Logistica - Il problema del trasporto

Logistica - Il problema del trasportoFederico Di PalmaDecember 17, 2009Il problema del trasporto sorge ogniqualvolta si debba movimentare dellamerce da una o più sorgenti verso una o più destinazioni finali. Questo problemaè fra i primi ad essere stato studiato e formalizzato in ambito logistico.L’importanza di questo tipo di problematiche è tale che spesso con il terminelogistica i più intendono proprio la definizione e la soluzione di tale tematica.1 Il problema del trasporto ad uno stadioNella classica definizione del problema si trasporto si suppone di avere unnumero M depositi in cui viene immagazzinato un prodotto e N negozi cherichiedono tale prodotto. Il problema del trasporto consiste nel determinarequale quantità di prodotto inviare da ciascun deposito verso ciascun negozio inmodo tale da minimizzare il costo complessivo di trasporto, rispettando i vincolisulle quantità di prodotto presenti in ciascun deposito e quelli di richieste diciascun negozio. Da questa semplice definizione si intuisce come il problema ditrasporto presenti un alto numero di variabili decisionali. Infatti vi è una variabileper ogni possibile collegamento deposito-negozio. Nel seguito indicheremoquindi le variabili decisionali mediante la seguente notazionex i,j : quantità di merce trasportata dal magazzino i al deposito j.Nella più comune formulazione, il problema di trasporto viene modellatocome un problema di programmazione lineare (PL).1.1 Formulazione lineareQuesta formulazione, si fonda su due ipotesi semplificative:1. si suppone che sia possibile rifornire ogni negozio da ogni deposito, comemostrato in Figura 1.2. il costo del trasporto dal magazzino i al venditore j si suppone proporzionalealla quantità di merce trasportata x i,j secondo una costantenon negativa c i,j .Inoltre si suppongono note:1

Figure 1: Situazione tipica del problema di trasporto. Ogni deposito (WHpuò rifornire ogni singolo negozio (V).• la quantità di prodotto b j richiesta da ognuno degli N negozi.• la giacenza a i presente in ognuno degli M magazzini.• il costo di trasporto unitario c i,j per ognuno degli NM possibili collegamenti.Alla luce delle due ipotesi fatte il costo complessivo del trasporto divieneesprimibile dalla seguente relazionef =M∑i=1 j=1N∑c i,j x i,jSebbene sia i coefficienti che le variabili decisionali siano organizzate come dellematrici il funzionale di costo f è di tipo lineare. Per mostrare quanto detto èsufficiente riorganizzare le due grandezza in formato vettoriale. Infatti, introducendoil vettori colonna delle variabili decisionali˜X = [ x 1,1 . . . x 1,N x 2,1 . . . x 2,N . . . x M,1 . . . x M,N] Te dei termini di costo˜C = [ c 1,1 . . . c 1,N x 2,1 . . . c 2,N . . . c N,1 . . . c N,M] Tla precedente divienef( ˜X) = ˜C T ˜Xdove si nota chiaramente la natura lineare.La formulazione lineare prevede inoltre che siano soddisfatti alcuni vincolidi buon senso.Vincolo di non negaitività Le quantità trasportate debbono essere o nulle opositive.x i,j ≥ 0 ∀i, j2

Vincolo di rislubilità Un problema di trasporto è risolubile solo se la quantitàdi merce presente in tutti i magazzini è non inferiore a quella richiesta daltutti i venditori. In formule si ha che:M∑ N∑a i ≥i=1Vincolo di capacità Da ogni magazzino non può essere prelevato più di quantosia presente nel magazzino. Questo vincolo viene espresso mediante Mequazioni lineari (una per ogni magazzino):j=1b iN∑x i,j ≤ a i ∀ij=1Vincolo di domanda Ad ogni venditore deve giungere la quantità di prodottorichiesta. Questo vincolo viene espresso mediante N equazioni lineari (unaper ogni venditore):M∑x i,j = b j ∀ji=1Come si nota il vincolo di risulubitilità non comprende alcuna incognita epertanto può essere verificato a priori.Il problema diviene quindi facilmente formalizzabile come un problema diprogrammazione lineare.∑ Nj=1 x 1,j ≤ a 1min˜CT ˜X· · ·∑ Nj=1 x M,1 ≤ a M∑ Mi=1 x i,1 = b 1· · ·∑ Mi=1 x i,N = b Nx i,j ≥ 0Si noti come un problema di trasporto con N depositi ed M venditori finalipresenta sempre NM variabili decisionali, ed N + M vincoli (esclusi i vincoli dipositività).Esempio 1 Un rivenditore di zucchero possiede due magazzini di stoccaggioposti a Verona e Padova e tre punti vendita a Verona (coincidente con il magazzino)Venezia e Mantova. Nel mese in corso le giacenza di magazzino per ipunti di stoccaggio di Verona e Padova sono rispettivamente di 2 e 3 Tonnellatee sono previste seguenti vendite: Verona 1,4 quintali, Mantova 1,3 quintali eVenezia 2 quintali. Sapendo che il costo di trasporto è di 1 centesimo al kilogrammoper kilometro percorso, impostare il problema di trasporto e verificarnela fattibilità note le distanze fra le città coinvolte.3

