LA PROPAGAZIONE DELL'ERRORE - Circe

Passando alla forma matriciale si ottiene[( ) ( ( ))]t( ) ( )⎤[ ] ( )⎡( )Cxx = Cik = M xi− M xi⋅ xk − M xkt= M X − M X ⋅( X − M X ) M[ x x⎣⎢⎦⎥ = δ ⋅δ[24]]Cxx è la matrice di varianza-covarianza della variabile casuale X.3.3. Covarianza-varianza di una variabile stocastica funzione di una variabile stocasticaNel caso di una funzione lineareY = AX + b[25]Dato che M( Y ) = AM( X ) + b , sottraendo all’equazione l’equazione media, si ottiene( )( ) ( )Y − M Y = A X − M X[26]che è lo scarto della variabile Y.Per la covarianza CYY si ha:( ( )) ( )t( )⎤ ⎡( ( ))( ( ))C M Y M Y Y M Y M A X M X X M X tYYA t= ⎡ − −⎣⎢⎦⎥ = ⎣⎢− − ⎤⎦⎥[27]e per la linearità della media( ( )) ( )( )C AM X M X X M X tA tYYAC XXA t= ⎡ − − ⎤ = [28]⎣⎢⎦⎥ovvero legge di propagazione della varianza-covarianza per funzioni lineari.Si noti che se Y è uno scalare si ha:Y = a1X1 + a2X 2+ ... .. + a nXn+ l[29]in questo caso A è un vettore e CYY è uno scalare.tCYY = σ( 2 )= AC A a a CY XX= ∑ ik i k ik[30]Se Cik = 0 per i ≠ k, le componenti Xi sono indipendenti:∑ ∑ [31]2 2 2 2σ( )= a σY ii iCii= aii i ( X i )La propagazione dell’errore 7La formula appena vista fornisce il grado di dispersione di una grandezza Y funzione lineare di altre grandezze Ximisurate in modo indipendente.E’ infine possibile, come fatto per la media, generalizzare la legge di propagazione della covarianza nel caso incui Y non sia lineare nelle componenti Xi . Si ha:( )g XY = g( X ) → ≅ g( M ( X ))+ ⎡ ⎣ ⎢ ∂Y⎢ ∂X⎤⎥⎦⎥M X( )⋅( X − M ( X ))[32]

La propagazione dell’errore 8Applicando le formule del caso lineare, con JX Jacobiano della variabile X, si ha:CYY( )g X≅ ⎡ ⎣ ⎢ ∂ ⎤⎥⎢ ∂X⎦⎥M( X )⋅CXX( )g X⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ∂ ⎤⎥⎢ ∂X⎦⎥tM( X )tX XX X= J ⋅C ⋅ J[33]Se Y è uno scalare si ottiene:2σ( Y )( ) ⎞ ∂g( X )⎛ ∂g X= ⎜ ⎟ ⎛ ikik⎝ ∂Xi⎠ ⎝ ⎜ ⎞∑ ⎟∂XC[34]k ⎠Se Y Y ( X X )=1 2, (caso di due sole componenti) si ha:2σ( Y )( )( )( )∂g X2∂g X2∂g X= ⎛ σ∂( X )σ∂( XXX)2⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛⎠⎝ ⎜ ⎞⎟∂X⎠122( )⎛ ∂g X ⎞⎜ ⎟⎝ ∂X1 2 X1X2M2( )M1X ( X )M2 ⎠( X )M( X )[35]σ

La propagazione dell’errore 9Esempio n° A1Si voglia misurare un tavolo di lunghezza L superiore ai .2 m utilizzando un doppio metro. Considerandol’incertezza strumentale pari a ±0.005 cm calcolare l’incertezza della misura finale.Essendosi misurati i due tratti:a = 1.80 mb = 0.75 mla lunghezza L = a + b = 2.55 m( ) ( )σ = σ + σ = 0, 005 + 0, 005 = 0,00005= ± 0,00707mσ L2 2 2 2 2 L a bm2

