PDF (303Kб) - Вычислительные методы и программирование

num.meth.srcc.msu.ru

PDF (303Kб) - Вычислительные методы и программирование

88 вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13следующему интегральному уравнению, имеющему геометрическую интерпретацию [1, 2]:Au = f. (1)∫∫Здесь A : V → V ′ — интегральный оператор вида Au = G(x, y)u(y)dy, f — правая часть и G(x, y) —ядро интегрального уравнения. Правая часть f уравнения (1) описывает поведение падающей волны(рис. 1).Сведение решаемых задач к многомерным интегральным уравнениям на поверхностях и телах в классическойпостановке производится методом поверхностных и объемных сингулярных интегральных уравнений.Полученные интегральные уравнения решаются численными методами. Среди численных методовможет использоваться один из проекционных методов, например метод коллокации или метод Галеркина.Полученная после применения проекционного метода система линейных алгебраических уравненийрешается подходящим итерационным методом.E 0X 3ΩEX 3E 0X 2X 1X 2X 1EРис. 1. Дифракция электромагнитной волны на экране и теле ΩОписанная выше теория хорошо работаетдля тел и экранов, имеющих каноническуюконфигурацию. В случае трехмерноготела — это куб или прямоугольныйпараллелепипед, в случае двумерногоплоского экрана — это квадратили прямоугольник. Для фигур подобнойформы легко строится расчетная сетка.Для решения задачи на телах и экранахсложной формы можно использоватьподход, называемый субиерархическим.В нем уже на первом шаге (уровне) одинраз наиболее точно решается задача дифракциина теле или экране каноническойформы. Далее, используя результаты решения задачи на первом шаге, мы “вырезаем” из него другоетело или экран произвольной формы и, не производя повторных вычислений в матрице СЛАУ, находимрешение интегрального уравнения на новом теле или экране сложной формы. Таким образом, можно решитьсерию задач дифракции на телах и экранах различной формы и, по-существу, создать базу данныхдля их решения.Субиерархический метод используется совместно с параллельными вычислительными алгоритмамив связи с большой вычислительной сложностью формирования матрицы СЛАУ на первом этапе. Наиболееудобно рассчитывать подобные задачи на кластере. Предложенный метод позволяет решать задачидифракции для тел и экранов произвольной формы с использованием результатов решения только однойзадачи. Это возможно в том случае, если фигура или экран сложной формы целиком помещается вканоническом теле или экране. Эффект от использования субиерархического метода будет хорошо проявлятьсяпри решении большой серии задач [3–16].Следует отметить, что для увеличения точности решения необходимо снова более точно решать задачуна каноническом теле или экране. При увеличении размеров экрана (в длинах волн) также необходимопересчитать первоначальную задачу. Однако во многих практических приложениях (например, припроектировании печатных антенн) часто приходится решать большое количество задач дифракции наэкранах различной формы, помещающихся в некотором прямоугольнике (на подложке антенны), с некоторойфиксированной точностью. В этом случае построенная база данных оказывается весьма полезнойи позволяет решать задачи дифракции на экранах нужной формы уже на персональном компьютере, ане на кластере, который использовался при решении первой задачи на прямоугольном экране.3. Дискретизация задачи. Рассмотрим n-мерный прямоугольный параллелепипед Π в R n . Будемназывать n-мерный прямоугольный параллелепипед фигурой канонической формы. Под фигурой каноническойформы в случае поверхностной задачи дифракции будем понимать прямоугольный экран илиже прямоугольный параллелепипед для задачи дифракции на теле. Выбранная форма имеет ряд преимуществ,например для нее достаточно просто описать граничные условия и построить сетку. Следуетотметить, что в качестве фигуры канонической формы можно выбирать фигуры и другой формы.Построим прямоугольную сетку на фигуре канонической формы Π [17]. Разобьем фигуру каноническойформы Π на элементарные ячейки { x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) : k i h i < x i < (k i + 1)h i , i = 1, 2, . . .,m } , гдеk i — целые числа, а h i > 0. Обозначим через Π h такое объединение элементарных ячеек (вместе с их


вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13 89границей), что их граница принадлежит Π = Π ⋃ ∂Π. Пусть ∂Π h — граница области Π h .Множество вершин элементарных ячеек, принадлежащих Π h , обозначим символом { }Π h и назовемего сеткой для фигуры канонической формы Π.Вершины элементарных ячеек будем называть узлами сетки. Множество узлов сетки, принадлежащихΠ, назовем внутренними узлами.Сетка называется равномерной, если размер элементарных ячеек h i = const (i = 1, 2, . . .,n) для всейсетки. В общем случае сетка не обязана быть равномерной, но условие равномерности упрощает работупо построению сетки.Любая сетка состоит из узлов, элементарных ячеек, ребер и граней. Элементарные ячейки будемназывать конечными элементами. Грань — это одна из сторон элементарной ячейки. Гранью можетбыть либо (n − 1)-мерный треугольник, либо (n − 1)-мерный прямоугольник.Пересечение двух граней элементарной ячейки является ребром. В двумерном случае на прямоугольнойсетке ребра могут быть двух типов — горизонтальные и вертикальные.Количество узлов в прямоугольной сетке равно m n , где m — количество узлов разбиения по однойстороне, n — размерность фигуры. Количество конечных элементов равно (m − 1) n .Каждому узлу сетки p поставим в соответствие мультииндекс p (i1,...,in) , где каждый индекс отвечаетза порядковый номер по соответствующей координате. Координаты узла p i по каждой из осей x i можновычислить по формуле x i = a + ih i , i = (1, . . .,n), где a — начальная позиция по рассматриваемойкоординате. Аналогично нумеруются конечные элементы.Будем рассматривать два вида сеток, состоящих из n-мерных параллелепипедов и из n-мерных тетраэдров.В двумерном случае это прямоугольная и треугольная сетки.Конечный элемент в форме n-мерного параллелепипеда можно разбить разными способами. Подробноеописание триангуляции можно найти в [18].Следуя схеме проекционного метода, необходимо ввести базисные функции f для аппроксимации решения.Базисные функции определяются на одном или нескольких конечных элементах. Совокупность конечныхэлементов Π i , на которых определена базисная функция f, называется носителем supp f = ⋃ Π i .iВ пределах носителя supp f базисная функция является кусочно-непрерывной, за ее пределами равнанулю. Конечные элементы, на которых существует базисная функция, должны иметь общие ребра илиграни. Носитель базисной функции должен быть локальным, т.е. должно выполняться следующее условие:mes (supp f) ≪ mes(Π).В зависимости от типа задачи базисные функции f разделяются на скалярные и векторные. Носителемдля скалярных базисных функций является, как правило, один конечный элемент. Однако вбольшинстве задач подобного типа вводится не один, а несколько типов носителей базисных функций.Совокупность всевозможных типов носителей базисных функций будем называть шаблоном носителей.Для дискретизации интегрального уравнения используем проекционный метод для сведения интегральногоуравнения к системе линейных алгебраических уравнений.4. Проекционный метод. Рассмотрим приближенное решение линейного операторного уравненияс помощью проектирования его на подпространство, которое будем считать имеющим конечную размерность.Ниже все операторы предполагаются линейными.Определение. Пусть X и Y — банаховы пространства и A : X → Y — инъективный оператор. ПустьX n ⊂ X и Y n ⊂ Y — две последовательности подпространств с условиями dim X n = dim Y n = n, и пустьP n : Y → Y n — проекционные операторы. Рассмотрим проекционный метод, образованный посредством X nи P n , который аппроксимирует уравнение Aϕ = f с помощью приближенного уравнения P n Aϕ n = P n f.Этот проекционный метод называется сходящимся для оператора A, если существует число N, такое,что для каждого f ∈ Im A приближенное уравнение P n Aϕ = P n f имеет единственное решение ϕ n ∈ X nдля всех n N, и если эти решения сходятся ϕ n → ϕ при n → ∞ к единственному решению ϕ уравненияAϕ = f.В терминах операторов сходимость проекционного метода означает, что для всех n N конечномерныеоператоры A n := P n A : X n → Y n являются обратимыми и что поточечная сходимость A −1n P n Aϕ → ϕ,n → ∞, имеет место для всех ϕ ∈ X. Последовательность ограниченных операторов B n поточечно сходитсяк ограниченному оператору B, B n → B, n → ∞, если ‖B n ϕ − Bϕ‖ → 0 при n → ∞ для всехϕ ∈ X.В общем случае можно ожидать сходимость метода только тогда, когда подпространства X n предельноплотны в X:inf ‖ψ − ϕ‖ → 0, → ∞ (2)ψ∈X n