Verona Mantova VeneziaVerona 0 55 220Padova 120 175 100Il problema di trasporto vede coinvolti due magazzini (M = 2) e tre negozi (N =3), pertanto il problema possiede NM = 6 variabili decisionali x i,j indicanti laquantità di merce in kilogrammi trasferita fra il deposito i ed il punto di venditaj secondo la seguente tabellaV erona Mantova V eneziaV erona x 1,1 x 1,2 x 1,3P adova x 2,1 x 2,2 x 2,3I corrispondenti coefficienti di costo c i,j sono dati dalla distanza in kilometrifra i ed il punto di vendita j per 0,01. Nel testo si ricavano i seguenti termininoti dei vincoli:a 1 = 2000 a 1 = 3000 b 1 = 130 b 2 = 140 b 3 = 200Il problema lineale diviene quindi:min 0x 1,1 + 0, 55x 1,2 + 2, 2x 1,3 + 1, 2x 2,1 + 1, 75x 2,2 + x 2,3x 1,1 + x 1,2 + x 1,3 ≤ 2000x 2,1 + x 2,2 + x 2,3 ≤ 3000x 1,1 + x 2,1 = 130x 1,2 + x 2,2 = 140x 1,3 + x 2,3 = 200x i,j ≥ 0Per verificare l’esistenza di una soluzione basta controllare il vincolo di risulubilitàche in questo problema diviene.130 + 140 + 200 ≤ 2000 + 3000Il vincolo risulta soddisfatto pertanto il problema ammette soluzione.♦1.2 formulazione non lineareSpesso nella realtà il funzionale di costo difficilmente risulta lineare. Ad esempio,il corriere incaricato dell’offerta per una generica tratta i−j a fronte di quantitàdi merce trasportata x i,j sostanziosa potrebbe diminuire il prezzo dell’unità diprodotto trasportata c i,j . Pertanto, il costo del trasporto sulla tratta i, j nonsarebbe più lineare.Un modo per modellare questa situazione potrebbe essere (ma non è unico)di adottare un costo per la tratta i − j del tipoc ′ i,jx β , 0 < β < 14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 554.543.53xx 1/2x 1/3x 2/32.521.510.50Figure 2: Confronto di possibili funzionali per il costo di trasporto in una singolatrattaCome mostrato dalla Figura 2, rispetto ad un funzionale lineare il funzionaleproposto applica un costo maggiore alle basse quantità e minore per quelleelevate.L’esempio considerato mostra solo una delle possibili fonti di non linearitàpresenti nella modellazione di un problema reale.In ogni caso è bene notare che, comunque si modelli il problema di trasporto,la non linearità introdotta concerne solamente il funzionale di costo. Infatti,la tipologia di vincoli descritti nel caso lineare continuano ad essere validi emantengono la loro natura lineare.2 Il problema di trasporto a due stadiUna variante del problema di trasporto particolarmente interessante è il cosiddettoproblema del trasporto a due stadi; spesso chiamato problema di Transhipment.Questo problema prevede che la merce da trasferire dai magazzini ai venditoridebba necessariamente transitare per dei depositi intermedi P . Un esempio ditale situazione é il trasporto di una merce tra due continenti. In fatti in questasituazione le merci debbono giungere prima ad un porto (qualora il trasportoavvenisse via mare) od un aereoporto (qualora il trasporto avvenisse via aerea)e poi trasportate mediante corriere via terra alla destinazione finale.La Figura 3 schematizza un problema di Transhipment con M = 2 stazionidi partenza N = 2 destinazioni e P = 2 depositi intermedi.Anche il problema di Transhipment viene solitamente formulato come unproblema di programmazione lineare (PL).5

