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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com A cui si aggiunge l’altezza h del fucile dal suolo: ⎛ g ⎞ 2 y =−⎜ x 2 ⎟⋅ + h ⎝2⋅v ⎠ La gittata x G del proiettile è data dal sistema ( s = h ): ⎧ ⎛ g ⎞ 2 ⎪y =−⎜ x h 2 ⎟ ⎨ 2⋅v ⎝ ⎠ ⎩y = 0 da cui: 1 2⋅h − 2 xG = v⋅ = v⋅ 2⋅g ⋅ g h 0,4517⋅v⋅ h e la lunghezza di una qualunque curva, è data dall’integrale di linea: x ⎛ 2 2 ⎛ d ⎞ ⎞ = ∫ ⎜ f ( x) + 1⎟dx x ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎝dx ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ sostituendo il valore degli estremi di integrazione e della funzione f ( x ) con l’equazione della parabola descritta dalla pallottola, si ha: 2 1 ⎛ − 2 x 2 2 G ⎛ d g v g h 2 ⎞ ⎞ ⎛ d g 2 − ⋅ x + h + 1 dx⇒ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ − 1 0 ⎜ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎜ 2 ⎟ dx 2 v ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⋅ x + h + ⎟ ∫ dx ⎜ ⋅ ⎟ ∫ ⎜ dx 2⋅v ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ che diventa: ⎧ h = 1, 7 m ⎪ con ⎨v = 500 m/s ⎪ ⎩g = 2 9,8 m/s invece la gittata è: x = 294,5075446 m ( ) 1 − v⋅ 2⋅g 2 ⋅ h 1 4 2 2 4 2 2 4 − ⎡ 2 2 2 4 v ln g x v g x g x g x v ⎤ v⋅ 2⋅g ⋅ h⎛ g ⋅ x + v ⎞ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + = dx ⎢ ⎥ ∫ ⇒ = 0 ⎜ 4 2 v ⎟ ⎢ 2⋅g⋅v ⎥ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦0 risolto l’integrale indefinito e sostituiti gli estremi di integrazione, si ottiene la lunghezza della traiettoria parabolica percorsa dal proiettile, che risolta numericamente, per evitare calcoli prolissi, fornisce il risultato: = 294,5140865 m G ovviamente > x G sempre. Si può notare che in questo caso x G (differiscono di 6/10 di millimetro) perché l’altezza da cui si spara con il fucile (1,7 m) è molto piccola se raffrontata alla gittata che è di quasi 300 m. La traiettoria percorsa della pallottola è = 294,5140865 m. 55

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Il grafico sottostante rappresenta la traiettoria che la pallottola segue dall’uscita della canna del fucile sino a raggiungere il suolo (in assenza di attrito). Il grafico non è in scala dato che i valori dell’asse delle ordinate sono molto più piccoli dell’asse delle ascisse. ALTEZZA DI SPARO [m] 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 GITTATA [m] Ora si conosce anche la lunghezza del tragitto percorso dalla pallottola (la velocità è un data del quesito). Per calcolare il tempo impiegato dal proiettile per giungere al suolo, si applica l’equazione del moto rettilineo uniforme: xG [m] v [m/s] = t [s] da cui si ricava il tempo: x [m] t [s] = G v [m/s] ricordando che s = h : 2⋅ h v ⋅ g 2⋅h 2⋅s t = = = = 0,589 [s] v g g ciò dimostra che il tempo impiegato da una pigna a cadere a terra, in caduta libera, da una altezza h è lo stesso di una pallottola sparata da un’arma, puntata perfettamente sull’orizzonte. In entrambi i casi la massa della pigna e della pallottola e la velocità di quest’ultima non influenzano in alcun modo il tempo di caduta, il quale è condizionato solo dall’alte zza h . E’ chiaro che ciò avviene in condizioni ideali in cui l’attrito tra aria e proiettile sia almeno trascurabile (nella pratica la presenza di vento modifica sensibilmente il tempo di caduta di una pallottola, anticipandolo); la pigna cade da un’altezza così piccola da ritenere in ogni caso trascurabile l’attrito con l’aria. 56

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