Capitolo 1: Elementi di algebra vettoriale e tensoriale

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensoriale‣ TENSORE: ente matematico (astratto) che rappresentaquantità fisiche indipendenti dal particolare sistema diriferimento in cui sono espresse.‣ COMPONENTI DEL TENSORE: quantità necessarie allascrittura del tensore in un sistema di riferimento.‣ TRASFORMAZIONE: la legge di trasformazione dellecomponenti di un tensore viene utilizzata come definizionedel tensore stesso. Una volte note le componenti in unsistema di riferimento esse sono note in tutti gli altri.TENSORI GENERALITENSORI CARTESIANIsist. coordinate curvilineearbitrariosist. coordinate cartesianetrasformazioni generaliCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri1

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeORDINE DEI TENSORI: SPAZIO EUCLIDEO A 3DORDINE ZERO 3 0 =11° ORDINE (vettori) 3 1 =32° ORDINE (σ ij , ε ij ) 3 2 =93° ORDINE (E ijk ) 3 3 =274° ORDINE (C ijhk ) 3 4 =81Numero dicomponenti nellospazio EuclideoRICHIAMI DI ALGEBRA VETTORIALESomma di vettoria + b = b + a =cSottrazione di vettoria − b = ( −b)+ a =dCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri2

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeProprietà commutativa (di somma e sottrazione):(a+b)+c=a+(b+c)=d(a+b)−c=(a+b)−c=fMoltiplicazione per uno scalare:m(nb) = mn(b) = n(mb)(m + n)b = (n + m)b = nb + mbm(a + b) = m(b + a) = ma + mb(proprietà associativa e distributiva)Prodotto scalare (o interno):λ=(a⋅b)=(b⋅a)=abcosθse a (o b) = 1, si ottiene la proiezione nella direzione dell'altroCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri3

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeProdotto vettoriale (o esterno):v=(a×b)=( −b×a)=absinθ⋅ê(b×a)=vSISTEMI DI COORDINATEv=vxi+vyj +vzkvvvxyz===v ⋅ i = v cos αv ⋅ j = v cosβv ⋅ k = v cos γi,j,k=base ortonormalea⋅b=axbx+ayby+azbzijka×b=abxxabyyabzzCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri4

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeNotazione simbolica•Coseni direttori:e v=Vv=cosαi+cosβ j+cosγk•Rappresentazione sommatoria:V=v•Notazione indicialeai,bj,31e1+ v 2e2+ v3e3= ∑ vieii=1Aij,Fji,Eijk,KpqDove i,j,k,p,q = indicia,b,A,F,E,K = lettera base o noccioloi,j,k,p,q=1,…..Nindici non ripetuti = indici liberiN = campo di variazione dell’indice•Convenzione di sommatoriai = 1 L 3aiiAjj==a11A+11a+22+A22a33+A33Vettori: a i 1 indice libero = 3 comp.Tensori 2° ordine: a ij 2 indici liberi = 9 comp.Quindi:a i = (a1,a 2,a 3)oppure⎛ a⎜⎜a⎜⎝a123⎞⎟⎟⎟⎠Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri5

Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri6Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensoriale•Scrittura di sistemi lineari:333232131332322212123132121111jijiyayayaxyayayaxyayayax31,ji,yax++=++=++=== K22222221212211212111111122221222211122121221111121212222122121121222111121111212121212111212121111111111pqiqipijDCBDCBDCBDCBADCBDCBDCBDCBADCBDCBDCBDCBADCBDCBDCBDCBA21,qp,j,i,DCBA+++=+++=+++=+++=== K•Notazione simbolica + sommatoria:iiijjijijijjiiiia bbabaa ba beea bebeabaevevevevv=++===⋅=⋅=++=332211332211)()(δ⎩⎨⎧≠==jiperjiperKronecker)dideltadoveij01(δ

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeTENSORI: trasformazioni di coordinate (caso generale)θi=θi(x1xj = det .jakobiano =,2,x3)∂θ∂xij−j 1Se ≠ 0allora esiste la trasformazione inversa:xj=iix ( θ )=i1x ( θ ,θ2,θ3)Vettore differenziale: equazione prototipo del tensoreidθ=∂θ∂xijdxjTensore del I ordine contro-variante (b: generica quantità fisica)Le componenti b i sono componenti di un tensore se: b* ii⎛ ∂θbjx ⎟ ⎞=⎜⎝ ∂ ⎠jdove:b j : componenti del tensore del vecchio sistema di coordinate (x i )b *i : componenti del tensore del nuovo sistema di coordinate (θ i )Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri7

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeTensore del II ordine contro-variante (per semplice estensione)B* iji j∂θ∂θ= Br s∂x∂xrsTensore co-variante del I ordineb'i=∂x∂θijbjTensore co-variante del II ordineB'ij=i∂x∂θr∂x∂θjsBrsESEMPIO :Trasformazione di coordinate sferiche= θ sinθcosθx11 2 3= θ sinθsin θx21 2 3= θ cosθx31 2Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri8

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensoriale⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣∂x1= sinθ2 cosθ3∂ϑ1∂x2= sinθ2 sinθ3∂ϑ1∂x1= cosθ2∂θ1∂x1δθ 2= θ 1 cosθ2 cosθ3∂x2= θ 1 cosθ2 sinθ3∂θ2∂x3= −θ1 sinθ2∂θ2∂x⎤1= −θ1 sinθ2 sinθ3⎥∂θ3⎥∂x⎥3= θ cos ⎥1 sinθ2 θ 3∂θ3⎥⎥∂x3= 0 ⎥∂θ⎥3 ⎦ESEMPIO :Tensore metrico (tensore fondamentale dello spazio)2i( ds ) = dx i dxi ix = x1 2 3( ϑ , ϑ , ϑ )dxii∂x=j∂ϑjdϑ,i∂xj∂ϑi∂xl∂ϑ2l j( ds) = dϑdϑi,j,l = 1, K,3gjl∂xi∂xi= g jl tensore metrico o fondamentale dello spazio∂j lϑ ∂ϑPer i tensori cartesiani inoltre:g =jlδ jl(delta di Kronecker)Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri9

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeSISTEMA DI COORDINATE OMOGENEETRASFORMAZIONI ORTOGONALITENSORI CARTESIANICOMPONENTI CONTRO-VARIANTI E COVARIANTICOINCIDONO (solo indici in basso)TENSORI: trasformazioni di coordinate (tensori cartesiani)Rotazione:ij( x x )a =cos ′ ,ie ′+j1= a11e1+ a12e2a13e3e ′ = aiijejPer un generico vettore sia: v = in ( )v j e jx je= v′je in ( x′ )v ′jjSostituendo′ e si ha = viaijeje = aiijjv ′da cui per semplice confronto si ottiene la legge di variazione dallenuove coordinate alle vecchie.Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri10

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeTensore cartesiano del I ordine:a) Trasformazione inversa:v = a v′jijiTrasformazione dellecomponenti di un vettoree ′ =aiijejTrasformazione deiversori della baseb) trasformazione inversa :v ′ = aiijvjCombinando a) e b) con opportuna scelta degli indici:v = a a v ⇒ v = vjijikPer l’arbitrarietà di v j , ne segue:kjja a ij ik= δ9 condizioni dettejk di ortogonalitàTrasformazioneo ortonormalitàortogonaleNota: δ ij come operatore “sostituzione”i, j = 1, 2, 3= =ij j3 3δ bδ Fδ b +i i b +1 1 δ 2 2 δ i= ij ik δ + + =1 j 1kδ 2 j 2kδ 3 j 3 kFFbbiFFjkCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri11

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeTensore cartesiano del II ordine:Se si considera il prodotto scalare (diade):ii( aipup)( aiquq) aipaiqupuqu ′⋅v′⇒ u′v′==Risulta immediata la generalizzazione al secondo ordine:T ′ = aijipajqTpqOPERAZIONI TRA TENSORISomma di tensori cartesiani:A + B = TijkijkijkMoltiplicazione per uno scalare:bj= λα e B = λAjijijProdotto vettoriale:a × b =Introducendo lo pseudo-tensore (tensore di Ricci)∈ijk=c∈ ijkcome:⎧1→ se i, j, k sono una permutazio ne pari di 1,2,3⎪⎨ − 1 → se i, j, k sono una permutazio ne dispari di 1,2,3⎪⎩ 0 → se i, j, k non sono una permutazio ne di 1,2,3Allora:∈ijka b =jkciPseudo-tensore∈ ijksimbolo di permutazioneSe det a ij = 1 , trasformazione propriaSe det a ij = -1 , trasformazione propria⇒∈ijk⇒∈ijksi trasforma come untensore cartesianosi trasforma ameno del segnoCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri12

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensoriale• RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE• MATRICI RIGA, COLONNA E MATRICI QUADRATE• MATRICE IDENTICA• MATRICE TRASPOSTA• MATRICE SINGOLARETTT• MATRICE ORTOGONALE A = A−1⇒ A A = A A =I• PRODOTTO FRA MATRICI (NON COMMUTATIVO)Prodotto interno:A B =ij jk Cik(riga x colonna)Scomposizione di un tensore del II ordineD ij : simmetrico⇒ Dij= D jiD ij : antisimmetrico⇒D= −ijD jiDij( D + D )= 122 ij ji14243D( ij ) = D( ji )( D − D )1+ij ij14243D[ ij ] =−D[ ij ]tale scomposizione è unicaCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri13

