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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 28 - “Se tu mi dai una mano…” Per risolvere questo quesito, apparentemente complesso ma in realtà semplice, bisogna ragionare in termini di velocità di prato tosato; per essere precisi, vengono introdotte due variabili riferite alle rispettive velocità di tosatura del prato (la quale rappresenta la superficie di prato tosato nell’unità di tempo) da parte di entrambi (padre e figlio), e una generica area del prato. Per cui, indicando con le seguenti lettere (in parentesi quadra è indicata l’analisi dimensionale delle variabili utilizzate): 2 1 v F velocità di tosatura del prato da parte del figlio ⎡ ⎣L ⋅T − ⎤ ⎦ 2 1 v B velocità di tosatura del prato da parte del padre ⎡ ⎣L ⋅T − ⎤ ⎦ T T F tempo impiegato dal figlio per tosare da solo il prato [ ] T tempo impiegato dal padre per tosare da solo il prato [ T ] B A 1 generica area del prato 2 ⎡ ⎣L ⎤ ⎦ t minuti di aiuto del figlio al padre [ T ] t minuti impiegati dal padre per tosare il prato con l’aiuto del figlio per minuti 2 3 t 1 [ T ] t [ T ] t minuti impiegati dal padre per tosare il prato con l’aiuto del figlio per minuti t minuti di aiuto del padre al figlio [ T ] 4 si imposta il sistema risolutivo, che risolve il problema per via analitica: ⎧vF ⋅ t1+ vB⋅ t2 = A ⎨ ⎩ v ⋅ t F 3+ v B⋅ t A 4 = per cui: −1 vF ⎡t1 t2⎤ = v ⎢ ⋅ B t3 t ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 4⎦ ⎡ ⎤ ⎡A⎤ ⎢ ⎥ ⎢ A ⎥ ⎣ ⎦ si ottengono le rispettive velocità di tosatura del prato da parte di entrambi: A⋅( t2 −t4) vF = t ⋅t −t ⋅t 2 3 1 4 ( − ) A⋅ t3 t1 vB = t2 ⋅ t3 − t1 ⋅ t4 e dal rapporto tra la generica area del prato e le velocità di tosatura si ricavano i rispettivi tempi di tosatura del prato da parte del padre e del figlio considerati singolarmente: A t2⋅t3−t1⋅t4 T F = = v t − t T B F 2 4 A t ⋅t −t ⋅t = = v t − t B 2 3 1 4 3 1 ⎧t1 = 8 ⎪ ⎧T t2 = 20 ⎪ sostituendo i valori numerici: ⎨ si ottengono i tempi di tosatura: ⎨ ⎪t3 = 15 ⎪T ⎪ ⎩ ⎩t 4 = 10 F B 4 = 22 220 = 31,43 70 73

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Nel caso si utilizzi la notazione matriciale, cioè: ⎧vF = v11 ⎪ ⎪ vB = v21 ⎪ t1 = t11 ⎪ t2 = t12 ⎪ ⎨t3 = t21 ⎪ t4 = t22 ⎪ ⎪ A= A11 = A21 = Kost. ⎪ ⎪TF = T11 ⎪ T = T ⎩ B 21 si ottiene una elegante e stringata soluzione del quesito: −1 ⎡v11 ⎤ ⎡t11 t12 ⎤ ⎡A11 ⎤ ⎢ v ⎥ = ⎢ ⋅ t t ⎥ ⎢ A ⎥ ⎣ 21⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 21⎦ che porta alla scrittura: − [ v ] = ⎡t ⎤ 1 ⋅[ A ] ⎣ ⎦ i1 ij i1 in termini più sintetici: [ v] = [ t] −1 ⋅[ A ] in questo caso con: −1 e indicando con ⎡ ⎣t ⎤ ij ⎦ = ⎡ ⎣τ ⎤ ij ⎦ si ha: v = τ ⋅ A [ ] [ ] [ ] ⎧1≤ i ≤ 2 ⎪ ⎨ 1 ≤ j ≤ 2 ⎪ ⎩A = A 11 21 s i ricorda che tale equazione è determinata se e solo se il rango della matrice [ t] è massimo, per cui deve essere sempre verificata la condizione del determinante non nullo: t ≠ 0 ij D a tutto ciò si ottiene: Ai 1 A Ti 1 = = vi1 vi1 in altri termini: −1 2 −1 1 ⎛ ⎞ i1 = ( τi1+ τi2) = ⇔ Ti 1 =⎜∑ τij⎟ τi1 τi2 j= 1 T + ⎝ ⎠ e in termini più generali: −1 ⎛ n ⎞ −1 Ti1 = ⎜∑ τij⎟ = ( τi 1+ τi2 + τi3 + ... + τin) ⎝ j= 1 ⎠ con n = rango[ t ] che deve essere sempre massimo affinché, come già detto poc’anzi, il sistema sia determinato. Il valore del generico elemento della matrice inversa è pari a: − τ = ij e la ⋅ t 1 i + j ji t in cui la matrice [ τ ] ⎡ ⎣t ji ⎤ ⎦ è la matrice trasposta di [ t ] cancellando la j -ma riga i -ma colonna; il numeratore di tale rapporto rappresenta il complemento algebrico. 74

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