Ruote e Rotismi.pdf

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Ruote dentateSono tra i più importanti organi delle macchine. Caratteristiche della loro diffusione:costanza del rapporto di trasmissione, facilità di costruzione e di montaggio.Permettono di trasmettere il moto tra assi paralleli, concorrenti o sghembi.Una coppia di ruote ingranate costituiscono un ingranaggio.Ingranaggi cilindricia denti dritti, esternea denti elicoidalia denti dritti, interne1


2Ingranaggi ad assi sghembi o concorrentiruote con assi sghembiruote conicheruota elicoidale – vite senza fine2


Ingranaggi cilindriciIl loro nome deriva dalla forma delle primitive.Gli assi dei denti possono• essere paralleli all’asse della ruota → denti dritti• Formare un’elica intorno all’asse della ruota → denti elicoidaliRapporto di trasmissione 1/3÷1/10, tipico 1/5÷1/6 .3


Raggi delle primitive3I raggi primitivi sono funzione della geometria costruttiva, ma anche dell’interasse dimontaggio aDall’analogia tra le ruote di frizione diraggi r 1e r 2e le circonferenze primitive:ωτ = =ωrr2 11 2z1 rτ⎧⎧1τr1= a⎪ = = ⎧r1 = τ r2⎪ z12r+ τ⎨ 2 ⇒ ⎨ ⇒ ⎨⎪ a r2(1 τ ) 1a r r1r⎩ = + ⎪⎩ = +22 = a⎪ ⎩ 1+τ5


Passo4L’arco di primitiva tra due denti successivi è il passo della dentatura⎧2πp1 = r1ϑ1= r1⎪z1⎨⎪ 2πp2 r2ϑ2r2⎪⎩= = z2Per il corretto funzionamento:pp= r z τ1 p1 p2pz r= τ= ⇒ = =1 1 22 1 26


Profilo dei denti5Se sulla ruota 1 si applica una coppia M 1imprimendo una rotazione con velocità ω 1,la ruota 2 si muove con velocità ω 2trasmettendo una coppia M 2Il contatto si realizza sulla superfici laterali dei denti.La forma del profilo dei denti caratterizza• il rapporto di trasmissione τ istantaneo• le forze scambiate e il legame con le coppie agenti7


Denti rettangolari: forze scambiate6Un dente dellaruota 1preme su un un dente dellaruota 2.La retta di azione o di pressioneè la retta normale alle superficidi contatto.M= F⋅OH1 1 1M= F⋅O H M '1= F' ⋅OH1'12 2 2M' = F' ⋅O H'2 2 2MM=OH1 1 1OH2 2 2M ' OH'M=


Denti rettangolari: rapporto di trasmissione istantaneo 7Per un contatto regolare lecomponenti delle velocità normalialla superfici di contatto devonoessere uguali.V= ω ⋅O A V2 = ω2⋅O2A1 1 1V = V cos( α + γ ) = V cos( α −γ)N1 1 2 2ω1⋅ OA1cos( α + γ1) = ω2⋅OA2cos( α −γ2) OHO H1 1 2 2Il rapporto di trasmissione è pari al rapporto trale distanze di O 1e O 2dalla retta d’azione.ω ⋅ OH = ω ⋅OH1 1 1 2 2 2ωτ = =ωτωωOH2 1 1OH1 2 2OH′OH′2 1 1′ = =


Profilo a evolvente di cerchio8Nelle trasmissioni con ruote dentate si esige che imposta la coppia M 1e lavelocità ω 1uniformi, la coppia M 2e la velocità ω 2siano uniformi. I profili aevolvente, avendo retta di azione con distanza invariante da O 1e O 2,soddisfa questo requisito.OA=ρL’evolvente è generata da un punto di una retta (evoluta o retta generatrice)che rotola senza strisciare su una circonferenza (circonferenza base ocirconferenza fondamentale). La retta generatrice è sempre tangente allacirconferenza di base e normale all’evolvente.10


Funzione dell’ evolvente di cerchio9In coordinate polariOA = ρ⎧ AP= ρσ ( + ϑ)⎧σ = tanϑ−ϑ⎪⎪⎨BP= ρ⋅tanϑ⇒ ⎨ ρ⎪d =⎪AP = BP⎩ cosϑ⎪⎩anomaliaraggio11


Retta d’azioned10Il punto P di contatto rimane sulla retta r, tangente a entrambi le circonferenzedi base. r è la retta d’azione che quindi rimane invariata.Per un corretto funzionamento è necessario che il contatto rimanga all’interno delsegmento HH (luogo dei contatti), dove le evolventi hanno la stessa normale.1 212