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeVALORI PRINCIPALI (AUTOVALORI) EDIREZIONI PRINCIPALI (AUTOVETTORI) DI TENSORISIMMETRICI DEL II ORDINEDefinito T ij in un punto, per ogni direzione n viene definito un vettorev =TiijnjT opera come “operatore lineare vettoriale”v è il vettore coniugato da T alla direzione nSe n è tale che:Tijnj= λniossia il coniugato o trasformato di n è parallelo a n stesso allora n èuna direzione principale del tensore TSi può trasformare la precedente come:Tijnj= λni= λδijnj⇒ ( Tij− λδij) nj=0( TTT311121nn− λ)n11+ ( T+ T32122n+ T− λ)n212n+ ( T2233+ T13+ T23n3n− λ)n33= 0 ⎫⎪= 0⎬= 0⎪⎭3 equazioni4 incogniteInoltre:n i n i=1Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri14

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensoriale•Il sistema è omogeneo negli n j•Soluzione banale: n j = 0•Soluzioni non banali:det( Tij− λδ )ij=30 → λ − I2Tλ+IITλ − IIIT=0equazione caratteristica del tensoreITIITIII: T1: ( TiiT2Tii( = t T: Tijrjjij)−TTij( = detTij)ij⎫⎪⎪) ⎬⎪⎪⎭1°, 2° e 3° invariante di T ijλ( 1), λ(2), λ(3):valori principaliTeorema spettrale:Ogni tensore simmetrico ammette una terna ortogonale diautovettori con autovalori realiCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri15

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeCampi vettoriali e tensoriali(a) campo scalare:(b) campo vettoriale:Φ = Φ( , t)vi=x iv ( x , t)ij(c) campo tensoriale: T T ( x , t)ij=ijkCampo tensoriale continuo: le componenti sono continue e derivabili di x e tCampo tensoriale stazionario: T T (x)Operatori simbolici:ij=∂∂(nabla) : ∇ = ei= ei∂∂ =i∂x∂i∂Φ ∂Tijad esempio: = Φ, i; = Tij,k∂x∂xikij=ix ,iiOperatori differenziali:grad Φ = ∇Φ =div v= ∇ ⋅v= ∂∂Φe∂xvi= vio anche∂v=∂x∂∂v+∂x1 2i i i,j1 2rot v = ∇ × v =∈ijk∂jvk=∈ijkvk, jΦ = Φi , i∂v+∂x33∇2Φ = ∇ ⋅∇Φ = ∂Φ = Φii, iiCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri16

Capitolo 1:Elementi di algebra vettoriale e tensorialeTeorema di Gauss - Ostrogradski (Teorema della divergenza)∫∫vvv=div v ⋅ dVvi,icampo vettoriale⋅ dVh ⋅v dS :==∫s∫isn⋅v⋅dSv n dSiflusso elementare attraverso la superficie che racchiude VTeorema di Stokes (Teorema della circuitazione)∫F =∫ccF ⋅ d x =F dxiF(x)i=∫∫ssnn⋅(∇× F)dSi∈ijkFk , j⋅ dSCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri17

Capitolo 2:Stato di tensioneIpotesi fondamentali del continuo di Cauchylim∆An→0∆Sn= 0non esistono forze concentrate∆Mnlim = 0An→ 0 ∆A∆nle coppie sono infinitesimi di ordine superiorealle forze. (quando l’area tende a zero la forza èun infinitesimo dello stesso ordine dell’area epassa per il suo baricentro) (eccentricità nulla)∆Snlim =∆A n →0∆Antn( P,n)dove( P n)t n,è il vettore di tensione di CauchyCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri18

Capitolo 2:Stato di tensioneCaratterizzazione delle componenti dello stato di tensioneChiamando i, j e k i versori relativi ai tre assi coordinati x, y e zdel sistema di riferimento assunto, ciascun vettore tensione èrappresentato dalle sue componenti:ttxy= σ i + σ j + σxxxy= σ i + σ j + σyxyyxzyzkktz= σ i + σ j + σzxzyzzkσijcomponente del vettore tensione (relativo all’elementoipiano di normale i ) secondo la direzione jtChiamandoΣla matrice delle componenti così definita:Σ =( σ )ij⎡σ⎢= ⎢σ⎢⎣σxxyxzxσσσxyyyzyσσσxzyzzz⎤⎥⎥⎥⎦Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri19

Capitolo 2:Stato di tensioneRisulta:t n( P,n) =Σ ⋅nSi possono scrivere le componenti del vettore tensionesistema di riferimento O(x, y, z) come segue:t nrispetto altn( P,n) t n + t n + t n = ( σ i + σ j + σ k ) n + ( σ i + σ j + σ k) n +=x x y y z z xx xy xz x yx yy yz y( σ i + σ j + σ k ) n = ( σ n + σ n + σ n ) i + ( σ n + σ n + σ n ) ++ jzxzyzzy( σ n + σ n + n ) k = t i + t j t k+ σxz x yz y zz z n n+xxxxyxyyzxnzzxyxyyyzyzLe componenti del vettore tensione per esteso risultano:⎧t⎪⎨t⎪⎩tnnnxyz= σ= σ= σxxxyxznnnxxx+ σ+ σ+ σyxyyyznnnyyy+ σ+ σ+ σzxzyzznnnzzzAdottando la convenzione di Einstein infine:tnj= σijniCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri20

Capitolo 2:Stato di tensioneComponenti normale e tangenziale dello stato di tensioneDato un elemento piano di normale n è possibile esprimere ilvettore tensione t nrelativamente ad un riferimento intrinsecoall’elemento stesso secondo la direzione normale n ed unagenerica appartenente all’elemento piano (dunque tangenziale).ν⎧σ⎨⎩N= tn⋅n= tτ = tnnjnj−σ= σNnijninjEquazioni indefinite di equilibrioEquilibrio alla traslazione∫∫t dS + ∫ ρ g dV = 0 ma t n( P,n) =Σ ⋅ ns nalloravv∫Σ ⋅ n ds +sdiv Σ dV+∫v∫vquindi:b dVρ g dV=∫v= 0( div Σ + b) dV = 0Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri21

Capitolo 2:Stato di tensioneCondizioni di equilibrio al contornoPreso un elemento infinitesimo di superficie dA l’equilibrio richiedeche la componente vettoriale di tensione su questa giacitura coincidacon la corrispondente forza superficiale applicatat ndA=fdAIn componenti:σijn =ifjConsiderazioni conclusive•Equazioni di equilibrio del continuo (tre equazioni differenziali)⎪⎧σij,i+ bj= 0 suV⎨⎪⎩ σij= σjisu ∂V•Incognite: sei componenti diΣ =( σ )ij⎡σ⎢= ⎢σ⎢⎣σxxyxzxσijσσσxyyyzyσxz⎤⎥σyz ⎥σ ⎥zz ⎦• il problema dell'equilibrio punto-punto in un continuo diCauchy è sempre staticamente indeterminato (iperstaticitàdell'equilibrio interno)• la simmetria dello stato interno di tensione è un fatto intrinseco,dovuto al solo equilibrio e non al tipo di materiale od altro(Cauchy);Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri23

Capitolo 2:Stato di tensioneSforzi principali - Direzioni principaliUna direzione n si dice principale per lo stato di tensione Σ setn= Σ ⋅ n = σ nLcioè set nè parallelo alla direzionenPer il teorema spettrale, per lo stato di tensione alla Cauchy(essendo un tensore del II° ordine simmetrico reale) esistealmeno una base ortonormale reale di direzioni principali eduna terna di tensioni principali reali ad essa associataDeterminazione delle direzioni e degli sforzi principaliPer la determinazione delle direzioni principali si ricorredirettamente alla definizione scrivendo in componenti:σ n = σijiLnj( σ n −σn δ ) = ( σ −σδ ) n = 0ijiLiijijLiji⎡σxx−σL⎢⎢ σyx⎢⎣ σzxσσyyσxy−σzyLσxz⎤⎧n⎥⎪σyz ⎥⎨nσ − ⎥⎪zzσL ⎦⎩nxyz⎫ ⎧0⎫⎪ ⎪ ⎪⎬=⎨0⎬⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎩0⎭L’individuazione di tali direzioni principali è stata ricondottaalla soluzione di un sistema lineare omogeneo.det σ −σδ = 0ijLijCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri24

Capitolo 2:Stato di tensionesviluppando il determinante, si ottieneσ3L− I σ12L+ I σ2L− I3= 0(equazione caratteristica del tensore)I coefficienti I i sono detti invarianti del tensore (nondipendono dal sistema di riferimento in cui è scritto σ) e sono:Invariante lineare:Invariante quadratico:Invariante cubico:III( Σ) = σ11+ σ22 331= σii= tr+ σ2= 21( σ σ −σσ )iijj= σ = det3 ijGli invarianti hanno un significato fisico molto importante; ad essipossono essere associati stati di tensione particolarmente importantied immediatamente riconoscibili.( Σ)Componente sferica e deviatorica del tensoreRisulta conveniente esprimere lo stato di tensione come sommadelle seguenti due componenti:σ = σ δ + sComponente sfericaijMComponente deviatoricaijijσiiσMδijdove σM=3sij= σ −σLe direzioni principali del tensore deviatore coincidono con quelle deltensore iniziale, mentre gli sforzi principali deviatorici sono dati da:sLi= σ −σLi3L'equazione caratteristica del tensore deviatorico è s I s − I = 0essendoI1 = 0DMijMijδijijΣ+2D3DCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri25