90 вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13для всех ϕ ∈ X. Свойство (2) называют также свойством аппроксимации (произвольный элемент из Xможет быть аппроксимирован элементами из подпространства X n с любой точностью в норме X). Впоследующем анализе будем всегда предполагать, что это условие выполняется.Поскольку A n = P n A — это оператор, действующий в конечномерных пространствах, применениепроекционного метода сводится к решению конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.Ниже метод Галеркина будет рассматриваться как проекционный метод, полученный с помощьюортогонального проектора.Первоначально приведем общий результат о сходимости проекционного метода и дадим соответствующуюоценку для погрешности метода.Утверждение [19]. Проекционный метод сходится тогда и только тогда, когда существует числоN и положительная константа M, такие, что для всех n N конечномерные операторыA n : P n A : X n → Y nобратимы и операторы A −1n P nA : X → X равномерно ограничены ∥ ∥ A−1n P nA ∥ ∥ M. В этом случае вернаследующая оценка для погрешности метода:‖ϕ n − ϕ‖ (1 + M) infψ∈X n‖ψ − ϕ‖. (3)Оценка погрешности (3), приведенная в утверждении, называется квазиоптимальной. Она показывает,что ошибка в проекционном методе определяется тем, как хорошо точное решение может бытьаппроксимировано с помощью элементов подпространства X n (в норме пространства X).5. Решение уравнения на фигуре сложной геометрической формы. Применяя проекционныйметод к решаемой задаче, сведем ее к решению СЛАУ. Используя описанную процедуру дискретизации,составляем СЛАУ, в которой матрица и вектор являются многоиндексными. Каждый элемент этой матрицыполучается путем вычисления интеграла∫( )L ij = G(x, y)z(x) v(y)ds.ΩЗдесь x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) — мультипеременные, i и j — мультииндексы, а G(x, y) — известнаяфункция Грина. Правая часть матричного уравнения описывает поведение падающего поля. Системаалгебраических уравнений решается одним из итерационных методов.654i 232100X 2i 11 2 3 4 5 6Выше описан метод построения решения интегральногоуравнения для фигуры канонической формы.На основе субиерархического метода можно решатьзадачи на фигурах сложной геометрическойформы. Пусть фигура G состоит только из внутреннихносителей Π i1,...,i n, тогда ее можно записать следующимобразом: G = ⋃ supp f i . Здесь f i — базисныеiфункции, определенные на носителе supp f i . Зададимгеометрию фигуры сложной геометрической формыG. Для этого введем вектор геометрии W, длинойравной количеству носителей, которые могут быть построенына сетке для фигуры канонической формы.Заполним элементы вектора геометрии W нулевымиили единичными значениями: нуль, если шаблон носителейне определен на новой фигуре G, и единица,если определен.Рассмотрим процедуру составления вектора геометриина примере двумерной задачи. На рис. 2 представленаканоническая фигура прямоугольной формыс построенной на ней сеткой и фигура сложной геометрическойформы, выделенная цветом. Пусть носителемsupp f i базисной функции f i является один ко-Рис. 2. Выделение фигуры сложнойгеометрической формынечный элемент сетки. Вектор геометрии в этом случае будет заполняться следующим образом. ПереберемX 1


вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13 93(условия Сильвера–Мюллера), e r = x/|x|, × — векторное произведение, Γ δ := { x : |x − y| < δ, y ∈ Γ } .Электромагнитные поля гармонически зависят от времени (множитель exp(−iωt) опущен), ω > 0 — круговаячастота, ε > 0 и µ > 0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости, σ 0 проводимость среды.Для полного поля имеем E полн = E 0 + E, H полн = H 0 + H.Будем предполагать, что все источники падающего поля находятся вне экрана ¯Ω так, что для некоторогоδ > 0 имеем E 0 ∈ C ∞ (Ω δ ), Ω δ = { x : |x − y| < δ, y ∈ Ω } , откуда следует, что Eτ0 ∣Ω∈ C ∞( Ω ) .Обычно падающее поле — это либо плоская волна, либо электрический или магнитный диполь, расположенныйвне Ω. В этих случаях наши условия выполнены. Поле E 0 , H 0 является решением системыуравнений Максвелла в свободном пространстве без экрана.Условия (8) на бесконечности эквивалентныусловиям излучения Зоммерфельдапри Im k = 0, k ≠ 0:Yb( ) ( )∂ E E− ik = o ( r −1) ,∂r H H( ) E= O ( rH −1) , r → ∞,которые иногда легче проверить. Задача(5)–(8) при Im k 0, k ≠ 0, имеет не болееодного решения. Задача (5)–(8) можетбыть сведена к векторному интегродифференциальномууравнениюLu := ( grad A(div u) + k 2 Au )∣ ∣t= f,362922151812637302316383124173924 50 25 51 26 52 27 53 28 54 29736761454035743219 46 20 47 21 48 22 4923682513 41 14 42 15 43 16 44 1762756963187670647 36 8 37 9 38 10 39 118 55 9 56 10 57 11 58 12 50 13 60 14где A — интегральный операторh 0 30 1 31 2 32 3 33 4 34 5∫2exp ( ik|x − y| )XAu =u(y)ds,1234567|xy|Ω0 h a1f := 4πkE 0 ∣t Ωи div —это тангенциальнаяРис. 3. Сетка фигурыдивергенция на Ω. Здесь тангенциальныйвектор u — так называемая поверхностная плотность тока. Метод дискретизации решения описан в [7, 9].Используются базисные функции ϕ j (x, y), предложенные в [20]:⎧()x − x (j)1⎪⎨, y − ljy(j) 12S + в T j + ,j()ϕ j (x, y) =x (j)2 − x, y (j) lj2 − y2S − в T − j ,j⎪⎩0 в остальных случаях.Рассматривается сетка, изображенная на рис. 3, но c б´ольшим количеством вершин.На рис. 4 представлены результаты расчета электромагнитного поля на экране сложной геометрическойформы, полученные субиерархическим методом.6.2. Задача дифракции электромагнитной волны на теле внутри волновода [3, 4, 13, 14,16]. Пусть в декартовой системе координат задан волновод P = {x : 0 < x 1 < a, 0 < x 2 < b, −∞ 0 и µ 0 > 0.Требуется определить электромагнитное поле E, H ∈ L 2,loc (P) (и, следовательно, E, H ∈ L 2 (Q)),возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временн´ой зависимостью вида exp(−iωt), где ω — круговаячастота. Источник стороннего поля — электрический ток j 0 E ∈ L 2,loc (P) с компактным носителем в P.403326197771654134272078726642352821


