Linee di trasmissione - Edizioni Cupido
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2Canali <strong>di</strong> comunicazionePortanti FisiciOndeElettromagnetiche<strong>Linee</strong> in Rame Fibre Ottiche Guide d’ondaDoppinoCavoCoassialeFig.1 Classificazione dei principali canali <strong>di</strong> comunicazione.La scelta del tipo <strong>di</strong> canale da impiegare per la <strong>trasmissione</strong> <strong>di</strong>pende da numerosi fattori i piùimportanti sono legati alla banda occupata dal segnale da trasmettere e alla <strong>di</strong>stanza tra gliapparati ricetrasmittenti.Per quanto riguarda la massima frequenza <strong>di</strong> lavoro si ha la seguente classificazione:• doppino telefonico, fino a qualche MHz;• cavo coassiale, fino a qualche GHz;• fibra ottica, fino a qualche decina <strong>di</strong> GHz;• onde elettromagnetiche, fino a <strong>di</strong>verse decine <strong>di</strong> GHz.2. <strong>Linee</strong> <strong>di</strong> <strong>trasmissione</strong>: cavi telefonici e cavi coassialiLe linee <strong>di</strong> <strong>trasmissione</strong> sono i classici sistemi <strong>di</strong> collegamento impiegati per trasferireenergia elettrica tra due apparati <strong>di</strong>stinti.Sono fondamentalmente costituite da due fili isolati fra loro. Nel campo delle trasmissionidati riveste particolare importanza il cavo telefonico e quello coassiale <strong>di</strong> cui in fig. 2 siriportano due tipiche strutture.
Il primo, denominato doppino telefonico, è costituito da due conduttori <strong>di</strong> rame elettroliticopuro al 99% intrecciati ad elica con <strong>di</strong>ametro compreso tra 0.4 mm e 1.3 mm isolati tra loro concarta o polietilene e inseriti in una guaina <strong>di</strong> plastica protettiva. Pùò essere sia schermato (STP –Shielded Twisted Pair) che non schermato (UTP – Unshielded Twisted Pair). Spesso entro lastessa guaina sono inseriti più doppini (fino a 2400 coppie) cordati insieme e avvolti ad elicacome mostrato in fig.2a). In questo modo lo stesso cavo supporta un elevato numero <strong>di</strong> canalitelefonici.Le coppie sono intrecciate tra loro, con opportuno passo, in modo da ridurre l’effetto della<strong>di</strong>afonia. Delle coppie contenute in un cavo non tutte sono utilizzate per l’utenza. Alcune sono<strong>di</strong> servizio per il gestore altre <strong>di</strong> riserva.3ddDDFig. 2 a) Struttura <strong>di</strong> cavo telefonico; b) cavo coassiale.I cavi telefonici sono del tipo a coppie simmetriche poiché i due conduttori <strong>di</strong> ciascuna coppiapresentano caratteristiche elettriche simmetriche rispetto alla terra. I cavi si classificano in:• Cavi a coppia se le <strong>di</strong>verse coppie sono affasciate a due a due, intrecciate ecordate insieme.• Cavi a bicoppie a stella nel caso in cui i fili interni sono affasciati a quattro aquattro, intrecciati e cordati insieme. Il gruppo <strong>di</strong> quattro fili prende il nome <strong>di</strong>bicoppia.• Cavi a bicoppie Dieselhort-Martin (cavi DM) se sono dapprima cablati acoppie e successivamente affasciati a bicoppie e quin<strong>di</strong> intrecciati e cordati insieme.
Il grande vantaggio della rete telefonica commutata sta nell’enorme capillarità deicollegamenti tra i vari utenti sia in ambito nazionale che internazionale.Le linee telefoniche de<strong>di</strong>cate (gestite dalla TELECOM oppure private) non attraversano lecentrali <strong>di</strong> commutazione del traffico telefonico e pertanto consentono una maggiore velocità <strong>di</strong><strong>trasmissione</strong> e un più alto rapporto segnale/rumore.Per migliorare ulteriormente la velocità <strong>di</strong> <strong>trasmissione</strong> le linee de<strong>di</strong>cate sono realizzate concavo coassiale o con fibra ottica piuttosto che con il normale doppino telefonico.Prima <strong>di</strong> intraprendere lo stu<strong>di</strong>o delle linee <strong>di</strong> <strong>trasmissione</strong> si consiglia <strong>di</strong> rivedere quantodetto nel paragrafo 2 del Cap.I a proposito dei moti ondulatori.52.1 Caratteristiche elettriche delle lineeUn generico tratto <strong>di</strong> linea <strong>di</strong> <strong>trasmissione</strong> <strong>di</strong> lunghezza infinitesima dx, si puòschematizzare come in fig. 3.Fig.3 Circuito equivalente <strong>di</strong> un tratto <strong>di</strong> linea infinitesima dx.In particolare:• R rappresenta la resistenza elettrica e <strong>di</strong>pende dal tipo <strong>di</strong> materiale, dalle <strong>di</strong>mensionigeometriche del filo, dalla temperatura e dalla frequenza. Quest’ultimo parametro intervienealle alte frequenze con il cosiddetto effetto pelle (skin effect) a causa del quale la corrente nelconduttore tende, all’aumentare della frequenza, ad addensarsi sempre più sulla superficiedel conduttore. L’effetto è un aumento della resistenza con l’aumentare della frequenza.• L è l’induttanza del tratto <strong>di</strong> linea e tiene conto dei fenomeni <strong>di</strong> autoinduzione e mutuainduzione dei conduttori in corrente alternata. Dipende essenzialmente dalle caratteristichegeometriche della linea e dal numero <strong>di</strong> conduttori entro la guaina del cavo telefonico.• C è la capacità parassita esistente tra i due conduttori metallici e l’isolanteinterposto che funge da <strong>di</strong>elettrico. Dipende essenzialmente dalle caratteristiche geometrichedei conduttori e dalla natura del <strong>di</strong>elettrico.• G rappresenta la conduttanza esistente tra i due conduttori della linea e <strong>di</strong>pende dallanatura dell’isolante, dalla <strong>di</strong>stanza tra i conduttori e dalla frequenza <strong>di</strong> esercizio. Si calcolatendo conto dell’angolo <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta δ del <strong>di</strong>elettrico interposto tra i due conduttori della linea(Si ricor<strong>di</strong> che tg δ = G/ωC).
