полнотекстовый ресурс

А . А . Г У С А К
T
Задачи
и упражнения
по высшей
математике
В двух частях
Часть 1
Издание второе, переработанное
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия для студентов
естественных специальностей вузов
Минск
«Вышэйшая школа»

ВБК 22.11я73
Г9б
У Д К 51(070.1) (07Г, 8)
卩 с* ц с ii л сч! т ы :кафедра обш ой математики механнко-математичсско
го факу.іыеі і Ленинградского г«к \ длрственимго университета нм. Л. А
Жданова; л р физ.-мат. наук, проф. Л\осксиского государственного университета
им. Л\. В. Ломоносова К. Л. Рыбников
Г9Г)
Гусак Д. А.
Задачи и упражнения по нысшсГі математике: В
Для вузов.— 2-е 旧 д., /іерераб.— Mfï.: Выш. шк.
ISBN 5-339-00005-2.
ч. Ч.
1988.
Содержатся задачи и упражнения по следующим разделам аналитическая г*'
мстрия ха ллоскости и в пространстве, оснолы ііе кгорной алгебры, пи&денне и анзл»(.
дифферсиииальное и интегральное исчисление функций одной переменной, системы
лннсПных алгебраических уравнеинЛ. приближенное решение урлвненнЛ. Приволнтся
необходимые тсорстичсскне сведении, примеры решения л.ілач
Для студентов естественных специальноетеЛ вузов.
Первое и ада »шо вышло в J972 г.
і /020Ю000—ІІв 6_ 88
ВБК 22.1 Ія73
ISBN 5-339-00005-2(4.1)
ISBN 5-339-00276.4 (g> Издлтельсгно «Выш^ншап школа». 1988

П РЕДИ С Л О В И Е
Предлагаемое учебное пособие напнсаио на основе лекинн
н практических занятий ио к у р с у 《Высшая математика», проводимых
на химическом, биологическом и географическом факультетах
Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина.
Его содержание соответствует программам по лаішому курсу лля
студентов естественных специальностей унивсрсртетов.
Пособие состоит из лвух частей. Первая часть ві.лючает разделы:
«Аналитическая геометрия на плоскости», «Ос»оиы векторной
алгебры и аналитической геометрии в пространстве», «Введение
в анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»,
«Интегральное исчисление функций одной переменпой»,
«ЛАатрииы и определители. Линейные системы. Приближенное решение
уравнений».
Книга имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа
даны краткие теоретические сведення (основные понятия, опрс--
дслеиия, формулы, уравнения); далее рассматриваются примеры
решения задач различной степени трудности, приводится набор задач
и упражнений для самостоятельной работы стулентов (на
аудиторных занятиях и при выполнении домашних заданий). Кроме
того, в первой части пособия содержатся: задачи лля индивидуальных
заданий по отдельным темам (лппип второго порядка,
поверхности второго порядка, дифференцирование и интегрирование
функции, построение графиков и др.) ; ггри меры и задачи по
физике и химии, решаемые с помощью математических мстодоп;
задачи повышенной трудности п нестандартные задачи. В кон не
книги даны ответы к задачам и указания для реиісиия наиболее
трудных из них.
В приложениях приведены графики некоторых функций и некоторые
линии.
Отличительной чертой первой части данного пособігя является
то, что в ней уделено должное внимание вычислительным методам.
Подробно рассмотрено применение методов приближенного вычислення
опролеленного интеграла (включая точность оценки гіогрсиіhoctîî
полученного результата, выбор шага разбиеішя промежутка
интегрирования). При решении систем линейных уравнений нспользустся
не только простейшая схема метода послслл)вательного
исключения неизвестных, но и схема с выбором главного элемента.
На конкретных примерах проиллюстрировано применение различ­

ных методов приближенного решения алгебраических и трансцендентных
ургжпений.
Отмеченные особсшюсти структуры пособия облегчают его
использовгпте студентами при самостоятельной работе, роль которой
будет повышаться в связи с перестройкой высшей школы.
Опыт использования данного учебного пособия показал, что
ж е л а т е л ь н о у в е л и ч и т ь ч и с л о з а л а ч в н е к о т о р ы х п а р а г р а ф а х ( о т н о ­
с я щ и х с я к п р е д е л а м ф у н к ц и й , н е с о б с т в е н н ы м м м т е гр а л а м . м а т р и ­
ц а м , с ііс т ѵ м п м л и н е й н ы х у р а в н е н и й и л р . ) , п о э т о м у в о в т о р о м и з д а ­
н и и в с о о т в е т с т в у ю щ и е п а р а гр а ф ы іік л ю ч е и ы д о п о л н н т с ѵ т ы іо н о в ы е
задачи л упражнения. Некоторые примеры замелены новыми. Кроме
того, ыіессны изменения ц распределение материала между двумя
часгиміі е;ііиги. Раздел «Основы векторной алгебры и а н а л іт 卜
ческой геомстрки в пространство из второй части лсрснесоіг в
первую часть, причем соитвстстиующис три главы (из пяти) оОъс*
дшісиы и одиу («Прямая и плоскость в пространстве»). Такое перераспределение
материала слелает кни【у бол^е удобной для
использозания і^е студентаmiï: б первую часть включен весь материал,
который изучается в первом сежч'трс.
Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам 一 - коллективу
кафедры общсГі математики мсханико-матсматнчсского
факультета Л ГУ и д-ру физ.-мат. наук, проф, М ГУ К. А. Рыбникову,
а также сотрудникам Б ГУ каіід. физ^мат. наук, доц. В * 「 Скате
иком у, преподавателям Т. В. Адамчук 〗【 几 И. Вслсрніікоиоіі —
за ценные замечания и советы, слособспювавшис улучшению
кн и ги .
^
Всс отзывы и пожелания просьба присылать ло адресу: 220048,
Минск, проспект Машорова» 1 1 ,издательство «Вышэіішая школя».
Автор

к А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я ГЕО М ЕТРИЯ Н А П Л О С К О С Т И
1г КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И МА ПЛОСКОСТИ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
Координатами точки и взывают числа, определяющие ес положение
на прямой, плоскости или в пространстве. Метод коордннат
лоззоляст сводить геометрические задачи к алгебраическим,
1.1. Координаты на прямой
Зафвкснрусм кл некотирой прямой одно пз двух определяемых сю напряалелнн
и назовем его
а другое — отрицательным. Прямую, на которой
указано положцте-тыюс направление, ііплоссм ось-х-.
[Отрезок, ограниченный точками Л и В, называют направленным отрезком
идя- пектором, есля указана, какая из данных точек япляется его началом и какая
— конном. Направленный отрезок с началом ü точке А и концом в точке В
ОбОЗНУЧаЮТ '141к: ЛВ.
_
Ъелининой клгфавленного отрезка АВ некоторой оси называют его длину,
взятую со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с положительным
направлением данной оси, н со зпаком минус, если оно совпадает с отрицательный
направлением с; с и. Величину напраилепного отрезка ÀB обозначают Л В.
'Координатной осью ііазыизют :ірямую, ил которой зафиксированы почило
отсчета, положительное исправление и выбран масштаб для измерения длин.
Координатой тсчкп коордшіатноГт оси (рнс. 1.1) называют иоличин}' цапраалгнного
отрезка ОМ, где О — ішчало координат. Если обозначить координату
тачки М через х, то па опредслсіггпо
x - ОМ.
Запись ЛІ (а) означает, что точка ЛІ н«сет координату .ѵ.
Если даны дво точки М х (Хі) » іЩ іхЛ , то величину направленного отрезка
ЛѴИ 2 вычисляются о формуле
а расстояние между этішіі точками — ло формуле
Л1[Л4а = X z — ズ【, (1 .1)
Р(^і. =1ズ2— ズ1し (L2)
Простым отношением трех различных точек Л іі,Лし h\t лежащих на одной
прямой и тлгых в указанном порядку называют число
(13)
где — величины направленных отрезков соответственно и MMt ,

Гели точка М принадлежит отрезку AJ,AJa, то простое отношение положитс-льпі
(л > 0). так к ;ж чнс.інтель и знаменатель в формуле (1.3) одного зпака.
В -т >\» сл\ чае говорят, что точка ЛІ де.інт отрезок Л1|ЛІ2 внутренним образом.
Если гочка .И лежит вне отрезка .МіЛ12| то л < 0 (так как числитель и знаменатель
в фирм; лс ( 1М ) им いют противоположные зна к ff). В этом сѵгучае говорят,
Чі‘ 'i ч»;.* ЛІ делит отреиж ЛЬЛЬ внешним образом. Если точки Л/j и М совпадают,то
л ~ 0.
Пусть ЛҺ (xt), М г(.ѵ2) , М (х ) 一 точки координатной оси Ох. Тогда
откуда
= (14)
У! 土 き . (1.5)
1 о
Формула (1.о) определяет координату точки ЛІ, делящей направленный отрезок
:Ѵ/,Д72 в данном отношении X.
_____
Если точка М совпадает с серединой отрезка М гМ2, то л = 1 , поэтому ее
координата определяется формулой
x = (Хі + .ѵ3)/2. (1.6)
Примеры.1.Нп координатной осн построить точки .4(2), ß (—3), С (—5/2),
D(V5).
Возьмем произвольную прямую, выберем точку О — начало копрдинат и единичную
точку П (рис. І.2). Отложи» две глишшы (в качестве единицы длины
взят отрезок ОЕ) нпр.чво от точки О (при указанном расположении точек О и £ ),
получим точку А. Отложив три едиішцы влоно от точки О, получим точку В.
Аналогично строим точку С. Чтобы построить точку D, отложим от точки О вправо
отрезок длины | Гҳ ппйдсшіый из прямоугольно! о треугольника, катеты которого
а = 1 ,0 = 2.
2. Дппы гочкп А (3). В (— 2). С ( 一 7)、D (4). Найти величины направленных
отрезков AB, CD, BD, DA и их длины.
По ф(;рмуліім (1.1)и (1.2) находим:
А В : ( - 2 ) - 3 = — 5. р(/1. В) = 5;
CD - • 卜 ( 一 7>= II. г(С, /» = П;
BD == 4—(- 2)= Г>. п /ß. D) -- G;
ОА = 3 — 4 = ~^ 1 , { Ч, 久 バ) — 1.
3. I І.інти отношение, и котором точка ЛІ(5) дс.чнт отрезок где М і(2),
Т к кг.к по ус.пнию Хі = 2, Х г , 7. .ѵ = 5, то, согласно формуле ( し" ,имеем
Л М ХМ — ____• x 一 三 ろ i _______ 5 — 2 — 3
jViA'fj ліійГ Хо — x 7 — 5 了 .
4. Найти точку, делящую отрезок Л1,/И.2. где М х ( — 3), М 2 (1).в отноше-
нии /. = — 2. и середину отрезка М\Мг.
Пусть .И (л ) 一 нскох!;{и топка. Поскольку по условию
>.=—2, то, согласно формуле (1.5),
一 3 + (—2)1- = 5
1+ (— 2)
Хі — 一 .3, хг — 1,

Координата точки. являющейся серединой отрезка М ХМ 2, находится по формуле
(1.6):
л* = ( - 3 + 1)/2= 一 1.
1.1. На координатной осн построить точки /1(3), В (—4), С( 一 3/4)
D (V 3), F { - \ 10).
1.2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
1 ) X2 — Зл: = 0 ; 2 ) x 2 — 5л: + 6 = 0 ;
3) .v2 — 2х — 7 = 0; 4) х3 + 4х2 一 20.V = 0;
5 ) л:3 — G , v - + l L v — 6 = 0 ; 6 ) |.ѵ + 2 | = 2.
1.3. Какая из двух точек Л и В расположена левее:1) А (а),
ß (—й); 2) Л(а), ß(a + 4); 3) Л ⑷ ,В (Sa); 4) Л ( х ) у В { х - с ) }
1.4. Наііти величины отрезков М хМ 2и. 1 ) М 】(2 ),/М2(5); 2) /Ѵ11(3),
Mo ( - 4 ) ; 3) А М - 6 ) , М 2 (8); 4 ) 外 ( 一 2), уИ2( - 7 ) ; 5) М г (9)э
М 2(6).
______
1.5. Найти длины отрезков М гМ 2:%1 ) ルハ(3),М 2 (8); 2) М г (4),
Лィ2( 一 9 ); 3) М і( 一 5 ), Л1з(1 );4 ) М і (—3 ),ЛІ2( 一 8).
1.6. координату точки А, если известно:1)5(2), ЛД = г>;
2) ß(3) 、ВА = 一 2.
1.7. Ппнтн координату точки В. если изпостпо: 1) А (— 1),
АВ = 7; 2) Л (5), ВА = ~ 3 .
1.8. ііііііт и отноиіенис ” n котором лашіая точка M (2) лелпт
о 丁 …• .17;: I) / U l) , ß (7 ).,2 ) パ ( 一 :Я ,ß ( — П ; 3) Л (2 ), В (9 ).
1.9. Найти точку Л1,делящую данный отрезок, ограниченный
точками /1(2), 0(5), в данном отношении )•••1) X = 3; 2) X =1/2.
1.10 Найти середину С отрезка А В : 1) А (5), В (7); 2) А (— 3),
В (9 ); 3) /1(— 1),ß (—5): 4) Л (—4),ß(4); 5) /1(8), ß (—2).
1.11. ІҺійти точку Л ,если известно, что С(.з)— середина отрезка
А В %где В ( 一 7).
1.12. НаГіти точку ß, если известно, что С (—2) 一 середина отрезка
АВ, где Л (—6).
1.13. Даны две точки А (4), В ( —2). Найтн точку М ,симметричную
точке А относительно точки В, и точку N ,симметричную точке
В относительно точки А.
М 4 . Отрезок, ограниченный точками А (—G) и 0 (2 2 ),раздел см
на четыре равные части. Найти точки деления.
1.15. Найти координаты концов А п В отрезка, который точками
Р (—3) и Q(2) разделен нп три равные частя.
М б. Где лежат точки,координаты которых удовлетворяют соотношениям:
1) 丨 ズ 丨 < 4 : 2) |ズ|< 5 ; 3 ) 丨 ズ| -> 3 ; 4) \ х \ ^ 2;
5) 3 く 1ズ1< 5; 6) 2 く 1ズ| く 4; 7) 2ズ 一 5 彡 0.
1.17. Даны три точки А ( ― 3), ß (l) , C(2). Найти отношение,
ß котором каждая нз этнх точек делит отрезок между лвѵмя другими
точками.

1.2. К о о р д и н а т ы на плоскости
/ Прямоуголъными декартовыми координатами точки М называют числа,
делаемые формулами:
x = ОЛし,у = OM«,
опрегде
0 М Х 一 величина
ка 0 М У оси Оу (рис
乂 丨
{рис.
ными
отрезка 0М Х ося Ох; 0М у 一 величина направленного отрез-
1.3).
- Полярная система координат на плоскости
опрёде^гяется точкой О (полюс), исходящим из
нее лучом ОР (полярная ось), масштабным отрезком
е и направлением отсчета углов
(рис* 1.4, а).
Полярными координатами точки Af, не совпадающей
с полюсом» называют расстояние
І>>0 (полярный радиус) от точки М до полюса
О и величину угла q> (полярный угол) между
полярной осью ОР и лучом ОМ. Для полюса
считают р=^0 (ф не определено). Полярный
угол имеет бесконечное множество значений*
Значение, удовлетворяющее условию
О^ ф С 2лу называют главным.
Рис. 1.3
При соответствующем выборе прямоугольной
декартовой и полярной систем координат
1.4, б) связь между декартовыми коорлинатамн х и у точки Лі и ее поляркоординатами
р и ф выражается формулами
x = р cos ф, £/ — p sin ф (1.7)
Y у2 t COS ф : $ІП ф j
Ѵх^ + У^
П римеры .1.Относительно прямоуголыюн декартовой системы координат
построить точки Л(—3, 2)f 5(4» l ) t С ( 一 2, — D(3, —4), E(—2, 0), f (0, 3).
Рассмотрим две взаимно перпендикулярные прямые, отметим на них положительные
н а п р а вл е ния, как показано на рве, 1.5, точку их пересечения обозначим
буквой О, выберем масштабный отрезок MN. В данной прямоугольной
декартовой системе координат построим ю чку A ( 一 â, 2). Влево от точки О на
оси Ох отложим отрезок ОЛі’ равный трем единицам длины, вверх от точки О
по оси Оу отложим отрезок ОЛ2, равный двум единицам длины. Через точку А\
проведем прямую, параллельную оси Оу (нли п ерпенд ику л я р н у ю к оси Ох),
через точку Ла 一 прямую, параллельную оси Ох (или перпендикулярную
к оси Оу)、Точка пересечения построенных прямых и будет искомой точкой А.
Аналогично строим точки В, СРD p Е ц F. Отметим, что точка Е лежит на
осн Охг точка F — на оси Оу、

2. В полярной системе коордннат построить точки А (2, л/4), Б(3, —Зл/4),
С{1, п/2)’ D(3, Л),^(4 , 0), F(2t —л /2 ). Найти прямоугольные декартозы координаты
этих точек в системе, для которой полюс совпадает с началом координат,
полярная ось -~ с положительной полуосью Ох'
Чтобы построить точку Аг проведем из точки О луч под углом ç = п/4 к полярной
оси ОР (рис. 1.6). На этом луче построим отрезок ОЛ, длина которого
равна двум. Конец отрезка ОА и будет искомой точкой. Аналогично построим
точки В、С, D, E, F.
Найдем прямоугольные декартовы координаты данных точек гто формулам
(1.7). Для течки А
へ x = 2cos - î - ― 2' ― ^ _ ― I 厂 2, y ~ 2sîn ― 2* - i ~ - ― V 2i
T. e. A [Y 2, /2 ).
П N
3 \F
Р н с. L5
Аналогично поручаем, что в указанной прямоугольной декартовой системе
координат £ ( * 3 / 2 / 2 , - 3 / 2 / 2 ) , С (О, I), D 卜 3, 0), Е (4, 0)yF{0t - 2 ) .
1.18* Относительно прямоугольной системы координат построить
точки A ( l f 4), ß (2 ,- 3 ) , C (-3 f 5), 1,- 2 ) ,£(1,1),Ғ(0,1),
0(9, 0), К(\, VTÖ), L (-V b , 3), M {Vl, 一 ] / 15),N(0,5; 3,75).
!Л9, Найти точки, симметричные соответственно точкам Л (3,4),
ß(〜2,5 ) ,С( 一 3, 一 3 ),D (6, 一 7) относительно осй Ох.
1.20. Найти точки, симметричные точкам Л (4, 2), В (—3,1},
относительно оси Оу.
1.21. Найти точки, симметричные точкам Л (—1,2), ß(—3, —2),
С (4, 7), D (5, —4), £ (lt 1 ) относительно начала координат.
1.22. Найти точки, симметричные точкам А ( 2 , — 1 ) , ß(3, 5),
С (—4, —3) относительно биссектрисы первого координатного угла,
U23. Найти точки, симметричные точкаи А(—3’ 一 1),ß(—2, 4),
С (5, 一 6 ),/)(8, 9) относительно биссектрисы второго координатного
угла.
1.24. В прямоугольной декартовой системе координат дан треугольник
с вершинами Л (I, 2), В (2, 6), С(4, 5). Найти треугольник
A fB fC \ симметричный треугольнику ABC относительно:1 ) оси Ох\

2) оси Оу; 3) начала координат; 4) биссектрисы первого координатного
угла; 5) биссектрисы второго координатного угла.
1.25. Найти геометрическое место точек Л !(.ѵ, у 、,большая координата
которых равна двум, т. с. піах(л:, у) = 2.
1.26. Найтн геометрическое место точек ЛІ (х: у ) , меньшая координата
которых равна двум,т. с. шіп(д:, у) = 2.
1.27. Пайти точки, симметричные относительно полюса соответственно
точкам: Л 12 , -----g .,パ(3り-^ート С i 1,— j, D ( 4 , ----- ト
\ V > \
1.28. Найти прямоугольные декартовы координаты точек, задан-
ных полярными координатами: ノ1(2, 今 ト ß ( | 2, С ( 6 ,-----
D ( 3 , -----— ; 厂 ト i (5, гс), 0 ( 7 ,2л).
1.29. Зная прямоугольные декартоны координаты точек
Л (— 1 ,1 ),5 (0 , 2 ) ,С(3, 0 ),D (8 , - 6 ) , だ(1,1 ) , 尸 ( 一 2, 一 2), найти их
полярные координаты.
1.3. Расстояние между двумя точками на плоскости
В прямоугольной декартовой системе коордннат расстояние между лв\ мя
точками Л іі(Хі, г/і), Лі2(-Ѵ2, у г) определяется формулой
Р ( 外 ,Мг) = I (лг2 — А)2 + ( 妁 ー 扒 ' (1.8)
Примеры. I. Вычислить периметр треугольника о вершинами в точках
Чтобы iin ihii периметр треугольника, необходимо знать длины его crépon.
По формуле (1.8) находим:
= Р (ん В) - V [2—(— 1)】2+ 卜 3 —(—3)ドニ- 3,
もニ p(ß, C) = | (2 -2 )^ + [l-(- 3)]* = 4,
も = р (Л ’ С) = У [2 ― ( ― I ) ] 2 丁 い 一 ( 一 3)]2 = 5.
Следов я тел ыю, P = d\ + d> + (Һ =12.
2. Доказать, что треугольник с Бсршииами Л(—4, —2), ß(4, 0), С(1,3) ирямоугольғіыГі.
Зная длшіы сторон а, /), с треугольника, с помощью теоремы, обратной теореме
Пифагора, можио устмноннть. является лн данный треугольник і:римоугольііым
(а2 + む2 :=: с2) ,остроугольным (с2< а - + 6 2) или тупоугольным (с2> а 2+& -).
Пользуясь формулой (1.8), находим длины сторон:
а = р(В, С) - { \Т ^4 )2 + ( 3 - 0 ) ^ V Г8,
6 = Р(Л , С ) = ゾ ( 1 十 ザ + (3 + 2)2 - } 50,
с = р(А, В )= 厂 (4 + 4 ) 2 + (0 + 2 ) 2 = J 68.
Нискольку аг =18, Ь1 — 50, с- = 68, то а1 + Ь2 = с1. Следовательно, дашіыіі
треугольник '..нляетсн прямоуь-льиы.м.
3. Н іһн пентр и раднѵс окрѵжиости, проходящей через точки 八 ] 一 3 ,1 ),
1(0, 0). Л/(5. 5).
Пусть С(а% ft) — центр окружности и R — ее радиус. Найдем нсизиестныс
числа a, b и R. По определению окружности р(С, К ) = /, р(С, L) = R,
1>(С, Af) = R. Выражая ргісстояння между • соответствующими точками по ф

муле (1.8), подставляя их в левые части последних трех равенств и в1 тодч почленно
в квадрат, получаем уравнения:
(л + 3)2+ ( 0 - 1 ) 2 = /2,
a2+ b2^
(a —5)2+(ft — Гが - R\
Раскрывпя скобки в первом и третьем урапнениях. используя птмр.»е уравнение,
приведем их к следующему виду (после сокращения первог» • иа 2 / второго—
lia (—ІО)):
З а — 办 + 5 = 0, а + ö — 5 = 0.
Решив эти уравнения, найдем а = 0,b = 5; поэтому / == 5 (так к;ік a -+ b 2 — Rz).
1.30. Даны точки А (4, 3), 5 (0 ,0 ),С (—3, 一 4 ),D (6, 8 ) ,£ (3 , 4).
Найти расстояния между точками:1 )Л и В\ 2) А и С; 3) А н D\
4) ß и С; 5) ß и D\ 6) С и D; 7) D и Е.
1.31. Вычислить площадь квадрата, две смежные вершины которого
находятся в точках А (5, 6 ),В (9, 2).
1.32. Вычислить площадь квадрата, две противоположные вефшииы
которого находятся в точках Л (—2, 一 1 ) и С(3, 4).
1.33. Даны координаты двух вершин А и В равиостороіітто
треугольника ЛВС. К а к найти координаты третьей вершины Найти
と,если А (0, 2) ,В (2, 0).
1.34. Даны координаты двух смежных вершин А \\ В квадрата
ABCD. К ак найти координаты остальных вершин Найти С п D ,
если Л (1 ,2 ),0(5, 6).
1.35. Вычислить площадь равностороннего треугольника, две
вершины которого находятся в точках Л (—3, —5) и ß (5, 3).
1.36. Даны координаты двух противоположных вершин А и С
квадрата ABCD. К ак найти координаты остальных всршші Наити
ß i i D ,если Л (-2,3), С(2, -1).
1.37. Вычислить периметр параллелограмма AI3CD, если
Л ( - 3 , 1 ) ,В ( —3,4 |,С (1,7).
1.38. Даны координаты трех вершин Л, ß, С ромба AßCD.
К а к найти координаты вершины D Найти D, если А (—3 . — 1),
ß(-3. 4),С(1,7).
1.39. Вычислить площадь ромба ABCD, три вершины которого
находятся в точках Л (1,1 ),0 (1 ,6 ),С(5,9).
1.40. Доказать, что треугольник с вершинами Л (4, 3), 5 (8 ,6),
С(5, 2) равнобедренный.
1.41. Доказать, что треугольник с вершинами А (2, 一 1),
ß f —3,4), С(5,2) прямоугольный.
1.42. Выяснить, имеется ли тупой угол среди внутренних углоа
треугольника с вершинами Л(1,3),ß(3, 0), С(—4,1).
1.43. Установить, является ли треугольник с вершинамп
パt 一 2, — 2) ,В (2, 4), С ( 4 , 1 ) остроугольным, тупоугольлым или
П[>;:МОѴі (М Ы ІЫ М .
バ ^ *9^ Найти, внутренние углы треугольника с вершинами
1.45. На оси Ох найти точку, равноудалепную от начала координат
и от точки М (2, 4).
11

1.46. Нп оси Оу наііти точку, расстояние которой до точки
М (3, 2) равнялось Оы 5.
1.47. Даны две точки /1(2, 2 ),ß(5, 一 2). На оси Ох найти такую
точку С,чтоиы угол ЛСВ был прямым.
1.48. Найтн центр н раднѵс окружности, описанной около треугольника
с вершинами Л (—8. 一 ‘i), ß ( —5, —5 ),С (0, (»).
1.49. Найти точку, одинаково удаленную от ссеіі пордннат
м от точки М(1,8).
1.50. Дана окружность с центром н точке С(lt 1 ) м р;: ч іусом
R = 5. Из точки А (2, 8) к этой окружности проведены каса 丁 、льные.
Найти их длины.
1.51. Зная две противолежащие вершины ромба А (—3. — і ),
С (і, 7), пайти две лрѵгне его вершины при условии, что 二 に!на
стороны ромба равна 5.
1.52. Дай треугольник с вершинами А (4, —2), 0(3. •).
С( 一 4,—3). Найтн точку М, симметричную вершине А относительно
стороны ВС.
1.4. Деление отрезка в данном отношении
Отношением, в кок.'ром точка .V/, лежлщая на прямой, проходящей чірез
то«ші М\ и ЛІ2. делит отрезок Л1іЛ1з, называют число X, определяемое по 中 ормуле
(1.3).
Если даны точки у {) %М і(хг, у і) %то координаты точки М (х, ")• делящей
отрезок в ^2 Уі + ^Уг n m
v== —r f T 一 • ダ= 一 г р г . (1.9)
Если точка Лі является серединой отрезка M V\U , ее координаты БЫ ЧИСЛЯ ЮТся
по формулам:
ズi + ズг lh + Уг
Л ^ -----§----- • " ~ 2 •
(1.10)
П рим еры .1.Даиы две смежные вершииы .И —1,2), В(\. 6) плраллоло-
. о/ : ч : ,: ѵ ,,ы : バ cri І І і Г п и ;l ih i л р у п -'е
ьі-ршины п.іпаЛ..ЮЛОГРамма.
Поскольку диагонали п ;і p n л л ел or р а м м а в точке пересечения делятся пополам,
точка N является серединой отрезка АС 】і отрезка BD. Формулы (1.10) принимают
вид:
V _ хл + хс
Xn-------- 2~
•ткуда
Хс = 2.ѵ.ѵ — .v л, ус == •、 一 у .и Хо = 2.х.\ 一 л'о, \jd = 2у у 一 у в.
Подставив н и .чѵюдние формулы коорлинпты точек Л. В и N. по.:учим
:.v = 7, ifc == 4. .ѵр = 5, f/л =: 0. i l та к, другие дае вершины находятся и トハікчіх
С (7. 4 ).'0 (5 . 0).
2. В треугольнике с в£*рш:інг:ѵлі Л (3.—1), І3(6. 3). С(—5, 5) нлГт». длину
( ііссектрнси внутрешк'го ут.кі Л
Обозначим через D(x. у) точку, в которой указялная биссектриса пересекает
сторону ВС, через с w b длины сторон Л В и ЛС. Из элементарной геометрии
известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делнт противолежащую
сторону на части, пропори ионзльные прилежащим сторонпм. Пий дем длины
зтих сторон:

с Р і А. В) = I (6 —3)2 + [3 — ( 一 Î)P = 5.
b p (A , С) I ( 一 5 — —( 一 1)ド - 10.
Следовательно, точка D делит нзпр^илсниый отрезок ВС в отношении
л b 10 — 2 •
Считая точку В первой (т с. имсюши! кчюрліінлы л .і,ひ') ,точку С :

нис) пересекается биссектрисамн внутреннего и внешнего углов
при всршшіе С.
1.66. Даны вершины треугольника А (6, —6). ß (2 , —3 ),С (8’ 5).
Найти длииу биссектрисы его внутреннего угла при вершимо В.
1.67. Дан* треугольник с вершинами Л (5, —4), В (3, —2),
С(4, — I ). Ма/ітн длину биссектрисы его внешнего угла ири вершине
В.
1.68. Найти координаты концов А и D отрезка, который точками
ß(—2 ,1),С(1,3) разделен на три равные части.
1.69. Даиы три точки А (—3, 4), ß (—1,2 ),С(5,—4 ),лежащие
на одной прямой. Наити отіюиісшіе 7., в котором каждая из шіх
делит отрезок, ограниченный двумя лпѵгими точками.
1.70. Нлйти точку пересечения медиан треугольнике} с вершинами
А (—4,3) ,В (5,6 ),С (8, —3).
1.71. Доказать, что координаты точки порсссчеиия медиан треугольника
с вершинами A (д:і, у '、, В (x2l ih) , С (х3, //з) определяются
формулами:
— *Ѵ1 + ^2 + 〃— У і 丄 ダ2 4 - !Һ
x ― -------з-------, U 一 3------- .
1.72. Дай треугольник с вершинами А (3 ,о|, В[/.9), し ( 一 -і , 一 :)).
Вычислить расстояние между серединой стороны А В п точкой пересечения
его медилж
1.73. Даиы два треугольника ЛВС и PQR с вершинами Л (—2,4),
ß (6 , —8), С(5, 一 2 ),Р(—3,5), (Э(—7, 9 ),/(—5, 一 2). Найти расстояние
между точками пересечения их
1.74. В точке А (3, 4) помещен груз массой 60 г, в точке
ß(—2,—1)— груз массой 40 г. HaiiTïf координаты иентра тяжести
этой системы.
1.75. В вершнлах треугольники Л (—1,5),ß ( l,1),С(2,—1 )сосредоточены
соответственно массы 50,40, 60 г. Найти центр тяжести
данной системы.
1.5. Площадь треугольника
、Каковы бы ин были трп точки A (.vit /ハ) ,В(д*2,
треугольника ЛВС вычисляется по формуле
С(дгя, //з),площадь S
S = ~~2~【(Ѵ2 — Xj) (f/з 一 Уі) 一 (ЛГ3 — Хү) (f/o 一 ダ1 ) 1 • (し 1】)
Правая часть формулы (1.11) рапна — 5 n случае, когда кратчайший поворот
отрезка А В к отрезку АС положителен (рис. 1.7 ,а), и —S. когда ѵкг.злніііііГі
іюиорот

2. Дан треугольник с вершинами .1(1, 一 1 ),В (—3 ,1 1 ),С (11,5). Вычислить
площадь треугольника, вершинами которого являются середины сторон дгіиного
треугольника.
ІІаходим сначала ссрсднны сторон дашюго треугольника: Р(—1,5), Q(6, 2),
/(4, 8). По формуле (1.11) получаем
S=4~[(6+1)(8-5)-(4 + 1 )(2 -5 )】= 4 *(2 1 + 15)=18.
3. Дзны две точки Л (4, 2), І3(6, —2). lia осн Ох найти такую точку С, чтобы
площадь треугольника ЛВС была равна 8 кв. ед.
Рис.1.7
Пусть С(х. 0) 一 искомо я точка (у = 0. так как точка лежит на оси Од:).
В формулу (1.11) подставим значения: 5 ^ 8, л、~ 4, //і 2, а*2 == б, = — 2,
л*з = дг, г/з = 0, в результате чего получим
土 8 = + [ ( 6 — 4) (0 — 2) — (x — 4) (— 2 — 2 ) 1 = ベ 一 [ 一 4 + ‘1( д : - 4)]
пли ± 8 = 2х 一 10, откуда Хі *=1.л*2 = Î).
Итак, условию задачи удовлетворяют координаты точек Ci(1,0), С2(0, 0).
1.76. Вычислить илощпль треугольника ABC в каждом из следующих
случаев:1) А (—2, 2) ,В (6, 2),С (4, 8); 2) Л(—1,5),
ß (.l,8), С (6, 2); 3) A ( 一 3,l),ß(-2, 4 ),С(3, 7).
1.77. Вычислить длину высоты треугольника с вориишпміі
0 (0 , 0), А (4,1),В(7, —2 ),опущенной из точки О.
1.78. Найти расстояние от точки /1(3,7) ло прямой, проходящей
через точки ß (—2,4) п С(5.1).
1.79. Вычислить площадь четырехугольника с вершшіамп
Л (—3,l),ß (—12,-1),С(3, 7),D(5.1).
1.80. Вычислить плошадь параллелограмма, три вершины которого
находятся в точках А (—3 , 1 ) .5 ( 一 3,4), С (1,7).
1.81. Ila fm i площадь ромоа, три вершипы которого находятся
в точках Л ( \ , / ) ,_5(】,2 ),С (—*3,— 1)•
1.82. Даны две точки /1(3,5), ß(6, —2}.1!а оси Оу найти такую
точку С. чтобы площадь треугольника ЛВС равнялась 15 кв. ед.
І.оЗ. IIайтн центр тяжести однородной четырехуголыюй пластинки,
вершины которой находятся в точках Л (—2, 2),ß (—1,5),
15

1.84. Найти иеитр тяжести однородной пятиугольной пластипкн
с вершинами Л (3, 2), ß (l,5), C(Ö,4), Ь(1,0 ),Е(2, 0).
1.85. Площадь треугольника = 3, две сто вершины находятся
в точках .-1 (3 ,1 ),5 (1 , 一 3 ),центр тяжести лежит пз оси Ох, Найти
координаты третьей вершины С.
1.6. Уравнение линии в декартовых координатах
Уравнением мши и относительно фиксированной системы координат ііГі.іыа-
ют } рарнсішс с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой
точки этоГі л и и и и и не удовлетворяют коордішаты ни одггой точки, пе •:( жащен
на данной лнтш .
Ургшіачшс- линии в декартовых координатах іі общем виде злпгсыплстгя так
F (x, t/) ― 0, где /:(л% //) означает некоторую зависігмость между коорд»»атам
н x и I/.
Координаты точек пересечения двух линий, заданных уравненпями F (.v, y) =
= 0 , Ф (.v. y) = 0,находятся из системы этих ураинсшііі:
尸 (ズ,//) = 0. Ф(Ху //)= 0.
Примеры. I. Составить урявш-и^гс окружііост» рлдіі\ сом R с пеғгтром
в точке C(û, b).
Пусть M (jc, //) 一 произвольная точка л«^шюи окружности. По определению
окружности (как геч)мет 卩 ического мсста точек, р:шноудзленных ст данной точки)
для любой ее точки имеем ^ )
Выражая расстояние между точками Л1 и С по формуле (1.8) и подстмвляя
его d левую члеть данного равенства, получаем уравнение
I (х — а)2 -(- (у — h)2 •- R,
которое можио записать так:
(х— а)2+ ( у ~ д ) 2= /2.
Если точка А: (дг, у) не принадлежит окружности, то р(Л,,С) く R (сс.ш Л
лежит п круге радиусом R с центром в точке С) или f)(M, С)^> R (ссли N лежит
вне указанного круга); следовательно, для координат точки N выполняется одно
из неравенств:
(х 一 а)г + { у — Ь)2 くR2 к:ш (х — û)2 + (у — Ь)г 〉R2,
т. е. ее координаты не удовлетворяют уравнению (3).
Ес.ш координаты некоторой точки удовлетворяют урапнстио (3), то они
удовлетворяют уравнению (2) и рпвсиству (1), т. с. точка лежит на окружности
радиусом R с центром в точке С (а, Ь).
Итак, урапнение (3) яоляется уравнсішем окружности радиусом R с центром
в точке С (а、Ь),
2. Найтн точки пересечения двух окрѵжностсй, заданных уравнениями
(x 一 5)2+ (// 一 6)2 = 25, (x + 2 )2 + (у — 6)2 = 32.
Чтобы найти точки пересечения данных окружностей, необходимо решить
систему нх уравнении. Раскрывая скобки и ьрнводя подобные члены, по;і\ ч;іем
систему ург.ннсини
•r2 + yz 一 10jc — \2y 十 36 = 0、]
x2 + У2 + 4.v#— 12// + 8 == 0 .1
Вычнтля второе уравнение из первого, получаем — 14.ѵ + 28 = 0, откуда
x ^ 2. Второе уравнение системы при д: = 2 сводится к квадратному урпвиснню
относительно у :уг 一 \2у + 20 = 0.
Решип последнее уравнение, пай дем уі = 2,yz ~ 10. Следовательно, данные
окружности псресск.чются в двух точках: Л /і(2, 2), Af2(2. 10).
16
⑵
(3)

3. Состаинть урлвненке геометрического мсста точек, для каждой из кото
рых произведение расстояний до двух данных точек есть постоянная величина,
рапная Ь2. (Эта лниия назызастся оваиюм Кассини.)
Начало прямоугольной декартовой системы координат п им сети м в ссрсдине
отрезка Ғ іҒ 2, концами которого являются даиные точки Fi, F z., длину этого отрезка
обозначим через 2а. В качестве положительного направления осн Ох нозьмем
направление отрезка Ғ ひ、. При указанном выборе координатной системы
координспы точек Ғ і н Ғ2 будут соответственно равны: Хі= —а, уі — 0, Xz — а,
Уг = 0, т. с. F i ( û, 0), Ғг(л, 0).
Пусть AI [xt ij)— произвольная точка данной линии. Согласно условшо за-
Р (Л , 柳 (/:2, ふЖ .
Подгтавли в это рапонстпо йі^рджсішя:
Р(Л, Л/) = J p (f2. 均 = V (ズーザ + ゲ,
получим искомое уравнение данного геометрического' места точек
Ѵ ( х + о )2~ + У г У ( х - а ^ + у^ = 0、
Упрощая это уравнение, находим
(л*2 + //2) 2 十 2а2 (iß 一 л*2) =* ゲ ー ак.
3 г:м е ч а н и с. Б частном случае, когда а = Ь, т. е. когда произведение
расстояний от точки スÎ до точек Fi и Г 2 равно квадрату полозины расстояния
между точками Fi и F2i получаем линию, называемую лемнискатой Берну.іли.
ニІс.міпіекати Бернулли определяется ура прением
(х2 + yz)z «= 2а2(х2 — у-).
t.86. Составить уравнение геометрического места точек, равно-
•ѵлалскііых от двух данных точек Л ( — 1,2 ),B (7 f 5). Принадлежат
ли этому геометрическому месту точки С ( 2 ,1 ) , D(5, — 6)
1.87. В каких точках псрссекает координатные оси перпендикуляр
к отрезку, ограниченному точками А (—2, 4 ),ß (6 , 8 ),проходящий
чс'рез ого середину
1.88. Найти точку пересечения двух линий, первая из которых
яплястся геометрическим местом точек, равноудаленных от начала
координат и точки Л (2,6), a втора5і 一 геометрическим местом точек,
равноудаленных от ß (— 1,5) и С (7, 9).
1.89. Составить уравнение геометрического места точек,удаленных
от начала координат на 5 единиц. Лежат ли на этой линии
точки Л (1,6), ß ( - 2 , 一 3 ),С(3, 4 ) ,Л ( 7 , り ,£ ( —4,3)
1.90. Составить уравнение геометрического места точек, удаленных
от точки М (3, —2) иа 10 единиц. Лежат ли на этой линии
точки А (2,5), ß (6 , 8), С ( 一 5, 4)
1.91. Найти точки пересечения двух окружностей: л:2 + U2 = 25,
(х — 8)2 + у“ — 25.
1.92. Наити точки пересечения окружности х2 + у2 = 49 с координатными
осями.
1.93. Манти траекторию точки ЛІ, которая движется так, что ее
расстояіпіе от точки Р(6, 0) в четыре раза больше расстояния от
точки Q(3/8, 0).
1.94. НаГіти траекторию точки Л1,которая движется так, что ес
расстояние от точки Я (4, 0) вдвое меньше расстояния от точки
0 (1 6 ’ 0).
1. Зак. . .6
17

1.95. Найти точки пересечения линий: .ѵ2 + г/2 = 25, х + Ту —
- 2 5 = 0.
1.96. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных
от точек пересечения лишчі: х'1 + //2 = 25, — Зу = 0.
В задачах 1.97— 1.99 иайти точ к и ііоресечеыня линии и прямой.
1.97. Ахг — ^xy + \ў — 4ズー 8ÿ + 20 = 0,у = 2.
1.98.1 U2 一 \6xy ― i f ― 26x + 22у + 10 = Ü, д:= 1.
1 .9 9 . x2 + 2xy + ÿ 2 — 8л: + + 16 = 0 , y + 5ズ+ 4 = ü.
В задачах 1.100, 1.101 найти расстояние между точками пересечения
указанных линии.
1.100. x 2 + 4 х у + ÿ 2 — 8 ズ + — 9 = 0 ,ズ 一 ÿ + 1 = 0 .
1 . 1 0 1 . x 2 一 8xu + t/2 + 4ズ 一 6 ÿ + 8 = 0 , Зл: + // ― 4 = 0 .
1.7. Уравнение линии в полярных координатах
Уравнение линии относительно полярной системы координат в общем нидс
записывается т а к : 尸 (р, ф) = 0, где Ғ(р, ф)— некоторая зависимость между полярными
координатами р и ср точек этой линии.
П р и м е р ы . 1 . Составить уравнение
окружности радиусом а, касающейся поляр-
^
иоіі оси п полюсе (рис. 1.8), центр которой расположен
выше полярной оси.
Пусть м) i 'оіі зполыіая точка ж-
ности, ОА 一 диаметр окружности, равный 2а.
Так как в треугольнике О/l А/ угол ири вершине
М прямой, угол при вершине О равен
л/2—ф, то
2а cos (л/2 — тольной декартовой системе координат
уравнение овала Кассини (см. § 1.6, пример 3) имеет вид
(л:2 + t/2)2 — 2а2(х2 — t/2) = 一 а4.
Подставив n это ypniüioinie выражения ズ = р cos ф, / = p sin ф, получим
cos 2ф cos2 2ф + 1
Построение овалов Кассини можно осуществить следующим образом. Знля
параметры а и Ь, находим положение фокусов У;і и Fz и вершин Лі и .Ь
(рнс. 1.9). Проводим нз точки Аг луч, который псрессчст окружность, оплсаппую
вокруг начала координат радиусом, равным с, в точках Л,2 и Ni. Если ті-перь
из фокусов Fo и Ғ і описать окружности радиусами, равными соответственно д.іинам
отрезков AzS^ то точки М\ и Л12 их пересечения будут принадлежать
оиалѵ. Б самом деле, р(Л/, Ғ і)р (/И , 尸 2}=р(Л2,Л^)р(Л2. Л'2) = const (по теореме
о произведении секущей на ее внешнюю часть). Меняя направление луча
можно построить сколько угодно точек овала.
18

На рнс. 1.10 изображены овалы Қассшш при различных соотношениях между
а и Һ. Еслн b く а, овал состоит из двух отдельных линий. Прн b = и получаем
лемнискату Бернулли. Еслн b > а、получаем замкнутую лшіию, симметричную
относительно координатных оссй.
1.102. Прямая перпендикулярна к полярной оси и отсекает на
ней отрезок,равный 5. Составить уравнение этой прямой в полярных
координатах.
1.103. Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под
углом л/f). Составить уравнение этого луча в полярных координатах.*
Уі
Р и с .1.9 с. 1.10
1.104. Прямая проходит через полюс и наклонена к полярной
оси под углом Зя/4. Составить уравнение этой прямой в полярных
координатах.
1.105. В полярных координатах составить уравнение гсомстричсского
мсста точек, расстояния от которых до полярной оси
равны 3.
1.106. Окружность радиусом R = а проходит через полюс, ее
центр лежит на полярной оси. Составить уравнение этой окруж ­
ности в полярной системе координат.
1.107. Окружность радиусом R = 5 касается полярной оси в полюсе.
Составить уравнение этой окружности в полярной системе
координат.
1.108. В полярной системе коорлинат составить уравнение
окружности радиусом R с центром в точке С(р0, ^ ) .
1.109. Дана точка А и прямая ls причем а = р(Л, С), где С 一
основание перпендикуляра, проведенного лз точки А на эту прямую.
Вокруг точки А вращается луч, псресскаюиши данную прямую
в точке В. По разные стороны от точки В па луче отклалы-
І-' ются два отрезка ВМ \ и ВМ, длины которых равны расстоянию
у Ячду точками В и С. Составить уравнение геометрического места
точек М и Alj. Построить лшіию, использовав ее определение. (Эта
лниия на 'ывается строфоидой.)
1.110. 丨 Іостронть wIhhhh, заданные уравнениями в полярных коор-
д и н а та х :1 ) { > = 3; 2) ц j -» 3) р Sin
19

1.111. Записать в полярных координатах уравнения лшиін:
1) ズ2 + ゲ= /2; 2) .v - tj = 0; 3) л* + у - О: 4) л- — if == /2;
5) (jc2 + iß )2 一 4а2х гу2 = 0; 6) (x2 у2)2 = а (Зх2!/ — У' )>
1.112. Записать в декартовых координатах уравнения л ііш ій :
1 )рсовф = а\ 2) р 2а cosç; 3) р = - - — 4) р = a ctg ф;
5) ^ = і1Гсо7^; 6) Р = -Щ Щ Г ; ) Р -2 а ( 1 - С05ф).
1.113. Из точк» О на окружности радиусом а проводится луч,
f)T точки L пересечения его с окружностью откладывается отрезок
LM — b по направлению луча ОК. Составить уравнение лн 丨 і:!!!,
описываемой точкой М прн ьращении луча вокруг точки О, и построить
линию. (Эта линия называется улиткой Паскаля.)
1.114. Отрезок постоянной длины 2а своими концами /1 м В
скользит по осям прямоугольной декартовой системы коордиппт.
Из начала коордннат к отрезку АВ проводится перпендикуляр ОМ.
Составить уравнение геометрического места точек М и построить
линию. (Эта линия называется четырехлепестковой розой.)
1.115. Луч /,исходящий из неподвижной точк» О, вращается
с постоянной угловой скоростью со. Точка Л1 движется по лучу /
из точки О равномерно со скоростью ѵ. Составить уравнение
траектории точки Л1,построить линию. (Эта линия называется
спиралью Архимеда.)
В задачах 1.116— 1.118 построить лишио,определяемую в полярной
системе координат заданным уравнением.
1.116. р = (логарифмическая спираль).
1.117. р = а/ф (гиперболическая спираль).
1.118. () = a sin Зф (трехлепестковая роза).
1.8. Параметрические уравнения линии
Уравнения вида
называют параметрическими {/равнениями линии, ссли прн изменении параметра
t n некотором промежутке формулы (1.12) дают координаты всех точек л :ниой
лшши, и только таких точек.
П рим еры .1 .Составить параметрические уравнения окружности ралиусом
R с центром в точке С (а. Ь).
Пусть Л1(дг, у) — произвольная точка данной окружности (рис. 1.11). Обозначим
через P n Q основания перпендикуляров, проведенных из точки М соответственно
к осям Ох и Оу%через L и N — точки псресечсішя прямых, проходящих
череч точку С и параллельных соответственно осям Ох н Оу、с указанным» перпенд
ff кѵляра wir.
Угол, образуемый отрезком СД! с положительным направлением оси Ох.
обозначим через tt т. e. Z. MCL — t. Поскольку CL = R cos t. LM = R sin л.
с другой стороны, CL = СіР = х — a, LM = C2Q = // — b, то х — а = R cos t.
t/ ― ^ = / sin /.
Такнм образом, получены параметрические уравнения данной окружности:
д: —a - f / cos t, у b R s\u t.
2. Прямоугольник, две стороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных
прямых, деформируется так. что его диагональ сохраняет постоянную
длину. Множество точек — оснований перпендикуляров, проведенных из вер-

шішьі прямоугольника к его диагонали,— называют астроидой. Составить пара-
>г^трі!Ч(-скіге уравнения астроиды.
В к а мест г.е координгпиых осей выберем указанные взаимно псрпсил:!.;. .іярные
прямые, нп которых находятся стороны прямоугольника ОЛВС (рнс. 1.12).
Длину днпгона.;! ЛС обозначим буквой а: |ЛС| = а. Этот пря^-лтолып.іс деформируется,
длины сторон ОА н ОС изменяются так, что \()Л (- -Ь (^ С |2 ~ и:
И: першииьі В, противоположной началу коирдннпт, приведем перпендикуляр
к днагомпли АС. Пусть Л Ш , //) 一 псновашіс ->т го перпендикуляр а. ОГтзначігм
буквой î ислшишу углл ВСЛ и равного ему yr.ja MBA. Выразим координаты г,
у точки М 4« роз угол t.
x ег- ОР ― I CM j соь / == ( I Cß|cos /)cos t ~ |CZJ|cos21 =
= ( JC. î j cos t ) cos2 t = 丨 СЛ I cos31 = a cos3 /•
[s OQ P.W « J.\M |sin t ~ (|Л В |sin りsin t =:\A R \sin2 1 =
= ( |^îC|sin /)sin -1 — |/lC |sin 3 / = Gsin3 t.
Рис. 1.11 Рнс. 1.12
Таким обрпзом, найдены следующие параметрические уравнения астроиды:
•г = д cos31,у = a sin31.
Исключив отсюда параметр t, получнм уравнение п строи ды в прямоугольных
декпртпвых координатах: дг2/3 + у 2/3 = а2,3'
В задачах 1.119— 1.126 построить линию, заданную параметрическими
уравнениями.
1.119. x = /, у = — /.
1 .1 2 0 .ズ= 1 ―た у = 1 + /•
1.121.ズ= 3 cos / ― 】,у = 3 sin / + 2.
1.122.ズ= 4 cos / + 3, w = 4 sin t ― 5.
1.123.ズ= / ," = tz.
1.124. лг = 2 — /, у = ( / ― り2+ 1.
1.125. x = t %У = 了 • 1.126. -y,J У = j
В задачах 1.127— 1.134 записать в декартовых координатах
уравнение линии, заданной параметрическими уравнениями.
1.127. x = a cos t、t/ = b sin t.
1.128. a (t+ l/t) , y = b {t — 1//).
1.129. x = 2 sin / + l t z/ = 2 cos t — 3.
1.130. л* = 5 sin t 一 4, y = 5 cos t + 6.
21

1.131.л : = ズ+ 1 . / / = ( / — 2)2 + 3.
1.132. x = (/ + 1)2 — 2, у — 1 — t,
1.133. x = t — 1,У t j. о .1.134. л'~ , ■」 0- , ÿ = 2/ — 5.
о л ズ2 и2
1.135. Даны окружность х- 4- ÿ2 ~ сг и эллипс =
Прямая, параллельная оси Оу, пересекает каждую из лиииіі в двух
точках. Пусть M j и 一 две точки пересечения с данными линиями,
лежащие в одной четверти, a ЛІ — середина отрезка
Записать параметрические уравнения линии, описываемой точкой
М при движении прямой, остающейся параллельной осп О у
1.136. Даны окружность х 2 + у 2 = а2 и эл-іипс ^-2—= 1
Луч, исходящий из точки О (центр окружности и эллипса), пересекает
эллипс в точке Alj, а окружность — в точке Afo. Составить
параметрические уравнения линии, описываемой точкой М — серединой
отрезка М 1М 2 — при вращении луча вокруг точки О.
2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО ПОРЯДКА
Алгебраической линией (кривой) п-го порядка называют линию,
определяемую алгебраическим уравнением п-й степени относительно
декартовых координат.
Лннші первого порядка определяются уравнением
Ах + В у + С = О (Л2 + В2Ф0),
а линии второго порядка — уравнением
Ах2 + В ху + Cy°- + D x + E y + F = 0 (Л2 + ß 2 + С2 妾 0).
Лишіи первого порядка являются прямыми. К линиям второго
порядка относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола.
2.1. Прямая линия нэ плоскости
Угловым коэффициентом прямой иачывлют тангенс угла а наклона ее к положительной
полуоси Ох прямоугольной декартовой снстемы координат:
k ^
а (0 ^ « < л).
Уравнение прямой с і.\\ювым коэффициентом іімост пид
ij - k x + І \ (2 .1)
где к - угловой коэффициент: b = OB — вс.ііічиип направленного отрезка OB,
отссь о ил пси О:•
Т .:. сне угл.і между двумя прямым»
вычііѵ . ісгся im формуле
У = k i X + b it у = к . х + Ь 2 (2.2)
1-}-
(2.3)

Необходимое н достаточное условие параллельности прямых, заданных уравнениями
вида (2.2), выражается равенстним ki = к., а \словис нх перпендикулярности
k' = - ~ k 7 -
(2_4)
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент к и проходящей через
данную точку Мо(аго, уо) • ,
у — у 。= k 、x — .Го). (2.5)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М \(х і, //і), іМ2(.ѵ2. //2) :
у — Цл
x 一 А*,
------
іи
-= ----------— (хо ズi, y-у 上 У\ ) . (2.6)
一 i/i л*2 一 хг к z 1 , 人 川 v ß
Параметрические и равнения прямой, проходящей через эти точки:
x = х\
— xi)t, у = yt + (//2 — Уі)し
где t принимает все действительные значения.
Уравнением прямой в отрезках нп.^ывлют уравнение
~ ѵ + ~ т = 1'
где а — ОЛ, b = OB — величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно
на осн Ох и осн Оу.
Общим уравнением прямой называют уравнение
Ах + Ву + С ^ 0, (2.7)
в котором А \\ В одновременно в нуль не обращаются, т. е. А 2 + Вг ф 0
Рас асстоянне от точки А1о(.ѵ0, у о) до прямой 一 (2.7) вычисляют по формуле
I ^ хо Ву0 -|- С I
(2.8)
ІЛ М Г а .
П рим еры .1 .Даны уравнении основания равнобедренного треугольника
.г + // + 1 = 0 и боковой стороны л* — 2// — 3 = 0. Составить уравнение третьей
стороны треугольника, ссли известно, что на ней лежит точка Р (—3 , 一 1).
Разрешим уравнения данных сторон относительно у:
1 I 3
у — X— 1, U= ----X 一 -----.
^ ^ 2 2
Сравнивая эти урпвнеиня с уравнением (2.1), заключаем, что дпнныо прямые
имеют следующие угловые коэффициенты: 幻 = — 1,кг — 1/2. По формуле (2.3)
находим тангенс угла между ними:
tgfp = -r^ T 7 T = 3-
Ь равнение третьей стороны ншем и виде у = кх + Ь. По условию эта сторона
образует с основанием ю т же угол, что и данная сторона ^ — 2{/ — 3 = О,
поэтому
tg Т = пли tg ф = (2)
(п зависимости от того, какую нз двух рассматриваемых прямых считать періюи).
Следовательно, нз равенств (1)и (2) получаем два уравнения:
4 ± 4 _ = з, ニ.—1-.—.А. ニ з.
откуд а соответственно находим к = 1 / 2 , k = 2. Берем второе зиачение k (к = 2),
тлк кпк первое относится к данной боковой стороне. Уравнение искомой стороны
принимает вид у = 2х 4- Ь. Значение b определим из условия, что гірям.чи проходнт
Ч(.*рез точку Р (—3, 一 П. ІІодстапляя координаты точки Р в уравнение
У = (2х + Ь, находим —1=2( —3) + Ь, Ь ^ Ь.
⑴
23

Итак, получено искомое уравнение (/ = 2дг + 5 или 2ズ— が+ 5 = 0.
2. Составить ураинсиня прямых, на которых лежат стороны и высоты треугольника
с вершинами .1(3,4), В(6, 2), С(3, 1/2).
Найдем уравнение прям )й. на которой лежит сторона АВ. Используем уравнение
(2.6), полагая .ѵі = 3, уі — 4 .ズ2 = 6, {/2 = 2:
栏 = 芒 与 4- = 午 ’ 丨 8 = 0.
Составляя уравнение прямой, im которой лежит сторона ВС, считаем лгі-6,
Ух = 2, x- = 3. //г =1/2 :
у 一 2 x 一 6 у 一 2 л: 一 6
1 / 2 ^ 2 — 3/2 ' ― 3
X 一 - 2у ― 2 = 0.
При составлении уравнения прямой, на kotodoh лежит сторона ЛС, считаем
ズі = 3, //j = 4,ЛГ2 = 3,уг =1/2:
у — 4 x — 3
1/2 — 4 = ~ 3 ^ 3 ^ ⑴
Второй знаменатель обращается в нуль, поэтому уравнение (2.6) теряс.т
смысл. В этом случае уравнение прямой можно получить из геометрических соображений.
Так как Хі = д:2 = 3, то точки АҺ и расположены на прямой, пор аллельной
оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок û = 3; ее уравнение л:= Л.
При составлении урапненнй прямых, на которых лежат высоты треугольника,
пользуемся формулой (2.5) и условием перпенди ку л яр ности двух прямых
(2.4).
Поскольку прямая А В имеет угловой коэффициент k An = — 2/3, то рысотл,
проведенная из точки С, имеет углоппй коэффициент k ~ 3/2. В соотвстстпнн
с уравнением (2.5) находим
у 一 去 (дс — 3) или 3jc 一 2у — 8 = 0.
Аналогично получаем уравнение прямой, па которой лежит высота треугольника,
проведенная из точки Л:
" 一 4 = — 2(ズ 一 3) или 2д: + г/ —-10 = 0.
Так как прямая АС параллельна оси Оу, то высота, проведенная из точки В
на ЛС, ипраллсльна оси Ох\ ее уравнение // = 2.
3. Вычислить высоту трапеции, основания которой лежат на прямых
Зл: + 4у — 10 = 0, 6х + Ѣу — *15 = 0.
Высота трапеции равна расстоянию между указанными прямымиニ а это
последнее — расстоянию от произвольной точки одной из них до
какую-пибудь точку ucp вой прямой. Положив, папрнмер, х
Зх 4* 4ダ 一 10 = 0 найдем // = 5/2; получим точку Л1о(0, 5/2).
По формуле (2.8) вычисляем расстояние от точкп Мо(0, 5/2)
І6-0 + 8-_Г_ — 45 i
_ Ü 2 lz iË l = 2,5.
10 10
Следовательно, искомая длина высоты трапеции равна 2,5.
другой. Выберем
0, из уравиенля
до этой прямгш:
2.1. Составить уравнения прямых, параллельных биссектрисе
первого координатного угла и отсскающнх на оси О у отрезкп. пеличины
которых соответственно &! = 2, = — 5.
2.2. Записать уравнение прямой, проходящей через начало
коорлинат и точку С (4, 3).
2.3. Записать уравнения прямых, отсекающих на оси Оу отрезок
fc = — 3 и образующих с осью Ох соответственно углы: r f i = 0 ,
= 45°,фз = 60°, ф.і =135°.
21

2.4. Записать уравнения прямых, проходящих через начало
координат и образующих с осью Ох соответственно углы: фі= О,
ф 2 = 3 0 。,ф з = 4 5 。,ф 4 = 9 0 。,ф 5 = 1 3 5 ° .
2.5. Уравнения прямых 5х + у — 3 = 0, Зл:— 6ÿ + 7 = Ü,Ах 一
— 9у = 0, 2ÿ + 3 = 0 привести к уравнениям с угловыми коэффициентами.
2.6. Найти углы, образуемые с осью Ох следующими прямыми:
I) — 2{/ + 5 = 0; 2) Зх + Зу — 7 = 0; 3) 6х — Зу — 1=0;
4 ) 7 д : + 10 = 0 ; 5 ) З у + 7 = 0 ; 6 ) 15л: + Ъу — 14 = 0.
2.7. Построить прямые, заданные уравнениями:
1)ÿ = 4л: -)- 3; 2) у = — Зх + 2; 3) 4ズ+ 5у — 20 = 0;
4) Зх — 4{/-f 12 = 0; 5) Зл: — 8 = 0; 6) 2л* + 3 = 0.
2.8. Наити величины отрезков, отсекаемых на осях координат
следующими прямыми:
1 ) 2л: — Зу*— 6 = 0; 2) Зл: + 切 一 12 = 0; 3) 4х 一 Ъу + 20 = 0.
2.9. Записать уравнение прямой, отсекающей на осях координат
отрезки а = 4 b = — 3 .
2.10. Вычислить площадь треугольника, заключенного глежду
осями координат и прямой Ах + Ъу — 20 = 0.
2 .1 1 .Диагонали ромба, равные 14 и 18 единицам, приняты за
оси координат. Составить уравнения сторон ромба.
2.12. При каком значении С прямая Зл: — 4т/ + С = 0 отсекает
на осн Оу отрезок b = 5
2.13. Найти значения А, при которых прямая Лх + 2ÿ — 4 = 0
образует с осью Ох соответственно углы: (рі = 45°, фг =135°.
2.14. При каких значениях В прямая Зх + Ву — 15 = 0 отсскаст
на координатных осях отрезки равной длины
2.15. Найти значение параметра Ь,при котором прямая у =
— Зх b отсекает на осн Ох отрезок а = 2.
2.16. Определить положение точек /1(1,1) ,В (4, 一 1),С(1,2),
D(2, " ,£ (1, 一 1),/:(2, 一 1 ) относительно прямой 2х + Зу — 5 = 0.
2.17. Найтн углы между прямыми:
1 ) ÿ = 去 Л- — 2, у д: + 3: 2) 1/ = -g .v — 1 , ! / , 4х — 5;
3) = 6, .v — 2// — 6 = 0; 4) // = J,-x—2 j7 x + 4 y - l0 0.
2.18. Указать, кгкпе из следующих прямых параллельны и перпендикулярны:
1 ) 2.ѵ — 7у + 3 = 0; 2) 4.ѵ — 14// + 1=0;
3) 7ズ+ 2// — 5 = 0; 4) Зл: + 5 //-2 -- 0.
2.19. Составить уравнение прямой, проходящей через гіачало
коордннат н параллельной прямой Зх 一 10у + 9 = 0.
25

2.20. Составить уравнение прямой, проходящей через пачало
координат н перпендикулярной к прямой Ьх + 13"— 1 1 = 0 .
2.21. Через точку Л1(3, 一 4) провести прямую, параллельную
прямой 2х — 5у + 7 = 0.
2.22. Через точку Л1(—2, 5) провести прямую, перпендикулярную
к прямой 4л: + 7(/ — 3 = 0.
2.23. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат
и образующей угол ф = 45° с прямой 3ズ— ày + 4 = 0.
2.24. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
М ( 2 ,— 1 ) и образующей угол ф =135° с прямой 7ズーら/ + 5 = 0.
2.25. Составить уравнения двух перпендикуляров к прямой
З.ѵ -f- 4t/ — 12 = 0, проведенных из точек пересечения се с осями
коорлинат.
2.26. Через точку пересечения прямых 2ズ 一 Зу — 5 = 0,Зх —
— lf / 一 7 = 0 провести прямую, перпендикулярную к прямой
5лг + бу — 2 = 0.
2.27. Через точку пересечения прямых 5.ѵ + 2у — 12 = 0,
Ол* — 7у — 5 = 0 провести прямую, параллельнѵю прямой 7х — 8у +
+ 2 = 0.
2.28. Через точку пересечения прямых 9х — 2{/ — 5 = 0, 8х +
+ 3 //— 14 = 0 провести прямую, образующую угол (р = 45° с прямой
Зл* — 7у + 5 = 0.
2.29. Найти проекцию точки Q (5 ,— 1/2) на прямую Зх — Ау +
+ 8 = 0.
2.30. Найти точку, симметричную точке Л,(4,5) относительно
прямой 8х + бу — 37 = 0.
2.31. Составить уравнения сторон треугольника с вершинами
Л(-2, -2 ),ß (-l,2 ),C (6 , 2).
2.32. Записать уравнения сторон трапеции с вершинами
Л (—2, - 2 ) , ß ( — 1,2 ),С(3,4 ),Л (6 ,2).
2.33. Составить уравнения прямых, па которых лежат медианы
треугольника с вершинами А (2, —4), ß (—6,8), С (4, 6).
2.34. Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами
А (2, 一 8 ),ß ( - 3 . 9), С (7 ,— 10).
2.35. Записать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых 5л: — 7(/ — 3 = 0, Зл: + // — 7 *-= 0 и псрікмідикулярнон
к прямой 8л: + 3// — 5 = 0.
2.36. Стороны трапеции лежат на прямых, заданных уравнениями:
4ズ ー が + 6 = 0. л• — 2" + 5 = 0, 2х + 3 " — 18 广 0. .v ― 2// — 2 = 0.
Найти точку пересечения ее диагопплей.
2.37. Вычислить расстояние данноіі точки М ло указанной прямой
в каждом из следующих случаев:
I) 4л—Зѵ— 15 = 0,ル1(2. 一 り; 2) 6ズ+ & /— 21=0, М (3 ,1);
3) д г+ 2 ў + 3 = 0 , М((), 0 ); 4) 5дг— 12у—26=0, М (8, — 1).
2.38. Найти расстояния от прямой Зл* + А у 一 20 = 0 до следующих
точек: Л (2,1 ).ß ( l , 3), С(0Э5), ü ( 一 2, 4).
2.39. Найти расстояния от прямой 8ズ— б// — 15 = 0 до следующих
точек: А (4,—2), ß(6, 8), С (9,2 ),D(0: —2,5).
26

2.40. Вычислить расстояние между двумя прямыми 12ズ+ 5 分 一
一 39 = 0,12л: + — 65 = 0.
2.41. Вычислить длину перпендикуляра, проведенного нз точки
М (692) к прямой 4х + Зу 一 10 = 0.
2.42. Вершины треугольника находятся в точках А ( 2 , — 1),
ß ( — l , —2) и С ( 3 , 1 ) . Найти длину высоты, проведенной из
точки А.
2.43. Вычислить площадь квадрата, две противоположные стороны
которого лежат на прямых бд:— 8у — 15 = 0, öズ— 8у + 15 = 0.
2.44. Одна из сторон квадрата лежит на прямой ズ+ у — 3 = 0,
а центр его находится в точке N (4、3). Составить уравнения прямых,
на которых лежат три другие стороны.
2.45. Составить уравнение прямой, параллельной прямой Зд:—
— 4у — 35 = 0 и отстоящей от нее на расстоянии d = 2.
2.2. Окружность
Каноническим уравнением окружности радиусом R с центром в точке С (а, Ь)
называют уравнение
( . ѵ - а ) 2 + ( / / - 6 ) 2 - ^ 2. (2.9)
В случае, когда центр окружности находится в начале координат, уравнение
принимает пид
x2 + у1= R2.
Если уравнение второй степени, не содержащее члена с произведением коордннат
и имеющее равные коэффициенты прн х2 н //2, т. е. уравнение
Ах1 + Aiß + Dx + Еу + F ^ 0t
определяет некоторую лш ш ю , то этоГі линией является окруж ность.
П р и м е р ы . І. Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой
уравнением 2ズ2 + 2у2 — Ю.ѵ + 6// — 1=0.
Разделив обе части уравнонпя на 2, полупим
Выделяя полные квадраты, находим
x1 + у 2 — Ьх + Зу — 1/2 = 0.
/ # „ 25 \ / о . 9 \ 25 9 1 л
(а:* — 5д: + 丁 ) + (ゲ + Зу + マ-j 一 丁 一 了 一 了 = 0
ИЛИ
(л: — 5/2)2+ ( // + 3/2)2 = 9.
Сравнивая полученное уравнение с урппнонием (2.9), заключаем, что а = 5/2,
2. Какое геометрическое место точек определяет уравнение
ох2 + 5!/2 一 10х + 20//+ 3 1 = 0
Разделив обе части уравнения на 5 и выделив полные квадраты, получнм
(•г 一 1Г-+0/ + 2) 2 — 6/5.
Этому уравнению ие у дов л и нор я ют координаты ии одной точки плоскости; данное
уравнение не опролгляет действительной линии.
•3. Составить уравпенне о кр уж н о сти , касающейся биссектрис координатных
углов и проходящей через точку Л (2, 6).
Центр окружности, касающейся биссектрис координатных углов, лежит или
на оси Ох, илп на осн О//, в зависимости от тою, клкопо соотношение между
27

координатами точки А ( х 0. //о), ч .р(‘з котирую проходит окружность (л*о > i/o
или Хо く //о).
Так как в данном случае хо = 2, *= 6, т. с. л*“ く i/o, то центр окружности
лежит на сси О tj и со уравнение можно заш»сл 丁 ь в в ;:іе
где b — ордината центра С(О, Ь) окружности.
Определим зависимость между b и R, для чего вычислим расстояние от точки
С (О, Ь) до биссектрисы х — у = 0. По формуле (2.8) находим
Искомое уравнение принимает впд
] 2 " к ' к ~ » 2 •
# + (//— の2
Поскольку окружность проходит чер
должны удовлетворять этому уравнению:
точку Л(2,
Ьг > .
ь2 b2
22 + (6 — の2 = - 0—• 4 + 36 — 12Ь + 62=- ニー2—, —2—, 一 і г 一 120 + 40 = 0.
Решая последнее уравнение, находим = 44. . bz = 20.
Следовательно, условию задачи удовлетворяют две окружности, уравнения
которых:
хг +Ü, — 4)2 = 8, х2 + (у 一 20)2 = 200.
2.46. Записать уравнение окружности радиусом R = 7 с центром
в точке С ( 一 3, 5).
2.47. Записать уравнение окружности, диаметром которой счужит
отрезок M N, где М (2 У—3 ),N (—6,3}.
2.48. Найти координаты центра и радиус окружности:
1 ) .ѵ2+ у 2+6лг—8у— 11=0; 2) 4^Jr4^— ] 2//—3 -0 :
3) ,ѵ2+ у 2—6ズ 一 7 = 0 ; 4) 3ズ2+ 3 ゲ ー 16у = (:.
2.49. Какое геометрическое место точек определяет каждое из
уравнений:
1 ) х2+ у2 —4 х + 6 у + 13 = 0; 2 ) ズ2+ 沪 + 2 ズ 一 4у+ 5 = 0;
3) 2ズ2+ 2 ゲ + む 一 8 //+ 2 1 = 0 ; 4) 6が + 6 у 2-1 2 л г+ 24//+ 33 = 0
2.50. Составить уравнение окружности, касающейся осей координат
и проходящей через точку М ( 1, 2 ).
2.51. Составить уравнение окружности, касающейся осп О.ѵ
и проходящей через две точки М { —2 , 1 ) н іѴ(6, 5).
2.52. Составить уравнение окружности, касающейся оси Оу
и проходящей через две точки М (1 ,6) и Лт(5, —2).
2.53. Составить уравнение окружности, проходящей через три
точки Р ( —2, 一 2), Q(6f 2 ),/(4, 6):
2.54. Составить уравнение окружности, касающсііся прямой
Зх + Ау — 15 = 0 и имеющей центр в точке С (5, 5).
2.55. Какая линия определяется каждым из следующих уравнений:

1 ) 1/ = + 1 16 - 一 x2; 2) у ― レ,36 ― X2;
3) А* = ! \ 49 - - / / 2; 4 ) ズ= — 1 6 4 - - ゲ;
5) У = 1 ュ. 1 4—― ズ2; 6) 3 ― 1 -9 : I 2;
7) x - - і + \ 8 1 ^ 2; 8) x = 6 — ^2 5 — У2
Построить указанные линии.
2.56. Найти длину касательной, проведенной из точки Af (5, 8)
к окружности x2 + у1— Ах — ѣу + 1 1 = 0 .
2.57. Составить уравнение диаметра окружности х2 + у2 + 6ズ—
— 4у — 3 = 0, перпендикулярного к прямой 3ズ— 2ÿ + 7 = 0.
2.58. Выяснить, как расположена прямая у = 2х + 3 относительно
окружностей (пересекаст, касается или проходит вне окружности):
1 ) .ѵ--(-//2—б.ѵ—8у=0; 2) .Ѵ-+У2— бх—8 у + 20 = 0;
3) х2+ //2—б.ѵ—

