Didattica della matematica

Didattica della matematicaStefania Pozio

Contratto didattico• L’insieme dei comportamenti dell’insegnanteche sono attesi dall’allievo e l’insieme deicomportamenti dell’allievo che sono attesidall’insegnante. (Brousseau, 1986)• Ignorare la questione significa mettersi nellecondizioni di non voler capire quel che accadeattorno a noi nelle ore di matematica.• Permette di interpretare vari fenomeni cheriguardano le prestazioni matematiche degliallievi e, più in generale, l’apprendimentoinsegnamentodella matematica. Ad esempio:

Contratto didattico• Il comportamento degli allievi nei problemi deltipo “età del capitano” (“Su una imbarcazioneviaggiano il capitano, due marinai e ventitrepecore; quale è l’età del capitano?” —risposta:46 anni) Gli studenti, di fronte all’enunciato di unproblema, non sono abituati a mettere indiscussione la validità delle domandedell’insegnante perché ripongono fiducia inlui e di conseguenza sono portati a pensareche ogni problema ha una sua soluzioneche si può ricavare proprio utilizzando i datidel problema stesso.

Contratto didattico• Il tentativo disperato, nella risoluzione diun problema, di ricordare degli schemirisolutivi quando si tratterebbe invece diragionare ex novo.• Il tentativo (assai meno frequente delprecedente) di costruire un ragionamentorisolutivo originale laddove basterebbeapplicare una formula opportuna.

Un po’ di terminologia• Noetica: acquisizione concettuale,apprendimento dei concetti.• Semiotica: rappresentazione dei concettimediante sistema di segni.• Non c’è noetica senza semiotica• La semiotica è considerata unacaratteristica necessaria per garantire ilprimo passo verso la noetica.

Apprendimento matematico• L’apprendimento matematico consta di 4 elementifondamentali, distinti ma tra loro interconnessi: apprendimento dei concetti (noetica) preliminare aqualsiasi altro; apprendimento di algoritmi (richiede capacitàmeccaniche e mnemoniche); apprendimento “strategico” (capacità diargomentare, di risolvere problemi, di dimostrare); apprendimento comunicativo (capacità diesprimere il proprio parere su cose matematiche,di descrivere un oggetto …..)• Il primo apprendimento matematico è la noetica.Dobbiamo insegnare ad apprendere concettimatematici.

Semiotica• I concetti della Matematica non esistono nellarealtà concreta (il punto P, il numero 3,l’addizione….) per cui è necessario rappresentarliattraverso un registro semiotico.• In Matematica non si impara a maneggiare iconcetti, ma le loro rappresentazioni semiotiche.• Per una rappresentazione semiotica vi sono piùregistri possibili.

Rappresentazioni semiotiche• Una retta può essere rappresentata:Registro semiotico: la lingua comune:RETTARegistro semiotico: disegnoRegistro semiotico: linguaggio algebricoy = px + q

Rappresentazioni semiotiche• Il concetto di dividere a metà un intero:Registro semiotico: la lingua comuneRappresentazione semiotica: un mezzoRappresentazione semiotica: la metàRegistro semiotico: linguaggio figuraleRappresentazione semiotica:0 1

Rappresentazioni semiotiche• Il concetto di dividere a metà un intero:Registro semiotico: linguaggio aritmeticoRappresentazione semiotica: ½(scrittura frazionaria)Rappresentazione semiotica: 0,5(scrittura decimale)Rappresentazione semiotica: 5x10 -1(scrittura esponenziale)

Rappresentazioni semiotiche• Il passaggio da una rappresentazionesemiotica ad un’altra dello stesso registrosemiotico si chiama “trasformazione ditrattamento”12Trasformazione di trattamento 0 , 5

Rappresentazioni semiotiche• Il passaggio da una rappresentazionesemiotica ad un’altra in un altro registrosemiotico si chiama “trasformazione diconversione”12Trasformazione di conversione0 1

Dalla semiotica alla noetica• L’insegnante (che conosce il concetto) propone allostudente (che non conosce ancora il concetto)alcune delle sue rappresentazioni semiotiche.• Attraverso le rappresentazioni semiotiche lostudente dovrebbe costruire l’apprendimentolconcettuale di quel concetto.• Se lo studente conoscesse già il concetto, potrebbericonoscere in quelle rappresentazioni semiotiche ilconcetto; ma non conoscendo il concetto, vede solodelle rappresentazioni, cioè oggetti concreti.• L’insegnante si illude che, vedendo lo studentemanipolare quelle rappresentazioni semiotiche, eglistia di fatto manipolando il concetto.

