基础介绍 - 模式识别国家重点实验室- ä¸­å›½ç§‘å­¦é™¢è‡ªåŠ¨åŒ–ç ”ç©¶æ‰€

视 觉 基 础 介 绍
吴 毅 红
中 国 科 学 院 自 动 化 研 究 所
模 式 识 别 国 家 重 点 实 验 室
http://www.nlpr.ia.ac.cn/English/rv/download.htm

主 要 内 容
1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视 觉 理
论 计 算 框 架
2. 演 示 : 单 幅 图 像 测 量 ; 三 维 重 建 ; 结 构 光 三 维 重 建 ; 场 景
漫 游
3. 景 物 的 成 像 过 程
4. 三 维 重 建 的 目 的 、 过 程
5. 射 影 几 何 学 简 介

1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视
觉 理 论 计 算 框 架
计 算 机 视 觉 是 研 究 用 计 算 机 来 模 拟 人 和 生 物 的 视 觉 系 统 功 能
的 技 术 学 科 .
它 是 一 门 综 合 性 的 学 科 , 其 中 包 括 计 算 机 科 学 和 工 程 、 信
号 处 理 、 物 理 学 、 应 用 数 学 和 统 计 学 , 神 经 生 理 学 和 认 知
科 学 等 .
目 标 : 让 计 算 机 能 够 感 知 周 围 视 觉 世 界 , 了 解 它 的 空 间 组 成
和 变 化 规 律 . 传 感 、 抽 象 、 判 断 、 识 别 、 理 解

1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视
觉 理 论 计 算 框 架
David Marr (1945-80)、 马 尔 是 英 国 心 理 学 家 。
他 将 心 理 学 , 人 工 智 能 和 神 经 生 理 学 的 结 果 结 合 起 来 , 对 视
觉 的 研 究 做 出 了 重 要 贡 献 。 他 是 计 算 视 觉 的 奠 基 人 。35 岁 ,
患 白 血 病 去 世 。
D. Marr. Vision. Freeman and Company, Oxford,
1982.
该 书 概 括 了 Marr 从 1973 到 1977 年 在 MIT 人 工 智 能 实 验 室
的 研 究 工 作 。 发 表 于 1982。
该 书 诣 于 建 立 一 个 研 究 视 觉 的 新 框 架 。

1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视
觉 理 论 计 算 框 架
马 尔 视 觉 系 统 研 究 的 三 个 层 次 :
计 算 理 论 层 次 、 表 达 与 算 法 层 次 、 硬 件 实 现 层 次
计 算 目 的 与 计 算
策 略 ;
输 入 、 输 出
各 模 块 的 输 入 、 输 出 和
内 部 的 信 息 表 达 、 以 及
实 现 计 算 理 论 规 定 的 目
标 的 算 法
如 何 用 硬 件 实
现 以 上 算 法

1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视
觉 理 论 计 算 框 架
任 务 : 马 尔 视 觉 信 息 处 理 的 三 个 阶 段 :
图 像 低 层 处 理
中 层 处 理
空 间 表 达 与 建 模
高 层 分 析
图 像 获 取 ;
图 像 预 处 理 包 括 图
像 滤 波 、 增 强 、 矫
正
抽 取 图 像 的 特 征 ,
恢 复 其 2.5 维 结 构 ,
进 行 建 模 与 表 达
识 别 、 分 析 、 理 解 、
描 述

1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视
觉 理 论 计 算 框 架
马 尔 视 觉 理 论 特 点 :
没 有 考 虑 视 觉 中 的 选 择 性 和 整 体 性 ;
不 确 定 和 多 义 性 ;
计 算 量 大
计 算 机 视 觉 的 应 用 :
工 业 自 动 化 : 工 件 的 校 验 和 质 量 控 制 ; 机 器 人 导 航 ;
机 器 人 的 工 件 获 取 和 安 放 ; 测 量
人 机 交 互 : 人 脸 的 检 测 、 跟 踪 、 识 别 、 建 模 和 动 画 ; 人 体 检 测 和 跟 踪 ;
手 势 识 别 ; 事 件 的 检 测 和 识 别 ; 视 觉 监 控

2. 演 示
• 单 幅 图 像 测 量 ;
DEMO
DEMO
• Automated 三 维 重 建 ;
• 结 构 光 三 维 重 建 ;
DEMO
场 景 重 建
• 场 景 漫 游
DEMO
DEMO
DEMO DEMO DEMO

