Esistenza di una funzione di utilit`a continua per preferenze non ...

Esistenza di una funzione di utilità continua
per preferenze non complete
Gianni Bosi Alessandro Caterino Rita Ceppitelli
Università di Trieste Università di Perugia Università di Perugia
Extended abstract
Il problema relativo all’esistenza di una funzione di utilità continua per un preordine
non necessariamente totale su uno spazio topologico è stato studiato da diversi autori,
a cominciare dal fondamentale articolo di Peleg [14], il quale introdusse il concetto di
spaziosità di un ordine parziale.
Ricordiamo che, dato un insieme preordinato (X, ), una funzione
u : (X, ) −→ (R, ≤) è una funzione di utilità per il preordine sull’insieme X se
per ogni coppia di elementi (x, y) ∈ X × X risulta:
(i) x y ⇒ u(x) ≤ u(y);
(ii) x ≺ y ⇒ u(x) < u(y).
Nello spirito dell’approccio illuminante di Nachbin [13], Mehta [11, 12] si propose di
combinare i classici argomenti della teoria dell’utilità matematica con alcuni importanti
risultati di topologia generale. Così facendo, fu in grado di stabilire condizioni molto
generali per l’esistenza di una funzione di utilità continua per un preordine non necessariamente
totale su uno spazio topologico. Una raccolta molto ricca di tali risultati si trova
nel libro di Bridges e Mehta [2].
È stato peraltro Herden a caratterizzare l’esistenza di una funzione di utilità continua
introducendo il concetto di sistema lineare separabile (o scala decrescente) in uno
spazio topologico preordinato (si veda Herden [7, Teorema 4.1] e Herden [8, Teorema 3.1]).
I classici teoremi di Eilenberg-Debreu e Debreu (si veda Debreu [4] ed Eilenberg [5]), i
quali garantiscono l’esistenza di una funzione di utilità continua per un preordine totale
e continuo su uno spazio topologico connesso e separabile e rispettivamente a base numerabile,
rientrano come casi particolari della caratterizzazione di Herden.
In tempi più recenti, Herden e Pallack [9] hanno introdotto il concetto di un
preordine debolmente continuo su uno spazio topologico (X, τ), intendendosi con tale
definizione che per ogni coppia di elementi (x, y) ∈ X × X con x ≺ y esiste una funzione
u xy : (X, τ, ) −→ (R, τ nat , ≤) isotóna (nel senso che u xy (z) ≤ u xy (w) per ogni coppia
di elementi (z, w) ∈ X × X con z w) e continua su (X, τ) tale che u xy (x) < u xy (y)
(si veda anche Bosi e Herden [1]).
Herden e Pallack [9, Teorema 2.15] hanno dimostrato che solamente il teorema di
Debreu può essere esteso al caso di un preordine non totale debolmente continuo. Proprio
sulla scorta della dimostrazione dei succitati autori, è facile provare che, più in generale,
vale il seguente teorema.
Teorema. Sia (X, τ, ) uno spazio topologico preordinato e supponiamo che sia un
preordine debolmente continuo. Se la topologia τ × τ su X × X è ereditariamente di
Lindelöf, allora esiste una funzione di utilità continua u per .
✷
1

Le ipotesi del teorema precedente garantiscono l’esistenza di una famiglia numerabile
{u n } n∈N\{0} di funzioni continue su (X, τ) ed isotóne tale che per ogni coppia di elementi
(x, y) ∈ X × X con x ≺ y esiste n ∈ N \ {0} con u n (x) < u n (y). Allora u := ∑ ∞
n=1 2−n u n
è una funzione di utilità continua per il preordine .
Ricordiamo che una topologia τ su un insieme X si dice ereditariamente di Lindelöf se
per ogni sottoinsieme A di X e per ogni ricoprimento aperto di A esiste un sottoricoprimento
numerabile. È quasi immediato rendersi conto che una topologia τ su un insieme
X che sia a base numerabile risulta essere ereditariamente di Lindelöf. Così, dal momento
che un preordine totale su uno spazio topologico (X, τ) è debolmente continuo se e solo
se è continuo (cioè se L ≺ (x) = {z ≺ x : z ∈ X} e U ≺ (x) = {x ≺ z : z ∈ X} sono sottoinsiemi
aperti di X per ogni elemento x ∈ X), il teorema sopra enunciatato costituisce in
effetti una generalizzazione del Teorema di Debreu.
Si tratta quindi di trovare opportune condizioni su una topologia τ che garantiscano
che la topologia prodotto sia ereditariamente di Lindelöf.
Una di queste possibili condizioni fa riferimento alla nozione di network. Ricordiamo
che se (X, τ) è uno spazio topologico, allora una famiglia N di sottoinsiemi di X è un
network per (X, τ) se ogni sottoinsieme aperto di X è unione di elementi di N . Il network
weight (o net weight) di uno spazio topologico (X, τ) è definito nella maniera seguente:
nw(X, τ) = min{|N | : N è un network per (X, τ)} + ℵ 0 ,
dove ℵ 0 indica come al solito il più piccolo numero cardinale infinito.
Se uno spazio topologico (X, τ) ha net weight numerabile, allora la topologia τ è
ereditariamente di Lindelöf. Poichè la proprietà di avere net weight numerabile è numerabilmente
produttiva ed ereditaria, allora un prodotto numerabile di spazi con net weight
numerabile è ereditariamente di Lindelöf. Vale allora la seguente proposizione.
Proposizione 1. Sia (X, τ, ) uno spazio topologico preordinato e supponiamo che sia
un preordine debolmente continuo. Se lo spazio topologico (X, τ) ha net weight numerabile,
allora esiste una funzione di utilità continua u per .
✷
In particolare, poichè ogni spazio numerabile ha net weight numerabile, otteniamo il
seguente corollario.
Corollario 1. Sia (X, τ, ) uno spazio topologico preordinato e supponiamo che sia un
preordine debolmente continuo. Se l’insieme X è numerabile, allora esiste una funzione
di utilità continua u per .
✷
Il corollario precedente ha qualche interesse dal momento che esistono spazi topologici
numerabili che non hanno una base numerabile, situazione questa che preclude il ricorso
al succitato risultato di Herden e Pallack [9].
Al fine di presentare un’ulteriore conseguenza della proposizione precedente,
ricordiamo che uno spazio topologico (X, τ) si dice submetrizzabile se esiste su X una
topologia τ ′ meno fine di τ che sia metrizzabile. Dal momento che ogni sottospazio
compatto di uno spazio topologico submetrizzabile è metrizzabile e quindi a base numerabile,
non è difficile rendersi conto che uno spazio topologico (X, τ) che sia submetrizzabile
e σ-compatto ha net weight numerabile. Vale allora il seguente risultato.
2