6I valori <strong>di</strong> R, L, G, e C sono ovviamente “<strong>di</strong>stribuiti” lungo tutta la linea ma in fig. 3 si sonosupposti “concentrati” in un tratto <strong>di</strong> linea <strong>di</strong> lunghezza dx. Tali parametri sono noti comecostanti primarie della linea.Si riportano le formule fondamentali per il calcolo delle costanti primarie nel caso <strong>di</strong> unalinea a coppie simmetriche e <strong>di</strong> un cavo coassiale <strong>di</strong> lunghezza unitaria (fig.2).Linea R [Ω/m] L[H/m] C[F/m] G[S/m]BifilareµπR 0 (0.125⋅d⋅ f +0.25) ln( 2D / d)lnπ ⋅ ε( 2D / d)ωCtgδCoassial 2.64e R 0⋅ f (1 + d / D)Dµ2π⋅ ln( D / d)ln2π⋅ ε( D / d)ωCtgδDove R 0 = ρL/S è la resistenza in corrente continua del conduttore. Ci si riferisce allalunghezza unitaria L = 1m.Per il rame , la resistività ρ = 17.2⋅10 -9 Ωm. Nelle formule per il calcolo <strong>di</strong> R, la frequenza èespressa in KHz e le <strong>di</strong>mensioni dei conduttori in mm 2 .La permeabilità magnetica del materiale vale: µ = µ 0 µ r con µ 0 = 4π10 -7 [H/m], mentre lacostante <strong>di</strong>elettrica ε = ε 0 ε r con ε 0 = 8.84⋅10 -12 [F/m]. Tipicamente per gli isolanti utilizzatirisulta: tg δ ≅ 10 -6 , µ r ≅1 e ε r compreso tra 1 e 2A titolo orientativo si in<strong>di</strong>cano i valori dei parametri caratteristici <strong>di</strong> un doppino telefonicocalcolati alla frequenza <strong>di</strong> 800 Hz, come stabilito dall’ITU-T.d = 0.7 mm; R = 90 Ω/Km; L = 0.7 mH/Km; G = 0.7 µS/Km; C = 38 nF/Km.2.1.1 Equazioni dei telefonistiSe si suppone <strong>di</strong> lavorare con segnali sinusoidali a frequenza f, dalla fig. 3 si deduce:dVVu− Vi=−dV = − ( R+jωL) ⋅I⋅dxovvero : = ( R+jωL) ⋅I(2)dxI udI− I = −dI=− ( G+jωC) ⋅ V ⋅ dx ovvero : = ( G+jωC) ⋅V(3)dxDerivando la (2) rispetto a x si ha:e tenendo conto della (3) si ha:
72d V2dx2dId V= )2dxdx( R+jωL) ⋅ ovvero : = ( R+jωL)( ⋅ G+jωC⋅V(4)R+j L G+jωCposto: γ = ( ω ) ⋅(), la (4) <strong>di</strong>venta:2d V2dx2= γ ⋅V(5)La quantità γ è denominata costante <strong>di</strong> propagazione e ha per <strong>di</strong>mensioni:Ω S 11/mm⋅2m=m= = m -1 .La (5) è una classica equazione <strong>di</strong>fferenziale del secondo or<strong>di</strong>ne che consente <strong>di</strong> determinarel’andamento della tensione lungo la linea.Si <strong>di</strong>mostra che la soluzione generale dell’equazione <strong>di</strong>fferenziale (5) è:-γxγx( ) = V ⋅ e + V ⋅ eV xfr(6)Le quantità V f (forward voltage) e V r (reverse voltage) rappresentano, rispettivamente,l’ampiezza della tensione <strong>di</strong>retta immessa nella linea dal generatore <strong>di</strong> entrata e quella dellatensione riflessa che dall’utilizzatore ritorna verso l’entrata.Il fenomeno è del tutto analogo a quello <strong>di</strong> una corda elastica con un estremo fisso. Se siproduce una deformazione si genera un’onda che si propaga verso l’estremo fisso (onda <strong>di</strong>retta).In tale estrtemo si genera una nuova onda (onda riflessa) che si propaga nella <strong>di</strong>rezione opposta.Derivando la precedente rispetto a x e tenendo conto della (2), si ricava:Vf-γxVrγxI ( x) = ⋅ e − ⋅ e(7)Z Z0Le precedenti relazioni (6) e (7) sono note come Equazioni dei Telefonisti.0Si è posto:R + jωLR(1+jωL/R)Z 0= ==G + jωCG(1+jωC/G)ZY(8)La quantità Z o ha come unità <strong>di</strong> misura [Ω] ed è nota come impedenza caratteristica dellalinea.I parametri Z 0 e γ rappresentano le costanti secondarie della linea.I termini con esponenziale negativo in<strong>di</strong>cano la presenza <strong>di</strong> un’onda <strong>di</strong>retta (ondaprogressiva) che si propaga dal generatore verso l’utilizzatore con ampiezza che decresceallontanandosi dal generatore.I termini con esponenziale positivo in<strong>di</strong>cano la presenza <strong>di</strong> un’onda riflessa (onda regressiva)che si propaga dall’utilizzatore verso il generatore con ampiezza che cresce nella <strong>di</strong>rezionegeneratore-utilizzatore e quin<strong>di</strong> decresce nella <strong>di</strong>rezione opposta. L’onda <strong>di</strong>retta e quella riflessa
(se presente) interagiscono tra loro generando un sistema <strong>di</strong> onde dette onde stazionarie <strong>di</strong> cuisi parlerà più <strong>di</strong>ffusamente nei prossimi paragrafi.Il segno negativo presente nella (7) ci <strong>di</strong>ce inoltre che la corrente <strong>di</strong>retta I f = V f /Z 0 e quellariflessa I r = V r /Z 0 hanno verso opposto.La costante <strong>di</strong> propagazione è un numero complesso che si pone nella forma:γ = α + jβ (9)La costante α è detta costante <strong>di</strong> attenuazione ed in<strong>di</strong>ca l’attenuazione per unità <strong>di</strong> lunghezzache subisce il segnale sinusoidale nel percorrere la linea e si misura in Np/m o in dB/m oppurein Np/Km o in dB/KmLa costante <strong>di</strong> fase β rappresenta lo sfasamento del segnale sinusoidale, per unità <strong>di</strong>lunghezza, lungo la linea e si misura, normalmente in rad/m oppure in rad/Km.Per ricavare i valori <strong>di</strong> α e β in funzione delle costanti primarie si procede nel seguente modo.Posto:8α + jβ =( R+jωL) ⋅ ( G + jωC)Elevando al quadrato ambo i membri ed uguagliando le parti reali e immaginarie si ottiene ilseguente sistema <strong>di</strong> due equazioni nelle incognite α e β.2 22⎧α- β = RG - ω - LC⎨⎩2αβ = ωRC+ ωLGRisolvendo si ricava:1 22 2 2 2 2 2 1α = (R + ω L )(G + ω C ) + (RG - ω LC) [Np/m]221 22 2 2 2 2 2 1β = (R + ω L )(G + ω C ) - (RG - ω LC) [rad/m]22A titolo orientativo si riportano i valori tipici delle costanti secondarie per un cavo coassiale2.6/9.4:- frequenza <strong>di</strong> lavoro1KHz: Z 0 = 75 Ω; α = 0.2⋅10 -3 dB/m; β = 30⋅10 -6 rad/m.- frequenza <strong>di</strong> lavoro1MHz: Z 0 = 75 Ω; α = 2⋅10 -3 dB/m; β = 20⋅10 -3 rad/m.Altri due parametri caratteristici nello stu<strong>di</strong>o delle linee sono la lunghezza d’onda λ e lavelocità <strong>di</strong> propagazione u. La lunghezza d’onda λ è per definizione lo spazio che l’ondapercorre lungo la linea in un tempo pari al nel periodo T = 1/f. Si ha:λ =u⋅ T=u/f [m] (10)