3. 景 物 的 成 像 过 程
针 孔 摄 像 机
成 像 平 面
摄
像
机
坐
标
系
O
X
m
Z
M
Y
带 镜 头 的 摄 像 机 : 薄 透 镜 ; 鱼 眼 镜 头 ; 反 射 镜 面

反 射 折 射 镜
鱼 眼 镜 头
针 孔 相 机

坐 标 系
1、 、 世 界 坐 标 系 :
2、 、 摄 像 机 坐 标 系 :
3、 、 图 像 坐 标 系 :
X , Y , Z
w
w
w
X
c
, Yc
, Z
x, y
c
[ u, v]
[ ]
Xw
O w
Zw
世 界 坐 标 系
Y w
说 明 :
X c
u
x
Z c
为 了 校 正 成 像 畸 变
用 理 想 图 像 坐 标 系
和 真 实 图 像 坐 标 系
[ X ]
u
, Y u
[ X , Y d d
]
分 别 描 述 畸 变 前 后 的 坐 标 关 系
O
v
O 1
图 像 坐 标 系
摄 像 机 坐 标 系
y
Y c

摄 像 机 光 学 成 像 过 程 的 四 个 步 骤
1、 、 刚 体 变 换 公 式
⎡x
⎢
⎢
y
⎢⎣
z
c
c
c
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
=
⎡x
R
⎢
⎢
y
⎢⎣
z
齐 次 坐 标 形 式
⎡x
⎤
⎢
⎢
y
⎢z
⎢
⎣1
c
c
c
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡ R
= ⎢ T
⎣0
w
w
w
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
+
⎡x
t
⎢
⎤⎢
y
1
⎥
⎦⎢x
⎢
⎣1
w
3 w
t
w
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
刚 体 变 换
透 视 投 影
畸 变 校 正
数 字 化 图 像
世 界 坐 标 系
摄 像 机 坐 标 系
理 想 图 像 坐 标 系
真 实 图 像 坐 标 系
数 字 化 图 像 坐 标 系

透 视 投 影 —— 透 镜 成 像 原 理 图
1
f
=
1
m
+
1
n
物 体
B
A
B
O
C
n >>
f
一 般 地 由 于
于 是
m ≈ 这 时 可
以 将 透 镜 成 像 模 型 近
似 地 用 小 孔 模 型 代 替
f
f=OB 为 透 镜 的 焦 距
m=OC 为 像 距
n=AO 为 物 距
图 像

透 视 投 影 —— 小 孔 成 像 模 型
x = − f
u
x
z
c
c
Y c
Z
c
y = − f
u
⎡x
⎢
⎢
y
⎢⎣
1
⎤ ⎡−
f
⎥
=
⎢
⎥ ⎢
0
⎥⎦
⎢⎣
0
y
z
写 成 齐 次 坐 标 形 式 为
z
c
u
u
c
c
−
0
0
f
0
0
1
⎡x
0⎤⎢
⎥⎢
y
0
⎥⎢z
0⎥⎦
⎢
⎣1
c
c
c
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
o
Y u
m ,
( ) x u y u
X
u
X
( x , y z )
M ,
c
c
c
c

中 心 透 视 投 影 模 型
x =
u
y =
u
f
f
x
z
y
z
c
c
c
c
o
写 成 齐 次 坐 标 形 式 为
Y
c
X
c
f
Y
u
p ( x u
, y u
)
O
1
X
u
( x , y z )
M ,
c
c
Z
c
c
z
c
⎡x
⎢
⎢
y
⎢⎣
1
u
u
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
=
⎡ f
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
f
0
0
0
1
⎡x
0⎤⎢
⎥⎢
y
0
⎥⎢z
0⎥⎦
⎢
⎣1
c
c
c
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

畸 变 校 正 —— 径 向 和 切 向 畸 变
径 向 畸 变
径 向 失 真
离 心 畸 变
切 向 失 真
薄 透 镜 畸 变
Y u
Ideal Position
dr
dt
x
y
d
d
=
=
x
y
u
u
+ δ
x
+ δ
u
y
u
( x , y )
u
( x , y )
u
u
u
Position with distortion
X u
dr :radial distortion
dt :tangential distortion

