Текст на русском языке в формате PDF

home.imm.uran.ru
  • No tags were found...

Текст на русском языке в формате PDF

- 1567 -Бедин Д.А., Беляков А.В., Ганебный С.А., Иванов А.Г., Строков К.В., Федотов А.А.¡¢£¤¥¦§¨£©¨¢¥¦¢¦¨¦¢©¦¦¢¢¥¦¢©£¢£¨¦¨¢£¢¢Bedin D.A., Belyakov A.V., Ganebniy S.A., Ivanov A.G., Strokov K.V., Fedotov A.A.Thepaperdescribesthreeapproachesforsolvingtheproblemofestimatingthesystematic¢¦§¢©.!¡¦"¦¡¡¢¢¡¢¦¢¦¢¦££¦¨¢¥¦¤ £¢¨¦¨£©#¨¦.¢£¨¦¨¢£¢¢¢¡©§¨£©¡¢£¥£¨ $¦¨¦¥«££¢»¦£'¨¢¤¨£¨¢¦¢¦¢¤ ¡¢¦¨¦¥£¢¦¢¦¨¥()£¡¤¥¦§¢¢£©¦£¦£¢£¨)¡¦¥¢©¥)¤¥¢*¢(+!,). Co/ProcessingofDatafromSeveralRadars ¦¤.(¦"¦¤¨¤")¨¤¨¢£¡¥¦¤¥¥¤¢£¢¨¤¡ forDeterminationofSystematicErrorsinAzimuthandRangetems.В крупных центрах УВД обрабатываются данные, полученные от большого количестваРЛС, в том числе сильно удалённых. При совместной обработке замеров важнымявляется выявление систематических ошибок в геометрическом положении замеровРЛС. Наличие таких ошибок может существенно влиять на точность и корректностьработы алгоритмов систем УВД. Текущий контроль за точностными характеристикамиРЛС – одно из направлений повышения надёжности систем УВД в целом. Современныезоны ответственности УВД имеют большие размеры, особенно с учётом областейвидимости РЛС, от которых в систему УВД поступают замеры. Все коридорыдвижения для гражданских воздушных судов накрываются, как правило, зонами видимостинескольких РЛС (до 10). Избыточную информацию от многократного перекрытиязон видимости РЛС можно использовать для вычисления систематических ошибокРЛС.abcdefghiejcdgklIntheproposedapproaches,neitheroneoftheradarscouldbeconsideredasareference standardone.Systematicerrorsaredeterminedbycoprocessingthemeasurementsofthe nearbyradarsonthebasisoftheinformationalredundancyintheradardata.Theproposed errorsintheradarmeasurementsobtainedfromseveraloverlappingobservationdomains.methodscanbeusedincomputerinformationcomplexesoftheairtrafficmanagementsysРадиолокатор получает измерения в собственной сферической системе координатв виде (r, α ,β ), где – дальность до наблюдаемого объекта, α – азимут, β – уголместа. Рассмотрим горизонтальную плоскость Γ в точке стояния радиолокатора (касательнаяплоскость к земному эллипсоиду). Тогда β есть угол между лучом Λ , выпущеннымиз РЛС на объект, и плоскостью Γ , то есть угол возвышения объекта над горизонтом.Луч Λ проецируется на Γ , также проецируется луч направления от РЛС насевер. Угол азимута α есть угол между этими проекциями (рис. 1).Обзорные РЛС, используемые в управлении воздушным движением гражданскойавиации, угол β обычно не измеряют. Вторичным радиолокаторам доступна информацияо высоте объекта h, которая измеряется на самом ВС высотомером. Как правило,измерения высоты достаточно точные и одинаковые у разных РЛС при наблюдении заr


