K - Dipartimento di Fisica

www.slacs.it 

Dipartimento di Fisica Università di Cagliari 

SLACS Sardinian Laboratory for Computational Materials Science 

Biofisica Molecolare: 

1. Le Strutture in Biologia 

Matteo Ceccarelli 

Facoltà di Medicina e Chirurgia 

Scuola di Specializzazione in Fisica Medica

Biofisica Medica 08 

Sommario 

• Introduzione alla Biofisica Molecolare 

• Richiami di Fisica e Chimica 

• Termodinamica e teoria cinetica 

• Moto Browniano e diffusione 

• Reazioni chimiche 

• Le membrane 

• Membrane e Legge di Fick 

• Il Dna 

• Le proteine 

• Complessità del mondo biologico: le proteine 

• The Energy Landscape Theory 

• Misfolding delle proteine 

• Molecular Recognition


Introduzione 

La Biofisica Molecolare


Intro 

Perche la biofisica molecolare è importante per la fisica sanitaria? 

La mia esperienza a livello molecolare in biologia: concetti 

fondamentali che bisogna conoscere quando si lavora in ambito 

biologico. 

Concetti fondamentali della biofisica esposti tramite esempi che 

provengono direttamente dalla mia esperienza in biofisica 

Concetti nuovi, difficilmente si trovano sui libri di testo, largo uso di 

articoli dalla letteratura internazionale recente e recentissima 

Tante altre cose ci sarebbero da dire, sicuramente, il corso non intende 

fornire in maniera esaustiva quello di cui avete bisogno ma cercherà di 

farvi ragionare da fisici in ambito biologico. La biologia, sopratutto 

quella in campo clinico/sanitario, è molto complessa, si passa da 

approcci bottom-up a top-down.

Biofisica Medica 08

Biofisica Medica 08 Capitolo 1 

Richiami di Fisica e Chimica


Dal punto di vista microscopico la temperatura 

è la misura dell’energia cinetica media delle 

molecole o particelle del corpo considerato. 

In un gas l’energia cinetica media è 

proporzionale alla temperatura assoluta: 

1/2 mV 2 =3/2 k B T k B = costante di Boltzmann 

Termodinamica 

! 

V media 

= 

3k B T 

m 

Una evidenza macroscopica che le molecole 

sono in continuo movimento è dato 

dall’esempio di un colorante che diffonde in 

acqua, un profumo che diffonde in una stanza


Velocità 

Velocità media vs.Velocità effettiva 

La velocità media delle particelle è molto alta. Per un gas 

monoatomico si parla di velocità quadratiche medie di 500 m/s. 

Ma le particelle non procedono di moto rettilineo uniforme perché 

subiscono urti con le altre particelle. 

Il moto di una particelle risulta una spezzata, la cui velocità effettiva 

è 1 milione di volte più piccola della velocità molecolare media. 

Gli urti tra particelle sono state 

osservate la prima volta dal 

biologo Brown, che aveva visto 

l’effetto degli urti molecolari su 

particelle di polvere sulla 

superficie d’acqua, che ne 

provocano il moto appunto casuale 

come in figura (moto Browniano). 

V eff 

= S AB 

"t 

A 

B


Diffusione 

Nel moto Browniano non si parla più di velocità ma di diffusione di 

una particella. Viene introdotto un coefficiente di diffusione D 

D=capacità di diffondere 

Per particelle sferiche D= k B T/6πηr 

e lo spostamento quadratico medio (probabilità) 

r 

2 

AB 

= 6Dt " r # t 

A 

la distanza percorsa (meglio probabilità) 

è proporzionale alla radice del tempo 

nel moto rettilineo uniforme è 

proporzionale al tempo 

V=r/t => r=Vt 

B


Il moto Browniano è tipico dei sistemi biologici 

Scoperto alla fine dell’ ‘800 da Brown, un biologo 

Spiegato agli inizi del ‘900 da Einstein, un fisico 

moto Browniano => concetto di probabilità, casualità 

Moto Browniano 

Il moto Browniano è il tipico 

moto delle particelle alla 

scala microscopica o 

atomica, ma alcuni 

fenomeni macroscopici 

sono spiegabili tramite il 

moto Browniano (colorante 

in acqua e profumo in una 

stanza)


Diffusione 

Posizioni assunte 

dalla molecola 

d’acqua al 

passare del 

tempo 

Tutte le regioni 

del dominio sono 

state visitate 

mediamente



Reazioni Chimiche 

Con la termodinamica sono stati introdotti i potenziali (G) 

termodinamici, quali l’energia libera, per tener conto nelle 

reazioni di parametri esterni quali temperatura e pressione 

Questa notazione ci dice come evolve una reazione chimica 

spontaneamente, da potenziali alti a potenziali bassi 

G 1 

G 2 

1 

ΔG=G 1 -G 2 < 0 la reazione evolve da 

1 a 2 spontaneamente 

2 

Borsa & Scannicchio pagg. 190 par. 8.17b 

“Lo studio degli equilibri chimici mediante l’uso dei potenziali 

termodinamici è molto più complesso perché in generale è 

difficile calcolare i potenziali termodinamici.”


Costante di una reazione 

chimica K ci dice che 

probabilità abbiamo di 

trovare dei composti in stati 

ad energia diversa 

G 1 

G 2 

Equilibrio 

K = e " #G 

k B T 

Esempio numerico: ΔG=6 Kcal/mol 

K=exp(-10)=1/22000~ 0 ??? 

Ancora il concetto di probabilità. Da rimarcare: 

• Se noi abbiamo N molecole, la probabilità di stare in 2 è 

molto alta 

• La probabilità dipende dalla temperatura!!!! 

k B T=0.6 Kcal/mol a 300 Kelvin (27 o C), 0.06 a 30 Kelvin 

K(30 Kelvin)=exp(-100)=1/10 44


Molto spesso siamo 

interessati anche a calcolare 

quanto tempo ci vuole perché 

una reazione avvenga, che 

nel nostro esempio significa: 

Se abbiamo N particelle nello 

stato 1, dopo quanto tempo τ 

raggiungono l’equilibrio, cioè 

K=1/22000 

k = 1 &G 12 

" = # $ e% k B T 

NOTA BENE: τ è un tempo medio 

ancora probabilità!!! 

* 

G 1 

G 2 

G 1 

G 2 

ΔG * 12 

τ 

G 1 

G 2 

Cinetica


Scala Kelvin 

G 1 

Ripartiamo da: 

G 2 

• La probabilità dipende dalla temperatura!!!! 

k B T=0.6 Kcal/mol a 300 Kelvin, 0.06 a 30 Kelvin e… 

K = e " #G 

k B T 

K(300 Kelvin)=exp(-10)=1/10 4.4 

K(30 Kelvin)=exp(-100)=1/10 44 

K(3 Kelvin)=exp(-1000)=1/10 440 

La temperature T=0 è quella che prevede che ogni molecola 

stia nello stato di più bassa energia 

infatti quando T= 0 si ha K=0 

Questa è la definizione di temperatura assoluta, niente si 

muove e tutto sta al minimo dell’energia!



Le Membrane


Permeabilità e membrane 

• I sistemi biologici sono a compartimenti 

Es: le cellule 

Membrane 

• I compartimenti sono individuati e delimitati da 

barriere di separazione dette membrane 

• Le membrane permettono il passaggio controllato 

e/o selettivo di sostanze tra i vari compartimenti 

• La membrana cellulare è costituita 

fondamentalmente da molecole idrofobe con una 

struttura planare a doppio strato e al cui interno e sulla 

superficie sono posizionate le proteine 

• Le proteine membranari sono alla base di tutti gli 

scambi di informazione tra l’interno e l’esterno, sono 

sistemi altamente specializzati nel trasporto.


