Matlab Tutorial

참고도서 

Matlab Tutorial 

참고도서: 

Mastering Matlab 7, 2004, Hanselman and Littlefield, Prentice Hall. 

Mastering AutoCAD 2005 and AutoCAD LT 2005, 2004, Omura, Sybex. 

Autocad 2002, 2002, 김영숙, 세진사. 

Prof. Youngseuk Keehm (김영석) 

Tel: 041-850-8517 

Office: 자연과학관 231 

Email: keehm@kongju.ac.kr 

조교: 이민희 (245호, 010-6361-4383) 

2nd Semester, 2005 

2 nd Semester, 2005 

What you can do in Matlab 

MATLAB = MATrix LABoratory 

1. Elementary function, data analysis, 2D and 3D graphics, 

interpolation, grid 

2. Signals, Fourier transforms, special functions 

3. Least-squares, matrix function, integration, differential functions 

4. Statistics, stochastic simulations 

5. Image processing, Movie 

6. CAD 개요, 좌표계, 기본 도형 및 응용 

7. 개체 스냅 및 편집, 문자와치수기입 

8. 레이어의 이해와 이용 

9. 도면배치 및 출력 

10. 면구조(Surface)와 렌더링(Rendering) 

11. 3차원 면의 재질 및 광원효과 

Matlab - Introduction 

1. Starting Matlab – who(s), ls, pwd, cd, diary 

2. Datatypes 

3. Creating variables 

4. Vector/Matrix Variables and Accessing 

5. Display format 

6. plotting 

7. Vector/Matrix operators 

8. Max, Min, Mean, Sum 

9. Transpose, flip 

10. ones, zeros, eye, cascading, extracting 

11. load data 

12. cell structure 

13. Basic matrix calculations 



Basics of Matlab 

1. Review of Matlab basics 

컴퓨터 구조, 파일시스템, OS 

who(s), ls, pwd, cd, diary 

2. 변수의 선언 – 스칼라, 벡터, 행렬 

“help datatypes” 

3. 변수들에서 필요한 요소의 추출 

4. Vector/Matrix 연산자 들 

+ - * .* / ./ \ .\ ^ .^ 

5. Max, Min, Mean, Sum, Std 

Basics of Matlab – cont. 

6. Transpose, flip 

7. ones, zeros, eye, cascading, extracting 

8. 매트랩 데이터의 로드와 저장 

9. 매트랩 기본 함수들 (elfun) 

10. Loop 

11. If, else, end 문의 구조 



1

파일시스템과 메모리 

변수의 선언 

1. 컴퓨터 구조, 파일시스템(하드디스크), Ram 

- 데이터를 저장하거나 읽어올 때는 하드디스크를 access 하는 데 매트랩 

메인윈도우의 “current directory”에서 확인한다. 매트랩을 실행하면 자동 

으로 C:\Matlab7.0\Work라는 디렉토리에서 시작한다. 이것을 변경할 경우 

“cd”라는 명령어를 사용하고, 현재 자기가 어디 있는 지 확인하고 싶은 경 

우는 “pwd”를 쓴다. 현재 디렉토리에 어떤 파일이 있는 가를 보고 싶은 경 

우는 “ls” 나 “dir”을 사용한다. 

- 현재 쓰고 있는 변수들은 메모리상에 위치하는 데 이를 매트랩에선 

“workspace”라고 한다. 지금 어떠한 변수를 가지고 있는 지 확인할 때는 

“whos”라는 명령어를 쓴다. 

2. 변수의 선언 – 스칼라, 벡터, 행렬, integer, single-precision, double-precision 

(“help datatypes” 로 가능한 변수의 타입을 확인할 수 있다.) 

어떠한 데이터타입인지 지정하지 않고 변수를 만드는 경우는 자동으로 

double precision으로 생성된다. (matlab에선 “double” type) 

2. 변수의 선언 (계속) 

- 변수를 선언하는 방법은 여러가지가 있는데 (1) 파일에서 읽어오는 방법, 

(2) 계산식으로 만드는 방법 (3) 초기값을 주고 일단 정의 하는 방법 등이 

있다. 

(1) matlab data file (*.mat)이 있는경우: “load mydata.mat” 

일반 text (ascii) 파일인 경우: “load”, “textread”, “dlmread”, “fscanf” 

(2) 계산식으로 만드는 방법 

(예) >> x=linspace(0, 2*pi, 101); 

>> y=sin(x); 

(3) 초기값으로 정의하는 방법 (ones, zeros) 

(예) >> x=zeros(10,10) % 10x10 행렬을 만들고 0으로 초기화 

>> y=20*ones(4,2) % 4x2 행렬을 만들고 20으로 초기화 

>> z=eye(5) % 5x5 의 단위행렬(I) 생성 



변수에서 필요한 부분 추출 

변수에서 필요한 부분 추출 

3. 변수의 추출 

(1) 필요한 범위를 “:”를 이용해 추출하는 방법 

>> a = rand(10,10); % 10x10 random number 행렬 

>> b = a(2:5, 4:6); % 2행에서 4행까지, 4열에서 6열까지 추출 

>> c = a([1 4 5], [3 8 9]) % 1,4,5행과 3,8,9열 추출 

>> d = a(:, [9 8 6]) % 9,8,6번째 열의 모든 원소를 이 순서로 배열 

(2) 논리식으로 추출하는 방법 

>> a = [1 3 -8 9 2 -1 -5]; 

>> b = a( a> b = a( find(a> ind1 = a> ind2 = find(a> a = [1 3 -8 9 2 -1 -5]; 

>> b = a( a>0 & a, =, > c = [ 1 2 -5 4 9 -3 0 -2 4 3 2; 

3 -4 1 2 -4 4 1 -8 1 9 -1]; 

>> d = c( [c(1,:)>0 & c(2,:)> a = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10; 

0.1 0.4 -0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.3 0.2 -0.1]; 

(1) 1행은 시간이고 2행이 해수의 상대적 높이라고 할 때, 해수의 상대적 높이가 

음수인 경우를 제외한 데이터 b를 구하라. 

>> b = a( [a(2,:)>=0] , :); 

* 행과 열의 논리식을 따로 써 주는 것에 주의 

(2) 시간이 3과 8사이에 있으면서, 해수의 높이가 0.2 보다 높은 경우인 데이터 

c를 구하라 

>> b = a( [a(1,:)>=3 & a(1,:)0.2], :); 

행렬의 연산 

4. Vector/Matrix 연산자 들 

+ - * .* / ./ \ .\ ^ .^ 연산자 앞에 마침표가 있는 경우에는 

각 요소들 간의 연산으로 정의가 된다. 

(예) 

⎛ 1 3⎞ 

⎛0 

5 ⎞ 

A = ⎜ ⎟, 

B = ⎜ ⎟ 

⎝− 

2 4⎠ 

⎝1 

− 3⎠ 

⎛3 

− 4⎞ 

⎛ 0 15 ⎞ 

A* 

B = ⎜ ⎟, 

A.* 

B = ⎜ ⎟ 

⎝4 

22 ⎠ ⎝− 

2 −12⎠ 

(참고) ⎛ 1.2 1.0 ⎞ 

−1 

A/ 

B = ⎜ 

⎟ ≈ A* 

B 

⎝− 

0.4 − 2.0⎠ 

⎛− 0.3 2.9⎞ 

−1 

A \ B = ⎜ ⎟ ≈ A * B 

⎝ 0.1 0.7⎠ 

(질문) 왜 나눗셈operator가 두개일까 (/ 와 \) 



2

간단한 통계 함수 

5. 통계 operator 

: min(), max(), sum(), mean(), median(), var(), std() 

: bar(), bar3(), hist(), hist3(), boxplot() 

: rand(), randn(), unidrnd(), unifrnd() 

(문제) A가 행렬인 경우 max(A)는 

(문제) A가 행렬인 경우 한번에 평균값을 구하는 방법 

(문제) mean 과 median의 차이는 

(문제) bar 와 hist의 차이는 

데이터의 로드와 저장 

6. 데이터(파일)의 입출력 

(a) 현재 메모리 (workspace)에 있는변수,데이터의 저장 

: save()를 이용한다. 

(예) >> save myData.mat data1 data2 data3 

: 이 경우에는myData.mat는 binary file이 된다. 

>> save myData.txt data4 –ascii 

: 이 경우는acsii 파일즉아무뷰어로나볼수있는텍스트파일이된다. 

(b) 데이터 파일을 읽어 오는 경우 

: load() 를 이용한다. 

>> load myData.mat % matlab format file 

>> load myData.txt % ascii file 

(참고) ascii file을 읽을 경우 데이터 포맷의 열 갯수가 모든 행에서 일치 해야만 

한다. 

(다른 예) textread, dlmread, fscanf (help 를 사용하여 그 용도를 익힐 것) 



예제 문제 

현재까지 배운 내용을 다음 예제를 통해서 익힌다. 

주어진 data (hw1data.mat)를 로드해서 다음을 실습해 본다. 

(a) 데이터를 읽어서 포함되어 있는 변수와 크기를 알아보라. 

(b) 변수중하나를ascii format으로 데이타 파일로 저장하고, notepad로 그내 

용을 확인해 보라. 

(c) 변수 중 하나를 plot, scatter, hist를 이용해서그래프를그려보라. 

(d) 변수 중에서 행렬로 되어 있는 것을 골라 일정 깊이에 있는 것 만을 선택적 

으로 추출해 보라. 

(e) 추출된 데이터의 기본적인 통계학적 값들을 구해보라. 

2D & 3D graphics 

매트랩이 공학이나 수치해석에서 강력한 툴이 된 이유 중의 하나가 내장되어 있 

는다양하고매우유용한그래픽함수때문이다. 실제로계산이나데이터 

처리를 한 이후에는 그것을 어떻게 visualization할 것인가는이제수치해 

석 자체만큼이나 중요한 문제가 되었다. 

이번 장에서는 기본적으로 매트랩이 제공하는 여러가지 graphic function들에 대 

해알아보고실제예제와과제을통해자기것으로만드는것을목적으로 

한다. 