Nello spazio vuoto la velocità <strong>di</strong> propagazione si può ritenere pari a quella della luce (c=3⋅10 8m/s) mentre in una linea tale velocità, in<strong>di</strong>cata con u, è inferiore e vale: u = K⋅c.Il parametro K, denominato fattore <strong>di</strong> velocità, <strong>di</strong>pende dalla costituzione fisica della linea.Tipicamente K = 0.85 ÷ 0.95.La costante <strong>di</strong> fase β si può esprimere anche in funzione <strong>di</strong> λ. Infatti, dopo una <strong>di</strong>stanza pari aλ, il segnale sinusoidale subisce uno sfasamento <strong>di</strong> 2π rad (360°) mentre β è lo sfasamento perunità <strong>di</strong> lunghezza, per cui:λ : 2π = 1:βe quin<strong>di</strong>:2πβ = [ rad / m] (11)λTenendo conto della (10) si ricava:92πβ = =λ2πfuω=uEsprimendo gli sfasamenti in gra<strong>di</strong> si può scrivere:360°β =[ gra<strong>di</strong> / m](12)λDalle relazioni precedenti si deduce che quando un segnale si propaga lungo una lineasubisce sia un’attenuazione che uno sfasamento <strong>di</strong>pendenti dalla frequenza. Se il segnale <strong>di</strong>ingresso non è perfettamente sinusoidale si può scomporre nella somma <strong>di</strong> segnali sinusoidali(sviluppo in serie <strong>di</strong> Fourier) ed applicare ad ogni armonica le relazioni precedenti. Ognicomponente armonica sarà caratterizzata da una propria velocità <strong>di</strong> propagazione e da unapropria attenuazione. Ciò produce una deformazione nella forma del segnale in ricezione sulcarico. In altre parole si <strong>di</strong>ce che il segnale sul carico risulta <strong>di</strong>storto sia in ampiezza che in fase.Pertanto, affinché non vi siano <strong>di</strong>storsioni <strong>di</strong> ampiezza e fase lungo la linea la costante <strong>di</strong>attenuazione α e la velocità <strong>di</strong> propagazione u = ω/β devono essere in<strong>di</strong>pendente dallafrequenza. Pertanto, la costante <strong>di</strong> fase β deve variare linearmente con la frequenza. Ciò accadese è verificata la seguente relazione <strong>di</strong> non <strong>di</strong>storsione o <strong>di</strong> Heaviside:1+jωL/R = 1+jωC/G ovvero: R ⋅ C=L⋅ G (13)Sostituendo tale uguaglianza nelle formule <strong>di</strong> α, β e Z 0 , si ricava:ωα= R⋅G; β = ; u = u1L⋅C ;RZ 0=(14)GAppare evidente che α e u risultano in<strong>di</strong>pendenti dalla frequenza.In una linea <strong>di</strong> <strong>trasmissione</strong> la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Heaviside non è verificata poichégeneralmente si ha: R ⋅C>L⋅ G. Per realizzare la con<strong>di</strong>zione (13) si utilizzano varie tecniche
che consentono <strong>di</strong> aumentare artificialmente il valore della costate L. In ambito telefonico siricordano le classiche tecniche <strong>di</strong>:• Pupinizzazione che consiste nell’inserire in serie alla linea, ad opportune<strong>di</strong>stanze (circa ogni 2Km), delle bobine.• Krarupizzazione che consiste nell’avvolgere intorno alla linea un nastro <strong>di</strong>materiale ferroso.In entrambi i casi, però, si ha una drastica riduzione della banda passante della linea. Per talemotivo attualmente tali tecniche sono state abbandonate e si preferisce impiegare circuiti <strong>di</strong>equalizzazione più complessi.È facile verificare che una linea priva <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te (R = 0; G = 0), o con per<strong>di</strong>te trascurabili,sod<strong>di</strong>sfa la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Heaviside e quin<strong>di</strong> è sicuramente non <strong>di</strong>storcente. In tal caso si ricava:1α = 0 ; γ = jβ = jωLC ; u =L⋅C ;LZ 0=CIn fig.4 si riportano gli andamenti qualitativi <strong>di</strong> α e β per un canale ideale e reale.10αRealeβIdealeα oIdealeRealeffFig. 4 Tipiche risposte in frequenza <strong>di</strong> α e β per un canale ideale e reale.Per concludere si riportano alcuni dati caratteristici del cavo coassiale con conduttori in rameed isolamento in PVC (cloruro <strong>di</strong> polivinile) RG58 A/U:Z 0 = 50Ω; C = 98 pF/m; K = 0.66; α = 0.11 dB/m alla frequenza <strong>di</strong> f = 50 MHz.Nota l’attenuazione <strong>di</strong> un cavo ad una frequenza f si può calcolare l’attenuazione ad unafrequenza f x applicando la seguente formula:αx= α ⋅Ad esempio, per il cavo in esame RG58 A/U alla frequenza f x = 400 MHzl’attenuazione risulta:f xf
Consideriamo il caso <strong>di</strong> una linea <strong>di</strong> lunghezza infinita che, anche se non praticamenterealizzabile, riveste un particolare interesse teorico. Nelle equazioni generali <strong>di</strong> propagazionedate dalle (6) e (7), si è detto che il termine corrispondente all’esponenziale e γx rappresentaun’onda riflessa. Ovviamente, per una linea infinitamente lunga tale contributo è nullo. Infatti sex tende ad infinito, V(x) deve tendere a zero a causa dell’inevitabile attenuazione presente lungola linea. Ciò è possibile solo se V r = 0. Le (6) e (7), <strong>di</strong>ventano:13−γx( ) = V f⋅ eV x(15)per x = 0 si ha, in particolare:IV= (16)Zf −γx( x) ⋅ e0V(0) = V f ; I(0) = V f / Z 0Il termine V f rappresenta l’ampiezza della tensione <strong>di</strong> ingresso V i applicata alla linea.Posto V f = V i , si ha:−γxVx ( ) = Vi⋅e(17)ViIx ( )Ze −γx= ⋅(18)Dividendo membro a membro le precedenti relazioni si ha:0Vx ( )Ix ( )= Z 0(19)Dalla (19) si evince che l'impedenza in un punto qualunque <strong>di</strong> una linea infinitamente lunga ècostante e coincide con Z 0 .Pertanto, se una linea viene chiusa su una impedenza Z u = Z 0 , nella linea non vi sonoriflessioni poiché si comporta come se fosse <strong>di</strong> lunghezza infinita. In tal caso la linea si <strong>di</strong>ceadattata come mostrato in fig.5b.Fig.5. - a) Linea <strong>di</strong> lunghezza infinita priva <strong>di</strong> onda riflessa; b) linea chiusa sull'impedenza caratteristica Z 0 chesimula il comportamento <strong>di</strong> una linea infinita.
