topografia 3 calcolo delle aree

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topografia 3 calcolo delle aree

CALCOLO DELLE AREE


Concetti generali

Metodi numerici

Concetti generali

Area di un triangolo e formula di camminamento

Formula di Erone

Coordinate polari

Coordinate cartesiane

Indice

Metodi grafo numerici

Trilaterazioni e allineamenti

Metodi grafici

Concetti generali

Bezòut

Cavalieri - Simpson

Concetti generali

Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data

Integrazione grafica


Concetti generali

In questa unità viene affrontata quella parte dell’agrimensura

che tratta dei metodi di calcolo delle aree delle superfici

agrarie dei terreni

La “superficie agraria” è quella che si ottiene proiettando i

punti della superficie fisica del terreno sul piano orizzontale di

riferimento

Mentre la superficie fisica può subire nel tempo notevoli

variazioni, la superficie agraria si modifica solo se vengono

cambiati i suoi confini

Alla superficie agraria sono riferiti molti parametri

caratteristici di un terreno quali ad esempio la sua produttività

e gli indici di fabbricazione


Concetti generali.

Metodi per il calcolo delle

aree

Il calcolo dell’area della superficie agraria si effettua con metodi:


numerici


grafo numerici


grafici


Concetti generali.

L’ettaro e i suoi sottomultipli ara e

centiara


L’ETTARO (ha) corrisponde a 10000 m 2


ARA (aa) corrisponde a 100 m 2


CENTIARA (ca) corrisponde a 1 m 2

2260 m 2 sono

14135 m 2 sono

ha

0

ha

1

aa

22

aa

41

ca

60

ca

35


METODI NUMERICI PER IL CALCOLO

DELLE AREE


Concetti generali

I metodi numerici o analitici utilizzano per il calcolo delle

aree, angoli e distanze misurate nella esecuzione di un

rilievo. La scelta della procedura geometrica e della

formula da impiegare, dipendono essenzialmente dal tipo di

rilievo effettuato in campagna per definire il contorno

dell’appezzamento


Area di un triangolo e

formula di

camminamento

A

S t

= 0,5 x AB x AC x sen A

B

X

X

B


D

A

Â

X

X

X

C

Ĉ

C

FORMULA DI CAMMINAMENTO

S t

= 0,5 x [AB x BC x sen B + BC x CD x sen C – AB x CD x sen (B + C)]


Formula di Erone

Se sono noti i tre lati di un triangolo l’area si ottiene dalla

“formula di Erone”

S ABC = √ [ p x ( p – AB ) x ( p – BC ) x ( p – CA ) ]

A

in cui

p = ( AB + BC + CA ) / 2

è il semiperimetro

B

C


Coordinate polari

Se da un punto esterno di stazione S si misurano le distanze SA, SB,

SC e gli angoli (SB) e (SC) l’area dell’appezzamento triangolare ABC

si ottiene dalla somma delle aree dei tre triangoli SAB, SBC, SAC

0 C

S ABC

ABC

= S SAB + S SBC – S SAC

A

S SAB = 0,5 x SA x SB x sen (SB)

S SBC = 0,5 x SB x SC x sen [(SC) – (SB)]

B

S SAC = 0,5 x SA x SC x sen (SC)

S

(SB)

(SC)

C


Coordinate polari

0 C

B

AB AB

A

(AC)

AC

C

(AD)

AD AD

D

Se facciamo stazione in uno dei vertici, ad esempio A, e dopo aver orientato il

C.O. su B si misurano le distanze AB, AC, AD e gli azimut (AC) e (AD) si ottiene

S t

= S BAC + S CAD

S BAC = 0,5 x AB x AC x sen (AC)

S CAD = 0,5 x AC x AD x sen [ (AD) – (AC) ]


Coordinate

cartesiane

Y

Note le coordinate cartesiane dei vertici di

un poligono l’area si può calcolare applicando

B

la “formula di Gauss”

C

A

X

S ABC = 0.5 x [ y a x (x b - x c ) + y b x (x c - x a ) + y c x (x a – x b ) ]

L’area assume un segno diverso (+/(

+/-) ) se il poligono considerato è

percorso in senso orario o antiorario


Coordinate

cartesiane

Y

B

A

C

X

D

S ABC = 0.5 x [ y a x (x d - x b ) + y d x (x c - x a ) + y c x (x b – x d ) + y b x (x a – x c ) ]


Coordinate

cartesiane

Y

B

C

Yc

D

A

Yb

Yd

S ABCD

ABCD

= (S A’ABB’ + S B’BCC’ + S C’CDD’ ) – S A’ADD’

O

Ya

A’ B’

C’ D’

Xa

Xb

Xc

Xd

X

S A’ABB’ = 0,5 x [(Y a

+ Y b

) x (X b

- X a

)]

S B’BCC’ = 0,5 x [(Y b

+ Y c

) x (X c

- X b

)]

S C’CDD’ = 0,5 x [(Y c

+ Y d

) x (X d

- X c

)]

S A’ADD’ = 0,5 x [(Y a

+ Y d

) x (X d

- X a

)]


Trilaterazioni e

allineamenti

Se un appezzamento è stato rilevato per

trilaterazione, misurandone tutti i lati, l’area totale

si ottiene sommando le aree dei triangoli in cui è

stato diviso l’appezzamento in fase di rilievo. Per il

calcolo delle aree triangolari si applica la formula di

AB

B

BC

C

Erone

A

BD BD

S ABCD

ABCD

= S ABD + S BCD

DC DC

S ABD = √ [p p x (p –AB) x (p – BD) x (p – AD)]

AD

S BCD = √ [p p x (p –BC) x (p – DC) x (p – BD)]

D


Trilaterazioni e

allineamenti

C

S ABCD

ABCD

= S ABB’ + S B’BCC’ + S C’CD + S AE’E + S EE’D

B

S ABB’ = 0,5 x AB’ x B’B

S B’BCC’ = 0,5 x (B’B + C’C) x B’C’

S C’CD = 0,5 x C’D x C’C

A

B’

E’

C’

D

S AE’E = 0,5 x AE’ x E’E

S EE’D = 0,5 x EE’ x E’D

E


METODI GRAFO - NUMERICI PER IL

CALCOLO DELLE AREE


Concetti generali

I metodi grafo –

numerici consentono, di calcolare l’area di

appezzamenti rappresentati graficamente. Questi metodi sono più

rapidi ma anche meno precisi di quelli numerici. Infatti la loro

precisione risente, oltre che degli eventuali errori commessi nelle

misure prese sul terreno per costruire la mappa, anche delle inevitabili

approssimazioni sia della rappresentazione grafica che delle

grandezze su di essa misurate. Conviene applicare questi metodi ad

appezzamenti con contorno parzialmente o totalmente curvilineo.


Scale di rappresentazione

grafica

SCALA

CARTA

REALTA’

1 : 100

100 cm

1 m

1 : 1000

1000 cm

10 m

1 : 2000

1 : 5000

1 cm

2000 cm

5000 cm

20 m

50 m

1 : 10000

10000 cm

100 m

1 : 25000

25000 cm

250 m


Formula di Bézout

Supponiamo di dover calcolare l’area dell’appezzamento ABCD, con BC curvilineo.

Si divide AD in n parti uguali di lunghezza d e dai punti di divisione si tracciano le

ordinate y 0

, y 1

, y 2

, ......... Y n

. Si sostituiscono gli archi di ogni striscia (trapezio

mistilineo) con le corde. L’appezzamento risulta così diviso in trapezi rettangoli

di stessa altezza d. . Più piccola è l’altezza più la corda approssima l’arco che

sostituisce migliorando il calcolo finale dell’area dell’appezzamento

B

C

y 0 y 1 y 2 Y n -1 Y n

A

d d d

D


Formula di Bézout

B

C

y 0

y 1

y 2

Y n -1

Y n

A

d d d

L’area si ottiene dalla formula

D

S = 1/2 x (y 0

+ y 1

) x d + 1/2 x (y 1

+ y 2

) x d + ...... + 1/2 x (y n-1

+ y n

) x d

considerando che l’altezza d è comune a tutti i termini e che le ordinate y 0

e y n

compaiono una sola

volta divise per 2, semplificando di ottiene la formula di Bézout

S = d x [ 1/2 x (y o

+ y n

) + y 1

+ y 2

+ ...... + y n-1

]

se le ordinate estreme sono nulle la precedente formula diventa

S = d x ( y 1

+ y 2

+ ...... + y n-1

)


Formula di Bézout

B

C

A

Y ’ 1

Y ’ 2

Y ’ 3

Y ’ n - 1

B’

C’

A’

B’’

C’’

Nel caso di appezzamenti totalmente curvilinei, l’area si

ottiene dalla formula

S = d x ( y ’ 1

+ y ’ 2

+ ...... + y ’ n-1

)


Formula di

Cavalieri - Simpson

B

C

S 1

S 2

y 0 y 1 y 2 Y n

A

d d d

2d

D

Vogliamo calcolare l’area dell’appezzamento parzialmente curvilineo ABCD. Si

procede come con Bézout dividendo la base AD in un numero pari di intervalli n

di stessa ampiezza d. L’area totale si ottiene dalla somma delle aree parziali di

due trapezi mistilinei adiacenti di altezza 2d. L’area S 1

della prima coppia è

data dalla somma di due aree parziali: quella del trapezio rettangolo di basi y o

e y 2

più l’ area del settore parzialmente curvilineo. Quest’ultima si può ritenere

uguale ai 2/3 dell’area del parallelogramma che circoscrive il settore s

curvilineo


Formula di

Cavalieri - Simpson

L’area S 1

si ottiene dalla relazione

S 1

= 1/2 x (y o

+ y 2

) x 2d + 2/3 x [ y 1

– (y o

+ y 2

) / 2 ] x 2d

B

effettuando i prodotti e raccogliendo d/3 si ottiene

S 1

= 1/3 x d x (y o

+ 4y 1

+ y 2

)

indicando con S 2

, S 3

, ...... Le aree delle successive coppie possiamo

scrivere per analogia

S 2

= 1/3 x d x (y 2

+ 4y 3

+ y 4

)

y 0 y 1 y 2

S 3

= 1/3 x d x (y 4

+ 4y 5

+ y 6

)

S 1

Sommando tra loro le aree parziali si ottiene la formula di

Cavalieri – Simpson che permette il calcolo dell’area totale

S = 1/3 x d x [y o

+ y n

+ 4(y 1

+ y 3

+ ...) + 2(y 2

+ y 4

+ ...)]

A

d

2d

d


METODI GRAFICI PER IL CALCOLO

DELLE AREE


Concetti generali

I metodi grafici per il calcolo delle aree consistono nel

trasformare appezzamenti di forma poligonale in

triangoli o rettangoli equivalenti. Dei triangoli e

rettangoli viene scelta dal tecnico la base e

determinata graficamente, mediante opportune

costruzioni, l’altezza


Trasformazione di un trapezio in un

rettangolo equivalente di base data

F

B

N

C

G

h

h

O b

E A M D

Scelta in maniera conveniente la base b del rettangolo, l’incognita del problema è la sua altezza

h. . Il valore di h deve essere tale che, se moltiplicata per la base fissata, il rettangolo r

sia

equivalente al trapezio dato ABCD


Trasformazione di un trapezio in un

rettangolo equivalente di base data

F

B

N

C

G

h

h

O b

E A M D

Costruzione grafica

si traccia la base media MN = (AB + CD)/2

si proietta N sulla verticale per E individuando il punto F

si congiunge F con O

da A si traccia la parallela ad OF fino ad incontrare in G la base CD del trapezio

h = GD è l’altezza cercata


Trasformazione di un trapezio in un

rettangolo equivalente di base data

F

B

N

C

G

h

h

O b

E A M D

Si deve dimostrare quindi che il rettangolo b x h, , ottenuto dalla costruzione grafica è equivalente al trapezio

ABCD. Dalla similitudine dei due triangoli rettangoli OEF e ADG si ottiene che:

AD : h = b : EF

b x h = AD x EF

EF = MN = (AB + CD)/2

b x h = AD x (AB + CD)/2


Integrazione grafica

D

C

Il rettangolo è equivalente

all’appezzamento poligonale

ABCDE

B

b

A

E

Si definisce integrazione grafica il metodo con il quale un poligono viene

trasformato in un rettangolo equivalente di base data


Integrazione grafica

D

C

B

h 2

h 3

h 1

O

b

A

E

Ipotizziamo di dover calcolare l’area dell’appezzamento poligonale le ABCDE. Scelta in maniera conveniente

la base b del rettangolo, base di integrazione, , si divide il poligono in figure semplici (triangoli e trapezi).

Applicando il procedimento di trasformazione “di“

un trapezio in un rettangolo equivalente” ” si

determinano le altezze h 1

, h 2

, ....... di ogni figura semplice in cui risulta divisa l’area poligonale p

ABCDE


Integrazione grafica

D

C

B

S 3

S 2

S 1

h 2

h 3

h 1

O

b

A

E

Le aree parziali si calcolano moltiplicando le altezze h 1

, h 2

, h 3

, ......, per la base b

S 1

= b x h 1

S 2

= b x h 2

S 3

= bx h 3

sommando le aree parziali si ottiene l’area totale dell’appezzamento ento poligonale ABCDE

S t

= S 1

+ S 2

+ S 3

= b x h 1

+ b x h 2

+ b x h 3

= b x ( h 1

+ h 2

+ h 3

) = b x H

in cui H è l’altezza totale del rettangolo equivalente che si ottiene tiene sommando le altezze parziali

H = h 1

+ h 2

+ h 3

+ ......


Integrazione grafica

D

C

H

linea integrale

B

2

H = h 1

+ h 2

+ h 3

h 1 + h 2

1

h 1

O

b

A

E

L’altezza totale H si ottiene graficamente riportando dall’estremo 1 il segmento

inclinato che permette di individuare l’altezza parziale h 2

, e successivamente dal

punto 2 il segmento inclinato che individua l’altezza h 3

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