매트랩이 제공하는 방대한 양의 그래픽 함수들에 대해 세세히 다루기는 불가능 

하므로 각자 개인이 graphics에 어떠한 함수와 유틸리티가 있는 지 알아보 

기바람. 

>> help graphics (또는 graph2d, graph3d, specgraph) 



Cross plots 

Graphics Handler 

Cross plot이란 2차원에 x와 y값을 가지는 변수들을 선, 점, 도형등으로 표시하는 

가장 기본적인 것을 말한다. 

이 범주에 드는 가장 대표적인 함수들이 “plot()”, “scatter()”, “plotyy()” , 

“ezplot()” , “semilogx()”, “semilogy()”, “loglog()”등이 있다. 

(예) >> plot(x, y, ’r’) % line plot with red line 

>> scatter(x, y, s, c) % 점으로 표현된 그림, s는 각점의크기, c는 칼라 

>> plotyy(x1,y1, x2,y2) % 두개의 그래프를 한 그림에 표시 

>> ezplot( ‘sin(x)’, [0 6*pi]) % 문자로 표현된 함수의 그림그리기 

>> semilogy(x, y, ‘ro’) % 데이터를 빨간 원으로 표시, y축 log scale 

* 각 함수의help를 살펴보면 예제와 옵션이 자세히 나와 있다. 


이러한 그래픽들은 아주 다양한 옵션들 (예를 들어 선의 굵기, 좌표축의 최소, 

최대값, 각축에있는tic mark를 어디다 찍을 지, 각 축의 라벨의 폰트와 

사이즈 등등) 을 가지고 있는데 이를 함수 자체에서 인자로 모두 넣기란 

불가능 하다. 그래서 Figure나 Graph를 그리는 모든 함수는 그것들의 

handler (제어자) 를 넘겨주는 데 다음의 예를 살펴보자. 

>> h1 = figure; 

>> h2 = plot(x, y, ‘g--’) 

여기서 h1과 h2는 각각그림자체와그속에있는graph를 제어할수있는 

제어자가 된다. 이 제어자가 어떠한 속성들을 갖고 있는 지 보려면, 

>> get(h2) 

이 제어자를 이용해 그림의 속성중 하나를 바꾸려면 (예를 들어 선 두께), 

>> set(h2, ‘linewidth’, 3) 

와같이쓰면된다. 

>> axis % 현재 축의 최대, 최소값표시또는셋팅 


3



>> get(h1) % Figure 

Alphamap = [ (1 by 64) double array] 

BackingStore = on 

CloseRequestFcn = closereq 

Color = [0.8 0.8 0.8] 

Colormap = [ (64 by 3) double array] 

CurrentAxes = [304.002] 

CurrentCharacter = h 

CurrentObject = [] 

CurrentPoint = [0 0] 

DockControls = on 

DoubleBuffer = on 

… 

Position = [420 528 560 420] 

Renderer = painters 

… 

>> get(h2) % Plot 

Color: [0 0 1] 

EraseMode: 'normal' 

LineStyle: '-' 

LineWidth: 0.5000 

Marker: 'none' 

MarkerSize: 6 

MarkerEdgeColor: 'auto' 

MarkerFaceColor: 'none' 

XData: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] 

YData: [1x10 double] 

ZData: [1x0 double] 

BeingDeleted: 'off' 

ButtonDownFcn: [] 

Children: [0x1 double] 

…… 




Subplot 

>> get(gca) % Axes 

… 

Color = [1 1 1] 

… 

FontName = Helvetica 

FontSize = [10] 

FontUnits = points 

FontWeight = normal 

… 

LineStyleOrder = - 

LineWidth = [0.5] 

… 

Position = [0.13 0.11 0.775 

0.815] 

TickLength = [0.01 0.025] 

TickDir = in 

… 

XTick = [ (1 by 10) double array] 


XTickLabel = 

1 

2 

… 

10 

XTickLabelMode = auto 

… 

YTick = [ (1 by 9) double array] 

YTickLabel = 

0.2 

… 

1 

… 

Children = [305.002] 

… 

하나의 그림판에 여러개의 그래프를 표시해야 하는 경우가 종종 생긴다. 

# of data 

Value 

12 

10 


8 

6 

4 

2 

0 

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 

Value 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Time 

이러한 경우 subplot()을 사용한다. 

>> subplot(2, 1, 1) 

>> hist(value, 20) 

>> subplot(2, 1, 2) 

>> plot(time, value, ‘.’) 

Surface Plot – surf() 

Surface Plot – surf() 

면구조를 그리는 경우의 가장 쉬운 예는 Topographic map이다. 이경우에2차원 

(x,y)의 지점마다높이가주어진다. 이러한 경우는 surf()가 가장 대표적으 

로 쓰이는 함수이다. 

z 라는 변수가 100x100 의 크기를 가지고 각각의 위치는 높이를 나타낸다고 하 

자. 이경우각각의좌표는등간격을가진다. (dx=dy=const) 

>> z = peaks(100); 

>> surf(z) 

>> shading interp 

>> camlight 

>> lighting phong 

>> print –djpeg99 a.jpg 

앞의 예제와 같은 면구조를 나타내는 또 하나의 범용적인 방법은 등고선으로 나 

타내는 것이다. 다음의 예제는 contour()을 이용해 등고선도를 그린것이다. 

등고선도의 높이를 나타내기 위해서 colorbar()를 이용하여 그림의 우측에 

등고선 색의 높이를 표시하고 있다. 

>> z = peaks(100); 

>> contour(z, [-10:0.5:10] ) 

>> colorbar 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

6 

4 

2 

0 

-2 

20 

-4 

10 

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 

-6 



4

Surface Plot – 비등간격 데이타 

비등간격 데이타 - 예제 

앞의 예제에서는 주어진 자료가 등간격으로 (Grid data) 주어져 있기 때문에 그 값을 그냥 

이용해서 면구조나 등고선도를 그릴 수 있었다. 하지만 많은 경우 데이타가 등간격 

이 아니므로, 이 경우는 등간격의 데이타를 생성하는 작없이 필요하다. Griddata() 

또는 interp2()이용. 

 

이 경우에는 주어진 데이타가 x, y, z 세개 

일 것이다. 그림에서 보듯이 x, y가 등간격 

이 아니므로 먼저 등간격의 x1,y1을 만든다. 

90 

>> [x1,y1]=meshgrid(0:2:100, 0:2:100); 

80 

그 다음엔 주어진 자료들로 부터 (x1,y1)에서 

70 

의예측값들을구한다. 

60 

>> z1 = griddata(x, y, z, x1, y1); 

50 

또는 

40 

>> z1 = interp2(x, y, z, x1, y1); 

30 

20 

Original Data 

비등간격, incomplete data 

griddata 이용 후의 결과 

10 

10 20 30 40 50 60 70 80 90 



그림화일과 같은 2차원 구조 

3차원 데이타 Graphics 

앞에서우리는지각과같은면의높이가주어 

진상태에서relief map이나 등고선도를 

그리는 방법에 대해서 알아보았다. 

우리가 잘아는 그림파일들도 (bmp, jpg, tiff) 

이와 똑같이 2차원 구조를 가진다. 그림 

파일을 표시하는 함수는 imagesc(), 

pcolor()와 같은것이있고2차원 data에 

는 언제나 사용가능 하다. 그림파일을 

특수하게 다루는 함수에는 imread(), 

imshow()등이 있다. 

20 

40 

60 

80 

100 

20 40 60 80 100 

앞에까지 다룬 예제는 실제는 2차원 data이다. 여기서는 실제 3차원 자료, 즉 3 

차원 grid의 각 점마다 데이타가 주어진 경우를 다루어 보자. 

Data는 3차원에서 구슬을 채워넣은 공극구조 (random pack of spheres)를 염수 

로 포화시키고 전류를 흘려서 전류장을 구한 결과이다. 

>> load curr.mat 

>> whos curr 

Name Size 

curr 101x101x101 

100 

>> subplot(2,1,1) 

>> imagesc(z) 

>> subplot(2,1,2) 

>> pcolor(z) 

80 

60 

40 

20 

>> subplot(211) 

>> slice(curr, [1],[1],[101]) 

>> shading flat 

>> axis tight 

>> axis image 

>> colorbar 

20 40 60 80 100 



3차원 데이타 Graphics 

NaN 

앞의 그림은 가장자리 면의 전류를 표시하기 때문에 실제 어떻게 전류가 흘렀는 

지 보기가 힘들다. 다음과 같이 하면 보다 직관적으로 이해하기 쉬운 그림 

을그릴수있다. 

>> slice(curr, [ ],[ ],[14 40 70]) 

>> shading flat 

>> axis tight 

>> colorbar 

NaN은 특별한데이터타입으로Not-A-Number의 약자이다. 실제로 정규적인 데이 

타에서빠진데이터나에러가난데이타를-999나 다른의미없는숫자로대 

체 하는데 이와 비슷한 역할을 한다. 

이러한 NaN을 포함한 데이타를 위해 특별한 함수들이 있다. 

nanmean(), nanmedian(), nanstd(), nanvar(), nanmin(), nanmax(), nansum(), 

isnan() 



5

Linkaxes() 

Graphic Handler revisited 

>> ax(1) = subplot(1,2,1); 

>> plot(vshale,depth), axis ij 

>> ax(2) = subplot(1,2,2); >> help linkaxes를 이용하여 

>> plot(porosity,depth), axis ij y축만을 링크하는 방법을 알아보라. 