La cellula


Classificazione 

Membrana impermeabile 

Membrane 

Le membrane controllano: 

1. Concentrazione gas 

2. Concentrazioni composti chimici 

3. Concentrazione ioni 

(1) e (2) sono processi controllati 

da setti porosi (10 -4 cm) 

(3) molecole, proteine (porine e 

canali), dimensioni 10 -8 cm 

Le proteine canale possono essere 

classificate, a seconda di come 

funziona il processo di trasporto, in: 

Passaggio reso possibile da 

proteine/canali/pori 

Meccanismi passivi (fisica) 

Meccanismi attivi (biochimica)


Meccanismi passivi 

Membrana impermeabile 

Fick 

Le proteine che trasportano mediante 

meccanismi passivi sono di 

competenza della fisica. Esistono tre 

diversi processi per il trasporto 

attraverso canali passivi: 

• Diffusione 

• Filtrazione 

• Osmosi 

J = "D #C 

#x 

Legge di Fick per le membrane 

P=permeabilità membrana 

Passaggio reso possibile da 

proteine/canali/pori 

! 

J = "#$C " = #D M 

$x


Problema 

Esterno membrana 

Interno membrana 

C 1 =C C 2 =0 

ΔG * 12 

τ 

G 1 

G 2 

J = "D #C 

#x 

Le molecole devono passare attraverso la membrana per agire. 

Spesso è importante che diffondano velocemente. 

Bisogna cercare quelle molecole con ΔG * 12 piccolo 

!


Fosfolipidi


Self-assembly 

I fosfolipidi in acqua si autoassemblano 

in strutture 

ordinate per evitare il 

contatto tra acqua e code 

idrofobe. 

A seconda della 

concentrazione di fosfolipidi 

e altri fattori esterni si 

formano 

micelle < liposomi < bilayer 

Questi sistemi sono usati 

come modelli per la 

membrana cellulare.


La struttura chimica delle code determina il 

grado di fluidità del bilayer. La fluidità è 

importante per le proprietà biologiche della 

membrana, quali il trasporto di molecole. 

Termodinamica



Il packing è controllato dalle interazioni di van der Walls 

Code lunghe e sature sono molto piu stabili, alta T fusione 

Introducendo gruppi insaturi si produce disordine e quindi piu 

liberta di movimento, ma esistono anche altri meccanismi.


Membrana Reale 

La membrana reale è tutto fuorché un bilayer 

Insieme di proteine superficiali, membranari e integrali 

Diversi tipi di fosfolipidi, colesterolo e altre molecole presenti.


Trasporto


Selettività


Esempio 

In questo filmato si vede come 

l’acqua diffonde attraverso una 

proteina membranare tra 

l’esterno e l’interno di una 

cellula (seguire la molecola 

gialla).



Le proteine


Proteine 

Dal punto di vista della fisica/chimica le proteine sono degli 

eteropolimeri, catene formate dal susseguirsi di 20 aminoacidi 

diversi, con una struttura ben definita 

Dal punto di vista biologico le proteine sono delle molecole con 

un’attività ben precisa 

Dal punto di vista medico le proteine sono la base per lo 

sviluppo della medicina molecolare, che come vedremo è una 

sintesi della visione fisico/chimica e biologica


Nobel 

L’importanza delle proteine 

1960 Kendrew & Perutz, mioglobina ad emoglobina 

1980 Michel Huber Deisenohofer, prima proteina membranare 

2003 Wutrich, NMR, struttura del prione 

2005 Mc Kinnon, struttura canali ionici 

2008 Chalfie et al, Green Fluorescent Protein


Alanina 

Isoleucina 

Aminoacidi 

Aspartato e Aspargina 

-1 

Glutammato e Glutammina 

Arginina 

Lisina 

-1 

+1 +1


Struttura 

Aminoacidi sono molecole chirali: in natura tipo L


Struttura primaria 

Legame peptidico costituisce la struttura primaria 

Dal punto di 

vista 

chimico è 

un legame 

PLANARE


Φ − Ψ 

•Gli angoli diedri definiscono le 

strutture secondarie 

•Non tutte le combinazioni degli 

angoli diedri sono ammesse


α-Eliche 

Tyr His Trp Leu Arg 

Ala


Foglietti β


Porina batterica β-barrel 

Proteine 

Transporter batterico del Cloro


Le proteine quindi possono 

essere viste: 

• dal punto di vista strutturale 

• dal punto di vista della 

funzionalità 

Le due proprietà non sono 

disgiunte, anzi, esiste il 

paradigma struttura-funzione 

Paradigma 

Struttura 

Funzione


Gerarchia 

Dal punto di vista strutturale le 

proteine mostrano 

sottostrutture organizzate in 

maniera gerarchica 

Struttura Primaria 

Struttura Secondaria 

Struttura Terziaria 

Struttura Quaternaria 

L’emoglobina possiede tutte e 4: costituita da circa 600 

aminoacidi (primaria), possiede il 70% di alfa-eliche 

(secondaria), 4 subunità globulari (terziaria) e una struttura 

tetramerica (quaternaria)


Forze 

•Essenzialmente elettrostatiche 

•Per le strutture secondarie: legami idrogeno 

•Per le strutture terziarie: ponti disulfide e forze idrofobiche 

•La stabilità è anche dovuta alle forze a lungo raggio 

Lisozima 

Crambina


Metodi Sperimentali 

• Con i raggi X si ottengono delle strutture ad alta 

definizione (1 Angstrom) di proteine che cristallizzano 

(poche!) 

• NMR per i processi in soluzione 

• Spettroscopia (infrarosso e Raman) su cofattori interni, 

per studiare le interazioni con le proteine, legami idrogeno 

• Risoluzione della struttura per omologia, efficace per 

avere risposte immediate


Stato solido o ordinato della materia 

Complessità e proteine 

Stato liquido o disordinato 

Le proteine possiedono entrambe le caratteristiche dello stato 

ordinato (possono essere cristallizate) e liquido (gli atomi 

hanno spostamenti tipici dei liquidi alla temperatura ordinaria)


Esempio 

In un liquido le molecole sono in continuo movimento 

Le interazioni cambiano molto frequentemente 

Interazioni tra molecola gialla e i suoi vicini a tempi diversi


Proteine 

Le proteine sono 

considerate sistemi 

complessi per due 

motivi: 

1. Tempi caratteristici 

molto diversi, dal 

picosecondo al 

secondo, che 

corrispondono ai 

moti tipici delle 

differenti strutture 

2. Alto numero di 

atomi, da qualche 

migliaio a milioni


Moti propri 

Le interazioni sono deboli 

ma coinvolgono tantissimi 

atomi 

Piccoli contributi da 

tante sorgenti, come nel 

moto Browniano


Conclusioni 

Le proteine sono alla base di tutti i processi vitali negli 

organismi viventi 

Solo di poche si conosce la funzione e di pochissime la struttura 

La soperta del genoma umano è il punto di partenza per la 

proteomica, la disciplina che studia le proteine e le loro funzioni 

Le interazioni molecolari sono alla base di tutti i processi 

biologici che coinvolgono le proteine 

Capire i meccanismi di interazione significa capire come le 

proteine funzionano, ovvero non funzionano come dovrebbero 

Questa è la medicina molecolare di oggi e la sfida per il futuro



Il DNA


DNA 

Il DNA è un polimero costituito da 4 basi diverse 

A: adenina G: guanina T: timina C: citosina 

Ha la tipica struttura a doppia elica 

La sequenza delle basi codifica la struttura primaria delle 

proteine, è il nostro codice genetico, tutto parte dal DNA 

Ad ogni tripletta di basi corrisponde un particolare aminoacido, 

ridondanza: Esistono 64 triplette per 20 aminoacidi 

Esempio: TAC => metionina 

Alcune triplette corrispondono a segnale fine sequenza 

È il bersaglio di farmaci quando si vuole inibire la divisione 

cellulare


Basi


Zucchero


Fosfato 

Poiché il fosfato è 

carico negativo il 

DNA in acqua 

interagisce 

fortemente con gli 

ioni e con l’acqua 

stessa


Doppia elica 

Complementarità della basi 

nella doppia elica, necessario 

per duplicazione 

A-T e G-C


Complementarity 

G-C è più stabile di A-T, c’è un legame idrogeno in più 

Le altre interazioni che stabilizzano la doppia elica del DNA 

sono quelle dette π-stacking, tra gli orbitali π degli anelli 

aromatici


Groove 

Nella struttura a doppia elica 

si riconoscono due solchi, uno 

maggiore e uno minore 

In questo solco si legano 

molecole specifiche che 

impediscono la replicazione 

del DNA e portano la cellula a 

morire (es. cellule 

cancerogene o microrganismi)


Trasporto 

Il DNA passa attraverso 

proteine membranari.


