limiti notevoli

Teorema di
Sia W
W
Se
( x)
Louville :
y
y′
( x)
y2
( x)
... yn
( x)
( x)
y′
( x)
... y′
( x)
...
( n −1)
y1
( x)
( n −1)
y2
( x)
...
( n −1)
yn
( x)
( x)
= 0 ⇔ ∃x0
∈ I : W(
x0
) = 0
W(
x ) ≠ 0 W(
x)
≠ 0 ∀x
0
=
( βx)
( βx)
1
1
Soluzione dell'equazione
omogenea
- Determinazione
dell'eq.
caratteristica
e
=
e
=
+ e
2
− e
2
2
...
...
n
...
n ( n−1)
( λ)
= λ + a λ
1) se le n radici (reali o complesse) risultano λ ≠ λ ≠ ... ≠ λ
2) se una radice (reale o complesse) è multipla di ordine r
coniugata λ = α − iβ
da cui si ottengono :
e
e
cos
sen
:
: P
e
e
= e
= e
+ ... + a
, xe
n−1
λ + a
,..., x
Se l'eq.
caratteristica
ha una radice complessa λ = α + iβ
, essa avrà ancha la radice
1)
2)
3)
4)
αx
αx
Sia p
λx
λx
λx
λx
Determinazione
della soluzione particolare
1
λx
λx
( x)
λx
( x)
= e p m ( x)
( λ)
≠ 0
λx
: e q m ( x)
λx
( x)
= e p m ( x)
( λ)
= 0 λ con molteplicità
h
h λx
: x e q m ( x)
λx
( x)
= e [ p m ( x)
cos(
µ x)
+ rk
( x)
sen(
µ x)
]
( λ ± iµ
) ≠ 0
λx
e [ q m ( x)
cos(
x)
+ s m ( x)
sen(
x)
]
:
m = max{
m, k}
λx
( x)
= e [ p m ( x)
cos(
µ x)
+ rk
( x)
sen(
µ x)
]
( λ ± iµ
) = 0 λ ± iµ
con molteplicità
h
h λx
x e [ q m ( x)
cos(
x)
+ s m ( x)
sen(
x)
]
:
m = max{
m, k}
f
P
f
P
f
P
f
P
m
un
soluzione
soluzione
soluzione
soluzione
polinomio di grado m, e
r
k
y~
2
αx
1
αx
un polinomio di grado k
n
e
λx
e
λ1x
λx
,..., e
( cos(
βx)
+ isen(
βx)
)
( cos(
βx)
− isen(
βx)
)
:
n
λnx
= 0
( r−1)
e
λx
6