- 1570 -па. Замеры первичных РЛС содержат информацию об азимуте и наклонной дальностиВС, замеры вторичных РЛС могут дополнительно содержать информацию о высоте ВС.Время прихода замеров данного ВС от разных РЛС не синхронизировано. Для вычисленийберутся участки РЛС-треков, удовлетворяющие условию наблюдения ВС несколькимиРЛС, т.е. если в течение значительного времени ВС наблюдалось только однойРЛС, то такой участок РЛС-трека не используется.В качестве вспомогательной структуры вводится понятие восстанавливаемого трека– ломаной в трёхмерном пространстве, которая аппроксимирует истинное движениеВС, не противоречащее всем РЛС-трекам. Узлам восстановленного трека приписываютсяфиксированные моменты времени, расположенные на всём промежутке наблюдениярассматриваемого ВС. На отрезках линейности восстановленного трека предполагаетсялинейное течение времени.В случае, если замер содержит информацию о высоте, он представляет собой точкув трёхмерном пространстве, чьи координаты зависят от координат РЛС, наклоннойдальности, азимута и высоты замера, а также от предполагаемых ошибок по азимуту идальности (на данном этапе мы игнорируем наличие случайных ошибок замеров). Еслизамер не содержит информации о высоте (первичная РЛС, вторичная с невалидной высотой),то его множество неопределённости является (полу)окружностью в трёхмерномпространстве. Положение окружности зависит от координат РЛС, наклонной дальности,азимута замера, предполагаемых ошибок по дальности и азимуту.Для каждого замера можем вычислить невязку замера – квадрат расстояния междумножеством неопределённости замера (это точка или окружность) и точкой восстановленноготрека, соответствующей времени замера. Невязка замера зависит от координатдвух вершин восстановленного трека, данных замера (азимут, наклонная дальность и,может быть, высота), предполагаемых систематических ошибок рассматриваемой РЛС,координат рассматриваемой РЛС.Суммируя все невязки замеров, относящиеся к данному воздушному судну, получаемневязку ВС. Невязка ВС зависит от координат вершин восстановленного трека, данныхвсех замеров, относящихся к этому ВС, предполагаемых систематических ошибоквсех РЛС, наблюдавших это ВС, координат РЛС. Координаты вершин восстановленноготрека и предполагаемые систематические ошибки РЛС можно рассматривать какварьируемые независимые переменные, остальные величины – как фиксированные параметрызадачи. В итоге, сводим проблему к задаче минимизации функции многих переменных:f ( x1,x2,K , x n ) → minПри решении этой задачи получаем значения вершин восстановленного трека (такимобразом, попутно идёт восстановление некоторой «средней» траектории ВС) и предполагаемыесистематические ошибки РЛС, наиболее удовлетворяющие параметрам задачи(данным замеров и координатам РЛС).Для решения задачи минимизации функции многих переменных использовался алгоритмХука – Дживса с небольшими модификациями.На начальном этапе исследований предполагалось, что систематическая ошибка подальности отсутствует, а систематическая ошибка по азимуту для каждой РЛС естьчисло, не зависящее от азимута и наклонной дальности замера. Однако использованиетакой модели систематической ошибки при обработке реальных данных часто давалонеудовлетворительные результаты: разброс восстановленной систематической ошибкидля разных ВС был очень большой. Одновременно была замечена корреляция систематическойошибки со средним азимутом РЛС-трека. Это позволило выдвинуть гипотезуо зависимости систематической ошибки по азимуту от азимута замера. Программнобыли реализованы кусочно-линейная и тригонометрическая зависимости систематиче-


- 1571 -ской ошибки по азимуту от азимута замера. При обработке реальных данных тригонометрическаязависимость себя не оправдала. Также в программу была введена относительнаясистематическая ошибка по дальности, постоянная для каждой РЛС.Пример результата работы алгоритма для одного ВС показан на рис. 2.0.60.40.20-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180-0.2-0.40.5504030-0.5200100-60 -40 -20 0 20 40Рис. 2. Пример восстановления систематической ошибки РЛС по азимуту для одногоВС. Красная ломаная линия на верхнем и нижнем левом графиках – зависимость систематическойошибки по азимуту от азимута замера. Зелёная линия в правой нижнейчасти рисунка – функция плотности замеров в зависимости от азимута. Синие маркеры– азимуты замеров, вертикальная координата маркеров – среднее значение систематическойошибки.¡¢¡£¤¡£¥¦¤§¢¨©¢©¡§¢©£По многим причинам результаты обработки только одного ВС не могут быть использованыдля другого ВС. В частности, диапазон азимутов замеров одного ВС можетне совпадать с диапазоном другого ВС. С другой стороны, после обработки массиваданных движения воздушных судов по воздушной зоне за некоторый достаточно большойпромежуток времени (несколько часов / сутки) можно составить среднюю картинусистематических ошибок РЛС этой зоны, свободную от недостатков результатов обработкиданных одного ВС. Пример зависимости систематической ошибки по азимуту отазимута по результатам обработки массива данных показан на рис. 3.Азимуты и дальности разных РЛС-замеров различных ВС отличаются, поэтому пристатистической обработке можем получить зависимость систематической ошибки поазимуту и по дальности как от азимута, так и от дальности, например, в виде векторногополя смещений, которое может применяться для коррекции замеров РЛС как подальности, так и по азимуту (рис. 4).