Self-recognition



Il ripiegamento delle proteine


Folding 

Uno dei moti tipici delle 

proteine è il folding 

(ripiegamento) 

É il processo per passare 

dalla struttura primaria a 

quella terziaria o nativa 

É un processo che 

spontaneamente avviene in 

tempi dal millisecondo al 

secondo 

A volte può essere assistito 

da altre proteine, chaperoni


Energy Landscape 

Il processo di folding può essere pensato come una reazione 

chimica molto complessa 

Possiamo vederlo come una reazione spontanea dove 

l’energia libera (potenziale termodinamico G) diminuisce 

Questa rappresentazione di un 

processo come un cammino su 

una superficie multidimensionale 

si chiama modello dell’Energy 

Landscape 

Come si vede dalla figura 

bidimensionale il processo non è 

più univoco ma può avvenire con 

cammini diversi, ovvero 

meccanismi microscopici diversi


Levinthal 

Approccio statistico al folding 

Data una proteina di 100 aminoacidi 

questa ha 2 100 possibili 

conformazioni. 

Se ognuna viene esplorata in un 

picosecondo (10 -12 s), il tempo di 

folding è: 

τ=2 100 *10 -12 s=10 43 *10 -12 s=10 31 s 

1 anno = 3*10 7 s 

Ci vorrebbero miliardi di anni 

Questo non può essere il 

meccanismo del folding, la mera 

ricerca di un minimo tra tutte le 

possibili conformazioni. 

Schema dell’Energy 

Landscape secondo il 

Paradosso di Levinthal


Folding 

Ci deve essere un percorso di 

folding implicitamente codificato 

nella sequenza di aminoacidi. Non 

solo la struttura nativa è codificata 

nella sequenza di aminoacidi ma lo 

è anche la via per raggiungerla. 

Però si sa che esistono proteine 

che hanno più di un cammino di 

folding, quindi l’energy landscape 

assomiglia alla figura a lato.


Misfolding 

La complessità 

delle proteine è 

tale che alla fine 

l’energy landscape 

non è “soffice” ma 

risulta molto 

rugoso, come 

indicato in figura. 

E in alcuni casi patologici esistono 2 stati 

nativi molto diversi l’uno dall’altro. In questo 

caso quando la proteina finisce nel bacino B 

anziché in A, si parla di misfolding della 

proteina. La proteina assume una struttura 

diversa da quella nativa, o funzionale, e si 

può comportare in maniera molto diversa. 

B 

A


Falciforme 

Il caso dell’emoglobina falciforme è l’esempio tipico di 

misfolding, anche se spesso non viene inteso così. La 

mutazione di un aminoacido polare in uno non-polare sulla 

superficie esterna della proteina fa si che le emoglobine si 

leghino l’una all’altra, perdendo completamente la loro 

funzionalità. Anche il globulo rosso viene deformato che porta 

alla morte.


Prione 

Il caso del prione è poi emblematico della nostra vita. In 

questo caso si parla veramente di misfodling perché senza 

alcuna mutazione (si pensa) il prione assume una diversa 

struttura e forma dei polimeri che poi danno luogo a placche. 

Come si vede dalla 

figura, la nuova 

forma ha una 

regione β-sheet che 

dovrebbe aiutare 

l’aggregazione di 

molte molecole. Non 

si sa se questa 

conformazione sia 

indotta dal solvente o 

dallo stesso prione.


β-amyloid 

Alzheimer: malattia neurodegenerativa. Nei soggetti malati 

si formano delle placche. 

I β-amyloidi sono dei peptidi coinvolti nell’alzheimer 

I peptidi sono catene corte di aminoacidi 

I piu frequenti sono Aβ40 e Aβ42 

Differiscono solo per due aminoacidi terminali, l’isoleucina 

41 e l’alanina 42 

Da esperimenti in vitro Aβ42 sembra più coinvolto 

nell’alzheimer perché le fibrille patogene si formano più 

velocemente 

Capire come questi peptidi si strutturano serve a 

sviluppare degli agenti terapeutici più efficaci


Pentameri di Aβ40 e Aβ42 

Folding e oligomerization 

Non possedendo questi 

peptidi delle forme 

stabili come le proteine, 

la sola maniera di 

studiarli è attraverso 

esperimenti in-silico 

(modelli molecolari) 

Aβ42 forma dei pentameri 

più allargati e in generale 

ha la propensione a 

formare oligomeri più 

lunghi rispetto ad Aβ40



Entropia & biologia


Definizione 

Il rendimento di una macchina termica reversibile dipende solo 

dalle temperature dei termostati: 

Q 1 

T 1 

+ Q 2 

T 2 

= 0 

Se generalizziamo a un numero infinito di termostati ho per un 

qualsiasi cammino: 

! 

"Q 

# 

T = 0 

cioè l’integrando è un differenziale esatto chiamato entropia 

! 

dS = dQ T 

L’entropia S è una funzione di stato


Freccia 

In un sistema termodinamico isolato (dQ=0): 

S(B)-S(A)=0 per trasformazioni reversibili 

S(B)-S(A)>0 per trasformazioni irreversibili 

Questo è una maniera diversa di enunciare il secondo 

principio della termodinamica 

Entropia legata alla direzione di una reazione spontanea 

(spontaneità irreversibilità)


Esempio 

Esempio: si hanno due termostati, il calore fluisce da quello 

più caldo a quello più freddo, e questo corrisponde a un 

aumento di entropia 

"S tot 

= "S 1 

+ "S 2 

"S 1 

= Q 1 

"S 2 

= Q 2 

T 2 

con la condizione Q 1 =-Q 2 

! 

! 

T 1 

$ 1 ! 

"S tot 

= Q! 

1 & # 1 

% T 1 

T 2 

' $ T 

) = Q 2 

# T 1 

' 

1 & ) > 0 

( % T 1 

* T 2 ( 

Questo implica che se il termostato 1 è quello più caldo si 

deve avere Q 1 negativo, cioè il calore esce da 1 verso 2 

!


Ordine vs Disordine 

L’entropia aumenta quando si passa da un sistema ordinato 

a un sistema disordinato 

! 

Esempio: 

se forniamo calore a un cubetto di 1Kg di ghiaccio a 0 o C 

questo fonde 

"S = Q latente 

T 

= 80 

273K 

cal /g #1000g $1225J 

Nella fase liquida le molecole d’acqua sono più disordinate 

che nella fase ghiaccio, cioè un aumento di entropia 

corrisponde a un aumento di disordine


Stato Microscopico 

Dal punto di vista microscopico intuitivamente le molecole di 

acqua nella fase liquida hanno tante possibilità di disporsi 

dentro un cubetto. 

Al contrario, nella fase ghiaccio esistono solo poche 

disposizioni delle molecole dentro il box perché le molecole 

devono osservare un certo ordine, esistenza di vincoli 

Da osservare che 

esistono degli spazi 

vuoti nel ghiaccio 

dove le molecole 

non si possono 

posizionare!


