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Fisica I anno: Appunti - STOQ

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68 CHAPTER 7.

68 CHAPTER 7. L’ELETTROMAGNETISMO: LE FORZE ELETTRICHE ∇ × E = ∂B δt ∇ · B = 0 c 2 ∇ × B = ∂E δt + j ɛ 0 dove ρ è la densità di carica per unità di volume e j è la densità di corrente. Vediamo ora quale è il significato di gradiente di rotore e quello di divergenza. L’interpretazione di queste grandezze si ottiene per mezzo di certi integrali ed equazioni che li riguardano. Cominciamo dalla formula dell’integrale di gradiente. Il gradiente rappresenta la variazione di una grandezza di campo per uno spostamento unitario. Se integriamo il gradiente su un certo cammino dovremo ottenere la variazione continua. L’integrazione avviene lungo la curva che definisce il cammino. Adesso definiamo la divergenza. Poniamo di essere in un punto all’interno di un volume e pensiamo che questo sia attraversato da un flusso (calore ad esempio), ebbene la divergenza di un vettore C in quel punto è il flusso uscente di C per unità di volume nell’intorno di quel punto. Analogamente vediamo di analizzare il rotore, cioè quello che si chiama la circolazione di un campo vettoriale. Se C è un campo vettoriale qualunque, prendiamo la componente lungo una linea chiusa ed integriamola lungo l’intero percorso della curva. Questo integrale è chiamato la circolazione del vettore attorno alla curva (prendendolo a prestito dalla circolazione di un liquido). La circolazione di C attorno ad una curva M è l’integrale di linea della componente tangenziale di C. L’integrale è lungo tutta la curva chiusa nello spazio e non punto da punto. Si indica con ∮ .

7.2. L’ELETTROSTATICA 69 7.2 L’Elettrostatica Siccome le situazioni descritte possono essere molto complicate, le semplificheremo trattando il caso in cui non c’e’ dipendenza dal tempo. In tal modo avremo la elettrostatica nella quale le derivate temporali del campo sono nulle e quindi le equazioni stesse diventano molto più semplici. Nel caso della Elettrostatica avremo che la divergenza del campo elettrico dipende dalla carica ed il rotore è nullo, mentre nella magnetodinamica il rotore del campo magnetico dipende dalla corrente e la divergenza del compo magnetico è nulla. Appare evidente che quando non ci sono dipendenze forti dei campi dal tempo l’elettricità ed il magnetismo sono fenomeni distinti finchè cariche e correnti sono statiche. Il modo più corrente di presentare la teoria dell’elettromagnetismo è quello di partire dall’elettrostatica e così di imparare il concetto di divergenza e poi quella di rotore. Per giungere alle leggi della elettrostatica conviene partire dalla legge di Coulomb che ci dice che tra due cariche in quiete si ha una forza direttamente proporzionale ed inversamente al quadrato della loro distanza. Quando sono presenti più cariche dobbiamo completare la legge di Coulomb con un altro fatto naturale: la forza su di una carica generica è la somma vettoriale delle forze di Coulomb esercitate da tutte le altre cariche. Nell’applicare la legge di Coulomb è comodo introdurre l’idea del campo elettrico. Esso si definisce come la forza per unità di carica su una delle due cariche. Allora dividendo la legge di Coulomb per una delle due cariche avremo il campo elettrico che descrive una certa proprietà del punto, ad esempio 1, che sussiste anche se la carica non si trova e questo si esprime dicendo che il campo nel punto 1 è E1. Il campo elettrico è un vettore e se sono presenti più cariche è dato dalla somma delle cariche. E spesso comodo trascurare il fatto che le cariche si presentino in blocchi e pensarle come se fossero una distribuzione continua. Allora una distribuzione di carica si descrive mediante la densità di carica. Se la quantità di carica è definita in un volume molto piccolo ∆V scriveremo la relazione come differenza finita che può essere estesa ad un volume più ampio mediante un integrale fatto sul differenziale dV esteso a tutto lo spazio. L’uso di integrali ci permette di estendere la carica a superfici di qualsiasi natura.

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