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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 18 - “L’arcipelago di Fantasilandia” Tutte e quattro le isole possiedono una superficie Λ per ciascuna. Per capire quale isola ha il maggior numero di Km di costa, bisogna calcolare il perimetro P di ciascuna isola esprimendolo in funzione dell’area: P= f Λ ( ) 1) Isola di forma circolare di raggio r e perimetro P : 2 Λ= ⋅ ⇒ = P P C C π r r = 2⋅π ⋅r⇒ P = 2⋅π ⋅ = 2⋅ π ⋅ Λ C Λ π Λ π C 2) Isola di forma quadrata di lato e perimetro P Q : 2 Λ= ⇒ = Λ P Q = 4⋅ ⇒ P = 4⋅ Λ Q 3) Isola di forma esagonale di lato λ e perimetro P E : 4 3⋅ 3 2 12 Λ= ⋅λ ⇒ λ = ⋅ Λ 2 3 P E 4 12 4 = 6⋅ ⋅ Λ ⇒ PE = 2⋅ 12⋅ Λ 3 4) Isola dalla forma di triangolo equilatero di lato 3 Λ= 4 3 2 2⋅3 ⋅ ⇒ = ⋅ Λ δ δ 4 3 3 4 δ e perimetro P T : 3 23 ⋅ PT = 3⋅ ⋅ Λ ⇒ PT = 2⋅3 4 ⋅ Λ 3 Per determinare l’isola con il maggior numero di Km di costa è sufficiente approssimare la parte numerica dell’espressione dei tre perimetri, magari con l’uso di una calcolatrice, oppure più elegantemente si può scrivere un’ipotesi di relazione di grandezza e verificare se è confermata. Seguendo quest’ultima strada, ipotizzando P C > P Q > P E > P T e omettendo 2 Λ (dimensiona lmente è coerentemente una lunghezza: ( m ) ^1/2 ( ) = m) perché compare in ognuno di essi, elevandoli al quadrato si ha: ( π ) ( ) 2⋅ 2 2 3 2 ⎛ ⎞ 4 4 > 4 > 2⋅ 12 > ⎜2⋅3 ⎟ ⎝ ⎠ quindi: 4⋅ π > 16 > 4⋅ 12 > 12⋅ 3 con π = 3,141592..... 2 ( 4⋅ π ) 2 > 16 > ( 4⋅ 12) > ( 12⋅ 3) ⋅ π > > 192 > 432 2 16 256 2 2 2 57

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com L’ipote è que corretta ordine di grandezze è il seguente: P > P > P > P 432 > 256 > 192 > 16 ⋅π 2 si è errata, infatti questa lla , perciò il giusto T Q E C In conclusione, all’imprenditore sarà più conveniente scegliere l’isola di forma triangolare (equilatero) perché ha le coste più lunghe, mentre l’isola di forma circolare ha meno Km di coste delle altre tre. Nella tabella sottostante sono rappresentate le lunghezze delle coste di ognuna delle quattro isole. Forma dell’isola Superficie Lunghezza della costa Triangolare (equilatero) Quadrata Λ P Q = 4⋅ Λ 4 Esagonale Λ E ( ) Λ 3 4 P = 2⋅3 ⋅ Λ 4,559014113⋅ Λ T P = 2⋅ 12 ⋅ Λ 3,722419436⋅ Λ Circolare Λ P = 2⋅ π ⋅ Λ 3,544907701⋅ Λ C 58

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