Каноническое уравнение эллипса
Л'2
Ь 2
1, (2.1 0 )
где а = 0/1 一 большая, а Ь = О В — малая полуось (р т 、. 2.1).
Координаты фокусов эллипса, определяемого уравнением (-1 0 ). л*і
ijx = 0, л = с, i/- = 0, т. e. F i ( с, 0 ) , 厂 г (с, 0), где
(2.11)
Э кс ц е н т р и с и т е т о м элл ипса плыпают отношение фокусного расстояния 2с
к длине Ча большой оси:
г/я .
= "Y 1—b'^lä1 . (2Л2)
Ф о к а л ь н ы м и р а д и у с а м и т о ч ки М эллипса называются отрезки прямых, соединяюших
эту точку с фокусами і \ /•2. Их длины Гі и r z можно вычислить по
формулам:
rj = д + е.ѵ, Г2 —а
(2.13)
где е — эксцсіітрнснтст э.ілниса.
-5 з ^
0
V
ノ
\
Рис. 2.1 2.2
Д и р е к т р и с а м и эл л ипса (2.10) называют прямые, определяемые уравінниямн
x = — ß/е, x = а/е.
ч
П р и м е р ы . 1 . Какую линию определяет ураинсине Зд:2 + 4//2 = 12
Разделим данное уравнение почленно па 12: л + = 1 . Сравнивая по-
4 о
лученное уравнение с уравнением (2.10), заключаем, что оно (а также исходное
уравнение) определяет эллипс с полуосями а - 2, b ^ | I Гайдем фі»кугы у того
Эѵілнпса. Из формулы (2 .1 1 )следует, что с2 = «2— Ь2. Поскольку в дпином случае
а 2 = 4, Ь2 = 3;то с2 = 4 — 3 = 1 , с = 1 . Следовательно, фокусы эллипса находятся
в точках Ғ і( — 1,0), Ғ г (1 ,0).
2. Б прямоугольной декартовой системе координат построить лилию, оцрсдс-
2 - -
ляемую уравнением у = — — У 9 — х 1 .
Преобразуем данное уравнение, в kü. ір ;л его чисти:
У2 :
(9 ーズ2).
,/2 〜 9 一 л.2 xS_ + —た = j .
Последнее уравнение определяет эллипс с полуосями а
ш и ть ,то уравнение относительно у , получлм:
:- . У 9-.V2, У : 9 一 .v2.
Е сли
п;:^ре-
В условии задачи дано второе иэ этих уравнений. Оно определяет не т ѵ ь ^.ьпіпс,
а только ту его часть, для точек которой у ^ 0 , т. е. половину эллипса, расположенную
ниже осн О х (рис. 2.2).
30

3. дописать каноническое уравнение эллипса, проходящего через топки
耶 . 2), ,Ѵ(ЗѴ З ^ . I 2).
Кажшическしе уравнение эллш;са имеет вид (2.10). Так как точки М и N
лежат на эллипсе, то их к "рдшіаты удовлетворяют его уравнению:
9 4 , 2 7 2
= w + - w = l -
Решая полученную систему уравнений, находим, что а 2 = 1 8 , Ьг = 8.
Таким образом, ію.іучеии след> ющее кішншічсск«к* \ juntHcHiit* 上 ’ілішса
2.67. Записать уравнение геометрического мсста точек плоскости,
для каждой нз которых сумма расстоянии до точек
/:і( —3, 0), /^(3 ,0) равна 10.
2.СІ8. Записать уравнение геометрического мсста точек плоскости,
для каждой из которых сумма расстояний до точек 尸 !(0,—5),
/ 1:(0, 5) равна 26.
2.69. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
[ккчюложены па оси Ох симметрично относительно начала
координат, если:
1 ) большая полуось равна 8, малая полуось равна 6;
2) расстояние между фокусами равно 10, большая ось равна 26;
3>- большая ось равна 20,эксцентриситет равен 0,0;
4) расстояние между фокусами равно 14, экснентрлситет равен
7/9.
2.70. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на осн О у симметрично относительно начала
координат, если:
1 ) большая полуось равна 3 | 2 , малая полуось равна 2 | 3 ;
2) расстояние между фокусами равно 24, малая ось равна 10;
3) малая ось равна 12, эксцентриситет равен 0,8;
•1 )расстояние между фокусами равно б, сумма полуосей
равна 9.
2.71. Даио уравнение эллипса + く • ニ:1 . Проверить, лежит
ли точка Af(3, 2) на данном эллипсе. Найти точки, симметричные
точке М относительно: каждой координатной оси; начала координат.
2.72. Даио урапнение эллипса 丨 ., 1 . Наити точки эллипса,
для ко то р ы х:1 ) л* — 0; 2) л: 6: 3) v = 3j 2~; 4) у 2\
5) У - 2 \
2.73. НаГіти полуоси, фокусы и эксмеитриситот каждого эллипса.
заданного соответствующим уравнением:
】)"36 - 1:2) -28 :_6Т 1 : 3 ) キ - 1;4) ------ ミу = 1.
Построить указанные линии.
31

2.74. Иайти полуоси, фокусы и эксиентриснти каждого эллипса,
заданного соответстрл ютим уравнением:
1 ) 6л:* + \0у2 = 60; 2) Юл:2 !- г = 1 0 ;
3) 4х2 + 9ゲ = 1 ; 4 ) 25л;2 十 16ゲ = I •
2.75. Найти эксцентриситет эллипса, малая осі- которого видна
из фокуса под углом 120°. ”
2.76. Расстояние между концами ма^юй и большой осен эллипса
в т / п раз больше фокусного расстояния. Найти эксцентриситет
эллипса. Вычислить эксцентриситет в случае, когда tn : п = 3 :2 .
2.77. Записать уравнения директрис эллипса, определяемого
уравнением 16л.2 + 20ÿ2 = 320.
2.78. Найтн расстояние между директрисами эллипса,определяемого
уравнением 18х2 + 9у2 = 162.
2.79. Записать каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
расположены и а оси Ох симметрично относительно илчала
координат, если:
1 ) расстояние между длрсктрисами равно 18, большая ись равна
12;
2) расстояние между директрисами равпо 16, эксиситриситст
равен 0,5.
2.80. Записать каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на оси Оу симметрично относительно начала
координат, если:
1 ) расстояние между директрисами равно 50/3, малая полуось
равна 4;
2) расстояние межлу директрисами равно 9, расстояние межлу
фокусами равио 4.
2.81. Записать каноническое уравнение эллипса, ссли:
1 ) прямые x = ± 12,5 являются его директрисами, малая ось
ргівнп 12;
2) прямые у — ± 50/3 являются его директрисами, большая ось
равна 20.
2.82. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего
через точки М (3, V 15), N (— 3 К 3, 1^5).
2.83. Составить уравнение геометрического мсста точек плоскости,
лля каждой из которых сумма расстояний до точек
Afj (— 1 ,— 1 ) и М г О ,1 ) равна 4.
2-84. Построить линии, определяемые уравнениями:
1) X =Г= 3 1 2) 3 ) ダ- — 2 1 1 ^ ;
4) У = 3 1
7) X = + - j
А 5) / / - - Ѵ 9 ~ х г] 6) у = — ~|-1 rl6 = x *;
| / 2 5 ^ ; 8 ) x ~ ^ ] 36- t / 2.
2.85. Дано сравнение эллипса lx - + 16ゲ = 112. Найтн фокальные
радиусы точки, лля которой х = 2.
2.86. Дано урашкчше эллипса Ъх2 + Э//2 = 45. Найти точки
эллипса, расстояние от которых до правого фокуса равно 4.
32

2.87. Дано уравнение эллипса Зд:2 + 4^/2 = 1 2 . Найти точки
эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 1,5.
2.88. Найти точки пересечения эллипса и прямой в каждом из
следующих случаев:
1 ) ЗхЧ* 卜 3, Зл:+у—3=0; 2) 3ズ2+ 4 沪 =192,л :+ 2//-1б=0.
2.89. Исследовать взаимное расположение эллипса и прямой
в каждом из следующих случаев:
I ) ズ2+ 2 у 2=:4, лг+у— 1= 0; 2) 4.v2+ 9f/2=72, 2л:+3у— 12 = 0;
3) Зх2+ у 2=6, 2х+ У — 18=0; 4) 4л:2+ 9 у 2=36, Зх+2у—6 = 0.
2 .4 . Г и п е р б о л а
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой
из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов) той же
нлоскостп есть вечііічнна постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы
— = Ь (2. 14)
где а = ОЛ — действительная, з b = ОВ — мнимая полуось (рис. 2.3).
Координаты фокусов гиперболы (2.14):
Хі = —с, //і=0, .Ѵг=с, |/2 = 0, т. е. Ғі (—с, 0),
尸 г (с, 0). где
с = + (2.15)
Эксцентриситетом гиперболы (2.14) на-
^ынаетоя « гиошеине фокусного расстояния
2с к длине 2а действительной оси:
е = с/а. (2.16)
Асимптотами гиперболы (2.14) называют
прямые, определяемые уравнениями:
Y ズ.
Директрисами гиперболы (2.14) называются прямые, определяемые уравнениями:
jc = — a/e, x = д/е,
где а —действительная полуось; е — эксцентриснтст.
Г ипербола с равными полуосями (Ь ^ а) называется равносторонней', ее каноническое
урапнение имеет вид
x1 一 у2 = о2.
Фокальные радиусы точки правой ветви гиперболы (2.14) вычисляются по
формулам:
Гі = ех + а, г2 = ех — а; (2.17)
фока.іьиые радиусы точки левой ветви гиперболы (2.14)— по формулам:
rj « — е.г 一 а, г2 = — ел* + д. (2.18)
Примеры.1.Какую линию определяет уравнение 4.ѵ2 一 9у2 - 36
Разделив обе части данного уравнения на 36, получим 1.
Сравнивая это. уравнение с уравнением (2.14), заключаем, что оно определяет
гиперболу с действительной полуосью а 3 н мнимой полуосью b 2.
Зак 2026 33

2 . Н айти полуоси, координаты ф окусов и эксцентриситет гиперболы , задан-
нон уравнением 5х2 — 4у2 — 20. Вычислить длины фокальных радиусов точки
М(—4, У Щ . 2 2 •
Разделим обе части данного уравнения на 20, полѵчим — JT— ニ 1 . Сран-
4 о
иивая это уравнение с уравнением (2.14), заключаем, что а2 = 1 , Ь2 = 5, т. е.
а = 2, b — \ 5. Так как b2 = f 2—а2, то с2 = аг+ 62 = 9, г = 3, Л (—3. 0). Fi(3, 0)
е *= с/а = 3/2. Поскольку точка Л1 лежит на левой ветви гиперболы, то при ьи-
• з
числоиші г, ii г2 необходимо пользоваться формулами (2.18): гі= — —(—4)—2
3 "
=4, г2 = 一 ( 一 4) 2 = 8. Отметим, что г2 一 гг = 8 — 4 = 4 2а.
3. Доказать, что расстояние от любого фокуса гиперболы _2— 一 = 1 до
а2 Ь2
любой ее асимптоты равно Ь.
b
Асимптоты данной гиперболы определяются уравнениями у = x.
Найдем расстояние от правого фокуса F2 (с, 0) до асимптоты у лг (Ьх 一
_____
и
一 ау = 0 ). Принимая во внимание, что с = у а2 по формуле (2 .8 ) ллходнм
указанное расстояние:
\Ьс — а-0\ ьѴа3 -гЬ 9 ,
— У а2 + Ь2 一 У а2 + Ь2 — •
Аналогично доказывается, что расстояние от фокуса F2 до аелмптоты
Ьх + «// = 0 и расстояние от фокуса Fi до каждой из асимптот равно Ь.
2.90. Записать уравнение геометрического места точек плоскости,
для каждой из которых разность расстояний до двух точек
Ғі {—5, 0 ) , 尸 2(5,0) по абсолютной величине равна 8.
2.91. Записать уравнение геометрического места точек плоскости,
для каждой нз которых разность расстояний до двух точек
F i(0, 一 10),Ғ2( 0 ,10) по абсолютной величине равна 12.
2.92. Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси Ох симметрично относительно начала
координат, если:
1 ) действительная ось равна 14,мнимая ось равна 10;
2) расстояние между фокусами равно 20,действительная ось
равпа 12;
3) действительная ось равна 6,эксцептрнснтет равен 5/3;
4) расстояние между фокусами равно 26, эксцентриситет равен
2,6.
2.93. Записать каноническое уравнение гиперболы,фокусы которой
расположены на оси О у симметрично относительно начала
координат, если:
1 ) действительная полуось равна 2 У 5, мнимая полуось равна
3 1 /2 ;
2) расстояние между фокусами равно 10,мнимая ось равна Н;
3) мнимая ось равна 16,эксиеитриситет равен 5/3;
4) расстояние между фокусами равно 26, сѵмма полуосей равна
17.
34

2.94. Дано уравнение гиперболы ------ = 1 . Проверить, лежит
ли точка М ( 2 , 1 ) на данной гиперболе. Найти точки, симметричные
точке М относительно каждой координатной оси и начала
координат.
X* [fl
2.95. Даио уравнение гиперболы -------у - = 1 . Найт 丨 точки,
для которы х:1) x = 3; 2) x = 4 I 2; 3) х = 5; 4) у = 0; 5) у ==1.
2.96. Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и асимптоты каж ­
дой гиперболы, заданной уравнением:
*) Тб-- " 2) -gi" - 1 Г = 1 :3) — L
Построить эти гиперболы.
2.97. Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет н асимптоты каждой
гиперболы, заданной уравнением:
1 ) 5х2 — 4у2 = 20; 2) 7jc2 一 9у2 = 63; 3 ) ズ2 — 8 if + 8 = 0.
2.98. Записать уравнения директрис каждой гиперболы:
り 'Іб' - 7 6 ~ = ^ 2) ― ~ ^ 1;
3) " W ―"36'=1: 4) - W +
Найти расстояние между директрисами в каждом случае.
2.99. Вычислить плошадь треугольника, образованного асимптотами
гиперболы 9л:2 — 16у2 = 1 и прямой Зх — 2ÿ — 12 = 0.
2.100. Вычислить расстояние от фокуса гиперболы xz — 8у2 = 8
до ее асимптоты.
2.101. Записать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены
на оси Ох симметрично относительно начала координат,если
известно, что:
1 ) расстояние между фокѵсами равно 20, уравнения асимптот
3
/ / =
2) расстояние между директрисами равно 14, расстояние между
фокусами равно 16;
3) расстояние между директрисами равно 20/3, эксцентриситет
равен 3 Ѵ о /о ;
4) гипербола является равносторонней и проходит через точку
м (3. Ѵ ъ ).
2.102. Записать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены
на оси Оу симметрично относительно начала координат, ссли
известно, что:
1 ) расстояние между вершинами равно 4, уравнения асимптот
ÿ = ± v;
2) расстояние между директрисами равно 16/Г 5, уравнения
асимптот у = ± 2х.

3) расстояние между директрисами равно 8, эксцентриситет равен
V5/2-,
4) гипербола является равносторонней и проходит через точку
М (б , 4 1 ,ä).
2.103. Записать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены
па оси Ох симметрично относительно начала координат,
еслн даны:
1 ) две ее точки A l( V 6 ,1 ) и N (} 5, —У 2/2);
2) точка М (4, 2), действительная ось а = 2| 2;
3) точка Л1(6, 2 ),уравнения асимптот .ѵ — 2у = 0,л: 2у = 0;
4) точка Л4(8, 3 К З ) и эксцентриситет e = 1.25.
2.104. Составить уравнение геометрического мсста точек плоскости,
для каждой из которых модуль разности рассүояші:! до точек
М і(— 1,1 ) н М о(һ — 1 ) р^веи 2.
2.105. Построить линии, определяемые уравнениями:
1)у =1 V —4; 2) у = —\ гх2+ 9;
3) x = 1 Ў М 7^ 4) х = —
2.106. Дано уравнение гиперболы 7х2~ 9у2 = 63. Найти фокальные
радиусы точек М (6, V 2 1 ) и N (—9, 2 У 14).
2.107. Найти точки гиперболы 5л:2 — 4у2 = 20, расстояние от которых
до правого фокуса равно 10.
2.108. Найти точки гиперболы 9л*2 — 16//2 =144, расстояние от
которых до левого фокуса равио 14.
2.109. Найти точки пересечения гиперболы и прямой в каждом
из следующих случаев:
1 ) Зл;2 — 5ÿ2=7, х — у — 1=0; 2) 8х2 — Зу2=5, 2ズ 一 ÿ 一 1=0.
2.110. Исследовать взаимное расположение гиперболы и
прямой:
1 ) 5.ѵ2 — tß = 4,5л* + Зу _ 2 = 0;
2) Ох1 一 //2 ~ 5, бл* — il — 5 = 0:
3 ) 16.ѵ2 — 9"2 = 1 礼 ï x — ij — 7 ^ 0;
4) 9х2 — = 3G, 2л* — ÿ ― 1 = 0 .
2.5. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудлленны
х от даіш ой точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), л сж а и ш х в той ж о
плоскости.
Уравнение параболы, симметричной относительно осн Ох и проходящей через
начало коордннат (рнс. 2.4), имеет вид
уравнение сс директрисы
У2 = 2рх; (2.19)
л - — р/2. (2.20)
Парпбс.іп, определяемая уравнением (2.10), имеет фокус F(p 2, 0). Фокальный
рпд»\ с сг точки Л1(л:, у) вычисляется по формуле
36
г = .г + р/2. (2.21)

Парабола, симметричная отиосіітолыю осн О у и проходящая через начало
координат, определяется уравнением
.v2 = 2(7//. (2.22)
фокус этой параболы находится в точке /.(0, ql2) ; уравнение ее директрисы
имеет вид у = — q/2. Фокальный радиус точки М (.ѵ. у) параболы (2.22) выражается
формулой г = i/ - f ЯІ2.
Пример ы . 1 .Пайти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы
/у2 = 1(5.ѵ. Вычислить расстояние от точки Л î ( 1, 4) до фокуса.
Сравнивая уравнение ジ2= 1 6 ズ с уравнением
(2.19), иаходим, что 2р = 1 0 , откуда р = 8. р/2 = 4.
В соответствии с формулой (2.20) получаем уравнение
лг = —4 директрисы параболы. Фокус параболы
находится в точке Ғ(4, 0). Точка ЛҢ1,4) лежит на
параболе, так как ее координаты удовлетворяют
уравнению у2= Ібдг. По формуле (2.21) находим фокальный
радиус точки М: г= 5 .
2. Найтп координаты фокуса и уравнение директрисы
параболы х 2= 4 у . Вычислить расстояние от
точки Л/(0. 9) до фокус;і.
Сравнивая уравнение х2 = 4!/ с уравнением (2.22),
получаем 2 q = i, откуда q = 2 , ql2 ― 1. Следов а тел ь-
ио, фокус параболы находится в точке F ( i) . 1),уравнение
директрисы имеет вид і/ = —1, а фокальный
радиус точки М г = 0+ 1 = 10.
3. Составить уравнеіігге параболы, сғімметричион
относительно оси Ох и проходя нии чсро.і точки
Л1(5, 4), N (\5 t - 6).
Так кпк ппрпбола симметрична относительно оси Ох、 то в ее уравнение
у входит только во второй степени. Уравнение этой параболы имеет вид
//2 = 2рх + с, где р п с — некоторые постоянные. Найдем р и с, использовав
услолио злдпчм. Поскольку точки Л/ ii N лежат на параболе, то их координаты
должны удовлетворить ее уравнению:
4* = 2р - 5 + с, ( 一 6)2 - 2р • 15 + г.
Из уравнений 16 = Ю р + с,36 — ЗОр + с паходим р = 1 , с = б.
Таким обрпзом, данная парабола определяется уравнением
у 2 = 2ズ+ 6 нли у г 2 ( х + 3).
2.111.Записать уравнение геометрического мсста точек, равноудаленных
от указанных точки и прямой:
1 ) Ғ (1 ,0), л:= — 1 ; 2 ) 尸 (0;1,5), у = — 1,5;
3 ) 厂 ( 一 2,0 ) ,л: = 2; 4 ) 厂 (0,- 3 ) , у = 3.
2.112. Найти фокус и записать уравнение директрисы каждой
параболы, заданной уравнением:
1 ) у2=8.ѵ; 2) //2= — Ю.ѵ; 3) х2= 2 у: 4) х2= — 4у;
5) 3ズ2— 句 / = 0 ; 6) 5.ѵ2+ 8 у = 0 ; 7) 7ÿ2+ 2 0 x = 0 ; 8) 9r/2+ 16x= 0.
Построить данные параболы, их фокусы и директрисы относительно
прямоугольной декартовой системы координат.
2.113. Записать каноническое уравнение параболы, если известно,
что:
1} фокус находится в точке 尸 (4,0);
2) фокус находится и точке Ғ(0, 3);
3) директриса имеет уравнение ズー 3 = 0;
37

4) директриса имеет уравнение у — 2 = 0.
2.114. Записать каиоііичсскос уравнение параболы, вершина которой
находится в начале координат, если известно,что:
1 ) парабола расположена в левой полуплоскости, симметрична
относительно оси О.ѵ, еぃпараметр р = 2,5;
2) парабола расположена в верхней полуплоскости, симметрична
относительно оси Оу、се параметр р = 1 /2 ;
3) парабола симметрична относительно осн Ох и проходит
через точку Л (1, 一 3);
4) парабола симметрична относительно оси Оу н проходит
через точку ß ( l, —2).
2.115. Дано уравнение параболы Ъу- — 4л: = 0. Проверив, лежит
л и точка А1(5, —2) на параболе, вычислить се фокальный
радиус.
2Л 16. Дано уравнение параболы /л*2 8ÿ = 0. Проверив, лежит
ли точка N (2 ^2 , 7) на параболе, вычислить ее фокальный радиус.
2.117. На параболе у2 = 4.ѵ наити точку, расстояние от которой
до фокуса равно 5.
2.118. На параболе х2 = 8у найти точку, расстояние от которой
до фокуса равло 4.
2.119. Найти точки пересечения параболы н прямой в каждом
нз следѵюиіих слѵчасв:
1 ) ij- = I 6.V, 4х - у — 8 = 0: 2) у- = — 9ぶ,За: + 切 一 9 = 0.
2.120. Исследовать взаимное расположение параболы и прямой:
1 ) ズ2= 4 у ,ズー2у+4 =0; 2) 3ÿ2+ 4 x = 0,2дг+9у — 12=0;
3) //2=8дг, х + у + 2 = 0 \ 4) ^ = 1 2 ÿ . х + у + 3 = 0;
5) 2//2=5л:, З.ѵ—//+10 = 0; 6) 3ズ2+ 7 у = 0 . 2ぶ+ 3 у —6 = 0.
2.121. Через вершину параболы ÿ2 = 4 у 2х проведена прямая
под углом 45° к се оси. Вычислить длину хорды, отсекаемой параболой
на этой прямой.
2.122. Через фокус параболы .ѵ2 - 6 | 2у проведена хорда иод
углом Aoz к сс оси. Вычислить расстояние от середины этой хорды
до фокуса.
2.123. В параболу х-=2(Ц/ вішсап равіюстороіішій треугольник
так. что одна из смо нсршші совпадает с вершиной параболы. Найтн
длшіу его стороііы.
2.124. Составить уравнение параболы, симметричной относительно
оси Ох и проходящей через точки М (5, 4), N (7, 一 2\ г2). Найти
точки пересечения параболы с координатными осями.
2.125. Составить уравнение параболы, симметричной относительно
оси Оу ii проходящсіі через точки А І(—4. 3 ),.Ѵ(2, —3). Найти
то^кн лересечеиия параболы с коордішатиымн осями.
2.126. В прямоугольной декартонои систем с координат построить
линии, определяемые уравнениями:
38
1 ) ÿ = 2| л*; 2) у = — 3 \гх; 3) x ^ 4 \ у; 4) л* = — 5 \ гу ;
5) f/ = I 一 .v; 6) —2| —лг; 7) дг= 0-1 一 у ; 8) х = — ^ У-

2.6. У прощ ение уравнения второй степени, не содерж а щ е го
члена с произве дением ко ординат
Рассмотрим уравпенне второй степени птноситслыю прямоугольных декартовых
коор л ни пт x и у, не содержащее члена с ху, т. с. уравнение
Ах^ + С!/2 + Dx + Еу + 尸 - 0. (2.23)
Перейдем к другой системе координат 0 \Х \\ получающейся мз исходнг й
путем nap;uiwio.ibiioro переноса и точку ü \(x 0t /у о). при котором стп рые к«:«*рдннпты
.v,у любой точки ЛІ выражаются черея се новые коордштты X、У с п*)-
моиіыо следующих формул: х ― X + .Ѵо, у = V' + у а.
Урпвиоиие (2.23) посредством выделения полных квадратов может Сыть лряведено
к одному из следующих канонических уравнений:
X*
入 2
X 2
7 + 1,
卞
Ь2
Г2 Л2 V2
Л2
— • 『 1,― I 2— ベ - 了
2 ^ / , 入 2 = 0, .Y2 •, 一 《2, Л’2
0,
Y'2
. 下
A 2
“2 h2 ~
(при С - О).
(при АС > 0);
0 (при АС < 0);
П р н м е р ы . 1. Построить линию, определяемую >рлвіісннぐм
9х2 + 16/у2 + Зб.ѵ — 64// — 44 - 0.
Выіюся :і :\ окобки коэффиимситы прн квадратах коор дни пт и выделял полные
кналпаты, получпем
9(x2 + 4л* + 4 )+ 丨 6< 沪 一 Ау + 4) — 36 ― 64 一 44 = 0,
т. e.
9 (ズ + 2)2 + 16 は 一 2)г =141 или 上 + (^ ~ 2) î -= 1•
Переходя к нивым координатам по формулам: X .v 2. ) ' マ у — 2. пりсѵкдисму
\ равнению придаем вид
Д,2 >*2
I 卞 丁 = 1 .
Это ур лшс»не w b .w tc h злдииса с иолу ос л м» а ベ,6 — 3 \
в точке Л. = 0, V. = 0 (рні. 2.5), т. е. .ѵ + 2 ニ0,ジー2 — Ü. откуда .r = ― 2. :/ = 2.
Начали новой системы коорлинат находится и точке 0 ^ —2, 2).
2. Построить линию, определяемую уравнением
4 л*2 一 9//2 一 Ібд: -f- 18// ― 29 ~
П реобразуя ЛСВуЮ Ч.К'ТЬ у р ;1ННсЛГН'Г, цолѵч:іем:
•!U 2 — 4.Г + 4 )— 9(і/г — 2 y + 1)— 16 + 9 - 2 9 = 0.
39

4 ( ズ 一 2)* ― 9 (у ― り 3 = 36 или
(ズー 2)2 ( І / - П *
Перейдя к новым координатам по формулам: ЛГ= дг —2. > = у — 1 ,получим
уравнение
X 2 К 2
■ 4 ^ 1,
определяющее гиперболу с центром в
(рис. 2.6).
точке О» (2, 1 ) и полуосями а —3, b ^ 2
Р и с. 2.7
3. Построить линию, определяемую ураинением
ху — 2х 一 2у —2 = 0.
Р н с. 2.9
Преобразуем левую часть уравнения
д:равнеіііісм
40
у : — 4ズ 一 切 + 16 = 0.

Преобразуем левую часть уравнения
(у- 一 Ау + 4} — 4 一 4дг + !6 = (у 一 2)2 — 4(дг — 3 ) = 0 ,
( i / - 2 ) 2 = 4 ( . v - 3 ) .
Последнее уравнение запишем п виде У2 ニ ズ ,где К «=ダ 一 2; X ^ х — 1,. Это
уравнение определяет параболу, вершина которой находится в точке О і(3, 2),
а ось параллельна ос» Ох (рнс. 2.8).
5. Построить линию, определяемую урапненнем
x2 + Ах 一 у -Ь 1 *= 0.
Это урпвиение приводится к каноническому виду Хг = Y, где х + 2,
Y = у + 3. и определяет пяраболу с вершиной в точке О і(—2, —3) н осью, параллельной
осн Оу (рис. 2.9).
В задачах 2.127—2.146 построить линию, определяемую уравнением.
2
2
2
2
2
2
2.
2
2
2
2
2
2
91
7
Г
и ^ 8
2
и 9
2
1 0
»
3
1 9
^
3
«
I
3 3
и
3 4
]
3 5
и
3 6
«
I 0
1
0 8
и
4
0
и 2
4
1 3
4 -
1
4
и 5
4
4
9л,2 + 4і/2 — 18л- 十 8 і/— 23 = 0.
16ÿ2 - 9х2 + 32t/ + 54а- 一 209 = 0.
у1 + 2-ѵ 一 2у — 7 = 0.
.v2 — 4.v + 4/у = ()• 2.131. xi 卜 x + Зу ― 7 = 0.
9л-2 + 25e/2 一 36л: 一 оОу ― 164 = 0.
-v2 + 2//2 + 4х 一 \2у + 1 8 = 0.
9л*2 一 \ 6i r — ISa* — 61ÿ — І99 = 0.
一 4лふ + 18/у + 8 ズ ー 31=0.
2л:2 + 4л: — у — 1 = " . 2.137. у2 一 2у — x —
が 一 fi.v+ , / + 卜 0. 2.139.
ЛГ// + 2л: — 3"— 1 丨 -0. 2.141.
9.v2 + 切 2 ― 18.V+ 16ty ― 11=0.
切 2 一 9x2 一 % — 36.V + 32 = 0.
9.V2 一 16ゲ + 9(lv + G 句 / +
x1 + 8л- + 7 ~ 0.
В задачах 2.147—2 .ки выяснить, какое
точек определяет уравнение.
2.147. .ѵ2+ ф + 2л: — 6// + 10 = 0.
2.148. .v- + у2 — 2х + Ау + 9 = 0.
2.149. 4.V- + 9у2 + 24л* 一 Щ + 72 = 0.
2.150. 2л*2 + /у- — \2х — 2у + 23 = 0.
2.15!. - l f 一 9z/2 — 8л- + 3し/ + 32 = 0.
2.152. ― Atß + 12.v + 32ÿ - 28 = 0.
2.153. 4.v2 — Аху + U1 + 4.v — 2f/ ― 3 = 0.
2.154. 9x2 — 24ху ニ 1б//2 12х — 16ÿ 4
切 2 + 8// + x 一 !
•41 一 л:+ •ス(/ + 1
1 6 1 = 0.
2.146. у2 — 6у + 5
: 0.
0.
геометрическое место
2.7. У прощ ение о б щ е го уравнения второй степени
Оощес уравнение второй степ с пи относительно прямоугольных д гы а р ю в ы х
координат x и у
Л.ѵ2 + 2Вху + Суг -\-П х + Ец + Ғ = О
при порі-ротс ч х7и;ІШПНЫ': осой мп угол «, для которого

п р е о б р а з у е т с я ь у р а в н е н и е
(2 .2 5 )
土 ^ ^ +ctg22a
i / I + cos 2а
У 2------
где ctg 2а определяется формулой (2.24).
Пример ы . 1. Построить лшшю. определяемую ураииошісм
9х2 + 4ху + 6//2 =10.
В дгииюм случае Л = 9, 2В = 4, С = 6. По формуле (2.24) находим
(2.26)
(2.27)
Согласно формуле (2.27), выбирая знак плюс, получаем
Взяв в формулах (2.26) верхние знаки, и а идем:
В ^том случае формулы преобразования (2.25) примут ішд:
П д 、т::вляя эти выражения д/ія а* и // в исходное уранік*иис, полччасм:
4 - (2х' — У')г + -5 - і2х' - у ')(ズ’ н 2 /Л) + А(ЛГ- + 2 !,у = 1 0 .
9 ( и '' — 4 х 'у ' + i j ' , ) + 4 (2 x , t -'.-3 x 'y —2ゲ • )+
+ 6 ひ ' * - • む 'ゲ + 切 ’*} ニ 50.
д . /*
【ド、
50jc/ f -j- 25タ' 50 или 一 j 一 • 」- -^-77— = I .
Последнее уравнение определяет эллипс с полуосями а ― I . b = | 2 • Построим
его относительно новой снстемы коордннат О х,у, (рис. 2.10). Чтобы построить
ось О х' новой системы, нет необходимости находить по таблицам угол а.
Достаточно ввести в рассмотрение tg а = .Ün_L = и построить ѵгол по его
cos а 2
таи. (отложить на оси Ох вправо о і точки О отрезок, длина которого равна
д»}лс. «крс;< кон(、ц его нровсстн псртчілнкуляр, на Нем, вверх от

Влнв 2а = 一 л 2, т. о. и = — л/4, получим следующие формулы лрообрп-
ЗОВ;]1!ПЯ:
Подг
:.тя эти выражения в исходное уранікчіио, нп ходим:
( _ х' + ゲ). d)
-J- (X' + ゲド + 4 - ( - V, 十 у') (X' + у') + — (—, + У 'У - 7 I '2(Х' -і- !,')
— J 2 (— x 1 了 y f、 5 ~ 0,
」】- ( .い,- 2х'ц' + ! і ' г) - ^ ( ~ х ' г L ,/') + - ^ - (x''- 2 x - y ' ^ у ^ ) -
— 7» 2.v' ― 7| l u ' - - i 2.ү' ― ) Ъ у = О,
2 х 'г ;8 ц 'г - ( > \ -2х' — ^ \ 2у' 5 -0.
ѵ \
УІ
Преобразуем левую w r b уравнения:
2 レ : 2- i5\ - ご) 、-8 (/パ 一
ô
I "
2 \ 2
•'い 一 二 ノ 8 ( グ ー “
ГІереіЪія к тк :'ым координатам по форм\ лам:
X = x. — 3| 2/2. У = у 1 一 I *2/2,
преобразуем последнее ур«іннспнс к виду
2.\2 8V« 8 или А- (2)
Построим эллипс ио его каноническому уравнению (3). Угол наклона осл ОіХ
уже пзнегтен (а = 一 15°). осталось определить координаты точки Ot. В системе
0 :ЛТ этп точка (центр эллипса) имеет координаты X ^ 0, Y = 0; :! і >рмулам
(2) находим ее координаты ^ = 3 1 2/2, t / = у 2,2 » при межу точ п

3. П остроить линию , «»пределі к м \ К) урлписинсм
З.ѵ= — Wx!/ + 3//- + \x + Ay + 1 2 = 0.
B cooTiHTCTiîiiii с формулой (2.J! получаем
3 — 3
Взяв 2a = л 2. откуда (z
ct^ 2+12 = 0.
- ү (x,s - Z x 'y ' + y 'x) ~ (x**+ 2 x 'y ' + y ' ) +
+ 2У 2(х' - у ' ) + 2У 2 ( ^ + //-)+ 12 = 0,
—2x,* + 8.v, , -î--l \ "2 x ' + 12 = 0,
( x ', — 2) "5.Г'+ 2 ) — 4グ • 一 2 — 6 = 0.
丨 3)s- 切 '* = 8.
Вводя новые координаты по формулам:
полѵчаем
X = xf - У 2, У = і/ \
У2 ^2
Х2— 4У2 = 8 илн - V - — - ô - = I .
Построим гиперболу с полуосями a —2 1 2, ô — У 2 в новой системе координат,
начало которой находится в центре гнпеоболы. Центр гиперболы имеет коордннпты
= о, К *» 0 в системе ОіХУ; x f у 2 , ゲ = 0 в системе Oxri f (получено
из уравнений (2)); х Л\ 0):
(V 2 + 0) *= I в исходной
2
системе Оху. Строим (рнс. 2.12) новую систему координат 0\ХҮ с началом в точ-
44
(2)
(3)

кс Оі(К 1 ).ось 0 \Х которой составляет с осью Ох угол а =* 15°. ІІостронм гнпероолу
ш) ее каноническому уравнению (3). Мнимая полуось Ь — у 2 равпа длине
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными единице, действительная
полуось я = 2 1 2 — удвоенной длине указанной гипотенузы. Строим
основной прямоугольник с основанием 2а, высотой 2Ь и центром в точке Оі,
::рямыс, лежащие на его диагоналях (асимптоты гиперболы), и саму гиперболу.
4. Пострѵ)Ить линию, определяемую уравнением
По формуле (2.24) находим
16.ѵ2 + 24ху + 9у2 一 7jc + 26у — 34 = 0.
4 Л 16-9 7
Ctg 2а = ~ 2 4 ~ = - 24-.
Взяв в формуле (2.27) зпак плюс, получим
7/24 7/24 7/24 7
cos -а ^ = ' У Щ Ш '
Б ф ормулах (2.26) т а к ж е возьмем з ш ік плюс, тогда
і п а = і / 1 - 7 / 2 5 _ 3 c o s a ^ 1 / 1 + 7 / 2 5 = 4
2 5
Формулы (2.25) запишутся так:
ズ ■(む , 一 3グ ),у = -g-(3A:r + 4|/#).
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
-25~(4.ѵ# 一 3ゲ 产 + (む' 一 З у ) (Зх' 十 4ゲ)+ j (3 入 + 4 ゲ 尸 一
7 , 26
一 " t 一 (4 ぶ 一 3ダ) 十 ^ (3ズ’ + 4(/ ) 一 3-1 = 0,
一 ^ • (16л: * ― 2 4 x t/ + 9ゲ •)+ - ―
(1 2 ^e + 7х ’у , 一 12グ •)+
+ ~2 5 ~ ( 9 x '9 + 2 4 x fy f + 16ゲ*) 一 -g - (4д/— 3グ)+ — 5 上 (3ズ’ + 4ゲ) 一 34 = 0,
2 5 х ,ш + \0 x f + 25グ — 34 = 0,
/ 1 \2
25 ド + T + 2 5 ダ 一 35=0,
了 I — (ダ- - 5-)-
Переходя к ловим к о о р д н іт а м по формулам:
X ^ Xе + 1/5, У イ ー 7/5,
іюлуч.п-м к ;іионические уравнент X 2 = — К.
Гіистроиѵ. параболу, определяемую данным уравнением относительно системы
координат О і Х Ү , начало которой находится в вершине параболы (рис. 2.13).
Вершина параболы имеет координаты ズ = 0 , >* = 0 в системе O iX Y \ x f » 一 1/5*,
1 , 4 21 j о °8
У, = 7/5 в системе Oxfi f ;x = 飞 ー( 一 》^ •— - g - 丨 = 一 1 , У = 了 ( 一 t + 一 瓦 " ) =
= I в исходной системе ü x y 、т. с. вершина находится в точке О“ 一 1 , I).
45

в задачах 2.155—2.198 построить линию, определяемую урав
нением.
2.155. л:2 一 бху + Г — Ю.ѵ 一 2у _ 1 1 = 0 .
2.156. 7ズ2 — Ю х у + 7 y z — 4 x + Ay — 8 = 0.
2.157. a:2 + 4 x y 十 4ÿ2 + бд: — 3ÿ + 15 = 0.
2.158. 4x2 + 4y2 8x + 16y +11=0.
2.159. x2 + y2 一 2xy + 4x — 切 + 4 = ()•
2.160.ズ2 + 2 x y 一 Ъу1 + Д:+ З і/ - 0.
2 .Ш • x2 + 4ху + 切 2 一 Хх 一 Һи = 0.
2.162. Зх2 + 2ху + Зі 产 + 8л: + 8у + 4 = 0.
2.163. 9.ѵ2 一 2 4 ху + 16 俨 + 2ズー1ly + 8 = 0.
2.164. Зл:2 + ^ху 一 4.Г 一 8у = 0.
2.165. Зл:2 + S xy + Зу2 — 2 х + 2у + 5 = 0.
2.166. 4л:2 + &ху + 切 2 — 2ズ + 2у — 5 = 0.
2.167. 16jc2 + 2^xy + 9y2 一 7jc + 26// ― 34 = 0.
2.168. 2x2 + бху + 2 浐 + 2а: ― 2// + 3 = 0.
2.169. Зх2 + 4 х у + Зу2 — 6 х — 4// — 2 = 0.
2.170. x2 一 2ху + у2 + 4ズ 一 8у + 7 = 0.
2.171. 19х2 - 2 4 ху + у 2 + 14.V — 22//— 29 = 0.
2.172. 21л-2 — \G xy + 9 y 2 + 16л:— 1か/ 一 16 == 0.
2.173. + 2хч + v2 一 lO.r + 6і/ + 25 = 0.
2 .1 7 4 .】 — \бху 一 у2 ― 26л* ― 22у 一 6 1 = 0.
2.175. 13л:2 ― Нхі/ + 7t/2 + 18ズ+ 6ï/ — 3 = 0.
2.176. 4x2 ― A xtj + и2 — 一 8(/ ― 20 = 0.
2.177. 7л:2 + \2 х і/ 一 2 iß + 4.v + 32y — 38 = 0.
2.178. 9л:2 + ^ x t / + 6 ij2 — 3 2 x + 4y + 24 = 0.
2.179. 3x- 一 Юху + 3//2 — 16a: + 16w + 24 = 0.
2.180. 4ズ2 + 4xy + y1— 2x 一 6t/ — 5 =
2.181. x 2 + A xy + ij2 一 2 x + 2 y 一 5 = 0.
2.182. 2.V- 一 2 x y + 2//2 + 6л* + 6 y + 15 = 0.
2.183. .r2 — 4xtj + 4//2 + 4.v — 13// + 1 0 = 0.
2.184. Г).ѵ2 + Sxy + 5t/2 + 4л* — 4" 一 1=0.
2.185. \x 2 + Юху + 切 2 + fix + \2u + 9 = 0.
2.186. 7лг2 一 18ху + 7t/2 一 \x ― 切 + 12 = 0.
2.187. ” .v2 一 14.vv + 9І/2 + 8.ѵ + 8" = 0.
2.188. n x -— 14л-с/ + 5г/2 一 4.v 一 切 + 8 = 0.
2.189. !7л*2+ 12Л1/ + 8//2— 22ЛГ + 4" — 7 = 0.
2.190. 5.Ѵ2 ― 6л7/ - f •む/2 + ^ + 4// ― -1= 0.
2.191. 3.Y2 ― іОху + 3"2 一 22х - f 8іу = 0.
2.192. 3,v2 + х и + 3//- + 7х + 7/ + 3 = 0.
2.193. .г- + И2 一 2л* 4" 一 4 = 0.
2.194. x2 + 2л*// + i/' — 1=0. 2.195. .ѵ2 一 и 上 + :Ъг + ѵ 丄 2 = 0
2.196. .v- + 2ху + " 2 + 2х + 2у 十 1 0.
2.197. ох2 + 8ху + Гザ — 2х + 2,/ + П = 0.
2.198. Зл*2 — Ю.ѵ// + З//2 + 4л: + 4г/ — 4 = 0.

II. О С Н О В Ы В Е КТО Р Н О Й АЛГЕБРЫ
И А Н А Л И Т И Ч Е С К О Й ГЕО М ЕТРИИ
В ПРО СТРАНСТВЕ
3 . В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А
Некоторые физические величины (иапример, температура, масса,
работа) могут быть охарактеризованы одним числом, выражающим
отношение одной рассматриваемой величины к другой однородной
величине, принятой за единицу измерения. Такие величины
называют скалярными. Другие величины (например, сила, скорость,
ускоренно) характеризуются числом и направленном; оии
называются векторными. Для геометрического изображения физических
векторных величин служат векторы.
3 .1 . В е к т о р ы
Вектором называется направленный отрезок. Псліі начало вектора находнт-
— >
ся в точке .4, а конец — в точке В, то вектор обозначают тлк: Aß или AB. Для
оболначеняя векторов используют также
строчные (в некоторых случаях— пропненые)
б уквы латинского алфавита, °
ии долей ные жирным шрифтом, например
а, Һ, или такие жо буквы светлого шрифта
с черточкой снерху, например а, 5.
Длина пектора а называется его моду-
.іі'м к обозначается |а| или а. Единицным
вектором на ш вается нектор, длина
которого равна единице.
Векторы, лежащие на параллельных
прямых ( или на од ион к той же прямой
) . нп іынлюгся ко.иансарными.
Векторы, лежащие н параллельных
рис ^ ^
плоскостях (и.ш в одной плоскости), на-
.чивя юте я комп. тнарными.
Проекцией вектора АВ на ось Ои называется величина вектора где
• 1і, В] — проекции точек Л и В на эту ось (рис. 3.1).
Если »j 一 \ i ол между вектором а и осью Ои (см. рис. 3.1). то проекция
исктор;» а на ось Ои равна произведению длины этого вектора на косинус угла ф:
приа = |a|cos ф. (3.11
Прямпугольными декартовыми координатами точки М в пространстве наэываются
чиелз x, у, z. выражающие величины векторов ОМх. 0 М Р, ОМ- (рис. 3.2),
где» Л1,. Му, Л!: 一 проекции этой точки на взаимно перпендикулярные коордннат-
)

Координат и суммы (разности) двух векторов равны суммам (разностям)
соответствующих координат. Координаты произведения вектора на число равны
произведениям соответствующих координат вектора на это число.
Еслн b = «а, где а = ( Х і, У і, Z i) ,b = (X2, Yz, Z » ), то
Хг = (іХи У2 *= аУі, Zz = aZi.
Эти равенств:】 выра ж л ют необходимое и достаточное условие коллинеарности
векторов а н Ь.
Р а д и у с о м -в е кто р о м точки М называется вектор О М 、начало которого совпадает
с началом координат, а конец 一 с точкой М (см. рнс. 3.2).
Если г г = О М х и г2 = ОЛ42 — радиусы-векторы точек М х ( х г , y l t 2Y) и
(х2, у г 、z2) (рис. 3.3), то вектор М ХМ 2 = (X , У , Z) определяется формулой
= г2 一 гх, т. е .:
X — Xz — У = У2 — Уи Z = г2 — Zi. (3.2)
Р и с. 3.2 Р и с. 3.3
Радиус-вектор точки М (.ѵ, у , г ), делящей отрезок Л/іЛ/г, где
;М2(л*2, i/2y22), в данном отнош ении X = ni2lnu, вы ражается ф ормулой
tju z \ ) t
— 帶 , '
где г х — О М х\ г2 = О М о . Координаты точки М определяют по формулам:
ズi + У\ + U h «i + >.2г2
一 1 + 入 ,ジ ー 1 + Я
1 十 >•
Если M — середина отрезка М \М *> то
хі~гх2 у1 уо
гі +
(3.3)
Если i, j. k — единичные взаимно перпендикулярные векторы (о р т ы ) координатных
осей О х, О у. Ог, то вектор а = (Х%К, Z ) можно представить в виде
• а - Ai + K j-b Z k . (3.4)
В ’、:: 丁 ори Лх = Ai. ~ ) j, а: = 2k іі:иьів:!ютоі с о с т а в л я ю щ и м и илн к о м п о ­
н е н та м и в е кто р а (3.4)
Длина ікктора (3.4) вычисляется по формуле
|а |- J Л 2 -Ь Y 2 + Z 2 .
Н а п р а в л я ю щ и м и ко с и н у с а м и в е кто р и называются косинусы углов
образованных этим вектором с осями координат О х, О у、О г.
48
(3.5)
Р. V.

Для направляющих косинусов вектора выполняется равенство
cos2 а + cos2 ß + cos2 ү = 1•
Координаты вектора (3.4) через направляющие косинусы выражаются формулами:
X = j а I cos а, К = | a | cos ß, Z = | a | cos ү. (3.6)
Коордипаты единичного вектора равны его направляющим косниѵсам.
П рим еры .1 . Начало вектора находится в точке М (4, —3, 6)f конец 一
в точке N (6, —2,3). Найти координаты [вектора M N 、 его длину и направляющие
косинусы.
Обозначим координаты вектора через X、К, Z. По формулам (3.2) находим:
X = Хг 一 д:і = 6 一 4 = 2, Y = yz 一 Ух ~ 一 2 一 ( 一 3)= 1,
Z = 22 一 2 i= 3 ― 5 = ― 2,
т. е. ТШニ (2 , 1 , ― 2 ).
По (Ьормѵле (3.5) вычислим длину вектора:
I AfiV I I 22+ 1 * 十 ( 一 2)а = 3.
Формулы (3.6) дают возможность определить направляющие косинусы
вектора:
А: 0 У г
C0Sa = _] T p cosP = " jT 「, cosト — T ä f .
Подстав.іяя в эти формулы значения координат вектора и его длины, находим:
cos а
ソ j f
- g - , cos P= , COS Y = 一 - g - .
2. Даны векторы а = (1 ,I, 一 1),Ь = (2,—1,3), с =(1, 一 2 ,1 ).Разложить
вектор d =(12, — 9,11)по векторам а, Ь, с.
Пусть d = аа + ßb -f үс, где a, ß, ү — некоторые коэффициенты. Так как
равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной комбинации
равны соответствующим линейным комбинациям одноименных коордннат, то
12==a + 2ß + v, I
— 9 = а — ß — 2ү, i
11= 一 a + 3ß 十 ү. j
Решив эту систему уравнений, найдем: а = 2Тß *= 3, ү =» 4.
Итак, d = 2а + ЗЬ + 4с.
3.1. Векторы а и b перпендикулярны, причем |а| = 4, |Ь| = 3.
Найти |а + Ь|; |а — Ь|.
3.2. Векторы а и b образуют угол ср = 6 0 ' Намти |a + b| и
b — a 丨 ,еслн известно, что 丨 а | = 2,| b 丨 = 2 .
3.3. Дан прямоугольник ARCD. Среди векторов AB, BCt CD, AD,
ЛС и DB указать коллинеарные и равные.
3.4. Даны векторы а и b. [Построить векторы: 2а; — 4Ь; ] 2Ь
— 1 За; За 2Ь; 2а — ЗЬ; 4Ь —За; 一 2а — 2Ь.
3.5. Какому условию должны удовлетворять три вектора а, Ь,с,
чтобы из иих можно было образовать трсуголышк
3.в. В треугольнике ЛВС проведена медиана A A f . Выразить вектор
АЛ* через векторы ВС — а и ВА с.
3.7. Диказпіі ,что можии построить треугольник, стороны которого
равпы и нпрал:кѵі!>ны медианам данного треугольника ЛВС.

3.8. В треугольнике ABC проведена медиана А А Г. Выразить
вектор Л A f через векторы АВ и АС.
3.9. Точки Е \\ Г служат серединами сторон АВ и CD четырехугольника
AßCD. Доказать, что FE = ~ ( ß C + AD).
3.10. В треугольнике ЛВС проведена биссектриса AD угла Л.
Выразить вектор AD через векторы АВ и АС.
3.11.Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного
шестиугольника к его вершинам, сеть нуль-вектор. Верно ли
аналогичное утверждение для произвольного правильного многоугольника
3.12. Дана трехграиная пирамида SABC. Доказать, что три
отрезка, соединяющих середины боковых ребер с серединами противоположных
сторон основания, проходят через одну точку и делятся
в пей пополам.
3.13. Даны радиусы-векторы тг = ОМх и г2 = ОМ2 концов отрезка
М^Мп. Найти радиус-вектор точки .И, делящей отрезок пополам.
3.14. Даны радиусы-векторы гь г2, г3 вершші треугольника.
Найти радиус-вектор точки пересечения его медиан.
3.15. Даны радиусы-векторы Гі,г2, г:і трех последовательных
першғін параллелограмма. Найти радиус-вектор г точки пересечения
лиагопален параллелограмма.
3.16. В точках Л іі(гі), Л ^ (Ы ,•••,М п (гп) помещены массы m“
піп%. . . , mn. Найти радиус-вектор центра тяжести этой снстемы
материальных точек.
3.17. Найти проекции вектора а на ось О", образующую с ним
угол ф, в каждом нз указанных случаев:
1 ) I а I = 4, ср = 0°; 2) а I = 3,ср = 3)1 а | = 5, ф = л;;
4) а ;== 6, ф = - у ; 5) I а I = Г 2 -, ф = -g-; 6) | а | = 2, Ф = -|-л .
3.18. Найти координаты вектора а, ссли извсстиы углы «, ß,ү.
образуемые нм с осями Оху Оу, Oz прямоугольной декартовоіі системы
координат, и его длина:
1 ) а = 4, а = 60°, ß = 45°, ү = 60°:
2) a = 8, гх =135°. ß = 60°, ү = 60°;
3) a = 2,а = 120。,ß = 45°, ү = 120。:
4 ) a = 6 , а = 120。,ß = 60。,ү = 45。.
3.19. Найти коорлинаты и составляющие следующих векторов:
I ) а = 2і — 3j + 5k; 2) b = 6i + 4j — 7k: 3) с = — 8i + 9j + k.
3.20. Даны векторы: а = ( 1 , 一 2, 3}. b = (2,1,4 ),с = (—3, 4, о).
П ѵлти векторы: За; 2Ь; —Зс; а + b + с: 2а — ЗЬ + 4с.
3.21.Найти координаты вектора Л/іМ2 и его длину в каждом
лз слелующнх случаев:
i) Aft (4, —5, 2 ).і\Һ(2%-3,1);2) Ѵ І,(7 .3 ,—2 ) ,Л Ы 4,3.2>;
3) М ,(9. 4, —3), М 2(3, —4, —3 ): 4) М ,(1 .5 , — 7), .М,(0. 5 .5 );
5; М ,(3, - 2 . 2 ) ,М о (-1 ,0 . 2); 6 ) ЛІ,(3, 2. 0), Ліо(5. 3 . - 1).
50

3.22. Дан треугольник с всршииами А (7, 5, —4), 5(4, 9, 1),
С (6, —3,—7). Вычислить длину медианы, проведенной из вершины
Л, ii периметр треугольника.
3.23. Найти координаты и длииу радиуса-вектора точки М пересечения
медиан треугольника, вершины которого находятся в точках
А (9, 3, —5),В (8, 一 2,3), С (— 11,2, —4).
3.24. Проверить, является ли четырехугольник с вершинам»
в точках А ( \ %1,1 ) , В (4, 4 ,1 ) ,С (7、1,1),D(A%—2 , 1 ) квадратом.
3.25. Точки А ( 9 ,—11,5),ß ( / ,4, —2), С (—7,13, —3) являются
последовательными вершинами ромба. Найти четвертую вершину
D. Вычислить периметр ромба и длины его диагоналей.
3.26. Дан треугольник с вершинами А (—2, 1,3), 5(0, 3,4),
С (1 ,5, 3). Вычислить длину биссектрисы внутреннего угла Л.
3.27. Найти координаты концов отрезка, который точками
Af(3, 一 2,2), N [Ъ、—5,3) разделен на три равные части.
3.28. Три силы: Ғі, Ғ2,Ғя, приложенные к одной точке,имеют
взаимно перпендикулярные направления. Определить вс/шчшіу их
равнодействующей Ғ, если известно, что |Ғ ,|= 22 H, |F2|= H,
|Ғ3| = 4 II.
3.29. Даны проекции силы F im координатные оси: X = 5,
у = 5у 2, Z ==— 5. Найти величину силы F м направление ее действия.
3.30. На точку действуют три силы, заданные проекциями на
оси прямоугольной декартовой системы координат: F, = (2, — 1, 3),
F2 = ( — 1 ,—2, —2), Ғ3 = ( 3 , — 1 , 1 ) . Найти величину и направление
их равнодействующей.
3 .2 . С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е в е к т о р о в
Скалярным произведением векторов а и b называется число, равнее произведению
длин этих векторов нп косшгус угла ф между ними:
а . b = j а I I b ! cos гр.
С кл л 叩 m で проимнеденне обозначаю т та кж е (а, Ь)
лы (:31) получаема
• b = |a |iip ab. а . h |Ь|!ф ьа.
Свойства скалярного произведения: а . b = b . а;
(aa)b = а(а • Ь); а • а = а: = |a j2.
Если векторы а л h іидлкы сноими координатами:
a = ( Х і, Yi. Z ,), b = ( ズ2, У2, Zz).
ab. С учетом формуa(b-fc)==a
b + a
(3.7)
ІаІІЬ)
^ѴіАз -f* V î ) 2 -f- Z \/.2 ,
ХүХг - У ЛҮ^
1 A ; d \
Z XZ,
(3.8>
Нгобходпмос и достаточное услоиие перііенユі!к) .іярностн иектмр,
ражлстся рлвснстнпм
а • b = U
или Л i Л z -f- ^ i ^ - ~Ь ^ \Z.2 0.
3 Г) вы*
(3.9>
51

Проекция вектора s = (Xf У. Z) на ось Ou, образующую с координатными
.»сями О.ѵ, О у у О г углы а, ß, у соответственно, вычисляется но формуле
npus = X cos а -f У cos ß + Z cos ү.
Примеры.1. Лан четырехугольник с вершинами А (7. 一 8, 4), В(7%4, 一 2},
С (—5. !0. —2), D(—5, —2. 4). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно
перпендикулярны.
Л :і5і л

3.36. Вычислить проекцию вектора а = ( 1 , —2, 2) на ось вектора
Ь = ( 2 ,10,11).
3.37. Даны два вектора: а =(10, 2 , 一 11), b = ( —2 ,1 ,—2).
Вычислить проекцию каждого из них па ось другого вектора.
3.38. Даиы три вектора: а = 71 — 5j + 3k, b = — 2i -j- 4j — 7k,
c = 4i + 4j — 2k. Вычислить npc(a + b).
3.39. Даны три вектора: a = 41- f 3j + 8k, b = 4i — 9j + 8k,
c = 7i + j — 6k. Вычислить npb. ça.
3.40. Найтн вектор x, коллинеарный вектору a = ( 1 , —2, 2)
и удовлетворяющий условию x • а = 一 18.
3.41. Даиы два вектора: а = (2, 3, — 5), b = (4, 5,—G). Наити
вектор X,зная, что он перпендикулярен оси Oz н удовлетворяет
условиям: x • а = 2, x • b = 8.
3.42. Даны три вектора: а = (1 ,2 , 2), b = (4, 一 2, 一 5), с =
= (6,— 1,3). Найти вектор х, удовлетворяющий условиям: а • х =
= 3 , Ь - х = 5, с - х = 1.
3.43. Даны единичные векторы a, b и с, удовлетворяющие условию
а + b + с = 0. Вычислить а - Ь + Ь- с + с-а.
3.44. Доказать, что вектор p = b — а • (а • Ь)/а2 перпендикулярен
вектору а.
3.45. Определить, при каком значении а векторы а = i + 2j + ак
и b = аі — 3j + 2к перпендикулярны.
3.46. Даны вершины треугольника Л ( 1 ,— 1,5 ),ß (—2 , — 1 ,1 ),
С(5,— 1,2). Наити внешний угол при всришие В.
3.47. Дан треугольник с вершинами /1(4, 3, 一 1 ) , ß(6, 2, 0),
С ( 2 , —1,2). Доказать, что внутренние углы при вершинах A w В
равны между собой.
3.48. Вычислить работу, производимую силой F = (8, 4, —6)
при перемещении се точки приложения из начала в конец вектора
s = ( 5 ’ 一 3, 2).
3.49. Вычислить работу, производимую снлоГі F = (4, / ,― 1)
при прямолинейном перемещении точки ее приложения из А (3, 5, 9)
В ß (4,8, 11).
3.50. Три силы Fi = ( 1 , - 3 , 4), F2 = (2, 6, 一 5), Ғ3 = (7, 一 8, 9)
приложены в одной точке. Вычислить, какую работу производит
равнодействующая этих сил, когда ес точка приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из положения А ( 3 ,—2,4) в положение
0(6, 8, 7).
3.51. Дан треугольник с вершинами Л (— 1,2. 4 ),ß ( l ,4. о),
С (2, 6,4). Найтн единичный вектор направления биссектрисы AN
этого треугольника; вычислить длииу биссектрисы Л.Ѵ.
3 .3 . В е к т о р н о е п р о и з в е д е н и е в е к т о р о в
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый
символом [а. Ы и удовлетворяющий следующим условиям:
1) Ца. b]I = IаI |b|sin ф, где ср — угол между векторами а и Ь;
2) вектор [а, Ь] перпендикулярен каждому из векторов а и Ь;
3) тройка векторов a, b, [а. Ь] имеет ту ж е ориентацию , что и тройка еднішчнык
координатных векторов i, j, к (рис. 3.4).
53

В дальнейшем будем полагать, что тройка i. j, к является правой.
Векторное произаеденис обозначают также [ab] и а X b.
Л\'-дуль векторного произведения [а, Ь] равен площади .9 иираллслограмма.
пмстроеніюго па векторах а н b (рис. 3.5):
|[а. Ь]| = 5. (3.10)
Векторное произведение векторов а и b можно предстлцить в виде [а. Ь] ニ Se,
где с — ирт векторного произведения [а. Ь].
Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю юг л к только
тогда, когда векторы а и b коллинеарны: [a, bj = 0, если b = Vza.
Еслн векторы а и b заданы своими коордиііатпми: а = (А'ь } Zi),b =
>2. Z2), то
Ь] І І ^ ハ. Л、 z, 1も У,
(З.П>
l! >,* • — x t z. . 丨 У2
Примеры.1. Л.пі трсуголышк с вершинами Л(—1,1,5), 5(3, 一 4. 5),
5, 2). Найти д.іину высоты, проведенной из вершины В к стороне ЛС.
Чтобы решить задачу, достаточно вычислить плошадь треугольника ЛВС
и длину стороны АС. Площадь треугольники ЛИС рпвнп половине площади параллелограмма,
построенного на векторах ЛВ и ЛС. 1Іпчодпм координаты >тм\
вектороп и координаты их о«.*кторноп» иронітиення:
Лй = (4, —5, 0). АС (0. 4. —3), |ЛВ, АС] - (15. 12,16).
(При на.чождеини кりりрдііипт вскгорікчо произведения нспользоцанп формула
(3.1П.)
По формуле (3 10) находим пл»,ш ;іль п:ір;іллслограмма:
S = I \Ä B %^ C j I I 12a-b 16* :• 25.
Так как | АС | \ f 十 42 十 ( ― 3)* -: о и S ABC S АИГ ― 冬 \AC\h. то
•S, 丨 ЛС 丨 Ä• откуда /і = 5.
2. См.іа F *= (—4, 2. 4) приложена n точке ЛІ(3, 4. —2). Найт” велпчшіу
н шьмр. в.іяю ш ие коси ну іЧ4 момента э ю іі силы чтко си пѵіьш ) начала коорди »пт.
Если а = ОМ, то [a. F]— момент силы Ғ относительно точки О. Применяя
фирму.iv (3.11),получаем fa. Г] = (20, 一 4. 22). Следовательно,
|[а, F]| I 20* + 4* -т- 222 = 30;
20 2 —4 一 2 22 11
cos « ^ Ж = ~ з'- cos Р = "зо- = Т Г , cosv = -3ö- = 15-•

3.52. Найти векторное произведение [а, Ь| в каждом из следующих
случасв:
1 ) а = 7і + 4j + 6k. b = i + 2j — 2k:
2) a = 2i + 1lj — 10k, b = 3i + 6j — 2k;
3) a - ( 1 , 2 , 一 2), b = ( 8, 6 ,4 );
4) a ==(1,—5 ,8 ), b = (3, 6, 一 2).
3.53. Упростить выражения:
l) [(За-4 b ), (2a + 5b)]; 2) [(5a - 3b + 2c), (4a + 7b-6c)];
3) [(2 i — 3j + 4k), (4i + 5j — 6k)].
3.54. Доказать коллинеарность векторов:
1 )[a, b] и [За, (5b — 2a)]; 2) [b, с] и [4b, (3c + 7b)].
3.55. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах а = (2, 1,2), b = (3, 一 1,2).
3.56. Вычислить площадь параллелограмма, три последовательные
вершины которого находятся в точках Л “ , 一 5,6), ß(9, — 1,8),
С (6, О, G).
3.57. Вычислить площадь треугольника с вершинами /1(1, I ,3),
5 ( 3 , — 1,6 ),С(5,1 , - 3 ) . _
3.58. Дан треугольник с вершинами А (3. 一 4,5), В (5, —3, 7),
(7(6, —8,7). Найти длину высоты, проведенной из вершины С
к стороне ЛВ.
3.59. Найти расстояние от точки С ( 4 , 一 1,2) до прямой, прохолящей
через точки Л (1,3,4 ),ß ( 3 , 1,2).
3.60. Наити синус угла между векторами а и Ь:
1 ) а =(2,~4,4),Ь =(2,1,-2):
2) а = (2 ,1 , — 2>,Ь = (6 , —3, 2);
3) а = (2, 2 ,1 ),b =(11,10, 2); 4) а =(2,1,2), Ь = ( 一 2, 2,!).
3.61. Даны три вектора: а = (1 ,2 , 2), Ь = (2, 3, 4), с = ( 5 , 1,3).
Найти ||а. Ь], с] п |а. |Ь,с]].
3.62. Векторы a. b и с удовлетворяют условию а + Ь + с = 0.
Доказать,что [а, Ь] = [Ь. с] = [с, а].
3.63. Векторы а, Ь, с и d связаны соотнонкчшями [a, b] = fc. d],
|а, с】= fb, d]. Доказать, что а — d и b — с коллинеарны.
В задачах :).М —3.68 доказать тож;ич*т»о.
3.64. |а. b 卜 + ( а ,1ポ = a 如 .
3.65. jj a,b|. c| = b(a. c )— a(b. c) ; |a. |b, c|) = b(a. c) 一 cU . b).
3.66. |a, bJlc. d| = (a. c) (b. d) — (a. cl) (b. c).
3.67. la, |b ,C】| + |b, |c. a]] + |C.|a.b|| 0
3.68. f.x-2 + 2])(x 2 y \ • г |) — ■ -ZtZ_)2 U "ノ 一
一 Л* - '^ ^ ' + ( /ハみ 一 之 i!/2 ) 2 + — .Ѵ і2 2 )-.
З.Ь9. Сила F = (4 , —3, 一 7) приложена в точке Л ( І. 6. ô». I Іайти
момент этой силы относительно начала координат.
3.70. Сила F = (2, 4,6) прнложсіг». в точке А (3. 一 ,• 7). Найти
момент этой силы относительно точки ß ( l , 一 8, 9).
55

3.71. Сила F = (3 , —4, 2) приложена в точке А (2 ,1 ,2 ). Нантн
величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно
начала коордннат.
3.72. Сила F = ( 2 , 一 2, ― 3) приложена в точке А (4, 5, 6). Найтн
величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно
точки С (2,3, —3).
3.73. В точке .4(1» 3, 3) приложены три силы: Ft = ( 2 , 一 4, 8),
F2 = (3,1 , 一 7 ),Ғз = (—8, 7, I). Найти величину и направляющие
косинусы момента этой силы относительно точки С ( 一 1,2, 5).
3 .4 . С м е ш а н н о е п р о и з в е д е н и е в е к т о р о в
Смешанным произвсОеиш\ч трех векторов а, Ь, с называется число, равное скалярному
произведению вектора [а, Ь] па вектор с. т. е. [а. Һ】• с.
Смешанное произведение [а. Ь] • с равно объему параллелепипеда, построенного
на векторах а, Ь, с, взятому со знаком плюс, если тройка а, Ь, с правая*
и со знаком минус, если эта тройка левая (предполагается, что тройка it j t k —
правая).
Поскольку выполняется тождество [а, Ь] • с *= а • [Ь, с], для обозначения смешанного
произведения трех векторов а. Ь, с употребляется запись abc.
Свойства смешанного произведения векторов:
abc bca =■ cab = —bac =» 一 acb = 一 eba,
ab (с + d) «= abc + abd, (aa)bc *= a (abc).
Если векторы a. b. с заданы своими прямоугольными координатами:
a -U ,. Yu 2,). b = (Л. К2, Z2). c=(Xs, Кз. Z,), (3.12)
то их смешанное произведение вычисляется ио формуле
abc
入 、 2,
y t z,
ズ3 z3
Необходимое и достаточнее условие компланарности векторов (3.12) выражается
рзвсистпом
abc = 0, (3.14)
нли
X
1
л
2
X 3
Примеры.1. Дани три вектора а, Ь. с. Ияитн смешанное произвсдсни1
(а + bj (Ь + с) (с —• а).
Воспользовавшись свойств;!мн смешанного нронзпсдсніія, получнм
(а + Ь) (Ь + с) (с 十 а) = (а + Ь) (Ь + с)с + (а + Ь) (Ь + с)а «=
« (а 4- ЬіЬс -Ь(а - f Ь)сс -Ь(а -h b)ba + ( а - f Ь)са —
= abc + bbc 4* асс + bcc + aba + bba + аса + Ьса.
2
1
^
-
2
3
Так как смешанное произведение векторов, среди которых имеются равные, 一
нуль (соответствую щ ие три вектора в это\: случае ком планарны ), то в и лученной
сумме отличен от н \.ія только член bca abc. иовторяю ш инея дван、ユы.
Следовательно, (а ギ Ь) (Ь + с) (с + а) = 2abc
2. Доказать, что точки Л(—1,2 , І). ß(—3,1,2), С(3, —2, 2) )i D(3, —4, 3>
лежат в одной плоскости.
Рассмотрим три вектор л, начало каждого из которых находится в точке А,
а концы — соответственно в точках В, С и D
56
.13)

ЛА = (-2. - !.1 ) ; АС = (4, —4 ,1 ) ,ЛО-= (4. - 6, 2).
По формуле (3.13) вычислим нх смешанное произведение:
AB-AC-ÄD
Так как выполнено условие (3.14), то векторы АВ, АС, AD комп ланарны.
С.іедовлтс.іьио, кічки Л, В%С w D лежат и одной плоскости.
1 4
1 /
3 \|
л
5
2)
3)
4)
3.7
1)
3)
4)
2
3
4
1
2
3
4
Определить, какой тройкой (правой илн левой) я вляется
しЬ,с в каждом нз следующих случаев:
= j ,b = к ,с = і; 2) а = к, b = j, с = і;
= i + j, b = j — k,c = k; 4) a = i, b = i 一 j, c =
= k + j ,b = к, c = i: 6) a = i + j, b = i,c =
Вычислить смешанное произведение abc:
= ( ― 4, 一 3,― 9 ),b = ( 1, 0, ― 1 ) ,с = (― 5, ― 4, 3);
= (1,2, l ) , b - ( l , 2 , —2 ),c = (8, 6,4);
- ( 1 ,2 , 3 ) , b - ( 3 , 1,2), с = (2, 3 ,1 );
= (9,7 ,8 ),b - ( 6 ,4, 5), с = ( 1 ,2 ,3 ).
Определить, какой тройкой является тройка а, Ь .'
= ( l , 一 l , 2 ) ,b = ( —2,1 ,1),с = ( 1 , - 2 , 2 ) ;
= (1 ,2,1 ),b = ( 2 , 1, 丨 ),с = (1 ,1,2);
= (3, 一 2 ,- l ) , b = ( 2 f ― 3 , 丨 ),c = (1 , 一 2, - 3 ) ;
= (1,4,3),b =(2, 一 5,l),c =(1, 一 3,2);
= ,-W;(a *;, y “ «;)•
57

3.81. Вычислить объем треугольной пирамиды AßCD:
1) А ( 6 ,l ,4>,ß(2, —2, —5 ),С (7 ,1 ,3 ) ,/5 ( 1 ,- 3 ,7 ) ;
2) Л (1 ,2,6 ), 0 ( 0 ,3, 8 ), С ( 一 5 , 一 1,4 ), Z)( — 3,2, 一 6 ).
3.82. Доклзать, что точки A ,ß ,С, D лежат в одной плоскости:
1 ) Л(—1,2,l) ,ß (—3,1 ,2 ),С(3, — 2,2),Z)(3, ― 4,3);
2) Л(9, 一 11,5), 5(7, 4, —2),С(—7,13, ― 3), 0 (1 ,1,1).
3.83. Вершииы треугольной пирамиды находятся в точках
Л (2,1,1),5(6, —2, 2), С (4, 3, 2 ),Щ 一 6,8,7). Вычислить длину
высоты, проведенной из вершины D.
3.84. Треугольная пирамида ABCD имеет объем V = 2, три ее
вершины находятся в точках Л (2,1 ,3 ),ß(3, 3,2), С(1,2,4). Найти
координаты четвертой вершины D ,если известно, что она лежит
па оси Ог.
3.85. Треугольная пирамида AßCD имеет объем ^ = 3, три ее
вершины находятся в точках Л (1,2, 3), 0 ( 3 , 1,2 ),67(2,3,1 ).Найти
коорлинаты четвертой вершины D, если известно, что ома лежит
на оси Ох.
3.86. Доказать тождество ab (с -}- аа + ßb) = abc, где а и ß —
любые числа.
3.87. Векторы а, Ь. с удовлетворяют условию [а, Ь] + [Ь, с] +
+ [с, а] = 0. Доказать, что они компланарны.
3.88. Доказать, что равенство аа + ßb + үс = 0, где по крайней
мере одно из чисел а, ß, у отлично от нуля, выражает необходимое
и достаточное условие компланарности векторов а, Ь, с.
4 . П Л О С К О С Т Ь И П Р Я М А Я В П Р О С Т Р А Н С Т В Е
Уравнением плоскости (в фиксированной системе коордннат)
называется такое урпвиение с тремя переменными, которому удовлетворяют
координаты любой точки данной плоскости, и только
они.
Плоскость определяется линейлым уравнением относительно
декартовых коорлинат, а прямая в пространстве — двумя такими
уравнениями.
4 .1 . У р а в н е н и е п л о с к о с т и , п р о х о д я щ е й ч е р е з д а н н у ю т о ч к у
и и м е ю щ е й д а н н ы й н о р м а л ь н ы й в е к т о р .
п л о с к о с т и . У р а в н е н и е п л о с к о с т и в о т р е з к а х
О б щ е е у р а в н е н и е
Нормальным вектором плоскости называется по яки и (отличны и от и;. :)
вектор, перпендикулярный к этоГі плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку Млхо, уо、г。) и имоюшеи нормальный
вектор n *= (Л, В, С), в векторном виде записывается і:!к:
nfr — Гп) = 0,
где го 一 - рііл иѵс-всктор точки \\о(хо, у а. г 0) ; г — радиус-вектор іп в フьнок
точки M(xt у、z) данной плоскости (рнс. 4 .Һ .
В декартовых координатах это урлнненні、пріінішл .т しi
58
A (.r — ^o)+ B (y 一 уо)-\- C (z 一 го) — 0 (4.1)