Capitolo 2:Stato di tensioneStato tensionale monoassialeUno stato tensionale si dice monoassiale, per definizione, quandouna sola delle tre tensioni principali è diversa da zero e le altre duetensioni principali sono nulle:e quindi:σ η= σ ζt n=ξσ ξ= 0nξtale caso è facilmente riconoscibile dallo studio degli invarianti deltensore degli sforzi. Esso si verificherà quanto:I3= I2= 0 e I1≠0Nel caso in cui:n ⊥ξEsempio di stato monoassialeCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri26

Capitolo 2:Stato di tensioneStato tensionale biassialeCondizione sufficiente e necessaria perché lo stato di tensione possadirsi biassiale è che si verifichi: I 3 = 0. In questo caso l’equazionesecolare diviene semplicemente:σDa cui le soluzioni:L⋅2( σ − I σ + I ) = 0L1L⎧ σξ= 0⎪⎨tn= σξnξ⎪⎩tn= ση ηnComunque si faccia variare o ruotare le giacitura la tensione nonavrà componente lungo ξ, bensì solo lungo η e ξ; cioè la tensione stasempre tutta nello stesso piano.2ξηEsempio di stato piano:Anche se in tutti i punti il piano di tensione non è lo stesso si trattadi stato piano (i piani di tensione sono infiniti e tutti paralleli)Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri27

Capitolo 2:Stato di tensioneQuadrica degli sforzi di CauchyNel sistema ξ i , il tensore delle tensioni in P ha componenti σ ij .2L’equazione σijξiζj= ± k (k = cost.) rappresenta una famigliadi quadratiche simili aventi centro in P.Per un punto sulla quadrica di vettore posizionesaranno ξi = r n i dove niè il versore di rrle componentiIn P la componente normale σ N è data (per la direzione n i ) da:N( n)ii( n)σ = t n = t ⋅ n = σ n nijijAssumendo k 2 = σ N r 2 allora la quadratica risultante, dettaquadrica di Cauchy è:σ ξ ξ = ± σijijN2rCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri28

Capitolo 2:Stato di tensioneProprietà:2kσN= ±2(σr N è inversamente proporzionale a r)(n)tagente in P su dA (perpendicolare al vettore posizione ) èparallelo alla normale al piano tangente alla quadrica nelpunto identificato da rMassimi e minimi degli sforzi tangenzialitIl vettore tensione n sulla faccia normale può esseredecomposto nella somma delle sue componenti vettoriali normalealla faccia ( σN orientato come n ) e tangenziale ( τ ):⎧σ⎨⎩N= tn⋅ n = tτ = tnnjnj−σ= σ nSviluppando l’espressione di σ N e del modulo di supponendodi ordinare le componenti principali del tensore delle tensioni inmodo che σ > σ > σIIIIIINnijinnjτσ = t ⋅ n = t n = σ n n = σ n + σ n + σNnnjjijijI2III2IIIIIn2III2τt= τ ⋅τ=t2( t −σn) ⋅( t −σn) = t ⋅t−σ=nNnNnnN2I2I2II2II2III2III2 22( σ n + σ n σ n ) 2= σ n + σ n + σ n −+In sostanza:IIIIIIIIIIII2 22( σ n + σ n σ n ) 22 2 2 2 2 2 2τ = σInI+ σIInII+ σIIInIII−I I II II+IIIIIICorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri29

Capitolo 2:Stato di tensioneMassimi e minimi col metodo dei moltiplicatori di Lagrange:F = τ 2 − λ n in iDove n i è la variabile indipendente e F è il funzionale daminimizzare o massimizzare e λ è detto moltiplicatore di Lagrange.Occorre porre la stazionarietà di questo funzionale F rispetto allen i , così facendo si ottiene (ricordiamo che le n i sono tali da daren i n i = 1):22⎧ 2 nI( σI− 2σIA − λ)= 0∂F⎪22= 0 ⇒ ⎨ 2nII( σII− 2σIIA − λ)= 0∂ni⎪22⎩2nIII( σIII− 2σIIIA − λ)= 0dove con A si indica:A=σ n + σ n + σI2III2IIIIIn2IIIIl sistema è risolvibile; un gruppo di soluzioni èn1nn11= ± 1= 0= 0nn2n22= 0= ± 1= 0n3= 0 ⎫ τ = 0⎪n3= 0 ⎬ ⇒τ= 0n3= ± 1⎪⎭ τ = 0Un secondo gruppo di soluzioni è dato da:nnIInI= ±= ±= 02222nIInnII= ±II== 02222nnIIIIIIn= ±= ±III= 02222⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⇒⎧⎪τ=⎪⎨τ=⎪⎪τ=⎪⎩( σ −σ)II2( σ −σ)III2( σ −σ)I2IIIIIICorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri30

Capitolo 2:Stato di tensioneLe direzioni individuate dalle n i sono ortogonali ad un asse principalee ruotate di π/4 rispetto agli altri due. La τ risulterà massima su una ditali giaciture, ed in particolare possiamo ottenere:τmax1= maxI II I III,2{ σ −σ, σ −σσ −σ}La componente massima di τ agisce nel piano che biseca l'angoloretto formato dalle direzioni degli sforzi max e min. principali.IIIIILocalizzazione degli sforzi: Cerchi di MohrSi può scrivere:(dove n i n i = 1)2 2 2 2 2 2σN+ τ = σIn1+ σIIn2+σ2IIIn23Risolvendo rispetto ai coseni direttori:2n I=( σN−σII)( σN−σIII) +( σ −σ)( σ −σ)IIIIIII2τOrdinando le tensioni principali in modo tale da averesi haσ > σ > σIIIIIIcioèP ≡( ) σ ,τN( σ −σ)( σ −σ) + τ2 ≥ 0NIINIIIè esterno al cerchio (o sulla sua circonferenza):2( σ σ ) ( σ −σ) 2⎡ II+III ⎤ 2 ⎡ II III ⎤⎢σ N−+ =2 ⎥ τ(C⎢ 2 ⎥ 1 )⎣⎦ ⎣ ⎦Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri31

Capitolo 2:Stato di tensione2n II=( σN−σIII)( σN−σI) +( σ −σ)( σ −σ)IIIIIIII2τ( σ −σ)( σ −σ) + τ2 ≤ 0NIIINI2( σ σ ) ( σ −σ) 2⎡ I+III ⎤ 2 ⎡ III I ⎤⎢σ N−+ =⎣ 2 ⎥ τ(C⎦⎢⎣ 2 ⎥ 2 )⎦2n III=( σN−σII)( σN−σI) +( σ −σ)( σ −σ)IIIIIIIII2τ( σ −σ)( σ −σ) + τ2 ≥ 0NIINI2( σ σ ) ( σ −σ) 2⎡ I+II ⎤ 2 ⎡ I II ⎤⎢σ N−+ =2 ⎥ τ ⎢ 2 ⎥(C 3 )⎣⎦ ⎣ ⎦σ ,τNNel piano le equazioni (C 1 ), (C 2 ) e (C 3 ) individuano l’areatratteggiata delimitata dai tre cerchi di MohrCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri32

Capitolo 3:Stato di deformazioneCinematica dei continui deformabili(congruenza o compatibilità)Congruenza dei continui - DeformazioneP ≡P′≡xi=Xx , xX11i, X22+ u, X, xi33u i = vettore spostamentoIn generale:x = χ( X )dove χ = trasformazione•χ permanentemente biunivoca (suriettiva + iniettiva)•χ continua con χ -1 continua•χ e χ -1 differenziabili quanto occorreχ espressione lagrangiana (o referenziale)χ -1 espressione euleriana (o spaziale)Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri33

Capitolo 3:Stato di deformazioneDeterminante Jacobianodet xi,j=xi,j=∂x∂Xij=JLdetXi,j=Xi,j=∂X∂xji=JEJL⋅ JE= 1L EIpotesi di lavoro su J ( o J )Per lavorare con i continui è necessario:J > 0(strettamente)L 1EJ > 0; > 0 ⇒ J < ∞EJJ = 0 implosione , J = ∞ esplosioneGradiente dello spostamentou = x − XuLi, j= xi,j−δi,j⇒ J = xi,j= ui,j+ δi,j>la condizione sul determinante dello jacobiano della trasformazionesi trasforma in una condizione sul gradiente dello spostamento0Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri34

Capitolo 3:Stato di deformazioneTensori della variazione di posizionePosto che:dx∂x∂x∂x1111= dX1+ dX2+ dX3∂X1∂X2∂X3si può scrivere:′22d l = d x ⋅d x = dx = xk, idXi⋅ xk, jdXjma:dl2= dX2= d X⋅ d X= dXi⋅ dXi= δ dXijidXjquindidx22− dX =,( xk, ixkj−δij) dXidXjSi definisce:xx=k , i k , jGijTensore di Green (o di variazionedella posizione)∂X∂x∂Xk k← X k,i X =k , ji j∂xCijTensore di Cauchy (variazionedella posizione)Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri35

