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confronto fattorizzazioni - Università degli studi di Cagliari.

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1.4 L' ALGORITMO QRPer

1.4 L' ALGORITMO QRPer calcolare tutti gli autovalori di una matrice A si cerca di trasformarla, persimilitudine, in una di forma particolarmente semplice. La forma più desiderabilesarebbe quella diagonale (gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale) ma non èpossibile ridurre per similitudine ogni matrice in forma diagonale in un numero finitodi passi. Data la matrice quadrata A, si definisceA 0 = A;Se A k = Q k R k, con R k triangolare superiore e Q k ortogonale, allora si costruisce lasuccessione:A k+1 = R k Q kcon k= 0, 1, 2, ….La successione {A 0 , A 1, A 2 ,...} è essenzialmente unica (questo fatto discendedall'unicità della decomposizione QR.Tutte le matrici A k , sono simili fra loro, dato cheA k+1 = R k Q k = (Q T k Q k ) R k Q k = Q T k (Q k R k )Q k = Q T k (A k ) Q ke Q T k = Q -1 .Se la matrice A, ha autovalori distinti, la successione Ak definita attraversol'algoritmo QR converge ad una matrice triangolare superiore sulla cui diagonale sitrovano gli autovalori di A.T =[λ 1 • ⋯ •λ 2⋱ ⋮n]⋱ •λNegli altri casi tende alla forma seguente:[• • • ⋯ •• • • ⋱ •λ 3 ⋱ ⋮n]⋱ •λ28

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