Propriet`a Ottiche Di Cristalli Fotonici Tridimensionali Infiltrati Con ...

Proprietà Ottiche Di Cristalli
Fotonici Tridimensionali
Infiltrati Con Cristalli Liquidi
Università degli studi di Firenze
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
anno accademico 2003/2004
Matteo Burresi
22 Marzo 2005
Relatore : Dr. Diederik S. Wiersma
Correlatore : Prof. Marcello Colocci

Spesso il male di vivere ho incontrato:
era il rivo strozzato che gorgoglia,
era l’incartocciarsi della foglia
riarsa, era il cavallo stramazzato.
Bene non seppi, fuori del prodigio
che schiude la divina Indifferenza:
era la statua nella sonnolenza
del meriggio, e la nuvola, e il falco alto levato.
Ossi di Seppia, Eugenio Montale
Le passioni vanno contro ogni
logica portano dove tu
non ti saresti mai aspettato.
Non c’è cosapiù bella che cercarle,
scoprirle e seguirle.
Umberto ha amato la sua moto e
con lei è sfrecciato lontano.

Indice
Introduzione 1
1 Teoria 4
1.1 Icristallifotonici ............................. 4
1.1.1 Introduzione............................ 4
1.1.2 Caratterizzazionedeimateriali.................. 11
1.1.3 Ladispersionenon-linearedeicristallifotonici ......... 15
1.2 CristalliLiquidi.............................. 17
1.2.1 Introduzione............................ 17
1.2.2 Fasenematica........................... 18
1.2.3 Orientamentodeldirettore.................... 21
1.2.4 Cristalliliquidiecampomagnetico ............... 25
2 Apparato strumentale e preparazione dei campioni 29
2.1 StudiodellastrutturaabandetramiteriflessionidiBragg....... 29
2.2 Apparatosperimentale .......................... 31
2.3 Preparazionedegliopali ......................... 35
3 Risultati sperimentali: Analisi della struttura a bande di cristalli
fotonici 3D 40
i

3.1 La struttura cristallina degli opali . . . ................. 40
3.2 Opale diretto di silice . . . ........................ 44
3.2.1 Misure al variare dell’angolo di incidenza . . .......... 48
3.2.2 Analisi dello spettro nella regione a λ
≥ 1 ............ 51
3.2.3 Effettidifocalizzazione...................... 54
3.3 Opale inverso di silicio . . ........................ 57
3.3.1 Riflessione............................. 57
3.3.2 Trasmissioneediffusione..................... 65
4 Risultati sperimentali: Infiltrazione con cristalli liquidi 68
4.1 Opalediretto ............................... 68
4.1.1 Effetti di campo elettrico ..................... 70
4.1.2 Cristallofotonicobirifrangente.................. 75
4.1.3 Analisi sulla struttura cristallina ................. 83
4.1.4 Allineamento del cristallo liquido nelle cavità .......... 87
4.1.5 Campo elettrico e birifrangenza ................. 89
4.2 Opaleinverso ............................... 95
4.2.1 Misureconcampomagnetico .................. 96
Conclusioni 99
Bibliografia 106
ii

Introduzione
Negli ultimi decenni lo studio dell’interazione tra onde elettromagnetiche e materiali
”dielettrici complessi”, in regime di urto elastico, ha ricevuto un forte impulso. Per
dielettrici complessi si intendono strutture la cui costante dielettrica presenta una
modulazione su distanze paragonabili alle lunghezze d’onda di interesse.
Questo
genere di ricerca considera tutti i tipi di struttura dielettrica, partendo da strutture
ordinate fino a quelle disordinate. Questi materiali possono essere ottenuti partendo
dagli stessi elementi costitutivi, disposti in maniera differente: in fig 1 sono riportate
le schematizzazioni di queste due configurazioni opposte.
Benché siano strutture
molto differenti fra loro, i fenomeni ottici ad essi associati, prevalentemente legati
ad effetti di interferenze, presentano forti analogie.
Elemento costitutivo
Campione disordinato
(es. Random Laser)
Campione ordinato
(es. Cristallo fotonico)
Figura 1: Schematizzazioni di due strutture complesse impacchettate in modo disordinato
e ordinato.
1

2
In questa tesi ci occuperemo del caso ordinato: i cristalli fotonici. In questi materiali
il perfetto ordinamento degli elementi costitutivi genera, a causa delle rifrazioni
e delle riflessioni interne, fenomeni di interferenza tali da influenzare profondamente
il meccanismo di propagazione di un’onda elettromagnetica all’interno del sistema.
Questo genere di ricerca mette in evidenza le analogie tra il comportamento ondulatorio
degli elettroni e quello dei fotoni attraverso una ”struttura” periodica: nel
primo caso questa è associata al potenziale periodico offerto dagli atomi, nel secondo
alla variazione della costante dielettrica. Effettivamente, come mostreremo in questa
tesi, nei cristalli fotonici si creano, a causa dell’interferenza, alcune bande proibite
al fotone, in perfetta analogia con quanto accade ad un elettrone in un cristallo. Da
questo punto di vista, i cristalli fotonici possono essere considerati come l’analogo
fotonico dei materiali semiconduttori.
Possiamo considerare Yablonovitch e John come i padri fondatori di questo indirizzo
di ricerca. Nel 1986 il primo presentò uno studio [1] sulla possibilità di produrre
un materiale, che a causa della sua particolare geometria, inibisse la propagazione di
un’onda elettromagnetica al suo interno. In questo lavoro si ipotizzava l’esistenza di
strutture con una costante dielettrica periodica, che presentassero una regione di frequenze
per in cui la densità degli stati del fotone fosse zero. Nel 1987 John propose
[2] di creare un materiale ordinato, nel quale fosse introdotto un numero sufficiente
di difetti da realizzare l’analogo fotonico della localizzazione di Anderson. Questo
articolo risulta importante per capire le forti analogie presenti tra il comportamento
di un’onda elettromagnetica in un mezzo disordinato e quello in uno ordinato.
La particolare attenzione posta dalla comunità scientifica su questo campo di
ricerca è, in parte, nata dall’interesse per le possibili applicazioni.
L’avvento di
Internet ha condotto ad un allargamento della banda nelle reti di telecomunicazioni,
attraverso l’utilizzo delle fibre ottiche. Da questo punto di vista, i cristalli fotonici si
propongono come materiali con cui realizzare dispositivi ottici capaci di velocizzare
le comunicazioni, eliminando i processi di conversione tra il linguaggio fotonico delle

3
fibre e quello elettronico di calcolatori.
Oltre a questo tipo di materiali, in questa tesi saranno utilizzati i cristalli liquidi.
Questi materiali, ormai ampiamente utilizzati per la creazione di display, presentano
effetti di birifrangenza sensibili alla presenza di campi magnetici ed elettrici.
Studieremo i cristalli fotonici infiltrati con cristalli liquidi, cercando di cambiare
le proprietà ottiche del sistema, al variare dei parametri esterni. Nel capitolo 1,
quindi, faremo un’introduzione sulle proprietà di questi due tipi di materiali:
cristalli fotonici : verrà mostrato l’evoluzione spaziale delle soluzioni delle equazioni
di Maxwell all’interno di queste strutture, le loro proprietà di non linearità e
quale sia lo stato dell’arte di un cristallo fotonico;
cristalli liquidi : verranno introdotte le varie fasi di un cristallo liquido, le loro
proprietà ottiche e quelle di allineamento quando questo è soggetto ad effetti
di campo.
Nel capitolo 2 verrà descritto l’apparato strumentale utilizzato in questa tesi e
le tecniche di crescita dei cristalli fotonici: una parte dei campioni studiati è stata
preparata da noi stessi a Firenze e al Politecnico Torino, mentre un’altra parte è
stata ottenuta in collaborazione con l’Università di Toronto e con il Politecnico di
Torino.
Nel capitolo 3, dopo un’introduzione alla struttura cristallina degli opali, mostreremo
le misure in riflessione fatte su opali diretti di silice e su opali inversi di silicio:
in particolare sui secondi verrà mostrata la presenza di una banda proibita di
frequenze, inaccessibile per qualunque angolo di incidenza.
Nel capitolo 4 verranno mostrate le proprietà ottiche di un cristallo fotonico
infiltrato con un cristallo liquido: in particolare verranno effettuate misure di riflessione
su un campione (opale diretto di silice) soggetto al campo elettrico e su un
campione (opale inverso di silicio) soggetto al campo magnetico; verrà infine messo
in evidenza come l’opale diretto di silice infiltrato risulti birifrangente, con un asse
ottico parallelo alla direzione di crescita.

Capitolo 1
Teoria
1.1 I cristalli fotonici
1.1.1 Introduzione
Per spiegare che cosa è un cristallo fotonico proviamo ad analizzare un semplice
esempio di scattering. Immaginiamo di avere un blocco di vetro omogeneo con una
bolla di aria al suo interno ed un fascio di luce che si propaghi all’interno del blocco.
L’interazione fra la luce e la bolla sarà descritta in maniera esauriente dalle equazioni
di Maxwell. Considerando il caso di scattering elastico e confrontando le dimensioni
della bolla con la lunghezza d’onda della luce, la trattazione risulterà semplificata
nei seguenti casi particolari: scattering geometrico se R ≫ λ, scattering di Mie per
R ≃ λ e infine scattering di Rayleigh per R ≪ λ, doveR è il raggio della bolla
e λ la lunghezza d’onda.
Se adesso aggiungiamo un altra bolla identica avremo
un comportamento analogo, ma con una maggiore complessità del cammino ottico
ottenuto.
Aggiungendo, quindi, un numero elevato di bolle organizzate in un sistema reticolare,
otteniamo una struttura cristallina chiamata cristallo fotonico. Il comportamento
della luce attraverso un tale sistema non dipenderà solo dall’interazione con
la singola bolla, ma sarà descrivibile a partire da un’analisi che consideri il com-
4

1.1. I cristalli fotonici 5
portamento globale del sistema. Considerando lunghezze d’onda paragonabili a R,
la radiazione che si propaga nel mezzo sarà soggetta ad una serie di riflessioni e di
trasmissioni, tali da produrre fenomeni di interferenza. In particolare, esisteranno
delle direzioni per le quali, se la distanza tra i piani formati dalle bolle ètaledaprodurre
uno sfasamento di (m+ 1 )π (con m intero) tra le onde incidenti e quelle riflesse,
2
otterremo un’interferenza distruttiva che inibirà la propagazione della radiazione nel
mezzo per quelle direzioni.
Il trasporto di onde in un ”potenziale” periodico, offerto dalla variazione della
costante dielettrica del mezzo che abbiamo considerato sopra, ricorda il comportamento
degli elettroni attraverso un potenziale periodico, descritto dal teorema di
Bloch-Floquet. Questo teorema afferma che: un onda, con vettore d’onda k, soggetta
ad un potenziale periodico U(r), tale che U(r)=U(r+R), dove R è il vettore che
rappresenta la periodicità del sistema, sarà descritta da una funzione d’onda del
tipo:
Ψ(r + R) =exp(ik · R)Ψ(r) , (1.1)
ovvero la funzione d’onda nel punto (r + R) sarà la stessa che nel punto R, ma
corretta con un termine di fase. La Ψ(r) può anche essere scritta come un’onda
piana corretta da una funzione periodica u k (r) =u k (r + R), ovvero con la stessa
periodicità diU(r):
Ψ k (r) =u k (r)exp(ik · r). (1.2)
Quindi applicando questo teorema al caso degli elettroni, la cui equazione di Schrödinger
risulta essere:
]
[− h2
2m ∗ ∇2 + V (r) Ψ(r) =EΨ(r), (1.3)
dove m ∗ è la massa efficace, E gli autovalori dell’energia e V(r) il potenziale periodico
degli ioni del reticolo cristallino, si ottiene la ben nota struttura a bande che
caratterizza la conduzione elettrica, con una finestra di frequenze (detta bandgap)
non accessibile all’elettrone.

1.1. I cristalli fotonici 6
In analogia a questo procedimento, è possibile applicare il teorema di Bloch-
Floquet alle equazioni di Maxwell:
−→ ∇×E = −μ
∂H
∂t
−→ ∇×H = J + ε
∂E
∂t
(1.4)
(1.5)
−→ ∇·H =0 (1.6)
ε −→ ∇·E = ρ (1.7)
dove E è il campo elettrico, H quello magnetico, J la densità di corrente, ρ la densità
di carica, ε la costante dielettrica e μ la permeabilità magnetica.
Consideriamo un materiale la cui costante dielettrica relativa abbia un andamento
periodico del tipo ε(r) =ε(r + R) e la cui permeabilità magnetica relativa sia
μ r = 1 (abbiamo supposto il materiale diamagnetico). Se risolviamo in funzione di
E la (1.4) e la (1.5) nell’ipotesi di assenza di corrente (J=0), otteniamo:
−→ −→ ε(r) ∂ 2 E
∇×( ∇×E) =−
c 2 ∂t , (1.8)
2
1
dove c = √ èlavelocità della luce nel vuoto. Introducendo l’ipotesi che la
ε0 μ 0
soluzione della (1.8) sia un’onda piana la cui dipendenza temporale sia del tipo
exp(−iωt), possiamo riscrivere l’equazione nella forma:
−∇ 2 (E)+ −→ ∇( −→ ∇·E) − ω2 ε flutt (r)
E = ω2 ε medio
E , (1.9)
c 2
c 2
dove la costante dielettrica è stata separata nel suo valore medio ε medio e nel contributo
della fluttuazione spaziale ε flutt (r), che tiene di conto della periodicità dielettrica
del mezzo: ε(r) = ε medio + ε flutt (r). Se adesso supponiamo che ρ = 0,
otteniamo
−∇ 2 (E) − ω2 ε flutt (r)
c 2 E = ω2 ε medio
c 2 E . (1.10)

1.1. I cristalli fotonici 7
Potenziale
Elettrone
Posizione
Fotone
Potenziale effettivo
Posizione
Figura 1.1: Schematizzazione che descrive il comportamento di un elettrone in un
potenziale confinante (sopra) ed il caso analogo per il fotone (sotto).
Confrontando l’equazione di Schrödinger per gli elettroni con la (1.10) sono evidenziabili
delle analogie: possiamo considerare E come l’autofunzione del fotone e il
termine ω2 ε medio
come il suo autovalore; infine V f = − ω2 ε flutt (r)
gioca il ruolo del
c 2
potenziale periodico. A questo punto vale la pena di fare alcune considerazioni di
carattere generale confrontando il caso elettronico con quello fotonico:
1. poiché nel caso fotonico ω2 ε medio
c 2
c 2
> 0 sempre, non sarà possibile intrappolare
il fotone in una buca di potenziale negativa e quindi ottenere uno stato legato,
come accade nel caso dell’elettrone;
2. mentre nel caso dell’elettrone abbassare la sua energia significa poter intrappolarlo
all’interno di una buca di potenziale sufficientemente alta, essendo il
potenziale indipendente dall’energia dell’elettrone stesso, nel caso fotonico abbassare
l’energia (ω → 0) significa abbassare il valore del potenziale (V f → 0)
fino ad annullare il meccanismo sopra descritto (fig 1.1);
3. consideriamo la (1.10) nel caso in cui la fluttuazione della costante dielettrica
ε flutt (r) abbia variazioni su un fattore di scala diverso: sia s il parametro
di scala e definiamo ε ′ flutt (r) =ε flutt(r/s); se adesso facciamo un cambio di

1.1. I cristalli fotonici 8
y
E
k
a
x
Figura 1.2: Schematizzazione di un cristallo fotonico 1D con ε = ε(x) e passo reticolare
a.
variabili r = r ′ /s e quindi ∇ = s∇ ′ , otteniamo:
( )) r
−s 2 (∇ ′ )
(E
2 ′
s
− ω2 ε flutt (r ′ /s)
E
c 2
( ) r
′
s
= ω2 ε medio
E
c 2
( r
′
s
)
; (1.11)
dividendo tutto per s 2 , considerando che ε flutt (r ′ /s) =ε ′ flutt (r′ ) e ponendo
ω ′ = ω/s e E ′ (r ′ )=E(r ′ /s), otteniamo:
−(∇ ′ ) 2 (E ′ (r ′ ) − (ω′ ) 2 ε ′ flutt (r′ )
E ′ (r ′ )= (ω′ ) 2 ε medio
E ′ (r ′ ) , (1.12)
c 2
c 2
che è l’analogo della (1.10) per un campo E ′ (r ′ ) con frequenza ω ′ = ω/s. In
altre parole, cambiando la lunghezza di un fattore di scala s otteniamo lo stesso
modo, ma con una frequenza corretta dallo stesso fattore s. A differenza
del caso elettronico, in un cristallo fotonico il comportamento dell’onda elettromagnetica
non dipende solo dalla lunghezza d’onda, ma dal rapporto fra
questa e il passo reticolare del campione considerato.
Proseguiamo adesso con un’analisi più dettagliata dell’equazioni di Maxwell. Consideriamo
un sistema con una struttura dielettrica la cui periodicità sia uno-dimensionale
lungo l’asse x; un campione cioè costituito da strati di materiale dielettrico diverso
....ABABAB.... (fig 1.2), di passo reticolare a, nel quale la luce si propaghi perpendicolarmente
alle interfacce. Se scriviamo l’equazione delle onde per un sistema

1.1. I cristalli fotonici 9
uno-dimensionale nella sua forma scalare, otteniamo:
c 2 ∂ 2 E(x)
ε r (x) ∂x 2
= ∂2 E(x)
∂t 2 , (1.13)
dove abbiamo considerato la costante dielettrica relativa come funzione periodica
ε r (x) =ε r (x + a). Periodica sarà anche la funzione ε r (x) −1 , che potremmo quindi
sviluppare con una serie di Fourier:
ε r (x) −1 =
∞∑
m=−∞
dove m èuninteroel m sonoicoefficientidiFourier.
l m exp (i 2πm x), (1.14)
a
Applicando il teorema di Bloch-Floquet, otteniamo per il campo elettrico:
E(x, t) ≡ E k (x, t) =u k (x)expi(kx − ω k t) . (1.15)
Sviluppando in serie di Fourier:
E(x, t) =
∞∑
m=−∞
E m exp [i(k + 2πm
a )x − ω kt], (1.16)
Assumendo per semplicità che solo i valori m = 0, ±1 nella (1.14) siano dominanti,
possiamo reinserire la (1.14) e la (1.16) nella (1.13) e ottenere, per quanto
riguarda i valori di k che soddisfano la condizione (k− π a ) ≪ π , le frequenze associate
a
agli autostati:
ω ± ≈ πc √
l0 ±|l 1 |±
ac
a
π|l 1 | (l2 o − |l 1| 2
2 )(k − π a )2 . (1.17)
Quindi per k ≈± π a
la curva non risulta continua (fig 1.3), ma si apre una finestra
di frequenze proibita al fotone, pari a:
ω 1 = πc
a
√
l0 −|l 1 |

1.1. I cristalli fotonici 10
vk
}
photonic gap
-a
0
/a
k
Figura 1.3: Relazione di dispersione per un cristallo fotonico 1D nella prima zona di
Brillouin (curva continua), confrontata con quella in un mezzo omogeneo, ω = vk (curva
tratteggiata).
In maniera assolutamente analoga al caso degli elettroni, per i fotoni, in una struttura
periodica, si apre una banda proibita (bandgap) di frequenze non accessibile per
lunghezze d’onda confrontabili con il passo reticolare del mezzo. In altri termini,
per valori del vettore d’onda paragonabili alle dimensioni della zona di Brillouin,
la periodicità della struttura deforma il diagramma ω − k disaccoppiando i modi
k ≈ π a e k ≈−π . Quando la modulazione reticolare è trascurabile, ovvero nel caso
a
di un basso contrasto tra l’indice di rifrazione di A e quello di B, lo spettro torna
ad essere quello del fotone in un mezzo omogeneo (ω ≈ vk): infatti se l 1 fosse zero,
e quindi non ci fosse una variazione di ε, torneremo ad avere un cristallo omogeneo
elabandgap scomparirebbe.
In tale sistema la luce con frequenze all’interno di questa finestra non si potrà
propagare; in particolare i fotoni di frequenza ω 1 e ω 2 avranno, come si vede dalla
fig 1.3, v g = ∂ω
∂k =0,conv g velocità di gruppo, e quindi si produrrà un’onda
stazionaria. In conclusione possiamo affermare che un onda proveniente dall’esterno
del campione, con lunghezza d’onda all’interno della gap, verrà riflessa come se il
cristallo fotonico fosse uno specchio metallico.

1.1. I cristalli fotonici 11
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 1.4: (a): Serie di microcavità accoppiate. (b): silicio macroporoso con una cella
elementare triangolare. (c): Struttura a pila di legna ( woodpile) a 5 strati di GaAs. (d):
opale diretto di SiO 2 .
1.1.2 Caratterizzazione dei materiali
Sistemi come quello descritto nel paragrafo precedente vengono comunemente utilizzati
come specchi dielettrici. Un’applicazione differente per le strutture 1D sono le
microcavità, formate da due specchi di Bragg e una cavità centrale (fig 1.4 (a)); questa
struttura può essere considerata come un cristallo fotonico 1D, analogo a quello sopra
analizzato, con un difetto che costituisca la cavità(...ABABABAABABABA....),
creando così un sistema analogo ad una cavità laser: in questo modo possiamo ottenere
una risonanza intrappolata tra i due specchi di Bragg (fig 1.5), esattamente
Figura 1.5: Trasmittività diunamicrocavità laser: la microcavità si manifesta come un
difetto all’interno della gap a λ = 1450 nm.

1.1. I cristalli fotonici 12
1D 2D 3D
Figura 1.6: Schematizzazione delle strutture 1D, 2D e 3D
come un Fabry-Perot.
Naturalmente si può estendere il concetto di cristallo fotonico anche per sistemi
2D e 3D, imponendo la periodicità dielettrica anche nelle altre due direzioni dello
spazio (fig 1.6). Strutture 2D vengono generalmente realizzate facendo dei fori cilindrici
(solitamente tramite attacchi chimici) su materiali omogenei: cristalli come
quello in fig 1.4 (b) vengono ormai prodotti e studiati da qualche anno [3]. La ricerca
adesso è indirizzata sullo studio delle guide d’onda 2D. In genere (fig 1.7) queste
Figura 1.7: Guida d’onda 2D con passo reticolare di 500nm.
sono ottenute partendo da una struttura del tipo di fig 1.4 (b) e introducendo una
serie di difetti nella struttura: si crea così un ”canale” nel quale non c’è struttura
periodica, ma solo il mezzo omogeneo. Quindi un fotone con frequenza all’interno
della bandgap potrà propagarsi lungo la direzione del canale ma non al di fuori di
esso, rimanendo confinato lateralmente [4].

