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一类永磁同步电机的自适应混沌同步 - 南京工业大学学报(自然科学版)

一类永磁同步电机的自适应混沌同步 - 南京工业大学学报(自然科学版)

第 4 期 张 兴 华

第 4 期 张 兴 华 等 : 一 类 永 磁 同 步 电 机 的 自 适 应 混 沌 同 步 49 的 混 沌 控 制 问 题 . 文 献 [8] 对 PMSM 的 混 沌 动 力 学 特 征 进 行 了 分 析 , 讨 论 了 PMSM 产 生 混 沌 的 条 件 . 文 献 [8-10] 给 出 了 几 种 PMSM 混 沌 系 统 的 控 制 方 法 , 如 纳 入 轨 道 和 强 迫 迁 徙 控 制 、 无 源 化 控 制 和 部 分 解 耦 控 制 等 . 另 一 方 面 , 电 机 的 混 沌 行 为 在 一 些 特 殊 应 用 场 合 可 能 是 有 益 的 , 如 混 沌 的 随 机 性 可 用 于 使 物 质 充 分 混 合 . 研 究 发 现 , 当 驱 动 电 机 处 在 混 沌 状 态 时 , 可 提 高 研 磨 和 搅 拌 效 率 [11-12] . 由 此 , 引 出 了 电 机 [13] 的 混 沌 反 控 制 问 题 . 而 关 于 电 机 混 沌 同 步 问 题 的 研 究 报 道 目 前 尚 不 多 见 . 本 文 研 究 了 PMSM 混 沌 系 统 的 同 步 控 制 . 1 永 磁 同 步 电 机 的 数 学 模 型 在 转 子 磁 场 定 向 坐 标 系 (d q 坐 标 系 ) 中 , 由 电 压 平 衡 方 程 和 转 矩 平 衡 方 程 , 可 得 如 下 的 PMSM 的 [6] 状 态 方 程 模 型 ⎧di q dt = 1 L [ -R s i q -n p ω r (L d i d +)+v ⎪ q q ] ⎪di d ⎨ dt = 1 L ( -R s i d +n p L q ω r i q +v d d ) (1) ⎪ ⎪dω r ⎩ dt = 1 J{ n p[ i q + ( L d -L q) i d i] q -bω r -T L} , 该 方 程 的 状 态 变 量 为 x=[i q i d ω r ] T =[x 1 x 2 x 3 ] T , 式 中 :i d 和 i q 为 定 子 电 流 向 量 的 直 轴 和 交 轴 分 量 (d、q 分 量 );ω r 为 转 子 角 速 度 ;v d 和 v q 为 定 子 电 压 向 量 的 d、q 分 量 ; 为 转 子 永 久 磁 链 ;R s 为 定 子 电 阻 ;n p 为 极 对 数 ;J 为 转 子 惯 量 ;b 为 阻 尼 系 数 ;T L 为 负 载 转 矩 ;L d 和 L q 分 别 为 直 轴 和 交 轴 电 感 . 对 于 表 面 贴 磁 的 均 匀 气 隙 PMSM, 有 L d =L q = L. 