7. Algoritmi esatti per il Vehicle Routing Problem

7. Algoritmi Esatti per il VRP 1Algoritmi esatti per il VRPI metodi esatti per la risoluzione ottima del VRP sono classificati inbase al tipo di matrice dei costi [c ij ] che puó essere:Simmetrica: c ij = c ji , ∀(i,j) ∈ A;Asimmetrica: c ij ≠ c ji , per qualche arco (i,j) ∈ A.Nel caso simmetrico, definiamo G = (V,E) un grafo non orientatodove:V = {0}∪V ′ è l’insieme dei vertici;{0} è il deposito;V ′ è l’insieme dei clienti;E rappresenta l’insieme dei lati;Ad ogni lato e = (i,j) = (j,i) ∈ E è associato un costo c ij .Analogamente per il caso asimmetrico definiamo un grafo orientatoG = (V,A) dove:A rappresenta l’insieme degli archi;Ad ogni lato a = (i,j) ∈ A è associato un costo c ij .Sia q i > 0 la richiesta del cliente i, ∀i ∈ V ′ .Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 2Consideriamo che la matrice dei costi soddisfi le seguenti proprietà:1. Costi non negativi:c ij ≥ 0, ∀i ∈ V, ∀j ∈ V;2. Vale la triangle inequality:c ik +c kj ≥ c ij , ∀i ∈ V, ∀j ∈ V, ∀k ∈ V;Se il problema parte da una rete (ad esempio stradale o di telecomunicaizoni),la matrice dei costi è generalmente costruita in una fase dipreprocessing calcolandoc ij = lunghezza cammino minimo da i a j, ∀i ∈ V, ∀j ∈ V.Sia data una flotta di M veicoli identici di capacità Q, situati al deposito0.In letteratura sono state presentate diverse formulazioni matematicheper il VRP che possono essere classificate in:Formulazioni Vehicle-Flow,Formulazioni Commodity-Flow,Formulazioni Set-Partitioning.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 3Formulazione Vehicle Flow a 2-indiciSia Φ = {S : S ⊆ V ′ ,|S| ≥ 2,|S| ≤ |V|−2} l’insieme dei possibiliinsiemi S contenenti un certo numero di clienti.Per ogni S ∈ Φ siaS l’insieme complementare dei vertici: S = V \S.Sia inoltre q(S) = ∑ i∈Sq i la domanda dell’insieme S ⊆ V ′ .Sia r(S) il numero minimo di veicoli necessari per servire l’insieme diclienti S ∈ Φ:Trovare il valore esatto di r(S) implica risolvere un Bin PackingProblem (BPP) con capacità del bin uguale a Q e pesi degli oggettiuguali alle domande dei clienti q i ;Normalmente si approssima il valore esatto con il lower bound:r(S) =⌈ ⌉ q(S).QConsideriamo inizialmente il caso asimmetrico (più generale).Per ogni lato {i,j} ∈ A si consideri la variabile decisionale:x ij =∀i ∈ V, ∀j ∈ V.{ 1 se il lato (i,j) é in soluzione;0 altrimentiMetodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 4La formulazione 2-indici del VRP (TI) è la seguente:z(TI) = Min ∑ ∑c ij x ij (1)i∈V j∈Vs.t. ∑ x ij = 1, ∀j ∈ V ′ (2)i∈V∑x ij = 1, ∀i ∈ V ′ (3)j∈V∑x i0 = M, (4)i∈V∑x 0j = M, (5)j∈V∑∑x ij ≥ r(S), ∀S ∈ Φ (6)i∈S j∈Sx ij ∈ {0,1}, ∀i,j ∈ V (7)I vincoli di tipo (6) sono definiti Capacity Cut Constraints (vincoli dicapacità).Il numero di questo tipo di vincoli è esponenziale (in tutto 2 n ). Datoinfatti un grafo con n nodi, esistono ( n k) = n! insiemi S di cardinalità|S| =k!(n−k)!k.Dato che per ogni cliente ho un arco entrante e uno uscente ho che(6) è equivalente a (8):∑∑x ij ≥ r(S), ∀S ∈ Φ (8)i∈Sj∈SMetodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 5Esiste una formulazione equivalente per i vincoli di capacità.Per ogni j ∈ S valgono (2) e (3), per cui:∑x ij = 1, ∀j ∈ S,∀S ∈ Φi∈V∑x ij + ∑ x ij = 1, ∀j ∈ S,∀S ∈ Φi∈S i∈Sottengo:⎛ ⎞∑⎝ ∑ x ij + ∑ x ij⎠ = |S|, ∀S ∈ Φj∈S i∈S i∈S∑∑x ij + ∑ ∑x ij = |S|, ∀S ∈ Φj∈S i∈S j∈S i∈S∑∑x ij = |S|− ∑ ∑x ij , ∀S ∈ Φj∈S i∈S j∈Si∈Sconsiderando (8) ho che:∑∑x ij ≤ |S|−r(S), ∀S ∈ Φj∈S i∈SQuesti ultimi vincoli sono definiti Generalized Subtour EliminationConstraints.