A x + B y + Cz + D ^ Q t (4.2)
где ü = — (AXq+ Bt/о + Czo).
Уравнение (4.2) іііі іывастся обидим уравнением плоскости.
В уравнениях (4.1)и (4.2) коэффициенты А, В, С одновременно в нуль не
обращаются (так как п 0).
Если все коэффициенты уравнения (4.2) отличны от нуля, его можно преобразовать
к виду
■J* + "T + ' r = (4-3>
1-дс д = D/A, D:B, с = — D/C — величины направленных отрозкив, отсекчіліых
на осях коордннат. Уравнение (4.3) называется уравнением п.глкости
е стрелках.
P d с. 4.2
П римеры .I. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
Af0 (I. У 2 , —3), нормальный век гор которой образует с осями Ох、Ott, Oz прям {»аннсиис плоскости:
дг — 2 и-г 1 z 一
(1,2, - 3 ) . (3.1.6). получаем
59

i о 一 з i
レ ー 2) 丨 Ï ^ • 一 (іН - 1)
< : 5.1
Зх 一 3// ― z ― 4 = 0.
4.1. Кпкопы особсшюстіі расположения плоскости А х В и +
+ Сг + / ) = 0 относительно прямоугольной дскартовоіі системы
коордннат в следующих сл уч а я х:1) D — 0\ 2) Л = 0; 3) ß = 0;
4) С = 0; 5) Л = 0, D = 0; 6) ß = 0, D = 0; 7) С = 0, D = 0;
8) ß = 0, С = 0; 9) Л = 0, С = 0;10) Л = 0, ß = 0 ;1 1 ) і5 = 0,
С = 0, Z = 0;12) Л = 0У С = 0, D = 0;13) Л = 0, ß = U, D = 0
4.2. Составить уравнения плоскостей, параллельных координатным
плоскостям іі проходящих через точку Л/о(2, 一 3,1).
4.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
Мо и имеющей нормальный вектор п, в каждом из следующих
случаев:
1 ) Мо(4, 3, 一 2), n =(1, 一 7, 5);
2 ) 義 ( 1 , ― 6,8 ),n = (2 , 1 , - 2 ) .
4.4. Записать уравнение плоскости
случаев:
в каждом из следуюпшх
1 ) плоскость перпендикулярна Ох 11 проходігг через точку
4,3);
2) плоскость перпендикулярна
Q ( l,2, - 6 ) ;
3) плоскость перпендикулярна
Оу и проходит через точку
Ог п проходит через точку
/(—5,8,9).
4.5. Записать
случаев:
уравнение плоскости в каждом из следующих
1 ) плоскость параѵілелыіа оси Ох : н проходит через точки
m —5,6), Q (2 ,1,1);
2) плоскость параллельна оси Оу I н
/(1, 一 2,1),S (2,3 , 一 1);
проходит через точки
3) плоскость параллельна
/С ( 3 ,1 , — 1 ),Д Г (1 ,— 1,2 ).
оси Oz,. и проходит через точки
4.6. Записать уравнение плоскости в каждом из следующих
случаев:
1 ) плоскость проходит через точку Р (5 , 一 8,1 ) и ось Ох;
2) плоскость проходит через точку Q (—2. .4, 6) и ось О//;
3) плоскость проходит через точку S(3, 7, —9) и ось Оご.
4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
M l (Хі, Уи ハ) ,лі2(ぶ2,f/2, 2п), ЛЬ(д:з, У з, 之 3) ,нс лежащие un одной
прямой.
4.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки
M i (х1ч уи Zi)y Л/о (х2, ц2、2о) и параллельной век 丁 ору а =
= (ûi,ûo, a3)â Векторы а и М гЛІ2 меколлинеарны.
4.9. Записать уравнение плоскости, проходящей через три указанные
точки:
60

1 ) iW ,(9, 一 11,5), Af2(7, 4, 一 2), Л13(—7,13,- 3 ) ;
2) M i( 一 1 ,2 ,1 ),ЛІ2І― 3 , 1 ,2 ),іИз(3, 一 2,2).
4.10. Записать уравнение плоскости, проходящей через две точки
Л Іі,Л/2 и параллелыюн данному вектору а:
1 ) ЛІі(1, 一 2, 一 1),ЛІ2(4,1,1),а = (5, 3, 4);
2) іМі(3, 2 ,1),М2(1,—4,3),а= (2 , 一 1, 一 2).
4.11.Найти отрезки, отсекаемые па осях коордннат плоскостями:
1 ) 3-ѵ 一 4у + 2г — 12 = 0; 2) .ѵ + 5// — 42 + 20 = 0;
3) Gx — y 一 / z — 42 = 0; 4) 2x ― Зу + 5z + 15 = 0.
4.12. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2, 5, 4) и отсекающей на осях координат равные отрезки.
4.13. Вычислить объем пирамиды, ограниченной координатными
плоскостями и плоскостью Зх — Gy + Az ― 24 = 0.
4.14. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
М (8, 3, 6),jV(4, 2, 7 ) ii отсекающей на оси Ог отрезок длиной
с = ß.
4.15. Пересекаст ли плоскость 3jc + 4// — 6г + 5 = 0 отрезок^
соединяющий начало координат с точкой М (2, —3,1)
4.16. Пересекает ли плоскость 2х — Ъу + Зг — 7 = 0 отрезок
М \М г в случае, когда:
1 ) Л М 1 ,2, 3),Af2(4, 6, 5); 2) М і( 4 , 一 1,1 ) ,М2( 2 ,1,2)
4 .2 . У г о л м е ж д у д в у м я п л о с к о с т я м и . У с л о в и я п а р а л л е л ь н о с т и
и п е р п е н д и к у л я р н о с т и д в у х п л о с к о с т е й
Косинус угла между двцмя плоскостями:
определяется формулой
СОі ([ •
AtX + B ty + C.z + D ^ O , (4.4)
Л2Х + В2У + C2Z + Dz ==0 (4.5>
Ѵ А \+ В\ + С \Ѵ A l+ B l + Cl
Необходимое и достаточное ѵсловле іісрпсіідикѵляриостн плоскостей (4.4)
и (4.5):
•И з + ßiBz С1С2 = 0.
u/ш
Необходимое !і достаточное условие параллельности плоскостей (4.4 ) іі (4.5):
Az == X.li, Вг = KB\t Сг = XCi, Dz =7^ ÂDj (4.6)
パ! Cl D j
a . ‘ C2 " D 2 •
Необходимое и достаточное условие совпадения плоскостей (4 4) и (4.5):
Az = Л/li, Вг = /.ß i. Cz
- -Cj, Dz — /.Di

П римеры.1 .Даны вершина параллелепипеда Л/ (1.2, 3) и ураиисния
илоскостей, и которых лежат три его непараллельные грани: 2х — у + 2г — 3 = 0,
jc - f 2// — — 1=0, Зх — у — z — 1=0. С оставить уравнения плоскостей, в к о ­
торы х л еж ат три другие граии.
В соответствии с условием (4.6) уравнение плоскости, параллельной плоскости
2х — у 2г 一 3 = 0, можно искать в виде
2х — у + 2z + D ^О .
Поскольку искомой плоскости принадлежит точка Л1(1,2, 3), то 2 •1—2 +
+ 2 • 3 + О = 0, откуда D = — 6. Следовательно, уравнение имеет внд
2ズー!/ + 22 — 6 = 0.
Аналогично составляются уравнения плоскостей, в которых лежат две
остальные грани:
x + 2у — 2 г + \ = 0, Зх — у — 2 + 2 = 0.
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки Л! ( 2 ,1 ,—1),
Л (1 .—3, 4) перпендикулярно плоскости
5дс — 6// + 7z — 4 = 0.
Т .:к как искомая плоскость проходит через точку М, то ее уравнение можно
С Л(х-2)+і5(//- 1)+С(2+ 1)=0. (1)
Координаты А. В, С нормального вектора n этой плоскости определим нз
следующих условии: J ) искомая плоскость перпендикулярна плоскости 5х 一 б// +
-г 7г— 4 = 0;2) искомая плоскость проходит через точку Л^(1Т —3. 4). Эти два
условия приводят к уравнениям:
5 .Л — 6 .ß + 7- C = 0;
Л (1- 2 ) + ß ( —3 - І) + С (4 + 1 )* 0, ~ /1 - 4 В + 5С = 0.
i
i р
Выражая нз этих уравненнй А и В через С, находим: А ~ -----------С, В = 一 ~ С .
13 13
ставляя значения Л и ß в уравнение (1), получаем
-Дг С (лг — 2) + - |~ С (у 一 1) + С1 (2 + 1)==0
Под-
(jc - 2) + Щ у - 1 ) + 13(z + 1)-0.
Слсдоііатслыіи. \ р;іИН»*!!Не ПЛОСКОСТИ имеет впд
x + Ібі/ + 13г - 5 = 0.
4.17. Среди данных плоскостей указать параллельные, совпадающие,
перпендикулярные:
6 2
1 ) 2 х - 3{/ + 4г — 5 = 0; 2) — б// + 8г + 3 = 0;
3) б.ѵ — cJy + \2z 一 15 = 0; 4) л- + 2ÿ + 2 + 6 = 0.
4.IS. Найти углы между двумя плоскостями:
1 ) 5.ѵ + 4у — 2г — 3 = 0, 20х + 1бу — 82 + 5 = 0;
ч>) З.ѵ• — + 2 = Ü,jc + 4у + г — 4 = 0;
3 ) 11ズ 一 8 |/— 7 : 丁 6 = 0, 4дг ― 10ÿ + 2 — 5 = 0;
4) 5лг ― y -f- 3z ― 2 = 0, 一 дт + 2у + 102 一 7 — 0;
о) Зх — о// — + 9 = 0,x + 2// z + 4 = 0;
6) x 一 2г + 8 = Ü, у 5

4.19. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
Af ( 1 ,—3, 2) й параллельной плоскости + Зу — 8г — 5 = 0.
4.20. Записать уравнение плоскости, проведенной через точку
М (4, 一 6,5) и парпллельнои плоскости, проходящей через три точки
Р (3 , 一 2,2 ),Q (—3,1,2),/( 一 1,2,1).
4.21. Доказать, что параллелепипед, три непараллельные грани
которого леж^т в плоскостях 95л: + 29// — 43г — 37 = 0, л* + 16у +
+ 13г — 11=0, 5.ѵ — бу + 7г — 3 = 0, является прямоугольным.
4.22. Даны вершина параллелепипеда М ( 2 , 1,3) и уравнения
плоскостей, в которых лежат три его непараллельные грали:
л: + // + г — 1=0, 2х 一 2у + Зг 一 7 = 0, Зд: + 4у — 52 + 6 = 0.
Записать уравнения плоскостей, в которых лежат три другие граші;
найти длину диагонали M N этого параллелепипеда.
4.23. Составить уравнение плоскости, проведенной через точки
М і ( х \ у /уі, Z i) и М г(^2, 1/2, 2:2) перпендикулярно плоскости А х + В у +
+ Сг + D = 0. Рассмотреть случай, когда вектор Ali:U2 перпендикулярен
данной плоскости.
4.24. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку
М0(д:0, уо,г0) параллельно вектору а = (аь а2, “ з) и перпендикулярно
плоскости А х Ву Cz + D = 0.
4.25. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку
Mq(л:о, уоу zo) и перпендикулярной двум пересекающимся плоскостям
А [X + В\і) + しі2 + D i = 0, А 2Ҳ + В2У + C2Z + O2 = 0.
4.26. Записать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат, перпендикулярной плоскости 5д: — 2у + 5г + 3 = I) け
образующей с плоскостью ズー 4ў — 8г + 7 = 0 угол ср = *15°.
4 .3 . Р а с с т о я н и е о т т о ч к и д о п л о с к о с т и
Расстояние от точки Ліо(л:о, у 公 、г 0) до плоскости
вычисляется по формуле
Ax + By + Cz + D ^ O (Л2 + В2 + С2 Ф 0)
, I バ ズ。+ ByQ+ Сг0+ D I
d = ^ ' " ― . (4-7)
П рим еры .1. Две грани куба лежат соответственно па плоскостях
x + 2у — 2г — 1 ==0, .v Ч- 2// — 2г + 5 = 0. Вычислить объем данного куба.
Чтобы решить задачу, достаточно наііти длину ребра куба, равную расстоянию
между ユзшіымп парпл.пѵіышми плоскостями. Это расстояние равно расстоянию
от любой точки ОДНОЙ плоскости до другой плоскости. Выберем па нерпой
плоскости произвольную точку. Приняв, например, что //0 =* 1 . г 。= 1 . мз
уравнения x + 2iJ — 2 г — 1 = 0 найдем дто = 1.
По форм v л о (4.7) находим расстояние от точки ЛГ ( 1 , 1,1) до ллсскост»!
x -V — h ふ 5 - СҺ
d = J J ± 2 1 - 2 - I + 5| = 6
\ l* + 2s + (— 2)* 3 ん
Поскольку V «3 » я = ti = 2. то V’ = 8 куб, ед.
2. На оси Оу наити точку, отстояиіую от плоскости 2х + 3// — 6г + 7 = 0
на расстпянин d 声 5.
63

Пусть Л1(0, ti. О) — искомая точкп (.ѵ —0, 2 = 0, так как она принадлежит
оси О ij). Исходя из условия, получаем:
|2-0 + 3«/-6-0 + 7| 产 |3ÿ+ 7 | r
\ 23 + 32 + (—6)a ’ f
откуда 3// + 7 = 土 35. Решая полученные уравнения, находим: уі = 28/3, yz =
= 一 14. След она тельно, условию задлчн удовлетворяют две точки: M і (0, 28/3, 0),
Л12(0, 一 14, 0).
4.27. Вычислить расстояния от данных точек Mi, Mo до указанных
плоскостей:
1 )л: — 2у + 2г — 3 = 0, М і(4, 2, 一 1 ) , М2(—3, 5, — 7);
2) 2JC+ 3ÿ — 6г — 7 = 0, М ,(—2, 5 ,1 ) ,М2(9, 1,2);
3 ) 1 0 ズ ー 11у + 2г — 45 = 0, А М О ,1, 一 2), M2(6f - 1 , 2 ) .
4.28. Найти направляющие косинусы и длину перпендикуляра,
проведенного из начала координат к плоскости 2х + Юу — 1\ г —
— 60 = 0.
4.29. Дана треугольная пирамида с вершинами Л( 1 , К 1),
ß (— 11,3, 一 3 ),С (5, 2,4 ),D(2, 2, 一 5). Вычислить длину высоты,
проведенной из вершины D к грани ABC.
4.30. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:
1 ) 2х -}- у — 2z 一 6 = 0, 2х + ÿ — 2z ― 15 = 0;
2) 3ズ 一 2^/ + 62 — 7 = 0, Зх ― 2у + 62 ― 35 = 0;
3) л: + 2у + 2г — 9 = 0, 2х + 4ÿ + 42 + 15 = 0;
4) 2.v — ІОу + 112 + 30 = 0, 2ズ 一 I0ÿ + 112 — 45 = 0.
4.31. На оси Ох найти точку, отстоящую от плоскости 6л: + 2у +
+ Зг — 12 = 0 на расстоянии d = 6.
4.32. На оси О у найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
Зл: + 2у — 62 — 1=0,16л: + \2у 一 152 — 7 = 0.
4.33. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки
М (2, 一 2,6) и плоскости jc + ÿ + 2 — 2 = 0.
4.34. Записать уравнения плоскостей, параллельных плоскости
2х — 2і/ — z — 6 = 0 ii отстоящих от нее и а расстоянии d = 7.
4.35. Записать уравнение плоскости, параллельной плоскости
x + 2у — 2г + 7 = 0 и удаленной от точки М(4, 3,—2) на расстояние
rf = 7.
4.36. Составить уравнения плоскостей, которые делят пополам
двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями:
1 ) 2.x + Зу 一 z + 1 = 0,л* — 2// + З2 一 4 = 0;
2 ) ズー у + г — 2 = 0 ,2,ѵ + 2у — 2г + 3 = 0 ;
3) 3ズ 一 2у + 6г — 7 = 0,x + 2у — 2г — 5 = 0.
4.37. Составить уранисние плоскости, делящей пополам тот
двугранный угол между двумя плоскостями 4х — Зу — 2г + 5 = 0,
2х + 4" — Зг — 7 = 0. в котором лежит начало координат.
4.38. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный
угол между двумя плоскостями 5х — 1 0 "— 10z + 9 = 0,
2х + 11//+ Юг — 8 = 0, в котором лежит точка А І(1 ,2, 3).
64

4 .4 . П а р а м е т р и ч е с к и е у р а в н е н и я п р я м о й . К а н о н и ч е с к и е
у р а в н е н и я п р я м о й . У р а в н е н и я п р я м о й , п р о х о д я щ е й
ч е р е з д в е т о ч к и
II ап равняющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий и а
данной прямой илн параллельный ей.
Пиражтрнческими уравнениями прямой называются уравнения вида:
x = лго+ аі^, // = + ОгЛ 2 = го + Qity (48)
где хо. "о, zu — координаты точки .Ио’ через которую проходит прямая; ai, az,
as _ кпорднИі-іты tで напраиляющего пектора а (рнс. 4.3). Исключая из этих уравнений
ппрамстр /, получаем канонические уравнения прямой:
У — !/о
а1
Уравнения прямой, проходящей через
две точки Mi(A, tj\. Zi)и ЛІ2(.г2, yz、 之 2),
имеют вид
X - ぶ1 f —!/i
х2 • i/2 -^ l/l Z2~
Примеры. Составить
чсские и канонические уравнения прямой
проходящей через точку Л1о(2, —5,8) перпсиликуля[)и()
плоскости Гг- (5=0.
В качество направляющего вектора а
прямой можно взять нормальны/î вектор
п = (3, 4. —7) данной плоскости.
В соответствии с уравнениями (4.8) получаем:
.v = 2 -f 3/, у 5 + 4た 2 = 8 — 7/. Р и с. 4.3
Исключая иа этих уравнении параметр (} паходим канонические
нпГг прямой:
x 一 2 " + 5 г — 8
уравнения дан-
2. Дан треугольник с вершинами /1(1,4, —5), ß(—3, 6,9), С(б, 6, 7). Составить
уравнения прямой, на которой лежит медиана, проведенная из вершины В.
Используя формулы (3.3), паходим середину отрезка А С 一 точку D(3, 5,1)!
Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через две точки
В и D. Считая точку В первой, а точку D второй, получаем уравнения:
x + 3 у — 6 z — 9 ズ+ 3
3 + 3
1~ с Г или ~ 7~
У-
5 — 6
Замечание 1. Обозначая равные отношения через t, нолѵчасм параметрические
уравнения данной прямой:
x = 一 3 + 6/, t/ = 6 — t, z » 8t.
3 м с* ч a и и c 2. Если в этих уравнениях 0 く / く 1, то точка описывает
медиану ВО. При / = 0 получаем х = 一 3 // = 6, г = 9, т. е. координаты точки В,
прн t = 1 — координаты точки D.
4.39. Составить параметрические уравнения прямой, проходящсі’і
через точку Мо(1,—2,3) параллельно:1 )вектору а = (4.5 —7).
2) осн Од*;3) оси Оу、4) оси Oz Ь
“4.40. Составить параметрические уравнения прямой,проходящсмі
через точку ЛГо(9, —8, —5) перпендикулярно:1 ) плоскости
5 Лак 2026
65

2л* + 3// + 4г ― 11:ニ(): 2) плоскости Oyz\ 3) плоскости Oxz\
-1)плоскости Оху.
4.41. Составить канонические уравнения прямой, проходящей
через точку .Vfo(4, 6. —7) нараллслыю:1 ) вектору а = ( 3 ,— 1%5);
2) оси Ох:3) оси Оу; 4) осп Oz.
4.42. Составить канонические уравнения прямой, проходящей
через точку yVfo( — 1,3. 一 9) перпендикулярно:1 ) плоскости 3ズー
— А у + Ь г— 1=0: 2) плоскости Оцг; 3) плоскости О хг:4) плоскости
Оху.
4.43. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей
через точку Лん(2,5, 一 8) параллельно:】) іфямой .г = 3 4/,
// = 7 4 9/, г = 2 —- 6/; 2) прямой ブ^ - = У 了 6 =
4.44. Составить канонические уравнения прямой, проходящей
через точку М 0 ( 1 0 , 12,】5) параллельно:1 ) прямой х = - 2 1 /,
// = 5 — 3/, 2=4 + 8/; 2) прямой — ц = : ニリ9
4.45. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей
мороз точку Л/о(2. —3, 4) п параллельной вектору, обрпзуюііи*'»у
с координатными ося ми углы а = л/4,ß = я/З, у = я/З.
4.46. Дан треугольник с вершинами А (4, —5, 7), В (3. 2 ,—1),
С (—6,8,10). Записать уравнения прямых, на которых лежат его
стороны.
4.47. Діпі трсуголышк с вершинами Л (1,2, —*1) , В (5, 一 6,2),
С(3. 8, — 10). Записать уравнения его медиан.
4.48. Три последовательные вершины параллелограмма находятся
в точках /1(9, —3. 2 ),/3(4, —2, 8), С (—7, — 5,6). Записать
уравломия его лигігоналей.
4.49. Дай треугольник с вершинами А (5 , 一 1,3), 0 (3 , 一 4, 一 3),
С (—3, 一 16,】)• Составить параметрические урлвпегшя прямой, на
которой .к жит биссектриса его внутреннего угл il В.
4.50. Дан треугольник с вершинами Л(3, 2, 0), В (6, 5 . 一 -り,
С (—(),14. !)). Зппнс'пгь кпиоипчсч'кис урпвиения пря мой, нп которой
лежит пнсссктри^.і вікчіикчо уг л;і при вершине A.
4,5. Угол м е ж д у двум я прям ы м и. Расстояние от точки
д о прям ой. Кратчайш ее расстояние м е ж д у двум я прям ы м и
Косинус уг.ш между двумя прямыми:
x = х\ + oit, у = і/і + а>(. г = zi +
•ѵ = л.2+ ЬіЛ у = Hz + bzt, г = г2+ b^t
(4.9)
(4 10)
определяется фпрм\ .mû
cos ф
Ка
1ІіоГ»\ п доста И)ЧНос
(4 10) ьи рожает о я равенством
otbx Ч- aみ +
:* + ゼ 丨 М +^2 + ^3
условие перпендикулярности
(411)
п р ям ы х (4.9)
üibi + о-іЬі + илЬз = 0.

Расстоя um от точкп ЛІо(л*о. //«. го) до прямой (4.9) нычис. іяс тся по формуле
」 II(Гі—г0), а| I
“ — йй— .
где Го. гі— р;;диусы-вікторы точек VI" и Af“ a 一 иапринляющни вектор прямой
(рис. 1.4).
Рлсстояиис- мі-жду прямыми (4ЛМ и (4.10) определяется формулой
^ |( Г 2 _ Г ,и Ь | (4.12)
|[а, Ь|| *
где rj. Tz - радиусы-векторы точек М і Му. a. b —направляющие векторы длнjfu
\ прямых (рис. А.гі).
1іі с. 4.
Пример ы.1.I І.ііітц угол мі жду лиумя прямыми:
л* 一 4 // — 5 гЧ 6 1 tj 一 5 г -|- 9
~ 2~ = ^~7~ ニ ~ 8~ = "^Т「 = 「 一 7—.
Первая прямая имеет ппправляютиГг вектор а = (2, 7. 8), втирая - нпправлнютий
пектор b = (8 , 一 11, 一 7). Угил между двумя пря мыми т> определению
pniK.il углу между их иппрап.іяюішімл нокторлѵш.
По формѵлс (4.11)un ходим
. 2. 8 + 7 ( — 1 1 ) + 8 ( — 7) — 117 1
ф I 22 + 72 + P \ 8S 十 ( 一 I I)a -;- (― 7)- I 11"I 234 一 I 2 ―
( ..u•ユ( т г т . іы і ' (j = = 135°.
2. Наііти р.и.ч гояшіс мі.ждѵ двѵмя прямыми: .ѵ *= 3 + Л /, = — 4 + 2/. z =
-5 — 2г н л. “ 4 + 8/, // = ― 2 4- Г>/. г = GЧ- 4/.
I Ь рм.-.я прямая приходит чіреч точку Л/, (3, - 4, 5) и мм

4.51. Найтн поправляющие косинусы прямых:
1 ) х~±- = Л + 1 . = 2 ) ^ .. 匕 Ü 一 - ―
1} 2 —2 丨 ’り 6 2
3) д: = 4 — JO/,ÿ = 9 + 2/, z = 3 — 11/;
4) .v = 7 — 12/, // = 9 + 5/, 2 = 4.
4.52. Найти косинус угла межлу двумя прямыми:
1Ч лг + 4 — // — 5 — г — 7 ” х — 8 _ ^ + б г-
】;~ 9~ = ~ і~ = о и ~ ï~ ~ ô~ -
о\ ズ— 3 — //+ б _ г Н- 2 х ':5 _ у — 2
о" 一 ― 7 ~ 一 8 11 7 *
3) x = 1 + 3/,у = 9 ― 2/, г = 8 + 4/ и x = ― 7 + 6/,// = 2 ― 4/,
: 】+8/;
4) д: = 3 一 2/, v = 7 + 10へ z = 一 5 + 1 1 / и ズ= 8 + /, г/ =
= 9 + 2/, г = 6 + 2/.
4.53. Составить уравнения прямой, ііровсдсішой через точкѵ
Л і(1,3, — t) іісрпслллкулярло к двум прямым:
x 一 2 и 4 г 一 8 x Ч - 1 t/ 一 2 z 一 3
3 一 5 ~ 4 , 1 ― 5 一 2 •
4.54. Вьпііс•, 川 丁 ь рлсстояішс от точкн Л / (2, —3, 5) до кпждоіі нз
следующих прям ых:
1 )дг = 5 + 2/,ÿ = — 4 — /,2 - 6 — 2/;
2) ぶ = 1— 6/, у = — 2 — 3/, г = 8 + 2/.
4.о5. Наііти расстояние между параллельными прямыми:
1) д: =1 + г/ = 2 — z =
+ 2/, 2 = 7 — 4/;
2) = 9 — t y у = ト+ 2Л z =
+ б/, г = 4 — 9/.
4.56. Нпити р;ісст(»і!Шо мсждѵ двумя прямыми:
1 )Л- = 3 — 6/, у = — 1+ 4/; г = t и x = — 2 + 3/, у = 4,
г = 3 —
2 ) —
5 + 2/ и л- = 4 — 6/, у = —1 +
一 о 一 3/ и x = 2 一 3/, // = 5 +
4.57. Состпвить уравнения прямой, проводемшои через точку
Л /(4, 7, —5) перпендикулярно к двум данным прямым: л: = 3 + 2/,
у = 8 — /,г = — 1 + 4/ и л:=1 + 3/, у = — 5 4* /, г = 6 + た
4.58. Найтн кратчайшее расстояние между диагональю куба
л неиоресекаюии,и ее /иіагонплью граии. если ребро куба рпнпо а.
4.59. Составить параметрические ѵравіісішя общего исрпснллкуляра
к двум прямым, заданным уравнениям»: .ѵ = 3/ — 7,
у = 一 2/ + 4, г = 3/ + 4 и .г = / + 1» // = 2/ 一 8, г = 一 / 一 12.
4.60. Составить уравнения общего перпендикуляра к двум непараллельным
пря мым: г = Гі + ai/,г = г2 + аз/.
68

4 .6 . П р я м а я к а к л и н и я п е р е с е ч е н и я д в у х п л о с к о с т е й .
П у ч о к п л о с к о с т е й . В з а и м н о е р а с п о л о ж е н и е д в у х п р я м ы х
в п р о с т р а н с т в е
Прямая кпк линия пересечения двух п л ос кос тс П опредглис 丁 ся
уравнений первой степени:
Ліх + В\Ц + Сі< + Di= 0,
Л^х + В2У + + Dz ― 0
при условии, что коэффициенты ß レ Сг не
пропорциональны коэффициентам А2, В2> С2.
Уравнения (4.13) можпо привести к и пра метрическом
у виду, для чего достаточно выбрать произвольную
точку А/о (л:о, "о, го) этой прямой и
н.
ющим плоскостям (рнс. 4.6) :
ДП!!;!СМ ДВѴХ
(4.13)
レ i Cj
І ^2 В2 C2
С, 一 卜 с, •*1, в л i
( ßl
\ Во С, 丨 ん С2 Л2 Вп )
Пучком плоскостей называется совокупность 灰 デ
плоскостей, проходящих через одну и ту же пря- •
мую. Уравнение пучкп плоскостей, проходящих через
прямую (4.13), имеет вид
р и с ^ g
ч{Л \.х + В\Ц + Сіг + Оі)+ Р(Лг.ѵ + В^Ц + CzZ + D i)= 0,
где а и ß —действительные числа, причем хотя Г>ы одно из пих отлично от нуля.
Эти уривпошю м«»жио привести к виду
Л\.х + ß 山 + Ci + /)і + Х(/І2-Ѵ + В 2І) + Сг^ + Dz) =• 0, (4.14)
где 人 = ß/ц, а ф 0. Уравнение (4.14) определяет все плоскости пучкп, зп исключением
той, которой соответствует а = 0, т. е. за исключением плоскости
-•12Х -j- В:у + QiZ + Dz ~ 0.
Примеры.1. Дан треугольник с вершинами /1(1,1, 1),0(5, 一 3, 2),
С(3, 2. 0) Состпвнть парлмстрические урависмшя прямой, пп которой лежит его
пысота, ироведеннпя ш точки В.
Эту прямую можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей:
плоскости, проходящей чсрім ірл тпчюі Л, В. С, и плоскости, проходяшей через
точку В перпоплмкулярпп к вектору ЛС=(2,1,—1).Составим их урашіеир.я:
//-
0.
0,
1
ズ+ 2" + 42 — 0,
2(дг 一 5 )+ 1(у + 3) 一 1(г 一 2) = 0, 2х + у 一 г 一 5 = 0.
Следоиатслыю, данная прямая определяется уравнениями:
^ + 2і/ + 4z — 7 = 0, 2х + у — г — 0.
Приведем эти уравнения к параметрическому виду. Нам известна точка В, через
коюоую проходит данная прямая. Найдем координаты ипправляютего вектора
а = [Пі. П2]. Так как m = (1,2, 4). п2 = (2,], 一 1),то
69

а - (
2 —
(—Gi 9 , —3) или
I
a
( 一 2, 3, — I ) .
Слсдпи.ііс.іык», парамстшічоскііс уравнения прямой имеют вид:
л* - 5 — 2Л и = — 3 + 3/, г = 2 — t.
2. 3;»ішс;пь ургівнеішс плоскости, проходящей через прямую исресечсііня
плоскостей л* + 2ц + Зг — 7 = 0, 2ズ ー " z + 5 = 0 и иерпсчіднкулярноГі к плоскости
4л- 一 十 一 1=0.
Ураішснис
u(x + 2" + Зг — 7 ) + р(2л. - у г + 5) = 0 (1)
нлн
(u + ^ ) .v + (2a-p)//+ (3a - (і)г 7а + = О
опрслс.шст пуч»ж ii.iocKDOU'ii. проходящих чірсм данную прямую. Среди этих
плоекпетей выберем ту. которая ііорпсиднку.іирн;] плоскости 4.ѵ - 3/, + 2г — I =0.
Для нее должно выполняться условно
.1(а + 2р 卜 3(2а - ß )+ 2(3u - P) = 0, 4а + üß = 0,
4
откуда р ~ 一 - ( —а. Подставляя это выражение для р в уравнение (1). получаем
9и(д: + 2і/ + Зг — 7) - 4u(2jc — і/ — г + Г>) = 0.
Счития “ 牛 0 и сокрашая на а. находим искомое уравнение:
.ѵ + 22// + 31г — 83 - 0.
3 а \! е ч n и и е. При a 匕 о получаем 2л: — // + 2 + 5 = 0. Эта плоскость
условию задачи нс удовлетворяет.
3. Нлнтн необходимые м достаточные условпя, при которых прямые:
•v - л.і + Лі/, у =- tf\ + a2t, г = г, - f a :

Ѵмножіія первое урашнмшг im 2 н вычпт.іи tn поп» почленно третье, нмоом:
5 = 15+ Ш 又 10s - ニ 10, s - ~ 1.
При s ― I ио/іучлсм r = *—2. Иодстпвляя значение / = 一 2 и урпвнения
первой прямом (или s = — 1 в \ раінісішя второй прямой). нп\(>ліім x =* 2, // ==3,
z --— 1. Слсдонатсльно, Л10(2, 3, 一 1) 一 точка псрсссчсчтя а ::ипы.\ прямых.
4.61. Составить пара метрические урпвиепия следующих прямых:
1 ) 4х 一 3// + 2 之 一 1 = 0 , олг — 2у + 3 之 一 3 = 0;
2) .v 一 Зі/ + г + 3 = 0. Зх + // - 2г - 0 = 0;
3) x -(- 2// 4~ ^ ^ ~ 0,2-Ѵ + 2у — -j- 0 = 0;
•! ) x + // + 2:— 3 - 0, x 一 у + г — 1=0.
4.62. Составить канонические уравнемшя следующих прямых:
1 ) З.ѵ — 2y + z — 2 = ()• -Іл* + // — Зг — 2 = 0:
2) 2х + 3// -f- 2z ― 4=0, ^ + 4у + 5г — ü = 0.
4.63. Записать канонические уравнепия прямой, проходящем
черо^ точку \/(4, 3, —6) параллельно прямой 7.ѵ + // + г — 8 = 0,
ßx + у — 2< — 7 = 0.
4.64. Зпписать п«праметрическис уравнения прямой, проходящей
чороз точку ЛЫ5, 一 2, 7) параллельно прямой .ѵ+ 2 у+ 3 г—5 =
= 0,2.ѵ + " + 2г — 3 ” 0.
4.65. Заиисаті> уравиеиио плоскости, проходящей через точку
Л/ (2,—1,— и прямую x + 2// — Зг — 3 = (),2.ѵ + у + : — 7 = 0.
4.66. Записать урпшіспис плоскости, прооктпруюіцоіі прямую
3ズ 一 Зу — 4г = 0, \х + // + Зг — о 0 im плоскость 2х — G" +
+ 7г — 9 = 0.
4.67. Зпписать ікірлмотрпчоские уравнения проекции прямой
2х — tj — г — 1= 0 ,x + г/ + 2г 2 = 0 на плоскость 9х + 4// —
一 5:*— 13 - 0.
4.68. Записать уртііісіміе плоскости, проходящей через прямую
пересечения плоскостей З.ѵ — 2ざ/ + 4z — 1 = 0 ,Б.ѵ + у — 2г — 6 = 0
параллельно плоскости .v ― // + 2г ― 7 = ()•
4.69. Записать урш 川 сіше плоскости. іф()хоュящеіі через пря мую
x + 2// + Зг — 5 = 0, З.ѵ — 4// + 2г + 1 = 0 п равноудаленной от
точек Л/(1,2,—1)и Лг(—2,1,2).
4.70. Зпписать уравнение плоскости, проходящей через прямую
х + У — < + ^ = 0, З.ѵ + 2// + 2:— 4 = () ii отстоящей от начала
координат на расстоянии р = 0,6.
4.71. Доказать, что прямые
являются скрещивающимися.
4.72. Доказать, что прямые х = 7 + о/, ц = - Г) - 7/, г = - 2 -
一 3/ и x = t%у = /, г = 一 3 + 2/ пересекаются. I Iаити точку пересечения.
Записать уравнение плоскости, п которой лож пт эти
прямые.
4.73. Доказать, что прямые 2х — у — z ― I = 0, .v + ,/ -ь 2 : 一
— 2 = 0 ii З.ѵ — Зу ― 4г = 0 . 1х -Ь 1/ + Зг ― 5 = () совпадают.
4-74. Доказать, что прямые Лх + 4// + — 7 = О. \х + 5// +
+ 8г — 8 = 0 н З.ѵ 丄 5" + 11г - 0, 2.ѵ -f 3// + бг = 0 иппп.гкмыіы.

В задачах 4.75 一 4.82 исследовать взаимное расположение
прямых.
4.75. л* = /,"=1 + 4/, г = I — 3/ н х = \ + 7/, у = — 8/,
z =1 + 5た
4.76. л* = — 3/, у = 2 + 3/, 2 = 1 и л-= 1 + 5 /, (/ =1 + 13/,
2=1 + 11/.
4.77. л* = 2 + 21, if = К г = — 2/ и .v = 2/,// = 0, 之 = 一 2t.
4.78. .v = 8 + 3/,V = 7 ― 2/, г = 1 1 + / и х = 5 — 6/, ,/= 9 + 4/,
г =10 — 2/.
4.79. .v + у + 2г — 4 = 0, 2х + 2у + г — 5 = 0 и Зд: — 2у + г —
— 2 = 0. 4jc+ // — Зг — 2 0.
4.80. Ах + у + 3z 一 5 = 0, 7х — 2ざ/ _ z ~ - 5 = 0 и .ѵ 4у / z —
一 5 = Г), ] Зх — ку 一 9-Г — 5 = 0.
4.81. 5 х + 7 у + 13г— 13 = 0, 7ズ+ 9у + 15г — 15 = 0 и 3,ѵ+
+ 5" + 112 = 0,2 х + 2 if + 62 = 0.
4.82. x — 2у — 4г = Ô, .ѵ + 2// + 2 = 0 и .ѵ — 2у - 6 = 0, Зх +
+ 3 // + 4 г - 0 . ‘
4 .7 . У г о л м е ж д у п р я м о й и п л о с к о с т ь ю . В з а и м н о е
р асполож ение прям ой ч плоскости
Синус иг.ш меж *)tj прямой
x = хо + ait, у = ііо + (ht. z = го + at
и п.юс кос тью
Ах + В// + Сг + D = 0
определяется по формуле.
ノ t
'
_____ I Аду Ч- Ва» 丄 С(7ЯI
I ^ - I - ß ^ C ^ / 02+ 0 2 + 02 •
(4.15)
(416)
(4.17)
Прямая (4.15) и п.юскооть (4.1П) параллельны, ссли
Лй\ + Beiz + Си.) = П:
перпендикулярны, ссли
Л В С
аХ °2
Прямая (4.15) лежит в плоскости (4.161,ссли
• U/i + В а і + Соз = 0, Лхі> + ß!/o + Czo + D = 0.
(11«)
Координаты точки !К'рссочгШ!я прямей (1.15) il іілоскостн (4.16) определяют
из системы уравнений (4.J5), (4.16).
Примеры.1.1 Іайт» угол между прямой .t = 7 + 2/, у = — 8 — г =
= 5 — / и плоскостью 2.ѵ -4- 2// 一 4z ― .4 = 0.
Применяя формулу (4.17) для случая fl| = 2. а 2 ― 一 1.оз * — 1,Л = 2,
ß = 2. С = — 4, получ.іеѵ.:
зіп«р = I 2-2 - 2 ( -1 )+ ( ~ 4 ) . _ ( - 0 і = 6 ^ = ' зо,
I 2* + 2* + ( ― 4)2 V 2» + (— l)s + ( - ! ) ä I 2И 6 2 •
2.II л(.ユовать вз.-іиміюс расположение прямой л. = 4 十 じ 久 // = б + 4/, z =
― 5 + 2t н плоскости 2x — 3" 5г — 10 = 0.
Поскольку
72
Л а і + В а г + C a z = 2 • 3 + ( — 3 )4 + 5 • 2 = 4 # 0,

т. о. условно (4.IÖ) пе выполняется, прямая н плоскость иеросскаются. Hai:юм
точку их псреачглия, для чего иодст.шим выражения для л*, у и z в уравн яс
плоскости:
2(4 + 3 /) — 3(6 + 4 / ) + 5(5 + 2t)— 10 = 0, 4/+ 5 = 0, t = ― ― .
Ппдстави» полученное шачсиие параметра в уравнения прямой, иайдсѵ
координаты T-iMKîi ікрѵссчення:
•Y- 4 + 3 (― -》) = ベ- , -;-4 ( 一 了 ) =1•
г = 5 + 2(—+ ) = 务 .
1Іспосродотненной проверкой можно убедиться в том, что точкп ] t 5/2)
принадлежит данной плоскости.
4.83. Найти угол межлу прямой н плоскостью в каждом из следующих
случаев:
1 ).v = 5 + 11 / ,у = 4 — 8/ ,z = 3 — 7/; 7,ѵ + 2у — 8z ― 10 = 0;
2) - J " ,3 = 2.ѵ - 4 і/ 2 г - 9 - 0 ;
3) x — Зу + z + 3 = 0, 3ぶ-j- y 一 2z 一 6 = 0; x 一 2y -~ z -f-
+ 5 = 0;
4 ) л:+ y + г ― 5 = 0, ズ+ 2ÿ + Зг ― (5 = 0; 2x+2ÿ—2ご+ 7 = 0.
4.84. Доказать, что прямая х = 1 + 4 /,;/ = — 3 + 2/,г = 6 + 2/
и плоскость .v + 3" 一 Ъг — 2 = 0 параллельны.
4.85. Доказать, что прямая х = 3 + Л у = — 2 + 4む г = 5 + 4/
лежит в плоскости 4.ѵ — 7(/ + бг — ob = 0.
4.86. Доказать, что прямая х == fi — 2/, /у = 3 + 5/, г = 一 1 — 4t
перпендикулярна к плоскости 2х — Ьу + 4г + 52 = 0. Найти точку
их пересечения.
4.87. Напти точку пересечения прямой .ѵ = 1 + 3/, у = — 2 + 4/,
2 = 5 — 2/ с плоскостью С)Х — 5// + — 7 = 0.
4.88. Исследовать взаимное расположение прямой и плоскости
в каждом из следующих случаев:
1 ).V= 2 — 3/,у = 7 — *2/, г = — 1 + 4/; 6л* 一 у + 42 — 5 = 0;
2) .v = 1 + 10ら у = 3 — 2t,z = 一 2 + 3/; x + 2// 2z ― 11=0;
3) x ― 2,/ + Зг ― 2 = 0, З.ѵ + /у ― 5г + 1=0; Ах ― Ъу + 2г —
一 1=0;
•() .г + Зг/ ― 2г ― 4 = 0, 2аг ― - // + Зг ― 1=0; Зл* + 2/у + г ―
一 5 = 0.
4.89. Найти проекцию точки М (2, 5, 一 3) па прямую х = 2 — 5/,
у = — 3 + 2 = 4 + 2/.
4.90. Найти проокшио точки Л І(5 ,1,3) на прямѵю х + у + z —
— 3 = 0,.ѵ + 2ij + Зг ― 6 = 0.
4.91. Найти проекцию точки ЛІ(1, 一 2,Г) на плоскость 5.ѵ —
— 3// + 6. -f- 35 = 0.
4.92. Нпити точку,симметричную точке ЛІ(2, 2,5) относительно
прямой .V = 7 — 2/, у = 5 + 3/. г = —2 + 4/.
4.93. Іһінти точку, симметричную точко ЛІ(8, 9 , —1 ) относитсльнч
плоскости Зх + 4// — 2г — 4 = 0.

5. П О В Е Р Х Н О С Т И В П Р О С Т Р А Н С Т В Е
У р а вн е н и е м n o iic p x H o c rii
/ ' (.V, У- г ) = О,
了 гя у|)аииеине
которому \ іов.істворяют координаты любой точки поверхности,
il только они.
«'Іипия и иросіраистви как псрссеченис лтзух поверхностей определяется
двум я уравигпиями:
/•(•v. у. z) = 0 , ( 丨 )(л\ ij, г) = ()•
П(^сс/п'носгью п-ію порядка ііазьпмстся ііовсрхность, определяемая
уравнением п-й степени относительио докартовых координат.
Поверхностью первого порядка является плоскость.
5 .1 . П о в е р х н о с т и в р а щ е н и я . Ц и л и н д р и ч е с к и е
и к о н и ч е с к и е п о в е р х н о с т и
П_ т | 、м"и.ть. »»Пранспаіінпя вр:ши.ііт*м .шипи I. :н:»д;»нн>м"і у|мнӀк»ният.!
fU)Kj>\ i ( cw (): (рис. 5.1), oiipe/u.'iHCTCM урпвис-шк M
.v = [(г), tj = Cf (г), (5.І)
•v2 + //2 = /2()+q2U). (5.2)
ypinfHcnuc цияинОрической поверхности, образуют^ которой нпрпллсльиы
f>CI! Ос, ИМ ITT ВПД
/• (л*. //) = 0.
П р и м е р ы . 1 . (доставить ур.шнсгсне поверхности, обп.гюпзнной
.Vй 22
гнлерболы 一 ア 1. у 0 вокруг оси Ог.
Уравн имя данной линии запишем n шые (5.1):
а -------
x
В 、•• -тiu т^тынг г \ priuücii.iiw. (5 2)
н[»ашс:!і н
I
c n
ІУЧ
r1}
I
ü
M c
V «
пп. і щеп нем
или
ゲ
X2 \J2
•
rt2 *
(Этя w срх ность i i :i ;unui'TCH двупо.юстпым
I
гшігрио.юи>Ъ}м вртқсиин.)
'2. В ссіімрируюии й шчігрнфугс жидкость враіиастгм рпктнт тмі ішлішдра
с : ‘ ь>яннけіі углоиоГі скоростью ш. По истечении лскот» рого времени после нпл
:ж- пия поверхность жидкости и сосуде прітим;і* т ѵ^тоичивую форму
i li'iu-pXMucTN р.мішовесия).11.Лтіі эту ф«»рм\.
I ipn'.Tr'.: «нм» цилиндра за »».ь Ог, нліірииин ес ніргики.іыіо ьнерх. 3 - начало
прям ) гпль!і(»и дск.мртовий гнотгмы коорлинат »о ѵьмем точку исрссочсния оси Ог
с «»cHohituucM цилиндра, п и л не кости основ.пиім цилиндра оыберем ося О.ѵ и О у.
( »4t ни дно. чю поверхность жидкости булет шлц.рхнопью іфііШеішя, поэтому
і гіжд *•: печном а-ч^шіи バ статпч!іп ікчмгдпвать одно и і таких сечсниГі,
И:« чг-стииу Q, на.\»іляіиуюі*я и тпчке !і ^тог«» іччешін 5/J . действуют
дис cii.iu cii.i:i тяжести mu. іииір.іВ.іі.ітаи ин в«.|•» 了 нкгілн инпз н иіоГфлжічшая
p
.
c T

векторам Pl.. и длвлгине ж н д к“ стк, деіѴт»” ющ(.г перпендику лярно к поверх я. ч гл
и изображенное вектором РХ. Вектор /,Л. иериеиднкулярек к к аса тел ьно и к рассматриваемому
-ччеинк) в точке і). Величину ^тон силы мы m знаем, ію і ;п о
известна p a вні »действующа я сил PL и Р.Ѵ. Ди.йствнтелыю. гпк как частица Q
движется рйвмі»мерно п(і окружности радиусом .ѵ. то се ускорение Р.\\ напран-
:к н о к центру ii равно шш-.ѵ. Следовательно, зная величину и направление равнодействукшкмѴ
и одной іп составляющих, можно найти неличшіу и направление
другой составляющей давления. Величина данления нас не интересует, н.іпраиwif
iinc давления Р.Ѵ позволяет опредсѵіить направлеши* касательной, т. е. найти
утол и. обрпзѵсмим касатг.ипюи с осью Од*.
1h треугольника М Р \. в котором Z. Р.ѴЛІ= а. ппхсіДіім:
dz МР то)2л. о)2х
~1— tß СС-----\7Т~ ~~=--- ------»
dx - ЛІ.Ѵ mg g
z*
Митсгрирѵи ппсѵісднсе равенство. получлем
Если при x ― 0 коордіішіта z = zlt OS. то С = поэтому
г す i .
Т.іким о6ру^

5.1. Составить уравнение* поверхности, образованной вращением
•ПШШН X = / і (//), Z = Ы і/) вокруг оси Оу.
5.2. Составить уравнение поверхности, образованной вращением
линии у = срі(л:), г = ф2(ズ) вокруг оси Ох.
В задпчах ;>.,5—5.6 составить уравнение поверхности, образованной
вращечш^м указанной лшши вокруг оси Oz.
5.3. —j- -~г = ^ У — 0. 5.4, -------= 1 ,^ = 0.
5.5. а-2 ニ 2pz, у ニ0. 5.6. -------- = 0, у = 0.
В задачах 5.7—5.12 составить уравнение поверхности, образованной
вращемпк-м данной лшшн вокруг оси Оу.
X
x2
5.7.
1 Г
—1,2=0. 5.8.
" û* " " - 如 い =
уг
5.9.
言 •
- 4 = 1,2 = 0. 5.10. X1 = 2рУ、2 = ()•
д.2
5.11
а1 ■ bi = 0 , 2 = 0. 5.12. パ ー■Û2 = 0, 2 = 0,
В задачах 5.13—5.20 составить уравнение поверхности, образовшшоіі
вращением данной лишш вокруг оси Ох.
.v2
5.13.
, У1
1 , г = 0. 5.14. — - | J - = 1, z = 0.
5.15.
5.17.
マ . 沪
lf-
~b^'
X2
了
―
л2
У2
が
1 , 2 = 0. 5.16. " 2 ~ 2qx, 2 = 0.
0, z = 0. 5.18• ゲ ー /パ= 0 , г = 0.
5.19. и - sin л% • 0. 5.20. ц = cos л*, 2 = 0.
0.21. Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего через
тичку Р(1,—2.1),осью которого является прямая х = t f у =
= 1 + 2/,z = — 3 — 2/.
5.22. Записать уравнение конуса с вершиной в точке Р ( 1 ,2, 4),
образующие которого составляют с плоскостью 4,ѵ + — 3 =
= 0 углы ц = 45°.
vâ
0.23. Направляющая конуса задана уравнениями
2 = 0. Вершина конуса находится в точке Р (5,0, 3). Составить
уравиепие конуса.
5.24. Записать уравнение круглого цилиндра, образующие которого
касаются сферы x1 + Ц2, + г2 = 1 и составляют равные углы
с осями коорлииат.
5.2. П о в е р х н о с т и в т о р о г о п о р я д к а
Поверхностью в т о р о го порядка насыплется поверхность, определяемая а.ігебр.нічіѵклм
урішиснисм второй степсии отнснмиолыи» декартовых кгюрユннат
Д*. у, 2.
К а н о н и ч е с ки е уравнения поверхностей в т о р о го п о р я д к а :
76

( э л л и п с о и д , рис. 5.3);
{однополостный гиперболоид, рис. 5.4);
гиперболоид, рнс. 5.5);
(конус, рис. 5.6);
(эллиптический параболоид, рис. 5.7);
(гиперболический параболоид, рпс. 5.8);

(хі.іиптичсскиы цилиндр, рис. 5.9);
(5.9)
{гипсрбоАичсскші цияиндр, рис. 5 10);
(5.10)
(параболический цилиндр, рис. 5.11);
Р и с. 5.8

JC2
(пара пгрссекающихся плоскостей)'.
(5-12)
А*
ず
(пара парси 兄 іьных п.юскостсы):
(5.13)
x2 = 0
(пара совпадающих плоскостей).
(5.П)
3 а м е ч а н н с. Ураииенис (5.3) при и = b = с — R принимает вид
パ + //• + г2 = R \
(о.!:»)
'.)но ('прсде.икт сферу радиусом R г центром в начале координат.
Обиісе уравнение второіі степени относительно декартовых коордиипт
v . ダ/, г может быть прнведічк) либо к одному из уравнсніііі (5.3) 一 (5.15). либо
к идиому пз следующих урпвненнй:
•v2 , t f •• г2
' 言 ‘
а*3 , t f , _2 2 -
7 了 2 • - І -
о,
1.
(5.16)
(5.17)
ズ2
- j L
~ 1 F ': b-
X - . . y 'L
«2 .
ニѴ.2
1,
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Ургшноішям (Б.Кі), (5.18) н (5.20) нс удовлетворяют ксифдннаты ни одной
точки приетранствл, уравнению (*>.17) удовлетворяют координаты единственной
тітки 0(0. 0, 0 ),ураннению (5.19) 一 координаты точек, лежащих на прямой
л* = 0. I/ = 0.
Прямые, полностью лежащие на некоторой поверхности, называются прямояинейпыми
образующими данной поверхности.
Олиоио.іостпым гииерболимд (5.4) пмеет два ссмеГістпа прямолинейных обращу
ющ их (см. рис. a り:
R
*
X
и
X
а
Г и т рГ іличсский пярлГюлоид (5.8)
п\л\ обріі.чующпх (рис. 5.12):
\ / \
- -
М - ß - + -
Р - -
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ノ
-/
рг.
2а;
II
р 、 丁 + ^ ~ ) = а ( 丨 -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
также имеет два сч、'и ‘і і с-
т , іірямо.іиік-и- -
-
-
-
-
-
-
-
-
X
-
-
-
-
-
-
а Т - ) = 2Р-
-
-
-
-
-
-
-
-
ссご. -
-
-
-
-
-
-
-
-
U\\\\ лмぐuv аскнртивой системы каа\\д,ииат Oxyz ииѵѵА с и с іѵ л ѵ り 、 入 TZ
р;1»Н'Л;Ш р:іНЛсНИЫМИ осями СТ:ІрЫС координаты л., //• z .{Юбом ТОЧКИ »jupa-
,і іются ч.-рі » ec ноные коорлинпты X ). Z с помощ ью формул:
x ― X -{-at у )#4- Ь. z Z г.
де а. І\ с ко(^)Діінаты нлч;і.іа О, іи>И(>н системы n ciupt>n

П рим еры .1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением
2л;2+ 2у2 + 2z2 一 4х + Sy —12z +19 = 0.
Раздел im почленно данное уравнение на 2 и выделим полные квадраты:
x2 + y 2 + z2- 2 x + 4 y - 6 z + 19/2 = 0,
(х — 1)2 + (У + 2)2 + ( г - 3” = 9/2.
Перейдем к новым координатам по формулам:
Z —z 一 о.
X = х — Y = у + 2,
В нешой системе координат уравнение принимает вид
X2 + К2 + Z 2 = 9/2.
Оно определяет с 中 еру радиусом R = 3/]^2 с центром в точке, Для которой X =
= 0 , У = 0, Z = 0 или x 一 1=0, у-\-2 = 0, z — 3 = 0, т. е. д:= 1 , у = — 2,
г = 3. /
Следовательно, центр данной сферы находится в точке С(1, —2, 3) и радиус
R = 2 //2 :
2. Определить вид и параметры поверхности, заданной уравнением 4л:2+9г/2+
+ 36г2- 16л: + Щ - 72z + 25 = 0.
Вынося за скобки коэффициенты при квадратах координат и преобразуя
уравнение, получаем:
4(ズ2— 4ズ + 4) + 9( 沪 + 2 у + 1)+36(г2 — 2 г + 1)— 16 — 9 一 3 6 + 25 = 0,
Ц х 一 2)2 + 9(t/ + 1)2 + 36(2 一 l )2 = 36.
В новой системе координат X = х —2, У = г/ + 1 , Z == 2 — 1 это уравнение принимает
вид
4Z2+ 9У2 + 36Z2 = 36
или
X 2 + Y2 + Z2
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (5.3), заключаем, что оно
определяет эллипсоид, параметры которого а = 3, Ь = 2, с = 1 . Центр эллипсоида
находится в точке С(2,— 1,1).
5.25. Записать уравнение сферы в каждом из следующих
случаев:
1 )сфера имеет центр С(0, 0, 0) и радиус R = 8;
2) сфера имеет центр С (4, —5, 一 8) и радиус R = 6;
3) сфера проходит через начало координат и имеет центр
С(3, 一 6,6);
4) точки А ( 3 ,—5,10) и ß (l,—7,—2) являются концами одно«
го из диаметров сферы.
5.26. Записать уравнение сферы в каждом из следующих
случаев:
1 ) сфера проходит через точку А (5, —4,1 ) и имеет центр
в точке С (2, 一 7, 一 3);
2) центр сферы находится в начале координат, плоскость
— 2у -\-3z — 2 1 = 0 является касательной к сфере;
3) центр сферы находится в точке С ( 8 , —3,4), плоскость
Зл:— 4" + Ьг — 6 = 0 является касательной к сфере;
4) сфера проходит через три точки Р (3,1,5),Q(4, 一 8,1),
R (—5,1, 一 3 ),центр ее лежит на плоскости 2х у — z — 1=0.
5.27. Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки
Р (б ,1,4 ) ,Q(2, 一 2, 一 5 ) ,R (7 ,1,3 ) ,5 ( 1 , —3,7).
80

5.28. Какое геометрическое место точек определяется каждым
из уравнений:
^
1 ) ズ2 十 ÿ2 + «г2 — 2х + 4у 一 6z ― 11=0;
2) x2 + У2 + + 4х 一 2у + 6г + 30 = 0;
3 ) ズ2 + у2 + 22 ― 6ズ+ — 4г + 14 = 0;
4 ) 2ズ2 + 2у2 + 2г2 — І2х — 10ÿ + 82 + t=^0
5.29. Исследовать, как расположены точки Р(1,1 ,3)„
Q(4, 一 4,2), 7(3,—1, 一 6), S (— 1 , 1 , 6Х-^носительно каждой
из сфер:
1 ) ( Х + 1)2 + (у — 1)2+ ( 卜 2)2=16;
2) (;с-3)2 + (у + 2)2 + (г+1)2 = 25;
3) 2л:2 + 2у2 + 2г2 — 4х + 8у — 12z + 1 9 = 0.
5.30. Исследовать взаимное расположение сферы х2 + у2 + гг —
— 2ズ + 4у — 2;г — 43 = 0 и каждой из прямых:
1) x = 3 + /, у = — 4 一 t, з = 5 + 2t\
2) x = I + у = 2 + 2 = 2 + ^;
3) д:=-—2 + 2/, ÿ = 4 + 2/, 2 = 3 — 3/;
4) x = 4 — 3ベ у = 5 + 4t, z = 6 — 5t.
В задачах 5.31, 5.32 найти прямолинейные образующие данной
поверхности в указанной точке.
5 .3 1 .—gg— !— у 0 g~ — 1, ^ (5, —4, —3).
5.32. y~ = 2 z ,M (З, —4 ,— 令 ).
В задачах 5.33, 5.34 найти углы между прямолинейными обра*
зующими данной поверхности в указанной точке.
5.33. - - Ç - + - Ç - = 2Z, М {2 , 一 2, — ^
5.34. f - + - J - = 1 ,М(4’ 3, 一 2).
В задачах 5.35 一 5.74 определить вид и параметры поверхности
второго порядка, заданной указанным уравнением.
5.35. Зх2 + Зу2 + Зг2 一 6ズ+ — 12г — 7 = 0.
5.36. 4х2 + Ау2 + 4г2 — 8х + \2у — 16г — 1=0.
5.37. Зх2 + 切 2 + 6г2 — 6л: + 16у — 36z + 49 = 0.
5.38. 2л:2 + Зу2 一 6z2 •—8л: 一 бу — 12z — 1=0.
5.39. 4ぶ2 + 9yz + Збг2 + 8x + 36y — 72z + 40 = 0.
5.40. x2 + 2y2 — 4z2 — 6x + 4i/ + 32z — 40 = 0.
5.41.jc2 + 2y2 + 2z2 — 2 x + 12y — 8г + 31=0.
5.42. 2у2 + 4г2 — x2 2x 一 4y — 8«г — 3 = 0.
5.43.ズ2 ― 2 у2 + Зг2 ― 4ズ+ 4ÿ — 6г — 1 = 0.
5.44.ズ2 ― 4//2 + が 一 2ズ+ 12" — 4г ― 3 = 0.
6. Зак. 2026 81

5.45
5.46
5.47
5.48
5.49
5.50
5.51
5.52
5.53
5.54
О.О»)
Г>.5()
5.0 /
5.58
5.59
5.60
5.6!
5.62
5.63
5.64
5Л)5
5.6в
5.68
5.70
5.71
5.73
о./о
ІЙ ІІС
5.76
2 х- + /у- — г2+ Шズー 2 у + 4 2 + 17 = 0.
Зл- + 4у- 一 12.ѵ + b!/ 一 24z + 136 = 0.
6 x - + 3ゲ 一 2z- + 24л- — G// ― 4г + 25 - 0.
2.v2 一 Ъі/ + 12.v + 12// ― 12г — 42 = 0.
л*2 + 2 if + 4z2 — Lv + 4// — 8г+ 10 = 0.
f + 2//2 + 6.v ー 丨 ^ + fe + 49 = 0.
.v- + 2iß — 4г- + 2.v ― 切 一 24г 一 31=0.
3.t2 — Aiß + 6г- 一 18ズ 一 8ÿ + \2z + 29 = 0.
-2л:2 + З//2 + 4 , + Ах + 12/у + 8г + 22 0.
2л-2 + 3//- + 1бл.— 18у — 122 + 47 = 0.
.v- 一 2//- + 6л* + 4у — 82 + 47 = Ü.
4х2 + 9у- 一 32л* + 36{/ + 64 = 0.
2х^ 一 3ゲ 一 12л- — бу + 3 = 0.
Зл 心 + 2z1 + av + 切 一 82 — I = ().
3 if- + 2 z 1 一 U*2 ― 6" + 82 + 12л:― 1 = 0.
1л*- + 9-г- 一 8л* + 18ご 一 23 = 0.
.v- + 2 if + 4.v — Ay + 1 0 = 0.
Ух- 一 4 tf + lKv — IG//+ 29 = 0.
г- ― 2//- ― 2こ 一 Ау ― 8л: + 23 = 0.
г- + 2//- + 22• — 切 一 8.v — 13 = 0.
л 心 + む 一 6" + 22 = 0.
i f + (i// — 4.V+ 17 = 0. 5.67. .v- ― 8.V + 7 = 0.
x2 + бл* + 9 = 0. 5.69. .v- 一 4л: + 5 = 0.
ЗлЯ ― 4//а ― 6г2— \S x — H y — \2z+ 17 = 0.
//- — 2г- + 2у + 4z — 5 = 0. 5.72. 2- + 6 : + 切 一 7 = ()•
2 if + 2- — 4!/ + 2г ― 丨 = 0 . 5.74. л*- + 4л* — З г + 13 = 0.
Доказать, что урпвиепио г = ху определяет птперболиче
раболоил.
Доксчзпті», что уравнение г2 = ху определяет конус.

111. В В Е Д Е Н И Е В А Н А Л И З
6 . Ф У Н К Ц И Я
Понятие функции — одно из основных в современной математике.
Возможность выражения зависимостей между различными
величинами через математические функции является важным
средством при решении теоретических и прикладных задач.
6 .1 . П о н я т и е ф у н к ц и и . О б л а с т ь о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и
П ѵрем сіш пя величина у называется функцией переменной величины л% если
каждому зипченмю .ѵ (которое она может принимать) соответствует единственное
значение //. Переменим я величина л* прн этом называется независимой переменной
или ирг у ментом функции. Обозначения функции: y=j(x)t у^ц(х), у —1' (.х),
у = Ф(.ѵ), у — у (x) и т. п. Функцию и се аргумент можно обозначать и другими
буквами, например и = f(v)t s = (f (/), л: = /(/), г « r (s) и т. д.
Множество всех значении аргумента, при которых функция принимает определенные
действительные значения, называется областью определения этой функции.
.Множество всех значений функции называется оп.іастыо ее значении.
Значенне, которое функция у = Цх) принимает при х = а, обозначается /(а ).
Корнем (илн нулем) функции у = f (.ѵ) нп.чывастся зііпчеинс аргумент.*! .v at
при котором fia ) = 0.
Нел» i/ = /'(«), и = ф(л:)— функции своих аргументов, причем область определения
функции f содержит «)блпсть значении функции ф, то каждому л* из
области опредолс'иня функиии фсоответствует едннстпспное /у, такое, что //=/(w)»
где и = ф(.г). Функция, заданная подобным образом, обозначается у = /(ff(x))
и иа.шиается функцией от функции или с.ю.жной функцией.
3 п м е п ;і н п с. Понятие функции иногда вводится инпче, кпк соответствие
между днумя УНиЖООТВ;ІМИ.
П р и м е р ы .1. Вычислить значение функции f(x ) = х 1 一 2а*3 — л*2 + 2.ѵ лрп
значешііі аргумента, рпнном сродному прнфметичссk(jму сс крік*й.
IIпидем сначпла корни этой функции, т. е. знамения л.,при которых функция
ибрліц:нчтоя в нуль:
х %— 2х3 一 .v2 + 2.ѵ = 0.
Разложив левую часть уравнения на множите.!;!, иолучігм
ѵ3(.ѵ 一 2) — .v (л* — 2) = л (дг — 2) (x2 ―1 ) = .r(.v ― 2) (.v 1}

2. И.чйти об.кість определения функции у = Iog(9 — х).
Логарифм ически я функшіи определена при п«тожительиых значениях аргумента,
поэтому 9 • л- 0, откуда jc2< 9 или |д:| < 3, т. е. —3 < д: < 3. Следоватс.іыи»,
областью оппеделсііня данной функции является интервал (—3, 3).
Оу — I
3. Наити область определения функции у = arccos ニ. ニ .
4
Функция у = arccos и определена прн —-1 ^ w ^ 1 , поэтому данная функция
()іірсдслсііа лишь при тех .ѵ. лля которых
i З.ѵ — 1 «
откуда —4^3д;~ 1^4 или — 1 ^ jc ^ 5/3.
Ііт а к . функция определена иа отрезке [ 一 1 ,5/3].
ции.
задачах
6.1—6.1 G наііти область определения каждой функ-
6.1. /(•ѵ) == r 3 — 7 x 」••6. 6.2. M か
- y x1— Ъх + 4.
6.3. / W - V X^ ~ \ 」 V 16— лЛ 6.4. f(x ) = 1 4 — x1 x 2 一
6.5. f (x) = ln (ズ ー 2). 6.6. f (x) = ln 1x + 3|.
6.7. f ( り = • 6.8. f (x) = 2 + V lg sin x.
=1 傾
6.9. 1 i
2x + 5
f (•か •v — 2 1 лг + З
6.10 /(-v) AT3 — блг + 5.
Ax + B
6.11 . /(.v)
6.12 / (.r) = 1 cosx.
ахг -|- bx + c •
6.13 /(A*) ニ lg COS Л*. 6.14. j / (.v) ] •■=sin .v.
• 4.V— 1
5 — 2x
6.15 / ( ズ): = arcsin-----x-----. 6.16 f (-V) = arccos----- 2-----•
6.17. Доказать’ что функции / (х)—lg (ах2 + Ьх + с) н ср (х)
i
имеют одну и ту же область определения.
I их2 -f- bx -j-
6.1S. Указать, какие из приведенных нилсе функций являются
чстны м іі, нечетными или ис пр инадлеж а т к этіім классам :
1)/(а) = .ѵ* — 5 , + 6;
4) f { x ) ^ . sl}L xJ ± J x} ï nl±
6.19. Дана функция f(x )
Доказать, что i( x ) j( \ / x ) = Л.
6.20. Дана функция f ( а ) :
2) f (x) = x '6 — 7x; 3) f ( x ) = x \ x j;
5) f ( j c ) = lg cos 2x; 6) f (x) = 2X.
2/x. Вычислить /(2 ), /(—2), f(a ).
log;,.v. Вычислить /(1), f ( i/ 3 ) ,/(1/9),
f d S), /(27^3).
6.21. Дана функция f(x ) =3jc+2. Вычислить /(1), /(2 ), •••, f(n ).
Доказать, что полученные числа образуют арифметическую прогрессшо,к
найти сс разность.
6.22. Лапа функция j(x ) = 3х. Доказать, что если числа ズь
л•ニ..... л*„ образуют арифметическую прогрессию с разностью d, то

числа f(x \), /(.V2),..., /(.ѵп) образуют геометрическую прогрессию со
знаменателем 3 人
6.23. Дана функция f (.v) logv3. Даказать, что если числа хІУ
х2, х3, • . образуют геометрическую прогрессию со зиамеиателем
q,то числа 7フ 卜 - ,у ^ у , . • •, y jV y образуют арифметическую
прогрессию. Найти разность этой прогрессии.
v に1
6.24. Дана функция / (.ѵ) = ~ р . Локаза 丁 ь, что
i) /( - /(•V); 2) 4 -/(
6.25. Функция / (х) = л(х) равна числу простых чисел среди натуральных
от 1 до л*. Наііти /(10), /(20), /(5 0 ),/(100), /(150),
/(200),/(250) J (3 0 0 )J (3 5 0 ).
6 .2 . Г р а ф и к ф у н к ц и и
厂 рификом функции // = f(x) называется м ножество точек плоскости, ко о р ­
динаты которы х удовлетворяю т дли по и ф уи кцнпналы ю н зависимости, т. с. множество
точек M (x, f (.v)).
Г рафики суммы, ра.іиости, произведения и частного функций: /(.ѵ) —fi (дг)4-
+ /2 (ズ),ф(л*)= /і(.ѵ)~ /2(Д-), І:(х)^ Іі(х)І2(х), Ф(.ѵ)= f\{x)/l2(x) (І2 (х)ф 0)
получаются из графиков функций / / і Һ(х) и //- ^ /г(.ѵ) соотнетствешю путем
нх сложения, пычлтаиия, умножения и деления.
__ з ,»—
Примеры.1. Построить график у ==| х на о 丁 резке [—8,8].
Данная функция определена при всех зн;іченпн.\ .ѵ. Придавая х значения нз
указанного отрезка, составляем таблицу зппченпй аргумента и функции
(табл. 6.1).
Таблица 6.1.
X 一 8
27
一 8 一 -
1
1
了 0
~ r
1
27
8
У
一 2
3
~2
― I
一 了
1
0 」 一
*
3
~ r
2
I 07
Построив точки Afj ( — S. 一 2), ;Ѵ/2| 一 ― ― ,
Л/5(0, 0). М6 / J ~ . - i-Ь М7(1,1).Л/g ( 冬 I ,Af0(8, 2) и соеди
нив их плавной линией, получим іра фик фу ики ни // \ х (рис. 6. 1).
2. Построить график функции у = sec і .
1
Функция у = sec x =z gQs .. определена при всех значениях х, за нсключел
2^+ 1
ннеи тех. для которых cosx = 0, 丁 . с. х = ----^----л (k : 0, 丄 1, 土 2, . •
Даин.чя функция четная, псриодичсская с периодом 2л. Построим се грпфик
в интервале (—л/2, л/2). Прн jc = 0 cosO = 1 , sec 0 = 1; получаем точку Лі (0,1)
графика. Если х увеличивается, то у также увсличинастся. ГІрн х = л/3 получнм
У = 2 Когда л- стремится к л/2, у неограниченно во.чрлстаст. Аналогично »ізменяется
!/ при отрицательных значениях х в указанном промежутке (функция четная.
поэтому график симметричен относительно оси О//). В имісрнало (л/2. Зл 2)
функция принимает отрішлгслыіые значения, ирмчем //(л) = ― I; у ноограин-
85

ченно возрастает по абсолютной величине, когда х стремится к л/2 (оставаясь
больше этого значения) или к Зя/2 (оставаясь меньше его). Принимая во внимание
соображения симметрии и периодичности, строим график данной функции
для других интервалов (рис. 6.2).
3. Построить график функции f( x ) = ズ + \/х.
Данную функцию можно представить в виде f(x) = / і ( ^ ) + / г (^ ), где fi (x) = х у
f 2 ( x ) = 1/х. П ервая из этих функций определена при всех х, ее графиком является
биссектриса первого и третьего координатных углов. Вторая функция не
определена лишь в одной точке х = 0, ее графиком является равносторонняя
гипербола, асимптотами которой служат координатные оси.
График данной функции получается путем сложения графиков функций
fl(x ) = X, І2 (x )==1/х (рис. 6.3).
4. Построить трафик функции f(x ) = — x cos х.
График этой функции получается путем умножения графиков функций
fi(x ) = — x, fz (x) = cos x. Поскольку ― 1 ^ cos x く1,то график функции f(x ) =
= — x cos x полностью расположен между прямыми у = — х и у — ху причем на
прямой у = — x лежат те его точки, для которых cos х =1,а на прямой у = х —
те точки, для которых cos л:= — 1 (рис. 6.4).
5. Построить график функции f(x ) = lg sin x.
Функция эта определена при х, для которых sin х >> 0, т. е. в интервалах
(2/^я, (2k + 1)я), где k = 0, 土 1,±2,...
Построим график данной функции в интервале (0, л ). При х = sin ―
л
= 1 ,lg sin___ _ = 0; получили точку М (д/2, 0). Когда ズ-> + 0,/(х)-н— оо;когда
86

x - ^ k — 0, f(x )-^— oo. Принимая во внимание периодичность функции, строим
ее график в других интервалах области определения (рис. 6.5).
В задачах 6.26—6.37 построить по точкам график функции.
6.26. y = f . 6.27. У = 1/х2.
6.28. у = 1/х3.
6.29. У = 6.30. У = ХЬ. 丨 i* 6.31. у = хе.
6.32. y = Y x + 1. 6.33. У= |/^ x — 2 ― 3.
6.34. у = 5— У х + 1 . 6.35. У. = 1 /( x 2 -Һ4•ド
8.36. у = х /(х 2+ 1). 6.37. У = х2/ ( х 2 + 1).
О
п
2
П
В задачах 6.38—6.49 построить график функции (с помощью
сложения, вычитания, умножения и деления).
6.38. f(x ) = x + cos x. 6.39. f(x ) = x tg x.
6.40. f(x ) = sin x + cos x.
6.42. f(x ) = cos x — x.
6.44. f(x ) = x lg ぶ.
8.46. f(x ) = cos x lg x.
6.48. f (x) : sinx
X
6.41. f(x ) = x — l/x.
6.43. f(x ) = sin ズ 一 cos x.
6.45. f(x ) = — x sin x.
6.47. f(x ) = cosec x.
6.49. f( x ) cosx
X
В задачах 6.50― 6.53 построить график функции (с помощью
простейших преобразований).
6.50.1) у = sin x 3; 2) у — cos х — 3; 3) у = lg л: -f 1.
6.51.1) у = cos Зх; 2) у = sin (х/2); 3) у = \g 2х.
6.52.1)у = sin/л:-----2) у = cos 3) у = lg(x — 4).
6.53.1)у = 3 sin 2х; 2) у = —2 собЗа:; 3) "= 4 c o s (2 x + 2 ).
В задачах 6.54—6.65 построить график функции.
6.54. у = \g cos x. 6.55. у = sin2 x. 6.56. у =]/"cos jc.
6.57. ÿ = I sin л: |. 6.58. y = cos | x |. 6.59. " = |tgx|.
6.60. y = Jsec x |. 6.61. y = cosec | x\. 6.62. y = | cosec | x ||.
6.63. y = \ x2 — 3x + 2 j. 6.64. \y \ — sin x. 6.65. I ズI + 1VI = 1 .
87.