则 方 程 (1) 可 写 成 ⎧ di q dt =[-R si q -n p ω r (Li d +)+v q ]/L ⎪ ⎪di d ⎨ dt =(-R si d +n p Lω r i q +v d )/L (2) ⎪ ⎪dω r ⎩ dt =(n pi q -bω r -T L )/J 对 于 方 程 式 (2), 采 用 如 下 的 仿 射 变 换 和 时 间 尺 度 变 换 [14] : ⎡ σ 1 0 0⎤ ⎡ ξ 1 ⎤ x=∑^x+ξ= ⎢ 0 σ 2 0⎥ ^x+ ⎢ ξ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ 0 0 σ⎦ ⎣ 3 ξ⎦ 3 (3) t=τ^t (4) 式 中 :σ 1 = b n 2 pτ ;σ 2 =σ 1 ;σ 3 = 1 n p τ ;ξ 1 =0;ξ 2 = - (ρLbσ 3+n p 2 ) n p L ;ξ 3=0;τ= L . 则 变 换 后 的 PMSM R s 模 型 式 (2) 可 写 成 如 下 的 简 单 形 式 : ⎧ d^x 1 d^t =-^x 1 -^x 2^x 3 +ρ^x 3 +^v q ⎪ ⎪d^x 2 ⎨ d^t =-^x 2 +^x 1^x 3 +^v d ⎪ d^x ⎪ 3 d^t =σ(^x 1 -^x ⎩ 3 )-^T L (5) 式 中 :σ= τb J ;^v q = τ σ 1 L v q;^v d = τ σ 2 L (v d -R s ξ 2 );^TL = τ T Jσ L ;ρ 为 自 由 参 数 . 方 程 中 的 所 有 状 态 变 量 和 参 3 数 均 为 量 纲 一 的 量 . 2 永 磁 同 步 电 机 的 混 沌 动 态 分 析 考 虑 ^v q =0、^v d =0、^TL =0 时 的 一 类 PMSM 的 自 由 运 动 方 程 , 该 方 程 表 示 电 机 无 输 入 电 压 和 空 载 的 情 况 , 对 应 于 电 机 空 载 断 电 的 制 动 运 行 过 程 . 在 此 条 件 下 , 令 式 (5) 微 分 方 程 为 0, 可 解 得 PMSM 的 3 个 平 衡 状 态 , 其 中 1 个 是 零 点 , 另 外 2 个 非 零 解 平 衡 点 为 ^x eq 1 ⎡ ⎤ ⎡ ± 槡 ρ- 1⎤ ⎢ ^x eq ⎥ =⎢ 2 ρ-1 ⎥,ρ>1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ^x eq ⎦ ⎣ 3 ± 槡 ρ- 1 ⎦ 系 统 式 (5) 在 非 零 平 衡 点 的 Jacobian 矩 阵 为 A = f(x) ⎡ -1 -^x eq 3 -^x eq 2 +ρ⎤ ^x = ⎢ ^x eq 3 -1 ^x eq ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎣ σ 0 -σ ⎦ 对 应 的 特 征 多 项 式 为 A(λ)=λ 3 +(σ+2)λ 2 +[2σ+1+σ(^x eq 2 -ρ)+ (^x 3) eq 2 ]λ+σ[1+(^x 3) eq 2 +^x 1^x eq eq 3 +^x eq 2 -ρ] (6) 分 析 系 统 在 非 零 平 衡 点 的 特 征 方 程 式 (6), 可 得 当 PMSM 满 足 以 下 参 数 关 系 时 ρ=ρ h = σ(σ+4) σ-2 存 在 如 下 的 特 征 根 : (7) λ 1 =-(σ+2),λ 2,3 =±j 2σ(σ+1) σ- 槡 2 显 然 , 在 ρ=ρ h 时 , 如 果 σ>2, 特 征 方 程 有 一 组 在 虚