1.1. I cristalli fotonici 13
Figura 1.8: Schema per la preparazione della Yablonovite.
Cristalli fotonici 3D, che presentino quella che viene detta una bandgap completa,
cioè una finestra di frequenze che sia proibita per ogni direzione del vettore k, sono
stati prodotti su frequenze delle microonde.
Il primo esempio di questi è stato
prodotto dal gruppo di Yablonovitch nel 1991 [5]: praticando dei fori in un supporto
di silicio con angoli prestabiliti, il gruppo è riuscito a fare una struttura cubica a facce
centrate (FCC), producendo un materiale che adesso viene chiamato Yablonovite (fig
1.8). Un’alternativa per produrre una bandgap può essere una struttura 3D prodotta
sovrapponendo vari strati di barre di materiale dielettrico come una pila di legna
(woodpile photonic crystal) (fig 1.4 (c)).
L’attuale obbiettivo è quello di produrre un cristallo fotonico 3D con una bandgap
completa nel visibile o nel vicino infrarosso; ciò complica ulteriormente la produzione
di questi materiali che devono avere un passo reticolare paragonabile alla lunghezza
d’onda stessa ( a λ
≈ 1) e quindi, nel nostro caso, minore di 1μm.
Per realizzare
questo genere di materiali, i migliori candidati sembrano essere gli opali. Un opale
(fig 1.4 (d)) è una struttura cristallina che prevede l’impacchettamento ravvicinato
dei suoi costituenti, che nel nostro caso sono sfere dielettriche il cui diametro è
dell’ordine delle centinaia di nanometri. Questi cristalli hanno il vantaggio di essere
auto-assemblanti: sfruttando processi di sedimentazione, le sfere si dispongono su

1.1. I cristalli fotonici 14
a) b)
Figura 1.9: (a): Rappresentazione di un opale diretto a FCC; (b): Rappresentazione di
un opale inverso, ottenuto riempiendo i ”vuoti” di un opale diretto con un altro materiale
e poi rimuovendo le sfere.
vari strati ricercando il minimo del potenziale, cioè occupando i ”vuoti” presenti fra
una sfera e l’altra degli strati adiacenti (fig 1.9(a)). Il risultato finale è una struttura
a FCC che poggia sul piano i cui indici di Miller sono [111] (vedi paragrafo 3.1). Lo
svantaggio principale in questi materiali è che non è possibile controllarne la crescita
e quindi si creano delle crepe nella struttura (i motivi verranno descritti nel prossimo
capitolo). Lo stato dell’arte della produzione degli opali permette di crescere una
struttura cristallina perfetta con domini la cui superficie è ∼ 50μm × 50μm [6].
Promettenti sono anche gli opali inversi, cristalli i cui vuoti siano stati riempiti
con opportuni materiali e le cui sfere siano state rimosse in modo da avere una
strutture inversa appunto, rispetto a quella diretta degli opali sopra descritti (fig
1.9(b)). La proprietà che rende quest’ultimi particolarmente interessanti è la possibiltà
di ottenere una bandgap completa: dalla teoria si può mostrare che, per questi
opali, è necessario che il contrasto dell’indice di rifrazione dei due costituenti sia
sufficientemente alto, Δn = n 1
n 2
> 2, 8. Per questo generalmente viene scelto come
materiale il silicio (Si), che presenta un’indice di rifrazione attorno a 3,5. Per gli
opali diretti invece non è possibile ottenere un contrasto sufficiente: generalmente
i materiali utilizzati sono la silice (SiO 2 ) e il polistirene, che hanno un indice di
rifrazione (per il primo 1,46 e per il secondo 1,52) tale da non riuscire produrre una
bandgap completa, ma solo una stopband, ovvero una bandgap incompleta.
Dalle previsioni teoriche si evince che per aprire una bandgap in un cristallo

1.1. I cristalli fotonici 15
fotonico 3D bisogna che la polidispersione sia sotto la soglia del 5% [7]. Sia R il raggio
medio delle sfere e ΔR la sua deviazione, allora la definizione di polidispersione è
P = ΔR . Questo fattore non influenza solo la possibilità che si apra una bandgap,
R
ma anche la qualità del campione: minore è il valore di P, minori sono le rotture sul
campione, soprattutto nei campioni inversi che sono molto fragili.
Ultima ma non trascurabile condizione per avere un buon cristallo è che il
materiale costituente assorba in maniera trascurabile nel intervallo di frequenze di
interesse; nel caso del silicio dobbiamo considerare lunghezze d’onda λ>1μm, soglia
sotto la quale il silicio assorbe, mentre per la silice sopra i 300 nm.
1.1.3 La dispersione non-lineare dei cristalli fotonici
Un cristallo fotonico ha la proprietà di modificare la relazione di dispersione del
fotone. Per meglio capirne l’importanza è bene soffermarsi alcuni istanti sulla densità
degli stati per il fotone. Nel caso più generico possibile, considerando una radiazione
elettromagnetica che occupi uno spazio di volume V, questa sarà:
D(ω) = ω2 V
π 2 c 2 dk
dω . (1.19)
Quindi la D(ω) dipende dalla relazione di dispersione, che nel caso del fotone nel
vuoto è ω = ck così che la (1.19) diventa:
D(ω) = ω2 V
π 2 c 3 . (1.20)
In un mezzo omogeneo (ε = cost) avremo solo una correzione data dall’indice di
rifrazione n, ricordando che la relazione di dispersione è ω = vk, dovev = c n ,eche
n non dipende dalla frequenza, perché siamo in assenza di assorbimento da parte
del materiale. In un cristallo fotonico invece il cambiamento è radicale a causa della
relazione di dispersione non lineare (ω = ω(k)). In alcune regioni la struttura a
bande può perfino cambiare curvatura e quindi il segno della velocità di gruppo:

1.1. I cristalli fotonici 16
la creazione stessa della bandgap completa produce una zona nella quale la densità
degli stati è nulla (vedi paragrafo 3.3.1), mentre, vicino al bordo della gap, siha
v g = dω → 0 e quindi D(ω) può assumere valori che tendono all’infinito.
dk
La realizzazione di materiali che abbiano un densità degli stati modificabile ci offre
la possibilità di variare le caratteristiche ottiche di un mezzo e di poterle sfruttare.
Per fare un esempio possiamo verificare con un cristallo fotonico il così detto effetto
Purcell [8]. Consideriamo un atomo eccitato con una frequenza di emissione ω 0
immerso in un sistema con D(ω 0 )=0: poiché l’emissione di un fotone con frequenza
ω 0 è inibita, l’atomo deve rimanere eccitato per un tempo infinito annullando
l’effetto del decadimento spontaneo. In effetti lo scopo per cui sono stati proposti
i cristalli fotonici da Yablonovitch [1] era proprio quello di verificare questa teoria.
Sono stati fatti vari esperimenti sui cristalli fotonici con questo scopo con ottimi
risultati: in particolare recentemente è stato verificato che è possibile variare il tempo
di vita medio della fluorescenza di un punto quantico (quantum dot), inserito in
un cristallo fotonico (un opale inverso di T i O 2 ) [9], variandone la costante reticolare.
Il processo di fluorescenza è governato dal coefficiente di emissione spontanea, che è
proporzionale alla densità degli stati: A ∝ ω · D(ω). Produrre un materiale che abbia
D(ω) = 0 significa, teoricamente, annullare l’effetto del decadimento spontaneo
e quindi, nel caso della fluorescenza del dot, fare in modo che il tempo di vita medio
tenda all’infinito. Se invece utilizziamo un materiale che presenta solo una stopband
(D(ω 0 ) > 0), come nel caso dell’opale inverso di T i O 2 , possiamo soltanto abbassare
la probabilità di decadimento, allungando così iltempodivitamedio.

1.2. Cristalli Liquidi 17
1.2 Cristalli Liquidi
1.2.1 Introduzione
n
Nematica Smettica a Colonna
Figura 1.10: Schematizzazione di un cristallo liquido nelle tre fasi: nematico uni-assiale,
smettico e a colonna.
Il cristallo liquido è una fase intermedia della materia (più correttamente dovremmo
chiamarla ”fase mesomorfica”) tra lo stato solido e quello liquido.
Questa si
verifica in liquidi complessi che presentano particolari interazioni fra le molecole, a
causa delle quali il liquidi risultano anisotropi. Da questo punto di vista, un cristallo
liquido può essere considerato come un sistema in cui sia presente un comportamento
analogo ad un liquido isotropo per almeno una direzione, ma abbia una forma di
anisotropia per almeno un’altra direzione [10]. In natura esistono tre fasi distinte
per i cristalli liquidi, descritte in fig 1.10:
1. consideriamo un liquido le cui molecole siano anisotrope, e che risentano del
reciproco allineamento; questo produce, a causa della sua anisotropia, una
nuova fase detta ”nematica”;
2. consideriamo un liquido anisotropo, analogo al punto precedente, ed imponendo
un ordine posizionale in un sola direzione; questo produce una struttura che
può essere considerata come una serie di strati di cristalli liquidi sovrapposti
(fase ”smettica”);

1.2. Cristalli Liquidi 18
3. consideriamo un liquido isotropo ma imponendo un ordine posizionale in due
direzioni; si possono considerare come tubi di liquido accatastati (fase a ”colonna”);
ovviamente queste fasi sono determinate da condizioni termodinamiche specifiche,
al di fuori delle quali ritroviamo un liquido isotropo oppure lo stato solido.
Benché questa fase della materia sia stata scoperta alla fine del 1800, studi approfonditi
svolti per possibili applicazioni sono cominciati solo a partire dal 1960.
L’applicazione più importante delle proprietà dei cristalli liquidi sono gli schermi
LCD (Liquid Crystals Display): questi sono realizzati sfruttando la loro birifrangenza
(nata dall’anisotropia del sistema) e gli effetti di allienamento dati dal campo
elettrico (entrambe le proprietà veranno analizzate dettagliatamente più avanti). Al
momento la ricerca sui cristalli liquidi è indirizzata verso applicazioni per dispositivi
ottici, i quali, sfruttando la birifrangenza di questo materiale, siano sintonizzabili su
ampio intervallo di frequenze.
1.2.2 Fase nematica
In questa tesi studieremo solo la fase nematica di un cristallo liquido con molecole
allungate, che possono essere approssimate con delle ”barre”di dimensione di qualche
nm (fig 1.10). Poiché durante la trattazione utilizzeremo sempre a cristalli liquidi
nematici, ci riferiremo ad essi senza specificare la loro fase. A causa della loro forma,
possiamo affermare che esiste un ordine direzionale (come in un liquido isotropo),
benché non sia presente un ordine posizionale (come in un cristallo): infatti le molecole
tendono a disporsi tutte nella stessa direzione (indicata con il direttore n). La
presenza di una tale anisotropia introduce un asse ottico nel mezzo, che risulta così
birifrangente. Il direttore per un cristallo liquido ideale ha una direzione fissa nello
spazio ed è dovuto da forze a corto raggio tra le molecole. In un cristallo liquido
reale, però, si possono formare alcuni regioni dello spazio (domini) che presentano
direttori diversi: questo può essere dovuto a sollecitazioni meccaniche, fluttuazioni

1.2. Cristalli Liquidi 19
termiche e, più in generale, interazioni con forze esterne. Infine, come ultima proprietà
associata all’anisotropia, il verso del direttore non è definito, cioè n non è
distinguibile da -n, a causa della simmetria delle molecole.
Da un punto di vista microscopico, queste proprietà comportano una particolare
distribuzione nell’orientazione delle molecole. Poichéè preferibile descrivere l’allineamento
del sistema con un parametro numerico, si introduce un parametro d’ordine
tensoriale, che abbia una struttura analoga al momento di quadrupolo medio in funzione
della direzione di ogni molecola rispetto al direttore medio del cristallo liquido
[11]:
Q i,j = 3 2 S(n in j − δ i,j /3) , (1.21)
dove i, j = x, y, z, δ i,j è la delta di Kronecker e S è detto parametro scalare uniassiale:
questo parametro tiene conto della direzione di ciascuna molecola rispetto
a n.
Da un punto di vista macroscopico, e quindi più adatto ad una trattazione sperimentale,
è conveniente introdurre un parametro che dipenda da una grandezza misurabile:
la scelta di tale parametro cade per convenzione sulla costante dielettrica
(con un procedimento analogo avremmo potuto utilizzare la suscettività magnetica),
descritta dalla relazione:
D α = ε αβ E β , (1.22)
dove α, β = x, y, z, D è il vettore spostamento elettrico e E è il campo elettrico. In
fase isotropa ε αβ = εδ αβ , mentre in quella nematica (ricordandosi che la trattazione
vale per un sistema uni-assiale)
⎛
ε αβ = ⎜
⎝
⎞
ε ⊥ 0 0
0 ε ⊥ 0 ⎟
⎠
0 0 ε ‖
sulla base (e 1 ,e 2 ,n).

1.2. Cristalli Liquidi 20
Per descrivere l’allineamento del sistema e le proprietà fisiche da esso derivanti,
viene scelto un parametro d’ordine tensoriale che descriva la transizione di fase da
nematica a isotropa: per convenzione la scelta cade sulla parte anisotropa della
costante dielettrica [10]:
Q αβ = ε αβ − 1 3 δ ∑
αβ ε γγ , (1.23)
dove γ = x, y, z. Nel caso nematico, in un opportuno sistema di riferimento che
diagonalizzi il tensore, otteniamo:
γ
⎛
Q αβ = ⎜
⎝
1
(ε 3 ⊥ − ε ‖ ) 0 0
0
1
3 ⊥ − ε ‖ ) 0
0 0
2
3 ‖ − ε ⊥ ) .
⎞
⎟
⎠
Si osservi che quando avviene una transizione di fase da nematico ad isotropo,
ponendo cioè ε αβ = εδ αβ , otteniamo Q αβ =0.
L’anisotropia della fase nematica si ripercuote in maniera assolutamente analoga
sull’indice di rifrazione, essendo n αβ = √ ε αβ . Dunque un cristallo liquido in fase
nematica è birifrangente e per convenzione parleremo di indice di rifrazione ordinario
(n o ) e straordinario (n e ), associati rispettivamente a n ⊥ e n ‖ . Da un punto di vista
macroscopico, considerando l’esistenza di vari domini, possiamo definire anche un
indice di rifrazione medio, dato da:
n m =
√
n
2
e
3 + 2n2 o
3 , (1.24)
cioè la media geometrica tra indici di rifrazione, pesata sulle direzioni dello spazio;
valori tipici sono n e =1.7 en o =1.5 e per la fase nematica, mentre per quella
isotropa, quando il materiale non èpiù birifrangente, l’indice di rifrazione è n ≃ 1.57.

1.2. Cristalli Liquidi 21
1.2.3 Orientamento del direttore
In un cristallo liquido reale la direzione delle molecole non segue esattamente quella
del direttore, ma subisce delle fluttuazioni attorno ad essa. Per descrivere questo
fenomeno possiamo analizzare la densità di energia libera F nella fase nematica,
supponendo che questa dipenda dal parametro d’ordine Q αβ , dalla sua variazione
spaziale Q αβγ = ∂Q αβ
, dagli effetti di superficie e da quelli indotti da un campo magnetico
o elettrico. Considerando l’equazione (1.21) e supponendo che la variazione
∂x γ
spaziale di Q αβ sia debole (Q αβ ≫ Q αβγ ), possiamo sviluppare F:
F (Q αβ ,Q αβγ )=F u (Q αβ )+F e (Q αβγ )+F s + F C , (1.25)
dove F u rappresenta la densità di energia libera di un cristallo liquido ideale (nessuna
dipendenza spaziale ma solo di temperatura), F e il contributo elastico all’energia
libera, F s e F C i contributi, rispettivamente, della superficie e di eventuali campi.
Ipotizzando il caso semplificato di un cristallo liquido non confinato e in assenza
di campo (F s ,F C = 0), possiamo considerare solo F e (F u non dipende da n) e
svilupparla in serie di potenze, ottenendo (fino al secondo ordine):
F e (Q αβγ )=A αβγ Q αβγ + 1 2 B αβγlmnQ αβγ Q lmn + ...... (1.26)
doveAeBdescrivonoleinterazionielastiche. Sipuò dimostrare che se A ≠0la
densità di energia libera diventa tale da produrre una avvitamento nella direzione di
n( 1 ). Poiché noi siamo interessati ad un cristallo liquido in fase nematica, possiamo
porre A = 0 e ottenere, sostituendo la (1.21) in ipotesi di S = cost., laseguente
legge di Frank [13]:
F e = 1 2 [K 11(divn) 2 + K 22 (n · rotn) 2 + K 33 (n × rotn) 2 ] . (1.27)
1 In questo caso si produce un cristallo liquido detto colesterico.

1.2. Cristalli Liquidi 22
Molecole
Inclinato
Torsione
Curvato
Figura 1.11: Schematizzazione dei tre tipi di deformazione che avvengono nella direzione
del direttore: K 11 (divn ≠0) descrive la configurazione inclinato; K 22 (n · rotn ≠0)
descrive la configurazione di torsione; K 33 (n × rotn ≠ 0) descrive la configurazione
curvato.
I K ij
sono gli elementi del tensore di deformazione e corrispondono alle tre deformazioni
fondamentali di n: in fig 1.11 sono riportate queste tre deformazioni
associate ad ogni K ij .Poiché valori tipici per i K ij sono simili tra loro (si aggirano
attorno a ∼ 10 −11 N) solitamente si approssimano le tre K ij ad un unico K in modo
da semplificare la (1.27) ed ottenere:
F e = 1 2 K[(divn)2 +(rotn) 2 ]. (1.28)
Consideriamo gli effetti dati dalla superficie, che, come vedremo, ha una grande
influenza sul comportamento di un cristallo liquido. Ogni superfice a contatto con
un cristallo liquido tende ad allineare le molecole in una direzione preferenziale e
questo allineamento influenza quello del cristallo liquido massivo.
In generale la
disposizione delle molecole sulla superficie dipende dal tipo di materiale di cui è
fatta:
1. se il mezzo esterno è un cristallo e l’interfaccia corrisponde a uno dei piani di
Miller (per la definizione vedi paragrafo 3.1), le molecole tendono a disporsi
parallelamente ad esso seguendo le direzioni degli assi cristallografici;

1.2. Cristalli Liquidi 23
z
Superficie
Superficie
(y)
a
a
y
b
Y
x
a
a) b)
Figura 1.12: a): Schematizzazione della torsione della direzione del direttore in funzione
della distanza dalla superficie: entro una distanza a la rotazione èpiù rapida, mentre per
y > a la rotazione èpiù lenta; b): variazione di φ in funzione di y: si può notare la
differenza di pendenza della curva tra ya.
2. se il mezzo esterno è isotropo (liquido, vetro etc..) le molecole si dispongono
formando in certo angolo con la perpendicolare alla superficie, compresi i casi
limite parallelo e perpendicolare ad essa;
3. infine se le superfici, solitamente di vetro, vengono strofinate preventivamente
in un particolare direzione, le molecole tendono a disporsi lungo la stessa 2 .
Consideriamo un caso semplice di deformazione della direzione di n, per evidenziare
l’influenza della superficie della cella sul cristallo liquido. Supponiamo che la deformazione
sia una semplice torsione e trascuriamo momentaneamente l’effetto della
superficie. La (1.27) diventa:
F e = 1 2 [K 22(n · rotn) 2 ] (1.29)
epoiché possiamo scrivere n in funzione dell’angolo di rotazione, riferendosi alla fig
1.12 (a):
n z =cos[ϕ(y)]; n x =sin[ϕ(y)], (1.30)
2 Questo fenomeno viene ampiamente utilizzato per la realizzazione di schermi a cristalli liquidi.

1.2. Cristalli Liquidi 24
otteniamo:
F e = 1 2 K 22( ∂ϕ
∂y )2 . (1.31)
Daquisipuò risalire all’energia libera per unità di superficie F e =
minima quando:
∂ϕ
∂y
∫ y
0
F e dy, cheè
= cost. ; (1.32)
questa dunque è la condizione di equilibrio. Se adesso introduciamo l’effetto della
superficie F s (ponendo due pareti piane e parallele distanti, una sul piano z − x e
l’altra distante d dalla prima, fig 1.12 (a)), possiamo definire una nuova densità di
energia libera F ′ e = F e + F s . La variazione di ϕ in funzione di y, ricavatadaF ′ e
è rappresentata da un grafico analogo a quello di fig 1.12 (b): esiste una distanza
a dalla superficie (lunghezza di coerenza associata alla superficie), tale che, per
y ≫ a, l’unica interazione che le molecole subiscono è quella con le molecole vicine,
mentre per y ∼ a la variazione spaziale di ϕ incrementa rapidamente per adattare
n alla direzione preferenziale presente sulla superficie.
Partendo dalle equazioni
sopra mostrate, è possibile dimostrare che molte informazioni su questo genere di
interazioni sono contenute in b, definito come la ”lunghezza di estrapolazione” [14].
Si può mostrare infatti che:
• se a ∼ b allora si parla di ”ancoraggio forte”, cioè l’interazione fra la superficie
e le molecole ècosì intensa che la sua influenza sulla posizione delle molecole
si sentirà a grande distanza dalla superficie;
• se a ≪ b allora si parla di ”ancoraggio debole”, cioè l’interazione fra la superficie
e le molecole ècosì debole da influire su una regione trascurabile del cristallo
liquido.