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 6Nel caso simmetrico la formulazione può essere semplificata come:z(TI ′ ) = Min ∑ e∈Es.t. ∑e∈δ(i)∑e∈δ(0)∑e∈δ(S)c e x e (9)x e = 2, ∀j ∈ V ′ (10)x e = 2M, (11)x e ≥ 2r(S), ∀S ∈ Φ (12)x e ∈ {0,1}, ∀e ∈ E \δ(0) (13)x e ∈ {0,1,2}, ∀e ∈ δ(0) (14)dove δ(i) è l’insieme di lati incidente in i, ∀i ∈ V.La formulazione TI vale per matrici dei costi simmetriche ed asimmetriche.AncheinquestocasoiCapacityCutConstraintspossonoessereespressicome Generalized Subtour Elimination Constraints:∑e∈E(S)x e ≤ |S|−r(S), ∀S ∈ Φ (15)dove E(S) esprime l’insieme di lati interni all’insieme S: E(S) = {e =(i,j) : i ∈ S,j ∈ S}.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 7Lower bound basato sulla formulazione 2-indici: b-matchingRimovendo dalla formulazione TI i vincoli di capacità (6) si ottieneil seguente lower bound LB1 (problema di b-matching):z(LB1) = Min ∑ i∈V∑c ij x ijj∈Vs.t. ∑ x ij = 1, ∀j ∈ V ′i∈V∑x ij = 1, ∀i ∈ V ′j∈V∑x i0 = M,i∈V∑x 0j = M,j∈Vx ij ∈ {0,1}, ∀i,j ∈ Vche può essere risolto in tempo polinomiale con complessità O(n 4 ).Si noti che una soluzione di LB1 può risultare non ammissibile per ilVRP in quanto:(i) la domanda associata ad un ciclo contenente il deposito può eccederela capacità Q;(ii) alcuni cicli possono risultare disconnessi dal deposito.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 8Lower bound basato sulla formulazione 2-indici: k-treeRimovendo dallaformulazione TI i vincoli (2) (3) erilassandoilrighthand-sidedei vincoli di capacità (6) ad 1, si ottiene il seguente lowerbound LB2:z(LB2) = Min ∑ i∈V∑c ij x ijj∈Vs.t. ∑ x i0 = M,i∈V∑x 0j = M,j∈V∑∑x ij ≥ 1, ∀S ∈ Φi∈Sj∈Sx ij ∈ {0,1}, ∀i,j ∈ Vla cui soluzione consiste nella determinazione di un albero ricoprente dicosto minimo con il vincolo aggiuntivo che il vertice 0 abbia 2M latiincidenti (k-tree). Un k-tree può essere calcolato in tempo O(n 3 ).In questo caso i vincoli di capacità impongono solo la connessione ditutti i veritici nel grafo.Si noti che una soluzione di LB2 può risultare non ammissibile per ilVRP in quanto:(i) la domanda associata ad un sottoalbero che si dirama dal vertice 0può eccedere la capacità Q;(ii) alcuni vertici possono avere grado diverso da 2.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 9Formulazione Set-PartitioningR: insieme degli indici di tutte le route ammissibili;a ij : coefficiente binario uguale a 1 se la route j ∈ R contiene ilcliente i ∈ V ′ , 0 altrimenti;ĉ j : costo della route j ∈ R;Per ogni route j ∈ R si consideri la variabile decisionale:y j ={ 1 se la route j viene scelto nella soluzione;0 altrimenti.La formulazione Set Partitioning del VRP (SP) é la seguente:z(SP) = Min ∑ ĉ j y j (16)j∈Rs.t. ∑ ij y j = 1,∀i ∈ Vj∈Ra ′ (17)∑y j = M (18)j∈Ry j ∈ {0,1}, ∀j ∈ R (19)LaformulazioneSet-Partitioningbensiadattaamodellarevincolisulleroute di tipo diverso fra i quali, ad esempio, le time windows.