Dalla semiotica alla noetica• ATTENZIONE: lo studente potrebbe averimparato solo a manipolare lerappresentazioni semiotiche senza avercostruito il concetto.• Non ci sono ricette miracolistiche, c’ècsolo laconsapevolezza.• E’ necessario porre attenzione agliapprendimenti degli studenti, verificando seappartengono davvero alla sfera della noeticae non solo alla semiotica.

Dalla semiotica alla noetica• La costruzione dei concetti matematici èstrettamente dipendente dalla capacità disaper usare più registri di rappresentazionisemiotiche di quei concetti:di scegliere i tratti distintivi del concettoda rappresentare e rappresentarli in undato registro;di trattare tali rappresentazioni all’internodi uno stesso registro;di convertire tali rappresentazioni da undato registro ad un altro.

Dalla semiotica alla noetica• Non si impara automaticamente a gestire idiversi registri, a scegliere i tratti distintivi delconcetto da trattare, a convertire.• Questo apprendimento deve essere il risultatodi un insegnamento esplicito nel qualel’insegnante chiama ad essere corresponsabilelo studente.• L’apparente semplicità di certi registri nondeve far credere che lo studente se ne approprie ne sia già padrone.

Esempi con le frazioni• Quando si vogliono trovare frazioni incontesti continui si tende a privilegiare l’uso ldi figure standard: rettangoli, cerchi,quadrati.• E’ assolutamente necessario crearesituazioni nelle quali si debbano trovarefrazioni di figure non standard. Es.: trovarei ¾ delle seguenti figure:

Esempi con le frazioni• Di solito, negli esercizi di routine, si dàduna figurae se ne cerca una frazione.• E’ necessario creare situazioni inverse: “Ecco i ¾di un’unitunità. . Trova l’unitlunità di partenza”.• E’ fondamentale costruire l’idea lche non semprec’èun’unica unica risposta corretta. (Attenzione alcontratto didattico!)• E’ fondamentale dare esercizi in cui la partefrazionaria abbia l’aspetto ldi una figura compatta,perché, , in questo modo, lo studente, per risolverel’esercizio, deve rompere il modello mentale chesi sta costruendo.

Esempi con le frazioni• “Ecco i ¾ di un’unitunità. . Trova l’unitlunità dipartenza”.SISI

Esempi con le frazioni• Lo studente può dividere il rettangolo (il trapezio)in 3 parti a piacere: questa scelta lo potrà portare asoluzioni diverse, tutte potenzialmente giuste.

Esempi con le frazioni• Lo studente deve dividere il rettangolo (il trapezio)in tante parti quante ne esprime il numeratore, il cherompe una misconcezione.

Misconceptions• Sono intuizioni scorrette, fraintendimenti, concezioni errateche coesistono nella mente dello studente insieme allaconoscenza formale che ha acquisito in un secondomomento.• Quando uno studente commette un errore, nonnecessariamente vuol dire che manca di conoscenza rispettoa quel determinato argomento. Questo errore può derivareproprio da misconceptions.• Poiché il primo vero contatto che un individuo ha con lamatematica avviene a scuola, è proprio in questoambito che si cominciano a creare le primemisconceptions derivanti da un’errata interpretazionedei messaggi dell’insegnante.• Permettono di interpretare gli errori degli studenti che,a loro volta, denotano comportamenti fallimentari.

Il caso della sottrazione• Spesso nella sottrazione molti bambini sbagliano perchéapplicano in modo del tutto corretto degli algoritmi chesono assolutamente scorretti e non viceversa, cioèperché applicano in modo errato degli algoritmi corretti.• Esempio (Brown(e Burton, 1978): Una bambina di nomeJohnnie sottrae 284 da 437 ottenendo 253:437 –284 =253La maestra, vedendo questo risultato, pensa che l’allieva labbiasoltanto dimenticato di sottrarre 1 da 4 nella colonna dellecentinaia, e glielo fa notare, ma l’alunna lnon capisce in quanto ilsuo algoritmo consisteva nel sottrarre la cifra più bassa dalla cifrapiù alta nella stessa colonna. Quindi il suggerimento che lamaestra dàda Johnnie non la aiuta, ma, anzi, la confonde ancora dipiù perché lei non sta sullo stesso percorso risolutivo dellamaestra, ma su un percorso alternativo.