Velocità di strisciamento11I profili dei denti sono profili coniugati (hanno tangente e normale comune).Per un corretto funzionamento le velocità V 1e V 2devono avere la stessacomponente normale V . V = V −VS2 1Nvelocità di strisciamentoIl centro di istantanea rotazione del moto relativo si trova lungo la retta per Pnormale a V S, cioè lungo r .13


Centro di istantanea rotazione del moto relativo12Quando il contatto avviene in C , le velocità del punto di contatto dei due dentisono uguali e la velocitàSè nulla. Quindi C è il centro di istantanea rotazione.V 1 1 1 2 2 2α angolo di pressioneInoltre, C è il punto di contatto tra le primitive poiché: V = ωr = V = ω rQuindi tra i raggi primitivi e i raggi di base esiste la relazione:r1ρcosαρcosα= 122=r14


Variazione di interasse13Il rapporto di trasmissione istantaneo non varia (quello medio dipende dalnumero di denti), ma variano i raggi primitivi e l’angolo di pressione α.⎧ r1 ρ1 cosαρ1τ = = =⎪ r cosα ρ ρ ρ ω⎨⇒ τ = τ ' = = =⎪ r ' ρ cos α ' ρρ ωτ ' = = =⎪⎩ r '2cos α'ρ2 ρ22 2 2 1 2 11 1 1 2 1 2zz15


Rocchetto - Dentiera14Il rapporto di trasmissione può avere valore infinito. La dentiera può esserepensata come ruota dentata limite, con la circonferenza di base che degenera inuna retta. Il profilo a evolvente diventa un segmento rettilineo inclinato di αrispetto alla normale alla retta di base.16


Ruote cilindriche a denti dritti15Considerando lo sviluppo assiale delle ruote:• alla circonferenza di base corrisponde il cilindro di base• alla retta generatrice corrisponde il piano generatore• la superficie del dente è generata da una retta parallela all’asse della ruota egiacente sul piano generatore• le superfici dei denti si toccano lungo la linea caratteristica• durante il movimento la linea caratteristica genera il piano di azione checoincide con il piano generatore17


Ruote cilindriche a denti dritti: forze scambiate16Le forze scambiate, trascurando l’attrito, giacciono sul piano di azione. LaFrisultante , pensata in mezzeria, ha la direzione della retta d’azioneF = FcosαTηWMωu 2 21= = M2= ηM1 = M1WeM1ω1ω2τωηM F Fr= ρ = cos1 1 1M F Fr= ρ = cos2 2 2αα18


Ruote cilindriche a denti elicoidali17Permettono di realizzare ingranaggi con funzionamento regolare e silenzioso.La superficie del dente è generata da una retta giacente sul piano generatore, main questo caso inclinata di un angolo β b con la direzione dell’asse della ruota.L’intersezione tra la superficie del dente con un piano normale (piano frontale)all’asse del cilindro è un’evolvente.L’intersezione tra le superfici dei denti con cilindri coassiali genera curve elicoidalicon passo p e e angoli di inclinazione β con l’asse della ruota crescenti con il raggio.19


Ruote cilindriche a denti elicoidali: forze scambiateLe forze scambiate, trascurando l’attrito, sono normali alle superfici a contatto, egiacciono sul piano di azione. La risultante F, pensata in mezzeria, ha la direzionedella retta generatrice inclinata di β b rispetto all’asse della ruotaFa= FsinβbF0 = Fcos β bFr= F0 sinα = Fcos βbsinαF = F cosα = Fcos β cosαt0b18M = F ρ = Fcos β ρ = Fr cosα cos β = Fr1 0 1 b 1 1 b t 1M = F ρ = Fcos β ρ = Fr cosα cos β = Fr2 0 2 b 2 2 b t 220


Criteri costruttivi delle ruote dentateModulo:Dimensionamento modulare:m= p 2πr 2r DDπ= πz = =z z=2r• addendum = m• dedendum = 1,25 m• angolo di pressione α = 15°÷22°21


Ingranaggi coniciIl loro nome deriva dalla forma delle primitive di funzionamento. Sono usati pertrasmettere il moto tra assi concorrenti.Le superfici primitive sono due coni di semiaperture δ 1e δ 2che rotolano senzastrisciare lungo la tangente t.Per ogni punto A di t la velocità relativa è nulla, perciòVettore velocità relativa → diretto lungo t(asse di rotazione del moto relativo) ω = ω −ωr1 2ω = ω + ω + 2ωω cosδr2 21 1 1 2Vassi ortogonali22


