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Parte IIAerodinamica del rotore

Capitolo 5Il rotore in hovering5.1 Teoria impulsiva per il rotore in hoveringUna condizione di funzionamento fondamentale del rotore è il cosiddetto hoveringche consiste essenzialmente in un rotore in grado di generare trazionementre è investito da una corrente di velocità asintotica nulla. Questa condizioneè perfettamente equivalente al funzionamento di un’elica a punto fisso.L’importanza dell’hovering per un rotore è tale che esso può essere consideratola caratteristica che lo identifica e contraddistingue: il rotore è quella macchinaa fluido in grado di generare una forza di sostentazione (in genere verticale)anche quando la velocità relativa della corrente fluida è nulla.Le teorie impulsive illustrate nel Capitolo 1 sono state derivate nell’ipotesidi flusso quasi unidimensionale e trascurabilità della contrazione della scia. Inmaniera analoga alla teoria quasi-unidimensionale dell’ugello in cui le condizionidi ristagno sono caratterizzate da una sezione del tubo di flusso di area infinita,le teorie impulsive possono essere estese al rotore in hovering (o applicate ancheper l’elica a punto fisso) considerando V ∞ = 0 e la sezione del tubo di flussoall’infinito a monte di area infinita. Sul rotore, ancora una volta schematizzatocome un disco attuatore, è presente un’induzione media (in questo caso tutta lavelocità) pari a w, mentre all’infinito a valle essa è pari a 2w se consideriamoil rotore infinitamente lontano dal suolo (ipotizziamo cioè trascurabile l’effettosuolo).È possibile descrivere con le teorie impulsive anche la condizione di funzionamentodel rotore in salita, caratterizzata, nelle nostre convenzioni da V ∞ > 0(cfr. figure 5.1 e 5.2), mentre una più attenta analisi, come vedremo, è richiestaper la descrizione del funzionamento del rotore in discesa. Indicando con w hl’induzione sul disco del rotore in hovering, le relazioni (1.11) e (1.12) diventanooppure, in termini adimensionali:T = 2ρw 2 hA, P = 2ρw 3 hA; (5.1)T c = 2λ 2 i , Q c = T 3 2 c√ ; (5.2)2dove λ i = w h /(ΩR).

50 Il rotore in hoveringTwh2 whFigura 5.1: Il rotore in hovering nel modello della teoria impulsiva.In generale, sia in hovering che in salita, il rotore è caratterizzato da un rapportodi funzionamento molto prossimo a 0 per cui ϕ ≪ 1. Inoltre, nel paragrafo2.6, abbiamo visto che un’elica ottima, per rapporti di funzionamento molto piccoli,è caratterizzata da fattori di interferenza rotazionali a ′ ≈ 0; questo implicache un rotore progettato correttamente, in hovering può essere descritto efficacementedalla teoria impulsiva semplice e l’introduzione della teoria impulsivagenerale non si rende necessaria.5.2 Teoria dell’elemento di pala per il rotore inhoveringPer quanto detto nel precedente paragrafo, si considerano valide le seguentiipotesi:1. ϕ ≪ 1,2. a ′ = 0.Particolarizziamo quindi a questo caso la teoria generale dell’elemento di paladescritta nel paragrafo 2.3. La prima delle relazioni (2.16) diventa(λ 1 ≈ c l − c d ϕ = c l 1 − ϕ ), (5.3)E

5.2 Teoria dell’elemento di pala per il rotore in hovering 51V8TV8+ whV8+ 2whFigura 5.2: Il rotore in salita nel modello della teoria impulsiva.con E l’efficienza aerodinamica dell’elemento di pala. Se l’elemento lavora, come1è auspicabile, in condizioni di alta efficienza,E≪ 1 per cuiλ 1 ≈ c l = c lα (θ − ϕ), (5.4)con il calettamento θ misurato rispetto alla retta di portanza nulla del profilo.Un’altra semplificazione importante si ottiene imponendo l’ipotesi 2 nellarelazione (2.19):V e = Ωr(1 − ) a′ ≈ Ωr; (5.5)cos ϕper cui, uguagliando la prima delle (2.18) alla (1.22) si ottiene(Nc2πr (Ωr)2 c lα θ − V )∞ + w= 4(V ∞ + w)w, (5.6)Ωrrelazione in cui si è posto ϕ ≈ (V ∞ + w)/(Ωr).Ponendo µ = V ∞ /(ΩR), λ i = w/(ΩR) e σ = Nc/(πR) si ottiene (ϕ ≈µ/¯r + λ i /¯r): (λ 2 i + σ)σ(µ + c lα λ i − ¯r c lα θ − µ¯r)= 0, (5.7)88equazione di secondo grado nell’induzione λ i di cui si sceglie la radice positiva.Nel caso di rotore in hovering o in salita (lenta) è possibile ottenere l’induzioneassiale sull’elica in forma esplicita.È quindi possibile ricavare le prestazioni del rotore mediante un’unica tabellacome nell’esempio di tabella (5.1).

52 Il rotore in hovering¯r θ ( 0 ) σ λ ϕ ( 0 ) α ( 0 ) c l c d dT c/d¯r dQ c/d¯r0.132 13.3 0.0580 0.0205 8.91 4.43 0.440 0.0110 0.0127 0.00230.263 12.7 0.0580 0.0325 7.09 5.60 0, 557 0.0124 0.0644 0.01730.395 12.0 0.0580 0.0413 6.00 6.03 0.599 0.0129 0.156 0.05230.526 11.4 0.0580 0.0481 5.24 6.13 0.609 0.0131 0.282 0.1090.724 10.4 0.0580 0.0557 4.41 5.97 0.594 0.0129 0.519 0.2310.855 9.72 0.0580 0.0594 3.98 5.74 0.571 0.0125 0.697 0.3301.000 9.00 0.0580 0.0624 3.58 5.42 0.539 0.0121 0.900 0.447Tabella 5.1: Calcolo delle prestazioni in hovering di un rotore mediante la teoriadell’elemento di pala. N = 3, R = 7.60m, µ = 0.L’espressione della spinta diventaper cuiEssendo:T = 1 2 ρ Ω2 R 2 AT c = 1 2∫ 10∫ 1dQ = Nr(dD + ϕ dL) ≈ NrdD + rϕdt,0σ c l¯r 2 d¯r, (5.8)σ c l¯r 2 d¯r. (5.9)con NdD = Nc d12 ρ(Ωr)2 cdr = σ 2 ρ A R2 Ω 2 c d ¯r 2 d¯r, si ottienee quindiP = QΩ = 1 ∫ 12 ρ AΩ3 R 3 σ(c d + c l ϕ)¯r 3 d¯r (5.10)Q c = 1 2∫ 100σ(c d + c l ϕ)¯r 3 d¯r, (5.11)in cui si nota un contributo parassita ( che dipende dal c d ) ed uno indotto (chedipende dal c l ).Anche per il rotore in hovering si può tenere conto delle perdite di estremitàmediante la funzione di Prandtl F (vedi paragrafo 2.7). In alternativa vienespesso schematizzato il fenomeno come una riduzione del raggio effettivo delrotore:T c = 1 2∫ B0σc l¯r 2 d¯r, (5.12)con B ≈ 0.97. Una tra le tante espressioni di B suggerita in letteratura èB = 1 −√2N T c. (5.13)Le perdite di spinta comportano una diminuzione del 5-10% della spinta; inoltre,a parità di T c le perdite di estremità comportano un aumento di λ i e, diconseguenza, della potenza indotta (2-3%).

5.3 Il rotore ideale 535.3 Il rotore idealeNell’ipotesi di trascurabilità dell’induzione rotazionale è già stata trovata nelparagrafo (1.3) una condizione di ottimo in base alla teoria impulsiva: w(r) =costante, che ci consente di definire il rotore in grado di minimizzare la potenzaindotta.La relazione (5.6) per V ∞ = 0 si scrive:Nc2π Ω2 rc lα(θ − w )= 4w 2 . (5.14)ΩrImponendo w costante ed essendo c lα (r) praticamente costante, una possibilecondizione di ottimo si ottiene per c(r) = costante e θr = costante, cioè conun rotore di forma in pianta rettangolare ed una distribuzione di calettamentoiperbolica:θ(¯r) = θ t¯r . (5.15)Questo rotore, che minimizza con una forma in pianta molto semplice, la potenzaindotta in hovering viene detto rotore ideale.L’angolo di inflow diventa ϕ = ϕ t /¯r con ϕ t = λ i .L’epressione del coefficiente di spinta per il rotore ideale è:T c = 1 ∫ 12 σ c l ¯r 2 d¯r = σ 4 c l α(θ t − ϕ t ). (5.16)0Tenendo conto delle (5.2) e della (5.16) si ottiene invece la seguente espressionedel coefficiente di potenza:Q c = σ 8 ¯c d + T c3/2√ , (5.17)2dove con ¯c d si è indicato il coefficiente di resistenza medio lungo il raggio dellapala.5.4 Il rotore ottimoIl rotore ideale è stato ottenuto richiedendo la minimizzazione della potenza indottae non di tutta la potenza, per cui probabilmente è ottenibile una macchinapiù efficiente se si richiede che anche le perdite parassite siano minime.Questo risultato si ottiene imponendo nella (5.14) che non solo w(r) =costante ma anche che l’angolo effettivo dell’elemento di pala α(r) = α opt siacostante con r e tale da minimizzare le perdite viscose.È facile verificare con la relazione (5.14) che questo risultato è ottenibileanche se non è più possibile con una pala rettangolare ma è necessario che:c lα (r) = costante , c(r) = c t¯r, θ(¯r) = α opt + ϕ t¯r . (5.18)Il rotore caratterizzato da questa geometria viene detto rotore ottimo inhovering.Le espressioni dei coefficienti di spinta e potenza diventano in questo casoT c = σ t4 c l (5.19)

54 Il rotore in hoveringeQ c = σ t6 c d + T c3/2√ . (5.20)2Un confronto tra la (5.20) e la (5.17) non è immediato. Introducendo una soliditàequivalente del rotore ottimo definita attraverso la relazioneT c = 1 2∫ 10σ c l ¯r 2 d¯r = σ ec l2∫ 10¯r 2 d¯r, (5.21)si ottiene (tenendo conto che il confronto di questa con la (5.20) porta a σ t =23 σ e):Q c = σ ec d9+ T c3/2√ , (5.22)2cioè un rotore ottimo di solidità equivalente pari alla solidità di un corrispondenterotore ideale ha una potenza parassita inferiore dello 11%.Si noti comunque che c(r) → ∞ per r → 0 per cui esistono dei limiti praticicostruttivi di un rotore ottimo.5.5 Il rotore realeNelle realizzazioni pratiche, in genere, si preferisce utilizzare una più semplicedistribuzione di calettamento, per cui, a parte i limiti teorici dell’espressione(5.2) la potenza indotta del rotore risulta maggiore di un fattore k; nel caso didistribuzione di calettamento lineare con r si ha che k ≈ 1.13. ÷ 1.15. Se siindica con σ una solidità media del rotore (da non confondere con la soliditàequivalente σ e del rotore ottimo) è possibile scrivere, per un rotore reale:Q c = σ ¯c d8 + k T c3/2√ (5.23)2La curva Q c (T c ) viene detta polare in hovering del rotore. Nella Figura 5.3 sonoconfrontate le polari in hovering per un rotore ideale, rotore ottimo e rotorereale con distribuzione lineare del calettamento. Sovente in letteratura le polariin hovering vengono espresse in termini di Q c /σ = q c e T cσ = t c; si noti comet c e q c rappresentino i coefficienti di spinta e potenza in cui si è utilizzata comesuperficie di riferimento la supeficie effettiva del rotore A r = NcR.5.6 La cifra di meritoEssendo V ∞ = 0 la definizione di rendimento dell’elica (η = T V ∞ /P ) non può,chiaramente essere applicata al rotore in hovering. In questo caso la valutazionedelle prestazioni di un dato rotore è agevolata introducendo la cifra di merito:F M = P i minP= T 3/2c / √ 2Q c, (5.24)dove con P imin si è indica sono la risultare indotta minima possibile. Chiaramentemaggiore è F M, migliori le caratteristiche del rotore.