Misconceptions• Inevitabili: dipende dalla necessariagradualità dell’introduzione di saperi che,per essere proposti, si devono ancorare arappresentazioni semiotiche che spessonascondono la totalità o la complessità di unconcetto (Rettangolo e quadrato)• Evitabili: rappresentazione grafica degliangoli.

Immagini mentali e modelli• Immagine mentale è il risultato figurale oproposizionale prodotto da una sollecitazione diun concetto. E’ condizionata da influenze culturali, stilipersonali. E’ un prodotto tipico dell’individuo, ma con costantie connotazioni comuni tra individui diversi.• Farsi un modello di un concetto significarielaborare successive immagini (deboli, instabili)per giungere ad una di esse definitiva (forte,stabile).• Si definisce modello intuitivo quello che rispondepienamente alle sollecitazioni intuitive e che haquindi un’accettazione immediata forte.

Esempi di modelli intuitivi• “La moltiplicazione aumenta i valori” (è vero in N, ma nonin Q).Se si chiede a studenti evoluti: quale di queste operazioni dàdunrisultato maggiore: 18 x 0,25 oppure 18 : 0,25, la maggior parterisponde in modo errato.• Nella sottrazione si privilegia solo l’immagine ldel togliere:Se togliamo 3 palline da un insieme di 10 palline, quante pallinerimarranno? (100% risposte corrette)Ho tre palline, ma me ne occorrono 10 per giocare. Quante pallinedevo aggiungere a quelle che ho già per poter cominciare agiocare? (Poche risposte corrette)• Nella divisione si tende a dividere sempre il numero piùgrande per quello più piccolo.5 kg di biscotti devono essere divisi tra 15 bambini. Che peso di dbiscotti riceverà ciascun bambino?

Immagini mentali e modelli• L’idea di semplificare ad ogni costo, a volte, sirivela una strategia didattica non ottimale:l’immagine concettuale che il bambino si fa dellanuova proposta cognitiva si trasforma troppopresto in modello e nascono ostacoli didattici allacostruzione della conoscenza.• Esempio: si propone al bambino di dividere unrettangolo in 4 parti uguali.

Immagini mentali e modelli• Ma allora la seguente divisione del rettangolo in 4parti uguali:E’ corretta oppure no?

I processi metacognitivi• Riguardano:una conoscenza consapevole, da parte dello studente, di sestesso come soggetto che apprende, delle risorse che ha adisposizione e della struttura della conoscenza negli ambitiin cui lavora.l’autoregolazione, il monitoraggio e l’organizzazione ldelleproprie abilità cognitive, cioè quanto si è in grado di teneretraccia di quello che si sta facendo mentre, ad esempio, sista risolvendo un problema e quanto si usano i risultati diqueste osservazioni per guidare le azioni che si stannocompiendo durante la risoluzione di un problema.• Varie ricerche mettono in luce un rapporto tra livellometacognitivo generale, specifico per la matematicae successo nella disciplina.

L’importanza dei processimetacognitivi• E’ necessario adottare una didattica in cuil’attenzione ai contenuti è affiancatadall’«’«attenzione al metodo» della conoscenza;• È necessario garantire tale «attenzione al metodo»portando gli alunni ad un uso via via piùconsapevole delle proprie conoscenze, anche intermini di intervento e di controllo sull’esecuzionedi un compito.• Un soggetto più sensibilizzato dal punto di vistametacognitivo è avvantaggiato sul lato praticoperché è capace di servirsi di questa capacità diautoriflessione per organizzare e dirigere al meglioil proprio apprendimento.

Aree didattiche• Riconoscere abilità cognitive implicate in situazionimatematiche e le loro interconnessioni.• Riconoscere il proprio stile tendenziale e le strategiecognitive.• Avere un atteggiamento positivo verso la matematica.• Saper riconoscere e gestire situazioni di ansia inmatematica• Riconoscere l’importanza ldella comprensione del testo perla soluzione di compiti matematici.• Saper prevedere le difficoltà di un compito e le propriepossibilità di riuscita.• Saper pianificare le procedure per una soluzione ottimaledi un compito.• Saper monitorare la propria prestazione.• Fornire una valutazione finale della propria prestazione.