- 1572 -10.50-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180-0.5-1Рис. 3. Пример зависимости систематической ошибки РЛС по азимуту от азимута замерапо результатам обработки многих ВС Новосибирской зоны. Центральная линия –средняя систематическая ошибка, крайние линии – максимумы и минимумы систематическойошибки, достигающиеся на отдельных ВС.Рис. 4. Зависимость систематическойошибки радиолокатора по результатамобработки многих ВС Новосибирскойзоны, показанная в виде векторного полясмещений замеров.2. Геометрический подход к определению систематических ошибок РЛСВ данном разделе будем предполагать, что у РЛС, участвующих в наблюдении завоздушным движением в некоторой зоне УВД, есть неизвестные, но постоянные систематическиеошибки по азимуту ∆ и дальности ∆ . Ошибка по дальностиαrсчитаетсяаддитивной, не зависящей от дальности. Если с учётом данных предположений рассмотретьдве РЛС с пересекающимися областями видимости, то взаимное наложениеошибок будет давать некоторое векторное поле геометрического расхождения замеровдля данных РЛС (поле относительных ошибок РЛС).На рис. 5 показаны возможные модельные варианты такого рода полей со взаимнымигеометрическими ошибками двух РЛС. Здесь в проекции на плоскость географическихкоординат показаны векторы результирующего относительного расхождениязамеров на некоторой равномерной сетке по широте/долготе. Расстояние между РЛСсоставляет примерно 370 км, для наглядности размер векторов сдвига относительносвоих реальных значений был увеличен в 50 раз.


РЛС№254 РЛС№1РЛС№254 РЛС№1- 1573 -57575656555556575859606162636465665657585960616263646566oа) РЛС1: ∆ α = 0.2 , ∆ r = 0 ;oб) РЛС1: ∆ α = 0.2 , ∆ r = 500 м;oРЛС2: ∆ α = −0.2 , ∆ r = 0 .oРЛС2: ∆ α = 0.0 , ∆ r = −500мРис. 5. Модельные варианты полей попарных геометрических ошибок РЛС.Разностное векторное поле для рассматриваемой пары РЛС, при условии их различногоместоположения, однозначно определяет величины поправок обеих РЛС поазимуту и дальности. Такую задачу несложно решить численной оптимизацией путёмпрямого поиска постоянных систематических ошибок обеих РЛС по азимуту/дальности,компенсирующих фактическое расхождение замеров РЛС в рассматриваемойобласти географических координат. Т.е. для обеих РЛС численно подбираютсятакие сдвиги (поправки) по азимуту/дальности, которые компенсируют фактическоерасхождение.Процедура расчёта поправок по азимуту/дальности легко распространяется наслучай трёх и более РЛС при наличии соответствующих попарных оценок геометрическогорасхождения замеров. При этом минимизируется сумма квадратов отклонениймежду модельными поправками (получаемыми подбором постоянных систематическихошибок по азимуту и дальности) и поправками, рассчитанными по исходным данным(фактическое расхождение). Для сведения треков от большого количества РЛС используетсяединая сетка в географических координатах.Самым сложным в описанной выше схеме расчёта оценок постоянных систематическихошибок РЛС по азимуту/дальности является получение исходной информации огеометрическом расхождении замеров для пар РЛС. На практике, задавшись небольшойгеографической областью, как правило, имеем разноточные замеры, поступающие отсоответствующих РЛС с разной частотой в разные моменты времени. Период поступлениязамеров обзорных РЛС может достигать 20 с.Для небольших географических областей можно предполагать постоянными систематическиеошибки положения замеров РЛС, которые можно задать в виде постоянноговектора сдвига в географических координатах. Для определения искомых разностныхвекторов по парам РЛС можно воспользоваться геометрией треков ВС, двигавшихсяв рассматриваемой области в течение некоторого промежутка времени. Каждыйиз двух фрагментов с треками РЛС рассматривается как геометрическая фигура (наборломаных линий) в плоскости местного горизонта. Разностный вектор сдвига вычисля-