50 南 京 工 业 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 第 31 卷 轴 上 的 特 征 值 . 即 2 个 非 零 平 衡 状 态 点 为 临 界 稳 定 的 平 衡 点 ( 工 程 上 的 不 稳 定 ). 而 当 ρ>ρ h 时 , 系 统 的 3 个 平 衡 点 都 是 不 稳 定 的 [14] . 此 时 , 系 统 进 入 了 一 种 混 沌 状 态 . 上 述 分 析 结 论 可 通 过 如 下 的 数 字 仿 真 直 观 地 进 行 验 证 . 图 1 是 取 σ=546( 此 时 ρ h = 149)、ρ=20 时 PMSM 的 奇 怪 吸 引 子 . 图 2 是 PMSM 的 最 大 Lyapunov 指 数 随 参 数 ρ 的 变 化 曲 线 . 由 图 2 可 见 : 当 ρ>ρ h 时 ,PMSM 系 统 出 现 了 正 的 Lyapunov 指 数 , 系 统 进 入 混 沌 运 动 状 态 , 这 与 理 论 分 析 的 结 论 是 一 致 的 . 为 了 同 步 2 个 PMSM 系 统 , 在 (9) 式 中 引 入 3 个 控 制 量 u 1 、u 2 和 u 3 后 , 则 受 控 的 响 应 系 统 方 程 为 y { 1 =-y 1 -y 2 y 3 +^ρy3 +v q +u 1 y 2 =-y 2 +y 1 y 3 +v d +u 2 (10) y 3 = ^σ(y1 -y 3 )-T L +u 3 (10) 式 减 (8) 式 , 得 误 差 方 程 e 1 =-e 1 -e 2 e 3 -x 3 e 2 -x 2 e 3 + 槇 ρe 3 +ρe 3 + 槇 ρe 3 +u 1 { e 3 = σ(e 槇 1 -e 3 )+σ(e 1 -e 3 )+ σ(x 槇 1 -x 3 )+u 3 e 2 =-e 2 +e 1 e 3 +x 1 e 3 +x 3 e 1 +u 2 (11) 式 中 : 状 态 误 差 为 e 1 =y 1 -x 1 ,e 2 =y 2 -x 2 ,e 3 =y 3 - x 3 ; 参 数 估 计 误 差 为 槇 ρ=^ρ-ρ, 槇 σ=^σ-σ. 选 择 Lyapunov 函 数 V(e 1 ,e 2 ,e 3 , 槇 ρ, 槇 σ)= 1 2 (e2 1 +e 2 2 +e 2 3 + 槇 ρ 2 + 槇 σ 2 ) 图 1 永 磁 同 步 电 机 的 奇 怪 吸 引 子 Fig.1 StrangeatractorofPMSM V 对 时 间 求 导 数 有 (12) · V =e1 (-e 1 -e 2 e 3 -x 3 e 2 -x 2 e 3 + ρe 槇 3 +ρe 3 + 槇 ρx 3 +u 1 )+e 2 (-e 2 +e 1 e 3 +x 1 e 3 +x 3 e 1 + u 2 )+e 3 [ σ(e 槇 1 -e 3 )+σ(e 1 -e 3 )+ σ(x 槇 1 -x 3 )+u 3 ]+ ρ^ρ· 槇 + σ^σ· 槇 若 取 控 制 律 为 { u 1 =-^ρe3 u 2 =-e 3 x 1 u 3 =-e 3 +e 1 x 2 +^σ(e3 -e 1 ) (13) (14) 图 2 永 磁 同 步 电 机 的 Lyapunov 指 数 Fig.2 LyapunovexponentsofPMSM 3 永 磁 同 步 电 机 的 自 适 应 混 沌 同 步 设 2 个 具 有 相 同 未 知 参 数 的 PMSM 系 统 , 其 中 主 系 统 ( 驱 动 系 统 ) 为 x { 1 =-x 1 -x 2 x 3 +ρx 3 +v q x 2 =-x 2 +x 1 x 3 +v d (8) x 3 =σ(x 1 -x 3 )-T L 从 系 统 ( 响 应 系 统 ) 为 y { 1 =-y 1 -y 2 y 3 +^ρy3 +v q y 2 =-y 2 +y 1 y 3 +v d y 3 = ^σ(y1 -y 3 )-T L 式 中 ^ρ 和 ^σ 分 别 为 未 知 参 数 ρ 和 σ 的 估 计 值 . (9) 参 数 自 适 应 律 为 · ^ρ =-e1 x { 3 · ^σ =-e3 (x 1 -x 3 ) 则 式 (13) 满 足 (15) · V =-(e 2 1 +e 2 2 +e 2 3)≤ 0 (16) 从 而 可 得 e 1 、e 2 、e 3 和 ρ、 槇 σ 槇 是 有 界 的 . 由 (11)、(14) 式 , 可 得 e 1 、e 2 、e 3 也 是 有 界 的 . 再 由 (16) 式 , 可 得 · V =-(e 2 1 +e 2 2 +e 2 3)≤ -e 2 1 上 式 两 边 积 分 , 有 ∫ ∞ 0e 2 1dt≤ V(0)-V(∞)

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