>> linkaxes(ax) 

>> h=plot(vshale); 

>> axis ij 

>> set(gca,’fontname’,’tahoma’,fontsize’,11) 

>> xlabel('Vsh') 

>> ylabel('Depth (ft)') 

x 10 4 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 

0.2 

0.4 

x 10 4 0 0.5 1 

0.2 

0.4 

x 10 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 

3000 

3000 

Depth (ft) 

1 

0.6 

0.6 

4000 

4000 

1.2 

0.8 

0.8 

5000 

5000 

1.4 

1 

1 

6000 

6000 

1.2 

1.2 

7000 

7000 

1.6 

1.4 

1.4 

1.6 

1.6 

8000 

8000 

1.8 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Vsh 

1.8 

0 0.5 1 

1.8 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 





>> h=plot(vshale,depth); 

>> axis ij 

x 10 4 

0.2 


>> axis ij 

x 10 4 

0.2 

>> set(gca,’fontname’,’tahoma’,’fontsize’,11) 

0.4 


0.4 


0.6 


0.6 


>> set(h, ‘color’, ‘r’) 

Depth (ft) 

0.8 

1 



>> set(gca, ‘color’, ‘b’) 

Depth (ft) 

0.8 

1 

1.2 

1.2 

1.4 

1.4 

1.6 

1.6 

1.8 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

1.8 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Vsh 

Vsh 




많이 쓰이는 handler’s properties 


>> axis ij 





>> set(gca, ‘color’, ‘b’) 

>> set(gcf, ‘color’, ‘g’) 

Depth (ft) 

x 10 4 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 

1 

1.2 

>> set(gca, ‘position’, …) %그림판 안에서 plot의 상대적 위치 

>> set(gca, ‘fontname’, ‘times’, ‘fontsize’, 11) % x,y축의 레이블 폰트와 사이즈 

>> set(gca, ‘xtick’, [ 0 1 2]) % x축의 tic 마크의 빈도와 위치 

>> set(gca, ‘xticklabel’, {‘One’, ‘Two’, ‘Three’}) % tic label이 특수한문자일때 

>> set(gcf, ‘renderer’, ‘zbuffer’) % 면구조 렌더링 방법 (painter, zbuffer, opengl) 

1.4 

1.6 

나머지는 각자 알아볼 것. 

1.8 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Vsh 



6

그림창의 메뉴들 

Plot 과 같이 많이 쓰이는 함수들 

File – new, open, close, save, save as, generate m-file, preferences, export setup, 

page setup, print setup, print preview, print 

Edit – copy figure, copy options, figure properties, axes properties 

View – figure toolbars, camera toolbars, plot edit toolbars, property editor 

Insert – x,y,z label, title, legend, line, arrow, etc. 

Tools – edit plot, zoom, rotate, axes properties, basic fitting, data statistics 

title() 

xlabel() 

ylabel() 

text() 

gtext() 

grid on/off 

hold on/off 

axis() 

subplot() 

axes() 

ginput() 

view() 



Matlab Function: m-file 


Fortran 의 subroutine 이나 function, 또는 C/C++의 method function과 같이동 

일한 작업수행이 요구되는 일에는 function을 만드는 것이 능률적이다. 

매트랩에서 우리가 흔히 쓰는 많은 명령어들은 이런한 function들이며 대부분 

이 .m이라는 확장자를 가진 텍스트 (ASCII) 파일들이다. 

이러한 파일을 생성, 수정하는데에는 edit 명령어가 쓰인다. 

예를 들어서 평균을 구하는 mean 함수의 경우를 살펴보자. 

>> edit mean 

을치면edit window가 뜨고mean()함수의 내용이 창에 표시된다. 

function y = mean(x,dim) 

%MEAN Average or mean value. 

% For vectors, MEAN(X) is the mean value of the elements in X. For 

% matrices, MEAN(X) is a row vector containing the mean value of 

% each column. For N-D arrays, MEAN(X) is the mean value of the 

% elements along the first non-singleton dimension of X. 

% 

% MEAN(X,DIM) takes the mean along the dimension DIM of X. 

% 

% Example: If X = [0 1 2 

% 3 4 5] 

% 

% then mean(X,1) is [1.5 2.5 3.5] and mean(X,2) is [1 

% 4] 

% 

% Class support for input X: 

% float: double, single 




함수의 선언 

% 

% See also MEDIAN, STD, MIN, MAX, COV. 

% Copyright 1984-2004 The MathWorks, Inc. 

% $Revision: 5.17.4.1 $ $Date: 2004/03/09 16:16:26 $ 

if nargin==1, 

% Determine which dimension SUM will use 

dim = min(find(size(x)~=1)); 

if isempty(dim), dim = 1; end 

y = sum(x)/size(x,dim); 

else 

y = sum(x,dim)/size(x,dim); 

end 

함수의 맨 처음은 항상 다음과 같은 형태를 가진다. 


이 파일이 함수임을 나타냄 

두개의 input 변수를 가짐 

함수의 이름이 mean 

계산결과가 y라는 변수로 출력 

예를 들어 두개의 데이타 x,y를 받아서 특별한 그림을 그리는 함수를 우리가 만든다 

고하자. 그러면 그 함수는 다음과 같은 형태를 지닐수 있다. 

function myPlot(x,y) 

이경우는output이 화면에 그림으로 출력되기 때문에 따로 변수(계산결과)를 돌려 

줄 필요가 없어서 y가 생략되어있다. 



7

함수의 설명문 

함수의 설명문 

함수의 선언부 바로 다음에 빈 줄이 없이 % 기호로 시작되는 설명문이 등장한다. 


%MEAN Average or mean value. 

% For vectors, MEAN(X) is the mean value of the elements in X. For 

% matrices, MEAN(X) is a row vector containing the mean value of 

% each column. For N-D arrays, MEAN(X) is the mean value of the 

% elements along the first non-singleton dimension of X. 

% 

이부분에는대개이함수의설명과그사용법이들어간다. 앞에서 배운 help를 치 

면바로이부분이여러분의command window에 표시된다. 다시 말하면 함수 

의 help 에 해당되는 부분이다. 

%로 시작되는것은설명문이라고해석된다. (Fortran에서 C로 시작하는 comment 

문과 같은 역할). 하지만 함수선언 부분과 이 설명문 사이에 빈 줄이 없다는 

사실에 주의 하라. 만약빈줄이있으면이부분은help를 이용할때표시되 

는않는다. 

설명문을 따라 가다 보면 빈 줄이 있고 설명문이 계속된다. 따라서 help를 이용했을 

때, 아랫부분은 표시되지 않는다. 

% 

% Class support for input X: 

% float: double, single 

% 

% See also MEDIAN, STD, MIN, MAX, COV. 

% Copyright 1984-2004 The MathWorks, Inc. 

% $Revision: 5.17.4.1 $ $Date: 2004/03/09 16:16:26 $ 

여기에서 Copyright 와 버젼등의 관계를 숨어있는 설명문에 포함하고 있다. 



함수의 내용 (implementation) 



처음 이 문을 접하면 상당히 복잡해 보인다. 하나하나씩 살펴보면, 

size(x) : size()는input 변수의 사이즈를 알려주는 함수이다. 만약 A가 3x4x2의 3차 

원행렬이면size(A) 는 [3 4 2]를 return한다. 

find( size(x) ~= 1) : find는 size(x)가 1이 아닌경우의그첨자(index)를 return 한다. 

현재 A의 경우는 모두가 크기가 1이 아니므로 [1 2 3]을 리턴한다. 

min(find(size(x)~=1)): 찾아진 첨자중 제일 작은 것을 리턴한다. 여기서는 1이 제 

일작다. 그러므로 1방향이 최종계산값이다. 

A=[1 2 3 5] (행벡터)의 경우, 위의 표현은 어느 방향을 리턴하는가 

size(A) = [1 4] find( size(A) ~= 1) = [2] % 1방향은 사이즈가 1이므로 

min(find(size(A)~=1)) = 2 % 값이 하나 밖에 없으므로 2를 리턴하고 최종결과는 

2방향이 된다. 


이제 왜 이렇게 복잡하게 쓰는지를 어는 정도 이해할 수 있다. 만약 3차원에 있는 

어떤 벡터가 (1x1x10)의 사이즈를 가지고 있고, 평균값을 구하는 함수가 항 

상 방향을 명시해야 한다면 이의 경우는 

>> mean(A,3) 

이라고항상써야하고이는불편하기그지없다. 따라서 처음으로 사이즈가 1이 아 

닌 방향을 찾아서 평균을 구하는 것이 논리적으로 맞다는 것이다. 

만약 A 가 (1x10x5)의 크기를 갖는 행렬이라면 

>> mean(A) 

의 결과값의 사이즈는 ( x x ) 






if nargin==1, 

우리가 함수을 선언할 때, 이 함수는 두개의 input변수를 필요로 한다. 하지만 함수 

안에서 한개만 넣어도 되는 경우를 처리하고 있으면 한개만 넣어도 된다. 

그것이 첫번째에 나오는 nargin==1 의 부분이다. 이말은input 변수가 하나 뿐일 

때, 즉 x 뿐일때 어떻게 계산을 수행하는가를 묻는 말이다. 

이 경우를 잠시 생각해 보자. 

Case 1: x=[1, 2, 3, 5] (행벡터). 이경우user는 이 네개 값의 평균을 원할 것 이다. 

Case 2: x=[1, 5, 7, 9]’ (열벡터). 이경우도이네개값의평균을원할것이다. 

Case 3: x=[1 2 ; 4 5] (행렬). 이경우평균을구하는방법은두가지가있다는방법 

을 우리는 배웠다. (1 방향, 2 방향). 그래서 방향을 정하지 않은 경우는 1 방 

향이라고 가정한다. 

물론, if 문을 써서 각각의 경우에 방향을 정해주면 되지만 이것을 간단히 하면, 

if isempty(dim), dim = 1; end 

위에서 우리는 평균을 구하는 방향을 정했는 데, 또 방향을 구하는 하나의 명령문 

이 들어가 있다. 이 경우는 어떤 경우인가 

만약 user가 input변수로 사이즈가 0인 변수를input으로 넣었다고 하자. 사이즈가 

0인 변수가 과연 어떻게 존재하는 가 

>> A=ones(0,0) 

과같은경우가해당되는데이와같은문을쓰는user는 없다. 하지만 우리가 어떤 

계산을 수행하였는데 결과가 없을 때 매트랩은 공집합, 즉 사이즈가 0인 변수 

를리턴한다. 만약 우리가 그 결과를 평균함수에 대입하는 경우가 가장 빈번 

히 발생하는 경우이다. 따라서 이 경우도 처리를 해주어야 하는데 여기서는 

isempty()라는 함수를 쓴다. 만약 크기가 0인 변수의 경우 이 함수값은 1이 

된다. 그 경우위의dim = min(find(size(x)~=1)); 는 0의 방향을 리턴하므로 우 

리는 이 경우를 1의 방향으로 명시할 필요가 있다. 



