = (y+ 2z)i + (х+ 2z)j + (хт- 2у )к , (р): 2х+у+
+ 2г ■ 2 . ( О твет: —7/2.)
1.27. а(Л 0 “ (х +z)l+ (г - x )j + (х + 2у+ г )к , (р): х+ у+
+ t ■ 2. (О т в е т :0.)
328

1.28. а(АО = xi + (x + z)J + (у + z)k, (р): Зх+Ъу + z = 3.
(Ответ: 3/2.)
1.29. а(А/) = (З х - l) l + (x-,y + z)J + 4zk, (р): 2х -у-
-2z я -2. (Ответ: 0.)
1.30. а(А/) = 3xi + 0 ' + z)J + (x - * )k , (р): аг+ Зу+ г^ З.
(Ответ: —6.)
2. Найти величину и направление наибольшего изменения
функции и(М) = и(х, у, z) в точке А/0(х0, у0, Zq) ■
2.1. и(М) = xyz,A/o(0,1, —2). (Ответ:2.)
2.2. u(Af) = xXyz, М0(2,0,2). (Ответ: 12.)
2.3. и(М) = ху2z, М0( 1, —2,0). (Ответ: 4.)
2.4. й(А#) = xyz*, А/0(3 ,0, 1). (Ответ: 3.)
2.5. u(Af) = x y z , A/0(- l, 0, 3). (Ответ:0.)
1.6. и(М) = x2yz2, А/0(2, 1, -1). (Ответ: )
2.7. u(Af) = x y V , А/0(—2,1,1). (Ответ: J b l .)
2.8. и(М) = Д - х 2, А/0(0. 1, 1). (Ответ: J5 .)
2.9. «(А#) = x2y+ y2z, Af0(0, -2,1). (Ответ: 472.)
2.10. w(Af) = x (y+z), Af0(0> 1» 2). (Ответ: 3.)
2.11. u(M) = xy-xz, Л/0(- 1 ,2,1). (Ответ: Л .)
2.12. и(М) = x2yz, Л#о(1. -1, !)• (Ответ: Л •)
2.13. и(М) = xyz, М0(2,1,0). (Ответ:2.)
2.14. u(Af) = xyz2 >А#о(4, 0 ,1). (Ответ: 4.)
2.15. и(М) = 2x2yz, А#о(—3. 0, 2). (Ответ: 36.)
329

2.16. ы(М) = х'уz, Mq(\, 0,4). (О твет:4.)
2.17. и(М) = (x+y)z , А/0(0, -1,4). (Ответ: 24.)
2.18. и(М) = (х+ г)у2, М0(2, 2, 2). (Ответ: 12Л )
2.19. и(А/) = х (у 2 + г ), А/0(4 ,1, -3). (Ответ: 16,/S.)
2.20. и(М) = (х2 + г)у2, М0(-А, 1,0). (Ответ: ТЗЗ.)
2.21. и(М) » хг(у + 1 ),Мц(Ъ, 0 ,1). (О твет:21.)
2.22. и(М) = (x2-y)z2, М,zk, А#о(3, 0, I). (Ответ: 3.)
3.5. a(Af) = xsyi + xyzj-xк , l/0(- l, 0,3). (А п м т: ^ .)
330

3.6. я(М ) = yzi - z i + xyzb, A/0(2 ,1, -1). (Ответ: J l l .)
3.7. a(M ) = y2i - xyj + Z2k , M0(- 2 ,1,1). (Ответ: 1.)
3.8. a(M ) = xzi - xyzl - x2zk, Л/о(0 ,1,1). (Ответ: 1.)
3.9. a(M ) = x yi- y2zj-xzk, Л/0(0, -2,1). (Ответ: J f i .)
3.10. л(М) = xzi - И - гук, М0(0 ,1,2). (Ответ: 2.)
3.11. а(ЛО = у21- ху2} + z2k , М0(-1,2,1). (Ответ: 8.)
3.12. а (АО = xyi - ху2j - ху2J + z2k , М0(1,-1,1). (Ответ: 2.)
3.13. а (АО = (* + У)* + У4 + , М0(2,1,0). (Ответ: J l .)
3.14. л(М) = xyi - (у+ z)j + xzk, Af0(4 ,0,1). (Ответ: i j l .)
3.15. а (АО = x i- z yj + х2 zk, М0(- 3,0,2). (Ответ: 12.)
3.16. л(М) = (х + y2)i + yzl - х2к , Af0( 1,0,4). (Ответ: 2.)
3.17. а(Л0 = xzt - у] + угк, М„(0, -1,4). (Ответ: 4.)
3.18. а(Л0 и xyi - xj + угк, М0(2,2, 2). (Ответ: УТз.)
3.19. а(АО = (x+y)i + xyzj-xk, Af0(4, 1, -3). (Ответ:
Щш
3.20. а(А0 = (х-у)1 + уг|-угк, Af0(- 4 ,1,0). (Ответ: Js ■)
3.21. а(А0 “ (y- z )i - z2j +xyzk, М0(3, 0, 1). (Ответ:
3j3.)
3.22. a(A0 = yz i- z 2j + (x+ y)zk, A/0(l, 3,0). (Ответ: 3.)
3.23. а(ЛО = z2i - xg + z2k , Af0(l, —2,1). (Ответ: J 6 .)
3.24. а(Л0 = xyi + (x-z)j + (y- x )k , Af0(0, 0, 1). (Ответ:
-/6.)
331

3.25. a (Jlf) = xzi + (x - y )j + jc2zk, Af0( 1, 1, —2). (Ответ:
J26.)
3.26. й(М) = (jc- z)i + x jj + y2zk, Af0(2, 2, 1). (Ответ:
J2 \.)
3.27. *(M ) = (x - z )i + xyg + xk, M0(—2, 2, 1). (Ответ:
л/24.)
3.28. a(Af) = (y-z)i + yi- Z2k , Af0(- 1, 2, 1). (Ответ: J 2 .)
3.29. a (Af) = (x - y )i - jq + xzk, Л/0(0, 2, -2). (Ответ: 2.)
3.30. a(Af) = ( jc — z)i - yj + xyk, Af0(l, -1, 0). (Ответ: 0.)
4
Выяснить, является ли векторное поле a (Af) = а(х, у, г)
соленоидальным.
4.1. a (Af) = (a- P )x i + (y - a )j + (P- y)zk .
4.2. *(Af) = x2yi - 2xy2j +2xyzk.
4.3. а(ЖГ) = (yz-2x)i + (xz + 2y)j + xyk.
4.4. a (Af) = (jc2- z2)i -3xjfl + (у2 + z2)k .
4.5. a (Af) = 2 xyzi - y(yz + 1)j + zk.
4.6. а(Л/) = 2x -3yi + 2xyj - z2k .
4.7. a(Af) = (x2-y2)i +(y2-z2)j +(z2-x2)k.
4.8. a(AQ = yd +(x - y )j +z2k.
4.9. a(Jtf) = O '.+z)>+ (x+z)j + (x +y)k .
4.10. a (Af) = 3x2yi - 2xy2j - 2xyzk.
4.11. a(A/) = (x +y )l - 2(j> + z)j +(z - Jt)k.
332