5.6 La cifra di merito 550.001Qc0.00080.00060.00040.000200 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01TcFigura 5.3: Coefficiente di potenza in hovering in funzione del coefficiente dispinta; ¯c d = 0.01, σ = 0.1. ——- : rotore reale (k = 1.13); · · ·: rotore ideale;− − −: rotore ottimo.L’utilizzo della cifra di merito nel confronto di più rotori richiede però qualchecautela. Due parametri molto importanti nel dimensionamento sono il diskloading (T/A) ed il power loading (T/P ); questi due parametri sono dimensionalie, chiaramente, a parità di spinta T , maggiore è T/P migliore è l’efficienzadella macchina. Dalla definizione di F M(5.24) e dalle (5.1) si ricava:F M = √ 1√T T2ρ P A , (5.25)( √T/A, )cioè nel piano T/P i rotori di pari F M sono individuati da una iperbole.È facile verificare disegnando in questo piano due curve con differente F Mche aumentare F M porta ad un aumento di T/P solo se T/A è fissato; quindi lacifra di merito consente di confrontare le prestazioni di due rotori solo a paritàdi T/A.Nel caso di un rotore reale la dipendenza di F M da T c è nota se è nota lapolare in hovering:Tc3/2√2F M =σ8 ¯c d + k T , (5.26)c3/2√2vedi figura 5.4.

56 Il rotore in hoveringFigura 5.4: Cifra di merito in funzione del coefficiente di spinta (Leishman,2000).F M chiaramente aumenta con T c in quanto le perdite parassite diminuisconoin proporzione rispetto a quelle indotte. Fissato T c è possibile miglioraresignificatamente F M agendo su σ e ¯c d .L’aumento di efficienza al diminuire del c d degli elementi di pala è ovvio, unpó meno che F M migliori al diminuire di σ 1 . Anche per questa ragione neirotori reali degli elicotteri in genere la solidità è bassa (σ ≈ 0.1).Si nota però che, indicando con ¯c l il coefficiente di portanza medio lungo lapala e σ la solidità media dalla (5.9) si ottiene¯c l = 6 T cσ , (5.27)cioè, tenendo conto che c lα ≈ 6.28, l’angolo di attacco medio è dato da ᾱ ≈ T c /σ,per cui diminuire σ comporta, fissato T c , un aumento dell’angolo di attaccoeffettivo degli elementi di pala; quindi lo stallo del rotore limita σ, non solo, mala sicurezza della macchina richiede anche di salvaguardare un certo marginerispetto allo stallo.Sostituendo nella (5.26) T c = σ¯c lsi ottiene:61 ¯c 3/26F M =3/2√ l2 ¯c d18σ + k1/2 6 3/2√ 2¯c l3/2¯c d. (5.28)Questa relazione mostra che per massimizzare F M è necessario massimizzare¯c 3 l / ¯c 2 d, condizione che aiuta ad individuare l’angolo d’attacco in cui devefunzionare il rotore in hovering.1 L’aumento di F M è comunque facilmente spiegabile tenendo conto che, a parità di A unadiminuzione di σ implica una diminuzione dell’area bagnata del rotore

5.7 Velocità di salita 57Nella realtà l’andamento di F M(T c ) si scosta leggermente da quello indicatoin figura 5.4 per i valori grandi di T c . Infatti F M non auementa indefinitamentecon T c , ma può anche diminuire leggermente, perchè il c d tende ad aumentarecon T c (aumenta ᾱ).Nella pratica, con le attuali tecnologie, un rotore dalle buone prestazioni inhovering è caratterizzato da F M ≈ 0.7 ÷ 0.8.Come già detto, F M da solo non è in grado di identificare le prestazioni inhovering del rotore. Dall’espressione della polare in hovering (5.23) si ottieneP = σ¯c d8 ρ π Ω3 R 5 + 1 √ 2ρT 3/2√ πR, (5.29)da cui si evince che la potenza indotta è indipendente da Ω e che può essereminimizzata, fissato il peso del velivolo e quindi T , facendo aumentare R, ne conseguonole grandi dimensioni dei rotori principali degli elicotteri. Un aumentodi R non comporta un aumento delle perdite parassite se contemporaneamentesi fa diminuire Ω. Ad ogni modo Ω non può essere troppo piccolo perchè:1) come vedremo è necessaria una sufficiente energia cinetica delle pale perconsentire il funzionamento in autorotazione;2) l’articolazione del rotore, necessaria per il volo traslato, porta a conicitàtroppo elevate in hovering se Ω è troppo piccola e quindi ad un degradodelle prestazioni;3) il dimensionamento del rotore richiede anche l’analisi in volo traslato.5.7 Velocità di salitaSi assume che il rotore abbia velocità di salita assiale pari a V c ed un relativorapporto di avanzamento µ = V c /(ΩR).Per un dato rotore, la teoria dell’elemento di pala ci consente di, assegnatoµ, determinare T c , oppure viceversa, assegnato T c determinare µ.È comunque possibile ottenere un’espressione semplificata.Si assuma che la spinta T sia fissata e, per semplicità di analisi, w(r) =costante. Indicando con i pedici h e c rispettivamente le condizioni di hoveringe salita, dalla teoria impulsiva si ottiene (λ h = w h (ΩR)):(µ + λ c )λ c = λ 2 h , (5.30)da cuiλ c = − µ 2 + λ h√µ 2 c4λ 2 h+ 1. (5.31)Poichè nella pratica µ/λ h ≪ 1:λ c ≈ λ h − µ 2 , (5.32)cioè l’induzione in hovering è maggiore di quella in salita a parità di spinta erisulta che la potenza dissipata in hovering è maggiore di quella dissipata insalita.

58 Il rotore in hoveringdLθdDϕΩ rV eV +w8Figura 5.5: Elemento di pala in condizione di autorotazione.Se si trascura, date le basse velocità V c la resistenza della fusoliera dell’elicottero,la potenza in salita è data, come in hovering, dal contributo parassitae indotto. Per un dato rotore ad un fissato T c , corrisponde uno stesso angolo diattacco medio e quindi lo stesso ¯c d per cui la potenza parassita è praticamentela stessa per cui, indicando con ∆Q c = Q cc − Q ch :(∆Q c = T c µ + T c λ c − T c λ h ≈ T c µ + T c λ h − µ )− T c λ h ≈ T cµ22 . (5.33)5.8 AutorotazioneL’autorotazione è una condizione di funzionamento del rotore in cui viene fornitaspinta a potenza nulla. Per la conservazione dell’energia, una condizione diquesto tipo è possibile solo se il rotore sta perdendo energia potenziale, cioè indiscesa.Si consideri un elemento di pala in discesa assiale, la condizione di autorotazionedell’elemento di pala è data da dP = (dD cos ϕ − dL sin ϕ) · ΩR = 0. (vedifigura 5.5). Indicando con E l’efficienza aerodinamica dell’elemento di pala ilpunto di autorotazione è caratterizzato daα = θ + ϕ ; tan ϕ = 1 E . (5.34)Noto l’andamento di 1/E al variare di α, questa condizione è identificabilecon una costruzione grafica, come illustrato in figura 5.6 (in cui si è assuntotan ϕ ≈ ϕ). D è il punto di tangenza di una retta inclinata a 45 0 con la curva1/E. L’autorotazione è ottenibile solo per valori di θ < θ D ed, in genere perciascun θ sono possibili 2 condizioni di autorotazione indentificate dai punti Ae E, per i quali è facile verificare che le condizioni di autorotazione (5.5) sonosoddisfatte. La condizione di autorotazione è però stabile in A ed instabile in

5.9 Curve di funzionamento in salita e discesa 59EFigura 5.6: Diagramma per descrivere le condizioni di autorotazione di unelemento di pala (Leishman, 2000).E. Si consideri infatti una perturbazione della condizione A, ad esempio unaraffica ascendente fa aumentare ϕ ad un valore ϕ B e conseguentemente l’angolod’attacco. La risposta della forza aerodinamica sarà un valore 1 E < ϕ B per cuila nuova forza aerodinamica porterà ad un aumento di Ω ed una conseguentediminuzione di ϕ: il sistema tende a ritornare nelle condizioni iniziali. Allostesso modo si vede che il sistema in E risponde ad una perturbazione conl’allontanamento ulteriore da E.Quella illustrata fino ad ora è la condizione di autorotazione di un elemento dipala; nel caso di un rotore in autorotazione, solo per un elemento sarà verificatala condizione descritta in figura 5.5. Tenendo conto che all’aumentare di rdiminuisce l’angolo d’attacco dell’elemento, in generale si avrà che gli elementipiù vicini e mozzo saranno in stallo, poi si avranno elementi di pala per cuidP < 0 ed infine nella parte più esterna della pala si avrà dP > 0 però conP =∫ R0dP = 0.5.9 Curve di funzionamento in salita e discesaLa teoria impulsiva semplice è in grado di descrivere il funzionamento di unrotore non solo in salita e hovering, ma anche per una parte delle condizionidi discesa. Il funzionamento in discesa (per congruenza delle convenzioni suisegni di velocità e forze in discesa è V ∞ < 0) è caratterizzato da V ∞ e w di verso