Microstati 

Un microstato è un (sub-)sistema di particelle microscopiche 

descritto quindi da variabili microscopiche quali velocità e 

posizione. A queste corrispondono poi delle variabli 

macroscopiche quali la temperatura definita come: 

3 

2 k BT = 1 N 

" 

N 

1 

2 mv 2 

Mentre ad ogni microstato corrisponde un dato macrostato, 

cioè determinati valori di P,V,T etc, ad un dato macrostato 

possono ! corrispondere moltissimi microstati diversi. 

Esempio dell’acqua in fase liquida e fase ghiaccio


Entropia 

L’entropia e’ la misura del numero di microstati w compatibili 

con un dato macrostato 

S = k B 

ln w 

La funzione entropia DEVE essere un logaritmo per sua 

definizione stessa di variabile estensiva 

Se ho un sistema con w 1 microstati e un sistema con w 2 

microstati, l’insieme dei due sistemi avra w 1 *w 2 microstati 

! 

S = k B 

ln w = k B 

ln(w 1 

" w 2 

) = k B 

ln(w 1 

) + k B 

ln(w 2 

) = S 1 

+ S 2


Esempio 

Esempio: volume che si espande 

V 1 V 2 =2V 1 

V 1 => V 2 

! 

Con T costante dU=0 => 

dS = dQ T = dL 

T 

"S = 

V 2 

# 

p 

T dV = # nR dV = nRln V 2 

V 

V 1 

V 2 

V 1 

V 1


Entropia e probabilità 

La probabilità di trovare una singola particella in un volume V 

è proporzionale al volume stesso 

w 1 =cV dove c è una costante 

La probabilità di trovare N particelle nel volume V è N volte il 

prodotto della singola probabilità 

w=w 1N =(cV) N 

S=k B N ln(cV) 

Se raddioppio il volume la differenza di entropia è: 

ΔS=k B N ln(2cV) - k B N ln(cV) = k B N ln2 = R/N 0 N ln2 = nR ln2 

che è lo stesso risultato ottenuto senza introdurre il concetto di 

probabilità


Microstati 

Il numero di microstati w corrispondenti ad un dato 

macrostato è anche una misura della probabilità che detto 

macrostato si realizzi, posso avere anche calore da corpo 

freddo a corpo caldo, ma questa è una fluttuazione 

temporanea 

Andiamo nel microscopico: 

Anche una realizzazione del microstato con tutte le particelle 

in meta volume è possibile e quindi equiprobabile con gli altri 

microstati dove le particelle occupano tutto il volume, ma la 

densità di microstati intorno a quest’ultimo è molto alta, 

mentre nel primo la densità è praticamente nulla, cioè esiste 

una sola realizzazione. 

I sistemi evolvono spontaneamente verso quei microstati 

dove la densità è molto alta.


Energia libera 

In Biologia si usa l’energia libera di Gibbs come potenziale 

termodinamico di riferimento, essendo un mondo a pressione 

e temperatura costante 

G=H-TS=U+PV+TS 

Le reazioni (chimiche) procedono spontaneamente verso 

minimi di energia libera G rilasciando energia sotto forma di 

calore utilizzabile per compiere lavoro 

ΔG=ΔH-TΔS 

Non è solo un problema di entalpia/energia interna ma anche 

di entropia. Se l’entropia di una reazione diminuisce 

(ΔS


Folding e G 

Lo stato nativo di una proteina viene raggiunto 

spontaneamente, quindi rappresenta un minimo di energia 

libera, cioe ΔGG f


Energie 

Se guardiamo in dettaglio i contributi energetici al 

ripiegamento si vede che l’entropia tende a diminuire, cioè il 

sistema ha meno microstati nello stato nativo o compatto!


Forze entropiche 

Siccome l’entropia è un potenziale termodinamico, cioè una 

forma di energia, possiamo generalizzare il concetto di forza, 

come derivata dell’entropia, e definire una forza entropica 

f = " dU 

dx 

f = " dS 

d# 

! 

dove lambda è un parametro del sistema, tipo una coordinata 

generalizzata. 

! 

Stessa cosa si può fare con l’energia libera e definire la 

cosidetta driving force per una reazione spontanea, cioè la 

forza che spinge la reazione in una data direzione.


Volume escluso 

Quale dei due sistemi ha energia minore? 

Quale dei due sistemi ha entropia maggiore?



Se si considerano solo le sfere grandi queste hanno meno 

entropia, ma il guadagno di volume per le piccole crea un 

surplus di entropia che compensa la perdita con un avanzo



Sulle sfere grandi viene esercitata una forza di natura 

entropica che tende a farle avvicinare, anche se tra loro non ci 

sono forze di richiamo o attrattive


Associazione 

L’associazione tra due sistemi, ad esempio una molecola 

che viene catturata all’interno di una proteina in una sua 

cavità, genera un surplus di entropia per il solvente. 

Cosa succede all’entropia della molecola? Aumenta o 

diminuisce? 

Vedere il seguente articolo: “Win some, lose some: enthalpyentropy 

compensation in weak intermolecular interactions, 

JD Dunitz, Chem Biol, 1995 vol. 2 (11) pp. 709-712”


Recognition 

L’associazione tra due sistemi può essere indotta 

dall’interazione tra due “beads” che crea volume escluso 

In natura si ha il looping di un polimero (i) e il riconoscimento 

tra molecole simili (iii)



Molecular Recognition


Definition 

Molecular Recognition: 

Il termine “Molecular Recognition” si riferisce 

all’interazione specifica tra due o più molecole 

attraverso legami non-covalenti, quali legami 

idrogeno e idrofobi, coordinazione con metalli, forze 

di van der walls, pi-pi ed elettrostatiche. 

Le due molecole interagenti vengono indicate con I 

termini ”Host” e “Guest” e nel complesso mostrano 

una complementarità molecolare.


Biologia 

Molecular Recognition 

& 

Biologia: 

Il Riconoscimento Molecolare ha un ruolo molto 

importante nei sistemi biologici, basti pensare ai sistemi 

recettori-ligandi, antigeni-anticorpi, DNA-proteine, RNAribosoma 

dove le interazioni host-guest sono alla base 

di processi vitali fondamentali.


Esempio 

Un esempio meno 

noto è l’interazione 

selettiva tra 

l’antibiotico 

vancomicina e dei 

peptidi coinvolti 

nella riparazione 

delle membrane. 

L’interazione 

avviene attraverso 5 

legami idrogeno e 

una volta ottenuto 

questo complesso il 

batterio muore 

perché non riesce a 

riparare la sua 

membrana. 

Blu: antibiotico 

Verde: peptidi


Static 

Il Riconoscimento Molecolare può essere suddiviso in riconoscimento statico 

e dinamico. Il primo è anche conosciuto come il modello chiave-serratura. È 

un complesso 1:1 tra una molecola guest (di solito di dimensioni piccole) e 

una molecola host (di solito di dimensioni maggiori del guest) che creano il 

complesso host-guest. Per avere il complesso statico occorre avere siti di 

riconoscimento altamente specifici.


Dynamic 

Nel caso del riconoscimento molecolare dinamico il legame del primo guest al 

sito 1 dell’host crea il presupposto per il legame del secondo guest al sito 2, 

tramite un cambiamento conformazionale del sito 2 stesso. 

Questa modificazione si chiama anche cambiamento allosterico, perché 

indotto in un sito lontano, in questo caso indotto sul sito 1 da un legame hostguest, 

mentre il cambiamento vero e proprio avviene sul sito 2. 

Il riconoscimento molecolare dinamico è particolarmente importante in 

biologia perché regola il processo di legame (capacità di legame del sito 2 

regolata dal sito 1) e sta alla base dei sensori chimici e vari dispositivi 

molecolari. 

Sito1 

Sito2


Farmacologia 

Nel campo della farmacologia si parla di guest nativi o naturali, cioè delle 

molecole che si legano a particolari host, proteine dette recettori perché 

ricevono selettivamente certe molecole. 

Molti recettori si trovano nelle membrane cellulari e servono per trasmettere 

informazione all’interno della cellula.