Definizione dell’ingranaggio2Valore tipico: τ = 1/5÷1/10Dato il rapporto di trasmissione τ e l’angolo tragli assi concorrenti δ, l’ingranaggio si definiscecon le seguenti considerazioni.δ1+ δ2= δIn funzione delle primitive:ω1sinδ1 = ω2sinδ2ω sinδzτ = = =ω sinδz2 1 11 2 2Tramite la velocità periferica di un qualsiasipunto A:⎧⎪ VA= ω11 r = ω2r2 ω2 r1 sinδ1⎨ → τ = = =⎪⎩ r1 = OAsin δ1, r2 = OAsinδω21r2 sinδ223


Elementi geometrici3• Coni primitivi → semiapertura δ 1e δ 2•Coni base→ semiapertura δ b1e δ b2• Piano d’azione → tangente ai coni basecontenente le forze scambiate• Angolo di pressione α → formato dal piano d’azione e il piano tangente ai coniprimitivi (non rappresentato)• Coni di troncatura interna ed esterna• Le ruote sono costruite troncando i coni•Il modulo m = D/z è definito in corrispondenza della base maggioree24


Ingranaggi conici: forze scambiate4Tra i denti sono scambiate forze con componentiradiali, tangenziali e assiali.Ipotesi semplificative:• una sola coppia di denti in presa• la risultante• giace nel piano d’azione• forma un angolo α (angolo di pressione)con il piano tangente alle primitive• è applicata in mezzeria del denteCoppia e componente tangenzialeC = r⋅F → F = Fcosαtr raggio della primitiva in mezzeriatComponenti assiale e radialeF0= Fsinα⎧ Fa= F0sinδ = Fsinαsinδ⎨⎩Fr= F0cosδ = Fsinαcosδ25


Ruota elicoidale-vitesenza fineSi usa per trasmettere il moto tra assi sghembi con direzioni ortogonali.• Ruota elicoidale → particolare ruota avente una specie di madrevite sulla periferia• Vite senza fine → caratterizzata dal numero di principi• Rapporto di trasmissione → usualmente elevato (anche inferiore a 1/100)• numero dei principi della vite senza fine → z 1• numero dei denti della ruota elicoidale → z 2• τ = ω 2/ ω 1= z 1/ z 2•Rendimento→ basso26


RotismiUna combinazione di ingranaggi che costituisce una catena cinematica.Se gli assi• di tutte le ruote sono paralleli → rotismo piano• di tutte le ruote sono incidenti → rotismo sferico• di tutte le ruote sono fissi → rotismo ordinario• semplice → ogni albero una sola ruota• composto → gli alberi intermedi portano due ruote• di alcune ruote intermedie sono dotati di moto rotatorio intorno agli assi delleruote estreme → rotismo epicicloidale27


Rotismi ordinari sempliciSu ogni albero vi è una sola ruota che ingrana contemporaneamente con laprecedente e la seguente.Schematizzando le ruote con le rispettive primitive:ω 1ω2ω3ω 4motricecondotta• Rapporto di trasmissioneruote ozioseV ωr ω r ω r τPn 1 1=11= 2 2= … =n n→ = = =ω1rnzn• Campi di applicazione• invertire il senso di rotazione• trasmettere il moto a distanzaωrz28


Rotismi ordinari compostiGli alberi intermedi portano due ruote, ciascuna delle quali ingrana solo conun’altra. Un esempio di rotismo a tre stadi:• Rapporto di trasmissione totale• Rapporti di trasmissione parzialiτ16 = ω6 ω1ω z ω z ωτ = = , τ = = , τ = =2 1 4 3 6 512 34 56ω1 z2 ω3 z4 ω5 z6z29


2• essendoω = ω , ω = ω2 3 4 5• il rapporto di trasmissione totale risultaτ τ τ τ⋅ω ωz ⋅z ⋅z2 4 6 6 1 3 516=12⋅ 34⋅ 56= = =ω1 ω3 ω5 ω1 z2⋅z4⋅z6ωω• in generale dipende dai denti di tutte le ruoteτ =1 nprodottoprodottonumero dentinumero dentiruote motriciruote mosse30


Rotismi epiclicoidali• Un rotismo si dice epicicloidale quando gli assi delle ruote intermedie sonodotati di moto di rotazione intorno agli assi delle ruote estreme.• Consideriamo per iniziare il rotismo epicicloidale più semplice, si ha:.– le ruote A e B hanno assi fissi e coincidenti♦ A ha dentatura esterna → ruota solare♦ B ha dentatura interna → corona planetaria– le ruote C hanno assi mobili → ruote planetarie o satelliti– il portatreno P ruota intorno all’asse comune di A e BBpAPbaC31