14La relazione (17), o in modo analogo la (18), si può scrivere, applicando le formule <strong>di</strong>Eulero (2) :−γx−αx− jβx−αx( ) = V ⋅ e = V ⋅ e ⋅ e = V ⋅ e ( cosβx− jsenβx)V xiiLa precedente espressione ci <strong>di</strong>ce che muovendosi lungo la linea, nel verso positivo delle x, ilmodulo del vettore tensione (o corrente) decresce esponenzialmente, mentre la fase aumenta.Per calcolare l’attenuazione del segnale alla <strong>di</strong>stanza x dal generatore si deve risolverel’equazione:−αx( ) = V i⋅ eV xIn<strong>di</strong>cando con A[dB] = 20LogV(x)/V i l’attenuazione espressa in dB e ricordando che 20Loge= 8.686 si ricava:A[db] = 8.686⋅αxIn molte applicazioni pratiche è conveniente assumere per V i dei valori assoluti (par.7.2Cap.II). Nel caso dei sistemi telefonici si assume V i = 0.775 V e l’unità <strong>di</strong> misuradell’attenuazione è il dBv, mentre per i sistemi in cavo coassiale usati negli impianti TV siassume V i = 1µV e l’attenuazione si esprime in dBµV. Ad esempio, una tensione <strong>di</strong> 100µVequivale a 20Log(100µV/1µV) = 40 dBµV.Per misurare sperimentalmente l’impedenza caratteristica <strong>di</strong> una linea è sufficiente tenereconto del fatto che un tronco <strong>di</strong> linea è equivalente ad un quadripolo simmetrico (Cap.II) percui: Z = Z ⋅ dove Z ia è l’impedenza misurata in entrata con uscita aperta, mentre Z ic è0 iaZicquella misurata con uscita in cortocircuito. Le misure <strong>di</strong> Z ia e Z ic si possono facilmente ottenereimpiegando, ad esempio, un ponte <strong>di</strong> Weatstone in alternata ad una frequenza <strong>di</strong> riferimento paria quella <strong>di</strong> lavoro della linea.i3. Linea <strong>di</strong> lunghezza finita chiusa su un carico genericoConsideriamo una linea <strong>di</strong> lunghezza finita l, chiusa su un carico generico Z u , comemostrato in fig.6. L’energia elettromagnetica che si propaga lungo la linea quando giunge sulcarico Z u ≠ Z 0 in parte è assorbita e in parte è riflessa. Lungo la linea sono presenti,simultaneamente, onde <strong>di</strong>rette, dal generatore verso il carico, e onde riflesse nella <strong>di</strong>rezioneopposta. Tali contributi sono in<strong>di</strong>cati analiticamente nelle equazioni dei telefonisti (6) e (7). Inmolte applicazioni è importante valutare i valori assunti della tensione V(d), della corrente I(d) edell’impedenza Z(d) della linea ad una <strong>di</strong>stanza d dal carico.Supponiamo <strong>di</strong> operare con una linea priva <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te (α = 0) e misuriamo le <strong>di</strong>stanze apartire dal carico Z u .(2) La formula <strong>di</strong> Eulero ci <strong>di</strong>ce che: e ±jβx = cosβx ± jsenβx
Le equazioni generali (6) e (7), ponendo x = l - d e γ = jβ, <strong>di</strong>ventano:15− jβljβdjβl− jβdjβd− jβd( ) V ⋅ e ⋅ e + V ⋅ e ⋅ e = V ⋅ e + V ⋅ eV dI= (20)fr− jβljβdjβl− jβdjβd− jβd( d) I ⋅ e ⋅ e + I ⋅ e ⋅ e = I ⋅ e + I ⋅ e= (21)frfufururuV i Z u V ux dlFig.6. - Linea <strong>di</strong> lunghezza l chiusa su un carico generico Z uI termini V fu e I fu rappresentano, rispettivamente, le componenti della tensione e dellacorrente <strong>di</strong>retta sul carico, mentre i termini V ru e I ru rappresentano le componenti della tensione edella corrente dell’onda riflessa sul carico.Avendo supposto la linea priva <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te è evidente che l’ampiezza dell’onda <strong>di</strong>retta V f eriflessa V r sono costanti lungo tutta la linea e coincidono con i valori assunti sul carico V fu e V ru .Si osservi che la (20) e (21) sono le equazioni dei telefonisti scritte prendendo come origine ilcarico. Pertanto, gli esponenziali hanno segno opposto per l’onda <strong>di</strong>retta e riflessa.Applicando alla (20) le formule <strong>di</strong> Eulero si ha:V(d) = V fu cosβd + j V fu senβd + V ru cosβd - j V ru senβd == (V fu + V ru ) cosβd +j(V fu - V ru ) senβdMa, la tensione <strong>di</strong> uscita è la somma vettoriale delle componenti <strong>di</strong> tensione <strong>di</strong>retta e riflessa:V u = V fu + V ruMentre la corrente relativa all’onda riflessa ha segno opposto rispetto a quella dell’onda<strong>di</strong>retta, per cui:I u = I fu - I fuE quin<strong>di</strong> : Z 0 I u = Z 0 I fu - Z 0 I fu .Per definizione <strong>di</strong> impedenza caratteristica deve essere:Si può pertanto scrivere: Z 0 I u = V fu – V ru .V VZ =fu ru0= .IfuIru
16Tenendo conto delle precedenti relazioni si ha, finalmente:V( d) V cosβd+ jZ I ⋅senβd= (22)u0Procedendo in modo analogo si ricava, per I(d):VuI(d) = Iucosβd+ j senβd(23)Z0L’impedenza Z(d) a <strong>di</strong>stanza d dal carico si ottiene <strong>di</strong>videndo tra loro la (22) e la (23):uZu+ jZ0⋅ tgβdZd ( ) = Z 0⋅Z + jZ ⋅tgβd0u(24)Se nella precedente relazione si pone d = l si ricava l’impedenza d’ingresso della linea. Ilcomportamento potrà essere capacitivo, induttivo o puramente resistivo a seconda dei valoriassunti dal termine βd.Nel seguito saranno analizzati alcuni casi particolari <strong>di</strong> notevole interesse sia teorico chepratico. In particolare si stu<strong>di</strong>erà la linea con uscita in cortocircuito (Z u =0), quella con uscita avuoto (Z u = ∝) e quella <strong>di</strong> lunghezza λ/4.Al momento si vuole solo far osservare che ad una <strong>di</strong>stanza dal carico multipla intera <strong>di</strong>2πnλmezza lunghezza d’onda (d = nλ/2) si ha : tg β d = tg ⋅ = 0 .λ 2⎛ λ ⎞Per cui risulta: Z ⎜n⎟ = Zu⎝ 2 ⎠Pertanto, trascurando l’attenuazione, si può affermare che un tratto <strong>di</strong> linea multiplo intero <strong>di</strong>λ/2 e come se non esistesse ai fini dell’impedenza vista dal generatore <strong>di</strong> entrata.Lo stu<strong>di</strong>o precedente si riferisce al caso elementare <strong>di</strong> segnali puramente sinusoidali. Nellarealtà il segnale che transita lungo una linea si estende entro una certa banda <strong>di</strong> frequenza el’analisi deve essere condotta per le <strong>di</strong>verse componenti armoniche ottenute utilizzando losviluppo in serie <strong>di</strong> Fourier.2.3.1 Coefficienti <strong>di</strong> riflessioneSi definiscono coefficienti <strong>di</strong> riflessione <strong>di</strong> tensione e <strong>di</strong> corrente sul carico, le quantitàvettoriali:Vruρv=(24)VfuIruρi= −(25)IfuIl segno meno sta ad in<strong>di</strong>care, come più volte detto, che le due onde <strong>di</strong> corrente <strong>di</strong>retta eriflessa hanno verso opposto. I due coefficienti <strong>di</strong> riflessione sono uguali ed opposti, infatti:
17Iρi= −IrufuV= −Vrufu/ Z/ Z00V= −Vrufu= −ρVIn alcuni testi i coefficienti <strong>di</strong> riflessione sono in<strong>di</strong>cati con la lettera Γ.Le espressioni vettoriali della tensione e della la corrente in uscita si possono porre nellaforma:VIuu= V + V = V (1 + ρ )(26)furufuVfu= Ifu− Iru= (1 + ρi)(27)Z0vDividendo membro a membro le precedenti e tenendo conto che V u / I u = Z u , si ricava:Zu− Z0ρ v=(28)Z + Zu0Il coefficiente <strong>di</strong> riflessione ρ vè un numero complesso con modulo ρ v e fase ϑ .Il modulo ρ v in<strong>di</strong>ca l’entità della riflessione, mentre la fase ϑ fornisce l'angolo <strong>di</strong> riflessionetra i segnali <strong>di</strong> tensione <strong>di</strong>retti e riflessi.Se si esprimono le (26) e (27) in funzioni <strong>di</strong> ρ i, si ottiene:ρ iZ=−Zuu− Z+ Z00(29)Si osservi, ancora una volta, che ρρvei<strong>di</strong>fferiscono solo per il segno.In particolare, se Z u = Z 0 i coefficienti <strong>di</strong> riflessioni sono nulli e quin<strong>di</strong> non vi sono onderiflesse come già osservato precedentemente.Le considerazioni svolte devono essere ripetute per l’onda regressiva quando ritorna sulgeneratore <strong>di</strong> entrata. Se l’impedenza Z g del generatore <strong>di</strong> ingresso e <strong>di</strong>versa da Z 0 si haZg− Z0riflessione anche in entrata con coefficiente <strong>di</strong> riflessione <strong>di</strong> tensione pari a : ρv= .Z + ZNella pratica si cerca sempre <strong>di</strong> realizzare l’adattamento <strong>di</strong> impedenza sia in entrata che inuscita che, come vedremo nel seguito, consente il massimo trasferimento <strong>di</strong> energia trageneratore e utilizzatore.g0Esempio n. 2Una linea priva <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te, <strong>di</strong> impedenza caratteristica Z 0 = 75Ω è chiusa su un carico Z u =100 + j50 [Ω], sapendo che la frequenza del segnale è f = 150 MHz e che la velocità <strong>di</strong>propagazione u = 2.7 · 10 8 m/sec, determinare:
181) la lunghezza d'onda λ;2) la costante <strong>di</strong> fase β;3) il coefficiente <strong>di</strong> riflessione ρ v.Risoluzione:La lunghezza d'onda λ vale:La costante <strong>di</strong> fase β risulta:u 27 . ⋅10λ= =f 150⋅1086= 18 . mIl coefficiente <strong>di</strong> riflessione ρ vvale:2π628 .β = = = 349 . rad / m = 200 gra<strong>di</strong> / mλ 18 .ρ vZ=ZIl modulo ρ assume il valore:vuu− Z+ Z00100 + j50 − 75==100 + j50 + 7525 + j50175 + j5La fase ϑ vale:2 225 + 50ρ v= = 0. 3072 2175 + 5050 50ϑ= arctg −arctg≅ 63 °25 175Il modulo ρvin<strong>di</strong>ca la frazione <strong>di</strong> onda <strong>di</strong>retta che viene riflessa dal carico.Lo sfasamento ϑ è quello che si viene a generare sul carico tra onda <strong>di</strong>retta e onda riflessa.2.4 Onde stazionarieIn una linea è <strong>di</strong>sadattata (Z u ≠ Z 0 ) la contemporanea presenza <strong>di</strong> onde <strong>di</strong>rette e riflesse cheinteragiscono tra loro genera un segnale risultante denominato onda stazionaria. Vi sono deipunti della linea in cui l'onda <strong>di</strong>retta e riflessa sono in fase e pertanto le loro ampiezze sisommano e c'è un massimo <strong>di</strong> tensione o <strong>di</strong> corrente; viceversa se le due onde sono in
opposizione <strong>di</strong> fase le loro ampiezze si sottraggono e genera un minimo <strong>di</strong> tensione o <strong>di</strong>corrente.I punti <strong>di</strong> massimo sono detti ventri e quelli <strong>di</strong> minimo no<strong>di</strong>. Tra un ventre e un nodol'ampiezza dell'onda stazionaria assume dei valori interme<strong>di</strong> tra il massimo e il minimo.In fig.7 si mostra la <strong>di</strong>stribuzione dell'ampiezza, lungo l’asse x, <strong>di</strong> un'onda stazionaria. Si può<strong>di</strong>mostrare che la <strong>di</strong>stanza tra un ventre e un nodo è pari a λ/4 (Si tenga conto <strong>di</strong> quanto dettonel paragrafo 2.3.2 del Cap.I).19Fig.7 Andamento delle ampiezze <strong>di</strong> un’onda stazionaria.Si definisce rapporto <strong>di</strong> onda stazionaria ROS il rapporto tra il valor massimo e quellominimo della tensione o della corrente. Operando con le tensioni si ha:VmaxROS = =Vmin| V | + | V |f| V | − | V |frr(30)Nella terminologia anglosassone il rapporto d’onda stazionario si in<strong>di</strong>ca con VSWR,acronimo <strong>di</strong> Voltage Stan<strong>di</strong>ng Wave Ratio.In assenza <strong>di</strong> attenuazione i valori <strong>di</strong> V f e V r sono costanti lungo tutta la linea e quin<strong>di</strong>coincidenti con quelli sul carico V fu e V ru .Combinando la (30) con la (24), si ricava:ROSVfrfu( 1+ ρv) 1+ ρv=( 1− ρv) 1- ρvmax f r fu= = =(31)Vmin| V| V| + | V || −|V |VVE’ fondamentale osservare che il ROS <strong>di</strong>pende solo dal modulo del coefficiente <strong>di</strong> riflessione.Per una linea priva <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te il modulo del coefficiente <strong>di</strong> riflessione è costante lungo tutta lalinea e <strong>di</strong> conseguenza il ROS <strong>di</strong>venta un parametro caratteristico della linea.Invertendo la formula si ricava il modulo del coefficiente <strong>di</strong> riflessione in funzione del ROSdella linea:
20ρ v=ROS − 1ROS + 1(32)Il rapporto d’onda stazionaria ROS può variare tra 1 e infinto e fornisce una misura del grado<strong>di</strong> <strong>di</strong>sadattamento <strong>di</strong> una linea.In particolare, se la linea è adattata: ρ v = 0 e ROS = 1; in caso <strong>di</strong> massima riflessione: ρ v = 1 eROS = ∞.L’impedenza Z(d) in un qualunque punto della linea varia in funzione del rapporto V(d)/I(d).In particolare tale impedenza risulta puramente resistiva nei ventri <strong>di</strong> tensione, dove assume ilvalore massimo, in<strong>di</strong>cato con R M , mentre è minima nei no<strong>di</strong> <strong>di</strong> tensione, ed è in<strong>di</strong>cata con R m . Siha:RMV=Imaxmin=VIff+−VIrr=VIff( 1+ ρv) 1= | Z0|( 1+ ρ ) 1-i+ ρρvvIn definitiva:R M = |Z 0 |⋅ ROSAnalogamente si ricava che la resistenza minima:Si ricava:R m = V min /I max =RmVIff| Z0|=ROS−+VIrrDetto ϑ l'angolo <strong>di</strong> fase del numero complesso del coefficiente <strong>di</strong> riflessione ρv, si può<strong>di</strong>mostrare che i ventri <strong>di</strong> tensione <strong>di</strong>stano dal carico <strong>di</strong> una quantità d data dalla seguenterelazione:d =ϑ + 2nπ2βconn =012 , , , ... (33)Nei successivi paragrafi saranno analizzati due fondamentali configurazione <strong>di</strong> linee<strong>di</strong>sadattate: la linea chiusa in corto circuito e la linea con estremi aperti.In tali configurazioni, riportate in fig.8, si ha riflessione totale sul carico per cui l’ondariflessa ha ampiezza uguale a quella dell’onda <strong>di</strong>retta.