Выяснить, является ли векторное поле а(М ) = (х, у, z)
потенциальным.
4.12. а(М ) = (yz-2x)i + (xz + 2y)} +хук.
4.13. л(М ) = yzi + xzj + xyk.
4.14. а(М ) = 6xyi + (Зх2 - 2у)\ + г к .
4.15. я(М ) = (2x-yz)i + (2x-xy)]+ yzk.
4.16. а(М ) ,= (,y- z )i + 3xj'g + (^ - x )k .
4.17. а(М ) = (у - z)i +(х +z)i +(х2- у 2) к .
4.18. а(М ) = (x + y )i- 2 x g - 3 (y + z)k.
4.19. а(М ) = z i + (xz + y)\ + x^yk.
4.20. а(Л^) = x y(3 x - 4 y)i + x2(x - 4 y )j + 3z2k.
4.21. a (Jlf) = 6x2i + 3 cos (Зх + 2z)j + cos(3y + 2z)k.
4.22. a(M ) = (х + у)1 + (г - у )] + 2(х + г )к.
4.23. a(A/) = 3 (x - z )i + (x2-y 2)j + 3zk-
4.24. a(A f) = (2x-yz)i + (xz-2y)] + 2xyzk.
4.25. a(M ) = 3x2i + 4 (x - y )j + (x - z )k.
Выяснить, является ли векторное поле z{M ) = а(х, у, z)
гармоническим.
4.26. а (А/) = x2d + у2j - xzk.
А.П. а(А/) = (х + y )i + (у + z)j + (х + z )k.
4.28. а(М ) = -i + ^i + h .
У «
4.29. а(А/) = yzi + xg + xyk.
4.30. а(М ) = (j'- z )i + (z- x )j + (x - .)')k .
333

Решение типового варианта
1. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М )
= (jc—2^)i •+•(jc-*- + z)j (5jc-h j^)k по контуру треугольника,
полученного в результате пересечения плоскости (/>):
x + y+z = 1 с координатными плоскостями, при положительном
направлении обхода относительно нормального вектора
n = ( I, 1, 1) этой плоскости двумя способами: 1) использовав
определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса
(15.27).
►В результате пересечения плоскости (р) с координатными
плоскостями получим треугольник ABC (рис. 15.16) и укажем
Р и с . 15.16
на нем положительное направление обхода контура АВСА в
соответствии с условием задачи.
1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле
~-9
(15.25), в которой обозначим dl = т dl:
С ш j> a dl = J а •dl + J а •dl+ J а •d l.
АВСА АВ ВС СА
На отрезке АВ имеем: z = 0, х + у = 1, у = 1 -х ,
dy = -dx,
а = xi + (х + 3y)j + (5х + y)k, dl = dxi + dy\,
a-dl = xrfx+(x+ 3y)dy,
334

( a-dl = J xdx + (x + 3y)dy = J(x - x - 3 (l-x))dx
AB
AB
2
= j(3 x - 3 )d c = ( “ — 3x)
На отрезке ВС верны соотношения:
х = 0 ,y+z= 1,z = 1- У , dz = -dy,
a = -2zi + (3>' + z)i+ > 'k,dl = dy} + dzk,
a-dl = (3y+z)dy + ydz,
J a -dl = J (3y + z)dy + ydz =
BC BC
= j(3 y + 1-y - y )d y = Jo»+ 1)dy = ( У + lV
На отрезке CA имеем: у = 0 , x + z = I , d z-- dx,
a-dl = (x-2z)dx+ 5xdz,
f a •dl = j (x-2z)dx+5xdz =
CA CA
= f(x - 2 + 2x-5x)dx = J(-2 x-z)dx =
о
о
Следовательно,
| (* 2- 2 x) L I -3.
С 1 - - - - 3 = -3.
2 2
2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы
Стокса (15.27). Для этого определим:
335

x -2 z x+3y + z 5x + y
В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую
поверхность пирамиды О ABC.
По формуле Стокса имеем:
S = $ОСЛ + S ОАВ + $ 0 ВС ■
С = | | rot а в°d S = f Jro t а •d S,
S
где dS = dydzi +dxdzj + dxdyk;(rot a •dS) = -7dxdz+ dxdy.
Следовательно,
С = ff-7dxdz + dxdy - - 7 J jdxdz + J | dxdy = -3 .i
s S'oac SOAB
2. Найти величину и направление наибольшего изменения
2 2 2
функции и(м) = 5х yz-lxy г+5хуг в точке Af0(l, 1, 1).
►Находим частные производные функции и(М) в любой
точке М(х, у, z) ив точке М0:
s
ох
Зу
= lOXyz-7y2z+Syz2. = 10-7 + 5 - 8,
Зх
= 5х2г- \4xyz+Sxz2, - = 5-14 + 5 = -4,
Зу
= 5х2у-7ху2+ Юху*. = 5-7+10 = 8.
dz
dz
Тогда в точке Д/0(1, I, 1) имеем: grad и(М0) = 8i-4j + 8k.
Наибольшая скорость изменения поля в точке М0 достигается
в направлении grad u(M 0) и численно равна Jgrad u(A/0) j:

du(Mn) du(M0)
_ _ , m a x - jj- - |grad « М 0)| -
= Я 2 + (-4 )2 + 82 = 12 .<
3. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного
2 2 2 2
поля а(М ) = ху z i + х yz j + xyzk в точке М0(2, —1,1).
►Наибольшая плотность циркуляции векторного поля
а (М ) в данной точке М0 достигается в направлении ротора и
численно равна Irot а(Л/0)| . Находим:
rot а (Л/) =
i j k
д_ д_ d_
dx dy dz
2 2
ху z
2 2
х yz xyz
Ш' С
2 ч
= (xz - 2х yz) i - (yz - 2 ху z )j,
rot а(Л/0) = 10i + 5 j, |rot а(Л/0)| = JlO 2 + 52 = 5^5. i
4. Вьшснить, является ли векторное поле я(М ) = (у + z )
+ xyi - xzk соленоидальным.
►Векторное поле а(М ) — соленоидальное, если в каждой
* ■ его точке div а(М ) = 0. Находим:
л- ! ы \ d P . d Q . d R d , , .
^ а Р =| | | +Г ^ +>) +
+ ^ (х у ) + ^ (-x z ) = 0 + x - x = 0.<
15.8. ДО П О Л Н И Т ЕЛ ЬН Ы Е ЗАДАЧИ К ГЛ . 15
2 2 2 2
1. Найти площадь части поверхности шара х +у + z = а ,
2 2 $ 2 V
расположенной вне цилиндров х + у = ±ах. (О твет: Ъа .)
12Зак. 2976 337

2. Вычислить массу поверхности куба 0 £ х £ 1, 0

10. Векторное поле определяется силой, модуль которой
обратно пропорционален расстоянию от точки ее приложения
до плоскости Оху. Сила направлена к началу координат. Найти
дивергенцию этого поля. (Ответ: -k/(zjx2 + у2+ z ) , где к—
коэффициент пропорциональности.)
11. Твердое тело вращается вокруг оси Oz с угловой скоро-
—Р
стью ш . Вектор линейной скорости v имеет проекции на оси
координат: vv = -cay, v„ = сох, v. = 0. Найти: а) ротор век-
Л / 4
2 2 2
тора v; б) циркуляцию вектора v по окружности х + у = а в
положительном направлении обхода относительно орта к.
(Ответ: а) (0, 0, 2ю); б) 2па а .)

П Р И Л О Ж Е Н И Я
1. Контрольная работа «Ряды» (2 часа)
1. Исследовать на сходимость данный ряд.
| 2
. 2 г
11 ^ яд sm дуд л,/л
| 2 у ' л сов it
n jn
. п +5
/1=1
£ In Л
л -1 Jn S + n
я In H
1.5.
Z
н - г
л- 1
s r f r .
1.4. £ £ 5
2.2 '
л sin л
“ s w
л-1 (1-3
1 . 1 —sin-.
Jk "
•9. £ --- 4 “ V »- f ) V S a i « « X .
Л- 1
1.11. X ( l7cosf), 1.12. f . ( r l/"-U
i- 1
1.13. V I U lS S iS S l. 1.14. у itg -ir.
л-1 2й - 1 л-1Л
1.15. £ « « т 2^ / . 1.И.
— I " л-1
1.17. у 3 5 7 : G ?± .U .
L . 2-5-8 -(Зл- l )
L IS . У 2 ^ .
j , i ,.
1.19. y i — 1.20. у 0 2 -2 *2 .
Z-i (л-1)! л!
л-2 a-1
340

1.21 Ж у — Ш ж
(л + 2) 1п л
л = 2
оо 3
1.23. X ~
л = 2 (In Л ) "
„л - 1 -п
1.25. V 2 " " ‘ е " .
Л = 1
1.22. У л* sin — .
i-t 2 л
,м Z l ' r K i -
Л = 1
Зл
2л — +1/ )
1.27. ] T n W £ . U * . £ ¥ r ^ |
1.29.
1 4 ^
л = 1
л = 1
0 ~л +2
1.30. у ---.
Л = 1, 5"
2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд.
чи-1
2.1. JzlL
(л+ 1)(3/2)
Л = 1
® r-n"-1
2.2. У
2л'
(л + 1 )-2
л = 1
2.3.
2.5.
Л - Л + 1
2.4. у
л!
л = 1
■ * г -
27л
ТзлТТ
2.6. у (-1)
I л1п(л +1)
л = 2
£ ц Ш ,
«° . ,.л +1
2... 2 t l L
1п(л + 1)
Л = 1
2.9 9 У (~1)и +1 2” *— 2.10. у (-1) (и + 3).
2 -*' ; л(л+ 1 ) 2- 1п(л + 5)
л = 1
/ 1\л*
00 (-1) *в—г
71
2.11. £ --------
J2n -1
Л = 1
о
2.13. у (-1)"

2.15. £(-1)"(i -co.-L). 2.U. £ J=UL
л!п(2л)'
л «2
CO
2.18. £ .
я-» "
я 2л+ 1
2.19. £ (-1)
Зл
Я " 1
2.20. Ы С
л ,/2 л + 1
2.21. У _ L U l_ .
Z ^ (n + l)ln n
2.22. у (-1)"+1( —2—Y\
2-i ч2и+1/
л - 2
2.23.
(-1)"
л (1п1пл)1пл
2.24.
2.26.
(-1)
co*(n/Jn)\j2n + 1пл
л - 2
2.27.
± d l
2.28. у Ы ) _____ .
2л +1
(2и + 1) •2
^ л + со»(2/-/л + Э)
я - 1
2.29.
jz d :
2J0. £ (-1)" ln^l +±j.
Я ■ 1
3. Найти область сходимости функционального ряда.
« Я
3.1. У
И 1-*"
3.2. У — (х2 -Ч х + 6)"
^ з"
Я ■ 1
зз- £ S r G f f ) " з-4- £
3.5.
я - 1
в
я
I+X 2я *
•1/3
3.7. £ (- 1 )"(х + л)
Я - 1
я • 1
я ■1
Ш
3.8. £ (п + х)
Л■1
342

3.9. V ---5---- (25х2 + I ) " . 3.10. У
^ 2л(л +1)
^
л = I
Я = 1
1
(х+ л)(х+л +1)
1+х
3.11.
i 1-X п
я = 1
3.12.
1
Л + 1 2 л
(Зх*+4х+2|
3.13.
я =1 л(л + е )
3.1S. У — L-yfn ,
„T i(n +«X)(n2+ l)
3.17.
Л = 1
н>
(х+л )2
со 2 я
3.19. £ (х -6х+12)
3.21.
3.23.
Ип 1
4 (л +1)
л/х
я = 1 3 +2
я = 1
0
3.25. ^
Я = 1
( - 1)
х+2п
л + х
3.27. У — I
Lu л(л п(п + - х)
я = 1
00 1
3.29. У
Л + 1 2 я
, (Зх +8х+6)
3.14. У ( * , Т 5*+ »>
^ 5п( я2 + 5)
Я = 1
v 1 оя-Зя . х
3.16. > 2 х sin-.
3.18. V
я = 1
во
2л
J . , 2 п
П +3 (Зх +10х + 9)
“ о 3
3.20. ^ - t l L
(л - х ) 1/3 '
3.22. £ ( Ы П + | * Г ) .
3.24.
Е
Я = 1
л + 1
я
3.26. £ ±tg"x.
Я = 1
Ул
3.28.
х2 + л2 '
я =1
4. Найти область сходимости степенного ряда.
3 6 9 1:
X I X . X . X
4.1. — + -1— + - i— +
8 82 •5 83 •9 84 •13
4.2. У (x+5)"tg-i-.
, 3
Я = 1
343