畸 变 校 正 —— 其 它 畸 变 类 型
X u
Axis of max
Tangential
distortion
a
Y u
b
a :barrel distortion
b :pincushion distortion
Axis of min
tangential
distortion
桶 形 畸 变 a 和 枕 形 畸 变 b
薄 棱 镜 畸 变

图 像 数 字 化
O
1
在
u, v 中 的 坐 标 为
( u )
像 素 在 轴 上 的 物 理 尺 寸 为
0 ,v 0
dx, dy
V
Y d
Affine Transformation :
u
v
=
=
u
v
0
0
齐 次 坐 标 形 式 :
xd
yd
cotθ
+ −
dx dx
yd
+
dy sinθ
C
v 0
θ
y d
u 0
O 1
θ
x d
X d
U
⎡u⎤
⎢ ⎥
⎢
v
⎥
⎢⎣
1 ⎥⎦
=
⎡ fu
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
−
f
v
f
u
cotθ
/ sinθ
0
u0
⎤⎡x
v
⎥⎢
0
⎥⎢
y
1 ⎥⎦
⎢⎣
1
d
d
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
其 中
f
u
=
1
,
dx
f
v
=
1
dy

线 性 摄 像 机 成 像 模 型
图 像 像 素 坐 标 系
图 像 物 理 坐 标 系
摄 像 机 坐 标 系
世 界 坐 标 系
⎡u⎤
⎢ ⎥
⎢
v
⎥
⎢⎣
1 ⎥⎦
=
⎡ fu
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
−
f
v
f
u
cotθ
/ sinθ
0
u0⎤⎡x⎤
v
⎥⎢
⎥
0
⎥⎢
y
⎥
1 ⎥⎦
⎢⎣
1 ⎥⎦
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎢
y
⎥
⎢⎣
1 ⎥⎦
=
1
z
c
⎡ f
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
f
0
0
0
1
⎡x
0⎤⎢
⎥⎢
y
0
⎥⎢z
0⎥⎦
⎢
⎣1
c
c
c
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡x
⎢
⎢
y
⎢z
⎢
⎣1
c
c
c
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡ R
⎢ T
⎣0
⎡x
t
⎢
⎤⎢
y
1
⎥
⎦⎢x
⎢
⎣1
w
w
3 w
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
最 终 得 到 :
图 像 像 素 坐 标 系
世 界 坐 标 系
z
c
⎡u⎤
⎡ ffu
− ffu
cotθ
u0
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎡
R
⎢
v
⎥
=
⎢
0 ffv
/ sinθ
v0
⎥⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎣o
3
⎣1
⎦ ⎣ 0 0 1
1444
24444
3⎦
K
T
⎡x
⎢
t⎤⎢
y
1
⎥
⎦⎢z
⎢
⎢⎣
1
w
w
w
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
这 是 忽 略 畸 变 的 线 性 成 像 模 型

4. 三 维 重 建 的 目 的 、 任 务

三 维 重 建 是 人 类 视 觉 的 主 要 目 的 , 也 是 计 算 机 视 觉 的 最
主 要 的 研 究 方 向 . (Marr 1982)
所 谓 三 维 重 建 就 是 指 从 单 幅 图 像 加 景 物 约 束 、 二 幅 、 二
幅 以 上 图 像 恢 复 空 间 点 三 维 坐 标 的 过 程 。
成 像 平 面
O

照 相 机 的 成 像 模 型 :
xi
m = K ( R,
t)
Μ
i
i
三 维 重 建 主 要 目 的 : 从 图 像 出 发 , 求 出 所 有 的 M i
摄 像 机 标 定 : 从 图 像 出 发 , 求 出 内 参 数 K
摄 像 机 标 定 位 或 运 动 参 数 求 解 : 从 图 像 出 发 , 求 出 运 动 参 数 R,t
三 维 重 建 的 三 个 关 键 步 骤
• 图 像 对 应 点 的 确 定
• 摄 像 机 标 定
• 摄 像 机 运 动 参 数 的 确 定

三 维 重 建 示 意 图
M
y w
z w
x w
o
I
l
m
e
I′
e'
l'
m′
o′
R,T
因 此 , 有 必 要 研 究 图 像 之 间 约 束 , 图 像 之 间 的 几 何
图 像 几 何 学

5. 射 影 几 何 学 简 介

为 什 么 要 学 习 射 影 几 何
• 照 相 机 的 成 像 过 程 是 一 个 射 影 变 换 ( 透 视
或 中 心 射 影 ) 的 过 程 :
成 像 平 面
摄
像
机
坐
标
系
O
X
p
Z
P
Y

