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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Un’altra strada percorribile per la risoluzione del quesito è quella grafica; per cui, impostando il sistema risolutivo, si ha: ⎧vF ⋅ t1+ vB⋅ t2 = A ⎨ ⎩vF ⋅ t3+ vB⋅ t4 = A Ora, praticando la sostituzione delle velocità ed elidendo l’area in entrambi i termini delle due equazioni, si ha: ⎧ A ⎧ A A ⎧ t1 t2 vF = t1 t2 A 1 T ⋅ + ⋅ = F TF T + = ⎪ ⎪ B ⎪TF TB ⎨ ⇒ ⇒ ⎪ ⎨ ⎨ A A A t3 t4 vB = ⎪ ⋅ t3+ ⋅ t4 = A ⎪ 1 ⎪⎩ T ⎪ B TF T ⎪ B T + F T = ⎩ ⎩ B Perciò, risostituendo i valori numerici, si ricavano le equazioni di due iperboli, nelle due variabili TF e T B (in cui TB ∉ {10, 20} e TF ∉ {8,15} perché sono rispettivamente i due asintoti verticali e orizzontali), la cui intersezione rappresenta la soluzione del problema (esplicitare TF o TB è ovviamente indifferente): ⎧ 8 20 ⎧ 8⋅TB 1 220 220 + = TF T 20 8 15 F T = B T ⋅ ⋅ ⎪ ⎪ B − 8⋅TB 15⋅TB 220 70 22 70 ⎨ ⇒⎨ ⇒ = ⇒ TB = ⇒ TF = = ⇔ TF = = 22 ⎪15 10 15⋅T 20 10 70 220 220 B TB − TB − + = 1 ⎪T 20 10 F = − − ⎪⎩T 10 70 70 F T ⎪ B ⎩ TB − Come si evince dal grafico sottostante (in cui è stato scelto arbitrariamente che T F sia l’asse delle ordinate e T B quello delle ascisse, poiché si poteva anche fare il viceversa che il risultato non sarebbe cambiato), l’intersezioni sono due per la presenza della soluzione banale ( TF = TB = 0) mentre l’intersezione indicata dal punto rosso è la soluzione dell’indovinello (il grafico non è in scala e le linee verticali sono i due asintoti verticali delle rispettive iperboli, ve ne sono anche due orizzontali che non sono stati tracciati per non appesantire il disegno): Quindi, il padre impiegherà a tosare il prato, da solo, quasi 31 minuti e mezzo, mentre il figlio impiegherà solamente 22 minuti esatti. 75

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 29 - “Un leone, un leopardo e un ghepardo” Indicando con: t 1 Tempo impiegato dal leone per mangiare da solo la zebra t 2 Tempo impiegato dal leopardo per mangiare da solo la zebra t Tempo impiegato dal ghepardo per mangiare da solo la zebra 3 T Tempo impiegato dai 3 predatori per mangiarsi assieme la zebra Impostando una semplice sommatoria, i tre predatori assieme, in un'ora mangiano: 3 −1 1 1 1 1 1 1 37 ∑t n = + + = + + = 0,617 n= 1 t1 t2 t3 4 5 6 60 Quindi in un’ora riescono a mangiare poco più della metà di una zebra; per mangiare tutta la zebra impiegano: 3 −1 −1 ⎛ −1 ⎞ ⎛37 ⎞ n n= 1 60 T = ⎜ ∑t ⎟ = ⎜ ⎟ 1,621 1h 37m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tale sommatoria è una successione armonica che all’infinito diverge. 76

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