8


If-else-end 문과 Loop 문 

if nargin == 1 

y = sum(x)/size(x,dim); 

else 

y = sum(x,dim)/size(x,dim); 

end 

그 다음으로 넘어가 보자. 이제 우리는 user가 방향을 지정하지 않은 경우 방향을 

모두 구했다. 따라서 평균값은 y = sum(x)/size(x,dim); 와같이모든값을더해 

서그갯수로나누어주면된다. 

User가 방향을 정한 경우는 그 방향으로 합을 구하고, 그 방향으로의 갯수 (사이즈) 

로나누어주면이함수의기능은끝이난다. 

이제 만약 크기가 0인 값을input변수로 넣었을 경우를 다시 생각해 보면, 그 방향 

은앞에서1로 잡았다. 그런데 이 값들의 합도 0이고 갯수도 0이므로 결국 

0/0의 꼴이되어서error가 생긴다. 이러한 error도 이 함수가 처리해야 하는 

가는 함수를 만든 사람의 생각에 따라 다르다. 현재 매트랩함수 mean()은 이 

경우에 divided-by-zero error를 낸다. 

실제로 하나의 함수을 만들어 보기 전에 알고리듬의 기본이 되는 두가지 구조 – 조 

건문 (if) 과 루프반복에 대해서 간단히 배워보자. 

조건문 (if-else-end) 

계산식이 조건등에 따라 틀려질 경우 if문을 쓰게 되는데, 다른 언어에서와 같이 그 

구조는 비슷한다. 하지만 matlab 의 경우는 반드시 end로 그 조건식을 끝내 

야한다. 

if(a>0) 

if(a>=1) 

a=a*100; 

else 

a=a*50; 

end 

elseif(a==0) 

a=0; 

else 

a=-50*a; 

end 



If-else-end 문과 Loop 문 

함수 만들기 – 예제 (벡터의 내적) 

다음은 반복계산을 하는 경우를 예로 들어보자. Fortran에서는 do-loop를 많이쓰는 

데 매트랩에서는 for-loop가 표준이다. 

다음의 예는 100개의 x값에 대해서 그 값은 로그값의 사인값을 구하는 loop의 예제 

이다. 

여기에서는 실제로 함수를 만들어 보기로 하자. 

여러분들이잘아는벡터의내적을구하는프로그램을짜보기로하자. 

실제 함수를 만들기 전에 우리가 알아야 할 것들을 나열해 보면, 

y=zeros(1,100); 

for i=1:100 

y(i) = sin( log (x(i)) ); 

end 

많은 경우에 매트랩의 벡터나 행렬 operator를 이용해서loop를 없앨수가있는데 

이 방법이 계산시간이 적게 걸리므로 장려되는 방법이다. 

y=sin( log (x) ); 

는앞의루프를이용한식과같은결과를제공한다. 

그리고 while()문이 라는 것도 있는데 while(조건)-end 사이에있는것을조건이참 

인 동안 반복실행한다. 


(1) Input 변수는 몇 개이어야 하는가 

(2) 벡터의 내적 계산이 정상적으로 수행되기 위해선 어떤 조건이 필요한가 

(3) 리턴해야 할 변수가 있는가 있다면 그 사이즈는 얼마인가 

(4) 특수하게 다루어야 할 경우가 어떤 것들이 있을까 


벡터의 내적을 구하는 함수 

벡터의 내적을 구하는 함수 

여기에서는 실제로 함수를 만들어 보기로 하자. 

여러분들이잘아는벡터의내적을구하는프로그램을짜보기로하자. 

실제 함수를 만들기 전에 우리가 알아야 할 것들을 나열해 보면, 

(1) Input 변수는 몇 개이어야 하는가 

(2) 벡터의 내적 계산이 정상적으로 수행되기 위해선 어떤 조건이 필요한가 

(3) 리턴해야 할 변수가 있는가 있다면 그 사이즈는 얼마인가 

(4) 특수하게 다루어야 할 경우가 어떤 것들이 있을까 

function c=dot(a, b) 

% Inner product of two vectors 

% …… 

if( length(find(size(a)~=1)) >1 | 

length(find(size(b)~=1)) >1 ) 

disp(“Input parameters should be vectors”); 

end 

if( length(a) ~= length(b) ) 

disp(“Two vectors should have the same size”); 

end 

c=0.0 

for i=1:length(a) 

c=c+a(i)*b(i); 또는 c= a(:)’ * b(:); 

end 



9

y 

Review on Functions/Parameters covered 

m-file revisited 

edit(), nargin, find(), isempty(), if-elseif-else-end, for-end, while 

length(), disp(), sqrt(), input() 

위의 함수 중 알지 못하는 것은 help를 이용하여익히기바람. 

그리고 조건문 중에서 switch 문의 구조도 익히기 바람. 

앞에서 배웠던 m-file의 경우는 함수를 정의하고 그 알고리듬을 프로그래밍하는 방 

법이다. 

m-file 은꼭함수(function)일 필요는없다. 단순히 명령어 들의 나열로도 실행이 가 

능하다 (script file). 

 

Sine Function 

1.5 

% sine 함수를 plot 하는 script 

t=linspace(0,8*pi,2000); 

plot(t, sin(t), ‘r’); 

axis([0 8*pi -1.5 1.5]); grid on 

xlabel(‘Time’), ylabel(‘sin(Time)’) 

title(‘Sine Function’) 

sin(Time) 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

0 5 10 15 20 25 

Time 



m-file revisited 

수치 알고리듬의 implementation 

하지만 앞의 경우에 있어선 입력변수가 없으므로 여러가지 다른 경우에 반복계산 

을 하기가 매우 불편하다. 만약 우리가 시간의 시작값과 끝 값을 바꾸고 싶다 

면 다음과 같이 함수를 만들면 된다. 

function sineplot(sTime, eTime) 

t=linspace(sTime, eTime, 2000); 

plot(t, sin(t), 'r'); 

axis([sTime, eTime, -0.5, 1.5]); 

grid on 

xlabel('Time'), ylabel('sin(Time)'), 

title('Sine Function') 

-1.5 

>> sineplot(0, 4*pi) 0 2 4 6 8 10 12 

sin(Time) 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

Sine Function 

Time 

수식으로 주어지는 알고리듬을 계산하는 예제를 몇 가지 살펴보자. 

(예제 1) 기울기가 a 이고 y절편이 b인 직선을[x1 x2] 구간에서 도시하는 매트랩 

프로그램을 작성하라. 

ezplot이나 symbolic math를 이용해서analytic하게 그림을 그리는 경우도 있겠지만, 

많은 경우 수치해석에서는 많은 점들을 이어 그려서 연속된 함수의 그래프를 

완성한다. 

이점들은(x, y)와 같이 주어진 다는 사실은 우리는 알고 있다. 독립변수인 x를 어 

떤 구간에서 정의하고 y값은 직선의 방정식을 이용해서 구해보자. 위의 직선 

의방정식은y = ax + b 이다. 

x = linspace(x1, x2, 2000); 

y = a*x + b; 





그리고 이 좌표들을 plot으로 도시하면 된다. 

plot(x, y) 

이를 정리해서 함수로 만들면, 리턴하는 변수는 필요없고 입력변수는 4개 (기울기, 

절편, x 시작값, x 끝값) 가된다. 

function drawLine(a, b, x1, x2) 

x=linspace(x1, x2, 2000); 

y=a*x1 + b; 

plot(x, y); grid on 

xlabel(‘x’), ylabel(‘y’) 

20 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

(예제 2) 반지름이 r 이고그중심이(x1, y1)인 원을 도시하는 매트랩 프로그램을 

작성하라. 

2 

2 2 

일단우리는원의방정식을알고있다. ( x − x1) 

+ ( y − y1) 

= r 

하지만이경우x와 y의 범위를 구하기가 어려우므로, 극좌표계를 쓰는 것이 훨씬 

효과적이다. 

중심이 (0, 0)이고 반지름이 r인 원의방정식을각(θ)으로 표현하면, 

x = r cos( θ ) 

y = r sin( θ ) 

θ 

r 

( r cosθ, 

r sinθ 

) 

-20 

-25 

>> drawLine(2, -1, -10, 10) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 

x 



10

y 

y 



중심을 (x1, y1)으로 이동하는 

앞의 내용을 함수로 정리하면, 

것은 단지 평행이동이기 때문에, 

x = r cos( θ ) + x1 

y = r sin( θ ) + y1 

그러면, 우리는 원의 x와 y의 좌표를 

각으로 표현할 수 있다. 

( r cosθ 

+ x1, 

r sinθ 

+ y1) 

r 

θ 

(x1, y1) 

function plotCircle(r, x1, y1) 

theta = linspace(0, 2*pi, 2000); 

x = r * cos( theta) + x1; 

y = r * sin( theta) + y1; 

plot(x, y), grid on 

10 

9 

8 

7 

6 

5 


x = r * cos(theta) + x1; 

y = r * sin(theta) + y1; 

axis image 

xlabel('x'), ylabel('y') 

4 

3 

2 

1 

0 

>> plotCircle(6, 2, 5) 

-2 0 2 4 6 8 

x 




복잡한 수식을 가진 함수 - Viscoelasticity 

앞의함수의경우원의경계가Axis의 경계와 맞물려 보기가 좋지 않으므로 axis의 

최대, 최소값을 조정할 필요가 있다. 

function plotCircle(r, x1, y1) 


x = r * cos( theta) + x1; 

y = r * sin( theta) + y1; 

plot(x, y), grid on 

axis image 

xlabel('x'), ylabel('y') 

axis( [min(x)-1, max(x)+1,… 

min(y)-1, max(y)+1] ) 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-4 -2 0 2 4 6 8 

x 

지각의 구성물 (암석, 토양)이 완전선형탄성체이면매질에주어진응력과그응력 

으로 인한 변형률은 선형으로 연관된다. 그경우우리가잘아는탄성파의속 

도는 

M μ 

Vp 

= , Vs 

= , 

ρ ρ 

가된다(M 과 μ는 암석의 탄성계수이다). 하지만 실제 암석은 응력을 작용했을 때 

일부는 열에너지로 소멸된다. 이는 마치 암석이 유체처럼 점도를 가진 것 처 

럼 행동하는 것으로 해석될 수 있다. Elasticity (탄성이론)에서 이러한 효과를 

첨가한 것이 Viscoelasticity(점성탄성이론)이며, 여러가지 모델이 있지만 표 

준선형고체(Standard linear solid) 모델을 많이 쓴다. 