7 . 门 РЕДЕЛ
При решении разного рода задач широко используются попятил
предела функции и предела последовательности.
7.1. Предел последовательности
Ч и с л о в о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю (или п о с л е О о в а т е л ь н о е т ы о ) называется
функция
ап =®ф(я), п — 1,2, 3 ,…,
заданная на множество натуральных чисел. Каждое іііачешіе п = 1 ,2 , 3,
называется э л е м е н т о м пос.іеОовате.іьности, n число п — его номером. Для последовательности
с обишм членом а п употребляются следующие обозпачония: ап,
л *=1,2, 3,• • • ; (ûn ) i .
Постоянная а называется пределом последовательности (ап), если для любого
числа е > 0 суіцсствуст такой номер Л,, что при всех п >► N выполняется
неравенство
\оп — аI < е.
Рнс. 7.1
Обозначение предела последовательности (ап): lim а п = а ; а п а при
П -► 00:
Ес.іи последовательности (а „) и ( b n ) имеют пределы, то пределы их суммы,
разности, произведения и частного существуют іі определяются пи формулам:
lirn (ап + Ьп) = 1іш ûn + Iirn bnt (7.1)
lim (a n — b n) = lim a n — lim b n ,
л~>«0 П-Р-、
lim ( a n b n ) = lim a n •lim b n ,
П - f v. П -*- ' f l- > -
(7.2)
(7.3)
lim un
lim I
л—-* тг 广 -l
n—*
だmH .
(7.4)
u p н м e p ы .1 . Дана последовательность a n - J - j - \ / n . изооразнть несколько
первых ее членов на числовой прямой. Доказать, что lim (2 + 1/«) = 2. Каfi
—-、
кнм до.іжич быть Л\ чтоб ы значения и „ ( п > Л ) отличлліюь от 2 меньше, чгм
ип e: «i = 0,1;е2 = 0,01
Придавая п значения 1.2, 3, ••. •10. получаем:
öj = 2 -р — — 3, Ü2 = 2 = 2 , О3 = 2 — , «4 = 2 •
ßj == 2 ―=~ * Oq== 2 ==' 2 —ÿ— , == 2 ~— • Qÿ 2 2,1.
Изобразив эти члены на числовой прямі)й (рис. 7.1 ), видим, что ікч* соответствующие
тички принадлежат мк> [2. 3J. Чем больше п, том точка а,, к точке
а = 2. Задав ско.іь угодно міі.юе число г > ()• можж» ука ^ать такой номер Л',
что длн ассх п > .、• ючки і і п будут прнпадлі»ж:!ть е-окрсст»іогтн точкн 2, т. ѵ .
будут лежать в открытом промежутке (2 — р.. 2 + р).
ЬЬ

Аналитическое доказательство того, что данная последовательность имеет
предел, равный двум, состоит в следующем.
Рассмотрим разность
йп— а- (2 Мп) — 2 = 1/л.
Задав произвольное f > 0, можно указать такие целое число jV, что для
ne-ex л 〉 Л выполняется неравенство | І/л | Ме. В качестве N можно
» »ять одно из диу.х последовательных целых чисел, между которыми заключено
чнсло 1/е (нли само это число, если оно целое), в частности можно положить
N = £(1/е). где £(.ѵ)— целая часть от х.
= 丨 00.
Если 8 ! = 0 , 1• то ^ і — Е( о 上 厂 ) ^ 川 ; если е2 = 0.01• то h、= E ( q q!) =
2. Найти предел цослсдоителыюсти, обшин член которой
6 п 一 1
°п== 2п + 3 •
Разделим числитель п знаменатель дроби на п . Перейдя к пределу по формулам
(7.1)—(7.4), получим
lim а п — І і п і — ----- !—= lirn ― -----^т— = -------- ^ = ―^- ~ 3.
2 n + 1 л—• 2 + 3 / n 2 十 0 2
Замечание. Здесь принято во внимание, что lim — = 0 (с = const)
n—CC fl
и предел постоянной равен самой постоянной.
3. I ІаАтн предел последовательности с общим членом
3/2 + 2
° п = — 1 •
Разделив числитель п зиаменатель на п2 н перейдя к пределу, получим
"ш 3" + 2 _ |jm 3/п • 二 2/п2 _ 0 4- 0___, 0 ,q
п-ѵ 5я* + 4п — I л . 、 5 + 4 /л — I/«2 5 + 0 — 0 5 •
4. Нлити предел ішследователыюстн с общим членом
_____2« + 7 —
ÜJl ―I 9п2 — 6/2 + 5 •
Разделим числптсль и знаменатель дроби на п、внесем \/п под знак квадратного
корня, преобразуем подкоренное выражение:
+ (2„ + 7) 2 + 4
ûn — І------------------------- = — , ~ғ=----- •
― 厂 9が ー бл+ 5
Перейдя к пределу, получнм
lirn ап =
lim
В задачах 7.1—7.6 записать первые пять членов последовательности,
заданной выражением для общего члена.
89

j_ 1 л II - I--- I \ ^
7 .1 . (іп — ------- - 7.2. cin ~ ~ — • / .3. a n
n 11 n • ............n (2//~ 1)(2/1+ 1)
7.4. an ^ — r. 7 . 5 . 2A.—( 一 1Л 7.6. q — 一 1)し *•
71 (2/i— ПЗ'1" 1 4 П
7.7. Нйіітіі формулу для общего чл^іш пос л слов а тел ы і остн,
у к о т о р о й члены с четными номерами равпы пулю, а члены с почетными
номерами равны единице.
7.8. Іһійтп общий член послсѵюватолі»ностіі, состпв.іеіиіий нз положительных
корноіі уравнения tg .tv = 1 .
В задачах 7.9—7.14 определить,какие нз посчі одоп п тол ы і ос тс іі :
ограничены сверху; ограничены сішзу; ограничены.
7.9. Qn =
S
*—i-й
4
:.
-
7.10. cin
道 〜 4
—r—t
+
•
丨 …
7.1!. r
- “ / л
---------
7.12. on = /z :3. 7.13. a„ = ( l + 、f • 7.14. a n --
В задачах 7.15— 7.22 определить, какие из указанных п ос лед о-
ватсчіыіостоіі являются возрастающими, убывпіоіцпмп, а какие из
НИХ НС я в л я ю т с я м о н о т о н н ы м и .
7.1 о. а = — 一 , .
п л+1
7.16. ап
п
7.18. an = lg ( 1 . /і). 7.19. ип
7 .2 1 .ап = п2 — оп 4. 7.22. а,.
( 一 1), , 7 ,-7 Л
7.17. ип
п1 • rt + 3.
2 \ 7.20. а Т1 - 3 -п.
: sin ( I / " 2).
7.23. Может ли быть ограниченной последовательностью:
1 ) сумма двух неограниченных 11 осл ело із а то л ь 11 остей ;
2) произведение двух неограниченных последов а тел ы юстей ;
•3) произволение ограниченной н неограниченной иослсдоиі-
ТС.ІЫІОСТСП;
4) частное двух неограниченных пос.іедонптслыюстсіі
7 .2 4 . Л \ о ж с т л и быт»» п с о г р а іш ч с іш о іі п о е л с л о в а т с л ! >н ос т ь ю :
1 ) произволение ограниченной н неограниченной последоватсльмостей;
2) частное лвух ограниченных последовательностей
7.25. Может ли пыть монотонной п ос л с дов а тел ы і ост ііЮ :
1 ) сум ма двух пемоиотоииых последовательностей;
2) произведение двух немонотонных последовательностей
7.26. Можот ли быть сходящейся последовательностью:
1 ) сум ма (разность) лвух расходящихся последов :і тол ь 11 осте й ;
2) произведешю двух расходящихся поел с л on п то/і ь 11 осте\\
В задачах 7.27— 7.3Ô изобразить последопп к .іьности im коорлинатиоіі
оси; установить, какие из них имеют предел (сходятся)
и кпкио но имеют (расходятся). Мліітн пре.амы сходяишхся иоследг)патслыюстей.
90
7 . 2 7 . 1 ) (ïn = ; 2) bn = ----- レ ’ 3) с п ( み1) _•
7.28. I) ап = 2) Ьп = -----3) сп ,ド
7.29.1)аа = п; 2) Ьп = — п; 3) сп = ( — 1)""•
(— 1Г

4/1 —
. 3 0 . 1 ) а,. n 2) , b„ »• on ^ 3 ) c„ n .
В з а д а ч а х 7 .3 1 , 7 .3 2 в ы я с н и т ь , н а ч и н а я с к а к о г о н о м е р а в с е
ч л е н ы п о с л е д о в а т е л ь н о с т и {аи} н а х о д и т с я в у к а з а н н о й е - о к р е с т -
ІІО С Т ІІ т о ч к и О.
7 .3 1 .а п = — 1/л, £ і = 0 , 1 , ғ :і = 0,01,ез = 0 ,0 0 1 ,е > 0.
7.32. а п = l/,î2, f i =0,01,б2 = 0,0001,е 〉 0.
7 .3 3 . С к о л ь к о ч л е н о в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , о п р е д е л я е м о й ф о р м у ­
л о й ап= ( — 1 > 7I/ / î , н а х о д и т с я в н е е - о к р с с т н о с т и т о ч к и О:
1)е = 0,1:2) е = 1 /(5 |, 幻 ;3) 8 = я/1 '82;4) е = ] 2/100
7 .3 4 . С к о л ь к о ч л е н о в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , о п р е д е л я е м о й ф о р ­
м у л о й а ” = ( — 1)"/が , н а х о д и т с я в и с е - о к р е с т и о с т и т о ч к и О :
•1)е =1/18; 2) ғ = 1 /6 3 0 ; 3) е =1/1025
В з а д а ч а х 7 .3 5 — 7 .3 8 д о к а з а т ь р а в е н с т в о , и с п о л ь з о в а в о п р е д е л е ­
н и е п р е д е л а .
3// + 2 3 一 Л 2п
7.35. lim 7 .3 6 .Ііш 5/1— 3 5
3/7-
7.37. lim 0. 7.38. Ііш З - 0.
В з а д а ч а х 7 . 3 9 — 7 .5 0 с н о м о щ ы о т е о р е м о п р е д е л е с у м м ы , р а з -
ііо с т и , п р о іі.з в е д е іш я н ч а с т н о г о д в у х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й в ы ч и с ­
л и т ь п р е д е л п о с л е д о в а т е л ь н о с т и .
7.39. а
7 .4 1 -а п =
7.43. ап =--
7

7.58. а
7.59. ап =
7.2. Предел функции
Постоянная b называется п р е д е л о м ф у н к ц и и у = /(л) при х - * - а (или н точке
«), еслн для любого чпсла 8 > 0 существует такое чнсло ô > Ü, что прн
всех x , удовлетворяющих условию
О< |.ѵ — а| < ô,
выполняется неравенство
Обозначения предела функции Ц х ) прн x -> a lim f ( x ) = b ; /(дг) —b при x - a .
x~*-a
Рассматривают таюке о д н о с т о р о н н и е п р е д е л ы ф у н к ц и и : предел слева lim Ц х ) =
Х~*0—о
= Ь х ( х стремится к и , оставаясь меньше а ) предел справа lim /(дг) = b z ( х стре-
•и—д+О
мится к а , оставаясь больше и ) . Если односторонние пределы равны, т. е.
lim / (х)= lim / ( х ) = Ь , то предел функшш / (.ѵ) в точке а существует и равен
дс—fl —Ü дг~»0+0
b : lim / (дг) = Ь . Если односторонние пределы функции различны или хотя бы
х~*-а
одни из них ие существует, то пе существует и предел функции в соответствуюшеи
точке.
Le л и г 一 постоянная величина, то
lim с = с.
(7.5)
х-*-а
Если функции Ц х ) и ір(лг) имеют пределы прл .ѵ и , то:
Пт (/ (а) 土 ф ( x ) ) — \ \ m j ( x ) 土 Іішф ( x ) ,
(7.6)
lim (/ ( x ) fp (ズ) ) = lim / (.t)•l^n cp ( x ) •
x~*a дг—*>fl x-*a
Wmf ( x )
Jim J J J - —-illH-----(lim cr (ぶ) 千 0).
дг-Û (f (x) І1П1 Ф (Л.) л->а
Из формулы (7.7) следует, что:
lirn (с/ (х)) = с lim Ц х ) ( с = const),
дг-wi
х~*-а
lim (/ ( x ) ) m ^ ( \ i r n f ( x ) ) m t
х-*а
х-^а
lim х т =
X-fQ
где m 一 натуральное число.
Если 7 Пш /(д:) существует, то
(7.7)
(7 .8 )
(7.9)
(7 .JO)
(7.11)
(7 .1 2 )
;ря х , стремя­
lim i /(.v) } lirn f (л).
х -* а
дг—》"fl
Примеры.1. トһйтк л редел целой рационально»! функции
щемся к данной постоянной величине.
92

Рассмотрим целую рациональную функцию, т. е. многочлен степени п
Рп (х) = 、 + Ьіх + Ь2х г + •. • + ЬпХп.
Если а--> а, то в соответствии с формулами (7.5), (7.6), (7.9) и (7.11) получаем
lim P ri(x) lim (ö0 + bxx + b2x2 + … + bnxn) =
x-^a
x-*a
= lim b0 + lim bt x + lim b2x2 + • • • + lim bnxn =
x - a x ^a x-*a x-*a
= lim b0 + bx lim x + b.2 lim x* + … 、 lim x " =
x-*a x—a x-*a x-*a
= b0 -\-biQ 十 b.,o2 bnan Pn (a).
Следовательно, lim P n (x) = P n («)• т. e* предел многочлена равен значению его
в предельной точке. Например.
lim (х ^ — Зх3 + 4а2 — о х + 2) З4 — З-З3 + 4.32 — 5.3 + 2 = 23.
2. Майтн предел дробной рпцнональнон фѵ и к ции при .ѵ, стремящемся к данной
постоянной величине.
Рассмотрим дробную рациональную функцию, т. е. отношение двух многочленов
п (х) _ Рп M 一 Ь0 + Ьхх + Ь,х2 + Ьпхг1
Qm W + сі х —• W 2 + ••• 十 ^ т хЩ
Пслн jt-v û и Q», («) Ф 0, то в соответствии с формулой (7.8) и результатов
предыдущего примера находим
lim Рп (дг) 、
lim / ( . t ) - fl — 71{а) •
iim Qm (x) Qm (a)
x—a
Напрнмср,
д.3 _ 4X2 + 3jc + 18 23 ー 4.22 + 3 . 2 + 1Ô
lim â8.
x^2 x^ + 5 x — 12 22 + 5.2— 12 i
Замечания.1 .В случае, когда Pn(a) ; 0, (т (л)—0, получаем lim /(.ѵ)=
2. В случае, когда Рп(а) = 0, Qm(w) = 0, получаем неопределенность вида
которую нужно раскрыть, т. е. исследовать дополнительно изменение R
( x ) при
3. Найтн lim . ^ + 2дс>~ : ѵ. ~ 2 ..
Поскольку lirn (д:2 — Зл: + 2) = 0 , lim (x3 + 2.v2 一 x — 2) ~ 0, то имеем не-
ДГ4І x—1
определенность вида —=_• Раскроем эту неопределенность. Разлагая на множители
числитель и знаменатель, находим:
л3 + 2х- - 2 = (jc — 1)(jc2 + Зх + 2),
.х= - 3jc + 2 = (x — 1)(х — 2).
Подставляя эти выражения н исходную дробь, сокрашая на множитель (.г 一 1>
и переходя к пределу при .ѵ 1,получаем
Р + 2パ 一 дг — 2 = lîm (.v — l ) ( : + 3.v + 2> =
( v — I) (х — 2)
9 3

Замечание. Чтобы раскрыть неопределенность ьила 一 。 一 . заданную отнош<
HHi-м двух многочленов, необходимо предварительно вылыііть крнтичсскии
міи*жіпсѵіь (т. с. множнтс.іь, равный нулю прн предельном значенни .ѵ). с"кратить
нгі иего. а зптсм перейти к предел〉..
4. Найтн lim ----- -----^~ズ -----•
4 i 'i
Клігユa x—4、числитель и знаменатель лроби стремятся к нулю, получается неопределенность
вида — . Желая избавиться от иррациональности и знаменателе,
преобрлз> к.-\\ данное выражение:
16— ' I (16 — лгН|Г. л 3)
I о - - x — 3 (4 む )(1 5 + л -“ 3> , _ (л. ^ . | ) ( | 5 l ^ + 3 ) .
Перейдя к пределу с учетом формулы (7.12), найдем
Іігп '■ _—-----------ね — 1im (л. 十 4) ( 鼻 п x 3) = — 8 • fi ― — 48•
дг,4
R (x) = ________ £ î ii^ .____________________• = - Ь 1 Ь^х 7' Ь^х1 + 十 ••• bnx^_ 丁 作 ス ”, (6n
Qm (•り (k 十 十 ,《«+ СӀт Хт
Преобразуем это нурлжент»:
хГІ ( 」 ~ 丄 ~ 丄 ^ ― 丄 h
5. Наити предел дробшлі рпционалык^и функции прп стрсмяпи д*. мся к бсс-
конечности.
Рассѵпірим лрпбиую рпциі)нальную функцию
ат —0).
где
[ Х т ^ « ― I ビ 72—.
QW
I І^»;ОМЫИ Hpt-ді.
_ а1_ + _ ^
Ѵ ^ 1 , ー:
Р'»ьсіі прон.иииснню двух пределов:
lim R (.v)
iim xn^ rn lim Q (x).
(1)
Так как lim -----
Л— x дг*»*
Далее
94
0 (Ar = 1 .2 . 3, •••), то
liin Q (.v) = Ьл jciffi.
i , если n > m,
Iim .vn—m : 1 • еслн n — m %
П. если n

П о формуле (1 ). принимая н " вііим и іш е формулы (2) іі (3 ). получаем
iim R ( x )
、 , если ,1 > /7し
b n l ü m , еслн л = m,
О, если п く т .
3 :і м о ч j и и е. Полученный результат можно сформулировать следующим
обр:і
ユр«»б…,й рациональной функции при л. — оо р.шен отношению
коэффициентов при старших ч.и*тіх. если стст ни числители и »иамги :п тя г динлкивы.
и равсмі нулю и.ш бес коік-ч ности, еіми стснеш» числиті.ія со< ічѵ т тве нно
меньше ііліі больше степени знлменлтеля.
В задачах 7.60—7.89 найти прелюд функции в указанной точке.
7 .б / lim (,ѵ3 — З.ѵ2 4.ѵ 5). \^ в і. lim (.v1 4.v2 5.v — 7).
X-rl
Г7 I • ^ — 2ズ2 — 6.V + 3
^ 6 2 . lim —

«ЛП
7.3. Н е ко т о р ы е в а ж н ы е п р е д е л ы
Широко используются лил замечательных предела.
] . Если угол а пыражен в ралн/шлх, то
2. Ч и с л о м е называется предел
,( 丨 + 好
Ііш 上 1. (7.13)
ос -0 а
lim (I + а)1/а = е . (7.14)
а-*-0
При нахождении многих пределов применяются также другие важные
пределы:
f.lo g « ( 1 + ズ) し
lim--------------Iogwe , (7.15)
ズ- o л
lim く — 】- = ln а, (7.16)
дг—vO X
Ііш --( 丨 七 f ニ 1 一 = а . (7.17)
Частными случаями формѵл (7.15) и (7.16) являются соответственно формулы:
П р и м е р ы .1. Н«ійтіі lim -ÎS_^L.
ズ •() x
Поскольку tg b x=
іііб 1п( 、+ 4 . = 1, (7.18)
lirn _£Іニ J L = 1 . (7.19)
ズ 兮 o x
_ и Hm cos bx = cos 0 = 1 , то
cos bx x-^ 0
Lm。 年 = ^ ^ =
= lim -----!---- b lim ----------- — ЬЛЛ = b.
AT-vO cos bx JC-O bx
2. Н а й т н lim дг-^О tg bx
Разделив числитель и знаменатель дроби на х и приняв во внимание результат
предыдущего примерп, по.пчнм
lim
W m J ^ L
x ~ = lim ~ г—г-—* = —---- 1 г
t g b x x-*o は 厶 x )im t g j を b
X дг— о X
3. Найти lim (1— b / x ) x .
X-> V
Так как ( I — b / x )-*-1 при л• 一 оо, имеем неоп ределенность вида 1°°. Чтобы
раскрыть ее (т. е. выясниіь изменение данной функции при .ѵ сю), введем новую
переменную по формуле — Ы х = а, откуда х = 一 fe/a; a 今 0, когда дг— оо.
96

Следовательно,
lim (1 ~ b / x ) r = lim (1 + a) - i/0 = Ііш ((1 + a )I/a] - * .
дг
oir-^0
Воспользовавшись свойством (7.10), по формуле (7.14) получим
Iim (! — 6/а:) г = 1іш [(I + a ) ,/a ] - * = [lirn (I + a ) " a | ~ * =
Итак,
Ііш ( 1 — 6/дг)х --=е_ ь .
В частности, при b — 2 получаем lim (1 — 2 / х ) х = е ~ 2 \ при ô = — 3 нмеек
!im(i + 3 / х ) х = е 3 .
х-^ой
I 1 -f- 2 и —
Найти lim ---------------
Преобразуя дашгую функцию, вводя новую переменную х = 2 у и применяя
формулу (7.17), находим
T + T y - J _ _ 1;„ 0 0 + 2 у ) ^ - 1 _ „ 1:„ (1 -М )1^ - .
Ііш 2
~ 2 lim -------- з-------- •
„ - 2 У
Іп(1 +3ÿ)
Найти Ііпі
ПреоГ/рлзуя эту функцию, вводя новую
мулѵ (7.18), полѵчяем
• U m =
ѵ-о У у -о 0 У
е ^ 2 — 1
6. Найти lim -------г,------•
переменную х = З у и применяя фор-
Зііш ■… い + ズ) =3-1=3.
После:соответствующих преобразований по формуле (7.19) находим
1ІП1 _ £ ^ = 丨 如 」 ^ L = 士 1іт 今 上 = 4 _ • 丨 =
ç/—0 У у~*-0 ムЮ ム ム jc-vO х 1• ム
В задачах 7.90—7.131 пайти предел функцші.
7 .% . l i m ( l + Ъ /х )х. 、し 7.91. lim ( 1 — 2 /л :) '
7.92. l i m ( l + 2 Л :) 1ハ
X -
7.94. Ит
7.96. lim .v 2 sin
7 . 9 \ У ііт sin- ^ ÿ l2- l . 一
r-0 和
7.100. lim ---------- n. j —
7 撒 lim
7.93. lim ( l— 3ズ)リズ
ノ x—О
7Ѵ й 手 . .
7.97. S Л
7.99. lim sinx
x—о \ x + \6 — 4
7.101. lim — i -
х-2 x3 - 8
7.103. lim
7. З а к . 2026
97

7.104. lim
дг-*0
7.106, lim
7J08. lim
X —^ \
7.110. lim
sin (x /5 ) \^ + 2
3.v •
4x + 5
2лг — 1
I x T T
'sin Zx \ x-2
7Л05- l i 叫
7.107. lim
Д• 一 .О
7,109. Нш,
л—*" v
7J11 . lim
X } '
5д: + 3 '、 父
2к ― I } .
Зг-Ь 8 U
Зд;+ 2 7 -
4л:― 3 \x-ß
4 х + Ь
7.112.
b 'r r i^ l- f 4x.
7 * Ш .
М%'\пг Чл
lim (cos 4x)
7 J I4 .
Нш-
b g 2 { l + 5 夕 )
7 .M 5 .
[im-
bg3(t
1. .116.
lim
23^-
7.117.
]im
_ 2 y
糾 2— i
7. .118.
7Л20.
7.122.
7,124.
7.126.
7 А 28.
,im A
у ! + 4 Г
( l t i L
l i m i - 1 .
“ о я
^
І
Ж
X
и
л
7.130. lim
Ш
l n { ^ — 3a: + 3)
x 一 І
4.v — 2ズ
«
n 1 1 + sin Л:— :
дг^О sin X
sin Ix — sin 2x
7.119.
7 Л 2 Ь
7.123.
7.125.
lim
7.127-
7 Л 29,
7 .ІЗ І.
lim ,
レ о
у '1 — 2t
4І
Um i л— ъ.т-
/—о (】ー 汾 )
2t
Uni ^ --------•
У —1
lim ■!ず ニ -
л r_2 ズ+ 2
Jがー f
ПШ--------------,
jr-^-0 x
1 - 】+ sin Jf
Iim t , . . ■
х^.з 1 + sin 4x
,5>
COS X
cos 4x •
7.4. Разные прим еры нахож дения пределов
При нахождении пределов могут встретиться неопределенности вида оо 一 оо
и О-оо- Каждый из этих случаев путем преобразования данной функции можно
npjjBeciw к неолределеиностн вида
0
илн - ^ 5 Покажем на прилтб'рах, как насс
ходятся такие пределы.
П рим еры ,1 . Найти îim ( | ^ -j^8x + 9 ^ л:).
98
Умножив и разделив данную функцию на Ÿ
V л2 + 知 十 9 一 x
(パ + 8ズ+ 9)
Ң- Ôx -Һ 9 + х ’ получим
■ ( / ^ + S x + 9 - -v) (V ^ + 8а:Ч-9 + jc)
) Р + む + 9 + .
л2 Sx -Ь 9
1 x 2 十 8л: 十 9 + x パ + Sx + 9 十 лг

Переходя к (тре дел у, находим
I im (1 ,л2 +
д: 一 〜
+ 9 一 х) = ïitn
»
_ 一 8 + 9/х
Y \ + S J x - ^ 9 /x ^ + \
S x - h 9
パ + 8ズ + 9 + дг
2, Найти lim x ctg 2 к ,
дг-^О
Здесь имеем неопределенность вида
гом виде и перейдем к пределу:
lim x cos 2х lim
х - у О sin 2 х х ^ о sin 2 х
2 х
— i i t n .............
lim cos 2 x :
2 sin 2л: x—0
В з а д а ч а х 7 .1 3 2 — 7 .1 7 1 н а й т и п р е д е л .
7.132. lim { V xs + ІОх—9 — x).
7.133. lim ( У 4x2 + 8д: — 7 — V + 4x).
7Л34. lim (x— 'l , x2 + 6x + 3 ).
Запишем данную функцию в дру^
сд$ 2а: = lim lim cos 2х ■
х ~ * о sin 2 х X〜
7*135. Um { Ѵ ^ Т П х 一 ! / 9P +
7.136. Hm f - ^ y
x— i 、ズ 十 1
7.138, limゴ ’
x 一 5 x2, 一 25
7 Л 4 0 * H m
$Іп2 4x
7.142, iim (3 — x) \g - r - x.
4 sin22x
7Л44. lim — ] tg 2ズ.
18x — 5).
7パ3 7 .lim
7.139.
lim д:-^6
(тѣ
12
л- — 36
7.14b limxctg 令 .
JC—0 0
7J43. lim —arctgf
7.145, \ \ m ( x ~ \ ) i g ^ .
x+2)
1 \
7.146,lim (i, x3 + 3ズ2 — К ズ2 ― 2х ).
ズ^> +
7.147. lim (y x3 ~r + 1 ― V ズ3― л2 + 1)
7.Н8. lim fx + v 1― x 3)
Х'ш^ 十 оо
7.149
lim“ /(x 丄 l)2— f (X— り*).
•
7. Î50. lim
7.152. lim
7.154. lim
l sm x
emx — 1
n x
ïn X — :
X -
tg x
7.151,
7.153.
7.155.
lim
l i m 叫 丨 +_—
0 nx
U m
- COSX
~72 ■‘
99

7.156.
7.158.
7 .1 6 0 .
7 .1 6 2 .
7 .1 6 4 .
lim
lim
jc—о
l i m
l i m
x-^0
lim
дг-»1
ln COS X
(1 + / u r ) a — 1
mx
64 —- x *
3 广 ー
/ x 一 2 •
1 1 + ズー 1 1
X
V 7 一 1
3 一
) x- 一 1
7 .1 5 7 . lim
x^Q
7 .1 5 9 . lim
7 .1 6 1 . lim
7 .1 6 3 .
7 .1 6 5 .
l i m
x-^Q
パ
…
ズ*
Q - k x ) a -
nx
x + 2
I + ぶ•
x
ズ ー 27
l i m 3
jf-27 V X — 3
7 . 1 6 Ө .
l i m
x-^8
\ 1-f- x — 3
3 /•—
2一 к ズ
7 .1 6 7 . lim
l + x 2 —
7 .1 6 8 .
lim
パ ー
3 ^ + 2
7 .1 6 9 .
l i m x2 一 4ズ+ 3
7 .1 7 0 .
l i m ( 7 :
2л:2
xa-
7 .1 7 1 .
l i m
x-^%
COSX — ^ COSJC
sin2 X
/.5. Бесконечно малая функция
Функция a = a(.r) называется б е с к о н е ч н о м а л о й п р и
в точке а равен пулю:
lim a い )= 0 .
а % если ее предел
Аналогично определяется бесконечно малая функция при д: -► оо.
Две бесконечно малые функции a = a(;c), ß = ß(x) при х - ^ а называются
б е с к о н е ч н о м а л ы м и о д н о г о п о р я д к а , если их отношение имеет предел, отличный
от нѵля:
lim = ,
х-^а Р (ズ)
h 0).
Если с = 0, то а ( х ) называется б е с к о н е ч н о м а л о й в ы с ш е г о п о р я д к а по сравнению
с (і(.г). Если а(.ѵ) и ß r* (jc) 一 бесконечно малые одного порядка, то a(jc)
называется б е с к о н е ч н о м а л о й п - г о п о р я д к а п о с р а в н е н и ю с ß (х ).
Если с = J, т. е.
lim = 1 ,
р (ぶ)
то бесконечно малые функции а(.ѵ) и ß(.r) называются р а в н о с и л ь н ы м и илн ж н и -
в а .іе н т н ы м и . Эквивалентность бесконечно малых обозначается символом 〜 :
a (jc ) 〜 ß(.v).
Для того чтобы дое бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо
и достаточно, чтобы разность этих функций была бесконечно малой би.. е
высокого порядка по сравнению с каждой из них.
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых фуякилй к ж-
дую из них (пли только одну) можно заменить другой бесконечно ма.юЛ, tfl
эквивалентной: если ct(.t)〜 си(дг), р (ぶ)〜 ßi(jr)» то
100
生
]

Примеры.1 .Доказать, что функция и(.ѵ) = 3ズ2バ 1 ー ズ)
Ü являются бесконечно малыми одного порядка.
Найдем предел отношения двух данных функций:
н Р(ズ)*=.г2 при
І і ш — : x2 = lirn — —j —----- 厂 = 3 lim ― 一 î— = 3,
дг—О 1 一 x x - ^ o 一 ズ) х ^ о 1 一 x
Поскольку полученный предел отличен от нуля, то данные функнлп являются
бескгисчно малыми одного порядка.
2. Доказать, что порядок функции а (лг) = х к Ц 2 + д:2) выше, чем порядок
функиии р(х) = л3 при дс -► 0.
Так как
lim ----- —----- : x3 = lim _ ― ----------- = lim --------- = 0,
ズーо 2 + х2 х-,0 x 3 (2 - f .v*) х-о 2 + д:а
то функция (Ц ѵ) = .ѵ4/(2 4- ^2) есть бесконечно малая высшего порядка по сравыеиню
с функцией Р(дг) = д:3.
3. Найти lim sJ n
ズ-5 л2 ― бд: + 5
Прн x - ^ o (Ьѵнкциіі x ― 5, sin (.t ―- 5) являются эквивалентными бесконечно
малыми. Поскольку ири .члмснс бесконечно малой функшш sin ( х — 5) на эквивалентную
ей функцию .v — 5 предел их отношения ие изменится, то
1!^ sin k — 5) _ |іт sin (д: ― 5) . 一
ІТв x»— 6 Ï T 5 ~ x Z Т ^ б Н ^ П У ―
= lim ―----^-――— ―- = lim — !~― =
je—5 (ズ 一 ö ) (ズ 一 1) X 一 1 4
Так как (sin д: + дга― л‘ ) 、 sin x , (2ズー дг3) 、 2 х при д: —0, то
В задачах 7.172— 7.181 доказать, что функция а(дс) при
я в л я е т с я б е с к о н е ч н о м а л о й .
7.172. а (л:) = sin л: при jc — 0.
7.173. а (ズ)= tgx нри д: — 0.
7.174. а(дг) = sin(A: 一 2) при х -^2.
7.175. а (x) = cos х при х -> я/2.
7.176. а(дг)= 1п(1 + ぶ)при 0.
7.177. а (.г) = x 2 — + 2 при 1.
7.178. а (х) = ~ -~ прн дг->- оо.
а
7.179. а (.ѵ) — при л* оо.
7.180. а(д") = x c o s (l/x ) при ズ— 0.
7.181. а(х) = x 2 sin( 1/д:) прн ズ— 0.
В задачах 7.182—7.187 данную бесконечно малую при .ѵ-*- 0
сравнить с б-сконечно малой (f (jc) = дг.
7.182. а(л) = ах (а == const). 7.183. а (.ѵ )=- tg x.
7.184. = sin2 дг. 7.185. « ( •り - = \ Tx.
7.186. a (•り = 4 , 4 + jc— 2. 7.187. а (.v )== xsin ( \/x )
101

В задачах 7.188 一 7.197 доказать эквивалентность бесконечно
малых при сс(л.) 一 0.
7.188. sin et (.v 卜 a(.v). 7.189. tget (л ) 〜 et (x).
7.190. sina(.r)〜 tgcc(,Y). 7.191. arcsin a (.v)、 а (x).
7.192. a r d g ( i (.\)へ а(л). 7 .1 9 3 . In [1 + а (л*)]〜 а (ズ)•
7 .1 9 4 . cirx(x)… 1 〜 ц (л ) In и (а > 0).
7.193. |1 а (.ѵ )|"— 1 〜 《ct (x).
7.196. а(.ѵ)
へ 上 / ! • 7 .1 9 7 . cos а ( ぶ)〜 マ [а (х )\2.
В 7.1 ” 8 ― 7 .2 2 Ü с п о м о щ ы о п р і іі ш и и а з а м е н ы э к в и в а ­
л е н т н ы х б е с к о н е ч н о м а л ы х (с м . ф о р м у л у ( 7 .2 0 ) ) н а й т и п р е д е л .
7.198. lim
О ІП (Г :1 Ï)
7.201.
7.203.
7.205.
1ІП1
•r—1
lim
lini
パ 一
; '•
•>
; : ' 、• 1
2х
esin ï - !
sin (.r + 3)
7.207. Iim
i ->v-, 6 •
* 1 ______
7.209. Jim
X
1 x:l 十 5ズ6
In(l + З.ѵ) •
7.199. Пш 7.200. lim (arcs,'n 4ï)S
л ’ -V~
.v-*0 1 • - cos 2x
•
7 .2 0 2 .
7.204.
/7.206.
7.208.
7 .2 1 0 .
lin i
lim
lim -
lim
lim
x - — 5a*
ln (.r2— il.v-i- 19)
I l + sin 2x — 1
sin 3.v
(arctß 2 a* )ц
sin3 .v
•
sin {x — 2)
.V-- - - •
-2л.)
- 7 f
•
7.211.
7.213.
7.215.
V 7 . 2 1 7 .
lim
lim
lim
д-»0
lim
7.219. lim
• Л!- 一 б Ғ
In (1 ―
Tx — Xя
sin X 十 — Зл:
Я re iß б.\г
み 一 1
sin 8д: 4 - sin 4дг
iircsm 2л*
5 -------
.
7.212. Iï ni
7.214. lim
7.216.
7.218.
Ax
7.220.
lim
x »0
lini
lim л-*0
sin x -f- Xя 一 2х:'
о х ^ г .х л + х^ 一
COS6.Г 一 cos J.v
arcsin2 Зх
sin 4x — sin 2x
arctg 2.v
, 16л4+
-1
Jn (1 +6.V) •
•
8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА
Важіин1 свойство непрерывности функции применяется прн пострсхчиш
различных математических теорий и решении практических
задач.
102

8.1. Н е п р е р ы в н ы е ф у н кц и и
Функция у ^ і (.г), определенная на интервале (а, Ь ) , называется н е п р е р ы в ­
н о й в т о ч к е х о е い, b ) , если
Ііш f (л.) = f ( х 0 )
(т. е. предел функшш равен се зиач^иию прн предельном значешш аргумента).
Функция ц — f(x ) непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда бесконечно
малому приращению аргум ент соответствует бесконечно малое приращение
функции (критер и й непрерывности ф у н к ц и и ):
lim Ау = lim (f(x0 + Дат) — /(.ѵ0)) ― 0. (8.1)
Ах-*-0 " Лх-^0
Функция называется н е п р е р ы в н о й н а п р о м е ж у т к е , если ома непрерывна
в каждой точке этого промі-жуткл.
Сумма л произведение днѵх функции, непрерывных в некотором промежутке,
есть функция, непрерывна и іі том жо промежутке.
Частное двух функиии. непрерывных » некотором промежутке, есть функция,
ііспрерывнля rrpu oeex л і :чсчших аргумента нз этого промежутка, для которых
дслитс.чь ис равен нулю.
Если у = / (лг) — функция, непрерывная на отрезке [ 仏 み ],причем ес значения
п р и н а д л е ж а т о т р е з к у [с, d \ t z = F ( t j ) — ф у н к ц и я 、 н е п р е р ы в н а я н а о т р е з к е [г, d \ y
т о с . ю ж н а я ф і / н к ц и я z = f ( f ( x ) ) н е п р е р ы в н а в п р о м е ж у т к е [ а } Ь ] (теорема
о непрерывности сложной 中 ункцни).
Если функция f( x ) непрерывна на отрезке [а, Ь\ и на его концах принимает
значения разных знаков ( f ( a ) f ( b ) < 0), то в интервале (а, Ь ) уравнение f ( x ) == 0
имеет по мепьшей мере один действительный корень.
Примеры. I. Доказать, что функция у = .ѵ4 непрерывна прн всех .ѵ.
Ф\ нгчіиія / (.с) = .г4 определена при всех х , т. е. в б е с к о н е ч н о м промежутке
(—оо, + ос). Фиксируем некоторое значение х нз этого промежутка. Аргументу
x придадим приращение Аху получим л. - f Лл* — приращсіпіое значение аргумента,
которому будет соответствовать / (х + Л.ѵ) = (х + Ѵѵ)4— приращенное
значение функции. Находим формулу для приращения функции:
Д// = /(.ѵ + \ х ) 一 f W = (x + Дл) 4— .v4 =
= .v4+ 4ллДл: + 6.ү2Лл:г + 4.ѵДдг3 + Дл*4 — .v4 =
= A x ( 4 x â + 6 x 2A x + 4 x A x 2 + \ x 3 ) .
Переходя к пределу, получаем
lim Д// = lim Д.ѵ (4ДС3 + 6х2\ х + 4л:Аа*2 + Л.ѵ3) = 0.4л:3 -- 0.
Лх-*о '
Слсдонательпо, выполнено равенство (8.1), т. е. данная функция непрерывна
при всех x.
2. Доказать, что функция у — sin х непрерыіша при всех .ѵ.
Поскольку
А у — sin ( х + Ал) — sin л* = 2 sin ( А х / 2 ) cos (ズ+ А х / 2 ) =
то
= 8ІПд ^ о / 2 ) c o s ( х + A ï / 2 ) 匕 х ’
「sin f \x
lim △ ダ = lirn ------v—тл----- cos ( x 一 卜 Ддг/2) А д : = 1 - cos л* 0 = 0 .
Адг-^0 Лд:->0|. і-\х/ J
I Ітак, данная функция нспрі-рывил ііри любом х.
3. Докя.і іть, чти функция у = sir» Л.4 непрерывна при всех х.
Это сложная функция у - sin z. где ズ4. Так как функшш у и г непрерывны
при всех значениях своих аргументои, то в соответствии с пор с мой о непрерывности
сложной функции функция у = sin также непрсрывип при всех .ѵ.
4. Доказать, что уравнение л*5 一 4ズギ 2 = Ü имеет ио меньшей мі-ре идин действительный
корень d промежутке (0,1).
103

Рассмитрнм функцию f(x ) — x3 — 4л: -Ь 2. Она непрерывна при всех х (как
сумма непрерывных функций /і (.ѵ) = хл, Іі(х ) = — 4xt js(x) ~ 2). Так как /(0)
2 > U и /(り- 1— 4 + 2 く 0, то между точками 0 и 1 найдется точка хв(
в которой зта функция обращается п нуль:
f (ズо) 。》ズо — 4ズо+ 2 = 0,
т. е. Л'о 一 корень данного уравнения.
В задачах 8.1—8.6 доказать непрерывность функции при люоом
значении x.
8.1. у = л*2. 8.2. у = x6. 8.3. у = х п (п—целое число, п〉 0).
8.4. у = cos x. 8.5. у = \ х \ . 8.6. у = cos х 9.
5.7. Доказать, что целая рациональная функция
Р れ(•り = an + ci\X + azx2 + . • • + anx n
непрерывна при любом значенни .v.
8.8. Доказать, что дробная рацноиалыіа5і фуякция
°п (ぶ)___ сі0 + аүх 4- а%х2 + ... 4- апх п
Лх) b0 + Ьхх + + ^ Ь т хт
непрерывна при всех значениях х, за исключением тех, при кото­
рых з н а м е н а т е л ь о б р а щ а е т с я в н у л ь .
В задачах 8.9, 8.10 выяснить, при каких значениях х функция
непрерывна.
8.9. у = tg а*. 8.ц). у = ctg x.
В задачах 8.11 一 8.20 установить, как надо определить функцию
f (x) в указанной точке х = а у чтобы функция в этой точке была
непрерывна.
1 一 x4 .
8.11. f ( x ) =
Д-°— I ,ズ= 1 . 8.12. f { x )
8.13. / ( ズ) =
8.15. f ( x ) =
üx — \
X
ln (1 い ) f л — - \J.
X
0 8.14. f ( x )
{ a > 0 ) t x ^ 0 . 8.16. f ( v)
8.17. f W =
1— COSX /Ч
----------------v = U.
2ズ2 , り. 8.18. f ( x )
I ― ズ”
(1+дГ
sm x
x
Z ニ
2 x
,ѵ=0.
ê x -
x x 一 4л; -r 3
8.(9. f(X ) = 一 ,x = 0.
=
8.20.
ол … :x* 厂 ニTx 卞 + Ï2 w 1 = 3 -
задачах 8.21—8.26 доказать, что уравне ние имеет по меньшей
мере одиіі действительный корень п указанных промежутках.
8.21. .v3 + — G = 0,(1,2), 8.22. 9х3 + 6х2 — 1=0, (0,1).
8.23.ズ4 一 2,15.v + 0,95 = 0,(1,2).
8.24. x4 + 1,025х 一 0,975 = 0, ( 一 2, 一 1}.
8.25. # — 6,8x:i + 2 1 - — 68ズ+ 108 = 0, (2, 3),(4t 5).
8.26. лг* 一 8,8л:3 + 20ぶ2 一 Эл* + 19 = 0, (3, 4), (5, б).
В задачах 8.27—8.29 доказать, что ѵравненнс имеет по меньшей
мере один действительный корень.
8.27. ао + й\Х + и2х2 + агх3 = 0.
8.2S. а0 + аіХ + a -х 1 + а^х3 + + а^ 5 == 0.
5.29. ао + 山 ぶ + ^2Х2 -f- . . . + = 0.
8.30. Доказать, что уравнение ctg х — х : имеет бесконечное
множество действительных корней.
104

8.2. Т о ч ки р а зр ы в а ф у н к ц и и
Рассмотрим функцию у - f ( x ) t определенную на интервале (а, Ь ) . кроме,
может быть, точки дго е (а , Ь ) . Точка лг0 называется т о ч к о й р а з р ы в а данной функции,
гели в нぐй функиии t>nj>eユ но не является непрсрыниой. илѵ не ' пределен;!
в чтой точке.
Если х 9 一 точка разрыва функции f(x) и существуют конечные пределы f(xn 一
―0) lim f (д). f( x 0 + 0 ) ^ ]\m f(x ), f (дг0 — 0) f (x0 + 0), то она назьгргется
дс-^х,-0
х—х . о
тонкой ри:рыва первого роди. Величина f(x 0+ û) — f(xo ― 0) называет с я сканком
функции Цх) в точке хо.
Если .ѵп —- точка разрыва функции f(x ) и j(xo — 0) = f(xo + 0), то хо называется
точкой устрйиимс -о разрыва.
Если хотя бы одлн и я односторонних пределов f[xo — 0), Цхо + 0) нс существует
или является бесконечным, то Хо называется точкой разрыва второго
рода.
Пример ы. I. Пайти Тмчки разрыва фуикцни у = Е (л).
Фѵнкиия у = Е (л) определена следующим образом:если дг = л Ч-

В задачах 8.31—8.42 найтн точки разрыва функции, указать их
вид, построить график функщш.
8.34. / (л) =
ズ 十 3*
8 f( --. X2 + Л+ 1
О* KJ ДЛ ノー
X
8.35. f ⑷ = : 4 ユ 幻 .
8.33. / (.v)
ла
8.36. /•(ズ 卜 З1 料 い •
8.37. /(.'• 卜 2.ï— 驾
8.38. f(X) =
8.39. /(.v)~ln|sin.v|.
8.40. / (дс) •-= cosec л*.
8.41. / » = sin — .
X
8.42. /(л) = cos .
В задачах 8.43—8.51 найти точкн разрыва функшш и определить
скачки функшш в этих точках.
8.43. / (.v)
|.ѵ + 2|
8.45. / (л*) ニ arctg
2 —л-.
•v, x 2,
8.4Ѵ / /(.v)
-v ;- 1 ,л > 2.
8.49. / (л)
8.51. /(лう:= 2 !ハ••
8.3. Гиперболические функции
8.44. /(•v)
8.46. / ( ズ)
8.48. /(•V)
8.50. / w
X — I
1I •
— cos 2л*
I_ 2л* ;3, .V < 1,
[Зх -Ь 2, л - 1.
1+ е }/{ 1 一 .V).
Гиисрбо.шческне сшіус, кослн\о, тангенс и котангснс определяются cootdct-
VіВсшю формулами:
sh x = ------ -------- , (8.2)
ch .v —=
ex ^ e - x
o
(8-3)
tll.v :
sh x
cli x
Z — eベ
z + ß-A
, cill.V
ch -V
sh A.
Основные формулы для гиперболических функции:
fli2 .v — sh- x ^ l t ch- л* + sh2 .y = ch 2a*, sh 2.v
2 sli x ch .v.
îl p и me |) Ы.1.Построить график фуикими // = cil л..
Принимая во внимание формулу (8.3), пっ(ітронм* сначала графики функиин
.сх (рис. 8.3). Путем сложоимя этих графиков получаем
график функции у — ch .ѵ.
2. Док.тіа гь, что сһ2л. • sh- л* ― 1.
Псио.іьіѵя фирмѵ.іи (8.2) и (8.3), исходим
. )2— ( 今
2e° + e - 2.x 2 e ° + t
что и требовались доказать.
1 丄
-----17- 丁 .
10G

8.52. Доказать, что функция у = sh х является нечетной.
8.53. Доказать, что функция у = ch х является четной.
В задачах 8.54—8.63 доказать, что верно равенство.
8.54. tli x cth x = l. l/é.55. ch2 x - f sh2 л: = ch 2.v.
8.56. sh (л* + y) = sh ズch y + ch x sh y.
8.57. ch (x + y) = ch .v ch y ;- sh x sh y.
8.58. th (x + y) = * 8.59. sh 2x = 2 sh .v ch x.
8.60. Arsh a:= ln (л:+ } x2 + 1).
8.61. Агсһл* = ln (x : \ л2 一 1 ) = ln (.v -t I .v2— 1) (x 1).
8.62. A r t h x = (\х' < 1 ).
8.63. Arcth x = I n (I .v I > 1).
В задачах 8.64 一 8.75 построить график ф у н к ц и и .
8.64. y = sh x. 8.65. y = th x. |8.66. y = ctll Л*.
8.67. // == sh 2.V. 8.68. // =-= ch 2x. /8.69. // = sh2 X.
8.70. y sh (.v/3). 8.71. y = ch (x/3) . 8.72. y ニ: Arsh л*.
8.73. y — Arch .v. 8.74. y • Arth л' 8.75. y == Arcth .v

IV . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е
Ф У Н К Ц И Й О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Быстрота протекания физических, химических и других процессов
выражается с помощью производной.
Производной ф ункции у = f( x ) в точке .ѵ

Основные формулы для производных степенных, трнгоиометрическнх и гиперболических
функций:
(ха ) - = а х а- 1, ベ = 1 , ( П у = _ _ / — Ѵ = - - Ѵ ; (9.6)
2 I x \ х 1 x
(sin x)r = COSAT, (cosху = —sinx, (tgxy = _ L ~ , (ctg W = — ---a ^ ;
(sh x)f = ch X% (ch Д:) 7 = sh xt
仲 ガ= ^ ~ ’ (cth^=-ihb- (9.7)
Примеры.1• Найти производную функции у = _ х 4 — х я -f — дг* — .ѵ.
Применяя формулы (9.2), (9.4), (9.6), получаем
/ I V / 3 \" I 3
У, = ( 丁 ズ4j ― ( ズ3), + ( 了 ズ2 ) ― W = 丁 .4パ 一 Ъх2 + -~2~92х 一 1 =
— 3パ + 3ズ ー 1 = (ズ ー I)3-
2. Найти производную функции у ― (x ― 3)}' x2 .
На оснозаніш формул (9.1), (9.3), (9.6) находим
( ^ О). (9 .5 )
( X — ъ ү \ п + レ 一 3) ( \ ^ ү = ( * - 3 ) ^ * ^ + ( * - 3 ) ( х 2 / 3 У
= 1 х %- { - ( х — 3)—
1 / 3 _ ^ + 2 ( х - 3 ) 一 5 д ;-6
З г Т з,3, 7
3. Найти производную функции у
パ + 2дг + J
q •
оДГ —j—^хХ ―}—О
Применяя формулы (9.5), (9.6), находим
(л:2 + 2л: + 1)^ (Здг2 -Һ 4х + 3) ~ (Зл:* + 4х + ЗУ + 2 х + \ ) ^
4 (Зх* + 4х + ЗУ '
(2х + 2) (Зл:* + 4ズ+ 3) — (6jc 十 4 )(ズ2 + 2 x + \ )
(Sx2 + i x + 3)s
бх3 -f S x 2 + бл: + 6л*2 + 8л + 6 — (6ズ3 + 12л:2 + 6ズ+ 4ズ2 + 8л- + 4)
(Зл:2 -f 4 х + З}2
一 2ズ2 + 2 __ 2(1— x2)
~ ( 3 х 2 - \ ~ 4 х + 3)2 一 (3パ + А х + 3)â •
4. Дана функция { (jc) = — Зхг + 5x — 2t Найти 厂 ( 一 1 ) , f , ( 0 ) , 厂 (1).
Находим производную данной функции:
f f ( x ) = З х г — 6 х + 5. (1)
П оставляя значения аргумента д:і = — 1,дг2 = 0, д:з = I в формулу (1), по-
Г(-1)= 3(-1)=-6(-1)+5 =14’ Г(0)=5, 厂 (1)=2.
5. Нанти производную функции у = ----- -------- .
sh X + ch JC
Применяя формулы (9.5), (9.7), находим
, _ (ch .r) * (sh д: 丄 ch ズ)― (sh дг + ch x) ' ch x 一
(sh x + en x)* "
'
109

sli A:(sh .V -: cil л ) — (cil Л* + sli л) ch .V
(sh X + cil x)'1
__ sh- X — ch2 Xi
(sh x 十 ch .v)2
sli-.V -; 'sli Л- ch Л* — cil2 л — sli л ch V
(sh ДГ+ ch .v)2
— I
(sh x 十 ch дг)2•
В задачах 9.1—9.36 найти пронзвидпую функціш.
9.1. у = .v5 一 4х,л+ 2л:3 一 Зх2 + 7ぶー 9.
9.2.
9.3.
и
9.5. у
9.7. у
9.9. у
и -
レл*б— L ; 1
す
д: 2л:2
9 Р " -1 4
2
3 r l
9.11. У = x cos хл—[x2 sin x.
9.13. f/== 2.vsinA : ( 2 — x *-;c o s x .
Зх — 2 一
9.15.
4л.+ 5 •
9.17. У =
9.19. У =
9.°1.
9.23.
9.25. У=
9.27.
9.29. У —
9.31.
9.33. /(А*)
9.34. 厂 (ф)
9.35. s (/)
9.36. x (t)
4 \ 7* 31 F
t g x — ctg X.
x2 — f—
2лг2 + Зд: + 4
Х^ + Х + \
X" -f- 'Ӏл' -f- 5
^ + 6 jr+ y *
•
(•v-3 — l) / ( .t2+ 1).
л* sli л* ― X2 c il X.
ch x
x + sh X %
x + sh x •-
x + cli x *
cos x 一 x sin X
sin X-\- X COSX
9.4. y =
9.6. ;/ =
9.8. y =
9.10. y
9.12. y :
9.14. y -
9.16. y :
9.18.
9.20.
9.22.
9.24.
9.26.
9.28.
9.30.
9.32.
1
2л:2
4 I 及
Ax\ x
: tg — .Y.
4л^
(Зл… ••
- 8 P
2 ) л2
ATSill A* -p X2 COS X.
2x ch.v - • (л*2 •「2) sh л*:
ax + b
cx + d •
x2 + 2x4-1
tJ = 一 aw + 4л ’
ノ 一
5л*2 + む + 3
^ + 2 л Ң Г Г
Ax^ + Bx + C
ах2 + bx + с
/ / = ( ズ し 1)/(.V3 1).
л* ch л* + л2 sh X.
sli л* _
ch ズ.• • sli л:•
一 ch -V* 一 X
У = Зһдг + л- •
一 V sh X 一 x ch X
ch Л* 一 x sh X
x3 — 5x2 3x — 1 . Вычислить / '( — 1)," ( 0 ),
Ф + c tg ф. Вычислить / ( ― л/4), rf (л/4), гг(л/2).
/4 一 4/2 + 5 / — 2. Вычислить s,(0 ), 5 f { \ ) , s '(—2).
sin / — cos た Вычислить д:'(—л/4), дг'(О), x f (л/2).
9.2. Производная функции от функции
Еслн // = f(u ) и и = ф(л:)—• дифференцируем ыс функции своих пргументо»,
ТО ІфОИЗВОЛПГіЯ функиин от функции (или сложной функции) I / ^ /(С| (.v) I сушсс'т
нѵет и равна иринзвсдению мроизводііоГі данной функции // и о промежуточно

ному аргументу и прпи:

9.3. П р о и зв о д н ы е п о ка за те л ь н ы х и л о га р и ф м и ч е с ки х ф у н кц и й
Основные формулы:
z=ax \n a t
е*;
0 o g /; х у = 一 1— Iogwe
x
д: In û
( ln * )' = 丄 , (1п|х!)'= (x 0).
Если и = w(jc)—дифференцируемая функция, то:
(а11)' = аи Jn а»и , (logrt и)
= e l I u r ;
и \п а
(9.9)
(9.10)
Примеры.1• Найти производную функции у = e w 2 х •
По формуле (9.9) получаем
(ecos 2 х у = ecos 2 х (C0S 2 х у = e c o s 2 х (-sin 2 х ) ( 2 х ) г = —
2. Н а и т и п р о и з в о д н у ю ф у н к ц и и у = 】л J х г + А х + 5.
По формуле (9.10) получаем
(1п| х« + 4 д г+ 5 ү= _ こ^ J _____ , " ズ》+ 4x + ä)' =
I パ+4x + 5
2 e c o s 2ズsin 2 х .
7 * + 4 iT 5
x + 2
X (xa + 4jc + Ь У «= - - 2£ + . 4
^ + 4 7 T 5 2< パ + む + 5 ) パ + む + 5
X
Замечание. Данную функцию можно записать в б иде у = - - :n (ズ* + 4дг +
+5) и продифференцировать следующим образом:
" , = ー1 (ДС* + 4дг + 5)7 _ I 2ДС+ 4 __ І Х + 2
~ 1 Г " " х * + 4х + 5 2 ’ X* + 4* + 5 jc* + 4х + 5 •
3. Найти производную функции у = 1п (д: + 8 + 1 パ +16*+5).
По формуле (9.10) получаем
(X + 8 + V W + 丨 “ + 5Г 一 I
ズ+ 8+ I パ + 16ズ+ 5 Х + 8+ I jcH - І6х+5
______________ 1 “ 丄 一 :
X 1+ = ----- n", ニ 一 ,g~ 1+
Ібдг + 5 j — x + 8 + ) x 1 + Î6.v + 5 \ ' 2f x 2 + \ 6 x + 5ノ
1 I \ x * ^ \6 x + S + x + B \ _
X+ 8 + I パ+ _l6x + 5 1 I дг*+ Ібдг + 5 / I パ+16ДГ + 5
В задачах 9.61—9.90 найти производную функиин.
9.61. у = а2х. 9.62. у = lg Зх. 9.63. у = хь + 5х.
9.64. у = パ . 9.65. у = lg (x* + bx + с), 9.66. у = а5[п 5х.
9.67. у —]п(х2 卜 6ズ」-7). 9.68. ^ = ln sin x,
9.69. y = ln cos 4x. 9.70. y = 9 .7 1 .y = ^ 3x.
JJ2

9.76.
9.80. и
I Тб 1п ) 5^ — 31
60 I 5ズ 十 3| 2
78
x
ln.
Ч~ 1― I 5
ズ+ 1 + 1 5
) 3(jc—2)— 丨 26
ln
I 3(ズー2 )+ | 26
9.75.
9.77.
9.79.
9.81.
9.82. у — ~ = r ln j^x 一 】 一 !/ ズ2 — 2ぶ+
18
12 -ln ズ+ 9 •
х + 2 — 2ул:
ズ 十 2 十 2 | ;
す 丨 C Î . W Ï
1 . ズー 2
-о - ІП- — , .
9.83. уy ^ \u (x ― 2 + V x2— 4x 一 5)
9.84. у
Ѵъ
X + 1
X
2プ - i - j .
9.85. у
■ 了 In い2 — 4x
14 ”,x 一 2 一 ~ \ [3,5
2 8 -,n ;_ - 2 + , О
9.86. у
I 3 . |
: 〜 ~ 3 ~ ' п ' ~
x
2х
] ズ8 + ズ+ 1
f 3 (x + 2)а'
9.87. у
一 」 ^ ] (
лг + З 、i / лг2 — д: -f- 2
4дг — 4 " 十 ト 一 を (jc — 1) 丁
9.88. t j = --------^ 丨 n —6 + 5a
.va + 4jc
] 21 \2 U — 63 丨 :21(л — 3)а
Ӏ(д:- 2 ) (x + 1 )4 (jc + 2)»
9.89. y = -ふ- ln
(х — О* .
9.90. у (x — 3 )7 (jt — 2 ) ^ { x ' T W
(дг 十 3 屮
9.4. Производные обратных тригонометрических функций
Основпые формулы:
(arcsin х у
(arccos дг).
(arctg д:Ѵ =
farcctg.r)'
Еслн и - и (г) — дифференцируемая функция от дг, то:
- 7 .
(arcsin u ) f -
(arccos и ) * = ―
一
-u2
(9.11)
(9.12)
8 ^ак К
113

(ardgî/)' - î f ^ -
Примеры.1 . I la игл производную фуіікиии // - arcsin ニ >
I Іо формуле (9.11) полум.ісм
... I ( х - \ ^ І
/ .v ― 1 \ 2 \ : ノ ■ v-— 1>л- + 1
'2 I 1
I 3 r 2.V -.Ï-
2. Найги производную функшш у — . 丨 - - arccos -I ^-іл Z-LL
По формуле (9.12) получаем
F 1-
2(.v— 1)а ^ J 1 / i 2jca —4.V--
I 7 + 4.V — 2ズ2
1 2v
3. IІаити производную функции и = ------—~ агссі^— I—
2 \ 13 \ 13
По

9.93. у = arctg (х/2).
9.95. у = arcsin —^— .
9.97. //== ^-a rc s in — g—
9.99. y = - 8- arctg
9.94. y = arcctg 5x.
9.96. y = arccos x-
9.98.;/ / = - 1 ^ - arccos-,- 3y i l
U — lo
Г і О О . ^ ^ Ц - a r c c t g i- ^ 5-.
9 .1 0 1.// == arctgf—
.102. //= — — arcctg) 2(д•— 1).
14
I 2
IT
ヒ - 9 1 П 2л- + 1
9.103.
arctg I マ(ズ 十 1).9.104. a i п,і у ». = ___ ~ 11 arcctg ----- i-----
i l & I 12
9.105.
In I .v2 十 2ズ+ 5 + arc (g .
Юл — 1
9.106. у = 4 - In (5.V2— дЧ 2 ) ------------- a rctg------ •
J 7 5 | 39 ь I 39
9.107. // ==i [arctg (ln s in 9 x )]2. 9.108. у = ) [arcctg (ln cos 4л*)]3.
9.109. arctg (i 匕 • 十 1 ) + 丁 ^ 字 arct g ( | 2 x — 1 ) +
+ 」 і п 4 4
4 I 2 .

Данное урлвненне определяет у как некоторую функцию от дг. Подставляя
пыр.іжспнс для if » эти ур;;йнсііис, получаем тождество относительно дг. Дісфферолцируя
это тождестно но х, находим:
2.ѵ + x ’ t j + x i / + 2 у у г = 0, 2 х + у + х у , + 2 у у , = 0.
2х + у + уЎ(х + 2у) « 0.
Разрешая пис^юднсс уравікмше отіюснтс.іыіо у \ получаем
卜 Ж
х .+ 2у
2. Нантн производную функции, заданной параметрически: д: = 4/, у —t 2 .
Поскольку x ; = 4 ,у ; 2/, по формуле (9.14) находим
々 4 2
3. I ілйтіі уг:ь>в. >й коэффициент касательной к линии х 2 + З х і / + у - + И = 0
в точке М(4Ѵ 一 3).
Походим нроіі.ііюдную неявной фѵнкцин, заданной уравнением a*2 - f З.ѵ// +
+ //г +11 = 0:
2 х + 3// + 3 巧 ' + 2 y y f = 0,
2 x + 2 y + , f ( Z x + 2 y ) = , 0 , 1/ft = - - 1 ^ 4 4 ^ -
3ズ 十 2ダ
Вычислим значение //^ при д: = 4 и у = 一 3;
8 — 9 1
У 一 —3 ;4 ^ F 2 _d ) — _ 一 Г ^ ё ~ о
Принимая во внимание гсометрическни смысл произоодіюи и определение
углового коэффициента прямой, заключаем, что к — 1/6.
4. Найтн производную функции у = хх.
Это функция в п д : і t j = u v t где и — x , v = x — дифференцируемые функции
аргумента х. Логарифмируем данное равенство по основанию с: \п у x Іп х.
Дифференцируя, находим:
у* = 1 -Іпд: -f- x ---- , 上 ~ = 1пд:+1,
X
откуда і / - //(In а:-Ь 1)-Подставляя в последнее равенство выражение для г/,
получаем у г = х х (ln .v -j-1).
5. Найтн производную функции у = .reln х.
Логарифмируя данное равенство по основанию е % получаем ln у = sin х • ln х .
Дифференцируя последнюю формулу, находим y , l y = cos x - ln л* + sin д: • (1.x:),
откуда i f = y ( c o s x . ln ズ+ (sin x ) l x ) , y f = jr^nx(cos a: • ln jc + (sin x ) / x ) .
І1 6
В задачах 9.111—9.120 иайти производную неявной функции.
9.111. л:2 + Ъху + iß — 7 = 0.
9 .1 1 2 . xz+ 3 x - y + 3 x y + t f — 8 = 0 . 9 .1 1 3 . + ゲ /з = az/3t
9.114. I x \ у ) о. 9.115. 3ズ2 + 4ху 一 Ах 一 8у = 0.
9.116. ^ + Аху + 4у2 + 6ズ 一 Зу + 15 = 0.
9.117. 4х2 一 Аху + у2 — 4ズー 8ÿ + 20 = 0.
9.118. パ + 2xy + У2 ― + 8(/ + 16 = 0.
9.119. y2 + xy + sin y = 0. 9.120. ev — — 2xij = 0.

В задачах 9.121—9.124 вычислить значение производной неявной
функций в указанной точке.
9.121. х 2 - 2 х у + у^ — 6х + 2у + 5 = 0, Af(5, 0).
9.122. Î \х 2 - ІГш/ — — 26.ѵ + 22у + 31=0. ル1(1, ー2).
9.123. \7х2 + \2ху + 8ÿ2 + 22х — 4у ― 55 = 0, Af(l’ 1).
9.124. 9ズ2 + 4ズダ+ 6 浐 一 8ズ+ 16y — 50 = 0,ル1(2,1).
В задачах 9.125 ― 9.132 найти производную функции, заданной
параметрически.
9.125. д: = 3 cos Л у - 3sin/.
9.127. jc = a cos Л 1= Ь sin /•
9.129. x = cos2 /, у - sin2/.
За/
За/2
9.131. x
1+ / 3 ' = ~ Г Г а -
9.126. x = =а sin /, y = Cl cos /.
9.128. X == a s h /, y = b cli t.
9.130. X =- asin3/, y = a cos31.
9.132. X =- t( l 一 sin

Н;ш)днм обшнс ныражсння для производных первого, второго и третьего
порядка:
Г (л) - 4.ѵ3 一 + U —5, Г (Л)= 12ズ2 — l&v + I l f / , ( x ) =:24.v 一 18.
Подставляя h последнее пыроженис значения л:і = 一 1, х г = 0, .Vj —1,получаем
厂 " ( 一 1 卜 一 4 2 , 厂 "(о)=— 18, 厂 ⑴ =6.
3 .11 Ати вторую производную функции, заданной параметрически: .ѵ = фі(/),
У = *Ғг(/). . • t • t
По определению ьторо й производной, у х х = ( ѵ х ) х ^ ГД° "ニ У t / Х 1 (см- Ф°Р*
мѵлу (9.14)). Следовательно.
Так как
lJxx = ( 心 :.=
~ d h ^ T x = ~ 1 Г (!>1 , х ' ) 芸 = (і/ " х< ) 1 し
l /д г ,.
(Utlx, )t
xt (め)/ — Ht (xt h x , — !> t X H
x':
ИЛИ
Ухх
^ У и - У і x t i
一 *7:—
ю фупкини. :{ад.чнпои урапнеинями: .v=/2, r/=/3.
Поскольку x t ―2/, y t = 3/a, ズ" =2, i f = С/, то по формуле (I) из предыдущего
примера имеем
_ d 2y _ ニ• 2/6/ — З/2 2 ^ 12/* 一 6/2 б/2_ . 3
一 dx3 一 (2/)s ― ― 8/3 äf3 一 Т Г *
В задачах 9.146—D.1G1 иаити вторую производную (Ьуіікіпш.
9.146. У :
9.148. У :
9.150. //
9.152. У :
9.154. У
9.156. У
[9.158. У
9.160. У-
4.Ѵ- 一 2.ѵ + 3.
х У ( х + \ ) .
х ~ 1
X - Г .
= x - } - 飞 /4 — x .
=Ч^|m
3 — 2
(1 + А〒 *
В задачах 9.162—9.167 найти
данной иарамстрически.
9.162. л- = 2 / 3,и = Г 之 .
9.147.
9.149.
9.151.
9.153.
9.155.
9.157.
9.159.
9.161.
у= лベ1+ бл*2 一 5 .ѵ + 8 .
у= c t g x.
И = (.v2 + 1)/(х-~ 1).
У = (д :2 + А-)/(.Ѵ— 1).
x- + 5.Г — 4
フゴ_ 丄 5_ •
У l / l -v 2 .
In ヒ 1
x + 4 丨 .
Д:** 一 X
ü * ) 4.
в т о р у ю прои.шодиую ф у н к ц и и , з а -
9.163. л* = ^ ( 1 — cos t), у = (it.
9.164. л
9.165. .v = a ln /, y = - aJ t + J ).
1!8

9.16Н. x = a(t — s in /), /у = a ( 1 —
9.167. л* = t cos t,y = t sin t.
cos t).
В з а д а ч а х i). 1 6 8 — 9 .1 7 1 н а й т и п р о и з в о д н у ю т р е т ь е г о п о р я д к а о т
ф у н к ц и и .
9.168. ij ― ふѵ.{ — 4л**" + 5-Ѵ — /• 9.169. у= sin 2.v.
9.170. ij = t 气
9.171. у = a*"—5.ѵ3+ б л 2 д : + 9.
В п л а ч а х 9 .1 7 2 ,9 .1 7 3 н а н т и
о т ф у н к ц и и .
9 .1 7 2 . 5 科 1 П . Г + 7 .
В з а д а ч а х 9 .1 7 4 , 9 .1 7 5 н а й т и
ф у н к ц и и .
9 .1 7 4 . у= c o s 2 .ѵ.
п р о н з ііо д ііу ю ч е т в е р т о г о п о р я л к п
9.173. у = ІЩ.ѵ + 1)•
іір о и з в о д н у ю п я т о г о п о р я л к о
9.175. у =1/(1 + л •り.
В з а д а ч а х 9 .1 7 6 — 9 .1 8 1 н а й т и в т о р у ю п р о и з в о д н у ю н е я в н о й
ф у н к ц и и .
9.176. у2 一 2рх = 0. 9.177. у — х — arct« у = 0.
9.178. у + 2ズ 一 arcctg ÿ = 0. 9.179. x3 + //3 — Зху = 0.
9.180. W + 沪 一 û2 = 0. 9.181. b0-x2 一 azy- 一 а Ѣ щ- = 0.
В задачах 9.182― 9.185 вычислить зиачение второй производной
н е я в н о й ф у н к ц и и в з а д а н н о й т о ч к е .
9.182. In у — 2х = 0, .М(0,1 ) . 9 . 1 8 3 . х у -- А = 0, Af(l,2).
9.184. ().' + ズ+ і/ = 0,ЛІ(0,― 1 ) . 9.185.ズ2+ //2—25 = 0,ЛІ(3, 4).
9.7. Дифференциал функции
Дифференциалом функции // = Цх) называется произведение ес производной
на приращение ио: мплых Л.ѵ справедлива приближенная формула
или
Ц х + Д.ѵ}— {(x ) « Г (х ) \х
f ( x + Д.ѵ) « f ( x ) + f , ( x ) X \ . (9.16)
П римеры .1.1la Гп и дифференциал функции у — е2х.
По формуле (9.15) получаем
dii • іҢс2х) —(^-т)Ѵл* — 2f2xJ.v.
2. Вычислить зііпчгшіе лмффс[>сішиала фуикини // х* — 4л*2 + 3, если x
іи.ѵіміяѵтсн от 2 ди 2.1.
ІІлПлем сначала нырлженне для диффоренциалп д.:ниг)П фуикини:
ätz —(.v4 — 4л.2 + 3)fdx —(4.v3 — 8.v)(i.r = Ax (.v2 — 2)cJx.
Нычис.шм зиачение ユнфференцііпла при указанном значении х 2 и с/х =
= Д.ѵ = 2,1 — 2 - ОЛ:

Значения ф ункции и ее производной 厂 ( х )
\Ах
находятся лег-
-V (1+7 外
ко при ズ 1•
Воспользуемся формулой (9.16), которая прн х = 1 . Ах = 0,1 принимает вид
14-1
,1,
( j 十 7 . ド 尸
e.
В задачах 9.18G—9.199
9.186. ÿ = jt- -j- 5^ 一 i •
I ,v t;
9.188.
^ = ln |S + 5—r ____
9.190.
9.192.
9.194.
9.196.
9.198.
ÿ = ln (x 十 j / л :2 + a ) ,
ÿ = t g 2x.
y = a r c c t g 4.Г.
У
c h 3 2 .v.
9.199. y = " у у
9.200. У
9.201. У
9.202. У
9.203. У
9.204. У
9.205. У
_ x + \
• i - ln I
У ^ - х л -
レ 一 1)*
г х* + 2х-'г
'82
2 + J ^ L = 2.117.
н а й т и д и ф ф е р е н ц и а л ф у н к ц и и .
9.187. y = (л г+ 2)/(x + 3).
9.1S9.
9.191.
9.193.
9.195.
9.197.
+ . a r c t g
2 1 2 a r c tg -
—pSin Зд:
c o s 5x.
у= a rc s in —
у= s h 4 3.v.
у= e]х^ ъ
• 3(2jc-1)
Т (дг+ l)
В з а д а ч а х 9 .2 0 0 ― 9 .2 0 5 в ы ч и с ;іи т ь з н а ч е н и е д и ф ф е р е т іш іа л а
ф у н к ц и и п р и у к а з а н н ы х з н а ч е н и я х хи Л .ѵ.
+ З.ѵ- — 5ぶ 十 *!, x = 1 ,Ах = 0 J .
х А+ 4л*3 + 5л:2 一 7 , ズ = 一 1, Ла:- 0,01.
^ 2, jc = 1 , Лл: ― ― 0,01.
s in 2xt x = л /б , Лх= 0 , 0 0 1.
I x2 4л: — 3, x = 2, Дл、= 一 0,1.
9.205. у = lg(l +ЛГ2) ,.v 3,Дд: = 0,1.
В з а д а ч а х 9 .2 0 6 — 9 .2 0 9 в ы ч и с л и т ь п р и б л и ж е н н о з п а ч е п и е ф у н к ­
ц и и п р и у к а з а н н о м з н а ч е н и и а р г у м е н т а .
9.206. у = ] ^ —4, лг = 2,1. 9.207. у ^ е \ дг=— 1,1.
9.208. у = ^ дг = 0,18.
В з а д а ч а х 9 .2 1 0 — 9 .2 1 5 в ы ч и с л и т ь
ж е н и я .
120
9 .2 1 0 . a r c t g 1 ,0 3 . 9 .2 1 1 . s in 2 9 " .
9 .2 1 3 . g - ° - 85 9 . 2 1 4 . 丨 面 .
9.209. y = 一 一 9、 x = ЗД 5.
п р и б л и ж е н н о з н а ч е н и е в ы р а -
9 .2 1 2 . t g !.5С2 0 '
9.215. i 65.