Recettori 

Molti recettori si trovano nelle membrane cellulari e servono per trasmettere 

informazione all’interno della cellula. Il messenger è la molecola guest, che è 

capace di attivare una ben determinata famiglia di recettori (selettività), 

pensare al modello chiave-serratura. Il tipo di messaggio dipende dal 

recettore, e se pensiamo al molecular recognition dinamico molto spesso si 

tratta di un cambiamento conformazionale del recettore nella parte interna 

della cellula che scatena tutta una serie di reazioni a catena.


Azione 

L’azione del complesso host-guest 

può essere di creare un messaggio 

secondario, come un cambiamento 

conformazionale interno alla cellula 

o rilascio di una molecola interna 

(riconoscimento dinamico) o può 

attivare una proteina di trasporto.


Farmacologia 

Nei laboratori si sviluppano/studiano molecole sintetiche chiamate 

agonisti/antagonisti (ad esempio le droghe e i dopanti sono tipici agonisti di 

recettori, ma anche tantissimi medicinali, calmanti, anti-depressivi etc etc), 

che legano la stessa famiglia di recettori di uno specifico guest-nativo. 

Il complesso agonista-host ha le stesse proprietà del complesso guest-nativohost. 

Il complesso antagonista-host NON ha le stesse proprietà, il complesso non 

funziona come dovrebbe, cioè il recettore viene semplicemente bloccato 

dall’interagire con molecole native-guest o agonisti. Tipiche molecole 

antagoniste sono gli anestetici, che bloccano il passaggio delle “sensazioni”. 

Nel modello chiave-serratura corrisponde ad usare una chiave che entra nella 

serratura senza farla girare. La serratura non viene aperta ma allo stesso 

tempo anche con la chiave giusta non possiamo aprirla perché è occupata.


Esempi


Gli enzimi possono 

essere visti come 

dei recettori che 

legano uno o piu 

substrati, 

reagiscono con 

questi e creano dei 

prodotti. Anche in 

questo caso 

possono esistere 

delle molecole che 

bloccano l’attività 

dell’enzima 

legandosi al loro 

sito attivo. 

Enzimi


Perché? 

Molecular Recognition 

& 

Proprietà di Trasporto 

1. Tramite interazione host-guest un proteina di trasporto può 

essere attivata/disattivata (aperta/chiusa) 

2. Il processo di trasporto di molecole attraverso un canale, 

che supponiamo aperto, può essere analizzato in due fasi 

diverse, (i) arrivo della molecola alla bocca del canale (ii) 

diffusione della molecola attraverso il canale. Il processo (i) 

può essere visto come molecular recognition.


Esempio 

Diffusione degli antibiotici dal 

medium verso la bocca del canale 

Trasporto 

in 2 Steps 

Diffusione degli antibiotici 

attraverso il canale membranare


Casistica 

1. Diffusione 1 > diffusione 2 

2. Diffusione 1 < diffusione 2 (DCR) 

3. Diffusione 1 ~ diffusione 2


DCR 

Diffusion-controlled reactions 

Le reazioni diffusion-controlled o diffusion-limited sono reazioni che 

occorrono cosi velocemente che il rate della reazione è limitato dal 

trasporto dei reagenti attraverso il mezzo (soluzione o gas o matrice 

solida). Quando i reagenti si incontrano la reazione avviene 

immediatamente. Il processo è visto come l’incontro dei reagenti per 

formare il complesso, perché la reazione in se è veloce. Il rate osservato 

per reazioni a più step è controllato dal cosidetto rate determining step. 

Nelle reazioni diffusion-controlled il rate determining step è proprio la 

diffusione dei reagenti che si incontrano per formare il complesso e dare 

vita ai prodotti.


DCR2 

Di solito la diffusione dei reagenti è veloce in fase gas mentre è lenta in 

soluzione, dovuta alle tante interazioni/collisioni, o in matrice solida, dovuta 

alle forti interazioni. 

Reazioni dove il complesso attivato e i prodotti si formano velocemente sono 

di solito diffusion-limited, ad esempio le reazioni catalitiche o enzimatiche. 

Reazioni eterogenee dove i reagenti sono in fasi diverse sono anch’esse 

diffusion-limited. 

Un test molto semplice per verificare che una reazione sia diffusion-limited è 

quella di misurare la variazione del rate indotta dall’agitazione o 

mescolamento della soluzione. 

Quando si devono amministrare medicinali e ci si imbatte in reazioni 

diffusion-controlled, molto spesso si è obbligati a trovare delle tecniche per 

velocizzare l’arrivo dei medicinali sui target. La branca della scienza che 

studia queste tecniche si chiama drug delivery.



Modelli di Riconoscimento 

ovvero 

Sezioni d’urto nelle membrane


Smoluchovski 

Se si hanno due sfere di raggio R A e R B , costante di diffusione 

rotazionale D A e D B , isotropicamente reattive, cioè su tutta la 

superficie, il numero di molecole che si incontrano al secondo, 

k DC , vale: 

Questa formula è stata ottenuta da Smoluchovski risolvendo 

l’equazione di diffusione di due molecole, ovvero calcolando la 

probabilità che le due molecole si tocchino, o i loro centri si 

trovino a una distanza R=R A +R B . 

In questo caso il rate della reazione, pensata come totalmente 

diffusion-limited, è la probabilità di incontro, ovvero una volta 

che si incontrano si ha la reazione, il rate-limiting-step è il 

contatto!


Model I 

Nel modello di associazione di 

Solc and Stockmayer un 

ligando sferico va a interagire 

su una superficie sferica ove la 

regione reattiva è limitata a 

una porzione di sfera. 

In biologia si può pensare 

all’ossigeno molecolare o al 

monossido di carbonio che 

interagiscono con la 

mioglobina (proteina globulare) 

su una porzione di superficie 

per poter entrare al suo 

interno.


Rate 

D R =>0 

D R =>inf 

D R =>inf 

K => inf


Commenti 

D R =>inf 

K => inf 

Cosa significa questo limite? Se la costante di diffusione 

rotazionale è molto alta e si ipotizza che a ciascun incontro di 

molecole abbiamo la reazione, il rate della reazione uguaglia il 

valore ottenuto dall’equazione di Smoluchovski, cioè per due 

molecole sferiche e reattive in maniera isotropa. 

Quindi anche se nel caso in cui la molecola grande non è 

completamente reattiva ma solo entro un angolo ϑ 0 , se ha una 

diffusione rotazionale molto alta, questa tende a compensare 

COMPLETAMENTE la non totale reattività, ottenendo al limite 

la formula di Smoluchovski.


Diffusione 

Rotazionale 

Da notare ancora 

Tra Y=0 e Y=0.2 non 

c’è praticamente 

nessuna differenza. 

Questi valori sono 

valori che si ritrovano 

in biologia


Cross section 

Alcuni autori hanno stimato il rate della reazione partendo dal 

rate per sfere isotrope (Smoluchovski) e normalizzando per il 

fattore geometrico. La calotta sferica di apertura ϑ 0 vale: 

2% 

# 0 

r 2 $ d" $ sin#d# = 2%r 2 # 

&cos# 

0 

0 

= 2%r 2 (1& cos# 0 

) /2 

0 

0 

Siccome la superficie totale della sfera vale 4πr 2 , dal rapporto 

possiamo stimare il rate k* 

! 

k * = (1" cos# 0 

) /2 

!


Commento 

La linea spezzata è il 

rate approssimato con 

la formula geometrica! 

Come si vede, se si 

usa questa 

approssimazione 

geometrica il rate 

viene molto minore di 

quanto invece deve 

essere!!!


Commento


Dalla espressione del rate facciamo il limite 

D R => 0 K => Inf ϑ 0 => 0 R A >> R B 

Planar patch 

Questo corrisponde ad avere una superficie piana che no ruota 

e come parte reattiva un cerchio di raggio a=R A ϑ 0


Planar patch 

In questo caso il rate vale: 

Se avessimo usato l’argomentazione geometrica avremmo: 

k DC 

= lim 

" 0 #0 4$DR(1% cos" 0) /2 = $DR" 0 

2 

Ancora una volta sottostimeremmo il vero rate!


k DC 

= 3" 2 

8 DR# 0 

Planar patch 

! 

