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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Solido Sviluppo della superficie S in funzione del volume V 1 Tetraedro regolare 2 2 6 3 3 S = 6⋅ 3 ⋅V 7,205621731⋅V 2 Cono equilatero 2 2 3 3 3 S = 3⋅ 3⋅π ⋅V 6,336921061⋅V 3 Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti 2 2 3 3 3 S = 5⋅ 2 ⋅V 6,29960524⋅V 4 Cubo S ( V) 2 2 3 3 = 6⋅ = 6⋅V 4 Esaedro regolare S = 6⋅ V 2 3 6 Ottaedro regolare 2 2 3 6 3 S = 3⋅2 ⋅ 3 ⋅V 5,719105757⋅V 2 3 7 Cilindro equilatero 2 2 3 3 3 S = 3⋅ 2⋅π ⋅V 5,535810445⋅V 8 Icosaedro regolare 2 2 3 3 3 S = V ⋅ 1890⋅ 3 −810⋅ 15 5,148348556⋅V 9 Dodecaedro regolare 2 3 S = V ⋅ 6 ( ) 129600⋅ 5 ⋅ 29903⋅ 5 −38080⋅ 3 −17024⋅ 15 + 66842 83521 2 S 4,298074882⋅V 3 10 Sfera 2 2 3 3 3 S = 3 ⋅ π ⋅V 3,046473892⋅V 2 3 Il Consiglio Intergalattico dovrà scegliere il pianeta che ha la forma di tetraedro regolare!! 61

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 20 - “Il filo per stendere i panni” Il filo sottoposto al peso proprio assumerà la forma di una curva detta “catenaria”. In questo caso gli estremi della catenaria stanno alla stessa quota, e si esprime attraverso la funzione del coseno iperbolico: ⎛ y k cosh x ⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝k ⎠ con k , detto parametro della catenaria, indicante l’altezza minima del filo. 2 Quando la catenaria assume valori tali per cui k − e le potenze superiori possono essere trascurate rispetto alla potenza prima, come avviene nel caso di un filo da stendere, la catenaria tende ad una configurazione parabolica (sviluppando in serie di Taylor): 2 4 ⎛ x⎞ ⎛ x x ⎞ y = k⋅cosh ⎜ ⎟≅k⋅ ⎜1 + + + ......... 2 4 ⎟ ⎝k ⎠ ⎝ 2⋅k 24⋅k ⎠ giungendo alla funzione: 4⋅( h−k) 2 y = ⋅ x + k 2 d in cui h è l’altezza di attacco del filo ai pali e d è la distanza tra i pali. Per calcolare la lunghezza della catenaria si utilizza l’integrale di linea: ⎛ 2 x2 ⎛ d ⎞ ⎞ = ∫ ⎜ f ( x ) + 1⎟ dx x 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝dx ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ quindi: 2 d ⎛ ⎛ ⎞ d ⎛4⋅( h−k) 2 2 ⎞⎞ = ⎜ d x k 1⎟ ∫ ⋅ + + dx − ⎜ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ dx d ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ che fornisce il risultato: ⎛ 2 2 2 d + 16⋅( h− k 2 2 ) + 4⋅( h−k) ⎞ 4⋅( h−k) ⋅ d + 16⋅( h− k) + d ⋅ln⎜ ⎟ ⎜ d ⎟ = ⎝ ⎠ 8⋅ h−k ( ) ⎧h = 2 m ⎪ 2 con ⎨k = 1, 6 m ⇒ y = 0, 256 ⋅ x + 1, 6 ⎪ ⎩d = 5 m si ottiene la lunghezza del filo tale che nel punto più basso è 1,6 m: 5,084 m Quindi la casalinga dovrà mettere un filo lungo 5,08 m, praticamente 8,5 cm in più della distanza tra i pali del filo da stendere. Nella pagina seguente è rappresentata la funzione matematica del filo in questione. 62

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