La propagazione dell’errore 10Esempio n° B1Un edificio rettangolare presenta un lato a di 50 ± 0.10m e l’altro di 30 ± 0.05ma e b rappresentano due variabili indipendenti.Determinare:• Il perimetro e la sua deviazione standard o errore quadratico medioP = 2a + 2b = 2 ⋅ 50 + 2 ⋅ 30 = 160 m( ) ( )2 2 2 2 2 p a b m2σ = 4σ + 4σ= 4 0, 10 + 4 0, 05 = 0,05σ p= ± 0,223m• La superficie e il suo errore quadratico medioS = ab = 1500m2σσ S2222 2 2 2 2 2S a b a b∂S2 ∂S= ⎛ σ⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛ ∂a⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟∂b⎠σ = b σ + a σ = 15,25m= ± 3,9m• Il volume, se la sua altezza c è 25 ± 0.30mV = abc = 37500m3σσ v2( V )= 460,5m32∂V2 ∂V2 ∂V2= ⎛ σa σb σc⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛ ∂a⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛ ∂b⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟∂c⎠= bc σ + ac σ + ba σ = 212031m( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 6a b c• Determinare la correlazione fra la superficie ed il perimetroP = 2a + 2 b (lineare) scarti: V = 2V + 2 V2P a b∂SS = ab (non lineare) scarti: Va V ∂S= + V = bV + aV∂ ∂b M V V = M 2V + 2V bV + aV =[ ]2 2( 2a2a b2b a2b )( P S ) ( a b )( a b )= M bV + bV V + aV V + aV =S a b a b( a ) ( b a ) ( a b ) ( b )2 2= 2bM V + 2bM V V + 2aM V V + 2aM VOccorre ricordare che la media è un operatore come la sommatoria e quindi le “costanti” si possono estrarredalla sommatoria.Inoltre, per definizione, sappiamo che la media degli scarti al quadrato è la varianza, mentre la media del prodottodegli scarti è detta covarianza.M( V 2 )2= σ ; M( V V )= C = σi k ik ikNel nostro caso, data l'indipendenza tra a e b, Cik = 0 e quindi:( )M V V = 2bσ+ 2aσ2 2P S a bDeterminare la correlazione lineare r tra S e P.

La propagazione dell’errore 11rPS( P S )M V V 2bσa+ 2aσ= =σ σ σ σPS2 2bPS= 0,98• Determinare la correlazione tra superficie e volumeV= abc scarti: V∂Va V ∂Vb V ∂V= + + V = abV + acV + abV∂ ∂ ∂cV a b c a b c[ ]2 2 2( a a b a c2 2 2 2a b b b c )M( V SV V ) M ( bVa aVb )( abVc acVb bcVa)= + + + == M ab V + abcV V + ab V V ++ a bV V + a cV + a bV V == ab σ + a cσ2 2 2 2a bDeterminare la correlazione lineare r tra S e VrSV( )M VSVV= =σ σSV0,34• Supponiamo che tra a e b vi sia una correlazione lineare r = - 0.5 :calcolare la varianza del perimetro e della superficie e la loro correlazione2 2 2P a b( )σ = 4σ + 4σ+ 2⋅ 4 ⋅ M ab == 0. 05 + 8⋅r⋅σ⋅ σ = 0. 05 − 4 ⋅ 0. 005 = 0.03mab a b2 2 2 2 2 ∂S∂SσS = b σa + a σb+ 2⎛ M( ab)⎝ ⎜ ⎞⎟ ⎛ ∂a⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ + =∂b⎠= 15. 25 + 2 ⋅r ⋅ba ⋅σ⋅ σ = 15. 25 − 7. 50 = 7.75m( )ab b a2 2P S a ab a b ab a b bM V V = 2bσ + 2br σ σ + 2ar σ σ + 2aσ24rPS( )M VPVS= =σ σPS0,93

La propagazione dell’errore 12La correlazione tra a e b, nel caso visto, migliora le varianze, e geometricamente si ha un effetto di questo tipo(figura 2.1):Perimetro/Superficier = -0.5Perimetro/Superficier = +0.51) 2)Figura 2.11 - La superficie resta più vicina al valore dato, ma di forma diversa (varianza più piccola);2 - La superficie resta simile (varianza più grande).