- Se R A >> R B R=R A 

- D=D B perché il nostro 

piano non ruota 

- per piccoli angoli 

a=R A ϑ 0 

! 

k DC 

= 3" 2 

8 D B a 

Invece il vero rate 

usando l’equazione 

iniziale con le nuove 

condizioni è : 

k DC 

= 4D B 

R a 

" 0 

che per piccoli angoli è 

vicina al modello di 

Solc and Stochmayer


Reduced 

Infine se la particella B ha un raggio non trascurabile rispetto 

alle dimensione a bisogna tenerne conto nel rate.


Schmitz and Schurr 

Il modello di Schmitz and Schurr si avvicina al modello del 

Planar Patch con le differenze che: 

1. prevede ci sia una sfera di interazione, cioé la molecola che 

arriva ad un distanza R T viene catturata 

2. La molecola B ha una regione reattiva limitata rispetto alla 

normale al piano


Soluzione 

Qui D e D R si riferiscono alla sola diffusione traslazionale e 

rotazionale della molecola piccola. 

Anche qui ci sono dei casi limite interessanti: 

Per DR => Inf e K => Inf si ha 

! 

k DC 

= 2"DR T 

che è la formula di Smoluchovski tra una sfera uniformemente 

reattiva e un’emisfero su un piano infinito. Anche qui si vede 

che la diffusione rotazionale grande compensa completamente 

la ridotta reattività della molecola B


Se invece mandiamo D R => 0 e k => Inf 

Geometria 

otteniamo: 

Ci sono 2 commenti su questa formula: 

1. Se compariamo con Smoluchovski, il rapporto ci da 

esattamente il termine geometrico, cioe in questo caso si 

puo correggere il rate per la vera superficie gemoetrica 

2. Quando ϑ 0 e’ piccolo la dipendenza e’ quadratica 

nell’angolo, cioe il rate cambia molto se cambiamo il valore 

dell’angolo. Se ragioniamo al contrario (stiamo 

supponendo D R =0), la dipendenza da D R e’ piu forte qui 

che nel modello precedente

Diffusione 


rotazionale 

Qui si vede la dipendenza del rate da D R , per Y=0 o Y=0.2 il 

cambiamento e’ abbastanza importante, contrariamente al 

modello precedente. Perché?


Gli autori si domandano 

perche nel modello si 

Schmitz and Schurr sia cosi 

importante D R , cioe la 

diffusione rotazionale, nella 

stima del rate. 

Per comparare i due modelli 

usano il modello di Schmitz 

and Schurr in cui l’angolo ϑ 0 

viene calcolato rispetto al 

centro dell’emisfero (Model I) 

o rispetto alla normale al 

piano (Model II, o anche il 

vero modello di Schmitz and 

Schurr). 

Model I e II 

Nel Model I le molecole 2 e 3 

reagiscono mentre nel Model II 

solo la molecola 4 può reagire


Model II 

Poi pensano al caso in cui D R => 0. Se le molecole possono solo 

diffondere senza ruotare, la condizione del Model II è molto più 

restrittiva. Infatti solo 4 puo reagire, è l’unica a essere orientata 

nel verso giusto, e la traslazione non cambia l’orientazione delle 

altre!


Model I 

Invece nel Model I, se anche D R =0, per sola traslazione possiamo 

muovere le molecole non reattive (1,4,5 e 6) in una posizione 

sull’emisfero cosi che l’angolo sia quello giusto!


Conclusioni 

IN GENERALE: 

La termodinamica è una disciplina molto importante in biologia, 

ci da la condizione necessaria perche delle reazioni avvengano 

(tramite I potenziali termodinamici). Pero questi dati non sono 

sufficienti, perche il rate delle reazioni non si determina dalla 

termodinamica, occorre studiarne la cinetica! 

IN PARTICOLARE 

Da questi semplici modelli abbiamo imparato alcune cose a 

mio avviso importanti


Modelli 

1. Il calcolo del rate può essere fatto per dei modelli 

semplificati 

2. Stimare la riduzione del rate sulla base di semplici 

considerazioni geometriche è un fatto per niente semplice 

3. La forte e diversa dipendenza del rate dalla diffusione 

rotazionale merita una discussione più approfondita del 

modello da usare al caso specifico che dobbiamo risolvere: 

per esercizio pensare a dei sistemi reali che si comportano 

come Model I o Model II 

4. Le formule di Smoluchovski, dopo circa 100 anni, sono 

ancora valide e prese come riferimento per i modelli più 

sofisticati: bisogna studiare le equazioni/soluzioni semplici 

prima di affrontare sistemi complessi!



Cinetica chimica


Sommario 

Cinetica 

Transition State Theory 

Equazione di Michaelis-Menten


Cinetica 

La cinetica studia il rate delle reazioni chimiche. 

In Biochimica le reazioni la cui cinetica è interessante sono la 

cinetica dei complessi recettore-ligando (host-guest) e degli 

enzimi. 

In fisica le proprietà di trasporto attraverso le membrane 

vengono studiate con la cinetica.


Definizione 

Il rate di una reazione è definito come la variazione della 

reazione nel tempo: 

v = d" 

dt = k A [ ] B [ ] 

k è la costante di reazione e non dipende dalle concentrazioni 

dei prodotti [A] e [B] ma dipende dalla temperatura. 

! 

La reazione è detta del secondo ordine perché dipende dalla 

potenza seconda della concentrazione


d A [ ] 

dt 

[ A] = A 

= "k A [ ] 

Primo ordine 

ha la soluzione esponenziale semplice 

Il grafico di ln[A] in funzione del tempo 

è una retta di coefficiente angolare -k 

[ ] 0 

e "kt Per una reazione del primo ordine si 

Possiamo definire il tempo di dimezzamento della 

concentrazione iniziale e la costante di tempo, come il tempo 

per avere la concentrazione ridotta a 1/e 

# 

kt 1/ 2 

= "ln% 1& 

( 

$ 2' 

t 1/ 2 

= ln2 

k 

$ 

k" = #ln& 1' 

) =1 

% e( 

" = 1 k


d A [ ] 

dt 

= "k[ A] 2 

1 

[ A] " 1 = kt 

[ A] 0 

[ A] = 

A [ ] 0 

1+ kt A 

Secondo ordine 

Per una reazione del secondo ordine si 

ha la soluzione 

[A] decresce più lentamente nel tempo 

che in una reazione del primo ordine 

[ ] 0 

Il grafico di 1/[A] in funzione del tempo è 

una retta di coefficiente angolare k 

t 1/ 2 

= 

1 Il tempo di dimezzamento dipende 

k[ A] dalla concentrazione iniziale 

0 

Vedere Atkins, Physical Chemistry per altri esempi


Equilibri 

Esistono anche reazioni dove A e B si trasformano tra loro 

A => B v=k[A] 

B => A v=k’[B] 

Entrambe sono del primo ordine 

L’equazione differenziale corrispondente è: 

dA 

dt = "kA + k'B dove A+B=A 0 

La soluzione è complicata: 

A = 

k'+ke"(k 

+k')t 

k + k' 

Ma per questo tipo di reazione quello che interessa sono le 

concentrazioni all’equilibrio, ovvero quando t=> Inf 

C’è un’altra maniera più diretta di procedere, 

! 

l’approssimazione dello stato stazionario



Se si impone la stazionarietà dell’equazione, si ha: 

dA 

dt 

= "kA + k'B = 0 

Ovvero 

dove A e B sono da considerarsi le 

concentrazioni all’equilibrio. K è la costante 

termodinamica della reazione, vediamo 

! 

quindi che abbiamo un parametro 

termodinamico (K) esprimibile per mezzo 

delle costanti di reazione k e k’. 

