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ESERCIZI DA ESAMI (1996-2003)Spinta delle terreEsercizio 1Calcolare le pressioni a lungo e a breve termine esercitate <strong>da</strong>l terreno sul paramento verticale diun muro di sostegno, nell'ipotesi di assenza di attrito e di flusso.qOAsabbia 1zw1zw2zargilla 1B<strong>da</strong>ti:z A (m) = 1.5sabbia 2z B (m) = 4Cz C (m) = 6z D (m) = 8argilla 2z w1 (m) = 0.5z w2 (m) = 2.5Dq (kPa) = 50strato γ (kN/m3) φ' (°) c' (kPa) φ u (°) c u (kPa)sabbia 1 18.6 33 0 - -argilla 1 17.7 24 10 0 80sabbia 2 18.6 35 0 - -argilla 2 19.1 28 25 0 300Dati:z A (m) = 1.5 strato γ (kN/m3) φ' (°) c' (kPa) φ u (°) c u (kPa)z B (m) = 4 sabbia 1 18.6 33 0 - -z C (m) = 6 argilla 1 17.7 24 10 0 80z D (m) = 8 sabbia 2 18.6 35 0 - -z w1 (m) = 0.5 argilla 2 19.1 28 25 0 300z w2 (m) = 2.5q (kPa) = 50Soluzione:condizioni a lungo terminepunto strato z(m) σ v (kPa) u (kPa) σ' v (kPa) σ' ha (kPa) σ ha (kPa) K AO sabbia 1 0 50.00 0.00 50.00 14.74 14.74 0.2951 a fal<strong>da</strong> sabbia 1 0.5 59.32 0.00 59.32 17.49 17.49 0.295A sup sabbia 1 1.5 77.96 10.00 67.96 20.03 30.03 0.295A inf argilla 1 1.5 77.96 10.00 67.96 15.67 25.67 0.422B sup argilla 1 4 122.10 15.00 107.10 32.18 47.18 0.422B inf sabbia 2 4 122.10 15.00 107.10 29.02 44.02 0.271C sup sabbia 2 6 159.38 35.00 124.38 33.71 68.71 0.271C inf argilla 2 6 159.38 35.00 124.38 14.86 49.86 0.361D argilla 2 8 197.64 55.00 142.64 21.45 76.45 0.3611
Soluzione:I coefficienti di spinta attiva per i tre tipi di terreno valgono:K a1 = tan 2 (45 - φ' 1 /2) = 0.271K a2 = tan 2 (45 - φ' 2 /2) = 0.376 K 0.5 a2 = 0.613K a3 = tan 2 (45 - φ' 3 /2) = 0.198Distribuzione di pressione:prof. terreno σ v u σ' v K a σ' ha σ ha(m) tipo (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)0 1 0 0 0 0.271 0.00 0.003 1 48 0 48 0.271 13.01 13.015 1 86 19.62 66.38 0.271 17.99 37.615 2 86 19.62 66.38 0.376 4.09 23.718 2 146 49.05 96.95 0.376 15.57 64.628 3 146 49.05 96.95 0.198 19.22 68.2712 3 230 88.29 141.71 0.198 28.09 116.380σ' ha (kPa)0 25 50 75 1000u (kPa)0 25 50 75 100z (m)36912 34 5z (m)36986 71212area forma base altezza forza braccio momento(kPa) (m) (kN/m) (m) (kNm/m)1 triang. 13.01 3 19.51 2.00 39.02 rettang. 13.01 2 26.02 4.00 104.13 triang. 4.98 2 4.98 4.33 21.64 rettang. 4.09 3 12.28 6.50 79.85 triang. 11.48 3 17.22 7.00 120.56 rettang. 19.22 4 76.87 10.00 768.77 triang. 8.87 4 17.75 10.67 189.38 triang. 88.29 9 397.31 9.00 3575.7Spinta attiva del terreno, Sa = 174.62 kN/mQuota di applicazione di Sa, ha = 7.58 mSpinta idrostatica, Sw = 397.31 kN/mQuota di applicazione di Sw, hw = 9.00 mSpinta totale: S = 571.93 kN/mQuota di applicazione di S, h = 8.57 mEsercizio 3Determinare la spinta attiva in condizioni statiche e sismiche (con il metodo di Mononobe-Okabe)sul muro di sostegno a gravità indicato in figura, e calcolarne le quote di applicazione.3
HβiDati:H =6 mβ = 20 °i = 15 °terreno sostenuto:γ = 18 kN/m 3φ' = 30δ = 2/3 φ' °coefficienti sismici:k H = 0.1k V = 0Soluzione:θ = arctan(k H / (1 - k V )) =0.0997 radi =0.2618 radφ' =0.5236 radδ = 2/3 φ' = 0.3491 radβ =0.3491 radK A = 0.6291E A = 0,5 γ H 2 K A = 203.81 kN/m Spinta attiva in condizioni staticheH A = H / 3 = 2.00 m Quota di applicazione di E AK AE = 0.8020E AE = 0,5 γ H 2 (1-k V ) K AE = 259.84 kN/m Spinta attiva in condizioni sismiche∆E E = E AE - E A = 56.02 kN/m Incremento sismico della spintaH E = 2H / 3 = 4.00 m Quota di applicazione di ∆E EH AE = (E A H A + ∆E E H E ) / E AE = 2.43 m Quota