Capitolo 3:Stato di deformazioneIn dettaglio:Coord Spost. Coord. immagineP0 X j uj x = X +j j uQ 0Xj+dXj=XQjuj+uj idXixQj=XQj+ujQjSviluppando in serie e troncando al I° ordine:uQ j= uj+ uj idXi= uj+ ujini} dld XLe coordinate dei punti immagine saranno:x = X +uQj j ujj6447484XQ j64748 } dlxQ= XQ+ ujj Q j= Xj+ dXj+ uj{+ uj inid X =n dl= Xj+ uj+( n + u n ) dl = x + ( δ + u ) n dljj iijjijj iiAllora:dx= x − x = δ( + u ) n dlk Qk k ki i,jjCalcolando il nuovo modulodx = dl'dl'22( δ + u ) n dl ⋅( + u ) n dl= d x = dx dx =δk k ki k , i i kj k , jjCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri36

Capitolo 3:Stato di deformazioneSviluppando:dl′dl′22⎛⎜= ⎜δki⋅δkj+ δki⋅ukj+ δkj⋅uki+ u⎜ 123 123 123⎝ δijui,juj,i=2( δ + u + u + u u ) n n dliji,jj,ik , ik,jijk , i⋅uk,j⎞⎟⎟nin⎟⎠jdl2Poiché: δ n n = 1Si ottiene:ijijdl′dl′22==[ 1+( ui,j+ uj,i+ uk, iuk,j) ninj]2[ 1+2Ln n ] dlijij2 L ij= tensore delle deformazioni finite (6 componenti)′ij2 2Moto rigido: dl = dl ⇒ 2L= 0dl2Ricordando che era stato definito:Gijdx2=xk,i= Gijxk , jdXidXjÈ possibile provare che:x 2Lk , ixk, j−δij=ijTensore della deformazione finita o di Green-LagrangeCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri37

Capitolo 3:Stato di deformazione2. Dilatazione angolare (deformazioni infinitesime)β + β = γβγ1β ≅ u12122≅ u= u2/11,21,212+ u2/1= 2ε123. Dilatazione superficiale (deformazioni infinitesime)∆∆12sinϕ12cosγ2ε11dA′− dA=dA12=ε= cosγ( 1+ε )( 1+ε )1222≅ 1≅ 01112dx1dx2− dX1dX=dX dX221cosγ1222−1= ε=11( 1+ε )( 1+ε )+ ε2211+ 2ε11ε2222dX1dX2sinϕdX dX1+ 1−1212− dX dX124. Dilatazione di volume (deformazioni infinitesime)Con analoghi sviluppi:∆v=dx dxdx− dX dXdX1 2 3 1 2 3= ε11+ ε ε 22+33dX1dX2dX3Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri40

Capitolo 3:Stato di deformazioneScomposizione in componenti simmetrica ed assimetricauQj= upj+ uj,idXiu= u+ uQ j Pjj,inidl121( u + u ) + ( u −u)ui,j=i,j j,ii,j j,i2Quindi:uQj⎡1( ) ( ) u + u + u −j i i,j j,i u i j dX= u +p ⎢ , ,j 2 2⎣1⎥ ⎦⎤itraslazioneDeformazionepura(parte simm.)Rotazionerigida(parte asimm.)Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri41

Capitolo 3:Stato di deformazioneCome si può vedere che la parte antisimmetrica è una rotazione rigida?Caso piano: rotazione intorno a X 3du1 du2 du3ϕ 10 − ϕ 1 dX3 ϕ 1 dX 2ϕ 2ϕ 3ϕ dX3 0 ϕ 2 dX1−2ϕ 3dX2−ϕ dX1 03Quindi per una rotazione rigida( , , )ϕ1ϕ2ϕ3⎧⎪du = 0 − +1 ϕ3 dX 2 ϕ2 dX 3⎨ du = + 0 −2 ϕ3 dX 1 ϕ1dX3⎪⎩du= − + + 03 ϕ2 dX 1 ϕ1dX2Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri42

Capitolo 4:Lavori Virtuali per i continui deformabiliLavori virtuali per i continui deformabilip dS: forze di superficie (distribuite o concentrate)µ dV: forze di volumeIn ogni punto P siano definiti:σij= σ ij( P)come campo tensionale in equilibrio con le forzeesterne applicate (l'equilibrio è soddisfatto in terminiglobali e locali);u = u( P)come campo di spostamenti congruenti, piccoli apiacere che rispettino la compatibilità cinematicainterna ed esterna. Sia inoltre il campo dispostamenti u tale che u i,j

Capitolo 4:Lavori Virtuali per i continui deformabiliLavoro virtuale esternoSi definisce il lavoro virtuale esterno, L e* , come prodotto dal campodi forze esterne di superficie p e di massa µ per il campo dispostamenti infinitesimi (del tutto indipendente dal campo di forze)congruenti e compatibili con i vincoli (spostamenti u * virtuali):L*e=∫S**( p ⋅u) dS + ( µ ⋅u)∫VdVLavoro virtuale internoDefiniamo ora il lavoro virtuale interno, isolando un cubetto dicontinuo elementare che subisce una deformazione ε ijyxPer la deformazione ε yy il cubetto si allungaCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri44

Capitolo 4:Lavori Virtuali per i continui deformabiliLa forza σ yy dxdz compie un lavoro pari a:σ dx dz ⋅εdy = σyyyyyyεyydVAnalogamente:x→σ xxεxxdVz→σ zzεzzdVOltre alle componenti considerate, se non è stato fissato unsistema principale, devono essere considerate le componenti dilavoro dovuto alle distorsioni:Il lavoro è prodotto solo dalla σ yx:γ dy⋅σdx dz = σyxyxyxγyxdVAnalogamente:xzyz→→σ xzγxzσ yzγyzdVdVCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri45

Capitolo 4:Lavori Virtuali per i continui deformabiliPer un campo di deformazioni virtuali (cioè infinitesime ecompatibili con i vincoli interni ed esterni) ε ij assolutamenteindipendenti dal sistema di forze:dL∗int∗∗∗∗∗∗( σ ε + σ ε + σ ε + σ γ + σ γ + σ ) dV= γxxxxyyyyzzzzxyxyxzxzyzyzdoveγ 2ε∗ ∗ ∗ ∗ij=ij= εij+ εijQuindi per ogni termine misto si ottiene:σAllora, in notazione tensoriale:ijε∗ ij+σjiε∗jidL∗int∗= σ ε dVijijSostituendo in termini integrali si ottiene:=∫V*L iσ ε dVij*ijCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri46

Capitolo 4:Lavori Virtuali per i continui deformabiliEQUILIBRIOCONGRUENZALAVORO VIRTUALENULLOCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri49

Capitolo 4:Il continuo elastico lineareIl continuo elastico lineareDati:Forze applicate:Reazioni vincolari( p,b)Incognite:⎧σij= σijP⎪⎨ui= ui( P)⎪⎩εij= εij( P)( )→→→636funzionifunzionifunzioniEquazioni a disposizione:3 equazioni di equilibrio + 6equazioni di congruenzaIl problema del continuo non è determinabile se non ricorrendo a dellecondizioni aggiuntive. Queste condizioni aggiuntive sono le equazionicostitutive (o di legame). Tramite queste equazioni che mettono inrelazione il campo di tensioni con il campo di deformazioni ilproblema del continuo diventa isodeterminato. Quindi il problema delcontinuo è risolvibile soltanto considerando l'aspetto statico(equilibrio) e cinematico (congruenza) congiuntamente.σij ↔ε ijequazioni costitutive (o di legame)Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri50

Capitolo 4:Il continuo elastico lineareIl legame costitutivo elastico-lineareIl solido elastico lineare è caratterizzato da una proporzionalità tra iltensore di deformazione e delle tensioni.σ =ijCijklεklLa legge costitutiva elastica lineare è:biunivocalineare (proporzionalità)invertibileε kl= B σ ⇒ B = Cklijij−1In generale il tensore C ijkl ha 3 4 = 81 componenti.Per la simmetria dei tensori σ ije ε ijtali componenti si riducono a 36Biunivocità del legameSistema conservativoEsistenza del POTENZIALE DI DEFORMAZIONELavoro interno (L I ): lavoro compiuto da un campo σ per uncampo ε (valori finali) anche completamente indipendenti.Lavoro di deformazione (L d ): lavoro compiuto dal variare(proporzionale) di σ per il corrispondente stato di deformazione ε(pure variabile).LI= ∫ σ dVij ε ijVdLI= σ ijε dVijCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri51

Capitolo 4:Il continuo elastico lineareIpotesi di omogeneitàI C ijkl sono uguali in tutti i punti del continuoIpotesi di isotropiaAl variare della terna di riferimento non varia neppure l'espressione diΦ⇒C ijkl è costante rispetto alla direzione.L'ipotesi di ISOTROPIA implica che, nella espressione di Φ, devonocomparire soltanto i TRE INVARIANTI della deformazione:φ =A12E21+A2E2+A3E3doveEEE= +1 iiε = ε +11 ε 22 ε 33( +)= ε ε + ε ε + ε ε −11 22 11 33 22 33 ε12ε21 ε 23ε32 ε 31ε132+3 =detε ijed inoltre:A 3=0poiché Φ può essere AL PIU' quadratica in ε.Allora le costanti si riducono a 2: A 1 e A 2 .Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri58

