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Fisica I anno: Appunti - STOQ

Fisica I anno: Appunti - STOQ

30 CHAPTER 4.

30 CHAPTER 4. L’OSCILLATORE ARMONICO In ciò siamo salvati dalla terza legge di Newton. Per ogni coppia di particelle l’azione e la reazione sono eguali così che quando addizioniamo le equazioni, se tra due particelle agiscono forze eguali e contrarie la loro somma dà zero. Così il risultato netto è costituito solo da quelle forze che derivano da altre particelle che non sono incluse nell’oggetto, qualunque sia esso, su cui decidiamo di sommare. Così che avremo che la forza esterna su tutto l’oggetto è uguale alla somma di tutte le forze su tutte le particelle che lo costituiscono. Se indichiamo come massa totale la somma di tutte le masse possiamo vedere che un punto di questa massa è soggetto ad una accelerazione: questo punto è il centro di massa. E’ un punto artificiale che si muoverà di velocità costante. Supponiamo di avere una nave spaziale con persone dentro e calcoliamo la posizione del centro di massa, e vediamo che è fermo. Esso rimarrà fermo a meno che non ci siano forze esterne agenti sulla nave spaziale. L’unico modo di far muovere la nave spaziale è quello di camminare avanti ed indietro. Allora la nave spaziale si muoverà in avanti quando le persone camminano verso la parte posteriore e viceversa in modo da mantenere la posizione media di tutte le masse esattamente nello stesso punto. Questo significa che non riusciamo a produrre la propulsione a razzo poichè non riusciamo a muovere il centro di massa? Assolutamente no, troviamo solo che per spingere in avanti un razzo dobbiamo lanciare via una parte di esso che non ci interessa. Infatti se facciamo partire un razzo espelliamo da una parte una piccola quantità di gas e dall’altra il razzo, ma il centro di massa rimane esattamente dove era. Vediamo ora quali proprietà ha il centro di massa. • Una prima proprietà è che se la legge di Newton è esatta su una determinata piccola scala è esatta anche su una scala maggiore. Naturalmente se andiamo a dimensioni sub-atomiche le leggi di Newton non si applicano più. Tuttavia le leggi di Newton sono la coda delle leggi atomiche estrapolate fino a dimensioni molto più grandi. Quindi le leggi di Newton si applicano al di sopra di una dimensione che appartiene alla esperienza quotidiana.

4.1. IL CENTRO DI MASSA ED IL MOMENTO DI INERZIA 31 • Un’altra proprietà del centro di massa è che si applica anche a oggetti non simmetrici. Difatti, in tal caso, basta trovare il centro di massa ad una parte dell’oggetto e poi all’altra trovando il centro di massa dell’uno e dell’altro e poi trovare il centro di massa di queste due parti tra di loro. Questo è il centro di massa dell’intero oggetto. Talvolta il centro di massa è chiamato centro di gravità, questo perchè la gravità può essere considerata uniforme. Infatti se consideriamo che la forza di gravità sia non soltanto proporzionale alla massa, ma sia ovunque parallela ad una certa direzione fissa, allora la forza gravitazionale agisce su ogni singola massa. Allora la forza gravitazionale deve passare per il centro di massa perchè se così non fosse l’oggetto ruoterebbe. Infatti affinchè il corpo non giri il momento prodotto da tutte le forze deve dare come somma zero, perchè se vi è un momento vi è una variazione del momento di quantità di moto, cioè una rotazione. Per trovare il centro di massa è bene conoscere alcuni artifizi. Uno di questi fa uso di quello che è chiamato il teorema di Pappo. Esso dice che se prendiamo un’area chiusa contenuta in un piano e generiamo un solido muovendolo nello spazio in modo che ogni punto si muova perpendicolarmente al piano otteniamo un solido il cui volume è uguale all’area della sezione trasversale moltiplicato per la distanza percorsa dal centro di massa. Questo è vero anche per una traiettoria non perpendicolare perchè per una traiettoria curva la parte esterna percorre un tratto più lungo, mentre quella interna percorre un tratto più corto e questi effetti si contro-bilanciano. Cerchiamo ora il momento di inerzia. Supponiamo di avere un oggetto e di volere misurare il suo momento di inerzia rispetto ad un qualche asse. Se imperniamo l’oggetto nel suo centro di massa così che l’oggetto non giri quando ruota attorno all’asse, allora le forze per spingerlo attorno all’asse sono le stesse come se tutta la massa fosse concentrata nel centro di massa ed il momento di inerzia è semplicemente il prodotto della massa per il quadrato della distanza dall’asse al centro di massa. Il momento di inerzia è dato quindi dal prodotto della massa per il quadrato della distanza dell’asse.

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