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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Calcolo dell’area Λ con varie grandezze dell’angolo α : C ANGOLO α AREA Λ C DEG. RAD. ESATTO APPROSS. % 0 0 ∞ - 78,54 30 ° π ⎛ 3 ⋅ 6 + 5 ⋅ π 2 ⎞ ⋅ 2 ⋅⎜ 6 ⎜ 64 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ° 4 2 2 4 ( 4−2⋅ 2 + 2−1) ⋅( 4−2⋅ 2 − 2+ 1) π 2 ( ) 0,2253⋅π ⋅ 75,86 π ⋅ ⋅ 2 0,1394⋅π ⋅ 72,56 816128 −577024⋅ 2 −64⋅ 2 ⋅ 5⋅ 2 −7 60 ° π π ⋅ 3 2 ⋅ 3 32 0,0937 π 2 ⋅ ⋅ 68,01 90 ° π π ⋅ 2 2 ⋅ 2 32 0,0442 π 2 ⋅ ⋅ 55,54 120 ° 2 ⋅ π π ⋅ 3 2 ⋅ 3 96 0,0180 π 2 ⋅ ⋅ 39,27 150 ° 5 ⋅ π ⎛ 3 ⋅ 6 − 5 ⋅ π 2 ⎞ ⋅ 2 ⋅⎜ 6 ⎜ 64 ⎟ ⎝ ⎠ 2 0,0043⋅π ⋅ 20,33 180 ° π 0 0 0 Per comprendere meglio l’andamento della area Λ C % , ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo isoscele e convergenti nel vertice C, si può semplificare il modello attraverso un’interpolazione. Come mostra il grafico di sottostante, nell’asse delle ascisse è rappresentata la variabilità dell’angolo α (in gradi sessagesimali DMS), mentre nell’asse delle ordinate vi sono i corrispondenti valori dell’ area % ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo isoscele e convergenti nel vertice C. La linea (colore rosso) è la curva che interpola i punti esatti (forma di rombo e di colore blu) calcolati attraverso la formula: −1 2 2 ⎛ ⎛α ⎞⎞ Λ C % = 100⋅π ⋅ ⋅ f ( α) ⋅⎜ ⋅cot ⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎝ 2 ⎠⎠ La curva ottenuta, è un’arco di parabola che approssima molto bene i punti calcolati, infatti 2 2 il coefficiente R è prossimo all’unità (si ricorda che 0≤ R ≤ 1). 41

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com AREA % DEI CERCHI INSCRITTI IN UN TRIANGOLO ISOSCELE 100 y = -0,002x 2 - 0,081x + 79,369 R 2 = 0,9993 90 80 70 AREA % 60 50 40 30 20 10 0 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 ANGOLO (DMS) ° E’ bene precisare come si perviene a determinare i casi limite in cui α = 0 e α = 180 = π . Nel caso in cui l’angolo α assume il valore massimo teorico, divenendo un’angolo piatto, è nulla l’area del triangolo e quindi è nulla anche l’area dei cerchi inscritti; più sottile è il caso in cui α assume il valore minimo teorico, perché il triangolo si trasforma in un rettangolo di lunghezza infinita in cui i cerchi inscritti hanno tutti la medesima dimensione, e il loro diametro è pari alla larghezza finita del rettangolo: Indicando con n il numero indefinito di cerchi, l’area Λ % per α = 0 è data da: 2 ⎛ ⎞ 100⋅π ⋅⎜ ⎟ ⋅n 2 Λ C max % = ⎝ ⎠ = 25⋅π 78,54 2 ⋅n Infine, nella pagina successiva è riportata la rappresentazione grafica del calcolo dall’area dei cerchi, per =1, al variare dell’angolo α . Come si può facilmente osservare, per valori dell’angolo α prossimi a zero, il valore dell’area tende a infinito, essendone l’asse delle ordinate l’asintoto verticale, e ciò conferma la correttezza del calcolo dei due limiti agli estremi, precedentemente sviluppati (pag. 41). C 42

20/12/2012 anno 3 - numero 10 - A.C. Cesena
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