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Fisica I anno: Appunti - STOQ

Fisica I anno: Appunti - STOQ

70 CHAPTER 7.

70 CHAPTER 7. L’ELETTROMAGNETISMO: LE FORZE ELETTRICHE 7.3 Il potenziale elettrico Cominciamo con il potenziale elettrico il quale è legato al lavoro compiuto per portare una carica da un punto ad un altro. In realtà è il lavoro che viene compiuto contro le forze elettriche per trasportare una carica da a a b lungo un cammino. Niente vieta di ritornare da b a a con un cammino diverso. Tale percorso può essere tale che il lavoro ottenuto è maggiore di quello fornito. In linea di principio non vi è nulla di impossibile nel fatto di ottenere energia da un campo. Siccome però la sola cosa che appare è la differenza dei valori nei punti del campo , una volta che si sia scelto un punto di riferimento ad ogni punto dello spazio corrisponde un potenziale elettrostatico. Il potenziale ha un significato fisico: esso è l’energia potenziale che avrebbe la carica se fosse portata nel punto specificato del campo partendo da un certo punto di riferimento. Da questo se ne deduce che esiste una relazione diretta tra il campo elettrico ed il gradiente del potenziale elettrico e che il lavoro fatto su di un cammino chiuso è zero o in termini matematici il rotore del campo elettrico è nullo. Ma tutto ciò deriva solo dalla simmetria radiale. Chiediamoci qual’è il flusso del campo elettrico che esce da una superficie chiusa arbitraria nelle vicinanze di una carica elettrica? Esso è ZERO. Tale risultato è differente se la superficie circonda la carica. Difatti in questo caso il flusso è dato dalla carica. E’ come se facessimo l’analogia con un cannone. Il flusso netto di proiettili attraverso una superficie è nullo se la superficie non contiene il cannone che spara i proiettili. Se il cannone è racchiuso da una superficie di qualsiasi forma e dimensione il flusso netto è dato dal numero di proiettili che il cannone produce. Fin’ora abbiamo dimostrato i nostri risultati per una carica singola. Supponiamo ora di avere due cariche. Il problema si complica. Il flusso in presenza delle due cariche sarà il flusso dovuto ad una carica più il flusso dell’altra carica.

7.3. IL POTENZIALE ELETTRICO 71 Se una carica è interna e l’altra esterna , solo quella interna fornirà il flusso essendo l’altra zero. Nel caso che ambedue siano all’interno il flusso sarà la somma delle cariche. Questa è la legge di Gauss La legge di Gauss ci dice anche che l’esponente nella legge di Coulomb è due non 3 o altro valore. Ora applichiamo la legge di Gauss per il flusso di campo elettrico uscente da un cubetto. Abbiamo visto che è il prodotto della divergenza del campo per il volume del cubetto, ma siccome il campo dipende dalla densità della carica per il volumetto avremo che la divergenza del campo dipende dalla densità della carica. Applichiamo la legge di Gauss ad una sfera carica. Qual’è il campo? Siccome non abbiamo a che fare con una direzione privilegiata il flusso uscente è quello che si ha su tutta la superficie. Ma poichè per la legge di Gauss il flusso è uguale alla carica è evidente che si ottiene la legge di Coulomb senza dover fare alcuna integrazione. Ciò ci permette di risolvere il problema di Newton sulla gravitazione usando una sferetta carica. Se poi guardiamo le implicazioni geometriche della elettrostatica ci accorgeremo che le linee del campo sono radiali per una carica singola e sono linee equipotenziali per due cariche uguali, ma di segno opposto.

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