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confronto fattorizzazioni - Università degli studi di Cagliari.

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1.3.1 FATTORIZZAZIONE DI

1.3.1 FATTORIZZAZIONE DI HOUSEHOLDERLa fattorizzazione di Householder consiste nella decomposizione della matrice A indue matrici Q ed R a partire dalle matrici elementari di Householder.Una matrice elementare di Householder reale ha la seguente forma:H=I−2 w w T ,w∈R n ,∥w∥=1,H è una matrice ortogonale e simmetrica.Questo metodo presenta alcuni vantaggi pratici, in particolare esso non richiede ilcalcolo dell’inversa di una matrice triangolare superiore.Poiché ogni trasformazione di Householder è ortogonale, ci basta far vedere cheesiste un prodotto di matrici del tipo H(x i ; e j ) che trasforma A in una matricetriangolare superiore con entrate sulla diagonale principale tutte positive. A questopunto, l’unicità della fattorizzazione garantisce che quanto abbiamo ottenuto siaeffettivamente la decomposizione QR cercata, che è detta matrice di Householder(alternativamente riflessione di Householder, trasformazione di Householder)associata a w.H 1 a 1(1)=k 1 e 1.Dobbiamo creare una successione di matrici A (i) , con i=1,...n in modo che A (n) siatriangolare superiore. Moltiplichiamo la matrice di Householder H 1 a sinistra dellamatrice A (1) e otteniamo:A (2) =H 1 A (1) =[a 1(2)a 2(2)… a n(2)]in cuia1(2)=k1e1,mentre i restanti elementiaj(2)=H 1 aj(1) con j=2,...,n.La matrice A(2) ha la seguente struttura:A (2) =(k(2) (2)1 a 12 ⋯ a 1n(2) (2)0 a 22⋯ a 2n⋮ ⋮ ⋮(2)0 a n2 ⋯ a nn(2))= (k 10Tv 1 Â , 13

 (2)con 0 vettore colonna e una sottomatrice di dimensione appropriata cheandremo a sottoporre alle stesse operazioni a cui abbiamo sottoposto H 1 , dopo averla“orlata” con una riga e una colonna di una matrice identità per farle raggiungere ladimensione n x n e ripetiamo il procedimento come sopra, fino ad arrivare al genericopasso i in cui avremo la matrice nella forma:1• ⋯ ⋯ ⋯ •0 ⋱ ⋱ ⋮A =(k (i) ⋮ ⋱ k i−1 • ⋯ •⋮ 0⋮ ⋮  (i)0 ⋯ 0)=( A (i)11A 12(i)) 0 Âin cui gli elementi indicati con • non verranno più modificati e la sottomatrice (i)ha la forma: (i) =[â i(i)(i)a i+1̂⋯ â n (i) ]A questo punto poniamo:Ĥ i â i (i) =k ie 1quindi orliamo Ĥ i con i-1 righe e colonne della matrice identità fino ad ottenere:1• ⋯ ⋯ ⋯ •A =(k )0 ⋱ ⋱ ⋮(i+1) ⋮ ⋱ k i • ⋯ •⋮ 0⋮ ⋮  (i+1)0 ⋯ 0Indichiamo con(H n H n-1 H 1 )A = R ndove H = (H n H n-1 H 1 ) è una matrice ortogonale, mentre R n è una matrice triangolare14

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