常 见 的 旋 转 和 平 移 是 欧 氏 变 换 , 研 究
在 欧 氏 变 换 下 保 持 不 变 的 性 质 ( 欧 氏
性 质 ) 的 几 何 , 是 欧 氏 几 何 。 比 如 长
度 、 角 度 、 平 行 性 等 都 是 欧 氏 性 质 。

照 相 机 的 成 像 过 程 不 保 持 欧 氏 性 质
例 如 : 平 行 线 不 再 平 行

无 穷 远 元 素
平 行 线 交 于 一 个 无 穷 远 点 ;
平 行 平 面 交 于 一 条 无 穷 远 直 线 ;

• 在 一 条 直 线 上 只 有 唯 一 一 个 无 穷 远 点 .
所 有 的 一 组 平 行 线 共 有 一 个 无 穷 远 点 .
无 穷 远 点

• 在 一 个 平 面 上 , 所 有 的 无 穷 远 点 组 成 一 条
直 线 , 称 为 这 个 平 面 的 无 穷 远 直 线 .
平 行 线
无 穷 远 直 线

• 3 维 空 间 中 所 有 的 无 穷 远 点 组 成 一 个 平 面 ,
称 为 这 个 空 间 的 无 穷 远 平 面 .
平 行 线
平
行
平
面
和
直
线
无 穷 远 平 面

射 影 空 间
对 n 维 欧 氏 空 间 加 入 无 穷 远 元 素 , 并 对 有
限 元 素 和 无 穷 远 元 素 不 加 区 分 , 则 它 们 共
同 构 成 了 n 维 射 影 空 间 .

1 维 射 影 空 间 是 一 条 射 影 直 线 , 它 由 我 们 所 看 到
的 欧 氏 直 线 和 它 的 无 穷 点 组 成 ;
2 维 射 影 空 间 是 一 个 射 影 平 面 , 它 由 我 们 所 看 到
的 欧 氏 平 面 和 它 的 无 穷 远 直 线 组 成 ;
3 维 射 影 空 间 由 我 们 所 在 的 空 间 与 无 穷 远 平 面
组 成 .

齐 次 坐 标
在 欧 氏 空 间 中 建 立 坐 标 系 后 , 便 有 了 点 与
坐 标 间 的 一 一 对 应 , 但 当 引 入 无 穷 点 以 后 ,
无 穷 远 点 无 坐 标 , 为 了 刻 化 无 穷 远 点 的 坐
标 , 我 们 引 入 齐 次 坐 标 .

在 n 维 空 间 中 , 建 立 欧 氏 坐 标 后 , 每 一 个
有 限 的 点 的 坐 标 为 ( m1,...,
m
n
) , 对 任 意
n+1 个 数 x ,..., x x , 如 果 满 足 :
1 n
,
0
x1
x
n
x ≠ 0, = m
1
,..., =
x
x
m
0 n
0
0
.
则
坐 标 .
( x
1
,..., x
n
, x
0
)
被 叫 作 这 个 点 的 齐 次

( m1,...,
m
n
相 对 于 齐 次 坐 标 , 被 称 作 非
齐 次 坐 标 .
)
不 全 为 0 的 数
x ,...,
1
x
n
组 成 的 坐 标
( x 1
,..., x n
,0)
被 称 作 无 穷 远 点 的 齐 次 坐 标 .

例 如 : 在 欧 氏 直 线 上 的 普 通 点 的 坐 标 为 x ,
则 适 合
的 两 个 数
x 1
, x 0
x x =
1 /
组 成 的 坐 标
为 这 个 点 的 齐 次 坐 标 , x 为 这 个 点 的 非 齐
次 坐 标 . 对 任 意 的 , 则
( x 1
, 0)
为 无 穷 远 点 的 齐 次 坐 标 .
0
( x 1
, x0
)
x 1
≠ 0
x

引 入 齐 次 坐 标 后 ,
• 在 二 维 平 面 上 , 如 果 直 线 的 方 程 为 :
a x
则 直 线 的 齐 次 方 程 为 :
a x
1
+ b x2
+ c =
1
+ b x2
+ c x0
=
无 穷 远 直 线 的 方 程 则 为 :
x 0 = 0
0
0