СО Я ® . А.Я
4 .3 . ' ^ ( ” - .? L (x + З )2" . 4.4. V -
L 2л + 3 1 ; 4 - (2 л + 1) •3*
я - I я = 1
И I ? Ш 2+ -н ... . 4.6. у ЦШЩ 1
2 512 J 4[ 2 ) щ
4.7. '
л =| Я* 1
4.9.
f (3 n - 2 )(jc- 3 )" 4.10. V .in - # - (x - 2) " .
“ (n+ i)2:-2n+1 я . 1 " +i
л
. 2 ,3 4 _5 6 ,7 8 " , « , . х п 2"
2х 2 х +2 х 2 х + — Г
4.11.
4.12.
2! 4! 6! 8!
п ■ 1
4.15. 1+ _ ? £ _ + _ f£ L _ + - l i L - + .... 4.16. y H ) V t f .
'/S7 * ^9 •51 и 9 *
я - 1 Я - 1
® _л —1 2л-1 *
v -____ -_____ 4.1». У -v*. ■)---- .
2 _ -.2 L t (n + 4 )ln (n + 4)
л-1 (4Я_3) я - 1
V 1 - 4 20 — ! + (x ~ L I + +
2 - . 4 • 1*2 3 22 5 . 23
я - 1 3»
я - 1 я - 0
4.23. l+ _ 2 i_ + 4* l . + ..?-*?- + .... 4.24. у fe -j f ! .
32л/3 5J T ? 72-/з5 я-1 * 9"
4.25.
£ 8л(х + I ) 3"- 4.26. £ 4 "(х + 2 )2" .
я - 1
я - О
4.27. У ( - l ) V x 2* « i» I. 4.2*. £ ^ ( x - 2 )J " .
я - I " --О *"
344

4.29. £ хп . 4.30. V хл !.
я * 1 п —1
5. Найти область сходимости ряда и его сумму.
°° л
00 2л+1
5.1. V -
5.2. V — ^
л(л + 1)
Г2л (2л + 1 )(2л+ 2)
л = 1
л = 0
00
5.3. У (- 1 )" -1 Xл + 1 00 2 л - 1
5.4.
л(л + 1)
2л(2л- 1)
л = 1
QO
л = 1
Л = 1
00 , 1Чл л+1
5.6. у - Iz iliE ----.
L i (л + 1 )(л + 2)
л = О
00 . л
* г-п л+1
5.7. У sm Х
л (л - 1 )
л(л+ 1)х
л = 2 л = 1
00 -пх
5.10. £
л = 1
л = 1
со 00 Л 2и+ 1
5.11. у (-1 ) " - * ( ! + - L - V . 5.12. у ----
Z j \п n + V Z-f 16я(2л+1)
л = 1 л = 0
5.13.
” 1+(-1 )"~ 1 2л+1
L , 2л+1
л = О
00 , , *л - 1 2л -1
5.15. £ И ) - -?---
4 (2 л- 1)
л = 1
5.17. у 1 ± Ы > > +1.
Z-< 2л +1
л = О
5.14. f
Л = 1
00 , ,ч Л - 1 л
5.16. У *-
л (л- 1)
л = 2
* * I
Л = 1
л + 2
х
5.19. £ (-1)Я- 1( 1 4 > Л- 1. 5.20. £ j
Л “ 1
® t - ,чя+ л\п^ и Яп
5.21. у t d D )--- ___ И.
L-i л(л п(п + 1)
л = 2
со п
5.22. £ *
л ( л - 1 )
л = 1 л = 2
345

U X 5.24. £ ( 1 * - ^ ) , - .
Л = 1 л = 1
® »*/• 1\" . ® 2* +1
5.25. У ; /. х ". 5.26. У ------.
" ( я - I ) 2л(2л 1- I )
я ш 2
я ш I
® я + 2 ® , 1Чл + 1 л +1
5.27. У ---*------ .
^ (Л + 1 )(я + 2)
5.28. V t d i____ £ «___ f .
L-1 я(л + 1)
л = 0 л = 1
* 2л ® ,я
5.29. У ------£ _ ---- . 5.30. £ 3
(2я-2)(2e- 1) ^ («+1)*Я +Г
л-2 л-0
6. Доказать, построив мажорирующий рад, правильную (равномерную)
сходимость данного ряда в указанном промежутке.
00
6.1. У ... 1 — , 0$х< +ао.
" 2nJT+Tnx
п т О
1 (2х+ А " +*
u s у н т
я р О
со
6.3. У fHSL
л!
я • 1
12 • -Я X
6.4. ^ -—— , —ео
л _ J njn(n+ x )
6.7. у --- !--- ,
7 " (Я + «Х)
Я• 1
т Г
6.8. У --- —р——■, -т>< хй 1п2
" 2^ С х
л - 1 " + V 2 - *
346

6.9. V 2£2* -оо

6.22. У arctg , -во

4 *125-у2 1 4 -у1
1.3. jdy j fix, y)dx. 1.4. jdy J J{x,y)dx.
0 3 jy / l 0 2У+1
4 1-y 4 V25-X2
1.5. [rfy J f(x,y)dx. 1.6. jdic J ftx,y)dy.
0 y/4 +1 0 0
2 i j x 4 y+4
1.7. fate j Ax,y)dy. 1.8. J ф J f[x,y)dx.
| x /4 ” 2 / / 2
1 4 2 / + 2
1.9. jdyjAx, >>)(&. 1.10. Jrfy J Ax,y)dx.
1 2-x
1.11. J

0 1+ х 4/5 З-Зу/2
1.25. Jd x j fl.x,y)dy. 1.26. J dy J fi,x,y)dx.
-i - JT T x ° i+J-
1 у 1 7 l- (x - l)J
1.27. | /{x,y)dx. 1.2*. J & J Л *. У)^-
О О -x
О 2у+1 3
1.29. J J{x,y)dx. 1.30. Jetxr J Дх, y)dy.
-1 -2-y О 0
2. Вычислить тройной интеграл по области У, ограниченной заданными
поверхностями.
2.1. fJJz V x 2 +>2dxdydz, У. у Щ 0 , 1 “ 0, z = 2 , х2 + j»2 “ 2х.
V
2.2. | | | (x 2 + z2)

