La relazione geometrica che si stabilisce fra un punto appartenente ...

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FOTOGRAMMETRIA1. Preliminari - La relazione geometrica che si stabilisce fra un punto appartenente ad un oggetto riprodottoin un’immagine fotografica e il corrispondente punto sull’immagine può essere espressa affermando che ilsegmento che li congiunge passa per un punto P in prossimità del piano dell’immagine, detto centro dipresa(fig.1). La distanza p fra il centro di presa e il piano dell’immagine è detta distanza principale.Poichè lo scopo della fotogrammetria è la determinazione della posizione di punti nello spazio fisico a partiredalla loro posizione su immagini fotografiche, è chiaro che la relazione spaziale fra oggetto e immagine deveessere determinata con la massima precisione possibile. A tale scopo è necessario che su ogni immagine siadefinito un sistema di assi (visualizzato dalle marche impresse sui bordi dell’immagine) e che sia nota, oltrealla distanza principale, la posizione della proiezione ortogonale del centro di presa sul piano dell’immaginenel sistema di coordinate definito dalle marche (orientamento interno, fig.2).È quindi necessario che vengano utilizzate macchine fotografiche con caratteristiche particolari (camere metricheo semimetriche), che, oltre a consentire la determinazione del sistema di riferimento, sono dotate di uncertificato di calibrazione in cui sono riportati i parametri di orientamento interno. Inoltre, ovviamente, ènecessario che le deformazioni dovute all’ottica siano ridotte al minimo e modellizzate, in modo che possanoessere apportate le necessarie correzioni. Nelle macchine metriche il modello delle deformazioni è riportatonel certificato di calibrazione; il termine principale è radiale (dipende cioè solo dalla distanza dalla proiezionedel centro di presa) ed è espresso da un polinomio a potenze dispari:dove k 2


determinare la posizione di ogni punto sul piano dell’oggetto a partire dalla sua posizione sull’immagine, equindi ricostruire un’immagine in scala del piano stesso (fotopiano, fig.4). La stessa procedura applicata apunti che sull’oggetto si trovano fuori dal piano produce deformazioni nell’immagine.Le coordinate sull’immagine vengono misurate direttamente, nel sistema di riferimento definito dall’orientamentointerno; per determinare le coordinate sul piano dell’oggetto, in un sistema di assi definito localmente,è necessario eseguire misure topografiche. Poichè in generale le coordinate dei punti inserite nelle equazionisono affette da errori di misura, anche i parametri stimati sono affetti da errori. Se il numero di punti dicui è nota la posizione sia sull’immagine sia sull’oggetto è maggiore di 4, il sistema risultante ha un numeroridondante di equazioni e, a causa degli errori di misura, in generale non può essere risolto esattamente. E’però possibile ottenere valori approssimati dei parametri che minimizzano (secondo un opportuno criterio)gli scarti delle equazioni, e inoltre l’entità di tali scarti dà un’idea della grandezza degli errori di misura e dellivello di approssimazione ottenuto. La procedura di calcolo generalmente adottata è detta compensazionea minimi quadrati.Il raddrizzamento può essere eseguito direttamente sull’immagine anche se non si dispone di posizioni di puntisull’oggetto; in tal caso è necessario introdurre la posizione sull’immagine dei due punti di fuga (4 parametri),ricavabili come punti di incontro di linee ben individuabili sull’immagine e corrispondenti sull’oggetto asegmenti di rette parallele, di un punto che rimane fisso (2 parametri), e di un fattore di scala per ciascunodei due assi (2 parametri). Questa operazione viene eseguita automaticamente da molti programmi ditrattamento di immagini digitali. Tuttavia, dato che è necessario introdurre due distinti fattori di scala nelledirezioni dei due assi, in generale l’immagine risultante non dà una rappresentazione fedele dell’oggetto, ameno che i parametri introdotti non contengano un’informazione ricavata direttamente da misure sull’oggettostesso.3. Immagini digitali - Le immagini memorizzate per l’elaborazione informatica sono discretizzate, ossiasuddivise in un reticolo regolare di piccole aree (pixel, che significa picture elements), a ciascuna delle qualiviene attribuito un tono di grigio (per le immagini in bianco e nero) secondo una scala, anch’essa discretizzata,che, nelle applicazioni più comuni, contiene 2 8 = 256 livelli. Ogni pixel occupa quindi in memoria 8 bit =1 byte. Le immagini a colori risultano dalla composizione di un certo numero (ad esempio 3) di colorifondamentali, per ciascuno dei quali si ha una scala di 256 livelli. In questo caso, i livelli di colore sono 2 24 ,ossia circa 16 milioni. Tipicamente la risoluzione va da 300 a 3000 dpi (dots per inch, ossia punti per pollicelineare), ovvero da 12 a 120 pixel per mm. L’immagine è quindi rappresentata da una matrice numericala cui dimensione è data dal prodotto del numero di pixel di ciascuna colonna per il numero di pixel diciascuna riga. Ad esempio, un’immagine in bianco e nero delle dimensioni di 10cm × 15cm a 50 pixel permm, corrispondenti a circa 1250 dpi, occupa in memoria 100 ∗ 150 ∗ 50 2 = 37.5 ∗ 10 6 byte ≃ 35.8 Megabyte.Quando si esegue il raddrizzamento di un’immagine digitale, occorre tener conto che il trasformato di unpixel non è in generale un pixel: basta pensare che un rettangolo si trasforma in un quadrilatero i cui latinon sono paralleli. E’ quindi necessario definire con un opportuno algoritmo il tono di grigio da attribuire aciascun pixel dell’immagine trasformata. Ad esempio, si può attribuire a ciascun pixel il tono di grigio delpixel dell’immagine originaria a cui appartiene il punto il cui trasformato è il suo punto centrale, oppure,considerati tutti i pixel contenenti punti i cui trasformati appartengono ad un dato pixel dell’immagine raddrizzata,attribuire a quest’ultimo il valore medio dei loro toni di grigio. Queste procedure, dette procedure diricampionamento, modificano qualitativamente l’immagine e possono anche portare a un suo deterioramento.4. Costruzione del modello 3D - Per ottenere il posizionamento 3-dimensionale dei punti sull’oggetto ènecessario disporre di almeno due immagini dello stesso oggetto (fig.5). La procedura che si adotta è quelladella ricostruzione stereoscopica, basata sul fatto che le rette congiungenti punti omologhi sulle due immagini(ossia rappresentativi dello stesso punto sull’oggetto) con i rispettivi centri di presa devono incontrarsi (fig.6),e che, imponendo questa condizione, si ottiene sia il posizionamento relativo delle immagini, sia un modello3-dimensionale dell’oggetto. Questo stesso principio è alla base della sensazione di profondità che si ricavadalla visione con due occhi.La procedura, detta orientamento esterno, può essere schematicamente divisa in due fasi:la prima è2