60 Il rotore in hoveringopposto. Fintanto che |V ∞ | > |2w| la teoria impulsiva è in grado di descrivere lacondizione di discesa: in questo caso ci si trova nel regime di mulinello frenantegià studiato nel capitolo 2.Si nota però che in discesa la scia è al di sopra e non ad di sotto del rotore(vedi figura 5.7); inoltre la teoria impulsiva non è più applicabile quando V ∞ +2w = 0, infatti in queste condizioni nella scia a valle il flusso medio è nullo,cade l’ipotesi di unidimensionalità. In queste condizioni la scia è fortementeinstazionaria e turbolenta e la sezione del tubo di flusso non è chiaramenteidentificabile.Questa condizione V ∞ +2w = 0 identifica l’inizio del regime di funzionamentodi scia turbolenta. Facendo ulteriormente diminuire |V ∞ | la scia turbolenta siavvicina al rotore. Per V ∞ +w = 0, il flusso di massa attraverso il rotore è nullo.In queste condizioni è ancora ottenibile una spinta T ma il lavoro nell’unità ditempo che questa forza compie P i = T (V ∞ + w) = 0; si è ottenuta la condizionedi funzionamento detta di autorotazione ideale in cui il rotore sta funzionandoda paracadute.Per valori ancora più piccoli di |V ∞ | si ha che il flusso medio attraverso ilrotore è diretto verso il basso, il campo di moto è caratterizzato da vortici anelloin cui il flusso scende attraverso la pala e risale all’esterno. (regime di vorticiad anello, vedi figura 5.7).Si consideri una condizione di funzionamento in salita e si assuma fissata laspinta; dalla teoria impulsiva2ρ(V ∞ + w)Aw = 2ρw 2 hA, (5.35)da cui, introducendo Ṽ∞ = Ṽ∞/w h e ˜w = w/w h ; (Ṽ∞ + ˜w) ˜w = 1 per cui˜w = −Ṽ∞ 2 + √ √√√ (Ṽ∞2) 2+ 1. (5.36)Analogamente, indicando con P = T (V ∞ + w) la potenza coinvolta (T w è lapotenza indotta) e definendo ˜P = P/P h si ottiene˜P = Ṽ∞ + ˜w (5.37)Le funzioni (5.36) e (5.37) sono illustrate nelle figure 5.8 e 5.9 e vengono dettecurve di funzionamento del rotore; in salita sono curve universali.Analogamanete, la condizione di discesa a mulinello frenante è caratterizzatada 2ρ(V ∞ + w)A(V ∞ − V ∞ − 2w) = 2ρw 2 h A per cui (Ṽ∞ + ˜w) ˜w = −1 e quindi˜w = −Ṽ∞ 2 − √ √√√ (Ṽ∞2) 2− 1, (5.38)Con la scelta della radice obbligata dal soddisfacimento della relazion V ∞ +2w ≤0.La potenza è sempre data da ˜P = Ṽ∞ + ˜w dove però adesso ˜w è data dalla(5.38).Queste curve di funzionamento universali sono ancora proposte in figura 5.8e 5.9.

5.10 Effetto suolo in hovering 61La funzione (5.37) non ammette radici reali per −2 < Ṽ∞ < 0 che è propriol’intervallo in cui la teoria impulsiva non è valida.In questo intervallo, non avendo nessuna teoria a disposizione le curve difunzionamento di un rotore possono essere determinate solo sperimentalmente.In questo caso è possibile ottenere una definizione di w ponendo per definizioneP = T (V ∞ + w) + P p , (5.39)dove P p è la potenza passita esprimibile come P p = σc d8 ρΩ3 R 3 A. Essendosi ottieneT (V ∞ + w) = T (Ṽ∞ + ˜w)w h = T c3/2√ (Ṽ∞ + ˜w)ρ Ω 3 R 3 A, (5.40)2Q c = T c3/2√ ( ¯V ∞ + ˜w) + σc d2 8 . (5.41)Conoscendo la geometria del rotore (σ) e l’aerodinamica delle pale (c d ) e misurandoQ c e T c al variare di Ṽ∞ con la (5.40) è possibile ottenere le curve difunzionamento sperimentali.Ovviamente non si otterrà più un comportamento universale, ma le discrepanzetra queste curve sono abbastanza piccole, vedi ancora le figure 5.8 e 5.9.Inoltre, sorprendentemente, per un lungo tratto queste sono molto vicine a quelle(tratteggiate) ottenute per V ∞ < 0 utilizzando le formule (5.35) e (5.36) validein salita!Chiaramente in hovering si ottengono valori di ˜w e ˜P maggiori di 1 in quantogli esperimenti tengono conto delle perdite di estremità e di quelle dovute allanon costanza di w lungo la pala. Si nota inoltre che l’autorotazione reale siindividua nel regime di scia turbolenta.5.10 Effetto suolo in hoveringLe prestazioni del rotore sono influenzate in modo significativo dalla presenzadel suolo o di un altro ostacolo che “costringono” lo sviluppo della scia.L’esperienza mostra che in condizioni di effetto suolo la spinta aumenta aparità di potenza, o, equivalentemente, la potenza diminuisce a parità di spinta.Una spiegazione definitiva di questo effetto non è stata ancora data. Unaprima interpretazione può essere ottenuta considerando che, fissata l’induzionee quindi la potenza, il suolo costringe la scia a curvarsi in modo simmetrico alsuo asse. La curvatura delle linee di corrente comporta un gradiente normale dipressione, per cui la pressione media a valle del rotore risulta maggiore e portaad un aumento della spinta.Un altro modello, che ha anche portato a risultati quantitativi, consiste nellostudiare il sistema vorticoso della scia ed utilizzare il metodo delle immagini perimporre la condizione al contorno di velocità normale nulla al suolo.Il sistema vorticoso immagine induce sul rotore una componente di velocitàindotta di verso opposto per cui a parità di spinta, l’induzione totale sul rotorediminuisce portando ad una diminuzione della potenza indotta.Un’espressione analitica del rapporto delle spinte con e senza effetto suolo(a potenza costante) basata su correlazioni sperimentali è data da

62 Il rotore in hoveringTT ∞=11 − ( R4z) 2, (5.42)dove z indica la distanza dal suolo del rotore. Questa relazione indica chel’effetto suolo in hovering diventa trascurabile per z ≥ 2R.Per quanto riguarda la potenza, poichè possiamo vedere l’effetto suolo comeun aumento di spinta a parità di potenza indotta, allora λT c = λ ∞ T c∞ da cuie quindi a parità di spintaλλ ∞= T c ∞T c= T ∞T = K G, (5.43)P cP c∞= T c λ= K G . (5.44)T c λ ∞Oppure, tenendo conto che l’effetto è sostanzialmente sulla potenza indotta 25.11 EserciziP = P P + K G P i∞ . (5.45)1. Assegnati i parametri fondamentali del rotore di un rotore di elicottero,determinare spinta e potenza con la teoria impulsiva.2. Determinare con la teoria dell’elemento di pala la polare in hovering di unrotore assegnato.3. Confrontare la polare in hovering di un rotore determinata con la teoriadell’elemento di pala con le polari “ideale” e “ottima” di un rotoreequivalente. Stimare il valore del parametro K.2 In realtà l’effetto suolo porta anche ad una leggera riduzione della potenza parassita acausa della diminuzione dell’angolo d’attacco dell’elemento di pala a parità di spinta.

5.11 Esercizi 63Figura 5.7: Regimi di funzionamento del rotore in discesa (Leishman, 2000).

64 Il rotore in hoveringFigura 5.8: Velocità indotta in funzione delle velocità di salita o discesa(Leishman, 2000).Figura 5.9: Potenza richiesta in funzione della velocità di salita o discesa(Leishman, 2000).

Capitolo 6Il rotore rigido in volotraslato6.1 Teoria impulsiva per le eliche in flusso nonassialeGlauert ipotizzò la possibilità di estendere la teoria impulsiva semplice ancheal caso di eliche in flusso non assiale, ma per questa teoria che, d’altra parteha dimostrato un ottimo accordo con l’evidenza sperimentale, non esiste, atutt’oggi, una rigorosa derivazione matematica.Si supponga quindi che la corrente asintotica V ∞ formi un angolo d’attaccoα con il piano dell’elica (α = 90 0 equivalente a condizioni di flusso assiale).Glauert fa le seguenti assunzioni:1. in corrispondenza dell’elica si ha una velocità indotta w che è normale alpiano del disco;2. all’infinito a valle essa diventa 2w;3. la spinta che si ottiene, diretta secondo l’asse dell’elica è pari aT = 2ṁ w, (6.1)dove la portata ṁ = ρV ′ A, è ottenuta con il vettore velocità V dato dallasomma vettorialeV ′ = V ∞ + w. (6.2)La potenza indotta è data quindi daP i = 1 ( )Vfin 22ṁ− V in2 , (6.3)2 (2con Vfin (V 2 = ∞ sin α + 2w)+ 2w cos α)e Vin 2 = V ∞ 2 , per cui[P i = 1 2 ρV ′ (V∞A + 2w sin α ) 2 ( ) 2+ 2w cos α − V∞2]=(6.4)= 2ρV ′ Aw(w + V ∞ sin α) = T V ′ n ,

66 Il rotore rigido in volo traslatodove V ′ ′n è la componente della velocità V normale al piano dell’elica.Anche se la relazione (6.1) è formalmente identica alla relazione (1.11), essaè sostanzialmente diversa in quanto nella (6.1) ṁ non è la portata d’aria cheattraversa il disco attuatore, ma è significativamente maggiore.In condizioni di flusso assiale o a punto fisso (hovering) le relazioni (6.1) e(6.4) restituiscono i risultati della teoria impulsiva classica.Si applichino i risultati della teoria dell’ala ellittica ad un’ellisse di eccentricità0 (cioè un cerchio), con V ∞ ≫ 0 e posta ad incidenza α = 0 0 ; siha:α i ≈w = C LV ∞ πAR ⇒ C L = πAR w , (6.5)V ∞dove α i è l’angolo di incidenza indotta e w la velocità indotta perpendicolare aV ∞ . Si nota che il modello dell’ala ellittica applicata al cerchio è equivalente aquello di disco attuatore, entrambi caratterizzati da una velocià indotta w eduna forza (portanza o spinta) ad essa parallela e opposta.Utilizzando la (6.5) e la definizione di coefficiente di portanza di un’ala siottiene per l’ala circolare, nelle ipotesi di validità della teoria dell’ala ellitticaL = C L12 ρV ∞ 2 A = 2ρV ∞ Aw. (6.6)Essendo, per V ∞ ≫ 0, V ∞ ≈ V ′ abbiamo ottenuto che la teoria impulsiva per leeliche in flusso non assiale è in accordo con la teoria dell’ala ellittica applicataad un cerchio posto a incidenza nulla e velocità asintotica moto elevata.6.1.1 Funzionamento a spinta costanteTenendo conto che V ′2 = ( V ∞ sin α + w ) 2 (+ V∞ cos α ) 2e applicando la (6.1)si ottieneT 2 [ (V∞(2ρA) 2 = w2 sin α + w ) 2 (+ V∞ cos α ) ]2. (6.7)In caso di elica a punto fisso o hovering a parità di spinta si ha:T 2(2ρA) 2 = w4 h. (6.8)Uguagliando le relazioni (6.7) e (6.8) e definendo, come nel capitolo precedenteṼ ∞ = V ∞ /w h e ˜w = w/w h si ottengono le curve di funzionamento per le elichein flusso non assiale al variare dell’angolo d’attacco:(Ṽ ∞ ˜w sin α + ˜w 2 ) 2+ Ṽ 2 ∞ ˜w2 cos 2 α = 1. (6.9)Queste curve sono diagrammate in 6.1.Adimensionalizzando la potenza indotta rispetto alla potenza indotta inhovering a parità di spinta ( ˜P i = P i /P ih ), si ottiene˜P i = Ṽ∞. sin α + ˜w, (6.10)vedi figura 6.2.Si noti che le relazioni (6.9) e (6.10) per α = 90 0 coincidono con le curve difunzionamento del rotore in salita assiale.