• 在 三 维 空 间 中 , 如 果 平 面 的 方 程 为 :
a x
1
+ b x2
+ c x3
+ d =
则 平 面 的 齐 次 方 程 为 :
a x
无 穷 远 平 面 的 方 程 则 为 :
0
1
+ b x2
+ c x3
+ d x0
=
x 0 = 0
0

射 影 参 数
对 于 n 维 空 间 中 的 任 意 一 条 直 线 , 如 果
P 1
, P 2 是 它 上 的 任 意 两 个 取 定 的 点 , 则 它
上 的 任 意 一 个 点 P 可 以 由 P 1
, P 2 线 性 生
成 :
X = c +
1X
1
c2
X
其 中 X , X
1
, X 2 分 别 是 P , P1 , P2
的 齐 次 坐
标 , 是 两 个 不 全 为 零 的 常 数 .
c 1
, c 2
2

c
c
1
比 例
2
被 叫 作 P 关 于 P 1
, P2
在 这 条 直
线 上 的 射 影 参 数 .
如 果 , 则 射 影 参 数 为 .
c
2 =
0
∞

交 比
对 于 共 线 的 4 个 点 P , P , P P , 比 例 :
( θ
1
( θ
2
1 2 3
,
− θ
3
)( θ
2
− θ )( θ
被 叫 作 P , ) 关 于 P 1
, P ) 的 交 比 , 记 为
( P 3 4
3
(
2
1
− θ
4
− θ
4
4
)
)
( P1 , P2
; P3
, P4
)
其 中 θ 分 别 是 P i
i , i = 1 .. 4 的 射 影 参 数 。

• 定 理 : 设 四 个 不 同 的 共 线 点 中 的 三 点 及
其 交 比 值 为 已 知 , 则 第 四 点 必 唯 一 确 定 。

射 影 变 换
'
记 S
n
, S
n 是 两 个 由 点 组 成 的 射 影 空 间 ,
'
T 是 由 S
n 到 S
n 的 映 射 . 如 果 T 保 持 :
(i) 点 和 直 线 的 结 合 关 系 . 比 如 : 点 在 直 线 上 ;
直 线 通 过 点 ; 等 等 .
(ii) 共 线 的 四 个 点 的 交 比 .
则 T 被 叫 作 n 维 射 影 变 换 .

'
• 两 个 射 影 空 间 S
n
, S
n 可 以 是 同 一 个 空 间 ,
则 T 是 同 一 个 空 间 里 的 变 换 .

• 点 用 齐 次 坐 标 表 示 , 则 射 影 变 换 可 用 一 个
(n+1)-(n+1) 的 矩 阵 表 示 :
⎛ x
⎜
⎜M
⎜
⎜ x
⎜
⎝ x
↓
'
1
P '
'
n
'
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
t
M
t
11
,
( n + 1)1
K
O
, K
• T 的 行 列 式 非 零 , 则 它 是 一 个 非 退 化 的
射 影 变 换 , 否 则 是 个 退 化 的 射 影 变 换 .
,
↓
T
, t
t
1( n + 1)
M
( n + 1)( n + 1)
⎛ x
⎞⎜
⎟⎜M
⎟⎜
⎟ x
⎜
⎠
⎝ x
↓
P
1
n
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

'
例 如 : L L' 是 两 条 射 影 直 线 , 让 P i 与 P i
'
对 应 , 其 中 P
i 与 P i 的 连 线 都 交 于 一 点 , 则
这 个 映 射 是 一 个 1 维 射 影 变 换 . ( 透 视 或
中 心 射 影 )
O
P3’
B
L’
A
P1’
P2’
P0 P1 P2 P3
L

• 照 相 机 的 成 像 过 程 是 一 个 从 3 维 空 间 到 2
维 空 间 的 退 化 的 射 影 变 换 。

射 影 几 何
射 影 几 何 是 : 研 究 射 影 空 间 中 在 射 影 变
换 下 保 持 不 变 的 性 质 的 几 何 学 。

射 影 平 面 中 的 对 偶
• “ 点 ” 与 “ 直 线 ” 叫 作 射 影 平 面 上 的 对 偶 元 素 。
• “ 过 一 点 作 一 直 线 ” 与 “ 在 一 直 线 上 取 一 点 ”
叫 作 对 偶 作 图 。