Capitolo 4:Il continuo elastico lineareAttribuiamo alle due costanti un significato fisico ⇒ legame fra ε e σ.σ ij=∂Φ∂εij=∂E1E +1 A∂εij∂EA1 2222∂εijEsplicitando:a)i ≠jA2σ = τ = −ij A ε = −2 ij γij2ij =Gγijquindi le componenti tangenziali della tensione, nel caso isotropo,dipendono soltanto dalle dilatazioni angolari corrispondenti.⎛⎜−⎝A ⎞2 = ⎟G = modulo di elasticità tangenziale (o2 ⎠ trasversale [F/S]).Poiché Φ deve essere positivo1 2= ( − A2ε12ε12− A2ε21ε21)= −A2ε12Φ = σijεij212⇓G > 0b) i = j, per esempio = 1( ε + ε + ε ) + ( ε )σ +11= + A111 22 33A222ε33Sommando e sottraendo A 2 ε 11 si ha:σ= +( A + A )( ε + ε + ε ) − A ε1 2 11 22 33 { 2 11112GCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri59

Capitolo 4:Il continuo elastico lineareQuindi, posto λ = A 1 + A 2σ11= 2Gε11+ λ( ε11+ ε22+ ε33)σ = 2Gε+ λ( ε + ε + ε )iiiiLe componenti normali di σ dipendono da tutte e tre le deformazionilineari, ma non dalle componenti tangenziali.Riunendo le due formule si ha:σ =ij= 2Gεij+ λ∆δij;∆ εii112233Legge di Hooke generalizzataOsservazioni•Per materali isotropi, se una terna di riferimento è principale per εè principale anche per σ•λ non ha significato fisico immediato; per riconoscerlo, sipossono rovesciare le espressioni:εij=2G− λ( 3λ+ 2G)11εv = −ε2211δijσ22ε= −εkk33111+ σij2G•Introducendo le costanti “ingegneristiche” E e ν, tramite lerelazioni:σ11σ22σ33E = = =ε ε ε33Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri60

Capitolo 4:Il problema elastostaticoSi ottiene:E ⎛ vσii= ⎜εij+ δijε1+v ⎝ 1−2v1+v vεij= σij− δijσkkE Ekk⎞⎟⎠E = 2G(1+ν)(modulo di Young)v=2λ( G + λ)(coefficiente di Poisson)Il problema elastostaticoAbbiamo un solido nella configurazione C o soggetto a forze disuperficie fˆ assegnate su una porzione di superficie del solido eforze di volume b . Inoltre se il solido è elastico si introduce iltensore C ijkl del legame costitutivo elastico. Questo tensore ha 36componenti distinte se il solido è elastico senza simmetrie. Questesi riducono a 21 se è iperelastico, e a 2 sole se il solido è isotropo.Per conoscenza della soluzione si intende la conoscenza in tutti ipunti del solido di:ui =uiεij= ε ijσij= σ ij( P)( P)( P)le componenti di spostamento in tutti i punti delcontinuo C ole componenti di deformazione in tutti i punti delcontinuole componenti di tensione in tutti i punti del continuoCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri61

Capitolo 4:Il problema elastostaticoSi dispone delle seguenti equazioni:+ jEquazioni di equilibrio σ ij ,b = 0 in V (di C o )e equazioni ai limitiσijnii= fˆjEquazioni di legameσ = λ ε δ + 2G εEquazioni di compatibilità - congruenzaijkkijijij( + u )u i , j j , iCondizioni di contorno espressi in uno dei seguenti modi:I. sono assegnati gli spostamenti lungo tutto il contornoII. sono assegnati gli sforziε=12lungo tutto il contornoIII. su una parte del contorno sono assegnati glispostamenti e sull’altra parte gli sforzifˆin VAlla fine si hanno:• 6 equazioni di congruenza;• 3 equazioni di equilibrio;• 6 equazioni costitutive;per un totale di 15 equazioni.Per contro abbiamo:•3 incognite di spostamento;•6 incognite di deformazione;•6 incognite di tensione;per un totale di 15 incogniteCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri62

Capitolo 4:Il problema elastostaticoNel caso I si ottengono le seguenti equazioni di Navier-Cauchy (1827)λ εkk , iδij+ 2 G εij,i+ bj=λ u δλ u12G20( u + u ) + b 0k. ki ij+i,j j,i=, i jk. kj+ G ui,ji+ G uj,ii+ bj=0G ∇2uj+( λ + G ) u + b = 0i,ijjNel caso II si ottengono le seguenti equazioni di Beltrami-Michell (1900)1σ1+νkk.ij+ σij,kk⎛= −⎜⎝bi,j+ bj,iν+ b1−νk , k⎞δij ⎟⎠Nel caso III si risolve il problema di equazioni e si impongonocondizioni al contorno parzialiCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri63

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantPostulato di De Saint VenantSi consideri un genericocontinuo e sia questo inequilibrio per effetto di unsistema di forze S applicatosu una porzione del solido.Il postulato di De St. Venant afferma che: "gli effetti, in termini di σed ε, di questo sistema di forze S si risentono solo in una porzione delsolido di dimensioni paragonabili alla massima distanza tra i puntidi applicazione delle forze".Sovrapponendo gli effetti:⇒rispetto ad (a), in (c) lostato tensionale cambiasolo in B".Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri64

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venant"Se si sostituisce un sistema di forze con la sua risultante, glieffetti in termini di tensioni e deformazioni si risentono solo nellaporzione di dimensioni paragonabili alla massima distanza fra ipunti di applicazioni delle forze"⇓Il corollario di De St. Venant ci permette di dire che per le travi ilcampo tensionale in una sezione dipende solo dalle caratteristichedi sollecitazione, con la sola esclusione delle zone, molto ristrette,dove sono applicate forze e coppie concentrate.Problema di De St. VenantIl problema di De St. Venant consiste nella soluzione del problemaelastico per un solido cilindrico allungato. Vediamo nel particolarele ipotesi di base al problema di De St. Venant.•Geometria del solidoSolido prismatico a sezione costante con lunghezza “L” moltomaggiore delle dimensioni trasversali (le quali si suppongono dellostesso ordine di grandezza tra loro): L>>D.x, y, z si fissano sugli assi principali d’inerziaCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri65

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venant•Natura del solidoCorpo elastico omogeneo e isotropo: le caratteristiche meccaniche delcorpo sono le stesse in tutti i punti del corpo così come le costanti diLamé.•VincoliPer impedire il moto rigido del sistema possiamo fissare, ad esempio, ilbaricentro G 0 del sistema di riferimento assunto, pertanto:u( , ) v ( , , ) = w( , , ) 0x,0 y0z = 0 x0y=0 z0x0y0z 0∂v=∂z↓ϕx∂u=∂z↓ϕy∂w∂x↓•ForzeTutte le forze esterne sono applicate solo sulle basi estreme del solido.Sono nulle le forze superficiali sulla superficie laterale ed anche le forzedi massa.ϕzCaratteristiche di sollecitazioneOgni sezione del prisma ha uno stato di sollecitazione caratterizzato dauna forza F e un momento M ottenuti come forza e momento risultante,rispetto al baricentro della sezione, del sistema di forze superficialiapplicate (ad esempio) sulla base sinistra del prisma. Le loro componentirispetto al sistema di riferimento assunto vengono dette caratteristiche disollecitazione. È immediato verificare, da semplici considerazioni diequilibrio, la validità delle seguenti relazioni:Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri66

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venant∫R = T =x x Aσzx dA∫R = T =y y Aσzy dA∫= N = σRzA zzdA= ∫ σM x A zz⋅y dA= −∫ σM y A zz⋅ x dAM = (zyxzxy )dAz ∫ σ −σAÈ inoltre possibile, dall'equilibrio alla traslazione, se la trave èrettilinea (avendo supposto non vi siano forze di massa né forzeapplicate sulla superficie laterale del solido) verificare le seguenti:Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri67

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantRRRx,Ly,Lz,L===RRRx,oy,oz,oInoltre, imponendo l’equilibrio alla rotazione:MMAnalogamente per M y :OsservazioniM+ R⋅ LM=x , 0 y,Lx,L= +x , z x,0y,L+ RM⋅ LRMz=y , 0 x,Ly,L1) Le equazioni scritte sono indipendenti dal legame ipotizzato(quindi valgono anche per materiali non elastici)σ , σ,σ2) Non compaiono esplicitamente le xx xy yyCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri68

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantIpotesi di lavoroViene ipotizzato quanto segue:σxx= σ =xy σyy= 0Questo equivale a supporre che la tensione normale su qualunqueelemento piano parallelo all’asse z sia nulla ( σ nn= 0 su elementi pianiparalleli all’asse z). Se si riesce a trovare la soluzione del problemaelasto-statico con questa ipotesi, dato il teorema di unicità diKirchhoff, le tre componenti nulle diverranno parte della soluzione.Pertanto nella sua espressione più generale il tensore degli sforzi diCauchy per il problema che stiamo affrontando al più ha la seguenteforma:Conclusioniσ⎛⎜0= ⎜ 0⎜⎝σij01) lo stato di tensione è biassiale;2) l’invariante cubico di σ è nullo ( det = 0 )Equazioni di equilibrioijzxσ0zyσ ij , i+ b j=0σσσzxzyzzσ ijAvendo ipotizzato nulle le forze di massa si ottiene:σ ij , i= 0⎞⎟⎟⎟⎠Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri69

