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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 19 - “L’universo di Fantasilandia” Solido V S F 1 Sfera 4 3 r 3 2 ⋅π ⋅ 4⋅π ⋅ r - 3 2 Cubo 2 6⋅ 6 3 Parallelepipedo form ato da d ue cubi adiacenti 3 2⋅ 2 10⋅ 6 3 3 3 ⋅π ⋅ ρ 2 4 Cono equilatero 3⋅π ⋅ ρ - 3 2 5 Cilindro equilatero 2⋅π ⋅ δ 6⋅π ⋅ δ - Poliedro regolare F ∇ ξ V S 2 3 6 Tetraedro 4 3 4 6 12 ε ε ⋅ ⋅ 2 3 3 7 Esaedro 6 4 8 12 ε 2 6⋅ ε 2 3 2 8 Ottaedro 8 3 6 12 ⋅ ε 2⋅ 3⋅ ε 3 15 + 7 ⋅ 5 3 9 Dodecaedro 12 5 20 30 ε 4 53+ 5 10 Icosaedro 20 3 12 30 ( ) 3 Legenda: V Volume del solido S Superficie totale del solido F Numero di facce del solido Numero dei lati del poligono che costituisce ogni faccia ∇ Numero dei vertici ξ Numero degli spigoli Raggio della sfera Lato del cubo 12 2 ⋅ 3⋅ ε 5( 5+ 2 5) r ρ Raggio della circonferenza di base del cono equilatero δ Raggio della circonferenza delle due estremità del cilindro equilatero ε Lunghezza dello spigolo ⋅ ε 2 5⋅ 3⋅ ε 59

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Ora è necessario esprimere la superficie S in funzione del volume V che è uguale per tutti: S = f V ( ) Solido Superficie S in funzione del volume V 1 Sfera 4 1 3 ⎛1 3 ⋅π ⋅ r = V⇒ r = ⋅ ⋅ V ⇒ S = 4⋅π ⋅ ⋅ ⋅ 3 2 π ⎜ ⎝2 π 3 3 3 3 3 ⎞ V ⎟ ⎠ 2 3 3 2 Cubo ( ) 2 = V⇒ = V ⇒ S = 6⋅ 3 V 3 4 5 6 Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti Cono equilatero Cilindro equilatero Tetraedro regolare V ⎛ V ⎞ ⋅ = V ⇒ = ⇒ S = ⋅⎜ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 3 10 3 3 3 3 3 3 3 π ρ ρ π π ⎛ 3 ⋅ ⋅ = V⇒ = ⋅ V ⇒ S = ⋅ ⋅ ⎜ ⋅ ⎝ π 6 6 3 3 3 V ⎛ V ⎞ ⋅π ⋅ δ = V ⇒ δ = ⇒ S = ⋅π ⋅⎜ 2⋅π ⎜ 2⋅π ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 3 6 3 2 3 12⋅V ⎛ 12⋅V ⎞ ⋅ ε = V ⇒ ε = 3 ⇒ S = 3 ⋅⎜ 3 12 2 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎞ V ⎟ ⎠ 2 2 2 7 Esaedro 3 3 3 ε = V⇒ ε = V ⇒ S = 6⋅ regolare ( V) 2 8 Ottaedro regolare 2 3 3⋅V ⎛ 3⋅V ⎞ ⋅ ε = V ⇒ ε = 3 ⇒ S= 2⋅ 3⋅⎜ 3 3 2 ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ 2 9 Dodecaedro 15 + 7⋅ 5 3 4⋅V 4⋅V ⋅ ε = V ⇒ ε = 3 ⇒ S= 3⋅ 3 5 regolare ⎜ ⎟ ⋅ ( 5+ 2 5) 4 15 + 7⋅ 5 ⎝ 15 + 7⋅ 5 ⎠ ( ) Icosaedro 53+ 5 ⎛ ⎞ 3 12⋅V 12 10 ⎜ ⋅V ⋅ ε = V ⇒ ε = ⎟ 3 ⇒ S= 5⋅ 3⋅ 3 regolare 12 53 ( + 5) ⎜ 53 ( + 5) ⎟ ⎝ ⎠ Sviluppando il valore della superficie S simbolicamente e numericamente, isolando il 3 2 termine V ^(2/3) (dimensionalmente è coer entemente una superficie: ( m ) ^( 2/3) = m ), si può determinare quale solido a parità di volume V sviluppa una superficie maggiore. La tabella della pagina successiva è la classifica in ordine decrescente del solido con l’estensione della superficie più grande. Si ricorda che il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro rappresentano i cinque solidi platonici perché tutte le facce sono costituite da poligoni regolari e congruenti (cioè di uguale forma e uguali dimensioni) e non ne esistono altri. ⎛ ⎞ 2 2 60