1.2. Cristalli Liquidi 25
1.2.4 Cristalli liquidi e campo magnetico
Introduciamo adesso gli effetti di campo nello studio della (1.25). Generalmente la
magnetizzazione M indotta in un materiale diamagnetico omogeneo da un campo
magnetico H è data da:
M = μ 0 χH , (1.33)
dove χ è la suscettibilità magnetica del mezzo. Nel caso di un cristallo liquido in
fase nematica otteniamo un tensore che la descrive χ:
⎛
χ αβ = ⎜
⎝
⎞
χ ⊥ 0 0
0 χ ⊥ 0 ⎟
⎠ ,
0 0 χ ‖
dove χ ⊥ e χ ‖ sono quantità negative, essendo un materiale diamagnetico, e piccole
(∼ −10 −7 ). Quindi per un campo H parallelo a n otteniamo M = μ 0 χ ‖ H,per
uno ortogonale M = μ 0 χ ⊥ H, mentre per una direzione arbitraria, rispetto ad n,
otteniamo:
M = μ 0 {χ ⊥ H + χ a (H · n)n} , (1.34)
dove χ a = χ ‖ − χ ⊥ > 0è la suscettività magnetica anisotropa. La densità dienergia
libera diventa, trascurando momentaneamente gli effetti di superficie:
∫
F = F u + F e −
0
H
M · dH = F u + F e − μ 0
2 [χ ⊥H 2 + χ a (n · H) 2 ] , (1.35)
dove il terzo membro non dipende da n e quindi viene generalmente trascurato nello
studio della direzione del direttore, esattamente come F u , mentre l’ultimo (essendo
χ a > 0) rende minima l’energia quando n è parallelo a H.
Riassumendo, abbiamo due forze esterne che interagiscono con il direttore influenzandone
la direzione: quella nata dagli effetti di campo e quella dagli effetti
di superficie. Quindi un’espressione per la densità dell’energia libera che consideri

1.2. Cristalli Liquidi 26
Figura 1.13: Schematizzazione della torsione della direzione del direttore in funzione
della distanza dalla superficie: entro una distanza pari ad ζ le molecole risentono solo
degli effetti di superficie, mentre per y>ζrisentono solo degli effetti del campo H.
tutte le interazioni fino a qui considerate, è descritta da:
F = F u + F e + F s − μ 0
2 [χ ⊥H 2 + χ a (n · H) 2 ] . (1.36)
D’altronde, quando studiamo un cristallo liquido questo è sempre confinato in una
cella: se le dimensioni di questa sono paragonabili alla lunghezza di coerenza a,
allora l’orientazione delle molecole è interamente decisa dalla direzione preferenziale
della superficie. Se a questo punto introduciamo un campo magnetico, questo induce
un momento magnetico sulle molecole del tipo:
Γ M = μ 0 χ a (n · H)n × H , (1.37)
che tende ad orientare le molecole: in fig 1.13 viene schematizzato l’effetto complessivo.
Si genera quindi una competizione tra i due effetti tale da introdurre una nuova
lunghezza di coerenza che dipende dall’intensità del campo. In approssimazione di
una sola costante elastica (K = K ij ) e di ancoraggio forte, ci calcoliamo l’energia
libera F d perturbativa, integrando le componenti F e ,F s e quella, dipendente da n,

1.2. Cristalli Liquidi 27
che descrive l’effetto del campo magnetico:
F d =
∫ [
K( −→ ∇·n) 2 +( −→ ]
∇×n)
V∫
+ F s dV ,
V
− μ 0
2 χ a(n · H) 2 dV (1.38)
dove F s → 0perché in ipotesi di ancoraggio forte [15]. Ponendo adesso la condizione
che la perturbazione sia nulla (F d = 0) e considerando il cristallo liquido tra due facce
piane e parallele, otteniamo l’espressione per la lunghezza di coerenza dipendente
da B:
ζ(B) = 1 B
√
Kμ 0
χ a
, (1.39)
che ètantopiù piccola, quanto maggiore è il modulo di B. Per fare una stima,
considerando un campo da 1 T, otteniamo ζ(B) ∼ 1μm, che significa che in celle
più piccole di 1μm c’è bisogno di un campo relativamente intenso per produrre
un’allineamento delle molecole.
Possiamo definire anche un campo critico B c
come il campo per cui la ζ(B)
diventa minore della distanza massima tra le pareti della cella che contiene il cristallo
liquido, ovvero il campo per cui le molecole cominciano ad allinearsi. Da questa
definizione si deduce che il campo critico deve dipendere dalle proprietà elastiche
del cristallo liquido e dalla geometria del sistema; ponendoci nelle stesse ipotesi in
cui è stata ricavata la (1.39), è possibile risalire ad un’espressione per il campo critico
[16];
B c = π d
√
Kμ 0
χ a
, (1.40)
dove d è la distanza tra le pareti. È possibile collegare B c e ζ: sostituendo la (1.39)
nella (1.40), ovvero ponendo B = B c , otteniamo ζ(B c )= d π .
Essendo un cristallo liquido una materiale dielettrico, possiamo procedere in
maniera assolutamente analoga al caso magnetico, utilizzando un campo elettrico,

1.2. Cristalli Liquidi 28
per studiare i sui effetti sui cristalli liquidi. Partendo dalla definizione tensoriale
della costante dielettrica (vedi paragrafo 1.2.2), otteniamo l’espressione del vettore
spostamento elettrico D in funzione di un campo elettrico E, che forma un angolo
arbitrario con il direttore n:
D = ε 0 (ε ⊥ E + ε a (n · E)n) , (1.41)
dove ε a = ε ‖ − ε ⊥ > 0è la costante dielettrica anisotropa. L’espressione per la
densità di energia libera F , considerando anche l’effetto dalla superficie, diventa:
∫
F = F u + F e + F s −
0
E
D · dE = F u + F e + F s − ε o
2 [ε ⊥E 2 + ε a (n · E) 2 ] ; (1.42)
quindi il minimo dell’energia libera viene raggiunto quando il direttore è parallelo
al campo E e quindi le molecole tenderanno ad allinearsi sotto l’effetto del campo.
Ponendosi nelle stesse condizioni in cui abbiamo ricavato la (1.38), possiamo ottenere
l’analogo per il caso del campo elettrico:
F d =
∫ [
K( −→ ∇·n) 2 +( −→ ]
∇×n) − 1
V
2 (ε aε o (n · E) 2 dV (1.43)
∫
+ F s dV ,
V
dove F s → 0perché in ipostesi di ancoraggio forte. Con le stesse ipotesi fatte per
ricavarsi la (1.39) e la (1.40), possiamo ricavarci il campo critico ζ(E) e la lunghezza
di coerenza E c :
ζ(E) = 1 E
√
K
ε a ε o
E c = π d
√
K
ε a ε o
. (1.44)
Infine anche in questo caso possiamo mettere in relazione queste due grandezze,
ricavandosi che ζ(E c )= d ,cheè perfettamente consistente con formula trovata per
π
il campo magnetico.

Capitolo 2
Apparato strumentale e preparazione dei
campioni
2.1 Studio della struttura a bande tramite riflessioni di Bragg
Come spiegato nel paragrafo 1.1.1, un cristallo fotonico presenta alcune bande proibite
per un’onda elettromagnetica che si propaghi in esso: nel caso 1D l’analisi della
struttura a bande è molto semplificata e sono evidenti le regioni in qui si verifica tale
inibizione (fig 1.3). Nel caso 3D invece la relazione di dispersione, come mostreremo
più avanti,è molto complicata a causa dei diversi comportamenti del fotone al
variare della sua direzione di propagazione. Qualunque di esse si consideri, un’onda
elettromagnetica proveniente dall’esterno, con frequenza all’interno della bandgap
associata a quella particolare direzione, non potrà propagarsi all’interno del mezzo.
Poiché si deve conservare il vettore di Poynting (I = E × H) ed essendo escluso
l’assorbimento, l’onda elettromagnetica verrà riflessa secondo le leggi dell’ottica classica.
Analizzare, quindi, in un ampio intervallo di frequenze, quali di queste vengano
riflesse e quali trasmesse, ci permette di studiare la struttura a bande del sistema
e quindi le proprietà ottiche del mezzo. Per fare questo genere di analisi, studiamo
la riflessione dei cristalli fotonici con la legge di Bragg, che è stata sviluppata per
29

2.1. Studio della struttura a bande tramite riflessioni di Bragg 30
Iin
Iout
d
d cos
Figura 2.1: Riflessione di Bragg per una famiglia di piani, separati di una distanza d.
studiare la diffrazione dei raggi X su i ”cristalli atomici”:
mλ =2d cos θ, (2.1)
dove m è l’ordine della riflessione e θ l’angolo di incidenza del fascio. La (2.1)
descrive l’interazione fra una radiazione monocromatica e un cristallo perfetto di
corpi puntiformi, i cui piani siano distanziati di una quantità d: in altri termini
la differenza di cammino ottico fra i due fasci di fig 2.1 deve essere uguale alla
loro lunghezza d’onda (o multipli interi di essa), per ottenere che la luce riflessa
interferisca costruttivamente.
Nel caso di un opale cresciuto con sfere dielettriche di dimensioni di qualche
centinaio di nm e quindi con una bandgap nelle frequenze del visibile e del vicino
infrarosso, si deve attuare qualche modifica alla (2.1). Per prima cosa dobbiamo
aggiungere il contributo dato dall’indice di rifrazione. Abbiamo visto nel paragrafo
1.1.3 come sia importante la relazione di dispersione in un cristallo fotonico: a causa
della non linearità di quest’ultima, l’indice di rifrazione che il mezzo offre alla luce
dipende fortemente dalla frequenza. Possiamo quindi definire un indice di rifrazione
effettivo n eff che descriva, per ogni frequenza e per ogni direzione di propagazione,
l’indice di rifrazione realmente ”visto” dalla luce. A causa della complessità della relazione
di dispersione siamo costretti a fare un’approssimazione: invece di utilizzare

2.2. Apparato sperimentale 31
l’indice di rifrazione effettivo possiamo utilizzare in prima approssimazione la media
geometrica:
= n sfere φ sfere + n air φ air . (2.2)
dove n sfere e n air sono gli indici di rifrazione delle sfere e dell’aria, mentre φ sfere
e φ air sono le percentuali di volume del campione occupate dalle sfere e dall’aria 1 .
In secondo luogo bisogna porre attenzione al calcolo di d, che varia a seconda dei
piani che scegliamo.
I campioni da noi studiati sono cresciuti sul piano [111] di
una struttura a FCC, quindi nella schematizzazione di fig 2.1 ci dobbiamo riferire a
a
piani paralleli a questo. Poiché in generale vale d = √ dove i,j,k sono gli
i2 + j 2 + k2 indici di Miller del piano a cui ci stiamo riferendo e a la costante reticolare, otteniamo
d =
a √
3
. Infine il valore di a per un cristallo costituito da sfere impacchettate in
modo da ottenere una struttura FCC, èdatodaa = D √ 2, dove D è il diametro
delle sfere. Si ottiene quindi per la legge di Bragg:
2
λ =2D√
cos θ. (2.3)
3
Conseguenza diretta della (2.3) è la caratteristica iridescenza degli opali, che cambiano
colore secondo l’angolo di incidenza, ovvero si verifica uno spostamento della
frequenza del picco di riflessione al variare dell’angolo di incidenza.
2.2 Apparato sperimentale
L’apparato strumentale è semplice ma preciso. Per prima cosa la sorgente luminosa
deve avere un ampio spettro di emissione (la larghezza dei picchi di riflessione è sulle
centinaia di nanometri) con un andamento paragonabile a quello di corpo nero. La
lampada a nostra disposizione è un filamento di tungsteno con uno spettro di corpo
1 Come mostreremo più avanti, questa approssimazione vale solo per il primo ordine della legge
di Bragg: infatti a frequenze superiori n eff è molto diverso da .

2.2. Apparato sperimentale 32
Supporto ruotante
Emettitore
Collettore
Figura 2.2: Parte dell’apparato strumentale per misure di riflessione: nella foto sono
presenti il collettore, l’emettitore, il motore per la rotazione e le slitte per muovere il
campione dopo aver allineato il sistema.
nero ad una temperatura di 3000 K nell’intervallo da 400 nm a 2700 nm circa, con il
picco di emissione attorno a 1100 nm e una potenza media per lunghezza d’onda ∼
40μW/nm. La lampada è raffreddata da una ventola e può essere accoppiata ad una
fibra ottica che raccoglie il segnale. La luce emessa viene raccolta da una fibra ottica
multimodo, per frequenze nel visibile e nell’infrarosso, e portata ad un apparato che
permette di fare misure al variare dell’angolo di incidenza (fig 2.2). L’apparato è
composto da un emettitore ed un collettore, al cui interno è presente un sistema di
lenti, composto da un collimatore e una lente cilindrica (focale f = 4 cm), che hanno
la possibilità di ruotare (con una precisione Δθ =0.1 ◦ ) di 360 ◦ attorno ad un asse( 2 ),
sul quale viene posto il campione. Con questo apparato non è possibile fare misure
in riflessione ad angolo zero: affinché il fascio riflesso sia raccolto interamente dal
collettore, senza che l’emettitore lo schermi, non è possibile fare misure per angoli
di incidenza inferiori a 8 ◦ . La fibra dell’emettitore determina la dimensione dello
spot che si forma sul campione, a causa del rapporto di magnificazione (M ≃ 4) del
sistema di lenti: nel caso in cui la fibra sia di diametro pari a 50μm, lo spot sarà di
2 È possibile dunque utilizzare questa l’apparato anche in trasmissione ad angolo variabile.

2.2. Apparato sperimentale 33
circa 200μm, mentre nel caso di una fibra da 8μm, lo spot sarà dicirca40μm. Le
dimensioni dello spot sono un dato molto importante, perché, non essendo cristalli
perfetti quelli che analizziamo, ottenerne uno il più piccolo possibile, ci fa analizzare
una porzione omogenea del campione, diminuendo effetti medi dati dall’imperfezione
del campione. Il problema di lavorare con una fibra più piccola ovviamente sta nella
diminuzione della potenza della luce incidente: in questo lavoro generalmente viene
utilizzata la fibra da 50μm, a meno che non sia diversamente specificato. Per la
raccolta viene utilizzata una fibra di grandi dimensioni per ottenere più segnale
possibile, solitamente da 200μm.
Come rivelatori vengono utilizzati tre diversi apparecchi per coprire un ampio
intervallo di frequenze:
• per il visibile e parte del vicino infrarosso abbiamo utilizzato due spettrografi
con rilevatore a CCD al silicio, con la stessa precisione Δλ =0.5 nm; il reticolo
(numero di righe 600) è tale che l’intervallo di lunghezze d’onda per uno èda
(250 ÷ 850) nm, mentre l’altro da (550 ÷ 1100) nm;
• per misure con λ>1000 nm, abbiamo utilizzato un monocromatore con reticolo
con 600 righe centrato a 2μm, la cui precisione, che dipende dall’apertura
delle slitte in ingresso ed in uscita, può spingersi fino a 0.05 nm (nelle nostre
misure abbiamo dovuto utilizzare una grande apertura delle slitte per mancanza
di segnale, quindi la precisione era sempre di 2 o 3 nm). Accoppiato al
monocromatore è stato posto come rilevatore un fotodiodo di PbS (900 ÷ 2800
nm).
Per diminuire il rumore della secondo apparato strumentale è stata utilizzata la
tecnica del lock-in: il segnale viene reso intermittente ad una frequenza di 160 Hz
ed acquisito da un apposito amplificatore, che rileva solo il segnale con la frequenza
scelta, escludendo qualunque altra fonte di rumore ad eccezione di quello elettronico.
Il nostro apparato prevede anche una rotazione motorizzata del campione stesso:
in questo modo è possibile ruotare il campione (con una precisione 0.1 ◦ ed una

2.2. Apparato sperimentale 34
nutazione così bassa da trascurarne gli effetti) attorno ad un asse ortogonale alla
superficie del campione.
Questo apparato ci permette teoricamente, anche se è
molto complesso riuscire ad allineare così bene il sistema, di misurare la riflettivitàin
tutte le direzioni accessibili dall’esterno del campione, coprendo un ampio intervallo
di vettori k. In oltre il supporto è dotato di un montaggio inclinabile e di slitte per
facilitare l’allineamento del sistema.
Apparato per misure con campo
Una parte considerevole di questa tesi si basa sull’interazione tra cristalli fotonici
infiltrati con cristalli liquidi ed i campi esterni, sia elettrico che magnetico.
Per
generare il campo elettrico abbiamo utilizzato un generatore di funzione impostato
su una frequenze di 500 Hz( 3 ).
Il segnale è stato successivamente inviato ad un
amplificatore, che ha il picco di guadagno a 500 Hz con un valore massimo in uscita
par a 12 kV. Per misurare il campo applicato abbiamo utilizzato un oscilloscopio
che presenta una precisione del 3% su tutti i fondo scala (da 5 mV/div a 5 V/div).
Per quanto riguarda le misure con il campo magnetico, abbiamo utilizzato un
elettromagnete (Varian 4005) che genera un campo massimo di 16 kGauss quando le
espansioni polari (piane e parallele di diametro 10 cm) sono accostate (≃ 1cm). Per
misurare il campo applicato abbiamo utilizzato una sonda di Hall (SV210, Siemens)
e misurato la tensione generata per effetto Hall con un voltmetro digitale con precisione
di qualche μV. Tutto l’apparato è stato tarato con una sonda di Felici con una
precisione del 2%. Da questa taratura si risale al rapporto di linearità (20 kGauss/V
2%) tra la tensione misurata ed il campo magnetico: per queste misure la stima del
campo magnetico presenta un errore relativo di 3%.
3 Come spiegheremo nel capitolo 4, il campo elettrico agisce sulle molecole di cristallo liquido,
il cui tempo di riallineamento èdi∼ 10 ms: possiamo quindi considerare il campo costante.

2.3. Preparazione degli opali 35
2.3 Preparazione degli opali
La tecnica utilizzata per la creazione delle sfere di silice è quella proposta da Stöber
[17], che si basa sulla reazione di 4 reagenti chimici: TEOS (Si(OCH 2 CH 3 ) 4 ), acqua
distillata (H 2 O), ammoniaca (NH 3 )edetanolo(CH 3 CH 2 OH).
I primi due
sono i veri e propri reagenti che formano le molecole di silice, l’ammoniaca viene
utilizzata come catalizzatore, mentre l’etanolo è il solvente in cui viene prodotta
la reazione. Le sfere si formano per nucleazione delle molecole di silice, quindi per
ottenere una bassa polidispersione l’ambiente deve essere il più pulito possibile, per
evitare che la polvere si comporti come centro di nucleazione. Poiché i tempi della
reazione sono molto rapidi, si preparano due soluzioni, una composta di acqua e
ammoniaca e l’altra con TEOS e etanolo, che successivamente vengono mescolate
velocemente insieme, in modo da ottenere una soluzione omogenea. Le condizioni
termodinamiche e le concentrazioni dei composti cambiano le dimensioni delle sfere
e la loro polidispersione. Il beaker che contiene la soluzione deve quindi stare in
un bagno termico (con acqua) per rendere stabile la temperatura e al suo interno
poniamo un ancoretta magnetica che mescoli continuamente la soluzione, in maniera
che rimanga omogenea per tutto il tempo della reazione. Poiché l’ammoniaca tende
ad evaporare molto rapidamente, si deve coprire il beaker con un pellicola. Per ottenere
le sfere da 460 nm, che sono quelle con la migliore polidispersione tra quelle
da noi ottenute, la preparazione è avvenuta a temperatura ambiente, con le seguenti
quantità per i composti: 23.6 g di ammoniaca al 33%, 36.4 g di acqua, 99.216 g di
etanolo al 96,4% e 9.2 g di TEOS al 98%.
Successivamente si deve separare le sfere di silice prodotte dalla soluzione in cui
sono sospese. Per fare questo ci sono vari metodi: quello da noi utilizzato è stato
quello di centrifugare la soluzione in modo da separare le sfere dal liquido; successivamente
queste sono state diluite nuovamente in acqua distillata 4 . Abbiamo ripetuto
4 Per fare questo abbiamo dovuto mettere le sfere in un bagno ad ultrasuoni perché la centrifuga
li aveva compattati e non era possibile disperderli solo con l’acqua.

2.3. Preparazione degli opali 36
Menisco
Direzione del menisco
Figura 2.3: Schematizzazione della tecnica di sedimentazione verticale.
questo processo varie volte e poi le abbiamo riportate nuovamente in sospensione in
acqua con una concentrazione volumetrica pari allo 0.7% di sfere.
Dopo aver ottenuto le sfere, le abbiamo impacchettate utilizzando la tecnica della
deposizione verticale (dip coating) [18]: si pone un vetrino da laboratorio nel beaker
in posizione verticale e si fa evaporare l’acqua della soluzione. In questo modo le sfere
si depositano sul vetro, a causa delle forze di capillarità presenti tra il menisco ed il
vetro stesso, e vengono trascinate verso il basso dal livello dell’acqua, che si abbassa
a causa dell’evaporazione, impacchettandole (fig 2.3). Nel caso delle sfere da 460 nm
abbiamo messo il beaker in un forno a 65 ◦ C fino alla totale evaporazione dell’acqua.
Il prodotto finale è un opale diretto di 20μm di spessore, ma con una superficie
omogenea è priva di difetti 5 . A questo punto le sfere sono legate fra loro solo da
forze di van der Waals e basterebbe immergerle in un liquido per ridisperderle. Per
renderlo più facile da manipolare, il campione è stato sinterizzato a 900 ◦ Cper3
ore, facendo in modo che le sfere si fondano tra loro rendendolo più resistente, ma
senza danneggiare la struttura periodica.
Le fasi delicate della preparazione, ovvero quelle che fortemente determinano la
qualità del cristallo, sono tre:
• la sinterizzazione, se fatta ad una temperatura troppo elevata e per troppo
5 Con altre tecniche, ad esempio la sedimentazione naturale, invece si formano degli agglomerati
di sfere sulla superficie che peggiorano la qualità del campione.

