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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 50 - “La scimmia e le noci di cocco” Quest’ultimo indovinello, apparentemente semplice, è invece probabilmente il più complesso di tutti quelli esposti in questa raccolta. Lo stesso grande enigmista del ‘900, Martin Gardner, se ne occupato nel suo celebre libro “Enigmi e giochi matematici” (da pagina 236 a pagina 241); infatti riporterò anche l’elegante soluzione da lui descritta e illustrata nel libro citato. 1) Prima soluzione: indicando con: n Numero totale delle noci di cocco x 1 Suddivisione del primo marinaio x Suddivisione del secondo marinaio 2 Suddivisione del terzo marinaio x 3 x Suddivisione del quarto marinaio 4 x Suddivisione del quinto marinaio x 5 6 m k Ultima suddivisione Numero dei mucchi fatti inizialmente Numero delle noci di cocco date ogni volta alla scimmia come resto si ha, in forma numerica e simbolica: ⎧ n −1 ⎪ x1 = 5 ⎪ ⎪ 4⋅x1 −1 x2 = ⎪ 5 ⎪ ⎪ 4⋅x2 −1 x3 = ⎪ 5 ⎨ ⎪ 4⋅x3 −1 x4 = ⎪ 5 ⎪ 4⋅x4 −1 ⎪ x 5 = ⎪ 5 ⎪ 4⋅x5 −1 ⎪x 6 = ⎪⎩ 5 ⎧ n− k ⎪ x1 = m ⎪ ⎪ ( m−1) ⋅x1 −k ⎪ x2 = m ⎪ ⎪ ( m−1) ⋅x2 −k x3 = ⎪ m ⎨ ⎪ ( m−1) ⋅x3 −k x4 = ⎪ m ⎪ ⎪ ( m−1) ⋅x4 −k x5 = ⎪ m ⎪ ⎪ ( m−1) ⋅x5 −k x6 = ⎪⎩ m 101

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Inseriti in una matrice, si ottiene, per la forma numerica: −1 ⎡n−1⎤ ⎡ n−1 ⎤ ⎡ 1 0 0 0 0 0⎤ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 0 0 0 0⎥ ⎢ 1 4⋅n −9 5 − ⎥ ⎢ ⎥ ⎡x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎥ ⎢ 25 ⎥ ⎢ x 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥ ⎢ 0 − 1 0 0 0⎥ 1 16 n 61 ⎢x ⎥ ⎢ 5 ⎢ ⋅ − ⎥ − ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢ 5 ⎥ ⎢ 125 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 4 ⎥ ⋅ = ⎢x4 ⎥ ⎢ 0 0 − 1 0 0 ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ 64⋅n −369 ⎥ ⎢ − ⎥ x ⎥ ⎢ 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 5 6 5 ⎢ ⎥ ⎢ 25 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ x 0 0 1 0 ⎢ 1 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ 0 − ⎢ ⎣ ⎦ 5 ⎥ 256⋅n −2101 ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 5 4 ⎢ ⎥ ⎢ 3125 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 − 1⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢1024⋅n −11529⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ − ⎢⎣ 5 ⎥⎦ ⎢⎣ 15625 ⎥⎦ Per la forma simbolica: ⎡ n− k ⎤ −1 ⎡n− k⎤ ⎢ 0 0 0 0 m ⎥ ⎡ 1 0 ⎤ ⎢ m ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1− m ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ n⋅( m−1) −k⋅( 2⋅m−1) ⎥ ⎢ 1 0 0 0 0⎥ ⎢ k 2 − ⎥ ⎢ m ⎥ ⎡x1 ⎤ ⎢ m ⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎢ x ⎥ m ⎥ 1− m n 2 ⎢ ⎥ ⋅( m−1) ⎢ ⎥ ⎢ 0 k ( ) 1 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ −k⋅ 3⋅m −3⋅ m+ 1 ⎥ ⎥ m ⎢ ⎢x ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎥ 3 ⎢ m ⎥ ⎢ m ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 1− m ⎥ ⋅ x 0 0 1 0 0 ⎢ k ⎥ = 3 ⎢ 3 2 ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ n⋅( m−1) −k⋅( 4⋅m −6⋅ m + 4⋅ m+ 1) ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ m ⎢ ⎥ ⎥ 4 ⎢ m 5 ⎥ ⎢ m ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1− m ⎥ x 0 0 0 ⎢ k ⎥ ⎢⎣ 6 ⎥⎦ ⎢ 0 1 ⎢ 4 4 3 2 ⎥ m ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ n⋅( m−1) −k⋅( 5⋅m −10⋅ m + 10⋅m −5⋅ m+ 1) ⎥ ⎢ ⎥ m 1− m ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎢ 0 0 0 0 1⎥ m ⎥ ⎢ k ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎣⎢ m ⎦⎥ − 5 4 3 2 ⎢⎣ m ⎥ ⎢n⋅( m−1) −k⋅ ⎦ ( 6⋅m −15⋅ m + 20⋅m −15⋅ m + 6⋅m−1) ⎥ 6 ⎢ ⎣ m ⎥⎦ Ovviamente se alla forma simbolica, quindi generica, si sostituiscono i valori numerici tali per cui: m = 5 e k = 1 si ritorna all’espressione in forma numerica. Da nota rsi che la matrice inversa è pari a una matrice triangolare inferiore in cui: 1 i− j ⎛m − ⎞ T = ⎡ ⎣a ij ⎤ ⎦ = ⎜⎝ ⎟ con a ij = 0 per i< j m ⎠ Dall’ultima suddi visione, cioè: 1024 11 x 6 = ⋅n − 52 9 15625 bisogna trovare il numero più piccolo da sostituire a n affinché x 6 sia un intero positivo: + x6 ∈ è evidente che tale numero è multiplo di 4,16,64,256 e 1024 ma a meno di uno, per cui tale numero è 1023: x6 = 1023 = 1024 ⋅n −11529 ⇒n= 15621 15625 Quindi il numero minimo di noci che i 5 marinai avevano raccolto è 15621. 102

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