10. П Р И Л О Ж Е Н И Я П Р О И З В О Д Н О Й
С помощыо производной можио находить многие пределы (раскрывать
соотэстствуюшис неопределенности), исследовать функции
и строить их графики, решать задачи на отыскание наибольших
и наименьших значений функций. Производная применяется
также при чн(:лешіом решении уравнений.
10.1. Правило Лопиталя 一 Бернулли
Если у *= f ( x ) if у = ф(л*)— дифференцируемые бесконечно малые или бесконечно
большие функции при д: а, то
(10-!)
Формулой (10.1)ü выражается правило Лопиталя 一 Бернулли:
прс

2 一 2 cos 2x
4 sin 2x
lim
x ^o 2 sin2 x ~{-4x sin 2x + 2ズ2 cos 2.v л -о 6 sin 2x 十 12x cos 2x 一 4л*2 sin 2л.
lim
8 cos 2 x 8 _ 1
24 cos 2 x 一 32.v sin 2 x 一 8л*2 co s 2 x
一 了 .
Заме mn и и с. Прежде чем воспользоваться правилом Лопиталя - Бернулли,
можно заменить знаменатель дроби эквивалентной бесконечно малой
(д:2 sin2 .v ~ .v4) ,а затем прнмі-шіть два раза указанное правило и найти предел
элементарным способом:
lim
x-^-o
x 2 一 sin2 дг
x2 sin 2ぶ
,:_ x 2 一 sin2 x : j j m 2.v 一 sin 2 x
: lim
lim JC—ü x A x ^ o 4.Г*
lim
* cos 2 x 2 sin 2ぶ
lirn
6パ Д- 一 《0
4. Найти lim x x .
дг-^0
Это нсопрсдслсііііость вид;! 0". Полагая л.г =
ство по основанию с, получаем л. In .v = ln и.
'2 — 2 cos 2 x
2P
логарифмируя это рсівегь
Найдем lim ln у — lim x ln x . В правой части последнего равенства нужно расдг—о
дг^О
крыть нсоіір(、Д(\чсшіость вида 0 • оо. Преобразуем функцию .ѵ 1п д. следующим
образом:
In x
X ln Л*
~ W ~ '
Получпем неоііредс.іоішогть шілп — .
Применяя прамило Л( титл л я 一 Бернулли, нплодн\і
lim ln у lim .v ln x : lim î iliL ぺlim Л
lim (— л)
дг—0
\ / x X— O — l / x 2
Следовательно, In (lim //) 0. Ifiii" I, Hm дг,ѵ ,I •
ズ -0 дг-*0
122
В задачах ІО.І — 10.-J0 и л irr» іірсдо/і функции п даш ю /і точке,
人 3 一 7.v + jo
ЛГ+ З — 2
10.1. lin ト
10.2. lin i
лг—>3 .r2 — 9
x -
дгг>— в х ! 5
•v3 + ЛГ2 — Зл:― 6
10.3 lim
10.4. lim
х — 2
10.5.
Ііш
10.7. lim
X-+0
10.9. lim JM jL
10.11. lim( +
10.13. lim ( - 1.*-
10.15.
2 х 一 sin 2.v
ぶ3
■cos (.v/3)
■cos з Ғ ~ -
lim lii.v -ln ( 1
-1—0
__ z \
c2^ — I ) •
c tg ^ _ \
X r
- л).
10.6.
10.8.
lim
Д-И
In X
— e~ (•
lim л
x-*o tg Зл
10. 10 . Iim ln X
tx^
10.12.
10.14.
10.16.
И m -
•ï—O\
•ctg .v i
lim/
ズ~*>0 \ x2 x sm л:
lim x ctg (.v/4).

_ i
10.17. lim .vlnctg-
.t-Ч-0
10.19.
10.21.
10.23.
10.25.
lim f cos
A-vO
lim ぶ4 一 ぶ 3 + V2 —
X 一 sin X
X
10.18. lim ( s in x ) ia x.
10.20. lim (2 — л-)4е.
ДГ-ѵІ
10.22. ]іш — ßX.ニ e____
A- 0 】n (1 + x )
10.24.Jlim Sia2.v + 2 s in ^ - 2や
10.26. lim sin — -ln (a - bex).
10.27.
— ctg2.v|
10.28.
10.29.
10.35.
10.37.
10.39.
lim.v ln 11 r -V ).
10.30. lim
F 2
sin Зѵ
10.31. 1ішл*"1(1плす (ш > 0 , ,C>0). 10.32 jim —
л.—0
дг 1,5 sin 2.v
,• COSX 一 cos З.г
- sin .V
10.33. lim
10.34.
х_^0 cos x 一 cos 2x '
X » ~ •
lim
x~>0
lim
^ 一 е -х—2хЦех—е'-х)2
~ x *
ln (x — fl)
ln (ex 一 eu)
lim je1 胸 , - 1” .
Jf-Н -'
l i m
x^O
10.36. Iim ~2"
д--)и
10.38. lim(
x^O ' x
10.40.
lim
ln X
10.2. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Кривизна кривой
lll.V
7 ln sin X
Касательной к кривой у — f(x) в точке Л1о(д:о, f(x^)) называется прямая
МоТ 一 предельное положение секущей ДШо, нрн условии, что точка М стремится
к ЛІо вдоль данной кривой (рис. 10.1).
ex 一
ズ
123

Нормалью к крнпой у = f(x) в точке Л10(.го, І(хо)) называется прямая, проходящая
через эту точку и перпендикулярная к касательной п точке Мо (см.
рис. 1Ü.1).
У р а в н е н и е к а с а т е л ь н о й к кривой у — f ( x ) м точке Л!0(.Ѵо. у о ) '
У 一 У。- f ( ; ) (х 一 ズо). ( 10.2)
У р а в н е н и е н о р м а л и к кривой у * j ( x ) н точке Af0(.Vû, у ,):
у— уа=z~ - p ~ l ^ y (х~ Хо)- (10-3)
У г л о м м е ж д у к р и в ы м и в их общей точке ЛЬ называется угол между касательными
к этпм кривым в точке Л/о.
Кривизной крииоГі n се точке М называется предел модуля отношения угла
-— 、
Ла между касательными в точках и N кривой к длине дуги ЛІ-Ѵ = Л5 при
Л — (рнс. 10.2), т. с.
где угол и выражен в радианах.
Кривизна кривой у = [ ( х ) вычисляется по формуле
* = 7 T T W パ 00 4)
Примеры.1 .Составить уравнения касательной и нормали к линии у =
« x 2 — і х + 5 в точке Afo

3. Вычислить кривизну кривой у = X 3 — Ь х г + ІО.Г
Находим выражения для производных:
ゲ » П ズ)- Зх* 一 10х + 1 0 .ゲ, « Г ( х ):
и их^значення при д:=1: ダо = / ' ( 1 ) = 3 , , = 严 (1)=
чения в формулу (10*4), по-іучгеы
в х 一 10
-4. Подставляя эти зна-
|- 4 | 4 _ 2 yTô
V 10) 10 ІО "= 25 •
(1+3ザ
-7 в точке 一 1).
В задачах 10.41— 10.48 составить уравнения касательной и нормали
к линии, заданной уравнением, в указанной точке ЛІ.
10.41. f ( x ) = xz + 4д: — 26, Лі(4, 6).
10.42. f (x) = З х ― ズ2+7, M ( 5 ,― 3).
10.43. f(x ) = x3 + 4x + 6, iVf(— 1,1).
10.44. I(x )
10.45. f (x)
10.46. f(x )
10.47. f(x )
10.48. f (x)
2x3 + 3jc - 9, Л1(1, 一 4).
ズ3 ー 2ズ し 5, М (3, 4).
x3 ― Зх2 + 4х ― 2, М(2, 2).
ズ4― 4х2 + 6, М(1,3).
jc4 一 Зх3 + 4х2 一 5ズ+ 1 , M (0 ,1 )•
В задачах 10.49— 10.56 составить уравнения касательной и нормали
к лииии, заданной неявным уравнением, в указанной точке М.
10.49.
10.50.
10.51.
10.52.
10.53.
10.54.
10.55.
10.56.
Зх2 + Аху — — 8у = 0, М ( 1 ,— 1/4).
x2 + 4ху + 4у2 + 6ズー 3ÿ + 15 = 0, М(—2,1).
4х2 一 Аху + ÿ2 — 4ズー 8f/ + 20 = О, М(1,2).
x2 + 2ху + у2 — 9ズ+ 8у + 16 = О, M (0, —4).
x2 一 2ху + у2 — 6ズ+ 2ÿ + 5 = О, М (5, 0).
1\хг — \6ху — у2 — 26х + 22у + 1 0 = 0, М (1,1).
17а:2 + 12ху + 8у2 + 22х - 4у - 55 = О, ЛІ(1,1).
9ズ2 + 4ズу + 6ÿ2 — 8ズ + 16ÿ — 50 = 0, M (2,1).
В задачах 10.57— 10.60 составить уравнения касательной и нормалн
к линии, заданной параметрическими уравнениями, прн указанном
значении параметра /•
10.57. x = t f у = t2t t = 2.
10.58. ズ
10.59. x
10.G0. x
< 丄 1 , y =
/3, y = t ^ t
2 (t — sin /), y = 2(1 — cos /), t = л/2.
В задачах 10.61 — 10.68 иайти угол, под которым пересекаются
линии.
10.61.11х2 一 16.Х1/ 一 у2 — 2 6 х + 22у + 10 = 0 , x = I.
10.62. 4х2 一 4хі/ + У2 一 4-с — 8у + 20 = 0, г/ = 2.
10.63. JC2 + 4л:ў + у2 — 8jc + 2у — 9 = 0, х — у + \ = 0.
1.
125

10.64. х'1— Зхі/ + у2 — 4 л* + Ь// — 1 = 0 ,X у — 2 = 0.
Î0.65. xz + (Sxy + У2 — + Sy + А\ = 0, x + 10// + 39 = 0.
10.66. •y2 + 2ху + t f 一 + 8 y + 16 = 0 ,З х 一 у ― 4 = 0.
10.67.
10.08.
x2 + G.v// + у2 — 2x + 8// -—14=0, 10л:-
(л* 一 ô)2 + (у 一 ⑴2 = 25, (.v + 2 )2 + (//
Зу 一 13 — 0.
В задачах lü.bî)- 10.7b вычислить кривизну л ннпп в указанном
точко Л/.
1 0 .6 9 . f (x) = x2,+ 2л* — о , Л і (1 , 一 2 ) •
10.70. /(л г)= л:2 — 3ズ+ I,ЛЦ2,2).
10.71. f( x ) = х3 + Lv + (i, Л1(— 1,1).
10.72. /(jc )= л3+ 2ズ2 — 1,.И(1,2).
10.73. f ( x ) = ズ3 — Зл:2 + 5.v + 2,ЛІ(0,2).
10.74. f( x ) = л:1 一 4л: + 6, Д/(1.3).
10.75. j (x) = xL 一 5jc4+ (>.v*î — lx 1 + H.v 一 1,ЛӀ
10.76. Цх) = .Ve 一 2х5 + 3W — 5.t3 + む 2 ― 3.v •;
10.77. В ка ко й точке касательная к лш ш н 2もг
параллельна прямой Зх — у — 5 = 0
10.78. В какой точке касательная к лмішн
перпендикулярна к прямой 2х キ 2у — 7 0
М ( 0 . 1).
л^— 5.г2+6дг— ,
у = .v3 — 11.ѵ — 1Г)
10.79. В какой точке кривизна линии // パ ;: 7 рашіп I 2/2
10.80. В какой точке касательная к линии у ズ2 + 4.ѵ — 5 ofjpaзует
с прямой Зд: — 2у + 7 = 0 угол ф 々 л/4
/0.8). В какой точке касательная к лшши I/ = 2.V- — Ax + 3
образует с прямой 2л: + у — 9 = 0 угол ср, для которого tg ff = 0,8
10.3. Возрастание и убывание функции. Экстр ►емум функции.
Наибольшее и наименьшее значенья функции и
Функция // = f (дг) называется возрастающей (р и с .10.3 , а) в н«. ки і 'М(»м проданному
1фп,.4 .ж у тку,
межутке, еслн для любых точгк .Ѵ| м д-2, принадлежащих ,
из неравенства х\ < х2 следует пора венство f(X \) < f( x z).
126
’ и с. 10.3

Функция у = f(x) называется убывающей в некотором промежутке
( р и с . I ( ) 3 f 0 ) % е с л н л л я . } ю О ы х т о ч е к x t и ズг , п р } п и ) д л с ж ^ щ ь х даияому лромежутьу.
п і иеривенстиа л і < x z следует неравенство f ( x \ ) " > f ( x z ) .
Достаточное условие возрастания (убывания) ф у н к ц и и.
l ' c . i u в н е к о т о р о м п р о м е ж у т к е п р о и з в о О н а я О а н н о и ф у н к ц и и п о л о ж и т е л ь н а , т о
ф у н к ц и я в о з р а с т а е т в э т о м п р о м е ж у т к е , е с л и о т р и ц а т е л ь н а , т о ф у н к ц и я у б ы в а е т
в э т о м п р о м е ж и т і с е .
М а к с и м у м о м функцпп у ^ Ц х ) называется такое ее значение у і = f(x。 , которое
больше всех других ее значений, принимаемых в точках х , достаточно близких
к точке .Ѵі ii отличных от пес (рнс. 10.4, «), т. е. /(л *і) > \ (л ).
а 5
А(
Р и с. 10.4
М и н и м у м о м ф у н к и и и у =*= Ц л ) нязылается т;жое ее злачениі у 2 = /(л^), которое
меньше всех других ее значений, принимаемых в точках х % достаточно
блшкнх к точке дг^ н отличных от нес (рнс. 10.4, б), т. e. f ( х 2 ) く f W . ,
Максимум і \ минимум функции называются э к с т р е м у м о м функции. Значения
аргумента функции, при которых достигаемся экстремум, называются танками
:і к с т р е м і і м а .
Д о с т а т о ч и о е условие экстремума. Первое правил о. Е с л и
в т о ч к е x = Х о п р о и з в о д н а я ф у н к ц и и у « Ц х ) о б р а щ а е т с я в н у л ь и п р и п е р е х о д е
ч е р е з ^п/ т о ч к у м е н я е т з н а к , \ о /(.ѵ0)— э к с т р е м у м ф у н к ц и и , п р и ч е м : 1) ф у н к ц и я
и м е е т м а к с и м у м в т о ч к е .го, е с . ш з н а к п р о и з в о д н о й м е н я е т с я с п л ю с а н а м и н у с
(т. e . f ÿ ( x ) > 0 п р и д:о — е < дс く .to , 厂 (.v) < 0 п р и ズ。く .v < дг0 + e, e > 0);
2) фи h кция и м е е т минимум в точке л.о, если зн а к производной м е н я е т с я с миниса
н а п л ю с ( т . e . f ' (л) < 0 п р и л.о — е く ズく лго, 厂 (л) > 0 п р и Х о < .ѵ < .ѵУ4* e.
e > 0).
人
Р н с. 丨 0.5
入 。
не. 10.6
замечали с В точке экстремума производная может не существовать
(рнс.,10.5) или обращаться ц бесконечность (рнс. 10.6), но обязательно меняет
п ней знак. В лом случае экстремум называется о с т р ы м (в противоположность
г л а д к о м у эксгрец}му, который имеет функция с непрерывной производной).
127

Второе правило. Е с л и в т о ч к е х — п е р в а я п р о и з в о д н а я ф у н к ц и и
I/ — f ( x ) р а в н а н у л ю , а в т о р а я п р о и з в о д н а я о т л и ч н а о т н у л я , т о 一 т о ч к а
э к с т р е м у м а , п р и м е м : 1 ) хо 一 т о ч к а м а к с и м у м а , е с л и Г ( х ^ ) < 0; 2) хо -*• т о ч к а
м и н и м у м а , е с л и Г ( х о ) > О,
Чтобы найти наибольшее значение функции у — f(x) на отрезке [at Ь], необходимо
вычислить значения ее максимумов на этом отрезке, значения функции
на его концах, т, e. f ( a ) , f ( b ) , ц из полученных чисел выбрать самое большое.
Аналогично находится наименьшее значение функции.
Примеры,1 . Найти промежутки возрастания и убывания функции
} { х ) - = х ^ + 5 х ^ + 5 х ^ - в .
Данная функция определена п р и всех x t областью ее определения является
бесконечный промежуток ( — оо( + оо). Производная этой функции
У (х) = Ьх^ + 20パ -I-15лга = Ъхг (хг + 4jc + 3)
обращается в нуль в трех точках: X i — — Z y ズ2 = — 1 , x% -= 0, которые делят
область определения на четыре интервала: (— г 一 3), ( 一 Зг — ( 一 1,0),
(0, оо).
Поскольку f (х )= Ъ хг ( х ' \ - 1)(^ + 3 ) > 0 при д: < — 3,то функция возрастает
в промежутке (— оо, —3).
Так как \ f (дг) С 0 при —3 < ж < — 1,то функция убывает в промежутке
卜 3,—I).
Аналогично устанавливаем, что а промежутке ( 一 1,0) функция возрастает
(ибо 0 при — 1 < ж < 0), в промежутке (0, оо) она также возрастает
( f ( х ) > 0 при ズ > 0).
2. Найти экстремумы функции f ( x ) = — Э х ~i~ I .
Производная данной функции
П ズ>=3パ ー 3 = 3(х2— І)= 3 (х - 1)(л:-Ь 1)
определена для всех х и обращается в нуль при ズі
критические точки с помощью второй производной f ^ ( x ) = Ь х,
_ l t れ 组 1 .Исследуеы 9ТЯ
Рис. 10.7
Поскольку / ^ ( ― 1 ) = б(—1)= —6 < 0, то x い точка максшуиа; так
как Г ( 0 = 6 -1 > 0, то а =1 一 точка минимума
Вычисляем значения экстремумов:
m a x f ( x ) ^ } ( ^ \ ) ^ { - i y - 3 ( - l ) + I - 3 ,
m in /(x )= / ( 1) l 3 — 3 .1 + 1 = — 1.
128
График функции изображен на рнс. 10.7.
3. Найтн экстремумы функции f (ж) = (2 — х) х г .
Находим производную функции / (дг) = (2 — х)
/ ' (л) = - V F + ( 2 - ^ ) J - х - |/3 = -2 色 ニ 4
3 ^ 7

а критические точки Х \ ^ 4/5, = 0. (При Х і —4/5 f r ( x ) ― 0, при = 0 производная
терпит разрыв.) Исследуем критические точки с помошью первого правила.
Так как Г(^) > 0 при 0 < ^ < 4/5 и f f ( x ) < 0 при х > 4/5т то дч - 4/5 一
точка максимума, причем
max, w = 《 去 ) = (2 _ 4 * ル, 4 = - т р 4 г .
Поскольку " ( ズ)く 0 при x С О и f ÿ ( x ) Z > 0 при 0 < д; < 4^, то x t — Q 一
точка минимума, причем
шіп f ( x ) = f ( 0 ) = (2 ― 0) * 0 = 0.
График функции изображен на рис. 10.8. ' . (
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = — 2 х г + 3
на отрезке [—2, 2].
Находим экстремумы функции;
— 4,ѵ = 4 х ( х г —1), 厂 {ズ х і — — l f х г ^ 0t хз =1;
Г(.ѵ)= 12^s —“ 4(3パ 一 lh Г (-1 )-4 (3 -1 )> 0 ,
厂 '(1 卜 4(3—1)>0, Г(0)

В задачах 10.108— 10.115 найти наибольшее и наименьшее значения
функции в ее области определения.
x
3x2— l
10.108. f ( x ) = ( 1 + ズ 〒 • 10.109. f ( x ) — (1 + ズ2)3 .
10.110. f ⑷ = 24 (5ズ4 一 :10ズ2 + 1)
x2~ 3 x + 2
10.111.
(1+Л:2)5 *
f( x ) ~ ズ2 + 4 ズ+ 5
10.112. f ( ^ ) = X ln X. 10.113. f( X ) = e~x\
10.114. f (x ) = ex/x . 10.115. f ( x ) = ( \n x 2) /x .
10.4. Направления вогнутости кривой. Точки перегиба.
Асимптоты кривой
График функции у = f{x) называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз)
в промежутке (а, Ь)’ если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной,
проведенной в любой точке М(х, f(x )) этой дуги (рис. 10.9).
Рис. 10.9
График функции у = f(x) называется вогнутым вниз (или выпуклым вверх)
в промежутке (ау Ь),если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной,
проведенной в любой точке M (xf f(x )) этой дуги (рис. 10.10).
Достаточное условие вогнутости (выпуклости) кривой.
Если вторая производная f 〃( x ) функции у = f(x) положительна в промежутке
(а, Ь)’ то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке. Если вторая
производная f"(x ) отрицательна в промежутке (а, Ь),то график функции у —](х)
вогнут вниз в этом промежутке.
Рис. 10.12
Точкой перегиба непрерывной кривой называется такая ее точка Мо
(рис. 10.11),при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость
или наоборот (относительно одного и того же направления, например
вниз).
130

Достаточное условие точки перегиба. Если вторая производная
Г (х ) функции У = f(x) в точке Хо равна нулю и меняет знак при переходе
через эту точку, то M 0(x0f f(x 0) ) — точка перегиба графика этой функции.
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается
точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат
(рис. 10.12). Различают асимптоты вертикальные и невертикальные.
Если хотя бы один из односторонних пределов функции у = f ( x ) в точке а
является бесконечным, т. е.
ѵ
lim f ( x ) = о о или lim f ( x ) = 0 0 , (10.5)
x-^a—0
jc—Д+0
то прямая x = a называется в е р т и к а л ь н о й а с и м п и и - о ^ графика этой функции.
Если в правой части уравнения у = f(x ) можно выделить линейную часть
f (jc) = kx + b + a {x)t 、 (10.6)
где а(л;)-^0 при х 今 о о ,то прямая у — k x - \ - b называется н е в е р т и к а л ь н о й а с и м п ­
т о т о й графика функции у f ( x ) .
Если существуют пределы:
lim , ■= k t lim (f (х) 一 kx) = b, (10.7)
ズ~>+00 X ズ 今 +oo
то уравнение у = kx-\- b определяет невертикальную асимптоту графика функции
У = f(x).
Если существуют пределы:
ІІШ J J ^ L = k lt lim (/(лг) — M ) = Ö!, (10.8)
X―>11ос X Х—>
то уравнение у = kix + bi определяет другую невертикальную асимптоту графика
функции у ■= f ( X ) . .
Если линия задана параметрическими уравнениями х = фі(0» У — фг(0» то
сначала выясняют, имеются ли значения параметров, при которых одна из функций
обращается в бесконечность, а другая остается конечной. При ф1(/0) = с»,

Вторая производная равна нулю при .г = 1 . Если .ѵ < !1 .то [ f / ( x г < 0. поэтому
график функции является выпуклым вверх в промежутке ( 一 оо,1 ) Поск< льну
f f / ( x ) > 0 прн л: > 1,то график фумкиии является выпуклым вниз в промежутке
(1,+ оо). Так как при х = 1 вторпя произіи»ди;ін меняет зил к. то
Л/'(1, - 4 ) - точка перегиба графика функции Ц х ) =дг3—3.ѵ2Ч-Зл*—5 (рис. HV13).
о.. 9
2. Найти асимптоты графика функции / (дг) = ---- :--------Г .
Поскольку
lim f (x)= lim
л * + Зл:-
Л"-*~О А• С X
パ
lim / (дг)—lim
+ Зд: •
JC1-* ■ト0 x-^-r II
X
то уравнение х = 0 определяет вертикальную асимптоту графика данной функиии
(в соответствии с формулой (10.5)).
Так как /(д:)*=ズ+ 3 — 2/дг, где 一 2/ズ— 0 прн л — о о , то уравнение :/ = л -f S
определяет невертнкальную асимптоту графика данной функции (в соотв» :ні
с формулой (106)).
Ірафнк [рафик функции и :о6рпжен нп рнс. 10 14.
P
Найти асимптоты графика функции f ( х )
1 一 |ズ 丨
соответствии определенном абсолюиюй пеличини можио зг'п;: пгі,
у2
ү42
f ( x ) -----при X > 0, /(дг) — ------- при А* < 0.
— X і + дг
Поскольку
хі
х2
lim ------= ou, lim -------
дг—1 ■_ X X-*—11 + дг
то ураинсния х — 1 .л - 1 определяют вертикальные оснмптоты грпбііка данной
функиии (ряс. 10.15).
Чтобы наити невертнкальные асимптоты.
воспользуемся формулами (10.7) н
(10.8). Так кпк
Ііш 1 Ç L
= lim
lim
х-> ,
.v8
一 1’
Р н с. 10.15
liim [/ ( x ) 一 b ] =^lim ( j■ 一 ;y. + A) =
= lim 丨 ゴU 丨 im
то уравнение y = 一 дг 一 1 определяет невертнкальную
асимптоту графика функиин.
Аналогично находим вторую невер-
тнкальную асимптоту, она определяется
уравнением r/=x—1.
4. Наити асимптоту кривой, заданной парамсгричсскимн уравнениями: х ==
土 1- .
132

Поскольку прн / -
асимптоты.
При t — оо v сю,
зонтальной) асимптоты.
ij — о о , x 3, то .г =* 3 — урпвиснир всртикэльной
1 ,îiüirTDMy ц =* 1 一 уравнепир нено})Тик.мыіг:й (горн-
Замечание. Ікключая парлметр t из данных уравнении, получаем у こ
или (.г 一 ЗН"— 1):
дг == 3, у =1.
Рассматривая это ураиясшк*. нпходмм лсаѵптоты:
В задачах 10.116— 10.125 нанти промежутки Ғіыпуклосги ;і точки
перегиба графика (Ьѵпкипи.
10.116. /(дг)= л*3 — б.ѵ + 7.
10.118. /(.r)= x3 — Г)Л*2+ У.
10.120. f ( x ) = ズ4 — G.v2 + ôx — ü.
10.121. /(.v)=パ ー 12.^4-10.
10.122. f( x ) = л*5 一 10л:3 + бх … 2.
10.123. f(x ) - .ѵв — З.ү* + З.ѵ2 — l.
10.124. /(.ү)= 1バズ 一 2)+ 3.
В з а д а ч а х 1 0 .1 2 6 一
10.126. у = x l (x し 1).
10.128. у = (4 + 2л* — х2)/х.
10.130. у = ) л- 一 !.
10.132. b \x2 + u 'iß = x 2t f
1 0 .1 4 3 н п и т и
10.117. / и 丨 л*5— к : — 5.
1Ü.119. /(.v) = .v1 + 6л*2 一 7л* + 8.
10.125. /(.ѵ )= 1 ( 丨 + л •り .
псимтоты i рафик;і функшш.
10.127. у = 3/(.ѵя — .v).
10.129. y = (.v:l + 2.V- 一 5) л-
10.131. y = c^r^ - x\
10.133. {x2 + i/2) ÿ2 = û-.v-.
10.134. x = t — 1, y 10.135. .r y 2t
10.136.
10.137.
10.138.
10.140.
10.142.
2/
f3 — 3/ + 2
/2
1, v — Г-
_2.v2 十 3 1 — 4
x ^ 2
x
> 一 І •
x2 + 4
x2 — 4 •
•
___î - —
> —4/ + "
10.139.
10.1 11.
10.143.
10.5. Исследование функций и построение их графиков
I К'»МСД' «};ѴІІКЦІ:.І .1 .остросішс іі\ Графиков ;ірО0оДПТЬ : 丨 следующая
v.\CMr.
! 11 нтіі г »"л сть опрсді. іення функции, точкп • рыил.
2. Іісслсдмзг::j> измексшіе функции при ѵ, стремналмся к кпииам . ял т-
ков оОласіи определении и тчь;ш разрыва.
3. ІІІМПі! I *ЧЫІ ^КѵТре.МѴма и промежутки 803р...:Т :НИЛ 1 убын.:!;.:я функции.
4 Вычисли ;ь лиачения экстрем> моа, построить сиотвстстіуюіции し чки.
133

5 Оіірсдинть интервалы ьыиуклости н погнутости графика функции, найти
точки переги6;і.
(> Нпйтн точки пересечения графика функции с координатными осямн.
7 Найти асимптоты график^ фуякинн.
Lc.ih нсслсдусмая функция четная ».m почетная, то ее достаточно нсслсдовать
при иоложитсльііых значениях аргумента из облнети ее определения и принять
в иннмлнт-. чіп график чітиой фуикцил оиммстілічіи относительно осн ординат,
а график нечетной функции 一 относии льно начала координат.
Иногда порядок нсслі донашія ф> пкции целесообразно выбирать исходя нз
конкретных сс особсішості и
П р и м е р ы .1 . Исследи вать функцию f (г) « パ + Зхг — 2 и построить ее
гр; фик.
1 .Областью определения данной функции я ил яется бесконечней промежуток
( 一 ос 4- оо).
2. Функция неограниченно возрастает при х ■ . т. e. Iim / (.v)
•-
далее !іт/ (л) = -
、•
X-*— -,
а. Прои диодная далний функции
Г (х )
3.Y2+ (i.ï = За(лг + 幻
обращается и нуль при vt = — 2 и .ѵ2 —0. Гак как 厂 (,ѵ>>0 при д: く 一 2
и л* > 0. v, фуикшія і.чет а промежутках ( — оо, —2) и (0. + оо). Поскольку
f' (х) < 0 при 一 2 С л く 0. то функішя убыиагт в промежутке ( -2. 0). Отсюда
ужо М'»жт> лак.іючять, что л*» = 一 2 — точка максимума, дг2 = 0 — точка мини
м\ма. (Этот резѵльтпг полѵчастся іг с помошью второй производн 0.)
2 п v- = 0 в выражеігнс для фѵнкккк. вычис­
*1.Подставля)! якачемшя vi ~
ляем ее экстремальные значения*.
шах f ( x ) Д -2)-( 2)3 + 3(—2)2- 2 = 2.
min f(x) = f{0) = 一 2
Пи.іучсміы дне точки гр.іфика .Mi (—2. 2). АЬ(0, —2).
г. Вторая производная /7/ (.г) = ьх + fi обращается в нуль при д:= — 1.Так
к;-к 0 прн .v > 1 ,то график фѵикиин
я в.;, тся выпуклым пниі ь ирпмсжуткч* ( -1. f- оо):V(—1.0) — точка перегиба
графика
б. Решая ураши*ние /( ѵ) О. т. е. .ѵ3 Зл2 - - 2 = 0, находим ііѵли функции:
一 I —I 3 • л*« 一 1• -Ѵ.ч — 1+ 1 3 • поэтому /С|( 一 1― )3 , 0), Д,(— 1,
0). KJ. ― ! I 3 . 0) точки пересечения графика функции с осью Ох. Положив
в иы[ . чі ііиіі Цх) v3-f- З.ѵ2 2 x ― 0. получим " = 一 2: L(0t —2) 一 точка
IU |>- •• '' П!« СОСЫО Otl, ОН:! 0)ВП;)ДСІСТ с точкой ЛЬ.
7. IЬ »скольку
i. / W i Р 丄 3W — 2
1j m • ҳ ---. = lim----- --------- -— . = x. •
л ―• X x—>、 •て
T iv !: существует конечных іііние.кж иидп ( 10.7), 70 график данной функции
ficwvrn 7 ііе имеет.
(мѵс.тіів получсмиыі точки i! приняв »о ним v анис указанные результаты
функции, строим ее график (рис. 10 .
1 »- 9 j ------ и построить ее график.
1.Ф\ икимя опрі дс.кііл нріі всех х за ік ключснисм .t = ― 2. x ~ 2, т. e.
областью сч оіірсди.кння является множество трех интсриалов: ( 一 оо. ― 2),
(— 2. 2 ). (2 . + о о ).

2 I Іоследусм измопение фуикини при х, стремящемся к концам промежутков
обллсти • wtp*»деления:
lim In j
lim ln
л + 2 1= о, lim ln I —__― j - *4., lim I
X—Т І ズー 2-ü 1 Д:— 2 1 2 U1 A" 一 2 1
务 丨
lim ln
■*2+0
x ^ 2 I
- x , lim ln 1 --- I
^ — 2 1 JC-+-r、 1 x 一 2 j
2 x
IO.U;
Поскольку 厂 (V)
•V2 -
— < .0 при x く .v > 2, функция убывает в
промежутках ( 一 оо. — 2 ) м (2, + ос ) ; так к;ік j r ( x ) > 0 ир» — 2 < .ѵ < 2, функция
нозрастает в промежутке ( 一 2. 2).
4. Функші» экѵтр^ѵѵ) мりіі нс іі.\!еет, потому что нет критических точек: произвол
ніи (л.іичн.і от ну.!я при ікчѵх л, она обращается » бссконечн. оіь a ц/іках
x db 2, где функция не г>предслемл.
5. Вторая производная
Г (.ѵ)= 8л7(.ѵ= J)2
pauüa иу.ію при .r = 0 и меняет знак при переходе через эту точку: j ” (л.) < О
при — 2 "< x < 0; Г {х) > 0 при П < x < 2. Следовательно, х 0 — абсаиоса точки
перегиба. Эта точка совпадиет с началом координат, так к«:к се ордината у =:
-/(0 ) In I - . Р_
Л I = 0.
Поскольку 0 при .v < — 2. то график функции uor»\ т т т з л межуткс
( 一 оо,*—2); т.ч к к;ік 广 (.ѵ )> 0 при х > 2. то грпфик функшш вопічі ыи-рх
в iîpï»\nж \т к с (2, + оо).
6. Грзфик функции псросекпет координатные оси в начале коордия а.
7. Поскольку
lim In I … 丨 一 — cv:, lim ln
r-r 2 ’
1 х - 2 1 x^2 1T —2' ;
то прямые x —— 2 . x 2 являются лсимптотамн графика (рис. 10.17).
Ось О х янлястся горнѵлітиы ю й асимптотой график;і. так как
х + ^ I -
lim In 丨
「2—1
В задачах 10.144— 10.183 исследовать функцию н построить ее
график.
10.144. Ц х ) = x 3 一 З.ѵ+ 2. 10.145. f ( x ) = х 3 + З.ѵ- + 1.
135

10.146. f ( x ) ^ x 3 一 5.v2 + 3ズ ー 1•
10.147. f (•て)= ズ3 — 2.V- + л• — \.
10.148. f( x ) = .v3 — 12.V+ 1. 10.149. f ( x ) = л*3 一 G.v + 5.
10.150. f ( x ) = x 3 ― G.v2 + 9.v ― 3. 10.151. /(•V) = ズ3 — 3jc2 + i.
10.152. /(-v) = 2л:3 - 4х- + 1. 10.153. f( x ) = л.3+6.ѵ2 + 9 x — 8.
10.154. " ズ) = ぶл + 4.Ѵ2 一 g. 10.155. f ( x ) = 士 x 3— 4ズ 十 3.
10.156. f ( x ) ^ •v * *l.v2 + 3. 10.157. f( x ) = 5л- — лベ 一 6.
10.158. f ( x ) = лパ* — IO # + 9. 10.159. /(•V) = 】3 が 一 f — 36.
10.160. /(Л*)= л*г> 一 5л* + 3 . ÏO.ieî. f ( x ) = x:’ + 5.V* + 5 x \
10.162. /(.r) = л* •— 7,5л:4+ Ш 心 + 2 . 10.163. f ( x ) — 6л.4 9а*2— 10.
10.164. f.( x ) =
1
1
10.165.
дга —
f ( x )
3ズ 十 2.
T 2-h~2jc+Te
10.166. l.( x ) ~
x
X
ズ2
10.167.
一 む + 3* П х )
一 л.а 一 十 2
x + \
А2 + I
10.168. f ( x ) = - W 10.169.
十 І • i ( x )
一 パ ー Г
Л*2 + X
10.170. f ( x ) 10.171.
Х + І • H x ) л• — 1 •
X2 + 2ズ ー 3
J0.172. H ズ) = .V- 十 4x + 3 •
10.173. f ( x ) _ л2 4- 5.v 一 4
дгг — tu - f 5 e
10.174. f (.X) =-• - 3- x l X. 10.175. f(x) = JC+ 1 4 — x.
10.176. i (ズ) = х4/ ( х 3 ト J ). 10」 77. R x ) ==.^/(.v 2 + J )•
10.178. /(-V)= •v4 卜 2 хя- ^ х 2— 2х. 10.179. / w = 2 ズ3-л*2— 2 x —x 1.
10.180. / ( ズ) = xh/ ( x x 1). 10.J8J. /(-V) = ズ V ( P — 1),
10.182. f (X) : : 丨 ベ ; :U
10.183, m
叫 在 H
В задачах 10.181 — 10.189 исследовать функцию, заданную неявным
урагліѵчиіем, ü построить се грлфик.
10.164. xi/'1 — у1 一 4.ѵ = 0. 10.185. лへ+ ÿ4 = û4.
10.1S6. ,v- + iß - x4ß. 10.187. Л-4 十 x が + .v2 一 !/2 = 0.
10.188. х у - = (.で 一 І)-. 10.189. ズこ+ //3 ― .V- = 0.
В задачах 10.190— 10.193 построить грпфик функции, заданной
параметрическими уравнениями.
10.190. ^ = — s У — ү г ^ г г - І0-,9,в *ѵ ^ /з^ГГ* У = Т*+ПГв
1 0 .1 9 2 . x = 4 ^2, у = 3 / ( 户 + 1 ) . 1 0 . 1 9 3 . х = ィ さ У .
136

В задачах 10.]0-1 一 10.223 нсслед

Объем м>н;с л опрсдсмястся формулой
Г ニ W i/3 ,
где һ иысота.
Так к;; к
ТО ПОЛѴЧ:іѴМ функцию
г-
! іл*
ф2I
12л 7 丨 4 л3
аргумент которЫі меняется в промежутке (0. 2л ).
Злдач.-j сводится к нахождению экстремгиьных змаченни функиии Г. Иаходмм
производные функции V:
І2л
2ф I ! — 」 Ѵ -
(•ド
, Я п:<
f 1
8 л-
_ О - 去 )3” •
Пр;:ра:;ин»ая нулю m рв\ ю ирои ш-аную. ік*лучасм ураниеипс
2

Поскольку vr/iO) > 0.

V . И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е
Ф У Н К Ц И Й О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й
1 1 .НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Первообразной ф ункцией для фуикііии f( x ) называется такая
функция Г (x ) ,производная которой равна данной функции, т. е.
Г (х)= Д л ).
Неопределенным интегралом от исмірерывной функции f( x ) или
от лііфферс-іпииілыіого нырпжспия f (x)clx называется совокупность
всех псрвообрм.^ных фуиклин /(.ѵ):
/ ! ( х ) с! х = / : (л -)+ С ,
где / ѵ (л*) = /(дг). Функиия f (х) называется подынтегральной функциси.
a f(x )d x 一 подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла:
1) іірои:тодііая нсопро/илеииого интеграла равна подынтегральной
функции; лнффсрсииилл неопределенного интеграла равен
іюлынтстралыюму пырпжеіппо:
( f f(x )d x )r = Цх), d J f(x)ilx = f(x)dx;
2) неопрелслешіыГі иііті грпл or дифференциала некоторой
функшш равен сумме ラтой фуіікшіі! и произвольной постоянной:
/ d(f (x) = ф(.ѵ) + С, / dx = ズ 十 С;
3) постоянный миожптсѵіь можно ныиосііть за знак неоиределсшіоі
о интеграла:
f cf (x)dx = c f f(x )d x (с = const);
П ficon|Hj;ic.K4i!iUM интеграл or а.ігебранчесі.оіі суммы непрерывных
функций равен соотвстсівуюшей алгебраической сумме
ікоіірслелснных интегралов пт слаі аемі>іх:
f І,і(ズ) 一 Ыズ) + h (x) \dx = / / , (x)dx 一 S f2(x)dx + f fe(x)dx.
11.1. Непосредственное интегрирование
В л ілык йшем С> дем пользоваться следующей і а б л if ц с ft о с ионных
и е о и р г л p л г » )і u x и н т с г р я л о в;
、 гл-т\
\ X хd x = -------------J- С (а - - !). (11.1)
J а + I
ПО
[ dx = \ dx = x -г С,
\— dx = Г = !п I x I - г С (1 1 .2 )
• д: J д.-

レ ム • = パ + с,
^ tdx=1~ w r + c '
\ cos x dx ^=i sin x + C.
J sin x d x ^ — cos x + C%
i ----!-r— d x ~ Г---- -— = tgX -p C,
,! cosâ x ) cos* x •
Г— к 一 dx = Г_ ~ _ = 一 ctgjc+G,
J sin« r J sin2 x ь 「
Г~ 一 1------ -d x = Г-------- -----------— arcsin дс + С = 一 arccos д: + Clf
•い 1 一 дг» J 丨 1― W
Л-
dx = Г— 1~ — = arctg ズ + С = — arcctg x + Clf
J i + x"
vâ-
Мет -Д непосредственного интегрирования основан иа
ік.тве 4 «г определенного интеграла. Если f (д:) = f i ( x ) — f z ( x ) + f з (дс), то
/ ( f y ( x ) — І г ( х ) + f 3 ( x ) ) d x = f [ i ( x ) d x — J U ( x ) d x + J f ^ ( x ) c i x .
Примеры. I. І Ілнти неопределенный иитегрлл | を ニ! ^ 土 1^ г ニ 7:г 土 ^ 心 .
J
XJ
P ii1 іг.іир пичлсіпк1 числитель на зипмснатсль, использовав своГіствп 3 и 4
пео::; に 丨 г ннтегрлла. ло ф(.рмѵ;іам (11.1)и (11.2) нл ходим
С З х * — 2^ + 5パ 一 7л: + 8 d x
~ i----------------- 一 — 丨 3jc2 — 2лг + 5 ― 丁 + — 2- j ぬ :
= 3 \'х гііх — 2 ( xdx + 5 { d x - 7 \ - ^ - + 8 \ -=
*' «‘ «' X щ) X
уЗ у 2 Л: 一 2+1
= — 2. ノー + 5дг — 7 ln JC+ 8 — --------- + C =
3 2 一 2 + 1
x 3 — x 2 + 5дг 一 7 !n д: 一 + C.
x
2. Нійтн } (1― 丨 дс、3 心 .
Раскрывая скобки и применяя формулу (11.1), получаем
f (1 ― 丨 1)з dx - \ (1— 31 х + Зх 一 dx =
dx 一 3 j I x dx -f- 3 \ xdx 一 丨 ) л:3 dx = ' dx — 3 \ dx --
3 、 x d x 一 i x ^ ^ d x = x ■
3. Найти Çcos2 ~ d x.
X3 / 2 , o JC* x ^ 2
3/2 2 5/2
— 2аі х + Л - х2 — ^ . x^ V x + C.
Поскольку COS2 — • _1 ニ .cos r__, то
• 2 2
i cos2
d x = I 」 ^os x . d x = -L- j ゴ r + — f cos x dx
~ 一 ^ 一 x + — sin -V -f-
141

задачах 11.1— 11.20 найти неопределенный интеграл.
• • (、б.ѵ4 — 8.ѵ3 一 4 х 2 + Здг -
(1х.
• フ3—
9дг;» + 丨 — 6х3 + 7.t3 一 む + 2
11.2.
dx.
а-3
о
П 3.
dx. 11. f / J _____ i
dx.
Я 士
I ( Jt3 Л。
I I X — dx.
11.
- j dx.
}( 丨 7 : î
0 7)5
II j (2 + V,-v)3 dx.
11.
dx.
*■» /
3 e ~
II
dx.
11.
x3 И!
dx.
X4
r*i
x
I. • 11. cos -h-----sin 了 ) ax. 11.12. jsin2 - ү dx.
](
5 —4 sin3 x
•7 + 3 cos3 x
I. .13.
dx.
11.14.
dx.
sin- X
I1.Î5.
J(- w ) dx. 11.16.
1+ Л2 j dx.
x-
x 名
11.17.
dx.
11 .18. f- dx.
11.19.
/* ど2
~ -~ dx
J ズ3+ l а л .
11.2. Метод подстановки
11 .20.(-
В огново и н т е г р к р о в а и и я путем вводе н и я ново и n e p e vj е н-
н Гі i м r i д подстаиовк и) лежит формула
f f ( x ) d x = J バф(И))ф'(М)ゴ"•
гдо л ^ \ , и ) 一 дифференцируемпя фуикшгл от и .
Если Г ( х ) = J j ( x ) d x , где Ғ ' ( х ) => f (.v), то
F ( u ) ^ = f f ( u ) d u ,
где и ^ и ( х )—любая дифференцируемая функция от .ѵ. Последняя форму.!л
ュ пет возможность значительно расширить т.ч блицу простейших неопределенных
интегралов, заменив л. ип и в каждой из формул этоГі таплииы. нипримі р
j cos u d u - sin u -f- C. J e u d u e u + С н т. д.
Примеры.1.Найти J sin (3 — B x ) d x .
В т•ユ(м новую іи*рі*міин\ ю іні формуле 3 — 8л* = w, откуда —SJ.x: = d u и.ін
i l x —i l u 8. Подставляя полученные выражения в подынтстрпльнос Быражоиис\
находим
. 、 / d u \ I (• ^
(sin (3 — 8а-) d x ~ I sin
8*1 = — ~ 8 "jsinw

3 а м е ч а н н e. Здесь принято во иниманне, что f sin u d u ニ — cos и - f C.
(ш dx
2. НаГсти \ ------ 厂 , 一 .
• ) ズ J 3ズ+ 1
Чтобы избавиться от иррациональности. положим \ Зд: + 1=w, откуда
З.ѵ+! = и: . дг 之 ど — 丄 ’ dx = udu. По формуле (11.3) находим
3 3
Г , 1* —
[ dx [ 3
и
i du 一 ==ln и — 1
\ w - 1 u + 1
Перел - дя к ік*рсмсниои .ѵ, получаем
С dx _ . , ] Зд: -f 1-
л* У Зх • 卜 丨 丨 Здг + 1
! + с.
3. lia Лги Г 1タ ニ ズ 1_ゴュ'
J パ
В случае, когда подынтегральное выражение содержит } а2 一 ла, цолесооб-
I іно использовать тригонометрическую подстановку jc = a sin и нлн v = a cos и.
ГІрнм. іінм подстановку jc = о sin и, откуда dx = a cos udu. поэтому
Ï а3 — л*2 ム 丨 丨 û2 — a2 sin2 и л ハ〜 ,. #_ l cos2 и
dx = \
a cos и du = \ 上 て°n Mdtt.
, хг J a2 sin2 и
.1 sin2 и
I Іос.… a:ù интеграл сводится к табличным интегралам:
論 ぬ = ж г - - л - レ
Заметив, что
sin и -= _ , и = arcsin - —-,ctg и = и 一 -
и a sin и
f>K ич телыю ПОЛУЧИМ
一 х у а 2 ― 丨 が 一 文 2
xja
I 一 sin-4и
sin и
j 上 ^ i L d x — 、 - arcsin + + C.
>» ズ 2
4. Найти dx.
Г:; еобра.чул подынтегральлую ф\ пкшію, получаем
J し . ィk f レ * + む + 1>— む 一 I 十 .— ( . (Н -Д)--2л - 2^ І
Ы * •' (1 + ぶ)8 J (1+д.) 厂
\ - Ü ü — 2 。 十 4 + 1 dx =-. ( _ _ d x . - 一 2 f _ ... 丄 \ ― _ 包 一 _
< 1 + ズ)8 (І+Л)« J II+ X ) - ■ } (1+4*
= l A ( i ± . L L - 2 l - l i i + i ) - + f メレ+ 1) ―
J (jc -f J>* レ + 0 Т « ! レ 十 J)*
(Л- -- l)-®d (x + I) _ 2 * r.v - \)~ 7d (X+ 1)-b (.c l ) - 8rf (.r 1)
_ 广 5 o (jf -:- i r " ( r + I 厂 7 , 〜 I

Замечай» е. Здесь применены формулы:
d x 5= d (д: + I). j u a d u — м + 夏
а + 1
С (а 一 1).
В задачах 11.21— 11.62 найти интеграл, применив метод подстановка.
11.21.
丨 sin (2х + 7 ) dx.
11.22.
cos (4 — 5x) d x . 11.23. J x cos x2 dx
11.24.
I x2s\n .t3 dx.
11.25.
^ x\ x — 4 d x . 11.26
dx
2 .Г П З •
11.27.
c o s j X
\ X
dx.
11.28.
Г d x
J 7 - む.
11.29.
J ex\x 2d x .
11.30.
X
y 4 x + 9
dx.
11.31.
J i r w
dx.
11.32.
C
x2
(1 十 ズ)e dx.
11.
co,2лг8 і п ^
jy
r
3 cos x sin x dx.
11.35.
I sin4 x cos x dx.
11.36.
j cos6 x sin x dx.
11.37.
11.39.
11.42.
\ x] x2 + 5 dx.
H dx.
r cos» X
J sin2 X
dx.
11.38.
11.40.
11.43.
\ x2 ) x3 — 7 dx.
sinJ X
1+ x2 aXm
11.45. f(x —3 )l^ x ^ 4 d x . fl.46. \ х^(\ гТ ^ х 2)Чх,
11.47. J K 8 — 2x2;dx. 11.48. \' x^V 27— 3xzdx.
11.41.
11.44.
Г* sin5X
J cos* X
arcsin x
dx.
•r*
dx.
11.49. J.v4| 64 — 4x2dx.
11.50. ù 2(l 2 7 ^ 3 х г)^ х .
x d x
11.51. j'—7
y 4 — Л:2
lll3 X
11.54. dx
11.57. \
11.59. \
x d x
I + x 2
d x
I 1 一 .v2
11.61. \ ( I 64—4.v2)8dx,
11.63. Показать, что \ Y a2 — x2jdx
丄 C.
11.64. Показать, что
144
11.52. C x 2 d x 「 x ^ d x
.11.53. '
J \ 9 — x 2 j 1 丨 - 0
11.55. い ズ》+ 4 - dx.
X
11.56.
也
11.58.
•ъ
x z
1— X3
J \
11.60. •し1 l25-^5x2dx.
11.62. ) ( l 8 一 2хг)Ых.
J,パ
d x
+ ct
V a2 一 л*2
Cl2
ln 1ズ+ \ X" ci I C.

11.3. И н те гр и р о в а н и е по частям
Интегрирование n о частям выполняется л о формуле
J u d v ~ и ѵ — J v d u % (И.4)
полученной из равенства d ( u v ) = u d v + v d u .
Примеры.1 . Найти интеграл \ д: cos Зд: d x.
Положим x = «, c o s 3 x d x = d v . Из первого равенства путем дифференцирования
получаем du — dx, а из второго с помощью интегрирования определяем
функцию v =^= 'ß- sin З.г. По формуле (11.4)получаем
\ x cos 3xdx = x • - i - sin Ъх 一 \ _I_ sîn Зх dx= sîn Зд: +
~f* cos Здг -f- С .
2. Найти интеграл J x 1 sin 2 x d x .
Полагая х2^ и , sin 2х d x = d i\ находим dti^2xdxt ѵ-
ле (11.4) получпем
.cos 2x. По форму-
^ x2 sin 2xdx]^=lx2l ^ 一 - i - cos — \ | — -L. cos 2x 丨 2xdx =
= —- y x3 cos 2дг -(- J x cos 2xdx.
Применяя euie раз формулу (11.4), не выписывая явно и и сіѵ, находим
\ x cos 2xdx = \ x ふ d (sin 2ズ)= JL. x sin 2x\— -レ\ sin 2xdx =
1
A:[s in 2x + __ cos 2 x-\-С.
Следова тельяо,
л
\ x2 sin 2xdx : — cos 2л: + C.
В задачах 11 хю — 11.94 иайти интеграл методом интегрирования
по частям.
11.65. f x sin oxdx. П .66. \ xe~2xdx. 11.67. I* {x 7) exdx
11.68. \ ln (2!— 一 .v) dx. 11.69. ' .r ln G.vd.v. 11.70. \ arcsin 一 今 一 dx
11.71. .1 .v arctg 4xdx. 11.72. J .v V U v ." 11.73. 1x 5e 一 X*dx.
11.74.
r X sin X J
~ ~ dx.
J COSJ X
11.75. ' (.v2 — 2.V-L 3) sin xdx.
11.76. ) (a*2 • 4.v 一 5)cos.vd.v. 11.77. ) ,y2 arctg xdx
11.78. ' Л*2 5ІП xd.W 11.79. \ .v2 cos 3.vd.v.
11.80. 1.V3 co^ xdx. 1 1.8 1 . \ COS 丨 Л7/.Ү. 11.82. x co>l x d x ..
11.83. (arccos х У сіх. 11.84. 1.r3 sin .v2rf.v. 11.85. .v2 (ln ,v)2d.v.
Ю. Зак 2026
145

1 arccos 1
11.86. 1.v cos2 xdx 11.87.
— dx.
J 1 ï
■» ,
11.88. \arccos 1 11.89. 、arcctg 1 x + \ dxx
dx.
П .90.
P л* arccos x
) 1
11.92. j.v arcctg j x dx. 11.93.
11.95. Показать, что
dx. 11.91. •v arcctg 1 Л 2 一 ІСІЛ*.
\ r • о
\ er sin- - dx. 11.94
I л2 十 a dx ニ 冬 | ズ1 x 2 + а а In | .v -:- ] .v" - a !| C.
11.4. Интегрирование некоторых функций,
содержащих квадратный трехчлен
Интеграл
i*_____ dx
} ä T -ь с
сводится к одному из следующих интегралов:
Интеграл
mし
Интеграл
n инвест и
С du I … レ и ,
\ ■— ■— —- arctg ― - '
J и* + а* а а
Г_ ^ 丄 In j - Ч Ю . i - f
J us — a3 2a i u -j- û I
I
Dx г Е
- dx
Ax2 + Bx + С
n iiu i ралу (11.5) пли (11.0) и к интегралу
、• udu
Lln|üa + cc| + C.
и1― а
Ах2 + ВХ + С
;н'.)Д!!Т.'я к одному из шпсгралов:
I* du
-—arcsin — + C.
J \ — и
a
du 一
\ ----- ци = In , ц + I иг а \
丨 が + а
Иптогра/
dx
Ах2 十 ÄX + С dx
( П .7)

П р и м е р ы . 1 . Найти
dx
4ズ2 + 8ズ+ 13
Вынося за скобки коэффициент при .ѵ2 и выделяй полный квадрат в знамснаг<
.іс, по формуле ( 11 5) получаем
\ dx — ( dx _ 1 i* d (x ^\)
4x2 ■Sx + 13 } 4 [( x * + 2 jc + 1)— I + 13/4] 4 '.'i lfx + 1 尸 十 (3/2P
y -1- 丨
--------arctg m __ + i
4 3/2 e 3/2 丁 T arctg 2 十 c .
Найти \
dx
9x2 — 18a — 16
Преобразуя знамонптель, по формуле ( 11.6) находим
dx с dx
\ ~ 9 х ^ \ 8 х — 16 ' — 2л*Х I ) - 厂 ニ 16/9Г
1 • d (x — 1)
9 J > - 1 ) 2- (5/3)2 9 2-5/3 (ズーり 十 5 / 3
Нангн
dx
J I -V* бдг -f- 8
1 1 ]n i レ 一 り 一 5/3
з г In ! 3 J + 2
Преобразуй подкоренное выражение, по формуле (1 1.7) нлходим
dx ______ _________ ________ ___ __ U (х 3)
х ' - - - 一
J
_ - •
I (jc3+6a; 十 9) —9 + 8 J I (Д:-f 3)^ — 1
4. Найти J 丨 12 + 4л:-» дг-Ѵ/.ѵ.
ln Jx + 3 -;- 丨 (лг -}- З)2 — 1 J-f- С =
1 中 + 3 + 丨 л:「-「ёѵ + 8 | + с .
Ііріоорлзуя подкоренное выраженир, и о формѵле ( 11.8) находим
j I \2 + U — x^dx = ' \ ニ ((x2 — Ax 十 ‘り 一 4 — Щ О х =
16 — ( А ~ 2 ) 2сі(л*— 2)
л* — Г
j
16 —

1 0 6 .
HO.
____d x 一
■パ ; i +
x + 2
" 2. 、パ+ 2JC 十 5 d x .
114« \ — =r_ —— •
J I x ‘ — 4дг 一 о
117.
120.
123.
127.
d x
2х2 — 4л - 5
d x
J | I2-J-4V — .t-
f
■ d x ____
:\ 10— 6 ズ 一 З х ,
\ _____ 包 _____ •
•リズ—り 丨 Л.2—лг+2
11.109
11.111
11.113
11.115
11.118
11.121
11.124
125. j \ 5 + 4x— x2dx. 11.126
11.128
dx
\ л-2— х— 2 •
I* :6дг + 5
1 Ъ х- + 5ズ ー 9
Г___ ズー 3
} 2 х 2 — 8.ѵ + I
Г dx
) ï jc * + І б х + S
С
d x
x* — 6x
d x
dx.
dx.
1 パ + 4 x+ 1 3 d jc.
一 dx]
[ x + 2 ) \ дг2 + дг +
дг + 4
дг2 -Ь 6ズ
dx.
11.116.
11.122.
dx
J \ 3W +6jc+4
Г_ -d x - -■
J I ^ + 5x '
C d x
I 7 十 む 一 2ズ2
129.
Л ---- О
J х ^ — ~4х
dx.
11.130
x - + 2 卜 3
dx.
( x - 3) d x
131. 丨
х л -г 8 x - r 25
134. \
(£ ニ 3) d x 一
I パー 一 む 一 9
11.132
11.135
( x + I) d x
―
(a* + 7) tix
лг- -f* む 12
.133.
( x 一 G) d x
* * + & * + 17"
11.5. Интегрирование рациональных функций
11ぃ uptユелеішьпі ннтсгрпл от целой рационпльноГі функиии (многочлена) на-
\r.i\n lu-ïît'opeaciH'-jiii' •
(а0 ニ а! >: 丄 а2д:3 •. • + апд:п) Л к — d x + a ^ x d x + g*) x ^ d x + • .. + ûn] x n d x ^
•v* 丄 . .V3 • On x ^ + C.
л +
ГІпн ііахождсмиііі интегралов от дробных рациональных функций, . функчА
пил л
Рп (5) v
4- апхп
R (x )
Qm(り b0 -f- ö,x -f- b2x2 - ЬтХт
предварительно ьыдсляют целую часть путем деления остаток• правильную
рациональную дробь 5(.ѵ)- 入
представляют ммы элемен-
QmW
тарных лробеГі:
А _ 一 ßx + C
(x — a)n (x3-f- px +

Знахи;н:л(мь dv i л гкіі (многочлен Q,„ (л)) разлагают на множители вида
(jt — ü” s i v: + ,u. + の 、. а сим остаток в соиіисгствни с іг.иучснным раз;іожением
— на сумму -»лементприих дробей с.іедуюміи.м обра.

Пришімпи во внимание полученный результат и формулу ( I), иах *дим нскомиГі
интеграл:
у Х^+х'- Jx = J い: 一 1+ 1 ^ 7 ) 办 = 手 一 : + In I Y ^ 'h î I + c .
» Ѵз + 5Л2 一 13ズー 9
2. Найти интеграл \ ------ ヌ 二 П Т ^ 丄 g— ゴズ•
ч)
Поскольку
л4 - \ 0 х 2 + 9 » ( t3 - 1 ) (.V2 - 9) - ( x - 1 )(х + 1)U —3) U + 3),
IO
х^ + ох^— 13.V — 9 л ニ ß … С , D
x* 一 j 。ズa+ —9 .r — 1 дг-f- ! лг + З ' дГ-^Гз"
_ і4(дг+ 1)(ズ2 — 9) + В ( Х ― !)(.ѵ2~ 9 ) + С (дг — 3)ビ 一 \ ) + D ( x + 3 ) ( x 2 一 1)
(x 一 1) ( ズ+ 1) (-ï ~Ь 3) (.v ― 3)
^ ( A + お+ С + 仍 + 尤 2 (バ 一 В — ЗС + 3 D ) 一 x (9.4 + 9ß + С + D) •
― '~ ' л4—"Ю .^+ 9 ' ,•
. ( 9 B — 9 A + 3 C — 3 D )
‘ ^ х * ^ - Юл:2+ 9
Пр}флнішв;:я к •»ффііщн^лы при одшілковых степенях .г. получаем систему
уравнений: 、
l + ß + C + D = 1,
Л - - в ~ ЗС + 3D = 5.
9/1 + 95 + С + の - І.З,
90 ―9.*1 + .ЧС 一 3D = 一 9,
решети- коь>роГі î = 1.ß = 1/2, С ^* ― 1,D ― 1/2.
Разложение лаіию и дроби на элементарные имеет вил
поэтому
х 3 + Ь х 2 — \ г х — 9 — 1 丄 丨 1 ― 丨 — 丨 1
~ .к4— 10.V- + 9 «— 1 2 л + 1 л —3 2 л — 3 ’
f W + 5パ 一 !Зл: — 9 • i) I , \ / U - r - l ) C d (x -^ 3 )
•、 一 л^-ІО^ -L9~ dx = J 、 ニ 「 + -2- ) ~ ^ Г Г 一 •、 +
1 ^ d (jc― 3) 1• 1
+ ~2 ~\ ~ ~ = In I .v~ 1i + - 9- In I .v + 1I — ln r + 31+ -g* In I .r — 3 I +
то
+ C = !n I U - ' ) l (J:H ) ( . t - 3 ) + c .
J x 3
3. H 伽 ннтегр,, | - 3Ü i ~ 2 ^ - '
T. к как
い 2― 、• ― 2 - {.t 一 2) (лг2 + лг + 1).
•ѵ2 + ズ+ 2 1 Их LC А(х2 - v \) ( И х - Cl (.г —2)
.г1 一 .v2 — л* — 2 一 г — 2 ' k + л* - f 1 ( v — 2) ( v- ニ v - О
ГІрннмдя подобные члены, исходим
.r2 X 7 2 _ — (Л ti) .Y2 - (-4 ' С — 2D) V (Л 2С)
一 * .v — 2 а*®― — x ― 2
1 :0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х , получаем систему
уравнений:
Л - f ß - I, /1 + C - 2 ß = 1,/1 ~ 2С = 2,
из которой находим, что А
Следовательно,
7 、 В = — 1/7, С == — 3/7.
I* х^ + х + 2
■X*-j- 3
tJ
• d x
ニ 2—UA = ―7 厂
mJ
x———2 _ 7
^
+
8 f d ( x — 2 ) 1 ド Д .+ 1/2 j ( • J ; ! / 5/2
: 了 丨 —x - 2 — 了 ,' 丨 2 + * + 1 x + I ノ■ ' 了 ) パ + X + I
1 п . . г - 2 | - ^ г ІП!^ + .«-{- I I 一 AL±- arctg J2i ± !.)j. 3 + C .
d x ■
В задачах 11.136— 11.1G1
функции.
1.136.
1.139.
1.112.
1.144.
.146.
148.
1.150.
パ-f- Здг -;- 5
■dx.
x •
C ズ2 -
Д: 十 6
d x
. Г і м ^ г -
dx.
11.137.
11.140.
f 2л.2 + b x + 9
ド ー 2ズ*—13
ттт dx.
卜 10
* 2х2 — х — Ѣ
] д:3 十 5.ѵ2 + 2 х ―
•v2
レ • 7ズ3 十 Ш + 12
ぶ2 + ズ 一 9
j x3 ― 6jca + \ 2 x ―
dx,
dx.
dx.
иаити
i• パ + 7
1 x — 3
+ іЗ
} ぶ2 十 丨
11.143.
11.145.
11.147.
11.149.
1I.1S1.
интеграл
dx.
I
от
.138.
•れ 2ズ+1
d.w 11.141. 、
x2 — 1
г 1 一 х л - л:2 ― 7
Г .Ч -
X 2 ;Ь х -
i l
} ぶ3 — 7дг 十 6
y S • 二 ^ ■ 心 .
рациональной
dx.
ズ* 一 ズ+ 16
J A:l - - 十 äx 十 9
. Jt2 + бдг ― 5
- Зл*2 + З.г ― I
dx.
-б.г+8
一 5
dx.
1.152.
1.154.
1.156.
^
d x
х л f 9.t2 + 2 7 x + 27
ズ 一 8
パーズг + 2 x + 4
' х + 4
フ 厂 j- 2л:2 — 2 x + 3
dx.
dx.
… С 2P — 3バー*5л.+ 10 し
lo ®* ' x4 _ 5x2+ 4 X
V
/ V + 9л:2 - Wx - 36 ; .
I6 0 * ' y 一 l3.v2 + 3 6 ~ d 入 .
11.153.
11.155.
11.157.
11.159.
11.161.
d x
\ х л すЛ:* 十 А — З •
Г д:2 一 А х 一 3
J дг*J— Л*2 一 д: — 2
с 3ズ2 ― 丨 ,
' . u 丨 ニ Т Ь іг 一 -に 了 ä x
,* W 'г 2 х - ~ n x ― 2
хі ― Юл-Э
хл - Мл- 一 x «г 44
x1- П 16
dx.
dx.
йх\
1 1 .6 . И н т е г р и р о в а н и е т р и г о н о м е т р и ч е с к и х в ы р а ж е н и й
И нтегралы вила:
J sin û.v • sin hxcix, J cos ü.v . cos bxdx.
f sin ax . cos b xd x

находят с помсшью 7рнгりш.метрііческнх формул:
sin a sin ß ~ - L (cos (а — P) — cos (а 十 p))•
cos ct cos p = - i- (cos (ot — p) + cos (a 十 PO •
sin a cos ß ニ _i_ (sin (a 一 ß) + sin (a + ß)).
Интегралы вида
І гп п — j sin": x cos71x d x ,
где m. n — четные чиолл, ним аят с помощью форму, і:
sin* x = -J - (1 一 cos 2x) • cos8 x =-- -L. (1 + cos 2x), sin X COSX =
2x •
Если xo i и бы одно из чисел ni или п иечетнос, то предварительно от нечс. 了 •
ной степсии отделяется множитель и вводится новая переменная. В час7нсст]г,
если л = 2々+ 1’ то
Интегралы видл
/вцл = I $ІП,ЛX cos2* ]xdx = J sinm д: cosjft X cos xdx =
= I sin 爪 .v (1—sin2 x ) k d (sin x ) = I ^ (I 一 t ^ d t .
f R{sin x, cos x)dx,
где R — раилоналыпя функиия, приводятся к интегралам от рпцно!і.ы ш .\ функций
новой переменной t с помошью подстановки
при ЭТОМ
П рим еры . !.
Поскольку
t e + = xdx.
sin 7 x sin 5.v = -У- (cos 2 x 一 cos 12.t),
1sin J x sîn b x d x
-0 ' (cos 2 x — cos 12-v) d x = —
sin 2 x
sin \ 2 x
12
sin 2 x — _ sin 1 2 x + C .
24 •
2. Найти интеграл J sin4 x cos1 xdx.
T:jk как одна нз степенен является нечетной ( ш = 3), то нитіграл 、t. ж по
иантм елгдуюшим обр::гпм:
152
\ sin4x cos3 xdx ~

Прнмскйя иодстаниаку (11.10) и фирмулы (1 1 .1 1 ).преобразуем подынтегрилыюе
выражение:
d x — 2 d t / ( \ + /*) ____— 2 d t — d t
2 + 3 sin .v - f 2 cos a-
2i
6r 2 - f 3/ *
+ 2
1 + /:
Следовательно.
________ â x ______
1 2 —3 sin .r + 2 cos x
= 、2 + 3/ = 4 ' І у ^ з Г ==" Г ,п і 2 + 3 / 丨 + c
- l- ln | 2 + 3tg-5-
задачах 11.I62— 11.197 найти интеграл.
П .162. / sin- Зл-rf.v.
1.163. / cos2(.v/2 )^ jc.
П . 164. f sin3 .vJ.v.
I I . 1()5. f cos: xdx.
11. И56. f sin .v cos7 xd x. 11. 167. /c o s •x sin,Jxdx.
11. 16S. f sin2 .VCOS5 xitx. 11. 169. f s in 1 л. cos4 xdx.
1i. 170. f s ill; xdx. 11. 17!. f cos4 xdx.
I l 172. f sin2 v cos4xdx. l h 173. f sin6 .v cos- xdx.
11..174. f cos4 x sin® xdx. 11. 175. J sin6 .v co-ßxdx.
1! .176. f sin3 Л:cos3 лч/.\г. 11.177. j sins X COS5 xd x.
11 .178. •f sin7 .v cos3 xdx. 11.,179. J cos9x sin4xdx.
11 .ISO. f sin 3x cos bxdx. 11 1SI. f sin i6.v sin Axdx.
11 IS2. j COS 7.V eus 9xdx. 11 .183. J s \n (x ;[) < in ( 'ix /-\)d x
1! .184. 卜 in -4- cos—5— dx.
L'
11.186.
(• dx
11 .185. icos •
T cos 丁 d x .
V
11.187. c dx
1 9 + 4 cos x • j 6 -
-4 cos x *
«« i* dx
-•*
.188. «i dx
11
11 • 189.
\ 4 + 3 sin x *
J 2 一 osin x
i i .190. ( dx dx
11
ll.!9 1 .
1 1 十 8. cos® x • J ! - ^si;:2 x m
(* dx
• 192. 11.193. i dx
11
} 2 -j- 3 sin .t -p 2 cos x ' } 3 十 sin .t — 3 COS Jt *
I l 10.1 I. dx
* 5 t sm x — 2 cos x •
5 — ьі:\ t 3 cos .v - ;
i i .196.
•、3 ニ ь:г.л — 3 c o s .t.d
-» j 一 sin ズ 一 СОЪX . e
11• 195.
' J 卜
-sin л. 丁 cosx аХл
» dx
11 • 197.
.116 sin2 x 了 25 cos* Xe
153

1 1 .7 . И н т е г р и р о в а н и е н е к о т о р ы х и р р а ц и о н а л ь н ы х
ф у н к ц и й
Иитсгр:л вида
い лг + rf ノ ,••
(II •Ï2)
cx+ d ) i
Pa, q n — целые числа, 3, с С по-
где R — рациональнпя функция; p it qu р2. Qz,
мошью подстановки
ах + b
tn
c x -^d
к интегралу
от рашюиальнон функции.
Интеграл от днфферепщіалыюго бинома, т. е. интеграл
(П .13)
J xnl (а + bxn) pd xt
где ш, л, р —рациональные числа; a , b —постоянные, отличные от нуля, можно
привести к интегралу от рациональной функции в трех случаях:
1 ) когда р —• целое число:
2) когда ( т + \)/п — целое число;
3) когда (w + \)!п + р — целое число.
В первом случае интеграл находят путем разложения на слагаемые со формуле
бинома Ньютона, если р > 0, или с помощью подстановки x = где N 一
общий знаменатель дробей t n и п. Во втором случае питограл вычисляют с помощью
подстановки а + b x 11 = t \ где s 一 зиаменатель дроби р, а в третьем случае—
с помошью подстановки а х ^ п + b = t a.
Примеры.1• Найти интеграл Г ------L_^-------dx.
J i3,^ + I .7
Это интеграл вида (11.12)f причем Ѵг- 十 办 ―.vt т. e. a ^ i 6 = 0, c — 0 .
c x -f d
d = ] , = 五 = - _ L .
Q\ - Я2 3 2
Поскольку qi (いe= 2. r/2 = 3. ю n Г>. поэтому подстановка (11.13) принимает
вид x ― откул;! dx = i)t:,dt.
Следоиа тельно,
d x ,- m t - G f Л = 6f i ^ ± i l 1=iL ât =
, » 7 . ド . u
6 \ = + 1 )^-6
C t • ' * } '
/ t 、 /4 /3 /2 \
= 6 卜 一 マ 《 + — 了 》+ り 一 б іп け + 1) + C =
( т V ズ 丁 丨 -V2 -;- - 『 丨 ズー- 2 一 卜 r + I ズ― ln 1 > I 十 丨 I ) + し
____ dx 一
Наити интеграл
^(1 +| •り2
Зпписивля Пі)дыни.грллыіую (ЬѵНКЦНЮ в виде
154
-------- !-------- = + x l / 4 )~ ~ 2
л: (1+1 xY

и срапніівая ее с функцией х т ( \ + x n ) ^ f заключаем, что т = —1/2, п * 1/4,
// е= —2. Так как р —~ 2 一 целое число, нмеем первый случай интегрируемости
дифференциального бинома. Общий знаменатель дробей т и п равен 4, поэтому
применяем подстановку х = откуда d x — 4 P d f .
Такнм образом.
d x
印 +
叫
. H
か
■ \P d t
> 0 + О2
( f+1)2
В задачах 11.198— 1i .212
функции.
4|
t d t
_(I 丁 —り2
r (/+1)— 1
4| (1 十 ^ 1
d t = 4 ( I n | / + l | + t + l
! + C :
リ ln h ズ + Ч + 丁 こ ------ j + С •
У i … ノ
d t -
найтн Ѵіитсграл от »ррашюналыюй
11.198.
I 了
хл— i x
dx.
11.199.
、• ^ y ^ + A \ . d x .
. ^ ( 1 - J)
11.200.
G •— .y
i x d x
x ( \ X -\- I X)
11.201.
Г____ d x ― 一
. I 2хң-Ъ + Ъ
d x
11.202.
x I Здг •し4
»
I 2л:― 1-f-
11.204. \
^ (2 х — 1)(| 2 卜 丨 一 J)
11.203.
Ь
d x
( x 一 І)Л(л- + 2)*'
1 一 д: d x
T + T
11.206.
(1 一 》 め3
dx.
11.207.
1パ ^ dx.
x
11.208.
n
X3
+ 上 2
11.209.
x d x
( 3 + 巧
•11*210.
d x
(1+パ P.
11.211.
ГТ^"2
л"*
dx.
11.212.
d x
F ( l + • 巧
1 1 .8 . И н т е г р и р о в а н и е г и п е р б о л и ч е с к и х ф у н к ц и й
Интегрирование гиперболических функций основан' на формулах:
f ch x d x = sh a* -f- C, J sh x d x = ch x + C,
УйіПГ = іһх + С' J l P T = - cthj; + c-
Интегралы от выражений с четными степеням» ch a* и sh x находят с помощью
формул:
ch* л:==-1-(cli 2 a* + 1 ) , sh2 x —
-1 -(cli 2 x — 1 ) , sh л: ch дг == s^y£-.
Интсгра.іы от иочсіных степеней sh х и ch л* находят путем отделения множителя
первой степени м введения нови и норе.мешюн.
155

П р и м е р ы . !. Манти интегрпл J chJ x sli3 xdx.
Преобразуя подынтегральную функцию, получаем
.1ch2 x sh3 x d x , ) ch2 .v sh2 x sh xdx —\ ch2 д: (ch8 x — 1) d (ch x)
= . 、ch4 xd (ch x) — \ ch3 xd (ch .v) = -SÎLÜо
2. Hniui! ;,нтеграл f ch2 x sh- л*^л:.
Прсобрлзуя ппдынтогррльную функцию, получаем
J ch2 x sh2 xdx = ' (ch x sh jc) 2 dx
1 С ch Ax -
、( 去 sh 2 リ ~ "4 \ sh2l2.tJT =
1 f 1 С 1 1
dx - -g - ' ch A x d x ^ 一 g 一 ' dx]=^ 一 ^ - 4л* 一 -g- x С •
В задачах 11.213― 11.248 найти интеграл
функиии.
11.213. i' ch 2хсіх.
11.216. j cth xdx.
11.219. J sh2 Axdx.
11.222. 丨 th 2 7 池
11.225. sh3 x ch xdx.
11.228. I sh2 x ch3 xdx.
!1 .2 3 1 .J sh7 .v ch5 xdx.
11.234. J л* ch xdx.
11.237. I x 9 sh xdx.
11.214. \ sh (л*/3) dx. 11.215.
11.217. [ dx
J ch-(x/A) •
от гиперболической
11.218.
11.220. 丨 ch23xdx. 11.221.
11.223. \ ch3 xdx. 11.224.
11.226. 丨 ch4 xdx. 11.227.
11.229. J ch2 .v sh4 xdx. 11.230.
П .232. ch4 A* >Һ4 xdx. 11.233.
11.235. } x sh xâx. 11.236,
11• 238.
j T h t dx- 11.239.
I th.vd.v.
C dx
1 sh-(л/5) •
‘ Q\h:OXjX.
j ch-.v sh xdx.
I sh^.vtk.
>h5 .V сһг .\(1х.
} cl】4ズ sh2xdx.
1.v- ch xdx.
iChl 一
— dx.
11.240. I shl xdx.
11.243. J sin Л:ch xdw
" • m ( f .
М .241. \ ch| .Vil.W f 1.242.
1! .244. C05 x sh xd x. 11.245.
11.217.
' sh xdx
i ch1 X
11.248.
ch v cos xdx.
*2 4 7 ch.
ih* x
ch3xdx
s.h* x
dx.
В задачах 11.24Ö-] 1.274 найти интеграл, применяя рдзличпые
методы.
11.249. (Зл• - 7)Ѵл.. 11.250. f — 11.251.