di applicazione di E AEEsercizio 4E' eseguito uno scavo sostenuto <strong>da</strong> un diaframma in c.a. secondo lo schema stratigrafico e geotecnicodi figura. Il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Si assuma γ w = 10 kN/m 3 .a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D.Utilizzando lo schema semplificato di calcolo all'equilibrio limite con spinta passiva a monte rappresentata<strong>da</strong> una forza concentrata al piede, e calcolando i coefficienti di spinta con l'equazione di Coulomb,determinare:b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva,c) le pressioni orizzontali sul diaframma e disegnarne il grafico,d) i valori massimi delle sollecitazioni di taglio e momento flettente nel diaframma.4
HDDsABz waqsabbiafinelimosabbiosoDati:H (m) = 5D (m) = 7s (m) = 0.8q (kPa) = 10z w (m) = 2a (m) = 4δ = φ' / 2 angolo d'attrito terra-mstrato 1) sabbia fine:γ 1 (kN/m 3 ) = 19φ' 1 (°) = 38k 1 (m/s) = 0.004C2 C1strato 2) limo sabbioso:γ 2 (kN/m 3 ) = 20φ' 2 (°) = 34coefficiente di permeabilità in direzione verticale k 2v (m/s) = 5.00E-06coefficiente di permeabilità in direzione orizzontale k 2h (m/s) = 1.50E-05Soluzione:a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D.coefficiente di permeabilità medio efficace per filtrazione in serie: k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i )i tratto d i (m) k i (m/s) d i /k i (s) ∆h i (m)1 A-B 2 4.0E-03 500 0.0002 B-C1 8 5.0E-06 1600000 1.5723 C1-C2 0.8 1.5E-05 53333.33 0.0524 C2-D 7 5.0E-06 1400000 1.375Σ i = 17.8 3053833 3k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) = 5.83E-06 m/scarico idraulico in A: h A (m) = 10 ∆h i = v d i /k icarico idraulico in D: h D (m) = 7perdita di carico tra A e D: ∆h = (h A - h D ) = 3mlunghezza di filtrazione tra A e D: L = Σd i = 17.8 mgradiente idraulico tra A e D: i = ∆h/L = 0.168539velocità di filtrazione tra A e D: v = k m i = 9.82E-07 m/sh = z + u/γ w punto z (m) h (m) u/γ w (m) u (kPa)h = carico idraulico A 10 10.000 0.000 0.00z = altezza geometrica B 8 10.000 2.000 20.00u/γ w = altezza di pressione C1 0 8.428 8.428 84.28C2 0 8.375 8.375 83.75D 7 7.000 0.000 0.00b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passivacoefficienti di spinta: attiva passiva σ = σ' + uφ' (rad) δ (rad) K A K P σ' h = K σ' vstrato 1 0.663 0.332 0.217 9.639 a monte K = K Astrato 2 0.593 0.297 0.256 6.767 a valle K = K P / Fpunto z (m) σ v (kPa) u (kPa) σ' v (kPa) σ' h (kPa) σ' hP (kPa)5
O 12 10 0.00 10.00 2.17A 10 48 0.00 48.00 10.42B (str. 1) 8 86 20.00 66.00 14.33B (str. 2) 8 86 20.00 66.00 16.93C1 0 246 84.28 161.72 41.47C2 0 140 83.75 56.25 380.65D 7 0 0.00 0.00 0.00OABz waH15 6782DC2C1D34pressioni neutrez91011pressioni orizzontali efficaciRArea forma base altezza superficie quota bar. momento(kPa) (m) (kN/m) (m) (kN m/m)1 triang. 20.00 2 20.00 8.67 173.292 rettang. 20.00 8 159.96 4.00 639.843 triang. 64.28 8 257.13 2.67 685.684 triang. -83.75 7 -293.14 2.33 -683.985 rettang. 2.17 12 26.06 6.00 156.366 triang. 8.25 2 8.25 10.67 88.037 rettang. 8.25 2 16.51 9.00 148.558 triang. 3.91 2 3.91 8.67 33.899 rettang. 14.75 8 118.04 4.00 472.1410 triang. 24.55 8 98.18 2.67 261.8211 triang. -380.65/F 7 -1332.26/F 2.33 -3108.61/F -380.65 -1332.26Forza R R 0 -3108.607Equilibrio alla rotazione intorno al piede del diaframma: 1975.61 -3108.61/F =0<strong>da</strong> cui: F = 1.57Area forma base altezza superficie quota bar. momento(kPa) (m) (kN/m) (m) (kN m/m)11 triang. -241.91 7 -846.69 2.33 -1975.612 ΣM = 0Equilibrio alla traslazione orizzontale: -431.7967 + R = 0<strong>da</strong> cui: R = 431.80 kN/m ΣH = 0c) le pressioni orizzontali sul diaframmapunto z (m) u (valle) u (monte) σ' h (valle) σ' h (monte) p h (kPa) t (kN/m) m (kNm/m)O 12 0.00 0.00 0.00 2.17 2.17 0.00A 10 0.00 0.00 0.00 10.42 10.42 12.60B (str. 1) 8 0.00 20.00 0.00 14.33 34.33 57.35B (str. 2) 8 0.00 20.00 0.00 16.93 36.92 57.35D 7 0.00 28.03 0.00 19.99 48.02 99.82C 0 -83.75 84.28 -241.91 41.47 -199.92 -431.806