E 1 

E 2 

>> plotCircle(6, 2, 5) 



η 



앞의그림과같이스프링과데시팟(dashpot – 출입문등에 문이 갑자기 닫히지 않게 

하기 위해 붙여 놓는 장치)의 조합으로 이루어진 모델은 응력이 어떻게 작용 

하는 가에 따라 그 반응이 달라진다. 가령 우리가 이 모델을 빠른 속도로 당 

긴 다고 하면 데시팟은 잘 움직이지 않아서 탄성이 전혀 없는 벽처럼 반응할 

것이다. 반면에우리가매우느린속도로이모델을당길경우데시팟은저항 

이 거의 없이 움직이기 때문에 이 계는 두개의 스프링만 있는 모델처럼 행동 

할것이다. 

이 말을 다시 풀이하면 우리가 매질을 어떻게 진동시키는 가에 따라서 그 반응이 

달라진다, 즉 매질의 탄성파의 전파속도가 달라진다는 말이 된다. 

일반적으로 매질을 빠르게 진동시키는 경우, 즉탄성파의주파수가높은경우탄성 

파의 속도는 빨라진다. 이렇게 주파수가 달라짐에 따라 탄성파의 속도가 변 

하는 것을 dispersion(파의 분산)이라고 한다. 

그리고 또 하나의 현상으로 이러한 매질을 진행할 때 파는 그 에너지를 잃어 버린 

다. 이를 파의 감쇄 (attenuation)이라고 한다. 

앞의 결과를 자세히 이야기 하기는 너무 복잡하므로, 다음 요약된 그림으로 보면 x 

축은 주파수이고 두개의 그래프는 탄성계수와 감쇄계수(1/Q)이다. 탄성파의 

속도는 탄성계수에 비례하므로 주파수가 커지면 속도가 커진다. 한편 감쇄는 

공명주파수 주위에서 제일 크다. 공명주파수는 암석의 속도변화가 가장 큰 

곳이다. 



11



앞의 내용을 적당한 근사를 이용해서 수식으로 풀어보면 다음과 같은 식을 갖는다. 

참고로 감쇄가 일어나는 경우 탄성계수는 복소수가 되는 데 이것의 실수성분 

을 Re[], 허수 성분을 Im[]로 표시한다. 

앞의 수식을 M 0 가 1, M ∞ 가 4, 밀도가 1이라고 하면 다음과 같은 그림이 나온다. 이 

제 우리는 이것들을 입력변수로 해서 이 그림을 그리는 함수를 만들어 보자. 

⎛ 

M(ω) = E ( E + iωη) 

M ∞ 

M 0 

+ i ω ⎞ 

⎜ M 0 

M ∞ ⎟ 

2 1 

E 1 

+ E 2 

+ iωη = ⎝ ω r 

⎠ 

M ∞ 

+ i ω M 0 

M ∞ 

ω r 

V = 

Re[ M ( ω)] 

ρ 

1 Re[ M ( ω)] 

= 

Q Im[ M ( ω)] 

1 1 ω dV 

= − 

2 

V V V dω 

g 



ω/ω r 



그림에서 보듯이 우리의 독립변수 (x) 는 ω/ω r 이다. 따라서 우리는 이 값을 

omega라고 하자. 그림에서 보듯이 이 주파수는 로그스케일로 그려져 있다. 

그래서 linspace대신에 logspace를 이용해 보자. 

omega = logspace(-2, 2, 10001); %0.01에서 100까지 

다음은 이 각각의 값에 대해서 일단 M을 계산해야 한다. 입력변수 M 0 , M ∞ 를 M0, 

Minf라고 하자. 

M = Minf * ( M0 + i*omega*sqrt(M0*Minf) ) ./ ( Minf + i*omega*sqrt(M0*Minf) ); 

이렇게 하고 나면 omega와 그길이가같은M벡터가 가 생겼다. 이 벡터는 복소수 

임에 주의하라. 우리가 구해야 하는 속도, 감쇄계수는 M의 함수로 

V = sqrt( real(M) ./ density ); 

Qinv = imag(M) ./ real(M); 

이제 탄성파의 그룹속도 만이 남았다. 그런데 이 수식에는 아직 우리가 배우지 않 

은미분값이들어있다. 


앞의 그룹속도 (Vg)를 정리해보면, 

V g 

미분값을 수치적으로 구하기 위해 diff()라는 함수를 이용하는데, 다음 그림과 같 

이 유한차분법(finite-difference)의 일종이다. 

f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 

diff(f) = [f2-f1, f3-f2, f4-f3, f5-f4, f6-f3] 

df ( f2 

− f1) 

≈ 

dx 

at= 

x 

( x2 

− x1) 

1 

주의할점은벡터의길이가하나준다는 

사실이다. 이는 미분이 기울기이고 

기울기는 두 점이 필요하므로 당연 

한결과이다. 


2 

V 

= 

dV 

V −ω d ω 



그래서 diff()를 써준후에마지막값을하나더해야만우리가원하는길이의벡터 

를구할수있다. 한가지 주의 할 점은 여기서 Δx 는 omega의 차이인데, 우 

리가 logspace를 썼기 때문에 이것이 일정하지 않다는 사실이다. 따라서 x 

축 값의 차이를 각각 계산해야 한다. 

dV = diff(V); 

dV = [dV dV(end)]; % 성분 하나를 더한다. 

dOmega = diff(omega); 

dOmega = [dOmega dOmega(end)]; 

dVdw = dV ./ dOmega; 

Vg = (V .* V) ./ ( V – omega .* dVdw); 

주의 할 점은 연산자들이 모두 각각의 성분값의 연산으로 주어진 다는 것을 명심 

해야 한다. 


정리하여 함수를 만들어 보자. 

function plotViscoElas(M0, Minf, density) 

omega = logspace(-2, 2, 10001); 

M = Minf * ( M0 + i*omega*sqrt(M0*Minf) ) ./ ( Minf + i*omega*sqrt(M0*Minf) ); 

V = sqrt( real(M) ./ density ); 

Qinv = imag(M) ./ real(M); 

dV = diff(V); 

dV = [dV dV(end)]; 

dOmega = diff(omega); 

dOmega = [dOmega dOmega(end)]; 

dVdw = dV ./ dOmega; 

Vg = (V .* V) ./ ( V – omega .* dVdw); 

semilogx(omega, V, 'b'), hold on 

semilogx(omega, Qinv, 'r'), semilogx(omega, Vg, 'k:') 

legend('V','1/Q','Vg') 

xlabel('{\omega} / {\omega}_r') 

ylabel('Value') 


12


>> plotViscoElas(1,4,1) 

Value 

2.5 

V 

1/Q 

2 

Vg 

1.5 

1 

0.5 

0 

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 

ω / ω r 


구간에 따라 함수가 다른 경우 

π 

다음과 같은 함수가 있다고 하자. y = sin( x) : 0 ≤ x < 

2 

π π 

y = 2 − cos( x − ) : ≤ x < π 

2 2 

5π 

y = 2 + tan( x −π 

) : π ≤ x < 

4 

주어진 구간 [0, 5π/4] 에서 이 함수를 그리는 m-file을 작성하라. 

x =linspace(0, 5*pi/4, 1001); 

y = zeros( size(x) ); 

for i=1:length(x) 

if(x(i)

평균, 분산, 그리고 상관계수 구하기 

빠진 데이타를 제거한 이후에 평균, 분산, 그리고 상관계수를 구해보자. 

출력변수들을 m, sd, ccoef 로이미정해놓았으므로이변수들을써야한다. 

m = mean( data2( :, 3:5) ); 

sd = std( data2( :, 3:5) ); 

ccoef = corrcoef( data( :, 3:5) ); 

물론 위와 같이 하지 않고 각각의 농도값들을 다른 변수로 지정해서 각각 평균, 표 

준편차, 상관계수들을 구해도 된다. 하지만 이렇게 구하는 것이 함수가 보다 

간단해 진다. 이는 프로그래머의 선택에 달려있다. 

평균과 분산은 그 방향을 지정하지 않은 경우 컬럼방향으로 평균을 구한다는 사실 

을이미배웠다. 이는 우리가 원하는 방향이므로 따로 방향을 지정해 주지 않 

아도 된다. 상관계수의 경우도 행렬을 입력변수로 넣는 경우 각 컬럼들의 상 

관계수를 구하므로 이 또한 우리가 원하는 바이다. 


격자화 자료 구하기 

이제 그래프를 그리기 위해서 격자화 자료를 만들어 보자. 앞에서 배웠듯이 격자화 

자료를만들기위해서먼저격자화된좌표(x1, y1)을 먼저만들어야한다. 

그리고 격자화된 좌표의 갯수가 원래 좌표들의 갯수와 비슷한 것이 좋다. 격자좌표 

의 갯수를 먼저 구해 보자. 

원래의 좌표들의 갯수는 

ndata = length( data2(:,1) ); 

그리고 x와 y의 좌표들의최대최소값은 

minx = min( data2(:,1) ); maxx = max( data2(:,1) ); 

miny = min( data2(:,2) ); maxy = max( data2(:,2) ); 

그래서 데이타가 들어가는 box의 크기는 

lx = (maxx - minx); ly = (maxy - miny); 

만약 lx에 nx의 데이타가 들어가면 ly에는 nx*(ly/lx) 만큼의 데이타가 들어간다. 