2.11. jjjdxdydz, V: z = Ja 2-x2-y2 , z = Jx ' + y2.
V
2.12. [[[sdxdydz, V: z = 2-(x2 + y2) , z = x2 + y2.
V
2.13. [\Ux 2 + l)dxdydz, V: x2 + y2 = 1, z = x2 + y2 , z^ 0 .
V
2.14. J J J (г2 +1 )dxdydz, V: 2 = x +y2, z£0, z ^ l .
V
л/7+7 : ■
2.15. f f J — —dxdtydz, V. y ’ + z = 1, x = y2 + z2 , x>0.
2.16. j jj ( x 2 + y2 + z)dxdydz, V: x'+ y2 = 9 ,z S 0 ,z ^ 3 .
V
JiF+7
2.17. f f f —I е— =-- r dxdydz,V:x2 + y2 + z2 = l.zSsO.
JJKJ ( x + / + z )
2.18. f f | y'dxdy dz, K: x2 +y2 = 1, z2 = x2 + y2 , z^O.
К
2.19. f f f zdxdydz x2 + y2 + ^ > i , x2 + y2 + z20.
I 2 2 2
К Vx +y +z
2.20. JJJd x rrfK*, И x2 + y2 = 4 , z = 5-(x2 + y2) , z^O.
V
2.21. f f f j l f e l ,K z = l- x 2- / ,z > 0 .
J J J Г. 2 2
V л/1-х -y
2.22. |Jf(x-2)flbc

2.26. J J J i * 2 + 2)dxdydz, И у2 “ x2 + 2, У “ 4 .
К
2.27. f J JO '* + i)dxdydz, И x - у2 + i 2 , x - 9 .
V
2.2». j j j ( x 2 + y2)dxdydz, У.1 z - x2 + y2 , x2 + y2 - 4 , z - 0.
V
2.29. jjj(x+4)dxdydz, И 2x = y2 + ?2 , y2 +12 = 4 ,x = 0.
V
2.30. jjj(y-3)dxdydz, Й 4y - Vx2 + z2 , x2 + *2 = 16 , у « 0.
К
J. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом
функции и = и(х, у ) . Найти функцию и ■>и(х, у ) .
3.1. (sin y-y*in2x + 1/2)

2 3
3.15. (sin2x-2sinxsiny-12x y)*/x+(sin2y +2cosxcosy-4x )dy.
3.16. (12x2y+ \/y2)dx+{4x -2x/y)d y.
3.17. (2x y-l/x2)dx+ (x2 - 2 /y)d y.
3.18. - -|-jdx + |^sin3y- dy.
3.19. (2/x2 + cos2y)

С 2 2 2
4.3. I (х -2 xy)dx+ (y - 2xy)dy, L A B : у = x от точки >4(—l, 1)доточ-
Ai j
ки 5(1, 1).
4.4. J sinydx-imxdy, L Ag —отрезок прямой, заключенный между точ-
А в
ками>4(0, п)иЛ(1г,0).
4.5. J xdy-ydx, L A B : х * a (t- sin f), у ж а(1 - сое/) от точки Л (2яо ,0)
Lab
до точки В(0 ,0).
4.6. J xdy + ydx, — контур треугольника с вершинами >4(-1, 0),
**ЛЙС
щ т ш »•
4.7. j %dx + xd y, : у * 1пх от точки 0) до точки Д е, 1).
L ab
х 2
4.8. Г хех dy + : у = х от точки 0 (0,0) до точки >4(1,1).
L qa
г 2 2
4.9. I (х + >») ) # ; La b — отрезок прямой, заключенный
^АЯ
между точками >4(1,2) и 4(3, 5).
4.10. J {x y - l)d x + x 2yd y, L AB - отрезок прямой, заключенный между
точками А( 1,0) и В{ 0,2).
4.11. Г coiydx-iinxdy, LAB — отрезок прямой, заключенный между
Lam
точками >4(2, *2 ) и Д(-2, 2).
4.12. J xdy + ydx\ L oab - контур треугольника с вершинами 0(0, 0),
Loab
>4(3,0), #(0,2).
4.13. j (x + y )d l, L ОАВ - контур треугольника с вершинами 0(0, 0),
Loam
A(2t 0), * 0 , 2).
354

4.14. [(x + y)d l, L — первый лепесток лемнискаты Бернулли р2 =
L
= a cos2

4.27. J j 2 у dx + ye* +2dy, — отрезок прямой, заключенный между
точками/1(1, 1) и В(2, 3).
f » JC г —х
4.28. I у Л + -dy, Ьлв —дуга кривой у = е от точки /4(0, 1) до точки
5( 1,2).
Ам
4.29. f 2xydx+x2dy, L 0 A : у =* jc3 отточки 0(0,0) до точки Л( 1,1).
О А
4.30. J (xy+x2)d l, —отрезок прямой, заключенный между точка-
Ак
МИЖ1, 1) и 5(3, 3).
5
Вычислить работу силы F при перемещении материальной точки вдоль
линии L от точки А до точки Л.
5.1. F = (х2 + 2y)i + (у2 + 2x)J , L у - 2 - х2/8 , /4(-4,0), ДО, 2).
5.2. F - x3l- y 3j , I : х2+у2 = 4 , x iO , у * 0 ,>4(2,0), 5(0, 1).
5.3. F • x2yi- yj , L - отрезок АВ, А(—1,0), 5(0,1).
5.4. F = (х2 + y2)i + (x2-y2)l,L : у = | >4(2,0), 5(0, 0).
[2 —х; 1 5x52 ,
5.5. F - -yi + xj , L: у - х3, /4(0,0), 5(2, 8).
5.6. F .= (х + у)2! - ( х2 + y2) J , L - отрезок АВ, /4(1, 0), 11(0, 1).
5.7. F - (х2- у2)1 + (х2 + y2) j , L х / 9 + у2/А - 1. у i 0 , /4(3,0), 5 (-Э,0).
5.8. F = (х у - y2)l +xj, £: у = 2х2 ,/4(0,0). 5(1,2).
5.9. F - (х2 + у2)(1 + 2 J), 1: х2+у2 - Л2 , у i 0 , /4(5, 0), 5(-А, 0).
5.10. F - (xy-x)l + (х2/2)] , L : y - l J x , /4(0,0), 5(1,2).
5.11. F - - x i+ yj, L х2 + у2/9 = 1, x iO , у 2:0 ,/4(1,0), 5(0,3).
5.12. F - (х +у7х2 + у2) I + ( у - хVx2 + у2) J , L: х + у 2 - 1, у г О ,/4(1,0),
5(—1, 0).
5.13. F = x y i, L: у ш sinx,А (п , 0), 5(0,0).
356