Questa equazione è anche chiamata il 

bilancio dettagliato, che può essere 

considerato un principio di conservazione 

del flusso. 

kA = k'B 

B 

A = k k' = K 

B = A 0 

" A = k k' A 

k' 

A = A 0 

k + k' 

B = A 

k 

k + k'


Temperatura 

In molte reazioni il logaritmo della costante di reazione k ha un 

andamento lineare rispetto a 1/T: 

lnk = ln A " E A 

RT 

Il parametro A è il cosidetto pre-esponenziale o la frequenza 

di Arrhenius, mentre E A è l’energia di attivazione. Se 

scriviamo l’equazione in altra forma, detta di Arrhenius, tutta 

la dipendenza da T è nel fattore esponenziale 

! 

! 

k = Ae " E A 

RT 

Per reazione complesse dove il ln(k) non è lineare in 1/T si può 

ancora definire un’energia di attivazione come: 

" 

E A 

= RT 2 

$ 

# 

d ln k 

dT 

% 

' 

&


Consecutive 

Si possono avere due reazioni consecutive, passando per 

un’intermedio I prima di avere il prodotto: 

! 

A 

" k a 

# I 

L’equazione differenziale è: 

Siccome 

A = A 0 

e "k a t 

! 

dI 

k b 

"# 

P 

dI 

dt = k a A " k b I 

dP 

dt = k b I 

dt + k b I = k a A 0 e"k a t

! 


Rate-determining 

A 

" k a 

# I 

" 

k b 

# P 

La soluzione è: 

I = 

k a 

k b 

" k a 

( e "k a t " e "k b t 

)A 0 

Siccome all’inizio abbiamo solo A 0 , si ha che A+I+P=A 0 

! 

! 

# 

P = 1+ k a e"k b t " k e "k a t 

$ 

b 

% k " k b a 

& 

' A 0 

( 

Se k b >> k a abbiamo la dipendenza 

dal più piccolo rate solamente 

Il rate-determining step è il più lento 

P = ( 1" e "k a t 

)A 0


Steady-state 

A 

" k a 

# I 

" 

k b 

# P 

Con questa approssimazione si intende che la concentrazione 

di I non cambi troppo durante una reazione 

Abbiamo allora: 

! 

La soluzione è ancora quella 

del rate-determining step: 

dI 

dt = k aA " k b 

I = 0 

I = k a 

/k b 

A 

dP 

! 

dt = k bI = k a 

A 

P = ( 1" e "k a t 

)A 0 

dI 

dt " 0


Pre-equilibria 

Un’altro caso interessante è quando l’intermedio è in equilibrio 

con il reagente: 

A + B 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

I 

k b 

"# 

P 

Possiamo definire una costante della prima reazione 

K = 

I 

AB = k a 

k' a 

È ovvio che la seconda reazione è 

quella lenta! 

dP 

dt = k b I = k KAB = kAB 

b 

Dove la costante k è composita 

k = k b 

K = k ak b 

k' a


Pre-equilibria-2 

A + B 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

I 

" 

k b 

# P 

Utilizzando l’approssimazione dello stato stazionario si ha: 

! 

dI 

Risolvendo per I: 

La costante k è 

ancora composita 

! 

dt = k a AB " k' a I " k b I # 0 

I " k aAB 

k' a 

+k b 

dP 

dt = k bI " 

k ak b 

k' a 

+k b 

Ritroviamo la formula precedente quando k b



La teoria dello stato di transizione usa la cinetica per formulare il 

rate k di un processo attivato e ottenere la dipendenza dai 

diversi parametri 

L’idea è che lo stato di transizione 

puo essere pensato come uno 

stato intermedio di equilibrio, e 

quindi si usa lo stesso formalismo 

visto poco fa: 

A + B 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

AB " k b 

# P


Stesse equazioni 

A + B 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

AB " k b 

# P 

K = 

[ AB ] 

[ A] [ B] = k a 

k' a 

dP 

dt = k b 

[ AB ] = k K[ A] [ B] = k[ A] [ B] 

b 

! 

k = k b 

K = k ak b 

k' a



A + B 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

AB " k b 

# P 

k = k b 

K = k a k b 

k' a 

k = k b 

K 

k b 

= "v 

K = k BT 

hv 

$G* 

k B T 

e# 

Il rate k b ci dice come il complesso si 

trasforma in prodotto. La costante di 

equilibrio K può essere formulata con l’aiuto 

della meccanica statistica 

dove κ è il coefficiente di trasmissione, ovvero 

un parametro < 1 che ci dice che non tutti I 

complessi finiscono in prodotti, e υ è una 

frequenza di vibrazione. 

Equazione di Eyring 

k = " k BT 

h 

$G* 

k B 

e# T 

= " k BT 

h e $S 

k B 

e # $H 

k B T


Michaelis-Menten 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

L’equazione di Michaelis-Menten è stata ricavata per 

descrivere le reazioni enzimatiche. Un dato enzima E aiuta la 

produzione di un prodotto P a partire da un substrato S. 

L’enzima è cosi efficiente che basta una piccola 

concentrazione per ottenere P con un alto rate, anche tre 

ordini di grandezza meno del substrato.


Caratteristiche 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

Le caratteristiche che la soluzione deve avere sono: 

- Per una data concentrazione iniziale di S, il rate di 

formazione del prodotto è proporzionale alla concentrazione 

totale dell’enzima 

- Per una data concentrazione di enzima e bassi valori di 

substrato, il rate è proporzionale al substrato 

- Per una data concentrazione di enzima e alti valori di 

substrato, il rate non dipende dal substrato e raggiunge un 

valore massimo di velocità di formazione del prodotto v max


Steady-state 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

Partendo dalla formazione di P abbiamo: 

v = k b 

[ES] 

Utilizzando l’approssimazione stazionaria abbiamo: 

d[ ES] 

dt 

! 

= k [ E] [ S] " k' [ ES] " k [ ES] = 0 

a a b 

[ ES] = 

k a 

k' a 

+k b 

[ E] [ S]


Soluzione 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

Possiamo usare la concentrazione iniziale di enzima E 0 e la 

relazione che S~S0 rispetto alla bassa concentrazione di E 

[ E] = [ E] + [ ES] 

0 

[ S] " [ S] 0 

[ ES] = 

[ E] 0 

1+ k' a +k 1 

b 

k S a 

[ ] 0


K M 

E + S 

Alla fine si ha: 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

v = 

k b 

[ E] 0 

1+ k' a +k 1 

b 

k S a 

[ ] 0 

k' a 

+k b 

k a 

! 

[ ][ S] 

" K M 

= E 

ES 

[ ] 

è la costante di Michaelis-Menten 

e ha le dimensioni di una 

concentrazione


v max 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

v = k b 

[ E] 0 

1+ K M 

S [ ] 0 

" 

k b 

# P 

Quando S 0 > K M 

v = v = k E 

[ S] max b 

0 

Definizione di v max


Lineweaver-Burk 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

v = 

v max 

! 

1+ K M 

S [ ] 0 

Si può anche trovare la forma seguente utile per ottenere dal 

plot di 1/v in funzione di 1/S I valori di 1/v max e K M 

1 

v = 1 + K 1 

M 

v v S 

max max 

[ ] 0


Efficiency 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

La costante catalitica di un enzima esprime il numero di cicli 

svolti dal sito attivo per un dato intervallo, e corrisponde a k b 

k cat 

= k b 

= v max 

E [ ] 0 

L’efficienza catalitica epsilon è il rapporto tra k cat e K M , più alto 

epsilon maggiore è l’efficienza dell’enzima 

! 

" = k cat 

K M 

= k a k b 

k' a 

+k b


Diffusion-controlled 

E + S 

k a 

"# 

k a 

' 

$ "" 

ES 

" 

k b 

# P 

L’efficienza massima si ha quando k b >> k’ a e ξ=k a , cioè la 

reazione dipende dalla formazione del complesso, ritroviamo 

una diffusion-controlled reaction. 

