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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 22 - “Somma e prodotto uguali” Condizioni imposte nel quesito: ⎧x 1 , x 2 ∈ ⎨ ⎩x1 ≠ x2 ≠0 Per cui deve verificarsi: i ∑ i ∏ x = x ⇔ x − x = 0 n n n n n= 1 n= 1 n= 1 n= 1 i ∑ i ∏ Quindi: x + x = x ⋅x ⇔ x + x −x ⋅ x = 1 2 1 2 1 2 1 2 0 L’equazione di sopra rappresenta una conica (raffigurata nel grafico qui accanto). E’ precisamente una iperbole, la cui equazione si ottiene esplicitando indifferentemente una delle due variabili, ad esempio x 2 , per cui: x1 x2 = x − 1 1 Tutte le coppie di numeri il cui prodotto e somma forniscono lo stesso risultato, giacciono sul tracciato del grafico (rappresentato dal colore rosso). Per cui assegnando un valore arbitrario in ingresso, per x 1 , considerandola variabile indipendente, si ottiene: 3 3 9 3 9 x1 = 3 ⇒ x2 = infatti: 3+ = e 3⋅ = 2 2 2 2 2 Da notarsi che l’unico numero reale per il quale non è possibile trovare un altro numero reale affinché sia possibile verificare l’equazione x1+ x2 = x1⋅ x2, è il numero 1 poiché coincide con l’unico asintoto verticale dell’iperbole in questione, infatti: lim x =±∞ 1 x1 →1 ± x − 1 1 In altre parole, per qualunque numero reale diverso da 1, da 0 (soluzione banale) e da 2 (il cui numero corrispondente è se stesso x 1 = x 2 = 2 poiché 22 ⋅ = 2+ 2= 4) è possibile trovare un altro numero reale tale che se moltiplicati e sommati forniscono il medesimo risultato: ∀x ∈ − 0;1; 2 ∃ x + x = x ⋅x { } 1 1 2 1 2 E’ importante sottolineare che quanto affermato per la variabile x 1 vale allo stesso modo per l’altra variabile x 2 , poiché l’iperbole è simmetrica rispetto alla coordinata cartesiana (1;1) individuata dall’intersezione dell’asintoto verticale x 1 = 1 e orizzontale x 2 = 1. In conclusione si può affermare che le coppie di numeri che soddisfano tale condizione 1 sono infinite, più precisamente vi sono ∞ coppie. x 2 x 1 65

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 23 - “Il figliol prodigo” Generalizzando il problema, ed indicando con: n Giorni q somma ricevuta dal giovane € k somma minima raggiunta € R rapporto con il quale decrementa la somma iniziale Si imposta l’equazione risolutiva atta a calcolare in quale giorno il giovane rimarrà con 1 €: n R ⋅ q= k ⎧0< R < 1 ⎪ con: ⎨0 < k < q ⎪ ⎩n > 0 Da cui si ottiene, esplicitando il numero dei giorni n : ⎛k ⎞ ln ⎜ q ⎟ n = ⎝ ⎠ ln R ( ) ⎧ 1 ⎪ R = 2 con: ⎪ ⎨q = 1024 ⎪ k = 1 ⎪ ⎩ ⎛ 1 ⎞ ln ⎜ ⎟ 1024 n = ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ n = 10 Dopo 10 giorni il giovanotto si ritrova alla cifra di 1 €, quindi dall’11esimo giorno rimarrà con meno di 1 €, precisamente con 0,5 €. Nel grafico sottostante è rappresentata la curva delle spese del giovanotto col trascorrere dei giorni in funzione della somma raggiunta; da notarsi che nei casi limite si ha: ⎧ ⎛k ⎞ ⎪ ln ⎜ q ⎟ ⎪ lim n( k) = lim ⎝ ⎠ = ∞ k 0 + ⎪ → k→0 ln ( R) ⎪ ⎪ ⎛k ⎞ ln ⎜ q ⎟ ⎪ lim n( k) lim ⎝ ⎠ ⎨ = = 0 k→q k→q ⎪ ln ( R) ⎪ ⎛k ⎞ ⎪ ln ⎜ q ⎟ ⎪ lim n( k) lim ⎝ ⎠ ⎪ = = −∞ k→∞ k→∞ ln ( R ⎪ ) ⎪⎩ 66

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