2.3. Preparazione degli opali 37
a)
b)
Figura 2.4: a: Foto SEM di un opale diretto di SiO 2 con sfere di 240 nm: sono evidenti
le spaccature (anche se entità modesta) e la deformazione delle sfere causata dal processo
di fusione. b): Foto SEM di un opale diretto di SiO 2 con sfere di 390 nm: le frecce fanno
notare sfere di diametro sensibilmente diverso (causato dall’elevata polidispersione), che
generano una deformazione nella struttura.
tempo, rischia di fondere eccessivamente le sfere oppure di creare delle fatture
nella struttura (fig 2.4 (a));
• la velocità con cui il menisco si abbassa deve essere sufficiente per evitare che
le sfere decantino sul fondo del beaker, ma non troppo veloce affinché cisiaun
buon impacchettamento;
• la polidispersione delle sfere deve essere buona per evitare che la struttura
risulti danneggiata (fig 2.4 (b)).
Con questo sistema abbiamo ottenuto un ottimo campione con sfere da 460 nm con
domini di grandi dimensioni, come si può vedere in fig 2.5.
Per quanto riguarda la preparazione di un opale inverso di silicio, invece, il procedimento
èpiù delicato e necessita di macchinari particolarmente costosi. Per i
nostri studi sugli opali inversi di silicio abbiamo utilizzato i campioni prodotti in collaborazione
con l’Università di Toronto. Riportiamo qui le principali operazioni da
compiere per ottenere un buon cristallo fotonico. Prima di tutto, dopo aver prodotto
un opale diretto di silice, dobbiamo infiltrare questo cristallo fotonico con il silicio e

2.3. Preparazione degli opali 38
2 m
Figura 2.5: Foto SEM di un campione di opale diretto di SiO 2 con sfere di 460 nm: si
può notare la buona qualità della struttura.
per fare ciò si utilizza la dissociazione termica del silano (SiH 4 ). Il campione (posto
in una camera a vuoto) viene infiltrato con silano per deposizione da vapore chimico
(CVD, Chemical Vapor Deposition). La temperatura del campione viene mantenuta
a 550 ◦ C, che è la temperatura di dissociazione del silano: il risultato è che il silicio
si lega con la silice e rimane all’interno del campione, mentre l’idrogeno passa in fase
gassosa. Il procedimento prevede un tempo di infiltrazione che varia a seconda della
macchina, ma tipicamente si aggira attorno a 1 ora. L’infiltrazione di Si èunoperazione
non semplice ed è difficile ottenerla in maniera completa e omogenea su tutto
il campione: se a questa difficoltà si aggiunge una pessima qualità del campione di
silice, abbassiamo ulteriormente la possibilità di ottenere un buon campione di opale
inverso di silicio. Alla fine di questo processo, si forma sulla superficie del campione
uno strato si silicio, creatosi durante la deposizione, che deve essere rimosso: per
fare questo si utilizza la tecnica dell’attacco chimico con ioni reagenti (RIE, Reactive
Ion Etching).
Il passo finale da compiere è la rimozione delle sfere di silice attraverso attacco
chimico. Poiché il silicio è meno soggetto all’azione corrosiva dell’acido fluoridrico
(HF), al contrario della silice, si immerge il campione in una soluzione di acqua e HF.
Il tempo di esposizione dipende dalla concentrazione di HF utilizzata. Questa parte

2.3. Preparazione degli opali 39
b [110]
1 m
c
[111]
1.5 m
a)
Figura 2.6: a): Spettri in riflessione di un opale di silice infiltrato con Si, al variare del
tempo di attacco chimico con HF; b) e c): foto SEM di un campione di opale inverso di
Si con sfere di 840 nm prodotto dall’Università di Toronto.
della preparazione del campione è stata da noi studiata su un campione prodotto in
collaborazione con il Politecnico di Torino. Abbiamo utilizzato una concentrazione
di HF pari all’1%, studiando l’effetto della rimozione della silice sullo spettro di
riflessione del campione. In fig 2.6 (a) è riportata l’evoluzione di questi spettri dopo
2, 4 e 6 ore di attacco chimico. Lo spostamento dei picchi di riflessione è sempre verso
lunghezze d’onda inferiori e solitamente questo comportamento è associato ad un
incremento del contrasto di indice di rifrazione: quindi possiamo interpretare questo
effetto come se la silice venisse rimossa uniformemente su tutto il campione. A titolo
di esempio, i fig 2.6 (b) e (c) sono riportate due immagini SEM (rispettivamente il
piano [110] e quello [111]) di un opale inverso di silicio prodotto in collaborazione
con l’Università di Toronto.

Capitolo 3
Risultati sperimentali: Analisi della
struttura a bande di cristalli fotonici 3D
3.1 La struttura cristallina degli opali
Come accennato nel paragrafo 2.1, per studiare i cristalli atomici e la loro struttura
si sfrutta lo scattering di raggi X: la loro lunghezza d’onda è paragonabile alle dimensioni
degli atomi (circa 1 Å), che sono quindi sperimentati dall’onda elettromagnetica
come singoli centri di diffusione. Analogamente, poiché i nostri cristalli fotonici sono
costituiti da sfere di dimensioni circa 10 3 − 10 4 Å, analizzeremo la struttura con luce
visibile e nel vicino infrarosso.
I cristalli fotonici che abbiamo analizzato sono opali che hanno un reticolo di
Bravais cubico a facce centrate (FCC) (fig 3.1 (a)).
Si dice reticolo di Bravais
l’insieme dei punti il cui vettore posizione R èdeltipoR = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ,
dove n i sono multipli interi e a i sono detti vettori primitivi. Questi ultimi generano
la cella primitiva (al cui interno c’è un solo elemento del reticolo), ovvero un volume
di spazio che, traslato su tutti i vettori posizione del reticolo di Bravais, riempie
completamente la struttura. Le possibili combinazioni che soddisfano queste due
ultime definizioni sono molte, ma di solito si sceglie come vettori primitivi per un
40

3.1. La struttura cristallina degli opali 41
a 1
a 2
a 3
a) b)
c)
Figura 3.1: a): Struttura cristallina a FCC; b) Vettori primitivi che formano una base
per la struttura a FCC; c) Cella di Wigner-Seitz per una struttura a FCC.
FCC quelli in fig 3.1 (b) e come cella primitiva la cella di Wigner-Seitz (fig 3.1
(c)). Per meglio comprendere l’interazione fra la luce e il cristallo fotonico viene
utilizzato il reticolo reciproco: attraverso un oppportuna trasformazione si passa da
un reticolo di Bravais nello spazio reale ad uno nello spazio delle fasi. In generale,
fissati i vettori primitivi dello spazio reale a 1 , a 2 e a 3 , i vettori primitivi del reticolo
reciproco sono:
a 2 × a 3
b 1 =2π
a 1 · (a 2 × a 3 ) , (3.1)
a 3 × a 1
b 2 =2π
a 2 · (a 3 × a 1 ) , (3.2)
a 1 × a 2
b 3 =2π
a 3 · (a 1 × a 2 )
(3.3)
e la cella di Wigner-Seitz del reticolo reciproco viene detta prima zona di Brillouin,
che nel caso di un FCC appare come in fig 3.2. A questo punto possiamo definire il
piano con indici di Miller [h,k,l] come quel piano ortogonale al vettore del reticolo
reciproco hb 1 + kb 2 + lb 3 .
Esattamente come nel caso elettronico per un cristallo atomico, è possibile descrivere
tutta la struttura a bande di un cristallo fotonico considerando solo il diagramma
della zona-ridotta di Brillouin. Essendo una struttura tridimensionale conviene
definire alcuni punti di simmetria ai quali riferirsi. In fig 3.2 (a) sono riportati i
punti ad alta simmetria: Γ (centro della zona di Brillouin per cui k ha coordinate

3.1. La struttura cristallina degli opali 42
[111]
W
k
W
L
U
K
[111]
L
U
K
X
X
a) b)
[200]
[200]
Figura 3.2: Prima zona di Brillouin per una struttura a FCC. a): sono visibili i punti di
simmetria Γ, L,U,K,WeX.b):è evidenziata la circonferenza centrata in L che indica
le possibili direzioni del vettore k al variare dell’angolo di incidenza.
(0,0,0)), L e X (punti sulla superficie della zona di Brillouin al centro dei piani,
rispettivamente, [111] e [200]), K, U e W (sul bordo delle facce).
Poiché il cristallo fotonico è cresciuto su piani paralleli al piano [111], dovremo
riferirsi a questo piano quando facciamo misure di riflessione. Se il fascio di luce è
ortogonale alla superficie del campione, il picco di riflessione sarà associato al vettore
k=(L-Γ); allargando l’angolo di incidenza, il vettore k associato inciderà sempre sulla
superficie del piano [111], ma leggermente spostato verso il bordo dell’esagono (fig
3.2 (b)).
Solitamente i campioni che si riescono a produrre attualmente non si presentano
come un’unica struttura cristallina, ma con vari domini con diverse orientazioni.
I queste condizioni non è possibile illuminare un unico dominio (in particolare ad
angoli larghi dove lo spot si allunga sensibilmente (fig 3.3)) e quindi la zona di
Brillouin non sarà come quella di fig 3.2, ma risulterà essere la media di tutte le zone
di Brillouin associate ad ogni dominio che illuminiamo. D’altrocanto considerando
un cristallo fotonico di buona qualità (ovvero con domini con superficie superiore
ai 50μm×50μm), è corretto considerare una zona Brillouin come quella di fig 3.2.

3.1. La struttura cristallina degli opali 43
Angoli 5-45 Angoli 50-65
Angoli 65-85 Angoli 89
Figura 3.3: Schematizzazione dell’allargamento a cui lo spot è soggetto incrementando
l’angolo di incidenza: come si può vedere l’effetto è particolarmente evidente per angoli
superiori a 65 ◦ .
Poiché nonè nota l’orientazione del domino, non possiamo sapere esattamente in
che direzione ci stiamo muovendo allargando l’angolo di incidenza, ma possiamo
supporre che la nostra posizione sia all’interno di una circonferenza centrata in L
(fig 3.2 (b)). Per capire come è orientato il dominio possiamo cercare di raggiungere
il bordo del piano [111] e dedurre la nostra posizione confrontando gli spettri in
riflessione e l’angolo di incidenza corrispondente (vedi paragrafo 3.2.1).

3.2. Opale diretto di silice 44
3.2 Opale diretto di silice
Figura 3.4: Struttura a bande di un opale diretto perfetto di S i O 2 con indice di rifrazione
1.42; sono evidenziate con le frecce verdi le direzioni che corrispondono ad un incremento
dell’angolo di incidenza e le zone in corrispondenza del primo e del secondo picco di Bragg.
Per studiare il comportamento di un cristallo fotonico in maniera esauriente non
è sufficiente la legge di Bragg, ma si deve utilizzare la struttura a bande fornita dal
calcolo numerico: in fig 3.4 è riportato questo tipo di grafico (sulle ascisse le direzioni
del vettore k e sulle ordinate la lunghezza d’onda normalizzata ( a λ = ωa )) di un
2πc
opale perfetto, quindi il 75% è composto di silice e il 25% di aria, con indice di
rifrazione per la silice pari a 1.42. Fissato il rapporto fra il volume occupato dai vari
costituenti (filling ratio) ed il loro indice di rifrazione, il grafico non dipende dalle dimensioni
delle sfere ma è perfettamente scalabile, come mostrato nel paragrafo 1.1.1:
quello che conta quindi è il rapporto fra la lunghezza d’onda e il diametro delle sfere.
La struttura a bande riportata in fig 3.4, come tutte quelle che verranno mostrate
in questa tesi, sono state da noi calcolate con il programma (MIT Photonic-Bands)

3.2. Opale diretto di silice 45
Figura 3.5: Picco di riflessione con angolo di incidenza a 8 ◦ di due campioni di opale
diretto con lo stesso indice di rifrazione ma differenti dimensioni delle sfere; la riflettività
del campione dipende dalla qualità del punto: maggiori sono il numero di domini illuminati
minore è la riflettività.
fornito gratuitamente dall’Istituto di Tecnologia del Massachusetts: una volta descritta
la struttura cristallina del campione che stiamo analizzando (le dimensione
delle sfere, la loro disposizione spaziale e l’indice di rifrazione dei vari costituenti), il
programma risolve per via numerica l’equazione (1.10) in approssimazione di onde
piane, fornendo, fra le altre cose, il grafico della relazione di dispersione [19].
Analizziamo la prima gap (primo picco di Bragg) che si forma sul punto L a
a
=0.665 riferendosi alla fig 3.5: questi spettri rappresentano la riflettività assoluta
λ
misurata con l’apparato descritto nel Capitolo 2, con uno spot di 200μm edun
angolo di incidenza ad 8 ◦ ; il picco di riflessione cambia lunghezza d’onda al variare
delle dimensioni delle sfere seguendo, in prima approssimazione, il rapporto sopra
descritto( 1 ). Generalmente il rapporto a λ
per i dati raccolti differisce del (2 ÷ 5)%
da quello teorico. Il leggero disaccordo presente fra teoria ed esperimento nasce da:
1. imperfezioni della struttura cristallina, come polidispersione, fratture, etc., già
1 La riflettività è una delle caratteristiche che descrivono la qualità di un campione: poiché per
un cristallo perfetto R = 1 all’interno della bandgap, più alta è la riflettività misurata migliore sarà
la qualità del cristallo.

3.2. Opale diretto di silice 46
descritte nel paragrafo 2.3;
2. dal fatto che l’indice di rifrazione delle sfere non sia noto con precisione, ma
dedotto dalle misure di riflessione invece che con misurazioni appropriate.
Confronto tra diverse tecniche di crescita
1 m
Figura 3.6: A sinistra un’immagine SEM di un opale diretto di SiO 2 ottenuto per sedimentazione
naturale; a destra lo spettro di riflessione di tale campione, con un angolo di
incidenza di circa 25 ◦ .
Differenti tecniche di crescita comportano differenti risultati nella qualità del
campione. In effetti le principali tecniche di crescita per ottenere degli opali diretti
sono due: la tecnica di Stöber, descritta nel paragrafo 2.3, e quella di sedimentazione
naturale, che sfrutta la forza di gravità. Poiché per ottenere una struttura compatta
con la seconda tecnica, si deve aspettare qualche mese affinché le sfere in sospensione
nella soluzione decantino completamente, si preferisce utilizzare la centrifuga
per accelerare i tempi. In questo caso il campione risulta più spesso e quindi più
resistente rispetto alla tecnica di Stöber, ma in realtà la qualità non migliora: infatti
solo gli strati centrali del campione presentano un buon impacchettamento, mentre
quelli esterni, i primi con cui la luce interagisce, sono di pessima qualità. Per fare un
esempio su come questo si ripercuota sulle proprietà ottiche riferiamoci alla fig 3.6.
Questo campione è stato preparato attraverso la deposizione naturale utilizzando

3.2. Opale diretto di silice 47
1 m
Figura 3.7: A sinistra un’immagine SEM di un opale diretto di SiO 2 ottenuto con la
tecnica di Stöber; a destra lo spettro di riflessione di tale campione, con un angolo di
incidenza di circa 25 ◦ .
le stesse sfere, ottenute attraverso la tecnica di Stöber (diametro 390 nm), utilizzate
per la sedimentazione verticale. Come si può vedere, il campione così ottenuto
presenta in superficie alcuni agglomerati di sfere che ne compromettono la qualità,
ma la geometria sottostante è molto buona, con poche fratture e pochi domini 2 .Il
risultato da punto di vista ottico però nonè molto soddisfacente a causa della bassa
riflettività (fig 3.6): per ottenere risultati migliori dovremmo quindi rimuovere i
primi strati.
Consideriamo adesso la fig 3.7: il campione riportato in figura ha sfere dello
stesso diametro di quello sopra descritto, ma è stato ottenuto con la tecnica di sedimentazione
verticale. Come si può vedere il numero di agglomerati sulla superficie è
sensibilmente minore e, anche se ci sono un numero maggiore di domini e di fratture,
il risultato dal punto di vista ottico è migliore, con una riflettività superiore.
2 Questo è uno dei punti migliori nei quali è possibile vedere gli strati sottostanti: ci sono regioni
nelle quali si può vedere solo gli agglomerati in superficie.

3.2. Opale diretto di silice 48
3.2.1 Misure al variare dell’angolo di incidenza
Allargando l’angolo di incidenza, come ègià stato detto, ci muoveremo dal punto L
verso il bordo della zona di Brillouin. Per poter fare un confronto fra la struttura
a bande ed i dati sperimentali, si deve sostituire l’angolo di incidenza esterno con
quello interno al cristallo dato dalla rifrazione della luce; per fare una stima si può
utilizzare la legge di Snell sfruttando la stessa approssimazione utilizzata per la
riflessione di Bragg, ovvero utilizzare l’indice di riflessione medio invece di quello
effettivo:
sin(θ r )=n e sin(θ e ), (3.4)
dove è l’indice di rifrazione medio del campione, n e è quello esterno (nel
nostro caso è quello dell’aria n air = 1), mentre θ r e θ e sono rispettivamente l’angolo
di rifrazione e quello di incidenza. Usando la media geometrica per ,vedi
paragrafo 2.1, otteniamo =0.75n SiO2 +0.25n air =1.32. Poiché l’angolo minimo
che riusciamo a sondare con questo apparato è8 ◦ mentre quello massimo è80 ◦ ,
gli angoli interni a cui possiamo arrivare variano tra circa 6 ◦ e48 ◦ . Quindi teoricamente,
conoscendo l’orientazione del dominio che stiamo illuminando ed avendo
un cristallo perfetto che soddisfi la nostra approssimazione, è possibile raggiungere
i punti si simmetria U, K e W: le direzioni U-Γ e K-Γ formano con la direzione L-Γ
un angolo di 34 ◦ , mentre la direzione W-Γ un angolo di 39 ◦ . In fig 3.8 è riportata
la riflettività in funzione della lunghezza d’onda al variare dell’angolo interno, da 6 ◦
a 45.4 ◦ , in modo da evidenziare come l’incremento dell’angolo di incidenza porti ad
uno spostamento del picco di Bragg; questo spostamento ècosì pronunciato da non
poter creare una regione, nel grafico di fig 3.8, in cui ci sia sovrapposizione di tutti i
picchi: se questo avvenisse vorrebbe dire che saremmo in presenza di una bandgap.
Questo d’altronde non ci stupisce perché la struttura a bande non presenta né una
bandgap completa né una parziale per le direzioni sondate. Poiché stiamo incrementando
l’angolo di incidenza, dobbiamo confrontare i dati sperimentali con le direzioni

3.2. Opale diretto di silice 49
Figura 3.8: Picchi di riflessione, per il campione da 460 nm di diametro, al variare
dell’angolo interno (da 6 ◦ a 45.4 ◦ ).
(L−K), (L−U) e(W −L) in fig 3.4, riferendosi al primo picco di Bragg; per queste
direzioni e a queste frequenze la gap tende a salire in frequenza (o a scendere il
lunghezza d’onda) all’aumentare dell’angolo, in accordo con l’andamento dei nostri
dati sperimentali.
Compiendo un analisi più dettagliata fra 32.1 ◦ e 34.4 ◦ interni (fig 3.9), notiamo
un interessante comportamento nella riflessione: il picco di Bragg sparisce e viene
sostituito da un altro picco.
La spiegazione di questo fenomeno è comprensibile
confrontando l’angolo interno, stimato con la legge di Snell, con quello teorico del
bordo della zona di Brillouin: l’angolo K̂ΓL èdi34 ◦ gradi rispetto alla normale al
piano, mentre W ̂ΓL èdi39 ◦ . Possiamo supporre che lo sdoppiamento del picco sia
un effetto nato dall’illuminazione contemporanea di due facce della zona di Brillouin,
ovvero di aver allargato così tanto l’angolo da raggiungere il bordo della faccia [111].
La discrepanza fra i valori degli angoli calcolati teoricamente (il bordo più vicino è
a34 ◦ ) e quelli misurati (circa 33 ◦ ) sono spiegabili considerando che:

3.2. Opale diretto di silice 50
Figura 3.9: Picchi di riflessione, per il campione da 460 nm di diametro, al variare
dell’angolo interno (da 32.1 ◦ a 34.4 ◦ ).
• stiamo illuminando vari domini del campione, che possono contribuire in maniera
diversa, sia per orientazione che per inclinazione rispetto al piano [111];
• abbiamo utilizzato per la legge di Snell l’indice rifrazione medio invece di quello
effettivo, e quindi la stima ottenuta per l’angolo interno è approssimativa.
Il doppio picco è prodotto dalla focalizzazione del fascio: la luce non è collimata
e quindi presenta vari k con direzione diversa; ciò significa che non stiamo sondando
una sola direzione della zona di Brillouin, ma un cono il cui vertice è il punto Γ e la
cui base è sulla superficie del solido. In definitiva allargando l’angolo di incidenza la
base del cono sarà in parte su una faccia ed in parte su un’altra (fig 3.10): alcuni k
incideranno sul piano [111], mentre altri su un’altro piano.
Riferendosi nuovamente alla fig 3.8, possiamo interpretare i picchi di riflessione
con λ>800 nm, come riflessioni di Bragg associate al piano [111], mentre quelli
con λ

3.2. Opale diretto di silice 51
W
L
U
K
X
k
Figura 3.10: Prima zona di Brillouin per una struttura a FCC: è visibile il cono attorno
alla direzione principale del vettore k formato dalla focalizzazione del fascio e come la base
del cono sia compreso fra due piani.
ampi angoli, etc.), ma può essere spiegato come una proprietà fisica del campione
[20]. Per dare una descrizione sommaria introduciamo l’angolo di Brewster, definito,
riferendosi ad un unica superficie di discontinuita fra due mezzi, come quell’angolo
per cui la riflettività r della luce polarizzata parallelamente la piano di incidenza
si annulla. Nel caso di una struttura periodica, r risulta più complessa, ma tende
comunque ad annullarsi avvicinandosi all’angolo di Brewster. Quindi una possibile
interpretazione dell’andamento dell’intensità di fig 3.8 può essere che, poiché non
utilizziamo luce polarizzata, solo la componente parallela subisca questo effetto fino
al bordo della zona di Brillouin, dopodiché l’intensità aumenta nuovamente poiché
ci stiamo allontanando dall’angolo di Brewster del nuovo piano, invertendo l’effetto.
3.2.2 Analisi dello spettro nella regione a λ ≥ 1
Per frequenze più alte( a λ
≥ 1) la legge di Bragg non è in grado di giustificare completamente
il comportamento del cristallo fotonico: questo risulta principalmente a
causa dell’indice di rifrazione effettivo, che per queste frequenze può variare molto in

3.2. Opale diretto di silice 52
conseguenza alla complessità della struttura a bande. Questa complessità rende difficile
anche l’interpretazione stessa dei picchi di riflessione che non sembrano, almeno
non tutti, riferirsi a qualche stopband presente nel diagramma a bande. Grazie alla
possibilità di ruotare il campione attorno ad un asse ortogonale al piano di crescita
è stato possibile fare misure di riflessione tali da sondare un’intera circonferenza
intorno al punto L (non dobbiamo riferirci alla prima zona di Brillouin di fig 3.2,
maaquelleapiù alte energie). Considerando la struttura a bande di fig 3.4 nelle
direzioni L − U, L − K e L − W per energie più elevate, si può veder come le prime
due siano identiche mentre la terza sia diversa: questo comporta una simmetria a
60 ◦ per i picchi ad alte energie. Dedurre questa simmetria dalla geometria della
zona di Brillouin non è facile perché, anche se la prima zona di Brillouin presenta
sul piano [111] una simmetria a 60 ◦ abbastanza evidente (la faccia considerata è
esagonale), la seconda, la terza, etc., zone di Brillouin, che rappresentano le bande
per a λ
> 1, sono solidi molto più complessi, nei quali è difficile notare un’eventuale
simmetria. In fig 3.11 (campione con sfere da 460 nm) sono presenti due famiglie
di spettri sfasate di 30 ◦ l’una da l’altra e che si ripetono ogni 60 ◦ : questa simmetria
è in accordo con quella dedotta dalla struttura a bande e sottolinea la qualità del
campione. Come già detto, questi spettri sono di difficile interpretazione, eccezion
fatta per il picco attorno a 450 nm, che rappresenta il picco di Bragg al secondo
ordine e che è presente in entrambe le famiglie.
Indice di rifrazione effettivo
Data la difficoltà di stimare l’angolo interno per queste frequenze, è impossibile fare
un confronto con la struttura a bande, in modo da chiarificare il comportamento
ad alte energie, perché non sappiamo a quale valore di k ci dobbiamo riferire: per
risolvere questo problema dovremmo quindi utilizzare un apparato diverso, che ci
permetta di fare misure in riflessione ad angolo di incidenza zero, evitando così
l’effetto della rifrazione. In letteratura sono riportati alcuni di questi studi [21], dai