• 在 射 影 平 面 里 设 有 点 , 直 线 及 其 相 互 结
合 和 顺 序 关 系 所 组 成 的 一 个 命 题 , 将 此
命 题 中 的 各 元 素 改 为 它 的 对 偶 元 素 , 各
作 图 改 为 它 的 对 偶 作 图 , 其 结 果 形 成 另
一 个 命 题 , 这 两 个 命 题 叫 作 平 面 对 偶 命
题 。
• 对 偶 原 则 : 在 射 影 平 面 里 , 如 果 一 个 命
题 成 立 , 则 它 的 对 偶 命 题 也 成 立 。

• 例 如 :
命 题 : 通 过 不 同 两 点 必 有 一 直 线 。
对 偶 命 题 : 两 不 同 直 线 必 有 一 交 点 。

• 共 线 的 四 个 点 有 交 比 , 根 据 对 偶 , 共 点 的
四 线 也 有 交 比 .
P1
P2
P3
P4
L4
L1 L2 L3
(P1, P2; P3, P4)=(L1, L2; L3, L4)

调 和 关 系
如 果 点 对 ( P , P ) 和 ( P
1 2
3
, P4
) 的 交 比 是 -1, 即 :
(
4
P1 , P2
; P3
, P ) = −1
则 称 P , ) 与 ( P 3
, P4
) 是 调 和 的 .
( P 1 2

点 对 ( P , P ) 与 ( , P
1 2
3 4
) 是 调 和 的 , 当 且
仅 当 :
P θ + θ )( θ + θ ) = 2( θ θ + θ )
(
1 2 3 4 1 2 3θ
4
其 中 θ 分 别 是 P i
i , i = 1 .. 4 的 射 影 参
数 .

• 一 线 段 的 中 点 为 无 穷 远 点 关 于 这 个 线 段
的 两 个 端 点 的 调 和 点 。
• 因 为 调 和 关 系 是 由 交 比 定 义 的 , 所 以 它
是 射 影 不 变 的 。

• 例 如 : 利 用 这 种 不 变 的 调 和 关 系 , 我 们
可 以 求 出 无 穷 远 点 的 像 。 无 穷 远 点 的 像
可 以 用 来 对 照 相 机 进 行 标 定 。
成 像 平 面
X
P
摄
像
机
坐
标
系
O
p
Z
Y

完 全 四 点 ( 线 ) 形 中 的 调 和 关 系
• 由 四 个 点 ( 无 三 点 共 线 ) 以 及 连 结 其 中
任 意 两 点 的 六 条 直 线 所 组 成 的 图 形 叫 完
全 四 点 形 。
• 由 四 条 直 线 ( 无 三 线 共 点 ) 以 及 其 中 任
意 两 条 直 线 的 六 个 交 点 所 组 成 的 图 形 叫
完 全 四 线 形 。

完 全 四 点 形 :
M
C
E
P4
F
H
A
G
P3
P1
D
P2
B
P1, P2, P3, P4 是 四 个 顶 点 , 六 条 白 线 是 三
对 对 边 , 三 个 红 点 A, B, C 是 对 边 点 , 三 条
红 线 和 三 个 红 点 组 成 对 边 三 点 形 。
(CA, CB; CG, CE)= -1 (D, B; P2, P1)= -1
(A, B; G, E)= -1 (F, B; P3, P4)= -1
(A, H; P3, P1)= -1 (A, M; P2, P4)= -1

二 次 曲 线
记 射 影 平 面 上 点 的 齐 次 坐 标 为 ( x1,
x2,
x3)
,
则 满 足 一 个 二 次 方 程 , 即 :
3
∑
i , j = 1
a x x = 0 ( a =
ij
i
j
的 所 有 点 的 集 合 构 成 一 条 由 a ij 决 定 的
二 次 曲 线 , 其 中 至 少 有 一 个 a ij 非 零 .
ij
a
ji
)

在 二 次 曲 线 的 定 义 中 的 方 程 又 可 以 写 为 :
⎛ a
⎜
11 12 13 1
1 2 3 ⎜ 21 22 23 ⎟⎜
2 ⎟ =
( x x x ) a a a x 0
⎜
⎝ a
31
a
a
矩 阵 ( a ij
) 是 对 称 的 , 它 的 秩 在 一 个 非 退 化
的 射 影 变 换 下 保 持 不 变 .
32
a
a
33
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
x
x
3
⎞
⎟
⎟
⎠

( a ij
)
如 果 矩 阵 的 行 列 式 非 零 , 则 这 个 二 次
曲 线 非 退 化 . 否 则 二 次 曲 线 退 化 为 两 条 直
线 , 或 一 条 直 线 .
例 如 : 圆 , 椭 圆 , 双 曲 线 和 抛 物 线 都 是 非 退
化 的 二 次 曲 线 .