- 1574 -ется путём совмещения таких фигур с минимизацией взаимного «суммарного» расстояниямежду наборами ломаных линий (рис. 6).Этот метод первоначально использовался длявычисления расхождения по времени в данных РЛС,поскольку при совмещении треков по отметкам замеровсоответствующие моменты замеров РЛС не используются.Геометрическое наложение треков позволяетпри вычислении оценок рассинхронизацииисключить систематические ошибки по азимуту/дальностии, с другой стороны, при вычисленииразностных векторов сдвига исключаются ошибкивремени.Операция совмещения может решаться с большимуровнем неопределённости даже в случае наличиябольшого количества замеров той и другой РЛС,например, в случае движения по параллельным курсам.В общем случае среди наблюдаемых фрагментовРис. 6. Вычисление векторасдвига при совмещении трековтреков в небольшой геометрической области должны иметься разнонаправленные участкидвижения, при этом треки не должны представлять собой набор концентрическихдуг.Для тестирования алгоритма было разработано ПО, позволяющее автоматизироватьпредставленную расчётную схему и, в том числе, выбор географических областейдля корректного расчёта векторов сдвига замеров по парам РЛС. Тестирование на модельныхи реальных данных показало удовлетворительные результаты, особенно длязон с высокой плотностью движения. В таких случаях разностное векторное поле расхождениязамеров РЛС оказывается наиболее представительным.Для иллюстрации приведём некоторые счётные результаты для Новосибирскойзоны УВД. По результатам непрерывных наблюдений 8-ми РЛС за сутки было посчитанорасхождение в замерах РЛС на некоторой сетке географических координат. Далеепутём использования описанной в начале раздела процедуры оптимизации были вычисленыпоправки по азимуту и дальности для каждой РЛС. На рис. 7 для одной парыРЛС с близким взаимным местоположением показаны начальные смещения замеров(а), остаточные смещения после учета поправок по азимуту (б), остаточные смещенияпосле учета поправок по азимуту и дальности (в).565656555555545454538081828384858653а) исходные сдвиги; б) после учёта поправок поазимуту;80Рис. 7. Результаты расчётов для пары РЛС по Новосибирской зоне УВД.818283848586808182в) после учёта поправок поазимуту и дальности83848586


- 1575 -3. Анализ систематических ошибок на основе гарантированного оцениванияriαОсновной особенностью подхода, применяемого в настоящее время для определениясистематических ошибок ∆ i , ∆ i радиолокаторов, является заранее заданнаяr αструктурафункций ∆ (x), ∆ i (x), иначе – их модель [1, 2]. Например, делается предположениео том, что систематические ошибки могут быть только следующего вида:∆r i ( x)≡ 0 , α α∆i ( x ) ≡ ∆i= const . После этого создаётся алгоритм, цель которого – определитьнеизвестные константы ∆ i . Предположения о структуре могут быть и болееαизощрёнными, но, так или иначе, они сводятся к формуламriP(r,i)j=1irjr ji∆ ( x)= ∑ f ( x)a ,∆αiP(α,i)j=1αi jα ji( x)= ∑ f ( x)a .Функции f r αi j (x), f i j (x)фиксируются заранее. При этом дальнейшие вычисления свя-r j jзаны с определением неизвестных констант a i , aiα . Алгоритмы такого вида называютсяалгоритмами параметрического оценивания. В частности, алгоритмы, разобранныев предыдущих разделах, можно отнести к этому классу.Выбор функций f r αi j (x), f i j (x), при помощи комбинации которых определяютсясистематические ошибки, обычно делается исходя из инженерных представлений о существезадачи. Он может оказаться неудачным. Так, например, модель с нулевыми систематическимиошибками по дальности и постоянными по азимуту показала плохуюсовместимость с реальными данными. Результаты, полученные по разным траекториямВС, отличались очень сильно, их разброс был примерно в десять раз больше уровня,который можно объяснить влиянием случайных ошибок измерений. На рис. 8 показанырезультаты по 7 траекториям, возле отметки результата отложены вертикальные «ворота»по вычисленному уровню среднеквадратичного отклонения, умноженному на три.Рис. 8. Разброс результатов поразличным траекториям в случаепростой модели.Сделаем попытку исследования систематических ошибок, не применяя заранеефиксированную модель.В качестве исходных данных рассмотрим измерения, полученные за большойпромежуток времени от нескольких РЛС при наблюдении за многими ВС. При этомважно, чтобы зоны наблюдения разных радиолокаторов перекрывались и были доступнынаблюдения одного и того же ВС разными РЛС. Такие данные можно разделить натраектории отдельных ВС и, внутри одной траектории, на треки от разных радиолокаторов.


- 1576 -Произведём предварительное сглаживание каждого трека. Это позволяет убратьдостаточно большую часть случайных ошибок измерений w r αi (t), w i (t ) , w h (t). Сглаживаниеможно делать различными способами, например, при помощи программы восстановлениятраектории самолёта [3]. Далее рассматриваем только сглаженные измерения,случайные ошибки в них полагаем настолько малыми, что ими можно пренебречь.Это соответствует равенству нулю значений w r αi (t), w i (t ) , w h (t)в уравнении (1) иw i (t) в уравнении (2).Рассмотрим группу Z сглаженных измерений нескольких РЛС от одного и тогоже ВС в некоторый момент времени t . В реальности, разные радиолокаторы не производятизмерения в один и тот же момент, однако процедура сглаживания позволяет получатьзамеры в произвольно заданные моменты.С учётом того, что о систематических ошибках ничего не известно кроме, развечто, ограниченности их значений, истинное положение x (t)воздушного судна в моментt может быть где угодно недалеко от группы замеров Z . Положение x (t)воздушногосудна неизвестно, но это – общая для всех радиолокаторов неизвестная величина.Следовательно, можно составить множество всех вариантов систематическихошибок, совместимых с данными (группой одномоментных замеров) и с тем, что векторx (t)один и тот же для разных РЛС. Будем называть такое множество множествомнеопределённости систематических ошибок при заданной группе замеров и обозначатьего через F (Z).Система, описываемая уравнениями (1)(или (2)), не является полностью наблюдаемой относительнопеременных ∆ i ( x ∗ ) , ∆i ( x ∗ ) (в предполо-r αr αжении плавного изменения функций ∆ i (x), ∆ i (x)можно восстанавливать их значение в некоторой точкеx ∗, близкой к группе замеров Z ) и неизвестногоРис. 9. Вариант сдвигов отсистематических ошибок, совместимыйс заданной группойзамеров.положения x воздушного судна. Т.е., даже получивсколь угодно большое количество наблюдений, нельзяоднозначно восстановить положение x и все систематическиеошибки. Вместо однозначного вариантаудаётся описать только совокупность всех возможныхвариантов, которая и составляет множество неопределённостиF (Z).Наиболее наглядно и просто описывается связь сдвигов от систематических ошибокв геоцентрической системе координат. На рис. 9 показана группа замеров и один извозможных вариантов сдвигов от систематических ошибок.В ходе анализа реальных данных было замечено, что близкие группы замеровочень похожи друг на друга и меняются достаточно плавно при изменении пространственногоположения. Это позволяет ввести в рассмотрение множества неопределённостидля систематических ошибок, связанные не с замерами, а с заданным положением впространстве. Такие множества можно получать усреднением всех множеств неопределённостиF (Z)в геометрической области вокруг заданного положения x . Будем обозначатьмножество неопределённости в заданной точке x символом F (x).С другой стороны, плавное изменение групп замеров, по-видимому, связано с такимже плавным изменением самих систематических ошибок ∆ i (x), ∆ i (x)вr αзависимо-