Riconoscere abilità cognitive implicate insituazioni matematiche e le lorointerconnessioni• Riconoscere il ruolo dell’attenzione inmatematica• Riconoscere l’importanza ldell’ autoefficacianella matematica• Riconoscere il ruolo della memoria dilavoro a breve termine in situazionimatematiche.

Riconoscere l’importanza dell’autoefficacia nella matematicaVerifica in classe. Mario si guarda intorno evede tutti i compagni che lavorano. Mario pensadi non essere capace e cerca un possibilesuggerimento. Poi però cambia idea. “E’proprio vero che non sono capace?” si chiede.Discuti con i compagni e l’insegnante.l1. Ti sei mai trovato in una situazione simile? Racconta latua esperienza.2. Quando hai trovato la soluzione o l’insegnante ll’ha lspiegata, cosa hai pensato?3. Era proprio vero che non saresti stato in grado dirisolvere quel compito?

Avere un atteggiamento positivoverso la matematica.• Riconoscere, in maniera positiva, lapossibilità di insuccesso e utilizzare l’errore. l• Riconoscere cause tipiche di errore.• Riconoscere il ruolo dell’impegno personale.• Sviluppare motivazioni intrinseche.

Riconoscere cause tipiche dierrore.Rifletti e completa la tabella. Scrivi a fianco diciascun errore un suggerimento che daresti a untuo compagno per farglielo evitare.Eventuali erroriErrori di calcoloErrori di distrazioneErrori di comprensione del testoErrori di procedimentoErrori perché non si hanno chiarialcuni argomentiCosa fare

Alcuni suggerimenti• Cambiamento dei ruoli: Il ruolo dell’insegnante: da depositario /trasmettitore di conoscenze e responsabileunico dell’apprendimento di tutti a ideatore,stimolatore, organizzatore di attività chepermettono agli allievi di costruirsiresponsabilmente la propria conoscenza. Il ruolo dell’allievo: da passivo ascoltatore,diligente imitatore, fedele riproduttore aattivo, responsabile, interessato e cosciente neiconfronti del proprio apprendimento.

Alcuni suggerimenti• Far discutere i ragazzi di matematica.• Partire dal concreto e presentare solo quegliargomenti di cui sono ben visibili le originiconcrete.• Questioni che si possono prospettare (12anni): Qual è il punto di mezzo tra 0 e 1? E fra 0 e ½?E fra 0 e ¼? Sono più i numeri pari o tutti i numeri interi?

Se dal punto P proietto i punti del segmento AB sulla retta raccade che il segmento AB corrisponderà al segmento A’B’su r e che da un punto qualunque Q di AB corrisponderà unpunto Q’ Q di A’B’.APQBCome è possibile chei punti di AB, che èpiù piccolo siano tantiquanti i punti di A’B’che è più grande?A’ Q’B’rQuestioni così profonde appassionano i bambinie operano una maturazione intellettuale cheaccelera quel passaggio dal concreto all’astrattoche è tipico della preadolescenza.

Alcuni suggerimenti• Prima di introdurre un concetto, far parlare ibambini sulle idee che hanno di questo concetto.• Nella discussione l’insegnante ldeve parteciparepiù per ascoltare che per intervenire, più permettere ordine che per indirizzare.• Quanto più tempo gli studenti avranno dato allostudio del concreto, all’osservare, tanto megliopasseranno alla comprensione delle forme astratte.

Necessità di ricorso al concreto• Il disegno non suggerisce dei problemi perchéoffre un numero finito di casi e vincola così lalibertà di pensiero del bambino.• Non conduce all’osservazione per il fatto che èstatico.• Non può fornire un’immagine reale di unasituazione spaziale.• Nel disegnare, il bambino si ferma sul trattodisegnato, sul contorno e non sull’interno.

Alcuni suggerimenti (aritmetica)• Dedicare un po’ più di tempo al calcolomentale.• Abituare i ragazzi a giudicare a occhio ilvalore del risultato (importantissimo ancheper l’uso ldelle calcolatrici).• Evitare di dare tanto rilievo alle espressioninumeriche in quanto di riducono a unmeccanico tecnicismo.