94 вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 134321Рис. 4. “Н”-образная фигура, вырезанная из сетки размером 49 × 48, и значение модулей поверхностных токов|J x| и |J y| для нее. Области, соответствующие диапазонам изменения поля: 1) (0,...,0.06); 2) (0.06,. ..,0.12);3) (0.12,. ..,0.18); 4) (0.18,. ..,0.24)В области P ⊂ R 3 стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смыслеобобщенных функций.Будем искать “слабые” (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:rot H = −iω̂εE + j 0 E , rotE = iωµ 0H, x ∈ P. (9)Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечности: поля E и H при |x 3 | > C длядостаточно больших C > 0 имеют представление( EH)= ∑ p+ ∑ p( ) ( )R p(±) exp iγ p (1) λ (1)p Π p e 3 − iγ p(1) ∇ 2 Π p|x 3 |−iωε 0 (∇ 2 Π p ) × e 3( ) ( )Q (±)p exp iγ p (2) |x iωµ 0 (∇ 2 ψ p ) × e 33|λ (2)p ψ p e 3 − iγ p (2) ,∇ 2 ψ p+(10)√где + соответствует +∞, − соответствует −∞, e 1,2,3 — орты в декартовой системе координат, γ p (j) =k0 2 − λ(j) p , Im γ p(j) > 0 или Im γ p(j) = 0, kγ p (j) 0, k0 2 = ∂ ∂ω2 ε 0 µ 0 , ∇ 2 ≡ e 1 +e 2 . Здесь λ (1)p , Π p (x 1 , x 2 )∂x 1 ∂x 2и λ (2)p , ψ p (x 1 , x 2 ) — полные системы собственных значений и ортонормированных в L 2 (Π) собственныхфункций двумерного оператора Лапласа −∆ в прямоугольнике Π := { (x 1 , x 2 ) : 0 < x 1 < a, 0 < x 2 < b } сусловиями Дирихле и Неймана соответственно. Для коэффициентов разложений (10) имеют место следующиеоценки для некоторого m ∈ N:R (±)p , Q (±)p = O ( p m) , p → ∞. (11)С физической точки зрения условия (10) означают, что рассеянное поле является суперпозициейнормальных волн, расходящихся от тела. Условия (11) обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов(10), а также возможность их почленного дифференцирования по x j любое число раз. Для E должновыполняться следующее краевое условие на стенках волновода:E τ∣∣∂P = 0. (12)Из соотношений (9)–(12) для поля E следует интегродифференциальное уравнениеE(x) = E 0 (x) + k 2 0∫Q( )∫̂ε(y)Ĝ E (r) −ε Î E(y)dy + grad div0Q( ) ̂ε(y)Ĝ E (r) −ε Î E(y)dy, x ∈ Q, (13)0


вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13 95где Î — единичный тензор. Компоненты диагонального тензора Грина ĜE имеют видG 1 E = 2 ∞∑ ∞∑ exp ( −γ nm |x 3 − y 3 | )cos πnab γn=0 m=1 nm (1 + δ 0n ) a x 1 sin πm b x 2 cos πn a y 1 sin πm b y 2,G 2 E = 2 ∞∑ ∞∑ exp ( −γ nm |x 3 − y 3 | )sin πnab γn=1 m=0 nm (1 + δ 0m ) a x 1 cos πm b x 2 sin πna y 1 cos πm b y 2,G 3 E = 2 ∞∑ ∞∑ exp ( −γ nm |x 3 − y 3 | )sin πnaba x 1 sin πm b x 2 sin πna y 1 sin πm b y 2.n=1 m=1γ nma) б) в)Рис. 5. Форма фигуры1234566778a) б) в)12345123456712345678Рис. 6. Значения модуля второй компоненты электрического поля во втором (а), пятом (б) и седьмом (в) слоях.Области 1–8 соответствуют диапазонам изменения поля: 1) (0, ...,0.12); 2) (0.12,. ..,0.24); 3) (0.24,. ..,0.36);4) (0.36,. ..,0.48); 5) (0.48,. . .,0.6); 6) (0.6,. ..,0.72); 7) (0.72,. ..,0.84); 8) (0.84,. ..,0.96)В этих выражениях γ nm =√ (πna) 2 ( πm+bтак, чтобы Im γ nm 0.Уравнение (13) можно решить различными численнымиметодами. В данной работе выбран методколлокации. Пусть Q — параллелепипед:Q = {x : a 1 < x 1 < a 2 ,b 1 < x 2 < b 2 ,c 1 < x 3 < c 2 }.Разобьем Q на элементарные параллелепипеды:Π klm = {x : x 1,k < x 1 < x 1,k+1 ,x 2,l < x l < x 2,l+1 ,x 3,m < x 3 < x 3,m+1 },) 2− k0 2 , при этом ветвь квадратного корня выбираетсяa) б)Рис. 7. Сравнение аналитического и численногорешения задачи. Размеры волновода: a = 2.274,b = 1.004, c = 0.982


