要約（訂正版） - C-faculty

逆 関 数 の 微 分 は, つぎの 通 り:(4.1)¡f −1 (x) ¢ 0=1f 0¡ f(x) ¢.4.2 代 表 的 な 関 数 とその 微 分 /テイラー 展 開よく 使 われる 初 等 関 数 を 列 挙 する:(i) 代 数 関 数 : a (a 6= 0)を 実 定 数 として f(x) ≡ x a , x ∈ R 1 .(ii) 指 数 関 数 : f(x) ≡ e x , x ∈ R 1 . ( f(x) =exp{x} とも 書 く. )ここで e =2.71828 ···われる) と 呼 ばれる.は“ ネイピア 数 ”(“ オイラー 数 ”や“ 自 然 対 数 の 底 ”とも 言(iii) 対 数 関 数 : 指 数 関 数 f(x) =exp{x} の 逆 関 数 f −1 (y) は y>0 にたいして 定 義 されている. x, y を 入 れ 替 えたこの 逆 関 数 は, とくに, f −1 (x) =logx, x > 0, と 記 述 し, 対 数 関 数と 呼 ぶ.(iv) 三 角 関 数 : sinx, cosx, tanx, x ∈ R.例 4.1 ( 微 分 の 例 ). a, b, c は () 内 の 条 件 を 満 たす 定 数 とする.(i)(ii)(iii)(iv)(v)(vi)(vii)(viii)¡c¢ 0=0.¡xa ¢ 0= ax a−1 , ( a 6= 0).¡eax ¢ 0= ae ax , (e= ネイピア 数 , a 6= 0).¡bax ¢ 0=¡a log b¢b ax , ( a 6= 0, b > 0).¡ ¢ log |x|a 0 a = , ( a 6= 0).x¡ ¢ 0sin ax = a cos ax, ( a 6= 0).¡ ¢ 0cos ax = −a sin ax, ( a 6= 0).¡ ¢ 0 atan ax =cos 2 ,ax( a 6= 0). ¦例 4.2 (テイラー 展 開 の 例 ). (i) 指 数 関 数 e x の 0 を 中 心 としたテイラー 展 開 は,(4.2)e x =1+x + x22!+ ···+xnn! + ··· .(ii) 対 数 関 数 log(1 + x) の x =0を 中 心 としたテイラー 展 開 は(4.3)log(1 + x) =x − x22(iii) 三 角 関 数 の x =0を 中 心 としたテイラー 展 開 は,+ ···+(−1)nxnn + ··· .(4.4) sin x = x − x33! + x55! + x 2n−1···+(−1)n−1 (2n − 1)! + ··· .(4.5) cos x =1− x22! + x4x2n+ ···+(−1)n−14! (2n)! + ··· . ¦6