Complessivamente, per n punti si scrivono 4n equazioni in 3n+5 incognite, corrispondenti a 3 coordinatespaziali per ogni punto, più i 5 parametri di orientazione. Di conseguenza, affinchè il numero di equazionisia almeno uguale al numero delle incognite, è necessario scrivere le equazioni di collinearità per almeno 5punti (in caso di ridondanza la soluzione viene cercata con il metodo dei minimi quadrati).In alternativa i parametri di orientamento relativo possono essere definiti nel seguente modo: fissate leposizioni dei due centri di presa, l’orientazione di ciascuna immagine è definita da 3 parametri, per un totaledi 6. Ma, una volta realizzato l’incontro delle rette, questo si mantiene se l’intero sistema è sottoposto ad unarotazione intorno alla congiungente i due centri di presa. E’ quindi possibile introdurre un parametro in menoper definire l’orientazione di una delle immagini, fissando arbitrariamente ad esempio il piano contenente laperpendicolare ad essa e la congiungente i centri di presa.5. Orientamento assoluto - Fissato il modello 3-dimensionale, i cui punti sono espressi nel sistema dicoordinate precedentemente stabilito, è necessario riportare il modello alla scala dell’oggetto e riferire lecoordinate ad un sistema di assi solidale con l’oggetto, eseguendo una roto-traslazione. Complessivamentedevono essere introdotti 7 parametri (1 di scala, 3 di traslazione e 3 di rotazione). Per visualizzare geometricamentela trasformazione, si supponga di conoscere le coordinate di due punti dell’oggetto in un sistemadi riferimento legato all’oggetto. È allora possibile far coincidere il primo di questi due punti con il puntocorrispondente sul modello mediante uno spostamento rigido, e si può fare la stessa cosa anche per il secondopunto, con un opportuno cambiamento di scala, ed imponendo la direzione della congiungente. Rimaneancora un grado di libertà, ossia una rotazione attorno alla congiungente i due punti, che può essere fissatoconoscendo ad esempio una coordinata di un terzo punto sull’oggetto non allineato con i primi due. A questopunto è completamente definita la trasformazione fra modello e oggetto, ed è possibile ricavare la posizionedi un qualsiasi punto sull’oggetto conoscendo la posizione del corrispondente punto sul modello, a sua voltaricavata dalle posizioni dei punti omologhi sulle due immagini.In generale si preferisce avere ridondanza, ossia disporre di un numero di punti noti (punti d’appoggio) innumero superiore a quello strettamente necessario. In questo caso si usa il metodo dei minimi quadrati perla stima dei parametri.6. Tecniche di restituzione - Nella pratica, si sono succedute nel tempo diverse tecniche per la ricostruzionedel modello 3-dimensionale (detta restituzione):- restituzione analogica: un’apparecchiatura detta stereocomparatore (fig.9) consente di realizzare meccanicamentel’orientazione relativa di due lastre, che riproduce quella che le lastre avevano al momento dello scatto.L’operatore attua manualmente i movimenti necessari, basandosi sulla visione stereoscopica realizzata da unbinocolo che consente di vedere con ciascun occhio una lastra diversa. Sempre meccanicamente è possibiledeterminare per ogni punto del modello la ”quota” corrispondente alla collimazione dei punti omologhi sulledue immagini, e quindi ricostruire il modello tridimensionale.- restituzione analitica: le due lastre sono in posizione fissa; la visione stereoscopica e il conseguente orientamentorelativo sono realizzati da movimenti dell’ottica. Le coordinate del modello tridimensionale, insiemecon i loro scarti quadratici medi, vengono calcolate da un computer collegato allo stereocomparatore partendodalle coordinate dei punti omologhi sulle lastre e dei punti di presa in un sistema di riferimento strumentalee risolvendo le equazioni di collinearità.- fotogrammetria digitale: le immagini sono in forma numerica e vengono visualizzate sullo schermo di uncomputer. Esistono dispositivi che consentono all’operatore, dotato di appositi occhiali, di vedere in rapidaalternanza l’immagine sinistra di una coppia stereoscopica con il solo occhio sinistro e l’immagine destra conil solo occhio destro, realizzando così la visione stereoscopica.L’aspetto più interessante della fotogrammetria digitale, tuttavia, non è la realizzazione sul computer delleprocedure tradizionali della restituzione fotogrammetrica, ma la possibilità di introdurre procedure automatichebasate sulle tecniche dell’analisi e della produzione di immagini digitali. Un aspetto fondamentale èl’introduzione di tecniche automatiche per l’individuazione di punti omologhi su due immagini che rappresentanolo stesso oggetto da due punti di vista diversi e, pur non essendo identiche, presentano forti correlazioni4


differenza può essere trattata come una quantità infinitesima. Dato che la lastra fotografica è rigidamentefissata al corpo dell’aereo, la sua orientazione dipende dall’assetto di volo, ed è descritta da 3 angoli, che ingenerale sono piccoli: un angolo ω di rotazione attorno all’asse x, che rappresenta una deviazione rispettoall’assetto orizzontale dell’aereo, un angolo φ di rotazione attorno all’asse y, che rappresenta una deviazionedella direzione di volo dal piano orizzontale, e un angolo κ di rotazione attorno all’asse z, che rappresentauna deviazione nel piano orizzontale rispetto alla direzione di volo prevista. Poichè le rotazioni commutanoal primo ordine di infinitesimo, quando gli angoli sono abbastanza piccoli è irrilevante l’ordine in cui lerotazioni vengono eseguite.8. Compensazione di un blocco fotogrammetrico8.1. Compensazione a modelli indipendenti - Si suppone di avere a disposizione modelli tridimensionalistereoscopici prodotti dall’orientamento relativo di coppie di immagini.Le osservabili sono le coordinate dei diversi modelli. Le coordinate sul terreno si ottengono dalle coordinatedei modelli mediante roto-traslazioni e cambiamenti di scala (trasformazioni a 7 parametri; ogni modello hala sua trasformazione). In generale un certo numero di punti sul terreno è comune a più di un modello (puntidi legame); è inoltre necessario che siano note le coordinate sul terreno di alcuni punti (punti di appoggio).Le coordinate sul terreno dei punti di legame, insieme con i parametri delle trasformazioni, costituiscono leincognite; le coordinate sul terreno dei punti di appoggio sono considerate fisse.Ad esempio, con riferimento alla fig.12, si hanno:- 4 modelli, quindi 7 × 4 = 28 parametri di trasformazione- 4 punti osservati per ogni modello, quindi 4 × 4 × 3 = 48 osservabili- 5 punti di legame, quindi 15 coordinate incognite- 4 punti di appoggio.Complessivamente si hanno quindi 48 equazioni di osservazione, con 28 + 15 = 43 incognite.Le equazioni (non lineari, e quindi da linearizzare) hanno la formar 0 + aRr mod − r = 0dove r mod sono le osservabili; r 0 , a e i 3 angoli contenuti in R sono parametri incogniti; r è incognitose r è un punto di legame, ed è invece noto se r è un punto di appoggio.8.2 Compensazione a stelle proiettive - I dati a disposizione (osservabili) sono le coordinate immaginedei punti di legame e dei punti di appoggio su tutti i fotogrammi, di cui si suppongono noti i parametri diorientamento interno (distanza principale e coordinate immagine della proiezione ortogonale del centro dipresa sull’immagine).Le incognite sono le coordinate sul terreno dei punti di legame, le coordinate dei centri di presa e i parametridi orientamento assoluto dei fotogrammi, che intervengono nelle equazioni di collinearità. Naturalmente nelleequazioni intervengono anche le coordinate note dei punti di appoggio sul terreno.Con riferimento all’esempio in fig.13- le osservabili sono 2 × 6 × 4 = 48;- le coordinate incognite sul terreno sono 3 × 4 = 12;- le coordinate dei centri di presa sono 3 × 4 = 12; i parametri di orientamento assoluto sono 3 × 4 = 12;- ci sono inoltre 4 punti di appoggio sul terreno.Complessivamente si hanno quindi 48 equazioni di osservazione, con 12 + 12 + 12 = 36 incognite.6

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