" max 

= k a 

!



Cinetica & Trasporto


Sommario 

Premesse 

Fatti Sperimentali 

Two Barriers One Binding Site


Le membrane costituiscono 

una barriera praticamente 

insormontabile per molti 

composti idrofilici e un 

impedimento alla diffusione 

facilitata di composti 

idrofobici. 

I batteri e le cellule hanno 

bisogno di scambiare 

molecole tra l’esterno e 

l’interno, per mangiare ad 

esempio, o viceversa, per 

disfarsi di molecole nocive. 

Problema 

ΔG * 12 

τ 

G 1 

G 2


Esperimenti 

I canali vengono ricostituiti in membrane planari in una cella 

elettrofisiologica (esperimenti Black Lipid membrane). La 

corrente ionica viene usata come sensore dei canali. 

Ogni canale ha la sua resistenza/conduttanza caratteristica 

che dipende dalle sue dimensioni, forma e potenziale elettrico. 

Un canale molto studiato è il canale batterico (Escherichia 

Coli) LamB che viene usato per introdurre zuccheri all’interno 

del batterio.


Set-up 

Corrente ionica 

mV 

Multi-channel 

a 

I 

1 cm 

d 

pA 

10 ms 

Single porin insertion 

c 

b 

Planar lipid bilayer 

Cl - 

100 µm 

Teflon film 

of 25 µm thick 

K + 

Salt solution 

Single-channel 

2 nm 

Inserted porin


Insertion


Osservazioni 

- Quando si misura la corrente in presenza di LamB nella 

membrana la conduttanza della membrana aumenta. 

- Se si aggiungono zuccheri alla soluzione la conduttanza 

diminuisce, lo zucchero si inserisce all’interno del canale ed 

impedisce il passaggio della corrente. 

- Il canale ha singola occupazione. 

- Il canale viene bloccato quando si inserisce lo zucchero in 

entrambe le camere, o a sx o a dx.


Binding 

1 

v = 1 + K 1 

M 

v v S 

max max 

[ ] 0 

!


Domanda 

Perché non posso misurare il flusso misurando la 

differenza di concentrazione nel tempo? 

Se il sistema viene preparato con una differenza di 

concentrazione, anche alta come C 1 =C e C 2 =0, il sistema non 

raggiungerà mai l’equilibrio in quanto ci sono troppi pochi 

canali nella membrana, quindi le concentrazioni si possono 

considerare costanti durante tutto l’esperimento. 

Per avere un’idea, passano qualche centinaio di molecole/s, 

da confrontare con 10 23 molecole.


Modello 

Vogliamo ricavare il flusso netto creato da una differenza di 

concentrazione tra OUT e IN 

ΔG 

Flusso netto J 

OUT 

IN 

Z


on rate sono pseudo-reazioni del primo ordine perché la 

concentrazione non cambia per il basso numero di canali 

kon 

k on 

k on 

ΔG 

OUT 

IN 

Z


koff 

Quando il canale è occupato il substrato può andare da 

entrambi le parti. Anche off rate sono pseudo-reazioni del 

primo ordine, non dipendono dalla concentrazione! 

k off 

k off 

ΔG 

OUT 

IN 

Z


Cinetica 

Possiamo scrivere la seguente equazione cinetica 

cis 

k on 

k’ off 

trans 

S + O B S + O 

k off 

k’ on 

k off 

k’ off 

k on 

k’ on 

ΔG 

ΔG 

OUT 

STATO B 

Substrate bound 

IN 

Z 

OUT 

Stato S+O 

cis 

IN 

Stato S+O 

trans 

Z 

N closed =N p -N open 

N open


Steady-state 

cis 

k on 

k’ off 

trans 

S + O B S + O 

k off 

k’ on 

dN o 

dt 

= "N ( k c + k' c ) + N ( k + k' ) # 0 

o on 1 on 2 c off off 

L’approssimazione dello stato stazionario, cioè che il numero 

di canali aperti non cambia, è una buona approssimazione per 

questo problema. 

( ) 

N " N P o 

= k on c 1 + c 2 

N k + k' O off off 

( ) = X


cis 

k on 

k’ off 

trans 

S + O B S + O 

Probabilità 

k off 

k’ on 

N P 

" N o 

N O 

N P 

N O 

"1= X 

= X 

N P 

N O 

=1+ X 

N O 

= 1 

N P 

1+ X = P open 

P closed 

=1" P open 

= 

X 

1+ X 

Abbiamo trovato l’espressione 

per la probabilità di avere il 

canale aperto o chiuso. 

P open 

= 

P closed 

= 

1 

1+ k on(c 1 

+ c 2 

) 

2k off 

k on 

(c 1 

+ c 2 

) 

2k off 

1+ k on (c 1 + c 2 ) 

2k off


cis 

k on 

k’ off 

trans 

S + O B S + O 

Flusso 

1 

P open 

= 

1+ K(c + c ) 1 2 

2 

K(c 1 

+ c 2 

) 

P closed 

= 2 

1+ K(c + c ) 1 2 

2 

k off 

k’ on 

Con queste espressioni 

possiamo scrivere il flusso netto 

di molecole che attraversa il 

canale, ovvero la variazione di 

molecole nel compartimento dx 

dN S 

dt 

= "k on 

c 2 

P open 

+ k off 

P closed 

= "J 

J = k on 

c 2 

1 

1+ X " k off 

Fare attenzione ai segni! 

X 

1+ X


cis 

k on 

k’ off 

trans 

S + O B S + O 

Limiti 

k off 

k’ on 

J = " 

k on 

c 1 

" c 2 

2 

1+ K c 1 

+ c 2 

2 

= " 

k on 

#c 

( ) = "P#c 

2 + K c 1 

+ c 2 

Se c 2 =0 abbiamo: 

! 

J = " k on c 1 

2 + Kc 1 

= " 

k on 

c 1 

2 + k on 

k off 

c 1 

c 

Se k off >>k on J = "k 1 

on 

2 

! 

Se k off


cis 

k on 

k’ off 

trans 

S + O B S + O 

Significato 

k off 

k’ on 

Se k off >>k on 

J = "k on 

c 1 

2 

Se k off


cis 

k on 

k’ off 

trans 

S + O B S + O 

Significato 

k off 

k’ on 

Se k off >>c 1 k on 

J = "k on 

c 1 

2 

Se k off


Caso reale 

J = "k off 

Se k off c 1 k on 

J = "k on 

c 1 

2 

! 

Per basse concentrazioni il flusso è proporzionale alla 

concentrazione, per alte conc. invece è limitato da koff.


General diffusion 

Questo grafico riporta anche il flusso del maltotriose attraverso 

una porina, classificta come canale generico di diffusione. 

Si vede che l’andamento del 

flusso è proporzionale alla 

concentrazione sempre, e 

questo indica una diffusione 

senza bloccaggio del canale, 

cioè senza un legame dello 

zucchero, ovvero un processo 

di semplice diffusione. 

Comunque si nota la specificita del LamB per gli zuccheri, il 

flusso è sempre maggiore di piu di un ordine di grandezza. Da 

notare che le concentrazione tipiche in biologia sono mM.



Potenziale d’azione


Animazioni 

Potassium channel: 

http://www.youtube.com/watch?v=UqxzSrjzJ70 

http://highered.mcgrawhill.com/sites/0072495855/student_view0/chapter2/animation 

__how_the_sodium_potassium_pump_works.html 

Action potential: 

http://www.youtube.com/watch?v=SCasruJT-DU 

http://highered.mcgrawhill.com/sites/0072495855/student_view0/chapter14/animatio 

n__the_nerve_impulse.html


In evidenza 

Voltage-gated channels 

Why sodium channels do not conduct potassium? 

Why potassium channels do not conduct sodium? 

Sodium-Potassium pump 

Response time or relaxation time

K - Dipartimento di Fisica

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