esercizi

Il testo degli esercizi è tratto dalle prove scritte degli anni scorsi, ma gli esercizi 1 e 3.b sono“sovradimensionati” rispetto agli esercizi originali. Ovviamente, è molto difficile che i due esercizisul flusso di costo minimo (3.a e 3.b) si trovino nella stessa prova scritta.Esercizio 1 Si consideri il problema di assegnamento definito dalla seguente matrice dei costi:2 1 4 23 1 3 51 -2 3 41 6 2 6Risolvere il problema applicando l’algoritmo AP. In particolare:• fornire i potenziali u e v, la matrice dei costi ridotti, e il matching parziale ottenuti al terminedella procedura di inizializzazione;• mostrare l’applicazione della procedura ShortestAAPath a partire dall’unica origine espostapresente al termine dell’inizializzazione:– fornire il valore iniziale delle etichette Od e Dd e del vettore dei predecessori p, nonchéil contenuto iniziale dell’insieme Q;– ad ogni nodo origine esaminato, fornire i nuovi contenuti di Od, Dd, p e Q;– mostrare l’albero alternante ottenuto al termine della procedura.• utilizzando i risultati della procedura ShortestAAPath, determinare il matching ottimo e ipotenziali ottimi; mostrare la matrice dei costi ridotti rispetto ai potenziali ottimi. Il matchingottimo ottenuto è unico?Esercizio 2 Si consideri il problema di Flusso Massimo da s a t nel seguente grafo, dove i numeriassociati agli archi sono le capacità superiori.s21241213122223tSi risolva il problema applicando l’algoritmo di Edmonds e Karp, che cerca cammini aumentanti diminima lunghezza topologica. Si descriva l’applicazione dell’algoritmo fornendo ad ogni iterazione:- il grafo residuo rispetto al flusso corrente;- l’albero determinato dalla procedura di ricerca del cammino aumentante;- il cammino aumentante determinato, e la sua capacità.Al termine dell’ultima iterazione si mostri il taglio minimo identificato dall’algoritmo, fornendo lasua capacità, e il valore v del flusso massimo. Si fornisca infine la soluzione ottima, cioè il vettoredei flussi x trovato dall’algoritmo.Nota: si assuma che gli archi in ciascuna forward star siano ordinati per indice crescente di nodotesta; l’ordinamento delle backward star non è influente.1

Esercizio 3.a A partire dalla rete mostrata nell’Esercizio 2, definiamo un problema di Flusso diCosto Minimo come segue. Si associa al nodo s una richiesta di flusso pari a −v (il valore del flussomassimo determinato nell’Esercizio 2) e al nodo t una richiesta di flusso pari a v. I rimanenti nodisono nodi di transito. I costi degli archi sono fissati come segue:• gli archi (1, 4) e (2, 3) hanno costo 1;• l’arco (2, 1) ha costo 2;• l’arco (2, 4) ha costo 3;• i rimanenti archi hanno costo 0.Sia x la soluzione ottima dell’Esercizio 2. Determinare il costo di x, e mostrare che la soluzioneottima x ′ del problema di Flusso di Costo Minimo si ottiene, a partire da x, eliminando un solo ciclodi costo negativo. In particolare, si richiede di identificare chiaramente tale ciclo sul grafo residuorelativo a x, di fornire il suo costo e la sua capacità residua, e di fornire la soluzione ottima x ′ e ilsuo costo. Infine, fornire un certificato di ottimalità per x ′ .Nota: non si richiede di applicare un algoritmo particolare per la ricerca del ciclo negativo (chepuò essere facilmente identificato per ispezione) né per la determinazione del certificato.Esercizio 3.b Nella rete mostrata qui sotto i numeri accanto agli archi rappresentano i costi,mentre i numeri accanto ai nodi rappresentano i termini noti (richieste).Le capacità sugli archi sono definite come segue:−1−1113020−312 41 1• gli archi (1, 3), (1, 4) e (2, 4) hanno capacità inferiore 0 e capacità superiore 2;• l’arco (2, 1) ha capacità inferiore 1 e capacità superiore 2;• l’arco (4, 3) ha capacità inferiore -1 e capacità superiore 2;• l’arco (3, 2) ha capacità inferiore 1 e capacità superiore 3.Si ottenga dalla rete data una rete trasformata con costi non negativi, capacità inferiori nulle, singolaorigine s e singola destinazione t. Si fornisca la costante F che deve essere aggiunta alla funzioneobiettivo come conseguenza delle trasformazioni equivalenti applicate.Sulla rete trasformata si risolva poi il problema di Flusso di Costo Minimo, applicando l’algoritmoSSP. Ad ogni iterazione si fornisca:• il grafo residuo relativo al flusso attuale, riportando i costi ridotti e le capacità residue sugliarchi;• l’albero dei cammini minimi e le relative distanze minime;• la capacità e il costo del cammino aumentante trovato, il valore e il costo del nuovo flussoottenuto;• il nuovo vettore di potenziali ottenuto al termine dell’iterazione.2

Al termine dell’algoritmo, si identifichi sulla rete trasformata il vettore dei flussi ottimi x T e il suocosto totale. Infine, a partire da x T , si determini il vettore x dei flussi ottimi sulla rete originale e ilsuo costo, e si verifichi la relazione che lega tra loro il costo del flusso x T , il costo di x, e la costanteF calcolata in precedenza.Nota: non si richiede di applicare un algoritmo particolare per la ricerca dei cammini minimi, chepossono essere facilmente identificati per ispezione.3