- 1577 -сти от пространственного положения x . Будем требовать от ∆ (x), ∆ i (x)выполнениетакого свойства.Задавшись сеткой пространственных положений { x j }, можно построить в каждойточке x j множество F ( x j ) . Совокупность этих множеств описывает все возможныеварианты систематических ошибок радиолокаторов, совместимых с исходными данными.Получение множеств F ( x j ) не опирается на какую-либо модель систематическихошибок и не связано с априорными предположениями об их устройстве. Используетсялишь уравнение наблюдения (1), вбирающее в себя только самые простые и общие сведения.По известным множествам неопределённости F ( x j ) можно построить тем илиr αиным способом однозначную реализацию систематических ошибок ∆ i (x), ∆ i (x)вr αточках сетки { x j }. При этом, если значения ∆ i ( x j ) , ∆ i ( x j ) выбирать из множестваF ( x j ) , можно быть уверенным в их полной совместимости с измерениями. Значениясистематических ошибок в точках, отличных от точек сетки, можно получать интерполяцией.r αИстинная реализация систематических ошибок ∆ i (x), ∆ i (x)неизвестна. Однакоможно сделать разумные допущения о ней, согласованные с множествами неопределённости.Таким допущением, например, может быть требование близости функцийr α∆ i (x) , ∆ i (x)к константам на наибольшем числе точек сетки { x j } или ещё какие-либопредположения, имеющие инженерный смысл.Одним из наиболее естественных предположений, с точки зрения авторов, являетсятребование плавного изменения функций с изменением x . Такое требование можетбыть формализовано с помощью функционала, имеющего смысл среднего по точкамr α{ x j } квадрата от константы Липшица исследуемой функции. Функции ∆ i (x), ∆ i (x),близкие к истинным, должны иметь малые значения такого функционала. В качествеr α«кандидатов» на истинные систематические ошибки ∆ i (x), ∆ i (x)можно рассмотретьфункции, минимизирующие функционал.rВ настоящее время разработан алгоритм, позволяющий получить функции ∆ i (x),α∆ i (x) , которые, с одной стороны, доставляют минимум функционалу, с другой стороны,значения ∆ i ( x j ) , ∆ i ( x j ) принадлежат множествам неопределённости F ( x j )r α.Исследования производились в сотрудничестве с фирмой «НИТА».Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований ПрезидиумаРАН «Динамические системы и теория управления», при финансовой поддержке УрОРАН (проект 12–П–1–1002), а также при поддержке РФФИ (проект №12–01–00537).Литература[1] J. J. Renes; P. v. d. Kraan; C. Eymann. Flightpath reconstruction and systematic radarerror estimation from multi-radar range-azimuth measurements / 1985 24th IEEE Conferenceon Decision and Control. V. 24 , Part: 1.riα


- 1578 -[2] Кирсанов А. П. Оценивание систематических ошибок измерений подвижнойРЛС при одновременном определении координат воздушных объектов двумя РЛС //Радиотехника, 2011. №8. С. 105–110.[3] Бедин Д.А., Пацко В.С., Федотов А.А., Беляков А.В., Строков К.С. Восстановлениетраектории самолёта по неточным измерениям // Автоматика и телемеханика.2010. №2. С. 17–30.Бедин Дмитрий АлександровичБеляков Александр ВячеславовичГанебный Сергей АлександровичРодился в 1983 г., окончилУральский государственный университетим. А.М. Горькогов 2006 г., работает в Институтематематики и механики им.Н.Н.Красовского УрО РАН.Область научных интересов: статистическоеоценивание, прикладныезадачи.e-mail: bedin@imm.uran.ruИванов Алексей ГеннадьевичРодился в 1977 г., окончилСанкт-Петербургский государственныйинститут точной механикии оптики (технический университет)в 2001 г., работает вООО “Фирма “НИТА”Область научных интересов:прикладные задачи.e-mail: al@nita.ruСтроков Константин ВладимировичРодился в 1981 г., окончилУральский государственный университетим. А.М. Горькогов 2004 г. В 2008 г. защитил диссертациюкандидата физ.-мат.наук, работает в ООО “Фирма“НИТА”Область научных интересов:прикладные задачи.e-mail: gsa@nita.ruФедотов Андрей АнатольевичРодился в 1967, окончил Уральскийгосударственный университетим. А.М. Горького в 1990 г.,работает в Институте математикии механики им. Н.Н.КрасовскогоУрО РАН.Область научных интересов: методыоптимизации.e-mail: iagsoft@imm.uran.ru;iagsoft@nm.ruРодился в 1978 г., окончилСанкт-Петербургский государственныйинститут точной механикии оптики (технический университет)в 2001 г., работает вООО “Фирма “НИТА”Область научных интересов:прикладные задачи.e-mail: ks@nita.ruРодился в 1968 г., окончилУральский государственный университетим. А.М. Горькогов 1993 г., В 2005 г. защитил диссертациюкандидата физ.-мат.наук, работает в Институте математикии механики им.Н.Н.Красовского УрО РАНОбласть научных интересов: методыоптимизации.e-mail: andreyfedotov@mail.ru

More magazines by this user
Similar magazines