Trasformazioni geometriche - Circe

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Trasformazioni geometriche - Circe

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Trasformazioni geometriche:

• modificano la posizione relativa dei pixel, senza

alterare il valore radiometrico. Assegnano al pixel

nuove coordinate o nuovi valori di riga e colonna

• immagini = trasformazioni nello spazio 2D

= TRASFORMAZIONI PIANE

X = F x

Con x = coordinata iniziale

X = coordinata finale

F = operatore di trasformazione (funzione)

• punti di controllo: punti omologhi necessari per

definire la trasformazione

Punti immagine= definiti nel sistema immagine

Punti di controllo= punti di riferimento

• Utlizzo: elaborazione delle immagini, cartografia

(carta = immagine raster), disegni

Trasformazioni GLOBALI e LOCALI


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Trasformazioni GLOBALI:

• modificano la posizione di ogni pixel dell’immagine.

I valori dei parametri di trasformazione calcolati sono

validi per qualsiasi punto dell’immagine

• dal sistema (o,x,y) al sistema trasformato (O,X,Y)

• si utilizzano più punti di controllo di quelli necessari

e il valore dei parametri è stimato ai minimi quadrati.

Trasformazioni lineari: traslazione, rotazioni,

deformazione per taglio, affine, Helmert

Trasformazioni proiettiva

Trasformazioni polinomiali


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

o

1

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

x

O

1

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

X

2

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

y

4

5

6

7

8

9

10

Y

Spostamento di una

“freccia” lungo la

direzione x di 5 pixel.

Il punto iniziale ha coordinate

x= 4

y=3

Lo spostamento è

5 lungo x

0 lungo y

X


Y

0

0




x


y


X


Y




4


3

5


0


9


3


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASLAZIONE

• è una trasformazione

elementare conforme

(=mantiene inalterati gli angoli)

• parametri: 2

traslazione Xo

traslazione Yo

X


Y




x


y




X

Y

0

0


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ROTAZIONE

• è una trasformazione

elementare conforme

(=mantiene inalterati gli angoli)

X


Y





cos


sen

sen


x

cos


y

• parametri:1

rotazione a


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

VARIAZIONE DI SCALA ISOTROPA

• è una trasformazione

elementare conforme

(=mantiene inalterati gli angoli)

X


Y




x


y

• parametri: 1

fattore di

scala l


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TAGLIO

• è una trasformazione

elementare non conforme

• parametri: 1

angolo di taglio b

X


Y





1 tan

x


0

1 y


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

VARIAZIONE DI SCALA ANISOTROPA LUNGO GLI ASSI

• è una trasformazione

elementare non conforme

•Parametri:2

fattore di scala l 1

fattore di scala l 2

• Se l1 = l2 siamo nel

caso di variazione di scala

ad 1 parametro

X


Y









1

0

0

x



2

y


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ROTOTRASLAZIONE CONFORME CON VARIAZIONE DI SCALA

HELMERT

• è una trasformazione

conforme

X


Y




cos


sen

sen


x

cos


y

X


Y

0




0

• parametri: 4

traslazione Xo

traslazione Yo

rotazione a

fattore di scala l

X



Y


•Si possono avere risultati

diversi se la variazione di scala

è diversa lungo i due assi l 1 l 2

X


Y





1


0

0 cos



2sen

sen


x

X

cos


y

Y

0




0


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Traslazione




















0

0

Y

X

y

x

Y

X

Rotazione





















y

x

Y

X





cos

sen

sen

cos




























0

0

cos

cos

Y

X

y

x

sen

sen

Y

X




















y

x

Y

X


Variazione di scala

Cambiamento del sistema di riferimento


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONE AFFINE

• è una trasformazione non

conforme

X


Y





1


0

0

1



2

0

tan

1




cos


sen

sen


x

X

cos


y

Y

0




0

•Può essere vista come

sequenza di doppia

variazione di scala,

traslazione, rotazione e

taglio

• parametri: 6

fattore di scala l1

fattore di scala l2

X



Y


X a00 a01y

a10x

Y b00 b01y

b10x

traslazione Xo

traslazione Yo

rotazione

taglio

b

a


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE







































0

0

2

1

cos

cos

1

tan

1

0

0

Y

X

y

x

sen

sen

Y

X








Correzioni delle deformazioni




















y

x

Y

X

1

0

tan

1




















0

0

Y

X

y

x

Y

X

taglio

traslazione




















y

x

λ

0

0

Y

X

2

1





















y

x

Y

X





cos

sen

sen

cos

rotazione

scala


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONE BILINEARE

• è una trasformazione

non conforme

• Può essere vista come

sequenza di doppia

variazione di scala,

traslazione, rotazione e

taglio

•Non si tratta di equazioni

lineari, ma di grado 2

• Parametri: 8

X



Y


X a00 a01y

a10x

a11yx

Y b00 b y b10x

b11yx

X

cos

α

λ


Y

senα

senα


x


X


0


cos α y01


Y

0


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONE PROIETTIVA (o omografica)

• è una trasformazione non

conforme

• utilizzata in fotogrammetria per

il raddrizzamento, caso

particolare in cui Z è costante

X

Y



a1x

a2

y a

c1x

c2

y 1

b1

x b2

y b3

c x c y 1

1

2

3

• parametri: 8

X



Y


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Trasformazione proiettiva

Applicazione della

trasformazione

proiettiva alla pianta

X



Y


prospettica di Mortier


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONE POLINOMIALE

•Dallo sviluppo del polinomio

si ottengono diverse

trasformazioni in base ai

termini considerati

X


m


i0

n


j0

a

ij

x

i

y

j

Y


m


i0

n


j0

b

ij

x

i

y

j

X

Y



a

b

2 2

2 2

3 3

00

a01y

a10x

a11yx

a02

y a20x

a12xy

a21x

y a03y

a30x


2 2

2 2

3 3

00

b01y

b10x

b11yx

b02y

b20x

b12xy

b21x

y b03y

b30x


X



Y


Trasformazione polinomiale a 12 parametri

...

...


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONE POLINOMIALE

X



Y


Trasformazione polinomiale

di primo grado

X a00 a01y

a10x

b b y b x

Y

00 01


10

Trasformazione polinomiale

di secondo grado

X a00 a01y

a10x

a11yx

b b y b x b yx

Y

00 01 10


11


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

confronti

Affine Bilineare Proiettiva


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

COORDINATE OMOGENEE

Le traslazioni sono applicate mediante somme, mentre le altre trasformazioni come

prodotti matriciali. Per rendere più veloce il calcolo, la computer graphics utilizza le

coordinate omogenee e solo operazioni di prodotto tra matrici.

Il punto (x,y) è espresso in coordinate omogenee mediante la tripletta (x,y,1)

con x = x h /w; y = y h /w e w ≠ 0.

Per cui le trasformazioni si possono riassumere come il prodotto delle matrici:

X




Y



1


1



o


0

o

1

0

dx

x

d




y


y


1


1

Traslazione

d x spostamento lungo x

d y spostamento lungo y

X




Y



1


cos



sin


0

sin

cos

0

0

x

0





y


1


1

Rotazione

a angolo di rotazione


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

COORDINATE OMOGENEE

X

sx





Y


o


1


0

Le riflessioni sono casi particolari di trasformazioni di scala

X

1





Y


0


1


0

0

1

0

o

o

x

o





y


1


1

0

x

0





y


1


1

Riflessione rispetto l’asse x

s

y

0

X

1





Y


0


1


0

Variazione di scala

s x fattore di scala lungo x

s y fattore di scala lungo y

0

1

0

0

x

0





y


1


1

Riflessione rispetto l’asse y

X

1





Y


0


1


0

0

1

0

0

x

0





y


1


1

Riflessione rispetto l’origine

degli assi

X




Y



1


1



b


0

a

1

0

0

x

0





y


1


1

Taglio

a deformazione rispetto asse x

b deformazione rispetto asse y


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

RESAMPLING

Per la creazione dell’immagine

finale, avente gli assi paralleli al

sistema di riferimento esterno, si

utilizza la tecnica dell’inverse

mapping che consiste nel riempire

una immagine vuota di dimensione

opportune con dei valori ricavati

per interpolazione dell’immagine

iniziale.