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 10Formulazione commodity-flow di tipo 2-CommoditySi consideri il grafo ˜G = (Ṽ,Ẽ) (˜G = (Ṽ,Ã)) ottenuto da G aggiungendoil nodo n+1 che è una copia del nodo 0 di G.In questa formulazione o rappresenta il deposito di partenza e n+1il deposito di arrivo (eventualmente distinti).Si ha:Ṽ = V ∪{n+1},V ′ = Ṽ \{0,n+1},Ẽ = E ∪{{i,n+1},i ∈ V ′ },(Ã = A∪{(i,n+1),i ∈ V ′ }),c i,n+1 = c 0i , ∀i ∈ V ′ ,c 0,n+1 = c n+1,0 = 0.La formulazione 2-commodity usa due variabili di flusso, f ij e f ji , perrappresentare un lato (i,j) ∈ Ã di una soluzione ammissibile del VRP.Le variabili di flusso definiscono due circuiti distinti:un circuito dal vertice 0 al vertice n+1 rappresentante il carico delveicolo;un circuito dal vertice n + 1 al vertice 0 rappresentante lo spazioresiduo del veicolo.Esempio: singola route per 3 clienti con veicolo di capacità Q = 15.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 11q 2 = 711 24q 8 = 384 119 q 9 = 4P αP β1411500Deposito inizialen+1Deposito finaleCircuito P α : carico del veicolo.Circuito P β : spazio residuo.Su ogni lato si ha f ij +f ji = Q = 15.Si noti che f 08 rappresenta il carico con il quale il veicolo lascia il depositoedèpariallasomma delle domande dei clienti associatialla route.Analogamente f n+1,9 rappresenta la capacità del veicolo.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 12Formulazione 2-Commodityz(TC) = Min ∑ i∈Ṽs.t. ∑ j∈Ṽ∑∑c ij x ij (20)j∈Ṽ(f ji −f ij ) = 2q i ∀i ∈ V ′ (21)j∈V ′ f 0j = q(V ′ ) (22)∑j∈V ′ f j0 = MQ−q(V ′ ) (23)∑j∈V ′ f n+1,j = MQ (24)f ij +f ji = Qx ij , ∀(i,j) ∈∑à (25)x ij = 1, ∀i ∈ V ′ (26)j∈Ṽ∑x ji = 1, ∀i ∈ V ′ (27)j∈Ṽf ij ≥ 0, ∀(i,j) ∈ à (28)x ij ∈ {0,1}, ∀(i,j) ∈ à (29)Si noti che mentre la formulazione TI contiene un numero esponenzialedi vincoli di tipo (3), la formulazione 2-commodity (TC) ha unnumero polinomiale di vincoli.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 13Lower bound basato sulla formulazione 2-commodity (L3)Un valido lower bound al VRP puó essere ottenuto dal rilassamentolineare della formulazione TC:0 ≤ x ij ≤ 1, ∀(i,j) ∈ ÃIl lower bound risultante puó essere riscritto in funzione delle solevariabili {f ij } utilizzando i vincoli (25):f ij +f ji = Qx ij , ∀(i,j) ∈ ÃIl lower bound LB3 risultante è perciò il seguente:z(LB3) = Min 1 ∑∑c ij (f ij +f ji )Qi∈Ṽs.t. ∑ j∈Ṽ∑j∈Ṽ(f ji −f ij ) = 2q i , ∀i ∈ V ′j∈V ′ f 0j = q(V ′ )∑f j0 = MQ−q(V ′ )j∈V∑′ f n+1j = MQj∈V∑′ (f ij +f ji ) = 2Q, ∀i ∈ V ′j∈Ṽf ij ≥ 0,f ji ≥ 0,∀(i,j) ∈ ÃMetodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 14Miglioramento del lower bound LB3Il lower bound z(LB3) puó essere migliorato aggiungendo alla formulazioneLB3 dei validi piani di taglio (valid inequalities) utilizzando unalgoritmo di tipo cutting plane.Sia x una soluzione ammissibile di LB3 e si ponga x ij = (f ij +f ji )/Q, ∀(i,j) ∈ Ã.Sia G(x) =x ij > 0}.(V,Ã(x)) il grafo si supporto dove Ã(x) = {(i,j) ∈ Ã :Vincoli “semplici”f ij +f ji ≤ Q, ∀(i,j) ∈ ÃVincoli di flussoIn ogni soluzione ammissibile, x ij = 1 significa che il lato (i,j) appartienead una route ammissibile.Se il veicolo viaggia da i a j:- f ij è il carico del veicolo, allora f ij ≥ q j ;- f ji è la capacità residua del veicolo dopo che il veicolo ha scaricato q iunità in i, allora f ji ≥ q i .Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 15In ogni soluzione ammissibile al CVRP si ha perciò:}f ij ≥ q j x ij,∀(i,j) ∈f ji ≥ q i x Ãijovvero, usando le equazioni f ij +f ji = Qx ij , ∀(i,j) ∈Ã si ha:(Q−q j )f ij −q j f ji ≥ 0(Q−q i )f ji −q i f ij ≥ 0},∀(i,j) ∈ ÃVincoli di capacitàIn una soluzione x di LB3 i vincoli di capacità possono essere violati,di conseguenza i seguenti vincoli:1 ∑Qi∈S∑(f ij +f ji ) ≥ 2⌈q(S)/Q⌉, ∀S ∈ Φ,j∈¯Sottenuti da (3) sostituendo x ij con (f ij +f ji )/Q, possono essere utilizzatiper migliorare il lower bound z(LB3).Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 16Esempio di calcolo di LB3n=21 clienti, M =4 veicoli di capacità Q=60.La soluzione ottima di LB3 su una data istanza è la seguente:140.37845 1.630.3712 120.070.301121.703 70.300.05 6 21 Demand4 71.521.278 8 0.431 9 0.08 0.4810 50.6711 6 0.1511253.0049.003 70.7813 141.100.420.931.22 13 131.22 0.781.35 1.30 0.3715 3 16 921 170.100.53 0.120.70 0.8518 10 19 925 20 0.380.701.151.47 21 1822 0.1525200211732.0016 90 51.0019 97(a) Grafo di supporto, z(LB3) = 309.97(b) DettagliMetodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 17La figura mostra che il lato {2,3} non soddisfa i vincoli “semplici” inquanto f 23 +f 32 > 60.Inoltre i lati {16,19} e {17,20} non soddisfano i corrispondenti vincolidi flusso in quanto f 1916 e f 2017 sono uguali 0.Dopo l’aggiunta ad LB3 di 16 vincoli “semplici” e 34 vincoli di flussoviolati, la soluzione diventa:1.0014 5840.500.471121.003 70.50 1.006 21 Demand0.03 4 70.881.001.008 81 9 0.15 1.0010 50.8511 612 1213 141.000.231.001.001.001.00 13 131.000.630.25 1.001.0015 3 16 921 17 1.000.63 0.250.37 0.7525201.0018 10 19 90.500.501.007 21 1822 0.50Sed il lower bound diventa uguale a z(LB3) = 350.32.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 18Un esempio di vincolo di capacità violato è dato dall’insieme S ={18,19,20,21,22}dove ∑ ∑i∈S j∈S (f ij+f ji ) = 3.0,mentre⌈q(S)/Q⌉ =⌈69/60⌉ = 2.Dopo l’aggiunta di 142 vincoli di capacitá la soluzione diventa:1123 714845476 21 Demand198810 512 1211 6131413 13211715 3 16 918 10 19 9252072221 18di costo 375.00 che risulta intera ed è perciò anche la soluzione ottimadel problema.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 19Branch and CutSi divide il problema in sottoproblemi in cui una o più variabili hannoun valore fissato.Come in un Branch and Bound classico, per ogni sottoproblema sicalcolanoilowerboundpropostiesieffettuaunadelleseguentidecisioni:1. Si taglia il nodo perchè non promettente;2. Si torna indietro perchè si è trovato una soluzione ammissibile;3. Si ramifica ulteriormente.Ad ogni nodo si possono aggiungere piani di taglio per ridurre lo spaziodelle soluzioni ammissibili.La tecnica risultante è di tipo Branch and Bound con l’aggiunta ditali piani di taglio.Il modo utilizzato per ramificare è definito strategia di branching.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

7. Algoritmi Esatti per il VRP 20Strategie di branchingUna possibile strategia di branching é il branching su lato: scelto unlato (i,j) ∈ A si generano due nodi, uno dove si impone x ij = 1, l’altrodove si impone x ij = 0.0x ij = 1 1 2 x ij = 0Generalmente,calcolatoillowerbound, vienesceltaunlatocherisultaessere in soluzione nel lower bound con valore frazionario.E’ comunque di fondamentale importanza conoscere una buona soluzioneeuristica al problema al fine di ridurre i tempi di esecuzione deimetodi di tipo branch and bound.Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione