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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com x1 x7 Siccome e devono avere almeno 2 letti ciascuno, e la somma minima dei letti dei locali dispari, considerando 2 letti per entrambi i locali incogniti, sarà: 5 1+ ∑ x2 ⋅ n − 1 = 16 n= 1 quindi risolvendo l’equazione di sopra: 5 = 16 − 1 = 15 ∑ x2 ⋅ n − 1 n= 1 si ottiene che il numero totale dei letti dei locali dispari è 15. Infatti il numero 16 corrisponde alla somma massima dei locali pari: 5 x = x + x + x + x = 4+ 3+ 4+ 5= 16 2⋅n 2⋅n−1 n= 2 n= 1 n 2⋅n 2⋅n−1 n= 1 n= 2 n= 1 ∑ n= 2 che verifica la quarta condizione: 5 5 x = 1+ x ∑ ∑ 2⋅n 4 6 8 10 allora il numero totale dei letti delle camere pari è 16. Il numero totale dei letti dell’ospedale è uguale alla somma dei letti delle camere pari e delle camere dispari: 10 5 5 x = x + x ∑ ∑ ∑ che sviluppata: 10 x = + = ∑ n= 1 n 16 15 31 Il numero totale dei letti dell’ospedale è 31, e sono così distribuiti: LOCALE n NUMERO LETTI x n LOCALE n NUMERO LETTI x 1 2 6 3 2 0 7 2 3 3 8 4 4 4 9 3 5 5 10 5 L’ospedale ha 31 posti letto! n 31

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 5 - “L’età di Matteo e Sara” x y Età di Matteo Età di Sara condizioni imposte dall’indovinello: ⎧⎪ x+ 3= 2⋅( y−3) ⇒ x−2⋅ y =−9 ⎨ ⎪⎩ 4 ⋅ x = 5 ⋅ y ⇒ 4 ⋅ x − 5 ⋅ y = 0 Per determinare l’età di Matteo e di Sara è sufficiente impostare un sistema lineare di equazioni utilizzando le due condizioni imposte nel testo dell’indovinello. Prima però è opportuno verificare se tale sistema ammette un’unica soluzione, e quindi se sia possibile determinare entrambe le età, per cui è necessario calcolare il determinante e constatare che sia di rango massimo, in altre parole, che non sia nullo: 1 − 2 = 3 ≠ 0 4 −5 come si può osservare il rango è massimo (cioè 2, quindi pari al numero di righe della matrice) perché il determinante è diverso da zero. Le età di Matteo e Sara sono quindi determinabili, e per calcolarle è utile impostare, per il sistema risolutivo, la matrice inversa. sistema risolutivo: ⎧x−2⋅ y=−9 ⎨ ⎩4 ⋅ x − 5 ⋅ y = 0 risoluzione del sistema: −1 ⎡x⎤ ⎡1 −2⎤ ⎡−9⎤ 1 ⎡−5 2⎤ ⎡−9⎤ ⎡15⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢ ⋅ = ⋅ ⋅ = 4 −5 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 3 ⎢ −4 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣12 ⎥ ⎦ Da cui si ottiene che Matteo ha 15 anni, mentre Sara ha 12 anni. Esplicitando l’incognita y in entrambe le equazioni del sistema risolutivo, si può dare una interpretazione geometrica all’indovinello, infatti si ottengono due rette la cui intersezione fornisce il valore dell’incognita x e y : ⎧ x + 9 y = ⎪ 2 ⎨ ⎪ 4 y = ⋅ x ⎪⎩ 5 32

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