Funzioni di utilit`a esponenziali

Normalizzazione per la minimizzazione di costiNel caso in cui l’obiettivo sia la minimizzazione dei valori in gioco, visti comecosti e non come payoff, l’andamento delle curve si inverte rispetto al casoclassico; in effetti, non sono curve di utilità ma piuttosto di disutilità. Ricordiamoche il decisore considera indifferente pagare un costo x e affrontareuna lotteria in cui U(x) è la probabilità di pagare il costo massimo, e dunque1 − U(x) è la probabilità di pagare il costo minimo.Consideriamo la Figura 3, e in particolare il valore mediano di costo ¯c,individuato dalla linea verticale; chiaramente, una lotteria ha valore attesoesattamente ¯c se e solo se il costo massimo ha probabilità 0.5.Figura 3: Propensione al rischio: caso di minimizzazione.• un giocatore avverso al rischio (RA) preferirà la lotteria solo se il costoatteso è inferiore a ¯c, cioè se la probabilità associata al costo massimoè minore di 0.5; quindi il punto di indifferenza (e quindi la curva didisutilità) sta sotto la diagonale;4

Livello di avversione/propensione al rischioCome detto in precedenza, il parametro RT rispecchia le “attitudini” deldecisore verso il rischio, e dunque definisce la maggiore o minore convessità(o concavità) della funzione di utilità. Cerchiamo di capire meglio comequesto avviene.Consideriamo il caso standard (massimizzazione) e decisori avversi al rischio,cioè valori positivi di RT ; la figura 4 mostra la funzione f(x) = e (−x/RT )per RT = 2 e RT = 10. Confrontiamo le due funzioni nell’intervallo di payoff[−5, +5]: è evidente che per RT = 10 la funzione è piuttosto “piatta”, mentreper RT = 2 ha un andamento marcatamente convesso.Figura 4: Grafico della funzione e (−x/RT ) per RT = 2 e RT = 10D’altra parte, se considerassimo la funzione con RT = 10 in un intervallopiù ampio (ad esempio, [−25, +25]) anch’essa mostrerebbe un andamentochiaramente convesso. Di fatto, è abbastanza facile convincersi che i duegrafici ottenuti considerando, rispettivamente, il valore RT = 2 nell’intervallo[−5, +5] e il valore RT = 10 nell’intervallo [−25, +25], sono uguali a menodi un cambiamento di scala sull’asse delle x.6