21Fig. 8 a) Linea con estremo in corto circuito; b) Linea con estremo aperto.2.5. Linea in corto circuitoLa linea in corto circuito, detta anche stub, si ottiene ponendo Z u = 0, come mostrato infig.8a). In tal caso si ha:ρv=ZZuu− Z+ Z00Zu− Z0=− 1; ρi=− = 1; ROS = ∞ (34)Z + Zu0Poiché ρ v= -1 si deduce che in uscita la tensione <strong>di</strong>retta è in opposizione <strong>di</strong> fase con quellariflessa e ciò è evidente poiché, essendo Z u = 0, anche V u = V f + V r = 0 (nodo <strong>di</strong> tensione) equin<strong>di</strong> V f = -V r ; mentre ρ i= 1 sta ad in<strong>di</strong>care che in uscita la corrente <strong>di</strong>retta e quella riflessasono in fase per cui è presente un ventre <strong>di</strong> corrente.Le espressioni della tensione V(d), della corrente I(d) e dell'impedenza Z(d) ad una <strong>di</strong>stanza ddall'uscita valgono, tenendo conto della (22) e (23)Vd ( ) = jZI d Id ( ) I d Zd ( )0 usen β ; =ucos β ; = jZtg0β d(35)dove I u è la corrente <strong>di</strong> cortocircuito. L'impedenza della linea, in tal caso, è puramente reattivae la suscettanza B, vale:1 1B = = −j ctgβ d(36)Z Z0In fig.9 si mostrano i tipici andamenti dell’ampiezza e della fase delle onde stazionarie <strong>di</strong>tensione e corrente per una linea in corto circuito.
22Fig.9 Andamento dell’ampiezza e della fase della tensione e della corrente in una linea chiusa incortocircuito.2.6. Linea apertaQuando l'uscita è un ramo aperto (fig.8b) si ha: Z u = ∞. I coefficienti <strong>di</strong> riflessione e ilROS valgono:Zu− Z0Zu− Z0ρv= = 1; ρi= − =− 1; ROS =∞ (37)Z + ZZ + Zu0Le precedenti relazioni mostrano che, in questo caso, la tensione <strong>di</strong>retta e riflessa sono infase, mentre la corrente <strong>di</strong>retta e riflessa sono in opposizione <strong>di</strong> fase per cui in uscita si ha unventre <strong>di</strong> tensione e nodo <strong>di</strong> corrente.Per quanto riguarda la tensione, la corrente e l’impedenza in un punto a <strong>di</strong>stanza d dall’uscita,si ha:Vd ( ) = Vu⋅cosβ d; Id j V u( ) = ⋅senβ d ; Zd ( ) = − jZ0 ⋅ ctgβ d (38)Z0u0Gli andamenti spaziali della tensione e della corrente delle onde stazionarie presenti in unalinea aperta sono sostanzialmente identici a quelli <strong>di</strong> fig. 9 con la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> scambiare ilgrafico della corrente con quello della tensione.2.7. Linea lunga λ/4 e linea lunga λ/2
Si definisce linea in quarto d’onda una linea <strong>di</strong> lunghezza l = λ/4 chiusa su un caricogenerico Z u . Lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> tale linea è importante poiché essa è spesso impiegata per realizzarel’adattamento <strong>di</strong> impedenza e in tale applicazione è denominata trasformatore <strong>di</strong> impedenza. Infig. 10 si riporta una schematizzazione <strong>di</strong> una linea in quarto d’onda.23Fig. 10 Linea in quarto d'onda.Tenendo conto delle (22) e (23) si ricava:Vd ( )Zd ( ) = =Id ( )Vu⋅ cosβd+ jZ0Iu⋅ senβdZu+ jZ0⋅ tgβdI d j V d = Z0⋅u⋅ senβZ0+ jZu⋅tgβdu⋅ cosβ+Z0(39)Ponendo β = 2π/λ e d = λ/4, la precedente espressione fornisce il valore dell’impedenza <strong>di</strong>ingresso della linea in quarto d’onda:ZiZZ= 0 2u(40)Se la linea ha una lunghezza l = λ/2 ed è chiusa su un carico generico Z u , l’impedenzad’ingresso vale:Z i = Z u.Ciò si ricava facilmente ponendo nella (39) β = 2π/λ e d = λ/2.2.8. Adattamento <strong>di</strong> impedenzaQuando una linea <strong>di</strong> <strong>trasmissione</strong> è connessa ad un carico Z u , si desidera che tutta la potenzache il generatore invia lungo la linea sia totalmente assorbita dall’utilizzatore.Ciò si verifica se la linea è adattata cioè è chiusa su una impedenza Z u = Z 0 per cui non visono onde riflesse. Infatti, la potenza assorbita dal carico Z u si può esprimere come <strong>di</strong>fferenzatra la potenza apparente associata all’onda <strong>di</strong>retta e quella dell’onda riflessa:
24P = P f− Pr = Vf ⋅I f−Vr⋅ I r(41)Tenendo conto che i moduli dei coefficienti <strong>di</strong> riflessione della tensione e della corrente sonouguali tra loro la potenza riflessa si può porre nella forma:P r = V r ⋅I r = (ρ v V f )⋅( ρ i I f ) = ρ v 2 ⋅P fPer cui:P = P f ⋅(1 - ρ v 2 )Si definisce per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> potenza per riflessione p r la seguente quantità:pr= 10 Log P f⋅ = -10⋅Log (1 - ρ 2 v ) [dB]POvviamente la potenza P è massima e la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> potenza per riflessione è nulla in assenza<strong>di</strong> riflessione.Se Z u ≠ Z 0 si deve procedere all’adattamento <strong>di</strong> impedenza. I meto<strong>di</strong> impiegati nella praticaconsistono nell’uso <strong>di</strong> una linea in quarto d’onda se il carico Z u è puramente resistivo o <strong>di</strong> unalinea in corto circuito (stub) per un carico generico.2.8.1. Adattamento con linea in quarto d’ondaIn fig.11a) si mostra una schematizzazione <strong>di</strong> un adattamento con linea in quarto d’onda. Siinterpone nella parte terminale della linea un tronco <strong>di</strong> lunghezza λ/4 con caratteristicheelettriche <strong>di</strong>verse da quella della linea principale.Fig.11a) Adattamento <strong>di</strong> impedenza con tronco <strong>di</strong> linea in λ/4.Se Z 01 è l’impedenza caratteristica del tronco in quarto d’onda, l’impedenza che la lineaprincipale “vede” come carico effettivo è, per la (40):2Z Z Ri= 01/u(42)
Scegliendo opportunamente il tronco <strong>di</strong> linea in quarto d’onda si può fare in modo che Z i = Z 0dove Z 0 è l’impedenza caratteristica della linea che si vuole adattare. Si ha, in tal caso:Z01 = Z0⋅Ru252.8.2. Adattamento con stubNel caso che l’utilizzatore Z u sia un carico generico, per realizzare l’adattamento si impiegaun tratto <strong>di</strong> linea <strong>di</strong> lunghezza l chiuso in corto circuito e connesso ad una opportuna <strong>di</strong>stanza ddal carico, come mostrato in fig. 11b).Fig.11b) Adattamento <strong>di</strong> impedenza con stub.Affinché vi sia adattamento, l’impedenza della linea “vista” da AB deve assumere un valorepuramente resistivo pari a Z 0 . Lo stub (letteralmente “mozzicone”) deve quin<strong>di</strong> trovarsi ad una<strong>di</strong>stanza d dal carico tale che la componente resistiva dell’impedenza della linea in AB siauguale a Z 0 . La lunghezza l dello stub deve essere scelta in modo da assumere un valore <strong>di</strong>reattanza, data dalla (35), che neutralizzi quella che la linea presenta nei punti AB.Per il <strong>di</strong>mensionamento, noti i valori <strong>di</strong> Z u , Z 0 , e β si ricava, dalla (39), l’ammettenza Y(d) =1 / Z(d) della linea a <strong>di</strong>stanza d dal carico.1 Z0+ jZu⋅ tgβdYd ( ) = ⋅Z Z + jZ ⋅tgβd0u0(43)Sviluppando la (43) si ottiene:21 1−ρvYd ( ) = ⋅2Z 1+ ρ + 2ρ ⋅cosϑ−2β0vv( d)( − d)cos( d)1 2ρv⋅senϑ 2β− j ⋅ Z21+ ρ + 2ρ ⋅ ϑ−2β0vv(44)
26dove ϑ e ρ v sono rispettivamente la fase e il modulo del coefficiente <strong>di</strong> riflessione dato dalla(28).Uguagliando la parte reale della (44) alla conduttanza caratteristica della linea G 0 =1/Z 0 si puòricavare il valore della <strong>di</strong>stanza d a cui inserire lo stub.Si ottiene:cos( ϑ−2βd)= −ρvda cui:( −ρ)ϑ−arccosvd =(45)2βTale valore si sostituisce nella parte immaginaria della (44) e si eguaglia la quantità cosìottenuta cambiata <strong>di</strong> segno, con la suscettanza della linea in corto circuito, <strong>di</strong> lunghezza l , datadalla (36). Si ottiene:11 2ρvsen( ϑ − 2βd)− j ⋅ cot gβl= j ⋅2ZZ 1+ ρ + 2ρcos ϑ − 2 dSemplificando, si ha:( )0 0 v vβ( ϑ − 2βd)2ρvsencot gβl= −21− ρvRisolvendo si ottiene:1 ⎡ 2ρ( ) ⎤vsenϑ − 2βdl = arccot g⎢−2 ⎥⎦ (46)β ⎣ 1− ρvLe espressioni (45) e (46) consentono <strong>di</strong> risolvere il problema dell’adattamento con lo stub.In alternativa al metodo analitico esposto, per calcolare d ed l dello stub, si può impiegare unmetodo grafico che fa uso <strong>di</strong> un particolare <strong>di</strong>agramma noto come carta <strong>di</strong> Smith.2.8.3 Collegamento tra linee sbilanciate e bilanciateUna linea si <strong>di</strong>ce bilanciata se i conduttori che costituiscono la linea presentano caratteristichesimmetriche rispetto al potenziale <strong>di</strong> terra. È questo il caso delle linee bifilari, come il doppinotelefonico, nel quale il valore dell’impedenza tra ciascun conduttore e la terra risulta la stessa.In caso contrario la linea si <strong>di</strong>ce sbilanciata. Ciò accade, ad esempio, nel cavo coassiale dovela calza metallica è normalmente collegata a terra.Se si deve collegare una linea sbilanciata ad una carico flottante o ad una linea bilanciata ènecessario utilizzare delle soluzioni atte a garantire la simmetria del collegamento in modo darealizzare un perfetto adattamento. I <strong>di</strong>spositivi che realizzano tale adattamento sono denominati
BALUN (BALanced to UNbalanced adapter). Un classico esempio <strong>di</strong> connessione tra un cavosbilanciato ed un carico bilanciato si ha nel collegamento tra un cavo coassiale ed un’antennaTV a <strong>di</strong>polo ripiegato (antenna televisiva Yagi).Per realizzare l’adattamento si utilizzano varie soluzioni. In fig. 12 si riportano due tra le piùutilizzate nella pratica.27a) Balun a trasformatore.AZ u /2λ/2Z u /2Bb) Balun con linea lunga λ/2.Fig. 12 Adattamento tra linea sbilanciata e linea o carico bilanciato.Nel caso del Balun a trasformatore l’adattamento è realizzato attraverso un trasformatore connucleo toroidale <strong>di</strong> ferrite sul cui primario è collegato il cavo coassiale. Il secondario consente <strong>di</strong>ottenere due correnti bilanciate che alimentano il carico. Il trasformatore, tra l’altro, consenteanche un adattamento d’impedenza. È noto, infatti, che in<strong>di</strong>cando con N 1 e N 2 il numero <strong>di</strong> spiredel primario e del secondario la resistenza vista dal primario vale (N 1 /N 2 ) 2 ⋅R L . Dove si èin<strong>di</strong>cato con R L il valore della resistenza <strong>di</strong> carico.È questo il classico caso del collegamento tra cavo coassiale sbilanciato a 75 Ω e antennatelevisiva a <strong>di</strong>polo ripiegato (carico bilanciato) con impedenza <strong>di</strong> 300 Ω. In questa applicazioneil balun realizza anche l’adattamento d’impedenza.Infatti, se si sceglie N 1 /N 2 = 1/2 risulta che la resistenza vista dal primario è pari a 300Ω/4 =75Ω esattamente uguale a quella del cavo <strong>di</strong> <strong>di</strong>scesa TV.Nel balun con linea lunga λ/2 l’adattamento si realizza impiegando un cavo dello stesso tipo<strong>di</strong> quello principale ma <strong>di</strong> lunghezza esattamente uguale a λ/2. La simmetria è assicurata dal