−⎧σ x = cos α ⋅ σ D + D sen α ⋅ σα= 8.0940 ⋅10m⎨⎩σx = ± 0.0090 m = ± 9mm2 2 2 2 2 2 −5 2⎧⎪σ y = sen α ⋅ σ D + D cos α ⋅ σα= 2.8929 ⋅10m⎨⎩⎪ σy= ± 0. 0054m= ± 5.4mm2 2 2 2 2 2 5 2La propagazione dell’errore 14( cos α ) ( sen α ) αe y = ( sen ) D + ( cos )V = V + − D VxDV α V D α V α( x y ) = [( cos α ⋅D− sen α ⋅α )( senα ⋅D+ cos α ⋅α )]M V V M V D V V D VL'operatore media M( V iV j )δ δ genera prodotti nulli se le misure sono indipendenti; si esegue quindi, la mediadei prodotti degli scarti ovvero la somma degli scarti.M( V V )x y (2 2= M cos α senα ⋅ VD+ D cos α ⋅ VDVα+2 2 2D α α− D sen αV V − D sen α cos α ⋅ V =2 2 2( cos α sen α σDD sen α cos α σ α )= M ⋅ − ⋅2 = 2 2 = σ2αessendo, ovviamente, M( VD) σD, M ( Vα)( )−M VxVy= 3.6805 ⋅10 5 m2da cui r xy = 0. 7606 essendo, come già detto( )C = r σ σ = M V Vxy xy x y x yx e y sono fortemente correlate fra loro.• Supponiamo ora di tracciare un altro “braccio”, ovvero in topografia fare una poligonale.)YLQDαPβOHXFigura 2.3x = x + L cos β ; y = y + L sen βσQ2xP∂x2 ∂x2 ∂xσ σ∂∂ ∂β σ 2 ∂x∂x= ⎛ xLβ2 σx σLrx L⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛x ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛L⎠⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ ⎛ ∂x⎠⎝ ⎜ ⎞⎟ + ....∂L⎠Q P P PP2... + termini in r x P β , r β L22QPPSe calcolo gli scarti:

La propagazione dell’errore 15per∂xPx VD V ∂x PP→x=PD+ Vα∂ ∂α(calcolato come visto)per L → V L(perché misurato)per β →V β(perché misurato)si ottiene:⎡⎛∂M( V V ) M x PD V ∂x P ⎞ ⎤x L=P ⎢⎜D+ Vα ⎟ VL⎣⎝∂ ∂α ⎠⎥ =⎦⎡∂M x PD V V ∂x P ⎤=⎢ D L+ V V⎥⎣ ∂ ∂α ⎦=e, analogamente,( x P β ) ( β L )M V V = M V V = 0Pertanto:α L0⎧⎪σx = σx + cos α ⋅ σL+ D sen α ⋅ σQPα= 10.0878⋅10⎨σx= 0.0100m= 10mm⎩⎪ Q⎧⎪σy= σy+ sen a ⋅ σL+ D cos a ⋅ σQPα= 115628 . ⋅10⎨σy= 0. 0108m= 10,8mm⎩⎪Q2 2 2 2 2 2 −5 22 2 2 2 2 2 2 −5E' ovvio che x Q e y Q sono fra loro correlate: si tratta nuovamente di calcolare V x Q, V y Q.Ma l'importanza del coefficiente di covarianza si vede, ad esempio, nel calcolo dell'area del triangolo OPH(figura 2.4).mYPDyαOxHXFigura 2.4A x P⋅ y P= = 20.4175m22σ2Aσ A∂A2 ∂A∂A∂A= ⎛ σxσy2Cxy0 0017mPP⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛∂x⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞⎟ + ⎜ ⎟ ⎛ ∂y⎠ ⎝ ∂x⎠ ⎝ ⎜⎞⎟ = .∂y⎠P2= 0.0418m2P22 4PP