二 次 曲 线 的 对 偶 :
• 射 影 平 面 上 点 与 直 线 是 对 偶 的 , 将 二 次
曲 线 的 点 元 素 换 为 线 元 素 , 则 这 些 线 的
包 络 为 一 个 二 次 曲 线 。
• 二 次 曲 线
的 对 偶 为 :
X τ CX = 0
0
( X 为 点 坐 标 )
*
L τ C L = ( L 为 线 坐 标 )
*
其 中 C 为 C 的 伴 随 矩 阵 。

互 为 对 偶
点 的 轨 迹
线 的 包 络

绝 对 二 次 曲 线
欧 氏 空 间 中 , 无 穷 远 平 面 上 的 二 次 曲 线 :
2
2
2
x + x + x = 0,
x = 0
1 2 3
0
称 为 绝 对 二 次 曲 线 . 它 都 由 虚 点 构 成 , 任
何 一 个 圆 都 与 它 交 于 一 对 虚 共 轭 点 ( 圆 环
点 ).

绝 对 二 次 曲 线 的 像 与 照 相 机 的 内 参 数 紧
密 相 连 . 假 定 照 相 机 的 内 参 数 为 :
K
⎡ f
⎢
⎢
⎢
⎣0
则 绝 对 二 次 曲 线 的 像 是 :
=
X
0 0
τ
K
反 之 , 如 果 绝 对 二 次 曲 线 的 像 已 知 , 则 K
可 以 被 完 全 确 定 .
−τ
r
K
s
0
f
−1
u
v
1
X = 0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

• 如 果 圆 环 点 的 像 已 知 , 也 可 以 对 照 相 机
的 内 参 数 构 成 约 束 , 通 过 解 方 程 组 来 得
到 内 参 数 的 值 。
假 定 m 是 圆 环 点 的 像 , 则 :
m
τ
K
− τ
K
−1
m=
0

极 点 与 极 线
• 对 于 一 个 二 次 曲 线 C 和 某 个 点 A ( 向 量 ),
由 L=C A 确 定 的 直 线 ( 线 坐 标 ), 称 为
点 A 关 于 二 次 曲 线 C 的 极 线 。
• 当 A 在 二 次 曲 线 C 上 时 , 点 A 的 极 线
为 过 它 的 切 线 。

• 对 于 一 个 二 次 曲 线 C 和 某 条 直 线 L ( 向
*
量 ), 由 A = C L 确 定 的 点 , 称 为 线 L 关
于 二 次 曲 线 C 的 极 点 。
• 当 L 为 二 次 曲 线 C 的 切 线 时 , 线 L 的
极 点 为 它 上 的 切 点 。

• 对 极 关 系 是 射 影 不 变 的 关 系 , 利 用 这 个 关
系 我 们 可 以 对 照 相 机 进 行 标 定 .

例 如 : 在 欧 氏 空 间 中 , 一 个 圆 的 圆 心 是 无
穷 远 直 线 关 于 这 个 圆 的 极 点 , 无 穷 远 直 线
是 圆 心 关 于 这 个 圆 的 极 线 . 利 用 这 种 不 变
的 对 极 关 系 , 在 照 相 机 的 像 平 面 上 , 可 以
求 出 一 对 圆 环 点 的 像 , 对 照 相 机 进 行 标 定 .
详 见 :
孟 晓 桥 , 胡 占 义 ,A new easy camera
calibration technique based on circular
points,Pattern Recognition,Vol. 36, No.
5, pp 1155-1164, 2003.

三 维 射 影 几 何
• 点 、 直 线 、 平 面
• 二 次 曲 面
• 扭 三 次 曲 线 : 与 三 维 重 建 中 的 退 化 情 况
紧 密 相 连 。

参 考 书 目
• J. G. Semple, G. T. Kneebone, Algebraic
Projective Geometry, Oxford University
Press, 1952.
• 梅 向 明 , 刘 增 贤 , 王 汇 淳 , 王 智 秋 , 高 等 几
何 , 高 等 教 育 出 版 社 , 1998.