Correzione esame del 21/07/2011 Esercizio 1 La cinetica del ...

Correzione esame del 21/07/2011
Esercizio 1
La cinetica del tracciato del modello compartimentale di figura 1 è descritta dal seguente
sistema di equazioni differenziali:
Figura 1: modello compartimentale esercizio 1
!! !
!" = − ! !" + ! !" ! ! + ! !" ! ! + !"
!! !
!" = ! !"! ! − ! !" + ! !" ! !
!! !
!" = ! !"! ! − ! !" ! !
Le equazioni per la cinetica del tracciante sono:
!! !
!" = − ! !" + ! !" ! ! + ! !" ! ! + !"1
!! !
!" = ! !"! ! − ! !" + ! !" ! !
!! !
!" = ! !"! ! − ! !" ! !
! ! ! = ! !
! !
! ! ! = ! !
! !
dove qi sono funzioni del tempo con condizioni iniziali nulle, ! ! ! = 0 = 0.
Queste equazioni possono essere nella matriciale come:
! !x = Ax + Bu
"
# y = Cx

"
$
con A = $
$
$
#
( ) k 12
0
k 21
!( k 12
+ k 32 ) 0
! k 21
+ k 01
0 k 32
!k 03
%
'
!
#
' , B = #
'
#
'
&
"
1
0
0
!
$ #
& #
& e C = #
&
% #
"
0
0 0
1
V 2
0
1
V 3
$
&
&
& .
&
%
Poiché ci sono due uscite ed un ingresso, ci saranno due funzioni di trasferimento, H11 e H21 :
La funzione di trasferimento del sistema nel dominio di Laplace è:
H(s) = C( s ! I " A) "1 B
con
k
H 11
=
21
/V 2
k 01
k 12
+ k 01
k 32
+ k 21
k 32
+ ( k 01
+ k 12
+ k 21
+ k 32 )s + s 2
H 21
=
k 21
k 32
/V 3
( )s + …
( k 01
k 12
k 03
+ k 01
k 32
k 03
+ k 21
k 32
k 03 ) + k 01
k 12
+ k 01
k 32
+ k 21
k 32
+ k 01
k 03
+ k 12
k 03
+ k 21
k 03
+ k 32
k 03
…… + ( k01 + k 12
+ k 21
+ k 32
+ k 03 )s 2 + s 3
che possono essere riscritte come:
H 11
=
H 21
=
! 1
11
" 1 11 +" 2 11 s + s 2
! 1
21
" 1 21 +" 2 21 s +" 3 21 s 2 + s 3
Si definisce quindi il seguente sommario esaustivo
!! 11 1
= k 21
/V 2
#
#! 11 1
= k 01
k 12
+ k 01
k 32
+ k 21
k 32
#
! 11 2
= k 01
+ k 12
+ k 21
+ k 32
#
"! 21 1
= k 21
k 32
/V 3
#
#! 21 1
= k 01
k 12
k 03
+ k 01
k 32
k 03
+ k 21
k 32
k 03
#! 21 2
= k 01
k 12
+ k 01
k 32
+ k 21
k 32
+ k 01
k 03
+ k 12
k 03
+ k 21
k 03
+ k 32
k
#
03
$ #! 21 3
= k 01
+ k 12
+ k 21
+ k 32
+ k 03
E’ un sistema non lineare con7 equazioni in 7 incognite. In questo momento non è possibile
dire nulla sull’identificabilità del sistema. Il sistema inserito in Matlab non formisce alcuna
soluzione.
Definito p il vettore dei parametri:
p = [ k 01
, k 21
, k 12
, k 32
, k 03
,V 2
,V 3 ]

si costruisce la matrice della funzione di trasferimento come:
"
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
G = $
$
$
$
$
$
$
$
$
$
#
$
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
!k 01
!k 21
!k 12
!k 32
!k 03
!V 2
!V 3
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
11
!! 1
!k 01
!k 21
!k 12
!k 32
!k 03
!V 2
!V 3
11
!! 2
11
!! 2
11
!! 2
11
!! 2
11
!! 2
11
!! 2
11
!! 2
!k 01
!k 21
!k 12
!k 32
!k 03
!V 2
!V 3
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
!k 01
!k 21
!k 12
!k 32
!k 03
!V 2
!V 3
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
21
!! 1
!k 01
!k 21
!k 12
!k 32
!k 03
!V 2
!V 3
21
!! 2
21
!! 2
21
!! 2
21
!! 2
21
!! 2
21
!! 2
21
!! 2
!k 01
!k 21
!k 12
!k 32
!k 03
!V 2
!V 3
21
!! 3
21
!! 3
21
!! 3
21
!! 3
21
!! 3
21
!! 3
21
!! 3
!k 01
!k 21
!k 12
!k 32
!k 03
!V 2
!V 3
%
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
' =
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&
'
"
$
$
$
$
$
$
= $
$
$
$
$
$
$
# $
0
1
V 2
0 0 0 ! k 21
V 2
2
0
k 12
+ k 32
k 32
k 01
k 01
+ k 21
0 0 0
1 1 1 1 0 0 0
k
0
32
k
0
21
0 0 ! k k 21 32
2
V 3
V 3
V 3
k 12
k 03
+ k 32
k 03
k 32
k 03
k 01
k 03
k 01
k 03
+ k 21
k 03
k 01
k 12
+ k 01
k 32
+ k 21
k 32
0 0
k 12
+ k 32
+ k 03
k 32
+ k 03
k 01
+ k 03
k 01
+ k 21
+ k 03
k 01
+ k 12
+ k 21
+ k 32
0 0
1 1 1 1 1 0 0
%
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&'
Il rango di G è uguale a 5, il numero dei parametri è 7, pertanto il sistema non è univocamente
identificabile.
Esercizio 2
Step per la risoluzione dell’esercizio:
1) trasformare la serie di dati in un dataset “binario”
• calcolo della mediana, pari ad 5.0
• porre uguale a 0 i valori inferiori alla mediana, uguale ad 1 tutti i valori
maggiori:
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0
2) contare:
• il numero totale di "0” (n): 11
• il numero totale di “1”(m): 11
• il numero di runs (R): 9

3) calcolare:
• il valore atteso di R: ! = !!"
!!! + 1 = 12
• e la varianza di tale valore: ! ! = !!"(!!"!!!!)
!!! ! !!!!! = 5.24
• la variabile casuale standard: ! = !!!
! = −1.31
4) confrontare il valore del modulo di Z con 1.96 (coefficiente di confidenza del 95%): il
valore di Z ottenuto è inferiore (in modulo) a 1.96, quindi la sequenza analizzata
rappresenta un campionamento casuale.
Esercizio 3
Formula per il calcolo del numero di condizionamento:
! = ! ! !! = ! !"# ! ! !
! !"# ! ! !
dove λi indica gli autovalori della matrice, ossia le radici del polinomio caratteristico.
Nel problema in esame, il polinomio caratteristico vale
le cui radici sono λ1=λ2=3+ 8, λ3= λ4 =3− 8.
! ! − 12! ! + 38! ! − 12! + 1
Il numero di condizionamento vale quindi 5.828.
Di seguito sono riportati i colcoli svolti “a mano”, a partire dalla matrice A T A.