3.2. Opale diretto di silice 53
Figura 3.11: Picchi di riflessione normalizzati ad alte energie (campione da 460 nm di
diametro, angolo di incidenza pari a 25 ◦ ). Ruotando il campione intorno alla normale al
piano [111] è possibile distinguere due famiglie di spettri sfasate di 30 ◦ , con una simmetria
a60 ◦ . Le frecce evidenziano il secondo ordine del picco di Bragg a 450 nm.
quali però non si riesce ad evidenziare alcuna corrispondenza tra le gap presenti
nella struttura a bande e i dati sperimentali raccolti. Una probabile spiegazione che
possa giustificare questi picchi, è data dall’elevato dell’indice di rifrazione effettivo
(n eff ) associato a queste frequenze lungo la direzione L -Γ. Riferendosi alla fig 3.4,
si può vedere che nel punto L le bande tendono ad avere una bassa dispersione,
ovvero una pendenza poco pronunciata e quindi una v g bassa.
È stato verificato con
calcoli numerici [22] e successivamente anche sperimentalmente [21] che una buona
stima dell’indice di rifrazione effettivo del mezzo possa essere data da n eff = c v g
,
sostituendo cioè, nella definizione di indice di rifrazione la velocità digruppoa

3.2. Opale diretto di silice 54
quella di fase. Ne risulta quindi, nella direzione L -Γ, un indice di rifrazione effettivo
molto alto (n eff
> (< n>)). Supponiamo di considerare un fascio di luce che si
propaga nell’aria, con frequenze a λ
≥ 1; quando l’onda elettromagnetica incide sulla
superficie del campione, questa incontra un mezzo con indice di rifrazione n eff :per
alcune frequenze n eff sarà superiore che per altre e quindi subiranno una riflessione
più intensa. In questo modo si possono giustificare i picchi di riflessione misurati.
Il fenomeno rappresenta un effetto nato dalla non linearità del cristallo fotonico,
a cui accennavamo nel paragrafo 1.1.3: a lunghezze d’onda paragonabili al passo
reticolare, le bande si piegano in modo tale che la relazione di dispersione cessa di
essere lineare, cambiando drasticamente l’indice di rifrazione del campione e quindi
la propagazione della luce al suo interno.
3.2.3 Effetti di focalizzazione
Raccolta
3°
Lampada
Figura 3.12: Schematizzazione del cono prodotto dalla focalizzazione del fascio: l’apertura
èdicirca3 ◦ rispetto alla direzione dei vettori k centrali paralleli al piano di incidenza.
Come abbiamo già detto, il fascio di luce che utilizziamo per analizzare i campioni
non è collimato, ma viene focalizzato per sondare una regione ridotta del cristallo
fotonico; questo comporta inevitabilmente che i vettori k incidenti non siano uguali
fra loro, ma presentino una correzione angolare rispetto all’angolo di incidenza del
vettore centrale (fig 3.12).
Per dare una stima dell’apertura angolare del fascio
consideriamo come distanza di focalizzazione 60 mm circa e come raggio della lente
3 mm circa: ne risulta un angolo di circa 3 ◦ rispetto all’asse ottico della lente.
Il contributo di questa focalizzazione si presenta in un generale allargamento del

Riflettività normalizzata
3.2. Opale diretto di silice 55
Figura 3.13: Spettri in riflessione normalizzati. L’angolo d’incidenza è fisso a 35 ◦ ,mentre
quello di raccolta è variabile: a) spostamento del picco di Bragg; b) variazione delle
strutture a più alte energie.
picco di Bragg: raccogliendo non solo i vettori k sull’asse ottico, ma tutti vettori
k riflessi, questi contribuiranno alla riflessione con una frequenza diversa, a causa
della legge di Bragg. Perciò l’allargamento del picco, e di conseguenza la nostra stima
sulla larghezza della gap, non subisce solo l’effetto dell’imperfezione del campione,
ma anche un errore causato dal nostro apparato.
In realtà questo contributo è
trascurabile perché una differenza di 3 ◦ nell’angolo di incidenza non comporta un
sostanziale allargamento, almeno per angoli piccoli. Per quanto riguarda la posizione
delle gap la situazione èpiù complessa. Se ci riferiamo nuovamente alla fig 3.4, ci
rendiamo conto che la pendenza delle bande, nel caso del picco di Bragg, aumenta
all’aumentare dell’angolo e quindi che, per piccole variazioni dell’angolo di incidenza,
ci siano grandi variazioni nella frequenza riflessa. Riferendosi alla fig 3.13 possiamo
capirne l’effetto: in figura sono riportate le riflessioni normalizzate per il picco di
Bragg (fig 3.13(a)) e per energie più alte (fig 3.13(b)), con l’angolo di incidenza fisso
a35 ◦ ma quello di raccolta variabile (fra 32 ◦ e38 ◦ ). É possibile notare, nel caso di
fig 3.13(a), come i tre picchi seguano la legge di Bragg: se raccogliamo ad angoli più
piccoli, selezioniamo i vettori k con un angolo di incidenza minore e quindi, per la

3.2. Opale diretto di silice 56
legge di Bragg, una lunghezza d’onda più alta, e viceversa. Nel caso di fig 3.13(b) è
molto più difficile comprendere lo spostamento dei picchi perché nonè chiara la loro
natura, ma è comunque possibile notare come lo spettro a 35 ◦ , che sarebbe quello
sull’asse ottico della lente focalizzatrice, sia una ”media” degli altri due spettri: gli
spettri a 32 ◦ e35 ◦ sono uguali a 573 nm e diversi nella posizione del picco a 430 nm;
il contrario avviene per gli spettri a 35 ◦ e37 ◦ . In generale possiamo dire che per
fare un’analisi dettagliata degli spettri ad alte energie dovremmo avere un fascio ben
collimato ed una struttura cristallina di buona qualità per la quale non sia necessario
uno spot di dimensioni ridotte.

3.3. Opale inverso di silicio 57
3.3 Opale inverso di silicio
3.3.1 Riflessione
Come ègià stato detto nel Capitolo 3, un opale inverso di silicio dovrebbe presentare
una bandgap completa attorno a a λ
=0.8. L’attenzione della comunità scientifica sui
cristalli fotonici è dovuto principalmente per le potenziali applicazioni nei dispositivi
ottici, sia nell’ambito delle telecomunicazioni, che nel progetto molto ambizioso di
creare calcolatori che si basino interamente sulla fotonica. Poiché lo standard di
lunghezze d’onda scelto per questi dispositivi (in particolare per le fibre ottiche)
èa1.5μm, le sfere di questi campioni hanno un diametro di circa 840 μm.
A
causa dell’assorbimento del silicio, che avviene per λ < 1μm, gli spettri da noi
misurati, che siano in trasmissione o in riflessione, saranno da 1 μm a2.7μm, oltre
il quale l’emissione della lampada è trascurabile. Tutte le considerazioni fatte sulla
zona di Brillouin ed i suoi punti ad alta simmetria nel paragrafo dell’opale diretto,
sono validi anche in questo tipo di campioni, essendo cambiata solo la modulazione
dell’indice di rifrazione. Molto diversa è invece la densità degli stati dei due campioni.
Riferiamoci alla fig 3.14, in cui sono riportate i calcoli numerici [23] della densità
degli stati per un opale diretto di silice (a) ed uno inverso di silicio (b). Il grafico
per l’opale diretto fa vedere come l’andamento iniziale (frequenze piccole) sia di tipo
quadratico (linea rossa) paragonabile alla (1.20), e quindi si possa considerare una
relazione di dispersione di tipo lineare (ω = vk) come se fosse un mezzo omogeneo
(vedi paragrafo 1.1.3). Ciò è dovuto al fatto che per queste frequenze la lunghezza
d’onda non è sufficientemente piccola da poter risentire della periodicità del mezzo,
che viene quindi visto come un sistema con un indice di rifrazione medio. Quando
però ilrapporto a λ
≥ 0.6, la densità degli stati comincia a subire delle fluttuazioni
rispetto all’andamento parabolico: il valore del minimo coincide con la stopband
a a λ
=0.665. Se la bandgap fosse stata completa avremmo dovuto ottenere una
densità degli stati nulla, cosa che accade invece nel grafico di fig 3.14(b): in questa

3.3. Opale inverso di silicio 58
Figura 3.14: a) Calcolo numerico della densità degli stati (DOS) di un opale diretto con
il 75% di silice; b) Calcolo numerico della densità degli stati di un opale inverso con il
25% di silicio. È anche riportata in rosso la densità degli stati per un fotone in un mezzo
omogeneo.
figura l’andamento quadratico sparisce a a λ
=0.4 circa, avvicinandosi al primo picco
di bragg, e prosegue con fluttuazioni molto marcate fino a quando non si annulla
a a λ =0.8.
Questo significa che non esiste alcun vettore k con quello stato che
possa accedere al sistema o, in maniera equivalente, che dal sistema possa uscire. La
densità degli stati prosegue in maniera sempre più marcatamente non lineare, con
regioni di alto e basso valore che si susseguono.
Misure al variare dell’angolo di incidenza
Riferiamoci alla fig 3.15, dove sono riportati lo spettro in riflessione in funzione
delle frequenze normalizzate (sinistra) e la struttura a bande per questo campione
(destra). Si può notare sul punto L la prima gap per a λ
=0.48 che corrisponde
perfettamente al primo picco di Bragg sullo spettro. Successivamente a 0.8 si presenta
la bandgap completa, a cui corrisponde un picco di riflessione nello spettro;
in questo caso non potremo parlare di picco di Bragg: infatti la proprietà di una
bandgap completa è di rimanere fissa in frequenza al variare dell’angolo di incidenza,
mentre la legge di Bragg prevede l’opposto. In realtà nonc’è nessuna contraddizioni
fra i due fenomeni, ma si possono considerare uno il caso particolare dell’altro. I

3.3. Opale inverso di silicio 59
Riflettività
a/
Figura 3.15: A sinistra è riportato lo spettro in riflessione (sulle ascisse, messe in verticale,
c’è la frequenza normalizzata), con angolo di incidenza di 8 ◦ , di un opale inverso di silicio;
a destra la strutture a bande per questo campione fornitaci dal gruppo dell’Università
di Toronto.
picchi di Bragg per ogni angolo di incidenza sono così larghi da sovrapporsi e creare
una finestra di frequenze che viene sempre riflessa.
È possibile notare altri picchi di riflessione che non sono associabili a qualche
gap.
In particolare la regione subito sopra il picco di Bragg, che presenta una
riflettività pari al 50% per un ampio intervallo di lunghezze d’onda (da 0.52 a 0.66
circa), che può essere giustificata con la presenza di una serie di picchi sovrapposti.
Considerazioni analoghe possono essere fatte per i picchi per a λ
> 0.8, i quali però
nascono in una regione in cui la struttura a bande è molto complessa e sono quindi
di difficile interpretazione (vedi paragrafo 3.2.2). In particolare il picco con energia
maggiore non viene trattato nella discussione perché nonè stato ben risolto dal
nostro rivelatore.
Consideriamo adesso la fig 3.16: vi sono riportati gli spettri in riflessione per
questo campione al variare dell’angolo di incidenza, a sinistra da 8 ◦ a20 ◦ e a destra
da 25 ◦ a35 ◦ . In fig 3.16 (a) si può notare che il picco di Bragg (λ ≃ 2500 nm)

3.3. Opale inverso di silicio 60
Riflettività
a) b)
Figura 3.16: Spettri in riflessione al variare dell’angolo di incidenza di un opale inverso
di silicio con sfere di diametro ≃ 840 nm: a) sono riportati gli spettri da 8 ◦ a20 ◦ ;b)sono
riportati gli spettri da 25 ◦ a35 ◦ .
ha inizialmente un’ottima riflettività (R = 0.99), così come il picco a 1240 nm, ma
allargando l’angolo di incidenza le riflessioni tendono a sparire velocemente, tanto
che a 20 ◦ il primo è sparito ed il secondo si è abbassato molto. Il picco associato
alla bandgap rimane pressoché fisso in frequenza (il valore medio di tutte le misure
è circa 1450 nm) e il valore della riflettività è in prima approssimazione stabile al
50% circa.
In fig 3.16 (b) si può notare come, allargando l’angolo, le strutture presenti tendano
ad fondersi rendendo sempre più difficile stabilire la posizione dei picchi e
aumentando la loro larghezza a mezza altezza: in particolare, se seguiamo il picco a
sinistra della bandgap, vediamo che questo tende a spostarsi verso destra, contribuendo
all’allargamento del picco a 1450 nm. Le stesse considerazioni si possono fare per
le strutture a basse frequenze, anche se in questo caso non è possibile distinguere
qualche picco in maniera chiara, diversamente dal caso della bandgap. Per capire
in dettaglio il comportamento di questi picchi dovremmo confrontare la struttura a
bande con lo spettro di un unico dominio.
Analizziamo adesso le fig 3.17 (a) e (b) dove sono riportate lo stesso tipo di

3.3. Opale inverso di silicio 61
Riflettività
a) b)
Figura 3.17: Spettri in riflessione al variare dell’angolo di incidenza di un opale inverso
di silicio con sfere di diametro ≃ 840 nm: a) sono riportati gli spettri da 45 ◦ a60 ◦ ;b)
sono riportati gli spettri da 65 ◦ a75 ◦ .
misure commentate prima, ma per angoli superiori. In fig 3.17 (a) (da 45 ◦ a60 ◦ )
il valore della riflettività della bandgap non scende mai sotto il 40%, e la posizione
rimane attorno a 1450 nm e, anche se il picco diventa sempre più difficile da definire,
è possibile comunque individuarlo in maniera soddisfacente. La situazione ècompletamente
diversa per lunghezze d’onda superiori, dove è praticamente impossibile
evidenziare qualche struttura, ma solo un segnale di fondo con una riflettività media
piuttosto alta (≃ 40%); a 60 ◦ si può notare un picco basso intorno a 1850 nm che
commenteremo più avanti.
In fig 3.17 (b) sono riportate le misure per angoli d’incidenza da 65 ◦ a75 ◦ . La
forma degli spettri in questo grafico non permette di definire chiaramente la posizione
del picco della bandgap, probabilmente a causa anche dell’allargamento che lo spot
subisce: in questo modo illuminiamo una superficie maggiore del campione e quindi
troviamo zone con bassa qualità.
Analisi degli spettri
Per poter valutare la posizione dei picchi e la loro larghezza, che ci fornisce una stima
della larghezza della bandgap, analizziamo i grafici con un fit per stimare la posizione

3.3. Opale inverso di silicio 62
Riflettività
a) b)
Figura 3.18: a): Esempio di fit (in rosso) utilizzato per stimare la posizione e la larghezza
del picco: in questo caso la larghezza è(190 ± 3) nm e la posizione del picco (1470 ± 1)
nm; b): Spettri di riflessione con angoli di incidenza di 65 ◦ e70 ◦ : si può notare il picco a
1860 nm utilizzato come seconda funzione per fare il fit dello spettro a 70 ◦ tra 1300 nm e
1920 nm.
del picco: data la sua simmetria abbiamo scelto come funzione una gaussiana (in
rosso in fig 3.18 (a)). Gli errori sulla posizione e sulla larghezza del picco, scelti come
parametri della funzione, sono stati stimati minimizzando il valore del χ 2 (che per
queste funzioni è 0.02 circa) e risultano mediamente ≃ 0.2% e ≃ 3% rispettivamente.
Nel caso delle ultime due misure (fig 3.17 (b)) abbiamo dovuto effettuare un fit con
due gaussiane, una nota e l’altra era la nostra incognita. In fig 3.18 (b) è riportato
un particolare del grafico di fig 3.17 (b) solo per le misure a 65 ◦ e70 ◦ . Si può notare
come per entrambe le misure sia presente un picco a 1860 nm circa, ma che nel caso
di 70 ◦ sia molto meno definito: assumendo quindi che la posizione e la larghezza del
picco non cambi nelle due misure, abbiamo ricavato dal grafico a 65 ◦ i parametri
della curva con un fit gaussiano e poi abbiamo utilizzato questi dati per fare un fit
con due funzioni nelle misure a 70 ◦ ea75 ◦ .
In fig 3.19 (a) sono riportate le posizioni del picco della bandgap in funzione
dell’angolo di incidenza, dove la barra di errore rappresenta la larghezza del picco 3 . È
3 Non sono stati riportati gli errori sulla posizione e sulla larghezza del picco perché non sarebbero
stati visibili su questa scala: per la prima l’errore oscilla tra 0.7 nm e 4 nm, mentre quello della
seconda tra 1.4 nm e 10 nm

Posizione del picco (nm)
3.3. Opale inverso di silicio 63
a)
b)
Figura 3.19: a): Posizione del picco in funzione dell’angolo di incidenza, la barra d’errore
rappresenta la larghezza a mezza altezza del picco: si può notare che esiste una regione
comune tra le varie larghezze che verifica la presenza di una bandgap di 165 nm centrata in
1470. In (a) è riportata anche la bandgap teorica per confronto e i valori della riflettività
per ogni misura: si può notare come questa non scenda mai sotto il 38%; b): É riportato
lo stesso tipo di grafico, ma per il caso di un opale diretto di silice con sfere di diametro
di 460 nm.
ben visibile una finestra di lunghezze d’onda che verifica la presenza di una bandgap,
almeno per le direzioni sondate, larga circa 168 nm e centrata a 1470 nm, in accordo
con la stima teorica che era di 128 nm di larghezza centrata a 1466 nm. In fig 3.19
(b) è riportato per confronto lo stesso genere di grafico per le misure fatte su un
opale diretto di silice: al contrario del caso dell’opale inverso di silicio, in questo caso
non esiste una finestra di frequenze comune a tutti i picchi e quindi non è presente
una bandgap completa.
Questo genere di misura è una prima evidenza dell’esistenza di una bandgap
completa: considerando la buona qualità del campione e la simmetria della zona di
Brillouin, possiamo ipotizzare che sia presente anche su tutte le direzioni accessibili
dal piano [111]. D’altro canto non possiamo considerare questa misura come una
prova definitiva, perché nonè possibile sondare tutte le direzioni.
I motivi sono
essenzialmente due:

3.3. Opale inverso di silicio 64
• l’apparato ci permette solo variazioni angolari su un piano e non su tutto
l’angolo solido; benché questo apparato ci permetta di ruotare il campione
attorno ad un asse perpendicolare al piano [111], dovremmo utilizzare uno
spot più piccolo che illumini un solo dominio, altrimenti avremmo un effetto
medio, dato dai domini circostanti, che contribuirebbe in maniera diversa ad
ogni angolo di rotazione;
• non riusciamo ad arrivare a tutti punti di simmetria su questo piano. Poiché la
direzione L-Γ forma con quella X-Γ un angolo di 54 ◦ circa, con quella W-Γ un
angolo di 39 ◦ econquelleU-ΓeK-Γunangolodi35 ◦ , se applichiamo la legge
di Snell con indice di rifrazione medio = 1.61, notiamo che a 70 ◦ esterni
arriviamo solo a 36 ◦ interni. D’altronde dedurre l’angolo interno utilizzando la
legge di Snell vale solo in prima approssimazione, quindi per aver una stima più
precisa bisognerebbe fare un calcolo numerico partendo dalla dispersione della
struttura a bande; sarebbe sufficiente arrivare al punto W, che è la posizione in
cui la gap è minima (fig 3.15), per poter verificare la presenza di una bandgap
completa.
Questo campione di opale inverso di silicio è fra i migliori che possano essere
preparati con le tecniche attuali: infatti gli spettri in riflessione per piccoli angoli
di incidenza risultano identici a quelli di fig 3.16 (a) in ogni punto del campione.
Purtroppo a causa della difficoltà nella preparazione, il campione risulta inomogeneo,
come si può notare considerando gli spettri per ampi angoli di incidenza. In effetti la
ricerca di un punto che presentasse uno spettro soddisfacente anche ad angoli ampi
non è stata facile: benché, come già detto, tutti i punti del campione presentino
un’identico spettro a 8 ◦ gradi (ci può essere differenza nel valore della riflettività
che dipende da punto a punto), lo spettro a 75 ◦ cambia molto a seconda dalla

3.3. Opale inverso di silicio 65
Figura 3.20: Spettri di riflessione a 75 ◦ di incidenza in vari punti del campione (rosso),
confrontati con lo spettro di fig 3.17 (b) (nero): si può notare come l’andamento sia tale
da non permettere un fit gaussiano.
zona analizzata. In fig 3.20 sono riportati gli spettri a 75 ◦ presi in vari punti,
confrontati con l’analogo spettro di fig 3.17 (b): come si può vedere fare un fit
gaussiano con questi andamenti sarebbe stato molto difficile. Probabilmente questo
comportamento è dovuto ad una cattiva infiltrazione di silicio in fase di preparazione
del campione (vedi paragrafo 2.3), che ha abbassato la qualità della struttura.
3.3.2 Trasmissione e diffusione
Per fare un’analisi in trasmissione di un opale inverso di silicio, abbiamo utilizzato
un campione diverso (diametro delle sfere è di circa 905 nm), il cui supporto ci
permettesse di fare questa misura.
Lo spettro in riflessione a 8 ◦ è riportato in
fig 3.21 (a): si può notare come la struttura dello spettro sia molto più definita del
campione precedente, in particolare il picco di Bragg a 2500 nm e quello della bandgap
a 1600 nm, benché la riflettività si notevolmente più bassa; inoltre sono sparite quelle
strutture tra il picco di Bragg e quello relativo alla bandgap, che avevamo analizzato

3.3. Opale inverso di silicio 66
Riflettività
a) b)
Figura 3.21: Spettri in riflessione (nero) e in trasmissione (rosso) di un opale inverso di
silicio (diametro di circa 905 nm), con angolo di incidenza di 8 ◦ : la bandgap è a 1600
nm e il picco di Bragg a 2500 nm circa.
nell’altro campione. I fig 3.21 (b) sono invece riportati lo spettro in trasmissione e
in riflessione (angolo di incidenza 8 ◦ ), normalizzati a uno per fare un confronto. È
chiara la sovrapposizione nella regione intorno a 1900 nm, dove la trasmissione ha un
picco mentre la riflessione diminuisce; buona è anche la risposta nella regione attorno
a 2500 nm, dove la riflessione presenta un picco in corrispondenza di una diminuzione
della trasmissione. D’altronde nelle regioni a più bassa lunghezza d’onda ci saremo
aspettati un comportamento diverso nella trasmissione, ovvero almeno una struttura
intorno a 1500 nm. Per spiegare questo fenomeno dobbiamo introdurre la diffusione.
In assenza di assorbimento, possiamo supporre che R + T + D =1,doveD èun
coefficiente che descrive l’intensità della luce diffusa a causa delle imperfezioni del
materiale (dislocazioni, fratture, etc.). Da qui possiamo ricavarci lo spettro di D per
differenza: D =1− R − T . Il risultato è stato riportato in fig 3.22, che evidenzia
come il campione diffonda la luce in maniera significativa: le uniche regioni in cui
D diminuisce sono quelle ad alta riflettività, dove cioè il tempo di residenza della
luce all’interno del cristallo fotonico è minore e quindi subisce meno lo scattering per
diffusione. Da un altro punto di vista, l’alto valore di D giustifica la bassa riflettività:
se D è alto significa che la struttura al suo interno ha molti difetti che partecipano al
processo di diffusione e abbassano la qualità del campione. In definitiva D può essere

3.3. Opale inverso di silicio 67
Percentuale di luce diffusa
Figura 3.22: Spettro ricavato dalla differenza degli spettri in riflessione e in trasmissione
(D =1− R − T ) di un opale inverso di silicio (diametro di circa 905 nm), associato ad
un fascio di luce incidente a 8 ◦ : il valore di diffusione è sempre molto alto (mai inferiore
al 65%); sono visibili la bandgap è a 1600 nm e il picco di Bragg a 2500 nm come regioni
in cui la diffusione diminuisce drasticamente.
considerata come una grandezza che quantifica la qualità di un cristallo fotonico.
Adesso possiamo spiegare la mancanza del picco di trasmissione a 1500 nm
come conseguenza della bassa trasmittanza (T ) che il campione offre (sul picco
T = 0.08):
come abbiamo detto, poiché a queste frequenze l’assorbimento del
materiale è trascurabile, possiamo ipotizzare che la bassa trasmittanza sia dovuta
completamente alla diffusione. D’altronde, l’intensità della luce diffusa è ∝ λ −4
(scattering di Rayleigh) [24] e quindi a lunghezze d’onda minori la diffusione èsempre
maggiore. Possiamo, allora, ipotizzare che la struttura attesa a 1500 nm non
possa essere evidenziata a causa della bassa intensità del segnale, che viene coperto
dal rumore. È importante sottolineare che, nonostante l’elevata diffusione presente
in questi materiali, la struttura è sufficientemente ordinata da produrre picchi di
riflessione tipici di cristalli fotonici di buona qualità. In definitiva possiamo affermare
che, in questo tipo di campioni, coesistono fenomeni associabili sia a strutture
ordinate che a quelle disordinate.