5.14. F = (x + y )i + (x - y )j ,L: у = x , Д - 1 ,1), B( 1,1).
5.15. F = fx +y jx 2 + y2) i + (y - л/х2 +y2) j , L: x2+y2 = 16, x;>0, y iO ,
Л(4, 0), B(0, 4).
Вычислить циркуляцию векторного поля а вдоль контура Г (в направлении,
соответствующем возрастанию параметра /).
5.16. а = y i- x j + z k, Г: х = cos/, у = sin/, z = 3 .
„ , _ fx = 3cos/, у » 3sin/,
5.17. a = 3yi-3xj + x k ,r : { IZ = 3 —3 cos/- 3sin/.
2 fx = 3cos/, у = 4 sin/,
5.18. • = x i- 2z j + у к .Г : ■{ ' ’ '
[z = 6cos/-4sm/+1.
5.19. a = -x2y3i + 4 j+ x k ,r: x = 2cos/, у = 2sin/, z = 4.
5.20. a = zi + y2j- x k , Г: x = z = Jlc o s t, у = 2sin/.
5.21. a = xzi + xj + z2k , Г: x = cos/, у = z = sin/.
5.22. a = y i- x j + z2k , Г: z = 3(x2 + y2)+ 1, z = 4 .
2 2
5.23. a = xyi + yzj + xzk, Г: x + y = 9 , x+ y+ z = 1■
5.24. a = (x - y)i+ x j + z2k ,r : x2 + y2-4z2 = 0 , z = 1/2 .
5.25. a = x zi-j + yk , Г: x2 + y2 + z2 = 4 , z = 1•
5.26. a = yzi + 2xzj + y2k , Г: x + y2 + z = 25 , x2 +y2 = 16, z> 0 .
5.27. a = -3zi + y2j + 2yk, Г: x2 + y2 = 4 , x -3 y-2 z = 1.
5.28. a = yzi-xzj + x yk, Г: x2 + y2 + z = 4 , x2 + y2 = 4.
5.29. a = y i- 2xj + z2k , Г: z = 4(x2 + y2) + 2 , z = 6 .
2 2 2
5.30. a = 4i + 3xj + 3xzk ,Г:х+у = z ,Z = 3.
6. Вычислить поток Я векторного поля а через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя).
6.1. а = (3z2 + x )i + (ex-2 y)j + (2 z-x y)k, 51. х2 + у2 = z2 ,Z = l , z = 4.
6.2. а = ( 4x - 2y2)i + (lnz-4y)j + (x + 3 z /4 )k ,& х2 + у2+ 2 = 2х+3.
357

6.3. а - (e *- x )l + (xz+3y)j + (z+x2)k , A 2x+y + z**2 , x - 0 ,
у - 0, * - o.
6.4. a - (6 x - co iji)i- (ex+z)J-(2 y+3 z)k, S. x2+y2 - г2 , z - 1,
Z - 2.
6.5. a = (e* + x/4)i +(lnx + y/4)j + (z/4 )k, Л x2 + y2 + z2 = 2х + 2у-
- 2 i- 2 .
6.6. a ■ (x+ z)i + (z+ y)k ,.£ x2+y2 - 9 , z = x , z = 0 , ziO . ,.
6.7. a » 2 x l + 2jj + z k ,5 ij'“ x2, j ' “ 4x2, y = I , x 2 0 , t » y , t = 0 .
6.8. a - (y+ z)I + ji- * k .*R x2 + z2 - 2у , у - 2.
6.9. a - 2(z-j>)l + (x - i)k ,5 i z - x2 + 3y2+ l , x2+j>2 - 1, z - 0.
6.10. a * 3 x i- jj,Я г ■ 6-x2-j>2 , z2 = x^+jr*, i i 0 .
6.11. a - xi-(x + 2 y)j + ,yk, S x2+y2 - 1, x+2y+3z - 6, г - 0.
6.12. a = 4xi-2 /J-zk, A 3x+ 2y-12, 3 x + 2 y- 6 , x+ y+ z- 6,
у - 0, z - 0.
6.13. a - d+ Jd- й . £ x2+y2 * 4z, z - 4.
6.14. a - zi + (3y-x)J-zk, A x2 + y2 - l , r - x 2 +y2 + 2 , z “ 0.
6.15. a - (x+y)i + 0>+z)j + (x+z)k, А у - 2x, у - 4х, г - у2, x - 1,
z = 0.
6.16. a - xj/I+yzJ+jtzk, A x2 + y2 + z2 - 16, x2 + j>2 - z2 , z i 0.
6.17. a - 3x2i-2 x2j j + (2x- l)z k ,A x2+y2 - 1, г - 0 . z - 1.
6.18. a - xyi +y jj + xzk, i£ x2 + y2 + z2 - I , x iO , y iO , z iO .
6.19. a - x2i+j>j+zk.,Ж x2+j>2 +z - 4 , z i 0.
6.20. a - 0'2+xz)l + (xy-zM + 0 't + x>k, Л x2+y2 - ] , z - 0 , z - Л .
6.21. a = 17x1 + 7 jj + llz k , А г = x2 + у2 , z m 2(x2 + у2) , у ш я2 , у = x .
6.22. a = 0»Z-2x)l + (*mx + y)j + (x-2 z)k, £ x + 2 y - 3 z - 6 , x - 0 ,
у - 0, г - 0.
6.23. a - (ey +2x)l + (xz-y)j + | ( / ,'- z )k . A x2+y2 + z2 - 2y+3.
3S8

6.24. а ~ (х+ Jz+ l) l + (2x+ y)j + (z+ sinx) к , £ г2 = х + у ,г=1.
6.25. а = 2xi + zk, £ Z = Зх2 + 2у2 + 1, х2 + у2 = 4, г = 0.
6.26. а = xi + ? j- y k ,£ г = 4-2(х2 + у2) , г = 2(х2 + у2) .
6.27. а = xi-.2yj + 3zk, £ г = х2+у , г = 2х.
6.28. а = 7x1 + jj +(х - у + 5г)к, £ г = х2 + у2', z = х2 + 2у2, у = х,
у = 2х, х = 1.
6.29. а = (2y-3z)l + (3x+2z)j + (x + y+ z)k ,£ x 2 + y = l , z = 4 - x - y ,
Z = 0.
6.30. а = (xz+y)i + (yz -x )j- (x 2 +у2) к ,£ х2 + у2 + г2 = 1,г^0.
3. Контрольная работа «Приложения кратных интегралов
к задачам геометрического и физического содержания» (2 часа)
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной'данными линиями.
1.1. у = 3/х, у = 4е , У = 3 , у = 4.
1.2. х =