6.2 Il rotore in volo traslato 67u8VFigura 6.1: Curve di funzionamento ˜w(Ṽ∞) a spinta costante per eliche il flussonon assiale.6.1.2 Funzionamento a potenza costanteSe si confronta una condizione di funzionamento generica con quella in hoveringad uguale potenza si ottieneper cui, definito ˜T = T/T h , si ha1 = T (V ∞ sin α + w)/T h w h ; (6.11)˜T = ( V ∞ sin α + ˜w ) −1, (6.12)Sostituendo nella (6.7) la (6.12) e tenendo conto che w 2 h = T h/(2ρA) si ottengonole curve di funzionamento a potenza costante[ (Ṽ∞ ˜w sin α + ˜w 2) ]2+ Ṽ∞ 2 ˜w 2 cos 2 α(Ṽ∞ sin α + ˜w ) = 1; (6.13)Le relazioni (6.13) e (6.12) diagrammate rispettivamente nelle figure 6.3 e 6.4consentono di analizzare la spinta di una data elica (o rotore) nota la potenzadisponibile.6.2 Il rotore in volo traslatoI parametri che caratterizzano il funzionamento in volo traslato sonoµ = V ∞ cos αΩR, λ = V ∞ sin α + wΩR= µ tan α + λ i . (6.14)

68 Il rotore rigido in volo traslatoP iV8Figura 6.2: Curve ˜P i (Ṽ∞) a spinta costante per eliche in flusso non assiale.µ e λ vengono rispettivamente chiamati rapporto di avanzamento e rapporto diingresso. Il rapporto di ingresso indotto λ i è dato da, utilizzando la relazione(6.7):λ i =T c2 √ µ 2 + λ 2 , (6.15)per cui la curva di funzionamento a spinta costante è data anche daλ = µ tan α +T c2 √ µ 2 + λ 2 , (6.16)Per µ ≫ λ : λ i ≈ T c /(2µ). Questa assunzione corrisponde ad aver simulato ildisco attuatore come un’ala ellittica. Si può verificare che questa approsimazioneè buona per µ/λ h ≥ 1.5 che corrisponde, in genere, a µ ≥ 0.1. Il funzionamentodel rotore in volo traslato si divide quindi in due regimi:1. µ < 0.1, regime di transizione in cui la scia non è più assiale, ma la suaestensione verticale è ancora significativa2. µ > 0.1, regime ad alta velocità, caratterizzato dal funzionamento concarico ellittico in cui la scia è praticamente piana.L’angolo che la scia forma con l’asse del rotore è determinata con buonaapprossimazione della teoria impulsiva ed è dato da χ = arctan(µ/λ). Il regimedi transizione è in genere caratterizzato da χ = 0 0 ÷ 60 0 .

V86.3 Potenza parassita in volo traslato 69wFigura 6.3: Curve di funzionamento ˜w(Ṽ∞) a potenza costante per eliche influsso non assiale.6.3 Potenza parassita in volo traslatoIn volo traslato la velocità che investe l’elemento di pala dipende dalla posizionedella pala stessa. Si indica con ψ, angolo di azimut, l’angolo che l’asse la palaforma con la velocità di traslazione proiettata sul piano di rotazione (V ∞ cos α ovedi figura 6.5). A una data stazione lungo il raggio r, la velocità che investe l’elementodi pala nel piano di rotazione è data da una componente perpendicolareal raggio ed da una parallela, date rispettivamente daU T = Ωr + V ∞ cos α sin ψ, U R = V ∞ cos α cos ψ. (6.17)1La resistenza aerodinamica che agisce sull’elemento di pala, dD = C d 2 ρ ∞UT 2dr,comporta una potenza istantanea assorbita dalla pala per effetto delle forzeparassite di natura viscosa dP p = dDU T che, integrata lungo la pala, dà lapotenza istantanea assorbita dalle forze viscose. Conviene fare riferimento alvalore medio che si ottiene durante una rotazione; tenendo conto del numero dipale N si ottiene:P 0 = N ∫ 2π ∫ R(31C d2π 2 ρ ∞ Ωr + V ∞ cos α sin ψ)drdψ. (6.18)00Integrando ed adimensionalizzando la potenza si ottiene (si è introdotto uncoefficiente di resitenza medio ¯C d )P c0 = σ ¯C d8 (1 + 3µ2 ). (6.19)Si nota che σ ¯C d /8 è il coefficiente di potenza parassita in hovering, per cuiquesta relazione mette in evidenza che in volo traslato la potenza parassita è

V870 Il rotore rigido in volo traslatoTFigura 6.4: Curve di funzionamento ˜T (Ṽ∞) a potenza costante per eliche influsso non assiale.data dalla potenza parassita in hovering più un’altra aliquota proporzionale aµ 2 .Nell’espressione (6.19) si è trascurato il contributo dovuto allo scorrimentodel flusso lungo la pala (V ∞ cos α cos ψ). Per tenere conto di questo effetto edelle altre approssimazioni insite nella (6.19) si è soliti sostituire il fattore 3della (6.19) con un coefficiente K ≈ 4 ÷ 5, un tipico valore suggerito è K = 4.7,Stepniewski & Keys (1984).

6.4 Stima della potenza necessaria al volo traslato livellato 718V cos V coscos 8yV cossin 8xFigura 6.5: Velocità che investe un elemento di pala in volo traslato.6.4 Stima della potenza necessaria al volo traslatolivellatoLa potenza necessaria al volo traslato livellato di un elicottero è data dadove1. P i è la potenza indotta assorbita dal rotore;2. P p è la potenza parassita assorbita dal rotore;P = P i + P p + P fus , (6.20)3. P fus è la potenza parassita assorbita dalla fusoliera, dal mozzo, dal carrello,etc.Note le caratteristiche fondamentali di un elicottero è possibile ottenere unarapida stima della potenza al variare di V ∞ .

72 Il rotore rigido in volo traslatoSi assume α = 0 0 , ipotesi sufficientemente valida in prima approssimazione.6.4.1 Potenza indotta.Dall’espressione della potenza indotta per eliche in flusso non assiale (6.4) siricava:P i = T (V ∞ sin α + w) = T w. (6.21)D’altra parte in volo livellato uniforme T ≈ W (W è il peso dell’ elicottero),per cui è necessario solo determinare w.Per V ∞ = 0 (hovering) w e P i sono già state calcolate; infatti dalla (5.1) siottienew h =√W2ρA ; P i h=√W 32ρA . (6.22)Per V ∞ ≠ 0 e V ∞ ≫ 0 (o meglio V ∞ ≫ w) si può considerare V ′ ≈ V ∞ , quindi,per le (6.1) e (6.21):P i ≈ W 22ρAV ∞; (6.23)da cui si evince che, per velocità V ∞ elevate la potenza indotta diminuisceiperbolicamente con V ∞ . Si nota che questa espressione è valida quando λ ≈λ i ≈ T c /(2µ), cioè siamo nel regime già definito di alta velocità.Per bassi valori di V ∞ la (6.23) non è piú valida (prevede addirittura P i = ∞per V ∞ = 0) ed il calcolo della potenza indotta richiede l’utilizzo della piùcompleta relazione (6.4).6.4.2 Potenza parassita del rotore.Per il calcolo della potenza parassita assorbita dal rotore possiamo utilizzare larelazione (6.4) determinata nel paragrafo precedente:P p = σ ¯Cd ()8 ρ ∞AΩR Ω 2 R 2 2+ KV ∞ , (6.24)con K = 4.7.Si nota che la potenza parassita del rotore cresce con il quadrato dellavelocità e parte da un valore finito a V ∞ = 0.6.5 Potenza parassita della fusoliera.La potenza assorbita dalla cellula è data dal lavoro compiuto, nell’unità ditempo, dalla resistenza dell’elicottero (eccetto il rotore):P fus = f 1 2 ρ ∞V ∞ 3 , (6.25)dove il fattore f, che ha le dimensioni di un superficie, viene denominato areabagnata equivalente.f dipende dallo sforzo fatto, in fase progettuale, nel sagomare aerodinamicamentela fusoliera ed il mozzo dell’elicottero; un valore tipico è f/A ≈0.007.