Capitolo 4
Risultati sperimentali: Infiltrazione con
cristalli liquidi
4.1 Opale diretto
Introduciamo brevemente la tecnica utilizzata per infiltrare un campione di cristallo
fotonico. Inizialmente abbiamo portato in fase isotropa il cristallo liquido, ad una
temperatura superiore a quella critica. Le dimensioni dei nostri campioni sono molto
ridotte (approssimativamente 20 μm di spessore, 1 mm di larghezza e 3 o 4 mm di
larghezza), quindi è sufficiente una goccia di cristallo liquido per ricoprirli completamente.
Lo scopo è quello di far uscire l’aria dagli interstizi e far entrare il cristallo
liquido per capillarità: tanto più lentamente avverrà il processo, tanto migliore sarà
l’infiltrazione. D’altronde, una volta ricoperto il campione l’infiltrazione sarà effettuata
e non sarà possibile migliorarla, se non rimuovendo il cristallo liquido dal suo
interno. In definitiva i campioni da noi utilizzati sono stati infiltrati il più lentamente
possibile, ricoprendo il campione progressivamente partendo dal bordo e lasciandolo
infiltrare per una decina di minuti.
Una volta preparato il campione, è possibile utilizzarlo per un lungo periodo
di tempo: infatti il cristallo liquido all’interno non tende né ad evaporare, in fase
68

4.1. Opale diretto 69
Figura 4.1: a): Spettri in riflessione di un opale diretto di SiO 2 con sfere con diametro
di 460 nm (angolo di incidenza 25 ◦ ), prima e dopo l’infiltrazione; b): Simulazione della
struttura a bande ottenuta introducendo negli interstizi un mezzo con indice di rifrazione
di 1.6.
nematica la sua evaporazione è trascurabile, né ad uscire per forza di gravità. Il
cristallo liquido risulta fortemente confinato per le dimensioni ridotte degli interstizi
dell’opale, rispetto alla lunghezza di correlazione a, definita nel paragrafo 1.2.3.
Abbiamo scelto il cristallo liquido E7, distribuito dalla Merk, che rimane in fase
nematica fra -10 ◦ Ce60 ◦ C circa. L’E7 in fase isotropa ha un indice di rifrazione
n iso =1.57, mentre in fase nematica presenta un indice di rifrazione ordinario n o =
1.52, uno straordinario n e =1.75 ed uno medio n m =1.60 (per le definizioni vedi
paragrafo 1.2.2).
Modificare il contrasto di indice di rifrazione cambia sensibilmente la struttura a
bande del cristallo fotonico, come abbiamo mostrato nel paragrafo 3.3.1: in generale,
diminuire tale contrasto porta a spostare il picco di Bragg a frequenze inferiori e
tende a diminuirne la larghezza. In particolare infiltrando il nostro campione con
il cristallo liquido otteniamo proprio questo effetto: il contrasto tra aria e silice è
più grande ( n SiO 2
n air
=1.42) che tra E7 e silice ( n m
n SiO2
=1.13) e quindi l’infiltrazione
porta ad una diminuzione della larghezza del picco e ad un suo spostamento verso
lunghezze d’onda maggiori. Tutto questo è evidenziato in fig 4.1 dove sono riportati
a sinistra, gli spettri in riflessione normalizzati di un opale diretto di SiO 2 prima

4.1. Opale diretto 70
e dopo l’infiltrazione con il cristallo liquido E7, mentre a destra sono riportate le
strutture a bande con e senza il cristallo liquido: si può notare come la gap si sposti
e diminuisce in ampiezza.
4.1.1 Effetti di campo elettrico
Figura 4.2: Simulazione della struttura a bande per un opale diretto di silice con indice di
rifrazione 1.42 infiltrato con cristallo liquido con indice di rifrazione 1.75 (a) e 1.52 (b):
si possono vedere lo spostamento della gap, la sua variazione in ampiezza e come le gap
non si sovrappongono; in più sono evidenziati sia la posizione del vettore k per un angolo
di incidenza di 25 ◦ che il suo valore a λ corrispondente.
Come abbiamo detto nel paragrafo precedente, variare il contrasto dell’indice di
rifrazione porta ad uno spostamento del picco di Bragg. Poiché abbiamo introdotto
nel sistema un materiale birifrangente ci chiediamo come si possa sfruttare le sue
proprietà ottiche, in modo da ottenere un campione che abbia un picco di riflessione
sintonizzabile su un intervallo di frequenze. Poiché il cristallo liquido è soggetto al
campo elettrico, come abbiamo descritto nel paragrafo 1.2.4, supponiamo di alterare
la direzione del direttore in modo tale che la luce incidente sperimenti un indice di
rifrazione diverso al variare dell’intensità del campo.
In fig 4.2 sono riportate le
strutture a bande nel caso in cui si ottenga la massima differenza di contrasto di

4.1. Opale diretto 71
indice di rifrazione:
Δn 1 − Δn 2 =
n e
n SiO2
− n o
n SiO2
=1.23 − 1.07 = 0.16. (4.1)
Si può notare come il centro delle gap siano a frequenze diverse e che le gap stesse
non si sovrappongono: teoricamente dunque, in questi due casi estremi, ci aspettiamo
uno spostamento così grande da non far sovrapporre i due picchi. D’altronde,
applicando il campo e supponendo che all’interno del materiale non ci sia un allineamento
preferenziale del direttore, ci aspettiamo un movimento minore del picco: in
questo caso l’indice di rifrazione passa da un valore medio (per esempio il valore
associato alla media geometrica n m =1.6) a 1.52, supponendo di applicare il campo
in direzione parallela alla normale al piano [111]. In questo caso otteniamo:
Δn 1 − Δn 2 =
n m
n SiO2
− n o
n SiO2
=0.06. (4.2)
Il campo da applicare per allineare completamente le molecole deve essere sufficientemente
intenso da superare gli effetti di ancoraggio alle superfici a cui è soggetto
il cristallo liquido (vedi paragrafo 1.2.3). Come abbiamo già detto, il cristallo liquido
soggetto ad un campo elettrico comincerà ad allinearsi quando l’intensità del campo
sarà tale da superare la forza di ancoraggio, che viene descritta dalla lunghezza di
coerenza; quest’ultima è inversamente proporzionale al campo, quindi otterremo i
primi effetti dell’allineamento quando il campo sarà tale da ridurre questa lunghezza
a dimensioni paragonabili alla distanza tra le pareti della cavità, in cui è presente il
cristallo liquido.
Per generare un campo intenso dobbiamo tenere gli elettrodi il più vicino possibile,
ponendo attenzione affinché il campo non superi la rigidità dielettrica del
campione. Come elettrodi sono stati usati due vetrini da laboratorio sui quali èstato
depositato uno strato (coating) di materiale conduttivo (ITO, Ossido di Stagno-
Indio): la forma degli elettrodi è stata definita in maniera opportuna con un attacco

4.1. Opale diretto 72
Figura 4.3: Misure in riflessione (angolo di incidenza 20 ◦ , campione di opale diretto di
silice con sfere di diametro di 240 nm) al variare del campo elettrico (in V/μm): (a) da 0
V/μm a8V/μm; (b) da 9 V/μm a77V/μm.
chimico 1 in modo da ridurre il più possibile la regione in cui era applicato il campo.
Infine il campione è stato interamente immerso nel cristallo liquido per poterne
sfruttare le sue proprietà isolanti. La preparazione di questi campioni è risultata
molto delicata a causa, soprattutto, della fragilità e delle dimensioni ridotte del
cristallo fotonico: in particolarmente delicato è stato posizionare un vetrino sopra
l’altro, in modo che i due fossero molto vicini fra loro senza però rompere il cristallo
fotonico, e mettere il cristallo liquido fra i due elettrodi senza che si creassero bolle
d’aria.
In fig 4.3 sono mostrate alcune misure in riflessione di un campione di opale
diretto di silice con sfere di diametro di 240 nm, al variare del campo elettrico (in
V/μm) applicato tra i due elettrodi: in fig 4.3 (a) sono riportati gli spettri da 0
V/μm a8V/μm, mentre in fig 4.3 (b) da 9 V/μm a77V/μm. In (a) si può notare
come non ci sia nessun cambiamento evidente nella posizione del picco di Bragg.
Questo è dovuto al fatto che l’intensità del campo non è sufficiente a vincere le forze
di ancoraggio del cristallo liquido confinato all’interno del cristallo fotonico. In (b)
1 L’ITO è stato rimosso prima cospargendo della polvere di zinco nella regione interessata e poi
facendolo reagire con HCl al 37%.

4.1. Opale diretto 73
Figura 4.4: a): Spostamento del picco di Bragg (misure associate alla fig 4.3) in funzione
del campo elettrico applicato: sono visibili tre zone con andamenti diversi; lo spostamento
massimo è di 5 nm; b): andamento della riflettività in funzione del campo elettrico
applicato: anche in questo caso sono state evidenziate tre diverse zone.
invece si può notare lo spostamento del picco di Bragg fino a 40 V/μm ecomepoi
questo si fermi per campi più elevati.
In fig 4.4 (a) è riportato lo spostamento del picco di Bragg in funzione del campo
elettrico applicato: a causa delle forti fluttuazioni nella posizione del picco (soprattutto
a valori molto del campo), la stima dell’errore è stata fatta compiendo varie
misure a campo fisso, ricavandosi così la deviazione standard (±0.6 nm→≃ 0.1%)
e associando l’errore relativo trovato a tutte le misure fatte. In questa figura sono
evidenziabili tre zone in cui si presentano tre comportamenti diversi:
zona 1 il valore della posizione rimane fisso entro la barra d’errore: il campo applicato
non è sufficiente per vincere la forza di ancoraggio ed allineare così le
molecole;
zona 2 la posizione del picco scende in lunghezza d’onda all’aumentare del campo:
il campo ha l’intensità sufficiente per allineare le molecole nella direzione
parallela ad esso, cambiando così l’indice di rifrazione del sistema;
zona 3 il valore della posizione rimane fisso entro la barra d’errore: le molecole

4.1. Opale diretto 74
sono ormai tutte allineate e quindi aumentare il campo non porta cambiamenti
significativi nell’indice di rifrazione.
In fig 4.4 (b) è riportato andamento dell’intensità del picco di riflettività in
funzione del campo elettrico applicato: per quanto riguarda l’errore abbiamo utilizzato
la stessa tecnica del caso precedente, ottenendo un errore relativo troppo
piccolo (0.06%) per essere visualizzato nel grafico. Per descrivere il comportamento
utilizziamo le stesse tre zone evidenziate nel grafico precedente:
zona 1 la riflettività aumenta all’aumentare del campo. Ciò è dovuto al film di
cristallo liquido presente tra il vetro e il piano [111] del cristallo fotonico (fig
4.5): la distanza vetro-campione è molto maggiore della distanza tra le sfere
all’interno del campione e quindi il campo necessario per allineare queste molecole
è minore di quello che serve per allineare quelle nel campione stesso (ricordiamo
che ζ(E) ∝ 1 ). Il film di cristallo liquido da opaco (E =0)diventa
E
trasparente (E ≃ 10 V/μm), aumentando così la riflettività complessiva.
zona 2 la riflettività diminuisce all’aumentare del campo: questo effetto èdovuto
alla diminuzione del contrasto di indice di rifrazione che nasce dall’allineamento
delle molecole all’interno del campione
zona 3 la riflettività ha una leggera diminuzione all’aumentare del campo.
Per
valori associati a 62 V/μm ea77V/μm nonè stato possibile stimare l’errore:
in questi due casi le fluttuazioni sul valore dell’intensità erano molto pronunciate,
ma non è stato possibile fare più di una misura perché avremmo potuto
Vetrino ITO
Cristallo Liquido
k
E
Campione
Figura 4.5: Schematizzazione della cella di cristallo liquido in cui è immerso il campione.

4.1. Opale diretto 75
Figura 4.6: Spostamento del picco di Bragg in funzione del campo elettrico applicato per
un opale diretto di silice con sfere di diametro di 390 nm: si può notare che il valore del
campo per cui si cominciano ad allineare le molecole è lo stesso che nell’altro campione;
lo spostamento massimo èdi18nm.
danneggiare il campione, se sottoposto a campi elevati per un periodo di tempo
troppo lungo (indicativamente superiore a ≃ 5s).
In fig 4.6 è riportato spostamento del picco di Bragg in funzione del campo
elettrico applicato per un campione di opale diretto di silice con sfere di diametro di
390 nm: l’errore è stato stimato in maniera analoga alla precedente e risulta essere
di ±1 nm(→≃ 0.1%); lo spostamento del picco di Bragg in questo caso èmoltopiù
accentuato che nel precedente, arrivando fino ad un massimo di 18 nm.
4.1.2 Cristallo fotonico birifrangente
Misure analoghe a quelle fatte nel paragrafo precedente sono riscontrabili anche
in letteratura ([25, 26]), ma con uno spostamento del picco di soli 4 nm, che è
molto inferiore a quello evidenziabile in fig 4.6. Per spiegare questo disaccordo sulla
variazione della posizione del picco, dobbiamo supporre che la differenza di indice di
rifrazione, prima e dopo l’applicazione del campo elettrico, sia maggiore nei nostri
campioni, rispetto a quelli riportati in letteratura.
Poiché eliminando il campo

4.1. Opale diretto 76
elettrico il picco torna nella posizione iniziale, qualunque sia la causa di questo
aumento dell’indice di rifrazione, questo effetto risulta perfettamente riproducibile.
Possiamo quindi supporre che questo sia dovuto ad un parziale allineamento delle
molecole di cristallo liquido contenute nel campione, le quali in assenza di campo si
dispongano nuovamente nella direzione iniziale.
Misure di riflessione con luce polarizzata
[111]
x
z
y
s
p
Figura 4.7: Schematizzazione dell’esperimento con differenti polarizzazioni: generalmente
i campioni sono rettangolari e posizionati con piano [111] perpendicolari al piano di
incidenza; la polarizzazione ( p) giace sullo stesso piano.
Se effettivamente fosse presente un’allineamento, per quanto tenue, questo potrebbe
comportare un birifrangenza del campione, i cui effetti dovrebbero essere evidenti
con luce polarizzata (in fig 4.7 è riportata la schematizzazione dell’esperimento). Con
questo scopo abbiamo messo davanti alla lampada un polarizzatore su un supporto
ruotante, per poter cambiare in modo continuo la polarizzazione. Per distinguere le
varie polarizzazioni abbiamo utilizzato i gradi riportati sul polarizzatore, associando
alla polarizzazione parallela al piano di incidenza (p) l’angolo β = 0 e a quella
ortogonale (s) β = 90( 2 ).
Gli effetti di luce polarizzata su un cristallo fotonico (non infiltrato) sono stati
studiati da Galisteo-Lopez et al. [27], sia dal punto di vista teorico che da quello
sperimentale. Seguendo un procedimento analogo al loro, abbiamo riportato in fig
4.8 (a) i nostri calcoli numerici per la struttura a bande nel caso nel caso delle
due polarizzazioni (s e p, fig 4.7) al variare dell’angolo interno: come si può vedere
2 Aggiungendo il polarizzatore il nostro apparato non può fare misure ad angoli di incidenza
inferiori a 25 ◦ .

4.1. Opale diretto 77
s
p
s
p
a) b)
Figura 4.8: a): Simulazione della struttura a bande in funzione dell’angolo interno per le
due polarizzazioni; b): misure in riflessione per un opale diretto di silice (diametro di 460
nm) per le due polarizzazioni. Per entrambe le figure si può notare come la posizione della
gap sia la stessa nei due casi e la sua larghezza vari solo per ampi angoli.
per direzioni ortogonali al piano [111] e per piccoli angoli interni (inferiori a circa
13 ◦ ), la struttura a bande è identica per le due polarizzazioni; per angoli superiori
l’unico effetto è quello di un restringimento della gap per la polarizzazione p. Se
la struttura a bande avesse evidenziato anche uno spostamento della gap, avremmo
dovuto considerare il cristallo fotonico come un materiale birifrangente.
Questo
invece risulta isotropo: la sua isotropia è stata verificata anche sperimentalmente,
come si nota in fig 4.8 (b), dove sono riportati gli spettri di riflessione di un opale
diretto di silice (diametro di 460 nm) per le due polarizzazioni.
In fig 4.9 (pagina precedente) sono riportati gli spettri in riflessione di un opale
Figura 4.9: Spettri di riflessione per opale diretto di silice con diametro delle sfere da 240
nm con angolo di incidenza a 25 ◦ , al variare della polarizzazione in un opale non infiltrato
((a)) e in un opale infiltrato ((b)): è evidente lo spostamento in (b).

4.1. Opale diretto 78
Figura 4.10: a): Spostamento del picco di riflessione in funzione dell’angolo β, con angolo
di incidenza 25 ◦ ; b): Spostamento del picco di riflessione in funzione dell’angolo β, con
angolo di incidenza 40 ◦ ; nel riquadro è riportato un esempio di fit (in rosso).
diretto di silice con sfere, di diametro pari a 240 nm, al variare della polarizzazione
prima ((a)) e dopo ((b)) l’infiltrazione: si può notare come la posizione del picco di
fig 4.9 (a) non risenta della polarizzazione, mentre nel caso di fig 4.9 (b) sia evidente,
oltre allo spostamento del picco di riflessione a causa dell’infiltrazione, anche il suo
movimento di 10 nm al variare della polarizzazione. Un’analisi più dettagliata di
questo spostamento è mostrata in fig 4.10 (a), dove sono riportate le posizioni del
picco in funzione della variazione della polarizzazione: i valori sono stati ricavati
facendo un fit e, data la simmetria del picco, abbiamo utilizzato una gaussiana. La
stima dell’errore è stata ottenuta dalla la minimizzazione del valore del χ 2 (≈ 0.016)
e risulta essere Δλ ≈±0.08: nel riquadro di fig 4.10 è riportato a titolo di esempio
uno di questi fit. Vogliamo sottolineare l’andamento sinusoidale dei valori riportati e
che dopo una rotazione di 180 ◦ la posizione del picco torna ad essere quella iniziale.
Il cristallo fotonico da noi preparato presenta quindi un’evidente birifrangenza, che
presume un parziale allineamento delle molecole di cristallo liquido al suo interno. In
fig 4.10 (b) è riportato lo stesso tipo di misura ma per un angolo di incidenza di 40 ◦ :si
può notare come lo spostamento abbia risentito dell’angolo di incidenza, passando da

4.1. Opale diretto 79
Campione
a) b)
Figura 4.11: Spostamento del picco di riflessione in funzione dell’angolo di polarizzazione
al variare della rotazione del campione attorno alla perpendicolare al piano [111]: in
entrambi i casi si può notare la complementarità dei due grafici.
9 nm circa a 14 nm circa. La spiegazione di questo effetto risiede nell’allineamento
delle molecole: poiché lo spostamento aumenta aumentando l’angolo di incidenza
(almeno per gl angoli sondati), possiamo supporre che il direttore non sia parallelo
alla superficie [111], ma formi con questa un angolo, di almeno 17 ◦ ( 3 ).
Per caratterizzare ulteriormente il campione abbiamo fatto alcune misure di polarizzazione,
ruotando però il campione attorno all’asse perpendicolare al piano [111],
di un angolo φ (se φ = 0, il campione giace sul piano di incidenza, riquadro in fig
4.11). In fig 4.11 sono riportate due misure dello spostamento del picco in funzione
dell’angolo di polarizzazione per due angoli di rotazione (i valori riportati si
riferiscono alla direzione iniziale del campione): si può notare che le misure fatte per
angoli di rotazione che distano 90 ◦ sono complementari, come ci saremmo aspettati
a causa della simmetria a 180 ◦ introdotta dal cristallo liquido; in effetti, ruotando il
campione, ruotiamo anche il direttore e quindi gli effetti di polarizzazione vengono
spostati di un angolo pari a quello con cui è stato girato il campione stesso.
Per dimostrare che questa birifrangenza è dovuta alla fase nematica del cristallo
liquido sono state fatte misure portando il campione ad un a temperatura superiore
3 Il calcolo dell’angolo è stato fatto considerando il direttore ortogonale al fascio incidente a 40 ◦
e utilizzando la legge di Snell.