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantAllora:⎧σ⎪⎨σ⎪⎩σzx,zzy,zxz,x= 0= 0+ σyz,y+ σzz,z= 0Dalle prime due equazioni segue che le componenti di tensionetangenziale, avendo la derivata nulla rispetto a z, sono funzioni alpiù di solo x e y. In altri termini la distribuzione delle tensionitangenziali è la stessa in tutte le sezioni τ =τ ( x, y):Derivando invece la terza equazione rispetto a z i primi due terminispariscono per quanto appena detto e rimane: σzz, zz= 0 . Ossia σzz èal più una funzione lineare in z.Introducendo le equazioni costitutive del problema elastico:dove I σ zzVenant:[( ν ) σ −νI δ ]1εij= 1+ij σ ijE, e particolarizzandole allo stato di tensione di De St.= σ1νεxx= ux,x= [ σxx−ν( σyy+ σzz)] = − σzzεεγyyzzxy= u= u= uy,yE1=E1EEν[ σyy−ν( σxx+ σzz)] = − σzzE1[ σzz−ν( σxx+ σyy)] σzzz, z==xσxy, y+ uy,x= 2εxy= = 0GECorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri70

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venantσγyz= uy,z+ uz,y= 2εyz=Gσγxz= ux,z+ uz,x= 2εxz=GPertanto nella sua espressione più generale il tensore delladeformazione per il problema che stiamo affrontando al più ha laseguente forma:yzxz⎛⎜ε = ⎜⎜⎝ε xxij0ε zx0ε yyε xzyε xzε yzε zz⎞⎟⎟⎟⎠Dalla equazione di Beltrami si dimostra:σzz, xx= 0 σzz, yy= 0 σ zz . xy= 0σ zzLa funzione ha dunque le derivate seconde nulle rispetto a x, y ez, e nulle anche quelle rispetto alle derivate miste in x e y. Allora alpiù la sua forma più generale, sintesi di equilibrio congruenza elegame, è la seguente:σzz( a + b ⋅ x + c ⋅ y)= a + b x + c y ± z1 1 1Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri71

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantEquazioni di equilibrio al contornoa) superficie laterale (scarica)I coseni direttori sono caratterizzati dalla formaossia: n z= 0Le equazioni al contorno σ n = f diventano:ijijn ≡ ( n x, ny,0)σijni= σxznx+ σyzny+ σzz⋅0 = σxznx+ σyzny= fj= 0n ≡ ( n n x y)Prendendo un qualunque elemento piano di normale , eindicando con τ il vettore τ = σ zxi + σ la condizione precedentezyjpuò essere, per ogni punto del contorno, riscritta:b) Base( z )S0 = 0τ ⋅n = 0I coseni direttori sono caratterizzati dalla formaequazioni al contorno σ n = f diventano:ijij⎧σzx= − f⎪⎨σzy= − f⎪⎩σzz= − f123n ≡( 0,0,−1). LeCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri72

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venantc) Base S L( z = L)I coseni direttori sono caratterizzati dalla formaLe equazioni al contorno σijni= fj diventano:n ≡ ( 0,0,1)⎧σ⎪⎨σ⎪⎩σzxzyzz===fff123DSV: Caso 1 (flessione composta)σzz≠0,σzxT= σdall’equilibrio infinitesimo:quindi:xzy= Ty= Mz= 0⇒σ zz , z= 0= 0σzz= a + bx + cy + z⎛0⎜σ = ⎜0ij⎜⎝0( 0)0000 ⎞⎟0 ⎟⎟σ zz⎠Coefficienti delle equazioni di equilibrio globale:( a + bx + cy)N = z ∫ σ zzdA = ∫dA = aA + b∫xdA + c ∫ ydA = a ⋅ A ⇒ a =AAAANAMM= ∫σzz⋅ y dA = a∫ydA + b∫xydA + c ∫2x y dA = c J xx ⇒ c =AAAAy= 2−∫σzz⋅ x dA = −a∫xdA − b∫x dA − c ∫AAAAxydA = −b Jyy⇒MJxxxMb = −JyyyCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri73

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantSi ottiene la cosiddetta formula di Navier per la flessione composta:σzz=NA+MJxxx⋅ y −MJyyy⋅ x1° sottocaso: forza normale semplice ( N ≠ 0 e M x= My= 0 )zStato tensionale:Stato deformativo:σ z =NANNεzz= ( λz) = εxxεyy= −ν⋅ γxy= γyz= γzx= 0EAEAStato di spostamento:⎧⎪εxx= u⎪⎨εyy= v⎪⎪ εzz=⎪⎩⎧γ⎪⎨γ⎪⎩γxyxzyz===,,Nx= −ν⋅EANy= −ν⋅EANw,z=EA0 = u0 = u0=v, y, z, z+ v+ w+ w, x, x, y⇒⎧ ν N⎪u = − x + fE A⎪ ν N⎨v= − y + f⎪ E A⎪ Nw = z + f3⎪⎩EA12( y,z)( x,z)( x,y)Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri74

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venantdalle condizioni sugli scorrimenti si ricava essere nulle le f i edunque la soluzione in termini di spostamenti è:⎧ N⎪u= −ν⋅ xEA⎪ N⎨v= −ν⋅ y⎪ EA⎪ Nw = ⋅ z⎪⎩EAIl solido si deforma in seguito all’applicazione di una sollecitazionedi forza normale semplice:'⎧x= x + u⎪ '⎨y= y + v⎪ '⎩z = z + wz'⎛ = ⎜ 1+⎝NEA⎞⎟⋅z⎠x'⎜⎛ ν = 1 −⎝ ENA⎞⎟⋅x⎠y'⎜⎛ ν = 1 −⎝ ENA⎞⎟⋅y⎠Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri75

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantIn conclusione:"ogni sezione retta nella deformazione rimane piana e simantiene parallela a se stessa; l'asse geometrico si allungama non si sposta; inoltre ogni punto della sezione si spostain direzione del baricentro di una quantità proporzionalealla distanza dal baricentro".Lavoro di deformazioneLD=∫ Φ dV =∫VV1σ2zzε dVzzEssendo la sezione costante, si ha:LD1=2∫NA⋅NEAdV=12N2EA2Al=122N lEA2° sottocaso: flessione retta ( M ≠ 0 M = 0 e = 0 )Stato tensionalexyN zStato deformativoεyyσzz=MJxxx⋅ yν= εMxx= − σzz= −νE EJγεMzz=EJxxxxx= γ = γxzyzy= 0xxx⋅ yCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri76

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantStato di spostamento⎧ ν⎪ = = −M xεxxu,x⋅ y⎪E J xx⎪ ν⎨ = = −M xεyyv,y⋅ y⎪E J xx⎪⎪ = w =M xεzz , z⋅ y⎩ EJ xx⎧γ⎪⎨γ⎪⎩γxyxzyz= 0 = u= 0 = u= 0 = v, y, z, z+ v, x+ w,+ wx, yIntegrando le prime tre e sostituendo nelle seconde si ha:( u( 0 ) v( 0) = w( 0) = 0; ( 0) = ( 0) = ( 0)= 0)= ϕ ϕ ϕν M xu = − yx + f ,1E J xxxyx( y z) ⇒ u = − yxzν ME J( )M x 2 2x, z ⇒ v = − ( + ( y −)ν M2v = − y + f2Ez νJ xx2EJxxx 2w =Myz + f ,3EJ xxDa queste si deduce quanto segue:Mxxx( x y) ⇒ w yzx=l'asse geometrico non esce dal piano y − z ;( x = y = 0)la trave assume la forma di una curva, con raggio di curvaturanella sezione:2 '' 1 d y Mxy = y + v ⇒ = = −2R dz EJ(se M x è costante la deformata è un arco di cerchio);EJxxxxxCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri77

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venant( )l'asse geometrico x = y = 0 non si allunga né si accorcia: w = 0 ;le sezioni rette rimangono piane, ma ruotano:M ⎛z = c = costante ⇒'z =xz + w = c + y ⋅ c =EJ⎜ 1+xx ⎝MEJxxx⎞⎟⋅c⎠per fibre parallele all'asse y:x'⎛ ν M ⎞x= x + u = x⋅⎜1−⋅ y⎟⎝ EJxx ⎠il piano di flessione è perpendicolare all'asse neutro:n -n asse neutro: luogo geometrico in cui si annulla σ zz ;f -fs -sasse di flessione: intersezione del piano di flessione(dove è contenuta la deformata) col piano della sezione;asse di sollecitazione: intersezione del piano disollecitazione (dove è contenuta la coppia M x ) colpiano della sezione.Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri78

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantLavoro di deformazionemaeL11 ⎛ M ⎞x1 1= dV ⎜ y⎟dVv zz zz2∫ σ ε =2∫=v⎝ J Exx ⎠dz2dAMyEJxD l22xx∫ 2Ly dA = JD=12MxEJ2xxlxx2∫∫23° sottocaso: flessione deviata ( M ≠ 0 M ≠ 0 e = 0 )xyN zStato tensionaleσzz=MJxxx⋅ y −MJyyy⋅ xCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri79

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantAsse neutroSi deduce:σzz= 0 ⇒ y =JJxxyyMMyxx∧tg mx =MMyxtg∧xn =JJxxyyMMyxtgJ∧ ∧=xx tg mxxnJyyIn flessione deviata, n è perpendicolare ad s soltanto quando siha che J xx = J yy , ossia l'ellisse centrale d’inerzia è un cerchioCome avviene la deformazione ?dϕ= dϕ+ dϕ=tgβ=xdϕdϕyx=yMJyyyMEJJMxxxxxxMdz +EJyyydz^⎛ ⎞⇒ tgβ= tg⎜xn⎟⎝ ⎠La rotazione avviene dunque intorno all'asse neutro ed è contenutanel piano di flessionela "deviazione" è data dall'angolo formato dall'asse f e l'asse sCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri80