6.6 La zona di flusso inverso. 73Componente f/A %fusoliera 0.00210 30gondole motore 0.00042 6mozzo 0.00245 35mozzo rotore di coda 0.00028 4carrello principale 0.00042 6carrello di coda 0.00028 4piano di coda orizzontale 0.00007 1piano di coda verticale 0.00007 1interferenza rotore/fusoliera 0.00047 7sistema di scarico 0.00021 3altro 0.00021 3totale 0.00700 100Tabella 6.1: Tipico breakdown della resistenza della fusoliera di un elicottero.Un calcolo approssimato di f è ottenibile sommando la resistenza dei singolicomponenti dell’elicottero:f = ∑ nC Dn S n , (6.26)dove C Dn è il coefficiente di resistenza del componente n-esimo e S n l’area diriferimento utilizzata nella sua definizione.Un tipico breakdown della potenza assorbita dalla fusoliera è proposto intabella (6.1). Si noti che questo contributo di potenza cresce con il cubo di V ∞ed é nullo a V ∞ = 0.La somma di questi tre contributi fornisce la potenza necessaria al volotraslato al variare di V ∞ .In un ampio intervallo delle velocità V ∞ , la potenza necessaria al volo traslatoè inferiore a quella in hovering; questo è dovuto al fatto che, in volo traslato,vengono trattate portate d’aria molto più elevate, per cui, per ottenere la spintanecessaria sono necessarie minori accelerazioni del flusso d’aria.La potenza disponibile è, in genere, costante con V ∞ , ma diminuisce all’aumentaredella quota, per cui, quando le due curve (potenza necessaria edisponibile) diventano tangenti a V ∞ = 0 si ottiene la quota di tangenza inhovering, oltre la quale l’elicottero non è in grado di volare a V ∞ = 0. La quotadi tangenza in volo traslato si ottiene invece quando la curva della potenzadisponibile diventa tangente alla curva della potenza necessaria nel suo puntodi minimo.6.6 La zona di flusso inverso.Un altro fenomeno, collegato al volo traslato è la formazione di una zona lungola pala in cui la velocità effettiva è negativa.Questo luogo di punti è identificato dall’equazione U T = 0:¯r + µ sin ψ = 0. (6.27)

74 Il rotore rigido in volo traslatoÈ facile verificare che questa equazione descrive, in coordinate adimensionaliuna circonferenza con centro nel punto (¯r = µ 2 , ψ = 2700 ) e raggio µ/2.Per bassi valori del rapporto di avanzamento, questa zona è confinata neipressi del mozzo e quindi ha scarsi effetti snelle prestazioni del rotore che, invece,vengono influenzate sempre di più all’aumentare di µ.6.7 Effetto suolo in volo traslato.In volo traslato l’effetto suolo diminuisce rapidamente all’aumentare di V ∞ cos α.L’esperienza mostra che esso diventa trascurabile per V ∞ cos α ≈ 2w h oppure,approssimativamente, per µ ≈ 0.10.Questo è facilmente spiegabile tenendo conto che la scia interagisce sempredi meno (e più lontano dall’elicottero) all’aumentare di V ∞ cos α.Un’ espressione approssimata del rapporto delle spinte con e senza effettosuolo, Johnson (1980), p.147 è data da[ (TR) 2]4z= 1/ 1 − k 1T ∞ 1 + ( )µ 2. (6.28)λIl coefficiente k 1 può essere scelto un prima approssimazione pari a 1, oppure,per tenere conto del carico della pala k 1 = σC lα λ/(4T c ).La (6.28) è sufficientemente accurata per z/R ≥ 0.5

6.8 Esercizi 756.8 Esercizi1. Assegnati, la spinta T la quota (ρ), il raggio dell’elica e l’angolo d’attacco,data V ∞ determinare w e P i utilizzando le curve di funzionamento per leeliche in flusso non assiale.2. Assegnati la potenza P i , la quota (ρ), il raggio dell’elica e l’angolo d’attacco,data V ∞ determinare w e T utilizzando le curve di funzionamentoper le eliche in flusso non assiale.3. Assegnati i paramentri e le grandezze fondamentali di un elicottero stimarela potenza necessaria al volo per µ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5.

76 Il rotore rigido in volo traslato

Capitolo 7Il rotore articolato7.1 Necessità del rotore articolatoNel capitolo precedente è stato messo in luce che, in volo traslato, la pala cheavanza (0 0 < ψ < 180 0 ) vede una corrente a velocità maggiore della pala chearretra; questo fatto comporta chiaramente che la pressione dinamica e, quindi,le forze aerodinamiche variano ciclicamente durante la rotazione della pala, conun massimo ed un minimo, rispettivamente nelle fasi di avanzamento e arretramento.La portanza, in particolare, genera un momento, rispetto al mozzo, chevaria ciclicamente. Questo fenomeno è dannoso per due motivi fondamentali:1. la coppia variabile generata dalla portanza, trasmessa attraverso il mozzoalla fusoliera genera una rotazione intorno all’asse di rollio che pregiudicale caratteristiche di qualità di volo dell’elicottero;2. i rotori degli elicotteri sono caratterizzati da elevato raggio e bassa soliditàche comportano elevati momenti flettenti alla radice; un momento flettenteche varia ciclicamente. complica ulteriormente la progettazione strutturaledel mozzo.La soluzione classica adottata per risolvere questi problemi consiste nell’inserirenel mozzo una cerniera (e quindi un’articolazione) che lascia la pala libera diruotare sotto l’azione della portanza (nel piano che contiene l’asse del rotore ela pala stessa). In questo modo il momento dovuto alla portanza non viene piùtrasmesso al resto della struttura eliminando così il rollio della macchina e lasollecitazione strutturale ciclica del mozzo.Questo moto della pala viene detto di flappeggio e la cerniera intorno allaquale avviene la rotazione viene detta cerniera di flappeggio; la posizione dellapala rispetto al piano del rotore è individuata dall’angolo di flappeggio β.Il piano di flappeggio, (che contiene la pala durante il flappeggio stesso) ruotacon velocità angolare Ω intorno all’asse del rotore per cui il moto di flappeggioavviene in un riferimento non inerziale.Se indichiamo con V r la velocità, rispetto a questo riferimento, di un elementodi pala di massa dm posto a distanza r dal mozzo (V r è dovuta solo almoto di flappeggio) nasce una forza di Coriolis data da dF Cor = 2dm Ω × V r ,dove il vettore Ω ha intensità pari a Ω ed è diretto come l’asse di rotazionedel rotore. dF Cor è perpendicolare al piano di flappeggio e si oppone al moto

78 Il rotore articolato(a)(b)Figura 7.1: Definizione degli angoli di flappeggio β(a) e arretramento ζ(b) dellapala.di rotazione principale della pala (quello cioè con velocità Ω) quando la palasale (in avanzamento). Nasce così un nuovo momento ciclico, che, anche se dientità inferiore, può portare allo stesso tipo di inconvenienti che hanno richiestol’introduzione della cerniera di flappeggio. Per le stesse ragioni qundi, viene introdottauna cerniera di arretramento che lascia la pala libera di arretrare sottol’azione delle forze di Coriolis; il moto (nel piano di rotazione principale delrotore) viene detto moto di arretramento e l’angolo che individua la posizionedella pala in questo moto è detto angolo di arretramento. (vedi figura 7.1)La presenza del moto di flappeggio e arretramento non può non avere influenzasulle prestazioni del rotore che, infatti, dipendono fondamentalmentedalla velocità relativa tra pala e flusso d’aria.La presenza delle cerniere di flappeggio e arretramento rende notevolmentecomplessa e difficile la progettazione e realizzazione del mozzo del rotore,ulteriormente complicato, come vedremo, dalla presenza dei meccanismi di variazionedel passo ciclico e collettivo per consentire il controllo dell’elicottero.Il mozzo del rotore diventa quindi una delle parti fondamentali e più complessedell’elicottero, vedi figura 7.2.Il rotore articolato con cerniere di flappeggio e arretramento e con dispositivoa cuscinetti per il controllo del passo cliclico e collettivo costituisce la soluzioneclassica adottata nel mozzo degli elicotteri. Esistono però diverse soluzioni alternative;basti pensare alla soluzione limite mozzo senza cerniere in cui il motodi flappeggio e arretramento viene ottenuto mediante la costruzione di una palaflessibile.7.2 Passo ciclico e collettivoLa forza aerodinamica varia notevolmente se cambia l’angolo d’attacco a cuilavora l’elemento di pala; per cui un sistema conveniente per il controllo del-

7.2 Passo ciclico e collettivo 79Figura 7.2: Il mozzo dell’elicottero AH-64 (Leishman (2000)).l’elicottero consiste nel consentire al pilota di variare l’angolo di calettamento(il passo) della pala. Questo sistema risulta ulteriormente vantaggioso perchèi momenti che si debbono contrastare per la variazione del passo (i momentiaerodinamici) sono piccoli, addirittura nulli se si utilizza un profilo simmetricoincernierato a 1/4 della corda.Per controllare il volo di un elicottero non è necessario solo far variare ilmodulo della spinta ma anche la sua direzione in quanto la componente orizzontaledella spinta può essere usata a scopi propulsivi (contrastare la resistenzaaerodinamica di tutto l’elicottero). È evidente però che ruotare il mozzo per farruotare la spinta non è il sistema più semplice e conveniente.Indichiamo con il termine piano del mozzo il piano perpendicolare all’assemeccanico (albero) del rotore. È possibile cambiare la direzione della spintadando la possibilità di variare il passo della pala ciclicamente durante una rotazione.Infatti se il passo varia ciclicamente rispetto al piano del mozzo, esisteràun piano rispetto al quale il passo non varia (questo risultato è esattamentevalido se la variazione ciclica del passo è di sola prima armonica), la direzionedella spinta sarà sostanzialmente normale a questo piano, detto piano senzapasso ciclico.Il meccanismo di variazione ciclica del passo, comandato dal pilota, consistein una piastra collegata all’albero in grado di inclinarsi rispetto all’albero stesso.Questa piastra però non ruota; su di essa è appoggiata, tramite cuscinetti, unaralla che ruota solidale con le pale del rotore, collegata ad esse attraverso unsistema di leve, che fanno variare l’incidenza della pala.Se, invece di inclinarsi, la piastra viene alzata o abbassata: essa trasmetteuna rotazione identica a tutte le pale e permette quindi di variare non ciclicamentema collettivamente il passo delle pale, cioè si garantisce, oltre alla variazionedel passo ciclico, la possibilità di variare il passo collettivo, (vedi figura 7.3). La

80 Il rotore articolato(a)(b)Figura 7.3: Schema di funzionamento del sistema di controllo del passo ciclico.(a): mozzo rotante; (b): sistema con ralla (Gessow & Myers (1952)).figura 7.4 illustra schematicamente il sistema di controllo dell’elicottero (si notila particolare cerniera di flappeggio rappresentata ad altalena, teeter-hub, classicasoluzione utilizzata negli elicotteri Bell a 2 pale). Il piano individuato dallapiastra piano senza passo ciclico viene definito piano di controllo. In generalepiano di controllo e piano senza passo ciclico sono diversi a causa del possibilemoto accoppiato flappeggio-variazione del passo.Se si considera un moto di flappeggio di prima armonica l’estremità dellapala descrive esattamente una circonferenza che definisce quindi un piano dettopiano di non flappeggio in quanto un osservatore solidale a questo piano vedela pala non flappeggiare. Il moto della pala può quindi essere descritto rispettoad uno qualsiasi di questi piani:1. piano dell’orizzontale terrestre,2. piano del mozzo,3. piano di controllo,4. piano senza passo ciclico,5. piano di non flappeggio.Al variare del tipo di problema può risultare conveniente riferirsi ad unpiano piuttosto che ad un altro. In particolare risulta conveniente studiare ilmoto di flappeggio rispetto al piano di controllo. Infatti questo coincide conil piano senza passo ciclico in assenza di moto accoppiato flappeggio-variazionedel passo. Inoltre il piano di controllo risulta conveniente rispetto all’orizzontale