1.16. у = la x , у = In - , х = е2 .
х
1.17. р = 2sin

2.9. (а ): х +у2 = Л2 , (р ): y+ z = 0 , г = О.
2.10. (а ): z —х, (Р ): х + у = 4 .
2.11. (а ): х2- у 2 = 2г , (Р): х2 + у2 = а2 .
2.12. (а ): х = 2z, (Р ): х-2у = 0, 2х-у = 0, х = 2 j2 .
2.13. (а ): 2z = 2 - J x 2 + y2 , (Р): ос2+у2 = 4х.
2.14. (а ): х2-у 2 = 2az, (Р): х + у 2 = Ь2.
2.15. (а ):х - у + 2г = 3, (P ):y 2 + z2 = 4.
2.16. (а): г = Jx2 + y2 , (Р): х + у 2 = 2х, х + у 2 = 4х.
2.17. (о ): x - y - z = 1, (Р): y + z = 3 .
2.18. (а): у = л/? + z , (Р ): х2 + г2 = 2ах.
2.19. (а ): x + y + z = 4А2 , (Р): y2 + z = 2by.
2.20. (а ): x+y-z = 2а , (Р): х2 + г2 = 4а2.
2.21. (а ): г = х2 , (р ): у = 0 , х = 0 , х+ у = 72 .
2.22. (а ): х + у = 6z, (р ): х + у 2 = 21.
2.23. (а): г2 = х2 + у2, (Р): х2 + у2 = 2ах.
2.24. (а ): у2 + г2 = Л2 , (Р ): х = г , х = 0 .
2.25. (о ): 2x + 3y-z = 1, (р ): у" + z = if2 .
2.26. (а ): | = 1-х2- / , (Р): х + у 2 = 1-.
2.27. (а ): г = 2х2 , (Р ): х = 0,у=0,х+у = 1.
2.28. (а ): г = 2у2 , (Р ): х = 0 , у = 0 , х = 6 , у = 6.
2.29. (а ): 2z = x + y 2, (Р): z = 2.
2.30. (а ): х + z = а2, (Р): х + у 2 = а2.
3. Вычислить объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
3.1. z “ h - x - y 2 , 9z/2 = х2 + у2 .
3.2. х2 +у2 | 2 у, г = 5/4-х2 , z | 0.
3.3. 2г = 15Л 2 + У2 , Z = 17/2-х2-у 2 .
361

3.4. Z =* ,/зб-х2-у2, * = J(x 2* y 2)/63 .
3.5. x2 + y2 = 5/, x2 + y2 - 8y, z - Jx2+y2 ,z - 0.
3.6. JT+y = 2, у = Jx , z m 12у , z “ 0.
3:7. x2 +y2 - 2 , x “ Jy ,z = 30 у , j c = 0 , i = 0.
3.8. x+y - 2 , x = Vy, z = 1 2 i/ 5 ,f« 0 .
3.9. X2 + y2 - 4x, i - 10-у2, г ” 0 .
3.10. г - 8(x2+y2) + 3 , г = 16x+ 3.
3.11. z = 12-x2-y2, x2+y2 = 9 , z = 0.
3.12. г = 1-x , у = 3-х, x = 0, у = 0, z = О.
3.13. г - х + 3у2, х+у - 2, х - 0, у - о , г “ 0.
3.14. z = 9 -у2 , г = 0, х2 +у2 = 9.
3.15. г = х + у2 , у - х, у - 2х, х - 2 , г - 0.
3.16. х+у+г х2+у2 = 1.
3.17. г “ 10-х + 2у, I - 0 , х2+у2 = 4.
3.18. г “ х2 + у2 , у = х2 , у = 1, z = 0 .
3.19. z = 4-х , 2х + у - 4, х - 0, у - 0, г - 0.
3.20. х - 2у2, угО , z “ 0, х+2у+г = 4 .
3.21. х - 19 Л у , х - 4 J2y, Z+y т 2 , z “ 0.
3.22. х + у - 6, у - JTx, z “ 4 у, г “ 0.
3.23. х2 + у2 = 4х, г = 0, г - 12 - у2 .
2 2 2 2 I з 5
3.24. х + у - 4у, х + у “ 7у, г “ Vx +у , z " 0.
3.25. х2 + у2 = 8./2х, х2+у2-64 .
3.26. z - 2 - 12(х2 + у2) , г - 24х+2.
3.27. 4 Sx2 + у2 + z2S 64 , zS а/(? + у2)/3 , -x/JbSyiO.
3.28. z - 10(х2 + у2) + I , г “ I - 20у.
3.29. у ” 6jTx, у ” JTx , х +1 ■* 3 , г =* 0.
362

3.30. х2+у2 = 50, x = j5 y ,z - ° бу/п , х = 0 , г - 0 .
4. Вычислить массу и координаты центра масс неоднородной пластинки
В, заданной ограничивающими ее линиями или системой неравенств, если
известна поверхностная плотность пластинки ц(х, у ) .
4.1. Д х = 0 ,у = 0,х+2у = 4 ,ц = х+у.
4.2. В. х = у , у2 = х, ц = 2х+у.
4.3. В. у = 3-х2, у = -1, ц = 2(х2+у2) .
4.4. Л х * 1, у “ 0 , у2 = 4х, у!>0 , ц = 7х + у.
4.5. Л х2+у2 = 1, х2 + у2 = 4 , х = 0 , у “ 0, xS>0, у *0 , ц «
= (х+у)/(х2 +у2)-
4.6. В. 1й х ’/9 + у2/4 й 2 , у £ 0 , Зу£2х, ц = у/х.
4.7. В. х2/9+у2/4 £ 1, ц = х2у2 .
4 .8 .Л х2 + у2 = 9 , х2 + у2 =16, х = 0, у = 0, х£0, у2:0, ц -
= (2х + 5у)/(х2+у2).
4.9. В. х = 2 ,у = 0 , у2 = 2х, у i 0 , ц = 7х2/8 + 2у.
4.10. В. 15х2/4 + у2/9^4, хЬО, у£Зх/2, ц = х/у.
4.11. f t x 2/16 + y2S l,x ^ 0 ,y ^ 0 , ц = 5 ху .
4.12. В. х2 +у2/9 £ 1, у 2i 0 , ц = 35х4у3 •
4.13. Л х /9 + у2 й 1, х

1 7
4.20. D: x +y - 1, у £ 0, ji = e .
421. J>. x +y2 = 6y, x - 0 , x - J 9 - у2 , ц = Jx 2 +y2 .
4.22. D: x2+y2 = 2y, x2 +y2 » 4y, p. = \ /Jx 2 +y2 .
4.23. D: x2 + y2 - 2 *Jx2 + y2 + x , ц * \/Jx2+y2 .
4.24. ^ .
4.25. Лх> *б,х = 0,>* 1 ,уя 3,ц® 2xy2.
4.26. J>. x2 + y2 - 2x , x2 +y2 = 4х, у - ±х/Jb , ц « x2у2 .
4.27. Л ) ' = х , ) г = 2х2,х = 2 , ц = Т ку.
4.28. />. у - x2 - 2x, у - 2 x -x , ц « x2 + y2 + 2 .
4.29. I>. у ш sinx, x * я/2 , у - 0 , ji ■* 1+ х у.
4Л0. />. x2 + у2 - 2Ух2+у2 + у, ц ■ I /Ух2 + y2 .
5. Тело К задано ограничивающими его поверхностями, 5(х, у, г) - ег
плотность. Найти указанные характеристики тела: или его массу т , или координаты
центра масс С(хс , у с , zc) , или моменты инерции 1%у 1' ,
5.1. И 9(х2 + у2) = *2 ,х 2 + у2 - 4 , х £ 0 , у £ 0 , *2>0, 5 - 5(х2 + у2), т.
5.2. И х2+у2 + *2 - Л2 . **0,6 - a(x2+yZ + z2),C .
5.3. И х^ + у2 « 4 , г - 0, * « 1 ,6 - Jx 2 + у1 >/г .
5.4. Их+y-z- 1,х- 0, у - 0,z- 0,6 - х, / .
5.5. V. х + у2 - z2/25 , х2 + у2 - г/5 , 6 - 4y z , т.
5.6. Y.x+y‘ + z ш 2 у, z£ 0, 6 ■ const, С.
5.7. И у - J a- x2- z2 , У ■ 0, 6 - Jx 2 + у2 + ? , 1у .
5-8. И а2(х2 + у2) - г2 , г - а , 6 - const,
5.9. И х2 + у2 + z2 " 9 , х2 + у2 - г , х * 0 , у £ 0 , z * 0, 6 ■ 4 г, т .
5.10. И у ■ х2 , y + z * 1, у- Z " 1 , 5 е const, С
364

5.11. V z = J 9 -x2-y2, z = 0 ,8 = Jx 2+y2+z2, Iz.
S.\l.V:x2+y2 + z = 16, xkO,yZO, zZO, 8 = (x2+y2 + z2f , Ixy
5.13. V: x+y = I , у = x, x = 0, z = 0, Z = 2,8 = xyz, m.
5.14. V: x2+y2 + z2 = a2, xZO,yZO,z>0, 8 = const, C.
5.15. V:x2 + z2 = 2y,y = 2,8 = 9, Iy , I x r
5.16. V. x2+y2 + z2 = 2Rz, x2+y2 + z2 = Д ?, 8 = 5z ,m.
5.17. V. x+y" + z = 1 , x2+y2 + z = 4 , 5 = l/ Jx 2+y2+z2, Ix , Iy , Iz -
5.18. Их+у+г = l, x = 0 , y = 0 ,z = 0,8 = l/(x+y+z+1) ,m.
5.19. V x + y " + z - a2, z^ 0 , 5 = Jx 2+y2 + z2 , C.
5.20. V: x2 + y2 +z2 =2Rz, 8 =const, Ix, Iy , Iz-
5.21. V: x2 + z = /?2,>'=0,j' = 3,6 = x2+y2 + z2 ,m.
5.22. И x = 6 - x - y2, x = 0 , S = const, C.
5.23. V. x + y2 + z = 4 , 8 = const, , Iy l, Ixz ■
5.24. V:z- 1 = * 2+>'2 , * = 2 ,6 = x2, « .
5.25. К: x-3>> + 3z = 3,х=0,.у = 0,г= 0,5 = const, C.
5.26. К x+y2+z = 4 ,x + z £ y 2, S = const, Iy .
5.27. V:xZ+yZ+z2Z Z x , S = Jx 2+y2 + z , m.
5.28. К г2 = x2 +>*, z = 2 , x 2 0 , уг> 0 , 5 = const, C.
5.29. V.x2+y2 = 4z , Z = 1, г = 2 , 5 = l/ z , 7 ^ .
5.30. V: x'+y’+z = 4 , z* Jx 2+y2, S = J jF * y2+ 2, C.
365

РЕКО М ЕНД У ЕМ А Я ЛИТЕРАТУРА
У Ч ЕБН И КИ И УЧ ЕБН Ы Е ПОСОБИЯ
1. Березкина, Н. С. Математика для инженеров. В 2 ч. Ч. 2 / Н.С. Березкина
[и др.]; под ред. Н А . Микулика. Минск, 2006.
2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г.Н . Берман. М., 1985.
3. Гусак, АЛ. Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2 / АА. Гусак. Минск, 2005.
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнения* и задачах. В 2 ч. Ч. 2 /
П Е . Данко, А .Г. Попов, Т.Я Кожевникова. М., 1986.
5. Жеешис, P.M. Высшая математика. В 5 ч. Ч. 3.4/ P.M. Жевняк, А А Карлук.
Минск, 1985, 1987. _ . Ильин,
6 Ильин, В А . Основы математического анализа. В 2 ч. Ч. 2 / В А.
« ш Ш ■Я 1 Я П 82'
4 § И^ " г Г з » п о - - . — В ^ Чг/ТЛСГ“ '
В.Ф- Бубнов. Минск, 1993.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие--------- -------------------- ------------- 3
Методические рекомендации-----■--------------------------4
12. Р яд ы ..................................... ........................... .....................7
12.1. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов-----7
12.2. Функциональные и степенные ряды ----------------- 18
12.3. Формулы и ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций
в степенные р яд ы --------------------------- 27
12.4. Степенные ряды в приближенных вычислениях--------- 33
12.5. Ряды Ф ур ье------ ----------------------------- 40
12.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 12----------- 51
12.7. Дополнительные задачи к гл. 12------------------- 148
13. Кратные интегралы--------------- ------------------ 150
13.1. Двойные интегралы и их вычисление--------------- 150
13.2. Замена переменных в двойном интеграле. Двойные интегралы
в полярных координатах-------- -------------- 159
13.3. Приложения двойных интегралов------ ------------ 163
13.4. Тройной интеграл и его вычисление------ ----------- 173
13.5. Приложения тройных интегралов-- --- ------------ 179
13.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 13---------- 184
13.7. Дополнительные задачи к гл. 13------------------- 223
14. Криволинейные интегралы-- -------------- ----------- 226
14.1. Криволинейные интегралы и их вычисление---------- 226
14.2. Приложения криволинейных интегралов------------ 237
14.3. Индивидуальные домашние задания к гл. 14---------- 242
14.4. Дополнительные задачи к гл. 14 . -.-.----------------- 269
15. Элементы теории поля------ --- --- --- --- ----------- 271
15.1. Векторная функция скалярного аргумента. Производная по
направлению и градиент------------------------- 271
15.2. Скалярные и векторные поля----------------------278
15.3. Поверхностные интегралы------------------------ 282
15.4. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция
векторного поля------------------------------- 291
15.5. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля--- 296
15.6. Дифференциальные операции второго порядка. Классификация
векторных полей-------------------------- 302
15.7. Индивидуальные домашние задания к гл. 15---------- 308
15.8. Дополнительные задачи к гл. 15------------------- 337
Приложения ----------------------------------------- 340
Рекомендуемая литература-------------------------- - - 366
367