La propagazione dell’errore 162.4.3. Esempio n° B3Come è noto un triangolo è determinato quando tre dei suoi elementi (uno almeno lineare) sono conosciuti. Inquesto caso sono stati misurati due lati e l’angolo compreso (figura 2.5).CaβbBcASia:Figura 2.5a = 1.000m , c = 1.500m , β = 50 gσ dσ a( 3 2 [ ])= +D Km mm= 5 mm , σ c= 6 mm , σbccgπ= = . = ⎛ ⎞5 0 0005 ⎜0.0005⋅⎟⎝ 200 ⎠Determinare:1. la misura del lato b e la sua varianza;2. la superficie S del triangolo e la sua varianza;3. la correlazione esistente tra la misura del lato b e la superficie S.• Calcolo della superficie S :1S = ⋅a ⋅c ⋅sen β = 530330.0859m22• Calcolo della varianza della superficie S :σ2 = J ⋅C ⋅ JtS S acβSRAD∂S∂S∂S1 1 1JS = = ⋅c ⋅sen β ⋅a ⋅senβ ⋅a ⋅c⋅ cos β =∂a∂c∂β 2 2 2= 530. 33 353. 55 530330.09C ac βσ2a0 02c= 0 σ 0 =0 0σ0.000025 0 00 0.000036 02 −11β 0 0 6.1685028 ⋅10σ 2 S= 28.8802m4σ S= ±5.3740m2S = 530330. 08 ± 5.37m2• Calcolo della misura del lato b :Dal teorema di Carnot si ricava b 2 :

2 2 2b = a + c − 2 ⋅ a ⋅c⋅cos βb= 1062.3934mLa propagazione dell’errore 17• Calcolo della varianza di b :∂b∂b∂b 2 a c c a a cJS = = ⋅ − 2 ⋅ ⋅ cos β 2 ⋅ − 2 ⋅ ⋅ cos β 2 ⋅ ⋅ ⋅ sen β=∂a∂c∂β 2b2b2bC ac β− 2= − 5. 7098 ⋅10 0. 74632 998.3686σ2a2c= 0 σ 0 =0 00 0 0.000025 0 0σσ 2 − 5b= 8.1618⋅10m2σ b−= ± 9.0342 ⋅10 3 mb = 1062. 39m ± 9.03mm0 0.000036 02 −11β 0 0 6.1685028 ⋅10• Calcolo della correlazione tra la misura del lato b e la superficie S :σr bS⎛ a − c ⋅cos β ⎞ ⎛ c ⋅sen β ⎞ c a β a β σ2 ⎛ − ⋅cos ⎞ ⎛ ⋅ sen ⎞= ⎜ ⎟ ⋅⎜σ2⎟ ⋅ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ +⎝ b ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ 2 ⎠⎛ a ⋅c⋅ sen β ⎞ ⎛ a ⋅c⋅cosβ ⎞ 2+ ⎜ ⎟ ⋅⎜⎟ ⋅ σβ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠σbS= = 0. 8528 = 85. 2%σ ⋅σbs a cbSIl lato b e la superficie S sono ben correlati.

Esempio n° B4In questo esempio siano noti del triangolo due angoli ( α β ), e il lato compreso (figura 2.6).La propagazione dell’errore 18CaγbBβcαAFigura 2.6Sia:c = 1000 m , α = 50 g , β = 70 g , σ = σ = 0.001σ d( 5 3 [ ])= +D Km mmDeterminare:1. la misura del lato a e la sua varianza;2. la misura del lato b e la sua varianza;3. la misura della superficie S e la sua varianza;4. la correlazione tra il lati a e b.• Calcolo della misura dei lati a, b e della superficie S :g g g gγ = 200 − 50 − 70 = 80π−σ = σ = 0. 001⋅ = 1.5708 ⋅10 5200αβσ c= 8mm = 0.008mDal teorema dei seni si ricava:c b a= =sen γ senβ sen αa c senα= ⋅ = 743.4961sen α + βm( )sen βb = c ⋅ = 936.8597 msen( α + β )( α + β)RAD11 senα⋅ sen βS = ⋅a ⋅b ⋅ senγ= ⋅c ⋅ = 331229.9241m22 sen2 2• Calcolo della varianza della misura di b :σ2 = J ⋅C ⋅ Jtb b cβαbαβg

