biopolitica - MECCANICISMO - Liceo Scientifico Statale "E. Fermi ...

Quindi costruì una funzione del tempo, data dall’integrale della funzione di distribuzione
f moltiplicata per il suo logaritmo log f, nota oggi con il nome di
funzione H, ma inizialmente chiamata E. Fece vedere come, se si annulla la
derivata temporale di f, ovvero se il sistema si trova in uno stato di equilibrio,
questo implica l’annullarsi anche della derivata di H. Mostrò poi che dH
dt
non
può mai essere positiva e dunque H può solo diminuire nel tempo, assestandosi
infine su di un certo valore costante, essendo limitata inferiormente. Con questa
dimostrazione Boltzmann intendeva aver provato che un sistema, qualora non vi
si trovi già, tende a raggiungere lo stato di equilibrio, per il quale la funzione H
assume valore minimo. Inoltre aveva trovato che questo processo è irreversibile,
dato che qualsiasi allontanamento dallo stato finale comporterebbe un’inversione
del segno di dH
dt .
La condizione necessaria affinché dH
dt
si annulli è infine proprio la condizione
sufficiente precedentemente trovata per l’equilibrio e che conduce univocamente
alla distribuzione di Maxwell, la quale quindi, discendendo direttamente da una
condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio stesso, è perciò unica.
Aggiuntivamente, Boltzmann dimostrò che quando dH
dt
= 0 e la distribuzione è
quella di Maxwell, allora le leggi di Boyle, di Charles e di Avogadro sono tutte
verificate se la temperatura è uguale all’energia media di traslazione di una molecola
[7]. Derivò poi un importante teorema sulla funzione H: quando questa
ha raggiunto il suo valore minimo o di equilibrio H min , può differire dal negativo
dell’entropia del gas soltanto per una costante aggiuntiva arbitraria. Questo
implica che la variazione di H min lungo una traiettoria reversibile è uguale alla
variazione dell’entropia, a meno del segno: di qui segue, almeno per i processi
reversibili, la Seconda Legge della Termodinamica [8].
È opportuno a questo punto specificare meglio la definizione ed il significato
fisico della funzione di distribuzione delle velocità.
Boltzmann chiede ai suoi lettori di prendere in considerazione un recipiente pieno
di un gas che consiste di molecole sferiche identiche e perfettamente elastiche.
Introduce quindi una funzione f delle tre componenti del vettore velocità, u, v,
w, e del tempo t, tale che f(u, v, w, t)dudvdw sia il numero di molecole per unità
di volume che, al momento t, hanno le componenti della velocità comprese tra
u e u + du, v e v + dv, w e w + dw. Questa funzione specifica la distribuzione
delle velocità delle molecole nel recipiente ad ogni istante e la sua evoluzione è
dovuta agli scambi di quantità di moto conseguenti agli urti. Supponendo quindi
di conoscere f ad un dato momento, sarà possibile studiare la sua evoluzione
“classificando” e “contando” le collisioni a cui vanno incontro le particelle del
gas. La prima quantità da calcolare è perciò il numero di collisioni dν che avvengono
in una unità di volume, durante un certo intervallo di tempo dt, tra due
qualsiasi molecole che si trovavano inizialmente in due dati elementi di volume
dello spazio delle velocità – d 3 w 1 e d 3 w 2 – e che in seguito all’urto si andranno
a trovare in altri due determinati volumetti d 3 w 1 ′ e d 3 w 2 ′ [8].
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