따라서 총갯수는 nx*nx*ly/lx 가 되고 이 갯수는 원래 데이타의 갯수와 비슷해야 한 

다. 




앞의 결과를 종합하면 

nx = sqrt( ndata * lx / ly); 

가되는데, 이것은 갯수이므로 반드시 양의 정수가 되어야 한다. 따라서 

nx = round ( sqrt( ndata * lx / ly) ); 

ny = round ( nx * ly / lx ); 

문제가 조금 복잡해 지긴 하지만, 우리는한가지더생각해야할일이있다. 아까 구 

한 box의 경계에서는 데이타 없어서 griddata를 이용할경우그값을정하지 

못하는 경우가 있다는 것을 배웠다. 그래서 우리는 아래 그림과 같이 격자데 

이타를 구하려고 한다. 

y 의 경우도 마찬가지지만 우리는 등간격을 이용하기로 했으므로 (dx=dy) y축의 

격자데이타는 다음과 같이 주어진다. 

y = [miny+dx/2 : dx : miny+dx*ny + 2*dx/3]; 

[x1, y1] = meshgrid(x, y); 

이제 격자데이타의 x, y좌표가 주어졌으므로 각각의 격자자료를 구해보자. 

as = griddata( data2(:,1), data2(:,2), data2(:,3), x1, y1); 

cd = griddata( data2(:,1), data2(:,2), data2(:,4), x1, y1); 

pb = griddata( data2(:,1), data2(:,2), data2(:,5), x1, y1); 

minx 

nx 

maxx 

dx = lx / (nx+1); 

x = [minx+dx/2 : dx : minx+dx*nx + 2*dx/3]; 

 


surf() 를 이용한 plot 

surf() 를 이용한 plot 

이제 모든 자료가 구해졌고, 이를 이용해 단지 plot을 하면된다. 

figure; 

subplot(3,1,1); surf(x1, y1, as); 

xlabel('X'); ylabel('Y'); title('Arsenic'); 

shading interp; camlight; lighting phong; axis tight 

subplot(3,1,2); surf(x1, y1, cd); 

xlabel('X'); ylabel('Y'); title('Cadnium'); 


마지막은 또 다른 그래프를 그려서 카드늄의 농도로 surface를 그높이color는 납 

의 농도로 표시하는 것이다. 

figure; 

surf(x1, y1, cd, pb); 


shading interp; camlight; 

lighting phong; axis tight 

colorbar 

subplot(3,1,3); surf(x1, y1, pb); 

xlabel('X'); ylabel('Y'); title('Lead'); 




14

결과 m 파일 

function [ m, sd, ccoef ] = hw2prob6( filename ) 

data = load( filename ); 

ind = find( data(:,3) < 10^20 & data(:,4) < 10^20 & data(:,5) < 10^20 ); 

data2 = data( ind, : ); 

m = mean( data2( :, 3:5) ); 

sd = std( data2( :, 3:5) ); 

ccoef = corrcoef( data( :, 3:5) ); 

ndata = length( data2(:,1) ); 

minx = min( data2(:,1) ); maxx = max( data2(:,1) ); 

miny = min( data2(:,2) ); maxy = max( data2(:,2) ); 

lx = (maxx - minx); ly = (maxy - miny); 

nx = round ( sqrt( ndata * lx / ly) ); 

ny = round ( nx * ly / lx ); 

dx = lx / (nx+1); 

x = [minx+dx/2 : dx : minx+dx*nx + 2*dx/3]; 

y = [miny+dx/2 : dx : miny+dx*ny + 2*dx/3]; 

[x1, y1] = meshgrid(x, y); 

결과 m 파일 - 계속 

figure; 

subplot(3,1,1); surf(x1, y1, as); 

xlabel('X'); ylabel('Y'); title('Arsenic'); 


subplot(3,1,2); surf(x1, y1, cd); 



subplot(3,1,3); surf(x1, y1, pb); 

xlabel('X'); ylabel('Y'); title('Lead'); 


figure; 

surf(x1, y1, cd, pb); 



colorbar 

as = griddata( data2(:,1), data2(:,2), data2(:,3), x1, y1); 

cd = griddata( data2(:,1), data2(:,2), data2(:,4), x1, y1); 

pb = griddata( data2(:,1), data2(:,2), data2(:,5), x1, y1); 



Fourier Transform (푸리에 변환) 

Fourier Transform (푸리에 변환) 

푸리에 변환이란 무엇인가 

쉽게 말하면 시계열 (time series)의 주파수 영역으로의 mapping이다. 예를 들어서 

시간에 변화에 따른 해수 높이의 변화를 측정했다고 하자. 우리가알고있는 

조석의 변화를 생각해 보면 이 시계열은 아마도 12 시간 정도의 주기를 가지 

고 있다는 사실을 유추해 볼 수 있다. 


Height 

Height 

20 

15 

10 

5 

0 50 100 150 200 250 300 350 400 

Day 

20 

15 

10 

5 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

Day 

앞의 시계열 데이타를 푸리에 

변환한 결과가 오른 편 

에 나타나 있다. 

여기로부터무엇을알수있 

는가 

1. 주기가 0인 데이타: 백그라 

운드 데이타 

2. 주파수가 0.0027 (1/day)인 

데이타: 이는 주기가 약 

365일인 데이타 

3. 주파수가 1.92 (1/day)인 데 

이타: 주기가 약 0.53, 

즉 12시간 50분인 데이 

타 - 실제 조석 


Real amplitude 



FT of 

10 x 105 5 

0 

-5 

-15 -10 -5 

time series 

0 

1/day 

5 10 15 

x 10 5 

8 

6 

4 

2 

0 

5 

0 

-5 

x 10 4 

0 1 2 3 4 5 6 7 

1/day 

x 10 -3 

1.88 1.9 1.92 1.94 1.96 1.98 

1/day 

기본 지식 

기본 지식 

시간(주기) 주파수 

sec, day hertz, 1/day… 

공간(파장) 파수 

m, micron 1/m, 1/micron 

예를 들어 cos(2πt) 함수의 경우를 살펴보자. 

이 함수는 주기가 1인 함수이므로 푸리에 변환 

을 하여 주파수 도메인에서 살펴보면 그 

에너지가 주파수가 1인 경우(1/1)에만 존 

재하고 나머지는 전부 0이다. 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-100 

cos(2πt) 

-1 

0 2 4 6 8 10 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

FT cos(2πt) 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

그렇다면 시계열 함수가 두가지의 주기를 가지 

는 함수로 구성된다면 어떻게 될까 

오른쪽에서 보듯이 이제 시계열 함수가 주기가 

1인 코사인과주기가2 인코사인의합으 

로주어진다. 

이를 푸리에 변환을 하면 주파수가 1인 부분과 

주파수가 0.5 (=1/2)인 부분에서그에너 

지를 가지고 나머지에서는 0이다. 

다시 말하면 푸리에 변환을 하면 그 시계열이 

가지는에너지의주된주파수성분을알 

수있다. 

* 주기 : 반복이 일어나는 시간차이. 

cos(2πt) : t가 0일때의 값이 1일때 반복된다. 

cos(πt) : t가 0일때의 값이 2일때 반복된다. 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

0 2 4 6 8 10 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

cos(2πt) + cos(πt) 

FT[ cos(2πt) + cos(πt)] 

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 



15

푸리에 급수 

복소수와 극 좌표계 

이러한 푸리에 변환과 푸리에 급수는 어떻게 다른가 

푸리에 급수 (Fourier series)는 우리가 알고 있는 함수로 표현하기 어려운 함수를 

우리가 잘 알고 있는 함수들의 합으로 표현하는 방법의 일종으로 sin()함수 

와 cos()함수를 이용한다. 

다음의 결과가 알려져 있다. 

다시 말해서 어떠한 복잡한 함수라고 하더라도 무한개의 사인과 코사인 함수만 

있으면 그 각각의 진폭을 조정하면 정확하게 그 함수를 표현할 수 있다는 

것이다. 

이것이 왜 중요한가 우리가어떠한함수를얻었을때그함수를우리가잘아는 

사인이나 코사인 같은 함수로 근사할 수 있으면 그 함수의 도함수 및 근을 

구하는데매우유용하게쓰일수있다. 

푸리에 변환은 이렇게 주어진 시계열을 푸리에 급수로 표현했을 때 그 각각의 주 

파수가 가지는 에너지의 크기라고 생각할 수 있다. 


y( 

t) 

= 

∑ ∞ 

n= 

0 

{ a cos( nt) 

+ b cos( nt) 

} 

n 

n 

실제로 푸리에 변환을 알아보기 전에 복소수와 극좌표에 대해서 되집어 보기로 

한다. 

복소수 (Complex number) : z=x+iy 

x: 실수성분(real part = Re[z]) 

y: 허수성분(imaginary part = Im[z]) 

이것을 극좌표계(polar coordinate)에서 표시하면, 


z = z (cosθ 

, sinθ 

) 

i 

z = z e 

θ 

2 2 

z = x + y 

−1⎛ 

y ⎞ 

θ = phase = tan ⎜ ⎟ 

⎝ x ⎠ 

Im 

|z| 

θ 

( z cosθ, 

z sinθ 

) 

Re 

복소수와 극 좌표계 

푸리에 변환의 정의 

복소 켤레(complex conjugate) 


−iθ 

2 

2 2 

* = x − iy = z e → z = zz* 

= x + y 

z 

이를 이용하면 각각의 성분은 

z + z * z − z * 

x = , y = 

2 2i 

Euler formula 

iθ 

e = cosθ 

+ i sinθ 

e 

−iθ 

= cos( −θ 

) + i sin( −θ 

) = cosθ 

− i sinθ 

iθ 

e + e 

cosθ 

= 

2 

iθ 

− 

e − e 

sinθ 

= 

2 

−iθ 

iθ 

*note 

i 

e 

cos 2πft 

= 

positive 

frequency 

i 

+ e 

2 

2π 

( f ) t 2π 

( − f ) t 

negative 

frequency 

Fourier transform of g(t) 

t, f : 실수인 독립변수 

G(f) : 주파수 도메인에서의 푸리에 변환된 함수 (복소수) 

g(t) : 시간 도메인에서의 시계열 함수 (복소수) 

Euler formula 를 써서분해하여보면g가 실수라도G는 복소수가될수있다. 