z (m)121086420-300 -200 -100 0 100p h (kPa)d) i valori massimi di taglio e momento flettente.il taglio massimo è alle sezioni di pressione zero:1) in prossimità del piede del diaframma:z (m) = 0 t = R (kN/m) = -431.802) nel tratto infisso C-D alla quota:z (m) = 5.64 t (kN/m) = 132.38il momento massimo è alla sezione di taglio zero:z si determina risolvendo l'equazione: a z 2 + b z + c = 0a = 199.92 b = -2256.708c = 4874.242<strong>da</strong> cui:z (m) = 2.91 t (kN/m) = 0p h (kPa) = -96.84m = 555.55 kNm/mEsercizio 5Si consideri un terrapieno costituito <strong>da</strong> argilla satura caratterizzata <strong>da</strong> un peso di volume γ = 21 kN/m 3 ,<strong>da</strong> un angolo di resistenza al taglio ϕ' = 25° e <strong>da</strong> una coesione c' = 10 kPa. Il terrapieno e' sostenutoper la sua intera altezza, H = 6 m, <strong>da</strong> una parte verticale scabra dotata di un attrito δ = 3/4 ϕ'.Nell'ipotesi che sul terrapieno agisca un sovraccarico uniformemente distribuito q = 10 kPa e che il livellodi fal<strong>da</strong> sia a 3 m <strong>da</strong>l piano di campagna, determinare la forza risultante che il terrapieno esercita sullaparete ed il suo punto di applicazione.Dati:γ (kN/m 3 ) = 21ϕ' (°) = 25 0.436 (rad)c' (kPa) = 10H (m) = 6δ (°) = 18.75 0.327 (rad)q (kPa) = 10z w (m) = 3γ w = 9.81 (kN/m 3 )Soluzione:Si determina la tensione efficace verticale alla estremità superiore, A, ed inferiore della parete, C.e in corrispondenza della fal<strong>da</strong>, B, assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la fal<strong>da</strong>.assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la fal<strong>da</strong>.σ' vA (kPa) = 0.0σ' vB (kPa) = 63.0σ' vC (kPa) = 96.6Si determina il coefficiente di spinta attiva ad esempio adottando la soluzione di Coulomb:(superficie di rottura piana)K a = 0.36e quindi la distribuzione delle pressioni limite attive, comprensive del contributo del sovraccarico K a qσ' aA (kPa) = -8.4σ' aB (kPa) = 14.27
σ' aC (kPa) = 26.2<strong>da</strong> cui si ricava la profondità z 0 del punto O di annullamento delle pressioni limite attive:z 0 (m) = 1.11Si trascura a favore di sicurezza il contributo negativo delle pressioni limite attive e si calcola la risultantedelle pressioni limite attive tra O e B è pari a:S a1 (kPa) = 1/2 σ' aB (z w -z 0 ) = 13.38ed il braccio del punto di applicazione rispetto al piede della parete:x 1 (m) = H-z w +(z w -z 0 )/3= 3.63Invece tra i punti B e C agsicono le forze:S a2 (kPa) = σ' aB (H-z w ) = 42.58S a3 (kPa) = (σ' aC −σ' aB ) (H-z w )/2 = 18.05con i relativi bracci:x 2 (m) = (H-z w )\2 = 1.50x 3 (m) = (H-z w )\3 = 1.00Si calcola la spinta idrostatica ed il relativo braccio:S w (kPa) = 1/2 γ w (H-z w ) 2 = 44.15x w (m) = (H-z w )\3 = 1.00Quindi si determina la risultante delle azioni che il terrapieno esercita sulla parete e il relativo punto diapplicazione:P (kPa) = S a1 + S a2 + S a3 + S w = 118.16x P (m) = (S a1 x 1 + S a2 x 2 + S a3 x 3 + S w x w )/P= 1.488