7.3 La dinamica della pala 81Figura 7.4: Schema del sistema di controllo dell’elicottero (Gessow & Myers(1952)).o al piano del mozzo perchè il passo è costante e quindi abbiamo una variabilein meno nell’analisi delle prestazioni.Una strada alternativa potrebbe essere riferire la dinamica della pala al pianodi non flappeggio e considerare come variabile fondamentale il passo mentre ilflappeggio risulta, ovviamente, nullo.7.3 La dinamica della palaNello studio che si propone si faranno le seguenti ipotesi:1. rotazione della pala a velocità costante (Ω = cost);2. V ∞ costante e poco inclinata rispetto al piano di controllo;3. angolo di flappeggio massimo piccolo;4. arretramento nullo (ζ = 0);5. eccentricità del flappeggio nulla, si pone cioè la cerniera di flappeggiosull’asse del rotore.La dinamica della pala è quindi nota una volta determinata la legge β(t) (t è iltempo). Per l’ipotesi 1, è equivalente conoscere la legge β(ψ) in quanto ψ = Ωt.Se si sviluppa in serie di Fourier β rispetto ψ si ottiene:β = β 0 +∞∑n=1[β nc cos ( nψ ) + β ns sin ( nψ )] , (7.1)

82 Il rotore articolatodoveβ 0 = 12π∫ 2π0β ( ψ ) dψ;β nc = 1 π∫ 2π0β ( ψ ) cos ( nψ ) dψ;(7.2)β ns = 1 π∫ 2π0β ( ψ ) sin ( nψ ) dψ.β 0 , β nc e β ns vengono chiamati coefficienti di flappeggio. β nc e β ns sono trascurabili0 per n → ∞; ne consegue che, per studiare le prestazioni del rotoreè sufficiente considerare solo la prima armonica (non è così nell’acustica onell’analisi vibrazionale del rotore) per cui assumereβ ( ψ ) ≈ β 0 + β 1c cos ψ + β 1s sin ψ. (7.3)La dinamica della pala intorno alla cerniera di flappeggio dipende dalle forzeaerodinamiche e dalle forze inerziali che agiscono su di essa; l’equazione del motodella pala si ottiene imponendo l’equilibrio dei momenti intorno alla cerniera diflappeggio ∑ M i = 0.Si consideri una pala nel suo moto di rotazione intorno all’asse di controllo(normale al piano di controllo) e di flappeggio.Su un elemento di pala di massa dm posto a distanza r dalla cerniera diflappeggio agiscono le seguenti forze.1. La forza aerodinamica (sostanzialmente portanza) dovuta ad un angolod’attacco dell’elemento di pala α e = θ−ϕ, dove θ è il passo alla stazione r eϕ l’angolo di inflow del flusso; nel sistema dinamico in analisi questa forzacostituisce la forzante esterna. Il momento totale rispetto alla cerniera(M L > 0 per convenzione) si ottiene integrando il momento elementarelungo la pala.2. La forza aerodinamica dovuta all’angolo d’attacco causato dal moto relativodell’elemento di pala V r = ˙βr ( ˙β = dβ/dt). L’angolo d’attacco chegenera la forza è proporzionale a ˙β e, per ˙β > 0 (la pala sale), è negativo,per cui la forza aerodinamica che si genera è uno smorzamento in quantoM ˙β= −k ˙β con k > 0.3. La forza d’inerzia −dm ¨βr che genera un momento totale pari a M ¨β=− ∫ ¨βr 2 dm = −I ¨β dove I è il momento d’inerzia della pala nel piano diflappeggio rispetto alla cerniera di flappeggio.4. La forza centrifuga dF c = Ω 2 r cos βdm che genera un momento totaleM β = − ∫ Ω 2 r 2 cos β sin βdm ≈ −IΩ 2 β, che costituisce una forza dinatura elastica.5. La forza peso g dm che genera un momento totale M W = − ∫ gr cos βdm ≈− ∫ grdm ed è quindi indipendente da ψ per β piccoli; è un terminecostante che può essere aggiunto alla forzante esterna.6. La forza di Coriolis dF cor = 2Ω × V r dm che genera un momento totalenullo nel piano di flappeggio.

7.4 Interpretazione fisica dei coefficienti di flappeggio 83L’equilibrio dei momenti porta quindi all’equazione della dinamica della palaI ¨β + k ˙β + IΩ 2 β = M L − M W . (7.4)Questa equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costantiè ben nota e studiata.In particolare si genera un moto di prima armonica se la forzante è di primaarmonica. La frequenza fondamentale della forzante esterna è chiaramente Ω,mentre la frequenza naturale del sistema è data da ω n = √ IΩ 2 /I = Ω per cui,il sistema lavora in risonanza per la forzante di prima armonica.Esistono due proprietà fondamentali dei sistemi in risonanza:1. le forze d’inerzia sono equilibrate da quelle elastiche I ¨β = −k e β (k e è lacostante elastica, nel nostro caso k e = IΩ 2 );2. la forzante esterna è in anticipo di fase di 90 0 rispetto allo spostamentogeneralizzato β.7.4 Interpretazione fisica dei coefficienti di flappeggioLa linearità dell’equazione (7.4) consente l’applicazione del principio di sovrapposizionedegli effetti, per cui ad ogni armonica individuata da un coefficientedi flappeggio è associabile la forzante esterna causa di quel moto.7.4.1 β = β 0Questa soluzione si ottiene se la forzante esterna è costante con ψ, cioè in hovering,β o è quindi l’angolo che la pala forma con il piano di controllo in hovering;la pala è in equilibrio sotto l’azione della forzante aerodinamica, forza centrifugae forza peso (ed ovviamente della reazione vincolare della cerniera). In praticaβ 0 viene detto conicità della pala. β 0 non puó essere troppo grande perchèporterebbe ad un degrado delle prestazioni del rotore (per β → 90 0 l’area delrotore tende a 0). Si nota che, all’aumentare della massa della pala, la forzacentrifuga aumenta e, per F c → ∞, β 0 → 0.7.4.2 β = β 1c cos ψβ 1C individua l’angolo di flappeggio per ψ = 0 0 (β = β 1C ) e per ψ = 180 0 (β =−β 1C ) e viene detto coefficiente di flappeggio longitudinale.Essendo, in pratica β 1C < 0, il flappeggio longitudinale è massimo per ψ =180 0 . Poichè il sistema lavora in risonanza, la forzante causa di questo moto èin anticipo di fase di 90 0 , cioè è massima a ψ = 90 0 , Questa forzante non puòche essere l’incremento di portanza dovuta all’aumento della pressione dinamicain volo traslato che è appunto massima per ψ = 90 0 .Si nota che, la causa di questo moto di flappeggio è solo aerodinamica,β 1C ≠ 0 anche per una pala di massa infinita.

84 Il rotore articolatosin0 sin 0 001s1s(a)(b)Figura 7.5: Interpretazione fisica del flappeggio laterale.7.4.3 β = β 1s sin ψIn modo analogo al caso precedente si verifica che β 1s identifica l’angolo diflappeggio a ψ = 90 0 ed ad ψ = 270 0 e viene quindi definito coefficiente diflappeggio laterale. Anche β 1s < 0, per cui la forzante che genera il flappeggiolaterale è massima a ψ = 180 0 .La genesi di questa forzante può essere facilmente compresa con l’ausiliodella figura 7.5. In volo traslato la presenza della conicità fa si che a ψ = 180 0una componente V ∞ sin β 0 incrementi l’angolo d’attacco effettivo a cui lavoral’elemento di pala mentre, al contrario, lo riduce a ψ = 0 0 . Questa variazione diangolo d’attacco genera quindi una variazione di portanza, massima e positivaa ψ = 180 0 , minima e negativa a ψ = 0 0 , che è appunto la forzante esternasfasata di 90 0 causa del flappeggio laterale.Si nota che la forzante è solo di natura aerodinamica ma poichè β 0 → 0 permasse infinite, il flappeggio laterale dipende indirettamente dalle forze d’inerzia.Infine si nota che per distribuzioni di massa infinite: β = β 1c cos ψ, ilflappeggio non scompare e diventa puro flappeggio longitudinale.7.5 La velocità effettiva sull’elemento di palaIn volo traslato la velocità effettiva sull’elemento di pala è data dalla composizionedi diversi moti.La velocità sarà adimensionalizzata rispetto a ΩR, u R è la componente radiale(positiva se uscente), u T la componente tangenziale nel piano di controllo(positiva se diretta verso il bordo di attacco dell’elemento di pala), u P è la componenteperpendicolare al piano di controllo (positiva se diretta verso il basso).Si ha che

87.6 Le forze aerodinamiche sul rotore 85TTVaHYHYV 8cos a(a)(b)Figura 7.6: Schema delle forze aerodinamiche sul rotore.u R = µ cos ψ , u T = ¯r + µ sin ψ , u P = λ + ¯r ˙β + βµ cos ψ, (7.5)Ωin cui si è assunto β ≪ 1.L’angolo d’attacco effettivo a cui lavora l’elemento di pala è dato daα e = θ − ϕ, (7.6)dove ϕ = arctan (u P /u T ).In questa trattazione si assumerà che l’induzione sul rotore è uniforme (λ i =cos t, λ = cos t) ed ottenibile dalla teoria impulsiva per eliche in flusso non assialeformule, (6.1) e (6.2). Questa ipotesi costituisce una notevole approssimazionein quanto in volo traslato i vortici liberi vengono convetti a valle ed in particolarenella fase di transizione (µ < 0.1), il campo indotto sul disco del rotore diventafortemente variabile. Comunque si assumerà nel seguitoλ i =T c2 √ T c, λ = µ tan α +µ 2 + λ 2 2 √ µ 2 + λ . (7.7)2Nell’ipotesi di angoli β e ϕ piccoli che faremo in questa trattazione si ha cheV e ≈ Ωru T e α e ≈ θ − u P /u T .7.6 Le forze aerodinamiche sul rotoreLa spinta T è la componente della forza aerodinamica totale perpendicolare alpiano di controllo (positiva verso l’alto), la resistenza H del rotore è la componenteche giace sul piano di controllo ed è allineata con la proiezione su diesso di V ∞ , Y è la forza laterale che giace sul piano di controllo ed ha verso taleche la terna H, Y, T sia levogira (7.6). Per ottenere queste forze totali occorreconsiderare le forze che agiscono sull’elemento di pala F x , F r , F z , dove F x è lacomponente della forza aerodinamnica che giace nel piano di controllo ed è perpendicolarealla pala, F z è perpendicolare a F x e giacente nel piano dell’elementodi pala, F r è la componente radiale sul piano di controllo (7.7):