G( 

f ) = FT{ 

g( 

t)} 

= 

G( 

f ) = 

∞ 

∫ 

−∞ 

∞ 

∫ 

−∞ 

g( 

t) 

e 

−i2πft 

∞ 

∫ 

−∞ 

dt 

g( 

t) 

e 

−i2πft 

= g( 

t)cos(2πft) 

dt − i g( 

t)sin(2πft) 

dt 

∞ 

∫ 

−∞ 

dt 

역푸리에 변환의 정의 

푸리에 변환의 역푸리에 변환 

Inverse Fourier transform of G(f) 

t, f : 실수인 독립변수 

G(f) : 주파수 도메인에서의 푸리에 변환된 함수 (복소수) 

g(t) : 시간 도메인에서의 시계열 함수 (복소수) 

Euler formula 를 써서분해하여보면G가 실수라도 g는 복소수가될수있다. 


g( 

t) 

= IFT{ 

G( 

f )} = 

g( 

f ) = 

∞ 

∫ 

−∞ 

i 

G( 

f ) e 

∞ 

∫ 

−∞ 

2πft 

dt 

∞ 

∫ 

−∞ 

i 

G( 

f ) e 

∞ 

∫ 

−∞ 

2πft 

= G( 

f )cos(2πft) 

dt + i G( 

f )sin(2πft) 

dt 

df 

G(f) 가 g(t)의 푸리에 변환이면 

⎧ g( 

t) 

if t is continuous 

IFT{ 

G( 

f )} = IFT{ FT{ 

g( 

t)} 

} = ⎨ 

+ − 

⎩1/ 

2{ g( 

t ) + g( 

t )} if t is discontinuous 

라는 결과가 다음이 충분조건일 때 성립한다. 

1. g(t) 의 불연속점이 유한개이고 

2. g(t) 는 유한구간에서 유한개의 최대, 최소값을 가지며, 

3. g(t) 가 절대적으로 적분 가능해야 한다. 

참고로 위의 조건은 충분조건이다. 따라서 위의 조건이 충족되면 항상 만족하고 

위의 조건이 충족되지 않는 경우에 위의 식이 성립하는 경우도 있다. 


16

매트랩에서 푸리에 변환 

이제 실제로 매트랩에서 푸리에 변환을 시도해 보자. 푸리에 변환을 하는 함수는 

fft() 와 ifft()이다. 이함수는discrete Fourier Transform을 수행하는함수로 

주어진 것이 시계열이던 공간함수이건 관계없이 푸리에 변환를 한다. 

다시 말해서 주어진 시계열이나 공간함수의 간격(dt 또는 dx)을 1로 가정하고계 

산한다. 따라서 주어진 시계열을 푸리에 변환을 하여 주파수계열을 얻었다 

면 그 각각의 값들의 위치를 따로 계산해 주어야 한다. 

매트랩에서 푸리에 변환 

여기서 우리는 재미있는 사실을 발견할 수 있다. 

t=[0, 0.02, 0.04,…,0.2] f=[0, 5, 10, 15,…,50] 

따라서 우리가 촘촘히 데이타를 얻으면 주파수 사이의 거리는 넓어진다. 그리고 

t=[0, 0.2, 0.4,…,20] f=[0, 0.05, 0.1, 0.15,…,5]. 

dt 

1 

(N-1)dt 

(N-1)dt 

1 

dt 

t 

f 

결과적으로 다음의 결론을 얻는다. 

1. 주파수 사이의 간격은 시계열의 전체길이가 길수록 짧아 진다. 

2. 데이타를 얻을 수 있는 주파수의 대역은 시계열 간격이 길수록 짧아진다. 

시간도메인과 주파수 도메인은 서로 반대되는 성질이 있다. 

만약 t=[0, 0.2, 0.4,…,2] 이라면, f=[0, 0.5, 1, 1.5,…,5] 이 된다. 



나이퀴스트 주파수 (Nyquist f) 

다음의 사인 함수을 제대로 기술하려면 한 주기당 몇개의 데이타가 필요할까 

아래 그림에서 보듯이 주기당 2개(빨간 원)의 데이타 값만 있을 경우는 제대로 

함수를 표시하기 힘들다. 4개(파란 x)인 경우는 상대적으로 잘 표현하고 있 

다. 따라서 하나의 주기에 2개의 데이타가 있는 경우보다 더 작은 경우는 

그 주파수는 표현이 불가능하다. 이때의 주파수를 나이퀴스트 주파수라 한 

다. 

1 

0.5 

0 

-0.5 

sin(x) 

나이퀴스트 주파수 (Nyquist f) 

1 

f Nyq 

= 

2dt 

1 2 n 

t = [0, dt, 

2dt,...., 

n dt] 

→ f = [0, , ,..., 

ndt ndt ndt 

그런데 실제 주파수의 영역은 나이퀴스트 주파수의 두배이다. 하지만 우리는 나 

이퀴스트 주파수 다음에는 실제 데이타가 없다는 사실을 알고 있다. 그래 

서나이퀴스트와그이후의값들은실제로음의주파수가된다. 음의 주파 

수가 왜 존재하는가 이는 푸리에 변환의 수학적 정의 때문에 도출되는 값 

으로 물리적으로 의미는 없다. 

n n 

n 

− − + 1 

− −1 

2 2 −1 

1 2 

t = [0, dt, 

2dt,...., 

n dt] 

→ f = [ , ,..., ,0, , ,..., 2 ] 

ndt 2ndt 

ndt ndt ndt ndt 

] 

-1 

이러한 작업을 해주는 매트랩 함수가 있는데 이것이 fftshift()이다. 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

x 



푸리에 변환 매트랩 예제 

짝함수(Even) 와 홀함수(Odd) 

코사인 함수를 푸리에 변환을 해보자. 

t=linspace(0, 12*pi, 1000); 

g=cos(t); 

dt=t(2)-t(1); 

df=1/dt/(1000-1); 

f=[-500:499]*df; 

G=fft(g); 

G=fftshift(G); 

subplot(2,1,1) 

plot(t, g); 

subplot(2,1,2) 

plot(f, G); 


1 

0.5 

0 

-0.5 

-100 

-1 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

어떤 함수 g(t)가 y축을 중심으로 대칭이면 그 함수는 짝함수(even function)이다. 

다시 말하면 g(-t)= g(t) 이다. 

어떤 함수 g(t)가 원점을 중심으로 대칭이면 그 함수는 홀함수(odd function)이다. 

다시 말하면 g(-t)= -g(t) 이다. 

홀함수는 차수가 홀수(1, 3, 5…)인 경우라서 홀함수라고 하고 짝함수는 차수가 

짝수(2, 4, 6…)인 함수이라서 짝함수라고 부른다. 


1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

-1 -0.5 0 0.5 1 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-1 -0.5 0 0.5 1 

17

짝함수와 홀함수의 성질 

∞ 

∫ 

a 

∫ 


O( 

t) 

df = 0; 

O( 

t) 

df = 0; 

E ( t) 

E ( t) 

= even 

O ( t) 

O ( t) 

= even 

a 

E( 

t) 

df = 2 E( 

t) 

df 

−∞ 

−∞ 

0 

E( 

t) 

df = 2 E( 

t) 

df 

−a 

−a 

0 

1 

1 

2 

2 

∞ 

∫ 

∫ 

∞ 

∫ 

a 

∫ 

E( 

t) 

O( 

t) 

= odd 

Theorem 

어떠한 함수이든 그 함수는 짝함수와 홀함수의 합으로 표현될 수 있다. 

E( 

t) 

= 1/ 2{ g( 

t) 

+ g( 

−t) 

} ← E( 

−t) 

= E( 

t) 

O( 

t) 

= 1/ 2{ g( 

t) 

− g( 

−t)} 

← O( 

−t) 

= O( 

t) 

g( 

t) 

= E( 

t) 

+ O( 

t) 

짝함수와 홀함수의 이용 

다시 푸리에 변환의 정의로 돌아가보자. G( 

f ) = FT{ 

g( 

t)} 

= 

g( 

t) 

= E( 

t) 

→ G( 

f ) = 

g( 

t) 

= O( 

t) 

→ G( 

f ) = 


G( 

− f ) = 

E( 

t) cos( −2πft) 

dt = G( 

f ) : 실수 짝함수 

G( 

− f ) = −i 

O( 

t)sin( 

−2πft) 

dt = −G( 

f ) : 허수 홀함수 

g( 

t) 

= iE( 

t) 

→ G( 

f ) = i E( 

t) cos(2πft) 

dt + 

G( 

− f ) = i E( 

t)cos( 

−2πft) 

dt = G( 

f ) : 허수 짝함수 

g( 

t) 

= iO( 

t) 

→ G( 

f ) = i O( 

t) cos(2πft) 

dt + 

∞ 

∫ 

−∞ 

∞ 

G( 

− f ) = 

E( 

t)cos(2πft) 

dt − i E( 

t)sin(2πft) 

dt = 

∫ 

O( 

t) cos(2πft) 

dt − i O( 

t)sin(2πft) 

dt = −i 

O( 

t)sin(2πft) 

dt 

−∞ 

∞ 

∫ 

∞ 

∫ 

∞ 

∫ 

−∞ 

−∞ 

−∞ 

∞ 

∫ 

∞ 

∫ 

−∞ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

E( 

t)sin(2πft) 

dt = i E( 

t) cos(2πft) 

dt 

∫ 

O( 

t)sin(2πft) 

dt = 

O( 

t)sin( 

−2πft) 

dt = −G( 

f ) : 실수 홀함수 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

∫ 

−∞ 

E( 

t) cos(2πft) 

dt 

∞ 

∫ 

−∞ 

∞ 

∫ 

∫ 

O( 

t)sin(2πft) 

dt 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

∫ 

−∞ 

g( 

t) 

e 

−i2πft 

dt 

Matlab을 이용한 선형 대수 계산 

앞에서 우리는 매트랩이 행렬연산을 중심으로 그 개발이 시작되었다는 것을 배웠 

다. 그러면 여기서 일반적인 선형 행렬 연산을 매트랩을 이용해서 어떻게 수 

행하는지몇가지의예를살펴보고자한다. 