fatto che una linea <strong>di</strong> lunghezza λ/2 ha la proprietà <strong>di</strong> invertire la fase della tensione e dellacorrente in uscita rispetto a quelle <strong>di</strong> entrata. Inoltre, l’impedenza <strong>di</strong> entrata coincide con quella<strong>di</strong> carico. Anche questo tipo <strong>di</strong> balun realizza un adattamento <strong>di</strong> impedenza nel rapporto <strong>di</strong> ¼.Infatti, i due estremi <strong>di</strong> uscita A e B oscillano con tensioni in opposizione <strong>di</strong> fase pertanto uneventuale carico Z u collegato sui terminali <strong>di</strong> uscita si può considerare la serie <strong>di</strong> due impedenze<strong>di</strong> valore pari a Z u /2 con il punto centrale a massa. L’impedenza del carico verso massa è,pertanto, il parallelo tra due impedenze uguali <strong>di</strong> valore Z u /2. Tale parallelo vale Z u /4. In talmodo un carico Z u = 300Ω è visto dal cavo coassiale come una impedenza <strong>di</strong> 75Ω.282.9. Linea in regime impulsivoNei paragrafi precedenti si è analizzato il comportamento <strong>di</strong> una linea nel caso <strong>di</strong> segnalisinusoidali. Spesso, però, una linea è comandata da segnali <strong>di</strong> tipo impulsivo <strong>di</strong>gitalicaratterizzati da due soli livelli <strong>di</strong> tensione basso e alto. In questi casi l’analisi dellapropagazione del segnale è sviluppata con meto<strong>di</strong> <strong>di</strong>versi da quelli analizzati fin ora.In questa sede sarà sviluppato, me<strong>di</strong>ante un esempio numerico, il metodo <strong>di</strong> Bergeron.Si consideri il collegamento <strong>di</strong> fig.13 in cui un generatore <strong>di</strong> segnale a gra<strong>di</strong>no <strong>di</strong> ampiezza E= 5 V, e resistenza interna R s = 50 Ω pilota, tramite una linea <strong>di</strong> lunghezza l= 5 m e impedenzacaratteristica Z 0 = 75 Ω , un carico resistivo R L = 150 Ω. Si suppone nota la velocità <strong>di</strong>propagazione u = 2.5⋅10 8 m/sec.Fig.13 Trasmissione <strong>di</strong> un segnale <strong>di</strong>gitale.Nell’istante t = 0, nel quale si manifesta il fronte <strong>di</strong> salita del segnale <strong>di</strong> entrata, il generatorevede ai morsetti <strong>di</strong> entrata l’impedenza caratteristica della linea Z 0 e, pertanto, genera un’onda<strong>di</strong>retta <strong>di</strong> ampiezza:Vi( 0 ) =E⋅Z0R + Zs0= 575 ⋅125 = 3 VTale transizione si propaga lungo la linea e dopo un tempo t p pari a:t p= l u = 52.5⋅108= 20 nsec
giunge sul carico ove subisce una riflessione essendo R L ≠ Z 0 . Il coefficiente <strong>di</strong> riflessione sulcarico vale:29ρ VL= R − ZR + ZL 0L0=150 - 75150 + 75 = 1 3L’onda riflessa V or che torna verso il generatore ha ampiezza:V or (t p ) = ρ VL ⋅V i (0) = 1 VNell’istante t = t p la tensione complessiva sul carico è la somma algebrica del segnale <strong>di</strong>rettoe <strong>di</strong> quello riflesso:V 0 (t p ) = V i (0) + V or (t p ) = 3+1 = 4 VIl segnale V or (t p ) torna verso il generatore e dopo un ulteriore tempo t p giunge in entrata esubisce una ulteriore riflessione poiché R s ≠ Z 0 . Il coefficiente <strong>di</strong> riflessione in entrata vale:ρ VS= R Z s−0 50 - 75=R + Z 50 + 75 = -0.2L’ampiezza del corrispondente segnale riflesso, è:s0V ir (2t p ) = ρ VS ⋅V or (t p ) = -0.2⋅ 1 = -0.2 VNell’istante 2t p il segnale complessivo <strong>di</strong> entrata, vale:V i (2t p ) = V i (0) + V or (t p ) + V ir (2t p ) = 3+1 - 0.2 = 3.8 VIl segnale riflesso V ir (2t p ) ritorna verso il carico e dopo un tempo complessivo pari a 3t p loraggiunge e subisce una ulteriore riflessione generando il segnale:Il segnale complessivo sul carico vale:V or (3t p ) = ρ VL ⋅V ir (2t p ) = 1 ⋅( −02 . )= - 0.06663V o (3t p ) = V o (t p ) + V ir (2t p ) + V or (3t p ) = 4 - 0.2 - 0.0666 = 3.733 VIl segnale riflesso V or (3t p ) ritorna verso il generatore e subisce una ulteriore riflessione e ilciclo si ripete. E’ facile verificare che:V ( 4t ) = 3746 . V ; V ( 5t) ≅ 375 . Vi p 0 pIn fig.14 si riportano i <strong>di</strong>agrammi temporali <strong>di</strong> V i e V 0 ottenuti al computer utilizzando unprogramma <strong>di</strong> simulazione.
30Fig.14 Andamenti temporali <strong>di</strong> V i e V 0 per il collegamento <strong>di</strong> fig.13.Le tensioni V i (t) e V 0 (t) si possono ritenere a regime quando l’entità dei segnali riflessi ètrascurabile. Essendo la linea priva <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te, a transitorio esaurito, è assimilabile a un cortocircuito ed il collegamento si riconduce a quello <strong>di</strong> fig.15.V0Fig.15E⋅RL5 150( ∞ ) = Vi( ∞ ) = = ⋅ = 375 . VR + R 200SIn questo caso la tensione sul carico si può ritenere a regime dopo un tempo <strong>di</strong> assestamento:t ≅ 5t= 100 nsec.apSe il segnale <strong>di</strong> entrata commuta al livello basso E=0 si può ripetere l'analisi precedente ed èfacile verificare che è necessario un tempo t a ≅100 nsec, per ottenere la nuova situazione <strong>di</strong>regime: V i = V 0 = O. Nel caso che V S generi onde quadre per ottimizzare il collegamento èL
necessario che il periodo T sia maggiore <strong>di</strong> 2⋅t a . Pertanto la massima frequenza fmax <strong>di</strong> lavoro,deve essere:31Essendo t a = 100 nsec., si ha:fmax< 12t af max< 5 MHzIn pratica per migliorare la risposta in frequenza si realizza l'adattamento <strong>di</strong> impedenza.In fig. 16 si mostrano due semplici soluzioni.Fig.16La prima è impiegata quando R S