2• Si chiama così perché i punti delle primitiveBdei satelliti descrivono delle epicicloidi.• Consideriamo le configurazioni♦ P fisso → rotismo ordinariopaAPb♦ A o B fissi → rotismo epicicloidale riduttoreC• Classificazione del rotismo♦ P fisso e A e B mobili → rotismo ordinario♦ B fisso e P e A mobili → rotismo epicicloidale riduttore o moltiplicatore♦ A fisso e P e B mobili → rotismo epicicloidale riduttore o moltiplicatore♦ A , P e B mobili → rotismo combinatore (differenziale)• Gli assi delle ruote planetarie essendo mobili non possono essere impiegatiper applicare o prelevare il moto → l’uso come riduttore o moltiplicatore è limitatoa una delle 2 configurazioni1) B fissa , P e A mobili2) A fissa , P e B mobili32


Rapporto di trasmissione: formula di Willis3• Quando il portatreno P èfisso, il rotismo è ordinario semplice e, indicando conl’apice “o” le grandezze relative, si haτ = ω ω =− r r =−zzo oo b a a b a b• Il rapporto di trasmissione τ edel rotismo epicicloidale si calcola con la formuladi Willis, tramite la quale “si rende ordinario il rotismo” imprimendo a tutto ilmeccanismo una velocità –ω p. Per il rotismo così ottenuto si calcola il rapportodi trasmissione.ωoaoo= ωap b b p p p p−ω, ω = ω −ω, ω = ω −ω=0B• Rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario,assumendo A come motricepAPbτoω ω −ωz= = =−


• l’uso come riduttore è limitato a una delle 2 configurazioni41) A fissa , P e B mobili → ω a = 0( ) ( ) ( )τ = ω −ω − ω < 0 ⇒ − ω + ω 1− τ = 0o b p p b p o⎧ ωbτe= = 1−τo⎪ ωp⎨⎪ ωp 11 τe= =⎪⎩ ωb1−τo← con P motore e B condotta← con B motore e P condottaτoω=ωoboaωb− ω p= = −ω − ωapBPApCzzabb2) B fissa , P e A mobili → ω b = 0( ) ( )τ =−ω ω − ω < 0 ⇒ τ ω + 1− τ ω = 0o p a p o a o p⎧ ωaτo1τe ′−= =⎪ ωpτo⎨⎪ ωp τo1 τ ′e= =⎩⎪ ωaτo−1← con P motore e A condotta← con A motore e P condottaaCAPBp34


Rotismo epicicloidale composto• Sinora si sono considerati rotismi epicicloidali semplici: in genere si usano rotismiepicicloidali composti• La formula di Willis è comunque valida, come si può verificare → si riferisce ai 3assi fissi del rotismo utilizzabili come ingresso e uscita del rotismo• le espressioni dei rapporti di trasmissione τ ee τ e’ sono identiche agli analoghi deicasi precedenti → valido per qualsiasi rotismo epicicloidale• quello che cambia è il valore di τ o→ in questo caso con τ oprossimo a 1 siottengono rapporti di trasmissione molto piccoli• per l’esempio in figura si calcola, riferendosi al rotismo composto ordinarioequivalente (portatreno bloccato),5τo=ωωoboa=ωωba− ω− ωpp=zzac⋅zzdb=rrac⋅rrdb> 0• quello che cambia è il valore di τ o→ in questo caso conτ oprossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissionemolto piccoli35


Rotismi epicicloidali riduttori6• i rotismi epicicloidali riduttori sono impiegati quando occorre avererapporti di trasmissione τ emolto piccoli.• Il limite dei rotismi epicicloidali sta nei satelliti → le ruote con assi mobililimitano la potenza da trasmettere.• Per qualsiasi rotismo epicicloidale si hacon A fissacon B fissa⎧ ωbτe= = 1−τo⎪ ωp⎨⎪ ωp 11 τe= =⎪⎩ ωb1−τo⎧ ωaτo−1τe ′ = =⎪ ωpτo⎨⎪ ωp τo1 τ ′e= =⎪⎩ ωaτo−1← con P motore e B condotta← con B motore e P condotta← con P motore e A condotta← con A motore e P condotta36


864⎧ ωbτe= = 1−τo⎪ ωp⎨⎪ ωp 11 τe= =⎪⎩ ωb1−τoRotismi epicicloidali riduttori⎧ ωaτo−1τe ′ = =⎪ ωpτo⎨⎪ ωp τo1 τ ′e= =⎪⎩ ωaτo−17ω b/ω pω p/ω bω a/ω pω p/ω a2τ e, τ e'0-2-4-6rotismo epicicloidale sempliceza− 1< τo=− < 0zrotismo epicicloidale compostocbbzza dτo= ≅1zz-8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4τ o37

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