86 Il rotore articolatodLFxdDFzutupFrFz(a)(b)Figura 7.7: Forze aerodinamiche agenti su un elemento di pala, per un rotorein volo traslato.F x = dL dDsin ϕ + cos ϕ,dr drF z = dL dDcos ϕ − sin ϕ,dr dr(7.8)F r = −F z sin βe dL/dr e dD/dr date dadLdr = C 1l2 ρ ∞Ve 2 c,dDdr = C 1d2 ρ ∞Ve 2 c, (7.9)con Ve2 = Ω2 R 2 (u 2 T + u2 P ). La spinta, la resistenza, la forza laterale e la coppiaistantanea che agiscono su una pala sono quindiT ′ =H ′ =Y ′ =Q ′ =( ∫ )RF z dr cos β,∫ R0∫ R00()F x sin ψ + F r cos ψ dr,()− F x cos ψ + F r sin ψ dr,( ∫ )RrF x dr cos β.0(7.10)

7.6 Le forze aerodinamiche sul rotore 87Infine le forze totali medie si ottengono mediando le forze istantanee duranteuna rotazione della pala e moltiplicando per il numero di pale:T = N 2πH = N 2πY = N 2π∫ 2π ∫ R00∫ 2π ∫ R00∫ 2π ∫ R00F z cos βdrdψ,()F x sin ψ + F r cos ψ drdψ,()− F x cos ψ + F r sin ψ drdψ,(7.11)Q = N 2π∫ 2π ∫ R0 0rF x cos βdrdψ.Delle formule più semplici si ottengono nell’ipotesi di angoli piccoli ed elementodi pala che lavora nella parte lineare della curva di portanza. Infatti, in questecondizioni cos β ≈ 1, sin β ≈ β, ϕ ≈ u P /u T , V e ≈ ΩRu T , F z ≈ dL/dr, F x ≈ϕdL/dr +dD/dr, C l = C lα (θ −u P /u T ), con il calettamento θ misurato rispettoalla retta di portanza nulla.In forma adimensionale, la forza che agisce sull’elemento di pala ha componentiF zC lα cρ ∞ Ω 2 R 2 = 1 2 u2 T α e = 1 )(u 2 T2θ − u P u T ,(F xC lα cρ ∞ Ω 2 R 2 = u 2 αeT2 ϕ + C )d2C lα= 1 2()u P u T θ − u 2 P + C du 2 T2C ,lαF rF zC lα cρ ∞ Ω 2 R 2 = −βC lα cρ ∞ Ω 2 R 2 . (7.12)Se si ipotizza, come nella maggior parte dei rotori, che la corda e quindi la

88 Il rotore articolatosolidità sono costanti lungo la pala, si ottieneT cσC lα= 12π∫ 2π ∫ 100)1(u 2 T θ − u P u T d¯rdψ,2H c= 1σC lα 2π−Y cσC lα= 12π−∫ 2π ∫ 10β cos ψ0∫ 2π ∫ 10β sin ψ{ [ )1sin ψ u P u T θ − u2(2 P + C ]du 2 T2C lα[ 12(u 2 T θ − u P u T)]}d¯rdψ,0{ [ )1− cos ψ u P u T θ − u2(2 P + Cd ]u 2 T2C lα[ 12(u 2 T θ − u P u T)]}d¯rdψ,(7.13)Q cσC lα= 12π∫ 2π ∫ 100[ )1¯r u P u T θ − u2(2 P + Cd ]u 2 T d¯rdψ.2C lαRisulta conveniente dividere H c , Y c , Q c nei contributi di profilo o parassitiH cO , Y cO , Q cO , associati cioè all’azione della resistenza aerodinamica dell’elementodi pala, e nei contributi indotti H ci , Y ci , Q ci , associati all’azione dellaportanza. Essi sono dati daH cO = σ 2πY cO = − σ 2πQ cO = σ 2πH ci = σC l α2Y ci = σC l α2Q ci = σC l α2∫ 2π ∫ 100∫ 2π ∫ 100∫ 2π ∫ 1012π12π12π0C d2 sin ψu2 T d¯rdψ,C d2 cos ψu2 T d¯rdψ,C d2 ¯ru2 T d¯rdψ,∫ 2π ∫ 100∫ 2π ∫ 100∫ 2π ∫ 100)()(u T θ − u P u P sin ψ − u T β cos ψ d¯rdψ,)()(u T θ − u P − u P cos ψ − u T β sin ψ d¯rdψ,()¯r u P u T θ − u 2 P d¯rdψ.(7.14)Assumendo, oltre alla forma in pianta rettangolare, che il calettamento siaespresso dalla classica legge lineare θ(¯r) = θ 0 + ¯rθ tn gli integrali possono essererisolti analiticamente abbastanza agevolmente.Per quanto riguarda T c , conviene effettuare prima l’integrazione in dψ.

7.6 Le forze aerodinamiche sul rotore 89∫ 2π0Si nota che(¯r 2 dβ)dβ+ ¯rµdψ dψ sin ψ + ¯rµβ cos ψ dψ =∫ 2πInoltre, per un moto di flappeggio di prima armonica:∫1 2πu P u T dψ = 1 ∫ 2π(2π2π0Quindi0T c = σC l α2∫ 10λ + ¯r dβdψ + µβ cos ψ )(¯r + µ sin ψ0()d¯r 2 β + ¯rµβ sin ψ dψ = 0.dψ(7.15))dψ = λ¯r. (7.16)) ][(θ 0 + ¯rθ tw)(¯r 2 + µ2− λ¯r d¯r. (7.17)2Risolvendo anche questo integrale si ottiene2T c= θ 0(1 + 3 )σC lα 3 2 µ2 + θ )tw(1 + µ 2 − λ 42 . (7.18)Questa relazione mostra l’importante risultato che la spinta non dipende daicoefficienti di flappeggio se è riferita al piano di controllo e nell’ipotesi di β ≪ 1.In modo analogo si procede per il calcolo degli altri coefficienti, tenendoanche conto delle relazioni+ µβ.u P sin ψ − u T β cos ψ = λ sin ψ + ¯r dβ sin ψ − ¯rβ cos ψ,dψu P cos ψ + u T β sin ψ = λ cos ψ + ¯r dβdψ cos ψ + ¯rβ sin ψ (7.19)Per i termini indotti si ottiene (Q ci verrà discusso in seguito):(2H ci= θ 0 − 1 σC lα 3 β 1c + 1 ) (2 µλ + θ tw − 1 4 β 1c + 1 )4 µλ+ 3 4 λβ 1c + 1 6 β 0β 1s + 1 )(β4 µ 0 2 + β1c2 ,(7.20)− 2Y c iσC lα= θ 0[ 34 µβ 0 + 1 3 β 1s(1 + 3 )] [ 12 µ2 + θ tw2 µβ 0 + 1 )]4 β 1s(1 + µ 2− 3 4 λβ 1s + β 0 β 1c( 16 − µ2 )− 3 2 µλβ 0 − 1 4 µβ 1cβ 1s(7.21)Per quanto riguarda i coefficienti di profilo, considerando il coefficiente di resistenzadel profilo costante lungo la pala e pari a ¯C d si haH c0 = σ ¯C d4 µ,Y c0 = 0,(7.22)Q c0 = σ ¯C d8 (1 + µ2 ).

90 Il rotore articolatoSi nota che Q co + µH co= σ ¯C d8(1 + 3µ 2 ) = P co così come ottenuto nella (6.19).7.7 La potenza in volo traslatoAnche in volo traslato la relazione tra coppia e potenza è data daper cuiP = QΩ, (7.23)P c = Q c . (7.24)Questa relazione è valida solo per coppia e potenza totali, in quanto abbiamogià visto che P c0 ≠ Q cO . In questo paragrafo analizziamo più in dettaglio i varicomponenti della potenza e della coppia in volo traslato.Il coefficiente di coppia istantaneo che agisce sulla singola pala ha la componenteindotta data da (C z = dLdr /(ρ ∞Ω 2 R 2 πR)) :Q ′ c i=∫ 10C z ϕ¯rd¯r. (7.25)Analogamente il coefficiente di resistenza istantaneo indotto della pala èSi ottiene quindiQ ′ c i+ µH ′ c i====H ′ c i=∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10∫ 10(ϕ sin ψ − β cos ψ)C z d¯r. (7.26)(uP¯r + µ u )Psin ψ − βµ cos ψ C z d¯ru T u T[ ]uP(¯r + µ sin ψ) − µβ cos ψ C z d¯ru T(u P − µβ cos ψ) C z d¯r(λ + ¯r ˙β)C z d¯r.ΩL’equazione della dinamica della pala può essere scritta come(7.27)∫ 1¨β + Ω 2 β = ¯γ ¯r C z d¯r, (7.28)0dove ¯γ = ρ ∞ Ω 2 R 5 π/I. Utilizzando questa relazione si ottiene12π∫ 2π ∫ 10∫1 2π2π 00¯r ˙βC z d¯r dψ = 1 ∫ 2π2π 0˙β(¨β + Ω β)2 dψ = 1 ∫ 2π¯γ2π 0(∫ 1)˙β ¯rC z d¯r dψ =0Ω2¯γd( ˙β2 + Ω 2 β 2) dψ = 0.dψ(7.29)

7.8 Calcolo dei coefficienti di flappeggio 91Risulta alloraQ ci + µH ci = N 2π∫ 2π ∫ 1Il coefficiente di potenza può essere quindi espresso come00λ C z d¯r = λT c . (7.30)P c = Q c = Q ci + Q c0 + µH ci + µH c0 − µH c= λT c + Q c0 + µH c0 − µH c(7.31)e quindi, essendo Q ci = Q c − Q co e H ci = H c − H co : Q ci = λT c − µH ci .Le equazioni di equilibrio del moto di un elicottero in volo traslato, orizzontaleuniforme a piccolo angolo d’attacco sono:per cuiEssendo:si ottiene, in definitiva:T ≈ W, T sin α = D fus + H; (7.32)α ≈ (D fus + H)/T. (7.33)λ = λ i + µα = λ i + µ D fusW+ µH cT c, (7.34)P c = Q c = λ i T c + µ D fusW T c + Q c0 + µH c0 ; (7.35)cioè il coefficiente di potenza è dato dalla somma del coefficiente di potenzaindotta P ci = λ i T c , dal coefficiente di potenza assorbito dalla resistenza dellafusoliera P cfus = µ D fusW T c e dal coefficiente di potenza parassita del rotoreP c0 = Q c0 + µH c0 .Si nota che anche in questa espressione non compaiono i coefficienti di flappeggio:la potenza è ottenibile ipotizzando il rotore rigido e si ottengono risultatiidentici a quelli discussi nel paragrafo 6.4.7.8 Calcolo dei coefficienti di flappeggioL’equazione della dinamica del flappeggio può essere scritta comeI ¨β + IΩ 2 β =∫ Roppure in termini adimensionali, tenendo conto chesi ottiene∫ R0F z r dr = C lα ρ ∞ Ω 2 R 4 c0∫ 10F z r dr, (7.36)12 (θ − ϕ)u2 T ¯r d¯r, (7.37)d 2 ∫β1dψ 2 + β = γ 12 (θu2 T − u P u T )¯r d¯r = γM F . (7.38)0γ = C lα ρ ∞ R 4 c/I è detto numero di Lock e misura l’importanza relativa tra leforze aerodinamiche e d’inerzia agenti sulla pala. Tipicamente, per un rotorearticolato γ = 8 − 10, per un rotore senza cerniere γ = 5 − 7.