"•258.
dx.
11.259.
x * 4 - 16
16
dx.
11.260. \
d x
(x — 3)| x
d x
A x
11.262. \ ,
J (.* + 3>|xs— 1
"•264.、パニふ; 5ノ+2 dx.
11.266.
11.268.
11.270.
/ パ + 2ズ3 — 3パ + 4л: — 5
dx.
! .v + Х4— 2х3— 2х2 + л:+ 1
іэ
_____ d x
) s i n 2 x -f- 2 s i n x c o s x - f - } 0 c o s 2 x 9
(•______ cos x d x____
j sin2 x ~ 8 sin л: + 10 •
11.261.
11.263.
11.265.
11.267.
11.269.
11.271.
d x
(ズー2 ) 丨 л2 十 1
д:3 + дг + 1
W+ W 一 ДІニ dx.
7 x4 + д:3 — 5дг* + бдг — 7
\ 一 2x*+2jc3— U2 十 x—2 •
•i_______ d x _____
I ^in2 .t + 6 s in x COSA:
f sin x d x
I c o s 2 x 一 4 c o s ズ+ 3.
Jcos^SÏ6 s in x _- 7
dx.
11.272.
Г d x )
]4 sh2 л* + 9 ch- x
11.273.
Ç
d x
' ~ s h ^ T ~ r s h 2.V •
11.274.
Г
d x
s!i2 л* — 3 sh 2jc -r 10 chs x
1 2 . О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л
И Е Г О
П Р И Л О Ж Е Н И Я
Пусть па отрезке [а, Ь] определена функция у = f( x ) . Разобьем
\а, Ь\ на п частей точками а = く a く •..く л*п_ і く .ѵГ{ = b.
В каждом полученных элементарных отрезков длиной Л.ѵ;=
= лг, — (і = i, 2, . . . f n) произвольным образом выберем точку
ç:н составим сумму
п
\ I ( lf) ^ х і = f (çi)Aズi ~r f (І2) ^ хг + … マ f (ІГ>) ^ ХП'
і=^\
Эта сумма называется интегральной суммой функции у = f(x ) на
отрезке [а, ^].
Обозначим чир оз /. длину наибольшего из элементарных отрезков,
т. е. • = гпах Л.ѵ,.
Определенным интегралом от функиии у = f ix ) na о 丁 резке
[а %&1 называется предел ое интегральной сум мы в случае, гогда
чнсло элементпрны.ч отрезков неограниченно возрастает, а л липа
наибольшего из них стремится к нулю:
ѣ
ѣ
\ f(x )d x = lim V / ( | ;) Дл-j.
。 レ0,,;
пели функиия у = f (х) непрерывна, тп ѵказлинып предел существует
и конечен.
157

Свойства определенного интеграла:
1) f (л.) dx = \ f(t) dt = ... = С/ (и) du;
à а а
а
2) \ /(.v) d x = 0;
С
b
3) f f (x) dx = — Çf (x) dx;
a
b
b c b
4) Cf (x) dx - \ f (.v) dx + \ f (.v) dx;
a a c
а
5) I' ( fi {x) — /•:(a) ■f3 (a-)) dx = f h (.y) dx — \f,{ \-)dx \ f 3{x) dx;
a a a a
b
b
6) cf (a :) dx ニc\. f (x ) dx (c = const).
a
a
1 2 .1 . В ы ч и с л е н и е о п р е д е л е н н о г о и н т е г р а л а
Определенный интеграл от непрерывной функции в данном промежутке равен
разности значений любой первообразной этой функции для верхнего и нижнего
пределов интегрировпння:
Ь
f f (X) dx = F (x) \b= F ( b ) - F (a), (1 2 .D
a
где /г/(л)= f(x).
Замена исремсішои в определенном интеграле осуществляется по формуле
ь ß
[f(x)dx= й ( ( Г ( /) ) ф Ч 0 Л , (12.2)
а а
где д- = ф(0^ а ~ ([ (а); b = ф(Р);t — новая переменная; а, ß — новые пределы
интегрирования.
Іінтегрированігс и-; члетям ß определенном интеграле выполняется ио
формуле
b
\ u ( x ) d v (л) = и ( x ) v W:ご 一 ' ロ(ぶ) d u (л).
ь
Примеры.1 . Вычислить определенный интеграл 、(32 -j- 4 х — öx2) dx.
2
Принимая во шшмлнне свойства 5 и 6 определенного шпеграла, ш, формуле
(12.1) находим
4 4 4 4
| (32 + 4.Г — Зд:2) d x = 32 \* d x + 4 \xcix — 3 \ xsdx =
158

= 3 2 х И + 4 - ^ - Г - 3 - ў -
丨 2 2 丨 2 з
л/2
2. Вычислить \ cos4(f^(p.
3 2 (4 ― 2 ) + 2 (4 2 一 2 2) 一 (4 3 ― 2 3) = 3 2 .
Преобразуя подынтегральную функцию, используя свойства определенного
интеграла, п >формуле (12.1) находим
л /2 я/2 л/
21 1-f cos 2ф \ 2 ^
1 COS4 ф(/ф = \ (cos2 ff ドゴф = \
—"9 Ù(P =
1 ベ 2 1 Л(2 1 1 4 \
= 丁 ' (1 + 2 cos 2ф + cos2 2ф) d(p ニ 丁 \ (1+2 cos 2ф + --------------т— ) Jfp=
о о ' ノ
1 л(2 1 / ] \ Я/2 3
= -g- ^ (3 + 4 cos 2ф -f- cos 4([) 13

Я/2 л я/2
12.7. \ біп32ф^/ф. 12.8. \ ( 1 一 cos t)'àdt, 12.9. \ sin4 ф^ф.
Ô О —Я/2
Л/4 Л/4 Л/2
12. 10. \ cos3 ф ( і ф . 12. 11. ( cos5 ц.чіф. 12. 12. \ cose cpdq).
一 )1/4 -Л /4 Ô
В задачах 12.13— 12.20 вычислить интеграл методом интегрирования
по частям.
2я ! л/2
12.13. ^ /s in - ^ d t . 12.14. ( xe2ldx. 12.15. j (psin2ф^ф.
0 0 0
2Я я /2 Я/2
12.16. (xco s2a*Ja:. 12.17. ( t2 sin tdt. 12.18. I* t2cos4dt.
12.19. \ ln xdx. 12.20. \ arccos л:сілг.
' 一 ^^ i , ü
В задачах 12.21— 12.32 вычислить интеграл методом замены
переменной.
2 2 2
12.21. \х -\^4 — х ^ х . 12.22. 1 8— dx. 12.23. ( x 'Y &—2хгсІх.
12.24. ' 1 (8 一 2у':)Ч у. 12.25. ^х \ 2 — ズ. 12.26. 'レ 4ズ 一 x zdx
ï V о
2а 2 1
12.27. I 2 ax— x £dx. 12.28. ( p l /2— p2Jp. 12.29. I* ニ
х л
ô à 十
R 2 — 2 _______
12.30. — p〒 ブ2( ip . 12.31.(Ф4 I 8 -2 ((^ф . 12.32. j Y ( 8 — 2«r)sJu
0 ニ 2 ニ 2
В задачах 12.^3— 12.50 вычислить определенный интеграл.
4 _ 2л
1 2 . 3 3 . , 1 ズー- ~~_ I dx. 12.34. \ sin jesin 冬 dx.
i 、 い , о' 2
Я/З
rt/2
1 2 .3 5 .、. ( C0S” 哉 . 产 12.3«.
п/А я/3
П/ •
12.37. ( (cos3л* -• sinл*cosл:) dx. 12.38. 's h 中 | sh2cp 十 1 如 .
160

12.40. \ (f/8 v 2 — ゲ ー y4) dy.
12.41.
d x
丨 х і + І Г '
12.42.
d x
x 2 + 4лг
12.43.
) т « + ^ Т 2 -
-1
12.44.
d x
ѵа+ (ѵ+ із •
12.45.
5 _ j x _
) 3-|_2x—д:*
12.46.
d x
5 + 4x — дса
12.47.
л* d x
12.48.
d x
2 7 + 3 + 2
ЗЯ /4
12.49- 、 (cosx - sin x)8 dx.
—Л/4
З Я /4
12.50. \ (sin2.v(sin .v + cosx)9)dx.
-Л/4
1 2 .2 . П л о щ а д ь п л о с к о й к р и в о л и н е й н о й ф и г у р ы
ГІ.ющаль кринолинснноГі трппсцин Л В Ь а (рис. 12.1), ограниченной сигрху
графиком функции /у = Ц х ) , слева и справа соотнетствешю прямыми х = а .
x = Ь , снизу осью 0 . x , вычисляется по формуле
ь
S = \ i / d x нли S = \ f ( x ) d x .
ь
1LM 12.2
Еслн функция задана п;ірамстри'кчкимн уравнениями: х =
‘и < / < р). то
»
S = J (f2 (/) tf i (t)dt •
у — а-(О
П Зак JU2é
161

Плошадь криволинейной фигуры Л \ В \ В і Л г (рис. 12.2), ограниченной сверху
и снизу соответственно линиями у і = fi(x), у г = І г ( х ) % слева и справа прямыми
x ^ a н x ^ Ь %определяется формулой
ь
ь
S = і) (Уі—У г ) d x нли S = \ ( f x (x) —/, ( x ) ) d x . (12.3)
a
Площадь криволинейной трапеции c d D C (рис. 12.3), прнлсжаіцси к оси О у ,
вычисляется по формуле
d
d
a
S = j x d y или S = = \ < f { ( / ) d t / ( 1 2 . 4 )
с
с
(дс = ф(//) 一 уравнение дуги C D , ограничивающей трапецию справа; ц = с ,
у — d 一 уравнения прямых, ограннчшіиюииіх ес coothctctrchho снизу и сисрху).
Р и с. 12.3 Рис. 12.4
Ллошаль сектора О А В ограллчюіного л.моЛ А В м ю ш , сланной
уравнением р =» р(ф) в полярных координатах и двумя полярными радиусами
О А и О В , для которых соответственно фі = а, фг - р, вычисляется по формуле
I (У 之 却 .
П р и м е р ы .1 . Вычислить пл^ідадь фигуры, ограниченной линиями
у 一 а*- = 0. x 一 ï/ -Ь 2 « 0.
Ланная фигура сверху (^раиичени прямой х 一 // Ч- 2 = 0. с«илу па р л Соло й
г/ — jc2 = 0 (рнс. 12.5). Искомую площадь вычислим ио формуле (12.3). IІредварительно
н а х о д и м «рсдіѵш j»i 丁 сгряроваиня jï выря^еяля для у “ у 2 . Пргліѵіамн
интегрирования будут абсциссы точек пс*річч*чсния параболы и прямой Рошли
снсті му уравненнй // 一 ズ2 «=» 0, д: ―// Ц- 2 = 0, находим: д:і =» 一 1, х г = 2, т. е.
я = 1,6 «= 2. Выражая у из каждого уравнения, получпем:
!/і =
ズ + 2, ijz = һ (х )^ хг
( ч е р е з и ) = ) ) (дг) обозначеиа функция, грлфяк которой ограничивает криволинейную
(Ьигчру сверлу).
По формуле (12.3) и а ходи и
( Ц х -p 2) — .i3J d x \ x d x + 2 j ゴг 一 \ x Jd x :

2. йыч«слі(ть площадь фигуры, ограниченном осью О у и линиями у =* д:3,
I/ *=» 8 (рнс. 12 6).
y-d
Из уравнения q jc3 находим x
интегрирования с - IJ\ = О, ІІ =ь J/2
уранпемяй: у = 'Ү3, х ^ о;у = х \ 1
у и применяем формулу (J2.4). Пределы
8 определены эпре;______ в результате _____ г............ решения систем
8. По у к а з а н н о й ф о р м у л е получаем
1/3 dit
.4 /3 Ь 16 = 1 2 .
В задачах 12.51— 12.90 вычислить площадь фигуры, ограниченной
указанным/! линиями. г
ігА
12.51.
12.53.
12.54.
12.55.
12.56.
12.57.
12.58.
І 2 Ж
12.61.
12.62.
12.63.
12.64.
12.65.
12.66.
у —^ = 0, у = 2-V, x 一 2 = 0.
у 2 ―ズ + 1 = 0 , x ― 5 ― 0.
x2 ―
+ г/ = U и осыо Ох.
у = x2 — 6х -f- 5 и осью Ох.
у = Ьх — x1— 12 и осью Ох.
у = 2х — .v- + 8 и осью Ох.
x = у1 + 2у — 3 и осью Оу.
x = у — у2 + 6 и осью Оу.
у = х1^ i t х + у — 3 ^ 0.
ズ = У2 + 1» .v — у — з == о.
ху -6 = 0, x у — 7 = 0.
12,52. у ― ぶ2 = 0, у = 2.
Ï2.60. у ~ x1= 0 , у — х[=^0.
X2 4* !/2 = 8, у 一 x 5= 0, y — у Зх = 0 (.V > 0 , у > 0).
x2 一 у 1 = 9 , у ― 一 4, у = 4.
у1 — x1 = 10t x ― 一 3, .v = 3.12.67» ху = し у = x t x =5 2.
12.68. х2 + t/2 = 4, у *= 2х 一 .v- (x > 0, у > 0) и осью Оу.
12.69. .v = x = I и осью О.ѵ. 12.70. у = 2 — x z9 у3 = хг.
1ÔÂ

12.71.
12.72.
12.73.
этой оси.
12.74.
этой оси.
12.75.
этой оси.
12.76.
этой оси.
12.77.
12.79.
12.81.
12.83.
12.84.
12.85.
12.87.
12.89.
у2 = Ах%уг =* 4ズ— xzy x = 4.
ÿ == x3 — Зх + 2 и осью Ох.
у = хк — 】Олг* + 9, осью Ох
パ ー 10лг*+9,
•が
осыо
Ох
расположенной
расположенной
выше
ниже
2х3 — x2 + 2xf осью Ох ii расположенной выше
2х3 —- x2 + 2х, осью Ох и расположенной ниже
x = 2 cos31, у = 2 sin31. 12.78. x = 4 cos /, y = 3 s in /.
p2 = 9 cos 2(p.
12.80. p2 = 4 sin 2(p.
x = a cos t ,y = b sin t. 12.82. x = a cos3 /, y : = a s in 3 1.
Л* = / — sin ÿ = 1 — cos t (0 く f く 2л).
ズ= а(/ — sin ), у = а(1 一 cos t) (0 t 2л)
р2 = а2 cos 2ф. 12.86. р2 = а2 sin 2ф.
р = 4 sin2Ф (0 ^ ф ^ л ) . 12.88. р = 2 + cos f .
p = а (1 + cos ф).
12.90. p = а cos Зф.
1 2 .3 . О б ъ е м т е л а в р а щ е н и я . Д л и н а д у г и к р и в о й .
П л о щ а д ь п о в е р х н о с т и в р а щ е н и я
Объем теля, полученного вращением вокруг оси Ох крииплинейнон трапеини
сЛВЬ (рис. 12.7), гдо АВ 一 дуга кривой у = f(x ) (a ^ x ^ b)f вычисляется по
формуле
Ѵх = я \ y l dx или V к = я (/* (лг) dx. (12.5)
Объем тела, подученного врашеннеы вокруг оси О у криволинейной трапеиин
cdDC (рнс. 12.8), где CD — дуга кривей x =

Д ліі* дуги кривой f f = / (ズ), где Ü< x ^ Ь. вычисляется по формуле
け Z 1+ t f * d x илн 1 = \ f 丨 + ( 厂 ( x ) ) 2 d x .
Длина дѵгн кривой, заданной параметрическими уравнениями: х = f і(/),
г/ = (j2(0 (а ^ ^ ß), выражается формулой
I = ) j
à
хі + У; dt или / = \ I (Ф;⑴) * + (ん ⑴ )*ぬ.
a
Еслп кривая задана уравнением а полярных координатах р = р(ф)
(а < ф ^ Р), то
\ V Ра+ Ріф.
Плошадь поверхности, образованной вращением вокруг оси О х дуги кривой
/(.ѵ) (" x ^ b ) , определяется но формуле
5Л= 2л \ y d l — 2л \ у [ у s + 1 d x , (12.6)
i де d l —дифференциал длины дуги.
В случае другого способа задания крн т;н площадь поверлности S x определяется
пи формуле (12.G) путем соответствующей замены переменных.
Примеры.1 .Вычислить объем тела, полученного вращением эллипса —
+ - = 1 вокруг оси О х . (Это тело ограничено поверхностью, которая назы-
Ь1
вас 了 ся эллипсоидом вращения.)
Искомый объем вычислим по формуле (12.5), предварительно выразив //* из
уравнения эллипса:
Ѵ х = л い 2 ( 丨 一 I d x —л Ь а \ d x
nb*
x 2d x
л&む\- a~
匕 = л*2【а ― (―a)】- - 券 1 ° " - ( -が】= 4 * паЬі •
2. Иаити длину дуги кривой " = ln cos х х!сждѵ точками .v ~ 0, .t = я / Л .
Поскольку
s m x
cos x
へ Y
sin- A*
cos2 .r
cos X
(0 x л/4).
л/4
sin2 д:
cos- ズ d x = \ d x
ln
л
tg ~
ln tg 7 г ~ ^ 0 , S 7 G .
Л/4
3. Вычислять площадь поверхности, образованной вращением в -крѵг оси О х
Д>гіі ЛПНШ1 I/ = ch д:. где 0 ^ х ^ I. (Эта поверхность называется к а т е н о и д о м . )
1Ô5

Так как if = sh .ѵ, по формуле (12.6) получаем
SA- = 2я \ ch x J 1 + sh2x d x — 2л \ ch л: ch ぶ dx =
о
О
i 1 \ \
=5 2л j (сһ 2л + 1) 办 = л j ch 2 x d . x + я \ d x =
о о о
= ^xsh2£_ ^ 8,839.
2 о |о 2
В задачах 12.91 — 12.97 вычислить длину дуги линии.
12.91. у = ~ х \ х 一 У х (между точками пересечения линии
с осью Ох).
12.92. у = ln s in x ( я / 3 < ;х < ;я /2 ).
12.93. у = -^ -х 2-----ln x (1
12.94. x = 2 (cos ^ / sin /), у = 2(sin / — / cos t) (0 く / く я /2 )•
12.95. x = t — У = 2сЫ ( 0 < ^ < 2 ) .
12.96. г = 3(1 + cosф) (всей линии).
12.97. г = 4 sin3(p/3 (всей линии).
В задачах 12.98— 12.102 найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной указанными
линиями.
12.98. 2 炉 = д:3, jc = 4. 12.99. + が = х \
12.100. у = a ch (ズ/а ),ズ= 土 а, у = 0.
12.101. x2 — у1 = а2, л:= 土 2 а . 12.102. д: = û cos /, у = b sin t.
В задачах 12.103— 12.107 иайти объем тела, образованного нращеиисм
вокруг оси Оу криволииейиой трапеции, ограниченной указанными
линиями.
12.103.が =:4 х \ у = 2. 12.104. х2 十 у4 = у2.
12.105. х2^ + iß ^ = а2/3. 12.106. у = х3, х = 0, у = 8.
12.107. x = ci(t — sin /), у = a (l — cos t) (0 ^ t ^ 2я).
В задачах 】2.108— 12.111 найти площадь поверхности, получсісной
вращением дуги кривой вокруг оси Ох.
106
12.108. у = tg x, 0 ^ x я/4.
12.109. x = у 2 ------^-1п у , 1 у е.
12.110. x = a (t — sin Г), у = а ( 1 — cos t) (0 く f く 2л).
12.111.л:=« а(2 cos t — cos 2/), y = а(2 sin / — sin 2t).

В задачах 12.112, 12.113 найтн площадь поверхности, полученной
вращением линии вокруг оси Оу.
12.112. x = a (t sin t), у — а {\ 一 cos t) (0 ^ ^ 2я).
12.113. л*2/3 + iß'9 = а2/3.
1 2 .4 . Н е к о т о р ы е ф и з и ч е с к и е и х и м и ч е с к и е з а д а ч и
Определенный интеграл илходит широкое лримснешіс при решение прикладных
задач.
При решении физичсч*кях и химических задач необходимо прежде всего определить,
кпкую из величин принять за независимую переменную, а какую — за
нокс.ѵую функцию. 3 :»тсм іілдо нпйтн выражение для приращеиия искомой фуикцни
// ь случつе, когда аргумент х получит прпрапіешіе Лл' т. е. выразить разность
Іі(х 4- Лл) — ѵ(х) чсроз величины, о которых идет речі> в условии конкретной задачи.
Рз.ѵіслші эту разность на \ х и нерейдя к пределу 】іри Aズ ー 0,получим
уравнение. с:^дсржатсе производимою і / = dij/dx (такое урапнение называется
0и ф ф е р с н ц и а .2ы : ы м ) . В одном из простейших случаев, когда // = f(x), d y / d x =
= f (x), d y = f ( x ) d x , получаем y *= F ( x ) + С , где F r (.r) = f ( x ) • Значение посгоянн(;й
С опрсдсмястся из условия задачи.
Многие химические реакции и физические процессы характеризуются тсм, что
скорость изменения исрсмснлоГі величины пропорциональна первой степени этой
переменной. Такие процессы называются п р о ц е с с а м и п е р в о г о п о р я д к а и пппсыппются
уравнением
dx
~ w ^ kx-
В случае химической роакшш входящие в это уравнение величины означают следующее:
x — количество ^пцсства, k 一 постоянная (константа скорости реакции),
г 一 время.
Пример. В сосуд, содержащий 20 л воды, со скоростью 4 л/мин поступает
раствор, в каждом литре которого находится 0,2 кг солн. В сосуде раствор перемешивается
с водой, и смесь вытекает нз сосуда с той же скоростью. Сколько
соли будет в сосуде через 10 ми и
Примем за независим) ю исромешіую время t , а за искомую функцию y ( t ) 一
количество соли в сосуде через t мші поело, начала опыта. Определим, как изменится
колиікч'тнг) соли ::і промежуток врем енн от момент;] t до момент і + А^.
Зп одну минуту постуигк'т 4 л раствора, а за \ і міш 一 4А/ л. Б 4AZ л содержится
0,2 • 4А/ : 0,8 \/ кг соли. С другой стороны, зп вромя \ t из сосуд :пытскіч-і
4Л/ л раствора. В mümchi і wo всем сосуде (20 л) содержится y (l) т соли.
С.!і доб;ітсльпс\ ii 4А/ л ьытектощего раствора было бы 0 .2 \ty (t) кг ооли, еслн
бі4 нремя \/ содержание соли в сосудс* оставалось пельменным. По поскольку
оно за это время изменяется нл вс.іичішх. бесконечно малую при Д/ 0, то и вы-
•я.каюіднх 4Л/ л содержится 0,2Д/[г/(/)-{- а] кг соли, где « — 0 прп \ t 0.
Следоват(ѵіьио, n расі Боре, поступающем за промежуток ғ.ремстш ЛЛ содержи
тс и 0,8Д^ кг соли, а в вытекаюшем — 0,2А^ [y ( t)+ a ] кг. Приращеиис количества
с< ui зп это время //(/ + Д/)—y ( t ) рав ни разности илйдсні:ых всличтш, т. о.
//(/ + А О - 1/(0 = 0’8Д, - 02М [у ⑴ + п].
Р.і делпм это равенство почленно на A t и перейдем к проделу при A t - ^ 0 . В левой
мпстн п

Найдем нсопредсѵіешіыс интегралы от .ювой и праноіі частей послодпсго раоспства.
воспользовавшись свойством J сі^. (х) == - Сす 0.Ч
Осталось выразить у через t. Умножив обо части последнего рпвеиства на 5,
нлйдем } — j/ = 5 С ) е ^ ° ' 2 \ г/ = 4 — C e - ° > 2 t , где С ~ 5Ct. Постоянная С определяется
из у с лопи я задачи: " =*= 0 нри t — 0:
0 а= 4 — Се° = 4 一 С,С — 4.
Следовательно, // = 4 — 4е~~0,2に Через 10 мии в сосуде будет
ジг= 4 一 4е-0*2 •10= 4 — 4е~2 « 4 — 4 • 0,1353 « 3,459 кг соли.
12.114. В сосуд, содержащий 10 л воды, со скоростью 2 л/мші
непрерывно поступает раствор, в каждом литре которого содержится
0,3 к г солн. В сосуде раствор перемешивается с водой,
и смесь вытекает нз сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет
в сосуде через 5 мин
12.115. В резервуаре имеется 100 л раствора, содержащего о кг
раствореіпюго вещества (соли). В резервуар поступает чистая вола
со скоростью 30 л/мин. Одновременно с той же скоростью из пеі о
вытекает раствор. Сколько соли останется в резервуаре к моменту
времени /
12.116. В резервуар, содержащий 10 кг соли на 100 л смеси,
каждую минуту поступает 30 л воды и вытекает 20 л смссп. Сколько
соли останется б резервуаре через t мин
12.117. Радиоактивный распад происходит таким образом, что
уменьшение количества атомов dN за время dt пропорционально
количеству N оставшихся атомов, т. е. 一 dN = %Ndt, где Я — свойственная
данному веществу постоянная, называемая константой
радиоактивности. Вычислить количество N атомов, не распавшихся
к моменту /. если в момент / = 0 было No атомов.
12.118. Днубромзамещсыная янтарная кислота, взятая в количестве
5,11 г,гидролизуется в воде, нагретой до определенной температуры,
по рсакиии: СООН — СН2 一 C B r2 — СООН + Н 20 =
==СООН 一 СНз — СО — СООН + 2НВг. При этом количество
кислоты для различных моментов прсмени определяется даиными
из тлбл. J2.1.
Таблица 12 Л
Время t ’ мни 0 10 20 30 40 50 60
Количество кислоты, г 5,IJ 3,77 2,74 2,02 І.48 1,08 0,80
Вычислить константу скорости реакции 人 ,предположив, что это
реакция первого порядка.
108

12.119. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорпионалыіа
разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура
воздуха равна 20 °С. Известно, что в тсчсішо 20 мии тело
охлаждается от 100 до 60 °С. Наііти зпкои изменения температуры
тола тз зависимости от промени t.
12.120. Тело имеет температуру /!, а окружающая ого срсда —
постоянную температуру /о, причем U < 1\. Найти закон охлалчдеғшя
этого тела.
12.121. Тело охладилось зл 10 миіі от 100 до 00 °С. Температура
окружающего воздуха поддерживается равной 20 сС. Когда тело
охладится до 25 °С
12.122. Сосуд вместимостью 20 л содержит воздух (80 % азота
и 20 % кислорода). В сосуд за секунду поступает 0J л азота,который
ііспрсрывііо перемешивается, и пытекаст такое же количество
смеси. Через какое время в сосуде будет 99 % азота
12.123. В воздухе комнаты объемом 200 м3 содержится 0,15 %
углекнелого газа (СО:*). Вентилятор подаст в минуту 20 м3 воздуха,
содержащего 0,04 % СО2. Через какое время количество углекислого
газа в воздухе комнаты уменьшится втрое
12Л24, За 30 дней, распалось 50 % первоначального количества
рлдиоактивпого по щества. Через какое время останется 1 % от периоиачплыюго
количества
12.125. Опытным путем установлено, что в течение года из ка ж ­
дого грпмма радия расппдается 0,44 мг. Через сколько лот расііллотся
иолонииа н\кмоіцсгоси количества радии
12.126. Ц іииіідрпнсскнй бпк, расположенный вертикально»
имеет отверстие в днишс. Половина воды из полного бака вытекает
за о мни. 3ывается схоО.чщимся, r иротиииом слѵчпс он нгі.швастся
расходящимся.
1G9

Признак сравнения. Если | f (л*) | < ср (дг) и интеграл
\ ф (дг) dx сходится,
то сходится и интеграл (13.Î).
А нм лиги'ыо опр( деляются нособствгнный интеграл с бесконечным нижним
пределом н несобстпенный интеграл с обоими бесконечными пределами:
f{ x ) = lim \ f (x) dxt
(13.2)
f (дг) dx — lim \ f (x) dx + lim ( f (x) dx
Û > • OO *
0*'> -f- ac
(13.3)
где с — любая точка из интервала (— оо, + о о ).
;■» x^dx
Примеры.1.Исследовать. сходится лн несобственный интеграл \ г6.
о
Преобразуя подынтегральную функцию, находим
x2dx (л-* + 2 х + \ ) - 2 х -
(1 十 ДГ)в ― 丨 ; (^+І )
. ;.( ズ+ ” 2 — 2(ズ+ 1)+ 1 .
dx=^ \ ----------------- こ - , -------------------ax
" d ( x + 1)
\ (ДГ+
Ç d (x + I) r d (x
' (x+lp 十 、 3(ズ+ 1):»
2 .
4 (л:― 1” 5(ズ+ 1 )’
1
[Здесь принято во внимание, что lim
(х + 1)
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.
2. Исследовать, сходится ли несобственный интеграл 、
Поскольку
\
I
W(1 + 1/JC” хЗ 丨 ,і + 1 /^ ’
• <
1/лг«
1
ири X - * - эо
ео
dx
I + Ав
丨 dx
7 2Ï5-
то сходится и данный интеграл (согласно признаку сравнения)
В задачах 13.1 — 13.20 исследовать, сходится ли несобственнын
интеграл.
13.1.
dx
13.2.
dx
(х + \У

13.3. \ (i + ” dx.
13.5.
_ î 2dt
Т Т Л
13.7.
dx
Т ^ 2_
13.8.
dx
i 十 л2
13.9. \ sin 2xdx.
13.10.
dx
13.11. \ — - dx A*4
13.12. ev dx.
13.13.
13.15.
dx
5 + Ах^~+^2х^
ХО

f ( x ) d x
Ь—г
lim \ f ( x ) d x (e>0)
«-*•§ .
(1 3 .5 )
f (x) d x —lim \ f ( x ) d x (t] > 0). (13.6)
Месибстиснный интеграл (13.4) пазы an ете я с х о д я щ и м с я нли р а с х о д я щ и м с я
в зависимости от того, существуют илн нет пределы соответствующих определенных
интегралов.
Примеры. I. Исследовагь,сходится лн несобственный интегрпл \
[ і —х2
一 i
Подынтегральная функция не определена » точках хі = —I, .ѵг= I; при ズー► 一 [
.v-*-1 эта функция " неограниченно возрастает. Согласно формулам (13.5、
(13.6) нмеем
• lim \
тң*о •
d x d x d x
d x
:lim arcsin x
e-^o
Исследовать, сходится ли иитеграл
ä lim
X'' 8-^0
lim arcsin x
r]-*-о
1
і* л:5 d x
• 1— •
фуякция не опредолелл » точке .ѵ フ 1;она неограниченно
во jpactaeT при д ->-1.Преобразуя эту функцию, находим
x 2 d x
】 一 パ
パ -
1 一 W
d x
l-T)
(1 一 パ )
d x
ズ2
d x
d x
d x
パ
\ d x =
о
-In
• и
Так как
расходится.
при х~
X ,то данным несобственный интеграл
В задачах 13.31— 13.42 исследовать, сходится ли несобственный
интеграл.
я/2
13.3!.
d x
•V2-
13.32.
sin2 t
cos t
d t .
13.33.
X* d x
13.34.
x 2 d x
13.35.
.v3 d x
f a%— .v3
13.36.
d x
172

13.37.
. d x
下
•
13.38. \
d x 一
—С06 ;
d x
13.40.
r/ уТ
一 ‘ Ғ >
V 2 d 9
13.41.
РФ
] 序 :> 8 ド
P5äp
-R/2 丨 " 一 知 1
В задачах 13.43— 13.48 исследовать, при каких значениях параметра
а сходится несобственный интеграл.
d x
13.43.
( Ь > а ) .
Ь (… )ч
i
13.45. \ x®-1 (1 一 х ) ^ - { dx.
о
13.44.
13.46. \
о
f卜 が —1dx.
d x
13.47.
' 吾 .
13.48. f
d x
задачах 13.49— 13.60 вычислить несобственный интеграл.
13.49.
13.51.
d x
x d x
パ
13.50. \
b
2
13.52. \
d x
x - d x
x :
13.53.
13.55.
13.57.
0.4
d x
d x
x 2
i ド r a .
!
Г ____d x ____
J ( 2 - x ) } \ - x
13.54.
0.5
0
t
13.56. \
13.58.
d x
X l l l 3 JC
d x
x f In .
â x
13.59.
I
\ ln x dx.
1 4 . П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е В Ы Ч И С Л Е Н И Е
И Н Т Е Г Р А Л О В
Точное вычисление определенного интеграла по формуле IIьютоііа
— Лейонина нс всегда возможно (так как первообразная
173

подынтегральной функции иногда не выражается в элементарных
фуикинях) или целесообразно (поскольку нахождение первообразной
часто связано с громоздкими преобразованиями). В подобных
слтуациях, а также в случае, когда подынтегральная функция задана
табличным способом, определенные интегралы вычисляют
приближенно. Существуют различные методы численного интегрирования
функций. Рассмотрим, как применяются простейшие
из них.
1 4 .1 . Ф о р м у л а т р а п е ц и й
где
Формула трапеций имеет внд
ь
\ f ( x ) d x = h f-i- у ш -j- + i/г + … + Уп—i + j» (14.1)
а
А = ~ ~ ; x k = a + k h \ y h f ( x k ) ( k О, I, 2......... n ) . (14.2)
Правая часть формулы (14.1) выражает плошпдь фигуры, состоящей из трапений,
высота каждой из которых равна h (рнс. 14.1).
то
Рис. 14.1
Еслн R n— остатомний член приближенной формулы (14.1), т. е.
ь
、 / (x) d x = Л ^ ~ г Уі + У 2 … + У п
где М = та х | 广 (а) | .
a - Xs. à
丨 叫 く^
^
(Н.З)
П р и м е р ы . ) . П о ф о р м у л е т р з п е и н й в ы ч и с л и т ь (—~ п р н n = 7 .
Находіім Л, Х к и у м п о формулам (14.2):

• " 0 = 丨 ,Уі = ~ 2 - . ;/s = - y . !/з = 了 • Уа = 飞 = 了 • !һ = 了 •
В соответствии с формулой (14.1) получаем
) ~ г г г 丨 (4_+ 4 ~ + 士 + 4 ' + 4 " + + + 4 _+ 去 ) = 温 5;2,16.
•2 \ /
3 а у е ч :» н » с Получсшшн резу.іьтат почти на 0,1 отличается от результата,
найденпого по формуле Ньютона — Лейбница:
9
= In 8 — In 1 た 2’08.
А х • 一 1п(х — 1)
Этг) (ібъяснн^тся тсм, что промежуток интегрирования большой, а чнсло п невелики.
•• d x
2. По формуле трапеций вычислить 一 ニ. : ラ「 при n = 5.
2 I -v + 知
Нзхолим h , X k и у л по формулам (14.2), в последнем случае пользуемся таблицей
квадратных корней из чисел:
h = — с ~ = 1 ; = 2 十 々 (k = 0 , 1 , 2,3, 4, 5).
Хо = 2. дг! = 3. x» = 4, xz = 5, Xi ~ 6. Хь = 7;
У к ^ f ( ^ k ) == ~~— ~:'ô" (Ä —0,1» 2,3, 4, 5),
I 外 十 2
1 1 1 1 1
lJo ^ j 2^72 ^ "2"* У і= і 3 + 2 ^ ~ТТ~ =: 27236 ^ °»447,
ダз = - 2,449 ^ 0,409’ У і = = у y " 2,646 ^ 0,37/ '
I I 1 1
ぬ = I g 51 2,828 " 0,353f І/5Г= / 9 = 了 .
По формуле* (14.1) получаем
丨 '•
d x
= (0,250 + ()パ47 + 0,409 + 0.377 + 0,353 + 0,166) =- 2,002.
J a mе Ча н и е. Полученное приближенное значенне интеграла мало отлнч
аіш от результата, найденного с помощью формулы Ньютона — Лейбница:
d x I I (x + 2 ) - ,/2 d(.x-{-2) = 2(x + 2)l/2
x + 2
= 2 [(7 + 2)1/2 ― (2 + 2)l/ î ] = 2.
Болес точный результат (по сравнению с примером 1 )объясняется тем. что
в данном случае меньше промежуток интегрирования, а также меньше максимум
модуля второ»*! ириизводной подынтегральной функции:
175

(В примере 1 M =max
2 x

|/ПІ = |0.6931 一 0,69561 = 0,0625 < 0 ,01.
14.1. По формуле трапеций вычислить интегрпл і л* У 1—x'2dx,
о
приняв ;| =10, п> = 20. Полученный результат сравнить с точным.
В задачах 14.2— 14.4 по формуле трапеций, ириияв п = 10,вычислить
интеграл при указанных значениях параметра р.
14.2.
0
dx
• рх。• 1 ) Р = 1 ;2) р = 2; 3) /7 = 3; 4) р = 4: 5) р = 5 ;
6 ) р = G; 7) / = 7; 8) р = 8; 9) р = 9 ; 10) р 10.
1
х^р dx
14.3.
• ; 1 ) р = \ \ 2) р = 2 ; 3) р = 3 ; 4) р 4; 5) р^Ъ .
(1 一 л:+ А - ) -
0.4
14.4. \ + d x ; 1 ) p = 0.U5; 2) /) = ü . l ; 3) p - Ü ,1 5 ;
-0.2
5 8
\) p = 0,2; 5) p = 0,25; 6) p = 0,3; 7) пз
ов’
A o=
9) p = 0.45;10) p = 0,5;11) p = 0,55; 12)
3)
14) p = 0,7;15) p = 0,75;16) p = 0,8.
В задачах 1-1.5— 14.10 определить, на сколько частей нужно разбить
промежуток нитсчрироваиия, чтобы по формуле трапеций вычислить
интеграл с точностью до 0,1.
4
5
14.5. ' In 2х dx.
i
14.6. \
іІХ
~х'+ 2
14.7. ех dx.
14.8. \ л* (In д:— 1 )dx. 14.9. \ sin x dx.
В задачах 14.11— 14.16 определить, на сколько частей нужно
ра.чбить промежуток іштсіриров;шия, чтобы но формуле тралений
вычислить интеграл с точностью до 0,001.
14.11. 丨 cos
14.14. ( ех dx.
dx. 14.12.
dx
x
1 4 .1 5 .レ (ln,Y 1 )dx.
В задачах 14.17— 14.25 по формуле трапеций
грал с точностью до 0,01.
14.17. \ 1п 2.ѵ dx.
14.20.
і
dx
x
14.23. ' sin.vd.v.
14.18. » cos —Tj- dx.
ü
А
14.21.\ а*(1п.ѵ 1)dx.
\
2
14.24. \ e~x%dx.
14.13. \ In 2а: dx.
\
1.2
14.16. \ sin x dx.
о
вычислить иитс-
14.19.
14.22.
14.25.
äx
dx.
dx
1 十 д:а
177

1 4 .2 . Ф о р м у л а п а р а б о л
Ф о р м у л а п а р а б о л (или ф о р м у л а С и м п с о н а ) имеет вид
а
\ f M d x
где h =
4 (ぬ + У3 + • • . + У2п 一 1 ) + 2 (Уг+У^ + ••• 十 1/2Л—2) +1/2П) •
. (И .4 )
== û + kil'r t/fi = / (ズft) (Ä 0 , 1 , • • • f —л) •
P h c. 14.2
ГІраипи часть формулы (14.4) выражает площадь фигуры, составленной и:і
параболических гранений дгоАГ-И2^2. .〜ル 从 ズ‘ и т. д. (рис. 14.2). Д ут
графика поды!тчрильной функции замсміена здесь дугой параболы, приходящей
через гочкм Afu, Mt. ЛІ^- Аналогичная замена произведена и для остальных дуг.
Для остаточного члена формулы (14.4) выполняется нерапенстао
(ö 一 аУ М
1ル 1 ^ ~ Т Щ 2 п ) ^ ' (І4.5>
гд е М = ш ах | f IV (дг) |.
a x b
\ dx
Примеры.1• По формуле парабол вычислить интеграл j _ ~_ г-при 2п~10.
л 1
Составим таблицу іначсшін ік)дынтегрллі»»іоП функшш. необходимых для пичікления
ли и ного интсгрилп ( табл. 14.1).
Т а б л и ц а 1 4 ./
x h x k V 〜
[ к нечетное) ( k —четное)
0 0 0 У о ~ 1
Î 0.1 0.001 і / і = 0,99900
2 0,2 0.008 t/« 0 ,99206
3 0,3 0.027 = 0,97371
4 0,4 0.064 iム ==0.93985
5 0,5 0 . 1 2 5 і / 5 = 0.88889
6 0.6 0,216 ye = 0,82237
7 0,7 0,343 і/7== 0.7*1460
8 0,8 0.512 у ѣ 0,66138
丨 9 0.9 0.729 у 9 = 0,57837
10 1 I У ю = 0,5
V
1-------
178
1.5 4.18457 3.41566

В последней строке табл. 14.1 находятся суммы чнсс.і соответствуюших
столбцов.
Так как
Һ = = 0 .1 .4( 扒 + у ш + у 5 + у 7 + //„) = 4 4.18457 -16.73828,
. ) формуле (14.4) находим
I
2(уг + Уі + Ув + У ь )^ 2 • 3,41566 = 6,83132.
\ , ミ -4 - レ • + 4 (Уі + У з Л -У ь ^ У т т Уь) + 2 (ダ2 ト Уі + Уも+
l+x» 3
+ Уъ)+ Uio] - -gg-«! + 16.73828 + 6,83132 + 0.5) = 0.&3565.
!
2. По формуле парабол вычислить интеграл \ JÎÜ JLdx при 2п =10.
^ x
Составим таблицу соотпетстиуюіинл значений ф>нкции (табл. 14.2).
Таблица 14.2
k
xh
sin Xk
*V Ѵ2П
нечетное)
Vf. (к —четное)
0 0 0 y%= 1
I 0.1 0.09985 yx = 0,99850
0.2 0,19867 і/з 0,99335
2
3 0,3 0,29552 ぬ =0,98507
0,4 0.38942 y 秦 ― 0,97355
4
5 0,5 0,47943 уъ= 0.95886
6 0,6 0.56464 уй = 0,94107
0J
0,7 0.64422 tj7 ニ 0,92031
s 0,8 0,71736 ys =0.89670
9 0,9 0,78333 t/9 = 0.87037
10 ■ 0,84147 yl9 0,84147
1
2
1,84147 4.73311 3.80467
Поскольку
1— 0
h = j q " 0,1, 4 (め + 十 //• 十 ダ 7 + 外 )=4.4,73311=18,932*14,
по формуле い4.4) получаем
2(ダа + 1/4 + £/« + Уь) = 7,60934,
\ - : . : Х ^ ІУ . 十 У і. + 4 (f/x + //8 - f І/& + ^7 + Уз) + 2
179

产 r S in X
Занечанне.しоотзстствующий неопределсішыи интеграл ( — -~ dx япля-
%>
стся «нобсрущимсн» интегралом Так как первоооразиая подыитсгрл.іьнои функ
иим в данном случае не выражается в элементарных функциях, то формулу
Ньютона— Лейбниц л применить нельзя.
3. ГЬ формуле парабол с точностью до 0.(Ю01 вычислить
レ
. I -I- дг-
к о г д а
Ііосч»іЛьяѵч;мс% формулой
с. п р и
0 — ау М
180 (2пу
Нсравснстііо І^п|^ е 6'•.ユст выполнено,
(Ь — а) М
2п
180р
Найдсм значение Лі = піах け 1、 (x) J. Так как
a x
2х
Зх2
f W 1+ х 3 • Г ІХ) - (1+ x2)2 • 厂 いクーム(1+ ぶ2)3
24 (x - r 1) , ^ _ 2 4 細 ー 丨 0パ +1)
” H ( 1 + パ )4 • / ぃり 一 (I +JT3)*
(14.6)
то М ニ піах I / い (дг) I - 2 1 .(Максимум модуля четвертой производной найден с
, — 240 (Зг4 一 10л*+ 3)
HOMOUU.IÜ ЩЮНЗВ01НОК f ( х ) ---------- (】
ГІодстіінн.м в формѵ-іѵ (14.0) значения входящих в нес величин а 0. Ь ^ 1,
М = 24. е = 0,0001:
(\
2/7
— 0) * 24 24•10000 i "40Ô0*
>
1334 - 6.07.
П Ж (Г .0 (Ю Г ~І80 I ~ Г ~ '
Поскольку 2п — целое и четное число, можно изять 2п 8. Замечая. что
b — Q 1 — 0 I
0 ,125, состлиляем таблицу значений -------ү - (табл.
2п
14.3).
Таблица 14.3
к 1+ 4 V у гп
Уһ ( 灸 一 нечетное)
Vu (た—четное)
0 0 1 1
I 0Л25 L0I563 yï = 0、98*Ш1
2 0.250 1.06250 =» 0,94118
3 0,375 1.14063 f/3 = 0,87670
4 0,500 し25000 ― 0 、80000
5 0.625 1,39063 уГй= 0.71910
6 0.750 1.56250 yt ニ О.б ЮОО
7 0,875 1.76563 t/- 0 ,56637
8 1,000 2 0.50000
V
丨 _
180
1,50000 З.И678 2.38ИВ

П о формуле (1 4 .4 ) получаем
dx
\У$
(Уі + ダ 靠 + У і + .Vî) +* - (Уз + IU + /• + У і\ :
瓦 (し
.3,14678 + 2.2,38118 4-0.5)
I • Л 18.84948
-9д-(1 + І2,о8712 f- 4,76236 + 0,5) = ----- -------- 0.785395.
В задачах 14.26― 14.29 по формуле парабол, приняв 2п
вычислить интеграл при указанных значениях параметра р.
14.26.
ѵ
dx
丨 + w
1 )/ = 1 ;2 ) р = 2; 3) р = 3; 4)
С) /7 = 6;7)р = 7;8)р = 8 ;9 )р = 9 ; lü) p
Л/2
10.
4;5) p 一 -
14.28. ^ ^ 05e0■8plx, ~ РІХ,У-
d x ; 1 ) p - 0; 2) p = 0,05; 3) p = 0,1;
( M + 0 . 0 3 ^ — 0.0 5 .1 ::,
一 ъ
4) p = 0 ,1 5 ; 5) p = 0 ,2 ; 6 ) p = 0 ,2 5 ; 7) p = 0,3; 8) p = 0,35;
9) p 故 0,4;10) p « 0,45; U ) p = 0,5;12) p = 0,55;13) p = 0,6;
14) p = 0,65:15) p = 0 ,7 ;1 6 ) p = 0,75;17) p = 0,8;18) p = 0,85;
19) p — 0,9; 20) p = 0,95.
14.27.
dx:1 )p = l ; 2) p ^ 2 ; 3) />=3; 4) p = 4; 5) p = 5 ;
w 丨 + px
6) p =r 6; 7) p = 7; 8) p = 8; 9) p = 9;10) p *=10.
14.29.
dx
1 )p 0,5; 2) p \\ 3) /7 ニ2: 4) p = 3;5) p ニ 4;
6) p = 5; 7) p = b; S) p - 7; 9) p = 8; 10) p = 9; I I ) p
= 10、
В задачах 14.30— 14.39 вычислить интеграл по формуле пара
бол, приняв 2п =10.
14.30.
dx
x2 + .1
14.31.
dx
лг3
14.32. I \ х 2 + 1dx.
14.33.
И .3 6 .
dx
x2 十 \
14.34.
dx.
14.35. \ е—パd.v.
я/2
( I I 一 г S ^m -tdt. 14.37. 4 — 3 cos" t cit.

В задачах 14.40— 14.45 определить, на сколько частей нужно
разбить промежуток интегрирования, чтобы вычислить с указанной
точностью еа, k = 1, 2, 3.
я/2
14.40.
sin xd x; = 0,001, е2 = 0,0001, е3 == 0,00001.
14.41.
14.42.
\ 6х dx; е, = 0,001, е2 = 0,0001, е3 = 0,00001.
І
л/2
cos -ү А х \ ех = 0,0001,е2 = 0,00001,е3 = 0,000001.
о -
з
1 4 .4 3 . 81= 0.UÜ1,е2 = 0,0001,е3 = 0 ,0 0 0 0 1 .
о 十
3
1 4 .4 4 . J \n 2 x d x ; ег = 0 ,0 0 1 ,е 2 * = 0,0 0 01,е3 = 0,00001.
і
14.45. j x (ln x ― 1)dx; = 0 ,0001,e2 = 0,00001,e3 = 0,000001.
3
В задачах 14.46― 14.5! і;: .числить интеграл с точностью до 0,001.
я/2 2 я/2
14.46. j sin x d x . 14.47. \ ехdx. 14.48. \ cos dx.
0 1 о
3 3 4
14.49. \ — 14.50. Hn2.vd.v. 14.51.û (ln.v— 1 ) J.v.
X ぶ 十 - • •

V I. М А Т Р И Ц Ы И О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И .
Л И Н Е Й Н Ы Е С И С Т Е М Ы .
П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е ^ Е Ш Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Й
1 5 . М А Т Р И Ц Ы И О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И
Теория матриц находит широкое применение в современной
науке: физической химии, теоретической физике, электродинамике,
квантовой механике, а также при решении разнообразных прикладных
проблем (планирование, управление производством и др.).
1 5 .1 . М а т р и ц ы и д е й с т в и я н а д н и м и
Матрицей называется снстсма m X п чігссл. расположенных в прямоугольной
таб.інис из пг строк ii п столГлюв. Числа ,т >й таб.пши называются элементами
матрицы. Обозначения мптрнпы:
ûl l а12 • • ain ali al2 * / ai i аіг • • an i \
аг\ a22 • • а2П ,
j Ûfo] ^22 • • ^2П I U21 a22 • • am i
am\ ani2 • • amn 1ami ロ,"2 . • • Я〃:71 \ ami ûm2 • • • amn !
Элементы а", ....... а,п составляют і.-ю строку (:•=1,2, •••,m) матрицы,
цементы а“ ,а2м. Чтк — се fe-й столбец (к =1.2, .... п); а,а, — элемент,
принадлежащий і-н строке* и 人 ’-м>. столбцу млтршіы; числа i、k называются
ч • >сі:сами элемента.
了 иѵсющѵю гп строк и п столбион, назызают матрицей размеров
• п (чнтлстся q = (Ь/*)называются равными, ссли
Г - 爪 ,q ^ ti и üik ニb:n (i = 1 ,2 , •..,ш; к =1,2...........rt); другими словами,
ли они имеют одинаковые размеры и их соотистствуютнс элементы равны.
М^трнши состоящая ;шшь из одной строки, называется с т р о ч н о й м а т р и ц е й
: іи м а т р и ц е й - с т р о к о й . Матрица, имеющая лишь один столбец, называется с т о л б -
і { с в п и м а т р и ц е й нли м а т р и ц е й - с т о л б ц о м .
Л\:ітршіа, все элементы которой равны нулю, насыпается ну.ісаой.
К в а д р а т н о й и«тзывастоя мптрицп, v которой чнсло строк раіши числу столбцип
(m = п). т. е. матрица вида
^11 ü12 • • • “ 171
С1о\ Сіщл • . •
^ п г • • ^п п
m

Пороком квадратной матрицы нтинлется чнсло сс строк (пли столбиоц).
Будем говорит!», что элементы "ц . агг. «пп квадратной мптрішы иПрпзѵют
(*с главную Оиагональ, a ^лемс*ніы ü in,a2n-i. •••, um — вторую диагональ.
Лиигональной на шв;ится кнадратипя матрица, у которой исс элементы, не
прии.чдложлшис главной диагонллн» равны нулю.
!'

Определить 2/1 — 3ß
Илходнм 2,1. 一 3ß il 2.1― ЗВ =2Л + ( ~ 3 ß ) :
8 10 — " —3 3 " 5 13
2А = 12 2 , —3 3 = —6 9 , 2Л —30 = 6 11
4 6 —9 6 —5 12
3. Даиы две матршіи-
ІЬійти произпсдсіпіс .lß . Можно ли получить произведение ВЛ
1Іис.ю столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В («ширина» матрицы
/1 равна тс> матрицы В )%поэтому пропзпедснис Л В определено. Умниж;ія
строку мптрици А ыа столбец матрицы В, по формуле (15.1) получаем
"1-2+ 3.5+2.3+(—1).0 1•1 + 3.4 + 2 •(—2) + (—1)• (—3 "23 12^
1В= 4.2+5.5 + 0 .3 + ( —3).0 4*1 + 5-4 + 0.(—2) + (—3). (—3) 33 33
6» +0.о + 7.3 + (—2) *0 6.1 +0.4+ 7•(—2) + (—2)•(—3) 33 一 2
Пронлпедсіінс ВЛ пс определено, так как число столбцов матрицы В нс равно
числу строк мптршіы /1.
15.1. Найти сумму и разность двух матриц:
15.2. Найти сумму трех матриц:
( О
-5 7 8
' 4 — 7 5 ' 2 — 5 ― 3" 「_ 3 3 —8
2 一 3 1 , в = 1 —4 —8 , С 」 j _ 2 5 _ 6
15.3. Даны три матрицы:
1 —5^ " —2 3 〃 ■3 —2 "
3 —7 , в = —4 6 , С ― 5 —4
6 —8 - 1 7 _ 7 一 6 _
Найти:1 )А + В + С :2) Л - В - С : У) ЗЛ—2 /Î+ C ; 4) 2 Л + 4 В -З С .
15.4. Дана матрица А
воряющую условию:1)2/1-
где О — нулевая матрица.
Найти матрицу X 、удовлет-
X = О; 2) З А + Х - О; 3) 2 А + З Х = О,
г i ベ
15.5. Даыа матрица А _
воряющую условию:1 ) Л + Аг = Е\ 2
ничиая матрица.
Найти матрицу X , удовлет-
ЗЛ — 2Х ~ £ , где Е 一 едн-
165

15.6. Даны матрицы:
' 1 - 3 • г> ' — 2 4
5 —7 , D = —6 8
Найти матрицу X, удовлетворяющую условию*.1) А + Х
2) ß — 2ズ= 0 ; 3) ЗЛ 一 0,5ズ= В.
ß;
15.7. Известно, что А гаВ ^ — Cm:. Чемѵ равны m и I — размеры
матрицы С
15.8. Известно, что АозВпі = С^. Найти п н I.
15.9. Известно, что = С:,р.. Найти зависимость меж
ду п и k.
15.10. Даны матрицы: Существуют ли произвеле
ния:1)АВ\ 2) В А; 3) ВС; 4) СВ; 5) Л С;6) СЛ
15.11.Даны матрицы:
_ 1 —3
Г)
3 —2 —1
2 —4 . В = 5 — 4 — 7
-5
-8
Существуют ли произведения: I ) А В : 2) ВА\ 3) ВС\ 4) C ß ;5) CD;
6) ЛС; 7) А С :8) СЛ; 9) B D .,10) DB
15.12. Найти произведение ЛВ, если
「 卩 1 1 ひ1 2 ^ 1 3
! ^ 2 1 ^ 2 2 ^ 2 3
D :
' Ь п ゐ1 2 办 13
, В = = わ21 Һоп Ь

15.16. Даны две матрицы:
0 4 5 — 2
7 1 0 —3
В
5 —4
3 —2
1 —5
9 —7
НаГсти произведение А В . Существует ли произведение ВЛ
В задачах 15.17— 15.26 найти произведение матриц.
15.17. [4 —5 6]
, І5ГГ^)
卜 3 — 2 l j .
15.19.
5
7
6
8
15.20.
0 0
15.21.
3 4
15.22.
6 0
О 9
2 0 О ____
_
___
15.23• 丨
с.
1
15.24.
О
6
О
7
О
5.25.
i
0
о
1
О
0
1
15.26.
В задачах
уравнении.
15.27.
— 2
— 3
3 — 5 6
2 — 4 1 О 1 О
15.27— 15.30 записать в матричной форме систему
Зд: + Ау =
Ъх ~ 2 у = 3 .
2хх - Зл*2 9,
15.28
• I Зх, 2л、 = 1 1 .
15.29.
2 х 4- Зу + Ъг
7 х + 4 у — б г
Sx 一 —Ъу + 3z
11, i 4л、 З.ѵ2 + 2л ,,
5, 15.30. ! 5л4— 2.ѵ2 丁 4л、
6. 1 5.ѵ, -4 7ла — 8.ѵ,
187

В задачах 15.31— 15.36 иаити произведения АВ и ВА двух квадратных
матриц.
' 1 2
15.31. А =
5 —6 , в =
15.32. А
15.33.
15.34. А
15.35. А — 3
2
15.36.
5
6
4
В задачах 15.37,
угольных матриц.
О О О О
3 一 5
-8 7
1 — 9
3 一
6
— 4 1
— 5 3
8 — 4
9 —5
7 —3
_ 1 0 0 _
, ß = 0 1 0
_ 0 0 1
-7
-3
15.38 найти
В
9
" 4 ― 1
一 2
4 —2
5 6
2 5
3 2
б 5
О
произведения ЛВ и ВА двух прямо-
15.37. А
3 1 О
В
10.38. Л
1 5 .2 . О п р е д е л и т е л и и ах с в о й с т в а
О п р е д е л и т е л е м к в а д р а т н о й м а т р и ц ы в т о р о г о п о р я д к а
Д11 û12 1
ûol Qo-J I
назывлстси чнсло, рашк】е ауіч
“ i
Il ОбО:ШПЧПО!ос
ロІ2 I
û22 I
Числа a \ \ t ûi2, a n , а г г называются э л е м е н т а м и о п р е д е л и т е л и м а т р и ц ы вгор
о г о п о р я О к а . Клждын элемент оіірі*дс.інті-.ія • б о з н а ч а ю т буквой а с двумя
индекс:!ми; первый указывает иомер строки, второй 一 іюмер столбца, нл псрссс-
188

чешіи которых находится соответствующий элемент (напрнмср, элемент ûsi прнііпдлежнт
второй строке и первому столбцу определителя).
Определитель квадратной матрицы называют также детерминантом. Для
определителя матрицы Л употребляются следующие обозначения: \А\, Л, det А.
Определителем квадратной матрицы третьего порядка
называют число
О ц Д12 ^13 .
°21 Іілп а 23
Ö31 а У1 û 33 _
0 Ц “ 12 а із
а 21 Ол*> °23
Û31 Я32 а зз
= О ц а 2 2 °3 3 'Г я12а23031 + ^21tt32ö13 ― 013^22^31— ^12^21^3 — Ö2afl32^11•
3 •つAfOTinf, что кпждое еллглемоо ллгсбр;ічг*скч>) суммы в правой части
последней формулы представляет собой произведение ^лсмснто» определителя,
взятых но одному и только по одному нз каждой строки и каждого столбца.
Этому произведению приписывается соответстнуюшиГі знак. Для того чтобы различать,
какпе произнодсші;! следует Г>рать со знаком плюс, л какие со знаком
минус, полезно анпть прп вило, схематически изображенное ил рнс. 15.1.
М и н о р о м какого-либо э л е м е н т а о п р е д е ­
л и т е л я называется определитель, полученffblil
113 Н С Х О Л И О Г О RUnepKJinnHîfrM тон строки
и того столбца, которым прішадложнт лаиныіі
элемент. Мипор элемента ü i k обозначают
M i k .
А л е с б р а й ч е с к и м . д о п о л н е н и е м э л е м е н т а
üik определителя называется его минор, умноженный
на ( 一 l)i+ft. Алгебраическое дополнение
элемента а,-а будем обозначать
и с . 1Ь.1
Ліһ. В соответствии с опрсделопнсм /1.7;=
= ( —l ) ,+fcMfÄ.
Определители матриц второго и третьего порядка назыппются также о п р е ­
д е л и т е л я м и в т о р о г о и т р е т ь е г о п о р я д к и .
С і ю і і с т в а олрсделнтслсй :
1 ) огфсаеліпхль нс изменяется нрн замене всех его строк соответствующими
столбцпмн:
2) при псрсстаиопкс двух строк (столбцов) определитель меняет лишь знак;
3) пирслслитсль с дпумя одшьчкомымн строками (столОппми) р;шоіі нулю:
П множитель, обиіий для всех иломоитоп ііскотороп строки (столбца). можно
1ШИССТИ л:\ знлк определителя;
5) определитель рлпси пулю. сч*ли зсс элементы некоторой строк» (столбца)
р п п н ы И У .1 Ю :
П、(ліродслитель ис изменится, сч'ли к элементам искоіч)рпи строки (столбил)
риб.изпть соотиетствѵющис элементы другой строки (столбца), предварительно
умножив их на один н тот же множитель:
7) определитель рлпсн сумме пронллодеииГ/ эломсіітоіі .*:юбон строки (столбил)
иа нх плгебраичсскис- дополнения.
Сноиство 7 можно выразить, иапример, формулой:
«11 °І2 а\з
Û21 а22 °23
«31 а32 û33
• 1С32 “ 3S 丨
I (42l
レSI
Л пиная формула представляет собой разложение
ио элементам первой строки.
! . 丨 Ü21
n i + °13 ! >
ÛZ2 I • a 3l
°22 I
«52 I'
ииределлтс'ля третьего порядка
189

По аналогии
порядка:
с последней формулой вводятся определители четвертого
а 12 а і з а ч
а 21 а 22 ^23 Û 2 i
а з і ° 3 2 Û33 ° З І
° І 2
а лз
a 22 a 23 g24 °2 1 °'23 g24
=G U 卩 32 а зз a 3 i 一 Q3 l Û33 °34
d42 a 43 Û4I び43 0-14
a 2 l a Z2 11 ^21 a 21 a23
+ a l3 a '3l a 32 a 3A — 0Ц a 3 l Ü3J °33
( U l a 42 a 4 i С ц ° i 2 o« ;
определители пятого порядка и т. д.
Примеры.1.Вычислить определитель третьего порядка
(15.2)
Пользуясь определением, получаем
=2 (—5) 1+ 1.1 (—2) + 4 ( 一 3) 3 — 3 (—5) (—2) 一 1.4.1—1(—3)2=
= = 一 10 一 2 ― 36 一 30 ― 4 + 6 = — 76.
2. Вычислить определитель третьего порядка
112 225 335
】21 243 362
133 267 400
Преобразуем сиачалп данный определитель, воспользовавшись его свойствами.
Прибавив ко второму столбцу первый, умноженный на —2, а затем к третьему
столбцу первый, умноженный на —3, получим
112 225 335 112 1 335 112 1 一 1
121 243 362 = 1211 362 = 1 2 1 1 一 1
133 267 400 133 1 400 133 丨 1
Прибаплм второй столбец последнего определителя к его третьему стслбцу
!112 1 112 1 0 1
121 I — 1 121 1 0
133 1 1 133 I 2
Ріізложии полученный опре делитель но элементам третьего столбца, найдем
112 1 112 1
1211 0 = 2
2(112— 121)
121 I
133 1 2
3. Вычислить определитель четвертого порядка
І8.
3
2
т

По ф ормуле (15.2) находим
!1 2 3 1 2 2 3 12 1 3 2 1 2
1 3 1 2 j — 3 3 1 2 + 4 丨 3 3 2 一 5 3 3 1
1 2 3 1 I 1 3 I | 1 2 1 ! 2 3
Вычислив каждый нз определителей третьего порядка, ио.іучнм
Л = 6 • 】8 — 3 • 12 + 4 . 6 — 5.12 ^ 108 — 36 + 2-1—60 = 3G.
3 а м с ч :і h и с. Этот определитель
СПОЙСТБЗМИ:
6 3 4 5
2 1 2 3
3 2 1 2
1V 1
-12 —18 0
一 3 —4 1
一 в —12 0
можио вычислить, воспользовавшись его
-12 一 18
-в . 一 12
—14
—4
б-б I 2 36(4 一 3)=36.
(Второй определитель четвертего порядка получен из первого умножешюм четвертой
строки поочередно на —6, —2 , —3 и прибавлением ее соответственно
к первой, второй, третьей строкам.)
В задачах 15.39— 15.44 вычислить
рядка.
15.39. 5 3 J
6 I.
13.40. 4
9
2 і
3 ° ;• !
52
15.43. 63
определитель второго по-
/15.41.
Г 1
G2 15.4І' 24 26
48 Г 75 74 * 33 35
задачах 15.45— 15.48 решить уравнение.
15.45. x 8 1 丨 5.46. X — 2
- , ハ 1= 0.
3 12 1 'こ X
15.47. x2 3ぶ' 15.48. X 2
„ ! = 0 . = 0
3 л: i Л: X
В задачах 15.49 一 15.54 вычислить
кп (использовав определение).
15.49. I 15.50. 2
определитель третьего поряд
15.51.、
3 1 2

В задачах 15.55— 15.63 вычислить определитель третьего порядка
(использовав свойства определителей).
15.55. 1 3 5 15.56. 9 7 8 15.57- 1 2 3
2 4 6 6 4 5 4 5 6
8 9 7 1 2 3 7 8 9
15.58- 13 12 11 15.59. 46 40 30
24 23 22 57 54 55
35 34 33 68 65 66
15-60- 58 63 59 і5 .е ь 132 135 137
69 73 71 243 244 246
77 81 79 354 355 357
15.62. 119 125 122 15,63. 251 125 126
428 431 429 . 363 131 182
579 582 580 574 288 289
В задачах 15.64— 15,69 решить уравнение.
15.64. x 1 2 15.65. 1 7 л: 15.66. 3 2 л:
1 x 2 = 0 . 8 л: 8 = 0 . 1 X 1
1 2 л: x 2 x X 2 X
15.67. x —2 1 15.68. 2 л 1 15.69. а: 4 5
X X 1 = 0 . x 2 1 = 0 . 3 — 1 x
9 9 x 3 4 л: 3 x — 1
В задачах 15.70— 15.75 вычислить определитель четвертого порядка.
192
15.70. 6 3 4 5 15.7Г 4 3 4 5
2 2 2 3 3 I 2 3
3 3 3 2 * 2 3 1 2 *
2 2 3 3 1 2 3 1
15.72. 6 4 4 5 15.7$. 3 / 5 4
2 3 2 3 - 1 3 3
3 2 1 2 3 3 2 2
1 1 3 1 2 1 1
15.74. 4 6 3 4 1 1 -1 — 1
2 2 1 / г —-1 — 1 1 1
1 3 А/ 1 2 3 4
3 1 2 1
\
8 7 6 5

1 5 .3 . О б р а т н а я м а т р и ц а . Р а н г м а т р и ц ы
К^адоатная матрица Д—1 называется о б р а т н о й квадратной матрице А % если
выполняется условие
л и л - 1= 石 , ^
где Е — единичная матрица.
Квадратная матрица называется н е в ы р о ж д е н н о й нлн н е о с о б е н н о ^ €слв ее
определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, она называется
в ы р о ж д е н н о й или о с о б е н н о й .
Всякая невырожденная матрица
имеет обратную матрицу
det Л
ÛÎ2
1 ^П2
A l
Л12
* *
^22
^іп
^2П
^1R ^2/1 ^пп
где — алгебраическое дополнение элемента ü î k матрицы латр А .