Matrice immagine

iniziale

Matrice immagine

finale

NEAREST NEIGHBOUR

•Consiste nell’assegnare ad ogni punto

del dominio il valore del pixel campionato

più vicino

•E’ un approccio molto semplice, e la

soluzione finale è unica


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

INTERPOLAZIONE BILINEARE

• interpola linearmente i pixel lungo ogni

riga, poi interpola i pixel lungo ogni

colonna

• L'interpolazione bilineare assegna al

pixel di destinazione D un valore che è

una funzione bilineare dei quattro pixel

vicini alla sorgente S nell'immagine di

input

INTERPOLAZIONE BICUBICA

•calcola il valore di un pixel della

immagine di output facendo una media

dei 16 pixel che circondano il pixel

corrispondente nell'immagine di input

• A volte in realtà i risultati del bicubico

risultano peggiori del bilineare e molto

dipende dall'immagine di input


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Trasformazioni LOCALI:

• I valori dei parametri di trasformazione sono

calcolati per ogni singolo punto dell’immagine e

hanno validità locale. Deformare solo una parte

dell’immagine senza che il resto venga deformato.

•Algoritmi simili alle trasformazioni globali, ma

applicati a aree minori: trasformazione esatta per i

punti noti e approssimata per gli altri

• Morphing

Warping


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

MORPHING e WARPING

• in computer-graphics, date due immagini, una iniziale e una finale, è

possibile ottenere un’animazione di trasformazione tra gli oggetti

rappresentati mediante una sequenza di immagini intermedie: MORPHING

• Si può considerare somma di due effetti differenti:

dissolvenza incrociata, ogni pixel di ogni frame intermedio è dato

dalla media pesata delle immagini di partenza e di arrivo

image warping, definire corrispondenze tra immagine iniziale e

finale mediante primitive di controllo posizionate in zone

caratteristiche. (Volto: occhi, naso, bocca). Dopo la

triangolazione, nelle fasi intermedie viene mappato il contenuto

dei corrispondenti triangoli

Lo scopo è quello di portare le due immagini ad avere lo stesso tipo di

deformazioni per poterle quindi miscelare.

WARPING:

scomposizione del dominio in elementi finiti

creazione di campi di forze


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Scomposizione del dominio

L’immagine viene suddivisa in modo manuale o

automatico in patch triangolari (triangolazione di

Delunay). La triangolazione sull’immagine finale viene

riportata sull’immagine iniziale utilizzando i punti

omologhi. Poi si può:

• Modificare la patch dell’immagine sorgente per portarla

a coincidere con quella finale mediante una

trasformazione affine.

• Utilizzare i lati dei triangoli come primitive di controllo

tra immagine iniziale e finale.


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Risultato:

adattamento dell’immagine

rispetto ai punti di controllo


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Campi di forze

•L’algoritmo per punti di forza è il più semplice.

Una volta calcolato il vettore spostamento per

ogni coppia di punti omologhi, ogni altro punto

(pixel o nodo) sarà spostato in ragione di un

vettore ottenuto come media pesata dei vettori

riferimento.

•I problemi da risolvere sono l’individuazione di

un criterio per la scelta dei pesi dei vettori di

riferimento e l’elevato numero di questi ultimi.

•Esso è di difficile utilizzazione con immagini

raster in quanto è praticamente inevitabile che

delle linee rette nell’immagine di partenza

risultino curve dopo la trasformazione. Problemi

nell’uso con cartografia o disegno di architettura,

più utilizzato per fotografie. Da buoni risultati con

immagini vettoriali perché agisce solo sui nodi.


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

I parametri della trasformazione vengono

stimati per ogni punto dell’immagine

attraverso una rototraslazione anisotropa


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

REFERENZIAZIONE - TRASFORMAZIONE

scomposizione del dominio

TRASFORMAZIONI

GLOBALI

+

TRASFORMAZIONI

LOCALI

• preparazione degli

elaborati;

• analisi delle deformazioni;

• trasformazione globale

(referenziazione) tra i

sistemi di coordinate

dell’immagine e di

riferimento;

• trasformazioni locali

(e conseguente costruzione

della nuova immagine);

• verifica della nuova

immagine.


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Esempio di TRASFORMAZIONI

Il profilo di massima delle

scomposizione del dominio

due piante è confrontabile

In alcune zone sono

presenti delle

deformazioni tali da non

consentire una

sovrapposizione

puntuale delle due

cartografie

In queste zone si dovrà

intervenire con delle

trasformazioni di tipo

locale


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Sovrapposizione delle due

carte in seguito alla

trasformazione locale

scomposizione del dominio

Sovrapposizione delle due carte

in seguito alla trasformazione

globale


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ESEMPIO: S. GIORGIO

Trasformazione globale

Trasformazioni locali


TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Sovrapposizione dopo la

trasformazione globale

Sovrapposizione dopo le

trasformazioni locali

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