92 Il rotore articolatoPer ottenere un moto di flappeggio di prima armonica anche le forzante deveessere di prima armonica; si ottiene quindi 1( ) )θu 2 T ≈ θ 0 ¯r 2 + µ2+ θ tw(¯r 3 + ¯r µ2+ ( 2¯rµθ 0 + 2¯r 2 )µθ tw sin ψ,22(u P u T ≈ λ¯r + ¯r 2 β 1s + µ¯rβ o + µ 2 β ) (1scos ψ + λµ − ¯r 2 β 1c + µ 2 β )1csin ψ,44(7.39)relazioni che sono state ottenute tenendo conto che∫sin 2 x cos 2 xdx =sin x cos x4(sin 2 x − 1 2)+ x 8(7.40)per cui sin ψ cos 2 ψ ≈ sin ψ/4 e sin 2 ψ cos ψ ≈ cos ψ/4 nell’approssimazione diforzante di sola prima armonica.Effettuando l’integrazione in ¯r si hadove:M F ≈ M F o + M F 1c cos ψ + M F 1s sin ψ, (7.41)M F o = θ 08 (1 + µ2 ) + θ tw2M F 1c = − 1 2[ µβ03 + β 1s4M F 1s = 1 3 µθ 0 + 1 4 µθ tw + β 1c8( ) 15 + µ2− λ 6 6)](1 + µ22) (1 − µ22− λ 4 µ. (7.42)Essendod 2 βdψ 2 + β = β 0, (7.43)si ha che l’equazione (7.38) è risolta se e soltanto seper cuiβ 0 = γM F o , M F 1c = 0, M F 1s = 0, (7.44)[θ0β 0 = γ8 (1 + µ2 ) + θ tw(1 + 5 )10 6 µ2 − λ ],6( 43 θ 0 + θ tw − λ)β 1c = −2µ) ,(1 − µ22(7.45)β 1s = − 4 3 µ β 0). (1 + µ221 Si ricorda che data, una funzione f(ψ) periodica di periodo 2π, lo sviluppo in serie di∞Fourier è dato da f(ψ)¡= fo+ f cn cos(nψ)+f sn con fo = 1 2πf(ψ)dψ, f sin(nψ)¢ cn =n=101 2π2πf(ψ) sin(nψ)dψ.00f(ψ) cos(nψ)dψ, f sn = 1 π£2π£π£

87.9 Rateo di salita 93TxVHGDfusxWFigura 7.8: Schema delle forze agenti su un elicottero in salita di un angolo XL’analisi di queste relazioni consente di ritrovare i risultati anticipati nelparagrafo 7.4, cioè che in hovering β = β 0 , che per distribuzione di masseinfinite (γ → 0)β 0 = β 1s = 0 mentre β 1c ≠ 0.Si ritrova il risultato che β 0 e β 1s dipendono dalla distribuzione delle masse(cioè dipendono dal numero di Lock) al contrario β 1c .7.9 Rateo di salitaL’Equazione dell’equilibrio di un elicottero in salita di un angolo X sono:T cos α + H sin α = W cos XT sin α − H cos α − W sin X − D fus = 0.(7.46)Da queste relazioni è possibile ricavare l’angolo X . Nell’ipotesi di angoli piccoliW = T per cui:sin X = sin α − H T cos α − D fusT . (7.47)Indicando con λ c = V ∞ sin X /(ΩR), il rateo di salita, si ottieneλ c = µ tan α − H cT cµ − 12T cfAµ 3cos 3 α . (7.48)Il rateo si salita può essere legato direttamente al coefficiente di potenza notandoche, nell’ipotesi di angoli piccoli ed in virtù delle (7.46):per cui la (7.34) diventasin α = H cT c+ sin X + D fusW , (7.49)λ = λ i + λ c + µ + H cT c+ µ + µ D fusW , (7.50)

94 Il rotore articolatoottenendo, tramite la (7.31)P c = λ i T c + λ c T c + µ D fusW T c + P c0 , (7.51)con λ i ≈ T c /(2µ) per µ > 0, 1 (vedi paragrafo 6.2)7.10 Procedura per il calcolo delle prestazionidel rotore7.10.1 Funzionamento normaleÈ nota la geometria del rotore, insieme con le prestazioni aerodinamiche delprofilo della pala, è inoltre noto ΩR, e la resistenza della fusoliera (f), il pesodell’elicottero W ed il numero di Lock del rotore γ.Il calcolo può essere effettuato iterativamente assumendo inizialmente α =0 0 .1. Si assegna la velocità V ∞ , per cui è noto µ = V ∞ cos α/(ΩR).2. Dall’equilibrio T = W si calcola T c = W/(ρ ∞ Ω 2 R 2 A).3. λ i ≈ T c /(2µ) ⇒ λ = µ tan α + λ i . Nelle successive interazioni si potràusare λ i = T c /(2 √ µ 2 + λ 2 ).4. La relazione (7.18) consente il calcolo di θ 0 , il passo collettivo.5. Noto il rateo di salita λ c , si può calcolare con la (7.51) il coefficiente dipotenza; oppure dato P c si può calcolare λ c .6. Le relazioni (7.45) consentono il calcolo dei coefficienti di flappeggio β 0 , β 1c , β 1s .7. È quindi possibile calcolare la resistenza del rotore e la forza laterale conle (7.20), (7.21), (7.22).8. Si ricalcola α dalle (7.7) e si ..... il procedimento.7.10.2 AutorotazioneIn questo caso l’incognita fondamentale è Ω. Per determinare le prestazioni inautorotazione si può procedere seguendo i seguenti passi.1. Si assegna µ.2. Dalla (7.31), ponendo P c = 0 si ottiene una relazione θ 0 = θ 0 (λ); sonoquindi note le relazioni T c = T c (λ), H c = H c (λ) ed anche α = α(λ) (dalla(7.7)).3. Si assegna λ c e quindi (dalla (7.51) con, ovviamente, P c = 0) si possonocalcolare λ i e λ.4. Si possono ora calcolare tutti i coefficienti di forza, in particolare T c .5. Dall’equilibrio T c ρ ∞ Ω 2 R 2 A = W è possibile calcolare Ω.

7.11 Ricapitolazione delle assunzioni effettuate 956. Si calcola α (7.7) e quindi V ∞ .Se le prestazioni vengono calcolate per una matrice di condizioni di volo, risultamolto più conveniente, lavorare in modo inverso, assegnando λ e determinandole altre grandezze.7.11 Ricapitolazione delle assunzioni effettuate1. Si è utilizzata la teoria dell’elemento di pala limitata nella sua applicabilitàin prossimità delle estremità delle pale.2. Il moto sulla pala si è assunto di puro flappeggio con variazione del passociclico e collettivo. I gradi di libertà associati con l’arretramento e con levariazioni elastiche del passo sono importanti per lo studio di vibrazioni,carichi ed aeroelasticità, ma, in genere possono essere trascurati nell’analisidelle prestazioni e nel controllo.3. Considerazioni simili possono essere fatte per le armoniche superiori delflappeggio che sono state trascurate. In genere β nc e β ns sono di ordineµ n /n 2 (n ≥ 2).4. È stata trascurata la presenza della zona di flusso inverso, (approsimazionevalida in genere fino a µ ≈ 0.5).5. Si è assunto l’induzione λ i costante sia lungo la pala che al variare di ψ.L’ipotesi è tanto più valida quanto maggiore è µ, ma in genere porta aduna previsione approssimativa del flappeggio laterale.6. Si è assunta forma in pianta del rotore rettangolare e variazione del calettamentolineare (sono comunque classiche scelte progettative).7. Si è trascurata l’eccentricità della cerniera di flappeggio.8. Si è trascurato l’effetto della comprimibiltà.9. Si è assunto C lα = cost con ψ ed α e , non si è tenuto conto del possibilestallo del profilo della pala.7.12 Lo stallo del rotoreDeterminate le prestazioni di un rotore in assegnate condizioni di T c e µ, èpossibile determinare la mappa dell’angolo di attacco α e = α e (¯r, ψ) a cui lavoral’elemento di pala durante la rotazione della pala. Nell’ipotesi di angoli piccoli:α e = θ − u Pu T, (7.52)quindi, per una data legge di calettamento (che tende a far diminuire α e versol’estremità della pala), l’angolo d’attacco dell’elemento di pala dipende da u P eda u T .u T è dato da 2 contributi, uno proporzionale al raggio che quindi porta adun aumento di α e verso l’estremità della pala, ed uno che dipende da µ sin ψ cheporta ad aumenti o diminuzioni di α e in dipendenza del segno di u P .

96 Il rotore articolatoIn definitiva l’effetto più significativo su α e è dato da u P ed in particolaredal termine ˙β¯r che comporta i valori più elevati α e per ψ ≈ 270 0 e ¯r ≈ 1:α e270 0= θ(¯r) + −β 1c¯r/Ω − λ, (7.53)¯r − µSi nota che α e270 0cresce all’aumentare di µ; questa caratteristica comportal’importante risultato che lo stallo della pala limita la velocità massima di volodell’elicottero al contrario dei velivoli ad ala fissa in cui lo stallo limita la velocitàminima.Prendendo come riferimento gli angoli di stallo bidimensionali degli elementidi pala è quindi possibile determinare un sentiero di stallo al variare di T c e,soprattutto, µ.Quando la zona stallata è troppo estesa la condizione di volo non è più mantenibile;(la pala entra ed esce dallo stallo ad elevate frequenze) pregiudicandole qualità di volo, con, inoltre un’inevitabile decadimento delle prestazioni delrotore in termini di T c e P c .Un sentiero di stallo determinato in base alle caratteristiche di portanza“statiche” dei profili del rotore soffre di approssimazioni addirittura maggioridel caso dell’ala fissa a causa del complesso fenomeno dello stallo dinamico.7.13 Stallo dinamico