∂b∂b∂bJb = =∂c∂β ∂αsen β c cos β sen( α + β ) − sen β cos ( α + β)⎛ − cos +=c senβ2sen( α + β)sen ( α + β)⎜ 2⎝ sen= 0. 936859701734 781. 758030339419 − 304.404169700233C c βασ2c2β= 0 σ 0 = 0 2.467⋅10 00 00 0 0.000064 0 0σ2α−100 0 2.467 ⋅10−10( α β)( α + β )⎞⎟⎠La propagazione dell’errore 19σ 2 − 4b= 2.2983 ⋅10m2σ b−= ± 1.5160⋅10 2 mb = 936. 85297m ± 0.0151m• Calcolo della varianza della misura di a :σ2 = J ⋅C ⋅ Jta a cβαa∂a∂a∂aJa = =∂c∂β ∂αC c βα( )( α + β )( + ) − ( + )sen ( α + β)sen α − c cos α + β sen α cos α sen α β sen α cos α β=c2 2sen( α + β ) sen= 0. 743496068920 241. 576516863966 985.072585784335σ2c2β= 0 σ 0 = 0 2.467⋅10 00 00 0 0.000064 0 0σ2α−100 0 2.467 ⋅10−10σ 2 − 4a= 2.8921⋅10m2σ b−= ± 1.7006⋅10 2 ma = 743. 4960m ± 0.0170m• Calcolo della correlazione tra i lati a e b :CabM M−⋅⋅⋅ Ja⋅⋅⋅= Cc Ja Jb⋅⋅⋅ Jb⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ = 0. 2892 ⋅10 0.1652⋅10βα−0. 1652⋅10 0.2298 ⋅10M M3 − 33 −3σ=σ2aabσσab2br abσab=σ ⋅σab= 0. 6406 = 64%I lati a e b sono ben correlati.• Calcolo della varianza della superficie S :σ2 = J ⋅C ⋅ JtS S cβαS

La propagazione dell’errore 20tSJC c βα∂S∂c∂S= =∂β∂S∂ασ2c1c221c22βsen α ⋅senβc ⋅sencos β ⋅ sen α + β − sen β ⋅ cos α + β⋅senα ⋅2( α + β )( ) ( )(2sen ( α + β )+ ) − ( + )2sen ( α + β )cos α sen α β sen α cos α β⋅ sen β ⋅= 0 σ 0 = 0 2.467⋅10 00 00 0 0.000064 0 0σ2α−100 0 2.467 ⋅10−10622.4598= 276393.2023438853.0504σ 2 S= 94.4560m4σ S= ±9.7188m2S = 331229. 92m ± 9.71m2 2

La propagazione dell’errore 212.4.5. Esempio n° B5Supponiamo di rilevare un terreno con il classico metodo topografico per coordinate polari un teodolite e undistanziometro, secondo lo schema della figura 2.7:l 1α 1 l2α 2d 1d 2l 3d 3Figura 2.7Siano noti:d1 , d2, d3distanze misuratel1, l2, l3letture al teodoliteα = l − l ; α = l − l1 2 1 2 3 2σ = σ = σ = σd i d1 d 2 d 3σ = σ = σ = σl i l 1 l 2 l 3Determinare la superficie S e la sua varianza.Per la metodologia operativa possiamo ritenere le tre distanze indipendenti tra loro, così come le tre direzioniangolari. Gli angoli α1 e α2 non sono invece indipendenti tra loro avendo in comune l2.• La superficie del terreno è data da:11S = ⋅d ⋅d ⋅ sen α + ⋅d ⋅d⋅ sen α221 2 1 2 3 22• La varianza di S, σ( S ) è data da:dove2σ ( S )=22⎡⎛∂S⎞ ∂S∂S⎜ ⎟ + ⎛⎝ ∂d1⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛∂d2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎢⎟⎢∂d3 ⎠⎣∂S ∂S + 2⎛ C α1α2⎝ ⎜ ⎞⎟ ⎛ ∂α ⎠ ⎝ ⎜⎞⎟∂α ⎠1 22⎤⎥σ⎥⎦2d∂S2 ∂S2+ ⎛ σασ1 α2⎝ ⎜ ⎞⎟ + ⎛∂α ⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ +∂α ⎠1222∂S1 ∂S1 1= d 2 sen α1, = d1 sen α1 + d 3 sen α2,∂d12 ∂d22 2∂S1∂S1= d 1d2 cos α1, = d 2d3 cos α2∂α 2∂α 212∂S∂d31= d sen α22 2