96 вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13x 1,k = a 1 + a 2 − a 1k, x 2,l = b 1 + b 2 − b 1nnследующие базисные функции:l, x 3,m = c 1 + c 2 − c 1nf i klm, i = 1, 2, 3 : f i klm ={1, x ∈ Πklm ,m, где k, l, m = 0, . . .,n − 1. Введем0, x /∈ Π klm .Используя схему дискретизации, описанную выше, и применяя субиерархический метод, получаемрезультаты расчета электромагнитного поля (рис. 6) на теле сложной геометрической формы (рис. 5).Пусть тело, расположенное в волноводе, имеет форму прямоугольного параллелепипеда (секция вволноводе), имеющего размеры волновода и длину c. Диэлектрическая проницаемость тела ε = 2. Выберемсетку 8 × 8 × 8 и “вырежем” два слоя по оси X из полной секции. На рис. 7а представлено аналитическоерешение (в этом случае удается найти поле аналитически [14]) задачи дифракции в волноводе частичнойсекции длиной 0.75c. На рис. 7б — численное решение, полученное субиерархическим методом из полнойсекции длиной c. Максимум модуля разности решений равен 0.00422.Для решения рассмотренных задач использовался суперкомпьютерный комплекс Московского государственногоуниверситета имени М. В. Ломоносова.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Самохин A.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио исвязь, 1998.2. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: Радиотехника,1996.3. Смирнов Ю.Г., Медведик М.Ю., Васюнин Д.И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегральногоуравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала // Известия высшихучебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 3. 71–87.4. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методомколлокации // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009.№ 4. 54–69.5. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД технологий для решения объемного сингулярного интегральногоуравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом // Известиявысших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. № 2. 2–14.6. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость методаГалеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране // Известия высших учебныхзаведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2004. № 5. 5–19.7. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г., Соболев С.И. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитнойзадаче дифракции на экране // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6. 99–108.8. Антонов А.В., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Разработка Web-ориентированного вычислительного комплексадля решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархическихпараллельных алгоритмов и ГРИД технологий // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.Физико-математические науки. 2007. № 4. 60–67.9. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задачдифракции электромагнитных волн на плоских экранах // Радиотехника и электроника. 2008. 53, № 4.441–446.10. Медведик М.Ю., Родионова И.А., Смирнов Ю.Г. Численный метод решения псевдодифференциального уравненияв задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие // Известия высших учебных заведений. Поволжскийрегион. Физико-математические науки. 2009. № 1. 87–99.11. Медведик М.Ю., Родионова И.А. Субиерархический метод для решения псевдодифференциального уравненияв задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие // Известия высших учебных заведений. Поволжскийрегион. Физико-математические науки. 2009. № 3. 59–70.12. Медведик М.Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольнойформы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4.48–53.13. Медведик М.Ю., Миронов Д.А., Смирнов Ю.Г. Субиерархический подход для решения объемного сингулярногоинтегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации //Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. № 2. 32–43.14. Гурина Е.Е., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитногополя на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе // Известиявысших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. № 2. 44–53.


вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13 9715. Медведик М.Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на поверхностях произвольнойформы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010.№ 3. 88–94.16. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных волнна диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе // Радиотехника и электроника. 2011. 56, № 8. 940–945.17. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.18. Андреев М.Л., Заркевич Н.А., Исаков А.Н., Козырева О.И., Плохов И.В. Разбиение N-мерного куба на симплексыс сохранением симметрии // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 3. 21–24.19. Kress R. Linear integral equations. Ser. Applied Mathematical Sciences. 82. New-York: Springer, 1989.20. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnetic scattering by surface of arbitrary shape // IEEE Trans.Antennas Propagation. 30, N 3. 1982. 409–418.Поступила в редакцию24.11.2011

More magazines by this user
Similar magazines