벡터와 행렬의 Norm 

The p-norm of a vector x 

⎛ 

x = ⎜∑ 

⎝ 

p 

x 

p i 

i 

1/ p 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

is computed by norm(x,p). This is defined by any value of p > 1, but the most 

common values of p are 1, 2, and . The default value is p = 2, which 

corresponds to Euclidean length. 

The p-norm of a matrix A, 

⎛ Ax ⎞ 

p 

A = max⎜ 

⎟ 

p x ⎜ x ⎟ 

⎝ p ⎠ 

1/ 

p 

can be computed for p = 1, 2, and by norm(A,p). Again, the default value is 

p = 2. 

Ax=b 의 풀이 

가장 일반적인 선형방정식 Ax=b의 풀이를 생각해 보자. 

만약 A 가 (m,n) 의 크기를 가지는 행렬인 경우, 

(1) m > n : 주어진식이해보다많다(overdetermined). 이 경우에 모든 식을 만 

족시키는 해가 없는 경우가 이므로, 실제 구해진 해는 차이값 (에러)들의 합 

을 최소화 하는 해를 구한다. 

(2) m = m : 식과 해의 갯수가 일치하는 경우로 이 경우에는 대부분 답을 구할 

수있다. 다만 주어진 식들중에서 같은 것이 있는 경우 답이 정할 수 없다. 

(3) m < n : 주어진 식이 해보다 적을 경우로 (underdetermined), 하나의 해를 구 

할수없고관계식이주어진다. 

매트랩에서는 / 이나 \ 연산자를 이용해서 구한다. 


만약 행렬 A가 정사각행렬(square matrix)인 경우에는정확한Ax=b의 풀이는A의 

역행렬을 구하여, 양변에 곱하면 된다. 

x = inv(A) * b; 

하지만 행렬 A가 역행렬을 가지지 않는 경우, 다시 말해서 A의 행렬식이0인 경우, 

다시 말해서 A의 행렬의 열들이 모두 서로 독립이 아닌 경우는 역행렬을 가 

지지 않고 따라서 해는 존재하지 않는다. 

그런데 행렬식이 0은 아니지만아주0에 가까운 경우를 생각해 보자. 

⎛1 

A = ⎜ 

⎝2 

2⎞ 

⎟, 

4⎠ 

⎛1 

B = ⎜ 

⎝2 

2 ⎞ 

⎟ 

4.0000000001⎠ 

위의 B 의 경우는 수학적으로 역행렬을 가지지만, 실제 컴퓨터에서는 역행렬을 계 

산할 수도 있고, 못할 수도 있다. 이렇게 행렬이 얼마나 singluar에 가까운 가 

를알아보는데는condition number 를 쓴다. >> cond(B) 

18


만약 행렬 A에 어떤행렬B를 곱했더니그결과가단위행렬이되었다고하자. 

⎛1 

Ax = b, 

BA = ⎜ 

⎝0 

⎛1 

0⎞⎛ 

x1 

⎞ ⎛3⎞ 

⎜ ⎟⎜ 

⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝0 

1⎠⎝ 

x2 

⎠ ⎝2⎠ 

0⎞ 

⎟, 

1⎠ 

⎛3⎞ 

Bb = ⎜ ⎟ 

⎝2⎠ 

당연히 행렬 B는 A의 역행렬이다. 그런데 이렇게 역행렬을 곱하고 나면 미지수 x앞 

에 있는 행렬이 단위 행렬이 되고 실제 그 해들은 식의 오른 쪽에 있는 Bb가 

바로 답이 된다. 

따라서, 선형방정식의 여러가지 풀이 방법은 행렬A에 어떤값을곱해서그결과가 

근사적으로 단위행렬이 되게 하는 것이 그 기본 목적이다. 

Eigenvalue and Eigenvector 

사각행렬을 다룰 때, 우리는 흔히 고유값과 고유벡터란 용어를 흔히 쓴다. 

이것이 무엇인지 알아보자. 

고유값은 어떤 행렬 A가 Ax = λx 를 만족시킬 때 그 때의 스칼라값 λ를 고유값그 

리고 벡터 x를 고유벡터라고한다. 

이렇게 하기 위해서 우리는 A를 고유값 변환이라는 것을 이용해 행렬을 분해하게 

된다. 그 결과만 제시하면, 

AV = VΛ, 

A = VΛV 

−1 

여기서 중간에 주어진 행렬은 대각행렬이 된다. 

그리고 여기서 우리는 한가지의 사실을 알아야 하는데, 벡터의 좌표변환을 기억해 

보면, 다음과 같이 된다. 

x ′ = Tx 

비슷한 방법으로 행렬의 좌표변환을 알아보면 다음과 같이 된다. 

A′ = TAT 

−1 



따라서 앞의 결과로 부터, 우리는 A라는 행렬은 대각행렬 Λ을 3차원 좌표변환을 한 

값이라는 사실을 알 수가 있다. 

다음 예제를 살펴보자. 여기서 우리는 (σ xx =4 σ yy =8 σ yx =3.46)이라는 것에서 시 

작해서 주응력을 구해보자. 

그러면 이 대각행렬의 성분들은 무엇이 되는가 그것은 바로 아까 말했던 고유값들 

이다. 그리고 좌표변환에 이용된 행렬 V는 그 행렬의 고유벡터들의 모임이다. 

다시 이를 정리하면 무엇이 되는가 어떠한 행렬을 고유분해를 하면 (회전변환) 우 

리는 대각행렬을 얻게 된다. 이 내용은 우리에게 매우 익숙하다. 응력의 경우 

를예를들어보자. 우리는 응력이 텐서, 다시 말해서 행렬이라는 사실을 알 

고있다. 이것을 회전변환을 해서 대각성분만 남는 다는 말은 무엇인가. 응력 

장의 좌표를 회전시켜서 주응력(대각성분)만 남긴다는말이다. 다시 말해서 

우리가 원하는 eigenvalue는 주응력 성분이 되고, eigenvector는 그주응력방 

향이 된다. 

30° 

2 MPa 

10 MPa 

2 MPa 

y 

x 

-60° 

τ 

(σ, τ) 

120° 

2 6 10 

σ 

매트랩에서 eig라는 명령어가 행렬의 고유치와 고유벡터를 구하는 함수이다. 

10 MPa 

σ = 6 - 4×cos(60°) = 4 MPa 

τ = 4×sin(60°) = 3.46 MPa 


Symbolic Math 

이번에는 고유치와 고유 벡터를 구해서, (σ xx =4 σ yy =8 σ yx =3.46)의 결과로부터 

주응력을 계산해 보자. 

t ⎛ 8 3.46⎞ 

σ = ⎜ ⎟ 

⎝3.46 

4 ⎠ 

t 

⎛8 

− λ 3.46 ⎞ 

σx 

− λx 

= 0 ⇒ ⎜ 

⎟x 

= 0 

⎝ 3.46 4 − λ ⎠ 

2 

(8 − λ)(4 

− λ) 

− 3.46 = 0 

∴λ 

= 10 or 2 

이 계산은 매트랩에서 eig() 란 함수로 수행할 수 있다. 

>> [v d]=eig([8 3.46; 3.46 4]) 

v = 0.50 -0.87 

-0.87 -0.50 

d = 2.00 0 

0 10.00 

또 다른 매트랩에서 유용한 tool중의 하나는 symbolic math의 기능이다. 

이는 실제 숫자를 이용하지 않고 문자로 계산하는 방법이다. 

예를 들어 

>> solve( 'a*x^2 + b*x + c = 0', 'x') 

1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)) 

1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)) 

이는 여러분이 잘 아는 이차방정식의 근의 공식이다. 그러면 3차방정식의 근은 

>> solve( 'a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0', 'x') 

1/6/a*(36*b*c*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2- 

18*b*c*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)-2/3*(3*a*c-b^2)/a/(36*b*c*a-108*d*a^2- 

8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2-18*b*c*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)-1/3*b/a 

-1/12/a*(36*b*c*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2- 

18*b*c*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)+1/3*(3*a*c-b^2)/a/(36*b*c*a-108*d*a^2- 

8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2-18*b*c*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)- 

1/3*b/a+1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*(36*b*c*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2- 


8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2-18*b*c*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)) 

-1/12/a*(36*b*c*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2- 


8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2-18*b*c*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)-1/3*b/a- 

1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*(36*b*c*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2- 


8*b^3+12*3^(1/2)*(4*a*c^3-c^2*b^2-18*b*c*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a)^(1/3)) 

19

Symbolic Math 

앞에서 보듯이 그 답이 무지하게 복잡하다. 이러한 경우에는 그 식을 다른 변수로 

치환할수있다. 

>> sol = solve( 'a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0', 'x'); 

그런 후에 a,b,c,d의 값을 정하고 답을 구하고 싶으면, 

>> a=1; b=0; c=0; d=-1; 

>> eval(sol) 

1.0000 

-0.5000 + 0.8660i 

-0.5000 - 0.8660i 

이경우sol 은 식을가진symbolic object가 되고, 여기에 값을 대입해 해를 구하고 

싶을 땐, 각각의 변수에 값을 대입하고 eval()을 이용해서그함수를구하면 

된다. 

Symbolic Math 

단순히식을푸는것(solve) 뿐만이 아니라 다른 수식계산과 매트랩에서 가능한데 

그중몇가지만살펴보면, 

함수의 미분과 적분 

>> diff( ‘sin(x)’, ‘x’) 

cos(x) 

>> int('sin(a*x)','x') 

-1/a*cos(a*x) 

>> int('sin(x)','x',0, pi) 

2 

>> int('sin(a*x)','x',0, pi) 

-(cos(pi*a)-1)/a 

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