4.1. Opale diretto 80
p
s
a) b)
Figura 4.12: Spettri in riflessione di un opale diretto di silicio (diametro delle sfere 240
nm) infiltrato al variare della polarizzazione: a): il cristallo liquido è in fase isotropa e
quindi non c’è spostamento del picco; b): dopo la transizione di fase il cristallo liquido è
tornato in fase nematica presentando nuovamente la birifrangenza (in questo caso sono
state riportate le due polarizzazioni p ed s).
a60 ◦ C, in modo da portare in fase isotropa il cristallo liquido. In fig 4.12 (a) sono
riportati gli spettri in riflessione per alcuni valori dell’angolo β: come si può vedere
non c’è nessuno spostamento del picco di riflessione. Questo è dovuto all’isotropia
del sistema: infatti in fase isotropa il cristallo liquido è un comune liquido e quindi
sparisce la birifrangenza del mezzo. Successivamente abbiamo portato il sistema a
temperatura ambiente, riportando il cristallo liquido in fase nematica, per verificare
se avessimo ottenuto nuovamente un sistema birifrangente. In fig 4.12 (b) si può
notare lo spostamento del picco al variare della polarizzazione, che testimonia come
la birifrangenza sia data dalla fase nematica del cristallo liquido. Da questa figura
si possono fare due considerazioni: prima di tutto per poter giustificare il nuovo
allineamento delle molecole dopo la transizione di fase, si deve ipotizzare che la
direzione delle molecole debba dipendere dalle proprietà geometriche del campione;
come seconda cosa, si può notare come l’entità dello spostamento dipenda dal punto
scelto sul campione (lo spostamento è di soli 3 nm in questo caso, mentre nei grafici
precedenti era di 6 nm).
Questo effetto di birifrangenza è presente anche negli altri due campioni da noi

4.1. Opale diretto 81
p
s
p
s
a) b)
Figura 4.13: Spettri in riflessione per le due polarizzazione p ed s di opali diretti di silice
infiltrati, con sfere di diametro 390 nm (a) e 460 nm (b): lo spostamento è evidenziabile
per entrambi i grafici, anche se di entità diverse.
studiati (diametro delle sfere da 390 nm e 460 nm): in fig 4.13 sono riportate le misure
in riflessione di questi due campioni (rispettivamente (a) e (b)) per le polarizzazioni
s e p; si può notare lo spostamento del picco per entrambi, anche se di entità
notevolmente differenti (rispettivamente 3% e 0.5%).
In particolare consideriamo adesso lo spostamento riscontrato nei campioni da
240 nm e da 390 nm di diametro: questi sono riportati, rispettivamente, in fig 4.14 (a)
e (b). Se adesso li confrontiamo con lo spostamento massimo che avremmo ottenuto
con un totale allineamento del cristallo liquido, ovvero stimando le posizioni delle
gap dalle strutture a bande di fig 4.2, considerando un angolo di incidenza di 25 ◦ ,
otteniamo i dati riportati in tabella 4.1, dove D è il diametro delle sfere, Δλ th è
lo spostamento del picco teorico, Δλ sp è quello sperimentale, λ p e λ s le lunghezze
d’onda associate, rispettivamente, all’indice di rifrazione 1.75 e 1.52.
È chiaro quindi
D λ p λ s Δλ th Δλ sp
240 nm 573 nm 550 nm 22 nm 10 nm
390 nm 910 nm 875 nm 35 nm 30 nm
Tabella 4.1: Tabella riassuntiva in cui sono mostrati i valori teorici delle gap, associate
all’indice di rifrazione 1.75 (λ p )e1.52(λ s ), lo spostamento teorico (Δλ th ) e quello
sperimentale (Δλ sp ).

4.1. Opale diretto 82
a)
Figura 4.14: Spostamento del picco di riflessione in funzione dell’angolo β, per il campione
da 240 nm di diametro (a) e per quello da 390 nm di diametro (b), angolo di incidenza
25 ◦ .
che nel caso dei campioni da 390 nm di diametro la maggior parte delle molecole sia
allineata (85%), mentre nel caso dei campioni da 240 nm il numero di molecole sia
molto minore (18%).
Poiché questo effetto sembra dipendere fortemente dal campione di cristallo fotonico
e dal punto considerato su di esso, è possibile ipotizzare che questa birifrangenza
sia un effetto associato al tipo di campione che stiamo analizzando e alla
tecnica utilizzata per realizzarlo. Per dimostrare questo, misuriamo lo spettro in
riflessione al variare della polarizzazione per due campioni preparati in maniera diversa:
uno con la sedimentazione verticale, mentre l’altro con per sedimentazione
naturale. Il secondo campione è stato ottenuto come residuo della prima tecnica,
quindi con sfere identiche e nelle stesse condizioni termodinamiche: parte delle sfere
in sospensione, durante la preparazione del campione, si sono depositate sul fondo
del beaker impacchettandosi in una struttura a opale, anche se non di buona qualità.
I campioni da noi utilizzati hanno una forma rettangolare, quindi, poiché abbiamo
notato che l’allineamento delle molecole tende ad essere parallelo ad uno dei suoi lati,
abbiamo scelto le polarizzazioni che ci davano il massimo spostamento, seguendo lo
schema di fig 4.7. Per prima cosa abbiamo verificato che non presentassero nessun
effetto di birifrangenza senza l’infiltrazione del cristallo liquido.
Successivamente

4.1. Opale diretto 83
Riflettività normalizzata
p
s
lunghezza d’onda (nm)
Figura 4.15: Spettri in riflessione le polarizzazioni p ed s di un opale diretto di silice
infiltrato, con sfere di diametro 390 nm ottenuti con la sedimentazione naturale: non è
riscontrabile alcuno spostamento del picco di riflessione.
abbiamo fatto misure analoghe a quelle mostate in fig 4.9 per il campione ottenuto
per sedimentazione naturale; in fig 4.15 sono riportati questi spettri normalizzati
per le polarizzazioni p ed s: è possibile notare che il picco non subisce nessuno
spostamento. Quindi è ipotizzabile supporre che sia presente nella tecnica di crescita
per sedimentazione verticale qualche fenomeno che generi una lieve anisotropia nella
struttura del cristallo fotonico: tale anisotropia deve essere così tenue da non essere
evidenziabile in un campione non infiltrato, ma sufficiente a creare un allineamento
del cristallo liquido, dopo l’infiltrazione.
4.1.3 Analisi sulla struttura cristallina
Come abbiamo già detto, tutti i nostri campioni (240 nm, 390 nm, 460nm di diametro)
presentano questo effetto di birifrangenza dopo l’infiltrazione, anche se in
misura diversa.
Poiché lo spostamento del picco dipende non solo dal campione
ma anche dalla zona illuminata, risulta evidente che deve essere presente qualche
anisotropia nella geometria della struttura cristallina che induce l’allineamento delle
molecole. Per fare un’analisi dettagliata del cristallo sono state fatte delle foto con

4.1. Opale diretto 84
1 m
1 m
Direz. Di crescita
Figura 4.16: Foto SEM di due campioni di un opale diretto di silice con sfere da 390 nm
ottenuti con tecniche diverse: a sinistra con sedimentazione naturale, mentre a destra con
crescita verticale.
un microscopio a scansione elettronica (SEM); a titolo di esempio in fig 4.16 sono
riportate, in (a), una foto di un campione ottenuto con la deposizione naturale e una,
in (b), ottenuta con la sedimentazione verticale: nel secondo caso si può notare, il
grande numero di domini presenti rispetto alla prima foto. Questo però nonsembra
giustificare l’allineamento delle molecole, non essendoci una direzione preferenziale
evidente nella disposizione di tali domini.
Per poter per poter evidenziare un eventuale anisotropia presente nel campione,
è stata fatta la trasformata di Fourier di alcune foto SEM in regioni di (30×30) μm:
questo ci ha permesso di studiare la periodicità e la struttura del campione mediando
su tutti i domini. Per la struttura di un opale perfetto sul piano [111] ci dobbiamo
aspettare una trasformata di Fourier del tipo in fig 4.17 (a): una serie di punti che
formano vari esagoni concentrici che si ripetono all’infinito. Maggiore èilnumerodi
esagoni concentrici (si parla di solito di ordine) migliore sarà la qualità del cristallo,
perché significa che la struttura si avvicina a quella ideale per un’ampia superficie del
campione. In fig 4.17 (b) e (c) sono riportate le trasformate di Fourier delle immagini
di fig 4.16. La prima cosa che possiamo notare è che, se nella seconda immagine
abbiamo vari esagoni concentrici, nella terza abbiamo figure circolari leggermente
allungate nella direzione di crescita. Per quanto riguarda la forma circolare, questo

4.1. Opale diretto 85
Opale perfetto Sedimentazione naturale Sedimentazione verticale
B
A
Figura 4.17: Trasformata di Fourier di vari opali: a): Opale perfetto (sono evidenziati
isegmentiA k e B k ); b): Campione da 390 nm di diametro ottenuto con sedimentazione
naturale; c): Campione da 390 nm di diametro ottenuto con sedimentazione verticale.
effetto è dovuto dal grande numero di domini che sono orientati in maniera casuale
e che quindi presentano vari esagoni ruotati attorno al loro centro. Questo effetto
non è presente nella fig 4.17 (b) a causa del numero ridotto di domini presenti nel
campione ottenuto con la sedimentazione naturale.
Per quanto riguarda la sua deformazione nella direzione di crescita è stato fatto
una studio più approfondito nel tentativo di evidenziare una possibile anisotropia.
Per analizzare le trasformate di Fourier abbiamo definito due grandezze: A k e B k ,
mostrate in fig 4.17 (a).
Nelle foto SEM la direzione verticale è quella in cui il
menisco ha impacchettato le sfere (detta direzione di crescita), che è, in prima approssimazione,
la stessa in cui si presenta l’allineamento. Nel caso di una struttura
perfetta otteniamo un esagono perfetto e quindi il rapporto B k/ cos 30 ◦
=1,dove
30 ◦ è l’angolo che B k forma con le diagonali: tanto più questo rapporto, si discosta
dall’unità, tanto più l’esagono risulta deformato. Per stimare queste distanze abbiamo
considerato il profilo di intensità delle trasformate e valutato la posizione del
centroide del picco come quella dei vertici dell’esagono. In fig 4.18 (a) è riportato
il profilo associato ad A k in funzione della distanza in unità arbitrarie: l’errore su
questa misura è stato valutato come il numero di unità necessarie per arrivare dalla
posizione del centroide a metà dell’altezza del picco. In fig 4.18 (b) sono riportati
valori per il rapporto B k/ cos 30 ◦
stimati analizzando varie immagini (sull’asse delle
A k
A k

4.1. Opale diretto 86
k k
Distanza (a. u.)
Figura 4.18: a): Profilo di intensità di fig 4.17 (c) associato alla direzione A k ; b): sono
riportati valori per il rapporto B k/ cos 30 ◦
per le immagini studiate.
A k
ascisse) per tutti i campioni considerati: 240 nm (sedimentazione verticale), 390 nm
(sia sedimentazione naturale che verticale) e 460 nm (sedimentazione verticale) di
diametro delle sfere. Da questo grafico possiamo fare due considerazioni:
1. il rapporto per il campione ottenuto con la sedimentazione naturale e per quello
con sfere da 460 nm è circa 1, mentre quello ottenuto per i campioni 240 nm
e 390 nm è maggiore a 1;
2. il rapporto per tutti i campioni che mostrano un effetto di birifrangenza marcato
è sempre maggiore di 1: per i campioni da 240 nm e 390 nm di diametro
la deformazione è del 6%, mentre per i campioni da 460 nm èdel3%.
Per i campioni cresciuti con la sedimentazione verticale (B k = B k / cos 30) >A k :
poiché i rapporti nello spazio delle fasi sono inversi a quelli nello spazio reale (B r =
B r / cos 30)

4.1. Opale diretto 87
come lo spostamento (3% e 2%, nel caso rispettivamente di 460 nm e 240 nm di
diametro).
L’effetto descritto nel punto 1 può essere spiegato come conseguenza della tecnica
di crescita: le forze che contribuiscono ad impacchettare le sfere sono quella esercitata
dal menisco, che agisce nella direzione verticale delle foto SEM analizzate, e
quella esercitata dal vincolo del vetro su cui il campione è cresciuto, che agisce nella
direzione ortogonale al piano [111]; nella direzione rimanente, quella corrispondente
a A r , le sfere non sono sottoposte a nessuna forza e quindi tendono ad essere meno
vicine tra loro.
Questo spiega anche la tendenza del campione a rompersi lungo
la direzione corrispondente a B r : nella direzione A r la struttura risulta più fragile,
perché meno compatta, ed il campione tende a creare delle fratture verticali.
4.1.4 Allineamento del cristallo liquido nelle cavità
L’orientamento del direttore di un cristallo liquido in una cella dipende fortemente
dalla geometria di quest’ultima. Se il cristallo fotonico non avesse presentato nessuna
anisotropia, la cella sarebbe stata la cavità presente tra le sfere, che, per fare una
schematizzazione, avremmo potuto approssimare con una sfera [25]. Nel nostro caso
la situazione èpiù complessa da analizzare, perché la maggiore distanza tra le sfere
che si forma nella direzione A r genera delle cavità con geometria più complessa. Una
possibile schematizzazione può essere considerare la struttura come se fosse percorsa
da ”canali” (fig 4.19). Riuscire a capire la disposizione delle molecole per via ana-
B
Direzione di crescita
A
Campione
Canale
Figura 4.19: Schematizzazione della struttura cristallina dei nostri campioni presentano
anisotropia: sono evidenziati i ”canali” che inducono l’allineamento del cristallo liquido.

4.1. Opale diretto 88
(a) (b) (c)
y
x
z
Figura 4.20: Le configurazioni verificate sperimentalmente di un cristallo liquido in una
cavità cilindrica, partendo da un ancoraggio perpendicolare alla superficie: a): planar
polar ( PP), quando sono disposti parallelamente ad uno degli assi parallelo alla base; b):
escaped radial ( ER), quando sono disposti radialmente ma tendono ad uscire dai piani
paralleli alla base; c): escaped radial with point defects ( ERPD), quando sono disposti
radialmente ma tendono ad uscire dai piani paralleli alla base e sull’asse del cilindro sono
presenti alcuni difetti.
litica è molto difficile a causa della geometria di questi ”canali” e dal punto di vista
sperimentale bisognerebbe fare misure di risonanza magnetica nucleare [28] per poter
stimare la forza dell’ancoraggio con la superficie e l’andamento del direttore. Per
capire come si comporta il cristallo liquido in una tale cavità, possiamo approssimare
il canale con una cavità cilindrica. Come già accennato questa schematizzazione, e
tutte le conseguenze da essa derivanti, rappresentano un modello approssimativo,
che serve solamente a descrivere in maniera sommaria il comportamento fisico del
campione. Le configurazioni previste teoricamente non sono molte [29] e si distinguono
in due casi: un ancoraggio perpendicolare e uno parallelo alla superficie della
cavità. In fig 4.20 sono riportate solo le configurazioni del primo tipo, perché le
seconde non sono mai state verificate sperimentalmente e quindi sono state scartate
nella nostra analisi. Poiché per la polarizzazione p l’indice di rifrazione osservato
risulta più alto rispetto ad s, abbiamo supposto che le molecole fossero maggiormente
allineate lungo la direzione p, piuttosto che lungo s. Possiamo quindi supporre che
i canali abbiano l’asse di simmetria parallelo al direttore. Nel primo caso ((a)) non
è presente nessun allineamento lungo l’asse del cilindro e quindi la PP non viene
considerata nella nostra analisi, perché, in questa configurazione, la polarizzazione

4.1. Opale diretto 89
Lunghezza d!onda
Lunghezza d!onda
p vedrebbe un indice di rifrazione più basso; abbiamo supposto quindi che solo le
ultime due configurazioni ((b) e (c)) possano giustificare l’allineamento del direttore.
4.1.5 Campo elettrico e birifrangenza
p
s
p
s
a)
Campo elettrico
b)
Campo elettrico
Figura 4.21: Spostamento del picco di Bragg, in funzione del campo elettrico applicato, per
la polarizzazione p equellas: nel campione da 240 nm di diametro ((a)) si può notare che
per la polarizzazione s non c’è uno spostamento significativo del picco, mentre per quella
p lo spostamento è di 8 nm; nel campione da 460 nm di diametro ((b)) si può notare che
per la polarizzazione s c’è uno spostamento del picco di circa 7 nm, mentre per quella p
lo spostamento èdi15nm.
Dalle considerazioni fatte negli ultimi paragrafi, risulta interessante studiare con
luce polarizzata il comportamento del cristallo fotonico infiltrato al variare del campo
elettrico. In fig 4.21 sono riportati gli spostamenti della posizione del picco al variare
del campo, per la polarizzazione s e p, per campioni da 240 nm (fig 4.21 (a)) e 390
nm (fig 4.21 (b)) di diametro. Nel primo caso è possibile notare che lo spostamento
per le due polarizzazioni è notevolmente diverso: la polarizzazione p sperimenta un
indice di rifrazione (riferendosi al cristallo liquido) che passa dal valore iniziale, che
risente del parziale allineamento lungo la direzione p, ad uno finale, associato al
massimo allineamento ottenibile, compiendo uno spostamento di 8 nm (superiore ai
5 nm per la luce non polarizzata, fig 4.4); nel caso della polarizzazione s invece la
posizione del picco non subisce variazioni significative, come se una grande parte delle
molecole fosse già allineata parallelamente al piano X −Y di fig 4.22 (a). Nel secondo

4.1. Opale diretto 90
Z
s
Z
h
p
n Y
X
a) b)
X
n
Y
h
Figura 4.22: Schematizzazione della direzione delle molecole all’interno della cavità, con
h direzione dell’asse del cilindro e n direttore del cristallo liquido: in (a) n èsulX − Y ,
che contiene p; nel secondo n è fuori da questo piano.
caso invece è presente per entrambe le polarizzazioni uno spostamento, che risulta
sempre superiore per quella p: lo spostamento per questa polarizzazione èdicirca
15 nm ed è necessario un campo più intenso, che nel caso precedente, per ottenere
il totale allineamento delle molecole; per la polarizzazione s in questo campione si
nota uno spostamento di 7 nm, che può essere interpretato come se una grande parte
delle molecole fosse orientata in una direzione fuori dal piano X − Y di fig 4.22 (b).
Riassumendo, applicando un campo elettrico, otteniamo uno spostamento del picco
tanto maggiore, quanto maggiore è l’allineamento iniziale lungo la direzione p.
Considerando le misure mostrate in fig 4.21 (b), possiamo proporre un modello,
per quanto semplificato, che giustifichi il comportamento birifrangente del campione.
Prima di tutto dobbiamo scegliere quale delle due configurazioni mostrate nel paragrafo
4.23 (fig 4.20 (b) e (c)) sia più appropiata per descrivere il comportamento del
nostro sistema: per fare questo abbiamo confrontato l’indice di rifrazione del cilindro
nelle due configurazioni ER ed ERPD, per le due polarizzazioni, con quello medio
trovato nel campione. Lo spostamento mostrato in fig 4.21 (b) èdi15nm,mentre
quello stimato dalle strutture a bande partendo dall’indice di rifrazione medio
(n m =1.6) è di soli 10 nm. Dobbiamo quindi supporre che l’indice di rifrazione
medio del cristallo liquido nelle cavità del campione sperimentato dalla luce con
polarizzazione p sia più alto, in modo da giustificare uno spostamento così elevato:

4.1. Opale diretto 91
dai calcoli numerici della struttura a bande abbiamo stimato il suo valore attorno
a 1.635. Per ricavarsi l’indice di rifrazione medio previsto per le due configurazioni
mostrate in fig 4.20 (b) e (c), abbiamo utilizzato l’espressione che descrive l’indice
di rifrazione per le due polarizzazioni, al variare dell’angolo che queste formano con
il direttore:
n str =
[ ] (sin Ω)
2
−0.5 [ ]
(cos Ω)2
(cos Ω)
2
−0.5
+ ; n
(n e ) 2 (n o ) 2 ord. = + sin(Ω)2 ,
(n e ) 2 (n o ) 2
(4.3)
dove n str e n ord sono gli indici di rifrazione sperimentati rispettivamente dalla polarizzazione
p ed s, mentre Ω è l’angolo tra la direzione del direttore e e quella della
polarizzazione. Poniamoci in coordinate cilindriche e consideriamo l’asse del cilindro
in modo ch risulti parallelo alla direzione della polarizzazione p. Le espressioni che
descrivono la variazione della direzione del direttore in funzione della distanza dalle
pareti 4 sono descritte da Crowford et al [30] per entrambe le configurazioni:
[
Ω ERPD (r) = arctan
[ r
( α
)]
Ω ER (r) = 2 arctan
R tan 2
σr
z(1 − (z/L))
, (4.4)
(
( r
)) ]
σ − (σ − 1) , (4.5)
R
dove R è il raggio del cilindro, α = arccos(1/σ) è l’angolo con cui le molecole sono
ancorate alla parete, σ = RW K + K 24
− 1 e L la distanza tra i difetti nella ERPD.
K
Sostituendo queste ultime nelle (4.3), possiamo risalire l’indice di rifrazione medio
integrando sul volume del cilindro. L’espressione finale da noi utilizzata dipende
dai parametri: R, K ≃ 1.27 · 10 −11 N, che è una costante elastica descritta nel
paragrafo 1.2.3, W che è una costante che descrive la forza dell’ancoraggio (proprietà
intrinseca del materiale che costituisce le pareti) e K 24 ≃ 2.9 · 10 −11 N, che è una
costante elastica che descrive il contributo alla distorsione del direttore da parte
delle pareti [28]. Qualunque valore si scelga per R e W ,nonè possibile ottenere,
4 Essendoci posti nel sistema di riferimento sopra descritto, l’angolo che descrive questa
variazione èΩ.