Corollario 2. Sia (X, τ, ) uno spazio topologico preordinato e supponiamo che sia
un preordine debolmente continuo. Se lo spazio topologico (X, τ) è submetrizzabile e σ-
compatto, allora esiste una funzione di utilità continua u per .
✷
Ricordiamo che un preordine su uno spazio topologico (X, τ) si dice chiuso se è
un sottoinsieme chiuso di X × X. Herden e Pallack [9] hanno provato che ogni preordine
chiuso su uno spazio localmente compatto e a base numerabile è debolmente continuo.
Ciò ha permesso agli autori di riottenere il noto Teorema di Levin [10] per preordini chiusi
non totali. Abbiamo provato che anche nelle ipotesi più generali di uno spazio emicompatto
(cioè uno spazio che ammette una famiglia numerabile cofinale rispetto all’inclusione
nella famiglia di tutti i sottospazi compatti) e κ-spazio (cioè uno spazio in cui i chiusi
sono esattamente i sottoinsiemi la cui intersezione con ogni compatto è un chiuso del
compatto stesso) ogni preordine chiuso è debolmente continuo. Alla luce del Corollario 2
quest’ultimo risultato permette di riottenere la seguente generalizzazione del Teorema di
Levin già provata in Caterino e Ceppitelli [3].
Proposizione 2. Sia (X, τ, ) uno spazio topologico preordinato e supponiamo che
sia un preordine chiuso. Se lo spazio topologico (X, τ) è submetrizzabile, emicompatto e
κ-spazio, allora esiste una funzione di utilità continua u per .
✷
References
[1] G. Bosi and G. Herden, “On a strong continuous analogue of the Szpilrajn theorem
and its strengthening by Dushnik and Miller”, Order 22 (2005), 329-342.
[2] D. S. Bridges, G. B. Mehta, Representations of Preference Orderings, Springer-
Verlag, Berlin, 1995.
[3] A. Caterino, R. Ceppitelli, Continuous utility on hemicompact submetrizable k-
spaces, preprint, 2005
[4] G. Debreu, Continuity properties of a Paretian utility, International Economic Review
5 (1964), 285-293.
[5] S. Eilenberg, Ordered topological spaces, American Journal of Mathematics 63
(1941), 39-45.
[6] R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.
[7] G. Herden, On the Existence of Utility Functions, Mathematical Social Sciences 17
(1989), 297-313.
[8] G. Herden, On the Existence of Utility Functions II, Mathematical Social Sciences
18 (1989), 107-117.
[9] G. Herden , A. Pallack, On the continuous analogue of the Szpilrajn Theorem I,
Mathematical Social Sciences 43 (2002), 115-134.
[10] V.L. Levin, A continuous utility theorem for closed preorders on a σ-compact metrizable
space, Soviet Mathematics Doklady 28 (1983), 715-718.
3

[11] G. B. Mehta, Some General Theorems on the Existence of Order-Preserving
Functions, Mathematical Social Sciences 15 (1988), 135-146.
[12] G. B. Mehta, Preference and Utility, in Handbook of Utility Theory, Volume 1, eds. S.
Barberá, P. Hammond and C. Seidl. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1-47,
1998.
[13] L. Nachbin, Topology and order, Van Nostrand, Princeton, 1965.
[14] B. Peleg, Utility functions for partially ordered topological spaces, Econometrica 38
(1970), 93-96.
4