Вычислим определитель матрицы А и алгебраические дополнения сс элементов:
det А ー 丨 (1— :
2 1 2 1 о 2
ニ2 , バ12 = — = 一 о, Л18 =
2 2
1 2 1 2
:0, /1*22
1 , л я
しЛ, I -— - 1•
:|
Составляем матрицы Л г
Следовательно,
Л *
一 1
det‘4
^21
Л ,
и
1
л 2
л
3
о . 1
2
2
4V 3
4
ん
•
ん
3
3
3
ん
1
и
2
H
. 3
i 111! е. Дли контроля ІШЧПС.ЧСШІЙ покаж ем , ЧТО /1 1 -
Г>. ІҺГітн ранг матрицы
'111* 2 0 —
A A ~ ~ l = 9 0 J 一 3 !
1 2 2 2 一 1
2 — 3+2 0+ 丨 ー1 一 + 1+0"
4 一 6 + 2 〕+ 2 — 丨 -—2 + 2 + 0
2 — 6 + 4 3 + 2 —2 ―1+2 + 0
Î9!
L. Дойствн-
•••; ' 1Н fK*i»BVK> СТрОКѴ матрицы .1 І!о0«ісрсдни ! ! :і 2 . 4. E и прибавляя

аолучениын результат соответственно ко второй, третьей
нмеем:
(-2 ) (-4) ( 一 5)
+
четвертой строкам,
Полученную матрицу
ваниям:
-6 —4
-6 —4
подвергаем дальнейшим элементарным лреобразо-
( 一 り ( 一 О
一 】 1 一 1 1 2 "" 1 1 0 0 0
0 一 3 5 - -6 - -4 0 - 3 0 一 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
―1 0 0 0 0 ―
0 ―-3 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Дяшпя матрица приведена к днагонллыюй форме,
В задачах 15.76— 15.82 выяснить, имеет
обратную.
15.76. 15.77.
6 9
ее ранг равен двум,
ли данная матрица
15.78. 15.79.
15.80. 丨 2 3 15.81. 0 4 Г 15.82.
2 1 3 . 3 2 5
3 1 4 _ 2 5 7
В задачах 15.83— 15.89 выяснить, при
ществует матрица, обратная данной.
4 3
2 3 1
3 2 4
каких зиачепнях (е су-
15.83. 2 15.84. 15.85. a 丨 15.86.
15.87. 1 1 2 _ 15.88. " 1 а 1 " 15.89.
а 1 2 а 1 0 .
_ 0 3 1 _ 1 1 1 ,
а 2
8 а
а —
J95

В задачах 15.90— 15.102 наити обратную матрицу для данной
матрицы.
15.90. 1 2
✓
15. .91. 15.92. 15.93. siu а —cosa
3
cosa
sin а
15.94. ' 1 1 1 " 15.95У 2 1 3 " 15.96. 9 17 8
6 5 4 7 3 10 18 34 17
13 iü 8 15 ü 20 10 19 8
15.97.
8 9 :
15.98. 2 5 /
. б 3 4
一 5 一 2 一 3
15.99.-
3 — 4
2 — 3
3 — 5
15.100.
0 0 1
о о о
15.101.
2
3
3
5
6
15.102.
3 9 4 2
4 4 9 4
5 4 10 •)
задііч;іх 15.103— 15.114
15.103.
ііаіітн ранг матрицы.
15.104.
15 105.
1 3
O
l
4
3 5
1 2
2 3
3 4
11
*>9
33
15.106. 4
9
5
10
6
2
•î
2
15.107. 2 3
5 6
3 4
2 3
2 4 4 3
3 6 4 3
2 5 2 2
1 2 1 1
15.109.
1 3 2 0 1
3 7 4 1 2
2 0 4 8 ;
7 19 12 1 6
15.! 10.
•1 3
1 1
2 О
-4 О
-2 4
1 6
Іііб

15.11 15.П2.
■10
3
6
3
8 6 — 1 4 - (
15.113.
1
2
3
2
3
4
3
4
4
-5
4
15.114.
1 1 1 1 1 3
1 2 3 1 5 9
2 1 2 3 2 8
3 •—1 1 2 3 2
G 4 3 一 一 2 1 5
1 6 . С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К И Х
У Р А В Н Е Н И Й
Линейным алгебраическим уравнением называют уравнение,
содержащее переменную только в первой степени и но имеющее
произведений переменных. При решении систем линейных уравнений
используются определители и матрицы.
1 6 .1 . Р е ш е н и е с и с т е м у р а в н е н и й с п о м о щ ь ю о п р е д е л и т е л е й
Рассмотрим систему п линейных алгеПр.^лчсскнх уравнений с п никパ[ич'тны-
МИ Лі ,Xz, Xs, ... t Хл:
^Ц -^І ~\~ a lZx 2 + • • • Н* а іп х п ― 办 1 ,
卜 ズ2 + • • . а2ПХП 二 办 2*
(16.1)
°П1^1 Т аП2Хг~\~* • • + аппхп ~ Ьп.
Если хотя бы один из свободных членов Ьі ф 0, то система ураппсиин (16.1)
называется неоднородной. Нели все свободные члены Ьі = 0 (і -= 1.2. «)•
то данная система урапие!іии па іывистоя (х)норогщпіі п иміч і вид
ロ11ズ1 ^12^2 + • • . _!" ^1 n-^n ~
^21X J —j- (J.10X0 ~{~ • • .
Ла^.Ѵд = 0 t
(16.2)
lJniXl 'Г 0П2Л-2~Ь • • • ~TÛnnXn== 0.
Решением с и с т е м ы линейных а л г е б р а и ч е с к и х уравнений (16.1) называется
такое миожестви значений неизвестных .ѵі= С \% х г —с2, •••• х п = сп, прн которых
каждое мл уравнений данной снстемы обращается в тождество.
Система уравнений, имеющая решения, называется совместной, а система
уравнений, не имеющая решений, 一 несовместной.
Определителем системы уравнений ( 1G.I) или (10.2) называется определитель,
составленный нз коэффициентов при неизвестных данной системы уравне-
VJ7

û n al l • • ain
On Oo^ • • Ooji
an\ • а71П
Если определитель неоднородной снстемы урапнений от.“пен от нуля,
Л ^ 0, то система имеет единственное решение, определяемое формулами:
2_
(16.3)
где (/ = 1 , 2, •••, «)— определитель, полученный нз определителя исходной
системы заменой /*го столбца столбцом свободных членов.
Однородная система уравненнй всегда совместна, так как имеет нулевое решение
xj = .гг = ... = Хп = 0. Ненулевые решения она имеет тогда и только
тогда, когда Д = 0.
Примеры.1.Решить систему уравнений
4 ^ — 3^=17, j
2дг j + 5ズ2 г= 11* J
Вычисляем определитель системы и определители Лг 厶 2:
26, :
17
•11
52,
4 17
-11
-78.
П- око.іьку \ Ф 0. но формулам (16.3) находим:
ズi
52
.78
△
2, xs :
一 26 一 *"’ Д ― 26
Система и .моет единственное решение: jci= 2, лег = —
2. Решить систему урапнений
Хі + 2х2 + З^з = 2,
Находим піф(、і(ѵштсѵ” мігтсмы:
3ズі + хг + 2дг3 = 3,
2ズェ+ 3ズ2 + ズз = 1•
l+8-f27 — 6 — 6 —6 = 18.
Так как Д Ф 0, то система имеет единственное решение. Чтобы получить его,
необходимо вычислить определители Аь Д2, Лл:
2 2 3 і
• 27 + 4 —3 — 6 — 12=12,
△i :
198

По формулам (16.3) находим:
Л , 12 2 Л2 ~6 1 Л3 12 2
= 1 І " = Т ,ズ* = 丁 = = — У ,々=—Ä— ■ 一 -Т"
В задачах 16.1 — 16.6 с помощью определителей решить сиси
уравнений.
5 ^ + 2 ^ ;►=8 .
Н й:й:し
.Ч は
1К4 , 3ズ1+ レ 2 ズ2= . 7 -,
1fi. I 5 - 4 + 9 ^ = 2 . f 4-v, З.ѵ2=
瓜 4• し 4хг + … 3ズ2= 8. ° 1 * 1 6 ^ 4 7 ^ = 1 0 . 1 I 8ЛЧ+9Л-,-
В задачах 16.7― 16.9 определить, прн каких значениях пара'
ра I система имеет решения.
f 6 入 ;q + 2 ズ2= 5, ( ^ i + 2xn— 3t I ^Х л+ЗХ хо
16.7. 0 1 * _ 16.8. ö , , • Q 16.9..1..*
I 9д:1 + З х 2= 7 . 18 x ^ + 4 入 ズ2ニ 9. I Зхг + к х 2
В задачах 16.10― 16.25 с помощью определителей решить си»
му уравнений.
2X
1
ズ2 + 2ズ3 :
•Ѵі Ч 2 х 2 Ч- х 3
X 1
16.10. X 2ズ2 + 2ズ3
2 1
2л、+ ズ2 + ズ3
2,y2 + ズ3
Xl - f Хо + 2a-3
16.12.
16.14.
16.16.
Хг + 2х2 + Зл*з = 5,
Зхг + ズ2 + 2х3 = 6, 16.13.
2.Ѵі + Зл*2 + х3 = 1.
ズi т 2х2 + Зх3 = 1,
もѴі + Ьх2 + 6ズ3 = 7, 16.15.
7хг + 8хо + 9ズ3 = 13.
3ズi • 4.ѵ2 - 卜 2л*з ― 8 = 0,
x i ~г Ь;с2 + 一 5=0, 16.17.
2ろ -f- Sx2 4.Vg — 3 = 0 .
+ 2x2 ~~ 2x3
4.Vj — 2 ズ2 — 5.Vg
6a*! 一 x2 + 3-v3
2a*j Хо З.Ѵ3
4.Vj + 2x 2 4 0.V3
З.Ѵі + 4.v2 7л*з
a*i 3.v2 + 2 .V3
2хг 6.v.2 - - x3
4Xj ~T~ S.\*2 --- .Vg
0,
0 ;
0.
16.18.
ズ1 + ズ2 + ぶ3 = 4,
2л*! _ 3ズ2 + む 3 = - 4 , 16.19.
5^:! 一 7ズо -4- 8л*з = 一 7 .
ズ1 : ズ2 + ズ3
2ズ!— З.ѵ2 4л"з
4л*j — 1ІХо ~ 10а*з
ズ1 + ぶ2 + ズ3 = 1,
16.20. 彳 6ズ1 ~f" 3jc«i -p Xn = — 9,
5.
16.22.
ズ 夏 一 2 ズ 2+4дг3― Здг4= 1,
2ズi — 3ズ2+ 3 ズ3— 2.^4=2 ,
4ズ! — 9 ズ2 + ズ3— 8 ズ4= — 3,
メ 1 十 6ズ2— 4 ズ3+ 8ズ4= 4 •
16.21.
16.23.
Xl ~Г ズ2
•V! ---2ズ2 *Г* ズ3
2л*о
1,
1,
ハ - :- ズ 2 丄 х 3 :- ズ4=
X i--- ズ2-----3ズ3 十 づズ4 =
9ズг г 9 ズ 丨 + ズ3+ ズ4=
«3ズi ---Оズ2*~~ ズ3_ ズ4 =
199

16.24.
16.25.
ズ1 ;- Хо • Л*я ぶ4 •- 0 ,
2л、 一 - 2х 2 + Зл*3 — 3.V.t ― 15,
9л、 i リл、 •Î.V:: 4л.4 5,
3x1 - - З.ѵ.» - !2л*з — 2-Ѵ,- 15.
ズi -р Л'2 丁 ズ 3 一 ズ 4 1,
ズi — Л*24 む а む 4
1G.Vj ~ 16Л'2 十 ХН 十 ズ .4 ---
Іб.Ѵі -— 16х2 -4л'з ― 4л*4 : = 7.
1 6 .2 . М е т о д Г а у с с а . П р о с т е й ш а я с х е м а
Пусть дана система гп линейных алгебраических уравнений с п неизвестными
Xl, .Ѵ2, . . . , Хп-
Ô
1
ô
î
*,
(16.4)
a m i x i ~ r a m 2x 2~ ~ • ~г ^ІЦП^П Ьщ •
Д\ е т о д после л о в а тельного и о к л ю ч е н и я неизвестны х,илн
метод Гаусса, прямей яемый для решения снстемы (16.4), состоит в следующем.
Предполагая, что (7ц Ф 0 (это всегда можпо сделать за счет пу моря ции
уравненнй). умножпя іи.рілч、уравнение снстсмы (16.4) на —агі/ац и приблнляя
его ко второму, получпем yp;iRiieiiiie, п котором коэффициент при Х і обргпцаотся
в нуль. Умножая лероос уравнение ип —азі/Дц и прибавляя результат к третьему,
уравнение, также не содержащее члена с л、. Лнплогичиым нутом
преобразуем всс остя.іыіыо ур.пшенпя, n результате чего приходим к систг.мсч
эквивалентной исходной системе уравікмшн:
Ч 丁 屮 2ぶ2 •
“ 32л2
'г (lmxn = »
*Г а2пХп ~ 厶 2 *
~Г аЗпХП ~ 办 3 ,
(16.5)
ат \ х2 + атпхп Ьт ,
где nik (i = 2, 3 , … ,ni:Ar = 2, 3,… ,n) — некоторые новые коэффициенты.
Предполагая, лго а22 Ф 0. и оставляя неизменными первые два уравнения
системы (16.5), преобразуем сс так, чтобы в каждом из остальных урашіопин
коэффициент прп л*2 いぐ》р.ітнлся в нуль. Продолжая этот процесс, систему (10.5)
можно привести к одной из следующих систем:
С11ズ1 丁 Сі2г 2 + ぐ13ズ3 + • • • С\ПХП ゴ1,
C22ぶ2 丁 (23ズ3 ~ 厂 仁 2ル•ぐJT ö2»
С33Х3 "Ь • • • 'Г С^пх П —^З» (16.6)
200
dn •

где с а (/
члены;
1 , 2 ......... п ) 一 некоторые коэффициенты, Сц 0; 山 一 свободные
cl l .r】 十 ズ2 + • . • + cih x h "Ь • • • Ч - ^ іп Л'п ゴi ,
C22Xt + + czkxh ' ' П 丄 2,
(16.7)
глс f< < п\
^ҺҺ^Һ' сһпх п d い
С11Ѵ1 С12Х 2 '\~ • • • С1ПХ 71 ゴ1»
ら2ズ2+ • • • "Г с2пХп 丄 2,
(16.8)
0 . -Yn ~ •
где k く п.
Система (16.G) имеет единственное решение; зиачение х п находится из последнего
уравнения, значение х и- \ — из предпоследнего, значение дгі—из первого.
Сисп мл (16.7) имеет б іг конечное множество рсиіеиин. Из последнего уравнения
этой системы можно выразить одно из нонзвестных (иапример, ,ѵА) через
остальные* п — к иоизнсстиых (л^ + し.ѵа^2. х,.). входящих в это урлвікішс;
из пр【.ユпоследнего урпвнения можно ныра.чить л.а-і через :-яи неизвестные и т. д.
Іі ПО.іуЧіҒШЫХ формуЛЛХ. БЫрПЖаЮШИ.Х .Ѵ|, A*:t •••,.V/. ЧерСЗ Xh rl. Xh+2, Xnt
нсіі.іпсстііыс Хқ-и\,ズл 十 2........x n могут принимать любые значения.
Система (1(>.8) песо»местна, тпк кпк никакие* значения нсн.тестиых нг могут
удовлетворять ес последнему уравнению.
Мтпк, метод іі

М атрице А г соответствует система уравнений
Х і+ 2лг2
——! Ол*«»
- 2ぶ3 = 3 ,
- 13лг3 = — 7,
7,9л*з ~ 一 7,9.
Из третьего урпвнении находим х л = — 1 ,второе уравнение дает x z = 2,
а первое — д.і= 1 . Следовательно, исходная система также имеет решение:
хі =1,а2 = 2, хя « —1.
2. Решить систему урапненнй
Х\ 一 2д:2 + 4а*з — 3^4 = 1 ,
2ズ1— Зл*2 + 3»Yg — 2ズ‘ = 2,
4xi — 9^2 ズз — 8д^4 = — 3,
Xi + 6л'2 一 4д:з + 8jc4 = 4.
Составив матрицу и совершив соответствующие преобразования, получнм:
1 一 2 4 一 3
(-2 ) (- 4 ) ( 一 1)
2 —3 3 —2
—8
8
2 + -
1 一 2 4 一 3 1
ли
ti
—Э Л
0 一 1 一 15 ; и
-7 i
0 8 —8 11 3 i
(—8)
Хі
―1 __2 4 ― 3 1 一
0 1 一 0 4 0
0 0 —20 8 一 1
~ >
0 0
一 1 ― 2 4 -3
0 1 一 5 4
0 0 --20
8
0 0 0 —41/5
Из снстемы уравнений, сиответстнующсй нос лсд пен
:1 /2 , Хг = — 1/4, Хз = 3/4, д:* = 1 .
32
21 3
32/20
十 一 I
—41/5
матрице,
находим:
задачах
Гаѵсса.
16.26.
16.28.
16.26 一 16.45 решить систему ур авікчіпи
丨 ’ ハ + 2х. + 2х3 = 3,
ハ
4-Yj — 2 ズ!— 5.Ѵз = 5, 16.27, 2ху
1, блч 一 ぶ 2 + Зл*,== 1. і Злч — G
f 2Xl + Здг£ + 4л、= 1, (
一 - бл*2 — 2х9 = - 1 , 16.29. 2.ѵ,
\ む1 —~ Злг, — 8л*з ― — I. 1 4,ѵ.
— 2
. . . 2
一 3.V
.Го
4А-
ЗІ ズ 3
2 V3
3.V 3
I- -I
一 -
Il I
методом
一
3
2
一
8
»
8
»
2
202
6.V 3

16.30.
— Зх« -f- 2.v3 = 1,
2л*і + — 4дг3 = 5,
5л:! — 8х2 + 2х3 = 8.
I ズ1 + 4х2 ― х3 = 2,
16.31. З а + 2ズ2 + 2ズ3 = 1,
丨 6ズ1 + 4.v2 ― 2x3 = 5.
16.32.
хх 一 ズ2+ 7х3—2jc4= 2 ,
— Зхо * i ■ 8x3— 4.v,|= = 1,
4.V、- 2 x 2 丨 -19ズ3 + дг4= 8 ,
б.ѵ i —5ズ2 ~"г 11 *でз— 3^4==— 3.
16.33.
ぶ1 + ズ2― ズ3-; •ぶ4 = 7,
ズ1— ズ2 + ズ3 + ズ4= し
ズ1 + ズ2 + XZ― XA= ― 1’
ぶI T ズ2 + ズ3 + ズ4 = 5.
16.34.
+ ズ2ナ ズ 3 + ズ4= 4 ,
-3^2 ズ3—( ズ4==-- 】,
4 ズ2― 2 ろ + 6 ズ4= 11,
+ 4 ズ3~|.-2ズ4= 11.
16.35.
ぶ1 ! 3ズ2 丁 ズ3 + む4= 2 ,
2xx-- 卜 2ズ3- 卜 8 ぶ4= 1,
4^i 卜 3ズ2+4дг3— 4 ズ4=0,
ズ1+ 6 ズ2— х 3-\ 12x4= 6 .
IG.36.
j ズ1 十 ズ 2+ ズ3— ズ4 = 1 ,
І Зхг+ л、 十 2.v3― 2 ズ4= 2 ,
I 2л:! ―4 х 2―З х г 卜 6ズ4 = 7,
7л、 丁 5ズ2 ;- 6.v3 一 6X4= 6.
16.37.
ズi + ズ2― ズ3 + ズ4 = 2 ,
2л*і— х.> * ;З-Vg— 4,V4J== 0,
4 ^ ―ズ2 十 х3—2х4= 4 ,
5л*і -;-2л*о 一 x4 = ü.
1G.38.
x r \ 2xt —3x3-'r ズ4= 0,
Л*!-Г Х2+ ズ3 — ズ4 = 0 ,
ズi― -Ѵг― х 3 ~ г •で《1= 0 ,
2xl -\ дг2 卜 4ズ3+ 5 ズ4= 0 .
16.39.
ぶi + Xz— ズ3 一 ^■4 = 0 ,
ズi -г 2.ѵ2 г3.ѵ3~:4лг4= 0 ,
ЗД:! - 2 . ѵ2 ":' ぶ3 一 5л*4=0,
X1 一 5 ズ2― ぶ3― 8л*4=0.
16.40.
(2х2+ 4 х3― 3ズ4― 6 = 0 ,
2л、+ ^2 丨 . 3ズ3 + ズ4 -0 ,
6ろ + 5 ズ2 十 13лг3― 8 = 0 ,
2хі :3ズ2+ 7 —2x^ 5 = 0 .
18.41.
x + ぶ3 丄 Х л=3
ズ1+ X D-Ѵд ;- 3-\:j = — 3
5.ѵ + /^з-; 4 ズ4 = d,
2xx+ 3 jt +Sv3-r2ха= 1.
16.42.
16.44.
•で1 ~г ズ3= 1,
( ズi г も.= 】,
2х1 8л*2+ 2а,з = 1,
I ^ 2 一 一 上 ,
16.ѵ2― 10л:4= 2 1 ,
16.43. 2ズ1 丁 —2^з~г'-^4 71—5,
10л*2+ х 3+ 10^5=2,
- 2 x 2 r x 3— 2x4-rx 6= 6 t
ズ】—4a"o * 6-V3 — 2ズ5 ニ — 1• A + ズо—4 ズ 4+2ats= 1 1.
ズ1 + л*з -=0, ズi T " ズ2+ ズ3 = 0,
ズ1 ХА~- 3 , ズ1- 一 ズ2 + ズ4 = 0 ,
2хх 3ズ3 ズ5 ニ=0,
2а 2.Vo "Гぶ5 = 0 ,
16.45.
2х3 + Зх4 + ズ。== 7, 2Xl ― 2л% 一 ろ) = 1,
Хі 2х34- 2jc5= 0 , Xl •- Хо ― Л*з 一 ズ5
ズ2 4' 2ズ 霉 + 2хб= 一 7. ズ1 — .V,― ХА― ズв
20»

В задачах 16.46— 16.59 исследовать систему уравнений и найти
ое решение в зависимости от значения параметра ч.
16.46.
16.48.
16.50.
16.52.
16.54.
16.56.
.v2 л、= *3,
ズ1 2.V0 一 - Зд*з ― 6,
ズ14- ,Vo- 一 o.r3 = a.
Xl し9ぐ ― 4л*з = 3
2ろ •し5-v.j ― ズ3 = 1
Зл*! + 7-ѵ.э «Ь.Ѵд et
хл + 2 л*2 + х-л = 2 ,
2хг + адг« -- л*3 - 1 ,
Зхх + х 2 + Ьх3 = 3.
Х\ -~2 .V0 ~-2 .V3 і'3^4 -5,
^ i + 2 x > - f x 3+ 2 . v4= 1 ,
л*, - - 2дг24- ад:з і-5.ѵ4 =13,
.v, 2а - Зл:3-і-ал*4: 9.
2л*і - f Зл2-;- дг3-Ь2.г4= 3 ,
4xt - Gat2 卜 3ズ3+ 4 ズ4= 5,
6л、 j- 9.ѵ2+ 5 ズз+ 6х4 — 7,
8х, 12х2 і 7.ѵ3 гал*і= 9 .
似 і + .Ч+2л,3+ 3 ズ4= 1 ,
ろマ(tx 2 3 ズ3+ 2 л*4 = 1,
.Vi i - ズ2+ ズ;г И •い 1,
A*1 Г 4 .V3+ .v4- - a .
16.47.
16.49.
16.51.
16.53.
16.55.
16.57.
ズ1 卜 ズ2+ Аз і - ズ4 十 ズ 5=1
х\п'2хо+ x3 r .v4-f л、= 2
16.58. •Vl AT.» І Зл*з • Л*4 ズ5 = 3 16.59.
ろ 1 ' ズ2 ニ- ぶ3― 2ズ1 「 ズ5= 4
А1 r ズ2 十 ズ 3 丁 л*4 Зх5=-а
1 6 .3 . М е т о д Г а у с с а . С х е м а с в ы б о р о м
г л а в н о г о э л е м е н т а
ズi + .Ѵг 十 ズз = 2,
2хх -! Зх2 4л*з, 3,
Зл*, + 2а*о + a ろ = 6 .
Если коэффициентам и линейных уравненнй системы являются дроби или ^цела,
достаточно большие но модулю, процесс се решения усложняется. Применяя
о подобных случаях метод 1лусса, получают приближенное решение сискмы
уравнений, т.ч к как ири преобр.чзованиях системы пользуются прнближеинщми
реуу.іьтйтами арнф.\{е7((г(есһнх лсіістыій илд коэффициентами. Неизбежное округление
результатов промежуточных действий приводит к возникновению н накоплению
погрешности. Чтобы уменьшить нычнелмтельную погрешность и иметь ьозможиость
контролировать проводимые вичнелення, применяют несколько видоизмененный
метод Гаусса.
Пусть дана снстсма линейных алгебраических уравнений (16.1), которую
н матричном виде можно записать так:
ЛХ - В,
(КУ9)
204
ал*.
6,
Vl ■ h a q 丄 ろ = 6 ,
ズ1 ― х.2 алу , 6 .
ахл ト ズ2 — ズ3 = 】,
2ズ「t- a v., ― .V3 ~ 2 ,
卜 2 л'2 + ахп : 6 .
2 .ѵ,-― .v2 - З.ѵ3 + 4лг4=
4 л*! 一 2 л*о 卜 5л.з б.ѵл=:7,
6л* 广 Зх2+ 7 х3 -\- 8.v4= 9 ,
tt.Vj—4 ズ2 + 9 ズзЧ~ 10л、= 11
5 х і--3 x 2Jr2 x3-1r む 3,
4ズ1 ― 2ズ2+3ズ3- 卜 h =1,
8хх~—\jXo---ズ3---- 5 ズ 4= 9,
7 丄 、- -Зхо+/х3 \7ха= а.
ал、 2.Ѵо-;л*34 Л*4= 1,
Зхх чи-2+ х 3+.ѵ4 = 2,
ズi- ~4дг2-;ろ ;-.ѵ.|=3»
Ьхх Х1 ХВ~~ХА= 4 .
ぶ1; •ѵ2—лг3 —лг4— ズ5 = 1,
ズ1イ ズ2 一 ズ3― ズ4 5.г5= а,
2хг^гх.у х3—хА ズ5 = 2,
;i.v, ズ2—. Л"з 一 Л*4 ал*5= 7,
4^-1- ズ2 一 Х3― ぶ4 4.

где
― 吆 °12 • • ain ズ1 — bl '
° г і Q oo • • • Û2n
; .Y =
x 2
;в -
b 2
(16.10)
°ns • • ^nn ズл 一 わn
Метод Г а у с с а с выбором главного элемента состоит в следующем.
В системе (16.1) выбирают сначала уравнение, содержащее иаибольшнн
пЬ модулю коэффициент системы ( г л а в н ы й , илн в е д у щ и й , э л е м е н т }、и делят это
уравнение на указанный коэффициент. Ии остальных урапненнй исключают то
неизвестное, прн котором был наибольший по модулю коэффициент о выбрпшюм
'равнении. (Для удобства главный элемент можно поместить в первую строку
и первый столбец матрицы, над которой производятся соответствующие прсобраоваиия.)
Далее в этнх уравнениях ищут наибольший ію модулю коэффициент
(новый главный элемент), делят иа него ѵравкенле, в котором он находится.
и' ключают из остальных уравнений соответствующее неизвестное и так до те х
п_,р, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным, т. с. пока система
( 1().І) не будет приведена к диагональному «иду. Из гіос/ісднсй системы л е г к о
определяются значения неизвестных.
Чтобы избежать ошибок, применяют контрольные вычисления. Для :я о го ію-
, ту и а ют следующим образом. В по дят новые неизвестные i j i по формулам:
или
Уі = ズ

Прн такой записи матрица Л снстемы будет содержать главный элемент в качестве
элемента ац (расположен в левом верхнем углу).
Составим таблицу (табл. 16.1),в которой і означает номер строки (в первом
вертикальном столбце), к 一 номер нснзвсстіюго (в последней строке), В —
матрицл-столбси, составленная нз свободных членов данной системы (см. формулы
(16.10)), II — матрица-столбец (см. формулу (16.13)), элементы которой
равны суммам всех коэффициентов и свободных членов соответствующих уравнений.
Таблица 16,1
/ А н
1 0,50 一 0,30 0,20 0,45 0,85
2 0,30 —0,20 0,10 0,22 0,42
3 0,20 一 0,40 0,30 0,13 0,23
k 3 2 1
Первое уравнение снстсмы (1)делим нп 0.50 (главный элемент) и исключаем
хл из двух огтллыіых уравнении. Составляем таблицу для преобразованной
системы (і:іГл. 16.2).
Таблица 16.2
i At ß, я, А
I 1 一 0.60 0,40 0,90 1.70 1.70
О 0 —0.02 —0,02 —0,05 一 0-09 —0,09
3 0 -0 ,2 8 0,22 —0.05 —0,11 —OJi
k 3 о 1
Элементы предпослидіитп столбца Щ по.іучсяы в результате соответствующих
преобразований над элементами таб;і. 16.1:1,70 = 0,85/0,5; —0,09 =
= ( 一 0,3) 1.70 + 0,42; 一 0,11=( 一 0.2) 1,70 + 0,23.
элементы последнего столбца равны суммам соответствующих элементов
иторого, третьего, четвертого и пятого столбцов: 1,70 =1.00+(—0,60>+0.40 +
+ 0.90; 一 0,09 = 0.00 + (-0,02) + (-0,02) + (-0.05); —0,11=0,00 + (—0,28) +
+0,22 + (—0,05). Последний столбец служит для контроля вычислений. Совпадение
столбцов I I і и ï i t элементы которых получаются в результате различных действий,
означает, что вычисления произведены верно.
Рассматриваем второе н третье уравнения преобразованной системы, нс содержащие
Хз. В матрице из коэффициентов этих уравнений выбираем новый главный
элемент; он равен —0,28. Меняем местами эти уравнения, делим уравнение,
содержащее главный элемент, на —0,28, исключаем х2 нз оставшегося уравнения.
Результаты вычислений записываем в табл. 16.3.
Как н n табл. 16.2, последний столбец I ;служит для контроля вычислений,
ігмонты ^того столбца равны суммам соответствующих элементов матриц Аг
» П 1.700 =1,0000 + (—0,6000) +0.4000 + 0.9000; 0.3929 = 0.0000 + 1,0000 +
206

4 -(—0,7857) + 0,1788; 0.0821 ^ 0,0357 + 0,0464. Э.іеменгы столбца / / 2 получены
и результате іірсі)бразованнй над матрицей из элементов A \t Bi, U x табл. 16.2
(вторую строку умножили на — І, затем поменяли ее местами с третьей строкой,
ионѵю вторую строку разделили на —0,28, получеішѵю строку ѵ множили на —0,02
н прибавили к третьей: 0.3929« (-0 .1 1)/(-0,28), 0,0821 « (—0,02; 0,3929+0,09}•
Т и б л и к а 1 6 . 3
і Am ö, ち
1 1 —0,6000 0,4000 0.9000 1,7000 1.7000
2 0 1 —0,7857 0.1786 0.3929 0.3929
3 0 0 0,0357 0,0464 0.0821 0,0821
k 3 2 !
Из табл. 16.3 следует, что системы (16.9) и (IG.12)
маюг вид:
16.60.
16.61.
X, — 0,6000a:j + 0,4000а ニ 0,9000,
ズ2 — 0,7857л:! =0.1786.
0.0357ДГ, = 0,0464;
у3 — 0,6000у2 + 0,4000^,= 1.7000,
у г ―0,7857у| = 0,3929,
0,0357 外 =0,0821.
j 0,30.4 + 0 ,4 0 ズ2 ♦ 0,50.v3 - 2.6Г)
16.62. OjO.q + 0,30,v2 十 0,20лг3 : ム 17.
I 0,20' 0. Юл:. + 0,50л-а = 1 ,8 9 .
данном с.іучзе ііршш-
Решая эти системы, находим: х \ 1,3, X z ~ 1,2, Хз 1.1; 2.3. yz = 2.2,
Уз —2,1.
Поскольку нее значения у на едлницу больше соответсть> ющих значении х:
У і = Х і + \ ( і ― 1.2, 3), т. е. выполняются равенства (16.11), вычисления проведены
верно. Следовательно, исходная система имеет решение: х \ =1,3, д:2 =1.2.
Xj —1,1.
Замечание. Всс три таблицы можно объединить и одну.
В задачах 16.60— 16.(38 методом Г а у сса с помощыо схемы выбора
главного элемента решить систему урпвнении.
О5
О ЛГ
4
А* ズ
О
3
О4
ЛГ
.Ѵ Х
О5
О
3
ОЛ.ѵ;
0 ,5дг;
0,2.^
О3
О2
О
3
0,5д:2 + х3
0,2 х2 + 0,1ろ
0,2дг.、
0,2а*3
О8
О9
О
3
207

16.63.
16.64.
16.65.
16.66.
16.67.
16.68.
0,20л*! О.ЗО.Ѵо + 0,40лѴ= 0,56,
0,30дГ| -Ь 0 А 0 х , •!- 0,50.ѵ3 へ 0,70,
, 0 Л 0 х г (і,20л.2 卜 0’3(Хѵ3 = 0,52.
0 А 0 х х і-0,21л-л -г 1і28.ѵ3 ― (),
Ѵі + 0, 撕 2 : 0,35ろ =-* 1,
0,52 а 0, / • - 0,40л-3 ニ- 0.
0,50л*! , 0,21jc2 卜 1,28ズ3 0,
ズi 丄 0,50ズ2 , 0,35ズ3 ― 1,
0,52л、 -;0,75л*2 0,50л*з 0.
О^Б.Ѵх + 0,4л*2 卜 0,3ズ3 + 0,2.v4 = 1,7,
0,4.ѵа -ト0,3ズ2 + 0,2лг3Ч 0 丄 ぐ•ニ 1,1,
0,3.ѵ,- 一 0,2ズ2: 卜 .0,1.ぐ 卜 (),5ズ:= 1,4,
(),2лч :- 0,3ズ2 + 0э4.ѵ3 ; '0 ,5ズ4 = . 1,8.
0,10л*! 0,20л*2 -г 0,30л,з + 0,40л、= 0,92,
0,20.ѵ, 0,30л、 卜 0,40ズ3 卜 0,50ズ4 = 0,80,
0,30л、-4- 0,4ü.v., 0,50л' + 0,1 Ox,= 0,48,
.О.-Ю.ѵ,"- ^ ) , 5 ( ^ Г ^Ö;i0.v3 十 0,20лѴ-■1,41.
0,70л-! い'2 1 л*2 + 1,2む 3 - 2 ,0 0 х 4 = 1,
•Ѵі !-0,70лѵ I- 0,35ズ3 + 1,20л*4 = (),
0,52л、 - - 0 , i Б.Ѵо ;0,70.ѵ3 + І,3 9 .ѵ 4 1,
0,87л*! 0,92.г2 üt64.v3 -:•0,70.v4 ü.
1 7 . П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е У Р А В Н Е Н И И
Уравлсппя линейные (ах+ Ь = 0) н квадратные (a.v2+ ft.v + c = 0)
можно решить с помощыо известных формул. Существуют формулы,
выражающие корни уравнении третьей и четвертой стспсин через
их коэффициенты. Однако для алгебраического уравнения
n-п степени, т. о. уравнения апхп + ап- іх п^ 1+ .. • + алх а0 = О,
в случае /г ^ 5 таких формул пс существует. Нот точных методов
решения многих трансцендентных уравнений, т. о. уравнений. \\ѵ
являющихся алгебраическими (например, t g .ѵ — .г = 0). По этой
иричшіе лля решения алгебраических и траисиепдситиых уравнении
применяют приближенные методы.
1 7 .1 . О т д е л е н и е к о р н е й у р а в н е н и я
Корнем уравнения
/W =0 (17.1)
называется такое значение .v = ç аргумента функции f ( x ) , при котором это уравнение
обращается в тождество, т. е. /(^) s 0. Корень уравнения (17.1) геометри-
208

чсски представляет абсциссу точкн пересечения, точки касания или другой общей
точки графика функции у «= Ц х ) и оси О х (рнс. 17.1,a 一 в ) .
Отделить корень ур«твіісшія —значит найтн такой конечный промежуток,
нмѵтри которого имеется с'ДинствснныГ! корень дашюго уравнения.
• Отделение корней уравнения (17.1) можно выполнить графически, еслн
удастся построить график функции // = /(ズ), с помощью которого выясняют,
н каких промежутках находятся точки пересечения его с осыо О х . В случаях,
L
когда построение графика функции затруднительно, следует представить уравнение
(17.1)в экшівалсіітном виде
f i( x ) ^ h ( x ) (17.2)
с таким расчетом, чтобы графики функции // = І і ( х ) и // ~ l z ( x ) можно было
построить по нозможностн проще. Корень урпвнения (17.2) гс(\метрлчески пред-
( Г.іпляет абсциссу точки псрссечсчшя графиков функиии у = /і(д:) и у І г ( х ) .
Таким способом легки, например, найтн корин уравнения + р х q = 0; это
будут абсциссы точек пересечения прямой // = — р х — q и линии y «= л*3.
Для отделения корней уравнения (17.І) применяют следующий критерий:
е с л и н а о т р е з к е [ а ,む】 ф у н к ц и я f ( x ) н е п р е р ы в н а и м о н о т о н н а , а е е з н а ч е н и я н а
17.1
к о н ц а х э т о г о о т р е з к а и м е ю т р а з н ы е з н а к и , т о н а р а с с м а т р и в а е м о м о т р е з к е и м е е т ­
с я о О и и и т о л ь к о о д и н к о р е н ь у р а в н е н и я . Достаточным признаком монотонности
функіиш /(.ѵ) на данном отрезке является сохрлноиис иа нем знака первой се
ир(»изіиідіюй (еслн f f ( x ) " > 0, функция возрастает на данном отрезке; ссли
^(.ѵ) < Ü. функция убывает на нем).
Пример ы . 1 .Отделять корин уравнения х5 + 3х — 2 = 0.
Фуикини /(л) = .v3 + 3jf — 2 определена на всей действительной оси. Производная
Г(.г) = З.ѵ2 -f 3 принимает положи тел ьпые значения при псех дг, функция
нозрастает в промежутке ( 一 оо, оо). При отрицательных лс, достаточно больших
по абсолютной величине, функция принимает отрицательные значения, при
достаточно больших положительных х функция положительна (символически это
записывается так: { ( — оо) < 0, / ( + оо) > 0). Так как функция монотонна и принимает
значения разных знаков, то данное уравнение имеет единственный денетпнте;іыіый
корень в промежутке ( 一 оо, + оо).
Іѵ>рснь считается отделенным, сели указан конечный промежуток, в ког
*|кім ««и лпходнтся. Чтобы найти этот промежуток, можно применить метод
и р о С), т. е. рассмотреть значения функции при некоторых произвольно фиксиров.інмых
т.ч'к-инях ;іргум(.нтл. Если при двух значениях аргумента a n b функция
принимает значения разных знаков, то («, Ь )—интервал, в котором находится
корень. Фиксируем зиичення л*і = —1 , = 0, .vj = 1 , при которых проще вычислиются
значения функции. Поскольку /(—!)= —1—3-- 2 < 0, /(0) = — 2 < 0.
то в шітсрнале (— 1,0) корня нет. Гак как /(0) < 0, а /(1 )。 1+ 3 - 2 > Ü, то
коремь содержится в интервале (0,1).
3 л м е ч а н и і*. Корень данного уравнения можно отделить и графически.
Перепишем это уравнение и шіде .v5 = — Зд: + 2 и рассмотрим графики двух
п Зак. 2026
209

функций: у = л:3, і/ = — Злг + 2 (рнс. 17.2). Из рисунка видно, что указанные
графики псрссскаются в точке Лі, абсцисса которой находится на отрезке (0,1].
2. Графнчсскп отделить корни уравнения ズ1п дг — 1=0.
Дашюс уравнение представим в виде 1п дг = \!х (х ф 0) и рассмотрим графики
двух функций: f/ = In jc , у = \/х (рис. 】7.3). Из рисунка видно, что графики
этих функций пересекаются в единственной точке ІА、абсцисса которой принадлежит
интервалу (1,2). Следовательно, единственный корень уравнения находится
в интервале (1,2).
В задачах 17.1 — 17.12
ней имеет уравнение.
17.1.ズ3 + 6х — 5 = 0.
17.3. x3 + 4л:2 — 6 = 0.
17.5. th .v + .v2 — 3,487
17.7. x sin x ― 1 = 0.
17.9. ex + e~x = 0.
определить, сколько действительных Hop-
О.
1 7 .1 1 .— 0,52^ + 0,73 = 0.
В задачах 17.13 一 17.18 найти
жителыіых корней уравнения.
210
17.13. 2л*3 — 5л:2 + 7л:— 1=0.
17.2. x3 + 4л: — 3 = 0.
17.4. x3 一 6ぶ2 + 9ズ 一 2 = 0.
17.6. 2 ln x (x 一 2 )2 = 0.
17.8. sin x — x cos .v = 0.
17.10. W
17.12. л:3
17.14. Зх^ 一 2л:3 + 5jc2 ― 6ズ ー 4 = 0.
17.15. 2jc5 ― 10ぷ4 + 1 5 : ― Юл:2 + 5ズ 一 3 = 0.
17.16. л*« ― 6jc4 + 12x2— 6 = 0.
17.17. л:в ― 2.v5 + Зл:4 一 4xz + 5ズ2 ― 6л: — 7 = 0.
х + 1=0.
2х2 + ズ 一 4 = 0.
границы отрицательных и поло-
17.18. 一 4л:6 + 2л:5 — Зл:* + jc3 — 2ズ2 + 5л: ― 6 = 0.

В задачах 17.19— 17.44 отделить корни уравнения.
17.19. ズ3 + зд ; 一 丨 = о . 17.20.
17.21. W ― бх2, + 9ズ 一 3 =:0 17.22.
17.23. Л:3 一 3ズ2 + 1 = 0. 17.24.
17.25. W + 4ズ 一 6 = 0. 17.26.
17.27. ズ3— 0,9ズ + 0,6 ― 0. 17.28.
17.29. ズ3 一 1,95 ズ ー 1,35 = 0. 17.30.
17.31. ズ4— 2,15л:+ 0,95 = 0.
17.32. ―6,8パ + 21ズ2 — 68 ズ+ 108
17.33. ズ4 一 8,8ズ3 + 20ズ2 — 9ズ+ 19 =
17.34. л:4+ 1,025^ — 0,975 = 0.
17.35. X 5 + 1,035л:— 2,045 = 0. 17.36.
17.37. Xе - 0 ,2 5 1 ^ - 0 ,2 4 7 = 0.17.38.
17.39. が + 0,512л:+ 0,935 = 0. 17.40.
17.41. ех + л:2 ― 2 = 0. 17.42.
17.43. (ズ― I ) 2 ― sin 2ズ= 0. 17.44.
x3 — 5.ѵ + 1 = 0.
ズ3 + QX2 + 9ズ + 2 = о.
9jc3 + 6x2 ― 1=0.
ズ3 + 4ズ2 一 g = 0.
ズ3 — 1,96ズ 一 0,89 ― 0.
4л:3 一 25,4.ѵ2 + 40л: 一 9
0.
0.
jc5 ― 0,55л: + 3,95 = 0.
jc° + 0,495л: + 0,482 = 0.
が + 0,9л:— 1,1=0.
2 lg x — лг/2 + 1=0.
2 l g ズ ー (ズー 2 )2 = 0.
1 7 .2 . М е т о д х о р д
Пусть на отрезке [ а , Ь ] находится единственный корень g уравнения (17.1),
леппя часть которого f(x)— непрерывная функция. Через точки А (я, Ц а ) )
и B(b%f(b)) проведем прямую, уравнение которой
У — Ц а У х ~ а
f ( b ) - f ( a )
Ь-
У — f [о) ノ, 、
х ~ а = f ( ь ) - Ң а ) (&— 0).
Найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с осью O x t для чего
нем уравнении положим г/ = 0:
a f ( Ь ) 一 b f (û) _ b f ( a ) 一 a f ( b )
X l = f(b)-f(a) или ï(a)-f(b) •
послед-
(1 7 .3 )
Формула (17.3) определяет приближенное значение корня уравнения (17.2);
его называют п е р в ы м п р и б л и ж е н и е м . Чтобы получить в т о р о е п р и б м т е н и е хз,
формулу (17.3) необходимо применить к тому из отрезков [а, дгі].[ズ“ 6], на концах
которого функция принимает значения противоположных знаков.
Аналогично вычисляются і! следующие приближения. Еслн известно (п — 1)-е
приближение, то п-с приближение вычисляется по формуле
= 卜 … ’ •)
(17.4)
в случае (рис. 17.4, а ) , когда
или по формуле
/•(りП ズ) > 0 ’
(17.5)
a f ( х п \ ) - x n ^ f ( a )
f (лл—1)—f (w)
(17.6)
14*
211

в слѵчае (рис. 17.4,6), когда
/ ( а ) Г М > 0 . (17.7)
В п е р в о м случае за начальное приближение приішм.чстси а. т. с. Ха = а. во
втором — Ь, т. с. .Го — Ь.
Последовательность чисел х п (« = 1 , 2 , 3, •••) сходится к корню し т. е.
ІІШ Хц =
Яャ00
Вычисления приближений д:|, ДГ2, .Ѵз, • • • слсдуст производить до тех пор,
пока два последовательных прнблігжсиня х п、дп +і не совпадут на заданное чнсло
знаков.
Р и с. 17.4
Для промежуточных выкладок надо бр•” ть один-два злпасных знака.
Нели функция Ц х) имеет отличную от нуля производную f f (.ѵ) нп отрезке
[а, Ь]у то оценка абсолютной погрешности иычислсннй определяется формулой
где fi = min I у (x) |.
а ' x ぐb
|g-A :n| : (17.8)
П р и м е р ы .1 . Методом хорд найти действительным корень уравнения
+ .v — 1=0.
В данном с.іучае " л г ) = д : 3 + ズ 一 し 厂 レ)= Здг2 + 1 . П о ско л ьку /(0 , 5) く О,
/(I) > 0, Г (х ) > Ô для пссх л*, то па отрезке [0,5;1]находится единственный
действительный корень урпвпення. Так как f ,r(.ѵ) = 6х н {(Ӏ)Г (х ) > 0, т. е. выполнено
иеранснстпо (17.5}, воспользуемся формулой (17.4), положив в т 、й
6 = 1 , jfo ― 0,5. Вычислим сначала f(xo), j(b)t входящие в эту формулу. При
п = 0 получаем:
f(xo)^ f(0.5) (0,5)3 + 0 .5 -1 --0 .3 7 5 ; /(6)= f(1)« 13+ 1 - 1 = 1 .
По формуле (17.4), пол пга я п =1,2. 3. вычисляем:
r _ ヒ ハ i (-0.10593.5)-0.636364、
Хг~ f(x ,) — l(b ) 一 — 0,105935— 1 、и ’ 0 л и ь ’
Ь І ( Х , ) - ХІЦ Ь ) 1-(-0.026428)-0.671196-1 ...............
3 ニ 一 了 ( 3 = 7 て

2. Методом хорд нпити кориіь уравнения .v3 —2.v + 7 = 0
I Іисколькѵ f(x) — Xя 一 2.V + 7, / ( —3) = ― 27 -Ь 0 + 7 < 0. f( —2) = ― 8 + 4 +
+ 7 > 0 ,io коріи ь уравнения находится на отрезке [—3,— 2]. ユнш)іі за"г(> отjH
ч к;і янляется точка .v = ― 2,5. Поскольку f ( —2,5) = ( ― 2.5)3 — 2 (—2,5)-|- 7 =
^ — 3.625 く 0,корень принадлежит отрезку 1—2,0;—2]. Продолжая аналогичные
раіч > ждеішя. иаходим от резок [—2,3;—2,2], на котором лежит корень уравнении
I Г:-^том uTpL-.iKt» ироизводиые / ' (x) = Зд*2 ― 2 ii / /г(.ѵ) = ö.r сохраняют знак.
Так как f (—2.3) Г ( х ) > 0, т. с. выполнено условие (17.7), виспользусмся
ф о р м у лりfi (17.G), положив .ѵо = 一 2,2. Приняв во внимание, что /(л . 卜 - f ( —2,2) ^
. 0 .7 5 2 , н о ф о р м у л е (1 7 .6 ) п о л у ч а е м р е з у л ь т а т ы , п р и в е д е н н ы е н т а б л . 17.1.
11 пблицы видно, что ^ = ■ 2,258 一 корень уравнения.
Таблица 17.1
n xn^\ Млгл-і) fl"ズл— xn- \ f ⑷ -х п_ {Па) 一 Mfl> xn
I —2,2 0,7Г)2 — 1,7296 J .247-1 —2,9770 1,319 —2.25701
9 —2,25701 0,0!65Г)8 一 0.038083 1,279725 — 1,317809 0.583558 —2,258231
3 -2,258231 0.000371 —0.000853 1,280417 — 1,281270 0,567371 —2.258259
В з а д а ч а х 1 7 . 1 5 — 1 7 . 6 2 и а і і т и д е й с т в и т е л ь н ы е к о р п и у р а в н е н и я .
17.45. .v3 — 2x + 7 = 0 . 17.46. дг3 一 2л:- + л• — 4 = 0.
17.47. f — 1 ,9 б л • — 0 ,8 9 = 0. 17.48. л:3 — 1,95ズ ー 1 ,3 5 = ()•
17.49. •v:l + 0 ,9 9 5 -v + 1 ,0 2 5 = 0. 1 7 .5 0 . д*3 + 0,985.ѵ + 0,991 = ( ) •
17.51. f + 1 ,0 2 5 ズー 0 ,9 7 5 = 0 . 1 7 . 5 2 . W — 4 ,U 2 — 0 Д \: + 1,2 = 0.
17.53. x5 — (),55л- + 3,95 = (). 17.54. л-5 + 1,035л* — 2,045 = 0 .
17.55. •Vぅ+ 1,025л: — 3,116 r=r 0.17.56. л:“ 一 0,251 л — 0,247 = 0 .
17.57. w — 0,512.V + 0,908 = 0 . 17.58. лгч + 0,9л:— 1,1 =0.
17.59. が l g x ― 1 = 0 . 1 7 .6 0 . 2.ѵ In л : — 1 = ( ) •
17.61. 2.v2 ln л• — 1 = ü. 17.62. (.v — 1ド 一 sin 2x = 0 .
В задачи\ 17.63— 17.(Ні илитп положительные корни уравнения.
17.63. .v5 — ЗЛБ.ѵ 0,43
17.65. еѵ -! л*2 2 = 0.
В задачах 17.67— 17.70
уравнения.
17.67. л:3 — 5дг + 1=0.
17.68. лベ 一 (і.8.ѵ3 + 21л 心 - - 68.v + 108
17.69. 2lg.v — (.ү-2)-
0 . 1 7 . 6 4 . ズ7 — 2,05л’ 一 0,15 ニ 0.
17.66. e -r л2 — 2 = 0.
иайти мсиьший положительный корень
0.17.70. 2 ( ズー1 )2 = 0 .
213

В задачах 1 7 .7 1 ,Î 了 .72 нпити больший корень уравпешія.
17.71. л* — 8,8 л:3 + 20х2 — 9л: + 19 = 0.
17.72. л:4 — 2,15.ѵ + 0,95 = 0.
В задачах 17.73— 17.76 пайти наименьший положительный корень
уравнения.
1 7 .7 3 .レフ 一 cos0,387,v = 0. 17.74. 1,8.y2 — sin 10л* = 0.
17.75. x ― 3 cos2 1Ax = 0 .17.76. tg r
.v — x — 3
1 7 .3 . М е т о д к а с а т е л ь н ы х
‘Метод касательных (илн метод Н ь ю т о н > состоит я ѵ コ:.ющем.
Пусть нл отрезке [а, Ь] находится сдннственнмн корень 5 ур.івнен*!я [ 17.1).
Проведем касательную к кршюй у — f(x ) n точке Л (а, І( а ) ) до пер 'ечпиія
с осью Ох (рнс. 17 5):се уравнение имеет вид // — Ц а) = /'(а) ( х — а). Полагая
в этом уравнении у = 0, находим абсциссу х%
точки иерссепсння клсатслыюГі с осью Ох:
」»
Р я с. 17.5
Хп = Хп-
/ ( V
в предположении, ч и i f (a) Ф 0.
Абсциссу л*і точки иоресечсии ,зт льной
с осыо Ох можно шять в кп:. стве первого
приближения корня. Проведи касат іьную
через соответствующую точку / l j (.ѵь
i (Х \)) n tm ny eç- пересечен«я с осью
Ох. получим л'2 一 второе приближение корня.
Аналогично определяются последующие
прлближоіпіп. В методе касательных л-е
приближение вычисляется по формуле
(п - 1, 2, 3, (17.9)
причем зп тічгкіыюе прмилижение принимается тякое значение дг.> :із отрсіка
[а, b\, для которого выполняется условие
/ ( . Ѵ о ) Г ( А ) > 0 . (17.10)
назызпемос щ .ю ви^м Ф ур•、へ

Результаты вычислений, выполненных ио формуле (17.9), записываем
в табл. \Т.2, \\г которой видки, что искомый корень — х - 1.21341
Таблица 17.2
а
f (へ)*=
= 4 + 〜 - 3
/,り =
= Zx2n 1
/ ( v
f , (、 >
xn
丨 = ズn—
/ u n>
f
《ズn.
0 1,25 1,953125 0.203125 5.6875 0,035714 1,214286
I 1.214286 I ,790452 0,004738 5.42347 0,000871 1,213412
о 1,213412 1,786590 0,000002 5,417107 0,0000004 1,2 丨 3412
2. Вычислшь ï\o методу касательных с точностью до п н іи дссяіичііыч
знаков иослс за пято Л больший отрицательный корень уравнения
x2 一 12.ѵ — 8 = 0.
厂 рафнчсскн отделяя корни данного уравнения, заключаем, что уравнение
):мсет три дснстбитімьных корня, больший отрицательный корень принадлежит
гребку '[ — 1 . 0J. Л\ожио указать отрезок меньшей длины, на котором находится
к • 卜 .нь. n именно отрезок [—0.7: —0,65]. Поскольку /^(.ѵ) = Qx. 厂 ( 一 0 .6 5 ) < 0 .
/ i 0,65) < 0, " 一 0,65) 厂 ( 一 0.G5) > 0, т. е. выполнено условие (17 10), то и качі
uv нулевого тфѵіб:тжсиия (крем х 0 0,65. По формуле (17.9^ вычисляем
послсдовйтслыіие ирнближсшія (табл. 17.3).
Таблица 17.3
/ (、)
1 丨 . / ( ズ
a 一 Р ^пУ
хп \
0 —0.65 — 0.474625 一 0,093175 0.044223 —0,694223
1 一 0,694223 —0,003902 —0.091759 0,000370 一 0.694593
2 -0,694593 —0,000003 一 0,0957II 0,0000003 —0.694593
Пз таблицы видно, что искомым корень ç = — 0,094593.
3 а м е ч а н и с. Д в а других корня д а н н о ю ур:ш нсния м ож но найти аналогичным
с!ИАЧ)бг)м: сначала отделить каждый іи ш і\ и а отрезке дос г.і точ но малой
длины. т>том вычислить их с помощью мстりда касательных. М ож но поступить
и по-другому Разделив многочлен дг3 — 12.ѵ — 8 на ズ ー ,получнм кв а д р а тн о е
ураанени*.. корни к«)тор()іч,м ож но прим иіь з;і иачп.іьпыі иримли/ксния двух других
корней ИСХОДНОГО ураинсния, а ПОТОМ ІІЫЧЛСЛИГІ Ц.\ Ml ГОДОМ К:!С.і7СЛЫ!Ы\.
Выполнив соответствующие* вычисления, п

17.85
17.87
17.89
17.91
17.93
В задачах i
уравнения.
л-з + o,25.v — 1=0.
x3 + OJôx — 3 = 0.
e x + .v — 3 = 0.
л:5 — 0,45л:— 4,13 = 0.
パ + o’9.v + 2,l =0.
95— 17.100 наити
1 7 . 9 5 . л:з — З.ѵ- + 丨 = 0 .
17.97. 汐 一 2,95л:+ 0,15
17.86. лл 一 0.27л: + 2 = 0.
I7.S8. л-5— 0.75.Ѵ + 2 = 0.
17.90. ех 一 x 一 2 - 一 - 0.
17.92. jc5 + 0,875л ― 3,123 =
17.94. s h .v — 12 th .v 一 0,311 0.
МОІІЫИНК по.южнтчѵіыіы“ корень
17.96. が 一 1,95.ѵ + 0.85 = 0.
1 7 . 9 8 . .V 1 一 6 х + 1 = 0.
17.99. л*« ― бх^ + 7.ぃ ― 8х3 + 9х2 ― 5.ѵ + 0.
17.100. sh x — 8л: + 1,294 = 0.
В задачах 17.101 一 17.104 найти бо.іыиии отрицательный корень
уравнения.
1 7 .1 0 1 .д:3 — 2,14л: — 0,96 = 0.
17.102. •い 一 3,9.v-― 1 ,U + 0.9 = 0.
1 7 . 1 0 3 . x7 — 1 ,9 5 .t ― 0 ,3 5 = 0 .
17.104. х*г' + (i•ぃ — 8л*:і — 7.v2 + о-v — 3 = 0.
В задачах 17.105— 17.108 иайти положительные корни уравнения.
17.105..い + 0.9 丨 5 х —•1,012 = 0.
17.106. л•“ 一 0,243л* — 0,257 = 0.
17.107. x 8 + 1 .U — 0.9 = 0. 17.108. лぅ 一 -Ю.ѵ1 + 45х 一 3 = 0.
В задачах 17.109- 17.112 найти отрицательные корин урапиешія.
17.109. л*л + З.ѵ- — 3 = 0. I7.HÜ. л» + о.ѵ — 2 = 0.
17.111.W — 8.ѵ + 6 = 0. 17.112. .ѵ‘ 一 1л」+ I = 0.
В задачах І7.113 一 17.110 найги наименьшим по.кѵ/кптелі>ным корень
у раткчіия.
17.113. .ѵ:< 一 ü.v- + lJx 一 :i = 0. 1 7 .1 1 4 ..い 一 (ix + 3 = 0.
17.115. tg .v + .v — 7,227 = 0.17.11(5. .v2 — cos л.ѵ = 0.
17.4. К ом бинированны й м е ю д
К О V Гі и Н И P и » :Ӏи >J U )І MС H* J ООГТпИТ I« (»дмі*нремсшінм ІКЧНМЬ.І' Н.!МИН
метода хорд и метода касательных. Его удобно применять, ос.ін нп исходном
отрезке [ü, 6] вторая производная 厂 ' (х 、сохраняет знак. В этом случае мижно
гарантировать приб.інжомио к корню с двух сторон кполтельная перссскпст
ось Ох оо стороны выпуклости,:і хирда — со стороны !шгн> г“ 、. 了 и график:! функиин
=* І(х ). Пр)и6лі!жения но методу касательных будут рлопо.і.чгчпься о • лн"Гі
стороны кормя, n приближения по методу хорд і:лр>уп»н (рмо 17.6). Т.:мім
образом, получаются всс более с> жнваюіциіч-я отрезки, ішутри которых заключен
К(фень. Длин.ч поелглнегч»

П р и м е р ы . I. Комбинированным методом с точностью ди шести десятичных
.:ілкоіі решить уравнение д:34- 4.r -f 3 = 0.
Графически отделяя корни уравнения, заключаем, что единственный дейстьіітѵ.іыши
корень данниго урлнненин лежит на отрезке [— 1.0]. Можно указать
отрезок меньшей длины, на котором находится корень, а именно отрезок
- 0 , 7 : 一 0,61.
Проверим, для какой нз этих двух точек выполняется условие f( x (l)f//(x) > 0.
Поскольку Г(л)=6л. Г(-0,7) = - 0 ;42. /(-0.7) =-0,і43 и /(-0,7) /,/(-0,7)>0.
іо. применяя мотод Ньютона, нужно положить хо = 一 0,7. По методу Ньютона
находим: ,
f ( x 0) 一 0,143
= Хщ■ (ズ j = ― 0,7 一 — — ■= • 0 ,7 + 0 • 026142 = 一 0 • 673858,
x2 = xt ―
厂 (ハ)= —0,673858 + 5,362254 Ä
- 一 0,673858 + 0.000265 = 一 0,673593.
По методу хорд. положив хл = — 0,6. а = — 0,7, получим:
, x'Qf (ü) — af (х'0) — 0,6 (— 0,1 4 3 )4 -0 .7 0.384 0,3546
= f ( a ) - f ( x 0)~ = -0 .1 4 3 - 0,384 = -0,527 =
= — 0.672865.
• — 0,672865 (— 0,143) + 0,7 0,003902
х2 * — Ң а ) -Ң х [) — = -0,143 - 0,003902
Следовательно, корень находится на
отрезке [ 一 0,673593; -0,673585]. Полагая
û = —0,673593. пользуясь фор
му лой
х 3 = X:、— --------т— (а 一 Хо) •
" 1(0) — f (ズ2>
получаем
Хз , _ 0.673585 + 1 0.000008
— 0.673593.
-=—0,673895.
Таким обрааом, 5 = —0,673593
корень данного уравнения.
'2. Комбинированным метолом
нанти меньший іюложнтслыіии корень
уравнения д- — Зл*-4-1 = 0 с точ­
丨 « с. 17.G
ностью до шести десятичных знаков.
Искомы»! корень находится на отрезке |0 r6; 0.7]. Для метода Ньютона
ѵ0 = 0,7, Для метода хорд д:и — 0,6, 0 = 0.7.
Пп соответі*тнуюіііим формулам находнм:
n 10*7
Г* — /, (•

Х2
X]f(b)^bf(X])
/ ひ) 一 /( .く、
•ѵз
l(Xt)
r w
0.651711 (— 0.002049) — 0.653480* 0.002618
— 0,002049 — 0.002618
-0.001335 — 0,001711
— 0,004667
0.652704 一
0.G52668
0.0000006
-2,6381579
0.65270378;
f (•く)
H ズ2)—/ ( ズふ> (л*л ― a:2> -- 0.652668 一
― 一 0 ,0000006 一 0 ,0000944
(0 •6i)2/ 04 ― 0.652 關
= 0,652668 - f 0,00003577 = 0.65270377.
ІІТПК, МСИЬШИЙ положительны» корень g л^нмого ѵр;іИІ{( НИЯ \.Д ШЛіТШФНСТ
нсрлвспствпм 0,65270377 < ç < 0,65270378. '
В задачах 17.117— 17.131 комбинированным методом иайти корни
уравнения.
1 7 . 1 1 7 . jc3 + 6 jc — 5
17.П9. + Зх
= 0 .
= 0 .
1 7 . 1 2 1 . л:3 + 6х- + 9х — 8
1 7 . 1 2 3 . ズ3 + 1,015л*+ 0,985 = 0.
17.124. х ^ + J,015л;— 1,007 = 0.
17.125. 妙 一 5л: + 5 = 0.
17.127.ズ5 + 1,025л: — 3,1IG = 0.
1 7 . 1 2 8 . л:7 + x ― 1 = 0 .
17.129. х 7 + 1,1л: + 1,9 = 0 . 1 7 . 1 3 0 .
1 7 . 1 3 1 . x1 — 0 ,5 2 5 ズ+ 1 ,4 8 5 = 0 .
1 7 . 1 3 2 . л:7 — 0A9ÖX + 1 ,0 1 4 = (I.
1 7 . 1 3 3 . х^ + Ах — 2 = 0 . 1 7 . 1 3 4 .
1 7 . 1 1 8 . л-з — (5д: + 7 = 0.
1 7 . 1 2 0 . X3 — З.ѵ-— 1 = (J,
0 . 1 7 . 1 2 2 . л-»— 1 , 2 ^ + 0 , 7 = 0 .
17.126. л*5 0.52л" 一 4,08 = 0.
.ѵ~+ 1,2л* + 2,3 = 0.
th .v + ズ2 — 3,487 = 0.
В задачах 17.135 一 17.138 найти больший положительный корень
уравнени5і.
17.135. л*3 — З.ѵ + 1=0.17.136. 2л*3 — 4.ѵ2 し1==0.
1 7 . 1 3 7 . W — 2 , 1 5ズ 一 0 ,9 5 = 0 . 1 7 . 1 3 8 . л.4 — 5 л 3 7 л .2 — З л :ふ2 0 .
В з а д а ч а х 17.139— 17.142 н а й тн м с и ь ш н н о тр и ц а те л ь н ы й ко р е н ь
уравнення.
218
1 7 . 1 3 9 . .V3 + 4л-- — 6 = 0. 1 7 . 1 4 0 . л*5 + 5.ѵ4 + ол:3 — 3 = 0.
1 7 .1 4 1 . 丨 5ズ7 — 84.г5 + 35х3— 15 = (J.
1 7 . 1 4 2 . .v7 + 一 Ga-5 + — Зл:3 ― 2х2 十 і)х 一 6 = ü .

В задачах 17.143— 17.146 нанти положительные корми уравнения.
17.143. Л'3 + 2л:— 1=0.17.144. л.4 + х — \ =0.
1 7 . 1 4 5 . л:5 + 7 ぷ 一 3 = 0 . 1 7 . 1 4 6 . が 一 0 ,2 2 5 -Ѵ ― 0 ,2 4 5 = ü .
В задачах 17.147— 17.150 найти отрицательные корпи уравнения.
17.147. х я — 12х + 9 = 0.17.148. х 1— х — 0.02 = 0.
17.149. — 4.ѵ4 + Эх2 — 5 = 0.17.150. a:s + 0,8ぶ― 0,8 = 0.
1 7 . 5 . М е т о д и т е р а ц и й
І:0ЛИ К;]КИМ-ЛИГі() СІЮСС»6(»М ПО:!учено приближенное ЗНПЧСИИС Хо корня Vpauнгііия
(17.1) . то уточнение корня можно осуществить методом и о с .i е д о-
n а т с л ь н ы x ii p и 0 л и ж с н и й, или метод о м н т с р я ц и Гг. Для ЭТОГО
ур.іішсннс (17.П иредстпиляют n віідс
x = (.v), (17.11)
что неегдп можно сделать, и притом миоглмн способам», иппрнмер
X = х + сЦх),
глс г — произвольная постоянная.
Пусть число л*і есть результат подстаиовк» .го в нрп вую часть уравпошя
(17.11):.Ѵі = cf(д:о), xz = «Г(.Ѵі),дгз = (Г(.ѵг), •••,
Хп = U n - i ) . (17.12)
Процесс последовательного вычисления чисел х п = 1,2, 3, ...) по формуле
(17.12) называется методом последовательных приб.шжений пли методом
итераций.
Итерационный процесс сходится (lirn хп= | ) , если на отрезке [л, 6), содерл
►x
жаіцсм корень 5, выполнено ѵслошіс
|ф '(дс) К
Пример ы . 1 . Методом итераций нантн действительные корни уравнения
x:’ + ズ 一 3 — 0.
Графически отделяя корни данного уравнения, заключаем, что уршнісішо
имеет единственный действительный корень, принадлежащий отрезку [I, 2]. Для
Решения ^тогі) урапненин методом нтерапий не имеет смысла представлять его,
п.чи|)нмср, d ннле x = 3 — дг%, так как функция ф(.ѵ) = 3 — дгГ| имеет производную
«I '(.t) = — 5.ѵ;, для которой Іо /(ズ)I = I — 5х*| > 1 на отрезке [1,2], т. е. ие выл
пли я ется условие (17. IM). Еслп же представить данное уравнение в виде
(ф (х) = i 3 — дг) ,
то ф* (дг) — 1/(5 i (3 — д:)4) и I ср' (x) j 1/5 < 1 прн 41 х 2. Поскольку в
этом случае условие (17.13) выполнено,процесс итераций будет сходиться.
Вычисления будем вести с помощью натуральных логарифмов. Логарифмируя
уравнение х= j 3 一 х, получаем
In лс = -= - In (3 一 дг).
ГІрнынмая .v.=1 и подставляя это значенне в правую часть последнего равенства,
находим
о ткуд а . г , = 1 .1 4 8 7 .
\ n x L 了 In 2 у 0,6931 0 ,1 386,
219

Вычисления последующих приближений проводим по формуле
Іп хп = -g - In (3 一 л*Л^_ j )
и записываем результаты в табл. 】7‘4.
Таблица 17 л
п ズл-1 3 一 хп—\ «п(3- ]пхп ズ71
1 !,І487 1,8513 0,6159 0,1232 1J31I
2 1,1311 1,8689 0,6253 0,1251 1,1332
3 1,1332 1,8668 0,6242 0,1248 1,1329
4 1,1329 1,8671 0,6244 0,1249 1,1330
5 1,1330 1,8670 0,6243 0,1249 1,1330
2. М етодом последовательных приближ ений п піпм о тр и ц п тсл ы ш й корень
уравнепия л-4 - f х 一 3 = 0.
Д анное ѵрппнение имеет дпа действительных корня; отрниательиын коремь
находится на отрезке [ — 1,5; — 1,4], та к к а к выполняется условие / ( — 1.5) X
Перепишем данное уравнение в виде
х ^ х + С(хі + х — 3)>
где С 一 произвольная постоянная. Выберем значение С таким , чтобы для ф ун к­
ции ф(д:) = д: + С(д:4 + д; — 3) на отрезке [ — 1,5; — 1,4] вы полнялось условие
гпахіф ^д:) \ ^ q , ф (л :)= 0 , U 4 + 1,1а:~ О Д
q /(дг) = 0,4д^+1 , 1 , шах 丨 ф'(дг) 丨 =0,25 < 1,
,5 ~'.х く 一 1,4
т. с. выполнено условно (17.13) для ф ун кции

В задачах 17.151— 17.178 методом итераций найти дснствитсль
ные корни уравнения.
17.151. ズ3 + 2ズ 一 4 = 0. 17.152. ズ3 + зл. + 2 = 0.
17.153. x3 + 4л:2 ― 1 = 0. 17.154. f ― 5ズ2 + Зх 一 9
17.155. JC4 — 6л: + 3 = 0. 17.156. ズ4 + 2ズ 一 1 - 0.
17.157. X k 6jc+ 4 = 0. 17.158. x5 + 4л: ― 2 = 0.
17.159. X6 一 X 一 1 = ( )• 1.160. + Зл: + 1 = 0.
17.161. X7 — 7л: + 5 = 0. I/.162. x7+ 2ズ 一 1 - 0.
17.163. xs 一 З.Г + 1 - n. 17.164. x9 + 5ズ 一 3 - 0.
17.165. \х + 2 =^= 0. 17.166. х і0 一 Зл: 十 1 := 0.
17.167. ег^ - - л: — 2 == 0. 17.168. ズ+ In ズ 一 2 = 0.
17.169. 十 2ズ 一 3 = 0. 17.170. In л: — л: + 3 = 0.
17.171. 3х — 6 ズ+ 1 ,5 = 0. 17.172. бх -j- x 一 2 = 0.
17.173. лГ i
, 2
― + 2 = :0. 17.174. ел ----- - r -,— -4 =
x
X + 1
17.175. sh д: + 2х — 1 = 0 . 17.176. ch x ―ズ 一 3 = 0.
17.177. sh X ― 12 th ズ-0 ,3 1 1 = 0 .
17.178. tgjc + д: — 7,227 = 0.