4.1. Opale diretto 92
per la configurazione ERPD, un indice di rifrazione pari a 1.64. Scegliamo quindi
come configurazione più appropriata per descrivere il campione la ER, mostrata in
fig 4.20 (b), che presenta varie combinazioni dei valori di R e W che forniscono un
indice di rifrazione di 1.64.
Per dimostrare la coerenza di questo modello, vogliamo calcolarci un’espressione
per il campo elettrico critico che tenga di conto anche dell’effetto dell’ancoraggio.
Partiamo quindi dall’espressione 1.43 per l’energia libera di un cristallo liquido confinato
in una cavità, esplicitando F s in funzione di due termini proporzionali a W e
K 24 [30]:
F d =
∫
[
K( −→ ∇·n) 2 +( −→ ]
∇×n)
V
∫
−K 24
V
−→ ∇·(n ×
−→ ∇×n + n
−→ ∇·n)dV +
1
2
− 1 2 (ε aε o (E · n) 2 )dV (4.6)
∫
W sin 2 (α)dS ,
S
dove n è il direttore del cristallo liquido, V e S sono il volume e la superficie della
cavità, mentre α è l’angolo che formano le molecole ancorate alla superficie rispetto
alla superficie stessa. Come già fatto nel paragrafo 1.2.3, per ottenere la lunghezza
di coerenza associata al campo critico E c è sufficiente porre F d = 0. In questo modo
si ottiene un’espressione per il campo critico in funzione della lunghezza di coerenza
(E c (ζ), che in queste condizioni è uguale al raggio R:
E c =
√
2K(1 − cos(α)) + 1 2 (K − K 24)γ +(RW + K 24 − K)cos 2 (α)
πε a ε o
R 2
4
, (4.7)
dove γ =1− cos(2α). Imponendo il valore stimato per il campo critico dalle nostre
misure (E c
=5V/μm) e considerando W =3· 10 −5 come valore tipico [28], è
possibile ricavarci da questa formula il raggio medio dei cilindri, che risulta essere
R=200 nm. Possiamo allora affermare che il campione da noi studiato si comporta,
in prima approssimazione, come se avesse delle cavità cilindriche, di raggio medio di
200 nm, in cui il cristallo liquido si allinea in una configurazione ER. Da notare che
il modello, per quanto approssimato, offre come risultato di considerare dei canali

4.1. Opale diretto 93
di dimensioni paragonabili a quelle delle sfere, come se questi dipendessero dalla
presenza di difetti nella struttura: per ottenere un risultato migliore dovremmo
sapere come si comportano esattamente le molecole nel canale, come questi canali
sono distribuiti nel campione e quale è la geometria all’interno del campione. Come
verifica delle considerazioni fatte sulla scelta della configurazione di fig 4.20 che
meglio descrive le nostre misure, abbiamo riportato in tabella 4.2 i valori degli indici
di rifrazione calcolati, considerando R = 200 e W =3· 10 −5 . Come si può notare
per le configurazioni PP e ERPD l’indice di rifrazione n ord èpiùaltodin str ,al
contrario di quello che è stato verificato sperimentalmente; nella configurazione ER
invece otteniamo un perfetto accordo con i valori dedotti dalle misure effettuate.
Configurazione n str n ord
PP 1.52 1.62
ER 1.64 1.60
ERPD 1.55 1.70
Tabella 4.2: Tabella riassuntiva degli indici di rifrazione per un cristallo liquido nematico
in una cavità cilindrica per le polarizzazioni straordinaria ed ordinaria.
Possiamo schematizzare il comportamento del cristallo liquido soggetto ad un
campo elettrico superiore ad E c , all’interno di una cavità cilindrica, nel seguente
modo: aumentando il campo si crea una zona centrale di forma cilindrica, il cui
raggio èpariaR-ζ(E), in cui le molecole sono tutte allineate parallelamente al
campo e un ”guscio” esterno in cui l’effetto del campo è trascurabile, ma risente
dell’ancoraggio con la parete (fig 4.23 (a)). Quando E ≫ E c , quasi tutte le molecole
sono allineate ed il guscio esterno è diventato molto sottile (ζ ≃ 0). Possiamo quindi
stimare l’indice di rifrazione in funzione del campo come la media dei due indici di
rifrazione presenti nelle due zone di fig 4.23 (a), pesata con la percentuale di volume
)
)
(R − ζ)2
(R − ζ)2
occupato dal cilindro interno
(φ c = e dal guscio
(φ
R 2 g =1− :
R 2
n =
√
n 2 oφ c + n 2 i φ g , (4.8)

4.1. Opale diretto 94
{
{
R
(E)
E
a) b)
Figura 4.23: a): Schematizzazione dell’allineamento del cristallo liquido all’interno del
cilindro sotto l’effetto di un campo E> E c ; b): nel grafico sono confrontati i dati sperimentali
degli spostamenti del picco di Bragg al variare del campo elettrico, con quelli ricavati
dal modello da noi proposto.
dove n i sono gli indici di rifrazione del cilindro calcolati con le (4.3) e V t il volume
totale.
Il volume dipende da ζ(E), quindi, quando ζ(E) → 0, otteniamo il completo
allineamento del cristallo liquido (n → n o ). I fig 4.23 (b) sono riportati i grafici
dello spostamento del picco al variare del campo, osservati sperimentalmente e quelli
teorici ricavati dai calcoli numerici della struttura a bande, utilizzando l’indice di
rifrazione riportato in (4.8): possiamo notare come il modello si accordi in maniera
soddisfacente con i dati sperimentali.
Si può quindi concludere che, nonostante il modello da noi utilizzato per descrivere
il sistema sia semplificato, le previsioni teoriche che descrivono lo spostamento
del picco di Bragg sotto l’effetto del campo elettrico, utilizzando luce polarizzata,
non si discostano molto dai dati raccolti. Lo spostamento ottenibile per un tale campione,
sfruttando anche l’effetto della birifrangenza, è di notevole entità ( Δλ
λ ≃ 2%)
enonè riscontrabile un analogo in letteratura.

4.2. Opale inverso 95
4.2 Opale inverso
La procedura per infiltrare un opale inverso con un cristallo liquido non è differente
da quella già descritta. In questo caso però il nostro scopo è stato quello di misurare
lo spostamento dei picchi di riflessione al variare dell’intensità del campo magnetico
e per fare questo abbiamo utilizzato un particolare tipo di cristallo liquido, non
presente in commercio. Come abbiamo mostrato nel paragrafo 1.2.4, per allineare
un cristallo liquido in una cella a facce piane e parallele distanti un 1μm, l’intensità
del campo dove essere di circa 1 T. Poiché le dimensioni degli interstizi dei nostri
campioni sono delle centinaia di nanometri e con geometrie molto più complesse,
possiamo supporre di dover applicare campi di intensità superiore: ipotizziamo che
sia B c ≃ 10 T. Per le nostre misure abbiamo utilizzato una miscela di cristallo liquido
E7 e di un ferrofluido (Fe 2 O 2 , concentrazione volumetrica 1%) prodotto dal
Dipartimento di Chimica di Firenze (Prof. P. Baglioni). Questo ferrofluido ècomposto
da molecole di 10 nm circa, che sono particolarmente soggette all’influenza
del campo magnetico. Quindi, considerando le proprietà collettive dei cristalli liquidi,
la presenza delle molecole magnetiche favorisce l’allineamento del direttore sotto
l’effetto del campo magnetico: in questo modo dovremmo riuscire ad abbassare il
campo critico B c di uno o due ordini di grandezza [31]. In fig 4.24 è riportato lo
spettro di assorbimento di queste molecole: come si può notare questo comincia ad
essere trascurabile per lunghezze d’onda superiori a 650 nm. Abbiamo scelto quindi
l’opale inverso di silicio come campione da infiltrare, considerando anche che ha interstizi
di 840 nm di diametro, a cui corrisponde un valore di B c minore in confronto
a quelli dell’opale diretto.
A causa delle proprietà magnetiche del ferrofluido, le molecole di Fe 2 O 2 rimangono
in sospensione in maniera omogenea nel cristallo liquido solo pochi minuti:
dopo poco tempo le molecole si attraggono e si creano degli agglomerati che decantano
velocemente (in 10 minuti la maggior parte delle molecole è sul fondo del
contenitore). Il procedimento da noi adottato per l’infiltrazione è il seguente. Pri-

4.2. Opale inverso 96
Figura 4.24: Spettro di assorbimento del ferrofluido Fe 2 O 2 in unità arbitrarie.
ma di tutto abbiamo tenuto la miscela il fase isotropa e mescolata costantemente
con l’utilizzo di un ancoretta magnetica. Subito prima di infiltrare, seguendo il più
rapidamente possibile il procedimento descritto nel paragrafo 4.1, abbiamo tenuto
la miscela in un bagno ad ultrasuoni per 15 minuti, in modo da dissolvere gli
agglomerati che non si fossero dissociati durante il mescolamento.
4.2.1 Misure con campo magnetico
Per fare questo genere di misure il campione è stato posto fra le due espansioni polari
dell’elettromagnete descritto nel paragrafo 2.2. Il piano [111] del campione risulta
parallelo al campo B e le misure in riflessione sono state fatte con un angolo di
incidenza di 5 ◦ . Supponendo che si riesca ad indurre un’allineamento delle molecole,
queste si disporranno parallelamente al piano [111]: conviene quindi fare misure con
luce polarizzata, in modo da poter stimare il massimo spostamento del picco. La
polarizzazione ordinaria risulta ortogonale alla direzione del presunto allineamento,
indotto dal campo, e quindi risente di un contrasto di indice di rifrazione maggiore:
il cristallo liquido, infatti, offrirà un indice di rifrazione di 1.52. Facendo misure

4.2. Opale inverso 97
Non inf
Infiltrato
a) b)
Figura 4.25: a): Spettro in riflessione di un opale inverso di silicio con sfere da nm
di diametro prima e dopo l’infiltrazione; b): stesso tipo di spettro al variare del campo
magnetico: 0 T e 10 T.
con questa polarizzazione, ci aspettiamo quindi, aumentando il campo magnetico,
uno spostamento dello spettro verso lunghezze d’onda minori. In fig 4.25 sono riportati
alcuni degli spettri in riflessione fatti con un opale inverso di silicio con sfere
da 780 nm. In fig 4.25 (a) sono confrontati gli spettri prima e dopo l’infiltrazione
del campione: come si può notare lo spettro si è spostato verso lunghezze d’onda
maggiori e con una riflettività minore, in corrispondenza di una diminuzione del
contrasto di indice di rifrazione.
In fig 4.25 (b) sono riportati gli spettri per il
campione infiltrato al variare dell’intensità del campo (0 T e 1.3 T): come si può
notare, nonostante l’elevata intensità del campo magnetico, non è possibile riscontrare
un evidente spostamento dei picchi di riflessione, anche se si può notare alcune
variazioni nell’intensità e nella forma degli spettri. A causa della rapidità concui
abbiamo dovuto fare le misure, per le motivazioni esposte nel paragrafo precedente,
la prima misura fatta è quella con il campo massimo, in modo da impedire la formazione
di agglomerati di Fe 2 O 2 . Questo tipo di misura impiega circa 10 minuti
(tempo caratteristico per le misure effettuate con il nostro monocromatore in un
così ampio intervallo di frequenze), quindi, prima di fare la misura con campo zero,
il campione è stato scaldato in modo da portare in fase isotropa il cristallo liquido e

4.2. Opale inverso 98
cercare di disperdere nuovamente le molecole ferrofluide.
Nonostante tutte le precauzioni da noi adottate non siamo riusciti a misurare
uno spostamento evidente dei picchi. Le cause di questo possono essere molte ed è
difficile capire quale siano le principali:
• l’infiltrazione non è avvenuta in modo corretto a causa della formazione di
agglomerati di molecole magnetiche: i fori che collegano le sfere sono di circa
100 nm e le molecole possono non essersi distribuite omogeneamente in tutto
il campione;
• durante la misura le molecole si sono depositate sul fondo delle sfere che lo
contengono, riducendo il loro effetto sul cristallo liquido: questo èdovutoal
lungo periodo necessario per fare la misura;
• il campo non è sufficientemente intenso per allineare le molecole: questa sembra
essere l’ipotesi più probabile perché studiando i grafici di fig 4.25 (b), si può
notare che il campione reagisce al campo magnetico ma questo non sembra
sufficiente ad allineare in maniera significativa le molecole.
In definitiva non siamo riusciti ad indurre un allineamento delle molecole perché, per
produrre un campo magnetico che fornisca la stessa energia libera data dal campo
elettrico critico, dovremmo utilizzare un apparato strumentale molto più efficiente.
D’altronde lo spettro di fig 4.25 subisce alcune variazioni sull’intensità all’aumentare
del campo: questo fa supporre che probabilmente è sufficiente una maggiore concentrazione
delle molecole ferrofluide per riuscire ad ottenere un spostamento dei picchi
di riflessione.

Conclusioni
In questo lavoro di tesi abbiamo studiato le proprietà ottiche di cristalli fotonici
tridimensionali, il cui passo reticolare è di alcune centinaia di nm, con e senza infiltrazione
con cristalli liquidi nematici.
È stata, inoltre, descritta la tecnica di crescita
con cui abbiamo preparato i campioni, suggerendo alcune accorgimenti da adottare
per ottenere materiali di buona qualità. Le due strutture fotoniche utilizzate presentavano
entrambe reticoli cristallini a FCC, ma diverse caratteristiche ottiche, causate
da una diversa distribuzione spaziale e da un diverso valore della costante dielettrica.
Riassumiamo i principali risultati sperimentali ottenuti:
Opale diretto di silice Attraverso l’analisi spettrale della luce riflessa dal campione,
abbiamo studiato le sue caratteristiche ottiche e dedotto da queste la
sua geometria e qualità. In particolare abbiamo confrontato il comportamento
sperimentale del picco di Bragg al variare dell’angolo di incidenza, con quello
previsto teoricamente dalla struttura bande, trovando un pieno accordo tra i
due. Esattamente come previsto dalla teoria, questo tipo di cristallo fotonico
non presenta una bandgap completa a causa del basso contrasto di indice di
rifrazione.
Dopo l’infiltrazione con i cristalli liquidi nematici, il campione risulta essere
birifrangente, effetto assolutamente inatteso e non riscontrabile in letteratura.
Questa birifrangenza ha come conseguenza un elevato spostamento (in
99

4.2. Opale inverso 100
lunghezza d’onda) del picco di Bragg, quando il campione infiltrato è soggetto
ad un intenso campo elettrico: lo spostamento risulta superiore di un ordine di
grandezza rispetto ai valori riportati in letteratura [25, 26]. Questo ci permette
di controllare elettricamente la frequenza del picco di riflessione, suggerendo la
possibilità di creare un interruttore ottico. Inoltre abbiamo presentato un modello
approssimato per giustificare tale birifrangenza, partendo dallo studio della
geometria dei campioni studiati e dalle proprietà dei cristalli liquidi nematici
confinati in cavità cilindriche. Il modello, che suppone siano presenti nei campioni
delle cavità ”allungate”, descrive in maniera soddisfacente l’andamento
dei dati raccolti, avvalorando le nostre ipotesi sul fenomeno riscontrato.
Opale inverso di silicio Compiendo misure analoghe a quelle fatte sui campioni
di silice, abbiamo confrontato gli spettri di riflessione con la struttura a bande,
evidenziando un buon accordo fra i due. Questo materiale presenta un comportamento
profondamente diverso rispetto agli opali diretti di silice. Infatti,
mentre quest’ultimi seguono in prima approssimazione la legge di Bragg, gli
opali inversi di silicio presentano un picco di riflessione (attorno a 1470 nm) che
rimane fisso in frequenza al variare dell’angolo di incidenza. Questo fornisce
una prima verifica sperimentale dell’esistenza di una bandgap completa.
Abbiamo effettuato alcune misure applicando un campo magnetico su questi
campioni, dopo l’infiltrazione con un cristallo liquido nematico con in sospensione
molecole ferrofluide, particolarmente sensibili alla presenza del campo. A
differenza di quanto succede nel caso dell’opale diretto di silice applicando un
campo elettrico, non abbiamo verificato uno spostamento della gap, causato
dall’allineamento delle molecole del cristallo liquido, nonostante che l’intensità
del campo fosse elevata. Abbiamo quindi proposto alcune possibili cause che
giustifichino questo comportamento e quali possano essere le soluzioni ai problemi
riscontrati: in particolare abbiamo considerato come causa più probabile,
l’intensa forza di ancoraggio delle molecole alla superficie.

4.2. Opale inverso 101
Sviluppi futuri e possibili applicazioni
Per quanto riguarda l’opale diretto di silice infiltrato, un possibile indirizzo di ricerca
è quello di scoprire quali siano le esatte condizioni termodinamiche che hanno prodotto
una tale anisotropia, e come sia possibile controllarla durante la crescita, senza
perdere le proprietà ottiche di un cristallo fotonico. Sarebbe opportuno un’analisi
con la risonanza magnetica per scoprire come le molecole di cristallo liquido siano
disposte all’interno del campione.
Le possibili applicazioni per la sua birifrangenza sono molteplici. La possibilità
di accordare un cristallo fotonico in un tale intervallo di frequenza, ci permette di
ipotizzare la realizzazione di dispositivi ottici di vario tipo. Benché i tempi di rilassamento
delle molecole di cristallo liquido siano troppo lunghi (≃ 10 ms) per creare
chip ottici che superino l’attuale velocità di quelli elettronici, si possono applicare
tali proprietà per realizzare dispositivi per le telecomunicazioni (switch ottici, multiplexer
ottici, filtri, etc.). Possibili applicazioni possono essere anche nel campo
dei display a cristalli liquidi: in questi schermi, che sfruttano già le proprietà di
birifrangenza di cristalli liquidi, si potrebbero affiancare anche quelle dei cristalli
fotonici con gap sintonizzabile in frequenza.
Diversamente, nel caso dell’opale inverso di silicio, la possibilità di ottenere una
bandgap completa ci fornisce la possibilità di progettare chip ottici, nell’avveniristica
ipotesi di sostituire i circuiti integrati, con cui sono realizzati attualmente i calcolatori,
con dispositivi interamente ottici: utilizzare i fotoni al posto degli elettroni
migliorerebbe l’efficienza dei processori e della comunicazione tra questi le connessioni
a banda larga (basate sull’utilizzo delle fibre ottiche). Per comprendere l’importanza
di questi studi, sottolineiamo che, recentemente, è stato proposto [32] come
possibile chip fotonico, un dispositivo composto da una guida d’onda 2D compresa
tra due cristalli fotonici 3D con bandgap completa: in tal modo possiamo ottenere
una guida d’onda che confini il fotone, non solo in due direzioni dello spazio, ma
anche nella terza. Un altra possibile applicazione, già verificata nei cristalli 1D e

4.2. Opale inverso 102
2D, è quella di produrre laser ad alta efficienza. Poichè albandedge la densità delgi
stati è molto alta, possiamo ottenere cavità con un alto Q valore. Nel caso di un
cristallo fotonico 3D, un tale realizzazione risulterebbe particolarmente interessante,
perché ci permetterebbe di produrre una cavità tridimensionale.
In conclusione, possiamo affermare che lo studio dei cristalli fotonici risulta interessante,
sia per la fisica di base, facendo riferimento alla non linearità della relazione
di dispersione, che per le possibili applicazioni, considerando i bassi costi di
produzione di questi materiali.
Per quanto riguarda i possibili sviluppi di ricerca sugli opali inversi di silicio,
sarebbe opportuno uno studio approfondito della bandgap completa. Potrebbe essere
molto interessante infiltrare il campione con mezzi attivi, che emettano su frequenze
all’interno della gap, e studiarne il tempo di vita medio.
In tal caso, essendo la
densità delgi stati nulla per frequenze comprese nella bandgap, è prevista una vita
media di molto più lunga di quella che otterremo nel caso in cui il mezzo attivo fosse
nel vuoto.

Ringraziamenti
Non è facile fare dei ringraziamenti che non risultino banali e sdolcinati. D’altro canto mi
sembra doveroso ricordare le persone che hanno contribuito alla riuscita di questa tesi.
Prima di tutto ringrazio i miei genitori per aver speso così tanto tempo, denaro e
sudore nella mia educazione: non posso fare altro che ringraziarvi per i sacrifici sostenuti
per farmi arrivare fino a qui. Ora provo a fare un po’ da solo!
Poi ringrazio il mio amore, per sostegno, pazienza, dolcezza e un aggettivo che di rado
le viene attribuito: coraggio.
D’ora in poi i ringraziamenti non seguono un ordine di importanza, ma sono assolutamente
RANDOM. Di conseguenza ringrazio per intero il gruppo Complex Systems
(Diederik, Stefano, Costanza (grazie per il pennarello!), Iacopo, Riccardo, Francesca e
Mirtillina Malcontenta, con la faccia sempre imbronciata) per disponibilità, serietà, competenza
e simpatia che, in questo anno di ricerca fatta assieme, hanno dimostrato. In particolare
vorrei ringraziare Stefano, che ritengo sia andato decisamente oltre i suoi ”doveri ”,
donandomi moltissimo del suo tempo, e Diederick, per avermi mostrato il suo modo di
fare ricerca e per la pazienza che mi ha riservato.
Vorrei ringraziare i compagni di trincea, quelli che insieme a me hanno sputato sangue
per finire questo cazzo corso di laurea, massacrante. In particolare il Gruppospacca: Giulia,
con me fin dal primo giorno, Pier, Fede, Ale, Camionista, Guia e naturalmente saluto
anche il piccolo Crucco che se ne sta tra la neve: hallo (è tedesco, anche se non sembra).
Un ringraziamento particolare a Marco, con il quale ho fatto la strada universitaria e con
cui condivido tante cose.
Ringrazio anche tutto il corpo docenti: il corso è un tantino peso, ma è compensato
dalla competenza, disponibilità e il rispetto dimostrato da tutti gli insegnanti.
A questo punto ringrazio gli Amici: loro sanno chi sono. Non è che abbiano partecipato
molto alla mia laurea (come avrebbero potuto), ma li ringrazio proprio per questo: non
si può rimanere sempre nello stesso ambiente a parlare delle stesse cose; sono stati la mia
valvola di sfogo e mi hanno dato la possibilità di essere ”leggero”....
Vorrei salutare e ringraziare anche la Ia, Stenfy e l’Ire.... anche in questo caso non
c’è un motivo particolare... sono la mia famiglia, ci sono sempre stati, gli voglio bene, mi
sopportano e a volte mi capiscono.... devo continuare
Ringrazio e saluto anche la famiglia della Bene, che mi porta un rispetto che ritengo di
non essermi guadagnato e mi guarda strano quando accenno a qualcosa che ha vagamente
a che fare con la fisica.
Alla fine ringrazio il più importante di tutti: me! Direi che sono decisamente il meglio!
103

Rendering tridimensionale della trasformata di Fourier dell’immagine,
fatta con un microscopio a scansione elettronica, di un opale diretto di
silice (SiO 2 ) con sfere di diametro di 460 nm. Il campione, che è stato
ottenuto con la tecnica di crescita di sedimentazione verticale (dip
coating), presenta un buona qualità, testimoniata dalla presenza dei
picchi fino al quarto ordine (partendo dal centro sono presenti quattro
esagoni che hanno per vertici i picchi stessi).
104

Sopra: Immagine tridimensionale di un opale diretto di silice (SiO 2 ).
Sotto: Immagine tridimensionale della distribuzione del campo elettromagnetico per
la quinta banda sul punto L della zona di Brillouin, all’interno di un opale diretto
di silice (SiO 2 ).
Entrambe le immagini sono state sviluppate con il programma di simulazione
Photonic-Bands, prodotto dal Massachusetts Institute of Technology. Da notare
come il campo elettromagnetico tenda a concentrarsi nelle regioni con constante
dielettrica maggiore, ovvero le sfere di silice.
105

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