• il costo di trasporto unitario d i,j per ognuno degli P N possibili collegamentideposito intermedio - venditore.Alla luce delle due ipotesi fatte il costo complessivo del trasporto divieneesprimibile dalla seguente relazioneM∑ P∑P∑ N∑f = c i,j x i,j + d i,j y i,ji=1 j=1i=1 j=1Anche in questo caso la natura lineare del funzionale di costo diviene ovvia afronte di una riorganizzazione delle variabili decisionali e dei coefficienti di costo.Infatti, introducendo i vettori colonna delle variabili decisionali˜X = [ x 1,1 . . . x 1,P . . . x M,P y 1,1 . . . y 1,N . . . y P,N] Te dei termini di costo˜C = [ c 1,1 . . . c 1,P . . . c M,P d 1,1 . . . d 1,N . . . d P,N] Tla precedente divienef( ˜X) = ˜C T ˜Xdove si nota chiaramente la natura lineare.I vincoli presenti nel problema di trasporto a due stadi non solo modellanole stesse caratteristiche presenti nei problema ad uno stadio ma vengono usatiper i due problemi di trasporto ad uno stadio imponendo che nessuna mercesi fermi nei depositi intermedi. Nella formulazione qui introdotta si hanno iseguenti vincoli:Vincolo di non negaitività Le quantità trasportate debbono essere o nulle opositive, pertanto si ha che:x i,j ≥ 0 i = 1, . . . , M j = 1, . . . , Py i,j ≥ 0 i = 1, . . . , P j = 1, . . . , NVincolo di rislubilità Un problema di trasporto è risolubile solo se la quantitàdi merce presente in tutti i magazzini è non inferiore a quella richiesta daltutti i venditori. In formule si ha che:M∑ N∑a i ≥i=1Vincolo di capacitá Da ogni possibile deposito non può essere prelevato piùdi quanto sia presente in esso. Questo vincolo viene espresso medianteM +D equazioni lineari (una per ogni magazzino ed una per ogni depositointermedio):j=1b iP∑x i,j ≤ a jj=1N∑i = 1, . . . , M y i,j ≤ e jj=1j = 1, . . . , P7

Vincolo di domanda Ad ogni venditore deve giungere la quantità di prodottorichiesta. Questo vincolo viene espresso mediante N equazioni lineari (unaper ogni venditore):N∑y i,j = b jj=1j = 1, . . . , PVincolo di conservazione del flusso Nei depositi intermedi nulla deve fermarsi.Pertanto la somma delle quantità che entrano nel deposito debbonouscirne. Questo vincolo viene espresso mediante P equazioni lineari (unaper ogni Deposito intermedio):M∑ M∑x i,p =i=1 j=1y p,ip = 1, . . . , PAlla luce di quanto detto il problema di trasposto a due stadi si modella conil seguente PL: Il problema diviene quindi facilmente formalizzabile come unproblema di programmazione lineare.∑ Pj=1 x 1,j ≤ a 1min˜CT ˜X· · ·∑ Pj=1 x M,1 ≤ a M∑ Nj=1 x 1,j ≤ e 1· · ·∑ Nj=1 x P,1 ≤ e P∑ Pi=1 y i,1 = b 1· · ·∑ Pi=1 y i,N = b∑ NMi=1 x i,1 = ∑ Mj=1 y 1,i· · ·∑ Mi=1 x i,P = ∑ Mj=1 y P,ix i,j ≥ 0y i,j ≥ 0Si noti come un problema di trasporto con M magazzini, P depositi intermedied M venditori finali presenti sempre P (N + M) variabili decisionali, edN + M + 2P vincoli (esclusi i vincoli gli P (N + M) positività).2.2 Problemi non completamenti connessiNella realtà, spesso capita che non tutti i collegamenti siano praticabili, specialmentenei problemi di transhipment. Questo può essere imputabile a diverse8

cause: la non disponibilità della tratta ferroviaria, oppure la presenza di particolariembarghi economici, limitazioni dovute ad accordi internazionali etc..Un importante conseguenza della non completa connessione del problema èche potrebbe accadere che le giacenza presenti in alcuni magazzini di partenzanon possano raggiungere alcune destinazione finale. Questa semplice constatazionemotiva il fatto che il vincolo di fattibilità non è più legittimato. Non è infatti possibiledeterminare la risolubitià del problema di trasporto non completamenteconnesso dalla sola analisi delle costanti a i e b j .Il problema non completamente connesso víola una della ipotesi fatte in fasedi modellazione. Ciononostante spesso si ricorre ugualmente alla formulazionelineare descritta in precedenza, supponendo i collegamenti ”proibiti” come presentima aventi costo di trasporto arbitrariamente alto W . Infatti, se W fossescelto sufficiente alto (idealmente infinito) la minimizzazione del funzionale imponeche la quantità ad esso associata sia nulla. In questo caso, la soluzione delproblema completamente connesso, non imponendo movimentazioni lungo tratteproibite, risulta ammissibile (ed ottima) anche per il problema di trasporto iniziale.Pertanto, un modo di risolvere problemi non completamente connessi potrebbeessere quello di incrementare W fino a quando non si trova una soluzione ammissibileper il problema non connesso.Il problema principale di questa tecnica è che l’algoritmo potrebbe non terminare.Infatti è possibile dimostrare che W esiste finito se e solo se il problemanon completamente connesso ammette soluzione. Quindi generalmente si poneun massimo al numero di iterazioni previste Max iterSi perviene così al seguente algoritmo:1. Si fissa W ad un valore alto2. i = 13. Si imposta il funzionale di costo del PL completamente connesso4. Se la soluzione trovata è applicabile al problema non connesso fine.5. Se i < Max iter(a) Si pone W = 10W(b) Si pone i = i + 16. Si torna al punto 3.9