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venant4°sottocaso: flessione composta o pressoflessione ( M ≠ 0 M = 0 e ≠ 0 )Stato tensionaleσCentro di sollecitazioneGiratori di inerziaAsse neutrozzP ≡=NA+MJ( x , y )2J2xxρ = , =xρyAN+AxxxM⋅ y −Jyyy⎛⎜ M ≡ −⎝N⋅ xyP P,JAyyM x M yy − x =2ρ A ρ AxyMNxN+A⎞⎟⎠NyPy2ρ Aσ =−zz2 2xxyNxPxρ AL’asse neutro è il luogo geometrico dei punti non sollecitati nellaflessione. Pertanto lo si trova imponendo l’annullarsi della : σ zzyN zσzzyPxP= 0 ⇒ 1+⋅ y + ⋅ x2ρ ρ=2xy0Nella polarità d’inerzia i punti uniti, ossia quelli appartenenti allapropria polare, sono punti immaginari, pertanto è convenientesostituire la polarità di inerzia con una antipolarità definita a partiredalla polarità di inerzia con l’aggiunta di una simmetria rispetto albaricentro G della sezione. In questo modo si ha: x ' − ' e y ' = −.= 'Px PPy PCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri81

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantPUNTI UNITI = APPARTENENTI ALLA PROPRIA POLAREPOLARITA’ D’INERZIA⇒ PUNTI UNITI IMMAGINARILUOGO GEOMETRICO INDIPENDENTE DAL VALORE DI NPOLARITA’ :yx2 21++2 2ρxρy= 0ELISSE IMMAGINARIOANTIPOLARITA’ = POLARITA’ + SIMMETRIA RISPETTO A G:x' = − ' y ' = − 'Px PPy PANTIPOLARITA’ :yx2 21−−2 2ρxρy= 0ELISSE REALE“Nocciolo centrale d'inerzia”: luogo degli antipoli rispetto all'ellissecentrale reale (o dei poli rispetto a quello immaginario) delle rettetangenti, e non secanti, al contorno".Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri82

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantEquazione della retta r:ρ2 3H2x= BH121⋅ =BH1231ρ 2 = HB ⋅ = By12 BH 122H− 2y2y = ⇒ − 2y+ H = 0 ⇒ + 1 = 0 ⇒ − =2HHy Pρ 2xx0 = P⇒ = 02 xPρySi ottiene:y P=2H12−2H= −H6x P= 0Per la retta r’:DSV: Caso 2Hy P' = +6σ zx≠ 0σ zyσ zz≠ 0≠ 0Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri83

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantDSV: Caso 2σ ≠ 0; ≠ 0;zxσ zyσ zz≠ 01° sottocaso: torsione: ( σ ≠ 0 σ ≠ 0 e = 0 )Stato tensionalezxzyσ zzDetto n il versore normale alla frontiera, diretto verso l’esterno, si puòesprimere le condizioni al contorno come segue:doveτzτ = σz⋅ n = 0zx+ σzyDall’analisi delle prime due equazioni di equilibrio si ricava cheindipendente da z. Dalla terza equazione invece:σzx, x+ σzy,y= 0 divτ = 0Teor. di Gauss: il flusso diτ z⇒z⇓τzattraverso qualunque curva chiusa è nulloèCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri84

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantSupponiamo di conoscere le linee di flusso, il flusso attraverso γ 1 e γ 2è nullo, quindi:τ ⋅t1 2⋅tz z 21= τla "portata" per canale di flusso è costante per qualsiasi sezione (se ilcanale di flusso si restringe, τz aumenta tanto che teoricamente segli spigoli sono vivi le τ assumono valore infinito):zτ z⋅t= cost.Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri85

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantLa risultante si trova proiettando lungo la direzione generica r.∫( τ t) dc cos α ( τ t) dc cosα= ( τ t) ⋅0= 0z=z ∫questo risultato da un lato conferma che effettivamente l’unicacaratteristica di sollecitazione che sollecita la sezione è il momentotorcente, dall’altro consente di determinare il momento torcenterispetto a un qualunque punto del piano:( τ t) ⋅d dc = ( τ t) ⋅ d dc = τ t ⋅( A )z= ∫ zz ∫M 2dove con A c si è indicata l’area racchiusa dalla linea media del canale:zzcFormula di BredtMτz= 2⋅ Azc⋅tCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri86

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantStato deformativoDefinita k z dz (k z è la cosiddetta caratteristica di deformazione) comela rotazione relativa intorno a z di due sezioni consecutive poste adistanza infinitesima dz, si può esprimere il lavoro elementare tra ledue sezioni come:1 1dLD= Mzdϕz= Mzkzdz2 2dLD=12Mzkzdz=12∫ σijεijdV=vdz2∫Aσ ε dAijijma0 0 σzx1 1 1σij= 0 0 σzy⇒ σijεij= σijσij=zx+2 4G2Gσ σ 0xzyz2 2( σ σ )zydoveσ + σ = τ2zx2zy2zQuindi sostituendo sopra:Mzkz=1G∫τ dAA2zCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri87

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantPer ogni canale elementare, dalla formula di Bredt, si puòesprimere la τ z:Mzkz=1G21 ⎛ Mz=⎜2G ⎝ 4Ac∫⎞⎟⎠2 1τ dA =zGA∫cdct=∫cM4GA2 1τzt dc =G2z2c∫canaledct∫c22 t 1τzdc =t G2 2( τzt ) ∫Mz1⇒ kz=2G 4Ac∫cdctcanale=dctDefinendo J t (momento d’inerzia ridotto) come segue:1Jt1=4A∫2c[ J ] = [ L ]4tcanaledctSi può scrivere:k =zMGJztSi può anche esprimere:JtJG= ( con q ≥1)qdove q è il fattore di torsioneCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri88

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantEsempio: Sezione circolare pienaτz⋅t= cost.⇒ ( t = cost).⇒ τz=cost.Momento torcente esterno applicato in funzione della tensione:Mz=2( r) tπ2τrzPer un canale di spessore dr si ha:dME quindi su tutta la sezione:Mzz= 2τπ∫R= 2πτ0zz2( r) r dr() rr2drScrivendo le equazioni fondamentali si ottiene:( σ −σ)zy,yzy,x,zz,zy+ ν( σzx,y−σzy,x),y= σzz,zxx−ν= σ1+u1+νCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri89

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantMa poiché: σ zz= 0Inoltre:rotτz( σzy,y−σzy,x) ,x= 0( σ −σ),= 0=zx,yzy,x( σ −σ)zy,xzx,yyverszrotτz=i∂∂∇xzxj∂∂yσzyk∂∂0yPertanto per le due equazioni precedenti si ha:rotτz= σzy, x−σzx,y=costante(congruenza elastica)ANALOGIA IDRODINAMICAInoltre:τz⋅ n = 0→equilibrio di contornodivτ z= 0 → equilibrio localeM∫( σ ⋅ x −σ⋅ y)z=zy zxAdA → equilibrio globaleLe quattro equazioni di cui sopra rendono determinato il problemaτ = τ( x y)z z,Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri90

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantTornando alla sezione circolare anulare (se R 1 =0 la sezione è piena):Questo comporta:Mzz= 2 ∫τ = crRπ 2R1τz() rr2drQuindi:σσzyzx= τ cosα= cxz= −τsenα= −crsenα= −cyzrotτz= cost ⇒ rotτz= 2cTutte le condizioni delle equazioni di cui sopra sono soddisfattedunque l’ipotesi inizialmente sulla circolarità delle linee di flussoviene confermata.doveMMzz= c⋅JR() r2 2= 2π∫ τzτ dr = c∫R∫ 2R1RG1M⇒ τz=J32πrdr =JGGzrRR122πr3drCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri91

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantInfine si determina l’espressione della tensione τ z per la sezione circolare:τ z =MJGzrDeterminazione della deformazione globale:dϕ= kzzdz1 dzMzkzdz=2 4G2c JGMzkz= =GM GJz∫GA2 2( σ + σ )zxM= qGJztzydA =dz4Gc2∫Ar2dADove:∫ 2Ar dA =JGLe uniche componenti di spostamento sono:u= −ϕz ⋅yv = + ϕz⋅x−k z↓zyk z↓zxw = 0Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri92

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantEsempio: Sezione rettangolare allungata (a>>b)IpotesiLe linee tangenziali del campo vettoriale τz delle tensioni tangenzialisono parallele all’asse delle x per quasi tutta la sezione (ad esclusionedelle zone terminali). Si possono allora applicare a questa sezione lateoria di Bredt al canale di spessore dy e procedere al calcolodell’aliquota di momento torcente assorbita da questo.σzy= 0 ⇒ rotτ= −σz zx= cost. ⇒ σyzx=−cydMz= −2 τ dy A = −2τdy 2 y a = 2σdy 2 y a = 4czczzxy2a dyMbb223 32 4 ⎛ b ⎞4acbz= dMz= ac y dy = ac⎜⎟ =6Mz∫ ∫⇒ c =33 2 600⎝ ⎠abParticolarizzata la costante di proporzionalità si può esprimere latensione σ zx :Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri93

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantM z M zy yM zσzx= −6= −2= −2y3 3ab ab Jt33Ponendo ab1 M zJ x= si può infine scrivere anche σzx= τz= − y :122 JxSpesso si è interessati al valore massimo delle tensioni tangenziali,questo lo si può valutare ponendo nella espressione precedente y=b/26Mabb2M1ab3MJzzz( τ ) = ⋅ = ⋅b= ⋅bzmax3Si determina la caratteristica di deformazione k z anche per il casoin esame:1M2dz=2z∫dzdzkzdz = ∫ σijεijdA=2 A 2⎛ σzx ⎞2⎜σzx ⎟ dA=A⎝ 2G⎠3∫At( σ ε + σ ε )zxzxxzxzdAdz=2dz2G∫∫AA⎛2⎜σ⎝σzxσzx ⎞ dz⎟ dA=2G⎠ 2G⎛⎜⎝2 dz 2zxdA=∫A2GMJtz∫A⎞⎟⎠⎛2⎜σ⎝2zxdA=σ2zx⎞⎟ dA=⎠dz4M2= z 2⋅ y dA22GJAt 12∫ 3Jx=dz2G4M⋅⎛ ab ⎞⎜3⎟⎝ ⎠2z32ab⋅123=dz2G⋅MJ2ztCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri94

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantRicapitolando:12Per il fattore di torsione:dzM2zMzkzdz = ⋅ ⇒ kz=2GJt2 2( a b )3 3ab a b abJ G= + = ⋅ +12 12 12J ⎛ = Gaq = ⎜ +J ⎝ bt212⎞⎟⎠14MGJPer a > 3b si vede che J G >J t , come atteso, mentre per a < 3b,la sezione non può essere considerata come allungata.2° sottocaso: taglio ( σ ≠ 0 σzy≠ 0 e ≠ 0 )Stato tensionalezxσ zzztL’azione tagliante non è disgiunta da un’azione flettente: si haautomaticamente anche un momento (flettente). Si accetta comeipotesi che la tensione normale, che diviene una parte dellasoluzione, sia:σ zz=MJxxy = −Ty( L − z) yJxCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri95

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantOccorre determinare σ zxe σ zy:Definito il “Centro di taglio” come quel punto di applicazione dellaforza di taglio che realizza: k z=0 e M z=0X t( C ≡ G) ⇔ y= 0 asse di simmetriaValgono le seguenti:• Il centro di taglio è unico;• Se il taglio non passa per il centro posso ridurre il sistema ad unaforza di taglio centrata + un momento torcente;Considerazioni sull’equilibrio:σxz,z= 0σyz,z= 0σzx,x+ σzy,y+ σzz,z= 0Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri96

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venantmae quindi:( L − z)Ty⋅σzz= − y ⇒ σzz,z=Jxσ zx σTJy+ + y =, x zy,yx0TJyySulla superficie laterale: τ ⋅ n = 0z( )Introduciamo il flusso φ τ zB attraverso una corda B 1 B 2 ,1B2questo è positivo se uscente da A 1φ = 0 BLungo il contorno esterno B 1 B 2 B, allora tutto il flusso1 2da A 1 ad A 2 è lungo la curva di separazione.Applicando il teorema di Gauss il flusso entrante in A 1 è:φB( τz) = −∫( σzx,x+ σzy y) dA = ∫1 B2,A1A1TJyx⋅ y dACon T y e J x costanti nella sezione, dunque:φB Bτ1 2Ty(z) = ∫JxA ydA1Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri97

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantMaPoiché∫ AydA1è il momento statico di A 1 rispetto all’asse x pertanto:φB1B2Ty( τ z) = SJxS 1+ S2= 0x xil flusso entrante in A 2 sarà ( ) yφBτz= − S1 21xTB 1xxJSe, come viene assunto generalmente nelle applicazioni, B 1 B 2rettilinea allora dφ = τ zdl e dunque il flusso può essere riscritto:φDal teorema della media:quindi:Bp( τz) ∫= B B2Bτ1 2z p1φB1B2= τ z⋅bpdlTJyxS= τ ⋅b⇒z τp z=1 xpTJyxS1bxCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri98

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantFormula di JourawskiτzpT=Jyx⋅S1bxLa teoria adesso sviluppata è la cosiddetta teoria approssimata deltaglio (di Jourawski).Le assunzioni di questa teoria, sono:1) T y passa per il centro di taglio.2) si scelgono corde in modo che per un punto ne passi una sola.3) τ = z τ z , cioè la tensione ortogonale alla corda è costante e paripal valore medio.È importante notare che la soluzione trovata è equilibrata, ma noncongruente non avendo fatto ricorso a condizioni di congruenza.Esempio: Sezione a “C”T 1 , T 2 , e T 3 siano le risultanti rispettivamente lungo a -b , b - c e c - dCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri99

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantPer l’equilibrio:T Y⋅e= T1 ⋅ H T1= T3T 2=TyIl centro di taglio è definito da:T He = 1⋅T yEsempio: Sezione con un asse di simmetria (Trattazione generale)Corde parallele all'asse x; applicando la formula di Jourawski si ha:τ zpσ= σ zzzyT= −τ y S=J xby1x( l − z) yJx= cost.Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri100

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantDalla III) equazione di equilibrio si ha:σ+ =zx, x zy,y zz,z+ σ σ0Derivando rispetto a x:σ+ =zx, xx zy,yx zz,zx+ σ σ0σ = 00zy, yxσ =zz, zxPer cui:σzx= a1x+ a 2⎧σzx⎪σzy⎨σ⎪zx⎪⎩σzy= − tgβ= tgβbin B1, x = +2bin B2,x = −2Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri101

Capitolo 5:Il problema di De Saint Venantb⎫a1+ a2= −σzytgβ2⎪b⎬− a + a = σzytgβ⎪1 22⎭⇒a12= − tgβ⋅σbzyQuindi:σzx⎛ 2 = ⎜ − tgβ⎝ bσzy⎞⎟x⎠matgβ = −ddy⎛⎜⎝b2⎞⎟⎠1 dbσ =zxb dyσ zyxsedbdy=zx0 ⇒ σ = 0per tutta la cordaVariazione diσ zylungo la sezioneσzy=T y S1J bxxddyT y⎡1db⎤( ) =dS1x−S1xσ⎥⎦Jx⎢⎣bzy 2dybdyCorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri102

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantSe si incrementa la corda di dy:ddy( σ )T=J⎡⎢−⎢⎣y −Sby1xzy 2xdb⎤⎥dy ⎥⎦dSdS1x= dy = − dy y alloradyb1xdσdyzy= 0 ⇒Sy = −maxb1x2dbdydbQuindi se = 0dyσ zy maxè baricentricaStato di deformazione a taglioLa teoria approssimata del taglio non può fornire una soluzione per ladeformazione punto-punto poiché la soluzione non è una soluzionecongruente. Si deve perciò limitare lo studio alla deformazioneglobale. Prendendo due sezioni distanti dz, la deformazione riferibileal solo taglio è ridotta ad uno scorrimento relativo di una sezionerispetto all’altra nella direzione dell’asse di flessione. Per analogiacon quanto fatto in precedenza si definisce come caratteristica dideformazione tagliante lo scorrimento relativo di una sezione rispettoall’altra quando queste sezioni sono poste a distanza dz.Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri103

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantTeorema di Clapeyron1dLd= Tyλydz2⎡ 1 2 2dLd= ⎢∫σzx+ σzy⎣ 2GAdz 2 2T = ∫ zx+y λ σ σyzyGA( ) dA dz( )2( σ σ )λ =dz ∫ zx+2yzyGTSupponendo la sezione simmetrica rispetto a y:⎧⎪σ⎨⎪ =⎪σzy⎩zyT y S1=J bx1 dbσb dyxzy⋅ xyAdAdA⎥⎦⎤2221 ⎛ ⎞ ⎛⎞⎜ T y ⎟ S x⎜⎛ db ⎞1T y⎜ 1 ⎟x⎟1λ = + dA =yAGT⎜ ⎟ ∫ 12Jb ⎜b dy⎟2G J∫y ⎝ x ⎠x⎝ ⎝ ⎠ ⎠Si pone quindi:X yTλ = yGAAχy=2J∫xAySb1x2⎛⎜ ⎛⎜ 11+⎜b⎝ ⎝(fattore di taglio)2dbdy⎞x⎟⎠2dA⎟ ⎟ ⎞⎠ASb21x2⎛⎜ ⎛⎜ 11+⎜b⎝ ⎝dbdy⎞x⎟⎠2dA⎟ ⎟ ⎞⎠Corso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri104

Capitolo 5:Il problema di De Saint VenantEsempio: sezione rettangolareInfatti:σσzydbdy= 0⇒σ zymax=Tybh0=3 T y2 bhTySlx12 ⎛ h ⎞⎛y h ⎞= = Tyb⎜− y ⎜ +2 3⎟ ⎟Jxb b h ⎝14 242⎠⎝ 4234 ⎠S2lx6 ⎛ 2⎞h3 T y= ⎜T − y⎟ ⇒ ( 0)=3 y ⎜zybh4 ⎟ σ⎝ ⎠bhzy2Per il fattore di taglio:2A y1S1X =y 2 ∫y2JbxXyxdy22 bh bb ⎛22⎞= ⎜ h ⎟12 2 64∫ b − dy− ⎜ y2 4 ⎟b h ⎝ ⎠=65λ y=65T yGACorso di Laurea in Ingegneria CivileMeccanica dei solidiProf. C. Borri105