2 1 2 2 2 2 2 22 2( ) [ dS 2sen1d1sen1d3sen22d 1d2 sen1sen2d2sen24]1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2[( d1d2cos α1) σα ( d2d3cos α2)σα ] d1d 2d3 cosα1cosα2Cαα421{[ ( d1 d ) α ( d d ) α d d α α ]2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2= + sen + + sen 2 + 2 1 2 sen 1 sen 2 σd+42 2 2 2 2 2 2 2 2+ ( d1d2cos α1) σα + ( d2d3cos α2) σ + 2d 1d 2d 3cos1cos2C1 αα α2 αα 1 2}2σ = α + α + α + α α + α σ ++ + + =1 2 1 2dLa propagazione dell’errore 22Occorre calcolare σ, σ ,Cα1 α 2 α1α22 2α1 = l 2 − l 1 → σα= 2σl , α2 = l 3 − l 2 → σα= 2σlCVV( )= M V Vα1α2 α1 α21∂α1∂α1= Vl + Vl → Vα= Vl − Vl∂l2∂l1∂α2∂α2= Vl + Vl → Vα= Vl − Vl∂l∂lα 1 2 1 1 2 1[ ] ( )( ) ( )( )2 2α 3 2 2 3 2322 2 2l l l l l l lM V α V α= M V − V V − V = M − V = − σ = − σ1 2 2 1 3 2 2 22La σ( S ) diventa allora:2 1 2 2 2 2 2 22 2( ) [ dS 2sen1d1sen1d3sen22d 1d 2sen1sen2d2sen24]1 2 2 2 2 2 2 2 2 2( d1d2α1) σl ( d2d 3α2) σl ( d1d 2d3 α1 α2) σl4 2 cos 2 cos 2 cos cos1 2 2 2 2 2 22= [( d 1 + d 2 ) sen α1 + ( d 2 + d 3 ) sen α2 + 2d 1d2 senα1 senα2] σd+41 2 2 2 2 22+ d2 [ d1cos α1 + d3cos α2 −d1d 3cos α1 cos α2] σl2σ = α + α + α + α α + α σ +22[ ]+ + − =2d

2.4.6. Esempio n° 6Vediamo il medesimo esercizio risolto facendo uso dello Jacobiano.La propagazione dell’errore 23C = J ⋅C ⋅ JtSS S α d StCαα = Jl ⋅ Cll ⋅ JlCllσ2l0 02l= 0 σ 0 = σ0 0σ2l2l= − 1 0 0 − 1 01 1 00 − 1 10 0 1 0 1I, J l= − 1 1 00 − 1 12 2Cαα 0 1 0 1 − 1σ l= σlCαα= σ22 − 1l− 1 2− 1 0− 1 1 01 − 1 =0 − 1 10 1Cddσ2d0 02d= 0 σ 0 = σ0 0σ2dS S SJS = ∂ ∂ ∂∂α ∂α ∂d2dI∂S∂d2 22σl− σl2 2− σl2σl, Cαd=0 σ∂S∂d1 2 1 2 32d00 00 σ 02d0 0JS = 1d d cos α d d cos α d senα d senα + d senα d senα21 2 1 2 3 2 2 1 1 1 3 2 2 2σ2dCSS= JS21σlα σ α21 2− σl1 2α1+ σlα21 2σl( d 2 senα1)21 2σl( d1 sen α1 + d 3 senα2)21 2σl( d2senα2)22( d1d2 cos1) −l ( d2d3cos2)2( d d cos ) ( d d cos )2 3 212CSS = d d α σl − d d d α α σl − d d d α α σl+24412 2 12 2 12 2+ ( d2d 3cosα2) σl + ( d2 senα1) σd + ( d1 senα1 + d3senα2) σd+24412 2+ ( d2senα2)σd=42 2 1 22 1 2( 1 2cos1) ( 1 2 3cos 1cos2) ( 1 2 3cos1cos2)2 2 2 2 2 22 2[ 2 sen 1 1 sen 1 3 sen 2 2 1 3sen 1sen 2 2 sen 2]2 2 2 22 2 2 2[ d1d2cos α1 d1d2d3cos α1 cosα2 d2d3cosα2] σl12CSS= d α + d α + d α + d d α α + d α σd+41+ − + =2

2 2 2 2 2 2[( 1 2 ) sen1 ( 2 3 ) sen221 3sen1sen2 ]2 2 22 2 2d 2 [ d1cos α1 d1d 3 cos α1cos α2 d 3 cos α2] σl12CSS= d + d α + d + d α + d d α α σd+41+ − +2La propagazione dell’errore 24