О Т В Е Т Ы
1
1.4. I) 3; 2) 一 7; 3 )14; 4) - 5 .1 .5 .1 ) 5 ; 2 )1 3; 3) 6: 4) 5.1.6. !) —3; 2 )1 .
1.7.1)3; 2) 8. 1.8.1 )0 ,2 ; 2) 一 5/3; 3) 0. 1 .9 .1 )AI(17/4); 2) Af(3). 1.10.1) C(6);
2) С(3v. 3) C ( - :3); 4) C(0); 5) C(3). 1.11. Л(ӀЗ). 1.12. ß(2). 1.13. ЛІ(—8), .Ѵ(Ю).
1.14. М (8), A '(l),iV(15). 1.15. / l ( - 8). R(7). 1.19. Л|(3, - 4 ) . 1.20. ß,(3t l).
I.2Ï. C ,(-4 . —7). 1.22. 山 ( 一 1,2 ) . 1.2;i 2). 1.24. 3) Л ^ - І , —2),
ß f ( - 2 . 一 6>, C7( - 4 , - 5 ) ; 4) Л '(2 , 1) ,ß '( 6,2), C'(5, 4).1.28. Л(1, \ ' 3), В (—1. 1),
/:(-• 5,0). 1.29. /1 ()2 , Зл/4), В [2, л/2), Г:( ] 2, л/4). 1.30. 2) 7 1 2; 3) V 29; 4) 5;
6)15.1.31.32.1.32. 25.1.34. С(9,2). 0(5. —2). C ,(L 10). D i(—3, G). 1.35. 32
1.36. В (2. 3). D { 2, I). 1.37. 16. 1.38. 0(1. 2). 1.39. 20. 1.42. 乙 ん 1.43. Треугольник
остроугольный. 1.44. Z -Л = んß = 453, Z.C = 90。. 1.45. N (5. 0).1.40. Дг(0, 6),
Д но. —2). 1.47. С (1 ,0), С і(6, 0).1.48. S (—5, 0), R = 5.1.49. .V (5. 5), .V,(13, 13).
1.50. 5. 1.51.ß (—3, 4), D ( l. 2).1.52. Л і(—3’ 5 ).1 .5 3 .1 ) P(A. i); 2) Q (—4, ― I):
3) /-(—3, 一 3 ) .1 .5 4 . 厶 (1 ,5 ),М(0, —4). Ѵ(5, ― I ) . 1.55. 5. 1.56. ß (— 10, 9).
1.57. С(2. ― 3).1.58. ß h 2, 1).1.59. M (5, —4), Л . ( - 1 . 5).1.60. Л (—2, 一 4),
В (2%6), С(6, —2). 1.62. D ( 3 , 一 り, 5 (1 ,1 ).1 .6 4 . Л ( -7 . - 8). ß (—6, —7),
q —5. - 6), D (-4 . - 5 ) . £(12, 11). 1.65. " ( —1/3; 11/3), .Vi(13, —3). 1.66.10 }* 2ÏÏÎ.
t. 1.68. И —5t 一 lh /)(4. 5 ) . I.(i9. Âi = AB BC = 1 3.1.70. 2).1.72. 5.
1.73.10.1.74. /VI(1,2).1.75. Л/(11/15. 23/15). 1.76. I) 24; 2)18; 3) 6.1.77. 5 V 2/2.
1.79. 3 0 .1 .8 0 .1 2 .1 .8 1 .2 0 .1 .8 2 . C(0, 2). C,(0, 22). 1.83. M (ll/5 , 21/5).
1.84. Л1(24/17, 7/3). 1.85. C(5, 2), Ci (2, 2). 1.86.16v + G// - 69 => 0.1.87. Af (0,10),
Л'(Г), 0 ) .1 .8 8 . Л1(29 5. 7,5). 1.89. .ѵ^ + iß = 2 5 .1 .9 0 . (jc - З )2 + ( / / + 2 )2 = 1 0 0 .
1.91. Vf(4, 3). Л'(4. - 3 ) . 1.92. М (-7 , 0), .Vf7, 0), Я(0, 一 7), Q(0, 7).
1.93. 4л.:. + 4//2 = 9 . 1.94. д-з + //- = G4.1.95. Лі(—3. 4), .V(1,3).1.96. Зл* + 4// - 0.
1.97. Л/(1,_2), Лг(2, 2).1.98. М ( \ , 1 ) , Лг( 1, б). 1.99. Л1((),—4)f ІѴ(1, —9).
1.100. 2 V 2 .1 .1 0 1 .I 10. 1.102. р cos ф = 5. 1.103. ф = я/6. 1.104. tg ф = — 1.
1.105. и sin «j - 3 ― 0. (» sin (f + 3 = 0. 1.1 Ов. и = 2a ros (f. 1.107. (»+ Ю sin ф = 0
(центр окружности .іежлт ниже полярной оси); р 10 sin ff 0 (центр окружности
лсжнт выше полярной оси). 1.108. р2— 2рро соб(ф — фо) * /^2— •
1.109. р = а(1 土 sin (p)/cos ср. 1 . 1 1 1 . 1 ) p == R\ 2) tg ф = 1;3) tg ф = 1;
4) p2 cos 2ф = Rz\ 5) p = û sin 2 ф .1 .1 1 2 .1) x = а; 2) je2 + f/2 = 2ax\ 3) t/2 —
« x(x — a)2/{2a — x); 4) (x2-f- У2)У2 = a2x2; 5) //2- 4a(a — x); 6) fl2/.v2ふ
+ a2/ダ2 = 1 ;7 ) (x2-Һ //* -f- 2ax)2 = 4а2(л:2 -f~ У2) - 1-113. p = 2u cos ф + 6 .1.114. 卜
= o sin 2 ф .1.115. p = аф, где а = v / w . 1.119. ц = —х . 1.120.ズ+ //“ 2.
1.121.レ + 1” + ^ — 2)г Ä 9.1.123. у - パ. 1.124. у = xz - 2х + 2 . 1.125. (/ = Г>л*.
1.126. хг -\-у-^ 1.1.127. хг/а2+ iß!b^=1.1.128. д:2/а2- Уг!Ь2= 1.1.129. (х - 1 )= 十
+ (У + 3)2 = 4.1.130. (ズ+ 4)2+(ジ 一 6)2 = 25.1.131. у = х2 — 6 х+ 12
1132. iß — 4// + 2.1.133. ЛГ// + 3// ― 4 = 0.1.134. x y + \\x — 2 = 0. 1.135. л; ^
= a cos /. if (а Ч- ^)sin //2. (Указание. Воспользоваться параметрическими уравнениями
окружности (см. пример 1 , § 1.8) и параметрическими уравнениями
эллипса (см. задачу J. J27).) 1.136. x = a(cos / cos arctg(l> //a ))/2 t i/= a (sin /- r
+ sin arctg(6 tgr t/a))J2.
2 . 1 . 1 ) // = Д:- f 2. 2.2. Здг — 切 = 0 . 2.3. 2) і / » ズ 一 3. 2.4. 3) Ч =* x.
2.в. 2) (f = 135°. 2.8. I) « = 3. fe ^ —2. 2.10.10. 2.J2. С = 20. 2.14. ß = 3,
222
2

2.17. 2) ф = 45°. 2.21.2х — 一 26 = 0. 2.22. 7х 一 4// + 34 = 0. 2.23.1 U 一 Ьу » 0Г
5.ѵ + 11 // = 0. 2.24. ох — 9// 一 19 = 0, Qx + 5// _ 13 = 0. 2.25. 4х 一 Зі/ ― 16 = 0r
4л* — За + 9 - 0 . 2.2«. 6,v ― 5// — 11= 0. 2.27. 7x ― 8" ― 6 = 0. 2.28. 5.V—2" — I =0,
2.V + 5//— 12 = 0. 2.29. P(2; 3,5). 2.30. М(0, 2). 2.31.х ^ — 2 + t9 " = 一 2 + 4/
( ( X / く 1 ) ; .v = 2 Ч- Ht, i t ^ - 2 -\-A t (0 ^ < 1) ; y — 2 = 0 ( - 1 < .v く 6).
2.33.1 U* + 3// -10 = 0. 7x + 9// — 30 - 0, 2x — Зп + 10 = 0. 2.34. M (2. —3).
2.35. Зд: — 8// + 2 = 0. 2.36. M (4/3, 2). 2 .3 7 .1)0 ,8 ; 2) 0.5; 3) 3V 5/5; 4) 2.
2 . 3 8 . 1 ) 2 ; 2) I; 3) 0. 2.40. 2. 2.4 i. 4, 2 .4 2 .1 .2 .4 3 . 9. 2.44. x + ,ゾ 一 11 = 0 ,
ズ 一 ,/ + 3 - о. 2.45. З.ѵ - 4" — 25 - 0,Зл ― 4// ― 45 = 0. 2.47. (л* + 2)2 + " 2 = 25.
2 . 4 8 . 1 ) û = - 3. b = A, A - 6. 2 . 4 9 . 1 ) Л1(2, —3). 2.50. {.v — l ) 2+ ( , , + 1)2 = ] ;
( jf — 5 )a + (// — 5 ) - - 2 5 . 2.52. (x — 5 )2 + ( / / ~ 3 )2« 2 5 ; (a* — 25)2 + ( / / - lo )-= 6 2 5 .
2.53. (x 一 1j - -}-(// — 2)- 25. 2.54. (.v — 5)2 -}-(// — 5)-=16. 2 .5 5 .1 )Полуокружность
раднусим R — .4 с* центром ü ііачп.ц* координат и расположенная выше
оси Ох. 2.5В. 4. 2.57. 2л. + 3// — 0. 2 .5 8 .1 ) Пересекает. 2.59. 2) Не имеют обших
точек; 3) касаются. 2.61. 3.ѵ + 4" + 7 = 0. 2.Н2. 5. 2.6:3. (л* — 6)г и2 — 18;
(.v — ЗО)2 + (/- = 4Г)0. 2.G4. С (1 ,3). R = 5. 2.(і5. (.ѵ + 2)2 + ( / / - 1)-=25.
2.в7. л*Ѵ25 4 - //г 10 - 1 . 2 Ж .ѵ2/Ы ! //-/IG9 - J. 2.69. i) х^/С>4 - f //2 іб = 1 .
2.70. 2) х-;25 + //2 1G9 : 1 . 2 . 7 1 . Р( -3, 2), Q(3, - 2 ) , S 卜 3, 一 2). 2.73.1) a - П.
― 2 I 5, / .( -4. 0 ) , 尸 2(4,о), к = 2 3. 2.75. 8 - 0,5, 2.77. X ― 士 10. 2.78. d 12.
2.79. 2) л.2/ 1 6 + ".*712 = 1.2.80. 2) л*2 5 + 9 - 1 . 2.81.2) Х2/64 + //2/100 = 1 .
2.82. .v2:36 - f Ц-І20 -1.2.85. n = 5.5, гг = 2,5. 2.87. ;Vf( —1;1,5), N l - \ \ -1 ,5 ).
2 .8 9 .1 )Пересекаются; 2) каспются; 3) нс имеют общих точек. 2.90. .ѵ-/16—;/2 9=1.
2 .9 1 .—Л--/64 + {/2/Зб - I. 2 . 9 2 . 1 ) .ѵ2/49 一 " 2/25 = !. 2.93. 2) —.V-/1G + //г/9 = 1 .
2.95. 2) Aî(4 1 2, f\A ) . Л,(4 1—2. • - уТГ). 2.96. 2) и = 8. b « б , ハ ( 一 10. 0).
/•2(10,0), к = 5/4, " ‘ 士 (34}л.. 2.98. 3) лг = 土 3,5, d = 7. 2.99.16. 2.100. I.
LMH1.2) .v2 56 - //- 8 і. 2М У1..і) л*2 5 -Ь /у2/20 - I. 2.103. I) х2/1в - /л ;9 - I.
2.104. 2хі/ =1.2.109.1)М (2,1), Л7{3.2). 2.110. ]) Пересекаются в точках М (1,--1),
V (—2, 4). 2.111.2) л*2 = ві/; 3) "2 - 一 8л*. 2 .1 1 2 .1 ) 厂 (2,0). л* = — Л 113. i) t/z •ニ
1(3.y. 2.114. 3) //- = 9л*; 4) 2л:2-= — t/. 2.115. 5,2. 2.1lfi. 51/7. 2.П7. ЛІ(4,4),
Л'(4, 一 4 1 .2.1IS. Л/(1.2). \ ( 4,2). 2.1 И).1 ) . ^ ( 1 . Л'(4. 8). 2.120. 3) Касаются
в точке М(2, —4). 2.121.8. 2.122. 6, 2.123. Aq у 3. 2.124. у•… ― 4 (ズー9),
1(9.0), 0(0, —6), С (0,6). 2.127. (Хг/А)-\-(У'\:9 )= 1 ; эллипс с центром н точке
Oj ( 1 , 一 1).2.128. (У-/9) — (Х2/4) = 1 ; Оі (— 1,3);гипербола, пересекающая ось Ои.
2.І29. У2 == — 2.Ѵ. О:(4 .1 );парабола с осыо, ииралле.чыюн оси Ох. 2.130. Х* = — 4>*.
2.131. ХУ - — 4. 2.1^2. (.Ѵ-725) + (>-/î>)= 1, 2.133. (.v - f 2)2/4 +
丄 -74)-(V^/9) = \,
0 ,(—1.1). 2.13H. У. - 2Л- 0 “ 一 1,—3). 2.137. X = Y2. 0 ,(—2.П. 2.138. Y =
n ,(!f 2). 2.ІП9. Л* = --1K f ハ(5,1).2.140. ЛТ = S. 0 ;(3. 2). 2.И1.Л) : 一 - 6.
0 :(—5,1). 2.142. (X-l) + (/29)=1,0,(1,2). 2.143. (3. 2Ң-8) |Зл+2//+4) 二 0;
две перссекаюшнеся прямые. 2.144. (Зх— 切 + 23) (3ズ+ 4 " + 7 ) = 0. 2.145. (.ѵ - і - 1)x
Х(.ѵ + 7 ) = 0 ; две прямые, параллельные оси Оу. 2.14Г». (у — 1)(// — 5) ~ 0.
2.147. Точка С ( - 1, 3). 2.148. Хг + У2 = 4, 0 ,(1 , — 2). 2.149. Точка М (-3 ,2 ).
2.150. Уравнению не удовлетворяют координаты тіи одной точки. 2.151. ~ 4Л'2
-f- 9Y2 = 64, 0,(1,2). 2.152. (х — 2у+ 14) (х Ч- — 2) = 0. 2.153. (2х - у + 3) X
:;(2х — // — 1)=0. 2.154. Зх — 4// + 2 = 0, Зд:— 切 + 2 = 0; две совпадающие
прямые. 2.155. Гипербола 2ズ2 一 У2 = 2,sin а = ― V 2/ 2, cos а = У 2/ 2, tg а = — 1,
О* (— 1, 一 2); 2У2 ― X2 = 2 при sin а = cos а = Y 2/2, tg а =1.2.156. Эллипс
6.Y2 + p = б, sin а = - Г 2/2, cos а = Г 2/2, tg a = - 1 , 0 , ( - 1 , — 1 ) ; Х 2+Г,У^=6г
tg a = 1 .2 .1 5 7 . X2 = ( 3 / У І ) Қ tg a = 2. О і(~ 2 ,1 ); уг « -( 3 /y " 5 )X , tg a = — 1/2.
2 .1 5 8 .ズ2 + >2 = 9/4. 2.159. ズー y + 2 = 0 , ズ 一 // + 2 = 0. 2.160. x - y + \ = 0,
v -Ь Зг/ = 0. 2.16!. х + 2у = 0, ズ+ 2" — 3 = 0 . 2.162. + 2Ү2 = 2, tg a = ― 1,
Оі(—1,—1). 2.163. X « 5У2,tg a = 3/4, О і(1,1).2.164. 4Х* — /2 = - 4, ig a =1/2 ,
0 ,(2 , —2). 2.165. 7vY2 — У2 - 7, а = л/4, Оі(2, 一 2). 2.166. 7Х1 + У* = 7, а = л/4,
0 , ( 1 , 一 1).2.167. X2 = - У, tg а = 3/4,СМ—1 ,1 ).2 .1 6 8 .ズ2 — 5 Р こ 5,t g a - — 1,
0 , ( 1 , ― 1).2.169. 5 Х 2 + уг«5, tg a » 1 , 0і(1,0). 2.170. У2 = У 2Х, t g a = 1 ,
О. (-2,1).2.171. 5Х2- У 2 = 5, tga = — 1/2, 0 “ 一 1 , 一 1).2.172. + 5У2 = 5,
:g a = 2. 0 i ( 0 , 1).2.173. Y2 = 4 | 2 X, tg a - - 1, 0,(2, 一 1).2.174. ЗУ2 - = 3,
tga = 2, O i(-l, 一 3). 2.175. ЗХ2 + Y1 = 3 , tg a = — 1/2, 0 ,( - l, - 1 ) . 2.176. Y2 -

- ( 4 У 5) A", tg а

X — Х\ У 一 У\ z 一 む X 一 хх у — У \ г — А
4 .7 . .4 一 Xl Уг 一 У、 一 ベ i = 0. 4,8* Ч 一 久 i Уі 一 Уі Z2 一 之 1
ズз ― ズ1 Уз ― Уі г3- - ^ і 0\ аг Û3
4 . 9 . 1 ) «Г+2// + む 一 7 = 0. 4 . 1 0 . 1 ) 3ズ 一 ター Зг — 8 ニ 0. 4 . 1 1 . 1 ) а = 4. Ь^-
= ― 3. с = 6; 2) а = ― 20. b = 一 4. с = 5. 4.12. x у -т z 3 = 0.
4.13. 32 куб. ед. 4.14. З.ѵ — + 4г — 24 = 0. 4.15. Да. 4 .1 6 .1 ) Нет;2) да.
4.17. Плоскости 1 ) и 2) параллельны; плоскости 1 ) и 3) совпадают; плоскость
4) перпендикулярна плоскостям 1 ),2 ) и 3). 4 .1 8 .1 ) ^ = 0; 2)

5
5.1. х * + г 2 f](u)+fl [tj). 5 . 2 . デ + パ パ (.り+ q j い) . 5 3 . ^ . + - ^ +
z2 X2 У2 パ e -V2 //2 x 2 t r
-:-~ ~ 1. 5.1. 1.r».ô. -- j :. 3.в. , 一
' cz (!• û- f- p ' p vr 1 a-
г2 x2 i/2 zi x2 чг г2
— 0. 5.7.

ии.пшдр
лиидр
3. 2).
.V = x
л*
.59.
Ѵ~
4Л 2
1;X
З Р
j.6 I
— 4 Г2
X 2
3G;
л. — 3. Г
- f 2Z2 3:
Yü_j_ оу^
У-- У + ^
y + 1 .5 .5 8 . 3A -
0 (3 /2 . I. — 2).
.«3.
7
. 5 7 . 厂 шісрболнчсский ци-
2Za - 一 * 4У: 0 ( 一 I •
.60. 4X* + 92* = 36;
-1.5.62. 9 X 2 —
0(3. -1,
5.64. — = 2,\; 0 ( —2 . 丨 . 一 П. 5.65. Параболический иилиндр X 2%
6К; X
У' :\ 5.66. ) • \Х \ К = I/+3, X = х—2. 5.67. Пара
параллельных плоскостей X ^. X ^ x 一 4. 5.68. Пара совпавших плос-
X 2 /2 Z2
-1,X х—2. 5.70. — 一 —ö------―»— = 0;
костей Л 0. .V л: -3. 5.69. Л -
0 ( 3 , — し 一 り. 5.71.
У = // ― 4,Z = г + 3
= 3 2 ; Л = a + 2 . Z
ニГ ― ー ア =r 1; Y = y - \ - 1.
5.73. 2V2 + Z2 = 4; Y = y -
г — 3,
6
72. Z * = — 4У;
.74. =
6.1. Вся числовая прямая, т. е. ( 一 оо, + оо). 6 2. ( 一 оо, + оо). 6.3. (—4, 一 1|.
[1 ,4 ]. 6.4. [—2, 2】.6 .5 . x > 2. 6.6. (— оо, 3), (3, + оо). 6.7. ( 一 оо, —4), (—4. 4),
(4, 4* °°). 6.8. Множество точек а* = (2k + 1)л/2 (々= 0, 士 1 , 士 2 ,...) .
б.9. ( 一 оо, —3), ( - 3 , 2), ( 2 , 十 《 ). 6.10. І - ос.1).(1.5), (5, -f- оо).
H . H . (— оо, - f оо) при Ь2 — 4ас < 0; вся числовая прямая, кроме точек
x = (—b z t y Ьг — Аас)/2ау при Ь2 — Аас > 0; вся числовая прямая, кроме точки
v =* — Ь/2а, при Ьг — Аас = 0. 6.12. Множество отрезков [2лた л/2, 2лЛ + л/2].
в.13. Множество интервалов (2л/г 一 л/2, 2nk - f л/2). 6.14. Множество отрезков
[2kn, ( 2 к + 1)л]. 6.15. [ - 0 ,5 ;1 ].6 .1 6 . [1/2, 9/2). 6 . 1 8 . 1 ) Четная; 2)-.1)— )
лая:5) четная; 6) не принадлежит ни к четным, ми к »ечетным функциям.
fi.25. /( 1 0 ) = 4. / ( 2 0 ) - 8, /13 0 0 }= 02.
7.1. а, = 0. аг = 1/2, а, = 2/3, а4 = 3/4, ü5 = \ Ъ. 7.2. 0. 3 2, 2/3, 5/4. 4 5.
7.3. 1/3, 1/15. 1/35, 1/63, 1/99. 7.4.1,1/9. 1/45, 1/189, 1/729. 7.5. 4, 2 , 16,8, 64.
7.6. 1/4. 1/2,116,I 8.1/64. 7.7. а п =(1 + ( —1)"+*)/2. 7.8. п + 1/4(л ニ1,2. 3. •")
7.9. Ограничена сверху и снизу. 7.10. Ограничена сверху и снизу. 7.11. Ограничена
снизу. 7.13. Ограничена сверху и снизу. 7.14. Ограничена сверху и снизу.
7.15. Убывающая. 7.1 в. Немонотонная. 7.17. Возрастающая. 7.18. Возрастающая.
7.19. Возрастающая. 7.20. Убывающая. 7.21. Немонотонная. 7.22. Убывающая.
7.23.1)Да (наирнмер, х п = Уп = — п)\ 2) нет; 3) да (хп = п. у п = 1/л);
4) да (jc„ « n, уп = n", Xnhjn = Мп) 7.24.1),2) Да. 7.25. I ) , 2) Да.
7.26.1),2) Да. 7.27.1) 一 3> 0. 7.28. 0. 7.29.1)+ оо; 2) — оо; 3) нет предела.
7.30.1)1;2)1/2; 3) 4. 7.31. N x =10, Nz = IÜ0.」V3 = 100, N = £[l/p] — целая
часть числа l/e. 7.32. N i =10, X 2 = 100, N - £ [1 /у Т ]. 7.33.1)9; 2) 7; 3) 2; 4) 71.
7.34.1)4; 2) 25; 3) 32. 7.39. 1/2. 7.40. 2/3. 7.41. 0. 7.42. 1,5. 7.43. 0. 7.44. + oo.
7.45. 3/4 7.46. 3. 7.47. 2 3. 7.48. 0. 7.49. ü. 7.50. 0,5. 7.51. 0,5. 7.52. 1/3. 7.53. 2.
7.54.1.7.55. ao/bo. 7.56. 0.5. 7.57. ü. 7.58. oo. 7 .5 9 .1 .(Указание. Рассмотреть две
последовательности bn = п/ у nz - f n, cn = «/ > - f 1 (bn С a n С cn); наити их
пределы.) 7.60. 7. 7.61. 3. 7.62. -0 ,8 . 7.63. 4. 7.64. 2/3. 7.65.1.7.66. 3 2. 7.67. 4/5.
7.68. oo. 7.69. 16/27. 7.70. 2. 7.71. Г ^Г Т Л Т . 0. 7.73. oo. 7.74. 3. 7.75. —2. 7.76.1.
7.77. —2. 7.78. 7. 7.79. 5. 7.80. 一 72 7.81. 一 28. 7.82.12. 7.83. 96. 7.84. п. 7.85. nl m.
7.86. пап~х. 7.87. пап^ т ;т . 7.88. 4/5. (Указание. Положить д: = Г:0.) 7.89. 4/3.
7.90. с\ 7 .9 1 .7 .9 2 . ег. 7.93. 7.94. 1/4. 7.95. 8. 7.96.1.7.97. а/Ь. 7.98. 1/16.
»5» 2 2 7

7.99. 8. 7.100. — 10. 7.101. 1/12 7.102. — 1/27. 7.103. 一 ОД 7.104. 0.04. 7.105. 1/9.
7.106. а 7.107. оо 7.108. . 7.109. ez. 7.110. с \ 7.111. е_2. 7.112. е、 7.113. t’ 一 *.
7.114. 5 log: 7.115. ( 一 1/3)1п3. 7.116. 3 In 2. 7.117. 4/In 3. 7.118. 4/3. 7.119. — 6.
7.120. 7. 7.121. —4/3. 7.122. —3/2. 7.123. 2/3. 7.128. 1/4. 7.129. 1/5. 7.132. 5. 7.133. oo.
7.134. 一 3. 7.135. oo. 7.136. —0.5. 7.137. 5/4. 7.138. ОЛ. 7.139.—112. 7.140. 0.25.
7.141.5. 7.142. 6/л. (Указание. Положить 3 一 а = а.) 7.143.1.7.144. 0.5.
7.145. - 2 /я . 7.146. 2. 7.147. 2/3. 7.148. 0. 7.149. 0. 7.150. 0. 7.151. e. 7.152. т /п .
7.153. т /п . 7.154. е~!. 7.155. 一 ОД 7.156. 0.5. 7.157. 1.5. 7.158. а п /т . 7.159. —ka!n.
7.102. I. 7.163.1 A3. 7.165. 27. 7 .1 67.1Я 7.170. - 1 .5 . 7.171. — 1/12. 7.182. а (дг) и х —
величины одиого порядка. 7.183. a (ぶ) 〜 дг. 7.184. а (а*)— бесконечно малая высшего
порядка. 7.18Я. сі(дт)— бесконечно малая низшего порядка. 7.186. Величины
одного порядка. 7.187. Нссравіиімы (не существует предела отношения данных
величин). 7.198. 1,5. 7.199. 4. 7.200. 8. 7.201.0,2 7.202. 1/7. 7.203. 2/3. 7.204. 2/15.
7-205.1.7 206. Ь. 7.207. 0.5. 7.208.1.7.209. 1/3. 7.210. 2. 7.211. 0.5. 7.212. 0.2.
7.213. 7. 7.214.— 10/9. 7.215. 2. 7.216.1.7.217. С. 7.218.1.7.219. 0,5. 7.220. 0,5
г
8 9. л. =:ニл/2 Ч 人 :г (々 一 иелое число). 8.10. л ф 々л [к e Z). 8.11. 1,5. 8.12. 0.8.
» ІЗ. I. Ы А. а. 8.15. In я. 8.16. !. 8.17. 0.25. 8.18.1.8.19. 2/3. 8.20. 一 2. 8.31. х =
い .; ік.і рлфі.ша »foporo рол” . 8.32. л = 0. 8.МЗ. л* = — :>. .ѵ = >. 8.34. x = 1 ,
x =» 2. 8.35. л. = ― 3, .v = i>. 8.36. x = 一 1 .8 .3 7 .ズ= 一 3 — точка разрыва первого
рода. 8.38. л --= 0 — точка ѵстраиимого разрыва. 8.39. х *= 々л : 0, 土 し 土 2 ,..).
8.40. x = кп (h = 0. 土 1 .• 土 2. . .). 8.41. .v = 0 8.42. x = 0. 8.43.ズ: 一 2. скачок
Л = 2. 8.44. .v =1.Л = 2 8.45. л* = 2. Д = л. 8.46. л* = 0. Д = 2 V 2. 8.47. х 2.
Л ニ 1 8.48. л. = I. А = 4. 8.49. д: = 0, Л - 1 . 8 . 5 0 . х = 1 .Д = 1 . 8 . 5 1 . д: = 0. Л — оо.
8.60. Указание. Если x = sh //, то па определению і/ = Arcsh х. Поскольку sh у ^
~ (°у — е~ѵ)/2, то. обозначив む= м, получим .ѵ = (// 一 (1/и)け2. 2.ѵ *= “ 一 ( 1 и ),
м- ― 2ux ― 1=0, откуда и = cv = ズ 士 J x - 十 1 .Так как ev > 0, то знак «—>
м ож но отбросить, т. с. Р = ズ+ 1 д:2 + 1 . Следовательно, у ==1 п (л *+ ) ズ2 + 1).
9
9.1.ôv1 - Ьбл-3 — б.ѵ f 7. 9.2. х (х і — I)2. 9.9. 4/sin2 2x. 9.10. tg2x.
9.12. (I — ^2)sinA- 3.t cos x. 9.13. x2 sin x. 9.14. — x2 ch x. 9.17. !0х/(л:2+ 1)2.
9.19. .—— い (x2• + 一 む I ) / ( . t * 4 - . t + 1)2. 9.23. дг(дг3 + 3ズ+2)/(ズ3 + 1” . 9.25.(1―
一 *ズ2) 5>1]x—x ch л. • 9.2/. (дг sh x 一 • ch x ― 丨 ), (x + ьһ ズ)2. 9.31. ―― (.v- + 2、/ (sin X -p
+ xcosx)2. 9.32. ― д;2/(сһлг — xsh ^)2. 9.33. / ( ― 1)= 1 6 . 厂 (0 )= 3 , f r (\) ^
= — 4 9.34. г (д/4)==― 1.9.35. s, (0) = 5. s' (—2) = — II. 9.36. x f (0) = I.
x / ( я /2 ) = 1• 9.37. 7cos 7x. 9.38. 5sin (3 — 5•り. 9.41.2sin 4.v. 9.42. 3acosx'J.
9 .44. — 12a•バ3 十 2jc〒. 9.47. sh 2x. 9.49. — 2sh 2x. 9.51. З/сһ^х. 9.53. (x +
+ 2>/J x3 + 4jc + 2 • 9.55. (x — 2sin \x ) /y x2 + cos 4x. 9.60. 2(.r — 1)sin (2jt8—
一 4.v _u 6). 9.62 1Ң х InlO). 9.64. 2xcx%. 9.68. ctgx. .9.71.— 3sin Зх е^°ъ3x.
9.73. 2/(1 9.75. — 81). 9.77. 1/(W + む 一 8>. 9.79.l/(む2+ 8-Г—3 广
Ө.8І . l/(で2 — .t — 2). 9.83. — 4x — 5. 9.91. l / l 6 4 ^ 7 » . 9.93. 2(パ+4).
9.97. 1/Г9ѵ— 4л2. 9.99. 1/(х2 + б4) 9.101. 1/(дг* f 12л+50). 9.105. ( x —
+ 3)/(х 3 + 2х + 5). 9.109. 1/(1 -h x4). 9.110. 1/(1 + дгв). 9 .1 1 1 .— (2дг +
+ 5ѵ)/(5т + 2у). 9.113. — i у /х . 9.115. (2—Здр — 2у)/(2(х― 2)). 9.119. —y j (x --
十 2y + cos|/). 9.121. 0,5. 9.122. — 2,8. 9.124. — 8/9. 9.126. — tg/.
9.128. b ii\t/a . 9 . 1 3 0 . 一 ctg た 9.135. (sin x ) ^ (— sin x ln sin x + cos x ctg л:).
0.139. xcos A (— sin x ln x + cos x /x ) . 9.145. uv (v'Ina - f vu ju ). 9.147. 6(x + 2).
9.149. 2cos лг/sin5 x. 9.153. 4/(x — l)3. 9.157. 3 /(4Г (7 + 2 ) ) 9.159. — І6дг/(х2—
— 1б)2. 9.1Г)3 — cos tl(a sin31) 9.165. (/: - f \)l(2 a t). 9.168.18. 9.169. —8 cos 2л
9.171.24x - 30. 9.172. 24 9.174. —32 sin 2x. 9.176. - р гІУл 9.180. ― {パ+ ":>/w3.
9 .1 8 2 . 4. 9.183.1,5 9 . I M . 2 5 /6 4 . 9 .1 8 6 . (2x - f 5 ) Ja*. 9 .IS S . \Odx/(x^ - 2 5 ) .
228

9.191. —5 sin Г)хсіх. 9.195. 12shs Зл-ch Злгі/.ѵ 9.198. äx/(x^ - fl). 9.200. 0.4.
9.201. -0.02. 9.202. 一 0,02e. 9.203. 0,001. 9.204. —2/15. 9.205. 0.026. 9.206. 4,2.
9.207. 0.333. 9.208. 0.96. 9.210. 0,8. 9.211. 0,485. 9.212. 1,012. 9.213. 0,!23.
9.214. 8.944. 9.215. 4,021.
10
1 0 . 1 . 一 1/6. 10.2. І/4 . 10.3.-1.10.4.13. 10.5. 4 /3 . 10.6. 3 . 1 0 . 7 . 1 /8 1 . 10.8. 2 /3 .
10.9.:.10.10. 0.10.11.! 10.12. 0. 10.13.13.10.14. 一 1/6. 10.15. 0 10.16.1
10.17. , Л 10.18.110.19. e - " 8. 10.20. ег/п Ю.2І. 1,5. 10.22. 2.10.23. 2.10.24. 4
10.25. 2/л. 10.29.1.10.30. 0.5. 10.32. — 1.5. 10.33. 8/3. 10.34. 1/6. 10.36. 1,7. 10.37.1.
10.38. 0,5. 10.41.12.Г — г/ — 42 = 0 (касательная),ズ+ 12び 一 76 = 0 (нормаль)
10.42. 7-v - f i/ ― 32 =« 0 (касательная).ズ 一 7// — 2t» = 0 (нормаль). 10.44. 9х 一 у —
-13 = О. -V+ 9>/ + 35 = 0. 10.46. 4дг 一 у 一 6 = 0,x -f- 4// 一 10 = 0. 10.48. 5а' Ч-
+ //— 1=0, x ― 5// -Ь 5 = 0. 10.50. 2.v ― // - f 5 = 0, x Ч- 2// = 0.10.52. x = 0.
-f- 4 ニ0 10.54. ô.v - ― 4 =* 0. .v + 5// 一 6 = 0. 10.56. 8ズ+ ― 25 = 0.
りズ 一 8"— 10 = 0. 10.58. A + " — l=ü, x —// —3 = 0. 10.61.фі =* arctg (2/3),
Ц2 ニarctg 1,1. 10.62. фі =* arctg(l/2), фг = arctg(1/3). 10.63. фі= фг = arctg l ,ö.
10.64. фг = л;2. 10.68. cp, = фг = arctg7 . 10.G9. 2/(17| 17). 10.70. V 2/2.
10.72. ) 2.50.10.74. 12 10.77. Л1(3. 3). N(1/3,-41/27). 10.78. A f(-2 . 一 ",
Vi2. —29). 10.79. M (0, 7). Л.(1,7).10.82. Возрастает в интервалах ( 一 оо, —8/3).
= —10.10.98. min f (x) =/(3) = —23.
m ax/(.v) ニハ1)=10.100. inin Ц х) :/(0)-1.10.101. Экстремумов нет. 10.102. 9;
— 19. 10.103.14) -C . 10.104. 7; - 53. 10.105. 95; —49. 10.106. О; -2 0 . 10.107. 21;
— 11. 10.109. 0,25;— 1.10.110. 24; —81/8. 10.116. Af(0, 7).10.117. Л!(1, 一 ЗЬ
10.118. М(2, -7). 10.119. Л1(—2, 38). 10.120. М (—1 .-1 9 ), /Ѵ(|. 一 9).
10.121. .М(— 代 -1 0 ). Ѵ( ) Т . -10). 10.125. Л ф 'У *!. 3/4). Лソー1 " 3 . 3/4).
10.126. л-= ― 1.л* = I 10.127. x = 0. v = ― 1,x =1.10.128.ズ= 0,!/ = ―ズ+ 2.
10.129. л* = 0. // = .v -f- 2.10.130. y = ― x. y = x. 10.131.jc=1,// = 1.10.132. x — 士 《з.
// == 土 6 . 10.133. " = 土 f l . 10.134. x ― ― 3, y = 0. 10.135.ズ= 0 , y = ― 11.
10.137. x = 0, ズ+ " 土 2 = 0.10.144. Функция определена при всех х\ max / (.v)=
= / ( —1)=4, гпіп/(а*)= 1(1)— 0; M (0, 2) 一 точка пересечения с осью Оу,
L (—2, 0 )— точка пересечения с осью 0.ѵ, в тс....е Л,

піах/(a) = /( V 3 ) = 1^3/(6 - 4J 3). тіп_/(лг) « /( ) 3) ― ― 3/(6 + 4 13).
10.167. min/(x)= /(— *-1 2 /H -f 2| 2). max/( v)=/( | 2)= I 2/(4 - 2 V*2).
lirn l(x) = 0 ; а с и м п т о т а г/ = ü 10.169. Область о п р е д е л е н и я :( 00, 一 り,(—1,1).
X-*、
( 1 , - f o o );m in / (.v) 1(0) = 一 1 ; асм м итспы .v = 一 1 . v= I. I y 1 丨 Ü.17U. Область
определения: (— оо,― 1),( 一 1• ___ 十 __________ 《»」;ш ах ハa) __ : •、 /(—2) —, 一 4 . rnin f{x ) = /(0) = 0;
асимптоты: x = 一 l, у 一 1.10.171. Область определения: ( ― о с ,1),(1,+ оо);
асимптот и: Л. , У ニv +2; шах / (л) = f(I —j 2)^-3 2 | 2, шіп /(л) ニMl + I =
« 3 + 2 у 2 (см. рмс. 2 ) . 10.172. 厂 ра ф ик и р е д с іа и л я с т ги п е р б о л у, и п р е д см я см ую
уравнением У (л — 1)/(.ѵ - f I). асимптоты которой л•ニ 一 1,// ニ1 10.173. Ü6-
•іасть определения ( ― о о , 1 ) , ( 1 , 5), (5, + оо);асимптоты: л* = 1,.v = 5, y ― 1;
92
9 92
inaxf(x) = /|. ト I ä 3.2; шііі / (л) = f l
« ― 0,7. IÜ.174. Ф ункция
определена при .v ^ 0; возрастает; ^ксіпсмумов м асимптот нет. 10.175. Ф
11
II
ункции
определена в и р и м с ж у ік е ( — оо, 4) ; т а х Цх) = /(3,75) = 4,25; график вогнут
в н и з, пересекает ось Ои в т о ч ке ЛІ (0. 2 ) , ись Ох— в т о ч ке Af( ( 1 + ) 1 7 ) / 2 , 0 )
(см «wハ рис ч\ 3).10.176. in I7C Область . uiiptue.u.i…и: ..гч»пАЧ^...а... *—оо, 一 1) , ( 一 1,-f- оо);асимптоты:
д:= ― 1.i/ 1• ダ= = x. л*, піах/(дг)= f ix ) = Цf( - i » 4) 41= — i 4; m in/(.v) /(0) = 0 (см. рис. 4).
10.177. Возрастает в промежутке + « > ) ; экстремумов нет; асимнтота
230

" = л; начало координат ян. »я ете я точкой перегиба графика функции. 10.178. Функ-
/_j __ « 『
ции определена при всех .v; max f(x )-^ /( — 1/2) = 9/16. min / (.t) = f 、-------------し) =
= ― 1 , min / (Jf) = / ( ― ~ 1. график пересекает ось Ох в точках
с абсциссами х і =* — 2. .ѵз = — 1, хз = U, дч =» 1 (см. рис. 5).10.179. Г рафик пересекает
ось Ох в точках с абсциссами х і = 1 , ― 0. д:з 1,Хі =» 2; шах \( ѵ)—
: / ( 1( шах / (л)- ) = 1 , Пііп /(л)= /(1/2): 9/1(3
рнс. 6).10.180. Возрастает о промежутке (— оо, + оо); экстремумов нет; асим
тотл у = .v; начало координат является точкой перегиба графика функин
10.181. Область определения: ( 一 《» , 1),(1,+ сю); асимптоты: .г = I, у = х
Р и с.
max f (дс) = /(0) = 0. n û n f(x ) = f{ у 6) = } 6 . 10.182. Область определения:
о
( 一 0•• —4), (—4. 4), (4, -f оо);экстремумов нет; асимптоты .t = — 4, х - \.
2д\

у = 0 (см. рис. 7).10.183. Область определения: ( 一 оо, —3), (—3, 3 ) , 丨 3,+ос);
экстремумов нет; асимптоты:ズ*= 一 3, х = 3. // ■= 0.10.224. S = 60.10.225. b = 2а.
10.226. а/2. 10.227. 2 > Ь .10.228. Квадрат со стороной ) S . 10.229. Острые углы
л Я
треугольника а = 30。,ß = 60°. 10.230. 1,5. 10.231. max V(r) = 一 ^— (ß ― r)r2=
/ 2 \ 4 ―
= V j -д- R j = -T^jr л/1 H, где r—радиус цилиндра. 10.232. л/г(1 Ч- > 5 ) поверхности
шара. 10.233. Объем конуса равен удвоенному объему шара. 10.234.
2л
10.235. 10.236. 6,93 %.10.237. а* = ) иЧ2. 10.238. п/(п + 1).10.239. k a e -^.
4л
11
П.1#. 2 ^—4 ^ —4х+31пх+5/х. 11.3.—1/Х+ l/х3— \/хК 11.5. 2х\ Ғ/3—
— б ^ . 11.7. 8д: + 8дг r jf4 - 3 ^ > + 2 .r4 i/ 5 . 11.9. 2 1./1п2 + 4}.л. 11.11. r +
-f- cos x. 11.13. 4cos x 一 5ctg x. 11.15. 3 arctg a* — 7 arcsin .r. 11.17. .v +
+ .
11.19. x—arctg л*.11.20. .0/3—.r+aretpr.11.22. - 1sin(4 —
x +
— 5x). 1 1 .2 4 . O COS ДГ3 • 11.26. 2x -f 13. 11.28. In I 7 — 8x j •
- 7 丨 2. П -40. —• 猛 4sin4x 斤 " 42. — ;
3 x
1 1 .4 6 . — arcsin д: 十 -ß- \
Ѵ з
11.32.
3(jc + l)3 1 2(ズ+1)4 —
2 9
~ö~ (1 + 3cos х ү ! ^. И .36. * cosÄх / Ь . 11.38. —0—(jt3―
―IX4 一
ДГV 1 一 x* ( 9 ― 2х2). 11.58.
—;r2)3/2. 11.65.-
ДГcos 5.v -
X (21n6ぶ― I ) . 11.71. arctg4дг
11.30. 可 У (む + 9)3
i
- 5 > + !)• * 11-34-
~2siru.- sin3.v .11.44. (arcsin.v)*/2.
ДГ2 + 3! x
).11.48. — L L . arcsin
л:1.
11.60. — -LA- (25 一
v*
sin 5д:. 11.67. (ДГ+ 6 ) , . 11.69. - j —X
11.73. 一 -レ d w + i ) .
11.75. 2 (x— l)sin.>:— (jc — 1)2cosa:. * 11.76. (д:3+Ъг — 3) sin x + (2x •ト4) cos дт.
П.78. 2.rsin.r —(パー 2)cosat. 11.80. (3.v*~6) cos — 6.v) sin .v. 11.82. 2((3 ズー
cos 2л*
■6) cos у Д:+ (д: — 6) v x sin f лГ).11.84. (sin л*2—л*2 cos.v2)/2. 11.86.
.r sin 2x x1
П . 8 8 . x a rc c o s \ x/{x + 1 ) + ) ズー a r c t g f л*. 11.91.— x2X
X a r c c tg V x % — 1 + —2~ Уx 2 — 1 • 1 1 . 9 3 . el s in a —‘、 一 + (c o s x 一 s in x).
1 1 .9 4 . - у (д:2 + 1 ) ( a r c c t g ^ ) 2 + x a r c c tg д :- — ln (1 + д:2) . 11.96 • 了 a r c t g -
1 1 .9 8 .
т ғ ІП h r
11.100. • a r c tg
11.102. ~~"_^'ârctg^ 2(х 一 î、. 11.104. 一 рў 一 1
一 . 11.101.
•r+2 —2 \
x^ 2 + 2 y
х-һб
m arctß4 n
I テ
1 1 . 1 0 6 . 卞 г Х
232
• В о т в е т а х к з а д а ч а м 丨 1.1— 1 1 .2 6 8 о п ѵ щ е н а п р о и з в о л ь н а я п о с т о я н н а я С .

X In
2 (дс + 1) - ] И
2 ( х + 1) + M
2 I ТГ ж 2д:+ ! 1 Л^ 2 У
11.108. îT ~ g —Г Г Т . ° ' ү \ п \ х ^ +
む 一 71.H.U2. 4 ~ ln U » + 2x+5| + arctg X 卞 上 . U.114. \ п \ ( х - 2 ) Ь
+ I .パー 4 л:+ 5 し 11.116. ― ~ ― ln (ズ+ 1 ) + 1 x1-Ь 4* 11. 118. In i(r—
-3)
- , Х — 2 « 9 \ 2 (x — \)
パ ー 6дс|. 11. 120. arcsin-----ï 一 - . 11. 122. arcsin -J------ ^--------
11.124. ^ — I x2 + 4.Г + 13 + 了 ln 丨 X + 2 + f л:2 + “ + 13 I . 11.126.
■>Зх
X ln ---------+ I Г Л 2+ ズ+
2 (x+2) 1 I —3 (x + 2V
(Указание • Положить Л + 2 = ' " • 、
11.136. д :* /2 ~ .г^ 9 !п |д :4-4|. 11.138. v "2 — д: + 3 In | л■— 5 | . 丨 1.M 0. x "3 —
t t , 1 . 1 ズ+ I - ♦ Л3(2х-1) 一 •*
— x + 6arctg д : . 11.142. — !п | ---- =^---
arctg]2 一 一 Ц ----------
11.144. In - - j " 5- . 11.146. In j"|" -2 1 .11.148. 121n l.v
7 10r — I
- I l !n|x+2| — ^ 3 - - . 11.150. In| ズー2 卜 - が - . 11.152. - 2(7чГз)Т
y 一 2ズ+ 4 丨 H 4 .r • • , U+3)=
11.154. In 丨 =—:~ =— :~ г- 一 ------ =rarctp — =~ . II.156. тіь I In
M t x2 + 2.v + 1 I 7 I 3 M -^ Ѵ
丨 卞
- 2 ズー1\ ^ 1 , i (x-h DMv + 2)3 (v — 2)
+ 2 2 J 3 a r c t g ~ П. І 0 8 . - 3 - in J------------ (ズニ ” î 一 I . ".160.
ln ! (^^Гзўг^― I • " , 162. \ - ~тг~- " 164. cosxcos8
.t sin3 д: 2sins jc sin7 x л Зх sin2x
11.166. — ~ -g — .11.168. ---- 2---- — • 5 ― ノ 7 11.170. —g-— —^ — +
sin 4x “ 1 t . sins 2x s\n4x \ . • … 1 ( ^
+ ― 32- • " •け2. I F 卜 + — 1~ )• ,l174- ~ W ( 丁 —
sin Ax , sin 8jc sinb2x \ 〜 sin4 x sin6x sin8 л:
— ----S----- -- ----7Г-Л----— — Г77----. 1 I . I /6 . -------;----- — ----Z----. 11.1/8. -----Û 一
8 64 丨 0 ノ 4 6 о
10
184.
cos 2х cos Sx sin 2x sin 1бдг
11.180. -~ ^ ------- —jg— •11.182. -----4 - -г зо
Зд: cos x 2 / 1 Г) . x \
cos—г - 一 ----- 5 一 " • 1М 86. i gg" arct6 l, \ ― 2 一 )-
^ . rctg, J Ü l Æ ± 3 ) . 丨 . U .l92.> |3tg4-
П .198.
6
11.194
.,5/6 ズ2/3
― П . 197. - ^ - a r c t e f - ^ t g - v ) .
+ d /6 + l n | ï ï ■ 一 1 lj.
t1! Х + 1 У 2 \ 12
11 .200. In I て
)2 一
1 Л
11 .204. ЗІп I J '2 7 ^ 1 ― 1I — ЗІп ï 2x— l.
6 7 / й .v®— 2 —------
了 ズ" 6. 11.208. ~ ^ ~ い a+ l . 1
3r + 4 — :
11.202. 下 ln ....:
3ズ + 4 + 2
_3 一 , / 3—」 8—v5/6 + 3ト
11.212. 3arctg i x.
sh 2x
x sh 8д: .r
11 .213. -n— • 1 \ .215. ln (ch x). 11.217. 4th —j r .11.219. — j*g~—• -Q-
233

11.221. v
sh 2x
c tli 5л
(s—• 1■ • Л
.223. sh лг +
16—'
11.235. x ch x — sli x .
sh Ax
~ w ~
sh3 X
7 _
cli x cos .r). I I . 245 . —2c t h x — . • 丨 1.24/.
7 + 7)s
x. 11.241. 2 丨 xsh 丨 x — 2cU\
.225.
sh1Л-
.227.
sh:12 a-
sh3 2x
11.233. --,0— +
4« • " 一 … AS
sh 4 x
32
sin 4x
一 64
11 • 237 • x3 ch v — 3 (,r2 ‘、h x — 2x ch x + 2sh x) •
12
12.1.7. 12.2. 45 丨 2.3. ^2)/(1+УЗ). (Указание. Подстановка す2 + ぶ2 /.) 12.30. Зл/ѴЮ.
12.31.4 Ѵ2 л. Г2.32. 80 У 2 л. 12.33. 20/3. 12.34. 0.12.36. (1пЗ)/2. 12.37. 7/6.
|2.38. (sh22)/2. 12.39. ( 8 「2 — 7)ハ5. 12.40. 2(4 ) Ғ-5)/15. 12.41. (1/2)In 1Д
12.43. л 4. 12.44. я /12. I2.4Ö. л/2. 12.48. 2 — 5 In(5/3). 12.49. 35/8. 12.50. 5л/4.
12.51.2.12.52. 8 У~2/:1 12.53. 32/3. 12.54. 32/3. 12.55. 32/3. 12.56. 32/3. 12.57. 36.
12.58. 32 3.12.59.125 6.12.60. 1/6. 12.61. 9/2. 12.62. 9/2. 12.64. л/3, 12.65. 40+18 In 3.
12.67. 1,5 — In 2. 12.68. л - 4/3. 12.69. 3/4. 12.70. 32/15. 12.71. 64/3 — 4л. 12.72.
12.73. 176/15. 12.75. 11/30. 12.77. Зл/2. 12.78. 12л. 12.79. 9. 12.80. 4.12.81. лаЬ.
12.82. За2л/8. 12.84. Зад. 12.85. а \ 12.87. Зд. 12.88. 4,5л. 12.89. За2я/2. 12.90. а2л/4.
12.91. 2 I Т. 12.92. (ІпЗ)/2. 12.93. (7,5 + In 4)/2. 12.94. л 2/4. 12.95. (d H 1)/2.
12.96. 2-1. 12.97. бл. 12.98. 32л. 12.99. 4л/15. 12.100. {е^ - е-2 4)/ \.
12.101. 8лс23/3. 12.102. 4ла^2 3.12.103. л. I2J04. 4л/15. 12.105. З2^л/І05.
12.106. 19,2л. 12.107. 6л3а3. 12.108. я(У*5 - у Т ) + л 1п(2(У*2 + 1)/(У5 + I)).
(Д Knjüwm». Подстановка cos .v = > sh Г.) 12.109. л (t*— 1)(^2+ e -f4 )/3 . 12.110. 6-1 л и 】>.
12.111. 12ぬ3л/5. 12.112. 16д2аг. 12.113. 12û2Jt/5. 12.114. « J.9 кг. 12.115. 5 П 3に
12.116. 1000/(10 + О2- 12.117. NQe->,t. 12.118. 0.0031. 12.119. 20-b 80(1/2)*/*°.
12.121. 40 мнн. 12.122. !0 мии. 12.123. 24 мин. 12.124. 200 дней. 12.125. 1575 лет.
12.12R. 5(2-f 17,07 мин. 12.127. с1п(Л1ѵті).
1 3
ІЗ.І.15. 13.2. 1/6. 13.3. 1/3. W.4. !/4. 13.5. 1/105. 13.6. 1/СЗО. 13.7. Сходится.
13.Л. Сходится. 13.9. Расходится. 13.10. Сходится. 13.11 .Сходится. 13.12. Сходится.
13.13. Сходится 13.14. С хо д и тся. 丨 3.15. Сходится. 13.16. С хо д и тся. 丨 3.17. л2 8.
234

13.19. 2/13. 13.20. W(ü2 + W). 13.21.1.13.23. 1/2. 13.25. I. 13.26. (In У)/4. 13.27. л/4
13.28. л^З. 13.29. л. 13.31. Расходится, 13.32. Расходится. 13.33. Сходится («Vwэй
нис. Подстановка а* == sin / . ) 丨 3.34. Сходится 丨 3.35. Схидятся. 丨 3.36. Сходится
!3.37. Расходится. 13.38. Расходится. 13.39. Сходится. 13.40. Сходится. 13.41. Сходится.
13.42. Сходится. 13.43. а < 1.13.44. а 7> 0. 13.45. а > 0 , р > ()•
13.46. а 1.13.48. Расходится при любом а. 13.49. 4.13.50. 3 2.
13.51. ѴЗ/2. 13.52. я. 13.53. я. 13.54. 1/іп 2.13.55. 2 У 2/5. 13.57. л/2. (Указание.
Подстановка 1 — х = t2.) 13.58. л/2. 13.59.— 1.13.60.1
1 4
14.1. /, = 0,32962, /2= 0.33202, / =13.14.2.1)0.83502; 2) 0.74766; 3) 0,68976;
4) 0,64719; 5) Ü.61392. 6) 0.5Ö684. 14.3.1)0,47280; 2) 0,20527; .5) Ü.18187; \) 0,13872;
5) 0,11309. 14.4.1)0,00521;2) 0,00783; 3) 0,01045; 4) 0,01307; 5) 0,01568;
0) 0,01830; 7) 0.02109; 8) 0.02409; 9) 0,02709;10} 0.03008;11)0.03307;12) 0.03(507;
13) 0,03906;14) 0,04206; 15) 0,04506;16) 0.04806. 14.5. 3 14.6. 3.14.7. 3. 14.8. 5.
14.9. 2.14.10.13.14.11.10.14.12. 4. 14.13. 26. 14.14. 23.14.15. 49. 14.16. 12.
14.17. 2,682. 14.18. 1.414. 14.19. 0,916. 14.20. 0,693. 14.21. —0,161. 14.22. 2,320.
14.23. 0,636. 14.24. 0,882. 14.25. 0,876. 14.26.1)0.6931;2) 0,5493;3) 0.4621; 4) 0.4024;
5) 0,3584 : 6) 0.3248; 7) 0,2970: 8) 0.2747; 9) 0,2568;10) 0,2411. 14.27.1)0,67363;
2) 0,53098; 3) 0,44628; 4) 0,38890; 5) 0.34699; 6) 0.31483; 7) 0,28926; 8) 0,25310.
14.28.1)0,012518; 2) 0,012516; 3) 0,012504; 4) 0.012467; 5) 0,012381;6) 0,012210;
7) 0.011920; 8) 0,011480; 9) 0,010883;10) 0,010174;11)0,009532;12) 0,009094;
13) 0,009550;1 4) 0 ,0 1 1 4 9 9 ;1 5 ) 0 .0 1 6 7 8 6 . 14.29. I ) 0 ,0 0 9 9 6 7 ; 2 ) 0 .7 8 5 3 9 8 ; 3 ) 0 ,2 3 1 8 2 4 ;
4) 0,107250; 5) 0,061245; 6) 0.039479; 7) 0,027525; 8) 0.020270; 9) 0.015544;
10) 0,012295. 14.30. 0,39266. 14.31. 0,835653. 14.32. 5,052639. 14.33. 2,09-15%.
14.34. 0,670873. 14.35. 0.746825. 14.36. 2,4219. 14.40. 2пх = 4. 2п2 = 6. 2tu = 1 0 .
14.41. 2пі = 4, 2ftz = 6, 2мз = 8.14.42. 2лі =• 4, 2чг = 6, 2пз = 8. 14.43. 2лt = G,
2п2 =10, 2пз =18. 14.44. 2nt = G, 2пг =12, = 20. 14.45. 2nt = 2, 2п2 = 4.
2м з = 6 . 14.46. і ,0 0 0 0 0 1 . 1 4 .4 7 . 4 ,6 7 0 7 8 . 14.48. 1,414214. 1 4 .4 9 . 0 ,9 1 0 4 0 2 . 1 4 .5 0 . 2 ,6 8 2 3 .
14.51. 0,89670.
1 5
■ 4 —2 4 ' —2 — 2 6'
3 —9 -6
15.1. А + В = , А— 丨 5.2.
II 3 —3 . 3 —13 15.
-13
•12
-9 \6
15.4.
15.5. I) 15. 1)
一 18
-18 27
1! 15^
15.7. ш - 3• 1= 5. 15.8. л ニ 3. / 4 . 丨 5.9. "п ニk. 15.10.1)Ла; 2) нет;
3) да. 15.11 1)Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) нет; 8) мет; 9) да;
一 2 4 一 5 —
8 6
10) нет. 15.13. AB
ВА -13 6
15.15. 49.15.16. ВА
-20 0
не существует. 15.17. 1— 11
15.19. —9 一 10 15.20. —4 4 ' 15.21. ' 1 15.23. —22 10
- 1 3 — 14 —4 4 1
— 15 0
18 -11 -24
I о
11 一 22 29'
15.34. 14 -11 -48 15.35. 3 10 15.36. 9 一 27 32
-6 6 33
13 - 1 7 26
15.39. 9.15.40. -6.15.41. 0.15.42. 4.15.43. 12. 15.44. -18. 15.45. x 2.15.46. л、
一 2, x* = 2.15.47. Лі Ü, .v:= ― 3, хл ― 3.15.48. = 0, x2 = 2.15.49. 4
15.50. 一 5.15.51.18. 15 52. 5.15.53. 20. 15.54. 一 2 2 . 15.55. 6.15.56. 一 9.15.58. 0.
(оказание. Из п е р в о г о и второго столбцов в ы ч е с т ь третий ) 15.59. —396. 1 5.60. 4M.
444. 15.62. ■ 45J. 15.63. 168.15.64. .Vj =1,д'2 = 2, дгз = 一 3.15.65. .Vj = ~■4 ,
235

л* = I. Хз = 4. 15.66. Xi = 3, Хг =■ 一 V 2. Xi ― У 2.15.67.ズi = 一 3 ,た:― 2,
л s -- 3.15.68. Xj = л > , ズ2.3 = ― 1 士 1 5 .6 9 . д:1= - 1 , л.2.3 « U 土 V 1 0 9 ) 2.
15.70.15.15.71. — 18. 1 5 . 7 2 .12. 15.73. 一 6. 15.74. 4 8 1 5 .7 5 . 0 . 1 5 . 7 6 . Д а . 1 5 .7 7 . Н е т
15.78. Нет. 15.79. Да. 15.80. Нет. 15.81. Нет. 15.82. Да. 15.83. а ф 15.84. и ф 2
: 2
15.85. сх 妾 士 6. 15.86. •ょ 关 ± 4 15.87. а ¥ = 1.1 5.88. аФО, а Ф \.15.90.
5/2
3 - -2 1
sin а cos а
15.91.
15.92.
— Ч
へ • 15.93.
• - 3 / 2 2 J —4 з J
— c o s а s in а
0 —2 I " 1 一 1 1 '
• — 8 2 9 — ! І
15.94. 一 1 5 —2 .15.98. ― 3-S 41 —34 .15.99. —5 18 一 7
•5 — 3 し 27 —29 24
1 —3 !
15.103. '3 15.104. 2.15.105. 2.15.110. 2 .1 5 .1 1 1 .2 . 丨 5.112. 2 . 丨 5.114."
リ;•: (2、- ! ) . 16.2. ( 一 3. 2).16.3. (I. -3). 16.4. (5, 一 4).16.5. (4, - 2 ) .
Іб.Гѵ (1/2. 一 1 3) 16.7. ). Ф 1 16.8. >.Ф ― 2. К Ф 2. 16.9. л ф 0. キ Ф 3.
16.J0. ( 一 2/5、i 5, 3/5). 16.11. (— 1/4, 3/4, 3/4). 16.12. ( 1 . - 1 , 2 ) . 1 6 . 1 3 . ( I . 2 . - 1 )
16.14. (2. I . 一 り. 丨 6.15.( 1 . - 2 . 1 ) . 丨 (i.16. (2. I , - 1 ) . 16.17. ( j. - I . 2)
(3, 2. - !) . Ki.IO. (—2.1.3). 1Г>.20. (-0 .2 . -4 .5 ; 5.7). 10.21. (8/7. - 1 ;7, - 3 7).
ӀЬ 22.(1 土 - l/l. 3/4.1).16.23.(1,1/2. 一 1,1/2). 16.24. (2,― l . 1.-2). 10.25. (2 15.
-9/15. 17/120. 159/120). 16.26.(1.2, 一 1).16.27. (3, 2, Г). 16.28. (1/2. ! 'X - 1 1 、.
1Г.29. (-1.—1 . 一 1).16.30. Xi = (ІОдг.і + 16)^7. х2 =(8лз-Ь З )/7, где .гл может принимать
любые действительные значения. 16.31. (12. 1/4, —1/2). 16.32.(1,3, 0. —2
16.33. (!. 2.—1.3) 16.34. (I, I , 1.I ) . 16.35. (1/2. 1/3, -1 /2 . 1/4). 16.36. .ѵ, = ( 5 /2 ) -
- (J/4).v;, .v:= (5/2) — (3/4)ач. д:з = ― 4 4-(5/2)л*4, где х;— любое. 1^.37. лі =
(2 + (5/3)д:і —2ズ1,где дгз. Хі — лю бы е.16.38. (0, 0, П. 0).
! Н.39. .г» = f29/24).г 4. .ѵ= = — (7 Г>).ѵ:. д:з = — (23/24)Хі, где лг. — любое. 16.40. Сиг
т ім а 1641. П. 2. — 3. 4 ) . 1Г,.42. (1 9 /2 0 . -1 /8 .1 20. -2і 10. 9 40)
16.43. (23/25. 2/25, 29/25. —23 5. -2 1 /5 ) 16.44. (0. - 3 , 0, 3, 0, 一 2) 16.45. (3/8.
+ 1 8. 4 -î/l.— 1/2. 一 1/2. 0 ) . 1 6 . 4 6 . С и с т е м а и м е е т р е ш е н и е п р и л ю б о м а : л * і -5,2 丄
-f«M . v2 = 5 — а 2. .v;i - —(а + 2)/4.16.48. Система имеет решение при любом сг
•г,= (9« — 111)/2. = (99 — 7 (і)'4. х3 = (а 一 9)/4.16.49. Система несовместна
при а = 一 2. Если а - I . то Хі=6 — — хя, где ズ2,v3 — лю бы е.1ß.52. Система
ыссовместна прн а ф 4 Еслн а = 4,то а*і = — 3 — 2a*: 一 дг;, Хц — 4 — где v:,
.v. — л ю б ы е .16.53. Если а = 8. то х2 = 2а*і 一 2лч + 4, д:з = 3 — 2лч. где ズし x t -
люпые Еслн tz ф 8, то Х\ — 0. л.2 = 4 — 2х\. х3 = 3 — 2д:4, где 一 любое.
ІЬ.54. Если а Ф 8. то ал = ~ 1 ..ѵ;= 0, .rt = 2 — 1,5.^, где Xz - - любое. Если а =- 8,
то д:з = — I. Х\ == 2 — 1.5л*:+ Хі%где лч — любые. 16.55. Система несовместна
при іі Ф 0 Пели а — 0. то л、= — (охз + ІЗдч + 3)/2, хг = ― ( 7 ゎ + \9х>%+ 7)/2,
где л*і.х\ -- любые.1G.56. Ғ.слн и Ф 1,то л:і = — 1/3, л*2 = 2/3, xs = (4а -Ь 2) 15,
л - (7 — а)/15. Если а = 1 . то д:! =» 1— — 5дг;. Хз = х^, где Хг н д:; 一 любые.
I И.вО. Л| =1.3, Хг — 1,2, Хз = 1.1. 16.61. а*і=1.5, Хг = 一 1,4, Хз = 一 I/o.
1G.62. xi ―2 ,1 , Xz = 2,2. Xz ~ 2.3. 1 6 . 6 3 . ズi = — 1.1, Xz = 1 . 2 , Xz = 1 .3 .1 6.fi4. л'і --
-1.443. .v2 = 一 О.8.П. л - - — 0.314. 16.65. л:, = 1.543, x2 = 一 0.749. = - 0.480.
16.66. Xt =1.1, Xz ~ 1,2, .v» = 1,3, Xi =1,4. 1 6.6 7. X\ = 1.5. хг= 1,4, Хг= - 1.3.
л . ニ 1,2. 1 6 .6 8 . л і = 一 1.526, xz = 0 .6 3 6 , хз« 0 .2 2 7 . д ;= 0 ,8 2 1.
1 7
17.1.1 17.2.1.17.3..1 17.4.1 17.5. 2.17.6. 2.17.7. Уравнение имеет бесконеч.
іыо множество корней. 17.8. Уравнение имеет бесконечное множество корней
17.9. Действительных корней уравнение не имеет. 17.10. Действительных корней
уравнение нс имеет. 17.11.Действительных корней уравнение не имеет. 17.12.1.
17.П . Отрицательных корнем нет, положительные корни принадлежат ннтер-
236
♦ Решение = и. xz = b будем кратко записывать так. (я. Ь)

в а л у (0 ,1 2 5 ; 3 ,5 ) . 17.14. (4 — 2 )3 , 3 ) . ( — 1 ― | 2, — 0 ,4 ) . 1 7 .1 5 . (0 ,2 5 ; 6 ) , о т р и ц а ­
т е л ь н ы х к о р н е м н е т. 17.18. (G/lI, 7), о т р и ц а т е л ь н ы х к о р н е й н е т . 1 7 .1 9 . (0 ,2 5 ; 0 ,5 ).
17.20. (• Ц. (f).1».( 丄 :i) 17.21. (-5. -4 ).「 іО.Г).1).17.22. i —1.il).
17.23. (-1.0), (0.1).(2, 3).17.24. (0,1)17.25. (I. 2).17.26. ( 一 4, 一 3}. ( 一 2• —1),
•1.2).17.27. ( — 1,5; -0 .5 ). 17.28. ( 一 2. ― " • ( 一 !,0). (!. 2).17.29.(1.2).
1 7 .3 0 . (0.1).17.31. (0 ,1 ),(1 ,2 ).1 7 .3 2 . (2. 3), (4, 5).17.33. (3 , 4). (5 ,6 ) .
17.34. (-2, - 1 ) . 00; 2 .0 6 2 3 17.53. - 1 . 3 0 2 6 4 . 17 5 4 . 1 ,0 0 1 6 1 7 .5 5 . ! . І 4 ! 9 9 7 .
І7 .5 (і. - 0 , 0 5 8 7 0 ; 0 .8 8 1 2 0 . 17.57, -1 .0 5 - 1 2 « І7 .5 8 . -1 .U 9 G 3 ; 0 .8 G 7 I. 17.5 9. I.8 9 G 6 7 .
17.60. М2160. 17.61. 1.32784. 17.62. 0,27Г>98 (м.ньшпй корень). 17.63. 0.КШ55;
1.29560 17.64. 1,13685. 17.65. 0.53728. 17.60. 1,31602. 17М7. 0.20164. 17.68. 2,57532.
ІТ.Ь Я . 1.1.І826. 1 7.70. 0 .2 1 3 3 1 . 1 7.71. 5 .0 3 1 4 9 . 17.72. 1 .0 8 ^ 8 2 . 1 7 .7 3 . 0 .8 8 6 8 2 .
1 7 .7 4 . 0 .2 9 8 0 9 . 17.7 5. 0.9 3 93 8 . 1 7 .7 6 . 1 J 3 U > 17.77. -0 .G 7 3 5 9 3 . 17.7 8. 一 0 .1 5 1 6 0 6 ;
К390'лг 1.854638. 17.79.0,682328. 17.80. I . J1I12.17.S !.- 1 .6 7 1699. 17.82. -1.324718.
»7.83. 1.391769. 17.84. 0.835122. 17.85. 0.91Gfc75. 17.86. -1 ,3 Я 282. 17.87. 1.269842.
17.88. —1.456957. 17.89. -1.504810; 2,947520. 17.90.-1.81187; 1.14558. 17.91. 1.365326.
!7.9:î. î i 60971. 17.93. -1.023756 17.94. 0210. 17.95. 0,652704. 17.96. 0,458576.
І7 Л П . :•. •、 — 17.””. 1 . . 1 7 . 1 0 0 . 0 . І Ш 0 Ч 1 7 .1 0 1 . - 0 .5 1 0 ^ 2 1 .
1 7 .1 0 2 . 0.(399699. 1 7 .1 0 3 . - I. 0 8 4 5 3 G . 1 7 .1 0 4 . - ! , 0 7 3 3 o 5 . 17.1 0 5 . 0 ,7 5 35 7 4 .
! 7.10Г,. 0,882187. 17.107. 0.738 丨 01.17.108. 0.000933;1.040280; 6,233315.
17. ! 0 9 . ~ 1.3 4 7296. - 2 .5 3 2 0 8 9 . 1 7 .1 1 0 . ! .8 2 6 65 1 . 1 7 . 1 1 1 .- 1 ,8 3 2 4 1 2 . 1 7 .1 1 2 . - 1 ,9 3 1 8 5 2 ;
П.СА7Ш. 17.113. 0.4G79I1. 17.114. 0 .51 1;Ш 17.115. 1.Ю081.17.11 G. 0.43833.
17.1 1 7 . 0 .7 6 0 1 3 3 . 1 7 .1 1 8 . - 2 .9 0 0 5 7 . 1 7 .1 1 9 . 0 .3 2 2 1 8 3 . 1 7 .1 2 0 . 3 ,1 0 3 8 0 3 . 1 7 .1 2 1 . 0 ,6 1 2 8 8 8 .
17.122. — 1.:Л(ЮІ9. 17.123.—0,671770. IT.124.-1.224763; 0.7229G4 17.125• — 丨 .680494.
1.368018. 17.127. 1.14232-1. 17.128. 0,7%5-14. 17.129. -0,973670.
I7 .1 :iü . 1.0 1 18 3 0 17.1 31. - 1 .1 0 9 3 2 9 . 1 7 . 1 3 2 . - l . ( V o 7 8 7 . 1 7 .13 3 . 0 ,4 9 9 0 3 8 ; - 1 . 2 7 7 8 9 7 .
1 7 .1 3 4 . 1 .601590. 1 7.1 3 5 . 1.532089. 1 7 .1 3 6 . 1,8 5 4 638. 17.1Л 7. 1,083947. 1 7 .1 3 8 . 2 .7 6 9 2 9 2 .
17.1:

П Р И Л О Ж Е Н И Я
1. Графики некоторых функций

у-агсііл/

2. Н екоторы е линии
!6 Ълк Э«М 241

Стрифолла
= ü (1 zfc sin
(!/: = (X — u)-x,/[2a 一 v))
Декартов лист
Ң- r/3— 3axtj «= 0
(X = За//(1 + /3). y = 3fl/2(l + t 3))
Кокхоида
in Ц* 土 /: a 一 / < с;б 一 / = с; в — / >
Кривая вероятіюстѵіі
и = Р—Л2
Всрсьера («Локон Аньези»)
У - û3/(x2+ û=)

Трсхлепестковая роза
р s= a sin Зф
Чотырсхлепестковая роза
f» = a sin 2ф
Спираль .\рхлмедгі
Логарифмическая спираль
о ~ “ 识
Гннсрболическая спираль
243

Р Е К О М Е Н Д У Е М А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Батунер Л. М.. Гіозин М. Е. ЛАптсматнческне методы в химическом технике—
Л.: Химия, 1971.—824 с.
'2. ljt/гров С. Я.. Никольский C. Af. Дифференциальное и интегральное »ісчисленпс.
一 М .: 丨 丨 лука, 1984.—431 с.
3. Бчгров С. И . Никольский С ЛІ. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменною. 一 М. Наука, 1985.—4G4 с.
4. Бугров С. Я;Никольский С. ЛІ. Зпдачннк.— М.: Наука. 1984.— 190 с.
5. Бугров С. Я., UuKoutCKuù С. М Элементы линейном алгебры и пналптнческой
геометрии.— ДА.: Наука* 1984.— 190 с.
6. Вентце ль Е. С., Овчаров J . А. Теория вероятностей: Задачи и упражпенияМ.:
Высш. шк .1973•—3f>G с.
7. Г у с as Л. Л Высшая м.ітематика. В 2 т.— Мн.: Изд-во Университетское,
1983— 1984. — Т. 1 — 1983.—462 с.; Т. 2.— 1984.-383 с.
8. Ильин В. А.. Позкнк Э . 厂 . Линейная алгебра. 一 М.: Наука, 1978. 一 304 с.
0. Ильин В. А.. Поэ.чяк Э . 厂 . Основы математического анализа: В 2 ч —
М.: Наука. 1971— 1980.— Ч . 1.-1971.-600 с.; Ч. 2 .-1 9 8 0 .-4 4 8 с.
10. Кудрявцев J 1 .Д. Кѵрс математического анализа: В 2 т. 一 М.: Высш. ш к ,
1981.— Г .1. 一 588 с.; Т. 2.-424 с.
11. Кудрявцев Л. Д . К пт асов Л. Д., Чехлов В. //., Шабунин М. //• Сборник
задач по математическому анализу. 一 М .: 丨 Іаука, 1984.—592 с.
12. Матвеев // М. Мстили іштстрнровпнни обыкнопсшіых дпфференциольных
уравнений. 一 Ми.: Выш шк., 1974•—7(38 с.
13. Матвеев //• Af Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным
урпвт н.іям.— *Мц. Выш. шк.: 1987.—319 с.
14. Смирнов М .Н. Задачи по уравнениям математической физики.— ЛѴ: Н;іѵк
а ,1975.—128 с.

О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие ........................................................................................
I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМСГРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1 . Координаты на прямой и на плоскости. Простейшие »адами
:і Координаты на прямой ..................................
І.2.
1.3.
Координаты на плоскости..................................
Расстояние между двумя точками нп плпскосги
1.4. Деление отрезка в данном отношении • . .
! ■*> Площадь треугольника........................................
1.6. Уравнение линии в декартовых координатах .
1.7. Уравнение лннни в полярных координатах
1.8. Паоамстрнческне уравнения :шнин .
3
5
5
5
S
.
10
0
^
4
6
8
0
1
1
1
1
2
. Алгебраические линии первого и второго порядка
2.1. Прямая лнния ка п л о с к о с т и ...........................
2.2. О кр уж н о сть.............................................................
2.3. Эллипс ...................................................................
2.4. Г н п е р б о л а .............................................................
2.5. Парабола ......................................... .
2.6. Упрощение уравнения второй степени, не содерж
изволением ко о р д и н а т .........................................
Упрощение общего уравнения второй степени .
іцего члена с про
II. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГГіБРЫ И АН ДЛ НТИЧҒСКОП ГГОМЕТІМШ В ПРО
СТРДНСТВЕ
Вектори&я ajreGpa
2 2
2 7
2 9
3 3
0 ь
3 9
4 1
о
3.1. Векторы .........................................
3.2. Гкгі.іяриос ирпизвсдсиие всктирг)» .
3.3. Векторное произведение векторов •
.14. Смешпмние произведение векторов
Плоскость и прямая в п р о с т р а н с т в е ......................................................
•М. Уравнснш* плоскости, проход я июП через данную точку н имеюше»
д:іііныГі нормальный вектор. Общее урапненис плоскости. Уравнен»
плоскости в отрезках ..........................................................................
4.2 Угол между двумя плоскостям ü. Условия пзраллолыюсти и периен
дик\лярнистк двух плоскостей.................................. . . .
4.3- Р .1ССТОЙНИС о т т о ч к и д о п л о с к о с т и ........................................................................
4.4 Пар;іметрвческнс уравнения прямой Канонические уравнении пря
мой. Уравнение прямоЛ. проходящей через две точки
\ *> Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки примой. Крат
«uHiucc расстояние между двумя п р я м ы м и ..................................
■\Х). Прямая как линия перссочсмия двух п.юскгвтей Пучок плоскостей
245

Взаимное расположение двух прямых в пространстве . 69
4 7. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой
и плоскости.....................................................................................................
5. Поверхности в п р о с тр а н стве ...........................................................................74
5 I Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.........7-Î
5.J. Поверхности второго поряд ка....................................................................7Г>
III. ВВЕДЕНИЕ В ЛНАЛ И З.............................................. • • • • 83
6. Ф ум кііи я .................................................................................................................... 83
6.1. Понятие функции. Область определения ..................................83
G.2. График ф у н к ц и и ...................................................... . 85
7.1. Предел последовательности . . .
7.2. Предел ф у н к ц и и ..................................
7.3. Некоторые важные пределы . . .
7.4. Разные примеры нахождения пределов
7.5. Бесконечно малая функция .
8. Непрерывность функции. Точки разрыва
8.1. Непрерывные функции .
8.2. Точки разрыва функции
8.3. Гшіспболнчсскне функции
IV. ДНФФГРҒНЦНЛЛЬНОЕ ИСЧИСЛҒ.ІІИЕ ФУНКЦИИ ОДНОП ПЕРЕМЕННОЙ
88
92
いh
00
О
О
,-
О
1)
1;
Ю8
9. Производная и дифференциал.......................................................................... 108
9.1. Производные степенных, тригонометрических и гиперболических
ф у н кц и и .............................................................................................. ............
9.2. Пронзводнзя функции от ф у н к ц и и ..................................' . . .
9.3. ГІронзводные показательных и логарифмических функций .
9.4. Производные обратных трнгонометричсских функции .
9.5. Производные неявных функций и функций, злдпииых ипрамітрически.
Производная функани у иѵ ......................................................
9.G. Производные высших п о р я д к о в .............................................................
9.7. Дифференциал ф у н к ц и и ..........................................................................
VSU
り
1 バ
.
г ,>
-
•
п .
10. Приложения производной..................................................................................121
10.1. Правило Лопиталя 一 Б е р н у л л и .............................................................
10.2. Касательная іі н о р м а л ь к плоской кривой. Крииизна кривой .
10.3. Возрзстлннс и убыплнис функции. Экстрем) м функции. Наибольшее
и наименьшее значения ф у н к ц н к ................................................
10.4. Направления вогнутости кривой. Точки перегиба. Асимптоты
кривой ..............................................................................................................
10.5. Исследование функции и построение их графиков . • • •
10.G. Приложение теории экстремумов к решению з н л л ч ...........................
V. ІІІІТЕГРЛЛЬМОІ ИСЧ ИСЛҒ.НИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОП ПЕРЕМЕННОП # 140
11. Неопределенный интеграл..................................................................................140
11.1. Непосредственное и н те гр и р о в а н и е ...................................................... 140
11.2. Метод п о д с т а н о в к и ................................................................................. 142
9 1
-
2 3
2 о
3
о
3 с
.>- 3
||

11.3.1 Інтегрирование но ч а с т я м ......................................................
11.4. Іінтегрироваіп^* некоторых функиии, си.цржлшич квпдр;
трехчлен ..........................................................................................
11.5. Интегрирование рациональных функций...................................
11.6. Интегрирование тригонометрических выраженни •
11.7 Пнтсгриривамис некоторых иррациональных ф> мкинн
11.8 Интегрирование гиперболических ф у и к ц и іі...........................
12. Определенный интеграл и его приложения
12.1. Вычисление определенного и н т е г р а л а ...................................
12.2. Площадь плоской криволинейной ф и г у р ы ............................
12.3. Объс.м тела врашення. Длина дуги кривой. ГІлошпдь поверх
н р а ш е п н я ..........................................................................................
12.4. Некоторые физические и химические задпчм............................
13. ІІесобсгвешіыс интеграл
и4
5
и 6
J4
ь
1 1 1
0
и -
г
4
*
и5
5
-г
и5
7
15
1 1
|>6
6
и 4
i 7
l
6
и
30
9
л .
13.1. Интегралы с бесконечными пределами
13.2. I Інтсгрзли от неограниченных функиии
9
1
3
14. Приближенное вычисление интегралов
1*1.1. Формула трапсини
14.2. Формула парабол
VI. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ЛИНЕПНЫЕ СИСТЕМЫ. ПРИ5ЛИЖГ
РЕШЕНИЕ УРЛВНЕНИП ...............................................
15. Матрицы и определители...................................................
15.1. М;ітрииы и действия нал иимн .
15.2 Определители и их свойства . . . .
15.3. Обратная матрица. Ранг матрицы
16. Системы линейных алгебраических уравнений
16.1. Решение систем уравнений с іюмошью о п і и т ‘тс*лсй
1G.2. Метод Гаусса. Простейшая схема
1G.3. Д\стод Гаусса. Схема с выбором гл.ізного элсусні
17. Приближенное решение уравнений .............................
5
1
.2
/І
.-1
.5U
(-)гдслсііио корней уравнения .
Метод х о р д ............................
Метод касательных . . .
К0
2()
20
2!
2|м
1;|
7
7
1
Î
8
V
I
—
{)■ ;>

Учебное издание
Гусак Алексей Адамович
ЗАДАЧИ И УП РАЖ НЕНИЯ
ПО ВЫСШ ЕЙ М АТЕМ АТИКЕ
В двух частях
Часть 1
Заведующий редакцией Е. В . С укач
Редактор М . С. М о л ч а н о в а
Младший редактор В. М . Куш илевич
Х удожник переплета
и художественный редактор
Ю . С. Сергачев
Технический редактор М . Н . К исл яко ва
Корректор В. П. Ш кредова
И Б № 2519
Сдано в набор 5.01.88. Подписано в печать 30.09.88. Формат 60Х90/іб-
Бумага тип. № 1 . Гарнитура литературная. Высокая печать. Уел. печл.
15,5. Уел. кр.-отт. 15,5. Уч.-изд. л. 19,09. Тираж 14 ООО экз. Зак. 712.
Цена 95 к.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета БССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 220048, Минск,
проспект М а ш ерова,11.
Типография им. Франциска Скорииы издательства «Наука и техника».
220600. М инск, Ленинский пр., 68. Зак. 2026.
С набора ордена Трудового Красного Знамени типографии издательства
Ц Қ КП Белоруссии. 220041, Минск, Ленинский проспект, 79.